МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ · 2018. 10. 30. · математике. Проблемное обучение. Использование компьютеров

3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Г. БЕЛИНСКОГО

Финогеева И.С., Шалаева Г.Н.,

Садовников Н.В., Храмова Н.Н.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

(ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ:

ОБЩАЯ МЕТОДИКА)

Пенза 2007

4

УДК 371.31:51(075.5)

М 54

Финогеева И.С., Шалаева Г.Н., Садовников Н.В., Храмова Н.Н. Методические

рекомендации для организации самостоятельной работы студентов физико-

математического факультета (теория и методика обучения математике: общая

методика): Учебно-методическое пособие для студентов / Под общей ред. д. п.

н., проф. М.А. Родионова.— Пенза: Изд-во ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2007.-

45с.

В предлагаемых методических рекомендациях для студентов

рассматривается содержание курса общей методики обучения математике.

Приводятся планы всех лекций, практических и лабораторных занятий,

предусмотренных программой учебной дисциплины по данному разделу. По

каждой лекции даѐтся краткое содержание и перечень вопросов, на которые

необходимо найти ответы при самостоятельной работе с указанной

литературой. В пособии приводится перечень заданий для самостоятельной

работы с соответствующими указаниями, выполнение которых необходимо для

успешной сдачи промежуточной аттестации по данной дисциплине (зачѐта

либо экзамена), предусмотренной учебным планом.

Подробно освещены задания для контрольных работ и даны указания по

их выполнению. Предлагается подбор заданий для зачѐтов, примерный

перечень вопросов для курсового экзамена по общей методике.

Рецензенты: Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор

педагогических наук, профессор Зайкин М.И.

Учитель математики высшей категории гимназии № 44

города Пензы Тюрина И.Г.

© Финогеева И.С., Шалаева Г.Н., Садовников Н.В., Храмова Н.Н.

© Пензенский государственный педагогический университет

имени В. Г. Белинского, 2007

5

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................... 6

§1 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ И

ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

(РАЗДЕЛ «ОБЩАЯ МЕТОДИКА») .......................................................................... 9

§2 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

В ШКОЛЕ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ, КУРС ЛЕКЦИЙ) .............................. 12

§3 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО

МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ........................................................... 20

§ 4 ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ

ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ........................................................................................ 31

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ...................................................................................................... 35

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ...................................................................................................... 37

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ...................................................................................................... 38

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ...................................................................................................... 39

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ...................................................................................................... 42

ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ...................................................................................................... 43

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

В ходе профессиональной подготовки учителя математики у

выпускников педуниверситета наряду с приобретением знаний в предметной

области (усвоение программ по математическим дисциплинам) должна быть

сформирована готовность к работе в общеобразовательных школах разного

типа и профиля, которая предполагает достаточно высокий уровень развития

методического мышления студентов, овладение ими умениями и навыками

учебно-методической и исследовательской деятельности, а также

самостоятельной деятельности по анализу опыта работы учителей и изучению

методической литературы. Содержание дисциплин методического цикла

ориентировано как раз на формирование перечисленных умений и навыков.

Психолого-педагогические знания, полученные студентом, позволяют

грамотно строить учебный процесс с учетом возрастных особенностей

учащихся, уровня их познавательной активности.

Курс теории и методики обучения математике является тем связующим

звеном, которое обеспечивает выпускнику понимание связей знаний,

полученных по математике, психологии и педагогике, со школьным курсом

математики.

Методическая подготовка студентов осуществляется через следующие

формы организации учебной работы студентов: лекции (ЛК), лабораторно-

практические занятия (ЛПЗ), семинарские занятия (СЗ), педагогическая

практика (ПП), выполнение курсовых работ (КР), дипломных работ (ДР) и

самостоятельной работы студентов (СР). Взаимосвязь между перечисленными

формами можно представить в виде схемы 1. Причем самостоятельная работа

занимает центральное место, так как без неѐ не может обойтись ни одна из

других форм. Именно в процессе самостоятельной работы студентов идет

переосмысливание знаний, полученных на лекциях, лабораторно-практических

занятиях, семинарских занятиях, при чтении учебно-методической литературы,

наблюдениях за работой учителей и, главное, - формируется потребность в

самообразовании и самосовершенствовании.

схема 1

ЛК ЛПЗ

СЗ

ДР КР

ПП СР

7

Самостоятельная работа, связанная с другими формами обучения,

позволяет не только включать студентов в самостоятельную деятельность, но и

сформировать последовательно различные ее разновидности. Однако не всякая

организация самостоятельной работы студентов влечѐт за собой реализацию

всех еѐ функций. Необходимо выделить ряд условий, позволяющих повысить

эффективность самостоятельной работы в процессе обучения студентов и,

таким образом, обеспечить формирование профессиональной познавательной

самостоятельности будущего учителя математики. К таким условиям можно

отнести следующие.

1. Самостоятельная работа студентов является элементом

методической системы, т.е. усиливается ее роль и связь с другими формами

обучения.

2. Внедрение специально организуемой самостоятельной работы

предполагает систематический контроль за ее выполнением.

3. На лекциях и практических занятиях ставятся проблемы

для самостоятельного решения их студентами.

4. Самостоятельная работа не должна быть эпизодической, а должна

красной нитью проходить через весь курс теории и методики обучения


Студент должен не только в совершенстве овладеть предметом своей

специальности, но и

— глубоко понимать идеи реформы математического образования,

отраженные в новых программах, реализуемые в новых учебниках;

— овладеть современными методами преподавания;

— знать о передовом опыте работы учителей;

— творчески использовать различные новинки педагогической и

методической литературы.

Для выполнения этих задач в вузе необходимо совершенствовать

сложившиеся методы и формы работы со студентами, а также важное внимание

уделять организации самостоятельной работы студентов.

Итак, успех в методической подготовке студентов во многом зависит от

постановки их самостоятельной работы. Она может быть различной:

самостоятельное изучение отдельных разделов, конспектирование статей,

решение математических задач, решение методических задач и т.п.

Одним из способов организации самостоятельной работы является

постановка перед студентами таких вопросов, поиски ответов на которые

заставили бы их анализировать лекции, учебники, психолого-педагогическую

литературу, изучать опыт работы учителей. Нами накоплен некоторый опыт

составления заданий для самостоятельной работы студентов. Эти задания могут

предлагаться и по ходу лекций, и на лабораторно-практических занятиях,

семинарских занятиях и т.д. Контроль за выполнением заданий осуществляется

на коллоквиумах, при проверке контрольных работ, на зачетах и экзаменах.

Среди дисциплин, обеспечивающих подготовку выпускника в

соответствии с квалификационной характеристикой и требованиями к

профессиональной подготовки, особое место занимают дисциплины,

8

определенные федеральным компонентом блоков общепрофессиональных

дисциплин и дисциплин предметной подготовки госстандарта, и, в частности,

теория и методика обучения математике. Изучение студентами этого курса

имеет целью раскрыть перед ними цели и задачи изучения математики в школе,

обеспечить изучение школьных программ, учебников и учебных пособий по

математике, понимание заложенных в них методических идей, выработать

умения применять на практике современные методы, приемы, формы и

средства обучения математике, обеспечить овладение системой знаний о

методологических и теоретических основах методики обучения математике,

выработать у студентов умения разрабатывать учебно-программную

документацию и использовать ее в учебной практике.

В соответствии с требованиями государственного стандарта разработана

программа по теории и методике обучения математике, которая является

основным документом для практической работы.

9

§1 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ И

ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ (РАЗДЕЛ «ОБЩАЯ МЕТОДИКА»)

В последние годы в России существенное внимание уделяется вопросам

качества подготовки специалистов. Основным документом, определяющим

требования к уровню подготовки учителей математики, является

государственный образовательный стандарт высшего профессионального

образования по специальности 050201 «математика» (2005 год).

Госстандартом определяется квалификационная характеристика

выпускника. Он должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание

обучающихся с учетом специфики преподаваемого предмета; способствовать

социализации, формированию общей культуры личности, осознанному выбору

и последующему освоению профессиональных образовательных программ,

использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения;

обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий

требованиям Госстандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и

свобод учащихся, предусмотренных Законом РФ «Об образовании»,

Конвенцией о правах ребенка; систематически повышать свою

профессиональную квалификацию, быть готовым участвовать в деятельности

методических объединений и в других формах методической работы;

осуществлять связь с родителями; выполнять правила и нормы охраны труда,

техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни

и здоровья учащихся в образовательном процессе».

Госстандартом определяются и соответствующие требования к уровню

подготовки выпускника по специальности «математика». Выпускник должен

решать задачи, соответствующие его квалификации «учитель математики».

Специалист должен уметь:

осуществлять процесс обучения учащихся средней школы с ориентацией

на задачи обучения, воспитания и развития личности школьника и с учетом

специфики преподаваемого предмета;

стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся с учетом

психолого-педагогических требований, предъявляемых к образованию и

обучению;

анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования

и повышения своей квалификации; уметь выполнять методическую работу в

составе школьных методических объединений;

выполнять работу классного руководителя, поддерживать контакт с

родителями, владеть основными понятиями математики, уметь использовать

математический аппарат при изучении и количественном описании реальных

процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке,

ее месте в современном мире и в системе наук».

10

ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА (ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ)

Курс теории и методики обучения математике является одним из основных

курсов, которые решают задачу подготовки специалистов - учителей

математики, сочетающих глубокие фундаментальные знания и серьезную

практическую подготовку.

Для решения этой задачи необходимо:

- раскрыть значение математики в общем и профессиональном

образовании;

- обеспечить обстоятельное изучение студентами школьных программ,

учебников и учебных пособий по математике, понимание заложенных в них

методических идей;

- выработать у студентов умения применять на практике современные

методы, приемы, формы и средства обучения математике;

- обеспечить овладение системой знаний о методологических и

теоретических основах методики обучения математике;

- выработать у студентов умения разрабатывать учебно-программную

документацию и использовать ее в учебной практике.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ

Общая методика

Математика как наука и учебный предмет в школе. Методическая система

обучения математике, общая характеристика ее основных компонентов.

Цели и задачи обучения математике в современной школе. Гуманизация и

гуманитаризация математического образования.

Содержание и структура школьного курса математики. Анализ школьных

программ, учебников и учебных пособий по математике (включая

соответствующую литературу для классов с углубленным изучением

математики и коррекционно-развивающих классов). Проблема

преемственности в обучении математике.

Взаимодействие обучения и развития в процессе обучения математике.

Различные технологии развивающего обучения математике.

Дидактические принципы и особенности их реализации в обучении

математике в современных условиях. Дифференцированное изучение курса

математики. Уровневая и профильная дифференциация. Методика обучения

математике на профильном уровне. Предпрофильная подготовка. Учет

индивидуальных особенностей и способностей школьников в контексте

изучения курса математики.

Методы обучения математике. Наблюдение. Опыт. Сравнение, аналогия,

обобщение и конкретизация. Анализ и синтез. Индукция и дедукция.

Многоаспектность их проявления в обучении математике. Отражение в

обучении математических методов изучения реального мира (построение

11

математических моделей). Репродуктивные и продуктивные методы обучения

математике. Проблемное обучение. Использование компьютеров в обучении

математике.

Математические понятия. Содержание и объем, классификация, способы

определения математических понятий. Методика введения и формирования

понятий.

Математические предложения. Аксиомы и теоремы. Виды теорем.

Необходимые и достаточные условия. Доказательство теорем. Методика

работы с аксиомами и теоремами.

Задачи в обучении математике. Функции задач в обучении. Роль задач в

развитии учащихся. Обучение математике через задачи. Организация обучения

решению математических задач. Обучение приемам поиска решения задач.

Методические требования к системе задач по теме.

Современные педагогические технологии в математическом образовании

(модульное обучение, дифференцированное обучение и учет индивидуальных

особенностей, укрупнение дидактических единиц обучения и другие).

Критическое осмысление методического опыта; педагогический эксперимент.

Организация обучения математике. Специфика урока математики; его

структура; основные требования к уроку. Особенности различных типов уроков

математики и их структурных компонентов (объяснения нового материала,

систематизации и обобщения знаний по математике, организация

самостоятельной работы, формы и методы диагностики математических знаний

и умений и другие). Подготовка учителя к уроку и системе уроков; анализ

урока математики.

Средства обучения математике. Учебники и учебные пособия,

дидактические материалы, учебно-методическая литература. Технические

средства обучения. Компьютер как средство обучения математике и

дидактические возможности современных информационных технологий.

Формы и методы внеклассной работы по математике. Особенности

организации работы кружков и факультативов на различных этапах школьного

математического образования.

Аудиовизуальные технологии обучения математике.

Интерактивные технологии обучения. Дидактические принципы

построения аудио-, видео- и компьютерных учебных пособий. Типология

учебных аудио-, видео- и компьютерных пособий и методика их применения.

Банк аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов.

Использование современных информационных и коммуникационных

технологий в учебном процессе. Основные понятия и определения предметной

области – информатизации образования. Цели и задачи использования

информационных и коммуникационных технологий в образовании.

Информационные и коммуникационные технологии в реализации

информационных и информационно-деятельностных моделей в обучении.

Информационные и коммуникационные технологии в актуализации

познавательной деятельности учащихся. Информационные и

12

коммуникационные технологии в реализации системы контроля, оценки и

мониторинга учебных достижений учащихся.

Методы анализа и экспертизы для электронных программно-методических

и технологических средств учебного назначения. Методические аспекты

использования информационных и коммуникационных технологий в учебном

процессе

§2 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ, КУРС

ЛЕКЦИЙ)

Лекция 1. Методическая система «обучения математике».

Общая характеристика еѐ основных компонентов.

Деятельностный подход в обучении математике

План лекции:

1. Предмет теории и методики обучения математике.

2. Задачи школьного курса математики в общей системе образования.

3. Три фундаментальных комплексных проблемы теории и методики

обучения математике.

4. Процесс обучения математике в школе с точки зрения теории

деятельности.

В данной лекции раскрываются цели, задачи и содержание курса теории и

методики обучения математике, его связь с другими дисциплинами.

Раскрывается значение школьного курса математики в системе образования,

показывается связь его с практикой. Особо рассматриваются проблемы

содержания школьного курса математики, проблема структуры этого курса и

проблема методов обучения.

Раскрываются основные положения теории деятельности. Показывается,

что деятельность осуществляется через совокупность действий. Приводятся

примеры деятельности учеников при усвоении курса математики. Особое

внимание уделено мотивам деятельности и ориентировочной основе

деятельности.

В качестве способа выполнения действия рассматривается приѐм,

приводятся примеры приѐмов, которые находят эффективное применение в

школьном курсе математики.

Контрольные вопросы:

1. Что является предметом курса теории и методики обучения

математике?

2. В чѐм состоит сущность системного подхода в обучении


13

3. Выделите основные компоненты структуры деятельности.

4. Приведите примеры различных форм материализации умственных

действий при изучении понятий, теорем.

5. Можно ли считать, что обучение математике – это обучение

математической деятельности?

6. Что такое приѐмы выполнения действий?

7. Какие основные задачи решаются в курсе теории и методики

обучения математике?

Литература:

Основная Дополнительная литература

3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15, 16, 17 14, 16, 22, 23

Лекция 2. Цели и задачи обучения математике в современной школе.

Взаимодействие обучения и развития. Развивающее обучение.

Гуманизация и гуманитаризация школьного математического

образования


1. Цели обучения математике в школе. Анализ программ, учебников и

учебных понятий по математике.

2. Реформа среднего математического образования в контексте

развивающего образования.

3. Гуманизация и гуманитаризация математического образования.

4. Содержание математического образования, его связь с проблемой

профильного обучения.

В лекции рассматриваются концепции среднего математического

образования и концепция профильного обучения, гос.стандарт математического

образования для основной и профильной школ. Показано их влияние на

разработку школьной программы по математике. Подробно рассматривается

структура программы и выделяются цели обучения математике.

Далее коротко раскрываются вопросы изменения содержания школьной

математики с конца 19 века до 21 века.

Особе внимание уделяется взаимодействию обучения и развития. Исходя

из личностно-ориентированного подхода в концепции развивающего обучения,

раскрываются такие понятия как гуманизация и гуманитаризация школьного

математического образования. Коротко рассматриваются учебники по

математике, их структура содержание, основные математические идеи,

согласование с программой по математике.


14

1. Перечислить основные цели обучения математике и раскрыть их

сущность.

2. Из каких основных разделов состоит программа по математике?

3. Как в программе для 10-11 классов учитываются потребности

профильного обучения?

4. Что такое гуманизация и гуманитаризация школьного

математического образования?

5. Охарактеризуйте кратко теорию развивающего обучения.

6. Покажите взаимодействие обучения и развития.



4, 7, 10, 11, 15, 16, 17 7, 13, 24, 25

Лекция 3. Методы научного познания в обучении математике


1. Общая характеристика методов научного познания.

2. Наблюдение, опыт и сравнение в обучении математике.

3. Конкретизация, обобщение и абстрагирование в обучении


4. Анализ и синтез в обучении математике.

В лекции даѐтся характеристика каждого метода, его достоинства и

недостатки. Особое внимание уделяется аналитическим и синтетическим

способам рассуждений. Даѐтся их сравнительная характеристика. Приводятся

примеры их использования на уроках математики.


1. Какие из методов научного познания наиболее чѐтко используются

при изучении нового материала, на этапе закрепления?

2. Какая существует взаимосвязь между наблюдением, опытом и

сравнением?

3. Какие виды анализа Вы знаете? В чѐм их суть?

4. В каких ситуациях лучше использовать синтетический метод

рассуждений?

5. Влияют ли возрастные особенности школьников на методику

использования методов научного познания? Привести примеры.

15



3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 17 4, 5

Лекция 4. Математические понятия и методика их изучения.


1. Понятие как форма мышления. Содержание и объѐм понятия.

Соотношения между объѐмами понятий.

2. Определение понятий. Виды определений. Классификация

понятий.

3. Методика организации работы по усвоению понятий.

4. Ошибки учащихся в определении понятий и классификация

понятий. Организация работы по их устранению.

Рассматриваются основные формы мышления: понятия, суждения и

умозаключения. Подробно изучаются понятия, их роль в школьном курсе

математике. С понятием связаны существенные и несущественные признаки.

Содержание понятия раскрывается в его определении. Приведены примеры

различных видов определений понятий школьного курса. С объѐмом понятия

связаны классификация понятия. Подробно рассмотрена дихотомия. Раскрыты

конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный методы введения понятия.

Большое внимание уделено этапу усвоения понятия. Исходя из

деятельностного подхода, выделены основные действия, которым нужно

обучить учащихся на этапе усвоения понятия. С каждым этапом формирования

понятия связывается определѐнные виды упражнений.

Рассмотрены требования к классификации понятий и к определению

понятий. Невыполнение этих требований приводит к ошибкам в определении и

классификации понятий.


1. Что такое понятие, его содержание и объѐм?

2. Приведите примеры существенных и несущественных признаков

понятия.

3. Какая зависимость существует между объѐмом и содержанием

понятия? Между объѐмами различных понятий?

4. Какие виды определений понятий встречаются в школьном курсе


5. Перечислите основные требования к определению понятий.

6. Перечислите основные требования к классификации понятий.

7. Сравните два метода введения определения понятия.

8. Перечислите этапы усвоения понятия.

16

9. Укажите роль варьирования существенных и несущественных

признаков понятия.

10. приведите примеры различных логических ошибок в определении

понятии и укажите роль контрпримеров в формировании понятий.



1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17 23, 26

Лекция 5. Математические предложения. Методика изучения теорем

и обучение их доказательству.


1. Суждение и их виды. Теоремы и их место в школьном курсе


2. Теоретические сведения о теоремах.

3. Приѐмы, способствующие формированию у учащихся потребности

в доказательстве математических предложений.

4. Организация работы с учащимися по изучению теорем.

5. Методика обучения доказательству теорем.

6. Роль упражнений на основных этапах изучения теорем.

Рассматривая математические суждения, выделяются аксиомы и теоремы,

составляющие одну из основных частей школьного курса математики.

В первой части рассматриваются все вопросы о теоремах, а именно, их

виды, структура, связь условия и заключения теоремы с необходимыми и

достаточными условиями, прямые и косвенные доказательства с

соответствующими примерами.

Во второй части подробно освещаются основные методические подходы

к изучению теорем. Раскрывается методика организации всех этапов с

соответствующими приѐмами и системой упражнений.


1. Какие математические предложения рассматриваются в школе?

2. Поясните необходимость аксиом при формальном построении

теории.

3. Какие виды теорем Вы знаете? Привести примеры.

4. Как с условием и заключением теоремы связаны необходимые и

достаточные условия?

5. Какие виды доказательств теорем встречаются в школьном курсе?

6. Перечислите основные этапы в изучении теорем.

17

7. Раскройте суть этапа по раскрытию содержания теоремы. Какие

приѐмы можно использовать?

8. Какими приѐмами можно облегчить учащимся этап поиска пути

доказательства теоремы?

9. В чѐм суть этапа закрепления формулировки теоремы и

доказательства теоремы?



1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17 14, 16, 18, 27

Лекция 6. Применение индукции, дедукции и аналогии в обучении

математике


1. Понятие о математическом суждении и умозаключении. Виды

умозаключений.

2. Индукция в обучении математики.

3. Дедукция в обучении математики.

4. Аналогия, и еѐ использование при обучении математике.

В лекции рассмотрены три вида умозаключении: индуктивные,

дедуктивные и традуктивные. Индукция и дедукция рассматриваются и как вид

умозаключения, и как метод исследования, и как форма изложения материала.

Приведены примеры использования полной и неполной индукции на различных

этапах обучения.

Как частный вид традуктивного умозаключения рассматривается

аналогия и еѐ виды: простая и распространѐнная. Показывается использование

аналогии на этапе введения определения понятия и формирования теории, на

этапе поиска пути доказательства теоремы и на этапе поиска пути решения

задачи. Раскрывается роль аналогии как эвристического приѐма. Показывается

и отрицательная роль аналогии.


1. Приведите примеры математических суждений и умозаключений.

2. В чѐм суть и различие индуктивных и дедуктивных умозаключений.

3. Раскройте различные формы проявления индукции.

4. Раскройте различные формы проявления дедукции.

5. К какому виду умозаключений можно отнести метод

математической индукции?

18

6. Покажите на примерах использование аналогии при изучении

понятий, при изучении теорем.

7. Приведите примеры вредного влияния аналогии.



1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17 11, 13, 16, 18

Лекция 7. Задачи в обучении математике. Методика обучения

решения математических задач


1. Понятие задачи. Роль задач в обучении математики.

2. Функции задач в обучении математики. Классификация задач.

3. Алгоритмические методы решения задач.

4. Эвристические приѐмы при решении задач.

5. Методика обучения решению задач.

В лекции рассматриваются различные подходы к определению задачи,

изменение роли и места задач в обучении математике. Подробно раскрывается

подход «обучение через задачи». Приведены различные классификации задач и

рассмотрены их функции в обучении. Задачи рассматриваются как средства

обучения и как цели обучения. Так как термин «задача» понимается широко, то

есть включает и все типы упражнений, то подробно рассмотрены

алгоритмические и эвристические (через приѐмы) методы решения задач.

Рассматривая методику обучения решению задач, выделяют основные

этапы (4 этапа), действия адекватные этим этапам и методику формирования

этих действий, даѐтся сравнительный анализ аналитического и синтетического

метода поиска решения задачи. Выделяются общие умения решения задач и

специальные умения при решении задач по алгебре и по геометрии. Поиск

решения задачи – это построение математической модели реальной ситуации.


1. Укажите функции задач в обучении.

2. Какие виды задач выделяются в курсе математики основной и

средней школе?

3. Что значит обучать математике через решение задач?

4. В решение каких задач чаще всего используется алгоритмический

подход?

5. В каких задачах в основе поиска решения используется

эвристические приѐмы? Перечислите их.

6. Раскройте этапы обучения различным эвристикам.

19

7. Какие этапы выделяют в обучение школьников решению задач?

8. Перечислите различные способы записи условия задачи.

9. Что наиболее важно в деятельности учащихся на каждом этапе

решения задачи?

10. Какими достоинствами и недостатками обладают аналитический и

синтетический способы поиска решения задачи?

11. Как отличить синтетический путь поиска плана решения от

аналитического?

12. Укажите формы проверки идеи решения задачи.



1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17, 12,

13

2, 5, 7, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20

Лекция 8. Организация обучения математике


1. Урок математики как одна из ведущих организационных форм

обучения математике.

2. Основные требования к уроку. Типы уроков по математике.

3. Уроки базовой системы и их структура.

4. Подготовка учителя к уроку.

5. Организация самостоятельной работы учащихся и дифференциация

в обучении математике.

6. Формы и методы контроля и учѐта знаний учащихся.

В лекции раскрывается современный взгляд на урок математики,

приводятся и рассматриваются основные требования к уроку. Приведены

различные классификации (типы) уроков в зависимости от основы

классификации. Рассмотрены нетрадиционные уроки. Выделены 19 уроков,

составляющих базовую систему, и кратко рассмотрена их структура.

Рассматривая подготовку учителя к уроку, выделена подготовка к учебному

году (календарное планирование), подготовка к изучению темы (тематическое

планирование) и подготовка к очередному уроку (конспект и план урока).

Особое внимание уделено организации самостоятельной работы на уроке, так

как это позволяет наиболее полно осуществить индивидуальный и

дифференцированный подход в обучении.

Рассматривая формы и методы контроля уделяется внимание видам

контроля, его целям, назначению контроля, функциям контроля.

Рассматриваются и традиционные формы контроля и появившиеся в последние

годы: тестирование, ЕГЭ.

20


1. От чего зависят требования к уроку математики. Перечислите

основные из них.

2. Какие типологии уроков математики знаете?

3. Какие «дополнительные» дидактические принципы выдвинуты в

настоящее время в обучении? Как они влияют на требования к уроку.

4. Перечислите уроки базовой системы.

5. Раскройте структуру 2-3 уроков базовой системы.

6. Какие общие цели должны ставиться учителем на уроке?

7. Из каких этапов складываются подготовка учителя к уроку?

8. Перечислите виды и функции контроля.

9. Охарактеризуйте тестирование – как одну из форм контроля.



3-11, 14-17 3, 28

Теоретические вопросы и их реализация на лабораторных занятиях,

связанные с разделом «Аудиовизуальные и информационно-

коммуникационные технологии в обучении математике» будут рассмотрены в

отдельном методическом пособии.

§3 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО

МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Занятие 1. Цели обучения математике. Содержание, анализ программ и

учебников. Госстандарт

Цели изучения темы: Проанализировать программу средней школы по

математике, охарактеризовать цели и содержание курса математики.

Познакомить студентов с комплектом учебников по математике,

рекомендованных Федеральным агентством по образованию, с госстандартом,

методической литературой, используемой учителями.

Теоретическая часть.

1. Какими государственными документами определяется содержание и

уровень математической подготовки школьников?

2. Охарактеризуйте структуру программы по математике.

3. Что представляет собой госстандарт?

Практическая часть.

1. Каковы цели обучения математике в школе? Соотнесите цели

обучения математике на определенной ступени (например, в 5-6, в 7-9, в 10-11

классах) с общими целями обучения математике в средней школе,

сформулированными в объяснительной записке программы.

21

2. Проанализируйте разделы «Содержание обучения», «Требования к

математической подготовке учащихся». Соотнесите их с содержанием и

предлагающимися системами упражнений соответствующих учебников.

(Задания выполняются по вариантам для различных ступеней обучения).

3. Сравните структуру, содержание различных учебников для

определенной ступени: учебников математики для 5-6 классов, учебников

алгебры для 7-9 классов, алгебры и начал анализа для 10-11 классов; геометрии

для 7-9, 10-11 классов. (Задание выполняется по вариантам).

4. Сравните тематическое планирование по одной и той же теме в

общеобразовательном курсе и курсах А и В. Сделайте выводы.

5. Познакомьтесь с методическими пособиями для учителя, с журналами

«Математика в школе». Чем, на Ваш взгляд, они помогают учителю?

Занятие 2. Научные методы в обучении математике

Цели изучения темы: Познакомить студентов с методами научного

исследования: наблюдением и опытом, сравнением и аналогией, анализом и

синтезом, обобщением и специализацией, абстрагированием. Показать роль

методов научного исследования в преподавании математики. Научить

студентов аналитическому, синтетическому способам рассуждений.


1. Дайте характеристику каждому из перечисленных методов научного

познания: наблюдению и опыту, сравнению и аналогии, анализу и синтезу,

обобщению и специализации, абстрагированию.

2. Охарактеризуйте два вида анализа: восходящий (совершенный) и

нисходящий (несовершенный). Укажите, в чем они схожи и чем отличаются.


1. Группа делится на две подгруппы, каждая получает задание:

1 подгруппа: Из школьных учебников подберите примеры,

иллюстрирующие использование наблюдения, опыта и сравнения при

объяснении новой темы.

2 подгруппа: Из школьных учебников подберите примеры использования

обобщения, специализации, абстрагирования на уроках математики.

2. Выберите одну из теорем курса геометрии 7-8 классов, организуйте

поиск ее доказательства, используя: а) синтез; б) анализ.

Продумайте систему вопросов, которые Вы зададите классу в том и

другом случае. Попробуйте провести фрагмент урока в аудитории. Какой путь

поиска Вам кажется наиболее удачным. Почему?

3. Из учебника алгебры 8 класса подберите пример на доказательство

неравенства. Организуйте поиск доказательства с использованием: а)

совершенного (восходящего) анализа; б) несовершенного (нисходящего)

анализа.

22

Занятие 3. Применение индукции, дедукции и аналогии в обучении


Цели изучения темы: Научить студентов различать индуктивные,

дедуктивные, традуктивные умозаключения. Показать значение индукции,

дедукции, аналогии как методов научного познания и как методов,

применяемых в обучении.


1. Что такое суждение? Назовите виды суждений. Приведите примеры.

2. Что называют умозаключением?

3. Охарактеризуйте различные виды умозаключений. Приведите

примеры.

4. Какова роль аналогии в обучении математике?

5. В чем сущность метода математической индукции? Является ли метод

математической индукции примером индукции или дедукции? Ответ

обоснуйте.


1. Проанализировав школьные учебники математики, найдите примеры

заключений, сделанных на основе а) неполной индукции, б) полной

индукции, в) дедукции.

2. Ученики, возведя в пятую степень все однозначные числа от 0 до 9:

05=0

15=1

25=32

35=243

45=1024

55=3125

65=7776

75=16807

85=32768

95=59049,

сделали вывод: пятая степень любого натурального числа оканчивается

той же цифрой, что и само это число.

Пример какого умозаключения мы имеем? Почему Вы так считаете?

3. Ученики, используя неполную индукцию, могут сделать ошибочные

выводы. Приведите примеры таких ошибок и укажите пути их предупреждения.

4. Используя неполную индукцию, «откройте» формулу суммы n первых

нечетных чисел и докажите ее с помощью метода математической индукции.

5. Сформулируйте теорему, которая были бы плоскостным аналогом

следующей: «диагонали параллелепипеда имеют общую точку, являющуюся

серединой каждой из них».

6. Выделите аналогичные элементы в следующих зависимостях а)

«сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны», б) «сумма любых

двух плоских углов трехгранного угла больше третьего угла»

7. Приведите примеры использования аналогии

а) при определении понятий,

б при доказательстве теорем,

в) при решении задач.

23

8. Какие неправильные аналогии привели учащихся к следующим

ошибкам

а) c

b

ac

bа, б) baba lglg)lg( ,

в) SinSinSin )( , г) baba 22

Как предупредить появление ошибок такого рода? Найдите приемы

исправления их.

Занятие 4. Математические понятия. Методика формирования понятий

Цели изучения темы: Познакомить студентов с логико-математической

структурой определений математических понятий; раскрыть основные этапы

формирования понятий.


1. Что называют понятием? Что такое содержание, объем понятия?

Приведите примеры.

2. Что такое существенные и несущественные признаки понятия?

3. Какова зависимость между содержанием и объемом понятия?

4. Что называется определением понятия? Есть ли разница между

содержанием понятия и определением понятия?

5. Перечислите известные Вам способы определения понятий. Приведите

примеры определения математических понятий каждого вида.

6. Каковы требования к определениям понятий? Приведите примеры

ошибок, допускаемых учащимися в определениях. Какую работу нужно

провести по исправлению ошибок?

7. В каком отношении могут находиться объемы понятий? Приведите

примеры.

8. Какие пути введения определения понятия на уроке Вам известны?

Охарактеризуйте каждый из них.

9. Заканчивается ли работа по формированию понятия формулировкой

его определения? Каким действиям с понятиями учитель должен научить

учащихся?

10. Какова роль варьирования существенных и несущественных

признаков в формировании понятия?

11. Что понимают под классификацией понятий? Какие требования

предъявляются к классификации понятий? С какой целью проводится

классификация понятий?


1. Назовите существенные признаки, указанные в определениях понятий:

а) ромб, б) равнобедренный треугольник. Каково содержание перечисленных

понятий? Какие несущественные признаки этих понятий Вы можете назвать?

Что представляет собой объем каждого из этих понятий.

2. Выполните логический анализ определений понятий «ромб» и

«равнобедренный треугольник».

24

3. Приведите свои примеры определений понятий по схеме «вид есть род

плюс видовые отличия».

4. Из школьных учебников математики подберите несколько

определений: а) конструктивных, б) рекурсивных, в) заданных перечислением

отличительных признаков, г) определений путем показа объекта в общем виде,

д) косвенные определения через аксиомы, е) определения – соглашения.

5. Составьте «родословную» понятия «угол».

6. С помощью кругов Эйлера изобразите отношение между объемами

следующих понятий:

А – многоугольник

В – правильный многоугольник

С – четырехугольник

D – треугольник

Е – квадрат

F – многогранник

G – равносторонний треугольник

7. Найдите ошибки в следующих формулировках определений, данных

учащимися.

а) Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

б) Ромбом называется четырехугольник, у которого противоположные

стороны попарно параллельны и все стороны равны.

в) Смежными углами называются углы, имеющие общую сторону и

составляющие в сумме 1800.

г) Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны

параллельны.

д) Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого

две стороны равны и углы при основании равны.

Какие требования к определениям нарушены в каждом примере? В каких

случаях эффективно использование учителем приема приведения

«контрпримеров»?

8. Проварьируйте существенные и несущественные признаки понятия

«трапеция». Составьте упражнения на распознавание понятия «трапеция».

9. Дано: ВМ – медиана, проведенная к основанию равнобедренного

треугольника АВС. Что из этого следует? (Выполните действие выведения

следствий из факта принадлежности объекта к классу объектов,

охарактеризованных определением).

10. Определение какого понятия Вы бы ввели а) абстрактно-дедуктивно,

б) конкретно-индуктивно? Ответ обоснуйте. Разработайте фрагмент урока по

введению каждого из выбранных понятий.

Занятие 5. Математические предложения. Методика изучения теорем и

обучение их доказательству

Цели изучения темы: Познакомить студентов с общим приемом

выполнения логико-математического анализа математических предложений,

раскрыть этапы изучения теорем.

25


1. Что называют теоремой? Аксиомой?

2. Какую структуру может иметь формулировка теоремы?

3. Виды теорем. Приведите примеры. Существует ли какая-либо

зависимость между их истинностью?

4. Какие виды доказательства Вы знаете?

5. Какие подходы к введению теорем на уроке существуют?

Охарактеризуйте их.

6. Перечислите основные этапы изучения теорем.


1. Студентам предлагается определить, какую структуру имеют

перечисленные ниже теоремы, изобразить схематически структуру каждой из

теорем (если нужно, осуществите переход от формулировки теоремы в

категоричной форме к формулировке в импликативной форме).

а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

б) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника

равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то какие треугольники

равны.

в) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

г) Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних

односторонних углов 1800, то прямые параллельны.

д) Диагонали прямоугольника равны.

е) Сумма смежных углов равна 1800.

ж) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их

полусумме.

з) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум

сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники

равны.

2. Группа разбивается на две подгруппы, каждой из которых дается

задание сформулировать утверждение обратное, противоположное и

противоположное обратному для следующих теорем.

1 подгруппа 2 подгруппа

В равнобедренном треугольнике Сумма смежных углов

углы при основании равны равна 1800.

На эквивалентности каких теорем основывается метод доказательства

теорем от противного?

3. Провести анализ доказательства одной из теорем, формулировка

которых анализировалась в первом задании, например, теоремы о средней

линии трапеции (какой способ доказательства используется в учебнике,

сколько различных случаев рассматривается, на какие теоремы и аксиомы

опирается доказательство).

26

4. На основе проведенного логико-математического анализа, разработать

методику работы над теоремой о средней линии трапеции, обосновав выбор

генетического либо догматического подхода к введению теоремы; опишите

подробно каждый из этапов изучения теоремы.

5. Выберите одну из аксиом планиметрии. Продумайте, какую работу

можно провести для «открытия» содержания аксиомы.

Занятие 6. Методика обучения алгоритмам и правилам в школьном курсе

математики

Цели изучения темы. Познакомить студентов с логико-математическим

анализом алгоритмов (правил); раскрыть основные этапы работы с

алгоритмами (правилами).


1. Что понимают под алгоритмом? правилом? Сравните эти понятия.

2. Как может быть задан алгоритм? Приведите примеры.

3. Какие из приведенных примеров являются а) алгоритмами

распознавания, б) алгоритмами преобразования?

4. Охарактеризуйте свойства, которыми обладает алгоритм?

5. Какое мышление называют алгоритмическим?

6. Сравните компактный и раздельный методы использования

алгоритмов.

7. Назовите этапы овладения учащимися алгоритмом, охарактеризуйте

каждый из них.


1. Какие из приведенных ниже правил сформулированы в

алгоритмическом виде, а какие являются действительно алгоритмами?

а) Чтобы привести дробь к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим

общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на

знаменатели данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный

множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее

дополнительный множитель.

б) Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо

записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом

умножения дробей.

в) Чтобы сложить два числа с разными знаменателями, надо: 1) из

большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным

числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

г) Корни уравнения изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из

одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

27

Переформулируйте правило сложения чисел с противоположными

знаками таким образом, чтобы выполнялись все свойства алгоритма. Выделите

простейшие операции и последовательность их выполнения.

2. Запишите получившийся алгоритм сложения чисел с

противоположными знаками с помощью схемы.

3. Выясните, на основании каких математических знаний выполняется

каждая операция, входящая в алгоритм.

4. Какие упражнения Вы подберете для актуализации знаний,

необходимых для введения алгоритма?

5. Разработайте методику введения алгоритма на уроке (фрагмент

урока).

6. Проанализируйте систему упражнений приведенных в учебнике, с

точки зрения возможности отработки алгоритма.

7. Составьте алгоритмы распознавания понятий: а) смежных углов; б)

неправильной дроби. Какую структуру имеют эти алгоритмы?

Занятие 7. Методика обучения решению сюжетных задач.

Цели изучения темы. Познакомиться с функциями задач в обучении

математике; с основными этапами решения сюжетной задачи, особенностями

методики работы на каждом этапе.


1. Что понимают под задачей?

2. Каковы функции задач в обучении математике?

3. Какова структура любой задачи?

4. Перечислите этапы решения задачи.

5. Вспомните, чем характеризуется синтетический и аналитический

способ поиска решения задачи.


1. Проанализируйте систему задач к п.10 «Уравнение» (М – 5).

Определите, какую функцию выполняет каждая из этих задач.

2. Приведите примеры задач, для решения которых используется

алгоритмический метод.

3. Какие эвристики чаще всего используются при поиске решения

задач? Приведите примеры.

4. Задача (№1179, М – 5). Два поезда вышли в разное время

навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 782 км.

Скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч. Пройдя 416 км, первый

поезд встретился со вторым. На сколько один из поездов вышел раньше

другого?

Продумайте методику работы над этой задачей (ознакомление учащихся с

содержанием задачи, поиск решения, оформление решения, проверка решения).

Задание выполняется по вариантам.

I вариант – организовать поиск решения задачи арифметическим

способом (используя анализ, синтез)

28

2 р. 10 к.

II вариант – организовать поиск решения алгебраическим способом.

После выполнения задания, студентам предлагается сравнить способы

поиска и решения задачи. Обращается внимание на краткую запись условия

задачи, запись решения задачи.

5. Составьте и решите задачу, обратную данной, позволяющую

сделать проверку решения исходной.

6. Попробуйте по краткой записи условия задачи восстановить ее

формулировку:

а) I бригада – ? меш., 2450 кг

II бригада – ? меш., 2550 кг

б) I сазан – ? 2 х

II сазан – ? 2,5 х

III сазан – ? х

в)

г)

Цена Кол-во Стоимость

Ручки ? 3

Кисточки ? на 50 к.< 1

7. Оформите краткое условие 5 задач из учебников 5-6 классов

различными способами, которые Вы считаете наиболее удачными.

8. Подберите задачи, для поиска решения которых целесообразно

использовать следующие приемы: а) переформулирование условия задачи; б)

выделение подзадач либо решение серии вспомогательных задач.

Занятие 8. Планирование работы учителя математики

Цели изучения темы: Познакомить студентов с видами планирования

работы учителя, с различными подходами к составлению календарных,

тематических планов, общими методическими требованиями к составлению

конспекта урока.


1. Какова цель планирования работы учителя? Из каких этапов состоит

подготовка учителя к урокам?

2. В чем заключается подготовка к учебному году (полугодию)?

3. Как учитель планирует подготовку к построению системы уроков по

определенной теме?

4. Какие требования предъявляются к современному уроку?

5. Назовите основные типы уроков (в соответствии с типологией по

основной дидактической цели). Какова структура уроков различных типов?

540 км

t - ?

V1=50 км/ч V2=85 км/ч

100 мешков

11 кг

29

6. Какими нормативными документами, учебно-методическими

материалами пользуется учитель, планируя свою работу?

Практическая часть

1) Представьте, что Вам предстоит преподавать математику в 5 и 6

классах. Изучите все разделы «Программы средней общеобразовательной

школы», выясните, чем поможет знакомство с каждым из разделов программы

планированию работы на год. Выясните, с какими знаниями приходят учащиеся

в 5-й класс, наметьте программу повторения. Сформулируйте основные

требования к математической подготовке учащихся 5-6 классов.

2) Познакомьтесь с особенностями тех учебников математики для 5 и 6

классов, с которыми Вы собираетесь работать, с дидактическими материалами

и методическими пособиями. Соответствуют ли они действующим учебникам?

3) Сопоставьте «Тематическое планирование учебного материала»,

ориентированное на эти учебники математики, календарное планирование,

приведенное в журнале «Математика в школе» с последовательностью

изложения тем в учебнике.

4) Составьте календарный план изучения математики в 5 классе

(фрагмент, на одну четверть) в следующей форме:

№№

уроков

Тема

(название пункта в

учебнике)

Кол-во

часов

Сроки Материал для

повторения

5) Изучите материал учебника и соответствующую методическую

литературу для учителя. Сформулируйте цели изучения темы «Проценты» (5

кл.); разбейте материал учебника по урокам; продумайте методы сообщения

нового материала и необходимые наглядные материалы, ТСО и др.,

оборудование, возможности использования на уроках самостоятельной работы

учащихся; различных форм организации деятельности учащихся на уроке;

возможности использования дидактических игр на уроке; обязательные

результаты обучения; связь с жизнью и с другими предметами.

6) Составьте тематический план изучения темы «Проценты» в 5 классе,

оформите его, используя следующую форму: №

урока

Тема

урока

(теоре-

тический

материал

урока)

Упражнения,

решаемые

Сам

ост

ояте

льн

ая

раб

ота

Лаб

орат

орн

о-

прак

тичес

кая

раб

ота

Сред

ства

об

уч

ени

я,

об

оруд

ован

ие

Мат

ери

ал д

ля

повто

рен

ия

Ист

ори

чес

ки

й

мат

ери

ал

Меж

пред

мет

ны

е

связи

(св

язь

с

жи

знью

)

Вн

еклас

сная

раб

ота

в

классе

дома

7) Напишите конспект первого урока по теме «Проценты»,

придерживаясь следующего порядка:

а) определите место урока в теме;

30

б) определите цели урока (дидактические, воспитательные,

развивающие), выделив основную цель;

в) определите тип урока;

г) определите структуру урока, распределите время урока между его

этапами, определите дидактическую цель каждого этапа урока;

д) отберите материал для каждого этапа, продумайте, какие методы,

приемы и средства обучения целесообразно использовать, чтобы максимально

активизировать познавательную деятельность учащихся на уроке, постарайтесь

найти оптимальное сочетание индивидуальной, групповой и коллективной

форм работы на уроке, а также найти возможность дифференцированного

подхода к учащимся;

е) продумайте оформление записей на классной доске и в тетрадях

учащихся;

ж) определите формы контроля знаний учащихся;

з) продумайте, какой инструктаж по выполнению домашнего задания

учащимися необходимо провести учителю.

Указание. Рассмотрите различные варианты оформления конспекта урока

на основе образцов, предложенных преподавателем; выберите наиболее

приемлемые для Вас. Учитывайте при этом, что конспект, как правило,

включает следующие разделы:

1) тема урока…..(записывается)

2) цели урока…(перечисляются)

3) оборудование урока (раздаточный материал, наглядные пособия, ТСО,

чертежные инструменты и др.)

4) план урока (перечень этапов урока: организационный момент,

проверка домашнего задания, актуализация знаний, необходимых для

объяснения нового материала, объяснение новой темы, еѐ закрепление, задание

на дом и др. Необходимо указать ориентировочное время, отводимое на

каждый этап урока)

5) ход урока (подробно описывается каждый этап урока, его содержание

и методика проведения). Чаще всего эту часть конспекта оформляют в виде

вопросов учителя и ответов учеников, либо по форме:

Этапы урока Деятельность

учителя

Деятельность

учащихся

Оформление

Доски Тетради

6) используемая литература.

Замечание. Конспект урока сдается на проверку преподавателю. На

одном из занятий студентам предлагается в ходе деловой игры провести в

аудитории «урок» по данной теме. «Урок» анализируется студентами под

руководством преподавателя. Затем конспект дорабатывается с учетом

сделанных замечаний.

31

§ 4 ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ

ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Итоговая аттестация студентов по разделу общей методике обучения

математике складывается из зачѐта (по практической части) и экзамена (по

теории совместно с методикой алгебры основной школы).

Для получения зачѐта студент очного отделения должен

1. на положительную оценку выполнить в течение семестра контрольную

работу (приложение3), ряд индивидуальных домашних заданий (по

указанию преподавателя), вопросы и задания к зачѐту (приложение 1);

2. разработать индивидуальный развѐрнутый конспект урока по математике

в 5-6 классах (приложение 6);

3. посетив уроки математики вместе с преподавателем, написать и сдать

подробный анализ одного из них;

4. сдать коллоквиум по общей методике обучения математике (приложение

2).

Студенты заочного отделения для получения зачѐта должны

1. на положительную оценку выполнить контрольную работу,

представленную в приложении 4;

2. пройти собеседование по вопросам и заданиям к зачѐту, представленные

в приложении 1.

32

Основная литература

1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе.

Ростов на Дону, 2005.

2. Лабораторные и практические работы по методике преподавания

математики: Учебное пособие для студентов пединститутов/ Под ред. Е.И.

Лященко. - М.,1988.

3. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / сост. Г.Д.

Глейзер. – М.: УРАО, 2001.

4. Методика обучения геометрии /под редакцией Гусев В.А., Орлов В.В. и др.

– Москва, 2004.

5. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для

вузов /под редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа,

2005. – 416 с.

6. Метельский Н.В. Дидактика математики. - Минск, 1982.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика /

В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. - М.,

1980.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики /

Ю.М. Колягин, В.А. Мокрушин, В.Я. Саннинский, ГЛ. Луканкин. - М.,

1979.

9. Методика преподавания математики: В двух частях /сост. Ляпин Е.Е.-Л.,

Учпедгиз, 1956.

10. Методика преподавания математики: Общая методика / сост. Р.С. Черкасов,

А.А. Столяр. - М., 1985.

11. Методика преподавания математики: Частная методика /сост. В.И. Мишин.

- М., 1987.

12. Новые педагогические и информационные технологии в системе

образования: Учебное пособие для студентов педвузов и системы

повышения квалификации педагогических кадров (под редакцией Е.С.

Полат, М.Ю. Бухарнина и др.) - М:, 2002.

13. Практикум по методике преподавания математики в средней школе. – М.:

Просвещение, 1993.

14. Программа по математике для средних общеобразовательных учреждений. -

М., Просвещение, 2002.

15. Полат Е.С. Педагогические технологии 21 века// Современные проблемы

образования. – Тула 1997.

16. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. - Саранск, 1999.

17. Саранцев Г.И. Сборник упражнений по методике преподавания математики

в средней школе. - М.,1983.

18. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М., 1995.

19. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск, 1986.

20. Тихонов Ю.М. Информационное общество: философские проблемы науки и

образования. – М.,1998.

Учебники и учебно-методические пособия по математике для школ;

журналы: «Математика в школе»; приложение к газете «1 сентября»

33

«Математика»; «Математическое образование»; «Квант».

Дополнительная литература

1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. - М.,1971.

2. Бескин Н.М. Методика геометрии. - М., 1947.

3. Болтянский В.Г. Как устроена теорема

4. Гаврилова М.А., Пономарева Т.Х, Родионов М.А., Садовников Н.В.

Лабораторные работы по методике преподавания математики (Общая

методика).-Пенза, 1997.

5. Гаврилова М.А., Яремко Н.Н. Тестирование как проблема теоретического и

прикладного исследования. Пенза, 2001.

6. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. – М., 1971.

7. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики.-

М., 1990.

8. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики:

Книга для учителя. - М., 1990.

9. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: 1996.

10. Диков А.В. Основы компьютерной технологии для учителя математики. Ч.1,

Ч.2, Пенза,2003-2004.

11. Епишева О.Е., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. -М.,

1990.

12. Интернет в образовании/ под. Ред Е.С.Полат. – М.,2000.

13. Каштан B.C., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике./Под

ред. А.А. Столяра. - Минск, 1981.

14. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: В 2 ч. - М., 1977.

15. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1977.

16. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики

//Математика в школе, № 5, 1995, №4, 2004.

17. Моисеева М.В. Введение в компьютерные телекоммуникации //

Информатика и образование, 1999, №4.

18. Оборудование кабинета математики/В.Г. Болтянский и др. - М., 1981.

19. Обучение и развитие /под редакцией Занкова Л.В. – М.: Педагогика, 1975.

20. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! О развитии творческих способностей

учащихся: Книга для учителя. - М., 1988.

21. Пойа Д. Как решать задачу. - М., 1961.

22. Пойа Д. Математическое открытие. - М., 1976.

23. Родионов М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования.-

Саранск, 2001.

24. Родионов М.А., Садовников Н.В. Взаимосвязь теоретических и

практических аспектов использования задач в обучении математике.-Пенза,

1997.

25. Рупасов К.Л., Никитин Н.В. Определение математических понятий в курсе

средней школы. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1963.

26. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике

34

(формирование умений самостоятельной работы)/Сост. С.И. Демидова, Л.О.

Денищева.-М., 1985.

27. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. - Саранск,

2001.

28. Саранцев Г.И. Обучение доказательным рассуждениям. - М., 2000.

29. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ,

1975.

30. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М., 1989.

31. Энциклопедический словарь юного математика. - М., 1985.

32. Эрдниев П.М., Эрдниев В.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении

математике: Книга для учителя. - М., 1986.

35

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Примерные вопросы и задания к зачѐту по общей методике обучения


1. Охарактеризуйте структуру программ по математике для средней школы.

2. Найти в школьных учебниках примеры использования наблюдения и опыта,

сравнения, обобщения, конкретизации и абстрагирования (по 2 примера из

5-6 классов, по 2 примера из курса алгебры и геометрии 7-9 классов, по 2

примера из геометрии, алгебры и начал анализа 10-11 классов).

3. Доказать неравенство а2+в

2+с

2+3 2(а+в+с)

используя: а) совершенный анализ, б) несовершенный анализ.

4. На примере любой теоремы из геометрии 7-9 классов показать

использование синтетического способа и совершенного анализа на этапе

поиска пути доказательства теоремы.

5. Из школьных учебников найти по 2 примера использования полной и

неполной индукции.

6. Составить несколько дедуктивных умозаключений, используя материал

учебников 5-6 классов, 7-9 классов.

7. Привести по 2 примера на использование аналогии при:

а) изучении понятий;

б) доказательстве теорем;

в) решении задач.

8. На примере понятий из курса геометрии разъясните, что такое содержание и

объем понятий.

9. Приведите свои примеры на каждый из возможных отношений между

объемами понятий.

10. Приведите примеры родовых и видовых понятий.

11. Изобразите кругами Эйлера объемы понятий: «призма», «параллелепипед»,

«прямоугольный параллелепипед», «куб».

12. Приведите примеры на связь между объемом и содержанием понятия.

13. Найдите ошибки в определении понятий и укажите их причины:

1) Квадратным уравнением называется уравнение, которое содержит

неизвестную во 2-ой степени.

2) Тупым углом называется угол больший прямого.

3) Отрезок, соединяющий середины 2 сторон трапеции и равный полусумме

оснований, называется средней линией трапеции.

4) Биссектрисой угла называется прямая, которая делит угол пополам.

5) Правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит

правильный многоугольник.

14. Какие приемы (виды) определений понятий используются в математике.

Ответы проиллюстрируйте соответствующими понятиями из математики 5-6

классов, из учебников алгебры и геометрии 7-9 классов, из учебников

геометрии 10-11 классов, алгебры и начал анализа.

36

15. Проведите классификацию понятия «четырехугольник» по признаку

параллельности сторон.

16. Проведите классификацию понятия «многогранник» по любому

произвольно выбранному признаку.

17. На примере любого понятия из курса 5-9 классов показать конкретно-

индуктивный путь изучения понятий.

18. На примере любого понятия из курса 10-11 классов проиллюстрировать

абстрактно-дедуктивный путь изучения понятий и обосновать

целесообразность выбора этого понятия.

19. На примере двух теорем из курса геометрии обосновать возможности

выбора догматического или генетического подхода в изучении теорем.

20. На примере любой теоремы из курса геометрии и курса алгебры рассмотреть

различные приемы, используемые учителем по раскрытию содержания

теоремы.

21. Составить несколько задач, включающих элементы доказательства теоремы

Фалеса.

22. На примере изучения свойств квадратного корня и корня n–й степени

рассмотреть использование аналогии при изучении теорем.

23. На примере любой текстовой задачи из курса алгебры 8 класса показать

реализацию всех 4 этапов при обучении решению задач.

24. Для примера хххххх

х2

1:

1 составить вопросы по анализу условия

задачи.

25. Подобрать вопросы для поиска пути решения синтетическим и

аналитическим способами для задачи: «Из 250 лошадей было 30 вороных, а

0,7 остальных лошадей табуна было серых. Кроме вороных и серых были

лошади рыжей масти. Сколько было лошадей рыжей масти?»

26. На примере текстовых задач из математики 5-6 классов покажите различные

способы записи: а) условия задачи, б) решения задачи.

27. Какими путями осуществляется проверка решения задачи? Приведите

примеры.

37


Вопросы для коллоквиума

(по общей методике)

1. Предмет методики математики. Анализ школьной программы. Цели

изучения математики в школе.

2. Гуманизация и гуманиторизация школьного курса математики.

Воспитание на уроках математики.

3. Использование научных методов познания в обучении математике

(наблюдение, опыт, сравнение обобщение, абстрагирование, конкретизация).

4. Анализ в обучении математике.

5. Синтез в обучении математике.

6. Индукция и дедукция в обучении математике.

7. Использование сравнения и аналогии на различных этапах обучения


8. Математические понятия (содержание, объем, определение,

классификация).

9. Методика введения и усвоения понятий.

10.Требования к определению и классификации понятий. Ошибки,

допускаемые учащимися в определении и классификации понятий.

11. Суждения, их виды используемые в обучении математике (теоремы -

общие вопросы).

12.Методика изучения теорем и аксиом.

13.Роль задач в развитии мышления учащихся. Функции задач в обучении


14.Методические вопросы организации обучения решению задач.

15.Современные требования к уроку математики. Основные

классификации уроков математики.

16.Структура основных типов уроков. Нестандартные уроки.

17.Подготовка учителя к уроку. Календарно-тематическое планирование.

18.Контрольно-оценочная деятельность учителя.

19.Формы и методы организации самостоятельной работы на уроках и во

внеклассной работе.

20.Организация внеклассной работы по математике. Дополнительные

занятия.

21.Кружковая работа, факультативные занятия, спецкурсы по


22. Дидактические принципы, их роль в обучении математике.

23.Обучение эвристическим приемам поиска решения задач.

24.Современные образовательные технологии в обучении математики.

38


Примерные тексты контрольных работ по курсу общей методики

обучения математике

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

(выполняется на одном из лабораторных занятий)

В-1

1. Разработать методику формирования понятия и обосновать выбранный вами

путь его изучения (преподавателем указывается конкретное понятие).

2. Составить вопросы по поиску пути решения задачи (преподавателем

указывается конкретная задача).

В-2

1. Сформулировать правило в виде алгоритма и разработать методику его

изучения (правило указывается преподавателем).

2. Показать на примере некоторого понятия (указывается преподавателем)

реализацию этапа раскрытия его содержания и проварьировать его

существенные и несущественные признаки.

В-3

1. Разработать методику изучения теоремы, обосновать выбранный вами путь

(теорема указывается преподавателем).

2. Приведите примеры упражнений на освоение учащимися основных действий

по овладению понятием (конкретное понятие указывается преподавателем).

В-4

1. Показать методику работы над задачей. Рассмотрите два способа решения

(алгебраический и арифметический) (задача указывается преподавателем).

2. Показать реализацию этапа раскрытия содержания теоремы (указывается

преподавателем).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

(выполняется дома и сдаѐтся преподавателю в указанный им срок)

Разработать урок по заданной преподавателем теме и оформить его

конспект (тема даѐтся каждому индивидуально).

39


Задания для контрольной работы по курсу общей методики обучения

математике (заочное отделение)

В-0

1. Охарактеризуйте суть методов наблюдения, опыта, сравнения,

обобщения, абстрагирования и конкретизации. Покажите возможности

использования этих методов при изучении дробных чисел в 5 классе.

2. Покажите возможности использования генетического и

догматического подходов при изучении теорем в теме «Параллельность

прямых» в 7 классе по учебнику Л.С. Атанасяна.

3. Напишите развернутый конспект урока на тему "Числовые

промежутки".

В-1

1. Что такое аналогия? Является ли аналогия строгим методом

рассуждения (доказательства) в математике? Приведите примеры

использования аналогии в обучении: а) при определении понятий; б) при

доказательстве теорем; в) при изучении свойств фигур.

2. Какие виды упражнений входят в состав серии заданий на усвоение

понятий? Проварьируите существенные и несущественные признаки понятия

"Средняя линия треугольника".

3. Напишите развернутый конспект урока по теме: "Проценты"

(математика 5).

В-2

1. Охарактеризуйте два вида анализа. Какой из них используется при

решении задач на построение. Проиллюстрируйте на примерах решения задач

на построение из учебника «Геометрия 7 – 9».

2. Рассмотрите различные приемы раскрытия содержания теоремы.

Приведите примеры.

3. Напишите развернутый конспект урока по теме "Площадь

трапеции".

В-3

1. Проанализируйте понятийный аппарат темы «Четырехугольники»,

раскрыв понятие как форму мышления (содержание, объем, определения,

классификация понятий).

2. Каковы особенности построения систем упражнений на усвоение

правил и алгоритмов? Разработайте систему упражнений для овладения

алгоритмом сложения положительных и отрицательных чисел.

3. Напишите развернутый конспект урока на тему "Сложение дробей с

разными знаменателями" (Математика 6).

В-4

40

1. Что такое классификация и какова ее роль в обучении математике?

Проведите классификацию понятия неравенства по нескольким выбранным

Вами основаниям.

2. Охарактеризуйте методику работы над сюжетной задачей в курсе

математики 5 класса. Покажите различные способы оформления условия и

решения задачи.

3. Напишите развернутый конспект урока по теме "Симметрия

относительно прямой".

В-5

1. Индукция и дедукция. Покажите различия их использования в

младших и старших классах средней школы на примере изучения свойств

арифметических действий в 5 – 6 классах и свойств степени в 7 классе.

2. Опишите методику работы над понятием "Касательная к

окружности". Какой путь введения понятия вы выбрали? Почему?

3. Напишите развернутый конспект урока по теме: "Сложение и

вычитание десятичных дробей".

В-6

1. Роль задач в обучении математике. Различные типологии задач.

Приведите примеры. Методика работы над задачей. Показать реализацию этой

методики при обучении решению задач на составление дробно-рациональных

уравнений.

2. Рассмотреть понятийный аппарат темы «Положительные и

отрицательные числа» с точки зрения различных подходов к изучению

математических понятий и их определений.

3. Напишите развернутый конспект урока на тему «Деление

обыкновенных дробей».

В-7

1. Анализ и синтез. Какой из указанных методов рассуждений больше

развивает логическое мышление учащихся и является творческим? Составьте

серию вопросов по поиску пути решения текстовой задачи для 6-ого класса

совершенным анализом и синтезом.

2. Разработайте серию упражнений для усвоения признака равенства

треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Напишите развернутый конспект урока по теме "Углы, вписанные в

окружность".

В-8

1. Математические предложения. Теоремы, их виды. Необходимые и

достаточные условия. Охарактеризуйте их суть и приведите примеры из

школьных учебников.

41

2. Подготовка учителя к учебному году, теме. Составить календарно-

тематическое планирование на первое полугодие алгебры (Мордкович А.Г.) и

геометрии (Атанасян Л.С.) 8 класса.

3. Напишите развернутый конспект урока по теме «Сложение чисел с

разными знаками» (Виленкин Н.Я., 6класс).

В-9

1. Что такое содержание и объем понятия? Отношения между

объемами понятий. Изобразить с помощью кругов Эйлера соотношения между

объемами понятий: А - правильный многоугольник, В - треугольник, С -

четырехугольник, Д - прямоугольный треугольник, Е - квадрат, F-

равносторонний треугольник, Р - многоугольник.

2. Основные этапы работы над задачей в школьном курсе математики.

Показать их реализацию на конкретном примере из геометрии.

3. Напишите развернутый конспект урока по теме «Средняя линия

треугольника» (Атанасян Л.С.).

42


Примерные вопросы к экзамену по теории и методике обучения

математике (общая методика) 1. Содержание школьного курса математики. Анализ школьных программ.

Школьные учебники. 2. Анализ школьной программы. Цели обучения математике. 3. Синтез в обучении математике. 4. Использование научных методов познания в обучении математике

(наблюдение и опыт, сравнение, обобщение, абстрагирование, конкретизация).

5. Анализ в обучении математике. 6. Индукция и дедукция в обучении математике. 7. Использование сравнения, аналогии на различных этапах обучения

математике. 8. Математические понятия (содержание, объем, определения). 9. Обучение эвристическим приемам поиска решения задач. 10. Классификация понятий. Ошибки, допускаемые учащимися при

классификации понятий и определении понятий. 11. Методика введения и усвоения понятий. 12. Суждения. Виды суждений, используемых в обучении математике. Виды

доказательств. 13. Методика изучения теорем. 14. Роль задач в развитии мышления учащихся. Функции задач в обучении.

Обучение математике через задачи. 15. Методика обучению решению задач. Алгоритмы и алгоритмические

предписания в школьном курсе математики. 16. Современные требования к уроку математики. Основные классификации

уроков математики. 17. Охарактеризовать структуру уроков различных типов. Подготовка учителя к

уроку. 18. Организация внеклассной работы по математике. Дополнительные занятия. 19. Современные технологии обучения математике. Дифференцированное

обучение и учет индивидуальных особенностей. 20. Формы и методы организации самостоятельной работы на уроках

математики. Контрольно – оценочная деятельность учителя. 21. Охарактеризуйте возможные пути использования информационных и

коммуникационных технологий обучения математике в организации изучения нового материала. Приведите примеры.

22. Дидактические принципы построения аудио-, видео- и компьютерных учебных пособий по математике для 5-6, 7-9, 10-11 классов. Методика использования этих пособий в процессе обучения математике.

23. Методика создания банка аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов по математике. Методика использования этих заданий на уроках.

24. Информатизация образования. Краткая характеристика предметной области, основных понятий и определений.

25. Цели и задачи использования информационных и коммуникационных технологий обучения математике.

43


Развѐрнутый конспект урока

Тема: Рациональные уравнения как математическая модель реальных

ситуаций

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока

— Повторить понятия, связанные с рациональными уравнениями.

— Научить выделять три этапа математического моделирования при

решении текстовых задач.

— Показать практическую значимость материала.

— Развивать умение проводить анализ реальных ситуаций, делать

обобщения.

План урока 1. Актуализация знаний учащихся, необходимых для усвоения новой

темы в форме фронтального опроса (5-7 минут).

2. Изучение нового материала с элементами закрепления через решение

задачи на движение (15-18 минут).

3. Самостоятельная работа: решение задачи с последующим

обсуждением трѐх этапов математического моделирования (10-12 минут).

4. Подведение итогов урока, задание на дом (5-8 минут).

Ход урока I Опрос учащихся по предыдущей теме «Рациональные уравнения».

Задаются следующие вопросы.

1) Какие уравнения вы знаете?

2) Приведите примеры рациональных уравнений.

3) Дайте определение рационального уравнения.

4) К каким уравнениям можно свести рациональные уравнения?

5) Решите рациональное уравнение 0)5(

42 2

хх

хх. ( 042 2 хх , 0)5( хх ;

0)4(2 хх ; ,01х 42х ; первый корень обращает знаменатель в ноль, значит

является посторонним)

6) Как следует рассуждать при решении таких уравнений?

( 0)(,0)(,0)(

)(хQхР

хQ

хР)

7) Есть ли среди полученных корней посторонние и почему? Следует ли

их включать в ответ?

8) Сформулируйте алгоритм решения рациональных уравнений.

II Объяснение нового материала

При решении текстовых задач в 6-ом классе мы уже говорили о трѐх

этапах математического моделирования. Напомню. Представьте себе, что наш

44

класс – научно-исследовательский институт, первый ряд – лаборатория физики,

второй ряд – технические работники, третий ряд – лаборатория математики.

Физики в лаборатории изучили реальный процесс, нашли соотношения

между величинами и записали всѐ на листе бумаги – они составили

математическую модель процесса. Этот лист бумаги с математической моделью

они через технического сотрудника передают в лабораторию математики, где с

моделью работают специалисты, например, решают уравнение. При этом,

откуда взялась модель, как еѐ составили, что означают входящие в неѐ

переменные, математиков не интересует. Закончив работать с моделью, они

через технического сотрудника передают бумагу физикам.

Физики смотрят результат, думают, что он означает для реального

процесса, однако, как к этому пришли математики, их не интересует. Такая

схема действий даѐт некоторое образное представление о трѐх этапах

математического моделирования. Перечислим их: I этап – составление модели,

II этап – решение модели, III этап – осмысление модели, т.е. даѐтся ответ на

вопрос задачи.

Приступая к составлению модели, мы переводим текст задачи с

обыденного языка на математический. Рациональные уравнения могут служить

математическими моделями реальных ситуаций. Для рациональных уравнений

есть свой алгоритм решения, который и включает и проверку найденных

корней (отличие от нулей знаменателя, если уравнение дробно-рациональное).

На третьем этапе, где формулируется ответ на вопрос задачи, тоже нужно

сделать проверку, но уже смысловую. Важно не путать проверку найденных

корней самого уравнения (не являются ли они для него посторонними) и

проверку полученного решения с точки зрения его соответствия условию

исходной задачи.

Итак, первый этап – ключевой этап, здесь выполняется серьѐзная

творческая работа. Второй этап – это тоже серьѐзная работа, но не творческая, а

техническая поскольку, действуя по алгоритму, особенно думать не

приходиться. Третий этап – тоже очень важен. Здесь нужно проверить,

удовлетворяет ли найденное значение условию задачи или что-то нас не

устраивает. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пристани А и В расположены на реке, причѐм В – на 80 км

ниже по течению, чем А. Катер прошѐл путь из А в В и обратно за 8 часов 20

минут. Сколько времени плыл катер из А в В и из В в А, если известно, что его

собственная скорость равна 20 км/ч?

Заранее можно назвать фамилии трѐх учеников, которые будут выполнять

три этапа математического моделирования.

— Иванов составляет математическую модель данной реальной

ситуации.

Разобрав условие задачи, начинает еѐ решение.

Пусть х км/ч – скорость течения реки,

тогда (х + 20) км/ч – скорость катера по течению реки,

45

(20 – х) км/ч – скорость катера против течения реки.

Замечание: следует обратить внимание учащихся на то, что скорость

катера больше скорости течения реки, значит не (х – 20) км/ч, а (20 – х) км/ч.

20

80 ч – время движения катера по течению реки.

20

80 ч – время движения катера против течения реки.

Известно, что катер затратил на путь по течению и на путь против

течения реки 8 ч и 20мин, т.е 3

25

3

18 часа.

Замечание: сравнивать надо величины одного и того же наименования (в

нашей задаче – это часы).

По условию задачи составим уравнение 3

25

20

80

20

80.

Учитель: Мы закончили первый этап, т.е составили математическую

модель в виде рационального уравнения, переведя текст задачи на

математический язык. Текст нашей задачи взят из реальной ситуации.

Далее вызывается Петров, который решает рациональное уравнение по

алгоритму.

3

25

20

80

20

80,

3

25

20

1

20

180 , /:5

3

5

2020

202016,

020203

802

,

0805 2 , а 020203 ,

4

162

При х = 4, 020203 ,

При х = - 4, 020203 .

Оба полученные значения х = ± 4 являются корнями составленного

рационального уравнения.

Сидоров приступает к третьему этапу моделирования.

Полученное решение уравнения х = 4 удовлетворяет условию задачи

(скорость течения реки может быть равной 4 км/ч), а х = - 4 не удовлетворяет

условию, потому что скорость реки не может быть отрицательной.

Нас в задаче спрашивают, сколько времени плыл катер из А в В:

46

3

18

24

80

420

80(ч) = 3 часа 20мин.

а из В в А: 516

80

420

80(ч)

Ответ: 3 часа 20 минут и 5 часов.

III Самостоятельная работа

Предлагается учащимся задача для самостоятельного решения. Обсудив

условие задачи с учителем, учащиеся приступают к еѐ решению.

Задача № 146

В зрительном зале клуба 320 мест. После того, как число мест в каждом

ряду увеличили на 4 и добавили один ряд, в зале стало 420 мест. Сколько рядов

стало в зрительном зале клуба?

В тетради должны быть выполнены следующие записи.

х – число рядов в зале; 320

- количество мест в каждом ряду;

(х+1) – столько стало рядов в зале;

4320

- столько стало мест в каждом ряду.

Известно, что после того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и

добавили один ряд, то в зале стало 420 мест. Составим уравнение.

42014320

42014320

042014320

0320964 2

4х2 – 96х +320 =0, а х ≠ 0

х2 - 24х + 80 =0

х1 = 20

х2 = 4

Если х = 20, то х ≠ 0,

х = 4, то х ≠ 0

Оба найденные значения х являются корнями рационального уравнения.

Так как в зрительном зале может быть 20 рядов, то х = 20 удовлетворяет

условию задачи, что нельзя сказать о числе 4, в данном случае ситуация

маловероятна.

В зале стало: 20 + 1 = 21 (ряд)

Ответ: 21 ряд.

Вопросы к учащимся:

— Что явилось результатом первого этапа математического

моделирования?

— Какие корни получили вы, решая рациональное уравнение?

47

— Есть ли среди них посторонние?

— Проведите анализ: найденные корни удовлетворяют условию

задачи или нет?

IV Итоги урока

На уроке мы рассмотрели решение задач практического содержания, при

решении которых были составлены рациональные уравнения.

o В каком классе вы уже встречались с решением подобных

задач?

o К каким уравнениям сводились решения таких задач?

o Что общего в решении текстовых задач 6 и 7 классов?

Домашнее задание: §28, № 154, 181 (в конспекте должны быть приведены

решения всех заданий).

48

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Г. БЕЛИНСКОГО

ФИНОГЕЕВА Инна Сергеевна

ШАЛАЕВА Галина Николаевна

ХРАМОВА Наталья Николаевна

САДОВНИКОВ Николай Владимирович

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

(ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ:

ОБЩАЯ МЕТОДИКА)

Учебно-методическое пособие

Издано в авторской редакции

Компьютерный набор, корректура и верстка Храмовой Н.Н.

Сдано в набор 5.04.2007. Подписано в печать 25.03.2007

Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,5. Тираж 100. Заказ .

Издательство ПГПУ имени В.Г. Белинского:

4400026, г. Пенза, ул. Лермонтова, д. 37, корп. 5, ком. 466

Типография ПГПУ имени В.Г. Белинского

Documents

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ · 2018. 10. 30. · математике. Проблемное обучение. Использование компьютеров