Математическая логика(mk.cs.msu.ru → Лекционные курсы → Математическая логика (группы 318, 241))

Лекция 13

Исчисление предикатовгильбертовского типа

Натуральное исчисление высказываний

Натуральное исчисление предикатов

Натуральный вывод формул

Лектор:Подымов Владислав Васильевич

E-mail:valdus@yandex.ru

ВМК МГУ, 2019, весенний семестр1 / 32

ВступлениеВ предыдущей лекции подробно обсуждалось исчислениевысказываний Гильбертовского типа Hp:

A1 A → (B → A)A2 (A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))A3 A&B → AA4 A&B → BA5 A → (B → A&B)A6 A → A ∨ BA7 B → A ∨ BA8 (A → C ) → ((B → C ) → (A ∨ B → C ))A9 ¬A → (A → B)A10 (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)A11 A ∨ ¬A

A, A → B

B

Оказалось, что в Hp выводимы все общезначимые формулы итолько они: `Hp ϕ ⇔ |= ϕ

Продолжим обсуждение логических исчислений попыткойадаптировать Hp к намного более выразительному языку логикипредикатов

2 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типа

Зададим исчисление предикатов Hfo следующим образом

Формулами исчисления Hfo объявим формулы логики предикатов

Расширим понятие схемы формулы так:1. Помимо “обычных” параметров разрешим использовать

предметные параметры и термальные параметры в тех местахформулы, где могут располагаться соответственно предметныепеременные и термы

2. Для схемы формулы может разрешим задавать ограничение:формула ϕ порождается схемой Φ

qp̃k

yс ограничением C ⇔

существуют объекты o1, . . . , ok (формулы, переменные,термы), удовлетворяющие ограничению C и такие что ϕсовпадает с Φ Jp1/o1, . . . , pk/okK

3 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типаАксиомами Hfo объявим все формулы, порождаемые следующимисхемами над параметрами A, B , C , предметным параметром x итермальным параметром t:A1 A → (B → A)A2 (A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))A3 A&B → AA4 A&B → BA5 A → (B → A&B)A6 A → A ∨ BA7 B → A ∨ BA8 (A → C ) → ((B → C ) → (A ∨ B → C ))A9 ¬A → (A → B)A10 (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)A11 A ∨ ¬AA12 ∀x A → A {x/t}A13 A {x/t} → ∃x A

Ограничение для схем A12, A13:переменная x свободна в терме t для формулы A

4 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типа

Включим в Hfo два правила вывода:1. Правило отделения (modus ponens):

A, A → B

B2. Правило обобщения с параметром A и предметным

параметром x:A

∀x A

g(x, ϕ) — формула ∀x ϕ, получающаяся из формулы ϕприменением правила обобщения

Пример применения правила обобщения:из формулы ∃x P(x, y) по правилу обобщения выводятся формулы

∀y ∃x P(x, y) и ∀x ∃x P(x, y)

5 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типа

Пример вывода формулы ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)) в Hfo :

A13 : P(x, y) → ∃x P(x, y) (χ1)A1 : χ1 → (∀x P(x, y) → χ1) (χ2)

mp(χ1, χ2) : ∀x P(x, y) → (P(x, y) → ∃x P(x, y)) (χ3)A12 : ∀x P(x, y) → P(x, y) (χ4)A2 : (∀x P(x, y) → (P(x, y) → ∃x P(x, y))) →

((∀x P(x, y) → P(x, y)) →(∀x P(x, y) → ∃x P(x, y))

) (χ5)mp(χ3, χ5) : (∀x P(x, y) → P(x, y)) →

(∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)) (χ6)mp(χ4, χ6) : ∀x P(x, y) → ∃x P(x, y) (χ7)

g(y, χ7) : ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y))

6 / 32

Теорема Гёделя о полнотеДля любой формулы логики предикатов ϕ справедливаравносильность

`Hfoϕ ⇔ |= ϕ

Доказательство. Не приводится: некоторые свойствавыводимости переносятся из логики высказываний, а остальноепопробуйте сами

Следствие(корректность и полнота исчисления предикатовдля аксиоматических теорий)Для любой аксиоматической теории первого порядка T илюбой формулы логики предикатов ϕ справедливаравносильность

T `Hfoϕ ⇔ |=T ϕ

7 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типаДоказательство (следствия).

|=T ϕ ⇒ (определение общезначимости в теории)

T |= ϕ ⇒ (теорема компактности Мальцева)

существует конечное подмножество Γ = {ψ1, . . . , ψn} множества T ,такое что Γ |= ϕ ⇒ (теорема о логическом следствии)

|= ψ1 & . . .&ψn → ϕ ⇒ (теорема о равносильной замене)

|= ψ1 → (ψ2 → . . . (ψn → ϕ) . . . ) ⇒ (теорема Гёделя о полноте)

`Hfoψ1 → (ψ2 → . . . (ψn → ϕ) . . . )

⇒ (лемма о дедукции, справедливая и для Hfo)

ψ1, . . . , ψn `Hfoϕ ⇒ (лемма о монотонности выводимости)

T `Hfoϕ

Доказательство в обратную сторону аналогично H8 / 32

Исчисление предикатов гильбертовского типаОсновные недостатки исчислений предикатов гильбертовскоготипа, в том числе исчисления Hfo :

I устройство доказательств исчисления заметно отличается отустройства доказательств, используемых в математике вестественном понимании

I доказательства даже простых общезначимых формул бываеттрудно понять, а тем более придумать

Эти недостатки можно “смягчить”, еслиI включить в исчисление как можно меньше аксиом, и устроить

аксиомы так, чтобы они были самоочевидныI включить в качестве правил вывода все основные способы

рассуждений, встречающиеся в доказательствах

Исчисления, обладающие такими свойствами, обычно называютнатуральными исчислениями

9 / 32

Натуральное исчисление высказываний

Формулами исчисления Np объявим секвенции: записи видаΓ ` ϕ,

где Γ — множество формул логики высказываний и ϕ — формулалогики высказываний

Содержательное прочтение такой секвенции:формула ϕ доказанно следует (выводится)

из множества Γ

При этом знак “`” используется как составная часть формулыисчисления: в Np доказываются утверждения вида

“доказано, что ϕ следует из Γ”

10 / 32

Натуральное исчисление высказываний

Чтобы не путать формулы логики высказываний с формуламиисчисления, “формулами” будем называть только формулы логикивысказываний

Аксиомами исчисления Np объявим все секвенции, порождаемыеединственной схемой над параметром A, на место которогоподставляются формулы:

A: A ` A

Содержательное прочтение этой схемы:не требует доказательства то, что любая формула следует из себя

11 / 32

Правила вывода натурального исчисления высказываний

В описываемых далее правилах вывода используются параметрыI A, B : на их места подставляются формулыI Γ, ∆: на их места подставляются множества формул

Правило введения конъюнкции:

R+& :

Γ ` A, Γ ` B

Γ ` A&B

Правила удаления конъюнкции:

R−1& :Γ ` A&B

Γ ` A, R−2& :

Γ ` A&B

Γ ` BПравила введения дизъюнкции:

R+1∨ :

Γ ` A

Γ ` A ∨ B, R+2

∨ :Γ ` B

Γ ` A ∨ B

Правило удаления дизъюнкции (правило разбора случаев):

R−∨ :Γ ` A ∨ B , Γ,A ` C , Γ,B ` C

Γ ` C12 / 32

Правила вывода натурального исчисления высказываний

Правило введения импликации (правило дедукции):

R+→ :

Γ,A ` B

Γ ` A → B

Правило удаления импликации (правило отделения):

R−→ :Γ ` A, Γ ` A → B

Γ ` B

Правило введения отрицания (правило приведения к абсурду):

R+¬ :

Γ,A ` B , Γ,A ` ¬BΓ ` ¬A

Правило удаления отрицания (закон снятия двойного отрицания):

R−¬ :Γ ` ¬¬A

Γ ` A

Правило монотонности:

Rm :Γ ` ϕ

Γ ∪ ∆ ` ϕ13 / 32

Натуральное исчисление высказываний

Лемма(о почти тривиальном выводе). Для любогомножества формул Γ и любой формулы ϕ секвенцияΓ, ϕ ` ϕ выводима в Np

Доказательство.A : ϕ ` ϕ (s1)

Rm(s1) : Γ, ϕ ` ϕ H

Вывод, предложенный в доказательстве утверждения, в составедругих выводов для удобства будет записываться так:

A′: Γ, ϕ ` ϕ (Γ, ϕ ` ϕ)

14 / 32

Натуральное исчисление высказыванийЛемма(закон исключённого третьего)Для любой формулы ϕ секвенция ` ϕ∨¬ϕ выводима в Np

Доказательство.A′ : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ϕ (s1)

R+2∨ (s1) : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ϕ ∨ ¬ϕ (s2)

A′ : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) (s3)R+¬ (s2, s3) : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ` ¬ϕ (s4)

A′ : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ),¬ϕ ` ¬ϕ (s5). . .

R+¬ (s6, s7) : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ` ¬¬ϕ (s8)

R+¬ (s4, s8) : ` ¬¬(ϕ ∨ ¬ϕ) (s9)R−¬ (s9) : ` ϕ ∨ ¬ϕ H

Закон исключённого третьего настолько полезен, что частовключается в натуральные исчисления в виде схемы аксиом

A∨: ` A ∨ ¬A15 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о корректности натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если секвенция ` ϕ выводима в Np,то формула ϕ общезначимаДоказательство.

По теореме о корректности исчисления Hp, достаточно обосноватьсправедливость соотношения `Hp ϕ

Для этого достаточно показать, что для любой секвенции Γ ` ϕсправедливо соотношение Γ `Hp ϕ

1. Для любой аксиомы ψ ` ψ справедливо ψ `Hp ψ — по лемме отривиальном выводе в Hp

16 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о корректности натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если секвенция ` ϕ выводима в Np,то формула ϕ общезначимаДоказательство.

2. Для любого правила вывода R исчисления Np справедливоследующее: если для любой секвенции Γi ` ϕi в верхней частиправила верно Γi `Hp ϕi , то для секвенции Γ ` ϕ в нижней частиправила верно Γ `Hp ϕ

Подробно разберём этот пункт для двух правил: Rm и R+&

(в остальных случаях рассуждения аналогичны)

2m. По лемме о монотонности выводимости в Hp, если Γ `Hp ψ, тоΓ ∪ ∆ `Hp ψ для любого множества формул ∆

17 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о корректности натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если секвенция ` ϕ выводима в Np,то формула ϕ общезначимаДоказательство.

2&. Пусть справедливы соотношения Γ `Hp ψ и Γ `Hp χ

По лемме о выводимости связок в Hp, ψ, χ `Hp ψ&χ

По лемме о сечении в Hp, Γ `Hp ψ&χ

Завершение доказательства. Рассмотрим произвольный вывод вNp: S1, . . . , Sk

Индукцией по номеру i секвенции Si (вида Γi ` ψi) иприменением рассуждений пункта 1 к аксиомам, и пункта 2 — ксеквенциям, получающимся согласно правилам вывода,обосновывается справедливость всех соотношений Γi `Hp ψi H

18 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о полноте натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если формула ϕ общезначима,то секвенция ` ϕ выводима в Np

Доказательство.

По теореме о полноте исчисления Hp, достаточно обосноватьследующую импликацию:если `Hp ϕ, то секвенция ` ϕ выводима в Np

Для этого достаточно показать, что для любого множества формулΓ и любой формулы ϕ, таких что Γ `Hp ϕ, секвенция Γ ` ϕвыводима в Np

19 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о полноте натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если формула ϕ общезначима,то секвенция ` ϕ выводима в Np

Доказательство.

1. Для любой аксиомы ϕ исчисления Hp секвенция ` ϕ выводима вNp

Выводимость секвенций для аксиом, порождаемых схемой A ∨ ¬A,следует из леммы о законе исключённого третьего для Np

Выводимость секвенций для аксиом, порождаемых остальнымисхемами, обосновывается аналогично и не сложнее

В целях экономии времени докажем выводимость только секвенций` (ϕ→ χ) → ((ψ → χ) → (ϕ ∨ ψ → χ)), соответствующихаксиомам схемы A8 исчисления Hp

20 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о полноте натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если формула ϕ общезначима,то секвенция ` ϕ выводима в Np

Доказательство.1. ` (ϕ→ χ) → ((ψ → χ) → (ϕ ∨ ψ → χ))

A′ : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ, ϕ ` ϕ (s1)A′ : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ, ϕ ` ϕ→ χ (s2)

R−→(s1, s2) : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ, ϕ ` χ (s3). . .

R−→(s4, s5) : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ, ψ ` χ (s6)A′ : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ ` ϕ ∨ ψ (s7)

R−∨ (s3, s6, s7) : ϕ→ χ, ψ → χ, ϕ ∨ ψ ` χ (s8)R+→(s8) : ϕ→ χ, ψ → χ ` ϕ ∨ ψ → χ (s9)

R+→(s9) : ϕ→ χ ` (ψ → χ) → (ϕ ∨ ψ → χ) (s10)

R+→(s10) : ` (ϕ→ χ) → ((ψ → χ) → (ϕ ∨ ψ → χ))

21 / 32

Натуральное исчисление высказыванийТеорема(о полноте натурального исчислениявысказываний). Для любой формулы ϕ справедливоследующее: если формула ϕ общезначима,то секвенция ` ϕ выводима в Np

Доказательство.

2. Если Γ `Hp ϕ, Γ `Hp ϕ→ ψ и секвенции Γ ` ϕ, Γ ` ϕ→ ψвыводимы в Np, то секвенция Γ ` ψ, соответствующая применениюправила отделения в Hp, выводима в Np по правилу отделения в Np

Завершение доказательства. Рассмотрим произвольный вывод измножества формул Γ в Hp: ϕ1, . . . , ϕk

Индукцией по номеру i формулы ϕi и применениемрассуждений пункта 1 к аксиомам, и пункта 2 — к формулам,получающимся согласно правилу отделения, обосновываетсявыводимость всех секвенций Γ ` ϕi в Np H

22 / 32

Натуральное исчисление предикатовПреобразуем исчисление высказываний Np в исчислениепредикатов Nfo аналогично тому, как исчисление Hp былопреобразовано в Hfo

Для этогоI везде, где в Np записывались формулы логики высказываний,

будем записывать формулы логики предикатовI схемы аксиом и правила вывода оставим без изменений (но

теперь ими будут порождаться секвенции, содержащиеформулы логики предикатов

I добавим в исчисление правила введения и удалениякванторов

В новых правилах вывода, описанных далее, x и y — предметныепараметры, и t — термальный параметр

23 / 32

Правила работы с кванторамиПравило введения всеобщности (закон обобщения):

R+∀ :

Γ ` A

Γ ` ∀x AОграничение: x не является свободной переменной формул из Γ

Правило удаления всеобщности (закон перехода к частному):

R−∀ :Γ ` ∀x A

Γ ` A {x/t}Ограничение: переменная x свободна для терма t в формуле A

Правило введения существования:

R+∃ :

Γ ` A {x/t}Γ ` ∃x A

Ограничение: переменная x свободна для терма t в формуле A

Правило удаления существования:

R−∃ :Γ ` ∃x A, Γ,A {x/y} ` B

Γ ` BОграничение: y не содержится в формулах из Γ ∪ {A,B}

24 / 32

Натуральное исчисление предикатов

Пример: вывод секвенции ` ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)) в Nfo

может быть устроен так:

A : ∀x P(x, y) ` ∀x P(x, y) (s1)R−∀ (s1) : ∀x P(x, y) ` P(u, y) (s2)R+∃ (s2) : ∀x P(x, y) ` ∃x P(x, y) (s3)

R+→(s3) : ` ∀x P(x, y) → ∃x P(x, y) (s4)

R+∀ (s4) : ` ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y))

25 / 32

Натуральное исчисление предикатовТеорема(о корректности и полноте натуральногоисчисления предикатов). Для любой формулы ϕсеквенция ` ϕ выводима в исчислении Nfo тогда и толькотогда, когда формула ϕ общезначима

Доказательство. Аналогично доказательству теорем о корректностии полноте исчисления Np с заменой теорем о корректности иполноте исчисления Hp на теорему Гёделя о полноте

Следствие(корректность и полнота натуральногоисчисления предикатов для аксиоматических теорий).Для любой аксиоматической теории первого порядка T илюбой формулы логики предикатов ϕ секвенция T ` ϕвыводима в Nfo тогда и только тогда, когда T |= ϕ

Доказательство. Повторяет доказательство аналогичной теоремыдля исчисления Np

26 / 32

Натуральный вывод формулУстройство выводов в исчислениях Np и Nfo более похоже наустройство доказательств в обычном понимании по сравнению сисчислениями Hp и Hfo , но всё-таки заметно непохоже: в обычныхдоказательствах

I перед каждым высказыванием не выписываются всепосылки, из которых оно следует

I некоторые части доказательства сгруппированы в видеподдоказательств:

I “предположим, что утверждение P верно; тогда <вывод>, азначит, P неверно” (рассуждение от противного)

I “рассмотрим следующий случай: верно P ; тогда <вывод>, иверно Q; <подвыводы>; рассмотрены всевозможные случаи, азначит, верно Q” (разбор случаев)

I в начале поддоказательств выписываются посылки,считающиеся верными в поддоказательстве (P), и обычно этихпосылок конечное число

27 / 32

Натуральный вывод формулОпределим другую форму записи выводов в исчислении Nfo , болеепохожую на форму записи обычных доказательств

Начнём с того, что ограничим возможности построения выводасогласно следующим замечаниям

Замечание 1. В выводе секвенции ` ϕ достаточно использоватьтолько конечные множества формул слева от `: включать вмножество только те формулы, которые используются в правилахвывода

Замечание 2. Согласно теореме компактности Мальцева итеоремам о корректности и полноте исчисления Nfo для теорий,секвенция T ` ϕ, где T — аксиоматическая теория, доказуема втом и только том случае, если доказуема хотя бы одна секвенцияΓ ` ϕ, где Γ — конечное подмножество множества T

28 / 32

Натуральный вывод формул

Замечание 3. При применении правила монотонности достаточнодобавлять только те формулы, которые “удалятся” при применениикакого-либо из правил (или входят в аксиоматическую теорию)

Замечание 4. Вывод можно перестроить так, чтобы добавленияформул в левые части секвенций (открывающие скобки разныхтипов) и удаления формул из этих частей (закрывающие скобки,парные добавлениям) были сбалансированы по скобкам

29 / 32

Натуральный вывод формул

Следуя этим замечаниям, можно переписать вывод в следующемвиде σ (в виде натурального вывода формулы):

σ ::= σ, . . . , σ | ϕ | ([ϕ], σ, . . . , σ),где ϕ — формула и справедливо следующее:

I каждая формула вне квадратных скобок — это формула,располагающаяся в правой части соответствующей секвенции,и секвенции имеют тот же порядок, что и соответствующиеформулы

I формула в квадратных скобках входит в левые части всехсеквенций внутри скобок

I формулы вне квадратных скобок устроены так, чтобыпоследовательность соответствующих секвенций была выводом

30 / 32

Примеры натуральных выводов формул

Натуральный вывод закона исключённого третьего ϕ ∨ ¬ϕ исоответствующей секвенции ` ϕ ∨ ¬ϕ (каждая пара скобок ввыводе формулы изображена вертикальной чертой слева):

[¬(ϕ ∨ ¬ϕ)][ϕ]

1/A′ : ϕ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ϕ2/R+2

∨ (1) : ϕ ∨ ¬ψ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ϕ ∨ ¬ϕ3/A′ : ¬(ϕ ∨ ¬ψ) ¬(ϕ ∨ ¬ϕ), ϕ ` ¬(ϕ ∨ ¬ϕ)4/R+

¬ (2, 3) : ¬ϕ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ` ¬ϕ[¬ϕ]

5/A′ : ¬ϕ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ),¬ϕ ` ¬ϕ6/R+1

∨ (5) : ϕ ∨ ¬ϕ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ),¬ϕ ` ϕ ∨ ¬ϕ7/A′ : ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ¬(ϕ ∨ ¬ϕ),¬ϕ ` ¬(ϕ ∨ ¬ϕ)8/R+

¬ (6, 7) : ¬¬ϕ ¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ` ¬¬ϕ9/R+

¬ (4, 8) : ¬¬(ϕ ∨ ¬ϕ) ` ¬¬(ϕ ∨ ¬ϕ)10/R−¬ (9) : ϕ ∨ ¬ϕ ` ϕ ∨ ¬ϕ

31 / 32

Примеры натуральных выводов формул

Натуральный вывод формулы ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)) исоответствующей секвенции ` ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)):

[∀x P(x, y)]1/A′ : ∀x P(x, y) ∀x P(x, y) ` ∀x P(x, y)2/R−∀ (1) : P(u, y) ∀x P(x, y) ` P(u, y)3/R+

∃ (2) : ∃x P(x, y) ∀x P(x, y) ` ∃x P(x, y)4/R+

→(3) : ∀x P(x, y) → ∃x P(x, y) ` ∀x P(x, y) →∃x P(x, y)

5/R+∀ (4) : ∀y (∀x P(x, y) → ∃x P(x, y)) ` ∀y (∀x P(x, y) →

∃x P(x, y))

32 / 32