БОЙМУРОД АЛИЕВ АЛГЕБРА - mavod.tj · ББК 22.14Я72+74.262 А-49 Алиев Б. Алгебра. Китоби дарси барои синфи 8. - Душанбе:

БОЙМУРОД АЛИЕВ

АЛГЕБРАКитоби дарсй барои синфи 8

Нашри дуюм

Вазорати маорифи Чумхурии Точикистон тавсия кардааст

"Собириён" Душанбе - 2013

ББК 22.14Я72+74.262 А-49

Алиев Б. Алгебра. Китоби дарси барои синфи 8. - Душанбе: «Собириён», 2013, 320 сах,.

Хонандаи азиз!Китоб манбаи допишу маърифат аст, аз он бауравар шавед

ва онро эх;тиёт намоед. Кушиш ба харц диуед, ки соли хониши оянда х,ам ин китоб бо намуди аслиаш дастраси

додару хоуарчауоятон гардад ва ба онх,о низ хизмат кунад.

Истифодаи щоравии китоб:

№ Ному насаби хонанда Синф Солитахсил

Х,олати китоб (бах,ои китобдор)Аввали

солихониш

Охирисоли

хониш1.2.3.4.5.6.7.

ISBN 978-99947-852-4-7

САРСУХАН

Китоби дарсии мазкур дар асоси "Барномаи алгебра барои синфхои VII-XI" (Душанбе, "Матбуот", 2002), ки онро Вазорати маорифи Ч,умх,урии Точикистон маъкул донистааст ва Стандарти давлатии маълумот аз математика таълиф гардидааст. Амалан мундаричаи китоб аз доираи барнома васеътар буда, кариб тамоми маводи таълимро аз фанни алгебра барои синфи 8-уми мактабхои тамоили табиию риёзй дар бар мегирад.

Дар китоб зиёда аз 4 хдзор мисолу масъала гирд оварда шудаанд, ки халли онх,о зарурияти истифодаи тамоми пахлухои маводи назариявиро инъикос мекунанд. Мисолу масъалахои хар як банд чунин чойгир карда шудаанд, ки бо зиёд шудани ракамашон раванди халли онх,о андаке мушкил мегардад. Аз хамин сабаб чанд машки аввалаи дар банда пас аз назария омадаро хамчун машки шифохд шумурдан мумкин асг.

Дар китоб машкхое, ки онхоро шифохД ё хаттй ичро кардан даркор аст, мушаххас нишон дода намешаванд. Бо назардонгги сатхи тайёрии синф ин кор ба зиммаи омузгор гузонгга мешавад. 8-12 машки аввалаи хар банд ба сатхн натичахои хатмии таълим мувофик меоянд. Машкхо барои кори хонагй ва кори синфй аз хам чудо карда нашудаанд. Ин имкон медихад, ки вобаста ба вазъи донишу малакаи синф омузгор дар ин кор мустакилона рафтор намояд. Гайр аз, ин доираи васеи машкхои китоб имконияти ба хар талаба бо назардошти кобилияти фардй супурдани вазифаи хонагиро фарохам меоварад, хусусан аз кисми "Машкхои иловагй дойр ба боб", ки дар охири хар як боб нисбати хар параграф оварда мешавад.

Ч,авобхои машкхои хар як боб дар охири хамин боб оварда мешаванд. Ин имкон медихад, ки вакти барои санчидани дурустии чавоби ёфташудаи манщ сарфа карда шавад.

Кдсми зарурии маълумоти назариявиеро, ки дар китоб аз курси алгебраи синфи VII баррасй шудааст, пеш аз гузаштани мавзуи нав бояд хотирнишон кард.

К^исми назариявии хар як банд бо овардани саволхо барои мустахкам кардани маводи омузиш ва кисми машкхо бо машкхо барои такрор ба охир мерасад. Дар кисми машкхои такрорй мисолу

3

масъалахое гирд оварда шудаанд, ки онхо ба маводи синфхои IV- VII ва бандхои пешина тааллук доранд. Агар дар машкхои банд масъалахои матнй набошанд, он гох дар кисми такрор хатман чунин масъала оварда мешавад.

Яке аз талаботи Стандарти давлатии маълумоти умумй дар Точикистон омузиши осори илмии ниёгон аст. Хонандагон бояд аз таърихи илм, аз бахсхои илмй дар гирди ин ё он гоя, аз такдири кашфиёт, муаллифонашон ва таъсири бевоситаи онхо ба инкишофи ояндаи илм вокиф гарданд. Бо хамин максад дар хдр боб дойр ба пайдойиш ва ривочи мафхумхои математикии он, таърихи дохил кардани ишорахо ва гайра маълумоти таърихй оварда мешавад. Дар айни хол диккати асосй ба кашфиёте дода мешавад, ки ба нобигахои илми Шарк, алалхусус Осиёи Марказй мансуб аст. Ба андешаи мо, мавчудияти чунин мавод дар китоби дарсй аз умумибашарй будани натичахои илмй гувохй дода, боиси дарки ифтихор ва хеигганшиносии хонандагон хохдц гардид.

Дар китоб як силсила масъалахои хдллашон нисбатан мураккаб оварда мешавад. Ин масъалахоро хангоми тайёрй ба олимпиадахо истифода бурдан мумкин аст. Дар бандхо бошад, машкхои мураккабтар бо аломати * шпора карда мешаванд.

Хднгоми навипггани китоб баъзе машкхо аз китоби дарсии синфи 8-ум "Алгебра" (дар зери тахрири С.А.Теляковский - Душанбе, "Маориф", 1990), китобхои дарсии озмойишии "Алгебра 6-8" (муаллифон Ш.О.Алимов, В.А.Илйин ва дигарон - М., "Просвещение", 1981), "Алгебра, 6-9" (муаллифон М.С.Гелфанд, В.П.Простосердов - М., "Просвещение", 1983) шрифта шудаанд. Инчунин маводи таълимии чунин мамолик ба монанди Русия, ИМА, Англия, Олмон, Туркия, К^азокистон, Узбекистон, Кдргизистон ва чанде дигар истифода шудаанд.

Китоби мазкур кадами аввалин дар кори навиштани китоби дарсй аз фанни алгебра барои синфи VIII мебошад. Ачаб нест, ки вай аз камбудихо холй набошад. Бинобар ин, аз истифодабарандагон, хусусан аз муаллимон эхтиромона хохиш карда мешавад, ки фикру мулохизахояшонро рочеъ ба китоб ба сурогаи: 734012, Душанбе, хиёбони Айнй, 45, Пажухишгохи рущди маорифи Академияи тахсилоти Точикистон ирсол намоянд.

Муаллиф

4

Боби IКАСР*ОИ РАТСИОНАЛИ

§1. КАСРИ РАТСИОНАЛИ. с о х д и МУАЙЯНИ ВА х о с и я т ^ о и о н

1. ИФОДА ВА КИМАТХОИ ОНЧй тавре медонем, амалхои чамъ, тарх, зарб, таксим ва

бадарачабардорй бо нишондихдндаи бутуни натуралй амащои арифметики ном доранд. Аз ададхо ва тагйирёбандахо бо ёрии амалхои арифметикй ва кавсхо ифода тартиб додан мумкин аст. Масалан,

-----Ъ* , l i t Ц , - L , i(5 _2 2) ■ 3 — 2 Iх-У) а+в 6 О )

4

ифода мебошанд.Ифодаи тагйирёбанда надошта ададй номида мешавад.

Ифодаи ададиро ифодаи арифметикй хам мегуянд. Аз ифодахои дар (1) овардашуда аввалин ва охирин ададианд. Агар дар ифодаи ададй хамаи амалхои дар он бударо мувофики коидаи тартиби ичрояшон ичро намоем, ададе хосил мекунем, ки он кимати ифодаи ададй аст. Хдр гуна ифодаи ададй дорой як кимат мебошад. Ё чй тавре мегуянд, яккимата аст, агар дар он ба нул таксимшавй мавчуд набошад.

М и с о л и 1. Кимати ифодаи----- — — -г ба баробар аст.(5_22) .з 4 65

4Дар хакикат,

2 —

2 , 4 ________5 _ 2 2 . 3 1 _ 1 2 . 1 3 ^ 1 2 -4 48

(5 -2 2)-3— (5 - 4 )3 - 5 4 5 4 5-13 654 4

Кимати ифодаи тагйирёбандадор аз кимати тагйирёбандахои дар таркиби он буда вобаста аст. Агар кимати тагйирёбандахо иваз шаванд, чун коида кимати ифода низ тагйир меёбад.

5

М и с о л и 2. Климата ифодахои зеринро х,исоб мекунем:

а) '"е + 4 ' хангоми а=0,2 ва в=-0,1 будан.

Барои чунин а ва. в кимати ифода ба

3 • 0,2 + 2 ■ (-0,1) 0 ,6 -0 ,2 0,4 4 39 _ 4-0,1 + 4 ” 3,9 ~ 3,9 _ 10 ' 10 “ 39 бар° бар аСТ'

б) a(a2-6a+\\) барои а=1, а=2, а=3 ва а=-1.Хднгоми а= 1 будан 1-(12-61 + 11)=1-6+11=6;Хангоми а=2 будан 2-(22-6-2+11)=2 (4-12+11)=6;Хангоми а= 3 будан 3-(32-6-3+11)=3-(9-18+11)=6;Хангоми а=-1 будан -1-[(-1)2-6(-1)+11]=-(1+6+11)=-18. Хамин тарик, барои ёфтани цимати ифода хангоми дода

шудани цимати тагйирёбандахо дар ифодаи мазкур ба цойи тагйирёбандахо циматх;ои он%оро гузошта, бо ададуои Хосилшуда амащои дар ифода бударо ицро намудан кифоя аст.

Вале агар хднгоми хдсоб кардани кимати ифода барои баъзе Киматх,ои тагйирёбанда ба зарурати ба сифр таксим кардан дучор оем, он гох, мегуянд, ки барои чунин циматх;ои тагйирёбанда, ифода цимат надорад (ифода маъно надорад).

М и с о л и З . а) Ифодаи 4д + 1 хднгоми а=0,2 будан маъно5а -1

надорад, чунки хангоми дар ифода ба чойи а гузоштани 0,2 махрач ба нул баробар мешавад, ба нул бошад, таксим номум- кин аст.

б) Ифодаи ~ху+~ хангоми д:=3 ва у -2 будан, маъно надорад; 2х-Ъу

хангоми х - 6 ва у - 4 будан ё хангоми х=9 ва у= 6 будан низ.Х,ангоми халли масъалахои матнй ифодахои гуногунро хосил

кардан мумкин аст.М и с о л и 4. Аз ду шахр, ки масофаи онхо S км аст, дар як

вакт ба мукобили хамдигар ду мошин равон шуданд. Суръати якум V] ва суръати дуюм V2 км/соат аст. Онхо баъди чанд соат вомехуранд? Ба савол чавоб дода шавад, агар: а) 5=400 км, V=40 км/соат, V=60 км/соат; б) 5=450 км, F;=53 км/соат, F,=37 км/соат бошад.

6

Хал. Бигузор t вакти вохурии мошинхо аст. Мошини якум дар ин муддат F;-r км ва дуюм V2t км масофаро тай мекунанд. Зохдран фахмост, ки Vjt+ V2t=S мебошад. Аз ин чо:

S't =-Vi+V2 (2)

Хамин тарик, вакти матлуб кимати ифодаи —-----—— буда,V1 + V 2баробарии (2) формулаи халли масъала аст. Бо харфхои S, Vp V2 ва t, 4 - то тагйирёбанда ишора карда шудааст. Ададхои дар шарти масъала буда - 400 ва 450 киматхои тагйирёбандаи S ; 40 ва 53 киматхои тагйирёбандаи V/, 60 ва 37 киматхои тагйирёбандаи V2 хастанд.

К^имати тагйирёбандаи r-ро хангоми дода шудани дигар тагйирёбандахо хисоб мекунем:

400 450а) г ~ 40 + 60 г = 4соат; б ) г - ^ ^ - 5 , , = 5соат.

1. Ифодаро чй тавр тартиб додан мумкин аст? 2. Чй гуна ифода ададй ном дорад? Ифодаи гайриададй чист? 3. Хднгоми дода шудани тагйирёбандахо кимати ифодаро чй тавр меёбанд? 4. Ибораи "ифода маъно надорад"-ро шарх дихед. Мисоли чунин ифодахоро оред. Тагйирёбандахо и мувофикашонро нишон дихед.

1. Кимати ифодаи ададиро ёбед:

л 1 4~ _3I 1 о 1- 5а) 2--1^-2 ,3; б)-5 2 45 2 2,6-(1-у)

6 — -0,5-2,5:1,2 . . _

в ) - ^ 2-------; г ) 2 7 -------- 1— Г'0,6:2,4 + “ -0,15 ' 4 , 6 - 2 -

3 4

2. Кимати ифодаро хисоб кунед:

13 42,5-1— -4 ,5 :1—б ) _ _ 1 5 _ _ 1 5

' 1 3 2 '6—: 4—-0,5- —2 4 19

3. Кдмати ифодаро ёбед:

ч 2а~5а) 2а+ 5 х,ангоми а=-2;

х2 — 1 1б) х+ -----— хангоми х = —;х + 2 2

ч «2+4в) —— хангоми в=4;Зв

с + 2 сг ) - хангоми с=1,5 будан.

С С — 2.

(а + в)2 — 24. Кимати ифодаи — -2— j— хангоми:

а +в

а) а=-1 ва в=-2; б) а=-0,5 ва в - 1^ будан ба чй баробар аст?

5. Климата ифода хисоб карда шавад:

ч о2 -в 2 с « 4а2-1 1а)-------- хангоми а - 6, в=4,5; б) 2а +-------- хангоми а = —;a - в а+1 2

\ Х + У 1 л с \ (^ + г ) 2 _ ( / _ г ) 2 тв) —— хангоми jc= 10, у= 5; г) ----- -— ----- — хангоми г=7,х г - у ' t+z

z=5 будан.6. Ифодаи зерин барои кадом кимати тагйирёбанда маъно

надорад:

ч 2 ~ а . ~ 4 . ч 2я + 1а) 6> 1 7 Й 0 ' в> а

У . ч 2х +1 . -10 ,(>>-1)2’ 2х-1 ’ ^ 11 + 2х

8

7. Барои ифода ва киматх,ои додашудаи тагйирёбанда хдмонашро нишон дихед, ки барояш ифода маъно надорад:

а - 1(а - 5)(а + 5) ’ а=-5; -2,5; 1,2; 5; 6; 7.

6> 3 ^ ? « - * - 1 ; * i f . 2.

х^ — х — 2в ) J, х=-1; 2; 5; 6; 7.

’ 3 6 -1 2 х + х 2

2у-1 1^ (1 + Д')0'-3) ’ У~ '2, "1; 2 ’ 3’ 3,5‘8. Барои кадом кимати тагйирёбанда, кимати ифода ба нул

баробар аст:

. х ~2 . д(а-1) г2- 9. ч 2х-5„а) 2 1 » б) ^ — г ; в) 1 7* г) -----Г' х^+1 2 а -1 г +5 х -19. Чадвалро пур кунед:

X -12 -4 -0,6 015

1 4 *3 8

х + 1х+2

10. Катора бо суръати Vl км/соат t1 соат ва бо суръати К , км/ соат t2 соат х д р а к а т намуд. Кдтора тамоми рохро бо кадом суръати миёна тай намудааст? Суръати миёнаи катораро бо воситаи Vj, tp V2 ва t2 ифода намоед. Суръати миёнаро ёбед, агар:a) t = 2, V=10, t = 1, V = m 6) t = 1, V=90, t = 2, V=S0 бошад.

Машкхо барои такрор11. Муодиларо хал кунед:

а) -6х=17; б)-4х = у; в) 2х+3=1;

г) (х-1)(х-2)=0; д) -0,7х+2=1; е) 2-Зх=5.

9

12. Ифодаро сода намоед:а) (x+_y)(jc2-x_v+_v2)-x(x2+_v2);б) 3(а-2в)(2в+а)-0,5в(а-24в).

13. Аз формулахои зарби мухтасар истифода карда, бисёраъзогиро ба зарбкунандахо чудо кунед:

а) х4-1; б) 9z2-25; в) 9а2+24ав+16в2; г) 16х2-9.14. Собун шакли параллелепипедро дорад ва андозахои он

ба 8 см, 4 см ва 2 см баробар аст. Баъди 7 рузи истифода андозахои он 2 маротиба кам шуданд. Агар микдори истифодаи харруза тагйир наёбад, собуни бокимонда ба чанд руз мерасад?

2. ИФОДАХОИ БУТУН ВА РАТСИОНАЛИ

Т а ъ р и ф и 1. Ифода бутун номида мешавад, агар он аз ададхо ва тагйирёбандахо бо воситаи амалхои чамъ, тарх, зарб, инчунин таксим ба ададй аз нул фарккунанда ва кавсхо тартиб дода шуда бошад.

2Масалан, ифодахои 8a V , (т-п)2, (х2-у2)(3а+в), —(а-в),

^ * бутунапд. Ифодахои зерин, масалан, бутун нестанд:

3а - в а2 л-в2 1 4(х + у)4а + 3в ’ У’ 7z3 ‘Вокеан, намуди содатарини ифодаи бутун якаъзогихоанд.

Масалан, 2х2у2, 3a*z, —ху ва хоказо.

Зохиран фахмост, ки хар гуна ифодаи ададй ифодаи бутун аст, агар махрачаш гайринулй бошад. Ифодаи бутун барои хамаи киматхои тагйирёбандахояш маъно дорад, яъне яккимата аст. Барои ёфтани кимати ифодаи бутун кифоя аст, ки дар он киматхои тагйирёбандахоро гузошта, амалхояшро бо тартиби зарурй ичро намоем.

М и с о л и 1. Климата ифодаи бутуни (Зх2-4У)2+(2х2-5)3+9 - ро хангоми х=\ ва у=2 будан, хисоб мекунем:

(3.х2-4_у2)2+(2х2-5)3+9=(3-12-4-22)2+(2-12-5)3+9= =(3-4-4)2+(2-5)3+9=(-13)2+(-3)3+9= l 69-27+9=151.

Т а ъ р и ф и 2. Ифодаи аз ададхо ва тагйирёбандахо иборат- буда ратсионалй номида мешавад, агар дар он бо тагйирёбандахо танхо амалхои чамъ, тарх, зарб, таксим ва бада- рачабардорй мавчуд бошад.

Ин ифодахо мисоли ифодахои ратсионалй хастанд:

За-5в , , 1 0 2(х + у) 1 „ Ъв 11 а + в 2 ’ А Х У ’ Я + 3* в + с ) ’ З а 2 ’ 7 ’ Т ’ I " ' ( 3 )

Возех, аст, ки хар гуна ифодаи бутун ифодаи ратсионалй аст. (Барои чунин ифода таксимкунанда ба вохид баробар аст!) Ифодаи бутунро бутунан ратсионалй хам мегуянд. Агар ифода дар таркиби худ таксимро ба тагйирёбандахо ё ба ягон ифодаи тагйирёбандадори дигар дошта бошад, вай касран ратсионалй ном дорад. Ифодаи ратсионалиро ифодаи алгебравй хам меноманд. Дар (3) ифодахои дуюм, чорум ва охирин бутунан ратсионалй буда, дигархояшон касран ратсионалианд.

Тарзи ёфтани кимати ифодаи дилхохро дар банди 1 дида будем. Дар ин чо бо хисоби кимати ду ифода, ки барои киматхои додаш удаи тагйирёбандахояш он маъно доранд, махдуд мешавем.

л _ 2 М и с о л и 2. Кимати касри ^ —=^-ро хангоми х = т>

х + у *и с о л и 2. Кимати касри ^ —^ - р о хангоми

х + у_V=-1,5 будан, меёбем:

3 | | - (-1,5)1 3 ± + 1,5г 2

3(х-у)_ U ” ) _ 1з * ) _ {ъ 2) _ 2 _ 234 >,40

х2+у2~ ( 2) \ < is')2 _ — + 2,25 “ * + 9 97 “ 97‘| - | +(-Р ) 9 9 4 36,3 ,

а2+в3М и с о л и 3. Кимати касри -------- хангоми а=2 ва в=3Зав

_ 22 + З3 4 + 27 31 , 13 ^ „ будан, ба “Is “ Is баробар acr.

11

1. Чй гуна ифода, ифодаи бутун номида мешавад? Мисолхо оред. Ифодаи бутун чандаимата аст? 2. Яккимата будани ифодаро чй хел маънидод кардан мумкин аст? 3. Таърифи ифодаи ратсионалиро дихед. 4. Оё хар гуна ифодаи бутун ратсионалй аст? Чаро? 5. Бо мисол нишон дихед, ки хосили чамъ ё тархи ду ифодаи ратсионалй ифодаи бутун шуда метавонад.

15. Аз ифодахои зерин кадомашон бутун ва кадомашон ратсионалй мебошанд:

2 + а > 4 х ’ 2х + у ’’ 7 +Г 5 ’ а2 +1

2—х - 2 z _ z 4 " з па2+(в-с)3; x2 +y2+z2 ’ 2 5 ~ Т '16. Оё хамаи ифодахои зерин бутунанд:

__ 7 _ . I . х - 3 . 3х - у 2 ' 2 х 2- у 21 ’ в ’ 3 ’ v 2 и2 ’ в * 1 4 -2 ^ в 3 х -У 3 --2 ,72 - 3

_ т/. (2jc - j)2 +1 217. Кдмати ифодаи ------ —у----- ро хангоми: а) х = — ва у=-1;X - у 3

б) jc=1 ,2 ва у=2 будан хисоб кунед.18. Ифодае тартиб дихед, ки он ба:а) нисбати ададй а бар фарки секаратаи а ва квадрата ададй в;б) нисбати ду ад ад, ки фарки квадраташон ба 36;в) хосили зарби суммаи m ва п бар ададй а;г) куби хосили зарби квадрата а бар в баробар аст.19. Масофаи байни ду бандар S км аст. Завраки мотордор ин

масофа ва масофаи ба он баробарро ба самта мукобил дар чанд соат тай менамояд, агар суръати чараёни дарё V км/соат ва суръати заврак дар оби ором и км/соат бошад?

Соати матлубро бо t ишорат намуда, формулаи халли масъаларо тартиб дихед ва натичаро хангоми: а) 5=28, м=12, V=2; б) 5=18, м=16, V-4 будан ёбед.

3 . ( * - . У ) 2 . х 2 1а + 5

12

20. Коргар дар мудцати т руз а-тогй махсулот истехсол кард. Баъд ташкили мехдатро бехтар карда, хар руз e-тогй махсулот истехсол мекард. Барои ичрои тамоми супориш ба вай л руз зарур шуд. Супориш аз чанд дона махсулот иборат буд?

Барои халли масъала ифода хосил намуда, кимати онро хангоми:

а) а-13, в=80, т=20, л=35; б) а=100, в=120, т - 12, «=27 будан, хисоб намоед.

21. Барои кадом кимати тагйирёбанда ифодахои зерин кимати нулро кабул мекунанд:

З х - 2 2 -3 ,2 а . 4(х - 1)(jc + 2 ) . / ~ 4 ?х 2 + Г 2х+1 ’ х 2 + 6 х + 9 ’ З'+З

22. Ифодахои зерин барои кадом кимати тагйирёбанда маъно надоранд:

х -1 . j Q - l ) . 3,5х + 2 7х + 3?~1Г’ Ъу+4 ’ у - 1 ’ 2х-5

Машцхо барои такрор23. Ба бисёраъзогй табдил дихед:а) (а+1)(а+4); б) (3а-1)(2д+3); в) (x - l f ;г) (5х-1)2-(х+2)2; д) (1-х)(2х-3); е) (х2+1)(х-1).24. Ба зарбкунандахо чудо кунед:а) х2-16; б) 16х2-а2; в) х2-4х+4;г) о3-27; д) а2 -1; е) 8-я3х3.

25. Графики функсияи У = - ^ + 2-ро созед. Оё нуктаи:

а) А(9;-1); б) В(6;4); в) С(-2;3) ба ин график тааллук дорад?

26. Мошин ба муддати ~ соат 50 км рохро тай намуда, баъд

суръати худро 8 км/соат зиёд намуд. Аз ибтидо дар 2 соат мошин чанд километр мегардад?

13

3. СОХДИ МУАЙЯНИИ КАСРИ РАТСИОНАЛИ

Т а ъ р и ф и 1. Ифодаи намуди — , ки дар он и ва v ифодахои

дорой ададхо ва тагйирёбандахо хастанд, касри ратсионалй ё каср номида мешавад.

Ифодахои

в2 х - у х + у 1 а + ~ 1 4

3 + х ’ 2а2 х ’ £ + с ’ 1 + 1 ’ 5в х

мисоли касрхои ратсионалианд. Таъкид мекунем, ки на хар гуна

ифодаи ратсионалй каср аст. Масалан, ифодаи касрии а+—вкасран ратсионалй буда, касри ратсионалй нест. Фахмост, ки хар гуна ифодаи касран ратсионалй дар таркиби худ касри ратсионалй дорад.

Ифодаеро, ки дар таъриф бо и ишорат шудааст, с у рат и каср ва бо v - махраци каср меноманд.

Барои хисоби кимати каср хангоми дода шудани кимати тагйирёбандахояш амали охирин, амали таксим аст. Агар барои баъзе кимати тагйирёбандахо махрачи каср v ба нул мубаддал гардад, он гох барои ин кдмат каср маъно надорад. (ниг. ба мисоли

3-и банди 1). Масалан, касри х = --------------- барои хдмонх 2 - у ( х - у ) ( х + у)

киматхои х в а . у , ки х -^ ^ О ё х^_^ва x + j^ O ё х * - у мебошанд,

маъно дорад. Дар навбати худ, касри — “— маъно надорад, агарa ( a - 1)

а(а-1)=0 шавад, яъне дар холати а=0 ва a - 1 будан.Т а ъ р и ф и 2. Сохаи муайянии каср ё со ха и киматхои

имконпазири тагйирёбандахо гуфта, хамаи хамом киматхои гагйирёбандахоро меноманд, ки барояшон каср маъно дорад.

Зохиран фахмост, ки сохаи муайянии ифодаи касран ратсионалй аз хамаи хамон киматхои тагйирёбандахо иборат аст, ки барояшон хар як касри ифода маъно дорад. Рафту агар

14

сурат ва махрачи каср ифодахои бутун бошанд, он гох, сохаи муайянии чунин каср аз хамаи хамон киматхо иборат аст, ки барояшон кимати махрач ададй гайринулй аст.

2х +1 4М и с о л и 1. К асри-------хангоми х=-3, -1, 0, — ва 2 будан,х-Ъ ->

мувофикан киматхои ва *5-ро кабул менамояд.6 4 3 11

Хднгоми х=3 будани махрачи каср х-3 ба нул мубадцал мегардад. Ба нул бошад, таксим номумкин аст. Пас, хамаи киматхо, ба гайр аз кимати х=3, сохаи муайянии каср ё киматхои имконпазири тагйирёбандаи х аст.

М и с о л и 2. Сохаи муайянии касри ~а. +в -ро меёбем.а -4

А збаски а 2-4=(а-2)(а+2) аст, пас касрро дар намуди

— 2а + в— навишта мебинем, ки хангоми (а-2)(а+2)=0, яъне (а-2)(а + 2)а-2=0 ё я+2=0 будан, махрачи он нул мешавад. Хамин тарик, агар а=2 ё а=-2 бошад, махрач а2-4 баробари нул аст.

Инак, сохаи муайянии каср хамаи киматхои а, гайр азкиматхои а=2 ва а=-2 аст. Кутох, сохаи муайянии каср й / 2 вааФ-2 аст.

2 3jcМ и с о л и 3. Сохди муайянии ифодаи х3 +----- ------ро меёбем.х х-1

Ин ифода дар таркиби худ як ифодаи бутун ва ду касрро дороет. Касри якум маъно дорад, агар х * 0 бошад. Касри дуюм хангоми х — 1 * 0 ё х ф 1 будан, маъно дорад.

Хамин тарик, хамаи киматхои тагйирёбанда, ки ба 0 ё ба 1 баробар нестанд, сохаи муайянии ин ифода мебошанд.

М и с о л и 4. К,имати тагаирёбандаро, ки барояш кимати

касри 2У+^ ба нул баробар аст, меёбем.

Каср ба нул баробар аст, агар сурати он (таксимшаванда) нул бошад: 2^-5=0. Аз ин чо, 2у=5, у - 2,5.

Инак, хангоми у= 2,5 будан, кдмаги касри мазкур нул аст.15

1. Касри ратсионалй чист? 2. Оё хар- гуна ифодаи касран ратсионалй каср аст? 3. Дар кадом холат каср маъно надорад? 4. Кадом киматхои тагйирёбандахо сохаи муайянии каср ё сохаи киматхои имконпазири тагйирёбандахоро ташкил медиханд? 5. Сохаи муайянии касреро, ки сурату махрачаш ифодаи бутун аст, чй тавр меёбанд?

27. Кадоме аз ифодахои ратсионалии

а 2 -1 а3 +1 ’

х + у 2

4а 2 + 2 а - 6 , а 6 + — ,

са 2 +3

4 а25 ’

5а2 +2, 4 а + ~ , а

2 1 1 4 г 2х+1 4хX г 1 т л ,х 3 х - 1 ’ х 3 +1

бутунан ратсионалй ва кадомашон касран ратсионалианд? Кадоми онхо каср хастанд?

28. Барои кадом кимати тагйирёбанда ифода маъно дорад:

ч 2 х -1 2 4 2 ,а ) 4 J + 3 ’ б ) а - Г В) 5 Х + t

Г> а+^а+А' Д> ! “ ■29. Барои кадом кимати тагйирёбанда ифода маъно надорад:

ч З х -1 1 4х + 1 ч х6> ‘ + W В) (4д:-1)(2х + 5)’ r ) T Z T 5 -

30. Сохаи муайянии касрро ёбед:

Зх 2х+1 2 х + 6 2 х - 1а ) 2 Г ^ 7 ; б ) З ^ П ; В) ( х - 2 ) ( х - Л У г> (х + 5 )(2 х -3 ) ’

Зх + 4 4х х - 1 5хД) 5 х - Г С) х 2 - 9 ’ Ж) (2 х - 5)(х + 1 )’ 3) (4 х -3 ) (х -6 )

31. Барои кадом киматхои тагйирёбанда кимати касри:

ч У~6 . Гч 2х+1 ч х (х - 2 ) ч х (х -1 )а ) — б ) — , в ) - ^ , г ) - ^

ба нул баробар аст?

16

32. Кимяги тагйирёбандахоро, ки барои онхо ифода нул нест, ёбед:

„ 2 х - 3 х - 2 х 2 -3 6 ч х(х + 3)а) —-— ; б)— т; в ) -------- ; г) —— — •’ 5 ' х + 4 ' х 4 х - 5

33. Сохаи муайянии функсияро ёбед:

1 _ 2х + 1 1 1a) y = — i ' б) т у ‘ х * 1 ^ г

2х -Ъ34. Барои кадом кимати тагйирёбанда касри —- — ба:

а) -2; б) -1; в) 3; г) -5 баробар мешавад?35. Нишон дих,ед, ки барои киматх,ои дилхохи тагйирёбанда

кимати касри:

а) — мусбат; б) +1 манфй; в)- : - - - гайриманфй;х 2-л-2 - 2 10

г) гайримусбат мебошад.- у -4

а36. Оё аломати касри — хднгоми а>0 ва в<0 будан, мусбатв

аст? Хднгоми а<0 ва в>0 будан чй?37. Касре тартиб дих,ед, ки:а) сурати он фарки квадратной тагйирёбандах,ои х ва у буда,

махрачаш хосили чамъи онхост;б) сураташ фарки тагйирёбандахои х ва у буда, махрачаш

дучандаи хосили зарби онхо аст.38. Чддвалро пур кунед:

X -2 -1,5 012 2 2,5 3

х2+4х

39. Чунин кимати тагйирёбандаро ёбед, ки барои он киматхои ифодахо ба хам баробаранд:

а) 4+5а ва За+4; б) ва Зх-5.

17

40. Нисбати суммаи кубхои ададхои а ва e-ро бар суммаи квадрати онхо тартиб дода, кимати нисбатро х,ангоми а=-4 ва в=-2 будан, хисоб кунед.

41. Барои кадом киматхои а решай муодила нул аст: а) ах-1=2а-х; б) За_у+12=За+4;в) а2+ах=Лх+ \ ; г) a2+az=z+91

Машкхо барои такрор42. Бисёраъзогиро ба зарбкунандахо чудо кунед:а) тх+2т; б) х3+х2+;с; в) 20ах-\0ау;г) -15а2х 2+5а*х; д) х 2-5ах; е) 5v3-10v2+5v.43. Ифодаро сода намоед:а) в2-(в+1)(в-5); б) (4x-0,5)(4x+0,5)-16x2;в) 3x(l-3x)+9x2; г) 2(х-2у)(2у+х)-0,5у(х-16у).44. Баъди 5 соату 25 дакика пас аз он ки амад равон шуд,

'• заврак ба харакат cap кард. Дар кадом масофа аз бандар онховомехуранд, агар суръати оби дарё 3 км/соат ва суръати заврак дар оби ором 13 км/соат бошад?

45. Хднгоми хушк кардан ангур чоряки массаи худро нигох3

медорад. — хдссаи ангури хушк канд аст. 42 кг ангур чи кадар

канд дорад?

4. ХОСИЯТИ АСОСИИ КАСР.ИХТИСОРИ КАСРХО

Хотиррасон мекунем, ки дар курси математикаи синфи VI

нисбати ду адад — -ро касри одй ё касри ададии одй номида п

будем, ки дар ин чо т ва п ададхои бутунанд. Инчунин дида будем, ки агар сурату махрачи касрро якбора ба хамон ададй гайринулй зарб ё таксим намоем, аз ин бузургии каср тагйир

т

намеёбад. Яъне — = — ва — = — барои хар гуна р* 0. п пр п

Р

18

Ин хосияти асосии каср аст. Вай имконият медихад, ки каср ихтисор карда шавад, ки ин амалиёт аз таксим намудани сурату махрачи каср ба хамон як ададй натуралй иборат аст. Барои ин сурату м ахрачро ба зарбкунандахои сода чудо карда, зарбкунандаи умумии онхоро хат задан лозим аст. Масалан,

21 3-7 7 156 2-6 13 651 _ 3 1 7 _ 17’ 286 211-13 11

иНишон медихем, ки ин хосият барои касри ратсионалии —

низ дуруст аст. Чй тавре дидем, барои киматхои сохаи муайянии тагйирёбандахо, кимати мувофики касри ратсионалй, касри ададй аст. Барои хамин ким атхо, кимати ягон ифодаи мушаххаси t хам ба ададе баробар аст. Агар ин адад нул набошад, пас аз руйи хосияти касри ададй, баробарии

- = — (4)V v t v '

барои хамин киматхо дуруст мебошад. М асалан, сурат ва

х с , 1 с х (х + 1)махрачи касри — - -ро ба х+1 зарб карда, касри -— ------ -рох — 2 (х - 2)(х +1)

хосил мекунем. Касри якум хангоми х=2 ва касри дуюм хднгоми х=2 ва х=-1 будан, маъно надоранд. Барои хамаи дигар киматхои тагйирёбандахо кимати ин ифодахо мавчуд буда, якхелаанд. Дар

хакикат, масалан, хангоми х=5 будан, ифодаи ба ~ ва

х(х +1) 5 ифодаи — -------— низ ба - баробар мебошанд. Хднгоми х=1(х -2 ) (х + 1) 3

будан, касри якум ба -1 ва касри дуюм ба - - , яъне боз ба -1

баробар аст.Т а ъ р и ф. Ду ифодаи аз тагйирёбандахои якхела иборат,

айниятан баробар номида мешаванд, агар барои киматхои имконпазири тагйирёбандахо киматхои мувофики онхо бо хам баробар бошанд.

19

Хамин тарик, айниятан баробар аст,

агар х ф -1 ва х *2 бошад.Ду ифодаи айниятан баробарро бо аломати баробарй бо хдм

пайваст карда айният хосил мекунем. Инак, баробарии

айният мебошад.Аз мулохизахои боло бармеояд, ки баробарии (4) айният аст,

яъне барои хдмаи киматхои имконпазири тагйирёбандахо (барои хамаи киматхо аз сохаи муайянии касрхои дар кисми чап ва рост будаи он) дуруст аст. Хосиятеро, ки бо воситаи айнияти (4) ифода шудааст, хосияти асосии каср меноманд. Айниятан тагйир додани ифода табдилдщии айниятии он ном дорад.

Хосияти асосии каср (4) имконият медихад, ки каср ихтисор карда шавад, ин яке аз намудхои табдилдихии айниятй аст. Барои ин сурат ва м ахрачи касрро ба ифодахои аз зарбкунандахо иборатбуда чудо карда, ифодахои умумии онхоро хат задан даркор аст.

49х у4М и с о л и 1. К аср и ------ро ихтисор мекунем:63х у

Сурат ва махрачи касрро ба намуди хосили зарбхои дорой хамон як зарбкунандаи 7х3/ буда, ифода карда, касрро ба хамин зарбкунанда ихтисор мекунем:

49х 1 у4 _ 1х4 -7х гу4 _ 1х4 _ 7 4

63л:3/ - 9-7х 3у4 ~ 9 “ 9 * '

М и с о л и 2. Касри а~+ * ~Р° ихтисор менамоем.

Суратро ба зарбкунандахо чудо мекунем: а2-4=(а-2Хо+2). Пас,

а2 - 4 _ (а-2)(а+2)

х _ лг(х +1)х - 2 (х -2 ) (х + 1)

а + 2 а+2

20

Ифодаи а+2 зарбкунандаи умумии сурату махрач аст. Ба он

■■с а2 - 4 ихтисор карда, меебем ’а + 2 ~а~2.

М и с о л и 3. a) <-х - У * х + У > 2 - * + у 2 .х - у (х -у ) (х +ху+у ) х +ху + у

З х - 6 у _ 3 ( х - 2 у) 3 ( х - 2 у) 1 1б)

1 8 у -9 х 9 (2 ^ - х ) 3 -( -1 )-3 (х -2 ^ ) 3 - (-1) 3

Айнияти (4)-ро барои ба махрачи додашуда овардани касрхо низ истифода кардан мумкин аст.

М и с о л и 4. Касри — --р о ба махрачи 20аъсг меорем.4 а с

Азбаски 20а3с2=4а2с-5ас аст, пас сурат ва махрачи касрро бав в ’5ас 5авсSac зарб намуда, —=- = —т-------= -— т-^--ро хосил мекунем.

4а 2с 4а с-5ас 20а 3с2Зарбкунандаи 5ас зарбкунандаи иловагии сурату махрач ном дорад.

2М и с о л и 5. К а с р и ---------- ро ба махрачи 4.у-3х меорем.

3x-4j>Барои ин кифоя аст, ки сурату махрачро ба -1 зарб кунем:

2 2-(-1) - 2 ___ 2 _З х-4 у (Зх-4_у)-(-1) -3x+4j> 4у-3х 'Дар ин чо зарбкунандаи иловагй ададй -1 мебошад. К айд

мекунем, ки ифодахои — ва — айниятан ба баробаранд,v -v V

- и и и _ .яъне — = — = — , ки аз ин мо дар боло истифода кардем.V - V V

Дар охир кайд менамоем, ки пеш аз хисоби кимати каср ихтисори он, хисобро хеле кутох мекунад.

М и с о л и 6. Кимати касри — — ^ ^ - р о хангоми а=-2 ваЪав-2в

в=-0,1 меёбем.

„ 15a2 -10ae 5а(3а - 2в) 5а 5-(-2)Дорем ---------- — = —-------- - = — = —-—- = 100.Ъав-2в в(Ъа-2в) в -0,1

1. Хосияти асосии касри ададиро баён карда, тарзи ихтисори онро фахмонед. 2. Чй гуна ифодахоро айниятан баробар меноманд? 3. Таърифи айниятро оред. 4. Табдилдихии айниятии ифода чист?5. Чаро ихтисори каср як тарзи табдилдихии айниятй аст?6. Мафхуми зарбкунандаи иловагии касрро шарх, дихед. 7. Чаро ихтисори каср хисоби кимати онро осон мегардонад?

46. Магар кимати каср тагйир меёбад, агар сурат ва махрачи он ба 10 зарб ё таксим карда шавад?

47. Оё баробарии зерин айният аст:

Х ~У _ х 2 ~ ХУ. г-ч а - в а 2 - в 2 я) — 2 9 б) — 5 Т9X X 2 ' а + в а 1 + в 2

6 а - 2 в _ Ъ а - в 0 ,2 r -l_ t - 1 ,

Юа ” 5а ’ 0Д/ + 1~~ 2f+2048. Исбот кунед, ки баробарии зерин айният аст:

а) (х 2-16):(х+4)=х-4; б) ° -+ а , 2 = а + 2;а -1

в) 7+6у - у 2 = у к г) (2,_10):(г-5)=2.у - 7

49. Касрро ихтисор кунед:

а) 6)

г) = = : Д) ? = * • е)

ж) 3) , *"'.L; и)

к) л) - ^ Ц .; м)

4х5х ’ б)

6 а18а2 ’

26х3д)

0,Зя3 .91х_у ’ 0,6и5 ’

8 z 2x 2 -2 4 т332zx3 ’ з) - 1 6 т 2п

(Х -У )2 . л)а - в

У - х ’ (в -а )3 ’ 15т(п-т)

22


а)0Дх2г2г _ 0,2xt3z2 ’ б)

0,8а2вс30,4а5в4с в)

3 а(х +у)2 9а2(х + у)

0,lx3j>5(a +в) Ъх2у3(а + в)3 д)

х 2 - 2 ху~ 2 ’ х у -2 у

е)1 - х 2 . х 2 - х

6 6 х -У . з) За-6в + 9с и) хух 3 - у 3 ’ 5 а -1 0 в + 1 5 с’ х 2у - у 2х ’

4к2 - р2л)

4 + 2а +а2 м) 4а2в -2 5 в3(р-2к)2 ’ & и> 1 00 2а2 -5ав

г)

ж)

к)

51. Дар баробарй зарбкунандаи иловагии сурату махрачи касри дар кисми рост бударо ёбед:

a) = б) - 4 --------- * 2 -5 а 2в 25 а ъв2 х - у у 2 - х у

52. Ифодаро сода кунед:

а) У 4 3 ” , ; б) — в) г)а -0,36в У ~4у х у - у х а - в

53. Кимати ифодаро ёбед:

ч 51 + 172 372 +111 ч 292 +116а) “ io“ ; б ) 40 ’ в)54. Касрро ихтисор намоед:

a) J ^ s L ; б) * ± & . ; В) «+ 3p 3 + 2 p 2q ’ 2 х - 1 0 у ’ в3 + 2 7 ’

а2 - в 2 xz + yz ' 10х2у 5(4а-Зв)а2 - 2 а в + в 2 ’ y z + x z ’ ^ -1 8 х 3/ ( З в - 4 а ) ’

а 2 +За + 9 Уб ~ / . ич 4х 2 - у 2 .2 7 - а 3 ’ У4 ~У2 ’ (10*-5>>)2 ’

К) ^ 23У 16; д) 3*2-3 » 2 . м)X + х 6т3+ 6 п 3 х - у

23

55. Кимати касрро ёбед:

2л:2 +6 ху 4а) ----- — х,ангоми х = — Ва у=-0,2 будан;

4ху+12у 5

7а3в + 14а4б) 77—4—ГТ хднгоми а=1 ва в=2 будан.Юав +5в56. Таксимро ичро намоед:

. х 2 -49в2 36а2 - в 2 ч 8 Ъс2 - 1а ) ------ -— ; б) — ------- ; • в ) --------- ;х -1 в 6 а+в 1-9х

64&2 -4 ikm + 9m2 8o3 - 2 7 e 3 100/2 -1-Кк + Зт ’ 2а-3в ’ - 1 0 f - l '


V 27л:3- / 2а) , 0 2 „----- — 2 хангоми * = - ва у=1 будан;

18л: + 6лгу + 2;у J

кл _ J2 1б ) f— хангоми * = т ва у=1 будан.6л:+ 2 j 6

58. Касри:

а) - 5 -ро ба махрачи 15х3/ оред;Зх у

б) — - -ро ба махрачи в2-2в оред;в -2

в) — — ро ба махрачи 4-а2 оред;а - 2

2 2г) —----- ро ба махрачи ^ _ х оред.

Машкхо барои такрор59. Кимати тагйирёбандаро, ки барояш ифода маъно надорад,

ёбед:

Зл: +1 х х —\ 1а) б) т в) _ - , 5 г)2л:-4 ’ Зх + 1 ' 2,5л:-1 4л:-6,4

24

60. Сохди муайянии касрро ёбед:

\ 1 еч х + 4 ч 2 ч х - 2а) ~— тт; б) л— в)2х +1,5’ ' 2х-7 ,2 ' 7 (х-2)(Зж-8) х2-1б '61. Муодиларо хдл кунед:

a) 5(jc-8,2)=2x+ 19; б) 0,5(4-2в)=д-1,8.62. Дар 4 дех,а 2180 одам зиндагй мекунад. Дар дуюмин

микдори одамон нисбат ба якумин 3 маротиба зиёд аст. Нисбат ба дуюмин дар дехди сеюм 108-то зиёд ва дар чорумин 78-то кам одам хдст. Дар хар як дехд чанд одам зиндагй мекунад?

63. Хрзир кисми гузанггаи шабонаруз аз кисми бокимондааш3,5 соат зиёд аст. Х,озир соат чанд аст?

§2. СУММА ВА ФАРКИ КАСРРО

5. ЧАМЪ ВА ГАРХИ КАСРХОИ МАХРАЧАШОН ЯКХЕЛАЧй тавре медонем, х,осили чамъи ду касри одни махрачашон

якхела касрест, ки сураташ ба чамъи суратх,ои касрх,о ва махрачаш ба хамон махрачи умумй баробар аст. Яъне, х,ангоми натуралй будани т, п ва р:

т + п _ т + п

Р Р

2 5 2 + 5 Масалан, — + — = -9 9 9 9

Касрх,ои ратсионалии дилхох,и махрачашон аз ифодахои якхела иборатбуда, низ хдмин хел чамъ карда мешаванд:

= (1)V V V

Нишон медих,ем, ки барои киматхои дилхохи имконпазири тагйирёбандах,о (барои киматхо аз сохаи муайянии хар ДУ каср),яъне хднгоми v * 0 будан, баробарии (1) чой дорад. Ба ибораи дигар, (1) айният аст.

Асосноккунии (1) айнан нишон додани коидаи чамъи касрхоии

махрачашон якхелаи ададиро мемонад. Дар хакикат, агар —=t,

25

§— = к бошад, он гох, мувофики таърифи хосили таксим u=vt, vs=vk. Аз ин чо u+s=vt+vk=v(t +к). Азбаски v ^ 0 аст, пас аз ин

4 0 боз мувофики таърифи хосили таксим t + k = Акнун агарv

ба назар гирем, ки кисми чапи ин баробарй ба —+ - баробарv v

аст, аз он дурустии (1)-ро хосил менамоем.Мо айниятеро хосил кардаем, ки он коидаи чамъи касрхои

махрачашон якхеларо ифода менамояд: Барои чамъ кардани касрхои махрачашон якхела суратхои онхоро чамъ намуда, махрачро бетагйир гузоштан лозим аст.

Ин коида хангоми чамъ кардани микдори дилхохи касрхои ратсионалии махрачашон якхела бетагйир мемонад.

Акнун амали тархро барои касрхои махрачашон якхела дида мебароем. Нишон медихем, ки

агар у * 0 бошад. Дурустии (2) аз он бармеояд, ки суммаи

и — S S _ и - -касрхои----- ва - ба — баробар аст, яънеV V V

и — S + S U - S + S иV V V V

Айнияти (2) коидаи тархи касрхои махрачашон якхеларо ифода менамояд: барои ёфтани хосили тархи касрхои махрачашон якхела аз сурати касри якум сурати касри дуюмро тарх намуда, махрачро бетагйир гузоштан лозим аст.

Э з о X- Дар назар дошта мешавад, ки баъди ичрои амал касри натичавй, агар имконпазир бошад, ихтисор карда мешавад.

» j | ту. 4а "Н 5в 2 d 2 вМ и с о л и 1. К асрхои-------- в а ----------ро чамъ мекунем:9ав 9ав

4а+5в 2 а - 2 в _ 4а+5в + 2 а - 2 в _ ба+Зв _ 3(2а + в ) _ 2а + в 9 ав 9ав 9 ав 9 ав 9 ав Зав

26

х + 4 4х М и с о л и 2. Аз касри ------- касри - — т -ро тарх менамоем:2х - 4 IX-а>

х 2 +4 4х _ х 2 + 4 - 4 х _ ( х - 2 ) 2 _ х — 2 2 х - 4 2 х - 4 2 х - 4 2 (х -2 ) 2

Баъзан ичрои чамъу тархи касрхо бо тарзи якчоя нисбат бо тарзи пай дар пай мувофиктар мебошад.

, 1 у - 5 10j/-19 1 0 -1 5 j М и с о л и 3. И фодаи —--------- ------+-------- - -ро сода12у 12у 12у

мекунем:

7 у - 5 lO j-1 9 10-15.У 7 j - 5 - ( 1 0 ^ - 1 9 ) + 10 -15^12 у 12у 12у 12 у7>>—5 — lOj^+19 + Ю —15>> -1 8 ^ + 2 4 _ 24-18,у 6 ( 4 - 3 у ) 4 - 3 у

12 у 12 у 12 у 12 у 2 у

М и с о л и 4. Касрхои ва — — -ро чамъ мекунем.х - а а - х

Махрачи касрхо аз ифодахои ба хам мукобил иборатанд. Аломати касри дуюм ва аломати махрачи онро иваз намуда, баробарии

2х _ 2х а - х х - а

-ро хосил мекунем. Акнун дорем:

2а 2х 2а ----- + -------= -------+х - а а - х х - а

- 2 (х - а )х - а

2а 2х 2а - 2хх - а х - а х - а

■ = - 2 .х - а

1. Коидахои чамъ ва тархи касрхои ратсионалии махрачашон якхеларо баён кунед. 2. Магар бо коидахои чамъу тархи касрхои ададй ин коидахо умумият доранд?

27

64. Амалхои чамъ ё тархро ичро кунед:

х у 2а а 6в2 8в2а) Т + 7 ; б) -------------;4 4 3 3 а а

Ъ с - х х 2х + 3 х + 1 12а — 11 1г ) ---------+ - ; д ) — — + — ; е ) -------- --------

в в 8 8 4 4

5 х - у 4 _у4 + 5х 5 с - 2 d 3d d - 5 cЖ ) _ 2 / 2 р ’ г ) ~ с 4 ? + ^ Г ;

а 2в-Ъа а 2 в2 х - 9 4 и ) - -----------; — ; к ) ------------------------- ; д ) . + .

4 4 ’ а - в а - в ' х 2 -3 6 х 2- 3 б ’

ч 16 а2 ч 5а + 2в 2 а - в м) -------------- . н)а + 4 о + 4 (а + в) (а + в)

65. Ба намуди каср нависед:

4* 5 л: 2х2 4х 8х2 6 х - х 23jc2 Зх 2 ’ ^ 2 х2 + 4х 2 х2 + 4х ’ 9 х2 - 4 9х2 - 4 ’

ч 1 4 6 - 2 х \ 2 3 - 5 х ч х + 1 2хг ) ---------+ ---------- ; д) ------ + --------- ; е ) - — ----------- ;X X х х - 1 х - 1 х - 1 х - 1

ч З - х 2 4 х-1 чЗх+5 - 5 х - 8 ч х2+3 3 -2 хж)—— + — ------— ; 3)------- + ---------- ; и)— --------------------- .х х х 2х+3 2х+3 2х +4х 2х +4х

66. Климата ифодаи:

ч « 2+1 5а ) ------------------ ро хднгоми о=1 будан;а - 2 о - 2

б) —=--------1- —г--------ро х,ангоми х=2,5 будан ёбед.З х -1 х + 17 х 2—16 х 2 —16

67. Аломати яке аз касрхо ва аломати махрачи онро тагйир дода, амалхоро ичро кунед:

ч 2х х а в ч 2о + с За-5са ) ----------------; б ) ------ + ------ ; в ) ------------- -------;х - у у - х a - в в - a с -1 1 -с

28

. 2 а + в в . а + 5 7 - 2 а ч * + у х + уг ) - ----------------; д ) -------- + ---------; е ) ----- - + ---- - ;

а - в в - а За- 2 2 - З а У ~ х х - у

л 5ав + с 2с -Зав л х 2 + ху + у 2 дс2 - ху + у 2ж ) --------------------------- ; з ) ------ ------- ------- 1----------------— .

2 а - в в - 2 а х - у у - х

68. К,имати ифодаро ёбед:

х - 4 ____1л:2- 9 9 - х

х 2 хб) —-------- 1----------- х,ангоми х=1 будан.

х - 2х 2 х - х69. Ифодаро сода кунед:

-л У , х . ^ X2+ 4 4а а ) -------+ ------- , б ) -------- + -

а) —------------- —— хангоми х=2 будан;

х - у у - х х - 2 2 - х ’

л 5Р , ч У2 1в) — J— + -----— ; г ) - - л2 q - p p - 2 q - y + l y - Y

v x 2 + 16у2 8х у . a 2- 4 3 7д )------- r !— + - — £ - ; e)

х - 4 у 4 y - x a - 6 6 - a

4 x 2- 2 x 9 - 4 x , a2 4 ж ) ------- -------; з) —— - +x - 3 3 - x ’ a2 - 4 4 - a 2 '

70. Касрро ба намуди сумма ё фарки касрхо тасвир кунед:

. 2 х + у х 2 - 4 а 2х . в2 + ав ч х 2 - 2 х уа ) — б) — -■■■ 2 ; в ) ----- 5— ; г ) -------

х 2ах а х71. Ба намуди сумма ё фарки касрхо ва ё ифодаи бутуни

касрй нависед:

3 а + в х 2 - З х + 1 х 2 + 2 х - \ а2 +Лаа ) --------; б ) ------- ’------ ; в ) --------у------’ г) — ^— •

а х х 2 2 а

29

Машкхо барои такрор72. Муодиларо хал кунед:a) 2(3x-5)-4x=x+l; б) 2x-5(x+4)=32-x;в) 0,1(0,6х-5)+0,06=1,7(л>1,2); г) 2,l(0,lx+3,2)+0,3(l,7-x)=ll.73. Сохди муайянии касрро нишон дихед:

. 2 а _ 2х Зх аа) -------- ; б) —г----- ; в) — ------- г ) ----------------------.

З а + 9 х +1 5х(х + 4) (а + 1)(а-2)74. Хосили чамъи тарафх,ои якум ва дуюми секунца 58 см,

хосили чамъи тарафхои дуюм ва сеюм 52 см, хосили чамъи тарафхои якум ва сеюми секунча бошад, ба 50 см баробар аст. Тарафхои секунчаро ёбед.

75. Ба зарбкунандахо чудо кунед:а) (2х-у)2-4х2; б) 21yi-21y2+9y-\; в) те8-1; г) х6-64.76. Се ададро чамъ карданд. Ададй якум 51% ва дуюм

11%-и суммаро ташкил медих,анд. Ададй сеюм 7,6 аст. Ду ададй аввала ва суммаро ёбед.

6. ЧАМЪ ВА ТАРХИ КАСРХОИ МАХРАЧАШОН ХАРХЕЛА

Чамъ ва тархи касрхои махрачашон хархела (гуногун) ба чамъу тархи касрхои махрачашон якхела оварда мешавад.

и SФарз мекунем, ки касрхои — ва —-ро чамъ кардан лозимv t

acr. Дар аввал онхоро ба як махрачи умумии vt меорем. Мувофики хосияти асосии каср, агар сурат ва махрачи касри якумро бо махрачи касри дуюм г, сурату махрачи касри дуюмро бо махрачи касри якум v зарб кунем, аз ин кимати касрхо тагйир намеёбад. Яъне,

u _ u t s _ vsV vt ’ t vt

Пас, мувофики коидаи чамъи касрхои махрачашон якхела хосил мекунем:

и s _ ut vs _ ut + vs v t vt vt vt

30

Айнан аз руйи коидаи тархи касрхои махрачашон якхела хосил мекунем:

и s ut vs u t - v sv t vt vt vt

Баръало дида мешавад, ки коидаи чамъу тархи касрх,ои махрачашон хдрхела коидаи чамъу тархи касрхои ададии махрачашон гуногунро мемонад. Яъне касрх,оро пешакй ба махрачи умумй оварда, сонй амалро ичро кардан лозим аст. Фахмост, ки аксар вакт назар ба истифодаи хосили зарби махрачхо, махрачи умумии содатарро ёфтан ва онро истифода кардан мувофиктар аст.

Хурдтарин каратнокии ададаои 6 ва 8 ададй 24 аст. Ба ин адад хамчун зарбкунандахо хамаи тагйирёбандахои дар махрачхо бударо бо дарачаи калонтаринашон сабт мекунем, яъне а, в3, с2-ро. И фодаи 2Аавъсг м ахрачи умумй аст. Зарбкунандахои иловагии махрачхоро меёбем.

Барои ёфтани махрачи умумй махрачи касрхоро ба зарбкунандахо чудо мекунем: а2-ав=а(а-в), ав-в2-в(а-в). Ифодаи ав(а-в) махрачи умумй аст. (Вай нисбат ба (а2-ав)(ав-в2)=ав(а-в)2 содатар мебошад.) Зарбкунандахои иловагии махрачи касрхо мувофикан в ва а мебошанд. Барои хамин,

а + 4 _ в + 4 _ а + 4 e + 4 _ (а + 4)в - (в + 4)а _ а2- а в а в - в 2 а ( а - в ) в (а -в ) ав(а -в )_ ав + 4в - ав - 4а _ 4 в -4 а _ - 4а + 4в _ - 4(а - в) _ - 4 _ 4

ав (а -в ) ав(а -в ) а в(а -в ) а в (а -в ) ав ав

М и с о л и 1. Касрхои т.. в а ---- - -ро чамъ мекунем.бае3 8вс

8 вс2

т п т -4 с2+п-3ав2 4с2т + 3ав2пI I а р --------1------- ~ ' — ------------------бае2 8вс2 24ае3с2 24ав3с2

а + 4 в + 4М и с о л и 2. Фарки —г----------------- - -ро хисоб мекунем.а - а в а в - в

31

Ч,амъ ё тархи ифодахое, ки касран ратсионалианд, ба чамъ ё тархи касрхо оварда мешавад.

- а 2 + 2М и с о л и 3. Ифодаи а +1 + ------------ ро сода менамоем.о - 1

Барои ин ифодаи а+1-ро ба намуди касри махрачаш ба 1 баробар навишта, чамъи касрхоро ичро менамоем:

, 2 - а 2 а + 1 2 - а 2 (о + 1)(о-1) + ( 2 - о 2)-1о + 1 + ---------= ------- + --------- = - ------- -------- -— --------- -— =

о - 1 1 о - 1 а - 1а 2 -1 + 2 - а 2 1

а - 1 а - 1

Кайд мекунем, ки хангоми тартиб додани махрачи умумии касрхо истифодаи баробарихои айниятии зерин:

— = ---- — = — — = —— ва ав=-{-а)в=-(-в)а=(-а)(-в)в в - в - в

баъзан хеле бамаврид аст. Масалан, барои ёфтани хосили чамъи

1 1------+ 7----- —i- Дар хакикат,1 - о (о — 1)

1 1 1 1 1 1

1 - о ( о - 1)2 -(1 - а) (а -1 )2 а - 1 (а -1 )2_1______ 1 _ 1 - (а -1 ) 2 - о

_ ( о - 1 ) 2 о - 1 ” ( а - 1 ) 2 " ( а - 1 )

Дар охир бо максади дурусттар азхудкунии тарзи ёфтани махрачи умумии касрхо боз халли чанд мисолро дида мебароем.

3 1 6а) —+ —= (махрачи умумй: 2х) = —+ х ■х 2 2х

б) —---- L = (махрачи умумй: а(о -1 )) = ^ а - а 2 •а а - 1 а(а -1) а ( а - 1 ) ’

в) 4 1 4 1х2 -1 (х - 1)(х + 3) (х — 1)(х +1) ( х - 1)(х + 3)

32

/ - / 4(х + 3) + 1-(х + 1)(махрачи умумй: (х - 1)(х + 1)(х + 3)) = -----—---- —---- -(х - 1)(х + 1)(х + 3)

5х+13(х-1)(х+1)(х+3) ’

а 2 +3а + 2 а 2 - З а + 2 (а + 1)(а + 2) ( а - 1 ) ( а - 2 )

а 2 + 2 а + \ а 2 - 4 ~~ (а + 1)2 ( а - 2 ) ( а + 2)

а + 2 а - 1 — (мЯХрй^И умумй! (а Ч- 1)(а + 2)) =а + \ а + 2

(а + 2)2 - ( а - 1 ) ( а + 1) а 2 +4а + 4 - а 2 +1 4 а + 5(а + \)(а + 2) (а + \)(а + 2) а + З а + 2

1. Ду касри махрачашон гуногунро чй тавр ба касрхои махрачашон якхела овардан мумкин аст? 2. Содатарин махрачи умумии ду каср чист? 3. Ч,амъ ё тархи касрхои ратсионалии махрачашон гуногун чй тавр ичро карда мешаванд? 4. Чамъ ё тархи ифодахои касран ратсионалй чй тавр ба чамъ ё тархи касрхо оварда мешаванд?

77. Ч,амъ ё тархи касрхоро ичро намоед:

. 1 1 х Зх 4 1а) — + — ; б ) -----------; в ) --------х 4х 2а 1а 2в в

ч а в ч х у , Зх + 5 х - 3г) - + д) - ~ 4 ; е) — — +

в а 2 6 ’ 35х 21х ’

ч 2х у . 2х Ъу _ ч х 2 - 2 а в Ъ а х -2 в 2Ж J 5 — 9 И ) ,

а в тп т ах вх

2а2 - 2 в 2 Ъ в-2 а 4(1 + За) ( 5 (2 а -3 ) 2(1 a - S ) ав + в ’ 5 + 4 3

78. Ба каср табдил дихед ва агар имкон бошад, ихтисор кунед:

ч 2а + 5в 2 а - З в 4 а - 1 в _ З х - 4 у 2х - у 8 ^ - ха ) ---------------------- + ---------- ; б ) -------- ----------- —+ — ;

2 а - в в - 2 а в - 2 а х - 2 у 2 у - х х - 2 у

33

в)

е)

и)

а а х + у х - у ч 2 + в 7 2 в - 3 ----------------; г) —— i— ------— д) ------ + — + -------- ;а + в a - в х - у х + у 3 2в 3 + 2в

а2х + 4 Зх + 6

; ж) -+-

4и 5т■; к)

6а - 1 2 2 - а

2 а - \ За-2

з)3 - 2х 4х +1

5х2 -10х х2 - 4 ’

7 у - 1 5 -3 у+-

n f - m k п т -п к 81 -а2 а2+18а+81’ У6у2+2у 9у2-179. Ифодаро сода карда, киматашро х,ангоми х=2 будан,

хисоб кунед:

х + 2 х х2 -4 х х2- 1 б ’

ч х 3 2 х -5в) +х -1 х + 2 (х-1)(х + 2)


х У 1 ^ 5a ) 2 - J + i ; 6 ) - + 4 - г

4а - 2в в - 2 а .г) — ---------- — -3 ;

а 4 +1

х + 2 х +1б) -=------ + - 5 — ;

х + 3 х х - 9

V 10 32х + 60г)---------г +

4 х -5 25-16х2

2 х - ув) х +

Д) а - в +а + в

е) а -а - 1

+1;в -1 , 5

ж ) -------- - 3 -

л 16 л3) X — — - - 4 ; х - 4

и)

1 6 -е2

а +1

в+4

425- а а + 5

+ 2.

81. Ифодаро дар намуди каср навишта, касрро дар х,олати имконпазир ихтисор намоед:

Зх 1 „ 5 3 1а)

в)

(х -1 )(х + 2) х - 1 ’ б)х+1 х + 3 х + 5

4 2• + ■

1 х + 1л 3 1 4г) ------+ ------

а - 1 а а+1

34

2а + в Ав 2 а - в 2х2 +16 2

Д 2а2 - а в 4а2- в 2 2а 2+ а в ’ х3 +8 х + 2

ж) 3 / - 1 5 2у _ 1 ________ 1 _ .

(^ + 1 )^ + 3) у + 3 ’ 12 - 6х - 4 + 2х ’

2 4 1 __ 3_______2_________ 1

^ 3ав + а2 а 2 - 9 в 2 З в - а ’ ^ х2 - З х х 2 + х (х + 1)(х-3)

82. Ба чойи нуктах,о ифодах,ои лозим иро гузоред ва хисобкуниро ба охир расонед:

л х + 3 2 - х _ (х + 3 )(х - 3 ) + (2 + х )(2 - х) а) — I - ;

2 + х

^ а2 а + 5 + 2 _ а2 - (а + 5)(а - 1) + 2(а2 -1 ) а 2 -1

83. Айниятро исбот кунед:

. а 3 - в3 2 2 /г\ 3 2х - 5 1 а ) ----------- а в - в = а ; б)a - в х + 2 х + х - 2 х - 1

84*. Амалх,оро ичро намоед:

4 1 _ х + 5 3 5ха ) - Т —Г + —2-------i б ) — — ----------- + ■у 2 - 4 у у 2 + у ’ х + 2 х - 3 (х + 2 ) ( х - 3 ) ’

2х + а а - с с х - а 2в ) + •З х - З а 2 а - 2 с а - а с + с х - а х

ч , „ 9« 2 1г ) 1 + 3 С1 Л-------------- 1-------------- h ■9 а 2 1 6а_

1 + За За -1 1 - 9 а 2

Машкх,о барои такрор

„ 1 Ох3+64085. Касри —-------------ро ихтисор карда, киматашро хангоми:х -4 х + 16

а) х=0,5 будан; б) х=-2 будан, хисоб кунед.

35

i■■‘I

86. Ф унксия бо формулам У - — - — дода ш удааст.

Киматашро хднгоми ба -2; 0; 7 баробар будани * муайян кунед. Барой кадом к,иматх,ои аргумент кимати функсия ба -3; 0; 8 баробар мешавад?

87. а) Аз баробарии д = — тагйирёбандаи v-po бо воситаиv

д ва т ифода кунед;

авб) Аз баробарии S = — тагйирёбандаи а-ро бо воситаи S, вс

ва с ифода кунед.88. Дар 2 огил говх,о нигох, дошта мешаванд. Агар аз огили

дуюм як гов ба огили якум гузаронида шавад, микдори говх,о дар х,ар ду огил баробар мешавад. Агар аз огили якум як гов ба дуюм гузаронида шавад, микдори говхои огили якум нисфи микдори говхои огили дуюмро ташкил медихдд. Дар хдр як огал чанд гов буд?

89. Х,исоб кунед:а) 252-(-4)2-(0,001)3; б) (-0,125)2-82-103.90. Айниятро исбот кунед:а) (а+в+с)(ав+ас+вс)=(а+в)(в+с)(с+а)+авс;б) (а2+в2)(х2+у1):=(ах+ву)2+(ау-вх)2.91. Кием и чапи муодиларо ба зарбкунандах,о чудо намуда,

онро х,ал намоед:а) Зх2-9х=0; б) у-1+у{у-1)=Ъ\в) 2х4-х3=0; г) (^+1)у+3(^+1)=0.

§3. ЗАРБ ВА ТАКСИМИ КАСР^О

7. ЗАРБИ КАСР^О. АМАЛИ БА ДА РАНА БАРДОШТАНИ КАСР

Чй тавре медонем, хосили зарби ду каср касрест, ки сураташ ба х,осили зарби суратхо ва махрачаш ба х,осили зарби махрачхо баробар аст. Масалан,

36

2 4 _ 2 -4 _ 85 9 5-9 ~~ 45

Зарби касрхои ратсионалй хдм айнан хдминро мемонад:

и s _ u - s usV t v - t v t

Нишон медих,ем, ки ин баробарй барои киматхои дилхохи гагйирёбандахо аз сохаи муайянии касрхо, яъне хамон киматх,ои тагйирёбандах,о, ки барояш он v * 0 ва t ^ O аст, дуруст

мебошад. Бигузор — = т, — = л. Аз ин чо мувофикд таърифи v t

х,осили таксим u=vm, s-tn. Пас, u-s-vm-tn=vt mn. Х,ар ду тарафи ин баробариро ба vt * 0 таксим намуда, х,осил мекунем:

usт п = — . vt

Акнун ифодах,ои т ва «-ро дар ин баробарй гузонгга, мебинем, ки

и s usV t v t '

Мо айниятеро хосил кардем, ки аз он коидаи зарби касрх,о бармеояд: барои касрро ба каср зарб кардан суратхоро бо хамдтар ва махранхоро бо х,амдигар зарб карда, хосили зарби якумро дар сурат ва хосили зарби дуюмро дар махран навиштан лозим асг.

М и с о л и 1. Касри ^ - - р о ба касри - - зарб мекунем:9в 14а

7а4 Зв = 1а4 -Ъв _ 2 \а 4в а2 9в2 14а2 9в2 14а2 126а2в2 6в

^ гг х - у 2ху М и с о л и 2. К асрхои-----— в а ----- ~ г -ро зарб мезанем:х у - х

х - у 2ху _ ( х - у ) - 2 х у _ 2 ( х - у ) ^ 2 ( х - у ) _ ху х у - х 2 ху ( х у - х 2) х у - х 2

37

2 ( х - у ) 2 2 - х ( х - у ) - х х

2 х - 1М и с о л и 3. К а с р и --------- ро ба бисёраъзогии 4.x2-1 зарб2х +1

менамоем. Хднгоми касрро ба бисёраъзогй ё бисёраъзогиро ба каср зарб кардан, бисёраъзогиро дар намуди каср (махрачаш 1) менависанд ва пас аз он коидаи зарби касрхоро татбик менамоянд:

2Х~ 1 ( 1 х2 l ) ^ 2* " 1 4х2 - 1 = (2х-1Х 4х2 - 1 ) ^2х +1 2х +1 1 2х +1

_ (2* ~ 1)(г * ~ 1)(2* + 1) , (2 l _ _ 4г + ,2х + 1

Коидаи х,осили зарби касрхо ба хосили зарби якчанд зарбшаванда низ татбикшаванда аст. Алалхусус,

и s т us т usmv t п vt п vtn

Акнун амали ба дарача бардоштани касрро дида мебароем. Аз таърифи дарачаи бутуни касрхои ададй ва коидаи ёфтани хосили зарби якчанд каср бевосита бармеояд, ки барои хар гуна п-и натуралй айнияти зерин чой дорад:

- Ти

ПV

Яъне, барои ба дарача бардоштани каср, сурат ва махрачро ба хамин дарача бардошта, натичаи якумро дар сурат ва натичаи дуюмро дар махрачи каср навиштан лозим аст.

3 аМ и с о л и 4. Касри —г--ро ба дарачаи се мебардорем:в

v«2y

3 _ (За)3 27а3(в2)3 в6

38

1. Хрсили зарби ду каср и ратсионалиро чй тавр меёбанд? 2. Магар коидаи зарби ду каср ба коидаи зарби касрхои одй шабохат дорад? 3. Бисёраъзогй ба каср чй тавр зарб карда мешавад? 4. Тарзи ба дарача бардолггани касрро фахмонед.

92. Амали зарбро ичро кунед:

91 23 _ 62 10 2 А у .а) 4 6 ' 26 ’ б) 5 93 В) Зх ‘ 5 ’ г)

За^ 5

10 а

. 5 x 1 А 5а 12 с3

д )1 7 й ; С)^ Т ;93. Ба намуди каср ифода намоед:

а2 21а) 7 7 ---- ;14 ав

1ав За2

з)5 16jc2

Ах 25

9в3 14с2 ’

*) 4 4 ;У х

94. Сода намоед:

1

з)21 х 140а

а) ХУ - б)ас

3,5 4 * 3в)

2 ав 9 ас

7 ' 2 / ’ 15с 4в ’

9 а

вс

2с

Зав ’е)

2 j c2 z

5 /

15ху

z 2

28а 2 63х4

Ч х в) у ■— ;У

аг) д)

1аАх2

бах 2 . ч 13х10 14

е ) — V95. Ифодаро ба каср табдил дих,ед:

а)f 2 4 Л* у 12

х у 5

2 Л2б)

11а с

1т

2 Л21т

v ' 22а ,

в)а 3в 2 Г с 3 ] ' 2 а 2в 2 >

1 a e J

; г )ч З / т ш 2 ,

т 2п 314в3а 2 '

39


20а4х 3 7 a V 3<?У . Д И в 1 ' 4 х 6 ' 5а6 ’97. Ба дарача бардоред:

X )

б)в3с5 36a4d 3 5а ъв

Ъа4с14 5в2с4 4с2 '

а)

д)

v 2 х /

( 2х \ 3

2 2 уа в у

б)

е)

3 У)

, 2 Л2 5 а х

в)

ж)

( 2 Л3 п

К2т У

с

\ У J \ 98. Ба намуди каср ифода намоед:

,2

Зав 4т2 п

л3

г)

з)

С л 2 *N2 4 ач5в3,

г

\

4х

5У3

\ 3

ч 2х ху + уа) — ----- —

У 6б)

а х - а у 2в4

в)1ав ах + вх

cx + dx 14 ав

Зхд ) - 6 х ( а + в)-

4в х - у

г ) { а 2 - в 2 ) ‘

У

а + в

а 2 - в 2е)

Зу -1 2Су -4 ^ + 4 ) .

99. Нишон дихед, ки натичаи зарб ифодаи бутун аст:

а)

в)

Д)

а + ва - в

(а2 - в 2); б) (а3- в 3)- а + ва 2 +ав + в 2

х 2 - у 2 в х у - в у 212 у х + у

а2 - в 2 За2 +3в22 2 а +в а + в

100. Ифодаро сода намоед:

2х2 2а - ах а) ~г----------------- 'х — 4 5х

г)

е)

б)

15в - 1 5а 2а+ 2в 4в + 4 а 5а - 5в

2х + 2у y - 3 z 3 z - y х + у

3 - а 4 аа а 2 - 9 ’

♦0

, а 2- * 2 « А у + 'У / - 2 5 ,в ) ----------------- г ) ав а - в 2_у + 10 2у + 2

в2+2 вс 5 а + 5 х 2 - \ хд) — - — г - г у ; е)а + 1 в - 4 с 4х 1 + х ’

х 2 - 4 х х 2 - I 10/и2 -15/и Зот2 +12х + 1 2 х - 8 ’ 9 т 2 + 36 2тъ -Ъ т 2

101. Климата ифодаро ёбед:

ч 2 5 -х 2 4 8 /а ) ;----- --------, агар х=1 ва у= 2 бошад;7 2 4 ^ х2 -10х + 25 f

.. 0,04х2 -1 27 + / . , ,б) —------------------- — , агар х=5 ва у= 1 бошад.у 2 - З у + 9 0 ,2х-1

102. Касрхо ро зарб кунед:

а2- в 2 а - 3 ах + ау х2 - х уа2- З а (а + в)2 ’ х2- 2 ху + у 2 4х + 4у ’

^ е3 +8 2е + 3 ^ 12х5 х2 - х у + у 2

18в2 + 27в в2 2в + 4 ’ х3 + / 8х4

у 2 - 2 х у 4ху + у 2 x2 + xy + / х 2 +2ху + у 2д) . 2 А 2 2 ’ 3 3ху + 4х 4х - у х + у х - у

51а6х9 40 л / 2 1 / а 3-1 а 2 +2а + 1 15б / 1 9а 5 85ах10 ’ а 2 - \ а 2 +а + \ '2 а + 2'

Машцхо барои такрор

2 + х103. Сохаи муайянии касри----------------------- ро ёбед.

3 у (2х - 1)(10 - Зх) н

gjf5 у4 _ 24х2 V6104. Касри----- —--------- -— -ро ихтисор карда нишон дихед,

20х у - 6 0 х у41

ки бузургии он барон киматхои ба хам баробари л: ва у доимй аст. Ин бузургии доимиро ёбед.

105. Ифодахои

ч 1 л: 6 1 - 2 х З х - 5 - 4 х 2а ) ------г + - 2— г ва б) ----- -----------------------------— -------ро сода

х - \ X — 1 Х ~ 1 1 + Х + Х X — 1

намоед. К^имати онхоро хангоми х=-2 будан ёбед.106. х-ро бо воситаи о ва в ифода кунед:

Xа) 2х+а= в; б) в-4х=а-в; в) — +1 = в; г) в-5х=а .а

107. Агар ба шохи хдр як гул яктой булбул шинад, ба як булбул гул намерасад. Агар ба хдр як гул дутой булбул шинад, як гул холй мемонад. Чанд гулу булбул хает?

8. ТАЦСИМИ КАСРХОМо дида будем, ки хосили таксими ду касри одй касресг, ки

сураташ ба хосили зарби сурати зарбкунанда ба махрачи зарбшаванда ва махрачдш ба хосили зарби махрачи зарбкунанда бар сурати зарбшаванда баробар аст. Яъне, хангоми таксим касри якумро ба касре зарб мекунанд, ки он ба касри дуюм чаппа аст. Масалан,

5 3 5 -4 20 5

8 4 8-3 24 6 Касрхои дилхох ню хамин тавр таксим карда мешаванд. Нишон

медихем, ки барои киматхои дилхохи имконпазири тагйирёбандахо, яъне хангоми v ^ 0 , s ^ 0 ва t ф0 будан баробарии

и s и t v t v s

. _ S t St , и и , и s tдуруст аст. А збаски----- -- — = 1 аст, пас — = — -1 = --------- =

t s st v v v t s

и t , aАз ин чо мувофики таърифи хосили таксим (— - т

Vv S )аст, агар а=тв бошад) хосил мекунем:

42

U S и tV t v s

Аз айнияти хосилшуда коидаи таксими касрхо бармеояд: барои як касрро ба касри дигар таксим кардан, касри якумро ба касри нисбат ба дуюм чаппа зарб кардан лозим аст.

Айнияти мазкур ва к о и д а и зарби касрхоро истифода карда

и s и t _ u t v t v s vs

-ро х,осил менамоем.

u , ^ 4a3 8a2M и с о л и 1. Касри ——-ро ба касри —— таксим мекунем:в в

4а3 8а2 _ 4а3 в3 _ 4а3 ■ в3 _ 4а3в3 _ а в5 в3 в5 8а2 в5 -8а2 8а2в5 2в2

X — 1 X “h 1М и с о л и 2. К асри------- ро ба касри — — таксим менамоем:х х - 2

x - 1 x + 1 _ j c - 1 х - 2 _ ( х - 1)(х - 2) _ д:2 - Зх + 2х х - 2 х х +1 х (х + 1) х 2+ х

Х,ангоми касрро ба бисёраъзогй ё бисёраъзогиро ба каср таксим кардан аввал бисёраъзогиро дар намуди каср (махрачдш 1) менависанд ва пас коидаи таксими касрхоро татбик менамоянд.

М и с о л и 3. Касри —— — -ро ба бисёраъзогии а+4 таксим4х

мекунем:

а 2 -1 6 . ^ а 2 -1 6 а + 4 а 2 - 16 1 а 2 - 1 6----------- . { а + 4 ) - ------------:— — = ------------------------ ---------------=

4х 4х 1 4х а + 4 4 х(а + 4)( а - 4 )(а + 4) _ а - 4

4х(а + 4) 4х

Дар охир таксими мураккабтарро дида мебароем.

43

М и с о л и 4.

2 2 т - п т2 +2 тп+п2 (т2 - и2) (а3 +в3)2а2 -2ав+ 2в2 а3 + e3 (2дг2 -2ав+ 2в2) ( т 2 +2тп+п2)

_ (т -п)(т+п)(а+в)(а2 - а в + в 2) {т - п \ а +в)2(а2 - а в + в 2)(п+т)2 2 (т+п)

1. Хрсили таксими ду кафи ратсионалиро чй тавр меёбанд?2. Магар коидаи таксими ду каср ба ковдаи такрими каср^ои одй шабохат дорад?

108. Таксимро ичро кунед:

ч 299 13а ) ----- :— ;989 43

г)A y ' 20 ’

ж) ~ Т '• —тх jc у

55 115 б " Т ’

Д) :(39л:);5 У

з) Зх2 :2 5*2 ’


3х 2у 9 х у 2а ) 1 ^ : м 7 ;

г)2 х у . 2 х у .

3а ' а* ’

б)

д)

2 х Ах5у 10 у

7 у 212j c 3 ' 24х 7

ч Аа2 8а 5в 25

е) ^ - : ( 8 а 2в);5 в

и) 27а 3 : 18а4

ж) 15x2z 5xz7 : 6 ’ 3 )

Г бхуО . Г 9 x V " |а - а 1 5ав J Юав J

в)

е)

и)

13в

Ас 6 с 22I d 2 ' I d

48а V f х Л

24 ав

192m V 36m V- 1 1 к 5р 55к р4 _3 •

110*. Ба намуди каср ифода кунед:

с2 . 2jc3 .3 • 1 с . . 2

Ах1 2 x i 1у а5х 4 а*х5а) — : — б)

а5 у 15 у Зх 18с9 ’ 54с8 ‘ 9c V

44

в)8 с 4 1 \ d 2 с

2 2 d 1 6 с

Ч 6 4 x j 3Z 2 чд) — f — : ( 8 * V ) — ;

а с х

8х3 . х 2 1 у 2 , 7у3 ' 4 9 / ' х 2 ’

е ) 1 1 а в 3с :з 1 2 1 a 2 e 2c а 2 1

3 2

ж) -1 6 а в •2 3 2 z e z 2

8 а в - аз)

в х у

1 0 а 2в 3 2 2 а 4 в la c 6 1 3 в ^ 2

4 ’

2 1 с 7 ‘ 3 9 d 3 bed2 1 1 а 2с 3

111. Таксимро ичро кунед:

х 2 - 4 х х

8 т\ л. Л

~2т^ *" ’С ч а 2 - 4 а в .б ) — ------------: ( 3 а - 1 2 в ) ;

З в

ч х 3 х 3 В) - г : -------

д)

ж)

2 • 2 ’ У х у - у

З х 2 + х 3 _ х + 3

7 а 2 ‘ 1 4 а

х>> _ Зх^ х 2 - З х 3 - х ’

ч / 2 п 2ч 5 а + 1 5 вг ) ( а - 9 в ) :■

в

е ) ( а - 2 в ) 2 :а 3 - 4 а в 2

ч X4 - X 2 , 2 14з ) , , : ( х 2 - 1 ) .

х + 1112. Амалх,оро ичро намоед:

а)

в)

х 2 - у 2 Х - у

■ З х 2 ’

2а 2 - 2 в ‘ 4 а -А в

б)х + 1 х - 1

ав2 2вв + в с в + с

д): 2 - 4 х х 2 - 1 6

х - 3 6 х — 6

' 2 1 * 2 9 а -1 а - а

е ) ( 5 х - 1 ) : ( 2 5 х 2- 1 0 х + 1 ) .

113. Ба намуди каср ифода намоед:

а 2 + 2а 2а + 4а) ,

а - 4 а - 2х 3 - х 2у х - у

) 2 ’ 3 5

в)16 /72 — 1 1-4/7 pq + 2q Ар + 8 ’

г)в с + с х а в + а х

ав - а х в с - сх

45

ч х 2 - у 2 4 у - 4 х ч х + 3 х 2+3хд) — 5-^— : — --------; е) --------- : — 5— ;х -1 5л: + 5 2х + 4 х - 4

ж) (х2-16;у2):(х2+8х>’+16>’2); з) (т 2 - п 2): ———.тп


ч л:2 - 81 х 2 + 9 х л с г-а ) ------ г - 1 - ! — Т"— Г’ агаР -*=1,5 бошад;х + 1 л: + 2х + 1

_ , с л а2 - 25в2о) (а - Ъ в ) : ------------ , агар а= 1 ва в-2 бошад.

а + в115. Амали таксимро ичро намуда, натичаро сода кунед:

х + у Зх + Зу . у 2 - х 2 . х у - у 2 _Л J ty Л t л л ^ V / у л О * ?

х - у х - 2 ху + у х + 2ху + у х + у

а2 + в3 а2 + ав л 4 х 2- 2 5 2х + 5в) ^ ----- г:"Г -------г; г)а2 - в2 в ( а - в ) ’ х 3 +8 ’ х 2 - 2 х + 4

. т 2 + 6 т + 9 ат + Ъа , а 3 - х 3 а 2 +ах + х 2д ) -----— з ---------------- ;

3x7 6х у х - \ дс-1

ч 8 + j 3 у 2 - 2 у + 4 ' . 8а + а 2 +16 16 - а22х + 2 ' х 2-1 ’ 1 5 х - 3 25х2 -1

Машцхо барои такрор116. х-ро аз муодила ёбед:а) х-3ав=12а2«3; б) х-0,1ас=а2с;

в) 37а2в-х=111а3в3; г) 0,15ву-х = —ву2.2

117. Ифодаро сода намоед:5 2 20

а)

б)

5а + 2а2 5 - 2 а 4а2 -2 5

5 1 242а + 2 10 <2 —10 15 +10а

46

118. Аз формулахои а = — ва — + — = — тагйирёбандаи с-роЗс а в с

бо воситаи тагйирёбандахои а ва в ифода намоед.

119. Кадоми ин нук,тах,о А(-1;1), В(-2;3), С(3;2) ва D ба

графики функсияи у=2х+3 тааллук доранд?120. Кампире ба бозор як сабад тухм меовард. Дар даромадгохи

бозор дузде сабадро аз дасти кампир гирифта гурехт. Хднгоми таъкнб дузд ба даст афтод, вале тухмхо шикаста буданд. Хокими бозор хост, ки пули тухмхоро руёнида баргардонад ва аз кампир микдори тухмхоро пурсид. Кампир гуфт, ки микдори тухмхояш ададй хурдгаринест, ки ба 7 бебакия таксим шуда, хангоми онро ба 2, 3, 4, 5 ва 6 таксим намудан бакия ба як баробар аст. Кампир чанд дона тухм ба бозор оварда буд?

121. Суръати чараёни дарё 3 км/соат аст. Суръати завраке, ки ба самти чараён шино мекунад, аз суръати вай нисбати мукобили чараён шино карданаш чй кадар зиёд аст?

9. ТАБДИЛДИХИИ АЙНИЯТИИ ИФОДАХОИ РАТСИОНАЛИ

Айниятан тагйир додани ифодаро, мо табдилдихии айниятии он номида будем. Инчунин кайд карда, бо мисолхо нишон дода будем, ки ихтисори касрхо яке аз шаклхои табдилдихй аст (ниг. ба 6.1 §1.4). Акнун нишон медихем, ки хар гуна ифодаи ратсионалиро дар намуди касри ратсионалй, яъне хамчун хосили таксими ду ифодаи бутун тасвир кардан мумкин аст.

Дар хакикат, чй тавре дидем, натичаи чамъ ё тарх, зарб ё таксим ва ё ба дарача бардоштани касрхо хамеша каср аст. Азбаски ифодаи ратсионалии мураккаб, аз ифодахои байни худ бо ин 5 амали арифметикй пайвастбуда иборат аст, пас натичаи нихоии ичрои амалхо аз руйи коидахои зарурй низ каср мебошад. Пай дар пай ичро кардани ин амалхо ва дар холати зарурй ихтисори натичаи онхо, табдилдихии айниятии ифодаи ратсионалй ном дорад.

Вале бояд кайд кард, ки хангоми табдилдихии айниятй сохаи муайянии каср (натича) тагйир ёфта метавонад. Масалан,

47

х 2 - 4---------- - х - 2х + 2

аст. Касри дар кисми чал буда, хднгоми х=-2 будан маъно надорад. К^исми рост х-2 барои ин кимат ба -4 баробар аст. Барой хдмаи дигар киматхои тагйирёбанда ифодахои чапу рост баробаранд, яъне дар ёд х * -2 хисоб карда мешавад. Ин аст, ки хднгоми табдилдихии ифодахо ба тагйирёбии сохаи муайянии онх,о эътибор дода намешавад.

М и с о л и 1. Ифодаи

х + 3-1 х 2 - 9

х + 3 х-ро ба касри ратсионалй табдил медихем.

Барои ин аввал касрхоро зарб карда, сонй аз бисёраъзогии х+3 натичаи хосилшударо тарх менамоем:

^ 1 х 2 - 9 _ (х -3 )(х + 3) _ х - 3 х + 3 х (х + 3)х х

х - 3 _ х + 3 х - 3 _ х(х + 3 ) - ( х - 3 ) _X г J — — —х 1 х х

х2+ 3 х - х + 3 х2+2 х + 3X

М и с о л и 2. Ифодаи

2 ав 2а - ЗвV 2а + Зв j^4а - 9 в З в - 2 а ;

-ро ба касри ратсионалй табдил медихем.Аввал касрхои дар кавси якум бударо чамъ карда, сонй тархи

ифодахои дар кавси дуюм бударо ичро менамоем. Дар охир х,осили чам ъро ба х,осили тарх, таксим мекунем:

1)2 ав в 2 ав

4а2 - 9 в 2 Ъ в-2а (2 а -3 в )(2 а + 3в) 2 а - З в

2 а в -{2 а + 3в)в 2 а в - 2 а в - 3 в 2 Зв2(2а - Зв)(2а + Зв) (2а - Зв)(2а + Зв) (2 а -3 в )(2 а + 3в)

48

j 2а - Зв 2а + Зв - (2а - Зв) 2а + 3 в -2 а + Зв 6в2а >-Зв 2а + 3в 2а + 3в 2а + 3в

3)Зв2 6в Зв2 • (2а + Зв)

(2а - Зв)(2а + Зв) 2а + Зв (2а - Зв)(2а + Зв) • 6в 2(2а - Зв)

Хднгоми хисоби кимати ифода дар бисёр мавридх,о пешакй табдил додани он захдеатро кам мекунад.

М и с о л и 3. Кимати ифодаиз . о„3а

а - 2 в а + 2в jа + 8в

а 3 +3а2в - 2 а в 2-ро хднгоми а=0,5 ва в=1 будан xjtco6 мекунем.

Аввал ифодаро сода менамоем:

а в _ а(а + 2в) + в(а - 2в) _а - 2в а + 2в ( а - 2в)(а + 2в)

а 2 +2ав + а в - 2 в 2 а 2 + 3 а в - 2 в 2(а - 2в)(а + 2в) (а - 2в)(а + 2в)

а 22)

а 2 + 3 а в - 2 в 2 а 3 +8в3(а - 2в)(а + 2в) а + За в - 2 ав

а 2 + 3 а в - 2 в 2 а ъ + (2в)3(а - 2в)(а + 2в) а(а2 + Зав - 2в2)

_ (а + 2в)(а2 - 2ав + 4в2) _ а 2 - 2ав + 4в2 а(а - 2в)(а + 2в) а(а - 2в)

Дар ин натичаи них,ой а=0,5 ва в=1 гузошта меёбем:

а 2 - 2ав + 4в2 0,52 -2-0 ,5-1 + 4 12 0,25-1 + 4 а ( а - 2 в ) ~ 0 ,5 (0 ,5 -21) “ 0,5 (-1,5) _

- 3’25 = - 4 ±-0 ,7 5 3

49

М и с о л и 4. Касри

1 4 - х----+ —г-----

Х - 1

х + 2 х2- х

-ро ба намуди касри ратсионалй менависем.Ин табдилдихдро бо тарзхои гуногун ичро кардан мумкин

аст. М асалан, сурат ва махрачро дар алохидагй ба касри ратсионалй оварда, баъд натичаи чамъро ба натичаи тарх таксим кардан мумкин аст. Вале агар хосияти асосии касрро истифода барему сурат ва махрачро ба х2-х=х(х-1) зарб намоем, пас хисоб содатар мешавад:

1 4 - хх -1 х2- х _

2 х+2

С 1, х —1

4 - хX -X

(X - х )х + 4 - х

х- 1 х - 1х + 2 х2 - х )

(X -х )2 х -(х + 2) х - 2

1. Чаро хар гуна ифодаи ратсионалиро дар намуди каср9 навиигган мумкин аст? 2. Оё табдилдихии айниятй сохаи муайянии • ифодаро тагйир медихад? Чавобро бо мисолхо шарх дихед. 3. Барои

чй барои ёфтани кимати ифода баъзан сода кардани он муфид аст?

122. Амалхоро ичро кунед:. х х 1 2 3а) . б) ---- - + -

3 15 2 ’ х - 2 х + 1’

л 4 2 . ' ч 3 2а 2 - 1 + а + Г Г У2 - 1 ( J - 1 ) 2

123. Амалхоро ичро кунед:

в)f 2 Л а а

~Т + —з Vе в У

( 2 \ в в

У + а ;

3 а2 а + 2в ас + вс 8а


а)

в)

+ 1

2 2 { X —у

2 + х Зх + 1*

х -д Лх + у

125. Амалхоро ичро намоед:

а)с + ав

а + с с — в

в)а

а + в а - ва + в

ав + в2126. Ифодаро сода кунед:

а)

б)

в)

а 10 25-------- 1----------1— --------а - 3 а - 3 а -З а

1 6

б)

г)

Заа + 1

х — 1

х - 2

- а 2 - а(а + 1)2

х + -1-х

б ) т ^ -х - а уу - х а - х------+ ------

х а

2 1Л а 5

9у \ X 6 9"

/ 1 7

х - 2 1 х — 6 + —-----+ - 38

Зх + 6 х2 - 4 6 - 3 x J 9х2 - 3 6 ’

х - 3 у2х + 2 у х * - у 1 2 у - 2 х

-+3х2 - 3 у 2

2 у



r 3 + x лг-3^ ( Jc + З 3 - х ла)

б)

в)

3 - х х+3 ^ х - 3 3+х

в +25- 5

в2 5 - е 2 (1 1Л в3+125

( 01и + 2

- + Cl + 2 !

ч в 5 у

■\а - 2

а в----- + —

{ а + в а а + в■+а

129. Сода кунед:

а)г \

ху У 2 2 чх - 7 у - х у

х - у + 4 у 2 - х х + у

лл 4 8 - 7б ) -------+ ------у - 8

7 - 4 7 - 6 4 1 6 7 + 4 7 ^ + 7

В) L f _ _ A i z 4 . i l / ;U + 1 J 1 - х

1 - 9х + 4 12* 1 1

+ 1.

130. Амалх,оро ичро кунед:

а) (а2 + 2а +1) 1 ■ + ■ 1а + 1 а -1 а - 1 ,

в) У - 1 1 2 + . У{ у + у + 1 у - К

+ 2 у + 1

4а-2в 8 ав 2 а - в 2а + в\Зав \ \2 а 2- З в 2 2а + в б а -З в J


а) f i— — ^ 1 -3 а

^ _ 9 а - 9 а 2ЛЗа + 1

:[г(1-9а2)];

б)

в)

3 З х -З у х + у 2 х - 3 у

г 2 х - 3 у — 2 2 ~ 2х + 3у

к х - У У

V х - у У1 -

V

х + _у~~2 2 X - у

\

а 2- в 2 а 3- в 32 2 * а - в а - в

132. Амалх,оро ичро кунед:

а)1 6 q

p - 2 q 4q - р p + 2q

( г,2p z + wp 2 - 4 q 2

6)

в)

2 a 1a - 4x 2x + 6 x - a x -3 a

' 3 x - 6 x + -4 x - 2

r xy + y 2 2 5xx + у x - у

/ \ X - ^ X ( 1 л \

\ У ' 1^ х 2 + х у ^ 2 + х у , кх3- х у 2 х + у у


а 2 -1 а - а п * - п л +па)

и +ап \ - аб)

х -1 j + lOx

+ i ;У

V

5

/

2х3 - 2х ' ЮОх2 - у 2 ’

53

9 х 2 + 6 ху + у 2 9 ~ У

2х 6 ху х 2 - у 2134. Ифодаро сода кунед:

а)4 :<у2 Т *

У ~ х

1 1у 2 - х 2 х + 2ху + у )

Х + 1 X +1 X - X + IJ 135. Айниятро исбот кунед:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2 х - у ху

1х + у

L -У. У х

л 1

( а - в а ^ ( в2 1 ^ка 2 + ав в 2 + ав , [ а 3 - а в 2 а + в у

1 1 1 1 ( а 2в2]

в 2 ав а 2 ав(а + в ) 1 8 а )5

2 1 1 х 2

в - а а

8 + х 3 4 - х 2 х - 2 х 3 + 8

2 — 20 х1,4х - х у0,49х2 - 0,25 у 2 7х + 5у ’

3,5х + 4,5 у 500,49 х 2 - 0,81 _у2 7 х - 9 у '

136. Исбот кунед, ки барои хдмаи киматх,ои имконпазири тагйирёбандахо кимати ифода аз кимати тагйирёбандахои дар он дохилбуда вобаста нест. Ин киматро ёбед:

а)

в)

f'l ~ N 3 “ а- 12 + а

а 1+а 2 Л

2 2а - 1;б ) 3 -

9 + 4х 1 2+-3 + 2х ) I 2х 3 - 2 х

(3 -2 х);

x2+xy + j>2 х - j ; х3 -_у3*___зу(* + 2у ) . чГ а + в

3 3 ’ Я 5аа + в 7 ~ 7 5а'

137. Ба намуди бисёраъзоги ё касри ратсионали ифода намоед:

а) \ х +

в)

2х

\2б)

'х V - + 1.У

+ 1-

Д) а 2а + в

а- 1 + в 2

а - в+ 1 е)

' а в л2.>

/ \ 2 с- + -

акв а ,

а 3 - в 3 1а 2 - в 2 а + в

. \2

-а в .

138. Касрро дар намуди нисбати ду бисёраъзоги нависед:

1

а)

_1 _ х3 У . 1 х ’ — + — 6 у

2 +б) х — 1 .

1 - 1 в)

х + 2

£ _ZУ___1 1 *— + —

X у

1 1jA X — 1 X + 1 ' 1 1----- -|-------

X + 1 X - 1

1 4 - х- + ■д) X — 1 X - X

2 х + 2X — 1 X - X

е) а - в а в в а

Ж)1 1 1— + —+ — а в с

1 1 1--- + ---- 1----ав вс ас

з) 1 +1 +

139. Кимати ифодаро ёбед:1 +

0 , 3 х - у 2 4 яа) -----=- хднгоми а = — ва в = — будан;0 ,009х - у 3 5

55

х - у х + у 1 1 _о ) — хангоми х = — ва у = — будан;х + у х - у 4 3

в)Г о \

+ — У -2 х - 2>> ау - а х

4ху - бах 1 1: —------- т хангоми х = — ва у = -З х у - З у 2 а 3

г) \ а + в - 4ав "W в З а в - аа + в ) { а - в в 2 - а 2 ;

х,ангоми а=-1,5 ва в=-3 будан;

\ х 2 —144 х + 3 х -12 с~с ад) — ---------------- : — ------- х,ангоми х=525 будан.х - 9 х +12 2х - 6х

2 4140. Маълум, ки х — = 8 аст. Кимати ифодаи х2 + — -ро ёбед.х х2

141*. Агар Х- — = 4 бошад, он гох,: х

а) х2 + —jS б )х 3 - 4 -; в ) х 4 +-^-X X X

ба чанд баробар аст?

142*. а) Агар а + — = 4 ва в + — = 12 бошад, он гох, — чанд аст? в а в

б) Маълум, ки — = 4 ва а + — = 6 мебошад. Кимати ифодаив в

а3 + Дг- чанд аст? в

Машкхо барои такрор143. Координатахои нуктахои буриши графики функсияи

у — — х — 8 -ро бо тири абсисса ох ва тири ордината о у ёбед.4

144. Решай муодиларо ёбед:

в) (4,21-6,36)-— = 2 — ; г) — х :(3,012 + 2,038) = -0,4. 2 20 200

145. Дар анбори якум 120 т ва дар анбори дуюм 85 т гандум хает. Баъди он ки аз анбори якум назар ба анбори дуюм 2 маротиба зиёдтар гандум ба осиёб бурданд, дар анбори якум назар ба анбори дуюм 3 маротиба камтар гандум бокй монд. Аз анбори якум чанд тонна гандум ба осиёб бурдаанд?

146. Системаи муодилахоро хдл намоед:

147. Завраки мотордор, ки суръаташ дар оби ором 15 км/соат аст, аз бандар ба мукобили чараёни дарё ба шинокунй cap кард. Баъди 1 соату 15 дакикаи шинокунй мотори заврак аз кор баромад ва онро пас аз 5 соат чараёни дарё ба бандар баргардонд. Суръати чараёни дарёро ёбед.

148. Дар куттй тазарв ва харгушхо х д с т а н д . Хамаи хдйвонхо 35 cap ва 94 пой доранд. Дар куттй чандто тазарв ва чандто харгуш хает?

Т а ър и ф. Бузургихои тагйирёбанда х ва у мутаносибан чаппа номида мешаванд, агар хосили зарби киматхои мувофики онхо ба ададй доимии гайринул баробар бошад.

Агар ин ададй доимиро бо к ишорат намоем, он гохкмутаносибии чаппа бо формулаи ху=к ё у = — ифода карда

мешавад. Ин формула (вобастагй) нишон медихад, ки хангоми якчанд маротиба зиёд шудани кимати х, кимати мувофики у хамон кадар маротиба кам мешавад. М асалан, агар х 2 маротиба афзояд, у 2 маротиба кам мешавад, агар х 3 маротиба кам шавад, у 3 маротиба меафзояд ва хоказо.

М и с о л и 1. Бигузор дарозй ва бари росткунчахое, ки масохаташон 20 см2 мебошад, мувофикан х см ва у см аст.

10. ФУНКСИЯИ У = ~ . ХОСИЯТХО ВА ГРАФИКИ ОНх

х

57

Вобастагии у аз х бо формулаи у = — ифода меёбад.20

М и с о л и 2. Масофаи 2 шах,р 90 км аст. Вобастагии вакти барои тай кардани ин масофа сарф мешудагй t аз суръати

90харакат v бо формулаи t = — ифода мешавад. Дар ин чоV

бузургихои г ва v бо хам мутаносиби чаппаанд.Фахмост, ки хангоми зарурй микдори ин гуна мисолхоро зиёд

кардан мумкин аст.кХ,ангоми муоина кардани функсияи у = —, ки дар он л:х

тагйирёбандаи новобаста буда, адади к нобаробари нул аст, дар назар дошта мешавад, ки тагйирёбандаи х хам кимати мусбат ва хам кимати манфй кабул мекунад. Барои чунин киматхои х хам, яъне барои хар гуна кимати л: аз тири ададй, ки нул нест, ин функсия хам мутаносибии чаппа ном дорад.

2Мо дар мисоли функсияи у = — хосиятхо ва графики

хмутаносибии чаппаро дида мебароем.

1) Сохаи муайянии функсия хамаи ададхои аз нул фаркку-2

нанда мебошад. Ин аз он бармеояд, ки ифодаи — хднгоми х=0х

будан, маъно надорад (ба нул таксим кардан мумкин нест!)Яъне, дар график нуктаи абсиссааш 0 вучуд надорад, ё ки

график тири ордината оу-ро намебурад. Инчунин барои ягон кимати х кимати у ба нул баробар нест. Пас графики функсия тири абсисса ох-ро низ намебурад.

2) Ч,адвали киматхои у-ро, ки ба баъзе киматхои мусбат ва ба киматхои ба онхо мукобили манфии х мувофиканд, месозем:X 1 2 4 5 8 10 20

У 2 1 0,5 0,4 0,25 0,2 0,1

X -1 -2 -4 -5 -8 -10 -20

У -2 -1 -0,5 -0,4 -0,25 -0,2 -од

Дар хамвории координатавй 5-то нуктаи аввалаи координа- тахояшон дар чадвалхо бударо месозем (расми 1). Аз чадвалхо дида мешавад,

58

Расми 1.ки ба киматх,ои мусбати л: кдматх,ои мусбати у мувофик омада, хангоми аломати манфй доштани х бузургии у низ аломати худро ба мукобил иваз менамояд, яъне аст.

3) К^имати мусбати л: чй кадаре калон бошад, кимати мувофики у хамон кадар хурд аст. Масалан, агар jc=10 бошад, у = 0 ,2 ; агар л:= 100 бошад, ^= 0 ,0 2 ; агар . * = 1 0 0 0 0 бошад, у=0,0002. Яъне, хангоми мусбат будан ва афзудани х бузургии у кам мешавад ё ки чй тавре мегуянд, функсия камшаванда аст. Хангоми ба нул наздик шудани л: кимати у меафзояд. Масалан, агар х=0,01 бошад, >=200 ; агар х=0,0001 бошад, ><=20000 аст.

Зохиран фахмост, ки хангоми манфй будан ва афзудани х функсия низ камшаванда аст.

2Графики функсияи у = —, ки дар расми 2 оварда шудааст, аз

хду шоха иборат аст. Яке аз шохахо дар чоряки якуми координатавй (барои киматхои мусбати лс), дигарй дар чоряки сеюми координатавй (барои киматхои манфии х) чойгир аст.

Графики функсияи дилхохи намуди у = — хангоми к > 0X

будан, айнан чунин намуд дорад.2

Дар расми 3 графики функсияи У ~ ~ ~ оварда шудааст. Он низ аз ду шоха иборат аст. Яке аз шохахои он дар чоряки дуюми

59

координатавй, шохаи дигараш дар чоряки чоруми координатавйкчойгир мебошац. Графики функсияи у = — -хднгоми к>0 будан,х

айнан намуди графики у = - — -ро дорад.

60

Хати каче, ки графики мутаносибии чаппа аст, гипербола ном дорад. Гипербола аз ду шоха иборат аст.

1. Чй гуна вобасгагиро мутаносибии чаппа меноманд? Мисолхо оред. 2. Формулаи функсияи мутаносибии чаппаро навишта, хосиятхои о про номбар кунед. 3. Чаро графики ин функсия тирхои Ох ва Oj-po намебурад? 4. Камшавацда будани функсияро бо мисол

кшархдихед. 5. Графики функсияи у = —- хднгоми к>0 ва к<0 будан,х

дар кадом чорякхои координатавй чойгир аст? 6. Кадом хати кач гипербола ном дорад?

4149. Функсия бо формулаи у = — дода шудааст. ЧаДвалР°

хпур кунед:

X -4 -0,2 2 4 20

У -2 0,4

150. Мутаносибии чаппа бо формулаи у = дода шудааст.х

Чадвалро пур намоед:

X -800 -400 20 160 400 800

У -0,2 0,5

151. Суръати кдтора v км/соат буда, масофаи 500 км-ро дар t соат тай менамояд. Формулаеро нависед, ки он вобастагии: а) v-po аз t; б) г-ро аз v ифода менамояд.

152. Мутаносибии чаппа бо формулаи у = — дода шудааст.х

Киматхои функсияро хднгоми ба: 0,02; 0,1; 200; 500 баробар будани аргумент ёбед. Оё нуцтаи: А(-0,1; -50); В(40; 0,12); С(100; 0,05); Д(1000; 0,002) ба графики функсияи мазкур тааллук дорад?

61

153. Маълум, ки функсия мутаносибии чаппа аст ва ба кимати ба 4 баробарй аргумент кимати ба 10 баробарй функсия мувофик меояд. Ин функсияро бо формула ифода намоед.

4154. Графики функсияи у = —-ро созед ва аз график:

ха) кимати _у-ро, ки он ба кимати 1; 4; -1; -4; -5; -10 баробарй х

мувофик аст;б) кимати х-ро, ки он ба кимати -8 ; -2; 4; 8 баробарй у мувофик

аст, ёбед.155. Графики функсияи бо формулаи:

л 1 «ч 1 л 8 8а) у = б) у = — ; в) у = г) у = - -X X X X

додашударо созед.156. Мутаносибии чаппаро бо формула ифода намоед, агар

маълум бошад, ки графики он аз нуктаи: а) А(4; 0,125);

( 1 2 \б) В - ; 1 - ; в) С(-10; -0,4) мегузарад.V.6 5)

157. Массаи чисм т, зичй д ва х д ч м и он v вобастагии g v=m-po конеъ менамоянд. Вобастагии зичиро хангоми 3 вохдд будани масса аз v бо формула ифода намоед.

158. Графики функсияхои у - -I ва у = — -ро дар як системаих х

координатавй кашед ва онхоро мукоиса намоед.

Мапщхда барои такрор

159. Графики функсияи у=кх чй аст? График хднгоми к>0 будан дар кадом чорякхо чойгир аст? Хангоми к<0 будан чй?

160. Як адад 140%-и адади дигарро ташкил медихад. Ин ададхоро ёбед, агар фарки онхо ба 37 баробар бошад.

161. Магар кимати каср аз кимати тагйирёбанда вобасга асг:

2(а_-в? , (2х -4у ) \' (5в-5а)2’ 7 (2у-х)2

62

162. Як села зогонро зоге дида гуфт: «Салом ба селаи садй». Рохбалади зогон чавоб гардонд: «Салом! Вале мо садто нестем. Агар ба дучандаи моён нисфамон, сонй боз нисфи нисфамонро чамъ намуда, худат хам хамрох шавй, баъд садто мешавем». Селаи зогон чандто буд?

163. Аз формулаи — = — + —z х у

а) х-ро бо воситаи у ва z; б) z-po бо воситаи х ва у ифода кунед.

Маълумоти таърихиЧй будан ва тарзи истифодаи касрхои содатаринро одамон

аз кадим медонистанд. Масалан, бобулиёни кадим касрхои

I . I . f - p o ба таври „ахсус ишорат карда васе-ь истифода

мекарданд. Дар Мисри кадим касрхои вохидй, яъне касрхои

намуди —-ро, ки дар ин чо п ададй бутун аст, истифода п

менамуданд. Хар гуна касри дурустро, ки аслан натичаи ченкунй буд, хамчун суммаи касрхои вохидй тасвир мекарданд:7 1 1 1 3 1 1— = — I— н— : — = — I— ва хоказо. Масалан, хангоми халли8 2 4 8 4 2 4

масъалаи «3 нонро байни чор нафар одам баробар таксим кунед», тарзи мазкур талаб мекард, ки дорой 4 нони нимтой ва 4 нони чорякй бошанд, яъне ба нимтой 2 нон ва ба чорякй 1 нонро таксим кунанду баъд хиссахоро байни одамон таксим намоянд.

Дар як вакг бо касрхои вохидй касрхои мураттаб (касрхое, ки сураташон ададй дилхох ва махрачашон дарачаи ададй маълум (масалан, дах, дувоздах, шаст ва хоказо мебошанд) ба истифода дар илм ва фаъолияти одамон маълум гаштанд. Касрхои шастиро то асри XVII истифода менамуданд. Вохддхои вактро то хол дар системаи шастй ифода менамоянд:

1 дакика = соат, 1 сония = соат мебошад.

63

Мисоли дигари касрхои мураттаб касрхои дахй мебошанд, ки аз сабаби сода будани амалхо бо онхо касрхои шастиро дар охири асри XVII кариб чой иваз карданд.

Маълумотхои аввалинро дойр ба касрхои намудашон умумй, ки сурату махрачашон ададхои натуралии дилхоханд, дар баъзе асархои олими Юнони кадим Архимед (солхои 287-212 пеш аз милод) дарёфт кардан мумкин аст. Юнонихои кадим хамаи амалхои арифметикиро бо касрхои одй хуб медонистанд. Вале тарзи хозираи бо ёрии хатча навиштани касрхо вучуд надошт. Ин тарзи навишти касрро математики италиёвй Леонардо Фибоначчи (1180-1250) дар асари худ «Китоби абак», ки соли 1202 нашр шудааст, дохил намудааст. То хамин мудцат касрро шифохй ифода менамуданд ё аз навиштачоти махсус, ба монанди аз тарафи рости махрач гузоштани хатча (рах) истифода мебурданд.

Вале ба хамаи ин нигох накарда, муддати дуру дароз касрхоро ба маънои том адад хисоб намекарданд, онхоро баъзан ададхои шикаста, яъне нопурра меномиданд. Танхо баъди дар соли 1707 чоп шудани китоби олими англис Исаак Нютон (1643-1727) «Арифметикаи умумй» касрхо хамчун ададхои ба ададхои натуралй баробархукук шинохта шуданд. Бори аввал дар илм мафхуми каср васеъ карда шуда, он хамчун хосили таксими як ифода бар ифодаи дигар хисоб карда мешавад. Нютон менависад: «Навиштачоти таг ба таги ду бузургй, ки байнашон хатча дорад, хосили таксим ё бузургиест, ки он таксими бузургии болой ба бузургии поёнй хосилшударо ифода

менамояд. Чунончи, — бузургиеро ифода менамояд, ки аз он2

таксими 6 ба 2 хосил мешавад. — бошад, бузургии аз таксими 58

ба 8 хосилшавандаро нишон медахад, яъне панч хаштякиро.

Мисли хамин, — бузургиест, ки хангоми а-ро ба в таксим кардан в

* „ ав - в в _хосил шудааст. Аинан хамин тавр --------- бузургиеро ифодаа + х

мекунад, ки он аз таксими ав-вв ба а+х хосил мешавад ва хоказо. Ин гуна бузургихо касрхо ном доранд».64

Баъд Нютон таъкид мекунад, ки агар навишти адади бутун дар пеши касри арифметики маънои чамъи онхоро дошта бошад, навишти адади бутун дар пеши касри алгебравй маънои зарби онхоро дорад. Масалан,

. 1 , 1 „ а . а3 — = 3 + —, вале 3 - = 3 -—.2 2 в в

Дар асар дойр ба гуногунии касри алгебравй ва киматхоион низ сухан меравад: «Вобаста ба ин ё он киматхои харфхоиифодаи алгебравиро ташкилдиханда, кимати ададии касриалгебравй адади касрй ё адади бутун шуда метавонад. Масалан,

кимати ададии касри — хангоми а - 3, в=5 будан — аст, хангомив 5

а=8, в=2 будан, 4 мебошад».Чунин фахмиши мафхуми касри алгебравиро математикхои

тамоми дунё зуд эътироф намуданд ва чй тавре дидем, то хол азсабаби бенуксон буданаш, бетагйир мондааст.

МА11ВДОИ ИЛОВАГИ БА БОБИ I

Ба параграфи 1.164. Ифодаро ба бисёраъзоги табдил дихед:а) 2х2(х2-2х+Л); б) -0,5j'2Q>2-4.y+l);в) (х2-Зх+5)(2х+1); г) (За-5)(в2-4в-2);д) (2x2-jc- 1 )(3х2+4х-1); е) (а2+7а+3)(о2-4а+2);ж) (х2+1)2; з) (а-вУ+За2в-Зав2; и) (2х-3)(1-х).165. Ба зарбкунандахо чудо кунед:а) -ав2-а2в; б) y Lx-yx2+yx\в) г) 4х2-9;д) 4х2-12ху+9у2; е) х4-16;ж) a2+2ae+e2-c2-4cd-4(P; з) а6-1;и) х8-1; к) 49х2-(5х+у)2;

л) (х+2)3-(х-2)3; м) — + х + х 2;4

н) Ш с2 - о) (Зх2-4)-8(Зх2-4)-7.64 9

65

166. Айниятро исбот намоед:а) а3-5а+2=(а-2)(а2-2а-1);б) въ-2в- 1 =(e+ l)(e2-e-1).

167. Барои кадом кимати тагйирёбанда ифода маъно надорад:ч 2 л: - 1 10 ч 5х а) ------- ; б) ----- в)

2 - х х - 4 ’ х 2 - 5 х ’

л 3 л 5 . Зх -1г) - r - z i д) Г Г Т ’ е> Ч---- г?х — 9 |у| - 2 Зх + 1168. Касре тартиб дих,ед, ки он дорой тагйирёбандаи jc буда,

барои хдмаи киматх,ои х, ба гайр аз:а)х=1; б)х=0вах=2; в) х=-4 ва х=4 маъно дорад.169. Касре тартиб дих,ед, ки он дар махрач дорой

тагйирёбанда буда, барои хдмаи киматх,ои х маъно дорад.170. Сохди муайянии функсияро нишон дих,ед:

2 2х 4 х -1 2а) 7 = — б ) у = — ~; в ) - 5—7 ; т) у =х + 4 ’ ' х + 3 ’ х - 4 ' х + 5171. Сохди муайянии касрро ёбед:. 2 Зх + 1 Зх + 4 ч Зх + 1

а) т т т ; б) ^ — о в) 2 „ ; г)х + 1 2 х - 8 ’ х 2 - 1 х ’ х 2 —16 172*. Касрро ихтисор кунед:

а) б) J S L ; в)я 0,3 yz 2,In4

. 18ав2с . 0,Sx2y 2z * 64x3j 5Г) ~ 6 0 ^ 1 Я) 0 , 4xy3z 2 1 С) 224х 5у 2 ’

. в2 - а 2 . х 2 - 1 2 х - 2 уж) т------ту; з) - 3— ; и) — ;

( а - в ) х +1 х - ху

ху . 4 а 2в - 2 5 в г ч 6х2 -2 х уК) ~2------ 2~> л) ~Z 2— ;— ; м)х * у - у * х ' J 2a2 - 5 a e ’ J 2 1 x y - l y 2 ’

л 8 / - 1 ч а2 + 5 а + 25н) — — г; °) — з ; п) -Ч— V

У ~ 4 у 3 2а - 250а Р +Ч

66

ч 8а 3 - в 3 ч 1 - З у + З у 2 - у 3 ч х 3 — х 2 — х +1р) ~т" 2~ ^------- г; с) — — — — ; т) — 4 ~ 2 . 1 »4а + 2ав + в z - z y + x - x y х - 2 х +1

ч х 12- х 6 + 1 , ч а 36 - а 3 ч 8а 5 - 8а 3у) — п— г - ; Ф) - й — х)х 18 + 1 ’ а26 + а 15 + а 4 ’ 8а5+16а4 +8а3

jc — 2 у173. Исбот кунед, ки агар дар касри ------т~ тагйирёбандаи хЗх +

ва j-po мувофикан ба кх ва ку, ки дар ин чо к * о аст, иваз намоем, он гох, касри ба касри аввала айниятан баробар хосил мешавад.

174*. Х,исоб накарда нишон дихед, ки киматхои касри4 х -3 у 1 3 _ 1 ч--------— хангоми х = — , у - — будан ва хангоми х = 1 , у= 3х + 2 у 11 11

будан якхела аст.175. Маълум, ки а+в=4 аст. К^имати касрро ёбед:

ч 16 . аг + в ъ(а + в)3 ’ ’ а2- а в + в2 ’

Ба параграфи 2.176. Амалхои чамъ ва тархро ичро намоед:

. х 2 -3 х х + 1 _ З а - 2 а . х 2 1 -2 хa ) ^ r + I ^ 4 ; б ) 7 ^ Г + Т ^ ; В>^ 7 “ Т Т 7 ;

г) Д )—~— 1— ~—> е) — — + —— ■а - в в - а х - у у - х у - х х - у177. Аломати пеши касрро ба мукобилаш иваз карда, касре

тартиб дихед, ки он айниятан ба касри додашуда баробар бошад:

ч 2х ~ 2 а - Ъ в ч х 2 — 1 ч - 2 - 5 уа ) - - -----; б ) ------— ; в ) ------- г ) ----------------4 - у а - 5 в х + 2 х + у

178. Кимати ифодаро ёбед:а 4

а) —j— ------- 5— — хангоми я=0,5 будан:а - 4 а а - 4 а

Зх + 2 2 - Зх _ _б) —г—------- + ——------- хангоми х=3 будан.х — 2х + 1 х — 2х + 1

67

179. Касрро ба намуди сумма ё фарки ифодаи бутун ва каср нависед:

ч 4л:+ 6 а2 + 6а + 9 ч х 2 + 4 ч \ - 2 в + в2а ) -------- ; б ) -------------- ; в ) -----j—; г ) -------------.х а х в

180*. Барои кадом кимати натуралии п кимати ифода ададинатуралй аст:

ч и + 8 _ч 7«-16 . 49- и 2 ч и2 + 8 „а ) ------ ; б ) ---------; в ) ----- -г— ; г ) ----— ?п п п п

X181. К^имати ифодаро ёбед, агар — = 2 бошад:У

a ) f ; б ) ^ ; . ) £ ± * г : r ) £ = t o .х Зх 2 у у

182. Ч,амъ ё тархи касрхоро ичро кунед:7 2 -Зх_ х + 8 2

а 12х 15л:2 ’ 6 х 2 + Зх

ч а2- а + 1 х 2- 1 ч х 2 - 2 ав Зах - 2 в 2в) — .----------—; г ) -------------------- -------а х ах ах вх

183. Ифодаро ба намуди каср нависед:. х - у _ 1 - т па) х + у + — б) т - п ---------- ;

5 т

ч ав + ас + вс ч 2 2 а3 + във) а -----------------;-------------------г) а - в -■а + в + с а — в

184. Ифодаро сода кунед:ч а а а в ч 7 2 х -3а ) --------------- ; б ) ------ + ------ ; в ) — + -—— ;

а + в а - в а + в a - в 2х 3 + 2 х

х + 4а а - 4 х . 5 х - 7 З х -2 , 2 - З у 5 - 2 у За + Зх З а - З х ’ ^ х 2- 4 2 - х у 2 - 9 3 — у

185. Амалхои чамъ ва тархро ичро кунед:

ч а2 - 5 а в З а - 2 в в а - 5в 4 х -1 2 3а ) ---------- + ----------------------; б ) ---------- + ------------;5 ав 15в 12а х (х -1 ) х - 1 х

68

ч Зх + 2 6 З х -2в)

г)

х 2 - 2 х + 1 х 2 - 1 х 2 + 2 х + 1 ’4 - а 3 а+ 4

25 -10а + а 25 + 10а + а 25- а 2 ’

ч 2а 5 4а2 + 9 ч х 3 2 х -5д ) «— — т -т ..л-; е)2 а + 3 3 - 2 а 4а2 - 9 ’ х - 1 х 2 +2 (х -1 )(х + 2) 186*. Ифодаро сода намоед:

у 2 х ху(х + 2 >-) _а) 2 2 3 3 9х + х у + у Х - у х - у

бч Зх + 2 у________ 1 , 6 ху '9 х 2 + 6ху + 4 у 2 2 ^ -З х 8>>3-2 7 х 3 ’

1 1 1 „ 4а2 + З а+ 2 1 -2 а 1В) ~г--- Т - 7 ” T f +а 2 - в 2 ( а - в ) 2 (а + в)2 ’ 7 а3 - 1 а2+ а + 1 а - 1

187. Айниятро исбот кунед:Ч 2х . 10 ах ава) — = 2 -------б ) — = а ~

х + 5 х + 5 ’ х + в х + в

4х 2 - 9х , 8 - Зхх 2 - З х + 2 х 2 - З х + 2

188. Барои кадом кимати а ифодах,о айниятан баробаранд:ч Зх , а 5х а ,а ) --------ваЗ + --------- ; б ) --------- в а ---------5:

х + 15 х + 15 - х + 4 4 - х

u Г) 2 * ± 1 ва 1+ _ ? ? _ ?3 - л 3 - х 1 - 5 х 1 - 5 х

189*. Касрро ба намуди сумма ё фарки ифодаи бутун ва каср нависед:

ч х 2 - 7 х + 6 г \ х2 ~ 2 х + 3 ча 2 + 9 а - 1а ) ---------й— ; б)— Т ~ 7 — ; в)—— --й— ;х - 1 х - 1 а + »

ч 4а2 - 1 0 а - 1 ч Зх ч х - 2д) — г ; е) —<з-4 х + 2 3 - х

69

190*. Барои кадом п-и бутун кимати каср адади бутун аст:

2л2 +Зл + 4 _ч (л - 2 ) 2 5л 6л „а ) --------------- ; б) ^ в ) ------ ; г ) ---- -?Л Л Л+1 п - 1

Ба параграфи 3.191. Зарбро ичро карда, натичаашро сода намоед:

. т 3 - 2 1 т 2 - 9 36jc7 х 2 + у 2а ' ^2 , Q ‘ 2 , « , о ;

в)

т 2 - 6 т + 9 т 2 +Ът + 9 ’ x 2j»+x3 9х5

у2 - 2ху 4ху + >>2 - jt2 + :ху + у 2 х2 + 2ху + >/2лу + 4х2 4х2 - у 2 ’ х + у х3- /

а5 - а 7+ а 9 а - 1 . х3 +х2 х4 +х3 + х2

Д) 1 - а 2 а 8 - а 6 + а 4 ’ С ) х 5 + х 4 + х 3 х 5 + х 3

192. Таксимро ичро карда, натичаашро сода намоед:

, X 2 + V2 4 х 2 + 4 у2 _ аъ- в ъ а2 - в 2а) £ : --------- б ) — 7-------------------- г - —------ »х - у x + j ав(а + в) а + ав

2 - т 4 - т 2 а 4 - а 2 а3 - а5в) т 2п + т 3 ' - т 3п2 - т 2п3 ’ r )7 T 7 V T Z ;

х 5 + х 7 х 9 + х 7 8 х + х 2 + 1 6 1 6 - х 2Д) 7П — . . 4 е)

9 х 2 - х 6 х 4 - З х 2 ’ 1 5 х 2 + З х 2 5 х 2 - 1

193. Исбот кунед, ки барои хдр гуна л-и натуралй кимати ифодаи

/± +г | . ( А _ 1 + Г |У 2) W * г )

адади натуралй аст.194. Исбот кунед, ки агар т Ф О ва т ф 1 бошад, он гох,

кимати ифодаи

« , 1 Л 2 т - 2 т 2т {т ) (т-1)2

аз кимати тагйирёбанда вобаста нест.

70

195*. Ифодаро сода кунед:

а)

б)

в)

г)

Д)

( , \ ( х + уX------- — + У

V х - у1- 2у + \

2 2 X - у

^Зх2- ^ ^ Ъху+9у2 (5 3 1к х2- 9 у 2 х2+6ху + 9 у 2^ [у х)

ав + - ава + в

а + в

1

а - в

2в

- а - в ;

а - 2 в Ав - а4в 2в \

а 2 + 4в 2 +4ав 2 в + а

^х2+1 х л1 + 2х 2 - г ! ) •>

3 -х 2 + х

- 1' ж \ + Х 2Л

2 2 х - 1

196*. Исбот кунед, ки кимати ифода аз киматхои имконпазири тагйирёбандахо вобаста нест:

а)

б)

2а + 3 -+- 21 + 2 а4а -16 16-16а + 4а

'Ъ + а ' 2

1 1—+ — ч* У;

2х у х ‘у~

а - 2

1

За+ 7 2 + а !

2 2 * У( х + у ) 3 ( х + у ) 2

197*. Аввал ифодаро сода карда, баъд киматашро ёбед:

. 5х2 - l(h y + 5y2 8х - 8 у , _а) — z------------- —:---- г------- -, х,ангоми х=-3, v=-l будан;' 2хг - 2 х у + 2 у2 10х + 10у ^ 3

б)5а2 - 5 в 2 5а -10ав + 5в

а 2 +2ав + в2 За + Зв 198*. Ба намуди касри ратсионалй нависед:

х -3 4 - х , 1

, хангоми а=8 , в=7 будан.

1 + х —

а) 5х-18 б)1 - х - -

х + 1

х + 1

х - а х + ах + а х - ах - а х + а

+ --------

в ) х + а х - а . г )

I - 1х + а х - а 1+ —

х

199. Кадоме аз нуктахои А(-10; 1); В(5; 2); С(5; -2); D(0; 0); Е(0,1; -100); F(20; -0,5); G(100; -0,01) ба графики функсияи

10 0у = ----- тааллук доранд?х

200. Нуктаи А(-2; -14) ба графики функсияи бо формулаик.намудаш у = — додашуда тааллук дорад. Климата к-ро ёбед.

к201. Маълум, ки графики у = — аз нуктаи А(4; 2,5) мегузарад.

Оё графики ин функсия аз нуктаи: В(2; 5); С(0,1; 4); D(-l; -10); Е(-2; -8) мегузарад?

g202. Графики функсияи у = ------ро созед ва аз руйи он:

Xа) кимати >>-ро ёбед, ки он ба кимати ба 4; 2,5; -1; -2,5

баробари х мувофик аст;б) кимати jc-po ёбед, ки ба он у-и ба: 8; -2 баробар мувофик

меояд.203. Хачми параллелепипеда росткунчаи тарафх,ои асосаш а

см ва в см ва баландиаш 10 см ба 80 см3 баробар аст. Аз а вобаста будани e-ро бо формула ифода кунед.

204*. Сохаи муайянии функсияро ёбед ва графики онро созед:

________4______ 24а) У (х + 2)2 - ( х - 2)2 ’ ■У _(3 - х ) 2 - ( 3 + х)2 '205*. Графики функсияро созед:

a )> ,= R ; 6) , , = - R '

/с206*. Барои кадом киматхои к ва в гиперболаи у = — ва хатих

72

рости у=кх+в аз нуктаи:а) А(4; 1); б) В(-1; 4); в) С(-2; 2)

мегузаранд?207*. Муодилаи хати рости у = а х + в -ро нависед, ки вай

2графики у = — ро дар нуктахои гуногун мебурад. Оё чунин

ххати рост якто аст?

208. Нишон дихед, ки хангоми а <0 будан, графики

функсияхои у=ах ва у = - — хдмдигарро намебуранд.х

ЧАВОБ^О13 9 5 4 7 1771. а ) - ^ - ; 6)2-?-; в )2 - ; г А 2. а)3— ; б)— . 3. а)-9; 6)0,2; 20 13 7 7 15 150

=)lf; Г)51. 4. а)1,4; 6>0,4. 5. а),ОД 6)1; в)0,2; г ) п | . 6. а)4;

б)-2; в)0; г)1; д)0,5; е)-5,5. 7. а)-5 ва 5; б)-1 ва -I; в)6 ; г)-1 ва 3.

8 . а)2; 6)0 ва 1; в)-3 ва 3; г)2 —. 10.v = ?&-+ V 2 ; а)7з1 ; 6)83^.2 + 2 3 3

11. a ) - 2 f ; 6 ) - -L ; в)-1; д)1^ ; е)-1. 12. а)?(у-х); б)0,5а(6я-«).о 2,0 /

13. а)(лг-1 )(jc+ 1 )(jc2+ 1); 6)(3z-5)(3z+5); в)(За+4«)2; г)(4х-3)(4х+3).1 90 v v

14. Ба 1 руз. 17. а ) -1 9 —; 6) ----- . 19. t = --------1------- ;а)4 соату3 70 u + v u - v ’ J

248 дак.; 6)2 соату 24 дак. 20. та+(п-т)в; а)2660; 6)3000. 21. а)—;

6)0,625; в)1; -2; г)-2; 2. 22. а)0; б)-1 j ; в)1; г)2,5. 23. а)а2+5а+4;

б)6а2+7о-3; в)х2-14х+49; г)24х2-14х-3; д)-2х2+5х-3; е)х3-х2+х-1. 24. а)(х-4)(х+4); б)(4х-а)(4х+а); в)(х-2)2; r)(o-3)(a2+3a+9);

73

д)(ау-1)(ау+1); е)(2-ал:)(4+2ал:+а2х2). 25. а)Х,а; б)не; в)не.1 326.129 — км. 28. а) Хдмаи ададхо гайр аз — ; б) хамаи ададхо3 4

гайр аз 1; в) хамаи ададхо; г) хамаи ададхо гайр аз -2 ; д) хамаиададхо гайр аз 1 ва 2; е) хамаи ададхо. 29. а)2; 6)0,5; в)0,25 ва

2-2,5; г)-5 ва 5. ЗО.Хдмаи ададхо гайр аз: а)3,5; б) — 1—; в)2 ва 4;

3г)-5 ва 1,5; д)0,2; е)-3 ва 3; ж)-1 ва 2,5; з)— ва 6 . 31. а)6; б)-0,5;

в)0 ва 2; г)0 ва 1. 32.Хдмаи ададхо гайр аз: а)1,5; 6)2; в)-6 ва 6 ;г)-3 ва 0. ЗЗ.Хдмаи ададхо гайр аз: а)1; б)-3 ва 0; в)-1; г)-2.

34. а)-3,5; б>1; в)9; г)-11. 39. а)0; 6)2,6. 40.-3,6. 41. а)-3,5; 6)2—;

в)-1 ва 1; г)-3 ва 3. 42. а)/п(х+2); 6)jc(x2+x+1); в)10а(2х-у);г)5а2х(а-3х); д)х(х-5а); e)5v(v-l)2. 43. а)4в+5; б)-0,25; в)3х;

г )у (4 х -у ) . 44. 20 км. 45.7,875 кг. 46. Не. 47. а)Хд; б)не; в)ха;

г)не. 49. а)^-; 6)-^-; в )2 у ;г )^ - ; д)-Ц -; е ) - А ; ж)-£-; з ) ^ - ;J 3 а 1 у 2п 1х 4х 2 п

и)а2; к)у-х; л ) - - - 1 - 2- ; м ) - ^ . 50. а )— ; 6 ) - ^ - ; в ) ^ - ^ ;( а -в ) 3 tz а в За

В " \ 2 * д ) - ; е ) - — ; ж)х3+ У ;з ) |; и ) - 1 - ; к ) | ^ ^ - ; 30(а + в) у х 5 х - у 2 к - р

5ал) 1 ; м) (2а + 5в)в 51 a)5ag. б) 52 а)а - 2 а а - 0 ,6в

б ) - * у2 + 2 у + 1 ; в)—— ; г)х.53.а)34;6 )3 7 ;8 )1 4 ,5 .5 4 ^ )^ ^ - ; у(\ + 2у) х - у р

в) ; r ) £ ± i : j 0 , ! e ) | Z ;2 в - Зв + 9 а - в * 9х 3 - а

74

* 2 х + у ч х 1 . т - п чх 2 - х у + у 2 __и)тТТо ч-’ к)~7—Г’ Л) ^ Г ^ ------------м) -------------■ 55’25(2х - у ) х + 1 2(т - т п + п ) х - у

7а)-2; б)— . 56. а)х+7в; 6 )6a-в; в)-(9х+1); т)3т-8к; ц)4а2+6ав+9в2; oU

е)1-№. 57. a ) j ; 6 ) - i . 58. б ) ^ — ;2 4 15х у в - 2 в 4 - а

(х — у ) 2 1 2г ) ------ . 59. а)2 ; б ) - 2 —; в)у ; г)1,6. 60. Х,амаи кдматх,о гайр

у - х

аз: а)-0,75; 6)3,6; в)2 ва 2 - |; г)-4 ва 4. 61. а)20; 6)1,9. 62. 215,

у + Х645, 753 ва 567 одам. 63. Х,озир соат 13-у 45 дак;. аст. 64. а )- ;

4

6 ) f ; г )— ; д ) ^ 1 ; 0 - 12^ ; ж ) - —; з) ——;• з а е в 4 у с

к)а+в; л )—!— ; м)4-а; н ) - ^ —. 65. а )—; б ) ^ - | ;2 х + 6 а + в х х + 2

B)d ^ 2 ; r ) i i r £ ;H > 5 ;e)“ i b ; ж)т ^ ' зН ;и )т “ а)3;

6 ) - 2 | . 67. а ) — ; 6)1; в ) ^ ^ ; г) ^ ^ ) ; д)1; е)0;3 х - у с - 1 а - в

ж )2ов + Зс. з)_ 2 х у _ ^ ^ 2. б)0 ^ а )1 . 6^_2. в) 5.2 а - в х - у

О 1 2д)х-4у; е)а+6 ; ж)х-3; з)1. 70. а)— + -^-; 6 ) - -------в ) ^ - + —;

х х 2 а х а а

40 872. а)11; б)-26; в)— ; г)-41-. 73. а)Х,амаи ададх,о гайр аз -3;41 9

б)хдмаи ададх,о; в)хдмаи ададх,о гайр аз 0 ва -4; г)хдмаи ададао гайр аз -1 ва 2. 74. 28, 30 ва 22 см. 75. а) у(у-4х); б)(Зу-1)3;в) г)(х-2)(х+2)(х2+2х+4)(х2-2х+4).

5 х 2в-1 а2 + в2 З х - у76.10,2; 2,2 ва 20.77. a ) f - ; б)— ; в)— ; г)---------; д)—4х 14а в ав о

14 ^ 2 в х - а у 2 /их - 3 пу ^ в х - Ъ а 2 л3 а-2 в1 Г\С 9 Ж) 9 3) ~2 9 и) ; к)ШЬ ав т п ав а

23 + 14а _0 . 9в 4х + 3>> 2 ав 4 х 2у 2л) ■ 7 8 - а) ^ Г Т ’ б>------ в) — 5------------- 7« г) ~ ----- 7»60 2а - в х - 2 _у а - в х - у

4в3+26в2+36в + 63 а 5хД)-------Т П — ; ж)'6в(3 + 2в) 'б (х + 2 ) 6(2 - х ) '

ч 6 - 6 х - 22х2 4п2 - 5 т 2 ' 5а2 -1 2 а + 93) 7 - 7 ---- гг;-----—; и )---- ------ —; к)-5 х (х - 2)(х + 2) ’ т п ( т - к ) ’ (9 -а )(9 + а)2 ’

л)W r i ) - 79' а)" ? ; б>0’2' в» г> ¥ - т -

4 (^ -1 ) . 5 * - , . 3 8 ^ 1 ^ 1 0 5 . 2 .х 3 35 а + в а -1

ж )3£^ 6 « - 6 9 . ^ д ф с - 8). 31^ - 2 ^ 2 .1 6 -в х - 4 2 5 -а х + 2

х 2+18х + 57 2 7 а -1 4вб)7---- 77 > в) ---- 7’ г) —Гг—Г 9 Д)'(х + 1)(х + 3)(х + 5) ’ х -1 ’ а(а2 - 1) 4а2 - в 2

у 4 >>-5. 2 . Д - 2 . 96 х 2 - 2 х + 4 ’ у + 1’ 3 ( 2 — jc)* И а ( а -З в ) ’ К;х(х+1)(х-3)’

582. а)х-3; (х-3)(2+х); б)а+1; 1; а 2-1. 84. а )—;---------- ;

у - З у - 4

76

х 2 — Ах — 2 1 1 1 ci — х i1— 5--------“ j в)—-----т)6а. 85. а)45; 6)20. 86. -2; -0,5 ва 4 —х - х - 6 Ь(а-х) 4

1 2 1Барои “ 3—;— ва 11—• 87. a)v = — ;б)а = 88. 5 ва 7 гов. 89.

5 3 3 в

6)1000. 91. а)0; 3; б)-1; 7; в)0; 0,5; г)-3; -1. 92. а)1^-; 6)1

В)Ш ; г)т ; Д)Й 7 ; е)3}; ж)§; 3>£'93- Ф б)7 :

ч3а2 . а 3 . 6 6л:3 чх . l a x ас2Г> г т т ; д)~ т ; е) ^ ~ ; ж) —’ 3) т г * 94- а)*; б) — ;10 6в с в _у z _у 15 в

V ла3 . ч 21а2 3 ч 6х 3тс1 а 2с2в)*?; г)— ; д)—— ; е)26х3. 95. а )------, 6 ) - —- в) ------— ;в 2 у 2а в

ч тп ,w ча За3в2 „„ ч 1 . _ч л 4 ч п6 ч 16а4г) ^ ~ - 96. а) — ; 6)— — . 97. а )т г г , 6)ТГГТ’ B) ^ ~ r i г) '

21<? х ’ cd 8л: 8 1 / ’ 8w 3 ’ 25<?6 ’

,* ? ! • с)————— ' ж) 2 7 o V - з1 -— 98 a1'X<JC+J') - б>— ' a V ’ ' v* ,ж ) 64mV ' ’ 125 / ' 3>' 2 ’

q _|_ g 1 О - у / - у ___0 4

в)— — ; г)(а-вУ; д )-------- ; z ) ^ f — ( . 99. а)(а+в)2; 6)а2-в2;e(c + d) а - в 3(^ + 2)

4 ( x - v ) 2 . 3 ч_, ч ч _ <лл ч 2ах ^в)---- г ) - —; д)З(а-в); е)-2. 100. а ) - —------------- —; 6 ) - -

2 2 ' 7 ' 5(х + 2) 7 а - 3 ’

в)£ ± £ . г )( н м . e ) * z l . ж )^ . 3) j _ .в 4 в - 2 с 4 2 3/я

а - в ах в + 2 Зх101. а)6; 6)8. 102. а)-7 ------т; 5)~?------т; в ) ^ - ; г )— ------' J a(a + e) J 4 { х - у ) ' 9s J 2(х + у)

у 2 X + V 1д) —------ - ; е)-----—; ж)1; з)—• 103. Хдмаи ададао гайр азх(2х + у) х - у 2

77

А ва Д. 120. 301. 121. бкм/соат. 122. а )8* 15 ; б ) ~ - Х- 4 :' 30 х - х - 2

„Ч 2 у - 5 ч ^ а 2 - в 2 ч а 3 ч 13 в)~ г» г)7.. . .4/----ТТТ- 123- а)- б)----5— ; В)-Т ’ г);a - l ’ ' ( у + 1 ) ( у - 1 ) 2 *2 ’ ' в 4 ’ ' 8 (а + в ) ’

124. а ) ^ 2 ; 6)а(а+1); в ) ^ Ц ^ ; г)х. 125. а ) - ; б ) - * ; jx + 1 У а а

в ) - - 1- ; б ) — ; в)-|; г ) ^ . 127. а ) | ^ ;а - в а - Ъ *{х + у) 2 2 5 + л:

1 \ а2 + ав + в2 , а + 4 .1—— ; в)----- —; г) 2----------- г- 128- а)-1; 6)5; в)------- г ) - .я +1 х - у а - а в + в а + 3 а

. . . . ч 1 , . 1+ у ч Зл; _ а +1129, a) ~ i7 ------- Т; б) '1; в) ---------; г)^ Г ‘ 130- а) -Г’ б)х-3;3 ( x - j ) у 2 а - 1

в) ~"Т> r) 2a + g - 131. а )- 1 ; б)3(х-у); в)(х+у); г)- аву - 1 ав 2(1 + За) а + в

Ш ' а)- 2 7 : 6) ^ 2? » 5^ г>£ 7 : - » 3 . а ) ^ ; б ) Ц ^ ;

г )£ Г Г ' 134 а>2^ +>* 6 ) ~ ££ i r ;

4х4 + 4х2 +1г)х + 1. 136. а)0,5; 6)1; в)1; г)-7. 137. а ) --------- ;------;

4х

б)(Д ) ; в)-2х +22^ ; г)4; д)а2+в2; е)а2+«2. 138. а) 2(/ ~ 3 х ); а г У 6 jc + у

2xz + 3 x -2 1 4 ав ав + вс + асб)------— л---- ; в)х-у; г )—; д )----- е)-----------; ж )--------------- ;

х - 1 х х - 2 а + в а + в + с

Зх + 2 6з ) - -----139. а)-0,6; 6 ) 6 - ; в)-0,25; г)1,5; д)1050. 140. 60. 141.

2х + 1 7

79

а)18; 6)76; в)322. 142. а ) | ; 6)144. 143. (32; 0) ва (0; -8). 144.

а)-0,5; б)-1; б) - у ; г)-4.145. 110 т. 146. а)Хдл надорад; 6) (0,5; 2,25).

147. Зкм/соат. 148. 23 тазарв ва 12 харгуш. 151. a)v = - ^ - ;

500 40 , 1 _ 7 4б )* = -----. 153. у = — . 156. а.) У - ——; б)^ = ——; в)^ = —.v х 2 х 30х дс

157. = 3 . 160. 129,5 ва 92,5. 161. а )^ - ; б )у . 162. 36 зог. 163.

а)х = У2 ; 6)z = —— . 164. а)2х4-4х3+8х2; 6)—- у2 +2у3 - —у 2; y - z х + у 2 2

в)2х3-5х2+7х+5; r)3ae2-5e2-12ae-6a+20e+10; д)6х4+5х3-9х2-Зх+1;е)а4+3а3-23а2+2а+6; ж)х4+2х2+1; з)а3-в3; и)-2х2+5х-3. 165.a)-ae(a+e); б)ху(>х+1); B)pq(p2-pq-q2); r)(2x-3X2x+3); дХ2х-3yf;е)(х-2)(х+2)(х2+4); ж)(а+в-с-2с1)(а+в+с+2с1); з )(а -1 )(а+ 1 )(а2- -а+ 1)(а2+ а + 1); и )(х-1)(х + 1)-(х2+ 1)(х4+ 1); к)(2 х-_у)(12х+_у);

л)4(Зх2+4); м)^х + y j J н)( т " | ] ( т + | } о)21(1-х)(1+х). 167.

1 1а)2; 6)4; в)0 ва 5; г)-3 ва 3; д)-2 ва 2; е )~—• 168. Масалан: а)-

3 х - 1

6 ) — —; в) —, 1 - ■. 169. М асалан, . 170. а)Х,амаих ( х - 2 ) х 2-16 х 2 +1

ададхо гайр аз -4; 6) хамаи ададхо гайр аз -3; в) хамаи ададхо гайр аз -2 ва 2; г)хамаи ададхо. 171. Хдмаи ададхо гайр аз: а)-

10х 1 Зв ч2 х---- : в)—г ; г)— ; д)—z 3л 10 yz

1; б) 4; в) 0 ва 7; г)-4 ва 4. 172. а)-а; 6) —— ; в)^-у ; г)— ; д)— ;

е)К ; ж ) - ^ ± 7 ; 3)Т £ Т Л : к)— ;1 х а — в х — х + 1 х х — у а

M'l — • * у + 2 У+ 1 . пл 1 „Л р - яХ р +g ) . _ч? _ ... 7у у(2.У+1) 2 а(я - 5) р - p q + q

80

- 2 х + 1 . x + 2 x - \ а + в - 2 __176. a)--------------; 6)2; в)-------------- ; г)-----------; д)0; е)-1. 177.х - 4 х + у а + в

а ) - ^ —; б) 2а ~— ; в ) Ь ^ - ; r ) - ^ t l Z . 1 7 8 . а)2; 6)1. 179. у - 4 а - 5 в х + 2 х + у

а)4 + —; 6) я + 6 + —; в)1 + -^-; г) — + в - 2 . 180. а)Барои и=1, 2,х а х в

4, 8 ; б)барои п=4, 8, 16; в)барои п= 1; г)барои и=1, 2. 181. а)0,5;

ч-, ч *0*1 N4 7 x -8 ff4 5x + 8 х 2 - х 2а + а 2б)0,5; В)3,5; г)-2 . 182. а ) - ^ ^ - ; 6 ) - ^ ; в )----- ----------- ,

г ) ” - 3а‘ . 183. а , 2 < ^ М ; б ) ^ - ± ; в ) ^ Ч ав 5 т а + в + с

ав(а + в) 2ав а 2 + в2 4х2 +8х + 21г ) ----- --------• 184. а ) - —---- г! 6 ) —---- в) , , ,— >а - в а - в ' а ' - в 2х(3 + 2х)

а2 + х 2 Зх2 + 9х-11 2>>2 + 4у-17д) х ’- * 1 е)-----7 Г 5—

ч 24 а 2 - 98 ав + 25в2 вч 3* + 2 _ч 10(х2 +1) .Я) 60ав ’ ^ ( x - l ) ’ В) ( х - 1)2(х + 1)2 ’

13 а 2 + 20 а - 75 ч 8 . х + 1 10,Г) (25 - а 2)~ ’ Я) ~ ^ 3 ; С)7 3 Т - 186 ' ^

18л:2 \ ~ 4ив — в 5я ~ я + 2 ^ ^ ^^б ) - 8 / - 2 7 ^ В) ( а * - . 1) " Г) а * - 1 ' Ш - аИ 5 ’ б)2°’

6 _ч 3 ч а - 1 . , 6а - 1в)5;-г)7. 189. а)х + ---- б)х + --------- в)а + ---------г)4а +---------х — 1 х - 2 а + 5 а - 4

д) 3 ---- -—; е)-1 + —-— . 190. а) Барои п=± 1, ±2, ±4; б) бароих + 2 3 - х

п=± 1, ±2, ±4; в) барои п=-6 , -2, 0, 4; г) барои п=-5, -2, -1, 0, 2,

4, 7. 191. а)™+3; б)-4^ -+ г ) -; в ) - - г ) ^ ^ ; д ) - -х л у х{2х+у) х - у а + 1

ч х + 1 1 а 2 + ав + в 2 . л 2 . ,е) IT i тг* I92- а)тт------г; б)— г — I - ; в)~ ~х (х +1) 4(x-j>) в (а + в) 2 + т

д ) т— --- г-; e) ( f± 4 X 5 x _ l) 193_ и + 2 194_ 2 195>х (3 + х ) ' Зх(4 - х)

\ (x + j ) к\ ХУ . \ ав \ а + 2в Л 1 Л 1а)~----- ,5 б)-----Z -; в)------; г ) - — -----— ; д ) - - ; е ) - . 196.х + 7 + 1 x + 3 j а - в 2в(а - 2в) 2 2

— V2 —7у 9 луа)-3; 6)1. 197. а)25; 6)3. 198. а ) - ; 6 )— ; в)---- ==Ц-; г)х+1.

3 х х + а199. Нуктахои А, С, Е, F. 200. 28. 201. Аз нуктахои В ва Д. 203.

gа = —. 204. Х,амаи ададхо гайр аз: а) 0; 6 ) 0. 206. а)к=4, в=-15;

во)к=-4, в=-6; в)А:=-1, в=0. 207. Не, чунин хат бисёр аст. Масалан, >»=2х-1 ва j>=2x+2. 208. Графики у=ах дар чорякхои дуюму

чорум ва графики у = - — дар чорякхои якуму сеюм чойгир аст

(хангоми а< 0 будан).

82

Боби IIРЕША^ОИ КВАДРАТЙ

§4. АДАДХОИ ХА КИ КИ

И . БО КАСРИ ДАВРЙ ИФОДА ШУДАНИ АДАДИ РАТСИОНАЛИ

Мо аллакай бо ададхои натуралй, бутун ва ратсионалй шинос хдстем. Ададхои 1,2,3..., ки хангоми шумурдан истифода мешаванд, мачмуи ададхои натуралиро ташкил медиханд. Хднгоми чамъ ва зарби ададхои натуралй натича хамеша адаци натуралй аст. Вале хангоми тархи ду адади натуралй на хамеша адади натуралй хосил мешавад. Масалан, адади 2-4=-2 адади натуралй нест. Барои хамин ададхои манфй ва адади 0 дохил карда шуданд. Дар натича мачмуи ададхои бутун ..., -3, -2, -1,О, 1, 2 , 3,..., хосил шуд, ки он мачмуи ададхои натуралиро дар бар мегирад.

Натичаи чамъ, тарх ва зарби ададхои бутун, хамеша адади бутун аст. Вале таксими ададхои бутун метавонад, бутун набошад.

2Масалан, — адади бутун нест. Аз ин сабаб мо ададхои ратсиона-

лиро хамчун нисбати ду адади бутун — , ки дар ин чо т ададип

бутун ва и-натуралй аст, дохил намуда, мачмуе хосил мекунем, ки он мачмуи ададхои бутунро дар бар мегирад. Ин мачмуь мачмуи ададхои ратсионалй ном дорад. Хдмин тарик, ададхои бутун ва касрй мачмуи ададхои ратсионалиро ташкил медиханд.

Мачмуи ададхои натуралиро бо харфи N, мачмуи ададхои бутунро бо Z ва мачмуи ададхои ратсионалиро бо Q ишорат мекунанд. Ишорати е барои тасдик кардани мутаалликии ягон адад ба мачмуи зикршуда истифода мешавад. М асалан,

2навиштачоти 2 e N , - 4 е Z в а —e g нишон медиханд, ки 2

2адади натуралй, -4 адади бутун, — адади ратсионалй мебошанд.

83

Баръакс, навишти - 3 & N тасдики он аст, ки адади -3 натуралй нест ва хоказо.

Х,ар гуна адади ратсионалиро (новобаста ба бутун ё касрй

буданаш) бо тарзхои гуногун дар намуди касри — , ки т ададип

бутун ва п - натуралй мебошад, навиштан мумкин аст. Масалан,

- = - = — • - 0 4 = — = — = - — 6 = - = — = —3 6 30 ’ ’ ” 10 " 40 100 ’ ~ \ ~ 2 ~ 6 '

Дар байни касрхое, ки бо онхо адади додашудаи ратсионалй ифода мешавад, касреро нишон додан мумкин аст, ки махрадаш хурдтарин аст. Ин каср ихтисорнашаванда аст. Барои ададхои бутун кк гуна каср, касрест, ки махрадаш ба 1 баробар мебошад.

Коидаи баргардонидани касри одиро ба дахй истифода карда1 5 41мебинем, ки масалан, — = ОД25; — = 1 ,25 ;------= -1,025 .8 4 40

Мулохизаронихо дар атрофи ин мисолхо ба гузоштани саво-ли зерин меоранд: Оё хар гуна адади ратсионалиро дар намудикасри дахй ифода кардан мумкин аст? Барои дарк кардани

давоби ин савол адади yj- -ро ба касри дахй бармегардонем.

Барои ин коидаи маъмулро истифода мекунемI п (суратро ба махрад таксим менамоем): Бакияи

—22 ’ аввали аз таксимкунй хосилшуда ба 8 , бакияи —gQ- дуюм ба 3 баробар аст. Дар бакияи оянда боз 8 ,

баъди он бакияи ба 3 баробарро хосил мекунем ва хоказо.

—22 Мо таксимро чй кадар давом надихем, асло80 дар бакия 0-ро хосил намекунем, яъне таксимкунй

—77 хед гох ба охир намерасад. Дар ин маврид~ 3мегуянд, ки касри — бо касри дахии беохири

0,272727... ифода меёбад: ^ - = 0,272727 ... Азбаски аз

таксимкунии сурат 3 ба махрад 11 пай дар пай бакияхои 8 ва 3 84

11

хосил мешаванд, пас хосили таксим бо хдмон ду раками 2 ва 7 такрор шудан мегирад. Касри дахии беохири чунин намуд- доштаро касри даврй меноманд. Гурухи ракамхои такрор- шаванда даври касрро ташкил медиханд. Хднгоми навипггани касри дахии даврй даврро як маротиба дар дохили кавси

3доиравй менависанд: — = 0,(27).

Ин навиштачот ин тавр хонда мешавад: нул бутуну бисту

хафт дар давр. Ададй -ро низ дар намуди касри дахии беохири

даврй ифода кардан мумкин аст: ^ - = 0,3666 ....= 0,3(6).

Ин навиштачот чунин хонда мешавад: нул бутуну аз дах се ва шаш дар давр.

Айнан хамин тавр нишон додан мумкин аст, ки

3 т = 3,1(6); = -1,(285714); | = 0,(3).о 7 3

Мисолхои овардашуда ба хулоса меоранд, ки хар як ададй

2 п ^касриро дар намуди касри дахии охирнок, масалан, — = 0,4 е

дар намуди касри дахии даврии беохир ифода кардан мумкин аст.

Зохиран фахмосг, ки касри дахии дилхох ё ададй бутуни дилхохро дар намуди касри дахии даврии беохир навиштан мумкин аст: барои ин ба тарафи рости он микдори беохири нулхоро илова кардан лозим аст. Масалан,

+3,5=+3,5000...; -7=-7,000...Инак, ба саволи гузошта чавоб хосил шуд: ХаР як ададй

ратсионалиро дар намуди касри дахии даврии беохир ифода кардан мумкин аст.

Тасдикоти баръакс низ дуруст мебошад: ХаР як касри дахии даврии беохир ададй ратсионалй аст.

Масалан, 0,(3) = - ; 2,(34) = 2 ^ - ; 0,1(125) = 11243 9 9 ’ ' 9990

85

Бо воситаи ичрои амали таксим дурустии ин баробарихоро санчидан мумкин аст.

Э з о х, и 1. Кридаи умумии ба касри ратсионалй баргар- донидани касри дахии давраш беохир, ки бузургиаш аз вохдд хурд аст, чунин аст: Аз адади то даври дуюм буда, адади то даври якум бударо тару; карда дар сурат менависем. Дар махрац х;амон мик,дор, ки мщдори рацащ ои давр аст, 9 менависем.Ба он х,амои мщдори нул илова мекунем, ки он ба микдори ращм^ои то давр буда баробар аст.

Масалан,

0,4(72) = ^ ! = ^ ; 2Л2дЗ)-2 + 1 ™ --1 2 ,2 1201

0,3(124) =

990 990 ’ 9900 9900’31219990

Асоснок кардани ин коидаро коло мавкуф мегузорем.Э з о х и 2. Хднгоми ба касри дахД баргардонидани касри одй

касри давраш 9 харгиз хосил намешавад. Барои хамин касрхои даврашон 9 навиштачоти дигари касрхои даврашон 0 аст.

Масалан,0(9)=0,99.. =1,000.. =1; 15,2(9)=15,2999.. =15,3000.. =15,3.

1. Ададхое, ки онхо мачмуи ададхои натуралй, бутун ва ратсионалиро ташкил мекунанд кадомхоянд? 2. Ба мачмуъ мутааллик будани ададро чй тавр ишорат мекунанд? 3. Бо мисолхо фахмонед, ки адади ратсионалиро дар намуди касри дахии беохир тасвир кардан мумкин аст. 4. Коидаи ба касри ратсионалй баргардонидани касри дахии даврии беохирро аз нав хонед ва мисолхои исгифодаи онро оред.

209. Кадоме аз ададхои - 50; -12,3; -1; 0; 2; -8; 27; 32^-7 о

ададхои:а) натуралианд; б) бутунанд; в) ратсионалианд?210. Кадоме аз ин тасдикот дуруст аст:а) хар як адади натуралй адади бутун мебошад;б) хар як адади бутун адади натуралй аст;в) хар як адади бутун адади ратсионалй мебошад;г) хар як адади ратсионалй адади бутун аст.

86

211. Оё навиштачоти зерин дуруст мебошад:а) 13 eiV; 6)2,4 e N ; в) - 2 « Z; r ) - 5 « Z ;

д)-4еЛ Г; е) 5,6 e Q ; ж)-7,1 € Z; 3) |e Q ?

4 1212. Ададхои 1—; 0,2; -3 — ; 13 ва 0-ро бо тарзхои гуногун5 4

ба намуди нисбати адади бутун бар адади натуралй ифода намоед.

4213. Ададхои -12; 3; 2,1; -0,1 ва - — -ро ба намуди касри дорой

махрачи натуралии хурдтарин ифода намоед.214. Ададро дар намуди касри дахди даврии беохир ифода

кунед:

а)Ь 6)Ь в)- ф т)2Ь л)2Ь е)_11 '215. Ададро бо касри дахии даврии беохир ифода намоед:

а)^ ; б)У ; В)2’341; Г)'343; а)Ь е)4’2‘216. Ададхои ратсионалиро мукоиса кунед: а) 0,012 ва 0,013; б ) -2,1 ва 2,1;

в) — ва — ; г) -2,42 ва -2,63.' 9 ю 7 5

217. Ададхоро мукоиса кунед:

а) -1,173 ва -1 — ; б) 0,437 ва’ 10 16

в) -1,01 ва -1,011 ; г) -7 ва5 3

218. Чорто адади дар байни ададхои:

а) 4 ва 4,02; б)-101 ва 100; в) - " ва _ J ’ г) ® ва >01

бударо нависед.219. Касри давриро ба касри ратсионалй гардонед:а) 2,(21); 6)3,1(3); в) 2,00(1); г) 0,134(2).

87

Машкхо барои такрор220. Ифодаро сода намоед:

( х - 2 х + 2 лб)

ах - вх . .а) : ( а - в ) ;х + 2 х - 2

8 jcх — 4

221. КТУ ва ХКУ-и ададхои 102 ва 30-ро ёбед.222. Системаи муодилахоро хал кунед:

б)1 1 ,— X ----- V = 1,2 3 Л Зх - 5>> = -3.

223. Исбот кунед, ки:а) суммаи ду ададй ток,, ададй чуфт аст;б) суммаи ададй чуфт ва ададй ток,, ададй ток мебошад;в) квадрата ададй чуфт, ададй чуфт мебошад;г) квадрати ададй ток,, ададй ток, мебошад.

3 1224. — м матоъ 5 — сомонй меистад. 6,2 метри ин матоъ чанд4 4

сомонй меистад?

12. АДАДИ ИРРАТСИОНАЛИ

Дар банди пешина нишон додем, ки хар гуна ададй ратсионалиро дар шакли касри даврии беохир навиштан мумкин аст ва баръакс, хар гуна касри даврии беохир ададй ратсионалй мебошад. Пурсида мешавад, ки оё бо хамин, яъне бо ададхои ратсионалй, тамоми ададхои мавчуда ба итмом мерасанд? Нишон медихем, ки вазъ хамин тавр нест.

Бо ибораи дигар, ададе вучуд до- g С рад, ки вай ратсионалй намебошад. Ин

^ ададро мушаххас нишон медихем. \ Бигузор АС диагонали квадрати

- - > Е вохидии АВСД аст (расми 4). ДарN I / диагоналхои квадрати вохндй квадрати

44 нав ACEF-po месозем. Зохиран фах-р мост, ки масохати квадрати сохта-

Расми 4. шуда ба 2 вохид баробар аст. Азбаски

88

масохдти квадрат ба квадрата тарафаш баробар аст, пас дарозии диагонали АС ададест, ки квадраташ ба 2 баробар мебошад.

Т е о р е м а . Бузургии диагонали квадрати вохидй адади ратсионалй нест.

И с б о т . Баръаксашро фарз мекунем, яъне AC=d-po ратсионалй хисоб менамоем:

пки дар ин чо m-адади бутун, и-натуралй ва каср

Г „ Vихтисорнашаванда аст. Азбаски d = — = —=- = 2 аст, паст

птп

т2=2п2. Адади 2п2 чуфт аст, пас адади ба он баробари т2 низ чуфт мебошад. Аз чуфт будани т2 бармеояд, ки худи т чуфт аст.

Дар хакикат, агар т ток мебуд, он гох чунин адади бутун к ёфт мешуд, ки т- 2 к +\ мебуд. Аз ин 40 т2=(2к+1 )2=4к2+4к+1. Ададхои 4к2 ва 4к ададхои чуфтанд, хосили чамъи онхо низ адади чуфт мебошад. Ч,амъи адади чуфт ва вохдд бошад, адади ток аст. Пас, аз баробарии охирин бармеояд, ки т2 ток аст. Ин ба чуфт будани т2 зид мебошад.

Х,амин тарик, аз чуфт будани т2 чуфтии т бармеомадааст. Инак, т=2к. Акнун дар баробарии т2-2 п 2 ба чойи т киматаш 2А:-ро гузошта, хосил мекунем:

(2к)2=2п2; 4к2=2п2; п2=2к2.Азбаски 2к2 адади чуфт аст, пас п2 низ адади чуфт аст. Аз ин

мувофики исботи болой бармеояд, ки худи п чуфт мебошад. Хулоса, аз фарзи ратсионалй будани дарозии диагонали

квадрати вохидй, яъне — будани он, чуфт будани сурат вап

гг т ^ „махрачи онро хосил кардаем. Пас, касри — -ро ба 2 ихтисорп

кардан мумкин аст. Ин бошад, ба ихтисорнашаванда буданаш зиддият мекунад. Ин зиддият, нодурустии фарзи пешниход кардаамонро нишон медихад. Ратсионалй набудани бузургии диагонали квадрати вохдцй исбот шуд.

89

Аз теоремам исботшуда ва мувофики натичаи асосии б. 11 бармеояд, ки дарозии диагонали квадрати вохддй, касри дахии даврй нест. Вай касри дахии беохири мусбат ё касри дахии мусбати гайридаврй мебошад. Агар ба ин гуна касрхо, касрхои ба онхо мукобилро хамрох намоем, мачмуеро хосил мекунем, ки он мачмуи ададхои ирратсионалй ном дорад (префикси «ир» маънои инкорро дорад). Ин мачмуъ бо харфи J (харфи аввали калимаи irratio) ишорат мешавад. Х,амин тарик;, хар гуна ададй ба J мутааллик касри дахии беохир буда, хамчун нисбати ду ададй бутун ифода намешавад.

Мо аллакай якто ададй ирратсионалиро медонем (дарозии диагонали квадрати вохидй). Боз мисолхои ададхои ирратсионалиро меорем:

1) 2 ,010010001 ... (вохидхо паси хам бо як, ду, се ва хоказо нулхо аз хам чудоанд);

2) -4,030033000333... (микдори нулхо ва сехо хар дафъа як вохид меафзояд);

3) 5,12112111211112... (микдори якх,о хар бор як вохид зиёд мешавад);

4) Ададй к (пи), ки нисбати дарозии давраро бар диаметраш ифода менамояд:

л =3,1415926653...Акнун мачмуеро муоина менамоем, ки хар як ададй он ададй

ратсионалй ё ирратсионалй аст. Ин мачмуъро мачмуи ададхои хакикй меноманд ва бо R (харфи аввалаи калимаи англиси real) ишорат мекунанд. Зохнран фахмост, ки мачмуи R бо тири ададй якхела аст, яъне R вокеан тамоми ададхоро дар бар мегирад ва хар гуна ададро аз R бо ёрии касрхои дахии беохир (даврй ё гайридаврй) ифода кардан мумкин аст.

К^оидаи мукоисаи ададхои хакикй бо коидаи мукоисаи касрхои дахии охирнок якхела аст. Барои мисол ададхои 2,5653216... ва 2,541132...-ро мукоиса мекунем. Дар касрхои дахии беохири мазкур кисмхои бутун ва ракамхои дахякй якхела буда, дар разряди садякии касри якум микдори вохидхо назар ба микдори вохидхои дар хамин разрядбудаи касри дуюм зиёд мебошад. Бинобар хамин,

2,5653216... > 2,541132....

90

Ададхои хдкикиро чамъ, тарх, зарб ва таксим (хангоми нул набудани таксимкунанда) кардан мумкин аст. Дар айни хол хосиятхои амалхо бо ададхои хакдкй бо хосиятхои амалхо бо ададхои ратсионалй якхелаанд. Сахехии натичаи амалхо аз сахехие, ки бо он киматхои такрибии ададхо дода мешаванд, вобастаанд. Сахехии баланди ададхо боиси то чанд афзудани сатхи дурустии натича мегардад.

М и с о л и 1. Суммаи ададхои а = — ва в=2,2121...-ро6

муоина мекунем.Киматхои такрибии чамъшавандахоро бо сахехии то ОД

мегирем. Он гоха + в & ОД + 2,2 = 2,3.

Агар киматхои такрибии чамъшавандахоро бо сахехии то0 ,01 , яъне а=0,16 ва в=2,21 гирем, он гох

а + в «0,16 + 2,21 = 2,37.М и с о л и 2. Радиуси давраеро, ки дарозиаш такрибан 47,1

см аст, меёбем.Дарозии давра / бо формулаи 1 = 2 л г хисоб карда мешавад.

л » 3,14 гирифта, муодилаи такрибии 47,1=2-3,14 г

47 Д 47 Д _ .-ро хосил мекунем. Аз ин чо г = --------= ------ = 7,5 см.F 2-3,14 6,28

Хотирнишон мекунем, ки дар боло адади л то садякй яклухт карда шудааст.

1. Оё дарозии диагонали квадрата вохидиро бо касри даврй лфода кардан мумкин аст? 2. Чй гуна ададро, адади ирратсионалй меноманд? Мисоли ададхои ратсионалй ва ирратсионалиро оред.3. Ададхои хакикиро чй тавр ифода кардан мумкин аст? Коидахои мукоисаи онхоро бо мисолхо фахмонед.

225. Оё гасдикоти зерин дуруст аст:а) хар як адади ратсионалй адади хакикй аст;

91

б) хар як ададй хдкикд ададй ирратсионали мебошад;в) хар як ададй хакикй ададй ратсионалй ё ирратсионалй аст.

2226. Аз байни ададхои 0; 0,32; -4,(21); 2,23223222322223...

(микдори дуихо, ки сехоро аз хамдигар чудо мекунанд, хар дафъа яктогй зиёд мешавад); 1,(4), п , 16 ратсионалй ва ирратсиона- лиашонро нишон дихед.

227. Оё дуруст аст:а) 263 € N; 263 е Z; 263 е Q ; 263 е R;б ) - 4 &N; - 4 е Z; - 4 е Q; - 4 е R;

в) 2,6(3) e N ; 2,б(3) eZ; 2?б(3) eQ; 2,б(3) sR,

г) л е N; я- e Z ; ^ e g ; я e i? ?228. Ададхоро мук,оиса кунед:а) 3,4321 ва 3,4412; б) -42,101 ва -42,011;в) 0,014 ва 0,016; г) -1,333 ва -1,321.229. Кадом адад калон аст:

а) 2,(12) ё 2,12; б) 4 | ё 4,(375);

в) | ё 0,668; г) ж ё 3,(14) ?

230. Ададхои 2,15; 1,(4); -2,62...; -2,63...-ро бо тартиби зиёдшавиашон нависед.

231. Ададхои 1,275...; 1,064; 5; 1,0021...; 0,(37); -1,1(12)-ро бо тартиби камшавиашон нависед.

232. а=1,0734... ва в=2,0859... мебошад. Ададхоро то: а)дахякй; б)садякй яклухт карда, киматхои такрибии ифодахои а+в ва а-в-ро ёбед.

233. Кимати такрибии дарозии давраи радиусаш ба 5 м баробарро ёбед (ададй к -ро то садякй яклухт карда).

234. Кимати такрибии масохати доираи радиусаш 4,5м-ро ёбед (ададй п -ро то садякй яклухт карда).

92

Маищх.0 барои такрор235. Ифодаро сода кунед:

^ 2 1 х ^ _ 2>у^х + .у х - у х 2 - у 2 J х - у

236. х-ро ёбед, агар:а) |х| = 2; б) |х| = 1,5; в) |лг| = -1; г) |х| = 0 бошад.237. Муодиларо хал намоед:

(х+2)2-5(х-4)=(х-6)(х+6).238*. Ададро ба касри ратсионалй гардонед:а) 1,(1); б) -2,(01); в) 1,1(12); г) 2,13(4).239*. Исбот кунед, ки агар квадрата адад ба 3 таксим шавад,

он гох, ин адад ба 3 таксим мешавад.

§5. РЕШ АЙ КВАДРАТИИ АДАДИ МУСБАТ

13. МАФХ,УМИ РЕШАЙ КВАДРАТЙ

Ду масъаларо хдл мекунем:М а с ъ а л а и 1 . Тарафи квадрат ба 8 см баробар аст.

Масохдти онро меёбем.X, а л. Масохати квадрат S, ба квадрата тарафи он баробар

аст. Пас 5=82см2=64см2.М а с ъ а л а и 2 . Масохати квадрат ба 81 см2 баробар аст.

Тарафи квадратро хисоб менамоем.X, а л. Пеш аз хама кайд мекунем, ки ин масъала нисбати

масъалаи 1 баръакс аст. Агар дар масъалаи пешина аз руйи тарафи додашуда масохати квадратро ёфтан лозим бошад, дар ин чо аз руйи масохат тарафро хисоб кардан лозим аст.

Дарозии тарафи матлуби квадратро бо харфи х (бо сантиметрхо) ишорат мекунем. Масохати квадрат ба х2 см2 баробар мешавад. Вале мувофики шарт ин масохат ба 81 см2 баробар аст. Инро ба эътибор шрифта муодилаи

х2=81-ро хосил мекунем. Хамин тарик, барои халли ин масъала ададеро ёфтан даркор аст, ки квадраташ ба 81 баробар аст.

93

А д ад ао и 9 ва -9 ин талабро конеъ менамоянд, чунки 92=9 .9= 8 1 ; (-9)2=(-9)-(-9)=81.

Азбаски дарозй бо адади манфй ифода намеёбад, пас танхо адади 9 халли масъала мебошад. Инак, дарозии тарафи квадрат ба 9 см баробар аст.

Адади 9 решай квадрати аз 81 ном дорад. Айнан хамин тавр2

7 решай квадрати аз 49 аст, чунки 72=49; — -решай квадрати аз

4чунки ' 2 '

254— ва хоказо.

25Т а ъ р и ф и 1 . Решай квадрати аз адади а гуфта, ададеро

меноманд, ки квадрати он ба а баробар аст.Масалан, 9 решай квадрата аз 81 аст, чунки 92=81,12 решай

квадратй аз 144 мебошад, чунки 122=12 12=144. Азбаски (-9)2=81 ва (-12)2=144 аст, пас ададхои -9 ва -12 мувофикан низ решай квадратй аз 81 ва 144 хастанд.

Т а ъ р и ф и 2 . Амали ёфтани решай квадратй аз адад азрешабарорй ном дорад. Амали азрешабарорй нисбати амали баквадратбардорй баръакс аст: хангоми баквадратбардорй адад маълум буда, ёфтани квадрати он талаб карда мешавад; хангоми азрешабарорй квадрати адад маълум буда, ёфтани худи адад талаб карда мешавад. Аз хамин сабаб, дурустии азрешабарориро бо рохи ба квадрат бардоштани адади хосилшуда санчидан мумкин аст. Масалан, агар 16-ро аз реша барорем, 4-ро хосил менамоем, чунки 42=16 аст.

Хдр гуна ададро ба квадрат бардоштан мумкин аст, вале на хар ададро аз реша баровардан мумкин аст. Масалан, нишон медихем, ки решай квадратй аз адади -4 бароварда намешавад (чунин адад вучуд надорад). Дар хакикаг, агар чунин имкон мебуд, он гох адади матлубро бо х ишорат карда, мувофики таърифи решай квадратй баробарии х2=-4-ро хосил мекардем. Ин баробарй нодуруст аст (яъне ададе нест, ки онро каноат намояд), чунки дар кисми чапи он адади мусбат х2 ва дар кисми рости он адади манфй -4 меистад.

Аз хамаи гуфтахои боло чунин хулоса бармеояд: Барои он ки аз реша баровардани адад имконпазир бошад, зарур аст, ки адад гайриманфй, яъне мусбат ё нул бошад.94

1. Решай квадратй аз адад гуфта чиро мегуянд?2. Азрешабарорй чй гуна амал аст? Вай ба кадом амал баръакс мебошад? 3. Дойр ба решай квадратй аз ададй манфй чй гуфтан мумкин аст?

240. Тарафи квадрат ёфта шавад, агар масохдти он ба:

а) 16м2; б) 49 дм2; в) 0,36 км2; г) мм281

баробар бошад.241. Решай квадратиро аз адад ёбед:а) 16; 6)64; в) 169; г) 0,01; д) х4;

е) i f ’ 0; 3) fl2; и) к) л ) 0,81.

242. Магар ададй в решай квадрати аз ададй а аст, агар:9 3

а)о=16,в=6; б) а = — , в - —; в) о=25, в=-5;64 g

г) 0=36, в=-0,6; д) а=2,25, в=0,15; е) о=100, в=-10 бошад.

243. Исбот кунед, ки: а) ададй -6 решай квадратй аз - 36 нест;6) ададй -14 решай квадратй аз 196 аст.

244. Санчед, ки: а) ададхои 11 ва -11 решай квадратй аз ададй 121; б) ададх,ои 1,6 ва -1,6 решай квадратй аз 2,56; в) ададхои

3 3 - 9 л Л <>1— ва решай квадрати аз — ; г) ададхои 2 — ва - 2 — решай

квадратй аз 5 ^ мебошанд.

245. Исбот кунед, ки:а) ададй 4 решай квадратй аз -16;б) ададй 0,2 решай квадратй аз 0,4;в) ададй -5 решай квадратй аз -25;

ч о 1 - л 1г) ададй 2 — решай квадрати аз 4 — нест.4 16

95

246. Х^соб кунед:Машкхо барои такрор

! + 0 ,.2 5 - 1 ^ 6 , 4 : ^ 1н---8

247. Муодиларо хдл намоед:

(х-3)2-дфс+4)=15-1 Ох.

к ( 1 л248. Маълум, ки графики функсияи У - — аз нуктаи А 8;- —

х у 2мегузарад. Кимати к-ро ёбед ва графикро созед.

249. Сохибкор аз ду китъаи замин 460 т юнучка гундошт. Соли дигар дар китъаи якум хосил 15% ва дар дуюм 10% афзуда, хосили умумй 516 т-ро ташкил кард. Сохибкор соли якум аз хар як китъа чандтоннагй юнучка гундошта буд?

250. Ададхои -1,1(34); -2,51; 6,(2); -0,0(1); -7,32; 0,(63)-ро бо тартиби зиёдшавии кимати мутлакашон нависед.

14. РЕШАЙ КВАДРАТИИ АРИФМЕТИКИ

Адади 6 решай квадратй аз 36 аст. Адади -6 низ решай квадратй аз 36 аст, чунки (-6)2=(-6) (-6)=36. Хдмин тарик, дуто решай квадратй аз 36 мавчуд аст: ададхои 6 ва -6 . Айнан хамин тавр, дуто решай квадратй аз 9 вучуд дорад: 3 ва -3.

Умуман, агар адади в решай квадратй аз а, яъне в2=а бошад, он гох адади -в низ решай квадратй аз а аст, чунки (-в)2= (-1)2в2=в2=а.

Т а ъ р и ф. Решай квадратии арифметики аз адади а гуфта, адади гайриманфиеро меноманд, ки квадратй он ба а баробар аст.

Масалан, адади 5 решай квадратии арифметикй аз 25 аст. Адади -5 решай квадратй аз 25 буда, решай квадратии арифметикй аз 25 нест, чунки -5<0 мебошад.

Решай квадратии арифметикиро аз адади а бо л/а ишорат

мекунанд. Аломати л Г - аломати решай квадратии арифметикй ном дорад. Ифодаи зери аломати реша бударо ифодаи

таутирешагй меноманд. Ифодаи л/а ин тавр хонда мешавад: 96

«решай квадратй аз адади а» (калимаи «арифметики» хднгоми хондан партофта мешавад).

Мисолхои азрешабарории решахои квадратии арифметикиро меорем:

а) л/Гб = 4, чунки 4-адади гайриманфи ва 42=16;

б) т = 0Х чунки 0 ,1-адади гайриманфи ва 0 ,12=0 ,01 ;

в) л/0 = О, чунки 0-адади гайриманфи ва 02=0 .

Умуман, баробарии л[а = в дуруст аст, агар шартхои1) в > 0 ; 2) в1- а

ичро шаванд.

Ифодаи у[а хангоми а < О будан маъно надорад, чунки квадрати хар гуна адад гайриманфист. Масалан, ифодахоиV-^9 ва 2,3 маъно надоранд.

Аз таърифи решай квадратии арифметики бармеояд, ки:

1) барои хар гуна адади а > О нобаробарии 4 а > 0 чой дорад;

2 ) барои хар гуна адади а > 0 баробарии (Г аУ =а ичро мешавад.

Ду хосияти решай квадратии арифметикиро кайд мекунем*:I Аз адади дилхохи мусбат танхо якто решай квадратии

арифметики баровардан мумкин аст, яъне решай квадратии арифметикй яккдмата муайян карда мешавад.

II. Агар а > в > 0 бошад, он гох > Ve" аст ва баръакс,

агар 0 < а < в бошад, он гох Va < у/в мебошад.

Хдмин тарик, масалан, Vl5 > л/ГТ, чунки 15> 11 аст. Ё

л/27 > 5 мебошад, чунки 27>25 ва л/25 = 5 аст.

* Исботи ин хосиятхо ба назарияи нобаробарихои ададй такя мекунанд, ки мо онро дар боби IV хохем омухт. Алъон онхо бо максади васеъ кардани доираи машкхо оварда шудаанд. Дойр ба асосноккунии ин хосиятхо ниг. ба б. IV § 11.36.

97

1. Чиро решай квадратии арифметики мегуянд? 2. Аломати

-\Г~ чй ном дорад? Ифодаи л[а -чй? 3. Барои кадом киматхои а

ифодаи л/я маъно надорад? 4. Хосиятх,ои решай квадратии арифметикиро номбар кунед.

251. Дурустии баробариро санчед:

a) Vl2T = 11; б) л/Ь69 = 1,3; в) = 0,9; г) л/б25 = 25.252. Нишон дихед, ки баробарй нодуруст аст:

а)л/ТОО = —10; б)л /Ш = -1Д; в)л/0^9 = 0,3; г)л[2 5 £ = \,6.253. Квадрати ададро ёбед:

/Т ____ п га) л/4; б)л/9; в) у 7 ’ г ) л/2,25; д ) у ц ’ е)л/0,01.254. Ададхои 4, 8 , 21 ва 10-ро дар намуди квадрати адад

нависед.255. Кимати решаро ёбед:

а) л/49; б) V81; в) л/ 1600; Г) л/0,01;

ГГ.Д) V 16’ е) л/0,36; ж) л/400; 3) л/б400.256. Хисоб кунед:

л/0,09; б) л/0,25; в) V°,8 i; г) л/0,64.Кимати ифодаро ёбед:

л) л/36 • л/25; б) 2л /9-12; в) 0,1л/400 + 5,2;

г) V 046+V ^09; д) л/100 : л/8Т; е) 2 -З л /9 .258. Хдсоб кунед:

а) л/32 + 42; б) л/132 - 1 2 2; в ) 2 3 + 5л/1б;

г) 2л/з^27-6л/2Л8; д) Д 4 9 + л/0Д6; е) |л / 3 6 - 2 .

98

259. Кимати ифодаро хисоб намоед:

а) л/Ю + Зт , хангоми т=-3; т~2 ; т=-2 будан;

б) ^ З х - 5 , хангоми х=2; х=1; х=10 будан;

в) у[а+Т , хангоми а= 8 ; а= 15; а=48 будан;

г) V 6 x -2 , хангоми х=1; х=4,5; х=11 будан.260. Ч,адвали квадратй ададхои аз 10 то 20-ро тартиб до да,

аз руи он ёбед:

a) Vl69,V289,л/196,V256; б) л/12Т,л/144,л/324,л/ЗбТ;

в) л/й1,л/ЗД4,л/^25,л/196; г) л/ Ш , л/М 4 ,л/2 3 9 ,лД^9-261. Кимати х-ро ёбед, ки барои он:

а) у[х = 6 ; б) у/х = 0,4; в) 3-у/х = 0;

г)4л/х = 1; д) л /х - 5 = 0; е )2 л /х -3 = 0.262. Оё чунин кимати тагйирёбандаи х мавчуд аст, ки барояш:

a) yfx = 0,2; б) л/х + 1 = 0; в) л/х - 2 = 0; г) л/х = -4 аст?263. Барои кадом кимати тагйирёбанда баробарй дуруст аст:

а) у/х = 9; б) л/х = -2 ; в) 5 - л/х = 0;

г) Юл/х =7; д )З л /х -1 = 0; е) 6 + л /х = 0 ?264. Чунин кимати тагйирёбандаи х-ро ёбед, ки барояш

баробарй дуруст аст:

а) л/2х + 1 = 1; б) л /8х-3 = 7;

в ) \ 5 Х з г) л/х + 6 = 3.

265. Кадомаш калон:

а) >/б4 ё л/вТ; б) л/0>36 ё л/0^25; в) 5 ё л/16;

г г /Тб.г) \ 25 ® V 25 ’ д) VToT ё л/Ю2 ; е) - у/~4 ё —л/5.

99

Машкхо барои такрор266. Адади а калон аст ё адади -а>267. Муодилаи

8х + 34 9л: _Т + 72

-ро хал кунед.268. Барои кадом кимати а хати рости у=ах-Ъ аз нуктаи

А(-2; 9) мегузарад?269. Агар хар руз 0,75 т ангишт сарф кунем, захираи ангишт

ба 128 руз мерасад. Рафту хар руз 1 т ангишт сарф кунем, он гох захира ба чанд руз мерасад?

270. Ададхои 65, 90, 140-ро ба зарбкунандахои сода чудо кунед.

15. МУОДИЛАИ х 2 = а ВА АЙНИЯТИI. Муодилаи

а = а

ж у

х 2 = а (1)-ро, ки дар он чо а адади дилхох аст, муоина менамоем. Мо аллакай бо ин муодила хангоми халли масъалаи.2-и б. II § 5. 13 барои а-и мушаххас (а=81) сару кор дошта будем.

Вобаста ба аломати адади а се холат имконпазир аст.1) Агар а<0 бошад,

он гох муодилаи (1) реша надорад. Дар хакикат, кадом ки-

. у=а мати х-ро нагирем, квадраташ хамеша адади гайриманфй (яъне мусбат ё нул) аст ва ба адади манфии а баробар шуда наме- тавонад.

2) Агар а=0 бошад, он гох возех аст, ки х=0 решай ягонаи муодилаи (1) мебошад.Расми 5.

100

3) Агар а>0 бошад, он гох, муодила ду решай гуногун дорад. Барои ба ин боварй хосил кардан, графики функсияхои у=х2 ва у - a -ро схемавй кашида мебинем, ки онхо хамдигарро дар ду нукта мебуранд (расми 5).

Агар абсиссаи нуктахои буришро бо ж, ва х2 ишорат кунем,он гох j c ,2 = а ва х \ = а мешавад. х 2 адади мусбатест, ки квадрати он ба а баробар аст, пас вай решай квадратии арифметикй аз а аст, яъне х 2 = 4 а . Адади х, ба jc 2 мукобил аст,

бинобар ин л, = - 4 а .Х,амин тарик, муодилаи (1) хангоми а>0 будан, гайри решай

мусбати х = 4 а , боз решай манфии jc = - 4 а -ро дорад, яъне вай дорой ду реша мебошад. Бисёр вакт ин решахоро якчоя дар

намуди х = ± 4 а ё х, 2 = ±у[а менависанд. Ин навиштачот ин

тавр фахмида мешавад: х, = -у[а , х 2 = +у[а.Масалан, решахои муодилаи jc2=81-po ин тавр навиштан

мумкин аст (ниг. ба масъалаи 2-и 6.13):

Муодилаи хг=2-ро дида мебароем. Ададхои х, = -V2 ва

дарозии диагонали квадрати вохидй, решай хамин муодила мебошад. Чй тавре дидем (ниг. ба б. II § 4.12) ин адад, адади ирратсионалй аст.

Умуман нишон додан мумкин аст, ки решай квадратй аз хар гуна ададе, ки квадрати пурра нест, адади ирратсионалй

мебошад. Масалан, л/з, - V?, > ~ л/б 5 ва хоказо ададхои ирратсионалианд.

х, 2 = ±л/вТ, х Х2 = ±9.

x 2 = V l решахои ин муодилаанд. Кайд кардан чоиз аст, ки

101

х2=а2 (2)-ро дида мебароем. Азбаски барои кимати дилхохи а хамешаа2 > 0 аст, пас муодилаи (2) хангоми я * 0 будан, 2 реша ва хангоми я= 0 будан як реша, ки он нул аст дорад.

Решай мусбати муодилаи (2) х = -Jo2 -ро муоина мекунем. Агар ададй я мусбат бошад, пас мувофики таърифи решай квадратии арифметикй

II. Акнун муодилаи

а2 = яаст. Агар я<0 бошад, он гох -я>0 аст. Ададй -я мусбат буда, (-я)2=я2 мебошад. Пас -я решай квадратй аз а2 аст, яъне

/я2 = -я .Х,амин тарик,

■Ja2 = а , хангоми а > 0 будан,

■sfa2 - - а , хангоми а<0 будан.Бо назардошти гайриманфй будани кимати мутлаки адад, хар

дуй ин баробарихоро бо як баробарй дар намуди

навиштан мумкин аст.Масалан,

л/(“ 9) 2 = |— 9| = 9, V (—10 )2 = |- 101 = 10 .М и с о л. Барои кадом киматхои а дуруст будани баробарии

д /(а - 8)2 = я - 8

-ро муоина мекунем.

Азбаски ^(а - 8 )2 = \а - 8 | аст, пас баробарии аввала намуди

\а - 8| = а - 8 -ро мегирад. Ин баробарй бошад, танхо хангоми

а - 8 > 0 ё хангоми а > 8 будан ной дорад.Ч, авоб: я > 8 .

102

1. Чаро муодилаи (1) хангоми а< 0 будан хдл надорад? 2. Барои чй хангоми а>0 будан, решало мукобиланд? 3. Магар баробарии

а = а барои хдр гуна адади а дуруст аст?

271. Оё муодилаи зерин реша дорад:а) х2=49; б )х2=17; в) х2=0; г) х2=-4?272. Магар ифодаи у / 2 - Зх хднгоми х=-1; 2; 0; 1,5; 1,6 бу

дан, маъно дорад?273. Ифодаи:

а) 2у[ х \ б) - 5 у[а; в) V- 2в; г) у[Ьсбарои кадом киматхои тагйирёбанда маъно дорад?274. Муодиларо хал кунед:а) х2=64; б) х2=-7; в) х2=2,5;

, 1г) х = ^ 4 ’ д) х2=1,44; е )х 2=441.

275. Решахои муодила ёфта шаванд:а) х2-0,02=0,02; б) 16х2=9; в) 0,5х2=8;

г) — х 2 = 10; д) х 2 = 16; е ) 11+х2= 12.“ Ч1

276. Муодиларо хал намоед:а) (х-2)2=25; б) (х-5)2=1; в)(х+3)2=16; г) (х+7)2=49.277. Х^соб кунед:

а) 0,2 + з(у10з}; б) 22 + ( - 2 y f l J ;

в) д/0,04 + 2( J o a J ; г) (о,1л/70 У - у / ш .278. Ифодаро бо ифодаи айниятан ба он баробар иваз намоед:

а) у[а2; б) у [ у в) у[с2; г) - 0,1у/х2; д) л/зба 2.279. Ифодаро сода кунед:

a) ■>[р~, агар р> 0 ; б) - у 2, агар >’<0 ;

в) Л 1, агар п<0 ; г) 0 A -j9a2, агар « > 0 бошад.

103

280. Айнияти л[а* = |а| -ро истифода карда, хисоб кунед:

a) y j ( a - e f ; б) л/9х2; в) *Ja 2 + 6 а + 9 ;

г) л /Й 7 ; д) л/я2 - 2 а х + х 2; е) л/х4 -4л :2+ 4.281. Барои кадом киматхои а баробарй дуруст аст:

a) J ( a - З) 2 = а - 3; б) >/(fl+ 4) 2 = а + 4;

в) у ] ( а - 5 ) 2 = 5 - а; г) д/(а +1) 2 = - а - 1 ;

д) 7 ( а -3 ) 2 = |а -3 |; е) V(« + 2) 2 = |а + 2|?282. Муодиларо хал кунед:

a) V^2" = 3; б) д/Су + 2) 2 = 4; в) Vx1 = -3; г) 7 ^ = х.

Машкхо барои такрор283. Муодилаи

2(5х + 2) 4(33+ 2х) 5(1 - 11л:)9 5 9

-ро хал кунед.284. Ифодаро сода кунед:

а За 2 ав _ч 1 1 - х ха) I" 2 2~ ’ ) ’ "i ' 2 Г *а - в а + в а - в х 1+ х х - 1285. Ифодаро бе ишорати кимати мутлак нависед:

а) |а|, хангоми а>0 будан; б) |в|, хангоми в<0 будан.286. Каик 34 км-ро ба самти чараёни дарё дар 2 соат тай

мекунад. Суръати вай дар оби ором 15 км/соат аст. Суръати чараёни дарёро ёбед.

287. Аз баробарй тагйирёбандаи х-ро ёбед:

а) = 4; б) V0,2x -0 ,8 = 0,4.

104

16. ЁФТАНИ КИМАТИ ТАКРИБИИ РЕШАЙ КВАДРАТИ

Дар хисоббарорихои такрибй ададхоро бо киматхои такрибии онхо, ки бо касрхои дахй ифода мешаванд, иваз мекунанд. Чй тавр ёфтани кимати такрибии решай квадратии арифметикиро

дар мисоли ёфтани кимати такрибии л/2 дида мебароем. Чй тавре кайд шуда буд, ин адад ирратсионалй аст, яъне бо касри дахии охирнок ё даврй ифода намешавад.

Азбаски 12<2<22 аст, пас мувофики хосияти Н-и решай

квадратии арифметикй (ниг. ба 6.14): 1 < л/2 < 2 .

Ададй 1 кимати такрибии л/2 б о н о р а с о й в а ададй 2

кимати такрибии л/2 б о б а р з и ё д й б о сахехии то 1 ном доранд. Аз нобаробарии 1 < < 2 бармеояд, ки

4 2 = 1,...

Барои ёфтани раками дахякии л/2 касрхои дахии 1,1; 1,2;...- ро то ададй аз 2 кал он пайдо шудан, пай дар пай ба квадрат мебардорем:

1,12= 1,21; 1,22= 1,44; 1,32=1,69; 1,42=1,96; 1,52=2,25. Акнун баръало равшан аст, ки 1,96<2<2,25, яъне 1,42<2<1,52. Аз ин нобаробарй боз мувофики хамон хосияти решай квадратии

арифметикй бармеояд: 1,4 < л/2 < 1,5. Пас

V2 = 1,4...

Ададхои 1,4 ва 1,5 киматхои такрибии л/2 мувофикан бо норасой ва барзиёдй бо сахехии т а 0,1 ном доранд.

Барои ёфтани раками садякй касрхои дахии 1,41; 1,42;...-ро пай дар пай ба квадрат мебардорем. Азбаски 1,412= 1,9881 ва

1,422=2,0164 аст, пас ададй л/2 аз 1,41 калон ва аз 1,42 хурд мебошад. Яъне

л/2 = 1,41...

105

Ададй 1,41 кимати такрибии л/2 бо норасои ва ададй 1,42- бо барзиёдй бо сахехии то 0,01 мебошанд. Ин равандро давом

дода мебинем, ки кимати такрибии л/2 то сахехии 0,001 ададй 1,414 аст, яъне

л/2 = 1,414...чунки (1,414)2=1,999396<2 ва (1,415)2=2,002225>2. Хамин тавр дар мавриди зарурй л/2 -ро бо сахехии то 0,0001; 0,00001 ва гайра ёфтан мумкин аст.

Хамин тарик, тарзи муоинашуда имконият медихад, ки бо сахехии дилхох решай квадратии арифметикии адад ёфта шавад. Дар хисоббарорихои амалй барои ёфтани кимати такрибии решай квадратй аз чадвалхои махсус ё аз техникаи хисоббарор (асосан микрокалкуляторхо) истифода мебаранд. Хамчун намуна аз чадвали решахои квадратй, ки дар хамаи маълумотномахои математики оварда мешавад, кимати такрибии решахоро барои ададхои аз 3 то 10 бо сахехии то 0,001 меорем:

л/3 = 1,732; л/5 = 2,236; л/б = 2,449;

л/7 = 2,646; л/8 = 2,828; VlO = 3,162.

1. Аз кадом хосияти решай квадратии арифметикй истифода карда, кимати такрибии решай квадратиро меёбанд? 2. Чиро кимати

* такрибии адад бо норасой ва барзиёдй мегуянд?

288. Исбот кунед, ки

а) 3 < л/12 < 4; б ) 5 < л / 3 0 < 6 ;

в) 5,9 < л/35 < 6,0; г) 7,20 < л/52 < 7,22 аст.289. Ададхоро мукоиса кунед:

а) 3 ва л/ГТ; б) 2,7 ва л/7; в) л/ЗД5 ва 1,9; г) л/24,3 ва 4,5.290. Ду ададй бутуни пайдарпайро ёбед, ки дар байнашон

ададй:

а) л/37; б) в) л/132; г) л/18,7 чойгир аст.

106

291. Адади ирратсионалиро такрибан бо норасои бо сах,ехии то 0,1 ба касри дахй иваз намоед:

a) Vl2; б) - л/б; в) л/13; г) д) е ) -д /Д 4 .292. Масохати квадрат ба 17 см2 баробар аст. Тарафи онро

такрибан бо норасой ва барзиёдй бо сахехии то 0,1 ёбед.293. Муодиларо хал намоед ва киматхои такрибии решахои

онро то дахякй яклухт кунед:а)х2=18; б) 10х2=7; в) (;с-2)2=11; г) (х+1)2=7.

Машкхо барои такрор294. К^имати ифодаро ёбед:

а) 0,Зл/Т21 + 4^081; б) л/900 - (4Д 8 } ;

в) л /169-л /400-л № ; г) - ю Д ё Г .

295. Оё ифодаи: a) б) ( j - 0,7 j2; в) - V - 8 2;

г) -V (I 8)7 маъно дорад?296. Магар хати рости: а) у = -1; б) у=0; в) у =16; г) у= -30

графики функсияи у = х 2-ро мебурад? Агар бурад, абсиссаи нуктаи буришро ёбед.

297. Магар ифодаи л: - |х| кимати мусбат кабул мекунад?

298. Чумаки якуми обгузар ваннаро дар 15 дакика ва чумаки дуюм дар 10 дакика аз об пур мекунад. Агар хар ду чумакро якчоя кушоем, дар 5 дакика кадом хиссаи ванна аз об пур мешавад?


. а 2 - 8а +16 _ 9 х 2 + 4 у 2 - \ 2 х уа) ~ Т б ^ ; б) '

107

17. ФУНКСИЯИ У = у[ х . ХОСИЯТХО ВА ГРАФИКИ ОН

Вобастагии масохати квадрат S аз тарафи он а бо формулаи S=a2 ифода карда мешавад. Мувофикан вобастагии тараф аз

масохдти квадрат - бо формулаи а = y/~S. Мана боз як мисоли дигар аз физика: афтиши озоди чисм дар зери таъсири кувваи вазнинй харакати баробарсуръат буда, хангоми нули будани суръати аввала, масофаи тайшуда S бо мурури вакт t бо

g t 2формулаи S = - у дисоб карда мешавад, ки дар ин чо g-шитоби

кувваи вазнинй буда, такрибан ба 9,81 м/сония2 баробар аст.

f~2S'Агар аз ин формула t-ро ёбем, он гох t = л — мешавад.V S

Агар дар хар ду маврид тагйирёбандаи новобастаро бо харфи л: ва тагйирёбандаи вобастаро бо харфи у ишорат кунем, он гох

формулахои у= х 2 ё у = ки дар

ин чо х > 0, g>0 аст ва у = Vx ё

[2х ч'У = л — -ро хосил мекунем. Мо

V Sмедонем, ки графики функсияи у= х2,хангоми х > 0 будан аз як кисми парабола — шохаи рости он (расми6) иборат аст. Акнун графики

функсияи у = л[х -ро месозем. Пеш аз хама кайд мекунем, ки сохаи

муайянии функсияи у = у[х мачмуи ададхои гайриманфист. Сохаи киматхои функсия низ хамин

108

мачмуъ аст. Ин хосиятхо бевосита аз таърифи решай квадратии арифметикии адад бармеоянд (ниг. ба б.II §5.14). Аз сабаби яккимата будани решай квадратй хдмаи ададх,ои гайриманфй ба сохаи киматхои функсия тааллук доранд, яъне барои ададй

дилхохи а>0 чунин ададй в>0 ёфт мешавад, ки л/е = а аст.Дар б. 14 кайд карда будем, ки агар а > в > 0 бошад, он гох

л/а > л/е аст. Аз ин чо бевосита бармеояд, ки функсия афзуншаванда аст, яъне ба кимати калони аргумент киматикалони функсия мувофик меояд. Аникаш, агар х 2 > x t > О

бошад, он гох л/^7 > аст- Зохира'н фахмост, ки агар х=0 бошад, он гох >>=0 аст. Бинобар ин, ибтидои координатавй ба график тааллук дорад.

Инак, функсияи у = у[х :1) хангоми х > 0 будан муайян аст;2) хангоми х>0 будан мусбат буда, хангоми х=0 будан ба

нул баробар аст;3) дар сохаи муайянии худ функсия афзуншаванда аст;4) хамаи киматхои гайриманфиро кабул мекунад.Барои ёфтани якчанд нуктахои графики функсияи мазкур

чадвали киматхои функсияи у = у[х -ро месозем:

X 0 0,25 0,49 1 2 3 4IISs 0 0,5 0,7 1 1,4 1,7 2

Дар ин чадвал киматхои функсия бо сахехии то 0,1 оварда шудаанд. Дар хамвории координатавй нуктахои координа- тахояшон дар чадвал овардашударо месозем ва онхоро бо хати

яклухт пайваст намуда, графики функсияи у = л[х -ро хосил мекунем (расми 7).

Графики у = у[х дар чоряки якум чойгир буда, мисли графики у= х2 шохаи параболаро мемонад. Ин аз он бармеояд,

109

Расми 7. Расми 8.

ки графикхои мазкур нисбат ба хати рости у - х симметрианд, яъне агар нуктаи М(а;в) ба графики функсияи у = х 2 тааллук дошта бошад (в=а2), он гох нуктаи N (в,а) ба графики функсияи

у = л/х мутааллик аст (а = л[в). Расми 8, ки дар он графики хар ду функсия дар як системаи координатавй оварда шудааст, далели ин тасдик аст. Исботи ин тасдикро мавкуф мегузорем.

1. Хосиятхои функсияи у= у[х-ро номбар кунед. 2. Афзун- шаванда будани онро чй хел мефахмед? 3. Чаро графики функсия дар чоряки якум чойгир аст?

300. Масохати дойра бо формулаи S = к г2, ки дар ин чо г

радиуси дойра аст ё бо формулаи S = , ки дар ин чо d4

диаметри дойра мебошад, хисоб мешавад. Бо формула ифода кунед:

а) вобастагии r-ро аз S;б) вобастагии d -ро аз S.301. Масохати сатхи пурраи куб бо формулаи S=6a2, ки дар

ин чо а дарозии тегаи куб аст, ифода мешавад. Аз масохати сатхи куб S вобаста будани дарозии тегаи он оро бо формула ифода кунед.

302. Оё нуктаи: А(49;7); В(1000;10); С(-64;8); Д(16;4) ба

графики функсияи у = J~x тааллук дорад?

110

303. Магар хати рости: а) у —1; б) у=8; в) ^=100; г) у=-4

308. Ду адади бутуни пайдарпайро ёбед, ки дар байнашон

309. Аз ду кишлок ба пешвози хамдигар автобус ва мошини боркаш равон шуданд. Баъди 15 дакика онхо вохурданд. Масофаи байни кишлокхоро ёбед, агар маълум бошад, ки суръати автобус 60 км/соат ва суръати мошини боркаш 48 км/ соат аст.

310. Кимати касрро бо нул мукоиса кунед:4Х JC + 1

а ) ---- :— -хангоми х<0 будан; б ) ---- г— - хангоми х>0 будан.х + 2 - х - 5

графики функсияи у = у[х -ро мебурад? Агар бурад, дар кадом нукта?

304. Хосияти афзуншавии функсияи у = -J~x -ро истифода карда, ададхоро мукоиса намоед:

в) V2 ва 1,4;

г) л/27 ва л/28; д) л/7 ва 2,6; е) л/80 ва 9.305. Ададхоро бо тартиби зиёдшавиашон нависед:

а) л/5, л/бД ва y[lA; б) у/\9 , -J\3 ва 4;

Машкхо барои такрор306. Муодилахоро хал кунед:

307. Хдсоб кунед:

л/89 чойгир аст.

111

§6. ХОСИЯТХОИ РЕШ АЙ КВАДРАТИИ АРИФ М ЕТИКИ

18. РЕШАЙ КВАДРАТИ АЗ ХОСИЛИ ЗАРБ

Бигузор хисоби л/25 - 64 зарур аст. Азбаски 25-64= 1600=402

аст, пас V2 5 -6 4 = 40 . Акнун мебинем, ки у/25 = 5 , л/64 =8. Аъзо ба аъзо баробарихоро зарб карда, хосил мекунем:V25"-V64 = 5 - 8 = 40.

Хамин тарик,

л/25- 64 = V25-V64.Реша аз хосили зарби ду ададй дилхохи гайриманфй низ

хамин хел баробариро каноат мекунад. Аникаш, нишон медихем, ки барои хар гуна ададхои гайриманфии а ва в баробарии

ной дорад.Мувофики таърифи решай квадратии арифметикй баробарии

(1) дуруст аст, агар ду шарт:

а) л/а • л/е > 0; б) (л/а ■ л/е \ = авичро шаванд. Инро нишон медихем.

Ифодахои л/а ва л/е факат киматхои гайриманфй кабул

мекунанд. Бинобар ин, хосили зарби yfa-yfe гайриманфй мебошад. Акнун хосияти дарачаи хосили зарбро истифода карда хосил мекунем:

Инак, шартхои а) ва б) ичро шуданд. Пас, мувофики таърифи решай квадратии арифметикй баробарии (1) дуруст аст. Ин баробарй барои хар гуна ададхои гайриманфй айният мебошад.

Э з о х- Баробарии (1) дар мавриди аз ду зиёд будани шумораи зарбшавандахои тахти реша низ дуруст аст. Масалан, агар

а > 0 , в > 0 , с > 0 бошад, он гох Vавс = у[а■ у[в■ л/с.

112

Дар хдкикдт, мувофики хосияти хосили зарб ва баробарии (1)

у /а в с = д/(а в )с = y fa e • yfc = у /а ■ у[в • y fc .

Хулоса, решай квадратии арифметикй дорой хосияти зерин аст:

Реша аз хосили зарби зарбшавандахои гайриманфи ба хосили зарби решахо аз ин зарбшавандахо баробар аст.

М и с о л и 1. Кимати ифодаи -^169- 0,01 -ро меёбем.Айнияти (1)-ро хангоми а- 169 ва в=0,01 будан истифода

мекунем:

V169-0,01 = VI69 • Д о ! = 13- 0,1 = 1,3.

М и с о л и 2. К,имати ифодаи у/21-12 -ро хисоб мекунем. Ифодаи тахтирешагиро дар намуди хосили зарби зарб

шавандахои хар кадомашон аз квадрати адади бутун иборат- буда навишта, айнияти (1)-ро татбик менамоем:

л/27-12 = >/9-3-3-4 = у /^ - у / ¥ = 9- 2 = 18.Аз айнияти (1) бармеояд, ки хангоми зарби решахо ифодахои

тахтирешагиро аввал зарб карда, аз натича реша баровардан

мумкин аст, яъне айнияти (1)-ро дар намуди у/а • у[в = yfae истифода карда.

М и с о л и 3. Аз айният истифода карда, хосили зарби

у/3 ■ у/\2 -ро меёбем.

Дорем у/З-у/П = V M 2 = V 3 6 =6.Хангоми адади калон будани кимати адади тахтирешагй ба

зарбкунандахо чудо кардани он аз ахамият холй нест.

М и с о л и 4. Климата V7056 -ро меёбем.Адади 7056-ро ба зарбкунандахо, масалан, ба

зарбкунандахои сода чудо мекунем: 7056=24-3-7-21 = 16-212=

=42-212. Аз ин чо, V 7 0 ^= V 4 I ^2lr =V4r -V2lr = 4-21 = 84.

113

1. Айниятро, ки хосияти решай квадратии аз х,осили зарб бо он (у ифода мешавад, нависед ва онро исбот кунед. 2. Мисол оред, ки • вай зарурияти истифодаи иваз кардани кисмхои чап ва рости ин

айниятро талаб намояд.

311. К^имати решаро хисоб кунед:

a) V16-25; б) ^81- 400; в) д/144-0,25;

г) V169-100; Д) д/121- 0,01; е) д/0,04-196.312. Кимати решаро ёбед:

а) д/0,49-49; б) д/0,25-36; в) д/0,09-81; г) д/2,25-256.313. Кимати ифодаро хисоб кунед:

а) л/625- 9- 36; б) ^256- 0,25-0,81;

в) д/225-0,16- 400; г) д/1,21- 0,09-0,0001.314. Кимати решаро х,исоб кунед:

а) д/75-48; б) д/45-80; в) д/4,9-360; г) д/160-3,6.315. Аз реша бароред:

а) д /п з2 — 1122; б ) д/822 -1 8 2; в) д/б,82-3 ,2 2;

г) л/1222 - 222; Д) л/172 - 8 2 ; е) д/б2+82;

ж) л/652-6 3 2; з) д/21,82-18 ,22.316. Кимати ифодаро ёбед:

а) л/44100; б) V1024; в) Vl225; г) д/2916.317. Кимати х,осили зарбро ёбед:

а)>/Т0-л/90; б ) д/Гз . д/52; в ) Т75.д/3; г ) д/8- д/98;

д) л/50 • д/^5; е) V7- д/бЗ; ж) д/108 • д/27; з) д/5 4 • д/б.318. Кимати х,осили зарбро хдсоб кунед:

а)д/3-д/7-л/21; б)V2-V22-л/l l ; в)д/0Д-д/04-л/2; г)

114

319. Ифодаро дар намуди хосили зарби решахо нависед:

a) Vl5; б) V42; в) ^8а; г) V5e.

320*. Суммаи ду адад ба л/14 ва фарки онхо ба л/То баробар аст. Нишон дихед, ки хосили зарби онхо ба 1 баробар аст.

Машкхо барои такрор

321. кимати ифодаи л/х2" -ро хангоми х=-4; -3; 0; 1; 8 будан ёбед.322. Таърифи кимати мутлакро истифода карда, ифодаи

х■j—г-ро сода кунед, агар:N

а) х>0; б) х<0бошад. Оё ифода хангоми х=0 будан маъно дорад?

323. 15%-и масохати майдон 24 га аст. Масохати майдонро ёбед.


а) 3а 2- — -, 6)4(2а3)4; в) З2а3-\

9 а325. Касрро ихтисор кунед:

г 1 Л4 —а 2 2

, 1-10а + 25й2 1 -6 х + 9х2а) ------------------; б ) ---------------5 а -1 Зх -1

19. РЕШАЙ к в а д р а т и а з к а с р

Климата ифодаи ^ - р о хисоб мекунем. Мо медонем, ки

Vl21 = l l ва д/144 = 12 аст. Месанчем, ки оё баробарии

121 11— = — Чои дорад е на.

115

АзбаскиИ

v 12 у112 121 11 л « *- —г = —— ва — >0 аст, пас баробарй12 144 12

дуруст аст. Аз тарафи дигар

л/121 _ 11Vl44 ~ 12’

бинобар ин

л/121121

144 Vl44 'Мулохизахои болоро умумй карда нишон медихем, ки барои

хар гуна ададхои а > 0 ва в>0 баробарии

[а _ у/а4~в

(2)

Чои дорад.Х,ар се ифодаи дар (2) буда мувофики шарт дорой маъно

мебошанд. Пас, мувофики таърифи решай квадратии арифметикй баробарии (2) дуруст аст, агар ду шарт:

\ а

а ) 7 ^ 0;б)

v r 2

■Гв

ав

ичро шаванд. Азбаски а > 0 ва в>0 аст, пас у/а >0 ва 4 в > 0.

Бинобар ин, - ^ - > 0 аст. Акнун хосияти дарачаи касрро yje

истифода карда, хосил мекунем:

( V T f Ш а

W " * 'Чой доштани шартхои а) ва б), якбора бо он дурустии (2)-ро

нишон додаем. Баробарии (2) айният мебошад, чунки вай барои хамаи киматхои имконпазири тагйирёбандахои а ва в дуруст аст.116

Инак, боз як хосияти решай квадратии арифметикиро мукаррар кардаем:

Реша аз касре, ки сураташ гайриманфию махранаш мусбат аст, баробарй реша аз сурат таксими реша аз махран мебошад.

6 4М и с о л и 1. Климата ифодаи _Р° меёбем.

Мувофики хосияти решай квадратй аз каср

~64~ V64 8289 V289 17'

Баъзан хангоми хисоббарорихо айнияти (2)-ро «аз рост ба

4 а [ачал» хонда татбик кардан лозим меояд, яъне аинияти — = J — ро.л/е V е

М и с о л и 2. Климата хосили таксими _Р° *исоб мекунем.

Мувофики айнияти (2):

л/44 [44 14-11 /4 л/4 2[44 14-П [4 99 V 9-11 Vл/99 V 99 V 9-11 V 9 4 9 3*

Дар охир таъкид мекунем, ки дар баробарии айниятии (2) истифодаи хосияти асосии каср (ниг. ба 6.1 §1.4) метавонад, хисоби кимати решаро осон намояд.

М и с о л и 3. Климата касри ~Р° меёбем.

Дорем

■736Д [36Д _ /36 ,1-10 _ /З б Г _ л/ЗбТ _ ^ 9

л/40 ~ V 40 V 4 0 -1 0 V 400 ~ л/400 _ 2 0 '

1. Айниятро, ки хосияти решай квадратии касрро ифода мекунад, нависед ва онро исбот кунед. 2. Чаро баъзан «аз рост ба чап» хондани ин айният хисобро осон мекунад? Мисол биёред.

117

в)

326. К^имати решаро хисоб кунед:

а) б)121

169 ’ \ 100 ’327. Кимати решаро ёбед:

36125 г)

а) | 3 — • 49 б) Л 2

14121

Д) л 181

144

в)

е) Л1120169

328. Кимати ифодаро хисоб намоед:

в)а) J - L 2 “16 25

б) | 5 —- 2 — ; 9 25

7 4

9 25121_.2 1 1 4 4 ’ 4

329. Ифодаро дар намуди хоСшга таксими касрхо нависед:

Т 110а ) ь ; бЧ п ; в)330. Кимати х,осили таксимро ёбед:

д) е)

а)л /18 . V52" . >/40 , л /2 0 0 . . л/2 . л /^5

V2 ’ б) V m ' т/io ’ " Vs331. Кимати ифодаро хисоб кунед:

ч л/50 л/48 ч л /П 2 ч л/180 ч а) —ТГ’ б) - т = ; в) —— ; г) д)

в) г)Д) л/98 ’

л/490л/8 ’ л/27 ’ Я / Г


, л Ш . . .

а) л/10 ’ б)

л/2 2 5 .л/1о ’

в)

л/245

л/3^4.

л/810

л/8Д

; е)

е) л/оз'

л/1600

л/12100'

л/90 ’ Г) л/ГбО'

Машкхо барои такрор 333. Кимати хосшш зарбро хисоб кунед:

а) л/2 -л/8; б )л /3 -л /27 ;

в) л/10 • л/30 • л/3; г) V20 . ^70 . л/Г4.118

334. Периметри росткунча 32 см аст. Фарки тарафх,ои хамсоя ба 2 см баробар мебошад. Тарафхои росткунчаро ёбед.

335. Аз таносуб х-ро ёбед:

22,1: л: = 5 - : 4,2.3

336. Барои кадом киматхои тагйирёбандаи х ифода маъно надорад:

9 V 9 — Vа) - F - Т ; б> 77—х - 5 1 4 -х

337. Муодиларо хал кунед:5-3(х-2(х-2(х-2)))=2.

20. РЕШАЙ КВАДРАТЙ АЗ ДАРАЧА

Бигузор т - ададй натуралии чуфт аст. Масъалаи хисоби

ифодаи л/o'""-ро дида мебароем. Пеш аз хама кайд мекунем, ки аз сабаби чуфт будани т - ин ифода барои хар гуна ададй хакикии а маъно дорад.

Аввал мисол меорем. л/2®~-ро хисоб мекунем:

у [ ¥ = V64 = = 8.Аз дигар тараф g 6

8 = 23 = |2| 2 = 2 2.Пас,

= 23.

Айнан хамин тавр ^/(-З)4 = л/8Т = 9 = З2 = |- 3 | з .

Дар хар дуй ин мисол мебинем, ки натича ба кимати мутлаки ифодаи тахтирешагй дар дарачаи ду карат кам баробар аст.

Дар намуди умумй ин кавоидро исбот мекунем. Нишон медихем, ки агар т ададй чуфт бошад, он гох айнияти зерин

y f ^ = \ a \ f . (3)Чой дорад.

119

тАз сабаби чуфт будани т, адади — натуралй аст. Бинобар

ин |я| 2 маъно дорад. Айнияти (3) хулосаи айнияти Ыа = |а| аст,

ки мо онро дар 6.15 исбот карда будем. Дар вдкикат, ат -ро дар намуди

а = ,2Г т \ 2

aU\

тасвир карда, х,осил мекунем:

V ^ =\2

Я 2V

у

= а 2.

Х,амин тарик, барои аз дарачаи нишонди^андааш чуфт баровардани реша ифодаи тах,тирешагиро дар намуди квадрати ягон ифода навишта, айнияти (З)-ро истифода кардан кифоя аст.

Истифодаи айнияти (3) дар амалия х,исоббарориро осон

мекунад. Масалан, бевосита х,исоб кардани кимати ифодаи •Jl*’ вакт ва зах,мати зиёдеро талаб мекунад (х,исоби 76 ва азрешабарории он), х,ол он ки кимат бо истифодаи айнияти (3) дахонй хисоб мешавад ва ба 73 ё ба 343 баробар аст.

М и с о л и 1. Ифодаи л/я12 -ро сода мекунем.а12-ро дар намуди (а6)2 навишта, аз айнияти (3) истифода

мебарем:

(Барои а-и дилхох, а 6 > 0 аст, бинобар ин |а|6 = а 6).

М и с о л и 2. Хднгоми х<0 будан, кимати -ро меёбем.Ифодаи хб-ро дар намуди (х3)2 навишта, баъд айнияти (З)-ро

истифода карда

-ро хосил мекунем. Азбаски х<0 аст, пас х3<0 мебошад. Аз ин

сабаб |*| = ( -х )3 = - х 3.

Х,амин тарик, хангоми х<0 будан у[х^ = —х 3.

М и с о л и 3. К,имати решай л/18225 -ро меёбем.Ададй 18225-ро дар намуди хосили зарби зарбкунандахои

сода навишта (ниг. инчунин ба мисоли 4-и 6.18), хосил мекунем:

л/18225 = л/36 -5 2 = л/з* • л/ i 7 = ■ 5 = З3 • 5 = 27- 5 = 135.

1. Айнияти (З)-ро, ки хосияти решай квадратии арифметикиро аз дарача ифода мекунад, бевосита таърифи решай квадратиро истифода карда исбот намоед. 2. Нишон дихед, ки айнияти

л /^ = |а| холати хусусии айнияти (3) аст.


а) л/У > б) 2л/а20; в) л]у14, ки дар ин чо у > 0; г) 4л/а10, ки

дар ин чо а < 0 аст.339. Ифодаро табдил дихед:

а) л/о,25х4; б) 3^0,49 y w , ки дар инчо у < 0;

в) л/0,01а36; г) л/81в18, ки дар ин чо в<0 аст.340. Кимати решаро ёбед:

а) л/з7; б) л/41; в) л/с-5)8; г) л /("2 ) 12 •341. Кимати ифодаро хисоб кунед:

а) л/24-62; б) л /ф У ; в ) л/125-55; г) л/б4-47.342. Ададй тахтирешагиро дар намуди хосили зарби

зарбкунандахо навишта, кимати решаро ёбед:

а) л/20736; б) л/50625; в) л/28224; г) л/680625;

д) л/7569; е) V8464; ж) л/27889; з) л/254016.

343. л/45 аз л/5 чанд маротиба кадон аст?344. Барои кадом кимати а муодилаи

2(а-2х)=ах+3хал надорад.

345. Сохаи муайянии функсияро ёбед:

л 2 лч 4 ~ ха) у - ------; б) у =


5 - х х ( х - 2 )346. Писар холо 8 сола буда, падараш 38 сола аст. Баъди

чанд сол падар аз писар се маротиба калон хохад шуд?347. Х,исоб кунед:

a ) I + 0 , 1 2 5 - i ; 6 ) 6 ,4 : — + - .2 6 3 8

§7. ТА БД И Л Д И ^И И ИФ ОДАИ Д О РО И РЕШ АЙ КВАДРАТИ

21. АЗ ТАХТИ АЛОМАТИ РЕША БАРОВАРДАНИ ЗАРБКУНАНДА

Амали аз тахти аломати реша баровардани зарбкунанда ба хосияти решай квадратй аз хосили зарб (ниг. ба 6.18) асос карда мешавад.

Масалан, бигузор ифодаи л/128 дода шудааст. Хосияти номбаршударо истифода карда, ин решаро дар намуди сода тасвир карда метавонем:

л/128 = л/64-2 = л/б4 • л/2 = 8л/2.Айнан хамин хел:

л/о3" = л/а2 • а = ау[а;

л/81а5в7 = л/92а 4ав6в = л/92а*в6 ■ у[ав = 9а 2в гу[ав.Чунин табдилдихй аз тахти аломати реша баровардани

зарбкунанда ном дорад. Максади ин табдилдихй осон гардонидани хисоббарорихои зарурй мебошад.

122

М и с о л и 1. Ифодаи л/48л:7 -ро хднгоми л:=3 будан, хисоб мекунем.

Агар бевосита дар ифода кимати х=3-ро гузорем, он гох

л/48х7 = л/48-37 = л/48-2187 = л/104976 ва барои хосил кардани натича бояд адади шашракамаро аз реша барорем.

Х,исоббарорй нихоят осон мегардад, агар зарбкунандахои имконпазирро пешакй аз реша барорем:

V48.x7 = V3• 16- х 6 • х = Vl6jc6 ■ л/Зх = 4х3л/Зх.Кимати х=3-ро дар кисми рости ин баробарй гузонгга бо осонй

меёбем: л/48х 1 = 4 -З3 • л/ F J = 4-27 • 3 = 324 .Дар мисолхои боло ифодаи тахтирешагиро ба зарбкунандахо

чудо карда, аз байни онхо хамонхояшонро, ки нишондихандаи дарачаашон чуфт аст, чудо карда, онхоро аз реша баровардем. Дар оянда малакаи якбора аз реша баровардани зарбкунандахои заруриро ба пешакй ба зарбкунандахо чудо кардан, пайдо намудан лозим аст.

М и с о л и 2.

л/ 6 a W 1 = а4 в6 с 5 л/ бес.Х,амин тарик, барои аз тах;ти аломати реша баровардани

зарбкунанда кифоя аст, ки нишондщандаи х,ар як зарбкунанда ба ду тацсим карда шуда, худи зарбкунанда дар нишондщандаи дарацааш ба бутуни х,осили таксим баробар дар пеши аломати реша навишта шавад. Дар зери аломати реша бошад, %амон зарбкунанда дар нишондихандаи дарацааш баробар ба бацияи х,осили так,сим навишта мешавад.

Дар мисоли боло 8:2=4 (бакия 0); 13:2=6 (бакия 1); 11:2=5 (бакия 1).

Барои бехтар дарк кардани доираи татбики амали аз тахти реша баровардани зарбкунанда, боз як мисолро дида мебароем.

М и с о л и 3. Ададхои л/72 ва 7л/2 -ро мукоиса мекунем.

Азбаски 72=36-2=62-2, пас л/72 = 6л/2. Бинобар ин л/72 < 1^2.

123

Э з о х. Мо дар хисоббарорихои боло тагйирёбандахоро мусбат хисоб карда, баробарихои лозимиро хосил кардем.

Масалан, баробарии л/а2в = ау[в танхо хангоми а > 0 ва в > О будан дуруст аст. Рафту агар а<0 бошад, он гох мувофики 6.15:

у[а*в ~ -а 4 в .

1. Баробариеро, ки хосияти решай квадратиро аз хосили зарб

ифода мекунад, нависед. 2. Тарзи истифодаи айнияти л[а* = |а| -рохангоми аз тахти аломати реша баровардани зарбкунанда бо мисолхои мушаххас нишон дихед. 3. Коидаи умумии аз тахти аломати реша бароварданро хонед ва онро бо мисол шарх дихед.

348. Зарбкунандаро аз тахти аломати реша бароред:

a) Vl8; б) л/32; в) л/48; г) л/П5;

д) л/108; е) л/800; ж) л/845; з) л/1250.349. Дар намуди хосили зарби адади бутун ва реша нависед:

а) л/20; б) —л/98; в) V300; г) -л/250;

д) л/72; е) -л/44; ж) Vl80; з) ^363.350. Зарбшавандаро аз тахти аломати реша бароред ва

ифодаи хосилшударо сода кунед (бо харфхо ададхои мусбат ишорат шудаанд):

а) 0,Зл/75; б) 0,9л/300; в) -0 ,4 л /9 6 ; г)

д) ^ 4 8 у 5; е) 1 ^ 7 ; Ж) — л/4ш6; 3) У а т V в х

351. Ифодаро сода кунед (кимати тагйирёбандахо мусбатанд):

2 т2 ’ б) — 8(х2 + 2 ху + у 2)\

124

а + в 3 (а -в ) v в*352. Зарбкунандаро аз тах,ти аломати реша бароред:

a) Vl6а2в2, агар а<0, в>0; б) л/25а2в3, агар а>0, в>0;

в) V2а3 в3, агар а<0, в<0; г) ^24алв3, агар а<0, в>0 бошад.

353. Зарбкунандаро аз тах,ти аломати реша бароред:

a) 4 s 7 , дар ин чо х > 0; б) т]бу2, дар ин чо у < 0;

в) -J7; г) 4а*; Д) а/25/ ; е) J ^ x 3-

354. Зарбкунандаро аз тахти аломати реша бароред:

а) л/48 а2, дар ин чо а< 0; б) л/27в6, дар ин чо в<0;

в) л/50<я4; г) 49а*; д) Vl2jc13; е) 4 ъ1х20.355. Барои кадом кимати х баробарй дуруст аст:

а) 4 ъ ? = ~ x 4 l; б) -Jl2x2 = 2х4ъ.356. Мукоиса кунед:

а) 3>/3 ва 4\2; б) л/20 ва ъ41;

в) л/351 ва 3-л/38; г) V24 ва ^л/216 -ро.

357. Ададхоро бо тартиби афзуншавиашон чойгир намоед:

а) Зл/120, л/480,2л/30, ^л/1440; б) 6л/2, л/58, Зл/7, 2л/н.

Машкхо барои такрор358. Алй дар се руз 144 кг пахта чинд. Пахтай дар рузи дуюм

чиндаи у нисбати рузи якум 12 кг зиёдтар буда, дар рузи сеюм

ба у хиссаи дар рузи аввал чиндашуда баробар аст. Алй хар

руз чанд кило пахта чиндааст?


а) х + 1- + 1 1-

х + 1 б) W + 1 + --1 + т

тт --

т — 1

360. Якаъзогиро дар намуди стандарти нависед:а) 16яс(0,5)а(0,25в); б) 0 ,\а 2х(-5)вс22ас.

361. Барои кадом кимати а суммаи ифодахои - — ва

За+ 22 - 2 - 5 а-------- аз ифодаи --------- ду маротиба зиед аст.

22. БА ТАХ,ТИ АЛОМАТИ РЕША ДАРОВАРДАНИ ЗАРБКУНАНДА

Баъзан зарбкунандаи дар назди аломати реша бударо ба тахти реша даровардан фоиданок аст.

Ба мисоли 3-и банди пешина бармегардем. Адади 7-ро бол/49 иваз карда, мувофики хосияти хосили зарби решах,о хосил мекунем:

7л/2 = л/49 • л/2 = л/49-2 = л/98.Азбаски 72<98 аст, пас мувофики хосияти Н-и 6 .1 4

л/72 < л/98 мебошад. Х,амин тарик, 7л /2> л /72 аст.

Баробарии 7л/2 = л/98 нишон медихад, ки зарбкунанда 7 ба тахти реша дароварда шудааст. Айнан мисли мисоли овардашуда:

Зл/5 = л /з М = л/45; аЪу[2а =yja6-2а (а>0).Ин мисолхо нишон медиханд, ки барои ба та^ти реша

баровардани зарбкунандаи мусбат кифоя аст, ки квадратй он ба ифодаи таутирешагй зарб карда шавад.

Акнун холати манфй будани зарбкунандаро дида мебароем.

М и с о л. Дар ифодаи -З л /х зарбкунандаро ба тахти аломати реша медарорем.126

Ба намуди решай квадратии арифметикй навиштани зарбкунандаи манфии -3 имконнопазир аст. Бинобар ин, имконияти ба тахти аломати реша даровардани -3 вучуд

надорад. Аммо дар ифодаи — Зл/3с зарбкунандаи мусбати 3-ро ба тахти аломати реша даровардан мумкин аст:

- З л/^ = (-1)-Зл/х = (-1)-л/9 -л/х = - л/91.Умуман,

а4в - л1а2в, агар а > Ова

а ^ = - л]а2в, агар а<0 бошад.

1. Коидаи умумии ба тахти аломати реша дароварданро хонед ва онро бо мисолхо шарх, дихед. 2. Хднгоми манфй будани зарбкунанда амали ба тахти реша даровардан чй гуна ичро карда мешавад?

362. Зарбкунандаро ба тахти аломати реша дароред:

а) 2л/2; б) Зл/З; в) 4л/Й); г) $Jx;

д) 10у/а; е) 4-\/2в; ж) 10^0,03; з) 6л/с.363. Зарбкунандаи мусбатро ба тахти аломати реша дароред:

а) -Зл/2; б) -5 y fl; в) -0,2yfc; г) -7л/б.364. Бо назардошти мусбат будани зарбкунанда, онро ба

тахти аломати реша дароред:

а) ал/2; б) в) aj~a; г) 2вл/2с;

д) (а + \)л[а; е) ij-Vsx7; ж) ху —; з) (a + e)J— х \ у \ а ++ в

365. Маълум, ки кимати тагйирёбандахо мусбатанд. Зарбкунандаи мусбатро ба тахти аломати реша дароред:

366. Кимати ифодахоро мукоиса намоед:

а) 2>/3 ва Зл/2; б) 2л/45- ва 4л/20; в) 4у[5 ва Зл/7;

г) 5л/7 ва 7>/5; д) 12-^20 ва 13л/15; е) 5л/з ва 6л/2.367. Ададхоро бо тартиби афзуншавиашон чойгир намоед:

а) 2>/б, л/21, Зл/2, 2л/5; б) 6>/2, л/б2, Зл/7, 2л/1з.

Машкхо барои такрор368. Суръати мошин 45 км/соат аст. Дар 45 дакикд вай кадом

масофаро тай мекунад?369. Муодиларо хал кунед:. 6х + 7 5д;-3 х - 4 2 х - 4а ) --------- 3 = ------- ; б ) ------= 9 + --------.’ 7 8 ' 5 9

370. Таксимро ичро намоед:

. а2-25 а + 5 3и2-3ти2 - 6л + 6/и а) —;------5-------- ; б) — =--------:------------ .

а -Ъа а - 9 п +пр п + р371. Як тарафи росткунча аз тарафи дигараш 31 см хурд аст.

Агар тарафи хурдро се маротиба зиёд ва тарафи калонро ду маротиба хурд кунем, он гох росткунчаи периметраш ба 360 см баробар хосил мешавад. Тарафхои росткунчаро ёбед.

23. АЗ ИРРАТСИОНАЛИ ОЗОД КАРДАНИ СУРАТ Ё МАХРАЧИ КАСР

Т а ъ р и ф. Ифодаи дорой решай квадратиро ифодаи

ирратсионалй меноманд. Масалан, ифодахои 2л/з, л/24, a-Ja,

I------ ва Faftpa ифодахои ирратсионалианд.\х + у

Кайд кардан ба маврид аст, ки мафхумхои “адади ирратсионалй” ва “ифодаи ирратсионалй” чизхои гуногунро ифода мекунанд. Фаркияти ин мафхумхоро дар мисолхои зерин дидан мумкин аст:

128

1) V а + в ифодаи ирратсионали аст, вале киматхои он хамирратсионалй (масалан, хангоми а= 1, в - 2 будан) ва хам ратсионалй (масалан, хангоми а = 5, е=11 будан) шуда метавонанд.

2) V2 хам ифодаи ирратсионалй ва хам ададй ирратсионалй аст.

Агар махрачи каср ифодаи ирратсионалй набошад (ин гуна ифодаро ирратсионалии бутун меноманд), он гох хисоб кардани киматаш осонтар аст.

Ба ифодаи бутуни ирратсионалй табдил додани касри ирратсионалиро амали аз ирратсионалй озод кардани махрач меноманд. Тарзхои чунин озодкуниро дида мебароем:

1. Махраци каср якаъзогии ирратсионалй аст, яъне ифода

намуди ~т=-ро дорад. Сурат ва махрачи касрро бо л/е зарб л/е

карда (мувофики хосияти асосии каср аз ин кимати каср тагйир намеёбад), хосил мекунем:

2. Махраци каср аз сумма (фарц)-и якаъзогщои ирратсионалй иборат аст. Дар ин холат сурат ва махрачи касрро бо ифодаи махсуси интихобшуда зарб мекунанд. Масалан, агар

3) Vl6 ифодаи ирратсионали буда, ададй ратсионалй аст.

л/в л/в л/в (v/e)2 в

Айнан хамин тавр,

_а = аЩ_ = £Л; = Л; 3 _ US ,зУ5_зУ5_оз7?

махрач аз дуаъзогии намуди л/а + л/е ё -Ja - л/е иборат бошад,

он гох бо ифодаи хамрохшуда л/а-л/е ё л/а+л/е зарб мекунанд.

Барои ин сурат ва махрачи касрро бо адади хамрохшуда

л/7 -л/2 зарб карда, аз формулаи зарби мухтасар (а-в)(а+в)=а2-в2 истифода мебарем:

5 _ 5(л/7-V 2 ) _ 5(-/7 - Л )

7 - 2

2М и с о л и 2. Махрачи касри ----- -= -ро аз ирратсионали

2 — л/3озод мекунем:

2 2(2 + л/з) _ 2(2 + л/3) _ 2(2 + л/з) ... „ /г

2-л /з (2-л/3)(2 + л/з) 22 - ( л/з )2 4 - 3

Сурати ифодаи ирратсионалй хам айнан мисли махрач аз ирратсионалй озод карда мешавад. Масалан,

л/5 л /5-V s 52 _ 2л/5 _ 2л /5 ’

1 -л /б (1-л /б)(1 + л/б) 12 - (л /б )2 5

2 2(1 + л/б) 2(1 + л/б) 2(1 + л/б)

1. Чй гуна ифодаро ирратсионалй меноманд? 2. Магар мафхумхои «адади ирратсионалй» ва «ифодаи ирратсионалй» як чизро муайян мекунанд? Чавобхоро бо мисолхо фахмонед. 3. Тарзхои аз ифодаи ирратсионалй озод кардани сурат ё махрачи касрро номбар кунед.

372. Махрачи касрро аз ирратсионалй озод кунед:

а ) 7 г 6 ) i r B ) i ; r ) i 7 f д ) 7 Г ;

е) 7V8 Ж) S ’ 3) I S ’ И> -ЦЯГ 130

373. Махрачи касрро ба ифодаи бутун гардонед:

ч т ч 3 ч 13-) I-- 5 б) J= 5 В) _ I 5 Г) I----■yjp eyja 5 л/с

374. Махрачро аз ирратсионалй озод намоед:

Ч 1 1 ч 1а) ----- т=> б) I— т=> в)2 + л/з ’ ' З - л / ? ’ л/2 +л/з ’

ч л/з ч 5 ч 7г) д) ~7гг----7т; е)

2 - л / з ’ л /1 0 -л /5 ’ 1+2л/2'375. Махрачи касрро аз ирратсионалй озод кунед:

ч 1 а ч х ч ва) -т=— т=; б) - = — = ; в ) ----- = ; г)y f x - y f y ’ л/о + л/ e ’ х + л [у ’ а -л /в

376. Сурати касрро аз ирратсионалй озод кунед:

a ) 2f ; б ) # ; в ) ^ # ;5 7 9

д) l 4 ° -3 ’ e ) 7 T

377. Суратро аз ирратсионали озод кунед:

а) 6) .)2 3 2

ч 2 4- у[вг) 3 ’

) V o - V e .; 3 ’

ч л/я +л/в e) 4


378. К^имати л/15 -ро бо сахехди то 0,1 бо норасой ва барзиёдй ёбед.

379. Муодиларо хал намоед:а )х 2-11=0; б) х2+3=0; в) (х+2)2=1; г) (л>3)2=5.380. Алй то Душанбе аспсавор 20 км-ро бо суръати 8 км/соат

тай намуда, баъд ба кдтора, ки суръаташ 6 маротиба зиёд аст, савор шуда 160 км рох рафт. Алй чанд соат дар рох буд?

131

381. Кадоми ин баробарихо айният аст:

а) а-в=в-а; б) (а-в)2=(в-аУ; в) |а 2 + 8| = а2 + 8;

г) (а-в)3=(в-аУ; д) \а\ =а; е) |о2 - 5| = а 2 - 5 ?382. Аз таносуб х-ро ёбед:

2 70,03:х = 2—:1—.3 9

24. ТАБДИЛДЩИИ АЙНИЯТИИ ИФОДАХОИ ИРРАТСИОНАЛИ

Мо якчанд табдилдихдхои айниятии ифодах,ои ирратсиона- лй (ифодах,ое, ки дорой решах,ои квадратианд)-ро дида баро- мадем. Табдилдихди решах,о аз хосили зарб, аз каср ва аз дарача, зарбу таксими решах,о, аз тах,ти реша баровардани зарбкунанда, ба тах,ти реша даровардани зарбкунанда, аз ирратсионалй озод кардани сурат ё махрачи каср аз кабили онх,оанд. Акнун ми- солх,ои дигари табдилдихии айниятии ифодах,ои ирратсионалиро дида мебароем.

М и с о л и 1. Ифодаи Ъ^А5а - Vl25а + л/80а -ро сода мекунем.

Аз ифодаи л/45 а адади 3, аз ифодаи Vl25а адади 5, аз

ифодаи л/80а адади 4-ро аз тахти аломати реша бароварда, хосил менамоем:

Зл/45а-л/125а + л/80а=9л/5а-5л/5а+4л/5а == (9-5 + 4)л/5а=8л/5а.М и с о л и 2. Х,осили зарби

(Зл/5 - 6л/2Хл/5 + 2V2 )-ро табдил медихем.

Хдр як аъзои суммаи якумро ба хар як аъзои суммаи дуюм зарб намуда, хосил мекунем:

(Зл/5 - 6yfl\y[5 + 2л/2)= з(>/5} - 6л/2V5 + 6-^5yfl - =

= 3 • 5 - бл/lO + бл/lO -12-2 = 15 — 24 = —9.132

х 2 - 5М и с о л и 3. Касри .....г -ро ихтисор мекунем.х - у / 5

Азбаски 5 = (л/5)2 аст, пас сурати касри мазкурро дар намуди фарки квадратхои ду ифода навиштан мумкин аст:

х 2 - 5 _ х 2 - ( л / з ) 2 _ ( х - У 5 ) ( г + V s ) _ ^ ^

х-л/5 х-у[Е х-л/5


a)i/H; 6WH; в)! ; r)jv384. Ч,амъ ва тархро ичро кунед:

а) Зл/5а-л/20а + 4л/45а; б) V9o - л/25а + >/36а;

в) л/36и-л/б4и + V81«; г) Vl6a - л/49а + у[4а;

д) л /5 а -2 л /2 0 а -3 л /8 0 а ; е) -л /2 5 2 я -л /7 а + л /3 4 3 а .385. Ифодаро сода намоед:

а) Зл/Г8 - 2л/8 - л/50; б) л /1 2 -2 л /2 7 -З л /7 5 ;

в) 5 л /8 -^ л /2 -2 л /1 8 ; г) 2л /8+ 0 ,5л /32 -^ л /18;

д) л /2 0 0 -^ л /3 2 + 2 л /7 2 ; е) |л /1 2 8 +Зл/2 +2л/32.


а) (л/ ! 2 + л/15) • л/3; б) л/5 • (2л/5 ч- л/в);

в) (4л/з - 2л/б) • 2л/3; г) 1 - ОДл/5 • (л/15 + л/20);

Д) (л /1 4 -2 л /3 5 )-^ л/7 + л/20; е) (л/12 + 2л/18)>/2 - л/% .

387. Зарбро ичро намоед:

а) (1 + Зл/2)(1-2л/2); б) (з + л/з)(2 + л/з);

133

в) (2V2 - л/з) (Зл/2 - 2л/з); г) (л/5 - л/8 ) (л /5-Зл/2 );

д) (5- 2л/з) (б + 5л/з); е) (Зл/2+5л/з)(8л/з-Зл/2 ).388. Формулахои зарби мухтасарро истифода карда,

амалх,оро ичро кунед:

392. Формулаи фарки квадратхоро истифода карда, ба зарбкунандахо чудо кунед:

а) х2-6; б) 7-й2; в) 4jc2-3; г) 10-25а;д) х-2, дар ин чо х > 0; е) а-в, дар ин чо а>0 ва в>0 аст.393. Ифодаро ба зарбкунандахо чудо намоед:

а) 2 + л/2; б) 3 -2 л /3 ; в) 4 х + х ; г) л/а-л/2а;

д) л/22-л/ГТ; е) а -З л /а ; ж) л /55-л /22 ; з) 4 b n + 4Тт.



в) (л/ 5 + л/ п )2 - (л/13 + л/П) (л/ГТ - л/13 )

г) (л/П - л/7 ) (л/7 + л/П) - (л/13 + л/3 )".391. Амалхоро ичро кунед:

134

394. Касрро ихтисор намоед:

N " г> л a + .а) -----77’ б) 7 Г 7 Т ’ в) 7 1 ^ “’

ч * ч - - ■ ч 3 у[х -2 у[уг ) — Д) /7 /7- е) 9* - 4 Г ;

ч с vu ч ч 2 + л/а*) -Т— ; з) — . и)


a J - i - 4 ; 6 ) ^ Н ; в) Л - З .

а 2 - 6б)

х - 4

а - л /6 Vx + 2

1 -л /хд)

а - в

х — 1 ’ л/е -л /а

а - л /аз)

л /8 -8

л/а - 1 ’ л /8 -1 ’

X + л/3 ’ 2 - а 2 ’ 9 - х

ч З -л /з ч V56+V14 л 4л/5-5г) ~ 7 Г ; д) с) “ W T ;

s л/2а - л/2в ч х + л/х л ал/а + аж ) , г - , г ; з ) и ) --------- г - -Зл/а-Зл/e л/х + 1 а + л/а

396. Ифодаи — ------- -—----- — -ро сода карда, киматашро


4 - х 2 ___ 9х_Зх х2 + 2 х + 4

хангоми х=-1,5 будан, хисоб кунед.397. Барои 5 м атлас ва 4 м шохй 50 сомонй доданд. Баъди

25% арзон шудани атлас ва 15% арзон шудани шохй барои 6 м атлас ва 5 м шохй 48 сомонию 25 дирам доданд. Як метри атлас ва як метри шохй то арзоншавй чанд сомонй меистод?


ч 253-142 363-152а) .. . . . ; б)49-106 184 103399. Масъалахои зерини Мухаммад ал-Хоразмиро (787-850)

хал кунед:а) Фарки ду адад ба ду баробар аст. Нисбати дуюмаш бар

якумаш бошад, ба адади ба 2 баръакс. Ин ададхоро ёбед.135

б) Ду ададро ёбед, агар маълум бошад, ки суммаи онхо 10 ва нисбаташон 4 аст.

400. ^авсхоро кушоед:а) -О )-(-у ); б) х-(-(-у)).

Маълумоти таърихйа) Дойр ба ададхои хакикй. Адад, ки яке аз мафхумхои асосии

математика аст, дар замонхои хеле кадим пайдо шудааст. Зарурати чен ва таксим кардани бузургихо боиси пайдоиши мафхуми ададхои касрии мусбат гардид, ки он хамчун холати хусусй ададхои натуралиро низ дар бар мегирифт. Баъд аз амалияи халли муодилахо ва талаботи назариявй мафхуми ададхои манфй ба миён омад. Ададхои мусбату манфй имконият медоданд, ки бузургихои самтдор (харорат, вакт) чен карда шаванд.

Дар натичаи чунин тахаввулот мачмуи ададхои ратсионалй пайдо шуд, ки он аз ададхои мусбат, касрй ва нул иборат аст. Дархостхои нави амалия ва илм талаб мекарданд, ки мафхуми адад васеъ карда шавад. Хднуз дар асри V-и пеш аз мил од дар Юнони кадим дар мактаби илмии Пифагор (580-500 пеш аз милод) шогирдаш Гиппас Метапонский нишон дод, ки ададхои ратсионалй барои чен кардани дарозии хар гуна порча кифоя нестанд. Дигар хел гуем, бузургие вучуд дорад, ки он бо адади ратсионалй ифода намешавад. Масалан, диагонали квадрати вохидй (ниг. ба 6.12), тарафи квадрате, ки масохаташ ба 2 баробар аст, нисбати дарозии давра ба диаметр ва хоказо. Ин гуна ададхо номи ирратсионалй, яъне гайриратсионалиро гирифтанд. Дертар Таэтет (асри IV пеш аз милод) аз Афина

нишон дод, ки у[п барои хар гуна адади бутуни п, ки квадрати пурра нест, адади ирратсионалй мебошад.

Математикхои Х^ндустон, Шарки Миёна ва Наздик, дертар Аврупо низ бузургихои ирратсионалиро хамчун объектхои баробархукуки алгебра дар хисоббарорихо истифода мебурданд. Бар замми ин, бисёри онхо дар ин чода ба натичахои назариявии назаррас хам ноил шудаанд. Бузургтарин олими дунё дар сохаи илмхои дакики нимаи дуюми асри XI риёзидон ва шоири машхури форсу точик Умари Хайём (1048-1131) дар асари худ "Рисола фй шархд мо ашкала мин мусодароти китоб-ил-Укли- дус", ки соли 1077 дар ш.Исфахон чоп шуда, ба шархи мушки- лоти комилтарин асари математики Юнони кадим "Ибтидо"-и136

Уклидус (365-300 пеш аз милод) бахшида шудааст, мафхуми васеътари адад, ки ададй ирратсионалиро низ фаро мегирад, пешниход кардааст. Дар ин асар аввалин бор дойр ба бефо- силагй (муттасилй)-и мачмуии ададхои хакикии мусбат акидахо оварда шудаанд. Минбаъд ин акидахо аз тарафи бузургтарин математики асри XIII Насируддини Туей (1201-1274), математики италиявй Рафаэл Бомбелли (асри XVI) ва холандй Симон Стевин (1548-1620) инкишоф дода шудаанд.

Касрхои дахдро дар илм донишманди маъруфи точик Гиёсид- дини Кошонй (соли вафоташ 1436), ки хамрохн Улугбек дар расадхонаи Самарканд кор мекард, дар китоби худ "Калиди арифметика" соли 1427 дохил кардааст. Вай ин каерхоро барои аниктар хисоб кардани кимати решахо истифода мекард. Касрхои дахй дар Аврупо соли 1585 аз тарафи С.Стевин аз нав кашф карда шудаанд. У нишон дод, ки хар як ададй хакикиро то сахехии дилхох бо касри дахй наздик кардан мумкин аст. Пайдойиши асари "Геометрия"-и Рене Декарт (1596-1650), ки бунёдгари методи координата аст, боиси пурра эътироф кардани ададхои ирратсионалй гардид. Декарт хар як ададй ратсионалй ё ирратсионалиро дар хати рости координатавй бо нукта тасвир мекард ва баръакс, хар як нуктаи хати рости координатавиро хамчун ягон ададй ратсионалй ё ирратсионалй, яъне ададй хакикй хисоб мекард.

Бо хамин ададхои хакикй тамоми хати рости координатавиро пур карданд ва бефосилагй ё муттасилии мачмуи ададхои хакикй амалан дарк карда шуд. Ин аст, ки дар бисёр нишондодхои таълимии муосир таърифи ададй ирратсионалй ба гояхои Кошонй, Стевин ва Декарт дойр ба мавчудияти имконияти ададй матлубро бо сахехии дилхох ба ададй ратсионалй наздик кардан асос карда мешавад.

Ададй дилхохи хакикиро дар намуди касри дахии беохир (даврй ё гайридаврй) ифода кардан мумкин аст. Дар асри XVIII Л.Эйлер (1707-1783) ва И.Ламберт (1728-1777) нишон доданд, ки хар гуна касри дахии даврии беохир ададй ратсионалй аст. Аз ин чо бармеояд, ки касри дахии гайридаврии беохир, ададй ирратсионалй мебошад. Математики немис Карл Вейерштрасс (1815-1897) назарияи ададхои хакикиро хамчун касрхои дахии беохир пешниход намуд. Аммо арифметикакунонии тахдили математикй (бе истифодаи усулхои геометрй) ки дар асри XIX чорй шуда буд, масъалаи чиддан асоснок кардани бефосилагии

137

ададаои хакикиро ба миён овард. Хдлли пурраи ин масъала дар асари математики немис Рихард Дедекинд (1831-1916) "Бефосилагй ва ададхои ирратсионалй", ки аз 21 сахифа иборат буда, соли 1872 нашр шудааст, оварда мешавад. Бо дохил кардани аксиомаи бефосилагй, ки овардани он дар ин чо имкон надорад, Дедекинд тавонист, ки назарияи пурраи ададхои хакикиро пешниход кун ад.

б) Дойр ба решахои квадратй. Талабот ба дарачабардорй ва аз реша баровардани адад мисли чор амали дигари арифметикй аз амалияи одамон ба миён омада буд. Дар катори масъалаи хисоб кардани масохати квадратй тарафаш маълум, масъалаи баръакс, ёфтани тарафи квадратй масохаташ муайян аз кадимулайём хусни таваччухро ба худ чалб капда буд.

Хднуз 4000 сол пеш бобулиён дар катори чадвалхои хосили зарб, бузургихои баръакс, квадратй ададхои бутун инчунин чадвали решахоро аз ададхо тартиб дода буданд Тарзи тартибдодани ин чадвал чунин буд: Фарз мекунем, ки 4п -ро, ки адади натуралй буда, квадратй пурра нест, хисоб кардан зарур аст. Адади и-ро дар намуди п=т2+р, ки р нисбат ба т2 хеле хурдаст, тасвир мекунем. Он гох л/й бо формулаи такрибии

хисоб карда мешавад. Масалан,

л/1700 = л/40 2 +100 = 40 + = 41—.2-40 4

Юнонихо барои азрешабарорй метода бобулиёнро истифода мекарданд. Масалан, Герон (асри I) аз Искандария ин методро истифода карда менависад:

Донишманди бузурги точик Мухаммад-ал-Хоразмй (787- 850), ки системаи мавкеии хисобро барои чор амали асосии арифметикй пешниход кардааст ва холо хам мо аз ин система истифода мебарем, дар асари худ "Дойр ба хисоби хиндй" дар катори амалхои дигар амали азрешабарориро низ тахкик кардааст. Вай ин амалро дар натичаи дучанд ва нисф кардани

2т

л/ТбО = л/144 + 16 =12 + — = 12-.24 3

138

адади тахтирешагй ба чо меорад. Амалхои содатарин бо решахо дар ин асар низ вомехуранд. Масалан,

= ва

Умари Хайём барои аз реша баровардан формулаи зарби мухтасар (а + в)2= а 2+ 2ав+ в2-ро истифода мебурд. Дертар Насируддини Туей ин тарзи хисоби кимати решай квадратиро умумй карда, онро барои хисоби кимати решай дарачааш дил- хох мувофик гардонид.

Аз асри X III cap карда математикхои Аврупо решай квадратиро бо калимаи лотинии Radix (реша) ё мухтасар бо харфи R ишорат менамуданд (истилохи «радикал» аз хамин чо бармеояд, ки маънояш аломати реша аст). Дар асри XV математикхои немис нуктаро истифода мекарданд. Онхо нуктаро дар пеши ададе мегузоштанд, ки онро аз реша баровардан лозим буд. Баъдтар, дар пеши адад ба чойи нукта аломати v ва дар болои ададе, ки бояд онро аз реша

мебароварданд, хатча мекашиданд. Масалан, Vl2 ин тавр

навишта мешуд: vl2.Танхо соли 1637 Рене Декарт дар "Геометрия"-и худ аломати

решаро бо хати амудй пайваст карда, аломати хозиразамони

реша у[~ -ро истифода намудааст. Вале тарзи навишти адади тахтирешагй дар китоби Декарт аз тарзи навишти хозира фарк мекунад. Вай дарачаи решаро дар тахти реша менавишт. Бори аввал тарзи навишти хозиразамони аломати реша ва адади тахтирешагй дар китоби математики фаронсавй М.Ролл (1652- 1719) «Рохнамои алгебра», ки соли 1690 нашр шуда буд, вомехурад. Танхо дар ибтидои асри XVIII аломати дар хозира маъмули решаро катъиян хамагон истифода мекардагй шуданд.

МАШКХОИ ИЛОВАГЙ БА БОБИ IIБа параграфи 4.401. Маълум, ки а ва в ададхои натуралианд. Оё адади:

а) а+в; б) а-в; в) ав; г) — (в * 0)в

адади натуралй аст?139

402. Маълум, ки а ва в ададхои бутунанд. Оё ададй:

а) а+в; б) a-в; в) ав; г) — (в * 0)в

ададй бутун аст?

403. Маълум, ки а ва в ададхои ратсионалианд. Оё ададй:

а) а+в; б) a-в; в) ав; г) — (в * 0)в

ададй ратсионалй аст?

404. Исбот кунед, ки агар х ва у ададхои чуфт бошанд, он гох: а) х+у; б) х-у; в) ху низ ададй чуфт аст.

405. Исбот кунед, ки:а) суммаи ду ададй ток, ададй чуфт аст;б) фарки ду ададй ток ададй чуфт аст;в) хосили зарби ду ададй ток ададй ток аст.

406. а). Се ададй мусбати аз 0,01 хурдро нависед;

б). Се ададй манфии аз ~ калонро нависед.

407. Ададй:

л 3 ~ 5 ч П ч 2а) —; б) — ; в) — ; г) — ;11 7 14 7 27

. 2 7 ч 23 . 2Д) — ; е ) ----- ; ж) — ; з) —

35 22 ' 60 ' 9-ро дар намуди касри дахии даврии беохир ифода кунед.

408*. Ададро ба касри ратсионалй баргардонед:а) 0, (12); б) 0,0(21); в) 2,(1); г) -3,1(3);д) 4,2(23); е ) -0,(15); ж) 2,(011); з) 0,41(34).

409*. Ду ададй ратсионалй ва ду ададй ирратсионалиро номбар кунед, ки онхо дар байни ададхои 1 ва 1,1 чойгиранд.

410*. Маълум, ки а ададй ратсионалй ва в ададй ирратсионалй аст. Оё ададй: а) а+в; б) a-в ратсионалй шуда метавонад?140

Ба параграфи 5.411. Кимати ифодаро ёбед:

а) 0,2л/256; б) -Зл/49; в) - 1;

Т)т - 7 И ; д) 2л/о[шТ + -ЛоО; , ) j g

Ж) V3600-VI225; з) и) - 0,04Vl0000+Vl6.

412. Исбот кунед, ки:

а) 5 = 2.5:

б) 11: (0,15л/1600 - 0,29>/400)= 55;

в) ( V ^ + 3Vm):f-V^09+0,78VlOO = 6;

1 V324 y/0j6- 6 J - +V 4 2 0.2

: V25 =3.

413. К,имати ифодаро ёбед:а) Vl 0+3<з, х,ангоми а=-3; 2; -2 будан;

б) V -Зх-5 , хангоми х=-3; -2; -7 будан;

в) 3s j \0 -2 y , хангоми у=3; 3; 5 будан;

г) 5л/бх-2, хангоми х=1; 3; 11 будан.414. Муодиларо хал кунед:

а) 2л/х=3;

г )Й г 2;

б) 2 ^ 2 * ^ в) ' [ х - З =4;

д ) 1 + л/Зж =10; е) 4л/ж - 1 = 15.

141

415. Решая муодиларо ёбед:а) 2х2=8; б) 3jc2+ 1 = 10; в) 7х2+4=0;

х2г) 0,5х2+3=7; д ) у - 1 = 1,2; е) 4х2+1=5.

416. Мисоли муодилаи х 2=а оред, ки он: а) ду решай ратсионалй дорад; б) ду решай ирратсионалй дорад; в) реша надорад.

417. Барои ифода кимати имконпазири тагйирёбандаи х-ро нишон дихед:

а) л/х1; б) л/х®"; в) л/х2 +2; г) л/^х1.418. Сохди муайянии ифодаро ёбед:

ч 2 яч 1 ч 3 ч 1а ) ~Г > б ) Г - в ) - 7 = - т ; г ) х2Г ’ ' ~ г — ’ ~ г — 7’ 4 Г л/х л /х+ 2 л /х -1 л/-419. Хисоб кунед:

а) Д 25 + (гл/Од)2; б) (оДл/Го)" + 0,5л/49;

в) (Зл/2 )2-(гл/з)2; г) (гл/з)2 +(-Зл/2^;

д) л/169 - 0,5(ЛТ)*; е) (- Зл/5 )" - з(л/5 )f.420. Дар байни решах,ои квадратй аломати нобаробарии

мувофикро гузоред:

а) л/lOO ва л/102; б) л/^,4 ва лДб,2; в) л/0,04 ва yj0,09;

г) -л/3 ва -л/5; д) ва е) j l | ва

421. Ададх,оро мукоиса кунед:

а) Д Г ва Д 2 ; б) Д д б ва J 2J ; в) Д Г ва Д оТ ;

г ) ^ - ва ^ОДб; ва ^0,(3); е) л/7 ва 2,6;

ж) 2,2 ва л/4 8; з) д/1,22 ва 1,1; и) 1,3 ва л/1/7.

142

422. Барои кадом киматх,ои х баробарй дуруст аст:

а) д/(1-х)2 = х-1; б) д/(х + 2)2 = х + 2;

в) у ](х -5 )2 = 5 -х ; г) yj(x + 6)2 = - х - 6 ?423. Ададро бо барзиёдй бо сах,ехии то 0,1 бо касри дах,й

иваз кунед:

а) л/10; б) -л /5; в) 4^5; г) л/18.

424. Оё нуктаи: А (36;6); В (4;-2); С (1,1); Д ба графики

функсияи у = л/х тааллук дорад.'

Ба параграфи 6.425. Хдсоб кунед:

а) л/144-0,49-0,36; б); v ; А/16 81 169

в) -у/0,92 • 64 + 0,77 • 64, г) л/1,44 121-1,44-40.426. Кимати решаро ёбед:

л /1652 -1242 98V 164 ; V1762 — 1122

I 1492 - 762 145,52 -9 6 ,5 2

V 4572 - 3 8 4 2 ’ ^ V 193,52 -3 1 ,5 2


a) 4V I0-0 ,2 ,/i^ ; 6)

в) 0,4л/10 • 0,2л/45 ■ 0,5л/2; г) ^ 5 .2лД2

428. Х^соб кунед:

r ) W ; Д) V5° - ( - 7 ) 2; eyV M )7 .

429*. Маълум, ки а>0 ва в<0 аст. Ифодаи:

а) л[ав -ро дар намуди хосили зарби решахо нависед;

б) -ро дар намуди хосили таксими решахо нависед.

430. Кимати ифодаро ёбед (агар он маъно дошта бошад):

а) у/(-11)2; б) VI91; в) -V»7; г) - у / й # .

431. Х,исоб кунед:

а) J (-2 )4; б) — Зл/То ; в) - 2 ^ ;

г) 0Дл/7; д) 0,2д/(—ОД)4; е) - д /Н ) 17432. Кимати ифодаро ёбед:

а) л/251; б) лЯб7; в) л/8-162;

г) л/5-320; д) л/96-486; е) л/750-270.433*. Баробарии

а) л / ? = (Vxf; б) у[х2 =х; в) л/х®" = х3;

г ) л / ^ = -х 5; д ) л /7 = в4; е )л /? Т = - а 7барои кадом кимати тагйирёбанда дуруст аст?

434*. Графики функсияи бо формулаи:

л/х7 л/х2"а) ^ = ----- ; 6 ) ^ = - —

х хдодашударо созед.

435. Ифодаро табдил дихед:

а) л1а4в4; б) л/вбс8, дар ин чо в > 0; в) л]9х2у 4 , х<0;

. ч 9х2 25а4г) д) V ’ дар ин ЧО х<0; у<0; у) А /—й ” » в<0;

в144


а) б) V(-a)2(-«)4.

Ба параграфи 7.437. Зарбкунандаро аз тахти аломати реша бароред:

а) 0,4л/45а2; б) 3,4^200^; в) 0,2л/175х3;

г) 0,8л/225а; д) а^20а2в; е) -т ^96т 4.438*. Зарбкунандаро аз тахти аломати реша бароред:

а) у125а2в, а>0; б) у1\6а2въ, а<0; в) л/81а3в3, а<0; в>0;

г) V64а4х3; д) V -3с3; е) V -5а7.439*. Зарбкунандаро ба тах,ти аломати реша дароред:

а) а-у/2, а > 0; б) ал/5, а < 0; в) г)

440*. Барои кацом киматхои тагйирёбанда баробарй дуруст аст:

а) хл/2 = V2х2; б) а>/з = —ч/за2;

в) л/6с2 =-cV 6; г) л/та2 =-ay[l ?441. Ададхоро мукоиса намоед:

а) 2л/20 ва 4л/20; б) 4л/ГЙ ва 2л/18;

в) 5л/2 ва 4л/3; г) у>/П2 ва л/32.

442. Ададхоро бо тартиби афзуншавиашон чойгир кунед:1 3

а) 5Д 5, Vl7 ва -л/б2; б) V89, 12^ 5 ва — л/ГбО.


ч 1 „ 6 4а ) 7 ? ’ л/12’ л/3 + V7 ’

4 ч 3 + V? л з + л/зт) J i o - J n ' д) 1+V ?; e ) 3 -V I

145

444. Махрачро аз ирратсионали озод намоед:

а)1 + у[а б) : — yfax в) а + в г) а - 2 -у/а

\ [а a-Jx ву /х 4у[а


а)4л/5

б)4л/з

в)1 + л /З 9-5V3

4 2 + 4 $ ’ 2л/5 - 3>/2 ’ 3 л/2 - л/3 ’ 7 -З л /з ' 446. Махрачро аз ирратсионалй озод намоед:

а)-■-л[ху+у. б)

4 + 4а +а4 х ~ 4 у ’ 7 2 + л[а

447*. Махрачи касрро аз ирратсионалй озод кунед:1 1 1 5

а) б) в) г)I + V2 +V 3 ’ 1 - л/2 —л/з ’ 2 + л /з+ V J ’ 2 - V ? + V2 '

448. Сурати касрро аз ирратсионалй озод кунед:

а) • б) 42 +4$ , b-j У д - Vg . 4 - 4 а2 ’ 14 ’ Ve 16 —4Vo +а

449. Зарбро ичро кунед:

6 ) V 5 ^ 7 V 5 + J t

т )у /1 5 -(4 о а -4 о ^ + 4 за );

е) (4х ~4у)-4х;

з) (4а-4в\4а+ 24в).

а)

B ) ( V l8 - V 5 0 + л/7 2 ) -л/2;

д)л/х"(л/о" + л/в^);

ж) (4х + 4у \ 4х - 24у ) ;450. Таксимро ичро кунед:

а) (л/10+л/40-л/90):л/10;

в>


а) л:2-8, хангоми х= 1 + -Jj ; б) х2-4.г+3, хангоми х=2+ л/з будан.

б)

г) •v/l? -

vt? ;

146

452. Исбот кунед, ки кимати ифодах,ои

-у/б + ->/24 • -\/5 — -J24 ва л/ + Зл/7 • — Зл/7 ба як баробар аст.

453. Исбот кунед, ки кимати ифода, адади ратсионалй аст:

1 1а)

1 1. + -7 + 3V5 7-Зл/5 ’ б) 4-х/З-З 4л /з+3 '


а)

в)

3 3Т + -

1+л/2 1- V 2 ’

л /б -л /з + л/б+л/зл/б+л/3 л /б -л /з ’


бЬ о-2л/8 10 + 2л/8’

10 + л/19 1 0 -л /19

!) 1 0 -л /19 10 + V l9

х - 3 х + а -1 1 1 0 - х 2

Г)х -л /Т о ‘a) л/х - л/з ; б ) / - 7 ; В) а - л/з ’456*. Касрро ихтисор кунед:

■J40-J20 л /15-5 2л/Го — 5 9 -2 л /з

a ) j 2(H/ro; 6 ) V 6-V Io ; В) 4 - Л о ’ Г) 3V6-2V2

л/х — л/з _457*. Касри ---------- барои кадом кимати х дорой киматих - 3

калонтарин аст?458*. Ифодаро сода намоед:

а)1 1

Г + -

x + y/у х -у [у:4х; б)

л/а — Veа - в 4 а - у / в

а + 2л/ал/в +<

4л/в

в)л/а -л /е 2л/ал/в л/а + л/е а - в

а - 2л/ав + ва + в х + 2

х - у

147

ЧАВОБХО

214. а) 0,(3); б) 0,1(6); в)-1,5(3); г)2,(296); д)2,(63); е)-1,(6). 215.а) 0,3(6); 6)0,(142857). 216. а) дуюмаш калон; б) дуюмаш калон;в) дуюмаш калон; г) якумаш калон. 217. а) якумаш калон; б) дуюмаш калон; в) якумаш калон; г) дуюмаш калон. 218. а)

масалан, 4,01; 4,012; 4,019. 219. а)2— ; б) 3— ; в) 2— ; г) 15133 15 900 1125

220. а) - ; б) -1. 221. 6 ва 510. 222. а)(3;1); б) (4;3). 224. 43,4 а

сомонй. 229. а) якумаш; б) дуюмаш; в) дуюмаш; г) якумаш. 233.

31,4 м. 234. 63,585 м. 2 3 5 .-----— . 236. а)-2 ва 2; б)-1,5 ва 1,5; в)х + у

хал надорад; г) 0. 237. 60. 238. а) 1-; 6) - 2 — ; в) 1— ; г) 2— .9 99 330 900

240. а) 4м; г) —мм. 241. д) +х2; з) ±а; и) ± -у ; л) ±0,9. 242. а) 9 к

не; б) хд; в) хд; г) не; д)не; е)ха. 246. 0,235. 247. Х,ал надорад.248. к=-4. 249. 200 ва 260 т. 250. 0,0(1); 0(63); -1,1(34); -2,25;6,(2); -7,32. 256. а) 0,3; 6)0,5; в)0,9; г)0,8. 257. в)7,2; г)0,7; е)-7.258. а)5; 6)5; в)28; г)-18; д)1,1; е)0. 259. а)1;4;2. 260. г)1,9; 1,2;1,7; 1,3. 261. г)0,0625; е)2,25. 262. а)хд, 0,04; б)не; в)ха, 4; г)не.263. б)барои х,еч гуна; г)0,49; д)0,(1); е)барои х,еч гуна. 264. а)0;6)6,5; в)1(6); г)3. 265. а)дуюмаш; б)якумаш; в)якумаш;г)дуюмаш; д)дуюмаш; е)якумаш. 266. а калон аст, агар а мусбатбошад, вагарна -а калон аст. 267. 2. 268. -6. 269. Ба 96 руз. 274.

а) ±8; б) хал надорад; в) ± -Д ?;г) + - ; д) ±1,2; е) ±21. 275. а)

±0,02; б) ±0,75; в) ±4; г) ±720; д) ±8; е) ±1. 276. а)-3 ва 7; 6)4

ва 6; в)-7 ва 1; г)-14 ва 0. 278. г) — 0,1|jc|; д) б|а|. 279. 6)4у; в)-п;

148

г)1,2а. 280. в) |а + 3|; д ) \а- х|;е)|х2 - 2|. 281. а)а>3; 6 )а> -4 ;

в) а <5; г) а< -1 . 282. а) ±3; б)-4 ва 0; в)х,ал надорад; г) хдр

Act 1гуна ададй гайриманфй. 283. -4. 284. а)------; б)-------—. 285. а)

а + в (х + 1)2а; б)-в. 286. 2км/соат. 287. а)25,5; 6)4,8. 289. а) дуюмаш калон;б)якумаш калон; в)дуюмаш калон; г)якумаш калон. 291. а)3,4;б)-2,4; в)3,6; г)0,8; е)-5,2. 292. 4,1 ва 4,2 см. 294. а)6,9; 6)17,2;

в)26; г)-4. 295. а)х,а; б)не; в)не; г)х,а. 297. Не. 298. — хдсса. 299.6

а ) - - ——; 6) . 301. а = . 303. а)хд, дар нук,таи (1;1);а + 4 Зх + 2у V 6

г)не. 304. а)дуюмаш калон; б)якумаш калон; в)якумаш калон;г)дуюмаш калон; д)якумаш калон; е)дуюмаш калон. 305.

а) 14; л/5; 7^3; г) °,3ф 306. a)±V8 ва 64; 6) ва

307. а)6; 6)1,8; в)0,35; г)6,6. 308. 9 ва 10. 309. 27 км. 310. а)калон;б)хурд. 315. а)15; 6)80; в)6; г)120; д)15; е)10; ж)16; з)12. 316. а)210; 6)32; в)35; г)54. 317. а)30; 6)26; в)15; г)28; д)15; е)21; ж)54;з)18. 318. а)21; 6)22; в)0,4; г)1. 322. а)1; б)-1. 323. 160 га. 324.

а)^; б)64а12; в)2ап. 325. а) 5а-1; б)Зх-1. 328. а)2,8; 6 )3 ^ ; в)

г) i f 330. а)3; б ) | ; в)2; г)5; д )1 ; е)5. 331. а)2,5; 6)1^; в)4;1 j о 3 7 3

г)у ; д) | ; е) . 332. а)1,1; 6)1,5; в)0,6; г)0,225. 333. а)4; 6)9;

в)30; г)140. 334. 7 ва 9 см. 335. 16,38. 336. а)барои ± V5 ; б)барои

±л/14. 337. 3. 338. а ) / ; б)2а10; в ) / ; г)-4а5. 339. а)0,5х2; 6)-2,1/;в)0,1а18; г)-9в9. 340. а)9; 6)64; в)625; г)64. 341. а)24; 6)98; в)625;г)1024. 342. а) 144; 6)225; в)168; г)825; д)87; е)92; ж)167; з)504.

149

343. 3 бор. 344. Барои -4. 345. а)хдмаи ададх,о гайр аз 5; б)хамаи

11 73ададхо гайр аз 0 ва 2. 346. Баъди 7 сол. 347. а)— : б)---- . 348.'2 4 200

а)Зл/2; 6)4^2; в)4>/3; г) 5V7; д)6>/3; е)20л/2; ж) 13л/?; з)25л/2.349.а)2л/5; б)-7л/2; в)1СЦ/3; г)- 5>/Г0; д)6л/2; е)-2л/ГТ; ж)6л/5;з)1 Ъ/З. 350. а) 1,5л/3; б)9л/3; в)-1,6л/б; г)5л/3; д)4у^ 3у; e)aV3;

з 2ж)2га2; з)5л/о". 351. а)— 6)V2(x + j); в)1; r ) ^ j 352. а)-4ав;

б)5аву[в; в) ae jlae т)2а2ву[бв 353. а)л/5х; б) -л/бу; в) х2у[х;

r)a4Va; д)5y 3J y ; е) , 354. а)-4ал/3; б )-3в3л/3; в)5а2л/2;

г)3а4; д)2х6л/3х; e)V2x10. 355. а)барои киматхои манфй. 358. 36, 48 ва 60 кг. 359. а)2х+1; б)-га. 360. а)2а2-вс; б)-а3вс3х. 361.Барои кимати -4. 362. а)^8; г)V B x; e)V32e; ж)л/3; 363.

a)-V l8; 6)-Vr75; B)-^0,04a; г) -V294. 364. а )^ 2 ^ ; б)vGc;

b)у[а*; г ) л/8в2с ; д) yja(a + l f ; ^)у/5х; ж)у]х*у; з )4а + в. 365.

а) -л/9ю2а; б) —л/з о2; в) -л/в2с; г ) - ^ 2 х ъу . 367.

а)Зл/2;2л/5;л/2Т;2л/б. 368. 33,75 км. 369. а)7; б)-421. 370.

а) (а -5 )(а +3) , 6)_™± £ 371 4? м 78 см 372 a )V3 Vs;а 2п 3 2 ’

е)— ; 3)*£-■ и ) ^ . 373. а ) ^ ; 6) в ) ^ ; г ) ^ . 374. 28 3 12 в 5с лу

а) 2 - л/З; б ) ^ Д ; в)л/3-л/2; г)л/3(2 + л/з ); д)л/5(л/2+1);

376. а)-Д = ; б) — д ) - ^ ; е ) _ ^ . 377. а)5V 2 ’ ” ' ^ / з ’ А^ ’ ' 7 1 Г ’ 2 ф - 4 2 У

4 а - 1 4 - е о - вб) - --г- ; в )— 7==— ; г )— — р -; д)-

3(л/7+л/3)’ 2(л/а +1) ’ 2(2 - л /е ) ’ 3 (л/а + л/е)’

е )— <г- в I- ■ 378. 3,8 ва 3,9. 379. а)±л/П ; б)хдл надорад; в)-34(л/а - л/е)

ва -1; г)3-л/5 ва З + л/5 380. 5 соату 50 дак,- 381. б) ва в)-аш.

382. 0,02. 384. а)13л/5^; б)4л/^; в)7л/^; г)-л /а ; д)-15л/5а; е)0._ г

385. а)0; б) -19л/3; в ) — у - ; г)5л/2; д)20л/2; е)15л /2 . 386.

а) 3(2 + л/5); 6) л/10(л/К)+2); в) 12(2-л /2); г )-0 ,5л /3; д)л/2;

е)2л/б(л/б - 1). 387. а)л/2 —11; б )9 + 5л/3; в )18-7л /б; г) 13- 5л/Г0;

д)13л/3; е)9л/б+102. 388. а)я-е; б )х - /; в)2; г)13 + 4л/3; д )3 -2 л /2 ;

с)8-2л /15. 389. а)8 ;б )32 ;в )2 (2 -л /3 ); г)13 + 2л/3; д) 6(1 - л/2); е)2.

390. а)1; 6)4; в )2(12 + л/85); г ) - 2 ( 6 + л/39). 391. а )а + 2 + 2л/2а;

б )5 -2 л /5 х + х; в)0; г )2 7 -5 л /2 . 392. а )(х -л /б )(х + л/б);

б )(л /7 -а )(л /7+ а); в) (2х - л/з )(2х + л/з ); г) (л/Го - 5л/^)(л/То+5л/^);

д) (л/х — л/гКл/х +л/2); е) (л/а-л/е)(л/а+л/е). 393 . а) л/2 (л/2 + l);

6)л /з(л /з- 2 ) ; в) л/х(l + л/х); г) л/^(х-л/2); д ) л/П(л/2 - 1);

е)л /а(л/а - з ) ; ж) л/П (л/5 -л /2 ); 3) +y f l ) . 394. а )а + л/б;

6)V * “ 2; в)7 г Ь ; r ) ' ^ 7 T ; ДЧ ^ + ^ ) е ) з Л + 2 ^ ; ж)о;

з)-8;и)-*=; 395. а )х -л /з ; б)—7= — ; в)------Ц = ; г)л/з — 1; д)3;л/а л /2 + а 3 + л/х

151

е)——— ; Ж) 3)Vx; и)yja . 396. 21. 397. 6 ва 5з V3

сомонй. 398. а) ^ ; б ) ^ . 399- а)4 ва 2; б)8 ва 2. 400. a)x+j>;

б)х->>. 407. а)0,(27); б)-0,(714285); в)0,7(857142); г)0,(074);

д)0,0(571428); е)-0,3(18); ж)0,38(3); з)0,(2). 408. а)— ; б)- 733 330

1 2 221 15 11 4093в)2—; г ) - 3 — ; д )4— ; е ) - — ; ж)2— ; з ) - ^ . 4И.д)10,22;

9 15 990 99 999 9900

е)2,25; и)0. 414. 6)0,125; д)27; е)16. 415. а)±2; 6)±V l3; в)хал

надорад; г)±л/8; д)±л/П; е)±1. 417. а)х,амаи ададх,ои гайриманфй; б)хамаи ададхо; г)хамаи ададхои гайримусбат. 418. а),6) хамаи ададхои мусбат; в)хамаи ададхои мусбат гайр аз 1;г)ифода маъно надорад.419. а)0,9; е)30. 424. Нуктахои А ва С.

426. а)8 —; б)— ; в)— ; г)— . 427. а)10,4; б)100;в)1,2; г)0,1.429.2 96 29 135

а)4 - а ■ у[^ в ; б 432. в)64; г)40; д)216; е)450. 435. а)а2в2;Ы -в

б)в3с4; в)-3х;>2; г )— ; д) — ; е)— 436. a)Id; б )Ids2. 437.в У в I I I I

а)1,2|а|->/5; д)2а|а|л/5в; е)-4ти3л/б. 438. а)5|а|л/в;

б)4авл[в; в )9авл[ав; т)8а2ху[х; д )-сл /-3 с ; e ) - a 3V ~5а. 439.

а) л! 2 а2; б) —л/5 а 2; в) л/х; т )~ 4~ х. 440. а) х > 0; б)а<0; в) с < 0;г)о<0; 441. а)дуюмаш калон; б)якумаш калон; в)якумаш калон;

1 ^ (__ ___ __ о (___г)дуюмаш калон. 442. а)—л/б2, Vl7,57^5 ; б) 12^0^, л/89, — л/ГбО.

2 4

152

443. в ) 4 ? - 4 3 ; г) - 4(л/Й> + л/12); д ) - ^ ^ ; е ) 2 + — . 444.2 3

л/а , - . y f x - y f a (а + ву[х)л[х . 4 а - 2а ) -----+ 1; б ) --------------; в р ------------ ------; г ) — -— . 445.

а а вх 4

а) 4л/5 (>/з - л/г); б) 4л/15 + бл/б ; в) ^ (1 + л/з )(Зл/2 + л/з );

9 —4л/з x 4 x + y j y 2 л /2 -а л /2г) ----------- . 446 . а ) ---------- б ) — ---------------------- — . 447 .

11 х - у 4 - а

4 г п . К Ks ^ 3 - а - ва) — - (1 + л/2 - л/3 ). 448 . б ) ------ г -----у— ; в)- ^ ^ ,4 1 4 (л /5 -л /2 ) 4 ^ ( 4 ^ + 4 ^ )

г )— -----449.а)13; 6)43; в)8; г)3; д )4 а х + 4вх; e ) x - J x y ;6 4 - ал ] а

ж ) х - у [ х у - 2 у ; з) а + 4 а в - 2в. 450 . а)0; 6)18; в)1;

Г) л/3(5 — V I? ) 451 а)2л/^. б)2 453 а )3 1 454 . а) .6;32л/2 2 13

л £ 40л/19 /— I— 1 /—б ) — ; в)6; г ) — —— . 455. а ) 4 х + л/з; 6 ) -------т=; в ) а + 4\Л;

17 81 у - \ 7

г)-(дг + л/Го). 456. а)л/2; б )л /^ 5; в)л/^5; г)л /1Д 457. Барои

кимати 0, ким ати калон тарин ба б а р о б а р аст. 458 .

_ч 1 . 4 а + 4 в . s 4 a —4 e ^ 4 х - 4 у

а)^ ) ’ б)- д а ^ ' г) 2 ■

153

Боби IIIМУОДИЛАИ КВАДРАТЙ

§ 8. М У О Д И ЛАД О И КВАДРАТЙ ВА РЕШ АДОИ О Щ О

25. ТАЪРИФИ МУОДИЛАИ КВАДРАТЙ

Х,ар яке аз муодилахои 2х2-Зх+1=0, -х2+4х-4=0, 6х2-11=0,4Х

2х2 + — = 0 намуди ах2+вх+с=0-ро доранд, ки дар ин чо х адади

номаълум буда, а, в ва с ададхои додашуда мебошанд. Дар муодилаи якум а=2, в=-3 ва с=1; дар муодилаи дуюм а= -1, в=4 ва с=-4; дар муодилаи сеюм а= 6; в=0 ва с - 11; дар муодилаи

4чорум а=2, в = — ва с - 0 аст. Ин гуна муодилах,оро квадратй

меноманд.Муодилах,ои квадратй, ки мо ба омузиши онх,о шуруъ

мекунем, аз нуктаи назари татбикашон дар амалия, яке аз мукимтарин маводи математикаи мактабй ба шумор мераванд.

Т а ъ р и ф. Муодилаи адг2+вх+с=0, ки дар ин чо х-адади номаълум, а, в ва с-ададхон маълум ва гайр аз ин а * 0 аст, муодилаи квадратй номида мешавад.

Одатан ададх,ои а, в ва с-ро коэффитсиентхои муодилаи квадратй ва дар айни хол д-ро коэффитсиенти якум, в-ро коэффитсиенти дуюм ва с-ро аъзои озод меноманд. Масалан, дар муодилаи квадратии 5х2-х+4=0 коэффитсиенти якум ба 5, коэффитсиенти дуюм ба -1 ва аъзои озод ба 4 баробар аст. Мана боз мисолхои муодилахои квадратй: 2х2-х+3=0; х2-36=0.

Бамавкеъ аст, кайд намоем, ки муодилаи квадратиро муодилаи дарачаи дуюм хам мегуянд, чунки кисми чапи он нисбати х бисёраъзогии дарачаи дуюм мебошад (мисли он ки, муодилаи хаттии ах+в=0-ро муодилаи дарачаи якум хам меноманд).

Хотирнишон мекунем, ки решай муодила гуфта, чунин кимати номаълумро меноманд, ки барояш муодила ба баробарии дуруст мубаддал мегардад.154

Масалан, адади 2 решай муодилаи 4х2-5х-6=0 мебошад, чунки хднгоми х=2 будан, баробарии 4-22-5-2-6=0 баробарии дуруст аст.

Дар синфи VII хосиятхои асосии зерини муодилахо, ки баробаркуввагии онхоро нигох медоранд, мукаррар карда шудабуд:

1°. Аъзои дилхохи муодиларо аз як кием ба кисми дигари муодила бо иваз кардани аломаташ гузаронидан мумкин аст;

2°. Хдр ду кисми муодиларо ба адади дилхохи гайринулй зарб ё так-им кардан мумкин аст.

Инчунин ислох кардани аъзохои монанд, ба зарбкунандахо хамчун бисёраъзогй чудо кардани ин ё он кисми муодила ва чанде дигар табдилот баробаркуввагии муодиларо нигох медоранд. Дар оянда хангоми халли муодилахои квадратй (дигар муодилахо хам) мо аз хосиятхои 1°-2° ва ин гуна табдилот васеъ истифода мекунем.

Масалан, муодилаиЗх2+4х=х2+5х+6

баъди ба кисми чап гузаронидани хамаи аъзохо ва ислох кардани аъзохои монанд, ба муодилаи квадратии

2х2-х-6=0оварда мешавад (дар он а=2; в=-1; с=-6 аст).

М и с о л и 1. Барои кадон кимати т квадратй будани муодилаи

х3т+5-Зх+2=0-ро муай*л мекунем.

Барои квадратй будани ин муодила зарур аст, ки Ът+5-2 бошад. Аз ин чо т =-1.

М и с о л и 2. К,имаги к-ро меёбем, ки барояш муодилаи 3x2-xfc"2+l=0

квадратй мебошад.Егрои квадратй будани муодилаи мазкур зарур аст, ки к-2

Киматхои 0 ё 1 ва ё 2-ро кабул намояд. Яъне, к киматхои 2,3 ва4 кабул кунад. Хангоми к=2 будан муодилаи 3х2=0,чунки барои хар гуна кимати л: кимати ифодаи хк~2 ба х2'2=х°=1 баробар аст, хангоми /с=3 будан, муодилаи Зх2-х+1=0 ва хангоми к=4 будан, муодилаи 2х2+1=0 хосил мешавад.

155

1. Таърифи муодилаи квадратиро баён намуда, мисолхо оред. 2. Решай муодила гуфта, чиро меноманд? 3. Хосиятхои асосии муодила^оро номбар намоед.

459. Оё муодилаи зерин квадратй аст:а) х2+1=0; б) Зх2-7х+2=0; в) 4-2х=0;г) 3,2х2-2х4+0,8=0; д) 4х2-3=0; е) -х2=0;

ж) х —— = 0; з) 2х3-3=0; и) х2+х=0?4

460. Коэффитсиентхои муодилаи квадратиро нишон дихед:

а) 5х2-8х+3=0; б) у х 2 - 4 = 0; в) Зх2+5х=0;

г) -2х2-5=0; д) х2-х-1=0; е) -Зх2+2х-7=0.461. Аз руйи коэффитсиентхои додашуда муодилаи квадратии

ах2+вх+с=0-ро созед:а) о=2, в=3, с=4; б) а - -2, в=5, с - 1;в) а=-1, в=0, с=9; г) а = \, в=0, с - 0.462. Кадоме аз ададхои -3, 0,1, 2 решахои муодилахои зерин

мебошанд:а) х2-9=0; б) х2-х=0; в) х2-Зх+2=0;г) х2-5х-4=0; в) х2-5х-4=0; е) х2-4=0?463. Муодиларо бо муодилаи ба он баробаркувваи квадратй

иваз намоед:а) (х-1)(х+1)=2х(х+2); б) х2+(х-1)(х-2)=х;в) -х(х+3)=2(х-1)+5; г) 2(х2-Зх-1)=5х(х+2);д) (2х-3)2=(х+2)(х-4); е) -2х2-5(х-1)=х2+3х.464*. Барои кадом кимати к муодилаи:

а) —х 2 - 2х + 3 = 0; б) кх2-хк+1+ 5=0к

квадратй аст?

Машкхо барои такрор465. Графики функсияи

а) у = (1 - л/2)х; б) у = (V8 - 2,1)хдар кадом чорякхои координатавй чойгир аст?

156

4 + 4х + х2 I—466. Кимати ифодаи ------------- + v x -ро хангоми х=0,25 вах + 2

х=36 будан, хисоб кунед.467. Нишон дихед, ки системахои

|2 х + 7^ = 8, [7х + 4у = -13,[5х - З у = -21 ва [2х + 7.у = 8

баробаркувваанд.468. Даравгарон бояд гандумзорро дар 18 руз медаравиданд.

Хдр руз аз супориш 1,4 га зиёдгар заминро даравида, онх,о 2 руз пеш аз мухлат аз супориш 7,4 га зиёд заминро даравиданд. Супориши якрузаи даравгарон чанд гектарро ташкил медод?

V2+1469. Сурати касри — ----- ро аз ирратсионалй озод намоед.

26. МУОДИЛАИ КВАДРАТИИ НОПУРРААгар дар муодилаи квадратии ох2+вх+с=0 акаллан яке аз

коэффитсиентхои в е с баробарй нул бошанд, он гох, ин гуна муодиларо муодилаи квадратии нопурра меноманд. Масалан, муодклах,ои 2х2-0, -Зх2+5=0 ва 7х2-8х=0, муодилах,ои квадратии нопурраанд. Дар муодилаи якум в - с - 0, дар муодилаи дуюм в=0 ва дар муодилаи сеюм с=0 аст.

Умуман, муодилах,ои квадратии нопурра аз руйи намудашон се хел мешаванд;

1) ох2=0;2) ох2+с=0, ки дар ин чо с * 0 аст;3) ах2+вх=0, ки дар ин чо в Ф 0 аст.

Аз хосиятхои асосии муодилахо, ки мо онх,оро дар б. III §8.25 овардаем, истифода карда, тарзи х,алли ин гуна муодилахои квадратиро нишон медихем.

1) Муодилаи ах1- 0 ба муодилаи х2=0 баробаркувва аст. Бинобар ин, вай решай ягонаи ба нул баробарро дорад, чунки танхо квадратй адади нул ба нул баробар аст.

2) Барои пайхас кардани формулаи решахои муодилаи ах2+с=0 аввал мисолхоро дида мебароем.

157

М и с о л и 1. Муодилаи -4х2+20=0-ро хал мекунем.Аъзои озод 20-ро ба кисми рости муодила гузаронида, хар

ду щеми муодилаи хосилшударо ба -4 таксим мекунем:-4х2=-20,х2=5.

Мо ин гуна муодиларо дар б.II §5.15 муоина карда будем.

Мувофики он x = —j5 ва х=-ь[5 решахои муодилаи охирин мебошанд.

Ч, а в о б: х 1 = -V?; х 2 = VJ.М и с о л и 2. Хдлли муодилаи 2х2+7=0-ро меёбем.Аъзои озодро ба кисми рости муодила гузаронида, хар ду

кисми муодилаи хосилшударо ба 2 таксим мекунем:2х2--1 ,х2=-3,5.

Азбаски квадратй адад, адади манфй шуда наметавонад, пас муодилаи хосилшуда реша надорад.

Ч, а в о б: Муодила реша надорад.Чуноне ки барои ёфтани халли мисолхо рафтор кардем, аъзои

озоди муодилаи ах2+ с = 0-ро, ки нул л ест , ба кисми рост гузаронида, хар ду кисмро ба а таксим мекунем. Дар натича муодилаи

ки ба муодилаи ах2+с=0 баробаркувва аст, хосил мешавад.Ду холат имконпазир аст.

сХ , о л а т и я к у м . Агар — > 0 бошад (аломатхои а ва с

а

якхелаанд), он гох - — < 0 аст, барои хамин муодилаи х 2 = - — а а

ва бо ин муодилаи ба он баробаркувваи ах2+с=0 реша надорад.1 2

Масалан, муодилахои х2+1=0, -Зх2-5=0, — х +0,9 = 0 реша

надоранд.

158

сX, о л а т и д у ю м . Агар — < 0 бошад (аломатхои а ва с

a

сгуногунанд), он гох,---->0 аст. Барои хамин муодила ду реша

aдорад (ниг. ба 6.II §5.15):

Масалан, муодилаи х2-4=0 дорой решахои х = - 2 ва х = 2 ,

[25 5муодилаи 9х2-25=0 бошад, дорой решахои х, = = ~~ ва

х2 = = у мебошад.

3) Муодилаи ах2+в.х=0-ро бо рох,и ба зарбкунандахо чудо кардани кисми чап, хал кардан мумкин аст. Зарбкунандаи умумии л>ро аз кавс бароварда хосил мекунем:

ax2+ex=x(ax+e)=0.Х,осили зарб x(ax+e) факат ва факат дар он маврид баробарй

нул аст, агар акаллан яке аз хамзарбшавандахо баробарй нул бошад:

jt=0 ё ах+в=0.

Аз муодилаи хаттии охирин меёбем: х = — . Хдмин тарик,а

муодилаи ох2+вл:=0 хангоми в Ф 0 будан, дорой ду решай х,=0

ва х2 = - — мебошад. а

М и с о л и 3. Муодилаи 4х2+7х=0-ро хал мекунем.Дорем 4x2+7x=x(4x+7)=0. Аз ин чо х=0 ё 4л:+7=0. Аз

7муодилаи охирин * = - — = - 1,75 . Ч а в о б: х =0; х,=-1,75.4 1 ^

Дар охир чамъбасти натичахоро барои хар се намуди муодилаи квадратии нопурра меорем.

1. Муодилаи ах2- 0 танхо як решай х=0-ро дорад.

159

2. Муодилаи ах2+с=0 хангоми якхела будани аломатхои а ва с реша надорад. Хднгоми мукобил будани аломатхо ду реша дорад:

ва

3. Муодилаи ах2+вх=0 ду реша дорад: х =0 ва х 2 = — .а

1. Чй гуна муодиларо, муодилаи квадратии нопурра меноманд? 2. Оид ба намудхои гуногуни муодилахои квадратии нопурра мисолхо оред. 3. Барои кадом киматхои в муодилаи ах2+вх=0 ду решай гуногун дорад?

470. Муодиларо хал кунед:а) 9х2-16=0; б)-х2+6=0;

г ) / - ^ - = ° ; Д) 3 ^1 7 = 0 ;

471. Решахои муодиларо ёбед. a) 1-4jc2=0; б) 49-х2=0;г) 10х2=0,4; д) 3(х2-2)=2(х2-3);472. Муодиларо хал кунед:а) 2х2-5х=0; б) -Зх2+4х=0; г) 5а2-4а=0; д) 9t2-t=0;473. Муодиларо хал намоед:а) 1,2х+6х2=0; б) 2,7x=0,lx2;

г) ~>*2 = 0; д) ^-z(z + 6) = f z ( 5 z - 1 0 ) ; е )3х-2 о

в) -0Дх2-10=0;

е) 2г2-1=0.

в) 10х2-12,1=0; е) 6(3-х2)= 13+5(1 -х2).

в) 8х2+7х=0; е) 2z+z2=0.

в) х(2-х)=х(7+х);

5х22 / 1— z (z + 6) = -3 5 ' " 4

474. Муодила хал карда шавад: а) 2-4х+х2=Зх2+2-5х; б) 10-Зх2=х2-х+10;

4х2 - Зх х 2 + 5х

= 0 .

В) 2 5 ’475. Муодиларо хал кунед: а) (х-1)(х+2)=-2; в) (х-3)(х+3)=2(х2-3); д) (х-7)(х+3)+(х-1)(х+5)=102;

Зх + 7х 7х - 5х

б) х(х-3)=2х(х-1,5)-4; г) 8-(х-2)(х-4)=5х; е) (5х-1)2-1=0.

160

476*. Муодиларо хал кунед:а) х2-4=(х+4)(2х-1); б ) (2х+1)(Зх+2)=7х+20;в) jc-(x -1)2=2x2-1; г) x (7-6x)=(1-3jc)(1+2x );д) 4а2-(а+1)2=-2(а-1); е) (6^+1)0-2)=-11(>-1).477. Х,осили зарби ду адади бутуни пай дар пай аз квадратй

адади якум 1,5 маротиба калон аст. Ин ададхоро ёбед.478. Агар аз квадрат секунчаи масохдташ 36 см2-ро бурида

партоем, масохати кисми бокимондаи квадрат ба 64 см2 баробар мешавад. Тарафи квадратро ёбед.

479. Масохати дойра 1 м2 аст. Радиуси доираро ёбед.480. Масохати квадрат ба масохати доираи радиусаш R

барозар аст. Тарафи квадрат ёфта шавад.

Машкхо барои такрор481. Кимати х-ро ёбед, агар:

2 - х : - _______5 _ 2,4

7 — —1,3 1 -3 5

бошад.482. Ададхоро мукоиса намоед:

а) л/б ва 2,4; б) 2,1 ва ^4,21 .

483. Исбот кунед, ки кимати ифодаи

5 3 20 Л а - 2а + 2 а - 2 а2 -

барои хамаи киматхои имконпазири а аз он вобаста нест.

484. Ба 96 сомонй 4 туб ва 6 пойафзори спортй ё 2 туб ва 7 пойафзол харидан мумкин аст. Туб ва пойафзор чанд сомонй меистанд?

485*. Касрро ихтисор кунед:

ч 8 + 2V7 4 + 2л/3

а) T W T : б) т т т г

161

27. ЁФ ТАН И ХАЛЛ И М УО Д И Л А И КВАДРАТИ БО ТАРЗИ ЧУД О К АРД АН И КВАДРАТИ П У РР А

Муодилаи ква дратии ах2+вх+с=0-ро, ки дар он хар се коэффитсиент а, в ва с нобаробари нуланд, муодилаи квадратии пурра меяоманд. Ин гуна муодиларо бо тарзи чудо кардани квадрати пурраи дуаъзогй хдл кардан мумкин аст. Х,оло мохият ва хусусиягхои ин тарзро дар мисоли муодилахои мушаххас дида мебароем.

М и с о л и 1. Муодилаи квадратиих2-4х-5=0

-ро хдл мекунем.Кисми чапи муодиларо хамчун хосили чамъи ду чфода, ки

якеаш квадрати дуаъзогй аст, тасвир мекунем: х2-4х-5=х2-2х-2+22-22-5=(х-2)2-9.

Хдмин тарик, муодилаи аввала ба муодилаи(х-2)2-9=0

ё ба муодилаи(х-2)2=9

баробаркувва аст. Решахои ин муодила мувофики б.II §5.15 бо формулахои

х - 2 = —\/9 = -3 ва х - 2 = у [9 = 3

ифода мешаванд. Аз ин чо х 1=2-3=-1; х2=2+3=5.Ч, а в о б: jc.=-1; х2=5

М и с о л и 2. Муодилаи х2+8х-9=0-ро хал мекунем.Ифодаи x2+8x=x2+2x-4 квадрати пурра нест. Агар ба он

адади 42=16-ро чамъ кунем, он гох ифодаи jc2+2x -4+16 ба квадрати дуаъзогии х+4 баробар аст. Барои хамин ба кисми чапи муодила адади 16-ро чамъу тарх карда, ба муодилаи ба аввала баробпркувваи

х2+8х+16-16-9=0 ё х2+8х+16-25=0 доро мешавем. Муодилаи охирннро табдил дода, муодилаи

(х+4)2=25-ро хосил мекунем.

Аз ин чо х,+4=-5 ё х2+4=5. Ё ки х 1=-4-5=-9; х2=5-4=1.Ч, а в о б: хх=-9; х2=1.

162

М и с о л и 3. Муодилаи х2-7х+5=0-ро хал мекунем.Табдилоти заруриро гузаронида хосил мекунем:

х2-2х-3,5+5=0, х2-2х-3,5+(3,5)2-(3,5)2+5=0

(х-3,5)2-12,25+5=0,(х-3,5)2=7,25,

x -3 ,5 = -V ^ 5 ё х - 3,5 =

х, = 3 ,5 -V ^ 5 = 3 , 5 - ^ ^ ё х2 =3,5 + V^5 =3,5 + ^ Е .

7 - J29 1 + л/29"Ч, а в о б: Хх = ---- ----- ; х 2 = ---- ----- .

М и с о л и 4. Решахои муодилаи х2-2х+5=0-ро меёбем. Дорем

х2-2х+5=0, х2-2х-1 + 1-1+5=0,(х-1)2+4=0,(х-1)2=-4.

Ч, а в о б: Муодила реша надорад.М и с о л и 5. Решахои муодилаи Зх2-7х+2=0-ро меёбем. Дар ин муодила коэффитсиенти якум 3 буда, 1 нест, чй тавре

ки дар мисолхои 1-4 буд. Барои хамин, хар ду кисми муодиларо ба 3 таксим намуда, ба муодилаи квадратии

2 7 2 „х -----х + — = 0

3 3доро мешавем.

Дар муодилаи мазкур квадрати пурра чудо карда, онро хал мекунем:

7 _ _ _ /25_ .. 125_

6 ~ Vзб е * 2 б ~ \ 36

7 5 . . 7 5х. — = — е х, — = —,

1 6 6 2 6 6

1х, = —

1 3 2л: =2.

3Э з о х- Чй тавре аз халли муодилах,ои 1-5 дарк кардан мумкин

аст, барои аз дуаъзогии х 2+2ах чудо кардани квадратй пурра ба он а2-ро зам кардан лозим аст. Мувофикан, барои аз х2+ах

квадратй пурра чудо кардан, ба он

зарур аст.

' а }ч 2 у

2 а2 = — -ро чамъ кардан

1.Тарзи истифодаи формулами зарби мухтасарро барои чудо кардани квадратй пурра аз дуаъзогии квадратй фахмонед.2. Мох,ият ва хусусиятхои тарзи чудо кардани квадратй пурраро барои ёфтани решахои муодилаи квадратй дар мисолхои мушаххас фахмонед.

486. Чунин адади /и-ро ёбед, ки ифодаи додашуда барои он квадратй пурра аст:

а) х2+4х+т ; б) лг2+15х+/и; в) х 2-т х+9;

г) х 2+т х+4; д) х 2 + тх + —; е) х 2-0,5х+т.4

487. Аз ифода квадратй пурра чудо кунед:

a) jt2+2x+5; б) х2+%х-7;

488. Муодиларо хал кунед:

a) jt2+2x+5; б) х2+8лг-7; в) 5jc2-4jc+3; г) х 2 - — +1.

а) лс2+10л:+25=0; 6 ) * 2- * + j = 0 .

489. Решахои муодиларо ёбед:а) х 2-6х-1=0; б) x2+8jc-1=0;в) x2-4x+10=0; г) л:2-8л>9=0.

164

490. Муодиларо хдл намоед:а) х2-5х+6=0; б) х2+2х+1=0;в) х2-2х-3=0; г) х2-5х-6=0.


, 1а) х 2+ х + - = 0; б) х2+4х-12=0;

в) х2+х-6=0; г) х2-2х-1=0.492. Решахои муодиларо ёбед:а) Зх2-7х+2=0; б) 2х2-х-3=0;в) 5х2+4х-12=0; г) Зх2+2х-5=0.

Машкхо барои такрор493. Нишон дихед, ки кимати ифодахоиа2+1; (а+ЗУ; За2+5; (а-5)2+4

барои хар гуна ададй дилхохи а мусбат аст.


б) (>/б - л/3 - л/18 Х>/б - л/108 -

495. Ифодаро ба зарбкунандахо чудо намоед: а) 16-х4; б) 16х4-81/.


(2 х - 4 )2 а2+6а + 9

а) ( 2 - х ) 2 ; б) (2а + 6)2 '

497. Нишон дихед, ки кимати ифодаи

(л/4 + 2л/з + V 4 -2 л/ з )2

ададй бутун аст.

§ 9. Ф О Р М У Л А И Р Е Ш А Х О И М У О Д И Л А И К В А Д Р А Т И

28. ХДЛЛИ М УО Д И Л А И КВАДРАТИ АЗ Р У Й И Ф О РМ У Л А

Тарзи чудо кардани квадрати пурра, ки мо онро дар банди пешина дар мисоли муодилахои мушаххас муоина намудем, имкон медихдд, ки муодилаи квадратии дилхох хал карда шавад. Вале баъзан ин тарз табдилдихии зиёдеро талаб менамояд. Аз хамин сабаб, одатан муодиларо ба намуди умумй хал намуда, формулаи решахои онро хосил менамоянд ва сонй аз руйи ин формула решай муодилаи дилхохро меёбанд. Масалан, дар синфи V I барои решай муодилаи хаттии а х+ в -0

формулаи х = - — -ро хосил карда будем. а

Х,оло, ба формулаи решай муодилаи хаттй монанд, формулае хосил мекунем, ки тавассути он решахои хар гуна муодилаи квадратиро ёфтан мумкин аст. Тарзи хосил кардани ин формула, айнан рафти халли мисоли 5-и б.III §8.27-ро мемонад.

Муодилаи квадратииах2+ в х + с= 0 (1)

-ро. ки дар он а ф 0 аст, дида мебароем. Х,ар ду кисми муодиларо ба а аъзо ба аъзо таксим карда, муодилаи ба он баробаркувваи

2 е Сjc + —х + — = О а а

-ро хосил мекунем. Хдлли ин муодиларо бо тарзи чудо кардани квадрати пурра меёбем. Барои ин дар кисми чапи муодила квадрати пурра чудо мекунем:

лг2 + '*-- 62а

/ \2 / \1 ' 1— 1{ 2 а } { 2 а )

с

а

(Барои хосил кардани квадрати пурра ба хар ду кисми

муодила адади/ \ в

l a

2С

-ро зам карда, аъзои озоди — -ро аз кисмиа

166

чап ба кисми рост гузаронидем.) Баробарии болоиро акнун ин тавр навишта метавонем:

л: + -2 а

в

2 а

с

а

\2X +

в2 - 4ас

4 а2 (2)

М уодилаи (2) бо муодилаи (1) баробаркувва мебошад.

в2 - 4 асШумораи решахои он аз аломати касри

4авобаста аст.

Азбаски а * 0 аст, пас 4а2 ададй мусбат мебошад. Бинобар ин, аломати ин каср бо аломати ифодаи в2-4ас якхела аст.

Т а ъ р и ф. Ифодаи в2-4ас дискриминанти муодилаи квадратии ах2+ в х + с = 0 ном дошта, бо харфи D ишорат карда мешавад: D = e 2-4ac.

("Дискриминант" калимаи лотинй буда, маънои муайян- кунандаро дорад, чунки аломати D , чй тавре хохем дид, мавчудият ва микдори решахоро муайян менамояд).

Вобаста ба аломати D се мавриди гуногуни имконпазирро дида мебароем:

1) Агар D = e2-4ac>0 бошад, он гох ифодаи = у/в2 - 4 ас маъно дорад. Муодилаи (2)-ро дар намуди

- \2х + -

2ал/е2 -4 ас

2 а

навишта, аз он мувофики б.II. §5.15 хосил мекунем:

у/в2 - 4 ас

2 а

в ~ ylв2 - 4 асх + — = -------------

2а 2 а

Хдмин тарик, дар ин маврид муодилаи (1) дорой ду решай гуногун мебошад:

- в - у/в2 - 4 ас - в + л/в 2 - 4ас2а 2 а

167

Дар амалия ба чойи ин ду навиштачот чунин навишти мух- тасар кабул шудааст:

ки онро формулаи решахои муодилаи квадратй меноманд.2) Агар D = e 2-4ac=0 бошад, муодилаи (2) чунин намуд

мегирад:

Аз ин чо

Хдмин тарик, дар ин маврид муодилаи (1) дорой як решай

Формулаи решахои муодилаи квадратй (3) дар ин холат низ татбищнаванда мебошад. Дар хакикат, хангоми D =О будан, формулаи (3) намуди

-ро мегирад, яъне дар хакикат х, = х2 = аст.2 а

3) Агар D =e2-Aac<0 бошад, он гох кисми рости (2), ки ба

Dбаробар аст, адади манфй мебошад. Азбаски квадратй

хар гуна адад, адади манфй шуда наметавонад, пас дар ин маврид муодилаи (2) ва бо хамин муодилаи ба он баробаркувваи (1) хал надорад.

Инак, муодилаи квадратй вобаста аз аломати дискриминант метавонад дорой ду реша (хангоми D>0 будан), дорой як реша (хангоми Z>=0 будан) бошад ё умуман реша надошта бошад (хангоми D<0 будан).

в

в

Э з о х, и 1. Ф ормулаи (3 ) кангоми мусбат будани дискриминант, яъне хднгоми D - e 2-4ac>0 будан, х,осил карда шудааст. Дар ин маврид формулаи (3) ду решай гуногуни муодилаи (1)-ро медихдд. Вале дар амалия формулаи (З)-ро барои ёфтани х,алли муодилаи квадратии дилхох, татбик кардан мумкин аст. Гап дар сари он аст, ки хднгоми D =0 будан, дар формулаи (3) ифодаи дар тахти решабуда нул аст, барои хдмин вай як решаро муайян мекунад.

Рафту агар D = e 2-4ac<0 бошад, он гох, дар формулаи (3) ифодаи дар тах,ти решабуда манфй аст. Бинобар ин, кисми рости формулаи (3) маъно надорад. Ин ба реша надонггани муодилаи (1) баробаркувва мебошад.

Хулоса, барои ёфтани решахои муодилаи квадратии дилхох, мо асосан формулаи (З)-ро истифода мекунем.

М и с о л и 1. Муодилаи 3x2-lCbc+3=0 -ро кал мекунем.Дар ин муодила а=3, в=-10, с=3 аст. Мувофики формулаи (3):

-(-10)±V(-10)2-4-3-3 _ 10±Vl00-36

2-3 6

10 ±>/б4 10 ±8

Аз ин чо

1 0 -8 1 10 + 86 _ 3 ’

х2 = -------= 3.

Ч а в о б: х, = - j; х2 =3.

М и с о л и 2. Решах,ои муодилаи 4х2+12х+9=0-ро меёбем. Дар ин муодила а=4 в=12, с - 9 аст. А з руйи формулаи (3):

— 12±Vl22 - 4-4-9 _ -12±Vl44-144

^■2 2-4 “ 8

—12 ± л/о _ —12 " 8 8

Ч, а в о б: -1,5.

= -1,5.

169

М и с о л и 3. Муодилаи 5х2-11х+7=0-ро хал мекунем. Дар ин муодила а =5, в=-1\, с -1 .

- ( - l l ) ± V ( - l l ) 2-4-5-7 11± л/121-140 П ± уГ А 9

Х'Л ~ 2-5 " 10 10

Азбаски 7-19 маъно надорад, пас муодила дорой реша нест.

^ а в о б: Муодила реша надорад.Э з о х, и 2. Агар e-коэффитсиенти дуюми муодилаи (1) ададй

чуфт бошад, он гох, формулаи решахои муодилаи квадратиро дар намуди мувофиктар навиштан мумкин аст. Дар хакикат, азбаски в чуфт аст, пас чунин ададй бутуни п ёфт мешавад, ки в=2п аст, яъне муодилаи (1) намуди

ах2+2пх+с=0-ро дорад. Пас, мувофики формулаи (3):

_ - 2 п ± д/(2п)2 -4 а с - 2 п ± 2J n2 - ас _ - п ± -Jn2 - х _ - _ _ -2 -а 2а а

ас

Зохиран фахмост, ки агар п2-ас<0 бошад, он гох муодила реша надорад.

М и с о л и 4. Муодилаи Зх2-4х+1=0 -ро хал менамоем. Мувофики формулаи дар боло овардашуда («=-2):

- ( - 2 )± V ( - 2 )2 _ 2 ± У 4 -3 _ 2 + л/Г _ 2 + 1хи - 3 з - з - з

Чдвоб: х2 = \.

1.Кадом ифодаро дискриминанти муодилаи квадратй меноманд? 2. Формулаи решахои муодилаи квадратиро нависед.3. Муодилаи квадратй чанд реша дошта метавонад? 4. Хднгоми ададй чуфт будани коэффитсиенти дуюми муодилаи квадратй бо кадом формула ёфтани решахои он мувофиктар аст?

498. Муодиларо хал накарда, муайян кунед, ки вай реша дорад ё на:

а) 2дг2+5л:-7=0; б) 3jc2-7jc+ 11 =0;в) 4лг2+4л:+1=0; г) Г2-2/+2=0?

170

499. Муодиларо хдл накарда, муайян кунед, ки вай дуто решай гуногун дорад ё на:

а) 5х2+7х-8=0; б) 7x2-6x+2=0;в) 9х2+12л-+4=0; г) 6x2+13x+6=0?500. Муодиларо хал накарда, муайян кунед, ки вай якто реша

(дуто решай якхела) дорад ё на:а) 16х2-24х+9=0; б) х2-5х+6=0;в) 9х2+30х+25=0; г) 9х2-Зх+0,25=0?501. Муодилаи квадратиро хал кунед: а) Зх2-7х+4=0; б) f-1 0 y -2 4 =0 ; в) р*+р-90=0; г) 2х2-5х+2=0; д) 2х2-7х-4=0; е) 3х2-10х+3=0; ж) 5v2-8v+3=0; з) 4г2-4г+1=0.502. Муодиларо хал кунед:а) 9х2-6х+1=0; б) l f + l y + 5 ^ ;в) Зр2+9р+Ю =0; г) 18х2-15х+2=0;д) 50х2-35х+6=0; е) 12w2+36m+27=0;ж) 45г2+60г+20=0; з) х2-6х+8=0.503. Решахои муодиларо ёбед:а) 4х2+х-33=0; б) 2х2+ х + 1,4=0;в) -j^+3y+5=0; г) 18+Зх2-х=0;д) 16х+12х2-3=0; е) 5-14х+8х2=0;ж) l+36/-12j>=0; з) 5/-2+12г2=0.504. Барои кадом киматхои х:а) кимати сеаъзогии х 2-5х-5 ба 1 баробар мешавад?б) киматхои бисёраъзогихои х2-5х+7 ва 2х-5 баробаранд?в) кимати дуаъзогии 2х-1 ба кимати сеаъзогии Зх2-5х+1

баробар аст?г) кимати сеаъзогии -2х2+х+6 бо кимати дуаъзогии х2-2х

якхела аст?505. Барои кадом кимати х\а) дуаъзогихои х 2-х ва 4х+6;б ) сеаъзогихои 1х2-6х+% ва х 2+ х + 1 дорой киматхои

баробаранд?506. Муодилаи квадратиро хал кунед: а) 2х2=10-лг; б) -5х2=9х-13;в) 10-у=2у2; г) у-3=у2- 15.

171


а) - -х2 -Зх + 5 = 0; б) ^ х 2 + 2 х -7 = 0;

в) 2х2+ —х —— = 0; г) Зх2“ Х + - - = 0.3 6 2 6

508. Решахои муодиларо ёбед:а) 16=15х-х2; б) 2^-3=5у;в) х2-10х=10х-96; г) х=30-х2.509. Муодилахоро хал кунед:а) х(х+3)=3; б) 5х(х-4)=х2-16х-1;в) 9х(х+1)=Зх-1; г) (х+1)(х-2)=х-4.510. Муодилахоро хал кунед:а) (2х+1Хх+2)=1+(х-1)(Зх+1); б) (Зх-1 )(х-2 )+ (х+1 )(х+2)= 12; в) -х(х+7)=(х-2)(х+1); г) (3х-1)(х+3)=х(1+6х).511. Решахои муодиларо ёбед:а) (х+2 )2=10х-1; б) (2х-3)2=8х+9;в) Зх2+51=7(х+1)2; г) (х-1)2-5=(2-х)2.512. Муодилахоро хал кунед:

х2 — 1 4х2 — 1а) — - 7х = 7; б) = х(10х-9);

х2 - х 5х-5 4 1 з 1в ) — -— = — -— ; г) —х — х = —х — .

3 2 5 4 4 5513. Муодиларо хал кунед:а) 0,7х2=1,Зх+2; б) 7-0,47=0,2/;в) х2-1,6х=0,36; г) х2-2х=-2,31.514. Оё чунин кимати а вучуд дорад, ки барояш баробарй

дуруст аст (агар вучуд дошта бошад, онро ёбед):а) 2а+1,2=За2+1,45; б) 0,1а-1,4=0,09а2+0,01?

Машкхо барои такрор515. Кдшати ифодаро хангоми х=0,5 будан, ёбед:

х + 1 х — 1 ____2__

2 х -2 2х + 2 1 -х 2

172

516. Хисоб кунед:

V29-12V5 -V 29 + 12V5.517. Касри дахии давриро ба касри ратсионалй гардонед:

а) 1,(10); б) 0,1(01).518. Муодиларо хал кунед:

v 2х х + 18 „ х х -1 2х + 1 Зх-1а ) -------------------= 2 3 + — ; б ) ----------------------= -----------.

5 6 30 3 5 4519. Бе сохтани графикхо координатахои нуктаи буриши

графикхои функсияхои хаттии:а) у=5х-2 в а _у=2х-ро ёбед;б) у=4х-9 ва у=3-ро ёбед.

29. ХАЛЛИ М АС Ъ АЛАХО И М А ТН И БО ЁРИИ М УОДИЛАХ,ОИ КВАДРАТИ

То хол тарзхои гуногуни хал кардани муодилаи квадратиро муоина карда, дойр ба манбаъхои вокеъии пайдоиши ин гуна муодила чизе нагуфтем. Вале дар б.Ш. §8.25 кайд шуда буд, ки муодилаи квадратй яке аз мухимтарин мавод (аппарат)-и математики мебошад. Сабаби ин дар он аст, ки масъалахои гуногуни математика, физика, техника ва дигар илмхои амалй бо ёрии муодилахои квадратй хал карда мешаванд. Халли чанд масъалаи матнии поён гувохи ин гуфтахоянд.

М а с ъ а л а и 1.Як тарафи росткунча аз дигараш 6 см хурд буда, масохаташ 40 см2 аст. Тарафхои росткунчаро ёбед.

X, а л. Бигузор тарафи калони росткунча х см аст. Тарафи дигараш (х-6) см буда, масохаташ ба х(х-6) см2 баробар аст. Мувофики шарти масъала дорем:

х(х-6)=40ё

х2-6х-40=0.Аз ин чо

6±-\/36 + 4-40-1 6±V l96 6±14х,, = ---------------------= ------------= --------

2 2-1 2 2х = - 4 ; х 2=10.

173

Климата х мувофики маънои масъала бояд адади мусбат бошад. Ин шартро танхо решай дуюм, яъне адади 10 каноат мекунонад.

Ч а в о б: 10 см ва 4 см.М а с ъ а л а и 2. Ч,исм бо суръати аввали 25 м/сония амудан

ба боло партофта шуд. Баъди чанд сония вай дар баландии 20 м мешавад?

X, а л. Аз курси физика маълум аст, ки агар муковимати х,аво ба эътибор гирифга нашавад, он гох, баландии h (бо метр), ки чисми ба таври амудй ба боло партофташуда баъди t сония дар он вокеъ аст, бо формулаи

ифода мешавад, ки дар ин чо У0-суръати аввала (бо м/сония), g-шитоби озодафтй, ки такрибан 10 м/сония2 мебошад.

Киматхои h=20 мм ва v0=25 м/сония-ро ба формула гузошта хосил мекунем:

20=25г-5г2.Аз ин чо

5г2-25г+20=0.Барои осонии хисоб хар ду кисми муодиларо аъзо ба аъзо ба

5 таксим мекунем:r2-5r+4=0.

Муодилаи квадратии хосилшударо хал намуда меёбем, ки t= \ ва t = 4 мебошад.

Хдмин тавр, чисм пас аз 1 сония дар баландии 20 м вокеъ буда, пас аз он як муддат амудй харакат карда, сонй ба паст фуромадан cap мекунад. Чисм баъди 4 сония боз дар баландии 20 м мешавад.

Ч а в о б: Баъди 1 сония ва баъди 4 сонияи болопартой чисм дар баландии 20 м аст.

М а с ъ а л а и 3. Оё секунчаи росткунчае вучуд дорад, ки тарафхои он бо се адади токи пай дар пай ифода шаванд?

X, а л. Фарз мекунем, ки чунин секунча вучуд дорад ва ададхои гоки пай дар пай 2и+1, 2я+3 ва 2«+5 тарафхои он хастакд. Мувофики теоремаи Пифагор квадрата гипотенуза ба суммаи квадратй катетхо баробар аст, яъне

174

(2п+ 1 )2+ (л+3 )2=(2л+5)2.Муодилаи хосилшударо сода мекунем:4я2+4л+1+4л2+12л+9=4л2+20л+25,4л2-4л-15+0.

Аз ин чо меёбем: л, = -1—; щ = 2—.1 2 2 2

Решахои х,осилшуда бутун нестанд, пас ба саволи масъала чунин чавоб додан мумкин аст: се адади токи пай дар пай мавчуд нест, ки тарафхои секунчаи росткунча ба онхо баробар бошанд.

520. Хосили зарби нисфи адад бар сеяки он ба 24 баробар аст. Ин ададро ёбед.

521. Хосили зарби ду адади натуралй, ки яке аз дигараш 2 вохдц калон аст, ба 63 баробар мебошад. Ин ададхоро ёбед.

522. Адади 130-ро ба намуди хосили зарби ду адад, ки яке аз дигаре 3 вохид хурд аст, ифода намоед.

523. Оё секунчаи росткунчае мавчуд аст, ки тарафхояш бо се адади натуралии пай дар пай ифода меёбад?

524. Оё чунин секунчаи росткунчае вучуд дорад, ки тарафхояш бо се адади чуфти пай дар пай ифода мешавад?

525. М ол ба микдори фоизе, ки ба нархаш баробар аст, кимат карда шуд. Нархи молро ёбед, агар маълум бошад, ки вай 2,25 сомонй кимат шудааст.

526. Дарозии китъаи росткунчавй аз бараш 5 бор калон аст. Хднгоми бари кдтъаро 9 м зиёд кардан масохати он 4 маротиба меафзояд. Андозахои аввалаи китъаро ёбед.

527. Дарозии китъаи замини росткунчавй аз бараш 5 бор калон буда, масохаташ 720 м2 аст. Дарозй ва бари китъаро хисоб кунед.

528. Бари росткунча аз дарозиаш се бор кам аст. Дарозии росткунчаро ёбед, агар маълум 'ошад, ки масохаташ 27 см2 мебошад.

529. Нисбати катетхои секуп1 аи росткунча 5:12 буда, гипотенузааш 26 см аст. Катет\оро ё^ед.

530. Тарафхои росткунчаеро ёбед, кл масохаташ 72 см2 буда, периметраш 18 см аст.

531. Хосили зарби ду адади натуралй ба 75 ва хосили чамъашон ба 20 баробар аст. Ин ададхоро муайян намоед.

175

532. Гипотенузам секунчаи росткунча ба 13 см баробар аст. Яке аз катетх,о нисбати дигарй 7 см зиёд аст. Катетхои секунчаро ёбед.

533. Периметри росткунча ба 85 см баробар буда, диагоналаш 32,5 см аст. Тарафхои росткунча ёфта шаванд.

534. Дарозии яке аз катетхои секунчаи росткунча аз гипотенуза 3 см хурд ва катети дигар аз гипотенуза 6 см хурд мебошад. Дарозии гипотенузаро ёбед.

535. Ду ададй натуралии пай дар пайро ёбед, ки суммаи квадратхои онхо ба 221 баробар бошад.

536. Тол ори мактаб 192 чойи нишаст дорад. Шумораи чойхои нишасти хар як кдтор аз шумораи умумии каторхо 4-то зиёд аст. Дар толор чанд кдтор чой хает?

Машкхо барои такрор537. Ифодаро сода намоед:

' а + 1 1 2а+ 2^2(а-1 ) 2a2- 2 j а + 2 '

538. Ададй номаълуми х-ро аз таносуб ёбед:

ч о ' т с ш л ч Ч п а + 1 в2-1а) 3,75:10,4 = 3— :х; б ) ---- - = -------.13 а - 1 ах

539. Зарбкунандаро аз тахти реша бароред:

а) (д + е), — -* Т Г ; б) , ]5 (х2 +2ху + у 2).\(а + в)

540. Барои кадом кимати в баробарй дуруст аст:а) в:32=3; б) в4:49=72?541. Дар касса 98-то тангахои 1, 3 ва 5 сомонй хает. Тангахои

3 сомонй нисбати 1 сомонихо 7 бор зиёд аст. Дар касса чандтой тангахои 1, 3 ва 5 сомонй хает?

30. М У О Д И Л А И КВАД РАТИ И ИСЛОХДГУДА ТЕ О РЕ М А И ВИЕТ

Т а ъ р и ф. Муодилаи квадратии коэффитсиенти якумаш баробарй якро муодилаи квадратии ислохшуда меноманд.

М гсалан, муодилахои х 2-7х+10=0 ва х 2+10х-25=0 муодилахои ислохшуда мебошанд.176

Дар муодилаи квадратии ислохдгуда коэффитсиенти дуюмро бо хдрфи р ва аъзои озодро бо хдрфи q ишорат мекунанд:

Формулахои решахои ин муодиларо меорем. Барои ин аз формулаи (3)-и 6.28, ки он решахои муодилаи квадратии умумии

ах2+вх+ с=О-ро ифода мекунад, истифода мебарем, яъне аз формулаи

Муодилаи ислохшудаи (4) бо муодилаи намуди умумй, ки дар он а= 1, в=р, c —q аст, якхела мебошад. Дискриминанта муодилаи (4) D ба p?-4q баробар аст. Хднгоми D >0 будан, вай дорой ду реша мебошад. Бинобар ин, формулаи решахои (4) намуди

-ро дорад.Байни коэффитсиентхои муодилаи квадратии ислохшудаи (4)

ва решахои он вобастагихое чой доранд, ки онхо ба математики машхури франсавй Франсуа Виет (1540-1603) мансуб буда, хамчун теоремаи ба у хамном маъмул аст.

Т е о р е м а и В и е т . Суммаи решахои муодилаи квадратии ислохшудаи (4) ба коэффитсиенти дуюми бо аломати мукобил гирифташуда баробар буда, хосили зарби решахо ба аъзои озод баробар аст.

И с б о т . Бигузор JCj ва х г решахои муодилаи (4) бошанд.

Нишон додан даркор аст, ки х ^ + х ^ -р ва х1 -x2 = q мебошад.

Мувофики формулаи (5)

x 2+p x+ q=0. (4)

в ± \ в 2 - 4 ас

2 а

2е

(5)

Сумма ва хосили зарби решахоро хдсоб мекунем:

Инак, х х+ х = -р ва xx-x2 = q аст.

Дурустии теорема исбот карда шудааст.Э з о х, и 1. Хднгоми D =p1-4q=0 будан, муодилаи (4) якто

реша дорад. Агар чунин шуморем, ки х,ангоми D = 0 будан, муодилаи квадратй дорой ду решай баробар мебошад, яъне,

рх, = х2 = аст, он гох,

Р Р* i+ *2 = 2 ~ 2 = ~ Р ’ =

L i Р 2 4 4 ^

Хдмин тарик, дар ин х,олат хдм теоремаи Виет дуруст аст.Э з о х, и 2. А з теоремаи Виет истифода карда, вобастагии

байни решахо ва коэффитсиентх,ои муодилаи квадратии умумииах2+вх+с=0

-ро мукаррар мекунем. Ин муодила ба муодилаи квадратии ислохдиудаи

2 в Сх + —хн— = 0

а абаробаркувва аст. Бинобар ин, мувофики теоремаи Виет:

в сX,-х2= - .

а а

Ачоибаш ин аст, ки тасдикоти баръакс нисбати тасдикоти теоремаи Виет низ дуруст мебошад.

178

х, + х2 - — ,

Т е о р е м а (теоремаи баръакси Виет). Агар суммаи ададхои т ва п ба -р ва хосили зарбашон ба q баробар бошад, он гох онхо решахои муодилаи квадратии ислохшудаи (4) мебошанд.

И с б о т . Мувофики шарт т +п=-р ва mn=q аст. Пас, муодилаи (4)-ро дар намуди

х 2-(т +п )х+т п =0 навиштан мумкин аст. Ба чои х дар муодила адади m-ро гузошта, хосил мекунем:

т2-(т +п )т +т п =т 2-т 2-т п+т п=О, яъне, адади т решай муодилаи (4) аст. Айнан хамин тавр нишон дода мешавад, ки адади п решай муодила мебошад.

Дурустии теоремаи баръаксро нишон додаем.Акнун мисолхои татбики теоремаи Виет ва теоремаи

баръакси онро дида мебароем.М и с о л и 1. Сумма ва хосили зарби решахои муодилаи

4х2-7х+3=0-ро меёбем.

Дискриминанта муодила D = ( -7 )2 -4-4-3 = 49-48 = 1 адади мусбат аст. Пас, муодила дорой ду решай гуногун мебошад.

7 3Мувофики эзохи 2 хосили чамъи решахо ба — = 1— ва хосили

3зарбашон ба — баробар аст.

Теоремаи баръакси Виет имкония г медихад, ки дуруст будани решахои ёфташудаи муодила санчида шавад.

М и с о л и 2. Муодилаи х2+3х-54=0-ро хал карда, дуруст будани решахоро аз руйи теоремаи баръакс месанчем.

Мувофики формулаи решахои муодилаи квадратии ислохшудаи (5) дорем:

3 , 19 , . 3 ^ 225 3 15х, 2 = — + J—+ 54 = — + J ---- = — ± — .

2 V 4 2 V 4 2 2

Аз ин чо Xj=-9; х2=6.Акнун нишон медихем, ки решахои муодила дуруст ёфт

шудаанд. Дар муодила коэффитсиенти р ба 3, аъзои озод q ба -54 баробар аст. Суммаи ададхои ёфташудаи -9 ва 6 баробарй -3 ва хосили зарби онхо баробарй -54 мебошад. Пас, мувофики

179

теоремаи баръакси Виет ин ададхо решахои муодилаи х2+Зх-54=0 мебошанд.

М и с о л и 3. Муодилаи:

-ро хал накарда, аломати решахояшро муайян мекунем.а) Азбаски а = 6>0, с=-12<0 аст, пас D = e 2-4ac>0 , яъне

муодила дорой ду решай туногун аст. Х,осили зарби ин решахо ба ададй манфй -12 баробар аст, бинобар ин, аломати решало гуногун мебошад.

б ) Азбаски D = (17)2 -4-6-12 = 289-288 = 1>0 аст, пас

муодила ду реша дорад. Хрсили зарби решахо ба ададй мусбат

12— = 2 баробар аст, бинобар ин, аломати реш ало якхела аст.6

17Суммаи решахо ададй мусбати — аст, пас хар ду реша

6мусбатанд.

Аз теоремаи баръакси Виет истифода карда, аз руйи ду ададй додашудаи дилхох муодилаи квадратие сохтан мумкин аст, ки ин ададхо решахои он мебошанд.

М и с о л и 4. Муодилаи квадратиро, ки решахояш ададхои х = - 4 ва х 2=6 хастанд, месозем.

Мувофики додашудахо

Муодилаи матлуб, муодилаи х 7-2х-24=0 мебошад.К|айд мекунем, ки барои хар гуна а * 0 ададхои -4 ва 6

решахои муодилаи а(х2-2х-24)=0 низ хастанд.

а) 6х2-х-12=0; б) 6x2-17jc+12=0

х 1+ х 2= -4 + 6 = 2 . х, • х2 = -4 ■ 6 = -24.

М и с о л и 5. Муодилаи квадратиро, ки решахояш х\= ~ д

ва х2 = — мебошанд, менависем:6

8 + 5 ___1 8 5 _ _20

180

х2+ -^ -х - -^ = 0 ё 54х2+Зх-40=018 27

мебошад.

1. Теоремаи Виетро баён кунед ва онро исбот намоед.2. Сумма ва хосили зарби решахои муодилаи квадратии ах2+вх+с=0 ба чй баробар аст? 3. Теоремаи баръакси Виетро баён карда, онро исбот намоед. 4. Татбики ин теоремахоро дар мисолх,о фахмонед.

Муодилаи матлуб

542. Сумма ва хосили зарби решахои муодиларо ёбед: а) 2х2-9х+10=0; б) jM 0 j>+14=0;в) х2-270х=0; г) 5х2+12х+7=0;д) -л:2+х=0; е) jc2-14x +46=0;ж) х2+12х+31=0; з) х2+9х-6=0.543. Муодиларо хал накарда, аломати решахояшро муайян

намоед:а) х2+4х-5=0; б) х2+5х+3=0;в) х2-5х+3=0; г) х2-8х-7=0;

д) 5х2+17х+16=0; е) 73х2-12х-7л/з=0;

ж) х2 - у[Ех +1 = 0; з) Зх2+6х-5=0.544. Муодиларо хдл намуда, дурустии решахоро аз руйи

теоремаи баръакси Виет санчед:a) 4х2-5х-6=0; б) 5х2-8х-4=0;в) х2-2х-15=0; г) 2х2+5х-3=0;д) 12х2-4х-1=0; е) х2-8=0;ж) Зх2-7=0; з) 7х2-9х=0.545. Дар муодилаи х 2+рх-24=0 яке аз решахо ба 6 баробар

аст. Решай дигар ва коэффитсиенти р-ро ёбед.546. Яке аз решахои муодилаи х2-12х+<7=0 ба 12,5 баробар

аст. Решай дигар ва коэффитсиенти q-тро ёбед.547. Яке аз решахои муодилаи Зх2+вх+15=0 ба 7 баробар

аст. Решай дигар ва коэффитсиенти e-ро ёбед.548. Яке аз решахои муодилаи 8х2-12,5х+с=0 ба 2 баробар

аст. Решай дигар ва коэффитсиенти с-ро ёбед.

181

549. Фарки решахои муодилаи квадратии х2-12х+<7=0 ба 2 баробар аст. Решало ва q-ро ёбед.

550. Фарки решахои муодилаи квадратии 2х2-х+с=0 ба 6 баробар аст. Решахо ва с-ро ёбед.

551*. Решахои ва х 2-и муодилаи Зх2-8х-15=0-ро хисоб накарда, кимати ифодаи:

а) — + — ; 6 ) x f + x %х1 х2

-ро ёбед.552. Нишон дихед, ки муодила решахои аломаташон

якхеларо надорад:а) 4х2+231х-1=0; б) 2х2-437х-7=0.553. Муодилаи квадратии ислохшударо аз руйи решахои

додашудааш созед:а) 5 ва 7; б) -2 ва 3; в) -4 ва -0,4;

4 4 1г) 2,5 ва -3; д) - — ва —; е) 1— ва 0,2;

ж) 0,2 ва -3,2; з) -0,1 ва 0,2; и) 0,5 ва -0,3.

Машкхо барои такрор554. Касрро ихтисор кунед:

а ) ^ ; 6)2х + 3 6 -2 а

555. Кимати ифодаи

(у x - y f y f + 4 Jxy

х + у[ху + 1

-ро хангоми х=4 ва у= 6 будан, хисоб кунед.556. Муодиларо хал кунед:

х х (х - 3) х Q х(х + 3) t 8 + х 2

6 2 ’ 3 4557. Графикро насохта, координатахои нуктахои буриши

графики функсияи у= 11х-2,2-ро бо тирхои координатавй муайян намоед.

182

§10. М У О Д И Л А Х О И Р А Т С И О Н А Л И И К А С Р И

31. ХАЛЛИ М УО Д И ЛАХ О И РАТС И О Н АЛИ И КАСРЙ

Муодилахое, ки кисми чап ё рости онхо, ё хдр ду кием, ифодах,ои ратсионалианд, муодилахои ратсионалй ном доранд. Масалан, муодилахои:

^ ± 1 = 3 (7 -х ), Зх2 - 2х = 1, х - — = -З х -2 , -3 х 2х + 3 х + 7

муодилахои ратсионалианд.То хол мо муодилахои ратсионалиеро муоина карда будем,

ки киемхои чапу рости онхо ифодахои бутун буданд, яънемахрачхояшон тагйирёбанда надоштанд. Ин гуна муодилахоромуодилахои бутун меноманд. Муодилаи ратсионалй, ки кисмичап ё росташ ва ё хар ду кисмаш ифодаи каерй аст, муодилаи<асрй ном дорад.

Масалан, дутой муодилахои аввалаи дар боло овардашудамуодилахои бутун буда, дутой бокимонда муодилахоиратсионалии каерй мебошанд.

М и с о л и 1. Муодилаи бутуни

2г-1 х я ,-------- + - = 2,5х

4 3-ро хал менамоем.

Ха о ду кисми муодиларо ба хурдтарин махрачи умумии касрхои дар он дохилбуда, ададй 12 зарб мекунем. Дар натича муодилаи ба муодилаи додашуда баробаркувваи аз каср озоди

3(2x-l)+4x=30xхосил мешавад.

3М> дилаи охиринро хал карда меёбем, ки х = аст.

М и с о л и 2. Муодилаи ратсионалии касрии

- г -------- — = 3 С1)х - 4 х - 2-ро хал мекунем.

183

Ба монанди мисоли пешина хар ду кисми муодиларо ба махрачи умумии касрхо, яъне ба ифодаи х2-4=(л>2)(х+2) зарб карда, муодилаи бутуни

4-(х+2)=3(х2-4) (2)-ро хосил менамоем.

Зохиран фахмост, ки хар як решай муодилаи (1) решай муодилаи (2 ) мебошад. Вале муодилаи (2 ) метавонад бо муодилаи (1) баробаркувва набошад, чунки хар ду тарафи онро мо на ба ададй аз нул фарккунанда, балки ба ифодаи дорой тагйирёбанда зарб кардаем ва ин ифода метавонад, барои ягон кимат баробарй нул шавад. Бинобар ин, на хар як решай муодилаи (2) хатман решай муодилаи (1) аст.

Муодилаи (2)-ро сода карда, муодилаи квадратииЗх2+х-14=0

-ро хосил мекунем, ки решахои он ададхои х, = -2^- ва х2=2

мебошанд. Акнун месанчем, ки ин ададхо решахои муодилаи (1) хастанд ё на.

Хангоми х = -2 ^ будан, махрачи умумй х 2-4 ба нул

мубадцал намешавад. Пас, ададй -2 - j решай муодилаи (1) аст.

Хднгоми х -2 будан, махрачи умумй х2-4 баробарй нул аст,

бинобар ин, ифодахои — ва —-— маъно надоранд. Аз инх - 4 х - 2

сабаб, ададй 2 решай муодилаи (1) нест.

Инак, танхо ададй -2 ^ решай муодилаи (1) мебошад.

Умуман, тарзи хал кардани муодилахои касриро ба мархалахои зерин чудо кардан мумкин аст:

а) ёфтани махрачи умумии касрхои дар муодила буда;б) зарб кардани хар ду кисми муодила ба махрачи умумй;в) хал кардани муодилаи бутуни хосилшуда;г) хорич кардани хамон решахои муодилаи бутун, ки онхо

махрачи умумиро ба нул мубадцал мекунанд.

184

М и с о л и 3. Муодилаи

2 1 4 - хх 2 - 4 х2 - 2х х2 + 2х

-ро хдл мекунем.Махрачро ба зарбкунандахо чудо карда хосил мекунем:

2_____________ 1 4 - х

( х - 2 ) ( х + 2) х ( х - 2 ) х (х + 2 )

Махрачи умумй: х(х-2)(х+2).Схемаи умумии ёфтани халли муодилаи касриро татбик

менамоем:2х-(х+2)=(х-2)(4-х),2х-х-2=4х-д:2-8+2х,

х2-5х+6=0,

5 ± л/25 - 4 ■ 6 5 ± 1Xl 2 - - ;

’2 2 2х, - 2, х2 = 3.

Агар х=2 бошад, он гох х(х-2)(х+2)=0; агар х=3 бошад, он

гох х(х - 2)(х + 2) ф 0 аст.Ч, а в о б: 3.

1. Мисолхои муодилахои бутун ва касриро оред. 2. Чаро муодилаи бутуне, ки дар натичаи ба махрачи умумй зарб кардани кисмхои муодилаи касрй хосил мешавад, на хамеша ба муодилаи касрй баробаркувва аст? 3. Мархалахои халли муодилахои касриро номбар кунед.


х х2

2 “ х2 -Зх + 5 - х 2 -2 х + 8 ч У 5у - 6а ) ------— —-----; б) ------------- = ---------------- ; в) 2 л 2 »•

х + 4 х + 4 2х-1 2х-1 1 У - 4 у 2- 4

, У 2 _ ~7у + 6 , 1 + Зх 5-Зх , 2у + 1 3Г) у - 2 2 - у ’ 1 - 2х ~ 1 + 2х ’ 1 + У У ’

10 8 + х х -1 2х-1 х + 1 х -57 ^ 3 ~ ^ ~ ’ ^ 2х + 3 _ 3 -2 х ’ х ^ 1 ~ 1 - х '

185

559. Муодиларо хдл намоед:

ч Зх-2 , Л 5 10а ) 1 ^ Г - 1=0; б ) ^ = 1 ' 6; ^ — х = * ;

г ) * ! _ ^ = 3 (* -3 ). д , — = 2х - 1; е)3 2 х х+1 5

ч х2 -Зх + 2 А ч 16х3- х л s „ 8ж) — ----- -— = 0; з) ------ ТТ" ’ и) 2х =

8х - 4 ’ х + 3,2 х + 3


15 14 , «Л 2 14 Оа ) ---- - = — + 1; б ) ---- - + — = 3;х -2 х х -3 х

ч 1 1 5 . 1 1 3в ) ------г) - + -------------------------------= — ;

х - 3 х 4 х х + 3 20

ч 40 40 , ч 120 120 ,д ) ------------- = 1; е ) ------------- = 1;

х - 2 0 х х х + 4

ч 180 180 ч 2 4ж ) ------ 1 = ------ ; з) ----- + - = 4.

х х + 6 х — 1 х561. Муодиларо хал кунед:

1 1 5 4 4а ) ------+ ------ = - ; б ) ------+ ------ = 1,5;} х -3 х+3 8 ’ х - 2 х+2

Зх + 1 х — 1 2 у -Ъ , у + Ъ _ е.

х + 2 х - 2 _ ’ У + 3 у - 3

6 2 х - 2 . 2 х - 4 1Д х 2 -1 х — 1 х + 1 ’ 6 х 2- 4 х (х + 2) х ( х - 2 ) ’

. х + 3 х - 3 10 ч 1 1 1ж ) ------ + ---- - = — ; з ) — т— + — = ------------.

х - 3 х + 3 3 4х -1 54 2 (2 х -1 )

562. Барои кадом киматхои х:

Зх**-2а) кимати функсияи у = -------- ба -4; 0; 2 баробар мебошад?

х + 6

186

б ) кимати функсияи у =-2jc + 3

х + 3ба -16; 2; 6 баробар

мешавад?563. Нишон дихед, ки муодила реша надорад:

. х + 3 х - Ъ 10а ) ------ + -------= — +

х - 3 х + 3 3 х - 9

36 ^ 1 1; б ) ------+

1

564. Муодиларо хдл кунед:

5 + 2х _ 3(х+1)

7 - х ’а)

в)

4 х -3

1

2 - х1 =

1 6 - х

х - 2 Зх -12


8а) 5х + 2 =

1 -З х ’

в) 2х+ -23

= -4;2 х - 7


18 5 4а)

в)

х + 3 х - 2 х - 1

27 8 20

х + 4 х + 3 х + 5 567. Муодиларо хал кунед:

х - 4 х + 1 х - 9а)

в)

3 - х х + 3 х 2- 9 ’

х 2 - 8 _ 1______ 3 _ .

х 2- 4 х + 2 х - 2 ’

1 - х 2 - х ( х - 1)(х - 2)

б)3 7

- + -10

у - 2Р у + 2 ~ у "

г)

б)

Т у - 3 ___ ________ 5 _

у-у2 у~ 1 .у С у -!)

15

7 х -32х -1;

г) 2 х + - ^ - = 7,5.

б)

г)

4х + 9

3 6 ■+■

16

2 + х х + 1 х + 3 ’

5 1 16------- 1------- -------- .х - 2 х + 2 х -5

6 - х 2х + 1 х + 7б) -----Г +

х - 5

10

х 2- 2 5 5 + х ’

— h-1 1

г ) у 2 _ у ' у - у 2 1 + 3 ,

568*. Решахои муодиларо ёбед:

х - 2 х + 2 х + 11 1а ) ---- г + ---- 7 ~ -----+ б)х -1 х + 1 х + 3 3 х - 1 3 — 6х + Зх'

= 3;

187

4 1 | 1 Q. 4 1 = 4B (x + 1)2 (х -1 )2 x2- l ’ 9x2 -1 + Зх2 - x ~ 9x2 - 6x +1

Машкхо барои такрор569. Оё ададхои:

а) х, = л/2, х 2 = 1 + л/2; б) Xj = л/2, х 2 = —j =

решахои муодилаи квадратии x 2+ p x+ q =0, ки дар ин но р ва q ададхои ратсионалианд, шуда метавонанд?

570. К^имати ифодаи х 2-2х_у+у2-ро хангоми х = 4 + Зл/2 ,

у = 4 — Зл/2 будан ёбед.

571. Исбот кунед, ки фаркд куби адад ва худи он ба 6 таксим мешавад.

572. Суммаи секаратаи ракамхои адади дуракама ба худи адад баробар аст. Агар ба ин адад 45-ро зам кунем, он гох ададеро хосил мекунем, ки хангоми чойиваз кардани ракамхои он адади аввала хосил мешавад. Адади авваларо ёбед.


Х ~ У Г.. [Z х - У

* 1 Г Т у Ч у ' 6)

32. ХАЛЛИ М АС Ъ АЛАХО И М А ТН Й БО ЁРИИ М УО Д И ЛАХ О И РАТСИ О Н АЛИ

Бисёр масъалахоро бо ёрии муодилахои ратсионалй хал кардан мумкин аст. Барои тасдики ин акида чанд масъалахои мушаххасро дида мебароем.

М а е ъ а л а и 1. Мототсиклрон 105 км рохро тай намуда, аз сабаби вайронии рох дар кисми бокимондаи рох, ки 132 км-ро ташкил медод, суръати худро 2 км/соат кам намуд. Суръати аввалаи мототсиклронро ёбед, агар маълум бошад, ки тамоми рохро вай дар мудцати 7 соат тай кардааст.

Хал. Бигузор х км/соат суръати аввалаи мототсиклрон аст. Суръати камшуда бошад ба (х-2) км/соат баробар мешавад.

188

Мототсиклрон кисми якуми рохро дар мудцати соат ва кисмих

132дуюми рохро дар муддати-----— соат таи мекунад. Пас, вакти дарх - 2

тамоми рок сарфкардашуда ба + соат баробар аст.

Мувофики шарти масъала ин вакт ба 7 соат баробар аст. Азин чо

105 132- + ------ = 7.

х х - 2 Ин муодиларо х д л мекунем:

105(х-2)+ \ Ъ2х=1 х (х -2 ), 2Ъ1х-2\0=1хг-\Лх, 7*2-251x+210=0,

251 ± V(251 ) 2 - 4 • 7 210~ 251 ± V63001 -5880

2 -7 “ 14

251 ± л/57121 251 ±23914 14

251 -239 12 6 251 +239 490 „х, -------------- = — = —; х , = ------------- = ------=35.

14 14 7 14 14

Решай якум xi = у ношоям аст, чунки л:1- 2 = у - 2 < 0 .

(Суръат адади мусбат аст.)Ч, а в о б: 35 км/соат.М а с ъ ал аи2. Ду чумак хавзро дар 16соат аз об пур мекунанд.

Пас аз 4 соат чумаки якумро бастанд ва чумаки дуюм дар муддате хдвзро аз об пур кард, ки он аз мудцати пур карда™ тамоми хавз аз тарафи чумаки якум 12 соат зиёд аст. Дар алохидагй хар як чумак дар чанд соат хдвзро аз об пур карда метавонист?

X, а л. Фарз мекунем, ки чумаки якум хавзро дар х соат пур

мекунад. Пас, дар як соат вай — кисми хавзро пур менамояд.х

189

Х,ангоми якчоя кор кардан, онхо дар як соат — кисми хавзро16

аз об пур менамоянд. (Дар 4 соати кори якчоя онхо — хиссаи4

хавзро пур мекунанд.) Пас, чумаки дуюм дар як соат " J _ _ Iv 16 X

кисми хавзро аз об пур мекунад. Аз тарафи дигар, дар (х+12)3

соат чумаки дуюм хавзро аз об пур кард, яъне дар ин муддат —4

хиссаи хавзро. Пас, дар як соат ин чумак

3 3— : (х +12) = —-----—- хиссаи хавзро аз об пур мекунад.4 4(х +12)

Ин мулохизахо ба муодилаи зерин меоранд:

1 1 3 16 х 4 (х + 12)

К^исмхои чап ва рости муодила хамон як бузургй — хдссаи хавзро, ки дар як соат чумаки дуюм онро бо об пур менамояд, ифода менамоянд.

Муодилаи хосилкардаамонро хал мекунем. Ба махрачи умумй -16х(х+12) хар ду кисми муодиларо зарб карда хосил менамоем:

х (х + 12)-16 (х+12)= 12х, х2-16х-192=0,

х 1>2 = 8 ± л/64 +192 = 8±V256~ = 8±16.

X j= -8 , х 2=24.Решай якум шарти масъаларо каноат намекунад. Чумаки

дуюм дар як соат — - — = — хдссаи хавзро пур мекунад. Пас,

вай дар 48 соат хавзро пур менамояд.Ч а в о б: 24 ва 48 соат.М а с ъ а л а и З . Коргар дар мухдати муайян бояд 200 детал

истехсол намояд. Вай хар соат аз накша 5-тогй зиёд детал истехсол намуда, супоришро 2 соат пеш аз мухдат ичро кард. Супоришро коргар дар чанд соат ичро намудааст?

190

X, а л. Бигузор микдори детале, ки коргар дар як соат истехсол

мекунад, ба л: баробар аст. вактест, ки дар муддати он

коргар супоршпро ичро менамояд. Мувофикан, 200 ■ вактест,х + 5

ки дар муддати он коргар хар соат х+5 детал истех,сол карда, супоришро 2 соат пеш ичро намудааст.

Мувофики шарти масъала, муодилаи

200 200 _х х + 5

-ро хосил мекунем. Ин муодиларо табдил дода ба муодилаи квадратии

2х2+10х-1000=0

70 onдоро мешавем. х 1 = ва х2=20 решахои ин муодилаанд.

Решай якум ношоям аст. Решай дуюм нишон медихад, ки коргар хар соат 20 детал истехсол карда, супоришро дар 10 соат ичро мекунад. Вале вай хар соат х2+5=20+5=25 детал истехсол карда, супоришро дар 10-2=8 соат ичро кардааст.

Ч, а в о б: Коргар супоришро дар 8 соат ичро кардааст.

574. Махрачи касри одии дуруст аз сураташ 3 вохдц калон аст. Агар ба сурати каср 6 ва ба махрачаш 7-ро зам кунем, касре хосил мешавад, ки махрачи он аз махрачи касри аввала2 вохдц кам аст. Касри авваларо ёбед.

575. Сурати касри одии дуруст аз махрачаш 7 вох,ид хурд аст. Агар суратро якто кам ва махрачро 9-то зиёд кунем, касре хосил мешавад, ки аз касри аввала 4 бор камтар аст. Касри авваларо ёбед.

576. Завраки мотордор дар 8 соат 39 км ба самти чараёни дарё ва 35 км ба мукобили чараён шино кард. Агар суръати чараёни дарё 3 км/соат бошад, суръати заврак дар оби ором чй кадар аст?

577. Киштй 45 км масофаро ба самти чараёни дарё тай карда, дар бандар 4 соат истод ва баъд ба чойи аввала баргашт. Та- моми ин муддат 12 соатро ташкил дод. Суръати чараёнро ёбед, агар суръати хдракати киштй дар оби ором 12 км/соат бошад.

578. Ду мошин дар як вакт аз шахр ба дехд, ки масофаашон 120 км аст, равон шудаанд. Суръати мошини якум назар ба

191

суръати мошини дуюм 20 км/соат зиёд буд, бинобар ин, вай ба чойи таъиншуда 1 соат пештар омада расид. Суръати хдр як мошинро ёбед.

579. Автобус аз вокзал ба фурудгох, ки дар масофаи 40 км вокеъ аст, равон шуд. Баъди 10 дакика аз паси у такси ба рох, баромад. Ба фурудгох хдр ду дар як вакт омада расиданд. Суръати такси аз суръати автобус 20 км/соат зиёд мебошад. Суръатхои такси ва автобусро муайян кунед.

580. Як велосипедрон масофаи 30 км-ро назар ба велосипедрони дигар, ки суръаташ нисбатан 3 км/соат камтар аст, 20 дакика тезтар тай намуд. Хдр як велосипедрон бо кадом суръат хдракат кардааст?

581. Масофаи ду шахрро, ки 300 км аст, катораи одамкаш аз катораи боркаш 1,5 соат тезтар тай менамояд. Суръати катораи одамкаш аз суръати катораи боркаш 10 км/соат зиёд аст. Суръати хар як катора чанд аст?

582. К^атора барои бартараф кардани акибмонии 1-соата суръаташро дар тули 720 км назар ба суръати аввалааш 10 км/соат зиёд намуд. Суръати аввалаи катораро ёбед.

583. Катораи тезгард масофаи 96 км-ро назар ба катораи одамкаш 40 дакика зудтар тай мекунад. Суръати хар як катораро ёбед, агар маълум бошад, ки фарки байни суръати онхо ба 12 км/соат баробар мебошад.

7584. Хавзро ду чумак дар 1— соат аз об пур мекунанд.

8Ч,умаки якум дар алохидагй назар ба чумаки дуюм хавзро 2 соат зудтар пур менамояд. Хдр як чумак алохида хавзро дар чанд соат аз об пур мекунад?

585. Ду кас алафзорро дар 12 соат медараванд. Агар нисфи алафзорро шахси якум даравида, баъд нисфи дигарашро шахси дуюм даравад, 25 соат вакт сарф мешавад. Хар кадоми онхо дар алохидагй алафзорро дар чанд соат медараванд?

586. Ахмад дар 6 соат ва Алй дар 8 соат китъаи заминро нарм карда метавонанд. Агар онхо хамрох кор кунанд, замин дар чанд соат нарм карда мешавад?

587. Ду катора аз ду шахри масофаи байнашон 720 км ба мукобили якдигар харакат карданд ва дар нимроха дучор омаданд. Агар катораи дуюм нисбати катораи якум 1 соат дертар равон шуда, бо суръати 4 км/соат зиёдтар (нисбати

192

суръати катораи якум) харакат карда бошад, суръати хар як катора чй кадар аст?

588. Ду бригада ба дарахтшинонй машгул буданд. Бригадаи якум назар ба дуюм хдр руз 40 дарахтй зиёд мешинонд ва хамагй 270 дарахт шинонд. Бригадаи дуюм ду руз зиёд кор карда, хамагй 250 дарахт шинонд. Хдр як бригада чандрузй ба дарахтшинонй машгул шудааст?

589. Якчанд кас хурок хурда, бояд 175 сомонй медоданд. Азбаски дутой онхо пул надоштанд, дигарон мачбур шуданд, ки 10 сомонй зиёд диханд. Чанд кас хурок хурдааст?

590. Микдори тухмхои ду зани ба бозор омада 100-то аст. Микдори тухмхои хар кадом гуногун аст, вале аз фуруш хар ду пули баробар ба даст оварданд. Яке аз онхо ба дигараш гуфт: «А гар тухмхои ту дар дасти ман мебуданд, хамаашро ба 15 сомонй мефурухтам». Дигарй чавоб гардонд: «А гар тухмхои

ту дар дастам мебуданд, ман онхоро ба 6 у сомонй

мефурухтам». Хар як зан чанд дона тухм дошт?

Машкхо барои такрор591. Исбот кунед, ки баробарй дуруст аст:

УГ7 + 4 V n - 4 1 1 _ 26

а) V l7 - 4 + V l7 + 4 ~ ’ б) 13 + 2л/40+ 13-2>/40 9 '

592. Баробарй барои кадом киматхои х дуруст аст: а) (5х+1)2=5х+1; б) 4(х+3)2=(2х+6)2?593. Касрро ихтисор намоед:

а3 - 1 ах - 2х - 4а + 8

1 — 2а + а 2 ’ За - 6 - ах + 2х

594. Кимати g-ро ёбед, ки барояш фарки решахои муодилаи х2-4х+<7=0 ба 2 баробар аст.

595. Муодилаи квадратии ислохшударо созед, ки ададхои

~J2 — 1 л/2~ +1 —— -— ва — -— решахояш мебошанд.

3596. Махрачи касри------j= -ро аз ирратсионали озод кунед.

2 — л/3

193

33. ТАРЗИ ГРА Ф И К И И ХДЛJIИ М У О Д И Л А РО

Муодилаи х 3=4-ро дида мебароем. М о хануз тарзи хал кардани ин муодиларо намедонем. Агар хдр ду кисми ин муодиларо ба г * о таксим намоем, он гох муодилаи ба пешина

баробаркувваи х г = — -ро хосил мекунем. Кимати такрибии

решаро бо ёрии графикхо ёфтан мумкин аст. Барои ин дар як4

хамвории координатави графики функсияхои у=х2 ва у = — -ро

(расми 9) месозем. Ин графикхо хамдигарро дар як нукта мебуранд. Абсиссаи нуктаи буриш хамон кимати тагйирёбандаи

х мебошад, ки дар он ифодахои х 1 ва — киматхои якхелаX

мегиранд. Ин аст, ки абсиссаи нуктаи буриши графикхои функ-

4 4сияхои у=х2 ва у = — решай муодилаи х 2 = — мебошанд. Ба

X X1,6 баробар будани кимати такрибии реша аз раем намоён аст.

Ин тарзи халли муодиларо тарзи графикии халли муодила меноманд.

Боз як мисоли бо ин тарз хал кардани муодиларо муоина

мекунем. М уодилаи у [ х = 6 - х - р о хал мекунем. Сохаи

муайянии функсияи у = л[х мачмуи ададхои гайриманфй аст.

Расми 9.

194

Расми 10.

Графики ин функсияро дар б.И. §5.17 муоина карда будем. Г рафики функсияи хатии у=6-х хати рост аст. Дар як системаи координатавй ин графикхоро месозем (расми 10). Графикхо хамдигарро дар як нукта мебуранд. Аз раем аён аст, ки абсиссаи ин нукта 4 аст. Пас, х=4 решай матлуби муодилаи мазкур мебошад.

1. Мохияти тарзи графикии халли муодиларо дар мисоли мушаххас фахмонед.

597. Бо тарзи графикй решай мусбати муодиларо ёбед: а) х2=х+2; б) х2+1,5х-2,5=0.

598. Муодиларо аввал бо тарзи графикй, баъд бо ёрии формулаи решахо хал кунед:

а) х2=0,5х+3; б) х2-4х+3=0.599. Муодиларо бо тарзи графикй хал намоед:

а) — = - х + 7; б ) — = х 2; в) — = х 2.х х х

600. Графики функсияхои у - — ва у=ах+в-ро, ки дар ин чох

а ва в ягон ададанд, дар як системаи координатавй кашида, аз руйи онхо муайян намоед, ки муодилаи

1— = ах + в х

дорой чанд реша буда метавонад.601. Муодиларо графикй хал намоед:

Г~ 4a) vGT = х - 6; б) Vx" = - х + 2; в) Vx = .


602. Маълум, ки : 4,2 = 6,24 - х. х-ро ёбед.

603. Ахмад ва Алй дар як вакт ба шахр, ки дар масофаи 30 км вокеъ аст, равон шуданд. Ахмад дар як соат назар ба Алй 1 км зиёд рох гашта, ба шахр 1 соат пештар расид. Суръати онхоро муайян кунед.

195


у[х ^[у -Ja + л/ l

a ) V ^ - V T ^ + V 7 Ъ ) ~ ^ Г

605. Дар фурудгох 800 кас интизори тайёраанд. 35%-и онхо мардхо мебошанд. Аз микдори умумии занхою кудакон 75%-ро занхо ташкил медиханд. Дар фурудгох, чандто зан ва чандто кудак интизори тайёра мебошанд?

606. Маълум, ки адади 3 решай муодилаи 4х2+вх+9=0 аст. Коэффитсиенти e-ро ёбед.

Маълумоти таърихйМуодилахои квадратй ва тарзхои халли онхо дар замонхои

кадимтарин маълум буданд. Бобулиён кариб чор хазор сол пеш муодилахои квадратиро, ки бо чен кардани китъахои замин алокаманд буданд, хал мекарданд. Дар Юнони кадим (Пифагор, Уклидус) муодилахои квадратиро бо тарзи геометрй хал менамуданд. Аввалин шуда тарзи алгебравии халли муодилаи квадратиро Диофант (асри I I I ) пешниход кардааст. Аз 13 китоби у, ки бо номи умумии «Арифметика» маълум аст, дар 6-тоаш чандин масъала бо ёрии муодилаи квадратй хал шудаанд. Масалан: «Д у ададеро ёбед, ки суммаашон ба 20 ва хосили зарбашон ба 96 баробар аст». Диофант мохирона тагйирёбандаро интихоб карда, муодилаи (10+л:) (10-л:)=96 ё 100-л:2=96, ё ки х2-4=0-ро хосил мекунад. Решай муодила д:=2-ро ёфта, баъд ададхои матлубро хамчун 10+х=12 ва 10-х=8 хосил мекунад. Халли х = -2 барои Диофант вучуд надорад, чунки математикаи Юнон танхо бо ададхои мусбат сару кор донгг.

Олими хинд Брахмагупта (асри V II) коидаи халли муодилаи квадратии намуди ах2+ в х = с -ро, ки дар ин чо а> 0 аст, баён кардааст. Коидаи Брахмагупта мохиятан бо коидаи имруза якхела аст.

Риёзидони бузурги точик Абуабдуллох Мухаммад ибни М усой Хоразмй (ал-Хоразмй) (780-850) асосгузори илми математикаи асрхои миёнаи Осиёи Марказй буда, ба акидаи муаррихи маъруфи илм — амрикой Ч,орч Сартон риёзидони бузургтарини замони худ ва дар мавриди ба инобат гирифтани хамаи вазъиятхо, яке аз барчастатарин математикхои тамоми замонхо мебошад. Калонтарин хизмати у дохил кардани хисоби

196

мавкей аст. Хоразмй дар асари арифметикии худ «Дар бораи хисоби хиндй» ракамгузории мавкеиро, ки онро холо хама медонанд, пешниход кардааст. Дар ин рисола бо ракдмхои 0, 1, 2,..., 9, ки хамчун ракамхои арабй маъмуланд (дар асл ракамхои хиндй буда, дар хазораи 1 то милод пайдо шудаанд), тарзи ифода кардани ададй дилхох нишон дода мешавад. Ьуоидахои ичрои амалхои арифметикй бо ададхои натуралй, ки онхо айнан коидахои хозираро мемонанд ва коидаи азрешабарорй (аз руйи 2 бор зиёд ё кам кардани адад) дар китоб низ дарч гардидаанд.

Асари дигари Хоразмй «Китоб ул мухтасари фи хисоби ал- чабр ва-л-мукобала» зинаи нави тараккиёти математика аст. Дар асар маълумоти мухтасар дойр ба ичрои амалхо бо ифодахои алгебравй, баъзе мисолхо оид ба тарзи халли алгебравии секунчахо ва микдори зиёди масъалахо рочеъ ба таксимоти мерос, ки бо муодилахои тартиби як ифода карда мешаванд, гирд оварда шудаанд. Вале дар он диккати асосй ба омузиши муодилахои квадратй равона шудааст. Мутафаккир нишон медихад, ки хар гуна муодилаи квадратй бо истифодаи амалиётхои ал-чабр ва ал-мукобала ба яке аз намудхои зерин оварда мешавад (а, в, с>0): 1 )а х 2= в х ; 2 )а х2= с ; 3)вх=с; 4)а х 2+ в х = с ; 5)a x 2+ c= e x ; 6)в х + с = а х 2. «А л -ч а бр » (истилохи «алгебра» дар натичаи ба лотинй гардондани ин калима пайдо шудааст.) мусбат гардондани аъзохои манфии муодила мебошад, ки мохняташ аз як кием ба кисми дигари муодила гузаронидани аъзои манфии он аст.

Масалан, муодилаи 4x 2+3 0 -18 jc= 1 8 + 2 x 2-8x дар натичаи истифодаи ал-чабр ба муодилаи 4x 2+ 3 0 + 8 x = 1 8 + 2 x 2+ 1 8 jc мубадцал мешавад. Акнун, мувофики методи «ал-мукобала» аъзои монандро ислох бояд кард. Барои ин онхоро мукоиса намуда, аз аъзои калон аъзои ба он монанди хурдро тарх кардан лозим аст: 2х2+12=10х. Гайри ин, муодиларо боз ба шакли каноникй (а=1) бояд овард, яъне ба шакли х 2+6=5х, чунки танхо барои хамин холат коидаи ёфтани решай мусбат пешниход шудааст. Диккати асосй ба омузиши муодилахои намудхои4) ва 6) чалб карда мешавад. Онхо дар мисоли муодилахои х 2+1 0х=3 9 ; х 2+2 1=1 0 х ; З х + 4 = х 2 мухокима мешаванд. Олим нишон медихад, ки муодилахои намуди 4) ва 6) факат якто ва танхо якто реша доранд (решай дигарй манфй аст); муодилаи намуди 5) ё 2 реша дорад ё умуман реша надорад. Шартхои мавчудияти решахо, аз он чумла шарти ягона (дучанда) будани

197

реша, оварда мешаванд. К,оидах,о барои мисолхои мушаххас тавсиф шудаанд, вале хамин тавр, ки умумй кардани онхо мушкилоте надорад. Коидахо бо ёрии табдилдихихои геометрии фигурахои росткунчавй асоснок карда шудаанд, ки ин ба табдилдихихои алгебравии мо рост меоянд.

Масалан, коидаи халли муодилаи х2+10х=39 ин тавр асоснок карда мешавад: номаълуми х чун хат, х2 чун квадрат, ки дар ин хат сохта шудааст, хосили зарби 10 х хамчун суммаи ду росткунчаи тарафхояшон х ва 5 тасвир карда мешаванд. Ин росткунчахо ва квадрат фигураи шакли Г-доштаи масохаташ ба 39 баробарро

ташкил медиханд. Баъд ин фигура бо квадрати тарафаш 5, то квадрати масохаташ ба 64 баробар хосил шавад, пурра карда мешавад. Тарафи квадрати пурра якбора хам ба х+5 ва хам ба8 баробар аст. Пас х+5=8 ва х=3. Чй тавре мебинем, Хоразмй решахои муодиларо бо ёрии элементхои геометрия меёбад.

Акнун тарзи алгебравии халли муодилаи х2+21 = 10х-ро, ки ба Хоразмй тааллук дорад, меорем.

1. Микдори решахоро нисф намо: 10:2=5.2. Ин ададро бо худаш зарб намо: 5-5=25.3. Аз он ададро тарх намо: 25-21=4.

4. Аз реша барор: лД" = 2 •5. Ин решаро ба нисфи решахо чамъ намо ё аз он тарх намо:

5+2=7; 5-2=3.Агар хамаи амалиёти зикршударо бо як формула ифода

намоем, он гох формулаи

-ро хосил мекунем. Чуноне мебинем, халли Хоразмй бо халли хозираамон аз руйи формула якхела аст.

Хамин тарик, хизмати асосии илмии Хоразмй аз он иборат аст, ки у аввалин шуда, алгебраро чун илми мустакил тавсиф намуд, онро ба колаби муайян даровард ва то асри X V III, алгебра зери таъсири вай хамчун назарияи муодилахо тавсиф карда мешуд.

Хамзамони Хоразмй, риёзидони маъруфи точик Абулфазл Абдулхамид ибни Восеъи Хугталй (аз Хатлонзамини Точикис-

198

х 5

X2 5х

5х 25

тон) низ бо муодилахои 1) -6) машгул шудааст. Вай барои ёфтани хал дар асараш «Ал-Ч,омеъ фи-л хдсоби», нисбат ба Хоразмй тахдили муфассал ва шаклхои дигари исботхои геометриро багафсил баён кардааст.

Коидаи умумии ёфтани халли муодилахои квадратии намуди х2+вх=с дар Аврупо танхо соли 1544 аз тарафи математики немис М.Штифел (1487-1567) баён карда шудааст. Виет низ формулаи халро хосил карда буд, вале решахои манфиро эътироф намекард. Математикхои италиявй Тарталя, Кардано, Бомбелли аввалин шуда решахои манфиро дар асри X V I ба эътибор гирифтаанд. Тарзи халли муодилахои квадратй баъди дастрас шудани асархои математики нидерландй А.Жирар (1595-1632) ва инчунин Декарту Нютон намуди хозиразамонро гирифт.

Вобастагии решахои муодилаи квадратиро аз коэффит- сиентхояш соли 1591 Виет кашф кардааст. Дар ишорахои хозираи алгебравй теоремаи Виет ин тавр тавсиф карда мешавад: решахои муодилаи х2-(а+в)х+ав=0 ададхои а ва в мебошанд.

М А1Ш Д О И И ЛО ВАГЙ БА БОБИ III

Ба параграфи 8607. И сбот кунед, ки муодила ба муодилаи квадратй

баробаркувва аст:а) (х -2 )(х 2+ 2 х + 4 )= х (х -4 )(х + 3 );б ) (4 + З х )2-(5 + 2 х )(5 -2 х )= 10 + (4 х + 1 )2;в) (^+ 7)(/-7>’+49)-X>’+ 8Xj -7)=0;г) (2 х + 3 )3-316= (2х -1 )3.

608. Барои кадом киматхои к муодилаи:

а ) - г - — х 2 - х + 5 = 0; б ) 2х2-х*_2+1 =0 к -1

квадратй аст?609. Решахои муодиларо ёбед:

а) х 2-25=0; б ) ^ х 2 - = 0;

в )-0 ,1 / + 2 2 ,5=0 ; т ) - 1 у 2 + 2 ^ = 0.О J

610. Муодиларо хал кунед:а) 7х2-4х=0; б ) -Зх2+5х=0 ; в) х 3+ х = 0 ; г) Зх3-40х=0.

199

611. Муодиларо хал намоед:a) 0 + 1 )2+ (jc-2)2=5; б) (Зх-4)2-(2х+1)2=-21;в) (x +2 )2= (3 jc-1)2-13x ; г) (х-4)(х2+4х+1 6 )+ 2 8 = *2(х-25).612. Барои кадом кимати а, муодила х д л дорад:а) х 2-а ; б) х 2=а2; в) х 2+4а=0; г) х2-9а=0 ?613. Хосили зарби ду адади пай дар пай аз суммаи онхо 1-то

зиёд аст. Ин ададх,оро ёбед.614. Агар ба масохати квадрат, масохати секунчаро, ки 28

см2 аст, чамъ намоем, 77 см2-ро хосил менамоем. Тарафи квадратро ёбед.

615. Муодиларо бо тарзи чудо кардани квадратй пурра хал намоед:

a) х2-8х-1=0; б) х2+Зх-2=0;в) х2-5х+6=0; г) х2-4х-5=0;д) х2+7х+12=0; е) х2+9х+14=0;ж) 9х2-6х+1=0; з) Зх2-2х+4=0.

616. Тарзи чудо кардани квадратй пурраро истифода карда, исбот кунед, ки кимати ифода барои кимати дилхохи тагйирёбанда мусбат аст:

а) а2+5а+7; б) л2-3и+3;

ч л: в) - 2 - 2х + 3 ч р 2 - 1 р + 1311 ’ р 2+ 1

Ба параграфи 9.617. Муодиларо аз руйи формула хал кунед:

а) 2х2-5х-3=0; б) х2+х-56=0; в) Зх2-8х+5=0; г) х 2-х -1=0 ;д) 4х2-4х+1=0; е) Зх2-Зх+1=0;ж) х2+9х+20,25=0; з) х2-12х+32=0.

618. Барои кадом киматхои х баробарй дуруст аст: a) 3(х+4)2=10х+32; б) 15(х+1)2=31х+77; в) (5х+3)2=5(х+3); г) (5х+4)2=5х+4;д) (4х+5)2=5х2+4х; е) (5x+3)2=(3x+5)2;ж) (2х-3)2=2х2-7х; з) (2х+1)2=5х2+4х ?

619. Решахои муодиларо ёфта, дурустии онхоро санчед: а) 3х2-10х+3=0; б) х2-8х-84=0;

в) 16х2+8х+4=0; г) х2+14х+33=0;

200

д) х2+4х+1=0; е) 2/+11у+10=0;ж) /+12>>-13=0; з) 2х2+7х-9=0.

620. Баробарй айният аст ё муодила? Агар муодила бошад, решахояшро ёбед:

a) 10х2+19х-2=10(х-0,1)(х+2); б) х-1+(х+1)2= (*+2 )2-2х+5;в) 0,5(х-6)(х-5)=0,5х2-5,5х+15; г) (2х-3)(2х+3)-1=5х+(х-2)2.621. Маълум, ки яке аз решахои ах2-2х+5=0 ба 2 баробар

аст. Кдмати а-ро ёбед.622. Исбот кунед, ки яке аз решахои муодилаи:а) ах2-(я+с)х+с=0; б) ах2-(а-в)х-в=0ба 1 баробар аст.623*. Исбот кунед, ки агар муодилахои ах2+вх+с=0 ва

сх2+вх+а=0, ки дар ин чо аф 0 ва с Ф 0 аст, реша дошта бошанд, он гох ин решахо нисбати хамдигар ададхои чаппаанд.

624. Барои кадом киматхои тагйирёбандаи х сеаъзогии х2+5х-6 ва дуаъзогии Зх+2 киматхои баробар кабул менамоянд? Сеаъзогихои 2х2-5х+4 ва Зх2-7х+5 чй?

625. Панч ададй бутуни пай дар пайро ёбед, ки суммаи квадратхои се ададй аввалини онхо ба суммаи квадратхои ду ададй охирин баробар бошад.

626. Се ададй чуфти пай дар пайро ёбед, ки суммаи квадратхои ду ададй аввалини онхо ба квадрати ададй сеюм баробар бошад.

627. Квадрати суммаи ду ададй натуралии пай дар пай аз суммаи квадрати онхо 60 вохид зиёд аст. Ин ададхоро ёбед.

628. Масохати майдони росткунчавй 160 м2 аст. Дарозии майдон аз бараш 6 м зиёд мебошад. Андозахои майдонро ёбед.

629. Як тарафи росткунча аз тарафи дигараш 14 см дарозтар буда, диагоналаш ба 34 см баробар аст. Дарозии тарафхои росткунчаро ёбед.

630. Суммаи ду адад ба 8 ва хосили зарби онхо ба 12 баробар аст. Ин ададхоро ёбед.

631. Фарки ду адад ба 8 ва хосили зарби онхо ба 240 баробар аст. Ин ададхоро ёбед.

632*. Периметри росткунча ба 12 см ва суммаи масохатхои квадратхое, ки дар тарафхои он сохта шудаанд ба 40 см2 баробар аст. Дарозии тарафхои росткунча ёфта шавад.

201

633. Муодиларо хал намуда, дуруст будани решахоро аз руйи теоремаи Виет санчед:

а) х 2-5л/2х + 12 = 0; б) х 2 + 2-\/Зх-72 = 0;в) у*-4у-12=0; г) z2-10z+16=0.634. Аввал коэффитсиентро ёфта, баъд муодиларо хал

намоед:а) ах2+Зх-7=0, агар решааш 3 бошад;б) Зх2+вх+9=0, агар решааш 5 бошад;в) 2х2-х+с=0, агар решааш 2 бошад;г) x 2-6x+q=0, агар фарки решахо 2 бошад.

635*. Исбот кунед, ки барои кимати дилхохи в решахоимуодилахои 5х2+вх-17=0 дорой аломати гуногунанд.

636*. Исбот кунед, ки барои кимати дилхохи а муодилаи 2х2+7х+(а+1)2=0 решахои мусбат надорад.

637*. Фарки решахои муодилаи 5х2+вх+10=0 ба 3 баробар аст. Адади e-ро ёбед.

638. Як решай муодилаи x2+6x+q=0 аз дигараш 2 бор калон аст. Адади д-ро ёбед.

639. Як решай муодилаи х2+ р х+3=0 аз дигараш 3 бор калон аст. Адади р-ро ёбед.

640*. Як решай муодилаи 3х2+ вх+ с= 0 ба у , дигараш ба

аъзои озод баробар аст. Ададхои в ва с-ро ёбед.641*. Дар муодилаи x 2+px+q=0 коэффитсиентхои р ва q, ки

дар ин чо <7 * 0 аст, решахо мебошанд. Ададхои р ва q-ро ёбед.642*. Муодилаи 2х2-8х-11=0-ро хал накарда: а) суммаи

чаппаи решахо; б) суммаи квадратхои решахоро ёбед.643*. Суммаи квадратхои решахои муодилаи х2+/?х-3=0 ба

10 баробар аст. Адади р-ро ёбед.644*. Муодилаи квадратие тартиб дихед, ки решахояш ба

решахои муодилаи ах2+ вх+ с=0 мукобиланд.645*. Маълум, ки х : ва х2 решахои муодилаи х2+ рх+6=0 буда,

х 2+ х 22 =\3 аст. Адади р-ро ёбед.

646*. Маълум, ки — + — = 2 аст, ки дар ин чо х, ва х,х х х 2

решахои муодилаи х2+х+<7=0 мебошанд. Адади q-po ёбед.

202

647*. Муодилаи квадратие тартиб дихед, ки хар як решааш аз хдр як решай муодилаи х 2-6х+2=0 ду вохдц кам аст.

Ба параграфи 10.648. М уодиларо хал кунед:

а) х — = 2,5; б ) ------ -- + х = 4; в) —------— = 0;х х + 4 х + 3

х 2 + х - 2 х х + 2 х _ 1

Г) х 2 - З х + 2 " ’ Д) х + 1 ~ х - 2 ~ ’ С) 2 х + 3 _ х ’

ч 1 2 1 s * + 1 20 „ж) — + ------ — = 1; з) — — + ------ - = 4; и ) ------ - - х = 2.х х + 2 6 х - 1 х - 1

649. М уодилаи ратсионалиро хал намоед:

_ 6 _____ L_-9_£± i- _Л_____ 3 12 = 1

х2 - 1 х - 1 х + 1 ’ Х + 2 х - 2 4 - х 2 7

3 2х - 1 2х + 1 4 . 1в ) --------------------= --------------------; г ) — + 5 = — ;

х + 2 х + 1 (х + 2)(х + 1) х х

Зх 2х З х - 6 х — 6 х -1 2 5

Д' х -1 х + 2 (х -1 ) (х + 2 ) ’ х -1 2 х — 6 6

ч 14х2 11 49 12 8ж) ------- г + — — = —— з ) --------------= 1.

1 6 - х х - 4 х + 4 х —1 х + 1

650. Координатахои нуктаи буриши графики функсияро бо тири Ох муайян намоед:

Зх-4 х2- 7 х + 10 х3- 4 х 2а) У = ~ -----г; б ) ^ = --------- ----- ; в) у = --------— .

2 х +1 х - 2 х -1651. Координатахои нуктахои буриши графики функсияхои:

26 х 2 - ха) у=2х+5 ва у = -----—; б) у = — ва у=2х-ро ёбед.

х - 2 ' х - 2

652*. Муодилахоро хал кунед:

х + 3 1 + 8х _ 3 ( 2 х - 1 ) 5х + 1 _ 4х + 11 2х + 3

а) 3 ( х - 2) + 5(2 + х) _ х2 - 4 б ) 4 - х _ 1 6 - х 2 + х + 4 ’

203

9х + 12 1 1 3_______ 1 y + 3B x3-64 x2+4x + 16 x - 4 ’ Г 8у3 + 1 2y + l 4y2 - 2 y + l

653*. Решахои муодиларо ёбед:

л/з + л/2 -\/Зх-л/2 10 1 - ^ , 1 + У5.У= 9у

л/Зх - л/2 + -\/Зх + л/2 ~ Зх - 2 ’ 6 ) 1 + V 5 j 1 - л/J^ 1 - 5 / '

654. Кимати тагйирёбандаи >>-ро ёбед, ки барояш:

л ^ + 1 10 «а) суммаи касрхои ------ ва ------ ба хосили зарбашон7 -5 у + 5

баробар аст;

2 6б) суммаи касрх,ои ——— ва — ба хосили таксимашон

баробар аст;

6 ув) фарки касрх,ои —— — в а -----— ба хосили зарбашон баробар аст.

655. Заврак дар кул 12 км шино карда, баъд ба мукобили чараёни дарё 11 км шино кард. Заврак ба хамаи pox 1 соат вакт сарф намуд. Суръати чараёни дарё 2 км/соат аст. Суръати шинои завракро дар кул ёбед.

656. Киштй дар муддати 5 соат 42 км ба самти чараёни дарё ва 20 км ба мукобили чараёни дарё шино кард. Суръати чараёни дарё 2 км/соат мебошад. Суръати киштиро дар оби ором муайян намоед.

657. Заврак дар 5 соат 45 км ба самти чараёни дарё ва 22 км ба мукобили чараёни дарё шино намуд. Суръати шинои завракро ба мукобили чараёни дарё ёбед, агар маълум бошад, ки суръати чараёни дарё 2 км/соат аст.

658. Суръати киштй дар оби ором 20 км/соат аст. Вай дар 3 соат 36 км ба мукобили чараёни дарё ва 22 км ба самти чараён шино кард. Суръати чараёни дарёро ёбед.

659. Катора дар тули 600 км баъди 0,25 хиссаи рохро тай намудан 1,5 соат боздошта шуд. Барои ба чойи зарурй дар вакташ омада расидан, ба катора лозим омад, ки суръаташро 15 км/соат зиёд намояд. Катора дар рох чй кадар вакт сарф кардааст?

204

660. Ду тайёра дар як вакт аз як фурудгох, ба фурудгохи дигар, ки масофаашон 1800 км мебошад, парвоз намуданд. Суръати тайёраи якум назар ба суръати тайёраи дуюм 100 км/соат камтар буд, бинобар ин вай ба чойи мукарраршуда 36 дакика дертар омада расид. Суръати хдр як тайёраро ёбед.

661. Мошин аз шахри А ба шахри В, ки масофаи байнашон 234 км аст, равон шуд. Баъди як соат ба пешвози у аз шахри В мошини дуюм, ки суръаташ нисбати суръати мошини аввала12 км/соат зиёд аст, ба рох баромад. Суръати хар як мошинро ёбед, агар маълум бошад, ки онхо дар масофаи 108 км аз шахри В вохурдаанд.

662. Баъди 4 соат дарав кардани Ахмад ба у Алй хамрох шуд. Онхо якчоя 8 соат кор карда даравро ба итмом расонданд. Хар кадоми онхо алохида даравро дар чанд соат ба охир мерасонд, агар маълум бошад, ки барои ин Ахмад 8 соат зиёд вакт сарф мекард?

663. Ду кас барои дар компютер чоп кардани, дастхат супориш гирифтанд. Пас аз 2 соат хамрох кор кардан, яке аз онхо супориши дигар гирифт ва шахси дуюм танхо корро баъди1 соату 20 дакика анчом дод. Х,ар кадоми онхо алохида дастхатро дар чанд соат чоп карда метавонист, агар маълум бошад, ки шахси дуюм назар ба якум барои ин 1 соату 10 дакика зиёд вакт сарф менамуд?

664*. Ду мошини пахтачин пахтай майдонро нисбати мошини пахтачини якум 9 руз ва нисбати мошини пахтачини дуюм 4 руз камтар чамъоварй мекунанд. Хдр ж мошини пахтачин алохида пахтаро дар чанд руз чамъоварй карда метавонад?

665. Мувофики накша бригада дар муддати якчанд руз бояд 216 асбоб созад. Бригада се руз аз руйи накша кор карда, дигар рузхо аз накша 8-тогй асбоб зиёд истехсол кард. Дар натича як руз пеш аз мухдати мукарраршуда бригада аллакай 232 асбоб истехсол карда буд. Мувофики накша супориши якрузаи бригада чй кадар буд?

666. Бригадаи якум 160 костюм ва дуюмаш 100 костюм бояд дузанд. Бригадаи якум нисбати дуюм рузе 10-той зиёд костюм духта, супоришро 2 руз пеш аз мухлат ичро намуд. Бригадаи дуюм рузе чандтой костюм бояд дузад, то ки супоришро дар мухдати зарурй ичро намояд.

205

667. Велосипедрон 20 км рохи нохдмвор ва 60 км рохи хдмворро дар 6 соат тай намуд. У рохи нохамворро назар ба рохи хамвор бо суръати 5 км/соат кам тай кард. Суръати велосипедрон дар хдр як кисми рох ёфта шавад.

668*. Муодиларо бо тарзи графики хал намоед:__ __ __ j __ g

а) у/х = 4л:; б) у/х = х - 2 ; в) у/х = —; г) у/х = —.л: х

669*. Бо ёрии график муайян намоед, ки муодилаи

= ах + в вобаста ба аломати ададхои а ва в, чандто реша дошта метавонад.

ЧАВ О Б^О461. в)-х2+9=0; г)х2=0. 463. а)х2+4х+1=0; е)-Зх2-8х+5=0. 464.

а) к Ф 0; б)£=-1. 465. а)дар чорякхои 2 ва 4; б)дар чорякхои 1 ва3. 466. 2,75 ва 44. 467. Чуф™ (-3;2) халли хар ду система аст.

468. 7,5 га. 469. —jy 470. ^ б ) — л/б; л/б; в)реша

надорад; г)-0,2; 0,2; д)реша надорад; 471. а)-0,5;

0,5; б)-7; 7; в)-1, 1; 1, 1; г)-0,2; 0,2; д)0; е)0. 472. а)0; 2,5; 6)0;

в ) ~ 1 ; 0 ; г)0; 0,8; д)0; е)-2; 0. 473. а)-0,2; 0; 6)0; 27; в)-2,5; 0;о У

г)-4; 0; д)0; 18; е)0; 2,4. 474. а)0; 0,5; 6)0; 0,25; в)0; 1-^; г)0;1о

2 ^-. 475. а)0; 1; б)-2; 2; в)реша надорад; г)0; 1; д)-8; 8; е)0; 0,4.

476. а)-7; 0; б)-л/3; л/3; в)0; 1; г)0,125; д)-1; 1; е )- .13 13

477. 2 ва 3. 478. 10 см. 479. 480. yfnR. 481. - 5 — . 482.-Jn 225

206

а)якумаш калон; б)якумаш калон. 483. 1. 484. 6 ва 12 сомони.

225 1485. а)1 + л/7; 6)1 + V3. 486. а)4; 6 )— ; в)6; г)4; е) — . 488. а)-5;

4 16

б )у . 489. а)-1; 7; 6 )-4 -V l7 " ; - 4 + л/17"; в)реша надорад;

г)-1; 9. 490. а)2; 3; в)-1; 3; г)-1; 6. 491. а ) - | ; б)-6; 2; в)-3; 2;

г )1 - V2; 1 + V2. 492. а )у ; 2; б)-1; 1,5; в)-2; 1,2; г ) - | ; 1. 494.

а)V2 + V3; 6)9 + V l8 (V3 - l ) 495. а )(2 -х )(2+х )(4+х2);

б) {2x-3y)(2x+3y)(4x2+ 9 f). 496. а)4; 6)0,25. 497. 12. 498. а)\а; б)не;

в)хд; г)не. 499. а)х,а; б)не; в)не; г)хд. 500. а)хд; б)не; в)х,а; г)хд.

501. а)1; 1 ; б)-2; 12; в)-10; 9; т)^; 2; д ) - 1 ; 4; е )| ; 3; ж )| ; 1;

1 1 1 2з )—. 502. а) - ; б) реша надорад; в)реша надорад; г )—; —; д)0,3;

2 3 о 3

0,4; е ) - у ; ж) - у ; з)2; 4. 503. а)-3; 2,75; б)реша надорад;

З-л/29 3 + л/29 1в ) ---- ; — ------ ; г)реша надорад; д ) - - ; 1,5; е)0,5; 1,25;

L L о

1 2 1ж) — ; 3) ~ ^ 504- а)барои х=-1 ва х=6; б)барои х=3 ва х=4;

в)барои х = у ва х= 2 ; г)барои х=-1 ва х=2. 505. а)барои jc=-1

ва х=6 ; б)барои ва х=1. 506. а)-2,5; 2; б )— ’

- 9 + л/34Г 1 1----- -------- ; в)-2,5; 2; г)-3; 4. 507. а)2;10; б)-21; 3; в ) - - ; - ;

lu 2 6

207

- 3 - V21 - 3 + V 21 1509. a) -------------; ------ -------; 6)0,5; в) - — ; г) реша надорад.

ч 7 - л/57" 7 + л/57" г - ч -З-л/13510. а ) ---- ----- ; ---------- ; б)2-лД2; 2 + Vl2; в )----- ----- ;

- З + л/13. 7 - л /Г з 7 + л/13-----2-----; г )— -— ; — ; 511. а)1; 5; 6)0; 5; в)-5,5; 2; г)4.

512. а)-1; 15; 6 )^ S 1; в)1; 7,5; г)1; 4. 513. а)-1; 2 у ; б)-7; 5; в)-

0,2; 1,8; г) реша надорад; 514. а)х,а, барои х = ^ ва х = —; б)не.6 2

515. -4. 516. -6. 517. а )1 ^ -; б )^ - . 518. а)130; 6)7. 519.

6) (3; 3). 520. 12 ва -12. 521. 7 ва 9. 522. 10, 13 ва -13, -10.

523. хд, 3, 4 ва 5. 524. ха, 6,8 ва 10. 525. 15 сомонй.

526. 15 м, 3 м. 527. 60 см, 12 см. 528. 9 см. 529. 10 см ва 24 см.

530. Чунин росткунча вучуд надорад. 531. 5 ва 15. 532. 5 см ва12 см. 533. 12,5 см, 30 см. 534. 15 см. 535. 10, 11. 536. 12 катор.

537. 538. а )10^ -; 6 )-^—— . 540. а)барои 27; б)барои 7.

541. 2, 12 ва 84-то. 542. а) 2 ва 2,5; г) -1,4 ва -1. 543. а)гуногун;д)реша надорад; е)гуногун; ж)якхела ва мусбат; з)гуногун. 544.

а )~ l 7 ’ 6 )17 i ‘ 553' a) * 2-12* +35= ° ; з )х 2-0,1х-0,02=0;

3 ciи)х2-0,2х-0,15=0. 554. a) 2x-3; 6) — — • 555. 2. 556. a) 0; 6;

б) -3,75; 0. 557. (0,2; 0) ва (0;-2,2). 558. a) 0; 1; 6) -1; 1,5; в) 3; г) 1;

2 . 26; д )~ . 559. a) 1,5; 6) 1; 6,5; в) 2; 5; г) 1,5; 3; д) -1,5; 2; e )~ 2 - ; 0;

ж)1; 2; з)-0,25; 0; 0,25; и)-4; 1. 560. а) -4; 7; б )у ; 6; в)0,6; 4;

г ) - | ; 12; д)-20; 40; е)-24; 20; ж)-36; 30; з )у ; 2. 561. а)-1,8; 5;

б ) - | ; 6; в)3±л/5; Г) ~ 3 ± У ^ ~ ; д)2; е)3; ж)-6; 6; з)13. 562.3 4

1 2 11 2а)барои х = - Ъ —\ х = у ; х=14. 564. а ) - — ; 2; 6)5; в)-3; у !

4 3 3 ± л/2*Г 6 ± л/12"г)-0,25. 565. а)реша надорад; б ) - у ; у ; в )— ----- ; г )— ----- .

9 13566. а )р р 3; б ) - — ; 1; в)-1; 5; г)-3; 0,8. 567. а)4; б)-5,5; 6; в)0;

I— 9 л/97 4 7 5 i л/17 1г)5 + л/34. 568. а)0; ; б )у ; у ; в )— у — ; г ) ~ ; 1. 569.

2 2а)Не; б)не. 570. 72. 572. 27. 573. а)л/х; 6 )л/7- 574. у . 575.

576. 10 км/соат. 577. Зкм/соат. 578. 60 ва 40 км/соат. 579. 80 ва 60 км/соат. 580. 15 ва 18 км/соат. 581. 40 ва 50 км/соат. 582. 80 км/соат. 583. 36 ва 48 км/соат. 584. Дар 3 ва 5 соат. 585. 30 ва

20 соат. 586. Дар соат. 587. 36 ва 40 км/соат. 588. 3 ва 5 руз.

589. 7 кас. 590. 40 ва 60 дона тухм. 592. а)барои х=-0,2 ва х=0;

209

а‘ + а + 1 х — 4б) барои хдр гуна л:. 593. а )------- -— ; б )~ -----■ 594. 3. 595.

а - 1 3 - х

х 2 - у[2х + = 0. 596. 3(2 + л/3). 602. 7 -^ —. 603. 6 км ва 5 км.4 400

604. а) х-+ ? ; б) — —т=. 605. 429 зан ва 143 кудак. 606. -15. х - у V a - v 7

608. а)барои к * -1 ва к * 1; б)барои fc=2, fc=3 ва к=4. 609. а) ± 5;

б ) ± ^ ; в)±15; г )± | ; 610. а)0; 6)0; в)0; г ) - ^ ; 0;

л/4(Г 1 1611. а)0; 1; 6)2; -3,6; в ) - - ; 3; г )± 1 - . 612. а)барои а > 0;

3 8 5

6) барои хар гуна а; в) барои а < 0; г)барои а > 0. 613. -1 ва 0 ё

2 ва 3. 614. 7 см. 615. а )4 ± V l7 ; б ) " 3 * ^ ; в)2; 3; г)-1; 5; д)-4;

-3; е)-7; -2; ж ) - з ) р е ш а надорад. 617. а )_ у ; 3; б)-8; 7; в)1; у ;

г )— 2~ ; Д )^ ’ е)реша надорад; ж)-4,5; з)4; 8. 618. а>2; ~ 2 j >

б)-2; 2-jy; в ) - у ; J5 г)-0 ,8 ;-0,6; д ) - 2 ^ - ; -1; е )± 1; ж)реша

1надорад; з)±1. 619. а )—; 3; б)-6; 14; в)реша надорад; г)-11; -3;

д )-2 ±л/ 3 ; е ) - 11 7— ; ж)-13; 1; з)-4,5 1. 620. а) ва

в) айниятанд; б) 9; г)-2; 2 у . 621. 0,25. 624. Барои дг=-4 ва х=2;

барои jc=1. 625. -2, -1, 0,1, 2 ё 10, И , 12, 13, 14. 626. -2,0,2 ё 6,8,10. 627. 5 ва 6. 628. 10 ва 16 м. 629. 16 ва 30 см. 630. 2 ва 6.

210

631. -20 ва -12 ё 12 ва 20. 632. 2 ва 4 см. 633. а )2л/2 ; 3>/2;

б)-6л/3; 4л/3; в)-2; 6; г)2; 8. 634. а)я = - 1 ; 10,5; б) «=-16,8; 0,6;

в) с=-6; г)я=8; 4. 637. ± 745?. 638. 8. 639. ±4. 640. « = ~ \

ва с=0. 641. р = 1, #=-2. 642. а ) - у у ; 6)27. 643. ±2. 644.

а/-в7+с=0. 645. ±5. 646. 647. х2-2х-6=0. 648. а)^-; 2; б)±3;

в)±4; г)-2; д)-4; 0; е)-1; 3; ж>1; 2; з)11; 13; и)-3; 2. 649. а)2; 6)5;

в)1; г)-1; 0,2; д)-3; е)8,4; 24; ж )-5 у ; 3; з>3; 7. 650. а)1 у ; 6)5; в)0;

4. 651. а) (-4,5; -4) ва (4; 13); 6) (0;0) ва (3; 6). 652. а )| | ;

б )- -у - ; 1; в)0; г ) - у . 653. а) 1; 6)0,4; 0,5. 654. а)т=-11; 6)7=15;

в) 7= 6. 655. 24 км/соат. 656. 12 км/соат. 657. 11 км/соат. 658. 2

км/соат. 659. 10 соат. 660. 500 ва 600 км/соат. 661. 42 ва 54 км/

соат. 662. 24 ва 16 соат. 663. 4 соату 40 дак. ва 5 соату 50 дак-

664. 15 ва 10 руз. 665. 24 асбоб. 666. 10 костюм. 667. 10 ва 15

км/соат.

211

НОБАРОБАРИХОБоби IV

§ 11. Н О Б А Р О Б А Р Щ О И А Д А Д И В Ахосиятхои ОЩО

34. М УК О И С АИ АДАДХО. НО БАРОБАРИ ХО И АДАДИ

Дар амалия мукоисаи ададхо васеъ истифода карда мешавад. Масалан, духтур хдрорати шахси беморро бо харорати мукар- рарй, харрот андозахои детали суфтакардаашро бо андозахои детали эталонй мукоиса менамояд. Натичахои мукоисаи ду ададро дар намуди баробарй ё нобаробарй менависанд. Барои ифода кардани ин напща аломатхои математикй = (баробар), > (калон) ё < (хурд) -ро истифода мекунанд.

Мисолхои мукоисаи ададхоро меорем.

1. Касрхои один ва — -ро мукоиса менамоем. Барои ин9 8

онхоро ба махрачи умумй меорем:

7 = 56. 1 = 459 " 72 ’ 8 “ 72 '

7 5Азбаски 56>45 аст, пас — > — мебошад.

9 о

2. Касрхои дахии 1,2772 ва 1,2782-ро дида мебароем. Ракамхои дар разрядхои вохидхо, дахдкихо ва садякихо буда якхелаанд, вале дар разряди хазорякихои касри якум раками 7 ва дар разряди хазорякихои касри дуюм раками 8 навишта шудааст. Азбаски 7<8 аст, пас 1,2772< 1,2782.

73. Касри одии — ва касри дахии 0,35-ро мукоиса мекунем.

7Касри — -ро ба касри дахй баргардонида мебинем, ки

7— = 0,35 аст. Яъне ин ду каср ба хам баробаранд.

212

4. Ададх,ои манфии -17 ва -19-ро мукоиса менамоем. Кимати м утл аки адади якум аз кимати муглаки адади дуюм хурд аст. Пас, адади якум аз адади дуюм калон мебошад, яъне -17>-19 аст.

Аз ин мисолхо чунин хулосаи умумй бармеояд: Барои ададхои дилхоуи а ва в аз вобастагщои а=в, а>в, а<в фак,ат ва фак;ат яктоаш цой дорад.

Дар боло ин ё он тарзи мукоисаи ададхоро вобаста ба намуди мушаххаси онхо истифода намудем. Пурсида мешавад, ки оё чунин тарзи мукоиса вучуд надорад, ки вай хамаи холатхои имконпазирро дар бар бигирад. Ин тарз ин аст: фарки ададхоро хисоб карда, муайян мекунанд, ки ин фарк адади мусбат, адади манфй ё баробарй нул аст. Ин тарзи умумии мукоисаи ададхо ба таърифи зерин такя менамояд:

Т а ъ р и ф. Адади а аз адади в калон аст (а>в), агар фарки a-в адади мусбат бошад; адади а аз адади в хурд аст (а<в), агар фарки a-в адади манфй бошад. Агар фарки a-в баробарй нул бошад, он гох ададхои а ва в баробаранд (а=в).

Аз таъриф бармеояд, ки хар гуна адади мусбат аз сифр калон ва хар гуна адади манфй аз нул хурд аст.

Дар хати рости координатавй адади калон бо нуктаи росттар чойгирбуда тасвир шуда, адади хурд бо нуктаи чаптар чойгирбуда тасвир меёбад. Дар хакикат, агар а ва и ду адади дилхох бошанд, он гох фарки онхоро бо с ишорат карда, мебинем, ки а=в+с мешавад. Агар с адади мусбат бошад, он гох нуктаи координатааш в+ с дар тарафи рости нуктаи координатааш в чойгир аст. Рафту агар с адади манфй бошад, он гох нуктаи координатааш в+с дар тарафи чапи нуктаи координатааш в чойгир мешавад (расми 11). Пас, агар а>в бошад, он гох нуктаи координатааш а росттар аз нуктаи координатааш в ва агар а<в бошад, чаптар аз он чойгир мешавад.

с>0 с<0 ----•------------«----- > ---- , --- • ►

в в+С в+С в

Расми 11.

213

Масалан, дар тири координатави ададй -0,075 аз тарафи4

рости ададй - — ва ададй 3,2 аз тарафи чапи ададй 4,1 чойгир

4мешаванд, чунки -0,075 > - — ва 3,2<4,1 аст.

Э з о х,. Дар катори аломатхои нобаробарихои > ва < аломатхои > (калон ё баробар) ва < (хурд ё баробар), ки аломатхои нобаробарихои гайрик,атъй ном доранд, низ истифода карда мешаванд. Нобаробарии а > в нишон медихад, ки а>в ё а=в аст, яъне а аз в хурд нест. Масалан, 12 > 2, 7 < 7,4 > 4, а > « ва с < d нобаробарихои гайрикатьиянд.

Акнун истифодаи таърифи дар боло баёншударо дар халли масъалахо дида мебароем.

М и с о л и 1. Исбот мекунем, ки нобаробарии (а+2)(д+4)>(а+1 )(а+5)

барои киматхои дилхохд а дуруст аст.Фарки кисмхои чап ва рости нобаробариро тартиб дода, онро

табдил медихем:[(а+2)(а+4)]-[(а+1)(а+5)]=а2+2а+4а+8-(а2+а+5а+5)=3. Фарки мазкур, чй тавре мебинем, барои хар як кимати а

мусбат аст. Пас, мувофики таъриф нобаробарии мазкур барои кимати дилхохи а дуруст мебошад.

М и с о л и 2. Исбот мекунем, ки агар — касри дуруст бошад,п

он гох

т т + 1— < ------- .

п п + 1

Азбаски касри — касри дуруст аст, пас т<п мебошад. Би- п

' т т + 1 т(п + \) — п(т+\) т -пнобар ин, кимати ф а р к -------------= —1------ ------------- - = — -----

п п + 1 п(п + 1) и(и + 1)

хурд аз нул аст, чунки т-п<0. Пас, нобаробарй дуруст аст.

214

М и с о л и 3. Исбот мекунем, ки суммаи квадратной ду адади дилхох, аз дучандаи хосили зарби онхо хурд нест, яъне:

а2 + в1 > 2ав.Фарки кисмх,ои чап ва рости нобаробарихоро хисоб мекунем:

(<а2+в2)-2ав=а2-2ав+в2=(а-в)2.Азбаски барои хамаи киматхои а ва в ифодаи (о-в)2 манфй

нест, яъне (а - в)2 > 0, пас нобаробарии мазкур барои киматхои дилхохи а ва в дуруст аст.

1. Тарзхои мукоисаи ададхоро, ки барои халли мисолхои 1-4 истифода шудаанд, номбар кунед. 2. Таърифи умумии мукоисаи

• ададхоро баён намоед ва бо мисолхои ададй онро шарх дахед. 3. Чй гуна нобаробариро нобаробарии гайрикатъй меноманд?

670. Таърифи нобаробарии ададиро истифода карда, ба чойи нуктахо яке аз аломатхои =, > ё <-ро чунон гузоред, ки баробарй ё нобаробарии хосилшуда дуруст бошад:

а) f - f ; б) В) 0’002- 0’05’

г) 0,012...-1,012; д) 4 у .. .4 ± ; е)

671. Ададхои а ва e-ро мукоиса кунед, агар a-в баробарй: -4; 2; 0 бошад.

672. Ададхои а ва e-ро мукоиса намоед, агар:а) а-в=-0,2; б) а-в=0; в) а-в=1,7 бошад.673. Якчанд кимати а-ро ёбед, ки барояш нобаробарй дуруст

аст:а)а+1>4; б) а+2>2,1; в) а+3>3; г) а-4<-4.674. Кадоме аз нобаробарихо барои кимати дилхохи а дуруст

аст:а) а+\>а; б) а>-а; в) -а>а; г) а2>0 ?675. Маълум, ки а<в аст. Оё фарки a-в ба адади: 3,7; -2; 0

баробар шуда метавонад?676. Кимати ифодахои 4а(а+2) ва (2я+3)(2а+1)-ро хангоми:

а--2\ а - 0; а=20 будан мукоиса кунед. Исбот кунед, ки барои

215

кимати дилхохи а кимати ифодаи якум аз кимати ифодаи дуюм хурд аст.

677. Исбот кунед, ки нобаробарй барои кимати дилхохи тагйирёбанда дуруст аст:

а)(а-1)2>-1; б) (а+в)2>-2; в) Ху+4)>4у-0,5; г) а{а+в)>ав-1.678. Нобаробариро исбот кунед:a) x2-3x+2>x(x-3); б) х(л:+6)<(х+2)(х+4);в) (а-2)2>а(а-4); г) (2х-1 )(2х+1)<4jc2 .679. Дуруст будани нобаробариро нишон дихед:а) 2в2-4в+\>2в(в-2); б) (4_у-1)(4^+1)<1бУ2+0,1;в) (57-8)2>8ЯЗ^-10); г) (с+1)(с+6)<(с+2)(с+4).680. Оё баробарй барои кимати дилхохи тагйирёбанда дуруст аст: a) 4x(x+0,25)>(2x-l)(2x+l); б) x(x+8)<(x+5)(x+3);в) 0>l)(;c+l)<x2+ l; г) (7+2х)(7-2х)<49-х(4х+1)?681*. Исбот кунед, ки агар а, в, с ададхои мусбат ва а>в

бошад, он гох:

. а + с а в + с ва ) ------ < - ; б ) -------> - .

в + с в а + с а682. Нобаробариро исбот кунед:

а) а(а + в )> а в ; б) 2а в < а 2 + в2;

в) а(а - в) > в(а - в); г) а2 -а в + в2 >ав.683. Чудокунии квадрати пурраро истифода карда, исбот

намоед, ки барои кимати дилхохи а нобаробарй дуруст аст:а) о2-4о+5>0; б) а2+50>12я;

в) 9а2 - 5а + 2 > а2 + а; г) а2 - 2а < 40а2 - 10а +1.684. Исбот кунед, ки суммаи адади мусбати дилхох ва адади

ба он чаппа аз 2 хурд нест, яъне агар а>0 бошад, он гох

а + —> 2. а

685*. Исбот кунед, ки хангоми мусбат будани ададхои а ва в нобаробарии

а в „- + — > 2 в а

дуруст аст.216

686. Нобаробариро исбот намоед:

а2 +1 а 1а ) — - > а ; б)

2 ’ а2 +1 2

687*. Исбот кунед, ки агар а >О ва в > 0 бошад, он гох,

а + в I— >Ыав аст.

2688*. Исбот кунед, ки агар а ва в ададхои мусбат бошанд, он

гох нобаробарии

а3 + в3 >ав(а + в)дуруст аст.

Машкхо барои такрор689. Касрро ихтисор кунед:

х 2 - 6 х + 9 4 х 2 -1 2 х + 9Я) 2 1 - 7 х ’ } ( 3 - 2 х ) 2690. Муодиларо хал кунед:

а ) 7 = 1 + ^ т ; 6 ) j h = 5 x ~ 4 -

691. Ифодаи 2,Зл/5^--%/20^-^у-ро сода намоед.

692. Системаро хал намоед:

[Зх + 5у = 7,\ -2 х + 3у = 5.

693*. Катораи боркаш 1 км дарозй дошта, бо суръати 50 км/ соат харакат мекунад. Дар кадом муддати вакт катора аз накби дарозиаш 1 км мегузарад?

35. ХОСИЯТХОИ НОБАРОБАРИХОИ АДАДЙ

Хосиятхои асосии нобаробарихои ададиро дида мебароем. Онхо бо теоремахои зерин баён карда мешаванд.

217

Т е о р е м а и 1 . Агар а>в бошад, он гох в<а аст; агар а<в бошад, он гох в>а аст.

Дар хакикат, агар a-в адади мусбат бошад, он гох адади ба он мукобил, ки ба фарки в-a баробар аст, адади манфй мебошад ва баръакс, хангоми адади манфй будани a-в фарки в-a адади мусбат аст.

Т е о р е м а и 2. Агар а<в ва в<с бошад, он гох а<с аст.Нишон додан даркор аст, ки фарки a-с адади манфист. Ба ин

фарк ададхои в ва -e-ро чамъ карда хосил мекунем: а-с=а-с+в-в-(а-в)+(в-с).

Мувофики шарт а<в ва в<с аст. Аз хамин сабаб чамъшавандахои a-в ва в-с ададхои манфианд. Пас, суммаи онхо низ адади манфй мебошад. Аз ин чо а<с.

Айнан хамин тавр исбот кардан мумкин аст, ки агар а>в ва в>с бошад, он гох а>с аст.

-------•---------- •----------«--------- ► -------•---------- •----------•---------а в с с в а

Расми 12.

Тасвири геометрии ин хосиятх,о дар расми 12 оварда шудааст.

Т е о р е м а и З . Агар а<в бошад, он гох барои адади дилхохи с нобаробарии а+с<в+с ной дорад.

Мувофики шарт а<в аст, бинобар ин, a-в адади манфист. Аз хамин сабаб фарки (а+с)-(в+с), ки ба a-в баробар аст, низ адади манфй мебошад. Пас, а+с<в+с аст.

Х,амин тарик, агар ба хар ду кисми нобаробарй адади дилхох, чамъ карда шавад, аломати нобаробарй аз ин тагйир намеёбад.

Х у л о с а и 1 . Агар аз хар ду кисми нобаробарй ягон адад тарх карда шавад, он гох аломати нобаробарй тагйир намеёбад.

Дар хакикат, агар а<в бошад, он гох мувофики теоремаи 3 а+(-с)<в+(-с) ё а-с<в-с мебошад.

Х у л о с а и 2 . Адади дилхохро аз як кисми нобаробарй ба кисми дигараш бо тагйир додани аломаташ гузаронидан мумкин аст.

Бигузор а<в+с аст. Аз хар ду кисми ин нобаробарй адади с- ро тарх карда, мувофики хулосаи 1 хосил мекунем: а-с<в+с-с. Аз ин чо а-с<в.

218

Т е о р е м а и 4. Агар а<в ва с ададй мусбат бошад, он гох; ас<вс аст. Агар а<в ва с ададн манфй бошад, он гох ас>вс аст.

Фарки ас-вс-ро ба намуди хосили зарб тасвир мекунем:ас-вс=с(а-в).

Азбаски а<в аст, пас a-в ададй манфист. Агар с>0 бошад, он гох хосили зарб с(а-в) ададй манфй мебошад. Бинобар ин, ас<вс аст. Агар с<0 бошад, он гох хосили зарб с(а-в) ададй мусбат мебошад. Пас, ас>вс аст.

Масалан, хар ду кисми нобаробарии — < 0,26 -ро ба 3 зарб4

3намуда, нобаробарии — <0,78-ро хосил менамоем. Агар худи

4хамон нобаробариро ба -4 зарб намоем, нобаробарии -1>-1,04 хосил мешавад.

Кайд кардан ба маврид аст, ки аз теоремаи 4 хангоми с=-1 будан бармеояд: агар а<в бошад, он гох -а>-в аст.

Х у л о с а и 3. Агар а<в ва с ададн мусбат бошад, он гох

— < — аст. Агар а<в ва с ададн манфй бошад, он гох — > — аст.с с с с

Дар хакикат, агар с>0 бошад, он гох — > 0 аст ва аз руйис

1 1 а втеоремаи 4 а • — < в • — ё — < — аст. Агар с<0 бошад, он гох

с с с с

1 „ , 1 1 . . а в— < 0 ва мувофики теоремаи 4 а —> в — е — > — аст.с с с с с

Масалан, хар ду кисми нобаробарии 0,99<1-ро мувофикан

ба 3 ва ба -9 таксим карда, нобаробарихои 0,33 < у ва - 0,11 > - -

ро хосил мекунем.Х у л о с а и 4. Агар хосили зарби ададхои а ва в ададй мусбат

1 1ва а<в бошад, он гох — > — мешавад.а в

Барои исбот кифоя аст, ки хар ду кисми нобаробарии а<в- ро ба ададй мусбати ав таксим намоем.

219

Рафту агар ав<О бошад, он гох, аз а<в нобаробарии — < —а в

бармеояд.М и с о л. Ба периметри квадрати тарафаш ба а см баробар,

бахо медихем, агар маълум бошад, ки 4,1 см < а < 4,2 см аст.Пеш аз хама кайд менамоем, ки ба бузургй ба%о додан

маънои нишон додани ду ададеро дорад, ки ин бузургй аз якеаш хурд набуда, аз дигараш калон нест.

Периметри квадрат мувофики формулаи р=4а хисоб карда мешавад. Хдр ду кисми нобаробарихои 4,1 < а ва а < 4,2 -ро ба 4 зарб карда, натичаро дар намуди нобаробарии дучанда менависем:

4,1 • 4 < 4 • а < 4,2 • 4; 16,4 < р < 16,8.Инак, периметри квадрати мазкур аз 16,4 см калон, вале аз

16,8 см хурд мебошад.

1. Теоремах,ои 1-4-ро, ки хосиятхои асосии нобаробарихои ададиро ифода мекунанд, баён кунед. 2. Агар хар ду тарафи

9 нобаробариро ба нул зарб кунем, чй хосил мешавад? 3. Теоремахои 2-4-ро барои нобаробарихои дорой аломати > баён кунед ваонхо- ро исбот намоед.

694. Маълум, ки а<в аст. Ададхои а ва в+1; а-2 ва в; а-4 ва в+3; а+2 ва e-2-po, агар мумкин бошад, мукоиса кунед.

695. Ба хар ду кисми нобаробарии -1<2 ададро чамъ кунед: а) 4; б) -3; в) 2,3; г)-2:с; д) а+в; е) а-в.696. Аз хар ду кисми нобаробарии 2>1 ададро тарх кунед:а) 2; б ) -5; в) 4,1; г) -Зу; д) а2; е) а2-в2.

697. Хар ду кисми нобаробарии -3<4-ро ба 2; ба 1; ба у ; ба

-1 зарб намоед.698. Хар ду кисми нобаробарии 8>-2-ро ба 3; ба -3; ба -1; ба

4 таксим намоед.699. Маълум, ки: а) д-2>в-2 ва в>3; б) а-1>в-1 ва я<-10;

в)6а>6в ва в > у5 г) -3я>-3в ва в < ~ ^ нобаробарихои

дурустанд. Аломати ададхои а ва в чй гунаанд?

220

700. Нобаробарии а>в дуруст аст. Нобаробариеро нависед, ки он х,ангоми:

а) ба хар ду кисми нобаробарии мазкур чамъ намудани адади3 хосил мешавад;

б) аз хар ду кисми нобаробарии мазкур тарх намудани адади4 хосил мешавад;

в) ба 7 зарб намудани хар ду кисми нобаробарии мазкур хосил мешавад;

г) ба -2,3 зарб намудани хар ду кисми нобаробарии мазкур хосил мешавад;

д) ба 4 таксим кардани хар ду кисми нобаробарии мазкур хосил мешавад;

е) ба -1 таксим кардани хар ду кисми нобаробарии мазкур хосил мешавад.

701. Маълум, ки а<в аст. Ба чойи * аломати < ё >-ро гузо- ред, ки нобаробарии дуруст хосил шавад:

а) -2,7а * -2,7«; б) 0,11а * 0,11в; в) у * г )

702. Аломати адади а чй гуна аст, агар маълум бошад, ки: а) За<2а; б) 9а>4а; в) -2а<2а; г) -6а>2а ?703. Маълум, ки а>в аст. Дар асоси кадом теоремахо тасдик

кардан мумкин аст, ки нобаробарии зерин дуруст аст:

а) -2а<-2в; б) у > у/ в) За+9>Зв+9;

г) 0,1а-0,6>0,1в-0,6; д) 2-а<2-«; е) 3 - - < 3 - - ?2 2

704. Нобаробариро сода намоед:а) 2т2-5т+6>2т2-10т+5; б) (а-3)2<(4+а)(4-а); в) (лг-1)(х+2)>(х+1)(х-2); г) (e-2)(e2+2e+4)<e3.705. Маълум, ки а, в, с ва d ададхои мусбат ва дар айни хол

1 1 1 1а>в, d<e, с>а аст. Ададхои —, —, —, — ро аз руииа в с d

афзуншавиашон чойгир кунед.706. Маълум, ки 3<а<4 аст. Нобаробарии дучандаро, ки

барои ифодаи зерин дуруст аст, нависед:а) За; б)-а; в)а+1; г) 3-а; д)0,4а+1.

221

707. 3<х<7 буданро дониста, ба ифодаи зерин бахо дихед:а) 4л:; б) -5х; в) х-3; г) Зх+4.708. Ба периметри секунчаи баробартарафи тарафаш а см

буда бахо дихед, агар маълум бошад, ки 2,9<а<3 аст.709. Ба тарафи квадрат бахо дих,ед, агар маълум бошад, ки

барои периметри он р нобаробарии дучандаи 1,6 < р < 1,64 дуруст аст.

710*. Ба кимати ифодаи — бахо дихед, агар:х

а) 3<х<5; б) 0,125<х<0,25 бошад.

Машкхо барои такрор711. Санчед, ки хангоми кимати х ба 0, 1, 2 ва 3 баробар

будан ифодахои (х2+Зх)(Зх2-Зх+2) ва 4х2(х2+1) кимати баробар кабул мекунанд. Оё онхо айниятан ба хамдигар баробаранд?

712. Кимати бисёраъзогии х 2-4х+1-ро хангоми х = 2 - V3 будан ёбед.

713. Муодиларо хал намоед:

. х 2 - 4 3 + 2х ^ 1 + х - 6 х 2а ) ---------= — -— ; б) — —— -— = х.

х 2 ' Зх + 1714*. Касри давриро ба касри одй баргардонед:

а) 1,2(11); б) 0,10(27).

36. НАМЪ ВА ЗАРБИ НОБАРОБАРИХОИ АДАДЙАмалхои чамъ ва зарби нобаробарихои ададиро дида

мебароем.Т е о р е м а и 5. Агар а<в ва c<d бошад, он гох a+c<e+d аст.Ба хар ду кисми нобаробарии а<в ададй с ва ба хар ду кисми

нобаробарии c<d ададй e-ро чамъ карда, нобаробарихои а+с<в+с ва c+e<d+e-ро хосил мекунем. Аз ин ду нобаробарй мувофики теоремаи 1 бармеояд, ки a+c<e+d аст.

Масалан, аз 2<3 ва -5<-4 бармеояд, ки -3<-1 аст. Инчунин аз нобаробарихои 1,2>1,1 ва -1>-2 бармеоад, ки 0,2>-0,9 мебошад.

Теорема хангоми аъзо ба аъзо чамъ кардани якчанд нобаробарихо низ дуруст мебошад.222

Хамин тарик, нобаробарихои аломаташон якхеларо аъзо ба аъзо чамъ кардан мумкин аст. Натичаи чамъ нобаробарии дуруст мебошад.

Т е о р е м а и 6. Агар а, в, с ва d ададхои мусбат, а<в ва c<d бошад, он гох ac<ed аст.

Х,ар ду кисми а<в-ро ба адади мусбати с ва хар ду кисми c<d-ро ба адади мусбати в зарб карда, мувофики теоремаи 4 нобаробарихои дурусти ас<вс ва ce<de-ро хосил мекунем. Аз ин ду нобаробарй мувофики теоремаи 1 бармеояд, ки ac<ed аст.

Масалан, аз нобаробарихои 2<2,1 ва 3<4 бармеояд, ки 6<8,4 аст. Инчунин аз 2,1>1,8 ва 5>4 бармеояд, ки 10,5>7,2 мебошад.

Теорема хангоми аъзо ба аъзо зарб кардани якчанд нобаробарихои кисмхои чапу росташон аз ададхои мусбат иборатбуда низ дуруст мебошад.

Хамин тарик, нобаробарихои ададии якхеларо, ки хамаи аъзохояшон мусбатанд, аъзо ба аъзо зарб кардан мумкин аст. Натичаи чунин зарбкунй нобаробарии дуруст мебошад.

Кдйд мекунем, ки агар нобаробарихои дурусти а<в ва c<d адади манфй дошта бошанд, он гох нобаробарии ac<ed нодуруст буданаш мумкин аст. Масалан, агар нобаробарихои дурусти -4<2 ва -5<3-ро аъзо ба аъзо зарб намоем, нобаробарии 20<6-ро хосил мекунем, ки он нодуруст аст.

X у л о с а. Агар ададхои а ва в мусбат ва а<в бошад, он гох барои хар гуна адади натуралии п ап<вк мешавад.

«-дона нобаробарихои дурусти а<в-ро аъзо ба аъзо зарб намуда, нобаробарии дурусти о"<в"-ро хосил мекунем.

Теоремахои исботшуда аксаран барои ба сумма, фарк, хосили зарб ва хосили таксим бахо додан, истифода карда мешаванд.

Масалан, бигузор маълум бошад, ки 10<х<12 ва 2<у<3 аст. Талаб карда мешавад, ки ба суммаи Jt+_y, фарки х-_у, хосили

зарби ху ва хосили таксими — бахо дихем.У

1. Ба суммаи х+у бахо медихем.Теоремаи аъзо ба аъзо чамъ кардани нобаробарихоро аввал

ба нобаробарии 1(Кх ва 2<у, баъд ба нобаробарихои х<12 ва у<3 татбик намуда, 12<х+у ва x+ j< 15-po хосил менамоем.

223

Натичаро дар намуди нобаробарии дучандаи 12<jc+jy<15 менависем. Аслан ба тарной кутох, менависанд:

10<х<122<у<3

12<х+у<15.2. Ба фарки х-у бах,о медихем.Барои ин фарки х>_и-ро ба намуди суммаи х+(-.у) ифода

менамоем. Аввал ба -у бахо медихем. Азбаски 2<у<3 аст, пас -2>-у>-3, яъне -3<-у<-2 мебошад. Акнун мувофики теоремаи 5 нобаробарихои якхеларо чамъ мекунем:

10<jc<12-3<-у<-2

1<х-у<10.3. Ба хосили зарби ху бахо медихем.Теоремаи аъзо ба аъзо зарб кардани нобаробарихоро татбик

намуда, х,осил мекунем:10<х<122<у<3

2§<ху<36(Ададхои х ва у дар байни ададх,ои мусбат чойгиранд, бинобар

ин, онхо низ ададхои мусбатанд, барои хамин аз 10<х ва 2<у нобаробарии 20<ху, аз х< 12 ва у<3 нобаробарии ху < 36 бармеояд).

4. Ба хосили таксими — бахо медихем.У

Барои ин хосили таксими — -ро дар намуди хосили зарби х • —У У

ифода карда, ба кимати ифодаи — бахо медихем. Азбаски 2<у<3

аст, бинобар ин ^ ^ >• j , яъне ^ < ~ < ^- Мувофики теоремаи

аъзо ба аъзо зарб кардани нобаробарихо косил мекунем:224

10<jc< 12

1 1 13 у 2

10 x— < — < 63 .v

К а й д . Дар б.II §5.14 мо бо мак,сади васеъ кардани доираи машкх,о ду хосияти решай квадратии арифметикиро беисбот оьарда будем. Х,оло теоремаи 6-ро истифода карда онх,оро исбот мекунем.

I. Аз ададй дилхохд мусбат танх,о якто решай квадратии арифметикй баровардан мумкин аст.

Масалан, чй тавре медонем, л/25 = 5 аст. Рафту агар боз

л/25 = в ва в * 5 бошад, он гох, в>5 ё в<5 аст. Агар в>5 бошад, он гох, ин нобаробариро бо худ зарб карда, нобаробарии в2>52 ё в2>25-ро *осил мекунем, ки вай ба баробарии в2=25 зид аст.Айнан хдмин тавр, агар 0 < в < 5 бошад, он гох, в2<25-ро х,осил мекунем. Хдмин тарик, ададй в, ки ба 5 баробар нест, решай квадратии арифметикй аз 25 шуда наметавонад.

II. Агар а>в>0 бошад, он гох, л/а > у/в аст.

Дар хдкикат, агар 4 а < л/е бошад, он гох, ин нобаробариро бо худ зарб карда, нобаробарии а<в-ро х,осил мекунем, ки ин ба шарт зид аст.

1. Теоремахои аъзо ба аъзо чамъ ва зарб кардани нобаро- барихоро баён намоед. 2. Теоремахои 5 ва 6-ро барои нобаробарихои дорой аломати > баён кунед ва онхоро исбот намоед.

715. Нобаробарих,оро аъзо ба аъзо чамъ кунед:а) 6>2,5 ва -7>-9; б) -1,5<-0,5 ва -4,5<-1,5.716. Нобаробарих,оро аъзо ба аъзо зарб кунед:

а) 5>3 ва 6>5; б) 8<9 ва — < —.4 3

225

717. Оё барои ададхои мусбати а ва в дуруст аст, ки:а) агар а>в бошад, он гох а2>в2;б) агар а2>в2 бошад, он гох а>в ?718*. Оё барои ададхои мусбати а ва в дуруст аст, ки:

а) агар а>в бошад, он гох —г < —г»С1 в

б) агар -Хг < бошад, он гох а>в ?а в

719*. Маълум, ки \<а<2 ва 3<в<4 аст. Ба: а) а+в; б) а-в;

в) ав; г) — бахо дихед. в

720. Маълум, ки 4<л:<6 ва 8<j><9 аст. Ба: а) х+у; б) х-у;

в) ху; г) — бахо дихед.У

721. 1,4 < yfl < 1,5 ва 1,7 < у/з <1,8 буданро дониста, ба:

а) 2 + л/3; б) д/з - бахо дихед.722. Бахой асоси секунчаи баробарпахлу а ва тарафи пахлуии

он в, ки бо сантиметрхо ифода шудаанд, маълуманд:18 < а < 20 ва 3 1 < в < 3 3 .

Ба периметри ин секунча бахо дихед.723. Дарозии росткунча а ва бари он <?-ро чен карда (бо

сантиметрхо), муайян намудаанд, ки 2,3< а< 2,4 ва 3,2<в<3,3 аст. Ба периметр ва масохати росткунча бахо дихед.

724. Бахой дарозй а ва бари хонаи росткунчашакл в маълум аст (бо хисоби метр):

7,5 < а <7,6; 5,4 <в <5,5.Агар барои китобхона хонаи масохаташ на камтар аз 40 м2

лозим бошад, ин хонаро барои китобхона истифода кардан мумкин аст?

725. Бигузор а ва р кунчхои секунчаанд ва маълум аст, ки

61° < а <62°, 109 0 < р < 110 °.Ба бузургии кунчи сеюми секунча бахо дихед.

226

Машкхо барои такрор726. Системаи муодилахоро хдл кунед:

2 ,5 х -2 у■2х = Ъ,

Ъ х -2 у-------- - + 4 = 3х.

727. Аз таносуб х-ро ёбед:8 5 5 :7 2 = 2 8 5 :* .

728. Ифодаро сода намоед:6 а Зя + 1 З а -1+ -------- +

9а2 -1 3 - 9а ва + 2729. Исбот кунед, ки:

а) хангоми а>О будан 4а + — > 4;а

б) хангоми в<0 будан 16 в + — < -8 аст.в

§ 12. Н О Б А Р О Б А Р И Х О И Х А Т Т И И Я К Т А Е Й И Р Ё Б А Н Д А Д О Р

37. ФОСИЛА ВА ПОРЧАИ АДАДЙНуктахои координатаашон ба -4 ва 3 баробарро дар хати

рости координатавй кайд менамоем (расми 13).

----------------е -------------------------е--------------------- ►-4 3 *

Расми 13.Агар нуктаи х дар байни нуктахои кайдшуда чойгир бошад,

он гох ба он адади аз -4 калону аз 3 хурд мувофик меояд.Баръакси ин тасдик низ дуруст аст: Агар адади х шарти

-4<л:<3-ро конеъ намояд, он гох вай ба нуктаи дар байни нуктахои координатаашон -4 ва 3 чойгирбуда тасвир меёбад. Мачмуи хамаи ададхо, ки шарти -4<х<3-ро каноат мекунонанд, фосилаи ададй ё умуман фосилаи аз -4 то 3 ном дорад ва чунин

227

ишора карда мешавад: (-4; 3) (ин тавр хонда мешавад: «фосилаи аз -4 то 3»). Ин фосила дар расми 14 тасвир шудааст.

_______ 0 / / / / / / / / / / / / Q________ ^ х _______ %/ / / / / / / / / / / / 9-4 3 -4 3

Расми 14. Расми 15.Рафту ададй х шарти - 4 < х < 3 -ро каноат намояд, он гох

вай бо нуктае тасвир карда мешавад, ки он ё дар байни нуктахои координатаашон -4 ва 3 чойгир аст, ё бо яке аз онх,о хамчоя мешавад. Мачмуи ин гуна ададао порчаи ададй ё умуман порчаи аз -4 то 3 ном дошта, бо [-4; 3] ишорат карда мешавад (ин тавр хонда мешавад: «порчаи аз -4 то 3»). Ин порча дар расми 15 тасвир карда шудааст.

Мачмуи ададхои х, ки барояшон нобаробарии дучандаи- 4 < х < 3 ичро мешавад, нимфосила номида, бо (-4; 3] ишора мекунанд («нимфосилаи аз -4 то 3» хонда мешавад). Мувофикан, мачмуи ададхои х , ки барояшон нобаробарии дучандаи- 4 < х < 3 ичро мешавад, нимпорча ном дошта, бо [-4; 3) ишорат карда мешавад («нимпорчаи аз -4 то 3» хонда мешавад). Нимфосила ва нимпорча, мувофикан дар расмхои 16 ва 17 тасвир шудаанд._______

-4 з -4 3Расми 16. Расми 17.

Дар хати рости координатавй нуктаи координатааш 5-ро кайд мекунем. Агар ададй х аз 5 калон бошад, он гох, вай бо нуктае тасвир меёбад, ки он дар тарафи рости нуктаи кайдшуда чойгир аст (расми 18). Мачмуи хамаи нуктахои х, ки шарти х>5- ро каноат менамоянд, бо нимхати росте тасвир меёбад, ки он дар тарафи рости нуктаи координатааш 5 чойгир мебошад (расми 19). Ин мачмуъро фосилаи аз 5 то плюс беохир меноманд ва чунин ишора мекунанд: (5;+оо) (ин тавр хонда мешавад: «фосилаи аз 5 то плюс беохир»),

Мачмуи ададхои х, ки шарти х > 5 -ро каноат менамоянд, бо худи хамон нимхати рост, ки нуктаи координатааш 5-ро низ дар бар мегирад, тасвир карда мешавад (расми 20). Онро бо [5;+оо) ишорат менамоянд (чунин хонда мешавад: «нимпорчаи аз 5 то плюс беохир»),

228

Y С ^Расми 18. Расми 19.

5Расми 20.

Мачмуи ададхои х, ки барояш яке аз нобаробарихои х<8 ё х < 8 ичро мешавад, мувофикан бо (-°°;8) ё бо (-оо;8] ишора карда мешавад. Навишти (-оо;8)-ро «фосилаи аз минус беохир то 8» хонда, навишти (-оо;8]-ро «нимпорчаи аз минус беохир то 8» мехонанд.

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /^_______ ^х / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /^________8 8

Расми 21. Расми 22.Тамоми хати рости координатавй мачмуи хамаи ададхои

хакикй - R-ро тасвир мекунад. Ин мачмуъро бо (-°о;-нх>) ишорат мекунанд.

Порчахои [1; 4] ва [2; 6]-ро дар хати рости координатавй тасвир карда, мебинем, ки порчаи [2; 4] кисми умумии онхо аст (расми 23).

/////ц///// m _ 1//////Ц I///////1• щ/// / /п/ / / / /щ * • • ■ ■ *■1 2 4 6 0 3 5 9

Расми 23. Расми 24.

Т а ъ р и ф и 1 . Цисми умумии мачмуъхои А ва В буриши ин мачмуъхо ном дорад.

Буриши мачмуъхои А ва 2?-ро бо Ап, В ишорат мекунанд. Чй тавре дидем, порчаи [2; 4] буриши мачмуъхои [1; 4] ва [2; 6] аст. Хдмин тарик,

[ l ;4 ]n [ 2 ;6 ] = [ 2 ;4 j .Порчахои [0; 3] ва [5; 9] дорой элементхои умумй нестанд

(расми 24). Агар мачмуъхо дорой элемента умумй набошанд, он гох мегуянд, ки буриши онхо мачмуи холист. Ё мегуянд, ки онхо хамдигарро намебуранд. Мачмуи холй бо аломати 0 ишорат карда мешавад. Хамин тарик,

[О ;3 ]о [5 ;9 ]= 0 .

229

Хдр як адади порчаи [1; 6] (ниг. ба расми 23) акаллан ба яке аз порчахои [1; 4] ва [2; 6] ва ё ба хдр дуй ин порчахо тааллук дорад. Мебинем, ки [1; 6] аз хамчоя шудани ду порчаи [1; 4] ва [2; 6] хосил шудааст.

Т а ъ р и ф и 2. Мачмуе, ки он аз элементной ба мачмуъхои А ва В тааллук дошта иборат аст, хамчояшавии ин мачмуъхо номида мешавад.

Хамчояшавии мачмуъхои А ва В-ро бо A ^jB ишора мекунанд. Чй тавре дидем, порчаи [1; 6] хамчояшавии порчахои [1; 4] ва [2; 6] мебошад. Хамин тарик,

[1; 4] u [2; 6]=[1; 6].Бояд кайд кард, ки хамчояшавии фосила (порча)-хо на

хамеша аз фосила (порча) иборат аст. М асалан, мачмуи [0; 3] и [5; 9] порча нест (ниг. ба расми 24).

Чанд мисоли дигари буриш ва хамчояшавии мачмуъхоро меорем. Буриши мачмуи ададхои бутуни гайриманфй ва мачмуи ададхи бутуни гайримусбат адади нул буда, хамчояшавиашон мачмуи хамаи ададхои бутун мебошад. Буриши мачмуъхои ададхои мусбат ва манфй мачмуи холист, вале хамчояшавии онхо мачмуи ададхои хакикй (гайр аз нул)-ро ташкил медихад.

Буриши мачмуи ададхои ратсионалй Q бо мачмуи ададхои ирратсионалй J , мачмуи холй буда, хамчояшавии онхо мачмуи ададхои хакикй аст. Хдмин тарик,

Q r\ J = 0 , Q kj J = R - ( -ао; +ос).

1. Фосила, порча, нимфосила ва нимпорчаро дар хати рости координатавй тасвир намоед ва ишорати онхоро нависед. Хусусияти фарккунандаи якеи онхоро аз дигархояшон номбар кунед. 2. Ишорахои ( - оо а), ( - оо а], (а; + оо ) ва [а; + оо )-ро шарх дихед. Адади ба ин мачмуъхо тааллувдошта кадом нобаробариро каноат менамояд? 3. Буриш ва хамчояшавии ду мачмуъ гуфта, чй гуна мачмуъро меноманд? Мафхумхоро бо мисолхо шарх дахед. Магар хамчояшавии ду порча хамеша порча асг? 4. Мачмуи холй чист? Вай чй тавр ишорат карда мешавад?

730. Мачмуъро дар хати рости координатави тасвир намоед: а) [-2; 3]; б) (-4; 4); в) (0; 3]; г) [-5; 0);д )(2 ;+оо); е)[3;+оо); ж )(-оо;3]; з)(-оо;-2).

230

731. Мачмуи дар раем тасвиршударо дар шакли нобаробарии дучанда нависед:

а) ____--------------------------* б) ------ 0 ////////////0------ >-2 5 - 1 3

В) , / / / / / / / / / / / / 0 , г ч Q/ / / / / / / / / / / / t (

- 1 8 0 4732. Дар хати рости координатавй мачмуъро тасвир намоед: а) (4; 7); б) [1; 8]; в)(-оо ;1); г)[10 ;+ °о).733. Дар хати рости координатави мачмуи ададхоеро, ки онх,о

нобаробарии:а) х > - 2 ; б ) х < 3 ; в)л:>7; г) х<-4

-ро каноат менамоянд, тасвир кунед.734. Дар хати рости координатавй мачмуи ададхоеро, ки онхо

нобаробарии дучандаи:

а) -1 ,5 < л: < 3; б)-1<л:<1,2; в ) - 4 < л: < - 2 ^ ; г )1 < л :< 5 ,6

-ро каноат менамоянд, тасвир кунед.735. Оё ададй: -4; -5; 5; 7,5; -4,6; -4,8 ба фосилаи (-5; 7,5)

тааллук дорад?736. Оё ададй: -7; -6; -5,2; -1,5; -1; -6,5 ба порчаи [-6; -1] тааллук

дорад?737. Кадоме аз ададхои -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 ба а) [1,5; 6,5]; б) (3; + » ) ; в) (-oo; 1] тааллук доранд?

738. Оё ададй: а) >/2; б) л/3; в) л/5; г) л/б ба фосилаи(1,5; 2,4) тааллук дорад?

739. Ду ададй мусбат ва ду ададй манфиро номбар кунед, ки инхо ба:

а) фосилаи (-3; 2); б) порчаи [-1; 1] тааллук дошта бошанд.740. Кадоме аз ададхои бутун ба: а)фосилаи (-5; 2); б) порчаи

[-2; 6] тааллук доранд?741. Ададхои бутунро, ки ба: а)фосилаи (-4; 4); б) нимфосилаи

(-3; 5]; в) нимпорчаи [-3; 5); г) порчаи [0; 8] тааллук доранд, номбар кунед.

742. Ададй калонтарини бутунро ёбед, ки он ба: а) фосилаи (-8; 10); б) нимфосилаи (-11; 1]; в) нимпорчаи [-0,1; 4,2); г) порчаи

231

[-12; -9]; д) нимфосилаи ( - с » ; 28]; е) фосилаи ( - с ю ; 7) тааллук дорад.

743. Адади хурдтарини бутунро ёбед, ки он ба: а) фосилаи (-7; 8); б) порчаи [2; 5,2]; в) фосилаи (-2; + оо); г) нимпорчаи [3; +оо) тааллук дорад.

744. Оё адади 0,99 ба фосилаи (-оо; 1) тааллук дорад? Ду адади аз 0,99 калонеро ёбед, ки ба ин фосила тааллук дошта бошанд. Оё адади калонтарини ба ин фосила тааллукдоштаро ёфтан мумкин аст? Оё дар ин фосила адади хурдтарин вучуд дорад?

745. Хати рости координатавиро истифода карда, буриши мачмуъхоро ёбед:

а) (1; 6) ва (4; 9); б) [-3; 3] ва [-5; 5];в) (4; + о о ) ва (7; + о о ) ; г) ( - о о ; 10) ва ( - о о ; 6).746. Дар хати рости координатавй хамчояшавии мачмуъхоро

ёбед:а) [-6; 0] ва [-2; 4]; б) (-3; 2) ва (8; 10);в) (-оо; 3) ва (7; +оо); г) [2; +оо) ва (5; +оо).747. Хати рости координатавиро истифода карда, буриш ва

хамчояшавии мачмуъхоро ёбед:а)(-4 ;+ оо ) ва ( 3 ;+оо); б )(-о о ;3) ва [0;+оо);в) (-се; 4) ва (-оо; 7); г) [1; 6] ва [0; 9].

Машкхо барои такрор748. Дар силсилаи баробарихои зерин хаторо ёбед:

,\21-3=4-6; 1 -3 + — = 4 - 6 + —; II

1=2 ?

749. Нобаробарии а2+3>2я-ро исбот кунед.750. Суръати завраки мотордор дар оби ором 18 км/соат аст.

Вай ба самти чараёни дарё назар ба мукобили чараёни дарё 12 км-ро 9 дакика тезтар шино менамояд. Суръати чараёни дарёроёбед.

751 . Муодилаи квадратии ислохшударо нависед, ки решахояш ба -2 ва ба 4 баробаранд.

232

752. Функсия бо формулаи у = — —- дода шудааст. Барои

кадом кимати х кимати функсия ба -1 баробар аст.

38. ХАЛЛИ НОБАРОБАРИХОИ ХАТТЙНобаробарии 2х-9>3 барои баъзе киматхои тагйирёбандаи х

нобаробарии дуруст буда, барои киматхои дигари он нобаробарии нодуруст шуда метавонад. Масалан, хангоми х=1 будан, нобаробарии дурусти 2-7-9>3 хосил мешавад, вале агар х=4 бошад, ба нобаробарии нодурусти 2-4-9>3 доро мешавем. Дар •чунин маврид мегуянд, ки адади 7 халли нобаробарии 2х-9>3 аст ё х -1 нобаробариро каноат менамояд. Ба осонй нишон додан мумкин аст, ки, масалан, хар яке аз ададхои 50, 100, 170, 10000 халхои нобаробарианд ва баръакс, ададхои 4; 2; 0; 2; -5 халхои нобаробарй нестанд.

Т а ъ р и ф. Кимати тагйирёбанда, ки нобаробариро ба нобаробарии дурусти ададй мубаддал мегардонад, халли нобаробарй номида мешавад. М асалан, адади 3 халли нобаробарии 4(5-х)>5х-9 аст, чунки хангоми х=3 будан, нобаробарии дурусти ададии 8>6 хосил мешавад. Баръакс, адади х=4 халли нобаробарй нест, чунки барои ин кимат нобаробарии 4>11 хосил мешавад, ки он нодуруст аст.

Х,ал кардани нобаробарй аз ёфтани %амаи х,алхгои он ё аз исботи вуцуд надоштани х;алх,о иборат аст. Нобаробарихое, ки халхои якхела доранд, нобаробарихои баробаркувва номида мешаванд. Нобаробарихои халнадошта низ баробаркувва хисоб карда мешаванд. Масалан, нобаробарихои х+1>2+х ва х2<0 ба хамдигар баробаркувваанд, чунки онхо хал надоранд.

Ёфтани халли нобаробарихо ба истифодаи хосиятхои асосии нобаробарихои ададй, ки онхо бо теоремахои 1-4 ва хулосахои онхо баён шудаанд, асос карда шудааст. Он хулосахоро, ки махз ба ёфтани халли нобаробарихо мутобик карда шудаанд, аз нав меорем:

1). Агар чамъшавандаро аз як кисми нобаробарй ба кисми дигараш гузаронем, нобаробарии ба он баробаркувва хосил мешавад;

2). Агар хар ду кисми нобаробариро ба як адади мусбат зарб ё таксим кунем, нобаробарии ба он баробаркувва хосил мешавад;

233

3). Агар хдр ду кисми нобаробариро ба як ададй манфй зарб ё таксим кунем ва дар айни х,ол аломати нобаробариро ба мукобилаш иваз намоем, нобаробарии ба он баробаркувва х,осил мешавад.

Масалан, нобаробарии24+8х>0

ба нобаробарии 8х>-24 баробаркувва аст. Охирин бошад, ба нобаробарии х>-3 баробаркувва мебошад.

Акнун мисолх,ои хдлли нобаробарих,ои ба ном хаттиро муоина менамоем.

М и с о л и 1. Нобаробарии 17х>12х+35-ро хдл мекунем. Чамъшавандаи 12х-ро бо аломати мукобил аз кисми рости

нобаробарй ба кисми чапи он мегузаронем:17х-12х>35.

Ислохкунии аьзохои монандро ичро карда,5jc>35

-ро х,осил мекунем. Хдр ду кисми нобаробарии охиринро ба 5 таксим намуда, ба нобаробарии

х>1доро мешавем.

Мачмуи хдлх,ои нобаробарй аз хдмаи ададх,ои аз 7 калон иборат аст. Ин мачмуъ бо фосилаи ададии (7; + оо) ифода карда мешавад, ки он дар расми 25 акс ёфтааст.

7Расми 25.

Чдвобро дар намуди фосилаи ададии (7; + °°) ё дар намуди нобаробарии х>7, ки фосилаи мазкурро ифода менамояд, навиштан мумкин аст.

М и с о л и 2. Нобаробарии 45х-26(2х+1)>Зх+16-ро х,ал мекунем.

Кавси кисми чапи нобаробариро мекушоем: 45х-52х-26>3х+16.

Бо аломати мукобил чамъшавандаи Зх-ро аз кисми рости нобаробарй ба кисми чап ва чамъшавандаи -26-ро аз кисми чап ба рост гузаронида, аъзох,ои монандро ислох, мекунем:

45х-52х-3х> 16+26,-10х>42.

234

Х,ар ду кисми нобаробарии охиринро ба -10 таксим намуда, аломати нобаробариро ба мукобилаш иваз мекунем:

х<-4,2.

-4,2Расми 26.Мачмуи халхои нобаробарй фосилаи (-оо; -4,2)-ро, ки он дар

расми 26 тасвир карда шудааст, ифода менамояд.Ч, а в о б: ( - о о ; -4,2).

X XМ и с о л и 3. Нобаробарии — - — < 2 -ро хал мекунем.

Хдр ду кисми нобаробариро ба махрачи умумии хурдтарини касрхои дар нобаробарй дохилбуда, яъне ба адади 20 зарб намуда,

— •20 - — -20 < 2 - 2 0 ,5 4

4 х - 5 х < 40-ро хосил менамоем.

Аз ин чо- х < 40, х > -40 .

Ч а в о б: [-40; +оо).Э з о х и 1. Хар як нобаробарии дар боло халкардаамонро бо

нобаробарии ба он баробаркувваи намудаш ах>в (ах > в) ё ах<в (ах < в), ки дар ин чо а ва в ягон ададанд, иваз кардем. Нобаробарихои ин хел намуддоштаро нобаробариуои хаттии яктагйирёбандадор меноманд.

Э з о х и 2. Дар мисолхои муоинашуда мо чунин нобаробарихои хаттиро хосил намудем, ки дар онхо коэффитсиенти назди тагйирёбанда баробарй нул нест. Хангоми хал кардани нобаробарихо бо нобаробарихои хаттии намудашон0 х>в ё 0-х<« дучор шудан мумкин аст. Ин нобаробарихо ва бинобар ин, нобаробарии ибтидоии мувофик ё хал надоранд, ё адади дилхох халли онхо мебошад.

М и с о л и 4. Нобаробарии 3(л:+7)-7л:<2-4х-ро хал мекунем: 3x+21-7x<2-4x,3jc-7x +4x <2-21.

235

Аъзох,ои монандро ислох карда, нобаробарииО • х < -19

-ро хосил мекунем, ки хал надорад, чунки барои киматхои дилхохи х вай ба нобаробарии нодурусти 0 < -19 мубаддал мегардад. Пас, нобаробарии додашудаи ба он баробаркувва низ дорой хал нест.

Ч а в о б: 0 .

1. Чиро хдлли нобаробарй меноманд? Хдл кардани нобаробарй чй маъно дорад? 2. Дар кадом маврид ду нобаробарй баро- баркувваанд? Мисоли нобаробарихои баробаркувваро оред. 3. Хосиятхои асосии нобаробарихои ададиро, ки ёфтани халли нобаробарихо ба онхо асос карда шудаанд, номбар намоед. 4. Чаро халли нобаробарии 0<х<в хангоми в<0 будан мачмуи холй аст?

753. Магар кимати ба: а) 4; б)-1; в) 0,5; г) 2,5 баробарй х халли нобаробарии Зх>2(х-2)+5 аст?

754. Кадоме аз ададхои -3; -1; -5; -0,2 халли нобаробарии 8х+1<Зх-4 мебошад?

755. Ду халли дилхохи нобаробарии 4х<х+6-ро нишон дихед.756. Нобаробариро хал намоед ва мачмуи халхои онро дар

хати рости координатавй тасвир кунед:а) х+5>0; б) х-6<0; в) х+2,5 0; г) х - 0,7 0.757. Нобаробариро хал намоед:а) 2х>10; б) -2х<-8; в) - х > -2 ; г) 7х < 9;

д)-5х>10; е ) 6 х < 0 ; ж ) - у х > 6 ; з ) - у х < - 2 .

758. Нобаробариро хал карда, мачмуи халхои онро дар хати рости координатавй тасвир намоед:

а) Зх<8; б) 2х>-5; в) - 7х < -1 2 ; г) -х<-5,5;

д) V * < 2; е ) - —х £ 0 ; ж) 8х £ - 2 4 ; з) 0,02х £ -0 ,6 .3 4759. Се халли дилхохи нобаробарии 4х+1>9-ро нишон дихед.

760. Нобаробарии 2х-1<4-ро хал кунед. Оё адади: 3; 2 —;4

42 — халли ин нобаробарй аст?

236

761. Нобаробариро х,ал намоед:а) 4х-2,5<0,3; б) 1-3 у>2;в) 2х -1 5 > -2 9 ; г ) 4 - 2 а < 1 ;д) 2-Зх<х+4; е) 20 + 4х > 18 - х;ж ) 3 6 - 6 у < 1 - у ; з) 21 + 6у > 8 + 5>».762. Нобаробариро х,ал кунед ва мачмуи хдлх,ои онро дар

хати рости координатавй тасвир намоед:а) 7 х -2 < 5 ; б) 4 -3 ^ > -2 ; в) 1 8 - х <12; г) 2 -10х> -1 ;д) 2j^-3 > - l + 4 j , е) 8в - 1 < 12 + 1в;ж) 11х-20>х+7; з) 0,2х-2<7-0,8х.763. а) Барои кадом киматх,ои х кимати дуаъзогии 2х-1

мусбат аст?б) Барои кадом киматх,ои у кимати дуаъзогии 24-4у манфй

аст?в) Барои кадом киматх,ои z кимати дуаъзогии 4-3z аз 40 калон

аст?764. а) Барои кадом киматх,ои а дуаъзогии 2а-1 аз кимати

дуаъзогии 5-1,4а хурд аст?б) Барои кадом киматхои в кимати дуаъзогии 1,5в+1 аз

кимати дуаъзогии 2+1,Зв калон аст?765. Нобаробариро х,ал кунед:a) 4j>-9>30-2); б) 3(х-2)-2х<4х+1;в) 6х + 1 S 2(х - 1) - Зх; г) сг+2<5(2а+8)+52-1 За;д) 5x+l>2(x-l)+3x+3; е) 3(х-2)+х<4х+1;ж) 5(2х -1 ) < 7х + 3; з) 2,5х + 4 > 3(х - 2) + 1.766. Х,алли нобаробариро ёбед:а) 5(х+2)-3(х-1)-х>х; б) 3(2х-1)+3(х-1)>5(х+2)+2(2х-3);в) 2(2 - z) - 3(2 + z) < z; г) 6 у - ( у + 8) - 3(2 - у) < 2;д) 3,2(а - 6) - 1,2а < 3(а - 8); е) -(1-х)-(х-2)>х-5;

ж) 3(2х - 1 ) - 2(х + 2) > 2х + 2; з) 2(6х - 5) + 6(2 - х ) < 16.767. Нобаробариро хдл кунед:а) а(а-4)-а2>12-6а; б) (х-1)2+7>(х+4)2;в) (1+х)2+Зх2<(2х-1)2+7; г) 2х(2х-1)-5х<4х2-х.

237

768. Хдлли нобаробариро ёбед:а) (х + 3 ) ( х - 2 ) > ( х + 2 ) (х -3 ) ;б) (х+1)(х+4)+4>(х+2)(х-3)-х;в) (2х + 5)2 - (2х - 1)(2х + 1) < 15;г) (2 7 + 3)(8 7 -1)<(4 у-1)2;Д) (х + 1)2 - ( х + 4 )2 < ( 6 - х ) 2 - ( 3 - х ) 2;е) ( 4 - х ) 2 ~ (х + 6)2 > ( х + 5)2 - ( 2 - х ) 2.

769. Нобаробариро хал кунед:а) 4х(1-3х)-х(1-12х)<42; б) Зу2 - 2 у - З у ( у - в ) > - 2 ;

в) 2р(5р+ 2) - р(\0р+ 3) < 14; г) а(а-1)-(а2+а)<34.770. Нобаробариро хдл намоед:

ч 3 х л —ч х 1. 2х 2х — 1 1а) — > 1; б) — < 1, в) — ^ О, г) — -— > 1;

4 - 4 - х 5 + 2х ч 1 - 3 х ^ _ ч 2 . _ч Д) 3 > —— ; е ) —-— < 0; ж ) — — > 0; з ) 5 < - ( х + 3);

6 /U 7

и) у ( * - 3) < 4; к) 7 > ~ ^ ; л) З х ~ 4 < 0; м) 1 >

111. Барои кадом киматхои х:

а) киматхои касри — —— аз киматхои мувофики касри6

5 - 6 х _--------- калон аст?4

1 -З х 4х + 5б) киматхои касри-------- аз киматхои мувофики касри--------10 8

хурд аст?в) киматхои дуаъзогии 6у-1 аз киматхои мувофики касри

3 , - 1— -— калон аст?4

г) киматхои касри - - аз киматхои мувофики дуаъзогии

1-5, хурд аст?

238

a ) i + f <2 ; б) М > - 2; » ) t “ xsS1: r) ^ + f > 2 ;

д) ~~-~2х < 0; е) < 2х; ж)^— - > 2 а ; з) - z < - Z— 3 .

773. Хдлли нобаробариро ёбед:

ч 1 1 1 ^ 2 9 1а> Т * - 4 > Г + 3: 6) 5 " Ш Л > Ж " Х:

. Зх + 2 х - 3 „ . х + 4 З х - 1 в) — --------- 2 < Г ) Х ----- 4 + 2 <

ч х - 2 2х + 2 , 2 х - 8 З х - 5 ^ .д> — --------— >1; е ) — -------- 2

ж ) 2 <»£1±2 _ 1 0 * - 2 ) 32_1 l _ £ + 2 < , _ £' 10 9 ' 5 2 1

774. Нобаробариро хал кунед:

ч Зу + 4 7 v - 8 l + 7v „ 4 7 - х 2 х + 3 1 + 21ха ) —------< —------ + -------—; б ) ------------- — > ----------;

; 5 6 15 4 3 8

х 5 х - 7 З х - 2 13х + 9 ч 3(2 + а) 1 а - 2 12 + 4ав) + --------- > ----------- ; г) —------- - - 6 < ---------------------- ;2 7 6 2 3 5

5 ^ - 3 3 - у l l y - l . , 5у + 2 4у + 1 4у + 13 4 6 8 ’ 2 3 7 ’

. 8 + 7х 17 + Зх 5 х - 2 5 а - 1 8 2 7 - 1 0 а З а - 1 2 9 - 4 а ж)— ---------- 3)П о --------------------- 4 ~ 5-----------Г '

775. Нобаробариро хал кунед:ч . х 2х 12 х - 1 а ) х + 4 - у < — ; б ) — ----- < 4х - 3;

ч , 2х - 1 З х - 2 хв ) х - 1 > — - — ; г) — - — < 2(х - 1 ) - —.

776. Функсия бо формулаи >,=-2,5х+7,5 дода шудааст. Барои кадом киматхои х:

а) _у=0; б) у>0; в) у<0 мешавад.

111. Нобаробариро хдл намоед:

239

111. Барои кадом киматх,ои х функсияи бо формулаи у=2х+11 додашуда киматхои: а) мусбат; б) манфй кабул менамояд?

778. Ифода барои кадом киматх,ои тагйирёбанда маънодорад:

а) у/2х - 3; б) V3 - 5 jc ; в)

Г) д) л/- 2(! - 3^); е) У ~ (5 -в )?

779. Ададй бутуни калонтаринро ёбед, ки он нобаробарии: а) 5>1,6-(3-2х); б) 3*-1<х-3(х+4)

-ро каноат менамояд.780. Ададй бутуни хурдтаринро ёбед, ки он нобаробарии:

. . „ , , , х + 4 х + 7а) Зх-2>1,5х+4; б ) ---------------— < -37 4

-ро каноат менамояд.781. Барои кадом киматх,ои коэффитсиент муодилаи:

а) х 2+2х+с=0; б) ах2+Зх-1=0реша дорад?

782. Барои кадом киматх,ои коэффитсиент муодилаи: a) х2-3х+с=0; б) ах2-4х+3=0

реша надорад?783. Барои кадом киматхои натуралии п:а) фарки (2-4и)-(5л-30) ададй мусбат аст;б) суммаи (-35,2+5л)+(17,1+Зл) ададй манфй аст?784. Ахмад бояд 40 кг пахта чинад. Вай супоришро на кам

аз 105% ичро намуд. Пахтай чиндаи Ахмад аз чанд кило кам нест?

785. Чунин ададй токи хурдтаринро ёбед, ки суммаи он бо се ададй токи пасояндааш аз 49 калон мебошад.

786. Чунин ададй чуфти калонтаринро ёбед, ки суммаи он бо се ададй чуфти пасояндааш аз 69 хурд мебошад.

787. Як тарафи росткунча 8 см аст. Тарафи дигари он бояд чй кадар бошад, то ки периметри ин росткунча аз периметри квадрати тарафаш 6 см хурд шавад?

788. Дарозии асосии параллелепипеди росткунча 12 м, бараш5 м аст. Баландии ин параллелепипед бояд чй кадар бошад, то ки хдчми он аз хдчми куби тегааш 9 м зиёд нашавад?240

789. Сайёхони бо завраки мотордор ба равиши чараёни дарё шинокунанда бояд ба чойи исташон баргарданд. Суръати чараёни дарё 2 км/соат, суръати заврак дар оби ором 16 км/ соат аст. Сайёхон бояд чй кадар масофаро тай намоянд, то ки саёхдташон аз 4 соат зиёд давом накунад?

Машкх,о барои такрор

х 2 + х — 4 I—790. К^имати касри — -— ------ ро хднгоми х = 1 + V3 будан,

ёбед.791. Муодиларо хал намоед:a) 2(х-2)(х2+4)=0; б) (2х+1)(х2-2)=0.792. Барои адади дилхохи а баробарихои (+af=a2 ва (-af=a2

Чой дорад. Яъне, баробарии {+af={-af дуруст аст. Пас, +а=-а ё 2а=0, бинобар ин а=0. Хатой ин мулохизаронихоро ёбед.

793. Адади хурдтарини бутунеро ёбед, ки он ба: а) (5; + 00 );б) (3; 7]; в) [1; 3) тааллук дорад.

39. ХАЛЛИ СИСТЕМАИ НОБАРОБАРИХОИ ХАТТИИ ЯКТАГЙИРЁБАНДАДОР

М а с ъ а л а . Автобус бо 10 рейс аз 238 зиёд ва бо 16 рейс аз 400 кам мусофир кашондааст. Дар автобус чанд чойи нишаст хает?

Х а л . Бигузор микдори чойи нишаст дар автобус ба х баробар аст. Ба 10 рейс вай Юх мусофир мекашонад. Мувофики шарти масъала 10jc>238 аст. Мувофикан бо 16 рейс 16х мусофир кашонда шуда, мувофики шарт бояд 16х < 400 бошад.

Чунин кимати х-ро ёфтан лозим аст, ки барояш хам нобаробарии 10х> 238 ва хам нобаробарии 16х<400 дуруст аст. Дар ин гуна мавридхо мегуянд, ки системаи нобаробарихоро хдл кардан лозим аст ва навишти

JlO x > 238,[16jc < 400

-ро истифода менамоянд. Хар як нобаробарии системаро бо нобаробарии ба он баробаркувва иваз намуда, хосил мекунем:

(х > 23,8 [х < 25 .

241

Хамин тарик,, кимати номаълуми х бояд шарти 23,8<х<25- ро каноат намояд. Вале аз руйи маъно кимати тагйирёбандаи х бояд бутун бошад. Ягона ададй бутуне, ки ба фосилаи (23,8; 25) тааллук дорад, ададй 24 аст.

Ч, а в о б: Автобус 24 чойи нишаст дорад.Т а ъ р и ф. Х,алли системам нобаробарихои хаттии

яктагйнрёбандадор гуфта, чунин кимати тагйнрёбандаро меноманд, ки барояш хар яке аз нобаробарихои система дуруст аст.

Масалан, ададй 5 халли системаи нобаробарихои

[2х -1 > 9,(х + 1 < 7

аст, чунки хднгоми х=5 будан, хдр ду нобаробарй дуруст аст:

[ 2 - 5 - 1 > 9,[5 + 1 < 7 .

\ал кардани системаи нобаробарихо аз ёфтани хдмаи хдлхои >н ё аз исботи вучуд надоштани хдлх,о иборат аст.

М и с о л и 1. Системаи нобаробарихои

Зх -1 > 8,5 - 2 х > -11

-ро хдл мекунем:

ГЗх > 9,{ - 2х > -16 .

А ч ин чо:

Расми 27.

Киматх,ои х, ки х,ар яке аз нобаробарих,ои х>3 ва х<8-ро каноат менамоянд, х,алх,ои системаанд.

Мачмуи ададхоеро, ки нобаробарии х>3-ро ва мачмуи ададхоеро, ки нобаробарии х<8-ро каноат менамоянд, дар хати рости координатавй тасвир намуда (расми 27), меёбем, ки хднгоми 3<х<8 будан, хар ду нобаробарих,о дурустанд.

Мачмуи хдлхои система фосилаи (3; 8) мебошад.

242

|х > 3,

|х < 8.

Чдвобро дар намуди фосилаи (3; 8) ё дар намуди нобаробарии дучандаи 3<х<8, ки ифодакунандаи ин фосила аст, навиштан мумкин аст.


|4х - 5 > 17,[1 - л: < О

-ро хал мекунем:\4х > 22,- х < —1;

^ / / / / / / / / / / / / - / / / / / / / / / / / / .

* > 5,5, и ° ////////////w1 5,5х > 1.

Расми 28.

Мачмуи халхои хар як нобаробарии системаро дар хати рости координатавй тасвир мекунем (раси 28). Хар ду нобаробарй хангоми х>5,5 будан дурустанд. Ч д в о б р о дар намуди нобаробарии лг>5,5 ё дар намуди фосилаи ададии (5,5; + оо ), ки ифодакунандаи хамин нобаробарй мебошад, навиштан мумкин аст.


3 - х > О,0,5л: - 2 < 0

-ро хал менамоем:

Г- х > - 3 ,

г“’5Д < 2 ’ ----------- *

\х < 4- Расми 29.Хати рости координатавиро истифода карда, халли умумии

нобаробарихои х<3 ва х<4-ро, яъне буриши мачмуъхои халхои онхоро меёбем (расми 29). Мебинем, ки буриши ин мачмуъхо аз ададхои шарти х<3-ро кдноат мекардагй, яъне аз фосилаи (-оо; 3) иборатанд.

Ч, а в о б: (-оо; +3).

243

[1 - 4дс > 9,[Зх - 9 > О

-ро хал мекунем:

Г- 4 jc > 8,[Зх > 9;

Гх < -2 , ////////////0________ Q////////////t{х > 3. *2 3

Расми 30.

Хати рости координатавиро истифода карда (расми 30) мебинем, ки мачмуи ададхои нобаробарии х<-2 ва мачмуи ададхои нобаробарии х>3-ро каноат мекардагй элемент (адад)- и умумй надоранд, яъне буриши онхо холист. Пас, системаи додашуда хал надорад.

Ч, а в о б: 0М и с о л и 5. Нобаробарии дучандаи -2<1+2х<5-ро хал

мекунем.Нобаробарии дучандаи мазкур навишти дигари системаи

нобаробарихои

fl + 2x > -2 ,[1 + 2х < 5

мебошад. Ин системаро хал карда меёбем, ки хар ду нобаробарй хангоми

-1, 5<х<2будан дурустанд.

Барои ин мисол ин гуна баёни хал бехтар аст:-2<1+2х<5,-3<2х<4,-1,5<х<2.


1. Халли системаи нобаробарихо гуфта чиро меноманд?2. Системаи нобаробарщоро хал намудан чй маъно дорад?

244

794. Оё ададй 2 халли системаи нобаробариро мебошад:

Г 2х - 1 > х,а) 7х - 20 < 4х; б)

J 4х + 2 < 11, 5 -З х > -1 ?

795. Кадоме аз ададх,ои -3; 0; 5; 6 х,алли системаи

нобаробарихои ^ _ j j < q

[Зх -1 > 3мебошанд?

796. Системаи нобаробарихоро хдл намоед:

|х > 10, \х > 13;

< -2,5, U >7;

б)

д)

х < 2, х < 6;

х > -2 , х < 3:

в)

е)

х > 0, х < 4;

х > 9, х < 16.

797. Системаи нобаробарих,оро х,ал кунед:

а)

в)

Зх -18 > 0, 4х >12;

2х - 10 < 0, Зх > 0:

б)7 ^ -1 4 > 0 , 2 у >$ ;

4у>2%,Зу + 9 < 0.

798. Системаи нобаробарих,оро х,ал карда, якчанд ададеро

нишон дих,ед, ки онх,о х,алли система мебошанд.Гх - 0,4 < 0,

аМ - 2 х < 0; б)3 - х 0, х - 5 < 0; в)

1 > Зх,4х - 1 > 0;

799. Системаи нобаробарих,оро хдл намоед:

а)0,2х - 1 ^ 0 , 2,1х > 4,2; б)

0,6х - 1,8 < 0, Г0 ,4х > 4,

- х >1; 3

в) 0,2х +1 < 5;

800. Х,алли системаи нобаробарих,оро ёбед:

8х < 2, х > 0,2.

—х -1 0 <0, 6

Зх < 1 - .3

в)0,2х < 3,

—х < -1; 9

2 х -7 ,5 < 0 ,

г) 1 .—х < -1 ..4

801. Системаи нобаробарихоро хал кунед:

а)

в)

2х < 1,5 - х,З х - 1 > х - 6;

16х - 2 > 11х -1 , 2 - Ах < 1 - х;

б)2х + 3 < 0,Зх +12< х + 15;

25 - 6х < 4 + х, Зх + 7,7 > 1 + Ах.

802. Системаи нобаробарихоро хал намоед:

а)| 1 -З х < х -3 ,1 8 х -9 < 4х + 7: б)

[ 4х + 2 > 5х + 3, 1 2 - З х < 7 - З х ;

в)| 1 0 2 -7 3 z > 2 z + 2, I 81 + 1 lz > 1 + z.

\\-\2y <Ъу + \,[2 - 6у > А + Ау;

803. Киматх,ои имконпазири тагйирёбандаи ифодаро ёбед:

a) V2--x" + V 3 --2 x ; б) у/х - у / 2 х - 1 ;

в) -Ja - x - yj2x-A; г) -j2x + 2 + -/ в - А х .804. Системаи нобаробарихоро хал кунед:

а)J 5(х +1) - х > 2х + 2,[4(х +1) - 2 < 2(2х +1) - х; б)

[2(х -1 ) - 3 < 5(2х -1 ) - 7х, 3(х +1) - 2 < 6(1 - х) + 7х;

в)j3(2 - Зр) - 2(3 - 2р) > р,

|б < р 2 - р ( р - 8).\ 2 у - ( у - А ) < 6 ,17 > 3 (2 7 -1 ) + 18; г)


(7 + 2)(1 + 7 )> ( 4 - 7 ) ( 3 - 7 ) ,|3(3 + 2 х )-2 (1 8 -х ) <7х, а) [6(2 + х) > 9(х + 3) - 5(х +1);

В ) 1

246

5,8(1 - а ) - 1,8(6- а ) <5, 8 - 4(2 - 5а) > 5а + 6;

б у

г)

272 + 37 >(3 + 7X 27-1);

| х (х -1 )-(х 2 -10 ) < 1-6х , [3,5 - (х -1,5) < 6 - 4х.

806. Системаи нобаробарихоро хдл намоед ва хамаи ададхои бутунро нишон дихед, ки онхо халли системаанд:

Г4 - 2 а < 1 4 , J l0 -5 x < 0 , f 2 - 8 j< 1 8 , | 3 -4 х < 1 5 , а) [5 а <18; б) [2х + 1<9 + х; в) г) [ 1 - 2 х > 0 .

807. Хдихои бутуни системаи нобаробарихоро ёбед:

| ^ > 0 , Г б а -1 9 > 0 , | 2 -0 ,5 в > 0 , ГЗ — 18 jc < 0,

а) [3,6 - у > 1; б) [2а <14; в) [4в-1 > 0 ; г) [0,2 - ОДх > 0.


х - 1

а)х - -

х «— <5:

>1,б)

„ Зх-1 22 х--------- > - ,2 3

10х - 2 >1 + 4х:

в)* у,

7 у - 1 >6;г)

5а + 8

1 6 -1 5 а1------------> а.


0,5(7 - х) - 3 < 0,25(3 + 4х) - 4,а)

—х + 5(4 - х) > 2(4 - х);б)

7 2 0,4х + — < —х -1 ,2 ,

3 35х +17 > 9х - 63;

в)2 5

х - 3 х + 5 — — < ------- ;

х + 4 < 2х - 3

6х - 8 < 3 + 5х

810. Нобаробарии дучандаро хал кунед: а) -2<2х-1<4; б) -8<3-х<1;в) Ъ<в-2у<1; г) -1<3>н-4<10.

247

811. Нобаробарии дучандаро хал карда, ду ададеро нишон дихед, ки хдлх,ои он мебошанд:

. . , 5л + 6 , , _а) - 4,5 < — - — <16,5;

. „ 2х -1в) - 3 < — -— < 0; 1 — 4 Vг) -1 ,5 < - ^ - < 0 , 5 .

812. Нобаробарии дучандаро хдл намоед:

а) - 2 < 15л + 10 < 24; б) - 1 < ^ < 1 ;

в) -1,4<1-2>><2,8; г) - 2 < Ц - ^-<0.

813. а) Барои кадом киматхои л кимати дуаъзогии 4х-5 ба фосилаи (-1;1) тааллук дорад?

б) Барои кадом киматхои у кимати дуаъзогии - —— ба4

порчаи [-2; 1] тааллук дорад?814. Системаи нобаробарихоро хал намоед:

х > -2 , х <6.

л > 9, У ^ -2 , а > 8,

а) •л > 7, б )- У < -3 , в) •а > 11, г) •л > -3 ; у <5; а <13;


а)

л - 3 <5,2л + 7 <18, 4 - л > 2;

б)

Зл -1 < л + 2, 4 л -1 > 5 - л , л - 4 < 0;

в)

3 - 2 а < 17, а - 2 > 0, За -2 1 < 0;

7 - За < 4, 3 - а > -1, 2а -1 < 3.

816. Сайёх аз базаи сайёхон баромада, ба суйи стансияи дар масофаи 20 км чойгирбуда равон шуд. Агар сайёх суръаташро1 км/соат зиёд кунад, дар 4 соат масофаи зиёда аз 20 км-ро тай 248

мекунад ва агар суръаташро 1 км/соат кам намояд, дар 5 соат масофаи камтар аз 20 км-ро тай мекунад. Суръати сайёхро ёбед.

817. Суммаи адади чуфт бо сечандаи адади чуфти пасоянд аз 134 калон аст. Суммаи ин адад бо дучандаи адади чуфти пешоянд аз 104 хурд аст. Ададро ёбед.

818. Агар ба дучандаи адади бутун нисфи онро чамъ кунем, ададе хосил мешавад, ки аз 92 хурд аст. Вале хангоми аз дучандаи адад тарх кардани нисфи он, адади аз 53 калон хосил мешавад. Ин ададро ёбед.

Машкхо барои такрор819. Киматхои имконпазири тагйирёбандаи ифодаро ёбед:

, -У Г З Г 1 . , , 1 ха) 2 1 -1 V 2 ^ 7 ’ в)820. Ифодаро сода кунед:

6х х 2 + л: 8 а а ава + ва) ---- г + — :----------Г’ б)х - 3 4 х +1

821. Графики функсияро созед:6

а) у=2х-4; б )У = -----•х822. Ададхоро мукоиса намоед:

а) 7 з ва У7; б) V n ва 3,5.

40. ХАЛЛИ НОБАРОБАРИХОИ КАСРАН ХАТТИНобаробарихои намуди

ах + в ах + в „------- т > 0 ё ------- т < 0сх + а сх + а

-ро, ки дар ин чо а, в, с ва d ададхоанд, нобаробарихои касран хаттй меноманд.

Халли ин нобаробарихо ба он асос карда мешавад, ки кимати каср мусбат аст, агар сурату махрачи он киматхои аломаташон якхела дошта бошанд ва кимати каср манфй аст, агар сурату махрачи он дорой аломатхои мукобил бошанд. Истифодаи ин

249

далел имкон медихдц, ки нобаробарии додашуда ба ду системаи нобаробарихои хаттии ба он баробаркувва иваз карда шавад. Мачмуи аз хамчояшавии мачмуъхои халли ин системаи нобаробарихо иборатбуда, халли нобаробарии касран хаттии мазкур мебошад.

Мисолхои мушаххасро дида мебароем.М и с о л и ! . Нобаробарии

-ро хал мекунем.Ин нобаробарй дуруст аст, агар системаи нобаробарихои

дуруст бошанд. Системаи нобаробарихои а) ба системаи нобаробарихои

баробаркувва аст. Фосилаи халли ин системаи

нобаробарихо аст. Системаи нобаробарихои б) бошад, ба

Адади 4-ро ба кисми чапи нобаробарй гузаронида, фарки хосилмешудагиро табдил медихем:

е

х > 1

3х > —

X < 1

баробаркувва аст. Ин система хал надорад.

1 х - 1М и с о л и 2. Нобаробарии —----- у < 4 -ро хал мекунем.

250

Аз руйи нобаробарии охирин ду системаи нобаробарихоро тартиб дода, онхоро хал мекунем:

ч f 5 - x < 0 , J 5 < -х, / 5 < х ,а ) [ 2 х - 3 > 0 ; [2х > 3; |х>1,5; ’

[ 5 - х > О, Г х £ 5 ,б) < х<1,5.

[ 2 х - 3 < 0 ; [х < 1,5;

Нимпорчаи [5; + °°) халли системаи нобаробарихои а) буда, фосилаи (-оо; 1,5) халли системаи нобаробарихои б) мебошад. Хамчояшавии онхо мачмуи хдлли нобаробарй мешавад (расми 31).

Ч а в о б: (-°°; 1,5)^ [5; + <*>).

////////////0 _________> ////////////>

1,5 5 хРасми. 31.

1. Хдлли нобаробарихои касран хаттй ба чй асос карда мешавад?2. Мачмуи халли нобаробарии касран хаттй аз хдмчояшавии кадом мачмуъхо иборат аст?

823. Нобаробарии касран хаттиро хал намоед:

Зх — 5 _ 2 V + 9 „ 2 а + 5 _ 5в + 21 _а ) — > 0; б ) - " ------< 0 ; в) ------- - £ 0 ; г) -------— ^ 0 .

2х + 7 4 у - 1 2а - 7 в + 4824. Нобаробариро хал кунед:

ч 15х + 23 ^ 4у + 3 „ ч 2 -1 6 а * ч 7 - 1 0 * _ ,а ) ------------< 4 ; б ) —------ > 2 в ) ----------- > - 6 г ) —------г < _ 3 -

J 5х + 2 ’ ' З .у -7 } 2а +1 J 4 * - 5

Х + 1825. Функсия бо формулаи у = - — - дода шудааст. Барои

кадом киматхои тагйирёбанда киматхои функсия:а) мусбатанд; б) ба нимпорчаи [-2; -1) тааллук доранд?

— А826. Функсия бо формулаи у = — -j-y дода шудааст. Барои

кадом киматхои тагйирёбанда киматхои ин функсия: а) манфианд; б) ба нимфосилаи (1; 2] тааллук доранд?

251

827*. Аз руйи маълумотхои зерин касри ихтисорнашавандаро ёбед. Сурат аз махрач дуто кам аст. Агар ба сурат ва махрач

якро чамъ намоем, он гох вай аз у калон мешавад. Агар аз сурату

2махрач якро кам кунем, он гох ваи аз — хурд мешавад.

Машкхо барои такрор828. Муодилаи ратсионалиро хал намоед:

х \ 1 2а) ------т = - ; б ) - + ----- - = 1.2.x + 3 х х х + 2

829. Нобаробариро исбот кунед:(а+6)(7-а)>а(1 -а).

830. Хисоб кунед:

1,372 +2,74-3 ,63+ 3,632а) 0,874 • 0,729 + 0,271 • 0,874 + 0,126 ’

б)0,629 -6,37 + 0,371 -6,37 + 3,63

6,252 -3 ,7 5 2831. Графикро насохта, муайян кунед, ки барои кадом кимати

а нуктаи А(-2; 9) ба графики функсияи у=ах+3 тааллук дорад.832. Алй масофаи 180 км рохро бо мошин тай намуда, дар

бозгашт ба каторае нишаст, ки суръаташ аз суръати мошин 5 км/соат кам аст. Суръати мошин ва кдтораро ёбед, агар маълум бошад, ки Алй дар бозгашт 30 дакика зиёд вакт сарф кардааст.

41. ХДЛЛИ НОБАРОБАРИХОИ ДОРОИ КИМАТИ М УТЛА К

Чй тавре медонем, кимати мутлаки адади а бо рамзи |о| ишорат шуда, бо формулаи

|д|_ а, агар а > 0 бошад,-а, агар а<0 бошад

муайян карда мешавад. Масалан, |2|=2, |0|=0, |-3|=-(-3)=3.Аз таърифи кимати мутлак бармеояд, ки барои хар гуна

адади а нобаробарии |л| > 0 дуруст аст.

252

Маънои геометрии |а| ин масофаи байни нуктаи 0 ва нуктаи адади а-ро ифода мекардагй аст. Ин аз он бармеояд, ки масофаи байни нуктахои а ва в бо формулаи \а-в\ хисоб мешавад. Масалан, масофаи байни нуктахои а=Ъ ва в=-4 ба |3-(-4)|, яъне ба 7 баробар аст.

Нобаробарии |х| < а -ро, ки дар ин чо а>0 мебошад, муоина мекунем. Х,амаи нуктахои х, ки масофаашон то нуктаи 0 аз а зиёд нест, ин нобаробариро каноат менамоянд (расми 32).

Нуктахои х аз порчаи [-а\ а] низ дорой ин хосият мебошанд.

Х,амин тарик, нобаробарии |х| < а хамон маъноро дорад, ки ба он нобаробарии - а < х < а сохиб аст. Яъне нобаробарии |х| а ба нобаробарии дучандаи - а < х < а баробаркувва мебошад. Айнан хамин тавр нобаробарии |х|<а ба нобаробарии дучандаи -а<х<а баробаркувва аст.

Нобаробарии |х|>я, ки дар ин чо а>0 аст, маънои онро дорад, ки х>а ё х<-а мебошад (расми 33).

М и с о л и 1. Нобаробарии |3х - 4| < 5 -ро хал мекунем.Нобаробарии мазкур ба нобаробарии дучандаи - 5 < Зх -

- 4 < 5 баробаркувва аст. Мо дар б.IV §12.39 тарзи хал кардани ин гуна нобаробарии дучандаро муоина карда будем (ниг. ба мисоли 5-и б.IV §12.39). Мувофики он баёни халро меорем:

М и с о л и 2. Нобаробарии |2х-1|>3-ро хал менамоем. Нобаробарии мазкур дуруст аст, агар 2х-1>3 ё 2л>1<-3

бошад. Аз ин чо х>2 ё х<-1 мешавад.Ч, а в о б: (-оо; -1 )^ (2 ; +оо).

-а 0 аРасми 32.

-аРасми 33.

- 5 < Зх - 4 < 5,

- 1 < Зх < 9,

Ч, а в о б: - - ; 3 .3

253

1. Кимати мутлаки адад гуфта, чиро меноманд? 2. Нобаробарии |х| < а ба кадом нобаробарии дучанда баробаркувва аст? 3.Мачмуе, ки барояш нобаробарии \х\>а дуруст аст, аз хдмчояшавии кадом мачмуъхо иборатаст?

833. Дар тири координатавй мачмуи халли нобаробариро тасвир кунед:

а) М>4; б) || < 5; в)|х|;>3; г)Ы >1.834. Бо ёрии аломати кимати мутлак чумларо нависед:а) масофаи байни нуктахои х в а у аз 3,5 хурд аст;б) масофаи байни нуктахои х ва у аз 2 хурд нест;в) масофаи байни нуктахои а ва в аз 4 калон аст;г) масофаи байни нуктахои а ва в аз 1 калон нест.835. Кадоме аз ададхои -3; -1; 0; 3 халли нобаробарй аст:а) |х|<3; б) |х| <3; в) |х| 3; г) |х|>3 ?836. Нобаробариро хал намоед:

а)|х| < 4; б) |х| > 2; в)|х|>-1; г)|2х|£б;

д) |3х|>6; е) |4х| > 8; ж) |5х|<8; з) |х|>-1.837. Хдили нобаробариро ёбед:а) |х-3|<1; б) |х - 2| < 4; в) |х + 3,2| < 5; г) |х+3,6|<2;

д) |х+6,8|>1; е) |х - 3| > 4; ж) |j>-0,5|> 1,5; з) |>н-Ю|>15.838. Нобаробариро хал намоед:

а) |5х-2|<7; б) |2х - 4| > 0,5; в) |4-Зх|>7; г)|3-2х| <5;

д) |-2х+1|<1; е) |- 0,5х + l| > 1; ж) |3х-5|>6; з) |6х-2|<4.


839. Аз таносуб х-ро ёбед:

0,03:х = 2—:1—.3 9

840. Ифодаро ба зарбкунандахо чудо кунед: а) 8х3+12х2; б) 6aV -8a4.

254

10 х 2 + 8х841. Барои кадом киматхои х ифодаи —=----------- маъно

х - х - 6надорад?

842. Амали таксимро ичро кунед:

ч х +1 2х + 2 х 2 - 3 х , _ч а ) : --------- — ; б ) - -----------— : ( Х - 3 ) .X X х - 1

843. Аз ду шах,р, ки масофаи байни онхо 36 км аст, дар як вакт ду чархбол ба як самт парвоз карданд. Суръати чархболи якум ба 158 км/соат ва суръати чархболи дуюм ба 170 км/соат баробар аст. Баъди чй кадар вакт чархболи дуюм ба чархболи якум расида мегирад?

844. Ададхои 3,7682; 0,82571; 1625,342-ро то садякй яклухт намоед.

Маълумоти таърихиМафхуми нобаробарй дар катори мафхуми баробарй аз

сабаби зарурати шуморидани предметхо ва мукоиса кардани бузургихо ба вучуд омадааст. Ин мафхумхоро дар Юнони кадим васеъ истифода мекарданд. Архимед (асри III пеш аз милод) муайян карда буд, ки ададй тс, -нисбати дарозии давра бар диаметр, ки вокеан ададй ирратсионалй аст, нобаробарии

-10 . 13 ----- < 7 1 < 3 ------7 1 1 0

-ро каноат менамояд. Дар китоби 5-уми «Ибтидо»-и Уклидус (365-300 то милод) чандин нобаробарихоро оварда, онхоро исбот кардааст. Масалан, у исбот мекунад, ки агар дар таносуби a:e=c:d, ки хамаи ададхо мусбатанд, ададй а калонтарин бошад, он гох нобаробарии a+d>e+c чой дорад. Натичаи дигари Уклидус ин исботи он аст, ки миёнаи геометрии ду ададй мусбат аз миёнаи арифметикиашон калон нест, яъне исботи нобаробарии

/— ^ а + в Ыав<— .ро.

Ин нобаробарй холо хам дар халли масъалахо ва исботи тасдикоти математикй васеъ истифода карда мешавад. Дар асари асосии Папай Александрия «Мачмуаи математикй», ки дар асри III навишта шудааст, исбот карда мешавад, ки агар барои ададхои мусбат нобаробарии

255

а с— > — в d

дуруст бошад, он гох, ad>ec мебошад. Микдори чунин нобаробарихоро хангоми зарурй зиёд кардан мумкин аст.

Дар инкишофи тафаккури математики бе мукоиса кардани бузургихо, бе мафхумхои «калон» ва «хурд» ба чунин мафхумхо ба монанди баробарй, айният, муодила омада расидан имконнопазир мебуд. Хисоббарорихои такрибй, масалан, хисоби адади п , бо мафхуми нобаробарй зич алокаманданд.

Соли 1557 олими англис Роберт Рекорд (1510-1558) аввалин шуда, аломати баробариро дар шакли хозира пешниход кард. Ба сифати далел вай кайд карда буд, ки ду предмет асло, чуноне ки ду порчаи ба хам параллел баробаранд, баробар шуда наметавонанд. Аломати баробарии дохилкардаи Рекордро ба асос гирифта, олими дигари англис Т.Гарриот (1560-1621) аломатхои хозиразамони нобаробариро (> ва <-ро) дохил кардааст. Дар асари худ «Амалияи санъати тахдилнамой», ки соли 1631 пас аз вафоти муаллиф чоп шудааст, вай менависад: «Агар ду бузургй баробар набошанд, он гох порчахои дар аломати баробарй иштироккунанда акнун параллел набуда, хамдигарро мебуранд. Буриш аз рост (>) ё аз чап (<) чой дошта метавонад. Дар мавриди якум аломати нобаробарии таркибёфта маънои «калон» ва дар мавриди дуюм маънои «хурд»-ро дорад».

Аломатхои нобаробарии гайрикатьй дар шакли ^ ва ^ соли 1734 аз тарафи математики франсавй Пйер Буге (1698-1758) дохил карда шуданд. Дертар онхоро дар шакли хозира > ва < менавиштагй шуданд.

МАШ1ДОИ ИЛОВАГЙ БА БОБИ IVБа параграфи 11.845. Ададхои а ва e-ро мукоиса кунед, агар маълум бошад,

ки фарки a-в ба:а) (-1)37; б) (-4,\ Т

баробар аст.846. Аломати ададхои а ва в чй гуна аст, агар маълум бошад,

ки:а) -2в>0; б) -4в<0; в) 2ов>0; г) 3ов<0 аст.847. Аломати адади а чй хел аст, агар маълум бошад, ки:а) а4-а9>0; б) аР~аг<0.

256

848. Нобаробариро сода намоед:а) (у-4)2>(4+у)(4-у); б) (2а+в)2<(2а-в)2;в) y(y-5)<f-5y+2; г) (2л-3)2>-0,5.849. Нобаробариро исбот кунед:

а) СУ+1)(2;И)>(2у+3)СИ); б) (6у-1)(у+2)<(Зу+4)(2у+1)-,в) (3j - 1 )(2у+1 )>(2у-1 )(2+3>>); г) (8^+l)(j)+l)<(4j;+2)(27+l,25).

850. Оё нобаробарии:а) (а-6)2>0; б) а2+2>0; в )-а 2-1<0;г) -а2<0; д) (3 - а)2 > 0; е ) - ( а - 4 ) 2 < 0барои рамаи киматх,ои а дуруст аст?851. Нобаробариро исбот намоед:а) (л + 1)2 > 4л:; б) (2а+1)2>4а; в) 4(х+2)<(х+3)2-2х.852*. Нобаробариро исбот намоед:а) а2 + в2 + 2 > 2(а + в); б) а2 + в2 + с2 > 2(а + в + с).853*. Заврак дар кадом маврид вакти кам сарф мекунад: агар

вай 10 км ба равиши чараёни дарё ва 10 км ба мукобили чараён шино намояд ё 20 км дар оби ором хдракат кунад?

854. Ах,мад 60 м-ро дар 9 сония ва Алй 100 м-ро дар 14,8 сония давид. Суръати кадоми онх,о зиёд аст?

855*. Исбот кунед, ки нимпериметри секунча аз дарозии хдр як тарафи он калонтар аст.

856*. Аз сеаъзогй тарзи чудо кардани квадрати пурраро истифода карда, нобаробариро исбот намоед:

а) л2+2х+2>0; б) _^-8^+20>0;в) а1 + ав + в2 > 0; г) а2 - ав + в2 > 0.857. Ададх,ои а+4; а-6; а+1-ро бо тартиби афзуншавиашон

чойгир намоед.858. Исбот кунед, ки агар а>в бошад, он гор:

а) а+3>в+1; б) 2-а<Ъ-в аст.859. Исбот кунед, ки агар а>в>0 бошад, он гор:а) 4а>3в; б) 15а>13в; в) - 5а < - 3 s ; г)-9а<-18в мешавад.860. Исбот кунед, ки агар:а) а < в ва с ададй дилхох, бошад, он гор а + с < в + с аст;б) а < в ва с ададй мусбат бошад, он гор ас < вс аст;в) а < в ва с ададй манфй бошад, он гор ас > вс аст.861. Оё дуруст, ки агар а>в бошад, он гор а-1>в-1, 1-а>1-в,

4-а<4-в аст?862. Маълум, ки 3 < у < 4. Ба кимати ифодаи:

а) -у; б) 3-у;баро диред.

в) - + 1У

257

863. Ба кимати ифода бахо дихед:а) а+2в, агар 0<я<1 ва -2<в<1 бошад;

б) 7 а _ в > агар 8<а<10 ва 12<в<16 бошад.

864. Исбот кунед, ки:а) агар а < в ва c < d бошад, а + с < в + d аст;б) агар 0 < я < в ва 0 < c < d бошад, ас < ed аст.865. Ба «ьдарозии хати миёнаи секунчаи ABC, ки он ба тарафи

АВ параллел аст, бахо дихед, агар 6,2<АВ<6,3 бошад.866. Ба т-дарозии хати миёнаи трапетсияи асосхояш а см ва

в см бахо дихед, агар 5,2 < а < 5,3 ва 2,1 < в < 2,2 бошад.Ба параграфи 12.867. Ягон ададеро нишон дихед, ки он ба фосилаи:а) (2,1; 4,3); б) (-3,7; -3,2); в) (4,5; 4,6); г) (-0,3; -0,1)тааллук дошта бошад.868. Оё адади бутуни ба порчаи:

а) [-2,9; -2,7]; б) [-2,4; -1,7]тааллукдошта вучуд дорад?

869. Хдмаи ададхои бутуни ба мачмуи:а) [-3; 3]; б) [-1,5; 4]; в) [4,6; 9,2]; г) [-1; 3]

тааллукдоштаро нишон дихед.870. Магар адади 20,9 ба нимпорчаи [6; 21) тааллук дорад?

Оё адади аз 20,9 калонтари ба ин нимпорча тааллукдоштаро нишон додан мумкин аст? Магар дар [6; 21) адади аз хама калон ва адади аз хама хурд вучуд дорад?

871. Магар адади 5,01 ба нимфосилаи (5; 15] тааллук дорад? Оё адади аз 5,01 хурдтари ба ин нимфосила тааллукдоштаро нишон додан мумкин аст? Магар дар (5; 15] адади аз хама хурд ва адади аз хама калон вучуд дорад?

872. а) Адади калонтарини бутунро ёбед, ки он нобаробарии:а) п < -6 ; б) п < -4 ,6 ; в) «<5,2

-ро каноат менамояд.б) Адади хурдтарини бутунро ёбед, ки он нобаробарии:а) и>-9; б) и > -3 ,2 ; в) « > 7,9

-ро каноат менамояд.873. Агар имконпазир бошад, адади хурдтарин ва калон

тарини ба мачмуи:а) [9; 17]; б) [3; 10); в) (12; 16); г) (1; 8]

тааллукдоштаро нишон дихед.258

874. Оё дуруст аст, ки:a) (-6; 7) п (-4; 5]=(-4; 5]; б) (3; 8 )и (0; 5)=(3;5);b )( -q o ;5 )u (2 ; + q o ) = ( - o o ; + о о ) ; г ) ( - о о ; 3 )п ( -3 ; +оо)=(-3; 3 )?875. Буриш ва х,амчояшавии:а) мачмуи ададхои бутун ва мачмуи ададхои мусбатро ёбед;б) мачмуи ададхои ратсионалй ва мачмуи ададхои

ирратсионалиро ёбед.876. Оё адади 2,99 халли нобаробарии х< 3 аст? Ягон адади аз

2,99 калонтарро нишон дихед, ки нобаробариро каноат менамояд.877. Оё адади 3,01 халли нобаробарии х>3 аст? Ягон адади аз

3,01 хурдгарро нишон дихед, ки нобаробариро каноат менамояд.878. Нобаробариро хал намоед:а) 5(л>2)<2(х+7); б) 4(1 -5>>)+ 10у>24-107;

в) i ( 2 x + 1) - 1 ( 2 - х) > 1; г) (z-l)(z-2)+3>(z-2)(z-5)+5;

д) (4а+1)(а-1)-4а2> 6а+8; е) 6x2-(2x-l)(3x+ 2)< 5x-8 .879. Барои кадом киматхои а нобаробарй дуруст аст:

ч 3 а - 1 я + 1 , а а а - 5а» 5---------2 ~ < Г в ) а - г + - > — ;

£ - 2 _ 2 « i 3 > г) 5 £ ^ 2 _ £ + i < 2 + £ ,’ 5 3 ’ 8 4 2

880. Хамаи ададхои натуралиро ёбед, ки нобаробарии:а) 2 (2 -6х )+ 2(16+ х )> 0 ; б) (х+ 1)(х -1)-(х2-4х )< 15

-ро каноат менамоянд.881. Барои кадом киматхои х:

а) кимати касри — -— мусбат аст;

б) кимати касри - манфй аст;

2 - З х 4 х - 1в) кимати касри rL—— аз кимати мувофики касри --------

5 3калон аст;

г) кимати касри —— аз кимати мувофики касри + хурд аст?3 6

259

882*. Барои кадом киматхои а муодила дорой решахои мусбат аст:

а) 2х=4а; б) х+\=а\ в) х-1=2а+3\ г) Зх-5=а+1 ?883*. Барои кадом киматхои в муодила дорой решахои манфй

аст:г)1х=2в\ б) х-3=в; в)4л>1=в+3; г) 4л:-4=7в+2 ?884. Фосилахоеро ёбед, ки дар онхо функсияи у=-4х+12

киматхои мусбат ва манфй кабул менамояд.885*. Барои 16 нафар талаба рангу калам хариданд. Нархи

як куттии ранг 50 дирам ва нархи як калам 20 дирам аст. Барои он ки арзиши харид аз 5 сомонй зиёд нашавад, чанд куттии ранг харидан мумкин аст?

886. Сайёх бо суръати 4 км/соат ба суйи шахр, ки дар масофаи 24 км вокръ аст, равон шуд. Баъди 2 соат аз паси у сайёхи дуюм ба рох баромад. Сайёхи дуюм то ба шахр расидани сайёхи якум бояд ба у расида гирад. Барои ин вай бояд бо кадом суръат хдракат намояд?


а)

Зх > 1, 2х > 0,

х > 8;б)

л: > 0,— х > -2 , 2х < 4;

в)

- х < 2, 2х > 8, х < -1 2 ;

2х > -6 , л: < -2 , - 2 х >8.

888. Исбот кунед, ки системаи нобаробарихо хал надорад:

а)|х2 + 1 < 0 ,

I 2jc — 1 > 0;б)

[З х -5 > З х -1 , \2х > 0;

[ 2 х < 0 , [ 4х + 5 > 0 ,

В) \4jc > 0; Г ) [ 4 л : - 5 < 0 .


9 х - 2а)

| 7 - 3 jc > 2 jc + 1 0 ,

[ 4 x + 3 > 9 + 1 0 x ;б)

< 1 + 2х,

7 + 2х > З х -1 :

в)112у-3(у + 2 ) > 7 у - 5 , [ l 3 j + 6 < 2(_у-5) + 3;

f(jc — 4)(5л: — 1) — 5 jc2 > лг + 1,

I Зх - 0,4 > 2х - 0,6;

260

Ах - 5 З х - 8 — <Д)

76 - х

- 1 <

414л:- 3

е)

2 х - 1 1 1 - х _ -------------- х < --------------- 2 ,

3 + 2л: , л: + ---------< 1.

890. Хдлли системаи нобаробарихоро ёбед:

а)4 3

5х + 1 4 + х >■

б)

10х-1 2 - 5 х 5 -Зх — г-----------— < — — ,

2х + 1> 3 + 7х 5 + 4х3 4

891. Нобаробарии дучандаро хал кунед:а) 4<2х<8; б) 4 < 5 л - 2 < 7 ;

8л +1в) 1 < 2; г) 5 < 8л -1 < 7;

е) - 1 < < 0.4 ' 2

892. а) Барои кадом киматхои л, кимати ифодаи 2л-1 ба фосилаи ададии (-1; 3) тааллук дорад?

б) Барои кадом киматхои л, кимати касри

[0; 6] тааллук дорад?

х - 3ба порчаи

1в) Барои кадом киматхои х. кимати функсияи у = — — х + 6

ба фосилаи (-1; 1) тааллук дорад?г) Барои кадом киматхои л, кимати функсияи у=-1,5х+4 ба

порчаи [-6; 2] тааллук дорад?893. Яке аз тарафхои росткунча аз дигараш 5 см калон аст.

Дарозии тарафи хурдаш чй кадар бояд бошад, то ки периметри росткунча аз 20 см калон, вале аз 30 см хурд шавад?

894. Суммаи сечандаи се адади натуралии пай дар пай аз 36 хурд буда, суммаи дучандаи онхо аз 12 калон аст. Ин ададхоро ёбед.

261

ададй якумро чамъ кунем, ад аде хосил мешавад, ки аз 12 хурд аст.

Агар аз у хиссаи суммаи ин ададхо нисфи ададй дуюмро тарх

кунем, ададеро хосил мекунем, ки аз 1 калон аст. Ин ададхои бутунро ёбед.

896*. Агар сайёхон аз накшаи муайяншуда рузе 5 км зиёдтар рох гарданд, онхо дар 6 руз масофаи аз 90 км зиёдро тай менамоянд. Агар сайёхон аз накша рузе 5 км камтар рох гарданд, дар 8 руз масофаи аз 90 км камтарро тай мекунанд. Ба масофаи дар як руз мувофики накша, ки онро сайёхон бояд тай мекарданд, бахо дихед.

897. Нобаробарии касран хаттиро хдл кунед:

ч 2л: - 1 . гч- х + 1 ^' ! ч * - 1 ^ .а ) ------— > 0; б ) ----- г - 3; в ) ----- - > 2 ;л+1 л - 1 л + 5

ч 1 1 л 3 1 Ч 2 .г ) - > - ; д ) е ) ----- - < 4 .л 3 л 2 л -1

2х +1898. Функсия бо формулаи у = -------- дода шудааст. Бароих - 2

кадом киматхои тагйирёбанда кимати ин функсия:а) мусбат нест; б) манфй нест; в) аз -1 калону аз 1 хурд аст?899. Нобаробариро хдл кунед:

а) |л-3|<2; б) |л+2|>2; в )| х -7 | < 0 ; г) |л-3|<-1;

д) |3х — 2,5| < 2; е)|5-2л|>1; ж) |л-1,5|<3; з)|Зл-1|>5.

895. Агар ба нисфи суммаи ду ададй бутуни пай дар пай у кисми

ЧАВОБ^О

674. а) ва г) -аш. 680. а) не; б) х,а; в) х,а; г) не. 684.

а + — - 2 = ——— > 0 . 685. Агар с - — гузорем, он гор нобаробарй а а а

ба нобаробарии с + — > 2 баробаркувва аст. 687. Нобаробариис

262

додашуда ба нобаробарии (л/о- л/е)2> 0 баробаркувва аст. 6 8 8 . Баробарии а3-в3-ав(а+в)=(а+в)(а2+в2)-ро истифода кардан лозим

аст. 689. а )^ -у Ь 6)1. 690. а)2; 6)0; 1. 691. 0,1л/5. 692.

693. Дар 2,4 дакика. 699. а) а ва в мусбатанд; 6 ) а ва в манфианд;

г) о ва в манфианд. 705. —, —, —, -7 . 706. 6)-4<о<-3; г)-1<3-о<0.с а в а707. в) 0<л>3<4. 708. 8,7<р<9. 709. 0,4 < а < 0,41. 710.

а )т < —< г ; 6 ) 4 < — < 8 . 711. Не, хднгоми jc=0,5 будан, кимати 3 x 3 х

35 5якумаш ба — ва кимати дуюмаш ба — баробар аст. 712. 0. 713.

а )-2 ^ - ; б )| . 714. а)1— ; б ) ^ г - 720. а) 12<х+у<15;3 3 ' 990 1Ю0 ' у4 x 3

б) -5<х-у<-2; b )3 2 < x ^ < 5 4 ; г ) 723. 11<р<11,4 ва

7 ,36< S< 7,92. 724. Хд. 725. 8 ° у < 1 0 °. 726. (4;-6). 727. 24. 728.

6(3а - 1) ' а) * амаи ададхои бутун аз -4 то 1; б)хамаи

ададхои бутун аз -2 то 6 . 742. а)9; 6)1; в)4; г)-9; д)28; е)6 . 743.а)-6 ; 6)2; в)-1; г)3. 744. Не. 745. а) (4;6); б) [-5;5]; в) (7 ;+ о о );г) (6 ; 10). 746. а) [-6 ; 4]; 6Х-3;2)^(8;10). 747. а) (3;+оо) ва (-4 ;+<х>);б) [0;3) ва (-00;+ оо); в) (- со ;4) ва (- оо ;7); г) [1 ;6] ва [0;9]. 748. Ба чойи

1 - = 2 - бояд2 2

1 - 12

о 3= 2 - у ояд. 749. а2+3-2о=(а-1)2+2 > 2>0.

750. 2 км/соат. 751. х 2-2х-8=0. 752. Барои х = у. 756. а) (-5;+оо);

б) (-оо;6); в) (-оо;-2,5]; г) [0,7;+® ). 757. а) (5;+оо); б) (4;+оо); в) (-ооД;

г) f-o o ;| ; Д) (-оо;-2); е) (-оо;0]; ж) (-оо;-18); з) [10;+оо). 758.

263

а) |-°°;2у|; б) (-2 ,5 ;+ оо); в) ; г) (5 ,5 ;+ оо); д) ( - оо;6);

е) [0;+ оо); ж) [-3; +оо); 3) [-оо;-30). 761. а) (-оо;0,7); б)

в) [-7;+оо); Г) [1,5;+оо); д) (-0,5;+оо); е) [-0,4; + « ,) ; ж) [7;+«>). 762. а) ( -00 ;1]; б) ( -0 0 ;2]; в) [6;+оо); г) (-оо; 0,3]; е) ( - 00 ; 13);ж) (2,7; + оо ); з) (- * ; 9). 763. а)барои х>0,5; б)барои у>6; в)барои

13z<-12. 764. а)барои а<\— \ б)барои в>5. 765. а) (3; +оо);

( - * Нб)

ж)

в) -~ ;+ о ° ; г) ( - о о ; 22,5]; д) 0 ; е) ( - о о ; + о о ) ;

; з) ( - оо ; 18]. 766. а) ( - о о ; + оо ); б) 0 ; в) — ; + о о

- о о ; 2 - 767.г) (-00 ; 2]; д) [4,8;+ оо ); е) (-оо ;6); ж) [-4,5;+ оо ); 3)

а) (6; + 00); б) (-0 0 ; -0,8); в) г) (0;+оо). 768. а) [0;+оо);

б)(-2;+оо); в) ^-°о; —П_20

; Г ) j - о о ; — I; д) [-оо ; + о о ); е) | - о о ;4134

769. а) (-оо; 14); б) [-0,125; + о о ) ; в) ( - о о ; 14]; г) (-17;+® ). 770.

а)(Л л

1— ; + оо3

; б ) (-0 0 ;7); в ) ( - о о ; 0]; г) (2 ; + оо ) ; д) (-14; + о о ) ;

е) (-со; -2,5); ж)1

- о о ; - ; з) [14,5; +оо); и) (-оо;9]; к) | - ° ° ;3 -

л) - о о ; 1 - 5 21; м) (-оо; 3]. 771. а)барои х>1— ; б)барои х > ~^>

1 9в) барои у > —; г) барои у >— . 772. а) 7 58 -°о; 7 ; б ) ( - о о ; 8 ) ;

264

в)

3)

-1 -;+ » р г) (1,5; +оо); д) (0;+оо); е) (-оо;+оо); ж) (-°о;0,5];

3- ; + » 773. а) (1 3 ;+ оо); б) (-3 ;оо); в) (-<»;4); г) (-оо ;2);

774.( 91 ( о О— оо;—7—1 19.

• —оо;9—’ 17)

а) (2 ;+оо); б) (-оо ;3); в)

е) [2;+ схэ ); ж) (-оо ;1); з)

101б;+о° г г) t2 ;+ 00); Д)3 ' - ? ;+ .

И 92— ;+оо76

775. а) (-оо ;-9); 6 ) 0 ;

в) [2;+ оо); г) ~ ;+ 00j . 776. а) барои х -3 ; б) барои х<3; в) барои

х>3. 777. а) барои х>-5,5; б) барои х<-5,5. 778. а) барои х> 1,5;

б) барои х < 0,6; в) барои а > -0,5 ; г) барои х < 1 у ; д) барои у > у ;

е) барои в >5. 779. а) 3; б) -3. 780. а) 5; б) 18. 781. а) барои с< 1;

б)барои а >-2,25. 782. а) барои с>2,25; б) барои а > ^ - 783.

а) барои п=1, п=2 ва п=3; б) барои п-\ ва п=2. 784. Аз 42 кг.

785. 11. 786. 14. 787. Аз 4 см кам. 788. На зиёд аз 12— м. 789.20

Аз 31,5 км зиёд не. 790. - 3 — 1=. 791. а) 2; б) ; ±л/2. 792. Азл/З 2

баробарии (+а)2 = (-а )2 баробарии +о = |-а| бармеояд, на баробарии +а = - а . 793. а) 6; б) 4; в)1. 796. а) (13;+ оо);б) ( - о о ;2); в) (0; 4); г) 0 ; д) [-2; 3]; е) (9; 16]. 797. а) (6; + о о ) ;

б) [4; +оо); в) (0; 5); г) 0 . 798. а) (0; 0,4); б) [3; 5]; в)

265

г) (0,2; 0,25). 799. а) [2;5]; б) (1,5; 3); в) (10; 20); г) 4-оо ;—

9. 800.

а) ( -1 2 ; 2]; б) 0 ; в) ( -о о ; -9 ) ; г) ( -о о ; -4 ) . 801. а) ( - 2 ,5 ; 0 ,5 )

б) (-оо; -1,5]; в) |-;+°о|; г) [3; 6,7). 802. а) (1; 4]; б) ( -оо ; -1]

в) 0 ; г) -8;1—3 . 803. а) ( -о о ; 1 ,5 ] ; б) [0 ,5 ; + о о ) ; в) [2; 4]

г) [-1; 1,5]. 804. а) (-1,5; 0]; б)(0; 2,5); в) (^о;- 3 ) ; г ) 0 . 805

а)[5;27);б) (1 ;1 ,5); в)(0,4;+«)); г) (-оо;-1,8). 806. а) (-5 ;-3 ,6)

б) [2;8j в) (-2;4); г) (-3;0,5). 807. а) 0;1 ва 2; 6)4,5,6 ва 7; в) 1,2 ва

3; г) 1. 808. а) (1;15); б) (0,5;+оо); в ) 0 ; г) . 809. а) (2,5;9);

б) (13,25;201 в) (-17;+оо); г) 4 - . 810. а) ( - 0 ,5 ;2 ,5 ) ; б) (2 ;1 1 ) ;

в) (-0,5;1,5); г)

г) [0;1] 812. а)

. 811. a) [-3 ;5 ,4i 6) [-5 ;lJ в) [-8,5;0,5}

4 14

5 ’ 15; б) [2;8l в) [- 0,9;1,2J г)

4 2

З ’ З 813.

а)(1;1,5); б) [0,5;6,5] 814. а) (9;+®); 6) (-а>;-3); в) (11;13]; г) [- 2;5]

815. a) ( - °o;2J б) [l,2;l,5> в) (2;7); г) (l;2j 816. а) аз 4 км/соат зиёд ва аз 5 км/соат кам. 817. 34. 818. 36. 819. а) Х,амаи ададхои

аз 2 — зиёд набуда; 6) хамаи ададхои аз 3,5 калон; в) хдмаи

ададхо гайр аз 1. 820. а)2х

■; б)

6) якумаш калон. 823. а) со;_ ~

х - 3 а - в7\ /

. 822. а)дуюмаш калон;

и9 I2 ’ 4 в)

5 7''2 ’ 2,

266

2 —;8,53

?? I?г) ( - oo;-4,2]u(-4;+оо). 824. a) (-oo ;-0 ,4)u [3;+оо); б)

в) (-0,5;2); г) (1,25;4). 825. а) (-7;3); б) [l3;+oo) 826. а) (-2;2);

б) (6;+оо). 827. — ■ 828. а) -1 ;3 ; б) -1 ;2 . 829. Нишондод: (а+6)

(7 -а )-а (1 -а)= 42> 0. 830. а) 25; б) 0 ,4 . 831. Барои а=-3. 832. 45 ва 40 км/соат. 836. a) [ - 4 ;4 j б) ( -о о ;-2 ]и [2;+оо); в) 0 ; г) [ - 3 ;3 }

Д) (-°о ;-2 )и (2 ;+ о о ); е) ( -о о ;-2 ]^ [2;+оо); ж) (-1 ,6 ;1 ,6 ); з) (-оо;+оо).

837. а) ( 2 ;4 ) ; б ) [ - 2 ;б ] в) [-8 ,2 ;1 ,8]; г) ( - 5 ,6 ; - 1 ,6 ) ;

Д) (-оо ;-7 ,8) u (-5,8;+оо); е) ( -o o ;- l ]^ j [7;+оо); ж) ( - c o ; - l ] u [2;+оо);

з) (-оо;-25)и(5;-кх>). 838. а) ( - 1 ;1 ,8 ) ; б ) (-оо;1,75]^[2,25;+оо),

в) ( -o o ;- l )u (y ;+ o o ) ; г) [~1;4\ д) (0;1); е) ( - оо ;0] _> [4;+оо ),

11 ( 1 Л839. 0 ,0 2 . 840. а) 4 х 2(3 х + 3 );

б) 2д2(3в3-4д2). 841. Барои -2 ва 3. 842. а) —; б ) ------• 843. Баъди

3 соат. 844. 3,77; 0,83; 1625,34. 845. а) а<в; б) а>в. 850. а) не;б) хд; в) ха; г) не; д) ха; е) ха. 853. Дар оби ором. 854. Суръати Алй. 855. Нишондод. Аз далели он ки тарафи секунча аз суммаи ду тарафи дигар калон нест, истифода кардан даркор аст. 862.

а) - 4 < - j < -3 ; б) - 1 < 3 - 7 < 0 ; в) —< —+ 1<—. 865. 3,1<#и<3,15.4 у 3

866. 3,65< т < 3,75.868. а) Не; б) ха, -2. 870. Х,а; ха, масалан, 20,99; адади аз хама хурд ба 6 баробар буда, адади аз хама калон вучуд надорад. 872. А): а) -6; б) -5; в) 5. Б): а)-8; б) -3; в) 8.874. а) ха; б) не; в) ха; г) ха. 878. а) (~оо;8); б) 0 ; в) (2;+оо);

Г 1' Ги > Г '.Лж) Г V J У; з)

, 3 ’ ,

г) (2,5;+со); д) (-оо;-1); е) 1—;+оо . 3 у

879. а) барои а<1; б) барои

267

, 5 1а > 1— ; в) барои а < - 5—; г) барои а>-20. 880. а) 1,2 ва 3;

б) 1, 2, 3 ва 4. 881. а) Барои л:>0,5; б) барои х>0,6; в) барои

5 ч* ; г) барои хдмаи киматх,ои х. 882. а) Барои а>0; б) барои

а> 1; в) барои а>-5; г) барои а>-12. 883. а) Барои в<0; б) барои

6в<-3; в) барои в<-4; г) барои в с - - . 884. Дар (-оо;3) функсия

мусбат буда, дар (3;+оо) манфй аст. 885. На зиёд аз 6 куттй. 886.

Аз 6 км/соат зиёдтар. 887. а) (8;+ао); б) (0; 2); в) 0 ; г) 0 . 889.

a) (-оо;—l]; б) (-оо;б]; в) 0 ; г) j^0,2;^- j ; д)^7^-;+оо ; е) [-1; 0).

891. а) (2;4); б) [l,2;l,8j в) (0,125; 0,375);890. а) I уу;5Д8

-1 5 ;—61

;б )

г) [0,75; 1,125} д) [-3 ;!^ е)1_ J .2 ’ 2

. 892. а) барои 0<л:<2; б) барои

1 23 < х < 9; в) 10<х<14; г) барои 1— < х < 6— 893. Аз 2,5 см калону3 3

аз 5 см хурд. 894. 2,3 ва 4. 895. 8 ва 9. 896. Аз 10 км зиёд ва аз 16,25 км камтар. 897. а) (-оо;-1)о(0,5;+оо); б) (-оо;1)^[2; + оо);

в) [ -1 1;-5> г ) (0 ;3 } Д)(0;б]; е)(-оо; 1)^(1,5;+оо). 898. а )[ - 0 ,5 ; 2];

1б)

' 1Л - о о ; - - ^(2;+<ю); в )| -3 ;-| . 899. а) (1; 5); б)(-со;+оо);

в) [-7 ; 7] г) 0 ; д)

з) [2;4<ю)

268

Б об и VДАРАЦАИ НИШОНДИЗДНДААШ БУТУН

§ 13. д а р а ч а и НИ Ш ОНДЩ АНДААШ БУТУН ВА ХО СИ Я ТХО И ОН

42. ТАЪРИФИ ДАРАЧАИ НИШОНДИХАНДААШ БУТУНИ МАНФИ

Аз синфи 7 медонем, ки хосили зарби якчанд маротибаи адади а, дарачаи нишондихдндааш натуралй ном дорад. Масалан,

(-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)= 16; 26 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 64. Умуман,

а" = а - а - а . . . а' ----------------v----------------'

п маротиба

Зарбкунандаи такроршавандаи а - асоси дараца ё асос ва адади натуралии п, ки ба микдори хамчун зарбкунанда такрори а баробар аст, нишонди^андаи дараца ё дараца номида мешаванд.

Холо мафх,уми дарачаро барои адади бутуни манфй пах,н мекунем. Яъне, ба кадом адад баробар будани а п-ро, масалан, (-2)3 ё 4 5 ва гайраро, муайян мекунем.

Аввалан барои возехии баён фарз мекунем, ки асоси адад ба10 баробар аст, яъне ба саволи чй маъно доштани 10"1 чавоб медихем.

Дарачахои бо нишондих,андахои 15 2, 3 ва гайра гирифташудаи адади 10-ро пай дар пай менависем. Дар натича сатри

101, 102, 103, ... (1)-ро хосил мекунем.

Хар яки ин ададхоро дар намуди10, 100, 1000, ... (2)

навиштан мумкин аст.Хар як адади ин сатр аз адади пасояндааш 10 маротиба хурд

аст. Сатри (2)-ро мувофики хамин конуният бо воситаи пеш аз адади 10 навиштани адади 1, пеш аз адади 1 навиштани адади

269

1 1 1 1 1— = —г , пеш аз адади —г навиштани адади — = — пеш аз 10 101 101 10 Ю2

1 1 1—г- навиштани адади------ = —102 1000 10

давом дода, хосил мекунем:

адади —2 навиштани адади------ = —- ва гайра ба тарафи чап

- Л - . Л - Д - , !» 1Q1> 102’ Ю3’ - (3)103 102 101Дар сатри (1) нишондихдндаи хар як дарача аз

нишондихандаи дарачаи пасоянд 1 вохид хурд аст. Аз руйи ин конуният сатри (1)-ро ба тарафи чап давом дода, мо пеш аз 101 бояд 10° нависем, пеш аз 10° бояд 1 0 1 нависем, пеш аз 10'1 бояд 102 нависем ва гайра.

Натичаи ин гуна навиштачот сатри зерин мешавад:..., 10-3, 10-2, 10-1, 10°, 101, 102, 103, ... (4)

Сатрхои (3) ва (4)-ро мукоиса карда, ба хулоса меоем, ки

1 1 хисоб кардани он ки 101 ба баробар аст, 10'2 ба — баробар

аст ва гайра табий аст. Хдмин гуна созиш дар математика на танхо барои дарачахои адади 10, балки барои дарачаи адади дилхохи нобаробарй нули а хам кабул карда шудааст.

Т а ъ р и ф. Агар а * 0 ва л - адади бутуни манфй бошад, он гох:

» 1а = -----.а п

Таърифи дарачаро истифода карда, меёбем, ки

/ 1V 3 14-2 = - ! = !•■ (-5 )-4 = - J - = J -

42 16’ (-5 )4 625:

]_v 2 ,

= -8.1

Ифодаи 0" барои кимати п-и бутуни манфй маъно надорад (хангоми п=0 будан хам).

1. Дарачаи нишондихандааш натуралии ададро чй хел мефахманд? 2. Таърифи дарачаи нишондихандааш бутуни манфиро баён намоед.

270

900. Дарачаи нишондихдндааш бутуни манфиро бо каср иваз кунед:

а) 10'5; б) 7'3; в) а 1; г) х 15;д) (авУ2; е) (а+в)’3; ж) 2'1; з) 100'2.901. Касрро бо дарачаи нишондихандааш бутуни манфй иваз

кунед:

_1_102 6 ) ¥ ; в) Л ;

1г> 7 ; r t f

902. а) Ададх,ои 8, 4, 2, 1, — , ва —-ро дар намуди дарачаи2 4 8

асосаш 2 нависед.

б) Ададхои 1’ 25, 125-ро дар намуди дарачаи

асосаш 5 нависед.

903. а) Ададхои 81-ро ДаР намуди

дарачаи асосаш 3 нависед.б) Ададхои 100; 10; 1; 0,1; 0,01-ро дар намуди дарачаи асосаш

10 нависед.904. Ададро бо вохид мукоиса намоед:

а)/4 \-5

к7уб) 0,127°; в) 1 0 10;

905. Х,исоб кунед:

а) З-2; б) -О ,!1; в) (-1) 7; г) (-1)-10;

г)

Д)

е) - т ; ж) М ' - 4v 2 У

; з) - 2±4

; и) 0,01‘2; к) 1Д251.

906. К,имати ифодаро хисоб кунед:а)-10-2; б)(-2)-3; в) (-0,7>2; г) (0,4) 5; д)-(-2)-3; е)-(-4)-2.907. Хисоб кунед:

908. К^имати ифодаро бо нул мукоиса кунед:а) 7-5; б) 2 ,И; в) (-7,2Г ; ' г) (-3,2)3.909. Оё дуруст аст, ки агар:а) а>0 ва п ададй бутун бошад, он гох, а">0 аст;б) а<0 ва п ададй чуфти манфй бошад, он гох а">0 аст;в) а>0 ва п токи манфй бошад, он гох сГ<0 аст?910. Кимати ифодаи хр-ро ёбед, агар:а) х=-5, р=-2; б) х=3, р=-3; в) х=3, р=-1; г) х=8, р=0

бошад.911. Ифодаи -хгр дорой кадом кимат аст, агар:а) х=-1, р=-2; б) л:=0,3, р~-2; в) х=2, р=-1; г) д:=0,5, р=-3

бошад?912. Кимати ифодахои х" ва х "-ро ёбед, агар:

2а) х = ~ , п=-2; б) х=-2,5, п=3

бошад.913. Кимати ифодаро ёбед:

l v ‘а) 4-2 ; б) -2 -1 0 4; в) 2 1 ( - 9 Г ; г) 15-| - —

( з Т 2д) 3-‘+(-2)-2; е) (-5)-2+6-!; ж) - + 3 '3; з) 0,4°+0,1-3.


а) 7-14-1; б ) - 3 - 9 “2; в ) 4 ~ х -2~2; г) l ^ - l , * 1; д) Ю- f l j .

915. Ифодаро дар намуди касре, ки дарачаи нишондихандааш ададй манфй надорад, нависед:

а) 4лг2; б) 7ав-5; в) х~ъу, г) 4(ав)'9.916. Нишондихандаи манфиро истифода намуда, касрро дар

намуди хосили зарб нависед:

917. Ифодаро дар намуди каср нависед:а) сг2+в 2; б) в) (а+в_1Х я 1+в); г) (х-2у1)(2дг1+>').918. Ифодаро ба каср табдил дихед:а) (ал+вл)(а+в)л\ б) (а-вУ2(а 2-в 2).

Машкхо барои такрор919. Хдр яке аз ададхои 4,123; 0,3728 ва 47,25-ро то дахякй

яклухт кунед ва сахви мутлакашро ёбед.920. Алй 9 км бо пайрахаи кухй ба баландй баромада, бо

хдмон рох баргашт. Ба хамаи ин у 5 соат вакт сарф намуд. Суръати ба баландй баромадани Алиро ёбед, агар маълум бошад, ки хангоми фаромадан вай суръаташро 1,5 бор зиёд кардааст.

921. Нобаробариро хал кунед:а) (3x-l)(3x+l)-9jt(x+l)<.x>9;б) (4jc-1)2-8x (2+2jc)>25.

922. Кимати ифодаи ;c2+2jcjH-_y2-po хангоми х = 4 + л/2 ва

у = у/2-4 будан ёбед.923. Функсияи у=2х-8 дар кадом фосила киматхои манфй

кабул мекунад? Киматхои мусбат чй?

43. ХОСИЯТХОИ ДАРАЧАИ НИШОНДИХАНДААШ БУТУН

Хосиятхои маълум, ки мо онхоро барои дарачахои нишондихандаашон натуралй дар синфи 7 мукаррар карда будем, барои дарачахои нишондихандааш бутуни дилхох хам дурустанд (бо назардошти ба нул баробар набудани асоси дарача).

Яъне, барои хар гуна а * 0 , в * 0 , т ва и-и бутуни дилхох баробарихои зерин дурустанд:

1 _ й _ W _ И 1 + Я , <■> _ Я . „ W _ Я 1 - Я , ^ \ Ш __ ТП П ,. а -а =а ; 2. а .а - а ; 3. (а ) =а ,

4. (ав)п = а" ■ в"; 5. ф = ^ - .

273

Ин хосиятхоро бо воситаи ба таърифи дарачаи нишондихандааш бутуни манфй ва хосиятхои дарачаи нишондихдндааш натуралй такя намудан, исбот кардан мумкин аст.

Масалан, дурустии хосияти 1-ро, ки хосияти асосии дараца ном дорад, хангоми манфй будани нишондихандаи дарачахо исбот мекунем.

Бигузор п=-к ва т=-р аст, ки дар ин чо к ва р ададхои натуралианд. Мувофики таърифи дарачаи нишондихандааш бутуни манфй (6.V §13.42) дорем:

а п-ат= а к а р = \ - — = — = _ L = a -(*+rt = а -к-Р = а »+т а к а ” а к -ар а к+р

1 1(Дар боло дарачахои агк ва а^-ро бо касрхои — ва

а ау

1инчунин касри к+р -ро бо дарачаи аг(к+р) иваз карда, аз таърифи

дарачаи нишондихандааш бутуни манфй истифода кардаем.

Хосили зарби ак а р-ро бо дарачаи ак+р иваз карда, хосияти асосии дарачаи нишондихандааш натуралиро истифода намудем).

Аз хосиятхои 1-5 бармеояд, ки коидахои ичрои амалхо бо дарачахои нишондихандаашон бутун ва коидахои ичрои амалхо бо дарачахои нишондихандаашон натуралй якхелаанд.

М и с о л и 1. Хосили зарби а-13 ■ о18 -ро сода мекунем. Хднгоми зарб кардани дарачахои асосхояшон якхела, асосро

бетагйир гузош та, нишондихандахои дарачахоро чамъ мекунанд:

„ - 1 3 „ 1 8 „ - 13+18 5а а —а —а .М и с о л и 2. Хосили таксими в4:в7-ро сода мекунем. Хангоми таксими дарачахои асосхояшон якхела асосро

бетагйир гузошта, аз нишондихандаи дарачаи таксимшаванда нишондихандаи дарачаи таксимкунандаро тарх мекунанд:

в4:в7=04'7=в"3.Мо коидаи таксими дарачахои асосхояшон якхеларо барои

дарачахои нишондихандаашон натуралй дар хамон маврид

274

татбик, карда метавонистем, ки агар нишондихандаи дарачаи таксимшаванда аз нишондихандаи дарачаи таксимкунанда хурд набошад. Акнун баъди чорй кардани дарачахои нишон- дихандаашон бутун ин махдудият аз байн бардошта мешавад. Нишондихандахои дарачахои таксимшаванда ва таксимкунанда аз ададхои бутуни дилхох иборат шуда метавонанд.

М и с о л и 3. Ифодаи (3aV 5) 2-po сода мекунем.Хднгоми ба дарача бардоштани хосили зарб хар як зарб-

шавандаро ба хамон дарача бардошта, натичахоро зарб мекунанд. Хангоми ба дарача бардоштани нишондихандаи дарача асосро бетагйир гузошта, нишондихандахоро зарб мекунанд.

Мувофики ин гуфтахо хосил менамоем:

1 - 8 „10( 3 a V ) “ = 3 (а ) (в ) = - я в

1. Хосиятхои дарачаи нишондихандааш натуралиро номбар кунед. 2. Хосиятхои хосили зарб ва хосили так,сими дарачахои асосхояшон якхелаи дорой нишондихандаи бутунро баён намоед.3. Нишондихандаи дарачаро чй гуна ба дарача мебардоранд? 4. Хосили зарб ва хосили таксимро чй гуна ба дарача мебардоранд?

924. К^имати ифодаро ёбед:

а) 3~2 -З4; б) 25 -2"2;

г) 28 -210; д) 4А : 4А;

ж) (2-5)-1; з) (53)-2;

в) 109-1(Г6 -1(Г5;

е) З-3 : 3;

и) 2-5 - ( 2 - V .


а) 5~12 -514;

Г Г 2 г г 4

,4, ,4, 5

' Г-3

' Г2

, 4 , , 4 ,эб)

д) (2-3)-2;

в) З-7 : З-9;

е) (ОД 2) 1.

275

926. Исбот кунед, ки барои хар гуна адади а * 0 ва и-и дилхохи бутун ададхои оС ва а* байни худ чаппаанд.

927. Исбот кунед, ки барои п-и дилхохи бутун ва а ф 0 , в ф О будан

'а ' " " ' а ' п

аст.928. Хисоб кунед:

а)

О

Г б),4 ,

1

v 4 ,

в) 0 ,1 2;

д) 0,002-!;-з

929. Исбот кунед, ки агар а ва в ададхои мусбат ва а>в бошад, он гох сг^ в 1 аст.

930. Ифодаро дар намуди дарачаи асосаш 3 нависед ва киматашро ёбед:

а) 9 3 3; б) (З-1 )4 • 272; в) 9'2 : З 5; г) 813 : (9 2)-3.931. Ифодаро дар намуди дарачаи асосаш 2 нависед ва

киматашро ёбед:

а) 2 8 -210; б) 64-(3“3)2; в)8~2 -43; т) 4* Л6~\932. Ифодаро, ки дар он т адади бутун аст, дар намуди

дарачаи асосаш 5 нависед:

а) 5” •5'"+2 -52т; б) (5ffl)3 (52)м; в) 125 : 53""1.933. Хисоб кунед:

а) 97: 910; б) Г 5 • 273; в) 10°: 10-4; г) 64^ : 16 5;

. 2 8 . 4"2-8 8 4“3 • 4~5 ’ С) 2“24


а) 125~‘ -253; б )16-2 -44;

3~8 -97 4 5 1610 ; ж) - г ^ г ; з)

(-зу 64

в) (62)6 : 614;

276

935. Ифодаи а 16-ро, ки дар ин чо а * 0 аст, дар намуди дарачаи асосаш:

а) а2; б) а4; в) а 2; г) аА нависед.936. Ифодаро сода кунед:

а) — ав"2 -6а Зв; б) — т 'л2 %т2п~х', в) 0,8а“2в4 •—а2в~4;

г) 0,9х 1у-3х2у 2; д) 2т V - т ъп 5; е) 4—а 1 в 17 0,6а V 9.

2 4 4

1 г 7_-п 6 ' ' ' 2

937. Ифодаро сода карда, киматашро ёбед:

а) 1,6х~2у 2 ■ 5х37 _3 х,ангоми х=0,125, у=5 будан;

б) — хлу~4 -21х~5у 2 хангоми х= 10, У = Т будан.7

938. Дарачаро дар намуди хосили зарб нависед:а) (алвл)'2; б) (х2/ )2; в) (а'2в4) 10;

г) (-3тъп 1)2', д)f 1 v 3 —а~2в2 е) (-0,5х-5/ )3.

939. Ба хосили зарб табдил дихед:

а) (4а3в )1; б)(3 ^J -1 - 2—а в

4

в) V .8 г) (0,2х’4у3)'1.

940. Ифодаро дар намуди дарачаи хосили зарб нависед: а) 0,001х-3; б) 16у 4; в) 0,0081aV8; г) lOV4/ .941. Амалро ичро намоед:


а)5х“У 5 9х6

- 4 б) \6а~1в 2 2 5 а 6

5 64в8

в)х3 15у ш

Зу~3 ' х-2 ’26а1

в-8 13а14'943. Ифодаро табдил дихед:

а) ачю eV ,

(5а2вс Г 2; б) 4а 9 в авл 1

ч"з"

в) Г х У 2]-3 2

f 2* 4!1 4z J [ 8 z J

L)b 5 J

• (х ^ )2

Машкхо барои такрор 944. Системаи нобаробарихоро хал кунед:

а)2(4х -1) - Зх > 5(х - 2) + 7,х - 2 < х - 3 б)

1,2х + 7 < 2х -3 ,6 ,2х + 9 5 х -3 -------- > -------- .

945. Барои кадом кимати а, кимати каср ба нул баробар аст:

а) Н ~ 2 .а 2 +1

б)|а|- 5

а 2 - 2а946. Хдсоб кунед:

a) 512 • — • 0,045; б) — . 85 • 0,253.25 32

947. Нишон дихед, ки кимати ифода ададй ратсионалй аст:

1 1 . . 1 1а)

Зл/2-4 Зл/2 + 4 ’б)

5 + 2л/б+ 5-2л/б '

278

44. НАМУДИ СТАНДАРТИИ АДАДДар илм ва техника баъзан бо ададхои нихоят калон ё нихоят

хурди мусбат сару кор доранд. Масалан, диаметри Офтоб бо адади нихоят калони 1 390 600 ООО м ва диаметри молекулаи об бо адади нихоят хурди 0,00000003 см ифода мешавад.

Хондан ва навиштани ададхои нихоят калон ва нихоят хурди намуди дахии мукаррарй дошта, инчунин ичрои амалхо бо онхо хеле нокулай аст. Дар ин маврид навиштани ин гуна ададхо

дар намуди а • 10”, ки дар ин чо п - адади бутун мебошад, кабул карда шудааст. Масалан,

136 000=0,136 106; 0,0023=2,3-10 3; 0,149=14,9-102.Ададхои 1 390 600 000 ва 0,00000003-ро дар намуди хосили

зарби адади байни вохияу дах махдуд буда ва ягон дарачаи адади 10 ифода мекунем:

1390 600 000=1,3906 1 09; 0,00000003=3-1 0 8.Дар ин намуд навишти ин ададхоро намуди стандартии онхо

мегуянд. Хар гуна адади мусбати дилхохро дар ин намуд навиштан мумкин аст.

Хамин тарик, намуди стандартии адади а гуфта, навишти

намудаш а -10"-ро меноманд, ки дар ин чо 1 < а < 10 ва п адади бутун аст. Адади п тартиби адади а номида мешавад. Масалан, тартиби ададе, ки диаметри Офтобро бо метрхо ифода менамояд, ба 9 баробар буда, тартиби ададе, ки диаметри молекуларо бо сантиметрхо ифода мекунад, ба -8 баробар аст.

Тартиби адад дойр то ба чй андоза калон ё хурд будани адад тасаввурот медихад. Масалан, агар тартиби адади а баробарй2 бошад, он гох ин чунин маъно дорад, ки 100<а<1000 аст. Рафту агар тартиби адади а ба -2 баробар бошад, он гох0,01<а<0,1 мебошад. Тартиби калони мусбат нихоят калон будани ададро нишон дода, тартиби хурди манфй хурд будани ададро нишон медихад.

М и с о л и 1. Адади а=5 240 000-ро дар намуди стандарта ифода мекунем.

Дар ин адад вергулро чунон мегузорем, ки дар кисми бутун якто ракам монад. Дар натича 5,24 хосил мешавад. Баъди раками 5 ин адад боз 6 раками дигар дорад. Пас, агар аз тарафи

279

рост 6 ракамро бо воситаи вергул чудо кунем, адади а бо ин 106 маротиба хурд мешавад. Аз ин но:

а = 5,24-106.М и с о л и 2. Адади а=0,0000125-ро дар намуди стандарта

менависем.Дар адади а чои вергулро л авре иваз мекунем, ки дар кисми

бутун якто раками аз нул фарккунанда монад. Дар натича 1,25 хосил мешавад. Вергулро ба рост 5 ракам кучонда, мо адади а- ро 105 маротиба зиёд менамоем. Бинобар ин, 105 маротиба адади а аз адади 1,25 хурд аст. Аз ин чо:

а = 1,25 :1 0 5 = 1,25 ~ = 1,25-10 “5.105

М и с о л и 3. Микдори миллиметрхои кубиро, ки дар 1 м3 хастанд, дар намуди стандарта менависем. Инчунин муайян мекунем, ки 1 мм3 кадом кисми 1 м3-ро ташкил мекунад.

Азбаски 1 м ба 1000 мм=103 мм баробар аст, пас микдори мм3 дар 1 м3 буда, ба (103)3 мм3=109 мм3 баробар мебошад.

Бинобар ин, 1 мм3 = = Ю 9 м3 •

М и с о л и 4. Адади 1,64Т03-ро ба 0,41Т0Ч таксим мекунем:

(1,64 -103) : (0,41 -10~4) = 1,64 1()3а = i ^ i - 1 0 3+4 = 4-107.V ' 0,41-10“ 0,41

1. Чй гуна навишти ададро намуди стандартии он меноманд? 9 2. Тарзи дар намуди стандарта ифода кардани ададро бо мисолхо* нишон дихед.

948. Тартиби адади дар намуди стандарта ифодашударо нишон дихед:

а) 1,ЗТ08; б) 2,8-102; в) ЗЛ Ю4;г) 8,9-Ю 1; д) 5,56Т06; е) 9,98-Ю 7.949. Ададро дар намуди стандарта нависед:а) 46 000 000; б) 1 170 000; в) 485 000 000;г) 20,42; д) 0,00028; е) 0,000047.950. Ададро дар намуди стандарта нависед:а) 36-102; б) 127-107; в) 0,65-105; г) 0,06-104.

280

951. Ададро дар намуди стандарта ифода кунед:а) 2 032 ООО; 6) 8 000 000; в) 72,46; г) 0,89;д) 0,000003; е) 0,00651; ж) 407-10-6; з) 0,021 102.952. Ададй дар чум лай зерин бударо дар намуди стандарта

нависед:а) Сатхл Замин 510 083 000 км-и квадратй аст;б) Массаи Замин 6 000 000 000 000 000 000 000 т аст;в) Одам зиёда аз 100 000 000 000 000 хучайра дорад;г) Массаи атоми гидроген ба 0, 000 000 000 000 000 000 0017 г

баробар аст.953. Ифода кунед:а) 2,8• 103 тоннаро бо граммхо; б) 1,4* 10 '3 км-ро бо

сантиметрхо;в) 7,82-Ю'1 кг-ро бо тоннахо; г) 3,76-105 см-ро бо мегрхо.954. Ифода кунед:

а) 2,68-108 см-ро бо километрхо;б) 2,6-10‘2 м-ро бо миллиметрхо;в) 4,75-1012 кг-ро бо тоннахо;г) 1,7-10 2 тоннаро бо килограммхо.

955. Зарбро ичро кунед:а) (4,25 102)-(1,4-104); б) (2,4-10'2)-(5,2-104).956. Таксимро ичро кунед:а) (3,9-103):(310-2); б) (1,24-10 5):(4,2-1 О*3).957. Амалхоро ичро кунед:а) (3,5-10-2)-(8,2-103); б) (7,2-104):(1,2-103).958. Суръати рушной ба 3-105 км/сония баробар аст. Рушной

дар 1,6-104 сония кадом масофаро тай менамояд?959. Хдчми куберо ёбед, ки дарозии тегаи он ба:

а) 1,5-10‘2 см; б) 3,1-102 ммбаробар аст. Хачми ёфташударо бо метри кубй ифода намоед.

Машкхо барои такрор960. Катора дар рох ним соат боздошта шуд ва барои дар

вакти муайяншуда ба истгох рафта расидан, суръаташро 1,4 маротиба зиёд намуда, 70 км рохи бокимондаро тай намуд. Суръатеро, ки пеш аз истодан катора бо он харакат мекард, ёбед.

281


а) (а — 3) а 2 + I j a | +9 б) (ал+вл)(аг2-(ав)л+в '1)./

962. К,имаги ифодаи 1 Д х^ -б хУ '-р о ёбед, агар:а) х=2,5, 7=0,24; б) х=-0,2, 7 =-16бошад.963. Нобаробариро хал кунед:а) |2,4jc - 7 | < 2; б) - 1 < 2 - 4 x ^ 3 .

1964. Барои кадом киматхои х ифодаи маъно

дорад?

§ 14. ХИ СО ББА РО РИ ХО И ТАКРИБЙ

45. ТАРЗИ НАВИШТИ КИМАТХОИ ТАКРИБЙДар синфи 7 мо бо мафхумхои кимати такрибии адад, сах,ви

мутлак, сах,ви нисбии он ва гайрах,о, ки бо ададх,ои такрибй алокаманданд, шинос шуда будем. Акнун тарзи мувофики навишти кимати такрибии ададро дида мебароем.

К^имати такрибиро одатан тавре менависанд, ки аз руйи он муайян кардани сахех,иаш имконпазир гардад. Масалан, фарз мекунем, ки дар руйи куттии канд навишта шудааст, ки вазнаш 12±0,2 кг мебошад. Ин навиштачот нишон медих,ад, ки вазни куттй бо сах,ехии то 0,2 кг ба 12 кг баробар аст. Яъне, кимати аники вазн р (бо кг-хо) аз кимати такрибии ба 12 баробарй он на зиёдтар аз 0 ,2 фарк мекунад:

1 2 -0 ,2 </><12+ 0,2,

11,8 < р < 1 2 ,2 .К,иматх,ои такрибй дар чадвалх,ои математики ва

маълумотномахо одатан чунон навишта мешаванд, ки сахз аз вохидхои разряди охирин калон намебошад. Дар ин гуна мавридхо мегуянд, ки адад бо рацсищои эътимоднок навишта шудааст.

Т а ъ р и ф. Раками эътимодноки кимати такрибии адад гуфта, раками разряди дилхох,ро, ки сахви мутлак аз вохидхои ин разряд зиёд нест, меноманд.282

Масалан, дар маълумотномахо барои вазни хоси симоб дар харорати 0° кимати 13,59 (ба хисоби г/см3) оварда мешавад. Дар навишти 13,59 хамаи ракамхо эътимодноканд. Раками охирин дар разряди садякй навишта шудааст. Пас, сахви мутлак аз 0,01 хурд ё баробарй он аст, яъне

а = 1 3 ,5 9 ± 0 ,0 1 .Дар адабиёти техникй ва маълумотномахо киматхои

такрибии бисёр бузургихо дар намуди стандарта, яъне дарнамуди а- 10й, ки дар ин 4 0 1 < а < 10 ва «-ададй бутун мебошад, оварда мешаванд. Дар айни хол дар назар дошта мешавад, ки хамаи ракамхои ададй а эътимодноканд. Чунин навиштачот имконият медихад, ки ба сахви мутлаки кимати такрибй бо осонй бахо дихем.

М и с о л . Дар маълумотнома оварда шудааст, ки массаи сайёраи Уран ба 8,70 1025 кг баробар аст. Ба сахви мутлаки кимати такрибии массаи Уран бахо медихем.

Массаи Уранро (бо хисоби кг) бо х ишорат мекунем. Азбаски дар зарбкунандаи 8,70 хамаи ракамхо эътимодноканд ва раками охирин садякист, пас,

х=(8,70±0,01)-1025.Кавсхоро кушода хосил мекунем:

jc= 8,70-1025±0,01 -1025, х=8,70-1025±1023.

Навишти охирин нишон медихад, ки сахви мутлаки кимати такрибии х хурд аз 1023 ё баробарй он аст.

Агар адад дар намуди стандартй навишта шуда бошад ва дар зарбкунандаи а хамаи ракамхо эътимоднок бошанд, он гох чунин навишт имкон медихад, ки бо осонй ба сахви нисбй низ бахо дихем.

Ба мисоли муоина кардаамон бармегардем. Ба сахви нисбии

кимати такрибии х « 8 ,70-1025 бахо медихем.Мо аз 1023 хурд ё ба он баробар будани сахви мутлаки ин

киматро нишон додем. Пас, сахви нисбии он

Ю23 1 1 8 ,70-1025 870 < 100

283

аст. Мебинем, ки сахви нисбй аз вохидй разряди охирини дар навишти зарбкунандаи 8,70 буда, хурд мебошад.

Умуман, нишон додан мумкин аст, ки агар х=<г10" бошад, ки дар ин но 1 < а < 1 0 буда, хамаи ракамхои зарбкунандаи а эътимодноканд, он гох сахви нисбии кимати такрибй аз вохидй разряди охирини дар навишти зарбкунанда буда, калон нест.

Бояд кайд кард, ки хангоми навиштани киматхои такрибй аксар вакт ба чойи а-Ю3, а-106, о-109 мувофикан а хазор, а миллион, а миллиард менависанд. Дар чунин навиштачот зарбкунандаи а метавонад аз худуди нимпорчаи [1; 10) берун барояд. Масалан, масофаи байни Замину Офтоб такрибан 149,6 миллион километр мебошад.

Э ъ з о х. Агар а кимати такрибии адади х ва сахви мутлаки он аз h калон набошад, он гох ин ададро дар шакли

a - h < х < а + hхам менависанд.

1. Раками эътимодноки кимати такрибии адад гуфта, чиро мегуянд? 2. Дар навиштачоти x=a±h ададхои а ва Л чй маъно доравд? 3. Чаро ин навиштачот имконият медихад, ки сахви мутлак ва сахви нисбии кимати такрибии адад ёфта шавад?

965. Маънои навиштачоти зеринро баён кунед:а) а=2,76±0,8; б) в=0,869±0,031;в) х=7686±28; г) ^=9200012000.

966. Агар:а)х=62±1; б)х=4,2±0,1; в) х=8,9±0,2; г) _у=40,64±0,18 бошад, адади х дар кадом худудхо чойгир аст?967. Суръати рушной с дар вакуум (ба хисоби м/сония) ба

299792458±1,2 баробар аст. Адади с дар кадом худудхо чойгир аст?

968. Дар кимати такрибии зерин хамаи ракамхо эътимодноканд. Ба сахви мутлаки кимати такрибй бахо дихед:

а) 36,72; 6)12,6; в) 3,7145; г) 0,00971;д) 37; е) 470; ж) 4,2; з) 7,200.

284

969. Дар кимати такрибии х хдмаи ракамхо эътимодноканд. Сахехии кимати такрибии х ёфта шавад:

970. Ба сахви мутлаки бузургии х, ки дар намуди а-10" навишта шудааст ва дар зарбкунандаи а хамаи ракамхо эътимодноканд, бахо дихед:

971. Ба сахви нисбии кимати такрибии х, ки дар намуди а-10" навишта шудааст ва дар зарбкунандаи а хдмаи ракамхо эътимодноканд, бахо дихед:

972. Массаи Офтоб ба 1,985-1033 г ва массаи Замин ба 5,976-Ю27 г баробар аст. Ба сахди мутлаки ин киматхои такрибй бахо дихед.

973. К^имати такрибии массаи электрон ба 9,1085-10'28 г баробар аст. Дар ададй 9,1085 хдмаи ракамхо эътимодноканд. Сахехии нисбии кимати такрибии массаи электронро ёбед.

974. Ададро дар намуди стандарта нависед:а) 267000; б) 16 000 000; в) 0,000061; г) 0,00187.975. Амалро ичро кунед:

а) х « 2,18; б) х » 196,4;г) х « 1720 ; д) х » 0,03;

в) х » 0,082 ; е) х а 0,040.

а) х » 3,6 -104; б) х « 4,376 -106.

а) х « 1,16 -102; б) jc * 1,23-10“7; в) х * 1,380-104;

г) у * 4,6231 10 “4; д) 0 ,004-10-2; е ) у « 8,5-10°.


а) (3,14-102)-(4,2-104); б) (ЬбФК^Сг.в-Ю*).976. Системаи нобаробарихоро хал кунед:

4х + 3 Зх -1 . -------------------- < 4 3(6 - 4х) < 16 - 5х,

977. Ифодаи л/б(V2 - -ч/б) - (V J + 1)2 -ро сода кунед.

46. ЧАМЪ ВА ГАРХИ КИМАТХОИ ГАКРИБИХисоббарорихо бо ададх,ои такрибй (ададхое, ки бо кимати

такрибиашон дода шудаанд) дар масъалахои амалй ба таври васеъ истифода карда мешаванд. Дар назар донгга мешавад, ки хамаи ракдмхои адади такрибй эыимодноканд. Натичаи хисоббарорй бо назардонгги эътимоднок будани хамаи ракамхои киматхои такрибй яклухт карда мешавад. Дар ин банд тарзи яклухт кардани натичаи чамъ ва тархро хангоми такрибй будани ададхо дида мебароем.

Аз мисол cap мекунем. Кимати такрибии суммаи х+у-ро меёбем, агар маълум бошад, ки

х » 5,62 бо сахехии то 0,01, у * 9,3 бо сахехии то 0,1.

Киматхои такрибии 5,62 ва 9,3-ро чамъ мекунем:5,62+9,3 = 14,92.

Ба сахехии кимати такрибии 14,92 бахо медихем:5 ,62-0 ,01 < х < 5,62+0,01,

9,3 - ОД < у< 9,3 + 0,1.Ин нобаробарихоро чамъ мекунем:

14,92 - 0,11 <,х + у< 14,92 + OyllХамин тарик, х + у « 14,92 бо сахехии то 0,11 аст.

Айнан хамин тавр нишон додан мумкин аст, ки агар x=a±h1, y=e±h2 бошанд, он гох:

x+y=a+e±(h1+h2), а + в - (Д + < х + у < а + в + (Aj + h2)). Яъне, сахви сумма аз суммаи сахви онхо зиёд нест.

Хднгоми хисоби фарки киматхои такрибй сахви фарк низ аз суммаи сахвхо hl+h2 зиёд нест, яъне

x-y=a-e±(h1+h2).Дар хисоббарорихои амалй аввал сумма ё фарки киматхои

такрибиро меёбанд. Баъд натичаро аз руйи адади сахехии мутлакдш калонтарин яклухт мекунанд, яъне дар натичаи нихой баъди вергул хамон кддар ракамхои дахй нигох медоранд, ки онро адади сахваш калонтарин дорад. Масалан, дар мисоли дар боло овардаамон адади такрибии у дорой сахви калонтарин асг ва у пас аз вергул як раками дахй дорад. Пас, мувофики коидаи хозир кабул кардаамон дар натича 14,92 бояд пас аз вергул як ракам нигох дошта шавад, яъне натичаро то дахякй яклухт кардан лозим аст:286

М и с о л и 1. Бигузор х * 16,2 ва у а 7,609 аст. Кимати такрибии суммаи х+_у-ро меёбем.

Киматхои такрибиро чамъ намуда, хосил мекунем:х + у *23,809.

Аз киматхои такрибии додашуда, якумаш сахви калонтар (сахехиаш 0,1) дорад. Бинобар ин, натичаро аз руйи он, яъне то дахдкй яклухт намуда,

х + у » 23,8-ро хосил мекунем.

М и с о л и 2. Бигузор х к 7,683 ва у к 4,92 аст. Кимати такрибии фарки х-д>-ро меёбем.

Киматхои такрибиро тарх мекунем:х - у ш 2,763.

Аз киматхои такрибии додашудаи 7,683 ва 4,92 дуюмаш дорой сахви калонтар аст. Натичаро аз руйи он, яъне то садяки яклухт намуда ба

2,76сохиб мешавем.

1. Сахри мутлаки сумма ё фарки ду кимати такрибй аз чй калон нест? 2. Натичаро хангоми чамъ ва тархи киматхои такрибй чй тавр яклухт мекунанд? Коидаро бо мисолхо фахмонед.

979. Кимати такрибии суммаи л: ва у-ро ёбед, агар: а) х » 0,872 ва у » 5,42; б) х » 2,3 ва у и 7,615 ;в) х * 3,147 ва у * 13,61; г) х « 17 ва у * 27,7

бошад.980. Кимати такрибии фарки х ва у-ро ёбед, агар:а) х » 7,42 ва у « 2,5416 ; б) х « 37,708 ва у я 32,7;в) х я 21,40 ва у » 1,9375 ; г) х « 6,485 ва у « 0,39

бошад.981. Киматхои такрибии а+в ва a-e-ро ёбед, агар: а) а « 31,14 ва у * 18,4; б) а » 4,1708 ва в * 1,09

бошад.

х + у « 1 4 ,9 .

287

982. Маълум, ки а » 24,2036; в & 7,98 ва с * 4,95 . Кимати такрибии ифодаи a-e+c-ро ёбед.

983. Кимати такрибии ифодаи x+y-z-ро ёбед, агар х « 8,1; у » 7,69 ва z « 0,6519 бошад.

984. Тарафх,ои секунда такрибан ба 3,76; 5,12 ва 4,315 м баробар аст. Периметри секунчаро ёбед.

985. Дар майдони масохаташ 500 м2 хонаи масохаташ65,5 м2 ва анбори масохаташ 17,3 м2 сохтанд. Чй кадар масохати майдон холй монд?

986. Массаи Замин 5,976-Ю21 т, массаи Зухра бошад 4,88-Ю21 т аст. Массаи Замин аз массаи Зухра чанд тонна зиёд аст?

Машкхо барои такрор987. Айниятро исбот кунед:

(а2+в2)(х2+у2)=(ах-ву)2+(ау+вх)2.988. Кдмати ифодаро хисоб кунед:

a) V0,16 - 0,1 л/225”; б) 0,2л/900"+1,8^1.

989. Кимати ифодахоро мукоиса намоед:а) (0,4)-3 ва (О^)-4; б) 3 ва (-3)-4.990. Сохаи муайянии ифодаро ёбед:

ч Юд/- 2 _ — ч 2х + 1 ч I 5у 6 ) 7 6 ^ 2 7 ; в> Т Г х^ 4 ;

991. Х,алхои бутуни системаи нобаробарихоро ёбед:

а) 3 ’ б)Зх - 0,8 > 0,2;

1 > — .40 ,6х - 3 < 2.

47. ЗАРБ ВА ГАКСИМИ КИМАТХОИ ТАКРИБИФарки ичрои амалхои зарбу таксими киматхои такрибй аз

чамъу тархи онхо дар он аст, ки яклухткунии натичаи нихой бо ба хисоб гирифтани сахехии нисбии киматхои додашуда ичро карда мешавад. Ин яклухткунй аз руйи кимати такрибие, ки сахви нисбиаш калон аст, гузаронида мешавад. Барои ин киматхои

288

додашуда ва натичаи хосилшударо дар намуди стандартии а- 10й менависанд ва зарбкунандаи а-и натичаро тавре яклухт мекунанд, ки микдори ракамхон дар он баъди вергул буда, ба микдори ракамхои баъди вергул доштаи зарбкунандаи мувофики дар адади сахехии нисбиаш калон чойдоигга, баробар шавад.

Гуфтахоямонро бо мисолхо шарх медихем.М и с о л и 1. Бигузор х » 0,76 ва у я 23,1 аст. Климата

такрибии хосили зарби х ва _у-ро меёбем.0,76 ва 23,1-ро ба хамдигар зарб карда, ху » 17,556 хосил

мекувем. Ададхои додашуда ва натичаро дар намуди стандарта менависем: зарбкунандаи 7,6 баъди вергул як ракам, зарб- шавандаи 2,31 баъди вергул ду ракам дорад. Адади 1,7556-ро аз руйи адади якуми додашуда, яъне то дахдкй яклухт намуда

ху »1,8 -101-ро хосил мекунем.

М и с о л и 2. Бигузор х « 321,2 ва у « 22 аст. Климата такрибии хосили таксими х ва у-ро меёбем.

Адади 321,2-ро ба адади 22 таксим намуда, хосил мекунем:х : у « 14,6.

Ададхои додашуда ва натичаро дар намуди стандартй менависем:

321,2=3,212-102; 22=2,2-10*; 14,6=1,46101.Аз навиштачоти мазкур дида мешавад, ки адади 1,46-ро аз руйи адади дуюми додашуда, яъне то дахдкй яклухт кардан лозим аст. Хдмин тарик, ба

- х : у * 1 ,5 Т 0 1=15дода мешавем.

Баъзан хднгоми халли масъалахо якчанд амалхоро бо киматхои такрибй якчоя ичро кардан лозим меояд. Дар ин холат амалхоро мувофики тартиби заруриашон ичро намуда, пай дар хдм коидахои ичрои амалхоро бо киматхои такрибй гатбик менамоянд.

М и с о л и 3. Кимати ифодаи (x + y ) z - ро хангоми х я 3,75,7 я 48,8 ва г * 0,0095 будан меёбем.

Дорем3,75 + 48,8 = 52,55 я 52,6;

52,6 0,0095 = 0,4997 = 4,997 • Ю-1 я 5,0 • 10 '1 = 0,50.289

Хднгоми яклухткунй ба назар гирифта шудааст, ки 52,6=5,26-101; 0,0095=9,5-1 0 3 аст, бинобар ин, зарбкунандаи 4,997 то дахякй яклухт карда шуд.

1. Натичаро хднгоми зарб ва таксими киматхои такрибй чй тавр *у яклухт мекунанд? Коидахоро бо мисолхо фахмонед. 2. Хднгоми• якчоя ичро кардани якчанд амалхо бо киматхои такрибй чй тавр

рафтор мекунанд?

992. К^иматхои такрибии хосили зарби х ва у-ро ёбед, агар: а) х » 2,1-102 ва у « 4 ,27104; б) х я 2,167 107 ва у я 7,8 10~6;в) х « 7,610-3 ва у * 9 ,4 6 1 0 4; г) х я 5,705 10“2 ва у * 1,4 10_3

бошад.993. Кимати такрибии хосили таксими х ва у-ро ёбед, агар: а) х « 7,7510* ва у « 5,2-103; б) х * 2 ,6 1 0 4 ва у « 8,95 102

бошад.994. Кимати такрибии хосили зарби р ва q-po хисоб кунед,

агар:а) р » 36,4 ва q я 0,46; б) р я 0,0432 ва q » 16,8

бошад.955. Кимати такрибии хосили таксими х ва у-ро ёбед, агар: а) х я 16,14 ва у я 0,28; б) х я 0,24 ва у я 0,0248

бошад.996. Киматхои такрибии ифодахои ав ва — -ро хисоб кунед,

агар а«4 ,3-104 ва в я 2,1210е бошад. 6997. Кимати такрибии — ро хисоб кунед, агар:а) х я 4,05 ва у я 1,6; У б) х « 0,4 ва у я 8,2

бошад.998. Асосхои трапетсия а « 4,6 см, в ~ 3,28 см ва баландиаш

Л я 3 см аст. Масохати трапетсияро ёбед.999. Масохати хонаи дарозиаш 6,65 м ва бараш 2,75 м бударо

хисоб кунед.1000. Садои раъду барк баъди 3,7 сонияи намоён шудани барк

ба гуш расид. Раъду барк дар чй кадар баландй (суръати садо дар хаво 332 м/сония аст) ба вучуд омадааст?

1001. Периметри квадрати тарафаш а-ро ёбед, агар: а) а » 7,69 м; б) а « 0,45 м

бошад.290

1002. Масох,ати китъаи росткунчашакл ба 18 м2, бараш ба8,4 м баробар аст. Дарозии китъаро ёбед.

1003. Массаи лавхдчаи сурб 440 г аст. Зичии сурб 11,4 г/см3 мебошад. Хдчми лавхачаро ёбед.

1004. Периметр ва масохати росткунчаи тарафхояш а « 156 см ва в » 8,1 см бударо ёбед.

1005. Климата такрибии ифодаро хисоб кунед:а) ху-2у, агар х « 42,16 ва у « 28,2 бошад;

Х+ у „б ) , агар х « 8,20 ва у » 1,06 бошад.

1006. К имати такрибии ифодаи х 3-Зх-ро ёбед, агар х « 2,8 бошад.

1007. Масохати доираи радиусаш r-ро хисоб кунед, агара) г Я 7,2 см; б) г » 27 ,2 м

бошад.1008. Китъаи замини росткунчашакл дорой ченаки

218м х 275м мебошад. Агар 1 га замин 15 т картошка хосил дихдд, аз китъаи мазкур чй кадар картошка чамъоварй карда мешавад?

Машкхо барои такрор1009. Киматхои ифодахои

2V3 + V50 ва 3V^5 + 5V2 -ро мукоиса намоед.

1010. Ба сахви мутлак ва сахви нисбии кимати такрибии зерин бахо дихед:

а) 5,125 102; б) 1,20-10'1; в) 4,3-10 3.1011. Системаи нобаробарихоро хал кунед:

2х + 1 х х 1 - х--------------- > — |---------

5 3 5 15 2х х + 5 Зх х - 5

.1 6~ < ~2 12~

1012. Ба 22 сомонй ду навъ матоъ хариданд, ки нархи як метри навъи якум 2-сомонй ва нархи як метри навъи дуюм 3-сомонй аст. Аз хар навъ матоъ чандметрй харидаанд? (Микдори метрхо бутун аст).

291

1013. Барои кадом кимати у кимати касрхо ба рам баробаранд:

\ 1 1 . л 3 <а) —------ ва - — — , б) - —— ва1 0 ^ -1 2 - 5 у ’ ' 8 - 5 у 7 у - 2

Маълумоти таърихиа) Дойр ба дарачаи нишондирандааш манфй. Аз амалияи рал

кардани масъаларои алгебравии мураккаб зарурати умуми- кунонии мафруми дарача ва васеъ кардани он бо воситаи дохил кардани дарачаи нишондирандааш нул ва ададй манфй ба миён омад.

Аввалин шуда баробарии я°=1-ро дар ибтидои асри XV олими самаркандй Гиёсиддини Кошонй дар асаррои худ истифода кардааст. Новобаста аз у дар рамин аср олими франсавй Никола Шюке дар асараш «Назарияи ададро дар се кием» дарачаи нишондирандааш нул ва манфиро дохил мекунад. Вале ин китоб нашр карда нашуд, аз рамин сабаб таъсири калон расонида натавонист.

Дойр ба фоиданок будани дохилкунии дарачаи нишондирандааш нул ва манфй, инчунин рамзрои розиразамони алгебравй соли 1665 математики англис Чон Валлис (1616- ПОЗ) муфассал навишта буд. Вай таъкид карда буд, ки ин дохилкунй тавре бояд ба амал ояд, ки ба он рамаи он коидарои ичрои амалро, ки барои дарачаро бо нишондирандарои натуралй хосанд (принсипи нигохдорй ё доимй будан), чой дошта бошанд. Яъне, хосиятрои асосии дар аввал муайянбудаи мафруми дарача ичро шаванд (ниг. ба 6.43). Кори Валлисро Исаак Нютон (1643-1727) ба сомон расонд. Муттасилона аввалин шуда, вай рамзрои навро истифода мекард ва баъди ин истифодаи онро ба расмият даромад. Дар яке аз мактуброи худ аз соли 1676 Нютон навишта буд: «Чуноне ки алгебрадонон ба чойи аа, ааа

2 3 ~ * - 1 1 1ва г аира, а% а3 ва гаира менависанд, ман... ба чоии —, — ва —т,а а арамчунин ал, сг2, аг3 ва гайра менависам».

Чй тавре дидем, дохил кардани дарачаи нишондирандааш манфй (ниг. ба 6.V §13.42) имкон дод, ки ададрои нироят хурд

292

ба таври кулай ва аз хдма мухдмаш кутох, навишта шаванд, ки ин ичрои амалх,оро бо онхо нихоят сода мегардонад.

б) Дойр ба хисоббарорихои такрибй. Арифметика дар натичаи хисоб кардани предметхо ва чен кардани бузургихо пайдо шудааст. Натичае, ки аз ченкунй хосил мешавад, хамеша адади такрибй мебошад. Ин аз ду чихат ба амал меояд: 1) асбобхои ченкунй асло аник нестанд; 2) хангоми ченкунихои гуногун, дар амалия ба ин ё он носахехй рох дода мешавад. Дар бисёр маврид худи хисоб хам ба ададхои такрибй меорад, масалан, хангоми хисоби дарахтони дар чангал буда ё хисоби ахолии мегаполисхо (шахрхои нихоят калон).

Муоинаи масъалахои математикие, ки онхо дар Мисри кадим ва Бобул хал карда шудаанд, нишон медихад, ки хануз дар даврахои кадим тарзхои гуногуни хисоббарорихои такрибй истифода карда мешуданд. Макеади ин тарзхо осон кардани хисоббарорихо буд. Яке аз ин роххо - пешакй тартиб додани чадвалхои гуногун буд. Мисриён, ки хисобкунихояшон бо касрхо нихоят мураккаб буд, барои бо воситаи суммаи касрхои вохддй ифода намудани касрхо, чадвалхо тартиб дода буданд. Бобулиён бошанд, чадвалхои квадратхо, кубхо ва бузургихои баръаксро сохта буданд.

Яке аз сабабхои асосии тараккй кардани хисоббарорихои такрибй масъалаи ёфтани решахои муодилахо мебошад. Пас аз ба математика дохил кардани метода координата аз тарафи Рене Декарт (1596-1650), методи графикии халли муодилахо, методи макбул гардид. Бо туфайли корхои Нютон, Яков Бернулли (1654-1705) ва як катор математикхои дигар имконияти такрибй ёфтани решахои муодилахои кубй ax3+ex2+cx+d= 0 ва муодилахои дарачаашон аз ин хам баланд, мухайё гардид.

Кдйд кардан ба маврид аст, ки муодилахои алохидаи кубиро бо тарзхои геометрй хануз дар замони кадим Архимед ва дагарон, дар асрхои миёна донишмандони бузургй форсу точик Умари Хайём (1048-1131), Гиёсиддани Кошонй ва чанде дагарон хал карда буданд. Вале формулаи халли муодилаи кубиро на юнонихои кадим, на хиндухо, на олимони мамолики араб ва Осиёи Марказй пешниход карда тавонистанд. Ин формула дар асри XV аз тарафи математикхои италиявй Ферро, Тарталйе

293

ва Кардано кашф шудааст. Математики дигари италиявй Л. Феррари (1522-1565) формулаи решахои муодилаи дарачаи чор, яъне муодилаи ax4+ex3+cx2+dx+e=0-po ёфтааст. Аммо ин формулахо чунон мураккабанд, ки дар амалия кариб истифода карда намешаванд. Марокангез аст, агар дар хамин чо зикр кунем, ки солхои 20-уми асри X IX олими чавони норвегй Ниле Абел (1802-1829) исбот намуд, ки формулаи хисобй барои ёфтани решахои муодилаи дарачааш панч вучуд дошта наметавонад.

Мана, барои чй такрибан ёфтани решахои муодилахои дарачаашон баланд бо сахехие, ки он талаботи илм ва амалияро конеъ менамояд, мухим аст.

Олимони Чини кадим, мамолики араб ва Осиёи Марказй, масалан, Риёсиддини Кошонй ба коркард ва пешниходи тарзхои такрибй ёфтани решахо машгул шуда буданд. Аз байни аврупоиён аввалин шуда Ф. Виет (1540-1603) мунтазам муодилахоро такрибй хал мекард. Нютон методи такрибан ёфтани решаро пешниход кардааст, ки холо хам васеъ истифода карда мешавад. Яке аз методхои бехтарини такрибй ёфтани решахои муодилаи дарачааш адади дилхохи натуралиро солхои 20-30-и асри X IX се математик: Данделан (Белгиё), Лобачевский (Русия) ва Греффе (Швейтсария) новобаста аз хамдигар пешниход кардаанд.

Яке аз методхои такрибй ёфтани решахои муодила, методи интератсионй аст. Дар ин метод кимати дилхохро ба сифати кимати такрибии реша кабул карда, аз руйи он ва муодила киматеро меёбанд, ки вай нисбат ба кимати аввала ба реша наздиктар аст. Ин киматро ба сифати реша кабул карда, равандро аз нав такрор мекунанд. Баъди ба микдори муайян такрор кардан, решай матлуб бо сахехие ёфта мешавад. Микдори такрор аз сахехД вобаста аст. Х,оло ин метод, методи асосии ёфтани решахо бо истифодаи компютерхо ба хисоб меравад. Ба мавкеъ аст, агар хотирнишон кунем, ки риёзидони бузурги точик Абдуллохи Марвазй (ваф.970) шояд дар чахон якумин донишмандест, ки барои ёфтани решай муодилаи параллакс методи интератсиониро пешниход намудааст.

Дар тараккй додани назарияи хисоббарорихои такрибй хиссаи академикхои еобик Иттифоки Ш уравй Алексей 294

Николаевич Крилов (1863-1945) ва Андрей Николаевич Тихонов (1906-1993) хеле бузург аст.

А.Н.Крилов муаллифи асархои асосй оид ба назарияи киштисозй буда, дар лоихасозй ва сохтмони линкорхо (кишти- хои калони харбй)-и рус иштирок кардааст. Вай мохирона назарияи математикиро барои халли масъалахои амалй ва мухандисй татбик мекард. Махз Крилов пешниход кардааст, ки адади такрибй бояд тарзе навишта шавад, ки дар он хамаи ракамхо, гайр аз охирин, эътимоднок бошанд. Ин тарзи навишти адади такрибй холо дар тамоми дунё кабул карда шудааст ва он хамчун коидаи Крилов маъмул аст.

Тавассути корхои илмии А.Н.Тихонов ва чанде дигарон илми математикаи хиеоббарорй хамчун шохаи мустакили математика эътироф карда шуд. Пайдоиш ва ривочи шабакаи компютерй талаботи тайёр кардани мутахассисонеро, ки онхо аз ухдаи татбик кардани методхои математика дар амалия бо истифодаи компютерхо мебароянд, ба миён овард. Ин аст, ки аз нимаи дуюми асри гузашта cap карда дар тамоми давлатхои мутараккии чахон ин кор огоз ёфт. Дар Точикистон, дар Донишгохи миллй аз соли 1972 шуъбаи математикаи амалй фаъолият мекунад, ки ин вазифаро ба зимма дорад.

МАШКХОИ ИЛОВАГЙ БА БОБИ VБа параграфи 13.1014. Кдмати ифодаи:а) 10х2-ро хангоми х=0,1 будан;б) х у 3-ро хангоми jc=100, у=5 будан ёбед.1015. Исбот кунед, ки ададхои зерин байни худ чаппаанд:

в) 0,253 ва 4-3;

1016. Ададхоро мукоиса намоед:

1017. Хдсоб кунед:а) -0,16"2-64; б) 0,1-(-0,5)-1;

B ) 3 i ( ? ) _ 0 ’5; г)-2-‘-7+1,52.

1018. Ифодаро бе дарачаи нишондихдндааш манфй нависед: а) а2в 2; б) 2а4с 3; в) а 1 в2;г) (г'+в-1; д) (а х 1)-2; е) (х^+у1)2.

1019. Касрро дар намуди хосили зарби дарачахо нависед:

а а 1 4а > 7 ; 6 ) 2 ? ; в ) 4 T ) a V '1020. Амалро ичро кунед:

a) i o - ’ -lO»*;

ч 6а~3 и3 . ч 15 _5 , , _7 _1чв) - у - Т . г ) у а в: (-5 а в ).

1021*. Ифодаро сода намоед:

х3 + х 7 „ а + а 2 + а3а ) _ з _7 9 б ) _2 _ з •х + х а + а + а

1022*. Ифодаро дар намуди дарачаи асосаш 10 нависед (п- адади бутун):

а) 1000"; б) 0,01 -10"+1;в) 0 ,01"101+2я; г) 0,1-100".


16" „ 6яа) Т55ГТ» б)

в)

^2я-1 7 2 я-1.^я+1 5

45 "+I ч 60"\ 2 п л и - 1 ^ я+1

1024. Ифодаи х _1+х-ро дар намуди хосили зарби ду зарбшаванда нависед, ки яке аз онхо баробарй:

а) х; б) х '1бошад.

1025. Дар ифодаи сг5+агг зарбшавандаи: а) а*5; б) а 3-ро аз кавс бароред.296

1026*. Дурустии баробариро, ки дар он п бутуни дилхох аст, нишон дихед:

а) 2"+2"=2л+1; б) 2-3',+3',=3"+1;в) 21-п-2-п=2-п; г) 2’"+2'"+1=3,2'".


3»+i _ 3 « 2" + 2-" ч ( з ^ з " ’1)2^ — j — ; б> - 7 = Т Г ■ ») L -F ~1028*. Исбот кунед, ки барои хар гуна кимати бутуни п,

кимати каср адади доимй аст (аз п вобаста нест):

(5я _ 5 я-1 V 9"~2

1 2 5 Л+1 ’ ^1029. а) 1 соат; б) 1 шабонаруз; в) 1 сол; г) 1 асрро бо сонияхо

ифода намоед ва адади хосилшударо дар намуди стандарта нависед.

1030. Амалхоро бо ададхои дар намуди стандартй навишташуда ичро кунед:

а) (2 ,41013) (410-9); б) (7,1-10 2б)-(2-1023);в) (8,4-10'14) : (4,2-ДО17); г) (3,32-ДО11) : (5,2-ДО-7).1031. Амали чамъро ичро кунед:а) 4,7Т04+5,9Т04; б) 3,7-103+3,76-103.1032. Тартиби адади jc ба 13 баробар аст. Тартиби адади

зеринро ёбед:

а) 100.x; б) 0,0001х; в) г)

1033. Тартиби адади х ба 6 ва тартиби адади у ба 8 баробарх

аст. Тартиби хосили зарби ху ва тартиби хосили таксими — ба

чанд баробар аст?

Ба параграфи 14.1034. Ба сахви мутлаки кимати такрибй, ки дар он хамаи

ракамхо эътимодноканд, бахо дихед:а) 13,27; 6)0,8269; в) 726,1; г) 3,00127.1035. Ба сахви нисбии кимати такрибии д>и дар намуди

стандартй навишташуда бахо дихед, агар дар зарбкунандаи он хамаи ракамхо эътимоднок бошанд:

297

в) х « 8,11110й; г) х * 7 ,410-2. ,1036. Дар маълумотнома оварда шудааст, ки вазни сайёраи

Зухра ба 4,87 1021 т баробар аст. Ба сахвхои мутлак ва нисбии кимати такрибии мазкур бахо дихед.

1037. Киматхои такрибии а+в ва a-e-ро ёбед, агар:а) а « 47 ,142 ва в » 14,79; б) а » 70,2 ва в я 27,481;в) а я 7,44 ва в » 0,375; г) а » 6,008 ва в » 0,291бошад.1038. Киматхои такрибии хосили зарб ва хосили таксими

ададхои а ва e-ро ёбед, агар а ж 3,5104 ва в » 4,12-Ю3 бошад.

х1039. Киматхои такрибии ифодахои ху ва — ро ёбед, агар:

Уа) х * 0,4 ва у » 6,5; б) х « 16,86 ва у » 0,7 бошад.

1040. Киматхои такрибии ав ва —-ро ёбед, агар а * 2,15 103а

ва в«6,12-102 бошад.1041. Периметр ва масохати росткундаи тарафхояш а » 13,2

см ва в » 6,7 см бударо ёбед.1042. Асоси секунча а « 2,4 см ва баландиаш h » 6,3 см аст.

Масохати секунчаро ёбед.1043. Масохати китъаи пахтазор 6000 м2 аст. Агар дарозии

китъа 240 м бошад, бари он чй кадар аст?1044. Киматхои такрибии суммаи х ва у-ро ёбед, агар:а) х * 8,26 103 ва у *3 ,4-102;

б) х я 4,48-10s ва у * 3,25 106;

в) х « 2,805 102 ва ум 4 ,210"4;

г) х * 9,38 10 2 ва у * 8,743 -10_1 бошад.1045. Кимати такрибии фарки х ва у-ро ёбед, агар:а) х я 9,26-103 ва у я 7 ,4 101;

б) х я 4 ,2104 ва у « 1,02-102;298

а) х « 5,84 104; б) х я 2,347 Ю'5;

в) х « 3,610“2 ва у « 1,2 *10 _3;

г) х « 7,483 10_1 ва ^«1,6-10 '2 бошад.1046. К|имати такрибии ифодаи x-y+ z -ро ёбед, агар

х » 7,35 102; у » 4,3103; z * 5 ,8102 бошад.1047. Массаи Замин ба 5,976-1021 т, массаи Мох, ба 7,35-1012

т баробар аст. Массаи Замину Мох, якчоя чй кадар мешавад? Массаи Замин аз массаи Мох, чанд тонна зиёд аст?

Ч,АВ0БХ,0

905. б)-10; г)1; и)10000; к)0, (8). 910. а)0,04; г)1. 912. а ) у ва

913. д) е) ж) 5 ^ - ; з)1001. 914. в)0; г) р д) 5.

а 2 + в 2 _ х 1 + у2 (1 + ав )2 х 1 у2 - 4 1917. а) — г~2~ ’ б ) ---------- ’ в ) ---------- —; г ) ------------ • 918. а)— ;а ‘в ху ' ав ху ав

б) ~7 ч 2 2 • 920. 3 км/соат. 921. а) (0,8;+оо); б) (-оо;-1). 922.I fl в )& в

8. 923. Дар (-оо;-4) манфй аст. 924. а) 9; б) 8; в) 0,01; г) 0,25;

д) 1; е) — ; ж) 32; з) и) 128. 925. а) 25; б) 4; в) 9; г) 16;

д) 64; е) 0.01. 930. а) у ; б) 9; в) 3; г) 1. 931. а) 4; б) 1; в) 1; г) 4.

933. а) б) j - ; в) 10000; г) д) 256; е) ж) 81; з) 4096.

934. а) 125; б) 1; в) г) д) е) 935. в) (<г2)-*;

г) (сг4)-4. 936. а) —— ; б) бтп; в) 0,2; г) —— ; д) — j-; е) 2,1 (ав)2. а в у in

299

937. а)0,2; б) 30. 938. а) а2в2; б) х 'у 4. 939. в) | а 6в-1; г) 5х4у \

/V - 4940. а) (Юл:) 3; б) ; в) (0,3ав2)4; г) (ДООдг2/ )2. 941. а) — ;а

2в Ъа2в2 авб) Т ; в) — г) т - 942- а)

15л:5 5а5“ 7 ” ’ 4 7 1 в)

г) 2а3ви. 943. а) 4(авс2)4; б) 1 3 -;. в) 944. а) [5;-кю) ; б) 0 .(2 X945. а) Барои а=±2; б) барои а= ± 5. 946. а) 1; б) 16. 947. а) 4;

1 лп 1 1б) 10. 960. 40 км/соат. 961. а) — “ 27; б) - — 3-- 962. а) 5,04;а а в

б) 26,88.963. а)Г 1 31 1 32— ;3—

12 4 ; б) 4 ’ 4 964. Барои хдмаи киматхо

;2 . 977. -10.

аз [0; 1]. 974. а) 2,67-105; б) 1 ,6 1 0 7; в) 6 ,М О '5; г) 1,87-Ю'3.

6 * (2975. а) 13,188-106; б) 5 - . 976. а) (1; 3]; б)

979. а) 6,29; б) 9,9; в) 9,76; г) 45. 980. а) 4,88; б) 5; в) 20,46; г) 6,1.982. 22,07. 983. 15,1. 984. 13,19. 985. 417,2м2. 986. 1,10 1 021 т.988. а) -1,1; б) 6,6. 989. а) дуюмаш калон; б) хар ду баробаранд.990. а) хамаи ададхо, гайр аз нул; б) хамаи ададхои аз 3 калон набуда; в) хамаи ададхо, гайр аз 0,2(6); г)хамаи ададхо.

991. а) j * 4 ч J; б) - 1 * 7 . 992. а) 9-10б; б) 16,9-Ю 1.

993. а) 1 ,5103; б) 0,3 102. 998. 12. ,999. 17,29 м2. 1000. 1,2 км.1001. а) 30,76; б) 1,80 м. 1002. 2,1 м. 1003. 39 см2. 1004. 328,2 см;1,3-Ю 1 см2. 1007. а) 1,6-102 см2; б) 2 ,3 1 0 3 м2. 1008. 90 т.1009. Дуюмаш калон. 1011. (-<ю;2]. 1012. 2 м ва 6 м ё 5 м ва 4 м,ё ки 8 м ва 2 м. 1013. а) барои 0,2; б) барои 1. 1017. а) -2500;

б) 1,6; в) 51,5; г) -1,25. 1020. а) 8а; б) — ; в) — ; г) ~ ^ а 2в\а а 1

300

б) в) 15; г) 0,6. 1024. a) х(1+х-2); б) x ^ l+ x 2). 1025. а) сг5(1+а2);

б) сг\(г2+ 1). 1027. а) 3"; б) 2-; в) 16. 1030. а) 9,6-Ю4; б) 1,42-10*2;в) 2,0-1031; г) 6,4-1017. 1031. а) 1,1-Ю5; б) 7,5-103. 1032. а) 15;б) 9; в) -1; г) 26. 1033. 14; -2. 1041. 39,8 см ва 8,8-Ю1 см. 1042. 7,7 см2. 1043. 25 м.

1021. a) jc 10; б) о4. 1022. а) 103"; б) 10-1; в) 10; г) 102"-1. 1023. а) 4;

МАСЪАЛАХ,ОИ ХАЛЛАШОН НИСБАТАН МУРАККАБ

1048. Барои ракамгузорй кардани китоб 1422 ракам истифода шудааст. Китоб аз чанд сахифа иборат аст?

1049. Ду тарафи мукобили росткунчаро 20% зиёд ва ду тарафи дигари онро 20% кутох, карданд. Дар натичаи ин амалиёт масохати росткунча чй гуна тагйир меёбад?

1050. Исбот кунед, ки адади токи дилхох ва нисфи адади чуфти пасоянди он байни худ тарафайн ададхои содаанд.

1051. Дар хамвории координатавй мачмуи нуктахое, ки координатахои онхо (х; у) нобаробарии

|2х-у|>х+1 -ро каноат менамоянд, тасвир кунед.

1052. Алй, ки суръаташ 4 км/соат ва Ахмад, ки суръаташ 5 км/соат аст, ба самтхои ба хдм перпендикуляр хдракат мекунанд. Холо Алй 7 км, Ахмад 10 км рохро тай кардаанд. Баъд аз чанд соат масофаи байни онхо ба 25 км баробар мешавад?

1053. Дар адади дуракама микдори вохддхо аз дахихо 3-то кам аст. Хосили зарбаш ба адади бо хамон ракамхо, вале ба тартиби баръакс навишташуда ба 574 баробар мешавад. Ин ададро ёбед.

1054. Решахои муодилаи:

ч х 3- 2 1 2 * 2 1 , „а) — = 27; б) х - 2 х -----+ - - 6 = 0;7 х - 3 х х 2

\ л 2 i*, 12 4 лпв) 4х +12х + — + —j- = 47X X

-ро ёбед.301

1055. Муодиларо хал кунед:jc2-4jc+/-18y+85=0.

1056. Исбот кунед, ки барои хдр гуна и-и натуралй адади л3+5и ба 6 таксим мешавад.

1057. Барои суфта кардани як детал коргари якум назар ба коргари дуюм 6 дакика вакт кам сарф мекунад. Дар муддати 7 соат хар кадоми онхо чанд деталй суфта мекунанд, агар маълум бошад, ки дар хамин муддат коргари якум назар ба коргари дуюм 8-то детал зиёд суфта менамояд?

1058. Агар адади дуракамаро ба хосили зарби ракамхояш таксим кунем, он гох хосили таксим ба 1 ва бакия ба 16 баробар мешавад. Вале агар ба квадрати фарки ракамхои он хосили зарби ракамхояшро чамъ намоем, худи ададро хосил мекунем. Ин ададро ёбед.

1059. Раками якуми адади панчракама 3 буда, раками дуюмаш 4 ва раками чорумаш 5 аст. Хдмаи ин гуна ададхоро, ки онхо бебакия ба 36 таксим мешаванд ёбед, яъне ракамхои сеюм ва панчуми ин ададхоро.

1060. Ахмад ва Алй аз руйи давра медаванд ва барои як давр давидан Ахмад назар ба Алй 5 сония кам вакт сарф мекунад. Агар онхо дар як вакт ба як самт даванд, баъди 30 сония хамшафат (пахлу ба пахду) мешаванд. Баъди чанд сония Ахмаду Алй бо хам вомехуранд, агар аз як нукта (чой) ба самтхои мукобил даванд?

1061. Нишон дихед, ки барои хдр гуна адади натуралии п> 1

1 1 1 1 Г ,

л/Г+л/2 л/2 + л/З л/и - 2 + л/и - 1 л/и - 1 + 4п1062. Исбот кунед, ки барои хар гуна ададхои мусбати а, в

ва с нобаробарииа 2 + в2 + с 2 > ав + ас + вс

дуруст аст.1063. Исбот кунед, ки нобаробарии

3{ав + ас + вс) <( а + в + с)2 барои хар гуна ададхои мусбати а, в ва с дуруст мебошад.

302

а) а 2 - ав + в2 > ав; б ) —+ — ^2;’ в ав) а 2 + в2 +1 > ав + а + в; г) (а + в)(ав + \) > 4ав.

1064. Нобаробариро исбот кунед:

1065. Исбот кунед, ки халли муодилаи |x-a|=|jt-e|, ки дар ин чо а Ф в аст, бо формулаи

1070. Аз шире, ки равганнокиаш 5% аст, твороги равганнокиаш 15,5% тайёр мекунанд. Дар айни х,ол зардобе, ки бокй мемонад, 0,5% равган дорад. Аз 1 тонна шир чй кадар творог тайёр мекунанд?

1071. Исбот кунед, ки ададй У=п*+3п2-п-3 барои хар гуна п-и ток ба 48 таксим мешавад.

1072. Ададй ^7 + л/\0 калон ас г ё ададй ^3 + *Jl9 ?1073. Исбот кунед, ки агар а, в, с тэоафхои секунча бошанд,

он гох

а 2 (в + с - а) + в2 (а + с - в) + с 2 (а + в - с ) < Заве.

ифода карда мешавад.х = —(а + в)

2

1066. Муодиларо хал кунед:а) |2х-1|=|3л>3|;в) |х+3|=|-6х+5|;1067. Муодиларо хал намоед:а) |х|+|х-1|=3;1068. Решай муодиларо ёбед:а) |х|=х2-12;в) |х2-4х-2|=6;1069. Кимати ифодаи

б) |-5х+1|=|4х-2|;г) |Зх-5|=|7-х|.

б) |*-2|-|х-7|=-7.

б) |х2-2х|=1;г) х2-5х+2=|х2+х+6|.

хX

будан,ёбед.

аст.303

1074. Маълум, ки баробариихъ-ах2+вх-с=(х-а)(х-в)(х-с)

айният аст. Ададхои а, в, с ба чанд баробаранд?1075. Ифодаро сода кунед:

(a2+e2)[(a-c)2+(e-d)2]-(ad-ec)2.

1076. Чунин кимати а-ро ёбед, ки барояш ададхои а + у[\5

ва - - л/ТУ ададхои бутун мебошанд.а

1077. Суръат ва дарозии катораро ёбед, агар маълум бошад, ки катора бо суръати доимй аз назди мушохидагари бехаракат дар муддати 7 сония гузашта, барои аз платформаи дарозиаш 378 м гузаштан, 25 сония вакт сарф менамояд.

1078. Хдлхои бутуни муодилаи6х2+5/=74

-ро ёбед.1079. Хдмаи ададхои натуралии х ва у-ро, ки халли муодилаи

х2-у1=69мебошанд, ёбед.1080. Исбот кунед, ки хангоми мусбат будани киматхои х ва

2 2 X - уу (хфу) кимати касри ---------- аз кимати мувофики касри

х — у

х2 + у 2---------- калон аст.х + у

1081. Исбот кунед, ки агар а + в + с -0 бошад, он гох а?+вг+съ=Ъавс мешавад.

1082. Нобаробариро исбот кунед:

1 1 1 9- + - + ->■а в с а + в + с

1083. Ифодаро хангоми !. < х < 2 будан, сода кунед:

ylx + l-Jx ^ l + ^ х -2 ^ х -\ .1084. Нобаробариро исбот намоед:

1085. Хатой дар исбот мавчударо ёбед:

4-10=9-15; 4 - 1 0 + б | = 9 - 1 5 + б | ;4 4

22 - 2 - 2 - - + 2

^- 1 = З2 - 2 -3 • —+ 2 ) 2

г 5 ' 2

Г г - 1 1, 2 ,

9

< 2 , Ч 3 2 J

2=3.

1086. Исбот кунед, ки кимати ифодаи V51 + Юл/2 -V 51-10V2 ададй натуралй аст.

1087. Аз дурустии нобаробарии а + в > 24ав хангоми а > 0 ва в > 0 будан истифода карда, нобаробариро исбот кунед:а) 7 (а + в)(а + с)(в + с) > 8авс хднгоми а > 0» в > 0 ва с ^ 0 будан;

вс ас авб) — + — + — а + в + с хднгоми а>0, в>0 ва с>0 будан; а в св) х 2 + у2 + z2 > ху + xz + yz хангоми дилхох, будани х, у ва z;

г) ав(а + в) + вс(в +с) + ас(а + с) > бавс хангоми а> 0 , в > 0 вас > 0 будан.

1088. Нобаробариро исбот кунед:а) х 2 - 2 ху + 2 j 2 - 2х + 3 > 0 хангоми дилхох будани х,у ва г,

/-Ч fl3 + ®3 0 + в Л ~ Г-б) — -— > ——— • ав хангоми а > 0 ва в > 0 будан.

1089. Исбот кунед, ки сумма, фарк, хосили зарб ва хосили

таксими ададхои намудашон а + влр2 -ро, ки дар ин чо а ва в ададхои ратсионалианд, дар хамин намуд навиштан мумкин аст.

1090. Маълум, ки суммаи квадратхои решахои муодилаи х2+рх+6=0 ба 13 баробар аст. Хосили чамъи решахоро ёбед.

1091. Маълум, ки —- + —- = -1 аст, ки дар ин чо л:, ва х ,х, 2 1 4

решахои муодилаи х2+х+^=0 мебошанд. Коэффитсиенти q ёфта шавад.

305

1092. Барои кадом кимати а суммаи квадратхои решахои муодилаи

х 2+(я-1 )х-2а=0ба 16 баробар аст?

1093. Аз маркази нохияи Айнй ба суйи шахри Душанбе автобус бо суръати 40 км/соат равон шуд ва баъди 15 дакика бо мошини сабукрави аз шахри Душанбе меомада вохурд. Мошини сабукрав ба маркази нохияи Айнй расида, баъди 16,5 дакика боз ба суйи Душанбе равон шуд. Вай дар масофаи 20 км аз Душанбе бо автобус баробар шуд ва аз он гузашта рафт. Агар суръати мошини сабукрав 50 км/соат бошад, масофаи байни маркази нохдяи Айнй ва шахри Душанбе чй кадар аст?

1094. Дар мусобикаи волейбол 66 бозй гузаронида шуд. Агар як команда бо командаи дигар як маротибагй бозй карда бошанд, дар мусобика чанд команда иштирок донгг?

1095. Дар мусобикаи шохмот 231 бозй гузаронида шудааст. Хдр як бозингар бо бозингари дигар як бор бозй кардааст. Шумораи иштирокчиёни мусобика чй кадар аст?

1096. Якчанд одам вохурда дасти хамдигарро фишурданд. Онхо чанд нафаранд, агар маълум бошад, ки 21 дастфишурй ба вукуъ омадааст?

1097. Ахмаду Алй алафзорро дар муддати 12 соат якчоя даравида метавонанд. Ахмад худаш танхо назар ба Алй алафзорро 10 соат зудтар медаравад. Хдр кадоми онхо дар алохидагй алафзорро дар чанд соат даравида метавонанд?

1098. Кдтора дар рох 16 дакика боз донгга шуд. Пас аз ин катора суръаташро 10 км/соат зиёд карда, баъди 80 км рох гаштан кафомониро бартараф намуд. Суръати мукдррарии катораро ёбед.

1099. Сайёх аз шахри А ба шахри В бо суръати 8 км/соат равон шуд. Вакте ки вай 27 км рохро тай карда буд, аз шахри В ба пешвози у сайёхи дигар харакатро cap кард. Суръати ин сайёх

дар як соат ба хиссаи масофаи байни шахрхои А ва В

баробар мебошад. Онхо баъди хамон кадар соат вохурданд, ки он бо суръати сайёхи дуюм дар 1 соат баробар аст. Масофаи байни шахрхои А ва В-ро ёбед.

306

1100. Заврак, дар 3,5 соат 20 км ба самти чараёни дарё ва 40 км ба мукобили чараёни дарё шино кард. Маротибаи дигар барои ба самти чараён 40 км ва ба мукобили чараён 20 км шино кардан 3 соату 15 дакика вакт сарф кард. Суръати завракро дар оби ором ва суръати чараёни дарёро ёбед.

1101. Якчанд талаба 28 дафтарро байни худ баробар таксим карданд. Агар микдори талабахо 3-то кам мебуд, ба хар кадоми онхо 3-той зиёд дафтар мерасид. Микдори талабахоро ёбед.

1102. Ахмад ба хонаи Алй омада гуфт: «Фарки раками хонаи ман, ки адади дуракама аст ва адади батартиби баръакс навишташудаи он ба раками хонаи ту баробар аст. Дар байни чунин ададхо раками хонаи ман калонтарин аст». Ракамхои хонахои Ахмад ва Алй ба чанд баробар мебошанд?

1103. Исбот кунед, ки агар — = - = — бошад, он гох а=в=с аст.в с а.1104. Графики функсияи бо формулаи:

а) У = т—\1 б) j = - - £ = ; в) у=х\х\|-*| л/х

додашударо созед.1105. Графики функсияро созед:

а) у = у[х*+х; б) у = лГх* - х\в) у=\х+1\; г) у=\х-1\.

2 х +11106. Оё графики функсияи у = -------- хати рости:

а) х=0; б) 7 =0 ; в) х=2; г) у=2-ро мебурад?

1107. Графики функсияро созед:ч 2х + \ _ч 2 - ха) у = -------- ; 6 ) 7 = ------- ;х X

4 ч 2в) 7 = ----- Z-; г) 7 = - - — г-х - 2 ' jc + l1108. Исбот кунед, ки агар барои ададхои а, в ва с а + в * 0,

в + с * 0, с + аФ 0 бошад, он гох хангоми

307

а - в в - с с —ах = -------; у = ------ ; z = -------

а + в в + с с + абудан, баробарии

(1+*Х1+Ж1+г)=(1-*)(1-Ж1-*)Чой дорад.

1109. 3 мург ва 2 мурги марчон якчоя 22 кг, 2 мург ва 3 мурги марчон 23 кг вазн доранд. Мург ва мурги марчон чанд килой вазн доранд?

1110. Падар аз писараш 5 маротиба калон аст. Аз муддати 22-сола будани падар вакте гузанггааст, ки барои 22-сола шудани писар дучандаи он зарур аст. Хрзир писар ва падар чандсолаанд?

НАВОБ^О

1048. 510 сахифа. 1049. 4% кам мешавад. 1052. Баъд аз ду

соат. 1053. 41. 1054. а)-6; б) 2 ± л / 3 ; в) 0,5; 2; 1055.4

(2;9). 1057. Якумаш 28 детал, дуюмаш 20 детал. 1058. 37 ва 48.1059. 34452, 34056, 34956. 1060. 6 сония. 1066. а) 0 ,8 ; 2; б) -1;

1 2в)—; 1,6; г) -1; 3. 1067. а) -1; 2; б) хдмаи ададхои аз 2 калон

набуда. 1068. а) -4; 4 ; б) 1 - л/2; 1; 1 + л/2; в) 2 - л/12; 2; 2 + л/12 ;

г) 1 - л/3. 1069. т. 1070. 300 кг. 1072. Дуюмаш калон. 1074. а- адади дилхох, в=с=0 ва а=-1, e=-l, с=1. 1075. (a2+e2-ac-ed). 1076.

4 - л/15” ё - 4 - л / 1 5 . 1077. 7 5 ,6 км/соат ва 147 м. 1078. (3 ;2 ) ; ( - 3 ;2 ) (3 ; -2 ) ; ( -3 ; -2 ) ; 1079. (3 5 ;3 4 ) ; (1 3 ;1 0 ) . 1083. 2. 1085. Аз

- Й Ч - Г бармеояд 2 - 12

. 5= 3 - - . 1086.2. 1090. -5 ё 5.

1091. -2. 1092. 3. 1093. 165 км. 1094. 12 команда. 1095. 22 нафар.1096. 7 нафар. 1097. Дар 20 соат ва 30 соат. 1098. 50 км/соат.1101. 7. 1102. 91 ва 72. 1109. 4 ва 5 килогй. 1110. 6 сола ва 30 сола.

308

МАЪЛУМОТИ НАЗАРИЯВИ АЗ КУРСИ АЛГЕБРАИ СИНФИ VII

Ифодаро ва табдилдихии онхо1. Дарачаи ададй а-и нишондирандааш натуралии и, ки аз 1

калон аст, хосили зарби л-то зарбшавандахои рар кадомаш ба а баробар мебошад:

а” = ааа-...-а .

п маротиба

Дарачаи ададй а-и нишондирандааш 1 ба худи ададй а баробар аст:

а1=а.Дарачаи ададй нобаробарй нули а-и нишондирандааш 0 ба 1

баробар мебошад:а°= 1.

2. Хосиятрои дарачарои нишондирандаашон натуралй:а) рангоми зарби дарачарои аеосашон якхела асосро

бетагйир монда, нишондирандароро чамъ менамоянд:ата"=ат+".

б) рангоми таксими дарачарои асосашон якхела асосро бетагйир монда, аз нишондирандаи дарачаи таксимшаванда, нишондирандаи дарачаи таксимкунандаро тарр менамоянд:

ат : ап- а т п.в) рангоми ба дарача бардоштани дарача асосро бетагйир

монда, нишондирандароро зарб менамоянд:(ат)п=атп.

г) рангоми ба дарача бардоштани росили зарб рар як зарбшавандаро ба ин дарача бардошта, натичароро зарб менамоянд:

(ав)п=апвп.3. Якаъзогй гуфта, росили зарби ададро, тагйирёбандаро ва

дарачаи онро, инчунин худи ададро, тагйирёбандаро ва дарачарои онроро меноманд. Масалан, 5ах, -4а2с5, 7, х2 ва 2у* якаъзогй мебошанд.

Суммаи нишондирандарои дарачарои тагйирёбандарои дар якаъзогй бударо дарачаи якаъзогй меноманд. Масалан, дарачаи якаъзогии 7лг2/ ба 5 ва дарачаи якаъзогии -0,4ав2с ба 4 баробар

309

аст. Агар якаъзогй тагйирёбанда надошта бошад, яъне адад бошад, дарачааш нул хисобида мешавад.

Намуди якаъзогй стандартй аст, агар вай дар шакли хосили зарби адади доимй ва дарачахои гуногуни тагйирёбандахо тасвир карда шуда бошад. Масалан, якаъзогии За2(-4)ав2 дорой намуди стандартй набуда, якаъзогии айниятан ба он баробарй - 12а3в2, намуди стандартй дорад. Хдр гуна якаъзогиро хамеша ба намуди стандартй овардан мумкин аст.

4. Суммаи якаъзогихоро бисёраъзогй меноманд. Хар як якаъзогии ин сумма аъзои бисёраъзогй аст. Масалан, 2х4-6х+1, 4а3в-2а2в2+Зав+4 бисёраъзогианд. Якаъзогй хамчун бисёраъзогии якаъзодошта хисоб карда мешавад.

Бисёраъзогй дорой намуди стандартй аст, агар хар як аъзои он намуди стандартй дошта бошад ва дар он аъзохои монанд набошанд.

Дарачаи бисёраъзогии намуди стандартй гуфта, дарачаи аз хама калонеро, ки онро яке аз якаъзогихои дар бисёраъзогй буда дорад, меноманд. М асалан, дарачаи бисёраъзогии 6х4у2+7х2у6+ху+1 ба дарачаи якаъзогии 7х2у6, яъне ба 8 баробар аст.

Дарачаи бисёраъзогии дилхох ба дарачаи бисёраъзогии намуди стандартии айниятан бо он якхела баробар мебошад.

5. Хангоми чамъи бисёраъзогихо коидаи кушодани кавсхоро истифода менамоянд: агар пеш аз кавсхо аломати чамъ истода бошад, аломати хар як чамъшавандаи дохили кавсхоро нигох дошта, кавсхоро партофтан мумкин аст. Масалан:

(■4xy+2z2)+(xy-3z2)=4xy+2z2+xy-3z2=:5xy-z2.Хангоми тархи бисёраъзогихо коидаи кушодани кавсхоро

истифода менамоянд: агар пеш аз кавсхо аломати «минус» истода бошад, аломати хар як чамъшавандаи дохили кавсхоро ба мукобилаш иваз карда, кавсхоро партофтан мумкин аст. Масалан,

(7 а2-в)-(3а2-9в)=7 а2-в-3а2+9в=4а2+8в.Барои якаъзогиро ба бисёраъзогй зарб кардан, якаъзогиро

ба хар як аъзои бисёраъзогй зарб карда, хосили зарбхои пайдошударо чамъ кардан лозим аст. Масалан,

х2(у2-7ху-3)=х2у2-7х3 у-Зх2.

310

Барои бисёраъзогиро ба бисёраъзогй зарб кардан хдр як аъзои як бисёраъзогиро ба хар як аъзои бисёраъзогии дигар зарб намуда, хосили зарбхои хосилшударо чамъ кардан лозим аст. Масалан,

(1х+2)(2х-Ъ)=\Лх2+Ах-2\х-в=\Лх2-\1х-е.6. Формулахои зарби мухтасар:а) квадрати чамъи ду ифода ба квадрати ифодаи якум, чамъи

хосили зарби дучандаи якуму дуюм, чамъи квадрати ифодаи дуюм баробар аст:

Оа+в)2=а2+2ав+в2;б) квадрати фарки ду ифода ба квадрати ифодаи якум, минус

хосили зарби дучандаи ифодахои якуму дуюм, чамъи квадрати ифодаи дуюм баробар аст:

(а-в)2=а2-2ав+в2;в) хосили зарби фарки ду ифода ва суммаи онхо ба фарки

квадратхои хамин ифодахо баробар аст:(iа-в)(а+в)=а2-в2;

г) чамъи кубхои ду ифода ба хосили зарби суммаи ин ифодахо ва квадрати нопурраи фарки онхо баробар аст:

а 3+в3=(а+в)(а2-ав+в2);д) фарки кубхои ду ифода ба хосили зарби фарки ин ифодахо

ва квадрати нопурраи чамъи онхо баробар аст:а3-в3=(а-в)(а2+ав+в2).

7. Дар намуди хосили зарби бисёраъзогихо навиштани бисёраъзогиро ба зарбкунандахо чудо кардани бисёраъзогй меноманд.

Барои ба зарбкунандахо чудо кардани бисёраъзогихо чунин тарзхоро истифода мебаранд: аз кавсхо баровардани зарбкунандаи умумй, гурухбандии чамъшавандахо, истифода кардани формулахои зарби мухтасар. Масалан, бисёраъзогии 10x3- r jc2>>-po ба воситаи аз кавс баровардани 5jc2 ба зарбк яандахо чудо кардан мумкин аст: 10х3-5д:2>'=5л:2(2х-у). Бисёраъзогии ах-ау-2х+2у-ро бо истифодаи тарзи гурухбандии чамъшавандахо ба зарбкунандахо чудо карда метавонем: ах-ау-2х+2у=(ах-ау)-(2х-2у)=а(х-у)-2(х-у)=(а-2)(х-у).

Бисёраъзогии а4-36в2-ро ба воситаи истифода кардани формулаи фарки квадратхои ду ифода ба зарбкунандахо чудо кардан мумкин аст:

а4-36в2=(а2)2-(6в)2=(а2-6в)(а2+6в).311

Баъзан бисёраъзогиро бо истифодаи якчанд тарзро ба зарбкунандаро чудо кардан рост меояд. Ин тарзро тарзи омехта меноманд. Масалан, аввал тарзи гурурбандии чамъшавандаро, баъд формулаи зарби мухтасарро барои фарки ду ифода истифода карда, бисёраъзогии х3+х2-4х-4-ро ба зарбкунандаро чудо мекунем:

.х3+х2-4л:-4=х2(:с+1 )-4(х+1 )=(x2-4)(jc+ 1 )=(х+1)(х2-22)==(х+l)(x-2)(x+2)=(x-2)(x+1)(jc+2).

Айниятро ва муодиларо8. Баробарие, ки барои рамаи киматрои равои (имконпазири)

тагйирёбанда дуруст аст, айният номида мешавад. Масалан, баробарирои 3а-5в=-(5в-3а) ва х2-2х-35=(х-1)(х+5) айниятанд, вале баробарии (y-4)(y-8)=j2+32 айният нест, чунки рангоми у= 1 будан, кимати кисми чапи он ба (1-4)(1-7)=(-3)-(-7)=21 ва кимати кисми рости он ба 1+32=33 баробар аст.

Баробарирои ададии дуруст низ айният рисоб карда мешаванд. Масалан, баробарии 2-6=36 : 3 айният мебошад.

Барои исботи он ки баробарии додашуда айният аст, кисми чапи баробариро ба кисми росташ ё кисми рости баробариро ба кисми чапаш табдил додан лозим аст, ё ки ба рамон як ифода айниятан баробар будани кисмрои чапу рости баробариро нишон додан даркор аст.

9. Баробарие, ки дорой номаълум аст, муодила номида мешавад. Масалан, баробарирои 2х+3=5-7лс, jc2-2x=0, х2-у2=х+у, ки дар онро кимати тагйирёбандаро х ва у номаълуманд, муодила мебошанд. Ду муодилаи аввала дорой як тагйирёбанда буда, сеюмин ду тагйирёбанда дорад.

Решай муодилаи дорой як тагйирёбанда гуфта, чунин кимати тагйирёбандаро меноманд, ки барояш муодила ба баробарии дуруст мубадцал мегардад. Масалан, ададй 7 решай муодила 2 x+1=5 jc-20 аст, чунки 2-7+1=5-7-20 баробарии дуруст мебошад.

Хдл кардани муодила ин ёфтани рамаи решаро ё исботи вучуд надоштани решарои муодила мебошад.

10. Муодиларое, ки решарои якхела доранд, муодиларои баробаркувва номида мешаванд. М асалан, муодиларои

312

2л:+1=5л>20 ва 2х=14 баробаркувваанд, чунки адади 7 барои хдрдуи муодиларо реша аст. Муодилахои реша надоштаро низ муодилах,ои баробаркувва меноманд. Масалан, муодилахои 0-х=1 ва лс2+1=0, ки реша надоранд, баробаркувваанд.

Хднгоми халли муодилахои дорой як тагйирёбанда хосиятхои зеринро истифода менамоянд:

— агар дар муодила чамъшавандаро аз як кием ба кисми дигар бо аломати мукобил гузаронем, он гох муодилаи ба муодилаи аввала баробаркувва хосил мешавад;

— агар хар ду кисми муодиларо ба хамон як адади аз нул фарккунанда зарб ё таксим кунем, он гох муодилаи ба муодилаи аввала баробаркувва хосил мешавад.

11. Муодилаи намуди ах=в-ро, ки дар ин чо х тагйирёбанда буда, а ва в ададхоянд, муодилаи хаттии дорой як тагйирёбанда меноманд.

Агар а Ф 0 бошад, он гох муодилаи ax-в дорой як решай

— аст. Масалан, муодилаи 5х=2 решай — -ро дорад. а 5

Агар а=0 ва в^О бошад, он гох муодилаи ах=в реша надорад. Масалан, муодилаи 0-х=1 реша надорад.

Агар а = 0 ва в=0 бошад, он гох хар гуна адад решай муодилаи ах=в аст. Дар ин маврид мегуянд, ки микдори решахои муодила бешумор мебошад.

12. Муодилаи хаттии дорой ду тагйирёбанда гуфта, муодилаи намуди ахЛ-ву-с-ро меноманд, ки дар ин чо х ва у тагйирёбандахо буда, а, в ва с ададхоанд.

13. Халли муодилаи дорой ду тагйирёбанда гуфта, чуфти киматхои тагйирёбандахоро меноманд, ки онхо муодиларо ба баробарии дуруст табдил медиханд. Масалан, чуфти ададхои х=-2 ва у=3 халли муодилаи 4х+3у=1 мебошанд.

Муодилахои дутагйирёбандадор, ки халхои якхела доранд, баробаркувва номида мешаванд. Муодилахое, ки хал надоранд, низ баробаркувва хисоб карда мешаванд.

Дар муодилаи дорой ду тагйирёбанда чамъшавандахоро бо аломати мукобил аз як кием ба кисми дигар гузаронидан ва

313

инчунин хдр ду кисмро ба хамон як адади аз нул фарккунанда зарб ё таксим намудан мумкин аст. Дар чунин мавридхо муодилахои ба муодилаи аввала баробаркувва хосил мешаванд.

14. Графики муодилаи дорой ду тагйирёбанда гуфта, мачмуи нуктахои хамвории координатавиро меноманд, ки координатахояшон халли муодилаи додашуда мебошанд.

Графики муодилаи хаттии дорой ду тагйирёбанда, ки дар он акаллан яке аз коэффитсиентхои назди тагйирёбандахо нобаробарй нул аст, хати рост мебошад.

15. Халли системаи муодилахои дорой ду тагйирёбанда гуфта, чуфти кимати тагйирёбандахоро меноманд, ки он хар як муодилаи системаро ба баробарии дуруст табдил медихад. Масалан, чуфти ададхои х=5, у=-2 халли системаи

(2х - у = 12,[х + 2 у = 1

мебошад, чунки хар яке аз баробарихои 2-5-(-2)= 12 ва 5+2-(-2)=1 баробарии дуруст аст.

Хал кардани системаи муодилахо ин ёфтани хамаи халхо ё исботи вучуд надоштани халхои система мебошад.

Системаи муодилахои дорой ду тагйирёбанда, ки халхои якхела доранд, баробаркувва номида мешаванд. Системахои халнадошта низ баробаркувва мебошанд.

16. Барои хал кардани системаи муодилахои хаттии дорой ду тагйирёбанда аз тарзи гузориш, тарзи чамъкунии алгебравй ва тарзи графикй истифода мебаранд.

Функсияхо17. Вобастагии функсионалй ё функсия, ин чунин вобастагии

байни ду тагйирёбанда аст, ки дар он ба хар як кимати тагйирёбандаи новобаста, кимати ягонаи тагйирёбандаи вобаста, мувофик меояд. Масалан, вобастагихои у= Зх-4, у - 2х2+1 функсия мебошанд.

Тагйирёбандаи новобаста х-ро ба таври дигар аргумент, вале тагйирёбандаи вобаста у-ро бошад, функсия аз хамин аргумент меноманд. Хамаи он киматхое, ки тагйирёбандаи новобаста кабул мекунад, сохаи муайянии функсияро ташкил мекунад.314

18. Графики функсия гуфта, мачмуи нуктахоеро меноманд, ки абсиссаашон ба киматхои аргумент баробар буда, ординатаашон ба киматхои мувофики функсия баробаранд.

19. Функсияе, ки бо формулаи намудаш у= кх+ в дода мешавад, ки дар ин чо х тагйирёбандаи новобаста, к ва в ададхоанд, функсияи хаттй номида мешавад.

Графики функсияи хаттии у=кх+в хати рост аст. Адади к - коэффитсиенти кунчии хати ростест, ки он андозаи кунчи байни графики функсияи у=кх+в-ро бо тири абсисса муайян менамояд:агар к Ф 0 бошад, он гох, графики функсия тири абсиссаромебурад; агар к - 0 ва в Ф 0 бошад, он гох хати рост - графики функсияи у=кх+в бо тири Ох параллел аст; агар к=0 ва в=0 бошад, он гох графики функсия бо гири Ох хамчоя мешавад.

Графикхои ду функсияи хаттй хамдигарро мебуранд, агар коэффитсиентхои кунчии онхо гуногун бошанд, онхо параллеланд, агар коэффитсиентхои кунчиашон якхела бошанд.

Функсияи хагтиеро, ки бо формулаи у=кх дода мешавад, хангоми к ф 0 будан, мутаносибии роста меноманд.

Графики мутаносибии роста, хати ростест, ки аз ибтидои координата мегузарад. Хднгоми к > 0 будан, график дар чорякхои якум ва сеюми координатавй ва хангоми к<0 будан, график дар чорякхои дуюм ва чоруми координатавй чойгир аст.

20. Графики функсияи у= х2 парабола мебошад. Графики мазкур аз ибтидои координата мегузарад ва дар чорякхои якуму дуюм чойгир аст. Вай нисбат ба тири Oj симметрй мебошад.

21. Графики функсияи у=х3 аз ибтидои координата мегузарад ва дар чорякхои якуму сеюми координатавй чойгир аст. Вай нисбат ба ибтидои координата симметрй мебошад.

Х,исоббарорихои такрибй22. К^имати мутлаки фарки киматхои аник (сахех) ва такрибй

сахви мутлаки кимати такрибии адад номида мешавад.Агар сахви мутлаки кимати такрибй аз адади h калон

набошад, он гох он кимати такрибии бо сахехии то h номида мешавад.

Нисбати сахви мутлак бар кимати мутлаки кимати такрибй, сахви нисбии кимати такрибй номида мешавад.

315

М У Н Д А Р И Ч А

Сарсухан.......................................................................................................3

Боби IКасрхои ратсионалй§1. Касри ратсионалй. Сохаи муайянй ва хосиятхои он .................51. Ифода ва киматхои о н .....................................................................52. Ифодахои бутун ва ратсионалй....................................................103. Сохаи муайянии касри ратсионалй............................................... 144. Хосияти асосии каср. Ихтисори касрхо....................................... 18

§2. Сумма ва фарки касрхо................................................................. 255. Чамъ ва тархи касрхои махрачашон якхела............................. 256. Чамъ ва тархи касрхои махрачашон хархела............................ 30

§3. Зарб ва таксими касрхо................................................................ 367. Зарби касрхо. Амали ба дарача бардоштани каср.................... 368. Таксими касрхо.................................................................................429. Табдилдихии айниятии ифодахои ратсионалй.......................47

к10. Функсияи у = —. Хосиятхо ва графики он............................. 57

Маълумоти таърихй..............................................................................63Машкхои иловагй ба боби 1..............................................................65Чавобхо...................................................................................................... 73

Боби IIРешахои квадратй§4. Ададхои хакикй..............................................................................8311. Бо касри даврй ифода шудани ададй ратсионалй................... 8312. Ададй ирратсионалй...................................................................... 88

316

§5. Решай квадратии ададй мусбат..................................................9313. Мафх,уми решай квадратй........................................................... 9314. Решай квадратии арифметикй .................................................. 96

15. Муодилаи х2=а ва айнияти у[а* = |а| ..................................... 10016. Ёфтани кимати такрибии решай квадратй.........................105

17. Функсияи у = у[х. Хосиятро ва графики он........................... 108

§6. Хосиятрои решай квадратии арифметикй............................ 11218. Решай квадратй аз росили зарб ............................................. 11219. Решай квадратй аз каср.............................................................. 11520. Решай квадратй аз дарача.........................................................119

§7. Табдилдирии ифодаи дорой решай квадратй........................12221. Аз тарти аломати реша баровардани зарбкунанда.............12222. Ба тарти аломати реша даровардани зарбкунанда..............12623. Аз ирратсионалй озод кардани сурат ё махрачи каср.......... 12824. Табдилдирии айниятии ифодарои ирратсионалй...................132

Маълумоти таърихй.......................................................................... 136Машкрои иловагй ба боби II .........................................................139Ч,авобро............... ................................... ................................. ............ 148

Боби IIIМуодилаи квадратй§ 8. Муодиларои квадратй ва решарои онро.............................. 15425. Таърифи муодилаи квадратй.....................................................15426. Муодилаи квадратии нопурра................................................. 15727. Ёфтани ралли муодилаи квадратй бо тарзи чудо

кардани квадрати пурра..............................................................162

317

§ 9. Формулаи решахои муодилаи квадратй........... ....................16628. Халли муодилаи квадратй аз руйи формула........................... 16629. Халли масъалахои матнй бо ёрии муодилахои квадратй ...17330. Муодилаи квадратии ислохшуда. Теоремаи Виет................176

§ 10 Муодилахои ратсионалии касрй...........................................18331. Хдлли муодилахои ратсионалии касрй...................................18332. Халли масъалахои матнй бо ёрии муодилахои

ратсионалй .............. ....................................................................... 18833. Тарзи графикии халли муодилахо...........................................194

Маълумоти таърихй............................................................................196Машкхои иловагй ба боби III .........................................................199Ч,авобхо....................................................................................................206

Боби IV Нобаробарихо§ 11. Нобаробарихои ададй ва хосиятхои онхо.........................21234. Мукоисаи ададхо. Нобаробарихои ададй.............................. 21235. Хосиятхои нобаробарихои ададй............................................. 21736. Ч,амъ ва зарби нобаробарихои ададй....................................... 222

§ 12. Нобаробарихои хаттии яктагйирёбандадор.......................22737. Фосила ва порчаи ададй............................................................ 22738. Халли нобаробарихои хаттй.....................................................23339. Халли системаи нобаробарихои хаттии

яктагйирёбандадор........................................................................ 24140. Халли нобаробарихои касран хаттй......................................24941. Халли нобаробарихои дорой кимати мутлак..........................252

Маълумоти таърихй............................................................................ 255Машкхои иловагй ба боби IV......................................................... 256Ч,авобхо.................................................................................................... 262

318

Боби VДарачаи нишондихандааш бутун§ 13. Дарачаи нишондихандааш бутун ва хосиятхои он.......... 26942. Таърифи дарачаи нишондихандааш бутуни манфй........26943. Хосиятхои дарачаи нишондихандааш бутун.......................27344. Намуди стандартии адад........................................................... 279

§ 14. Хисоббарорихои такрибй........................................................ 28245. Тарзи навишти киматхои такрибй................ .........................28246. Ч,амъ ва тархи киматхои такрибй.......................................... 28647. Зарб ва таксими киматхои такрибй.......................................288

Маълумоти таърихй............................................... !........................... 292Машкхои иловагй ба боби V.......................................................... 295Чдвобхо....................................................................................................299

Масъалахои хдллашон нисбатан мураккаб.................................301Ч,авобхо....................................................................................................308Маълумоти назариявй аз курси алгебраи синфи V II.................309

319

Боймурод АЛИЕВ

АЛГЕБРАКитоби дарси барои синфи 8

Нашри дуюм

Мухаррир М. БОЗОРОВА Мусахлех М. АЛИЕВА Мухаррири ороиш И. ГАНИЕВ Дизайн ва ороиши В. КАЗБЕРОВИЧ

Ба матбаа 8.04.2013 ссш супорида шуд. Ба чопаш 3.05.2013 соя имзо шуд. Формати 60x90 ‘/16> Когази офсет. Чопи офсет. Чузъи чопии шартй 20.

Адади нашр 27000 нусха. Супориши № 3.

Муассисаи нашриявии «Маориф ва фарханг»-и Вазорати маорифи Чумхурии Точикистон. Душанбе, кучаи Неъмат Кдрабоев, 17.

Дар ЧДММ «Собириён» чоп шудааст. ш. Душанбе, кучаи С. Айнй, 126; e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

Documents

БОЙМУРОД АЛИЕВ АЛГЕБРА - mavod.tj · ББК 22.14Я72+74.262 А-49 Алиев Б. Алгебра. Китоби дарси барои синфи 8. - Душанбе: