Математическая логикаliber.onu.edu.ua/pdf/Kononuyk_log1.pdfА.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика 13 преобразования

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А. Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 9

Математическая логика

Часть 1

Киев

«Освіта України»

2017

А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика

2

УДК 51 (075.8) ББК В161.я7 К213

Рецензенты:

В. В. Довгай — к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный тех—нический университет «КПІ»);

В. В. Гавриленко — д-р физ.-мат. наук, проф., О. П. Будя — к-т техн. наук, доц. (Киевский университет эко—

номики, туризма и права); Н. К. Печурин — д-р техн. наук, проф. (Национальный ави—

ационный университет).

Кононюк А. Е. К213 Дискретно-непрерывная математика. (Математическая

логика). — В 12-и кн. Кн 9, ч.1— К.: 2017. — 580 с. ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) ISBN 978-966-373-694-5 (книга 9, ч.1)

Многотомная работа содержит систематическое

изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем. В работе излагаются основы теории множеств, отношений,

поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории вероятностей и массового обслуживания, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

УДК 51 (075.8) ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © Кононюк А. Е., 2017 ISBN 978-966-373-694-5 (книга 9, ч.1) © Освіта України, 2017


3

Кононюк Анатолий Ефимович


4


5

Оглавление

Часть первая Двузначная логика 1. Введение в математическую логику .................................................12 1.1. Чем занимается математическая логика?.........................................12 1.2. Основные положения………………………………………………..17 1.3. Булевы функции. ……………………………………………………19 1.4. Логические операции и формулы………………………………..20 1.5. Булева алгебра………………………………………………………21 1.6. Тождественные преобразования………………………………….25 1.7. Упрощение записи формул…………………………………………26 1.8. Переключательные схемы…………………………………………..27 1.9. Bвысказывания………………………………………………………29 1.10. Предикаты………………………………………………………….30 1.11. Двоичная арифметика……………………………………………..31 1.12. Логическая арифметика……………………………………………33 2. Логические функции…………………………………………………..39 2.1. Логические функции как отображения…………………………….39 2.2. Однородные функции……………………………………………….41 2.3. Табличное задание функций. ………………………………………42 2.4. Неоднородные функции……………………………………………49 2.5. Таблицы истинности………………………………………………...51 2.6. Полные системы булевых функций ………………………………..56 2.6.1.Суперпозиция и замкнутые классы функций…………………….56 2.6.2. Тождественность и двойственность ……………………………..61 2.6.3. Полнота системы, критерий Поста……………………………….61 2.7. Представление булевых функций…………………………………..62 2.7.1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) ……………………...63 2.7.2. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) ..................................67 2.7.3. Алгебраическая нормальная форма (АНФ или полином Жегалкина) ……………………………………………………………….71 2.8. Классификация булевых функций …………………………………77 3. Алгебра логики…………………………………………………………79 3.1.Определение…………………………………………………………..79 3.2.Аксиомы……………………………………………………………….80 3.3. Логические операции ………………………………………………..80 3.4. Свойства логических операций................. …………………………81 4. Булевы функции…………………………………………… .................82 4.1 Булевы функции………………………………………………………82


6

4.2. Реализация функций формулами ………………………………….86 4.3. Равносильные формулы…………………………………………….88 4.4. Принцип двойственности…………………………………………..89 4.5 СДНФ и СКНФ ……………………………………………91 5. Битовые операции……………………………………………………97 5.1. Побитовые логические операции …………………………………98 5.2. Битовые сдвиги…………………………………………………….101 5.3. Битовая операция в теории сложности алгоритмов……………108 5.4. Связь с другими науками …………………………………………108 5.5. Практические применения…………………………………………110 5.6. Полнота и замкнутость……………………………………………..127 6. Контактные схемы. …………………………………………………..143 6.1. Анализ и синтез контактных схем…………………………………143 6.2. Схемы со многими выходами……………………………………..147 6.3. Булевы матрицы…………………………………………………….151 6.4. О разложении определителей булевых матриц…………………..152 6.4.1. Введение…………………………………………………………..153 6.4.2. Некоторые свойства определителей…………………………….155 6.4.3. Разложения булевой матрицы на внутреннюю, детерминированную и внешнюю части……………………………….156 6.4.4. Формулы Лапласа для перманентов булевых матриц………….160 6.4.5. Комбинаторные свойства внешних и детерминированных булевых матриц………………………………………………………….161 6.4.6. Формулы Лапласа для булевых матриц с нулевой внутренностью……………………….165 6.4.7. Разложения Лапласа и вырожденные матрицы………………...168 6.4.8. Разложения Лапласадля произвольных квадратных булевых матриц………………………………………………………….174 6.4.9. Обратимые булевы матрицы и разложения детерминантов…...176 6.5. Исключение (анализ) и введение (синтез) узлов............................179 6. 6.Вентильные схемы. ………………………………………………...182 6.7. Криотронные схемы. ……………………………………………....195 6.7.1. Справка из общего курса физики………………………………..197 6.7.2. Сверхпроводящая элементная база на криотронах…………….198 6.7.3. Переходы и эффекты Джозефсона. ……………………………..202 6.7.4. Сквиды с переходами Джозефсона и их применение………….207 6.7.4.1. Сквид с одним переходом Джозефсона.....................................207 6.7.4.2. Сквид с двумя переходами Джозефсона……………………...209 6.7.4.3. Градиометры магнитного поля………………………………..211 6.7.4.4. Измерение слабых магнитных полей…………………………213 6.7.5.Многоканальные магнитометры на сквидах……………………215


7

6.7.5.1. Магнитокардиографы………………………………………….215 6.7.5.2. Магнитоэнцефалографы и томографы………………………..217 6.7.6. Растровые микроскопы на сквидах……………………………..219 6.7.7. Другие применения………………………………………………223 6.7.7.1. Стандарт Вольта………………………………………………..223 6.7.7.2. Радиотехнические применения………………………………..224 6.8. Быстрая одноквантовая логика……………………………………226 6.8.1. Динамические свойства перехода Джозефсона………………..226 6.8.2. БОК триггер………………………………………………………228 6.8.3. Основные схемы БОК логики…………………………………..231 6.8.3.1. Принципы организации обработки информации в БОК схемах ………………………………………………………….231 6.8.3.2. D-элемент………………………………………………………231 6.8.3.3. БОК инвертор………………………………………………….233 6.8.3.4. БОК схемы дизъюнкции и конъюнкции……………………..234 6. 8.3.5. Генератор и формирователь тактовых БОК импульсов……236 6.8.4. Преимущества наноэлектронной элементной базы БОК логики……………………………………………………………..238 7. Логические схемы……………………………………………………242 7.1. Логические элементы элементарных булевых функций.......... …………………………………………… ...................242 7.2. Логические схемы………………………………………………….249 7.3. Реализация в различных базисах………………………………….250 7.4. Упрощение формул. ……………………………………………...251 7.5. Минимальные формы. …………………………………………….252 7.6. Многомерный куб. …………………………………………………253 7.7. Карты Карно. ……………………………………………………….256 7.8. Комплекс кубов. ……………………………………………………258 7.9. Реализация функций в различных формах……………………….260 7.10. Многовыходные схемы. ………………………………………….262 7.11. Постановка задачи минимизации булевых функций…………...263 7.12. Метод Квайна — Мак-Класки. …………………………………..265 7.13. Пример минимизации функции. …………………………………266 7.14. Алгебраический метод……………………………………………268 7.15. Метод Блейка—Порецкого. …………………………………….269 7.16. Склеивание и поглощение кубов. ……………………………….271 7.17. Частично определенные функции. ………………………………273 7.18. Преобразователь кодов. ………………………………………….274 7.19. Сумматор..... ……………………………………………...............276 7.20. Минимизация в других системах. ……………………………….278


8

8. Контактные схемы ………………………………………………… 279 8.1. Принцип работы ………………………………………………….282 8.2. Построение контактных схем ……………………………………282 8.3. Задача о минимизации контактной схемы………………………284 8.4. Моделирование контактных схем………………………………..286 9. Логика высказывний………………………………………………..290 9.1. Высказывния и операции над ними……………………………...290 9.2. Формулы логики высказываний, интерпретация………………..293 9.3. Равносильность и законы логики высказываний………………..296 9.4. Логическое следствие……………………………………………..300 9.5. Нормальные формы в логике высказываний…………………….302 10. Логика первого порядка ……………………………………………308 10.1. Предикаты и операции над ними………………………………...308 10.2. Формулы логики первого порядка.................................................312 10.3. Интерпретация в логике первого порядка……………………….314 10.4. Равносильность, законы логики первого порядка .......................316 10.5. Логическое следствие…………………………………………… .320 10.6. Нормальные формы……………………………………………….322 10.7. Невыразимость в логике первого порядка………………………328 10.8. Многосортная логика первого порядка………………………….331 11. Методы резолюций………………………………………………….336 11.1. Метод резолюций в логике высказываний………………………336 11.2. Подстановка и унификация……………………………………….341

11.3. Метод резолюций для логики первого порядка…………………347 11.4. Эрбрановский универсум множества дизъюнктов……………...353 11.5. Семантические деревья, теорема Эрбрана………………………358 11.6. Полнота метода резолюций в логике предикатов………………363 11.7. Стратегии метода резолюций…………………………………….365 11.8. Применение метода резолюций. …………………………………368 11.9. Метод резолюций и логическое программирование………….373 12. Логика второго порядка…………………………………………….381 13. Комбинаторная логика……………………………………………..389 13.1. Основные понятия………………………………………………...389 13.2. Категориальная комбинаторная логика………………………….390 13.3. Иллативная комбинаторная логика………………………………392 14. λ-исчисление. ………………………………………………………..392 14.1. λ-исчисление: основные понятия...................................................393 14.2. Булевы константы Чёрча………………………………………….398 14.3.Числа Чёрча………………………………………………………..400 14.4. Арифметические операции……………………………………….401


9

15. Темпоральная логика ……………………………………………….404 15.1. Темпоральные операторы………………………………………...405 16. Модальная логика …………………………………………………..408 16.1. Модальности……………………………………………………….409 16.2. Семантика………………………………………………………….410 16.3. Синтаксис …………………………………………………………411 16.4 Логическое программирование…………………………………...414

Часть вторая

Логика Лукасевича........................................417

1. Классическая логика высказываний………………………………..420 1.1. Логические связки. Истинностные таблицы…………………….420 1.2. Законы логики……………………………………………………..422 1.3. Функциональная полнота…………………………………………424 1.3.1. Штрих Шеффера…………………………………………………425 1.4. Аксиоматизация. Адекватность…………………………………..425 1.5. Алгебраизация……………………………………………………..429 2. Tрехзначнaя логикa Лукасевича …………………………….432 2.1. Ян Лукасевич……………………………..…………………………432 2.2. Логический фатализм……………………………..………………..435 2.3. Введение в логику третьего истинностного значения…………..435 2.4. Истинностные таблицы. Аксиоматизация………………………..437 2.5. Отличия трехзначной логики Лукасевича от классической..438 2.6. Трехзначная модальная логика Лукасевича………………………440 2.7. Трудности интуитивной интерпретации ……………………...442 2.8. Погружение классической логики в ........................................449 2.9. Импликация Лукасевича и трехзначная интуиционистская логика G3…………………………………………...452 2.10. Алгебраизация……………………………..………………………453 3. Конечнозначные логики Лукасевича ………………………….457 3.1. Логические матрицы……………………………..…………………457 3.2. N-значная матричная логика Лукасевича…………………………460 3.3. Некоторые свойства …………………………………………...461 3.3.1. Отношения между конечнозначными логиками Лукасевича….462 3.3.2. Степень полноты для (появление простых чисел)………….462 3.3.3. Ji-операторы……………………………..………………………..464 3.3.4. и n-значные логики Гёделя Gn………………………………465 3.3.5. Функтор Слупецкого для ……………………………………466


10

3.3.6. Критерий Мак-Нотона об определимости операций в …….466 3.4. Аксиоматизация ………………………………………………..467 3.5. Алгебраизация ………………………………………………….470 4. Интерпретация …………………………………………………..473 4.1. Тезис Сушко.... …………………………………………… .............474 4.2. Метод Скотта……………………………………………………….475 4.3. Интерпретация Уркварта…………………………………………..478 4.4. Фактор-семантика…………………………………………………..481 5. Логика как функциональная система.................................................485 5.1. Логики Поста……………………………………………………….485 5.1.1. Функциональная полнота Рn…………………………………….487 5.2. Оператор замыкания, полнота и нредполнота классов функций.488 5.2.1. Максимальная n-значная непостовская логика…………………492 5.2.2. Базисы. Штрих Шеффера для Рn………………………………...494 5.2.3. Штрих Шеффера для ………………………………………...495 5.2.4. Континуальность : ……………………………………………..497 5.3. Функциональные свойства (Теорема В.К.Финна)..................498 5.3.1. Еще одно доказательство (А.Уркварт)………………………….500 6. Структурализация простых чисел…………………………………..503 6.1. Разбиение множества логик Лукасевича на классы эквивалентности относительно свойства предполноты………………503 6.2. Построение классов (обратная функция Эйлера)………….507 6.3. Графы для простых чисел………………………………………….513 6.3.1. Гипотеза о конечности корневых деревьев……………………..526 6.4. р-абелевы группы…………………………………………………..527 6.5. Сокращенные корневые деревья…………………………………..530 7. Матричная логика для простых чисел……………………………...540 7.1. Характеризация простых чисел посредством матричной логики Kn+1………………………………………………….540 7.1.1. Функциональные свойства логики Kn+1…………………………543 7.2. Матричная логика …………………………………………..550 7.3. Штрих Шеффера для простых чисел……………………………...553 7.3.1. О формуле для простых чисел…………………………………...556 7.4. Закон порождения классов простых чисел………………………..558 8. Характеризация классов натуральных чисел логическими матрицами Лукасевича………………………………………………….563 8.1. Простые числа………………………………………………………563 8.2. Степень простого числа……………………………………………564 8.3. Чётные числа………………………………………………………..567


11

8.4. Нечётные числа…………………………………………………….569 Таблицы чисел…………………………………………………………..573 Литература………………………………………………………………580


12

Часть первая

Двузначная логика

1. Введение в математическую логику

1.1. Чем занимается математическая логика?

Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности. Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Прошло два тысячелетия, прежде чем Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно реализовал в ХІХ столетии Джордж Буль и тем самым заложил основы математической (символической) логики.

Математическая логика — это математическая дисциплина, изучающая технику доказательств. Компьютеры, как и математики, требуют точности и строгости в определениях, описаниях, доказательствах и обоснованиях, чем они отличаются от обычных людей.

Главная цель применения в логике математической символики заключалась в том, чтобы свести операции с логическими заклю-чениями к формальным действиям над символами. При этом исходные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.

Бурное развитие математической логики связано, прежде всего, с задачами обоснования математики, где она используется для доказательства непротиворечивости исходных понятий и правильности рассуждений и выводов математических теорий. Некоторые ученые даже склонны рассматривать логику как одну из наиболее общих наук, частью которой является сама математика.

Логика нашла широкое применение в технике при исследовании и разработке релейно-контактных схем, вычислительных машин, дискретных автоматов. Ее методы используются в теории


13

преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика внедрилась в такие нематематические области, как экономика, биология, медицина, психология, языкознание, право. Интенсивно развиваются специальные разделы математической логики, призванные обслуживать конкретные области науки и техники.

Столь энергичный выход математической логики за пределы математики объясняется тем, что ее аппарат легко распространяется на объекты самой общей природы, лишь бы только они характери-зовались конечным числом состояний.

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов».

На сегодня известны следующие виды существующих логик:

- двузначная или классическая логика, использующая для описания действительности только два крайних понятия: “истинно” и “ложно”;

- трехзначная логика, принесенная Я. Лукасевичем, он ввел понятие “парадоксальное” или “бессмысленное”, по которым нельзя сказать конкретно истинны они или ложны – промежуточные между крайностями предыдущего этапа (среднее между крайностями всегда неопределенно);

- многозначная логика, использующая такие неопределенные понятия, как “необходимо”, “возможно”, “случайно”.

Приведенная схема вполне однозначно показывает нам, что количество логических систем, существующих в Природе, определяется количеством цифр-координат в соответствующем ряду треугольника Паскаля, т.е. каждая цифра в соответствующем ряду является носителем того или иного вида логики, что позволяет сделать нам следующие выводы:


14

первичной является не двузначная, а однозначная логика, которая не рассматривается современной наукой;

предельное количество существующих логик определяется предельным количеством цифр-координат в 11-м ряду треугольника Паскаля – это значит, что количество существующих в Природе логических систем не должно превышать одиннадцати;

и то, что количество используемых системой логических систем (в данном случае человечеством) определяется этапом развития самой системы, т.е. уровень развития сознания любой системы на каждом очередном этапе будет определяться структурой самого этапа развития (монадность, диадность, триадность… многозначность). А это значит, что структура системы на том или ином этапе будет определять и структуру используемой ею логики. В свою очередь структура логики будет определять сущность и форму исповедуемых системой идей на соответствующем этапе ее развития. Прекрасной демонстрацией изложенного является изменение сознания ребенка в ходе его роста. В раннем детстве он исповедует одну логику и философию, в детском саду другую, в младших классах школы третью, в старших классах четвертую, после школы пятую и т.д.

Последнее обрисовывает нам следующий эволюционный процесс логического развития:

- на этапе монады (тезиса) системой используется однозначная логика. Последнюю можно определить простым принципом, характерным для любой вновь возникшей и бурно растущей системы – “вперед и только вперед”, невзирая ни на какие возражения, несогласия и препятствия окружающей среды. Других рассуждений на этом этапе не существует (именно так мыслит возникший из зерна росток, так мыслит появившийся на свет ребенок, так мыслил и любой завоеватель, основывающий новое государство, будь то Александр Македонский или Чингисхан, Франциско Писарро и Эрнан Кортес, Наполеон, Ленин, Сталин и пр., и так же до ХХ века мыслило и все человечество).

- на этапе Позитрониевой диады (антитезиса) используется двузначная логика крайностей – т.н. классическая логика, использующая только два полярно противоположных понятия: “истинно” и “ложно”, которые можно обозначить знаками “+” и “-“, “1” и “0”, “Да” и “Нет”, свет и


15

тьма, правое и левое и т.д. (количество знаков в двузначной математике). Этот этап ярко описан Аристотелем в его “принципе исключения третьего”, который утверждает что “нет ничего третьего (промежуточного) между членами противоречивой пары и предписывает считать истинным какую-либо одну из крайностей”. Следует отметить, что некоторые философские школы отрицают идентичность закона исключения третьего принципа с принципом двузначности. Хотя из структуры треугольника Паскаля четко видно, что это две различных формулировки одной и той же закономерности, а следовательно, мы вправе снять вопрос об их различии раз и навсегда!

- на этапе перехода к многозначной логике используется триадная логика третьего ряда треугольника Паскаля Я. Лукасевича, включающая наличие третьего принципа между двумя крайними суждениями в отличие от предыдущего этапа.

- многозначная логика от четвертой до десятой степени (от 4 до 11 ряда треугольника Паскаля) – логика использующая не только простые и однозначные определения, а все богатство современного человеческого мышления. Современная логика слагается из множества внутренне разнородных логических систем. Многозначные системы более богаты, чем двузначная логика: в первой имеются функции невыразимые во второй. Понятия в многозначной логике не кажутся достаточно ясными. Они неопределимы в двузначной логике. Так, если в двузначной логике имеется только четыре разные функции от одного аргумента (четыре координаты-элемента-пространства третьего ряда треугольника Паскаля), то в трехзначной логике их уже соответственно двадцать семь. Следовательно, в одиннадцатом ряду их будет 1111 = 285311670611, т.е. в 71327917652 раз больше чем четыре (285311670611 : 4). Из сопоставления этой величины с четырьмя функциями одного аргумента двузначной логики сразу же становится видна несовершенность привычной для нас классической логики, в рамки которой мы тщетно пытаемся запихать все существующие истины.

Все это позволяет сделать следующий кардинальный вывод: для каждого этапа эволюции существует своя логика и то, что истинно для одного этапа развития является ложным для другого. Любая система в ходе эволюции проходит последовательно все этапы своего развития в полном соответствии с рядами треугольника Паскаля.


16

Эволюция структуры логики по треугольнику Паскаля.

1 - однозначная (монадная) логика

1+1 - двузначная логика: либо “ложь”, либо “истина”

1+2+1 - трехзначная логика – введение “парадоксального” между крайностями

1+3+3+1

1+4+6+4+1

1+5+10+10+5+1

1+6+15+20+15+6+1 многозначная логика, использующая понятия,

1+7+21+35+35+21+7+1 которые не являются достаточно конкретными,

1+8+28+56+70+56+28+8+1 такие как необходимо, возможно, случайно и т.д.

1+9+36+84+126+126+84+36+9+1

1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1

Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики,


17

главным образом, для нужд самой математики, в современных усло-виях становится слишком узким. С расширением областей применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем.

1.2. Основные положения

Первое дошедшее до нас сочинение по формальной логике — "Аналитики" Аристотеля (384-322 гг. до нашей эры). В них рассматриваются основы силлогистики — правила вывода одних высказываний из других. Так из высказываний "Все христиане — люди" и "Все люди — живые существа" можно сделать вывод, что все христиане — живые существа. Однако на практике такие случаи встречаются крайне редко.

Вопрос о создании символической логики как универсального научного языка рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» (De arte combinatoria). Он думал о записи высказываний на специальном языке, чтобы затем по логическим законам вычислять истинность других. В середине XIX века появились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики, сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган, Шрёдер). В работах Фреге и Пирса (конец 1870-х — начало 1880-х) в логику введены предметные переменные, кванторы и, тем самым, основано исчисление предикатов. В конце 1880-х годов Дедекинд и Пеано применили эти инструменты в попытках аксиоматизации арифметики, при этом Пеано создал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современной математической логике.

Уайтхед и Рассел создают в 1910—1913 годах трактат Principia Mathematica, который оказал исключительное влияние на все последующее развитие математической логики. Ещё одной важной вехой в развитии логики стало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений и теории множеств конца XIX века парадоксов, в преодоление которых появилась концепция интуиционизма и интуиционистская логика (Брауэр, 1908) и, в качестве альтернативы, Гильбертом создана программа обоснования


18

математики посредством аксиоматической формализации с использованием строго ограниченных средств, не приводящих к противоречиям.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами A1,…,An выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы A и (A→B), то выводима и формула B.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат Курта Гёделя о том, что классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка (теорема Гёделя о полноте). С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является


19

теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и, соответственно, входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы математической логики

В Математической предметной классификации математическая логика объединена в одну секцию верхнего уровня с основаниями математики, в которой выделены следующие разделы:

общая логика (англ. general logic), включает классическую логику первого порядка, логики высших порядков (логику второго порядка), комбинаторную логику, λ-исчисление, временную логику, модальную логику, многозначные логики, нечёткую логику, логику в информатике;

теория моделей; теория вычислимости и теория рекурсии; теория множеств; теория доказательств и конструктивная математика; алгебраическая логика (включает вопросы изучения булевых

алгебр, алгебр Гейтинга, квантовых логик, цилиндрических и полиадических алгебр, алгебр Поста);

нестандартные модели.

1.3. Булевы функции.

Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются

булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих двух значений обычно используются цифры 0 и 1 или буквы Л (ложно) И (истинно).


20

Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые подобно числовым функциям могут зависеть от одной, двух и, вообще, п переменных (аргументов). Запись у = f(x1, х2, ..., хп) означает , что у — функция аргументов х1, х2, ..., хп. Важнейшая особенность булевых функций состоит в том, что они, как и их аргументы, принимают свои значения из двухэлементного множества {0,1}, или {И, Л}, т. е. характеризуются одним из двух возможных состояний.

Функции небольшого числа переменных можно задавать с помощью таблиц, подобных таблицам сложения и умножения одноразрядных чисел. Для этого нужно только указать значения функции для каждой комбинации значений ее аргументов. Основными в двузначной логике являются следующие три функции. Отрицание — функция у = f(х), принимающая значения 1, когда

х = 0, и значение 0, когда х = 1; она обозначается у = х (читается «не х»). Дизъюнкция — функция у = f(x1, x2), принимающая значение 0 тогда

и только тогда, когда оба аргумента имеют значение 0; она обозначается у= х1 х2 (читается «x1 или х2»). Конъюнкция — функция у = f(x1, x2), принимающая значение 0 тогда

и только тогда, когда оба аргумента имеют значение 1; она обозначается у = х1 х2 (читается «x1 и х2»).

Таблицы для этих функций имеют вид:

1.4. Логические операции и формулы

Булевы функции можно рассматривать как логические операции

над величинами, принимающими два значения — 0 и 1. Отрицание— это одноместная операция, а дизъюнкция и конъюнкция — двухместные операции. При этом выражения х , х1 х2, х1 х2 являются логическими формулами.


21

Более сложные формулы получаются замещением входящих в них переменных другими логическими формулами, которые обычно заключаются в скобки. Например, положив х1=а и х2=b с из х1 х2, имеем (а ) (b с). Каждая формула определяет некоторую булеву функцию. Ее значение при различных значениях переменных определяется на основании таблиц функций, приведенных в (2). Так, при а = 0, b=1 и с = 0 имеем:

Аналогично получаем значения функции и при других комбинациях значений аргументов.

Две функции (как и определяющие их формулы) считаются равносильными при любых значениях аргументов эти функции (формулы) принимают одинаковые значения. Равносильные функции соединяются знаком равенства, например:

Равносильность функций проверяется по таблицам основных операций, причем необходимо сравнить их значения для всех комбинаций значений переменных.

1.5. Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

a (b c)=(a b) c ассоциативность

a (b c)=(a b) c

a b=b a a b=b a коммутативность

a (a b)= a a (a b)= a законы поглощения


22

a (b c)=(a b) (a c) a (b c)=(a b) (a c)

дистрибутивность

a a=1 a a=0 дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй. Названа в честь Джорджа Буля.

1.5.1. Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

a a =a a a =a

a 0 =a a 1 =a

a 1 =1 a0 =0

¬ 0=1 ¬ 1=0 дополнение 0 есть 1 и наоборот

¬ (b c)= ¬ a ¬b ¬ (b c)= ¬ a ¬b законы де Моргана

¬¬a=a инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.


23

Примеры

Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

0 10 0 0

1 0 1

0 1

0 0 1

1 1 1

a 0 1

¬a 1 0

Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций := (объединение), := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так: A = { e R : e² = e, ex = xe, x R }, тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e f := e + f − ef и e f := ef.

1.5.2. Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в


24

формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

1.5.3. Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

1.5.4. Аксиоматизация

В 1933 году американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x. 2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z). 3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй? Аксиоматизация алгебры Роббинса:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x. 2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z). 3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.


25

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

Множество всех булевых функций вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции образует булеву алгебру.

На основе определения основных операций нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств (свойств) булевой алгебры:

коммутативность

ассоциативность

дистрибутивность

свойство констант

свойство отрицания

1.6. Тождественные преобразования Приведенные свойства позволяют получить ряд других важных

законов и тождеств уже без обращения к таблицам соответствия: (законы де Моргана), (законы по- глощения) х х= х х = х )законы идемпотентности), а также тождества

и т. д. Так, законы идемпотентности доказываются следующими пре-

образованиями:


26

Используя

полученные соотношения, имеем: Доказательство законов поглощения имеет вид:

Соотношение х = х доказывается следующим образом: из х х = 1 по закону коммутативности следует х х= 1, откуда сравнением с х х = 1 имеем х = х . Интересно доказательство закона де-Моргана. На основании свойств отрицания равенство функций должно озна- чать, что Действи- тельно,

Следовательно, соотношение

доказано. Аналогично доказывается и второй закон.

1.7. Упрощение записи формул Операции дизъюнкции и конъюнкции удовлетворяют законам

коммутативности и ассоциативности. Поэтому если переменные или формулы связаны только посредством одной из этих операций, то их можно выполнять в любом порядке, а формулы записывать без скобок. Например:

Если считать, что операция конъюнкции должна предшествовать операции дизъюнкции (конъюнкция связывает сильнее дизъюнкции), то можно опустить скобки, в которые заключены формулы со знаком конъюнкции. При наличии скобок в первую очередь должны выполняться операции внутри скобок, независимо от их старшинства. Обычно опускают также скобки, в которые заключены формулы со знаком отрицания. Еще одно упрощение связано с символикой. Знак конъюнкции в формулах можно опустить и вместо х у писать ху. Операцию


27

конъюнкции часто называют логическим умножением, а операцию дизъюнкции — логическим сложением. С учетом приведенных условий запись существенно упрощается. Например, формуле соответствует запись

1.8. Переключательные схемы В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим

электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х1 и х2). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается.

Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально за-мкнутые ключи обозначим через 1х и 2х .

При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х1 и х2, а со-стояние лампочки — со значением функций этих переменных.

Рис. 1. Переключательные схемы, соответствующие операциям отрицания (а), дизъюнкции (б) и конъюнкции (в).

Операции отрицания соответствует схема с одним нормально

замкнутым ключом (рис. 1, а). Если кнопка нажата (х = 1), ключ разомкнут и лампочка не горит, т. е. f(х)= 0; при отпущенной кнопке (х = 0) ключ замкнут и лампочка горит, т. е. f(х) = 1. Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис. 1, б, в). Легко убедиться, что в схеме рис. 1, б лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме рис. 1, в — только при нажатии обеих кнопок одновременно.


28

Любую сложную булеву функцию можно представить некоторой переключательной схемой. На рис. 2,а показана схема, реализующая функцию Та же функция представляется равносильной формулой которой соответствует другая более простая схема (рис. 2, б). Следует иметь в виду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (х или х ), связаны между собой и управляются общей кнопкой.

Рис. 2. Переключательная схема, реализующая логическую

функцию (а), и упрощенная схема (6).

В реальных устройствах используются ключи различной кон-струкции и физической природы (механические, электромагнитные, электронные, гидравлические, пневматические в т. д.) Однако при реализации логических функций многие технические особенности не имеют значения. Существенными свойствами контактных схем являются исходные положения ключей (нормально разомкнуты или нормально замкнуты) и способ их соединения между собой и внешними устройствами. Эта информация полностью отображается графом, ребра которого соответствуют ключам, а вершины — точкам их соединения. Ребра нормально разомкнутых ключей обозначаются соответствующей переменной (х), а нормально замкнутых — отрицанием переменной ( 1х ). Например, контактная схема (рис. 2, б) изображается графом, как показано на рис. 3, а.

Рис. 3. Граф переключательной схемы (а) и его упрощенное изо-

бражение (б).


29

При изображении контактных схем графами принимаются неко-торые специфические условия и упрощения. Обычно переменные обозначаются в разрывах линий, изображающих ребра. При этом ребрами считаются только такие линии, которые обозначены какой-либо переменной или ее отрицанием. Другие линии, не являющиеся ребрами графа, могут изображать входы и выходы схемы, связи с другими схемами и т. п. Кроме того, вершины второй степени могут не изображаться, так как им инцидентны пары последовательно соединенных ребер, из которых каждое обозначено соответствующей переменной. На рис. 3, б показана контактная схема в обычно принятом виде.

1.9. Высказывания

Пусть х1 и х2 — некоторые высказывания, которые могут быть

истинными (1) или ложными (0), например: «Я пойду в театр» (х1) и «Я встречу друга» (х2). Дизъюнкцией х1 х2 является сложное высказывание «Я пойду в театр или встречу друга», а конъюнкцией х1 х2 — высказывание «Я пойду в театр и встречу друга».

Ясно, что если высказывание истинно, то его отрицание ложно. Сложное высказывание, образованное дизъюнкцией двух высказы-ваний, истинно при условии, что истинно хотя бы одно из них. Сложное высказывание, образованное конъюнкцией двух истинных высказываний истинно, если истинны оба эти высказывания одновременно.

Итак, высказывания можно рассматривать как двоичные пере-менные, а связки «не», «или», «и», с помощью которых образуются сложные высказывания,— как операции над этими переменными. В алгебре высказываний используются еще две операции: имплинация х1 → х2, соответствующая связке «если, то» и эквиваленция х1~х2, соответствующая связке «если и только если». Они задаются следующими таблицами:


30

В нашем примере импликацией будет высказывание: «Если я пойду в театр, то встречу друга», а эквиваленцией— «Я пойду в театр, если и только если встречу друга». Как видно из таблиц, импликация высказываний ложна только в случае, когда первое из простых высказываний истинно, а второе ложно. Эквиваленция является истинным высказыванием, если оба простые высказывания истинны или ложны одновременно.

Обозначив буквами простые высказывания, можно представить сложное высказывание формулой с помощью соответствующих связок. Например, высказыванию «Если давление масла на шарик клапана больше усилия его пружины (х1), то масло открывает клапан (х2) и частично перетекает из нагнетательной полости во впускную (х3)» соответствует формула х1 → х2х3.

1.10. Предикаты

Обычно высказывания выражают свойства одного или нескольких объектов. Содержательная часть высказывания играет роль определяющего свойства совокупности объектов, для которых это высказывание истинно, и называется предикатом. Например, высказывание «Иванов — отличник» истинно или ложно в зависимости от оценок, которые имеет данный студент. В то же время предикат «х — отличник» определяет подмноже

Documents

Математическая логикаliber.onu.edu.ua/pdf/Kononuyk_log1.pdfА.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика 13 преобразования