ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1) Να συμπληρώσετε τα κενά, ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α) (____ + ____)² 2 8 16

β) (____ − ____)² 2 25 10

γ) (____ + ____)² = 4𝜒² + ____+9𝜓²

δ) (____ + ____)³ = 𝜒3 + ______ + ______ + 8𝜓³

ε) (____ − 2𝛽)³=27𝛼3 − _____ − _____ + _____

στ) (_____ − _____)(_____ + _____) 2 2

ζ) (_____ − _____)(_____ + _____) 4 4

η) (2𝜒 − 4𝜓)(_____ + _____) =_____−_____

2) Να βρείτε τα αναπτύγματα:

α) 4 4

β) 2

8

γ) 2

4 7

δ) 2

3 6

ε) 3 3

στ)

21

2

η)

2

14

3) Να εφαρμόσετε τις ταυτότητες, για να κάνετε τις πράξεις:

α) 252 β) 2105 γ) 21 19

δ) 198 202 ε) 2 2100 90 στ) 2 2324 224

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠ. ΠΑΥΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2019-20

4) Να κάνετε τις πράξεις:

α) 2 22 2 1 5

β) 2

5 2 2 30

γ) 2

3 2 2 4 1

δ) 3 2

2 1 2

ε) 2 2

2 1 1 3

5) Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες:

α) 2 2

4 8

β) 2 2 22 4 5

γ) 2 2

3 2 2

6) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής

παράστασης για 1 . 3 2

2 1 3 2 5 5

7) Αν 5 και 2 , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των αλγεβρικών

παραστάσεων: α) 2 2 β) 2

4

8) Αν 2

1Q και 2 3 3 2P . Να βρείτε:

α) 5Q P β) 2

γ) Q P δ) 1

9) Αν 1

3

, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης

2

2

1

.

10) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 90 με 7 , 4 και 1 .

Να βρείτε την τιμή του .

ENOTHTA 2: ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ-ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τις πιο κάτω αλγεβρικές παραστάσεις:

α) 3αβ − 3αγ =

β) χ2 − 36 =

γ) χ2 + 6χ + 8 =

δ) 9χ2 + 24χψ + 16ψ2 =

ε) ψ3 + 8 =

2. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα

α) 4χ – χψ =

β) χ2 – 49ψ2 =

γ) χ2 – 5χ – 14 =

3. Να κάνετε τις πράξεις:

χ2 − χ − 6

χ2 − 6χ + 9÷

2χ2 − 8

χ − 3

4. Να κάνετε τις πράξεις:

α) 1

x − 2+

3

x2 − 4= β)

x2 + y2

xy − 2

1x2 − 1

y2

=

5. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε την πιο κάτω αλγεβρική παράσταση στην πιο απλή της μορφή:

2

2

3 2 x 64:

x 2 x 4 x 6x 8

6. α) Να αποδείξετε την πιο κάτω ισότητα:

23 2

2

3x 6 x 4x 4x 2 6 x 1 x x 1 x 1 , όπου x 2

x 4 3

β) Να λύσετε την εξίσωση: 2

7x x 2 3

x x 12 4 x x 3

7. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) (𝑥 − 2)(𝑥 + 7) = 0

β) 𝑥2 = 25

γ) 𝑥2 − 5𝑥 = −6

δ) 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0

8. α) Να λύσετε την εξίσωση:

3𝜒2

𝑥+5+

2𝑥

3−𝑥=

2𝜒3−3𝜒2−22𝜒

𝑥2+2𝑥−15

β) Nα δείξετε ότι για το πολυώνυμο: 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 8 ισχύει η σχέση:

𝑃(7 − 𝑥) = 𝑃(𝑥).

9. Να κάνετε τις πράξεις:

α) 3𝜒𝜓+2𝜒−15𝜓−10

𝜒2+𝜒−30∙

𝜒2−36

9𝜓2−4=

β) 𝜒2−7𝜒+12

𝜒3−6𝜒2+9𝜒÷ (

2

𝜒−

3

3−𝜒) =

10. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 3χ+6

χ2−6χ+9∙

χ2−9

χ2−4= (β)

α4−α2

α−1÷ (α3 + 𝛼2) =

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1) Από τα στοιχεία που δίνονται, να εξετάσετε αν είναι ίσα τα πιο κάτω ζεύγη τριγώνων. Σε κάθε

περίπτωση να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

α)

.............................................................

β)

.............................................................

γ)

.............................................................

δ)

..............................................................

ε)

..............................................................

στ)

...........................................................

Α

Γ Β

Ε

Β Δ

50

60 70

70

Α Δ

Ε

Γ

Β Β Γ

Α

Λ Μ

Κ

Α

Β

Γ

Δ

Α

Β ΓΔ

Β

Δ

Α

Γ

2) Στο πιο κάτω σχήμα, ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ και ΑΒ=ΑΓ. Να δείξετε ότι

ΒΔ=ΓΔ.

3) Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την διάμεσο ΒΔ και στην προέκταση της παίρνουμε ΔΕ=ΒΔ. Να

δείξετε ότι οι γωνίες ΑΓΕ, ΒΑΓ είναι ίσες.

4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ προς το μέρος του Α κατά

τμήματα ΑΔ και ΑΕ ίσα με τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ=//ΒΓ.

5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Από τυχαίο σημείο Μ της

διχοτόμου ΑΔ φέρουμε ΜΕ⊥ΑΒ και ΜΖ⊥ΑΓ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΜΕ=ΜΖ

β) το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. Προεκτείνουμε την ΑΔ κατά τμήμα

ΔΖ=ΑΔ. Αν το Δ είναι το μέσο της ΒΗ και η ευθεία ΖΗ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Μ,

να δείξετε ότι:

α) tα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΖΗ είναι ίσα,

β) tο τρίγωνο ΑΜΖ είναι ισοσκελές.

7) Στο πιο κάτω σχήμα ισχύει ότι: ΑΓ//ΕΔ, ΒΕ=ΖΓ και ΑΓ=ΔΕ.

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ είναι ίσα.

8) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ μέσο της ΒΓ. Να προεκτείνετε τις πλευρές

ΑΒ προς το μέρος του Β και ΑΓ προς το μέρος του Γ κατά τμήματα 2

και

2

αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι ΔΜ = ΜΕ

β) Από τo σημείο Μ να φέρετε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΜΖ και ΜΗ στις πλευρές ΑΒ και

ΑΓ, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΜΖ=ΜΗ.

9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) . Να προεκτείνετε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ προς

το μέρος της κορυφής Α και να πάρετε αντίστοιχα σημεία Δ και Ε, ώστε ΑΔ = ΑΕ. Αν Μ το

μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές.

10) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΚΛΜ (ΚΛ=ΛΜ). Αν Ν είναι το μέσο της ΚΜ, να φέρετε ΝΕ⊥ΚΛ

και ΝΖ⊥ΜΛ. Στη συνέχεια να προεκτείνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΝΕ και ΝΖ κατά

τμήματα ΕΗ=ΝΕ και ΖΘ=ΝΖ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

α) ΝΕ=ΝΖ και

β) το τρίγωνο ΗΛΘ είναι ισοσκελές.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

1) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ̂ =90ο ). Αν ΑΒ=3cm και ΒΓ=5cm, να υπολογίσετε

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς:

α) ημΓ=

β) συνΓ =

2) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ, αν γνωρίζετε ότι ΒΓ=8

cm και ΔΓ=15 cm.

3) Στο πιο κάτω τρίγωνο δίνονται οˆ 90 και 𝜂𝜇𝛣 =

5

13 . Να υπολογίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς συνΒ, εφΒ και ημΓ.

4) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (οˆ 90 ), να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας 𝛣, αν 𝜀𝜑𝛣 =2

5 .

Α Β

Γ

Α Β

Γ

5) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (B̂=900) ,να βρείτε τα μήκη των πλευρών χ και ψ.

ημ330 =0,545 συν330 =0,839 εφ330 =0,649

ημ570 =0,839 συν570 =0,545 εφ570 =1,540

6) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , Α̂=90° , Β̂ =35° και ΑΒ=10 cm. Να υπολογίσετε τις τιμές

των χ και ψ.

Δίνονται ημ 35°=0,574 συν35°=0,819 και εφ35°=0,700 .

7) Στο πιο κάτω σχήμα, ο εργάτης για να επισκευάσει το σπίτι χρησιμοποιεί σκάλα

μήκους 4m. Αν η γωνία που σχηματίζει η σκάλα με το έδαφος είναι 50 , να

υπολογίσετε το ύψος του τοίχου. Δίνονται:

𝜂𝜇50° ≅ 0,766

𝜎𝜐𝜈50° ≅ 0,643

𝜀𝜑50° ≅ 1,19

8) Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ˆ oΑ =90 και ημΒ =3

5 .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 16εφΒ−5ημΓ

15συνΓ

9) Ένας ποδηλάτης διένυσε τον ανηφορικό δρόμο ΒΓ. Αν Α̂ = 90°, Β̂ = 25° και

BΓ = 100 m, να υπολογίσετε τα μήκη των ΑΒ και ΑΓ.

(ημ25° ≅ 0,42 , συν25° ≅ 0,91 και εφ25° ≅ 0,47)

10) Να υπολογίσετε την απόσταση του πλοίου από τον πύργο, αν είναι γνωστό ότι

𝜂𝜇25𝜊≅0,42 𝜎𝜐𝜈25𝜊≅0,91 και 𝜀𝜑25𝜊≅0,47.

ENOTHTA 5: ΕΥΘΕΊΑ-ΓΡΑΜΜΙΚΆ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ

1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες ε1 και ε2 στις πιο κάτω περιπτώσεις τέμνονται, ταυτίζονται ή είναι παράλληλες,

δικαιολογώντας την απάντηση σας.

α) 1

2

ε : 3x 6

ε : 12 3x

β) 1

2

ε : x 5

ε :3 6x 9

2. Να εξετάσετε κατά πόσο οι ευθείες 1 : 2 4y x και 2 : 6 3 1x y είναι παράλληλες ή

κάθετες και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

3. Δίνονται οι ευθείες 2

1ε : y = 3κ 4κ - 8 x+6 και 2ε : y x = 7 . Να υπολογίσετε τις τιμές της παραμέτρου κ

ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες.

4. Δίνεται η ευθεία ε1: y = κx + μ η οποία είναι κάθετη με την ευθεία ε2: y – 2x =1. Αν η ευθεία ε1

περνά από το σημείο Α(4,3), να βρείτε τις τιμές των κ και μ.

5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 𝜀2 που περνά από το σημείο Α( −2 , 3) και είναι παράλληλη με

την ευθεία 𝜀1: 𝜓 = −2𝜒 + 5

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(3,5), Β(2,1) και Γ(6,3).

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου M της ΒΓ.

β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ.

γ) Να βρείτε την κλίση της πλευράς ΑΒ.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ.

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με συντεταγμένες κορυφών Α(−1 , 3) , Β(1 , 7) και Γ(3 , 1)

α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΜ.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με την ΑΒ και

περνά από το σημείο Γ.

8. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

α) Να δείξετε ότι ΑΒ⊥ΒΓ.

β) Να δείξετε ότι (ΑΒ) = (ΒΓ).

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της ΑΓ και

ακολούθως να τοποθετήσετε το Μ στο σχήμα.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε1 η οποία περνά από το Μ

και είναι παράλληλη με την ΑΒ.

9. Να λύσετε το πιο κάτω σύστημα.

1153

735

10. Να λύσετε το σύστημα :

2 5 3 15

2 8 4

3 7 9 7

4 6 6

x y x y

x y x y

11. Στο πλαίσιο της ημέρας <<Καινοτομία και Επιχειρηματικότητα>> οι μαθητές του Β2 έφτιαξαν και

πωλούσαν φανέλες. Οι φανέλες είχαν διαφορετικές τιμές ανάλογα με το χρώμα του τυπώματος, αν

ήταν δηλαδή μαύρο ή χρυσό. Το τμήμα Α6 παράγγειλε 12 φανέλες με μαύρο τύπωμα και 5 με

χρυσό τύπωμα και πλήρωσε €129. Το τμήμα Α7 παράγγειλε 8 φανέλες με μαύρο τύπωμα και 7 με

χρυσό τύπωμα και πλήρωσε €119. Να βρείτε πόσα στοιχίζει μια φανέλα με μαύρο τύπωμα και

πόσα μια φανέλα με χρυσό τύπωμα.

(Να λύσετε το πρόβλημα με τη βοήθεια συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.)

12. Σ’ ένα διαγώνισμα με 20 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, για κάθε σωστή απάντηση ο μαθητής

παίρνει 5 βαθμούς, ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση χάνει 2 βαθμούς. Αν ο μαθητής πήρε

συνολικά 65 βαθμούς, να βρείτε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά και πόσες λάθος. (Να λυθεί με

σύστημα)

Οι μαθητές αν έχουν ερωτήσεις ή απορίες μπορούν να επικοινωνήσουν με τις καθηγήτριες τους

μέσω email.

Ιωάννου Πόλα: polakouroushi@gmail.com

Νικολαΐδου Χριστίνα: nikolaidouch@hotmail.com

Μιχαήλ Χάρις: xarismichael@yahoo.gr

Σάββα Μαρία: maria.k.savva@hotmail.com

Μόρφω Ιακώβου: morfoiac@cytanet.com