minimath.eu

Μαθηματικά B Λυκείου - Κατεύθυνση

Περιεχόμενα

Διανύσματα ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3

Διάνυσμα θέσης ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3

Ιδιότητες διανυσμάτων................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3

Συντεταγμένες διανύσματος & συντελεστής διεύθυνσης .......................................................................................................................................................................................................................................................................... 3

Εσωτερικό γινόμενο ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

Συνθήκες παραλληλίας ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4

Συνθήκες καθετότητας ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

Ευθεία .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5

Κάθετο και παράλληλο διάνυσμα σε ευθεία ............................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Απόσταση σημείου από ευθεία .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Εμβαδό τριγώνου ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Κύκλος ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 6

Εφαπτομένη κύκλου ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Εξισώσεις κύκλου ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Παραβολή ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Εξισώσεις παραβολής ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Ορισμός παραβολής .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Εφαπτομένη παραβολής............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Ανακλαστική ιδιότητα ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Έλλειψη ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8

Εξισώσεις έλλειψης ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Ορισμός έλλειψης .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Εφαπτομένες έλλειψης ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Εκκεντρότητα έλλειψης ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Υπερβολή ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9

Εξισώσεις υπερβολής .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9

Ορισμός υπερβολής ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9

Ασύμπτωτες και εφαπτομένες υπερβολής .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 9

Εκκεντρότητα υπερβολής .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 9

Θεωρία αριθμών .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 10

Αληθείς σχέσεις μεταξύ φυσικών ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10

σελ. 2 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Μαθηματική επαγωγή.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 10

σελ. 3 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Διανύσματα

Ιδιότητες διανυσμάτων

1 1 2 2

,

0 0

0 0 ή 0

0

0

, ,

a b b a

a a a a

a b c a b c

a b a b a b

a a

a b a b

a a a

a a

a a

a a

a b a b

a a a

x y x y x

1 2 1 2

2 2

2 2

2 1 2 1

,

, ,

,

,

x y y

x y x y

x y x y

d x x y y

Διάνυσμα θέσης

Έστω ένα οποιοδήποτε σημείο σε άξονες συντεταγμένων. Ορίζουμε ως διάνυσμα θέσης του σημείου το διάνυσμα με αρχή την αρχή των

αξόνων και τέλος το σημείο .

Είναι προφανές ότι για οποιαδήποτε δύο σημεία ισχύει .

Επιπλέον, αν είναι το μέσο του τότε ισχύει (βλ. και διανύσματα Β γυμνασίου)

22

.

Συντεταγμένες διανύσματος & συντελεστής διεύθυνσης

Έστω ένα σημείο σε άξονες και το διάνυσμα θέσης a . Μπορούμε να αναλύσουμε

το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες και να το ταυτίσουμε με τις συντεταγμένες του τέλους

του:

1,0 0,1 ,0 0, ,a x i y j x y x y x y

Λέμε ότι το a είναι γραμμικός συνδυασμός των ,i j . Μάλιστα, αποδεικνύεται ότι κάθε

διάνυσμα στο επίπεδο γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των ,i j .

Ορίζουμε ως συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος τον αριθμό

εφy

x

όπου [0,2 ) η γωνία (κατά τη θετική φορά) που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x .

Σύμφωνα με τα παραπάνω και με βάση τις ιδιότητες των διανυσμάτων, αν

1 1 2 2, , Β ,x y x y είναι δύο σημεία στο επίπεδο τότε το διάνυσμα έχει

συντεταγμένες

2 2 1 1 2 1 2 1, , ,x y x y x x y y

σελ. 4 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Συνθήκες παραλληλίας

1 1

1 2 1 2

2 2

/ / ( , ) 0a b

x ya b a b Det a b x y y x

x y

Εσωτερικό γινόμενο

Έστω δύο διανύσματα 1 1 2 2, , ,a x y b x y τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 0, .

Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων τον αριθμό

1 2 1 2a b a b x x y y

Για το εσωτερικό γινόμενο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

2

0

0

a a a

a b b a

a b a b a b

a b c a b a c

a b a b

a b a b

Συνθήκες καθετότητας

1 0a b

a b a b

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα

OPa b b

σελ. 5 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Ευθεία

Κάθετο και παράλληλο διάνυσμα σε ευθεία

Έστω μια ευθεία με γενική μορφή 0Ax By C . Τότε το διάνυσμα

,B A

είναι παράλληλο στην ευθεία και το διάνυσμα

,n A B

είναι κάθετο στην ευθεία.

Αν η ευθεία έχει γενική μορφή y ax b τότε τα αντιστοιχα διανύσματα είναι

1 1,1 , 1,n

a a

Απόσταση σημείου από ευθεία

Έστω μια ευθεία με γενική μορφή 0Ax By C και ένα τυχαίο

σημείο στο επίπεδο 0 0,P x y .

Η απόσταση μεταξύ της ευθείας και του σημείου δίνεται από

τον παρακάτω τύπο:

0 0

2 2,

Ax By Cd P

A B

Εμβαδό τριγώνου

Έστω ένα τρίγωνο στους άξονες με κορυφές

1 1 2 2 3 3, , ,x y x y x y

Τότε το εμβαδό του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από τον τύπο

2 1 2 1

3 1 3 1

,x x y y

Detx x y y

Τονίζουμε ότι έχουμε γράψει τον τύπο με βάση το σημείο . Αν διαλέξουμε άλλο σημείο ο τύπος θα

πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα.

σελ. 6 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Κύκλος

Εξισώσεις κύκλου

Αν ένας κύκλος έχει κέντρο 0 0,K x y και ακτίνα τότε η εξίσωσή του είναι

2 2 2

0 0x x y y

Μπορούμε να γράψουμε την παραμετρική εξίσωση του κύκλου ως εξής:

0 0

0 0

[0,2 )

x x x x

y y y y

Επιπλέον, κάθε εξίσωση της μορφής

2 2

2 2

0

με 4 0

x y Ax By C

A B C

παριστάνει κύκλο, αλλά και αντίστροφα, κάθε κύκλος μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της

παραπάνω μορφής.

Εφαπτομένη κύκλου

Έστω κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων, ακτίνα και 1 1,P x y οποιοδήποτε σημείο του. Τότε η

εφαπτομένη ευθεία στο σημείο P έχει εξίσωση

2

1 1xx yy

σελ. 7 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Παραβολή

Ορισμός παραβολής

Έστω μια ευθεία στο επίπεδο και ένα σημείο που

δεν ανήκει στη .

Ορίζουμε την παραβολή ως τον γεωμετρικό τόπο

των σημείων που ισαπέχουν από την ευθεία και την

εστία:

Εξισώσεις παραβολής

Εφαπτομένη παραβολής

1 0 0

2 0 0

:

:

yy a x x

xx a y y

Ανακλαστική ιδιότητα

σελ. 8 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Έλλειψη

Ορισμός έλλειψης

Έστω δύο σταθερά σημεία 1 2,E E που βρίσκονται επί του άξονα x (ή επί του y ). Ορίζουμε την

έλειψη ως το γεωμετρικό τόπο όλων των σημείων που το άθροισμα των αποστάσεων τους από τα

1 2,E E είναι σταθερό και ίσο με 2a :

Στο σχήμα μας το P είναι σημείο της έλλειψης, 1 2,0 , ,0E c E c και ισχύει

1 2P P 2E E a

Εξισώσεις έλλειψης

Οι παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης είναι οι εξής: [0,2 )x a y b

Εκκεντρότητα έλλειψης

Ορίζουμε την εκκεντρότητα της έλλειψης ως

2

21

0 1

c b

a a

Δύο ελλείψεις που έχουν την ίδια

εκκεντρότητα λέγονται όμοιες.

Εφαπτομένες έλλειψης

Η εφαπτομένη μιας έλλειψης σε σημείο της 0 0P ,x y φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Οι αντίστοιχες εξισώσεις των εφαπτομένων είναι:

0 01 2 2

0 02 2 2

: 1

: 1

xx yy

a b

xx yy

b a

σελ. 9 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Υπερβολή

Ορισμός υπερβολής

Έστω δύο σταθερά σημεία 1 2,E E που βρίσκονται επί του άξονα x (ή επί του y ). Ορίζουμε την υπερβολή ως το

γεωμετρικό τόπο όλων των σημείων των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων τους από τα 1 2,E E

είναι σταθερή και ίση με 2a :

Αν P είναι σημείο της υπερβολής τότε 1 2,0 , ,0E c E c (εστίες υπερβολής) και ισχύει 1 2P - P 2E E a .

Εξισώσεις υπερβολής

Μια υπερβολή με a b ονομάζεται ισοσκελής.

Εκκεντρότητα υπερβολής

Ορίζουμε την εκκεντρότητα της υπερβολής ως:

2 2

1

c a b

a a

Ασύμπτωτες και εφαπτομένες υπερβολής

σελ. 10 B λυκείου κατεύθυνση minimath.eu

Θεωρία αριθμών

Μαθηματική επαγωγή

Έστω μια σχέση που αφορά φυσικούς αριθμούς, πχ:

10 1 2 ...

2

n nn

Με απλούς υπολογισμούς διαπιστώνουμε ότι η παραπάνω σχέση ισχύει για 1, 2, 3,....n n n κλπ.

Άραγε μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για κάθε φυσικό;

Η απάντηση είναι καταφατική. Κάθε σχέση που αφορά φυσικούς και αληθεύει, μοιάζει με διάταξη ντόμινο. Για να δουλέψει το

ντόμινο πρέπει να είμαστε βέβαιοι ότι:

Θα πέσει το πρώτο κομμάτι.

Αν πέσει ένα τυχαίο κομμάτι τότε θα πέσει και το επόμενο.

Αν θέλουμε να γίνουμε πιο «επίσημοι» θα γράψουμε:

Έστω μια πρόταση (σχέση) ( )P n που αφορά φυσικούς, τέτοια ώστε:

Η σχέση αληθεύει για τον πρώτο φυσικό:

1( ) TrueP n

Όταν η σχέση αληθεύει για κάποιο τυχαίο φυσικό τότε αληθεύει και για τον επόμενό του:

( ) Τrue ( 1) TrueP k P k

Τότε είμαστε βέβαιοι ότι η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό.

Αληθείς σχέσεις μεταξύ φυσικών

Παρακάτω έχουμε γράψει κάποιες αξιοσημείωτες σχέσεις που είναι αληθείς και

αποδεικνύονται με επαγωγή:

2

2 2 2 2

2

3 3 3 3

2

1

2 1

10 1 2 ... 0

2

1 3 5 ... 2 1 1

1 1 2, , 0, 1

1 2 11 2 3 ... 1

6

11 2 3 ... 1

2

2 1 3

1 3

11 ... 1, , 1

1

! 1 2 3 ...

n

nn

nn

n nn n

n n n

a na n a a a

n n nn n

n nn n

n n n

n n n

xx x x n x x

x

n n

2 3n n