МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»

УКРАЇНСЬКИЙ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ЛІЦЕЙКИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Л. М. Засєдка, Г. С. Манжара, І. А. Петрусь,І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон, Н. О. Щетиніна

ВЗАЄМОДІЯ ТІЛ.СИЛИ В ПРИРОДІ

Навчально-методичний посібник

Київ2017

Редакц ійна колег ія :О. В. Лісовий, Л. М. Засєдка,

Г. С. Манжара, І. А. Петрусь, І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон, Н. О. Щетиніна, Т. В. Пещеріна, Є. Д. Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру «Мала академія наук України»

(протокол № 4 від 29.11.2016)

Засєдка Л. М.Взаємодія тіл. Сили в природ : навч.-метод. посіб. /Л. М. Засєдка, Г. С. Манжара, І. А. Петрусь, І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон, Н. О. Щетиніна ; за ред. О. В. Лісового. — К., 2017. — 24 с.

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи.

Видання містить:• контрольні завдання;• методичні рекомендації та розв’язання різних типів задач із фізики;• приклади авторських задач дослідницького характеру.

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи, а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із фізики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України.

© Міністерство освіти і науки України, 2017© Національний центр «Мала академія наук України», 2017© Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка, 2017

3

Шановні учні!

Мала академія наук України (МАН України), яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості, компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті, створила освітній проект «Наукові школи МАН». Завдяки залученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді, а також досвідчених висококваліфікованих педагогів – викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв, у наукових школах створено особливе освітнє середовище, в якому цінуються інтелектуальний потенціал, ерудованість, прагнення до самовдосконалення, взаємодопомога, співпраця. На заняттях учні 8–11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України – слухачі наукових шкіл –ознайомлюються з проблематикою науки, поглиблюють базові знання, опановують принципи, методи дослідницької діяльності, набувають навичок самостійної наукової роботи. Система організації навчання у школах поєднує колективні таіндивідуальні заняття і припускає розв’язання наукової проблеми, яка передбачає, з одного боку, використання різноманітних методів, засобів навчання, а з іншого –інтегрування знань, умінь із різних галузей науки, техніки, технологій.

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові: основи дослідницької роботи, профільний навчальний курс – теоретичний огляд та практикуми, індивідуальна дослідницька діяльність – здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії – настановну (осінню), експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну). Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму.

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття, навчально-тематичні екскурсії, особливе значення надається лабораторним і практичним роботам, у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням, оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання.

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи, слухачі беруть участь у вебінарах, форумах, отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань, що виникають на різних етапах наукового пошуку.

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників. Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали, збірники контрольних завдань, деталізують плани практичних та семінарських занять. Зокрема, колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю, розроблено навчальні посібники і методичні вказівки, необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму.

Пещеріна Тетяна Вікторівна,заступник директора НЦ «Мала академія наук України»

4

Як працювати з посібником

В основній частині цього посібника ми з’ясуємо причини руху тіл або зміни їх швидкості, розглянемо взаємодію між тілами. Також ознайомимо вас із кількісною мірою, що характеризує ступінь інертності тіл, – масою та методами її вимірювання. Уведемо величину, що є кількісною мірою взаємодій між тілами – силою, іознайомимося з різними типами сил, їх природою. Важливо уважно прочитати запропонований навчальний матеріал, розібрати приклади розв’язування задач, виконати вправи.

У цьому посібнику ми розглядали задачі, які, загалом, не виходять за рамки чинної програми. Водночас до збірника включено декілька задач, методи розв’язання яких не вивчаються у школі в повному обсязі, але доступні найбільш сильним і наполегливим учням. Наше завдання – показати прості і зрозумілі методи, які допомагають знайти правильне і коротке рішення фізичних задач.

Уміння шукати рівнодійну силу або, навпаки, розкладати одну силу на систему з декількох еквівалентних сил допоможуть вам під час розв’язування фізичних задач. Часто це значно простіше, а іноді це єдиний метод розв’язання задачі. Ми продемонструємо застосування елементарних методів і сподіваємося, що ви здатні до простих математичних перетворень. Для отримання навичок розв’язування фізичних задач, перш за все, не треба боятися дочитати задачу до кінця, а потім подумати над її умовою, спробувати схематично або графічно уявити процес, про який ідеться.

Частину збірника складають задачі на визначення сил різної природи, визначення чисельного результату їх сукупної дії та напрямку рівнодійної сили. Наводяться приклади руху тіл під дією різних сил.

Іншу частину збірника становлять задачі на визначення рівноваги тіл, що можуть обертатися. Наводяться приклади розв’язання задач на правило моментів для невагомих та вагомих важелів. Це важлива тема, яка сприяє розвитку фізичної інтуїції, формує просторову уяву, має велике прикладне значення.

Неможливо прочитати методичний посібник за одним разом! Його треба читати поступово, якщо не щоденно, то принаймні кілька разів на тиждень повертатися до нього і знаходити там щось нове для себе. Недостатньо просто прочитати. Читати треба з ручкою, виконавши всі математичні перетворення на аркушах паперу самостійно. Тільки після цього можна досягти потрібного засвоєння й уникнути великої кількості технічних помилок у подальших розрахунках!

Якщо ж і після цього у вас виникають проблеми із виконанням вправ або контрольної роботи, радимо вам повернутися до прочитаного. Пам’ятайте – у вас є вчителі, до яких ви завжди можете звернутися за порадою.

Бажаємо успіхів!

5

§ 1. Взаємодія тіл

1.1. Явище інерції

Досліджуючи механічний рух та різні його види, ми з’ясували математичні закономірності і залежності між величинами, що характеризують рух, виявили, що рух буває рівномірним і нерівномірним, прямолінійним і криволінійним. Однак не з’ясовували причин зміни модуля швидкості чи його напрямку.

Повсякденний досвід свідчить, що швидкість тіла може змінюватися, якщо на нього діятиме інше тіло. Наприклад, металева кулька, що лежить на столі, починає рухатися тоді, коли на неї налетить інша кулька, наблизиться магніт чи її просто вдарять рукою. Якщо спочатку кулька рухалася з певною швидкістю, то таківзаємодії змінять цю швидкість. Причому в усіх випадках може змінитися не тільки величина швидкості, а й її напрямок. Але якщо на кульку не діють інші тіла, то вона самостійно не змінить власної швидкості, не почне рухатися відносно стола.

Провівши низку спостережень і міркувань, італійський учений Галілео Галілейнаприкінці ХVI ст. зробив важливий висновок: якщо на тіло не діють інші тіла або їх дії скомпенсовані, то воно перебуває у спокої або рухається прямолінійно й рівномірно. У таких випадках кажуть, що тіло рухається за інерцією.

Явище збереження швидкості тіла, коли на нього не діють інші тіла, називають інерцією (від латинського inertia – нерухомість, бездіяльність).

Явище інерції широко використовують у побуті й техніці. Наприклад, насаджуючи головки молотка чи сокири на ручку, треба стукнути торцем ручки по масивному нерухомому предмету (наприклад, столу).

Однак у реальності важко створити умови, коли дія інших тіл на дане відсутня. Тому зазвичай рухом за інерцією вважають такий рух, коли дія на тіло інших тіл слабка і не змінює помітно його швидкість. Так, шайба, що рухається по льоду,проходить тривалий шлях до повної зупинки, її швидкість змінюється ледь помітно, оскільки тертя між шайбою та льодом дуже мале.

1.2. Маса – міра інертності тіл

У наведеному вище прикладі шайба проходила тривалий шлях за відсутності впливу інших тіл. Проте, зіштовхнувшись із ключкою чи бортиком, вона стрімко змінює свою швидкість (рис. 1, а). За схожих умов інший спортивний снаряд (камінь), який використовують у новому олімпійському виді спорту ‒ керлінгу, навпаки, дуже повільно змінює свою швидкість (рис. 1, б). Хоча обидва тіла перебувають на льоду, але гравцям потрібно докладати різних зусиль, аби змінити їх швидкість. У таких випадках кажуть, що ці тіла мають різну інертність.

Інертність ‒ це властивість тіла, яка полягає в тому, що для зміни швидкості тіла внаслідок взаємодії йому потрібен час.

6

а бРис. 1

Інертність тіл характеризується фізичною величиною – масою.Маса – це фізична величина, що є мірою інертності тіла. Чим більше маса

тіла, тим воно інертніше.

Кожне фізичне тіло має певну масу (m). Одиницею маси в СІ є 1 кілограм (кг). Це приблизно маса одного літра води.

Маси двох тіл можна порівняти, вимірявши, як змінюються їх швидкості внаслідок взаємодії: швидкість тіла більшої маси змінюється менше, ніж швидкість тіла меншої маси.

Досліди свідчать, що за взаємодії двох тіл відношення мас тіл дорівнює оберненому відношенню змін швидкостей їх рухів:

1

2

2

1

vv

mm

∆∆

= ,

де 1m , 2m ‒ маси взаємодіючих тіл, а 1v∆ і 2v∆ ‒ зміни швидкостей рухів тіл.

Задача 1. На нерухому кулю масою 1 кг налетіла інша – масою 500 г. Менша куля, яка рухалася зі швидкістю 2 м/с, після зіткнення відлетіла назад зі швидкістю 0,5 м/с. З якою швидкістю після зіткнення почала рухатися більша куля?

Розв’язання. Для розв’язання задачі нам необхідно визначити, як змінилися швидкості обох куль. Перша куля масою 1 кг спочатку була нерухома, а потім почала рухатися в напрямку попереднього руху другої кулі. Таким чином, зміна її швидкості 111 0 vvv =−=∆ .

Друга куля спочатку мала певну швидкість у певному напрямку, а після зіткнення її швидкість змінила і модуль, і напрямок. Отже, спочатку куля зупинилася, а потім набула нової швидкості. Тоді 5,25,022022 =+=+=∆ vvv м/с.

За формулою взаємодії двох тіл:

1

2

2

1

vv

mm ∆

= .

Звідси

25,11

5,25,01

221 =⋅=

∆=

mvm

v м/с.

Відповідь: 25,11 =v м/с.

7

Задача 2. На нерухоме важке тіло налітає куля і відскакує від нього зі швидкістю, яка у 2 рази менша за початкову. У скільки разів різняться маси тіла й кулі, якщо під час зіткнення тіло набуло швидкості, що є у 3 рази меншою за початкову швидкість кулі?

Розв’язання. Нехай маса важкого тіла 1m , кулі ‒ 2m , початкові швидкості 001 =v та 02v , кінцеві ‒ 1v і 2v відповідно. Тоді зміни їх швидкостей:

02111 310 vvvv ⋅==−=∆ і 0202020222 2

321 vvvvvv ⋅=+⋅=+=∆ ‒ аналогічно із задачею 1.

Отже:

5,429

)3/1()2/3(

02

02

1

2

2

1 ===∆∆

=vv

vv

mm .

Відповідь: маса тіла більше за масу кулі у 5,4 .

Якщо відома маса одного з двох взаємодіючих тіл (еталона) і зміни швидкостей обох тіл, можна визначити масу другого тіла:

1

221 v

vmm

∆∆

⋅=

або

1

221 v

vmm ⋅= ,

якщо спочатку тіла перебували у спокої.

Задача 3. Назустріч одна одній рухаються зі швидкостями відповідно 30 см/сі 10 см/с дві пластилінові кульки. Маса першої з них становить 10 г. Якою є маса другої кульки, якщо після зіткнення вони зупинилися?

Розв’язання. Оскільки кульки після взаємодії зупинилися, то зміни їх швидкостей дорівнюють їх початковим швидкостям 1v та 2v . Тоді з основного

рівняння:1

2

1

2

2

1

vv

vv

mm =

∆∆

= , звідки 2

112 v

vmm ⋅= .

Після підстановки чисельних значень маємо:

гссмссмгm 30

/10/30102 =⋅= .

У цій задачі ми не переводили одиниці вимірювання, оскільки за формулою в нас відбувається скорочення одиниць вимірювання швидкостей, а маса другої кульки порівняна з масою першої.

Відповідь: гm 302 = .

Таким чином, досліджуючи взаємодію двох тіл, одне з яких є еталоном, можна визначити масу невідомого тіла. Наприклад, маси таких великих тіл, як планети та

8

їх супутники, і маси малих тіл (молекул та атомів) визначають, порівнюючи зміну їх швидкостей під час взаємодії.

Однак зазвичай масу тіл вимірюють на терезах. Зважування ґрунтується на гравітаційних властивостях тіл, їх притягання до Землі. Під час зважування масу тіла порівнюють із масою еталона (гирьок). Це можливо внаслідок властивості адитивності маси: маса тіла дорівнює сумі мас складових частин. Тоді сумарна маса гирьок дорівнює масі зважуваного тіла.

За допомогою спеціальних терезів можна визначити й великі маси, наприклад масу автомобіля, і такі маленькі маси, як маса метелика чи мурахи.

1.3. Густина речовини

Тіла однакових об’ємів, виготовлені з різних речовин, мають різні маси. Пояснюється це тим, що різні речовини мають різну густину. Під густиною розуміють щільність розміщення частинок (атомів чи молекул) речовини. Густина (ρ)вказує, чому дорівнює маса речовини, узятої в об’ємі 1 м3 (або 1 см3). Отже, густина є фізичною величиною, яка дорівнює відношенню маси тіла до його об’єму:

Vm=ρ .

Одиницею густини в СІ є 1 кілограм на метр кубічний (кг/м3).Знаючи густину і об’єм тіла, можна визначити його масу .Vm ρ=Густина речовини у її твердому, рідкому і газоподібному станах різна.

Задача 4. Маса суцільного куба, зробленого з деякої речовини, дорівнює 2,5 кг. Яку масу буде мати цей куб, якщо довжину його ребра зменшити у 2 рази?

Розв’язання. Початкова маса куба 3000 aVm ρρ == , де а0 ‒ початкова довжина

ребра куба. Коли зменшили початкову довжину ребра у 2 рази, то його довжина

стала дорівнювати 2

0aa = , а об’єм відповідно 82

30

3

03 aaaV =

== , густина при цьому

не змінилася.Тоді маса нового куба буде:

гкгкгmaVm 5,3123125,085,2

880

30 ====== ρρ .

Відповідь: гm 5,312= .

Задача 5. Порожнистий алюмінієвий куб із ребром 10 см має масу 1 кг. Яка товщина стінок куба?

Розв’язання. Густина алюмінію відома з таблиці: ρ = 2700 кг/м3.Нехай товщина стінок дорівнює h, а довжина ребра куба – а. Порожнина

всередині куба також має вигляд куба зі стороною b = а – 2h.Тоді об’єм, який займає алюміній, дорівнює різниці об’ємів зовнішнього куба

та порожнини. Тобто .33

ρmbaV =−=

9

Звідки 33

333 630/7,2

10001000 смсмггсм

Vmab ≈−=−= .

Звідки b = 8,6 см, а смbah 7,02

6,8102

=−=−= .

Відповідь: смh 7,0= .

Задача 6. У шматку кварцу вміщений невеликий самородок золота. Маса шматку 100 г, його густина 8 г/см3. Визначити масу золота, вміщеного у кварці. Густини кварцу і золота відповідно дорівнюють 2,65 та 19,36 г/см3.

Розв’язання. Розпишемо масу та об’єм шматку кварцу через його складові:

квзол mmm += (1)та

квзол VVV += (2)

Розпишемо об’єми складових частин через масу й густину:

ρmV =

та підставимо у формулу (2).Тоді:

кв

зол

зол

зол mmmmρρρ−+= .

Розв’язавши це рівняння, знайдемо масу золота:

гmmквзол

золквзол 48,77

)()( =

−−=

ρρρρρρ .

Відповідь: гmзол 48,77= .

§ 2. Сили в природі

2.1. Сила

У навколишньому світі ми спостерігаємо найрізноманітніші взаємодії тіл. Унаслідок взаємодій тіла змінюють свою швидкість чи деформуються.

Кількісною мірою дії на тіло інших тіл є сила (F). При цьому не має значення, чи тіла взаємодіють під час безпосереднього контакту, чи на віддалі. Сила – фізична векторна величина ( F

). Її можна виміряти, тобто порівняти із силою, взятою за

одиницю. На рисунках силу позначають стрілкою, початок якої розташовано в точці прикладання сили. Дія сили на тіло залежить від її модуля, напрямку й точки прикладання. Одиницю сили на честь І. Ньютона назвали Ньютоном (Н).

10

Рис. 2

На рис. 2 точка прикладання сили – точка А, напрямок сили – вертикально вниз, модуль у певному масштабі – три поділки.

Сили можуть зрівноважувати одна одну, тоді тіло, на яке вони діють, не змінює своєї швидкості. Якщо сили не зрівноважені (наприклад, сила тяги й тертя), то тіло починає або змінювати свою швидкість, прискорюватися чи гальмувати, або деформуватися, тобто змінює розміри чи форму.

2.2. Рівнодійна сила. Розкладання сил

Здебільшого на тіло діє не одна, а відразу декілька сил. У кожному випадку можна замінити кілька сил (систему сил), прикладених до тіла, однією силою, яка за своєю дією рівнозначна цим силам.

Силу, яка чинить на тіло таку саму дію, як кілька одночасно діючих сил, називають рівнодійною цих сил.

Знайдемо рівнодійну двох сил, що прикладені в одній точці:а) сили напрямлені по одній прямій в один бік (рис. 3, а)

Рис. 3а

тоді рівнодійна 21 FFR

+= , її модуль 21 FFR += ;б) сили напрямлені по одній прямій у протилежні боки (рис. 3, б)

Рис. 3б

тоді рівнодійна 21 FFR

+= , її модуль 21 FFR −= , а напрямок збігається з напрямком більшої за модулем сили.

Тіло під дією двох однакових і протилежно напрямлених сил перебуватиме у спокої або рухатиметься рівномірно і прямолінійно.

в) якщо сили не напрямлені по одній прямій, тоді необхідно використовувати правила додавання векторів, з якими ви ознайомитеся пізніше. У найпростішому випадку, коли сили напрямлені взаємно перпендикулярно,застосовують теорему Піфагора.

F

A

11

Наприклад, на тіло діють дві взаємно перпендикулярні сили F1 = 3 H та F2 = 4 H (рис. 3, в). Аби визначити рівнодійну силу, продовжуємо лінії дій векторів до перетинання і шукаємо діагональ прямокутника за теоремою Піфагора:

)(52516922

21 HFFF ==(=(= .

Рис. 3в

Якщо на тіло буде діяти декілька сил, тоді будемо додавати їх попарно.Інколи для спрощення розв’язання задачі доречно виконати зворотну

операцію, замінити одну силу декількома. Операція заміни однієї сили еквівалентною системою з декількох сил називається розкладанням сили.

2.3. Сила тяжіння

Силу, з якою Земля притягує предмети, називають силою тяжіння. Сила тяжіння є прикладом гравітаційної взаємодії. На дослідах визначено, що сила тяжіння, яка діє на тіло, пропорційна його масі:

mgFтяж = ,

де g = 9,8 Н/кг – коефіцієнт пропорційності. Він практично однаковий у різних точках Землі, але інший на інших планетах. Розв’язуючи задачі, дуже часто приймають, що g дорівнює 10 Н/кг.

Сила тяжіння, що діє на будь-яке тіло, завжди напрямлена до центру Землі, тому на малюнках її зображують стрілкою, що напрямлена вертикально вниз і прикладена до певної точки тіла.

Задача 7. Густина стального бруска в α разів більша, ніж дерев’яного. Об’єм стального бруска в β разів менше, ніж дерев’яного. У скільки разів різняться сили тяжіння, що діють на бруски?

Розв’язання. Сили тяжіння, що діють на бруски, дорівнюютьgтFgmF ддcc == , , а їх маси, відповідно, дддccc VmVm ρρ == , , тоді відношення сил

дорівнює:

.βα

ρρ ==

gVgV

FF

дд

cc

д

c

Відповідь: .βα=

д

c

FF

12

Задача 8. Яка сила тяжіння діє на порожнисту мідну кулю, якщо радіус кулі 10 см, а товщина стінок 1 см?

Розв’язання. Щоб визначити силу тяжіння, що діє на кулю ( mgF = ),необхідно знати її масу .Vm ρ= Для цього треба визначити об’єм міді, з якої складаються стінки кулі:

[ ]3333порожниникуліміді h)–RRh)–RRVVV (

34(

34

34 −=−=−= πππ ,

де h ‒ товщина стінок.Тоді

[ ] [ ] HgF 100)01,01,0(1,08,9890014,334h)–R(R

34 3333 ≈−−⋅⋅⋅⋅=−= πρ .

У відповіді цієї задачі можна перевірити розмірність:

[ ] [ ]Нкгм

мНкгH =

⋅⋅⋅= 3

3

.

Відповідь: HF 100≈ .

Силу вимірюють динамометром. Дія динамометра ґрунтується на тому, що видовження пружини пропорційне значенню сили, яка її розтягує. Сила, яка виникає під час деформації пружини чи опори, на якій перебуває тіло, і напрямлена у бік, протилежний зміщенню, називається силою пружності.

2.4. Деформація тіл. Сила пружності

Силу, яка виникає внаслідок деформації тіла і напрямлена в бік, протилежний деформаціям, називають силою пружності. Англійський вчений Роберт Гук, досліджуючи пружні деформації різних тіл, відкрив закон, названий його ім’ям:

kxFnp −= ,

де k – коефіцієнт жорсткості пружини, а lllx ∆=−= 0 – видовження чи скорочення тіла. Знак «‒» означає, що сила пружності напрямлена протилежно напряму деформації тіла.

Під час деформації у пружних тілах їх видовження чи скорочення прямо пропорційне силі, що розтягує або стискує.

За рівноваги тіла на горизонтальній опорі сила пружності дорівнює силі тяжіння. Це дає змогу знайти масу тіла за допомогою зважування. Силу, з якою тіло внаслідок притягання до Землі діє на горизонтальну опору або вертикальний підвіс, називають вагою тіла ( P

).

Якщо з-під тіла прибрати опору, воно почне падати, рухатися під дією тяжіння Землі, тоді його вага зникає і кажуть, що тіло перебуває у стані невагомості.У стані невагомості перебувають краплі дощу, що падають на землю, парашутист, який ще не розкрив парашут, космонавти на орбітальній станції.

Силу пружності, що діє на тіло з боку опори N

або підвісу ,T

називають силою реакції опори. Вона завжди направлена перпендикулярно до опори або вздовж підвісу.

13

Сили пружності є прикладом електромагнітних взаємодій, які обумовлені взаємодією заряджених частинок, з яких складаються всі тіла. Заряджені тіла можуть притягуватися чи відштовхуватися. Наприклад, сухе волосся притягується до гребінця – електрична взаємодія; магнітна стрілка притягується до магніту чи відштовхується від нього – магнітна взаємодія. Електрична та магнітна взаємодії ‒ це прояви єдиної електромагнітної взаємодії. Ще з двома типами взаємодій ‒ сильним та слабким, які існують у межах мікросвіту, ви ознайомитеся пізніше.

Задача 9. Якщо розтягувати пружину силою F1 = 8 Н, її довжина дорівнює l1 = 14 см; якщо її стиснуто силою F2 = 8 Н, довжина пружини l2 = 10 см. Якою буде довжина пружини l, якщо її стискувати силою 4 Н?

Розв’язання. Позначимо довжину недеформованої пружини l0, розпишемо сили пружності для обох випадків. Тоді:

)( 011 llkF −= (1))( 202 llkF −= (2)

Для розв’язання системи рівнянь поділимо (1) на (2), отримаємо:

смlllllll

FF 12

221

020

01

2

1 =+=⇒−−= ,

оскільки F1 = F2 .Із першого рівняння знайдемо k, врахувавши отримане значення l0:

мHll

Fll

Fk /4002

21

1

01

1 =−

=−

= .

Тепер можна визначити довжину пружини l:

смkFll 110 =−= .

Відповідь: 11 см.

Задача 10. У скільки разів відрізняється вага дубового бруска, розміри якого 50×30×10 см, від ваги дубового кубика з ребром 30 см? Зобразіть вагу на схематичному малюнку. Густина дубу 0,7 г/см3.

Розв’язання. Визначимо об’єми тіл. Об’єм бруска: abcV =1 , де a, b, c –довжини ребер бруска. Об’єм куба: 3

2 bV = , де b – довжина ребра куба. Вага тіла визначається за формулою VgmgP ρ== , тоді визначимо, у скільки разів відрізняється вага бруска від ваги кубика:

56,095

30301050

232

1

2

1

2

1 ==⋅⋅=====

bac

babc

VV

gVgV

PP

ρρ ,

або

8,159

1

2 ==PP .

Відповідь: вага куба більше у 1,8 раза.

14

2.5. Тертя. Сила тертя

Сила тертя – це ще один вид сили, яка виникає під час руху одного тіла поверхнею іншого, прикладена до рухомого тіла і напрямлена проти руху або можливого руху.

Причиною виникнення сил тертя є шорсткість поверхонь стичних тіл,а також взаємне притягання молекул стичних тіл.

Сила тертя ковзання визначається за формулою: ,NFmep µ= де N – сила реакції опори, μ – коефіцієнт тертя, який залежить від властивостей тертьових поверхонь і є безрозмірною величиною.

Чим більша сила, яка притискає тіло до поверхні, тим більша сила тертя, що виникає при цьому. Сила тертя не залежить від площі тертьових поверхонь.

Коли тіло перебуває у спокої на похилій площині, воно утримується на ній силою тертя. Розрізняють сили тертя спокою, ковзання і кочення, яка, відповідно, є найменшою.

Задача 11. За рівномірного переміщення бруска масою 3 кг динамометр показав силу 6 Н. Якою буде сила тертя, якщо на брусок поставити вантаж масою 4 кг?

Розв’язання. Для визначення сили тертя необхідно знати коефіцієнт тертя. Визначимо його з першої умови. Оскільки рух був рівномірним, то динамометр показував силу тертя. Тоді:

gmF

NF

1

1

1

1 ==µ .

Знаючи коефіцієнт тертя, визначимо невідому силу:

)(14376)()(

1

111

1

1 HFm

mmFgmmgm

FNF =⋅=⇒+=+=⋅= µ .

Відповідь: 14 Н.

Задача 12. Тіло рухається рівномірно горизонтальною поверхнею під дією сили F

, що направлена під кутом 45о до горизонту. Чому дорівнює сила тертя,

що діє на тіло, та його маса, якщо ,8,2 HF = а коефіцієнт тертя μ між тілом та столом дорівнює 0,2.

а бРис. 4

gm

N

TPF

F

1F

2Fα

gm

N

TPF

F

15

Розв’язання. На тіло діє чотири сили (рис. 4), але для розв’язання задачі силу F

краще розкласти на систему з двох еквівалентних сил 1F

та 2F

. Оскількирівнодійна направлена під кутом 45о до горизонту, а еквівалентні сили взаємно перпендикулярні, то вони утворюють прямокутний рівнобедрений трикутник, а

отже, їх модулі рівні між собою:221

FFF == (за теоремою Піфагора).

Тоді на тіло буде діяти п’ять сил, під дією яких тіло рухатиметься рівномірно, тобто:

021 =++++ TPFgmNFF

.

По горизонталі діє тільки дві сили у протилежних напрямках, а отже:

TPTP FFFF =⇒−= 22

. Тоді )(2

4,18,2

2HFFTP === .

По вертикалі діє три сили, причому mgNF =+1 , де 21

FF = ,2µµ

FFN TP == .

Тоді

µµ

µ gFFF

ggNFm

2)1()

22(11 +=+=+= .

Звідси )(2,12,08,94,1

2,18,2 кгm =⋅⋅

⋅= .

Відповідь: ,2 HFTP = кгm 2,1= .

§ 3. Рівновага сил. Момент сили

3.1. Правило моментів

Отже, якщо сили, що діють на тіло, зрівноважують (компенсують) одна одну, вони не змінюють швидкість тіла, тобто тіло перебуває у положенні рівноваги. Математично це можна записати так:

∑ =⇒= constvFi 0

,

(const – константа ‒ стала величина).Виявляється, не будь-яку систему сил можна звести до рівнодійної.Якщо до твердого тіла (яке не можна вважати матеріальною точкою)

прикладена пара сил або тверде тіло може тільки обертатися навколо нерухомої фіксованої осі й не може переміщатися вздовж цієї осі, то попередньої умови недостатньо.

Наприклад, на тіло (рис. 5) діють дві сили, однакові за модулем і протилежні за напрямком, але ці сили не лежать на одній прямій. Така система сил не має рівнодійної і називається парою сил.

16

Рис. 5

Умова рівноваги пари сил: 0=∑ M .Обертальна дія сил характеризується моментом сили. Фізична величина, що

дорівнює добутку модуля сили і плеча сили, називається моментом сили відносно осі: dFM ⋅= , де d – плече сили (найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили). Прийнято вважати момент сили від’ємним, якщо тіло обертається під дією сили проти годинникової стрілки, і додатнім, якщо тіло обертається за годинниковою стрілкою.

Тіло, що має вісь обертання, перебуває в рівновазі, якщо алгебраїчна сума моментів відносно цієї осі всіх діючих на тіло зовнішніх сил дорівнює нулю:

0=∑ iM . Цю умову називають правилом моментів.Тоді для тіла (рис. 6) умова рівноваги має вигляд:

22111122 0 dFdFdFdF =⇒=− .

Рис. 6

А для тіла на рис. 5 момент пари сил відносно будь-якої точки на прямій АС: kkkkkkk FlddFdFdFM =+=+= )( /// , де lk – плече пари сил. Прикладом обертання тіла

під дією пари сил є обертання гайки, яку закручують.

Задача 13. Момент пари сил, що діє на голівку гвинта радіусом 5 мм,дорівнює 0,1 Нм. Визначити величину пари сил, які діють на неї під час закручування. Як зміниться величина пари сил, якщо радіус голівки збільшити у два рази із збереженням величини моменту?

Розв’язання. Момент пари сил дорівнює FRFDM 2== , плечем пари є діаметрD голівки. Звідси величина сили дорівнює:

HR

MF 1001,01,0

2=== .

1F

2F

1d

2dO•••

17

Якщо збільшити радіус голівки, величина сил стане:

,502,01,0

42 11 H

RM

RMF ====

тобто зменшиться у 2 рази.

Відповідь: ,10 HF = зменшиться у 2 рази.

3.2. Умова рівноваги важеля. Блок. Прості механізми

Правило моментів справедливо також і для важеля. Важелем називаєтьсястержень (тверде тіло), який може обертатися навколо нерухомої опори. Правило

рівноваги важеля 1

2

2

1

ll

FF = визначив Архімед (рис. 7).

Рис. 7

Якщо на важіль діє більше двох сил, використовують правило моментів у загальному вигляді.

Задача 14. До кінців важеля прикладено напрямлені вниз сили 36 Н і 12 Н. Точка опори розташована на 10 см ближче до одного з кінців важеля. Яка довжина важеля, якщо він перебуває у рівновазі?

Розв’язання. Нехай ,361 HF = ,122 HF = довжина важеля L , а ,10 смl =∆

тоді за умовою відстань від точки опори до першого кінця важеля ,21 lLl ∆−=

а до другого lLl ∆+=22 (рис. 8).

Рис. 8

O

2F

1F

1l 2l

OB A

2F 1F

1l2l

18

Тоді за умовою рівноваги важеля:

1

2

2

1

ll

FF =

і

lLlL

lLlL

FF

∆−∆+=

∆−∆+=

22

)2/()2/(

2

1 .

Розв’яжемо це рівняння відносно L :

)()(2)(2)(

21

212121 FF

FFlLFFlFFL−

+∆=⇒+∆=− .

Звідси мL 4,0)1236(

)1236(1,02 =−

+⋅⋅= .

Відповідь: мL 4,0= .

Задача 15. Стержень із прикріпленим на одному з його кінців тягарцем масою 150 г перебуває в рівновазі у горизонтальному положенні, якщо його підперти у точці на відстані, що дорівнює 1/5 довжини стержня (рис. 9). Чому дорівнює маса стержня?

Розв’язання. У попередніх задачах сам важіль був невагомий, але зазвичай він має масу, якою не завжди можна знехтувати. Ми врахуємо силу тяжіння, що діє на важіль, і будемо прикладати її до середини важеля, а також силу, що діє з боку тягарця.

Рис. 9

Тоді gmF 11 = , gmF 22 = , довжина важеля L , плечі сил 51

Ll =

та 103

522

LLLl =−= .

За умовою рівноваги важеля:

23

1053

1

2

2

1

2

1 =⋅⋅===L

Lll

gmgm

FF .

Звідси .1,015,032

32

12 гmm =⋅==

Відповідь: маса стержня .1,02 гm =

O

gm 2gm

1

1l 2l

19

Під час розв’язання задач на визначення рівноваги тіл, що можуть обертатися, ми записуємо правило моментів відносно певної точки – осі обертання. Вибір осіобертання дуже важливий для розв’язання задачі, причому тіло може обертатися не тільки навколо одної точки, таких точок може бути декілька. Тоді правило моментів можна розписати відносно кожної точки.

Задача 16. До однорідної балки CD = 12 м, що важить Р = 10 Н, прикладені сили Р1 = 30 Н та Р2 = 10 Н. Знайти силу реакції опори шарніра В і катка А (розміри –рис. 10).

Рис. 10

Розв’язання. Розпишемо умову рівноваги важеля відносно точок А і В відповідно:

012 =⋅−⋅−⋅+⋅ CAPABRADPAKP B (1)012 =⋅−⋅−⋅+⋅ KBPCBPABRBDP A (2)

У кожному рівнянні вийшло тільки по одній невідомій силі, їх легко знайти.

HAB

CAPADPAKPRB 108

8012 ==⋅−⋅+⋅= ,

HAB

BDPCBPKBPRA 408

32021 ==⋅−⋅+⋅= .

Відповідь: сила реакції опори шарніра В дорівнює 10 Н, реакції катка В дорівнює 40 Н.

Різновидом важеля є блок, який має вигляд колеса із канавкою, що має вісь обертання. Розрізняють нерухомі (рис. 11, а) та рухомі (рис. 11, б) блоки, умова рівноваги для яких записується, відповідно, PFRPRF =⇒⋅=⋅ та

22 PFRPRF =⇒⋅=⋅ . Це дає змогу використовувати нерухомі блоки для зміни

напрямку дії сили, а рухомі – для виграшу в силі у 2 рази.

С D

20

а б

Рис. 11

Якщо використовувати не один, а декілька різних блоків, то можна отримати виграш у силі у певне число разів.

Інші прості механізми: похила площина, коловорот, клин ‒ також призначені для того, щоб отримувати виграш у силі.

Задача 17. Яку силу потрібно прикласти до тросу А, щоб трос В (рис. 12) було натягнуто із силою 10 кН?

Рис. 12

Розв’язання. На рис. 12 зображено три блоки: один нерухомий, а два (А та В) рухомі. Кожний із рухомих блоків дає виграш у силі у два рази. Тоді, якщодо тросу В була прикладена сила 10 кН, до тросу А потрібно прикласти силу

5,24

104

=== BA

FF кН.

Відповідь: 5,2=AF кН.

Контрольна робота

1. Порожній залізничний вагон, що рухався зі швидкістю 0,8 м/с, зіткнувся з навантаженою платформою. Після зіткнення вагон почав рухатися у зворотному напрямку зі швидкістю 0,4 м/с, а платформа набула швидкості 0,3 м/с. З якою швидкістю рухалися б вагон і платформа, якби вони зчепилися після зіткнення?2. Порожнистий кубик із довжиною ребра 5 см і товщиною стінок 0,5 см здійснює на стіл тиск 640 Па. Якою є густина матеріалу, з якого зроблено кубик?

21

3. Куб складено з великої кількості добре припасованих один до одного дерев’яних кубиків однакового об’єму, виготовлених із різних порід дерева: корок(ρ1 = 240 кг/м3), дуб (ρ2 = 700 кг/м3), сосна (ρ3 = 400 кг/м3) і чорне дерево(ρ4 = 1200 кг/м3). Яка середня густина куба, якщо кількість кубиків із цих матеріалів узято відповідно у відношенні 3:4:2:1?4. До тіла вздовж однієї прямої прикладені три сили, що дорівнюють відповідно 20 Н, 30 Н і 50 Н. Чому може дорівнювати рівнодійна цих сил? Спробуйте знайти всі можливі варіанти. Відповідь поясніть за допомогою рисунка.5. Якщо розтягувати пружину силою 10 Н, її довжина дорівнює 16 см, якщо розтягувати її силою 30 Н, її довжина ‒ 20 см. Яка довжина недеформованої пружини?6. Чому дорівнює вага порожнистого мідного куба з довжиною ребра 7 см та товщиною стінок 1 см?7. Брусок масою 1 кг рівномірно тягнуть уздовж поверхні стола за допомогою пружини жорсткістю 40 Н/м. Чому дорівнює видовження пружини, якщо коефіцієнт тертя між бруском і столом дорівнює 0,2? Як зміниться видовження пружини, якщо на брусок покласти тягарець масою 0,5 кг?8. Однорідна горизонтальна балка масою т = 60 кг і довжиною 4 м спирається на опори у точках А та В. На кінці балки висить тягарець масою т1= 50 кг. Визначтесили дії балки на опори, якщо l1 = 2 м, l2= 0,5 м.9. Визначте величину сили F, необхідної для утримання системи у рівновазі, якщо маса тягарця, підвішеного на важелі, становить 45 кг (рис. 13). Маса важеля ‒ 1 кг.

Рис. 13

10. Двері висотою 2 м та шириною 1 м підвішені на двох петлях, що розташованіна відстані 10 см кожна від верхнього і нижнього країв двері. Маса двері 36 кг. З якою силою двері тягнуть верхню петлю в горизонтальному напрямі?

22

Для нотаток

23

Для нотаток

Формат 60х84/16. Друк цифровий.Папір офсетний 80 г/м2.