제 3장 조화 가진 운동

3-1. 서론

3-2. 운동 방정식

일반해

제차해 는 자유진동 운동방정식 의 해이고

특별해 는 정상상태 진동을 나타낸다.

3-3. 조화력을 받는 비감쇠계의 진동

(1)

1) 제차해

(

)

2) 특별해

로 가정하면

이므로

3) 일반해

초기조건 을 대입하면

⇒

(정적 처짐)

: 확대율 (magnification factor) 또는 증폭율 (amplitude ratio)

경우 1)

와 는 동 위상

경우 2)

와 는 위상차를 갖는다.

t

xp(t)

2π/ω

δst/[1-(ω/ωn)2]A

2π/ωn

x(t)

t

( ω/ωn<1 )

t

x(t) 2π/ωn

A

δst/[(ω/ωn)2 -1]

2π/ω

( ω/ωn>1 )

경우 3)

→ ∞ ⇐ 공진(resonance) 현상.

4. 전체 응답

for

for

5. 맥놀이(beating) 현상

간단한 수식전개를 위해 으로 가정하면,

⋅

( : 작은 양수)이라면 ≃ 과

이 성립하므로

진폭 :

주기 :

맥놀이 주기 τb=

2π

2ε=

2πωn-ω

3.4 조화력을 받는 감쇠계의 응답

가진함수가 로 주어지면 운동방정식은

(2)

또는 를 가정하여 식 (2)를 풀면

과

및

을 도입하여 정리하면

(

)

한편

이므로 위상각은

X/δst

r=ω/ωn

1.0

1.0

ζ=0.1

ζ=0.3

ζ=1

ζ=2.0

a) ζ=0 ⇒ φ=0 (위상차 없다.)

b) 감쇠는 진폭비를 감소시킨다.

c) 진폭비의 감쇠는 공진 또는 부근에서 현저하게 나타남.

d) 최대 진폭비는

에서 발생

e) ,

f) 이면, 극대점 없고, 이면, 에서 불연속.

ζ=5.0ζ=1.0

ζ=0.05ζ=0.0

r=ω/ωn1.0

φ

180o

90o

g) 위상각은 의 함수이며, 에는 무관.

h) ≪ 이면 동일 위상이고, ≫ 이면 위상차.

공진에서의 위상각은 .

i) 에서는 감쇠가 증가하면 위상각 증가.

에서는 감쇠가 증가하면 위상각 감소.

1. 전체 응답

(

)

2 양호도와 대역폭

감쇠가 작은경우 ( ) ,

≃

: -factor 또는 양호도(quaility factor)

ω/ωn

1.0R1 R2

bandwidth

Q= 1/(2 ζ )

X/δst

Q/(2)0.5

증폭률이

로 떨어지는 점을 을 반동력점(half power points) 이라고

하는데 이는 조화운동을 하는 감쇠기의 동력은 이기 때문이다. 반동력

점에 해당하는 진동수 과 를 구하기위하여

를 풀면

±

ζ 가 작으면,

≃

≃

≃

그런데,

를 사용하면 대역폭

≃

≃≃

양호도 는 등가 점성감쇠를 추산하는데 사용된다.

3-5. 복소 주파수 응답

조화 가진함수를 로 나타내면 특별해는

로 가정하여 운동방정식

(2)를 푼다. 중요한 점은 와 가 복소수이다.

- 정상상태 해

- 복소 주파수응답

k c

m m

x x

y(t)=Y sin ωt

3.6 기초의 조화운동으로 인한 감쇠계의 응답

운동 방정식을 유도하면

(3)

이므로 식 (3)은

(4)

식 (4)의 특별해

- 변위 전달율 (Transmissibility)

1. 전달력 (Transmitted Force)

: 힘전달율

2. 상대 운동

기초 가진에 대한 질량의 상대운동 을 도입하면 운동방정식 (3)은

(5)

식 (5)의 특별해는

ωte

M

m

kc

3.7 회전 불평형으로 인한 감쇠계의 응답

편심되어 회전하는 질량의 수직성분만 고려한다면 운동방정식은

특별해는

,

, ,

,

3-8. 쿨롱 감쇠를 갖는 강제진동

운동 방정식

±

을 등가 점성감쇠계수 를 도입하여

를 풀면된다 등가 점성감쇠계수는 1 사이클동안 건마찰 감쇠에 의한 소산에너지를

이용하여 계산한다.

그러므로,

3-9. 이력 감쇠를 갖는 강제진동

운동방정식

대신에

를 푼다 이때,

3-10. 자려와 안정성 해석

- 자려 진동계

가진력이 계의 운동의 함수인 계로 운동 자체로 가진력이 발생

회전축 문제, 터빈블레이드의 진동

- 안정성 판별

의 해를 로 가정하여 구하면

±

에서 실수부가 음값이면 안정