Embed Size (px)
Citation preview
a ה א ו נ י ב ר ס י ט ה ה פ ת ו ח ה
95001
סדנת רענון במתמטיקה לתלמידי מדעי החברה
חוברת הקורס
2ba
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜ ⎜⎜
⎝
⎛ +
חזי נוימן : כתב
אל הסטודנט
,סטודנט יקר
רענון במתמטיקה לתלמידי מדעי סדנת"אנו שמחים לברך אותך עם הצטרפותך אל לומדי
".החברה
הדרוש לשם לימוד במסלולי הלימוד , מטרת הסדנא היא לרענן את הידע המתמטי ברמה תיכונית
.בכלכלה וניהול וניהול ומדעי המחשב
.ת מלאה במשך שמונה שבועות במפגש שבועי בן ארבע שעותהסדנא מבוססת על הוראה פרונטלי
.חומר הלימוד יתורגל בעבודות בית שתיבדקנה על ידי המנחים
מידע והנחיות "פרטים לגבי נהלים המקובלים באוניברסיטה הפתוחה מפורטים בידיעון ובחוברת
".הרשמה
או דרך אתר , 09-7781420 בטלפון ,ניתן לפנות אליו כל יום כל היום. מרכז הסדנא הוא חזי נוימן
.הקורס
.תודות לכל המנחים בסדנה שעמלו על תיקון כל הטעויות בחומר הלימוד
.אנו מאחלים לך לימוד פורה ומהנה
, ב ב ר כ ה
צוות הקורס
תוכן עניינים/תיאור הסדנא
1-4עמודים אלגברהמבוא ל
5-10עמודים אלגברה
11עמוד קבוצות
13-15עמודים פונקציות
17-18עמודים הפונקציה הליניארית
19-21עמודים הפונקציה הריבועית
23-24עמודים גרפים של פונקציות אלמנטריות
25-27עמודים הפונקציה המעריכית
29-30עמודים הפונקציה הלוגריתמית
31-35עמודים הנגזרת
:אלגברהמבוא ל
הקפדה על , פעולות חשבון הכוללות חזקות, חישובים עם ובלי סוגריים, חזרה על פעולות חשבון
.פעולות הכוללות שורש כלשהו, פעולות הכוללות שורש ריבועי, סדר פעולות נכון
.אל תשתמש במחשבון. "זהירות במינוסים "-חשב .14א 6+ 4ב ⋅ 6 .44 .− ⋅4 6 ( 4⋅ −
4⋅) ( 4)
−ג − .)
4ד 6− − 4 ( 6 +. ה. − ⋅ −4 6 ( 4− ⋅ −
( 4)−( 4)
( .ו
4ז 6+ 4ח ⋅ 6 . .− ⋅ ט + −4 6− + ⋅ .4
.אל תשתמש במחשבון. קפד על סדר פעולות נכוןה, חשב .2
. א12612. ב + 26 2− . ג ⋅
12 62⋅
. ד12 22 3⋅ 2ה + ( 57 2) .− −3 6)− −
9 ( 2 1)
3ו ( .
3ז .− 3. ח + (9 ⋅ − +32)− . ט − −1 (10 (1 0.5))2
⋅ −
.אל תשתמש במחשבון. הקפד על סדר פעולות נכון. חישובים בשברים .3
3. א6
. ב 2
3 34 3. ג 2 1
2 4
. ד2 31 2
−+
. ה 35
+3 112
22
− .ו ⋅1 1( 1 )2 2
− −
. ז1 2 8 )
12−(
4 3. ח ⋅
1 1
3 4
3 21 1
+
+. ט
2 1 105 ( )5 5 25− ⋅ −
). י ) ( )312 2 . יא−2 1
6 − ( )12
23
143
−⎛ ⎞3212 − ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠. יב ( ) ( )4 1
3 2 1⋅ − − −6 4
.את התבניות הבאותפשט . חישובים בשברים .4
. א32
x xc c. ב −
2 162 3
x x x +. ג+ −
1( ) (2 )0.5
x xa a+ +
. ד3 4
3 2 6x x x− +
. ה ++12a b
6 3 2c d
+ + . ו+ 2 3 1( )
1( )x x x
− −+
(
?מהו המספר . 12 -מספר שווה ל מספר ועוד מחצית ה .5
( : z - וx , yלפניך משוואה באותיות .6 ( )1 3x z y+ ⋅ − במונחי zחלץ את הפרמטר . =
.y - וx נכונה לכל ערכי z -האם התבנית שקבלת ל . הפרמטרים האחרים
1
): אה מהמשוואה הבcחלץ את .7 )( )( )( ) ( )( )( ) 22 3 1 2 3 1 4 6x c x x x x x x+ + − − = + − −
4x
.
מצאת ש כזה הביטוי xערכים של איזה ל, חיוביx אם ידוע לך כי ! א פתחת סוגרייםבוודאי ל
? הוא אפסc הערך של =האם עבור ?תקף
.אל תשתמש במחשבון. הקפד לפשט את תשובתך, חשב .8
3א (4 .2 (5 7) 3 2) 1⋅ . ב − ⋅ − − ⋅ −31
24
2 43 . ג −1
1 2 3( ) ( 5)2 4 2− ⋅ −
. ד5 3(8 4
1) ( 1)2
− . ה − 1 332 (2 4
2 )⋅ − .ו⋅1 1 1( )2 4 3− −
. ז3 18 3+
12 ( )4
⋅ . ח+ 139 . ט −(
2 28(3 3⋅
1 1 1 7 1( ) ( )3 6 12 24 6− − −
.אל תשתמש במחשבון. חשב את החזקות הבאות .9
2. ג 23. ב 32 .א 21( ) 22
−
)7(2. ד 1)3(2
32ה − .− ⋅ 4ו − 3 . 2 24 3⋅ + ⋅
3) 2. ז ( 2⋅ . ח −2 23 )−6 2 2− ⋅
2(225
2 . ט 8
. תשתמש במחשבוןלא. חשב את הביטויים הבאים .10
36. א 1( )2 2
− 29 (6 )⋅ 3. ב⋅4 21 1
2
−21. ג 1(4 ) ( 1)
4 2+ −
2 2 23 2
23. ד 2− ⋅ 2. ה − 3) ( 2)− −1 58 (2 2
.ו ⋅2 2
2(72 36) 2
18−
.אל תשתמש במחשבון. שורש ריבועי-חשב את המספרים הבאים .11
0. ג −81. ב 25. א
. ה −12. ד 11 .ו 46
916
−
). ז 225. ח −264−64( 225. ט −36 36−
31. י3)1 ( 9
8121. יא ⋅
2 )49 ( . יב −1
12
19
812⋅
⋅
. יג3
. יד 3
2412
. טו 1 246⋅
. יז 20. טז 0 128−12 . יח − 2740 10 90− +
2
. 3השאלה המרכזית היא סעיף . ענה על השאלות הבאות .12
x" ללהכ" המראים כי y - ו- וxהדגם מספרים .12.1 . אינו נכון y x y+ = +
xללהכ" המראים כי y - ו- וxהדגם מספרים .12.2 . נכון" y x y+ = +
xההאם נכונה הטענ .12.3 .נמק . : y x y+ = +
xם x מתקייהאם לכל .13 ?≤0 x x= ⋅
. חיוביxהנח כי . נות בעזרת שורש ריבועיפשט את התבניות הבאות הנתו .14
2. א 4( )( )x x+ ב .2
9x
264x. ג
2. ד 4x x⋅ ה .2xx
.ו 2
2
x
x
. ז2
3
3
x
x6.250. ח x 225. ט 36x x−
. אל תשתמש במחשבון.פשט את התבניות הבאות הנתונות בעזרת סימן השורש .15
3. א 5. ב 1 4. ג −1 16
4. ד 3. ה −81 1 65− 3. ו −127
3. ז27
. ח 14
81. ט
163 84
4. י 8x 3. יא 27 3x 3. יב 6 2( 8 )x
3. יג 3 3 6x x⋅ יד .3 327x
x4 20 516 3x x− טו .
.הנתונה לפי ערכי הפרמטרים הרשומים לצד התבנית T חשב את ערך התבנית .16
( ) ( 2a b x 16.1. )T = + ⋅ −1, 2, 3a b x= − = − = −
. ) ( )2 2y x y− − +3, 2x y= − =
bc−1, 3, 4a b c
16.2(T x=
16.3T a= . = = − =
. ( )a b c−1, 3, 4a b c 16.4T = = = − =
. ( )c a b−1, 3, 4a b c 16.5T = = = − =
. 16.622a bT = − 8, 3a b= =
.
16.73T 32a b= +3, 2a b= − =
3
) .עבור כל אחת מהפונקציות הנתונות מצא את. חישוב ערכים של פונקציה .17 2)f −
17.1. 1( )2
xf xx+
=−
( ) 4 3
.
17.2. f x x= −
. 2( ) 2 17.3f x x x= −
17.4. 1( )f x xx
= − −
2( ) 1 2 2
17.5. f x x= − −
0x >0y >0xy >
0xy >0x >0y >
x
.כאשר ההיגד אינו נכון תן דוגמא נגדית. מי נכון ומי לא נכוןקבע .לפניך סדרה של היגדים .18
. אזי גם וגם אם .18.1
,2 ).למשל. לא נכון: דוגמא . ( וגם אזי אם .18.2 2x y= − = −
0x <0>0xyy אזי וגם אם .18.3 .>
0xאם .18.4 y< <0xy > . אזי
1xyxאם .18.5 .> y< אזי
0xאם .18.6 . y< <0x y + אזי <
0x y >אם .18.7 1x אזי >y>
1
.
xyאם .18.8 >1 x אזי >1y >
2 1x >1
. וגם
x אזי אם .18.9 . >
xאם .18.10 y< אזי 1 1x y>.
4
:אלגברה
)נוסחאות כפל מקוצר ) 223,2 , baba כללי . ליםחוקי חזקות למעריכים שלמים ורציונא . ±−
. הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים. חלוקה של רב איבר בחד איבר. פירוק לגורמים. שורשים
שורש של משוואה / פתרון . הבאה למכנה משותף תוך פירוק המכנה לגורמים במקרים פשוטים
.בנעלם אחד
: כל שניתןכנס איברים דומים ופשט, פתח סוגריים .13)3. א 1) (3 2)a a− − 2(1. ב + 7(a a+ −
2. ג 3 3 2a b a b− + 6. ד − ( 2)a b a b− − − −
3. ה (2 3 ) 2a a− − 4(. ו + 2 ( 2x x− − − +
3. ז 2 22 ( ) 6x x x x x− − 2 . ח + 2 (1 )ax x a x+ + + 2
:כנס איברים דומים ופשט כל שניתן, פתח סוגריים .2
2א [ ( 1)] .x x y x xy− − − − ( 1 )(2. ב 2) 3x x x x− − − +
2. ג (1 )x xy x y x+ − − + ( 2yx xy − (. ד
2. ה (3 2)x x )2. ו − 2 3 4 )x x x x x− − −
1)2. ז ) ( )2bab a b b− + . ח −
2( )x xx
− −1
: שניתןכנס איברים דומים ופשט כל, פתח סוגריים .3
. א 1( 2)( 1)
2x
x− + 2). ב − 3)( 2)x x− −
2( 1)( 3)x x+ − 2). ג 1)(3 2)x x+ . ד +
)2. ה )( )x y xy y− . ו −22( )
2 4x xx
x− −
. ז 1( )(2 )x xx
− 22. ח + 3 4( )xx x x+ +
:יברים דומים ופשט כל שניתןכנס א, פתח סוגריים .4
a. א a( + . ב (2 x x( )2 5)(5(. ג +3 +− xx(
2ab. ד ab( 2 b
a . ה−( π π( )− R( ). ו ( )(2 2 4)u v v a− − −
). ז )2212 . ח +2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − yx ט .( ) ( )22 11 baba +−−+−
)10 yxy + x). י )2. יא −5)( x )x4)(3 )310)(23( . יב −− −+ xyxy
5
:כנס איברים דומים ופשט כל שניתן, פתח סוגריים .5
22 ). א 10)75)(72()75(3)75 xxaxaxaxxa −−−+−−−
)34)(34()34()34( 22 xaxaxaxa −+−++−−
2)()1)(1( +−
3. ב
−−++−−. ג xyxyyxyx
2222222 73)21(5)1(2 xxyxyxyxyx +−−+++++−
)3()23()32( 2xxxxx −+−−−−−−−
12 −−
. ד
1. ה
−−−. ו xaxaxaax
:כנס איברים דומים ופשט ככל שניתן, פתח סוגריים .6
)12)(3(. א baba )3)(3( . ב +−− xxyxxy −+
)34)(32(. ג xyxxyx 2)(42( ). ד −−− 22 xxxx +−−
)2)1()1)(1 −−+− xxxx
22 )() yxyx −++
332 432 xaxx −+
xx +3
123 −+− xxx
))(. ה 222 abbaabba ). ו −+
22. ז )()( yxyx ). ח +−−
:פשט בעזרת הוצאת גורם משותף .7
3332. א 2 xaxa 8. ב −+
xx. ג . ד 3−
1084536. ה 23 +−− xxx ו .
:פשט .8
1. א 1c +
. ב 1c
c ++12 +− x
x ג . 22+x 6 3
6 3ab ba++
22
24
2)()(
yxyxxyyx
+−−−− 2. ד
2
yyxy +
2
2
444
xx
−−
. ה yy2332
−−
abxabxyax
. ו 32
:או הבא למכנה משותף/פרק לגורמים ו .9
3. א 1x −
. ב 51
812x x+
−−
−xx
xx
4
4 1 12
2−−
+x2. ג 2−
x8. ד x3ה −64 1 1− b b .x= −( )(. . . . )c3 2− . ו
− ≤+
≤1 21
12x
x . מתקיים xהוכח כי לכל .10
: חיוביים מתקייםa,bהוכח כי לכל .11
a. א b
ba+ ≥ 2 .ב 2
1 1 2a b
a b+
≤ +
xביטוי . עד לביטוי מהפשט את ה .12 x x4 21 2 1− − −( )( ) ( )? ?⋅
0)1( 23 =−−− xxx
33/2 )01.0(;)1000 −−
צורה
.: פתור את המשוואה בעזרת פירוק לגורמים .13
.): את המספרים הבאים10כתוב כחזקה של .14
6
. ב ?823 או . א? מה יותר גדול .15 2710 013 .0001 או .
2 3a
5 ?
: פשט או חשב את הביטויים באים-) מבוא(כללי חזקות ושורשים .16
2a. א a 3. ב 3a a ג .a a
. ד 8a
a5 ה .8 12a a
aa14 ו .12
11aa
. ז 10
a2ab ab
3
10a
. ח
: פשט או חשב את הביטויים באים-) מבוא(כללי חזקות ושורשים .17
). א )2a ב .( )3a 2
). ג )321 3a
1.75
( ) ( ) ). ד )4a ה .
3 44 3a a). ו )
322a⎛ ⎞⎝ ⎠
012
⎝ ⎠
6 8a a ⎜ ⎟
). ז )2a⎛ ⎞⎜ ). ח ⎟ )233ab ט .( )42 2ab ab
: פשט או חשב את הביטויים באים-) מבוא(כללי חזקות ושורשים .18
). א )32 4a b ב .( )3 1 3a b 2
). ג ) 12
42a b⎛ ⎞
⎝ ⎠⎜ ⎟
). ד ) ( )3 22aה 2ab b .( )2 22 4a a− ו .31
2a⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
16
2. ז 2( )a a− 2003. ח 2003(1 )a ט .( )( )
3
2a b
ab
:שט או חשב את הביטויים באים פ-) מבוא(כללי חזקות ושורשים .19
108. א
313 ⎟⎠⎞
⎜⎝12. ב ⋅⎛
122
−
++
⋅⋅
n
nnn
xx
32 +⋅
nxxx 6143. ג ))(( −x
32. ד 2)5.1(6
−− ⋅. ה
1−5.0
97)1( 111 . ו − ))(( −−− ++ yxyx
2225.0 )1(5) +−+ − aa3322 )5()4( xx ⋅ 5)5.1. ז ⋅ aa ח .
-פשט את הביטויים הבאים : ושורשיםכללי חזקות .20
x. א y2 2− x y3 . ב−3 ( ) ( )3 22x x− ג . 3−11 3 2
x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−−
2. ד 23 x . ה ⋅ 43 x23 25.0. ו )( xx −−
254 842321 −−− ⋅⋅⋅42 3927 ⋅⋅ − 35
161444 . ז . ח ⋅⋅⋅⋅
7
3. ט 3
−⋅ a2473 11
−− ⋅⋅⋅⋅
aaaaa 55.02. י
102104
999813939⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
−
36. יא 278144⋅
. יב 5
65 42791218
⋅. יג ⋅⋅
45
3
26
4927
324 ⋅⎟⎠⎞
⎝⎛⎜
:שורשים ופירוק לגורמים, כללי חזקות .21
-פשט את הביטויים הבאים
( 2ab). א ( )3 1 3ab− 3). בx ג . ) ( )93 2 2y x y− −0
3)1(xa
a−−
ma. ד a
33. ה 4(:)2( − . ו −m a 44 −−
5)−3
3131
3232
yxyx
−−
7375.0. ז
37
322
)( −
−
⋅⋅
⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
bab
ba
16. ח
3227722418
6 ⋅⋅. ט ⋅
75( )12825813
4
2831
⋅
⋅
5.8. י
57
43⋅
8271218⋅
330. יא ⋅415
−יב ⋅
32 −−( )( )
.45
23
−
−
aa
:כללי חזקות ושורשים .22
-פשט את הביטויים הבאים
). א )( )
a ba b3 ב . ( )
( )ab3 2 5 3 4
4 9 3⋅⋅
24 . ג ⋅3 60 25.2 8 32 125
2 3 1 5⋅ + −−
x. ד xx
n n−+
−
1
239
24. ה 5464 81
17
12⋅ 23
21⋅3. ו 3
8
2 3⎞⎠⎟−
⎛⎝⎜
18. ז 324 23 4 1 4
⋅⋅
. ח 3 2 1 4−( )8
2
1 1 3
3ab
ab
− −). ט ) ( )a b a ab b− − −+ ⋅ + +1 1 1 2 22
5212. י
343
)6()2(
baba−
−
⋅⋅
72
432
)(6)3(
baba
⋅. יא
5a יב .
44
10 35 2
baabb ⋅
8 5
4
xxx ⋅
:כללי חזקות .23
-פשט את הביטויים הבאים
96. א 36 16232 27
3 4 5 4 1 4
3 2 1 4
− −
−⋅ ⋅
⋅8. ב
8⎛⎝⎜ 1 3 4
938 13⎞
⎠⎟ ⋅ ⋅ ). ג − )( )a aa a
2 2
3 2+−
5
5
323
92
5
43
98
−
−
−−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎝
⎛b
caba
c 6. ד 332
. ה 9 3231 ⋅−2.0 ⋅( )
8
454
11)(
xxx
+−+− −
⎜⎜. ו
5314
4246
1.01.0100055)2(1.0⋅⋅⋅
⋅⋅−
−−125. ז 227
12186⋅. ח ⋅⋅
45
86729432
144
381513
⋅⋅ . ט ⋅⋅⋅
164. י 8
−a יא .14 +a
12279
+a יב .13 +a
yy
x
326666
4
2415
⋅⋅⋅⋅
8
−aידוע כי .24 =3 4 18.
a: מצא את הערך של הביטויים הבאים a a a2 1 5 4, , ,− −
273x =2− x
3 2
.10מצא את הערך של . 10ידוע כי .25
ידוע כי .26ab
ab
1
1
2
2הראה כי . =
xa yaxb yb
ab
n n
n n
n1 2
1 2
1
1
++
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2b
3 6x
.y - וx -פרט השבר אינו תלוי ב וב
. מהקשר הנתון והצב באגף שמאלחלץ את : רמז
:פתור את המשוואות הליניאריות הבאות .27 2 7x −. א = −2 x. ב x= −
2. ד−2 (3 1) 2
x. ג x= x x x− + =
(2 1) 2x x
2x.ה − − = ). ו+ 2) (1 ) x x x x− = −
2. ז (x 1) 6 02x
− + ⋅ .ח=1 4( 2) 3( )
6 3x
x− = −x
. ט 12) ( 2)2
x x2 (2− − = . י− 2 1 4
6 1 1x x x−
− =+ + +
. יא 2(2 3) 3(1 ) 1 2
3 4 6 3x x x+ −
− = +
חבר משוואה ליניארית שפתרונה הוא . יב 25
x = −
7(2 3 5 3 6 48 6 5 8x x
.
-פתור את המשוואות הבאות .28
−x .א + + = + −) ( ) ( )
4 .ב 1
21
85 =−− x
132 −=−+ xxxx23 +x ג.
6 .ד )23(514
)1(3 xxx −−=+−
0 .ה 6 4) 0 75 5 11 5 13
56. ( . ( ) ( )x x x x+ − − = + − − +
31
12=
− x
ax a
.ו
x .ז a− = −5 1 22 25) xר כפונקציה של הפרמטa(
a .ח x x a2
1 1− = +) x כפונקציה של הפרמטר a(
1 .ט 3
692x x−
=−
2 .י 164
6494 2
2
22 +=−+− x
abxaba
babba) תחילה צמצם איברים משותפים(
9
-פתור את המשוואות הבאות .29
432. א =x ב .( ) 25.03223 =
+−x
21
2 93 =⋅ −xx 92321. ג =⋅ xx ד .
nnmnmnm
axax
ax
a 1222
2 1 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎝
⎛ −−
). ה ) 452=523 +x ו .⎜⎜
-פתור את המשוואות הבאות .30
5. א 1
9 −−
= xx2
271⎟⎠⎞
⎜⎝). ב ⎛ ) x
x−
−=⋅ 3
13
4122
6−x. ד 2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=x
aa 1.5. ג 7x− =9 2
3224. ה
5213=
⋅⋅
−
+−
n
nn
xx
1+nxx 125. ו
55 21 =− x
10
:קבוצות
לא (שוויון בין קבוצות ). רישום בעזרת תנאי, פירוט איברים(תיאור של קבוצה . סימון קבוצה
.הקבוצה הריקה. איחוד וחיתוך). ,∋∌(איבר של קבוצה ). פורמלי
Bה תהיינ .1 A= = −{ , } , { , ,1 2,3 10 Aאת 1{ B A B A A B B∪ ∩ ∩ ∪, , ,
B C D
.רשום .
=יר נגד .2 = ={ , } , { } , { , }35 2,4 )בוצה 12 ) ( )B C B D∪ ∩ מהי הק. ?∪
{x x2 17≤ . בדרך אחרת, x טבעי {רשום את הקבוצה .3
Aהאם .4 x x= ={ }2
A A1 4, . . . ,iA∈2
A A A A1 2 3 41 2,3 1 2 2 2=
xהיא קבוצה ריקה ?
בוצות ?, iלאיזה אינדקס . להלן מספר ק .5
= = = ∪{ , } , {{ , }} , {{ }} , { }φ
?האם הקבוצות שוות, מהם האיברים, כמה איברים יש בכל קבוצה. קבוצות4לפניך .6
},{,,}}{{,}{ 14321 AAAAA φφφφ ====.
11
12
:פונקציות
כתיבת פונקציה בדרכים . מבוא למושג הפונקציה. נקודה במישור. מערכת צירים. ציר המספרים
פעולות בין ). הצבת ביטוי, חישוב ערך(הצבות שונות . תחום הגדרה). וסחהנ, טבלת ערכים(שונות
. פונקציות
)סמן במערכת צירים את הנקודות .1 , ) , ( , , ( ,3 0 0 2) 1 1)−.
: של הנקודות המסומנות הבאותרשום את הקואורדינטות .2
H
E
BA
FG
D
C
M(2,1) את הנקודה במערכת צירים סמן .3 : סמן את הנקודות הבאות ואחר כך=
.
. ובין כל אחת מהנקודות האחרותMמצא את המרחק בין
(4,1) , (0,0) , ( 3,1) , ( 3,3A B C D E= = = − = − =(2, 2) , )−
)הנקודה .4 )2, y−
,1
מהמידע yהראה גרפית וקבע מה ניתן להסיק על . מונחת ברביע השני
.הנתון
)הנקוד .5 ) מהמידע xהראה גרפית וקבע מה ניתן להסיק על . השני מונחת ברביעxה
.הנתון
A. Aעבור כל אחד מהתנאים הבאים קבע היכן מונחת הנקודה . ה נתונה נקוד .6 x y= ( , )
xy. א > x. ב 0 y= x. ג − = x. ד 3 y<
( ,1 2)
)x y1 1( )7,1
( )
רשום את שיעורי . כך יחידה אחת למעלה- יחידות ימינה ואחר2 מזיזים את הנקודה .7
.הנקודה החדשה
)הנקודה .8 ה . יחידות למטה והתקבלה הנקודa - יחידות שמאלה וa הוסטה ,
.aנחי מצא את הנקודה המקורית במו
:קווקו במישור את הקבוצות הבאות .9
}30,21),{(;}1),{(;}2,1,{ ≤≤≤≤=−≤=≥≥= yxyxCyyxByxyxA
:קווקו במישור את הקבוצות הבאות .10
13
( ) }21)1,{(;}2,0),{(;}2,1,{ ≤≤==≤=<−≥= xxCxyyxByxyxA
( )
:קווקו במישור את הקבוצות הבאות .11
},),{(;}20,,{ xyxyyxBxxyyxA ≥−≤=≤≤≥=
)1,4(),2,4(),2,1(),1,
כיצד תשתנה . )1רשום תנאי אלגברי לתיאור המלבן שקדקודיו הם .12
. ללא בסיסו העליוןמלבןך עבור אותו תשובת
( ) }1)1,{(;}10,,{ ≥=≤≤== xxBxxyyxA
BABABA ∪
.: נתונות הקבוצות .13
∩ -סמן במישור את ארבע הקבוצות הבאות ,,,
f f f( ) , ( ) , ( )3 0 0 1 1 0=
.
=מת המקייfצייר גרף של פונקציה .14 − =.
: המקיימתfצייר גרף של פונקציה .15
f x( ) > x כאשר כאשר 0 < f . - ו2 x x( ) ,< >0 2f (2) 0=
f d( )
c( )f e( )
( )
. fלפניך גרף הפונקציה .16
. על מנת שהטענות הבאות תהיינה אמיתיות> , < , =הוסף אחד מבין הסימנים
f 0 .א a( 0 .ב (
f f .ג a( 0 .ד (
f .ה d f a( .ו ( f a b( )+2 f b c( )+
2
f a b f a f b( ) ( ) ( )
f(x)
x a b d c e
+נאי פונקציה המקיימת הת .17 = ".פונקציה חיבורית" תקרא +
fהראה כי .א xx
( ) =+
112
f x x( )
. אינה פונקציה חיבורית
= הראה כי .ב 12
f x x( )
. היא פונקציה חיבורית
=האם .ג +12 1
f ( )0 0
? פונקציה חיבורית
.=אזי חיבורית fאם : הוכח .ד
f חיבורית אזיfאם : הוכח .ה a( ) f a( )= − f: רמז(. − a a( ( )) . . . .+ − =
f x x x( ) = −3f f( ( ))
(
.1− קבע מהו הערך שלאם .18
fהראה כי .19 x x xx
( ) = + +1 3 6
f מקיימת3 x f x( ) ( )1 =
))1()1(()(4 xfxfxxf
.
f מקיימת הראה כי .20 x x( ) = 2−−+=
fהראה כי .21 x( ) = xx + f מקיימת1 x f x( ) ( )= −1 1
f x f x( ) ( )=
.
:− מי מבין הפונקציות הבאות תקיים את התכונה .22
f. א x xx
( ) ב = −−
2
3 . 33
f xx
x( ) = − +1 122
( )= ⋅ +2 1 f x x x( ) ( )= − +1 2 3 4
f. ג x( x . ד ( x
:קבע את תחום ההגדרה לפונקציות הבאות .23
14
c x( ) = xx + 3
b x( ) =x −
112 a x
x( ) =
+1
12
12 +x
x)( =xf 421
xx −)(xe =
11)( 2 +
=x
xd
x
x−
+−2
21xi =)( 121 2
−−= x
x)(xh 31)(
2
−−=
xxxg
x+
= 1x
xl )( xx
xk +
= 51)(1
23)(
−−
+= xx
xxj
15
16
:הפונקציה הליניארית
). (השיפוע כתוספת השולית . הפרמטרים של הישר. משוואה של ישר
פתרון -נקודת חיתוך בין ישרים ). מקביל, חותך(המצבים ההדדיים בין שני ישרים . הגרף של ישר
. פתרון אלגברי וגרפי-אי שוויון ממעלה ראשונה . 2קטנה מערכת
pQpQשיפוע =−+ )()1(
2×
y x x y x x2 17 2 7 2( ) ; ( )
=ים שרטט את הישרים הבא .1 + = −.
xyראובן מנסה לצייר את .2 3936 הסבר לראובן מדוע כל . ומקבל את האיורים הבאים=+
.האיורים שגויים
yטט את שר .3 x1 2= y - ו− x2 3 2= − .
?מי מהישרים יותר תלול? למי מהישרים שיפוע יותר גדול
ה ג
ד ב א
באיור שלפניך מספר ישרים .4
yה מהצור ax b= +
)1 1
.
מצא זוגות ישרים בעלי
.bבעלי אותו , aאותו
:ידי מדידה את השיפוע של הישרים המופיעים באיור-מצא על .5
א ב
ג
)מהו שיפוע הישר העובר דרך הנקודות .6 , ) - . ו− )2,3
) )מהי משוואת הישר העובר דרך הנקודו .7 , ) 11−ת , )1 1 .−- ו
2שר מה השיפוע של הי .8 3 4 0x y+ + =.
)דר .9 2,1ך .מהי משוואתו. yישר מקביל לציר עובר (
( , )1 1
רשום ושרטט את . עמודים בשעהkאברהם קורא . עמודיםNבספר החשבון של אברהם יש .10
. שעותxהפונקציה המתארת את מספר העמודים שנותרו לאברהם לקרוא לאחר
2 . ומקביל לישר − מהי משוואת הישר העובר בנקודה .11 3x y− =
17
3שר על הי .12 2 1 0x y− + =
- 1 0x y
.3 הוא x מצא נקודה שמרחקה מציר
3מצא את משוואת הישר .13 4 −המקביל ל + ) ועובר בנקודה = )2, 5−.
yהישרים .14 x= −5 2 , 3 2x y 4− ax - ו= y+ =5 .aמצא את . נחתכים בנקודה אחת11
xרים כך שהישa,bקבע .15 y+ =2 6 ,b4x ay− . לא יחתכו=
2 הישרmלאיזה ערך של .16 3 9xים y+ = ,mx y+ = . יקבילו1
x פרמטרים חיוביים ונתבונן בישרm ,nיהיו .17m
yn+ = 1.
.ידי מציאת נקודות החיתוך עם הצירים-שרטט את הישר על .א
.מהו אורך הקטעים שהישר מקצה על הצירים ומה שיפועו של הישר .ב
fשרטט במדויק את הגרף של .18 x xx( ) = −−
2 11
( , )0 0( ,3 2),2)
y ax b
.
מה ניתן להסיק על . 4) - ו חותך קטע שקצוותיו בנקודות ישר העובר דרך .19
.שיפוע הישר
−
=שר הוכח כי השיפוע של הי .20 y . הוא ההפרש + x y x( ) ( )+ −1
4≤ <
:התר את אי השיוויונים הבאים .21
8.א 2 x
1 1 .ב 2 2− > −x x
a x .ג ax− < −2 1
f x x( )
= ערכי הפונקציהxילו ערכי לא .22 −10 2
( , )x y :x y x y− ≤ + ≥7 5;
. חיוביים
את התנאים . המקיימות קווקו במישור את אוסף הנקודות .23
yקציות הפונ .24 x1 5 2= y - ו+ m2 10 x= יר נסיעה ברכבת מתארות מח +
.נתח עלויות נסיעה והצע תוכנית אופטימאלית. כפונקציה של המרח
)02( ≥≥ m
x ( )x ≥ 0
⎩⎨⎧
=+−=−
72532
yxyx
mx yx y
− =
− =
⎧⎨⎪
⎩⎪
62 1
ק
:פתור את המערכת הבאה .25
:נתונה מערכת משוואות של שני ישרים .26
2
? יש למערכת פתרון יחידmלאילו ערכי .א
? אין למערכת פתרוןmרכי לאילו ע .ב
? עבורו למערכת יש מספר פתרונותmהאם קיים .ג
18
:הפונקציה הריבועית
הדיסקרימננטה והקשר למספר . השלמה לריבוע מלא. הנוסחה להתרת משוואה ריבועית
כתיבת פונקציה ריבועית כמכפלה . פרמטרים/ הפתרונות למשוואה ריבועית במקדמים קבועים
-תכונות גיאומטריות . פרבולה=הגרף). ax(רמים ופירוק לגו
בניית . התרת אי שוויון ריבועי. צורת הפרבולה כפונקציה של המקדמים. ציר סימטריה, קדקוד
הקשר בין . או שורשים נתונים/פרבולה על סמך נתונים גיאומטריים ו
)()( 212 xxxxacbx −⋅−⋅=++
xyxy == ,2
4 0
.
:אותפתור את המשוואות הב .1
1121214
142
2 −−
=+−−
−+
xx
xx
xx 5. א 2x x− − ==x 2. ב 2 +− x ג . 04
x. ד ax b a2 222 − = − a b x ab 0− + + =( ) x. ו x2. ה x5 3=
016 =−0=495)56( −
62. ז +x 452. ח +− xx ט . x=−xx
:ור את המשוואות הבאותפת .2
x .א x+ = x. ב 12 x4 23 4 0− − ). ג = ) ( )x x+ + + =1 3 342 2
x. ד x− . ה + =2 1 01 3−x( )1 3+ =x 1. ו 12 3x x x
+ = 2
18ז ( .7 )x x−= 44. ח)3 2
=−(2
)2( 2++ xx
21. ט 1
33 =
+−−
+−
xx
xx
mxx =+ 1
( )( )x a x b−
. אין פתרון למשוואה mלאילו ערכי .3
− שלמשוואה, בשתי דרכים שונות, הוכח .4 = 1
030)34(2 =++− xax
082 =++ axx
0152 2 =+− axx
12144 2 +− xx
x5+ax −
פתרונות שונים ללא תלות 2 יש
. a , bבערכי הפרמטרים
. השני והשורשaמצא את . 5 הוא אחד משורשי המשוואה . א .5
.aמהו השורש ומהו הערך של . יש שורש אחדלמשוואה .ב
. והשורשיםaמצא את . גדול פי שניים מהשניאחד מהשורשים של .ג
-פרק לגורמים .6
2. א −− xx 372. ב 2 +− xx ג .
x23. ד axx. ה −2 26. ו 2+−2
−− xx
24−312 +x
12
3. ז 2 − xx 108. ח 2 −+ xx ט .
: פשט את הביטוי בעזרת פירוק לגורמים .7)372()2(
)4()12(22
22
++⋅−+−⋅−−xxxx
xxx
19
:יםפשט בעזרת פירוק לגורמ .8
1092152
2
2
+−−+
xxxx .א
2
2 63 3 9
x x2 1x x x+ −+ −+ − −
. ב25513
−−
xx
36
2
2
−−
xxג .
: פרק לגורמים כל אגף ופתור .96
465
162
2
2
4
−−+=
+−−
xxx
xxx
0 שלכל הוכח .10 1< <x מתקיים ( ). ( )1 1 1 11 9+ ⋅ +−
≥x x
xפשט את הביטוי .11 xx x2 2
122
+ −+ −
−
+. כך שהתשובה תכיל רק את הסימן −
.פתור את המשוואות הבאות בעזרת פירוק לגורמים .12
12. א 3
815215
8712
22 −=
−++
−++
xxxxxx
3. ב 3
344
233
22 +=
++−
+++
xxxxxx
. ג 82
24492
316232
4222 −+
+=++
++−−
+xx
xxx
xxx
x
)3113()2( xaax −+
0a−= )הנח . וצמצם את הניתן לצמצוםaפתור במונחי . (5. ד >
. ה 34
223
165
1222 +−
=+−
++− xxxxxx
xכי , בעזרת השלמה לריבוע, הוכח .13 x2 4 +x. 0 לכל 7 + >
mxx ++ 22
122 +− mxx
.היעזר בהשלמה לריבוע . x חיובי לכל הביטוי mלאילו ערכי .14
.לריבועהיעזר בהשלמה . x חיובי לכל הביטוי mלאילו ערכי .15
x אם הם שורשי הפולינום b , cמצא את .16 bx c2 0+ + =.
:מצא את קודקוד הפרבולות הבאות .17
24 . ד. ג. ב. א −+ xxx 162 −)3)(7( +−= xxy
2x2ג .x− y. ד2 x= +2 2
x2( )+. ג2(2 y. ד 2(2 x= − −1 2)2(
cxxy ++−= 102
qpxxy ++= 2
2−= xyy 2=32 −= xy
:שרטט את הגרפים של הפרבולות הבאות .18
yא x= y = − y = . ב. 2
:שרטט את הגרפים של הפרבולות הבאות .19
y.א = y y =x. ב = −x
.cמצא את הקבוע . 8 הוא הערך המקסימאלי של .20
( )2,3 − .q - וpמצא את . מונח בנקודה הקודקוד של .21
)6,3( . וקדקודה בנקודה −)10,1(מצא את משוואת הפרבולה העוברת בנקודה .22 −
)פרבולה עוברת בנקודות .23 ) ( )12,0,12,8
)x y0 0
( ,3 4)8 0
? של קודקודהx-מהו שיעור ה.
)רשום משוואה כללית לפרבולה שקדקודה בנקוד .24 ה .,
) והנקודה מהי משוואת הפרבולה שקדקודה בנקודה .25 ( . על גרף הפרבולה,
20
yפניך הישר ל .26 x= −1y x= −2 1
f x x x c( ) = − +2 6
f x( )
f x( )
f x( )( ,1 2)( ,3 2)
x
y והפרבולה .
.מצא את כל הנקודות המודגשות
ה .נתונה הפונקצי .27
. על הגרףcדון בהשפעת הפרמטר . שרטט את .א
.cמצא את . 8 הוא המרחק בין שורשי .ב
ומקיימת שערכה - ו העוברת בנקודות מצא את משוואת הפרבולה .28
.7המקסימאלי הוא
−
:פתור את אי השיויונים הבאים .29
x. א x2 2+ . ב0 > x x4 22 0+ x. ג > x3 22 0+ <
06 <−027 ≥+x02 2 >+− xx
3331 22 ++≤+− xxxx
:פתור את אי השיויונים הבאים .30
2. א − xx 6. ב 2 −x 1. ג
. מתקיים xהוכח כי לכל .31
02פתור את אי השיוויון .32 <−+ xx .
.) t - ופתור אי שיוויון ריבועי בx=tסמן : רמז(
+>0פתור את אי השיוויון .33 xx.
:פתור את אי השיויונים הבאים .34
5 12 3 0x
x−−
< −. א + + >x x2 2 x). ב 0 )(x x− − ≤ −3 7) 5 . ג 15
034
22
2>
++−+
xxxx x. ד
x6 −ה > 1 .x
x x+ <
+2 3
. ו 1
fפונקציה מצא את תחום ההגדרה של ה .35 x x x( ) = − −4 32
y mx mx= − +2 1
.
יה .x חיובית לכל הפונקצmלאילו ערכי .36
yר בשטח הכלוא בין היש .37 x= −2 1y x x= + −( )( )1 3 מעבירים מוט אנכי והפרבולה
x a= .מצא מהו האורך המקסימאלי האפשרי של קטע המוט הכלוא בין הישר והפרבולה.
2כי הוכח .38 3x p . מחלק את + x x x( ) = + −2 32
.מחירו של יהלום שווה לריבוע משקלו .39
וירידת הערך היא מקסימאלית כאשר החלקים הערך יורדאם מפצלים את היהלום : הוכח
.יםשוו
21
22
:גרפים של פונקציות אלמנטריות
פונקציית השורש . למעריך שלםפונקציית החזקה nxy =x=
Q∈<= axy a ,1)(,,, kxmfnשלמיםnmk ±+
f x xn( ) =
f x xn( ) =
3)( xxf =
y . הפונקציה
. מול הגרף של הגרף של .
.מותמשפחה חד פרמטרית של עקו
< a0,)(xf
. זוגיn - לשרטט את .1
. אי זוגיn - לשרטט את .2
?
(a,b) 3. סימנו נקודה על הגרף של ( )ba,
nm,, }8 9,1011
xa
.
.מהי הנקודה המסומנת בסימן שאלה
xm
xn 4. באיור שלפניך הגרפים של שתי פונקציות חזקה .
} הינם מבין הערכים וע כי הקבועים יד ,.
.n - וmמצא על סמך זאת את
0שרטט את .5 1 f x( ) > - ל= <a.
f שרטט את .6 x x( ) = ,f x x( ) = − 2 ,f x( ) = −2 xאותה מערכת צירים ב.
f בעזרת הגרף של .7 x( ) 3 הראהx כי = 2 2 1− < −
x
.
=חבר את המיתרים בין הנקודות : רמז 12,3,f x( ) . על הגרף של
xהראה אלגברית כי .א .8 x≤ + 12x ≥ לכל .0
y x= + 12 yאת שרטט .ב x=והבהר גיאומטרית את אי השיויון בסעיף הקודם - ו .
aי הראה כ .א .9 b a b+ = . הוא פסוק שקר+
aם מתקייa , bלאילו ערכי .ב b a b+ = +.
baba מתקיים a , bלאילו ערכי .ג ⋅=⋅.
yת שרטט במערכת צירים אחת א .א .10 x11 - ו= +y x2 =
( ) y x2( )
.
y . קבוע או הולך וקטן- והאם המרחק האנכי בין .ב x1
:שרטט את הגרפים של הפונקציות הבאות .11
1 12x− 1. א
2x1. ב 12x
−. ג + 12x
. ד
:שרטט את הגרפים של הפונקציות הבאות .12
y. א . ב = x−1
2y . ג = x −1
3y . ד = x +1
2 4y xx=− 2
23
:אותשרטט את הגרפים של הפונקציות הב .13
y. א x= y. ב 1x
= 1y. ג 3 =
x−1 y. ד13 x
x= +2 1
fנגדיר .14 x xx( ) =− 2
xוי במונה בביטxהחלף את .א − +2 2f x( )
1f x( )
. ופשט את
? xלאילו ערכי .ב f x( ) >< 1
f x( )
?
.שרטט את .ג
24
:הפונקציה המעריכית
שימוש במחשבון למציאת ערך של פונקציה . התרת משוואה מעריכית. תכונות אלגבריות
. המספר . 'וכו, ∞-שאיפה ל , שאיפה לאפס, ירידה/ עליה-הגרף ותכונותיו מרכזיות . מעריכית
.eהפונקציות
ex±
f x ax( ) =
0 עבור עיין בגרפים של .1 1 a > > - ו1 <a
x2f ( . )
. וקבע מי מבין הטענות הבאות נכונה
אזי אם .א f x( ) =− <05 1
x( . )05f ( ) .3 0 2
.
f אאם .ב x( ) .>זי =
f אזי אם .ג x( ) = x3f (− = −2) 9
( ( )3
.
fאם .ד x ax( ) f - ו= f2) f( אזי > f( ) (3 4<.
> - וaאם .ה 1x אזי < 1x >
01x
a a.
2למשוו .ו 0 =אה .
12x
. יש פתרון אחד
2למשו .ז 0 =ואה .
f x( )
. יש פתרון אחד
פונקציה מעריכית אזי הראה כי אם .2f x
f x a( )( )+ =1
398.08π23 )5.0(;1;)12 xy +
.
.מה ניתן להסיק על העליה או הירידה של פונקציה מעריכית
נצל את המונוטוניות של הפונקציה המעריכית כדי לקבוע בכל זוג ביטויים נתון מי הביטוי .3
.הגדול
)5.0(. ב 9.0. א ; ). ג −
? פונקציה מעריכיתמי מבין הגרפים הבאים יכול לתאר .4
עבור כל איור שאינו מתאר פונקציה מעריכית 2
.הסבר מהי השגיאה
:פתור את המשוואות הבאות .5
1614. א =x ב. ( )3 x ג 27 3 2= − .a a x x= 1
16125.032. ד 2.0 ⋅ 14 2=x 2. הx ו . =xx a1−=a
ax1 - וידוע כי .6 16=( )a x2 4=x1x2 . - ומה הקשר בין .
aידוע כי .7 Mx1 3 a - ו=4 Mx2 2 3= )( ,M M> ≠0 מצא את היחס . 1xx
1
2
0232 =+− xx a
.
.aנתונה המשוואה .8
.פרק לגורמים את אגף שמאל של המשוואה. א
.מצא אחד מהפתרונות. הראה כי למשוואה יש שני פתרונות שונים. ב
25
:פתור את המשוואות הבאות .9
) .א )a b ax x≠ ב b=2 7 43 2x x x .1⋅ =− +
:פתור את המשוואות הבאות .10
32. א 7x 0 255x +
− 5. ב . 4x = 4 10 5x + = −. 1. ג .33 3 3x x−= −
2 9
3. ד 4 6⋅ + = ⋅x x x 7. ה 74 8 ). ו +72 ) a ax
x= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
= ⋅x x
35פתור את המשוואה .11 3 05 827
49
3⋅ ⋅ = + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−−
x xx
( . )
axg x bx( ) =
.
f - ולפניך הגרפים של .12 x( ) =
xעבור ≤ 0
.
-1
1
.
fכי ידוע ( )− 1 - ו= 025g( )− =1 4.
.b - וaמצא את .א
x -המשך את הגרפים ל .ב > 0
-
.
gש כך xמצא .ג x f x( ) ( )− = 32
( ):4 2 8 2 81 1x x x x− + =+ −
.
אה .פתור את המשוו .13
xxx
−−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
11
9113
19
( )
.פתור את המשוואה .14
1 הפונקציה xלאילו ערכי .152
1.0 −+
= xx
y10 קטנה מ-.
( . )05 3 1 13
4−−
< ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
xx
1)5.0 22<−− xx
.פתור את אי השיויון .16
.)פתור את אי השיוויון .17
11 מסוים חיובי מתקיים aידוע כי עבור .1812
34
12
⎞⎠⎟ + ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ <
a a⎛⎝⎜.
xהוכח כי לכל a> 11 מתקיים12
34
12
⎞⎠⎟ + ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ <
x x
ex
⎛⎝⎜.
?מי מבין הטענות הבאות נכונה .19
=למשוואה .א −3
e x−
. אין פתרון
=למשוואה .ב −3
e x−
. אין פתרון
=למשוואה .ג 3
ex
. אין פתרון
= למשוואה .ד 3
0ex
. אין פתרון
2למשוו .ה 1 +אה . יש פתרון שלילי=
26
.קבע מהן התוצאות הנכונות. ומקבל סדרת תוצאותexגד מנסה לפשט את .20
e. א x ב .ex xe. ג 2 ). ד )2( )e x 1. ה2 e x
f x ex( ) =
d ec=
e ea p⋅ < 0
ep < 1
ea > 1
.קבע מהן הטענות הנכונות. הציור מתאר את הגרף של .21
.א
a c p
d .ב
.ג
.ד
f נסמן .22 x( ) = +2
e ex x− 2( 1 22f x f x( )) ( )− =
- y e x2 = −e ex x> −
22 xx e−<
.הוכח כי.
הראה גרפיתלאילו ערכי . ושרטט את הגרפים ש .א .23
.והבא פתרון אלגברי
yל ex1 =x
).פתרון אלגברי בלבד (x eלאילו ערכי .ב
27
28
:הפונקציה הלוגריתמית
שימוש במחשבון למציאת ערך של . התרת משוואה לוגריתמית. החלפת בסיס. תכונות אלגבריות
הפונקציה . 'וכו, ± -שאיפה ל , ירידה/ עליה-הגרף ותכונותיו מרכזיות . פונקציה לוגריתמית
.
∞
)ln(x
(3 2)−(4)( )0
:ביטויים הבאים אין מובןלאילו מבין ה .1
log. ד log3. ג log1. ב log. א . ה 1)2
2)−log ( )2 2
16
:בעזרת כללי לוגריתמוס את הערך של הביטויים הבאים, חשב .2
log3. ב log2. א 1
log1. ג 27 . ד 82
log ( )103 4100
. ו log. ה ( )82
2− log log2 log3. ז2 2 log . ח 2 515 81⋅2log 2.025
ln()1ln()ln()(ln(: מהו הערך של הביטוי הבא .3 55 eeee
eex +++=
53
.
:תמוס את הערך של הביטויים הבאיםבעזרת כללי לוגרי, חשב .4
8log1. ג 3log24. ב log27. א 927 .3log25 0. ד −
f x x ex( ) ln( )= + +2 1 את .ראובן משרטט .5
?מדוע האיור של ראובן שגוי
1הוכח כי .61
11 1
++
+=log loga bb a.
xxxהוכח כי .7 abba log1
log1
log1 =+
ddcb acba loglogloglog
.
.⋅⋅=הוכח כי .8
בטא את . ידוע כי .9 log2 3 = alog12 .a במונחי 6
log1קבע מי הביטוי הגדול מבין .10 3 eו - log. 112e
logשוואה פתור את המ .11 log ( )2 2 21 18xx
⋅ = −
3
.
:היעזר בתכונת המונוטוניות של פונקצית הלוגריתמוס והראה כי .12
2. א 37610< . ב> log ( ) 1 2 < <ln π
0. ג < a 2(0 . ד(log1 2 <+⇐< aa)2(log)1(log1 22 +<+⇐> aaa aa
29
:היעזר במחשבון ופתור את המשוואות הבאות .13
e .א ex x= +−7 2
122 −= xx e
log ( )214 8x x+ − = +
ln( ) (ln )x x2 2=
2 5 2e ex x
.ln במונחי xתחילה בטא את .
.ln במונחי xתחילה בטא את . .ב
.אין צורך במחשבון. 2 .ג
.אין צורך במחשבון. .ד
= .ה − −
xlog=xxba ba loglog,
.ln במונחי xתחילה בטא את .
:פתור את המשוואות הבאות .14
. ב 10log. א x 2=≠
:פתור את המשוואות הבאות .15
ln. א x ln(e ln x= ⋅1ln. ב2 lnx e x)+ = (. ג + .x2 5 08+ = ln(
:פתור את המשוואות הבאות .16
ln. א x 3. ב7 = 0 7 ln ג .ln(x )2 ln). ד =7 ) lnx x2 2 0− = x + =
f שרטט את הגרף של .17 x xa( ) ln( )=a > 0
f x ax( ) ln( )
.הנח כי .
a . fמצא את . מקיימת = ידוע כי .18 (2) 2= −
)ln הפונקציה xלאילו ערכי .19 )12 −x
x
.2 תקבל את הערך
: תחום ההגדרה של הפונקציות הבאותמהו .20
y. א x= + −) ln1ב . ln( y . ג = x +ln( 2)y xx=
−ln
ln1
:קבע תחום הגדרה עבור הפונקציות הבאות .21
x. א xln 1. ב
2ln( )xx. ג
xln
)1ln( −
x: נסמן .22 n y nn n= + = + +( ) ; ( )1 1 1 1 1x yy x=
ln5.1ln xex x ⋅=ln
)ln(ln)( xxf
ח כי .הוכ.
. על המשוואה שיש להוכיחהפעל : רמז
. על המשוואההפעל : רמז . פתור את המשוואה .23
.=נגדיר .24
3ex .ה בנקודה חשב את הערך של הפונקצי. א =
)7(,)71(חשב את . ב ff
1,1,0 −=== yyy
25.0)3
.היעזר במחשבון.
?מהו תחום ההגדרה של הפונקציה הנתונה. ג
.מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה ובין הישרים . ד
:פתור את אי השיוויונים הבאים .25
ln. א >x ב .ln( <− x 1(. גln(1ln xx +>
0)1( 4 >+ x
ln. ד
30
:הנגזרת
גזירת . גזירת הפונקציות האלמנטריות. פונקצית הנגזרת. שיפוע של גרף בנקודה. מושג הנגזרת
.משיק לגרף. גזירת פונקציה מורכבת. כפל וחילוק, הפרש, סכום
.g - וfרפים של בשרטוט הג .1
a
א ב
f .ידוע כי a g a' ( ) ' ( )>
f x' ( ) = 0
.g - וfזהה את הגרף של
. fלפניך הגרף של .2
c d b a
בהן a , b , c , dמהן הנקודות
.מתקיים
] בציור הגרף של פונקציה בקטע .3 ,. ]0 3 12
f xB' ( )
f x( )3f x' ( )
B C
A -1 -2
.A,B,Cעל הגרף סימנו את הנקודות 3 2 1
?איזו מן הנקודות שיפוע הגרף גדול ביותרב .א
?באיזו מן הנקודות שיפוע הגרף הקטן ביותר .ב
.הבא בקירוב את הערך של .ג
f - ו המקיימת הדגם גרף של .4 x( ) >< 00 4
f x( )
f x' ( ) = 02)f x' ( ) > 0f x' ( ) < 0( )4,∞
] בקטע ,. ]
: הדרישות הבאותכל המקיימת את הדגם גרף של .5
טע (4, בק. ג ,2) בקטע . ב 0) בקטע . א
כל הנקודות על הגרףסמן את .6
y=x
.1בהן השיפוע הוא
f שרטט את הגרף של .א .7 x x( ) =11
f x( )( ,11
y
) וסמן את הנקודה ,. )
( . - ב-שרטט את המשיק ל .ב
.=xהעבר את הישר .ג
) - בשיפוע שלגרפית כי ה, הוכח .ד f . 1 - קטן מ, x( )11)
31
] בקטע הדגם גרף של .8 f : הדרישות הבאותכל המקיימת את , x( )0 2]
00 f ( )0 f. ב = (2) f. ג =. א x' ( ) = . נקודות שונות בקטע הנתון 5 ב 0
.4 ב 5 החלף את' כאשר בדרישה ג8חזור על תרגיל .9
:גזור את הפונקציות הבאות .10
1. ג x−7. ב x7. א 3x
x. ד x2
x. ה x3 ו .x x x⋅ ⋅ ⋅. . . )n3. ז ) פעמיםπ ח . e − π 2
1. ט 5
5x− 2. י 2x. יא .2 2 73 2 4
5x xx
. יב + 5 9 4x− −731⎟⎠⎞
⎝⎛ − xx
2c−
⎜
x. יד 2cx. יג bxa b+ a. טז xn−1. וט 1−xa
f x x( ) = −2 12
:מהו שיפוע הפונקציה בנקודה הנתונה .11
x .א בנקודה = −2.
f .ב x x xx( ) = x בנקודה + = 1.
f .ג x ax a( ) = −−
1
nxxxf n −=)(
.ל הגרף עם הצירים בנקודות החיתוך ש
x בנקודה .ד = 1
f x x a x b x c( ) ( )( )( )
.
=של הגרף .12 − − −− = 1
c b− = 1
f x x x x( ) = − + −3 2 1
bאם. נקודות-3 בx חותך את ציר a
לא לפתוח מומלץ . ( הראה כי השיפוע בשתיים מתוך שלוש נקודות החיתוך שווה -ו
).סוגריים
ל .ל"מה שיפוע הגרף בנקודה הנ. x חותך את ציר הגרף ש .13
fהגרף של .14 x a bx( ) = +)1 1 ) עובר בנקודה .a , bקבע את . -2 ושיפועו שם הוא −,
fיה .6הן השיפוע הוא במצא את הנקודות על גרף הפונקצ .15 x x x x( ) = − +3 23 6
:גזור את הפונקציות הבאות .16
x. א x − 8. ב 1
3 5x +x. ג
x−+
11 2( )
1. ד 1
3
3−+
xx
3. ה 11 2
xx+
−. ז x2. ו x a
1−−
x−
. ח x 1
x xx2
11− −
+
x. ט +−
. י 1x1
xx−+
1x. יא 1 −
+. יב 1
x 1ax bx
ab x
2 2
2+ −
x. יג x x
2
31−
−. יד
x+− 22
mmx
. טו xx
mm++
22. טז ))1 xx −−
0422 =−′−′′ yyxyx
((
n. fמצא את הערכים של . מקיימת ידוע כי .17 x xn( ) =
32
yם הוכח כי א .18 x aa x= +−
אזי ya
yx a
'2
2
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
f x x x x( ) = − − + +2 3 12 13 2
)1 k−
.
ציה . יש שיפוע מקסימאלימצא את הנקודה בה לגרף הפונק .19
.מהו שיפוע מקסימאלי זה
:גזור את הפונקציות הבאות .20
1. ב 2x). א 1 −⎛⎝⎜ x ⎞
⎠⎟n
)x. ג )2 4( ) (1 13 3− + +x x x x− − (. ד 5+
1. ה . ו + 2x1−
. ז 1 2x
x−
x1
. ח x x1 −
)( )x x2 81 2+ −
x .י x3). ט ax י 3+ b .אx ⋅ 4 x −2 ). יב1 ( ) )1 1 3 3− −x
:גזור את הפונקציות הבאות .21
1 . א 1− − x ב .(x )x− −1 1). ג 2 . ד − )3 2 3 2x11
7−+
⎞⎠⎟
xx
⎛⎝⎜
x. ה x x2 −
). ו ( )x x− +2) 13 4 2
2. ז 32
2
1 3x
x−−
yגזור את הפונקציה .22 xx
= −+11
y
.פשט היטב את התוצאה.
. שמצאת′ -הצע פונקציה נוספת שנגזרתה זהה ל
f נחתכות בנקו- ו.23 x( )g x( )( )2, 1 3 בנקודת החיתוך הוא השיפוע של. −דה
נגדיר . -ו
f x( )
14= g' (2)h x f xg x( ) ( )
( )=h h' ( (2) 2)+
y ex=
y x ex= +4
של .מצא את הערך .
ל .מהי הנגזרת ש .א .24
ת .חווה דעתך. קבל את הגרף שלפניך ומרן משרטט א .ב
y מהו ערך היחס .25 y'y e x= λ . עבור הפונקציה
y תקיי עבורו λקבע את .26 e x= λ םy y y" '− + =3 2 0.
:גזור את הפונקציות הבאות .27
e. ב ex. א x− ). ג 4 )ex 7 (ex . ה + e(. ד x− 213
12
e
x⎛
⎝
⎞
⎠⎟⎜
:גזור את הפונקציות הבאות .28
be. א xx ex2. ב +. ג 2e x ד .xeax b+
e. ה x ו .x
x e x2 e. ז −2x
x
2 1+1. ח 2+ e x
e. ט x−1 י .e x1 2xe. יא x1 יב .x
e xx −
33
:ותחשב את הנגזרת השנייה של הפונקציות הבא .29
e. א ex a . ב − x a−xe x1 ג .( )ax b e x+ − 2
xex=xenx )+ f .) היא ית של -n-הוכח כי הנגזרת ה .30 x( )
:גזור את הפונקציות הבאות .31
ln. א x ב .ln( )7x ג .ln x + )ln. ד 7 )1 + x
2)ln( )x x
ln. ו ln(3. ה 2x −ln2 x x. ז x⋅ ln ח . ⋅ + 1
)ln. ט )x2 י .ln x יא .ln( )ex יב .ln( )ex + 1
x x)2 2 − x יד . ln(x. יג x2 2⋅ ln טו .x x טז . 2 2 2 1ln ( )+xxln
fהוכח כי .32 x( ) x axln( )= 1xy y xy'+ = − 2
f x x x( ) ln= −2
.a ללא תלות בערכו של מקיימת
.1 הוא השיפוע שלxלאילו ערכי .33
f מהו השיפוע של .34 x xx( ) ln( )=
−2
f x' ( ) ≥ 0f x x x( ) (ln ) (ln )= +3 5
.x בנקודה בה הגרף חותך את ציר
דרה של . בתחום ההגx לכל הראה כי .35
fדיר נג .36 x x x( ) ln( )= − − 1
f x( )
f x' ( )
f x g x( ) ln( ( ))
.
.מהו תחום ההגדרה של .א
. ופשט היטבחשב את .ב
f עבור-רשום את הנוסחה ל .37 x' ( ) =.
fעבור קבע תחום הגדרה וחשב את הנגזרת .38 x x x( ) ln( )= + +2 1.
fנגדיר .39 x x( ) ln(= −1 1
f (
).
f -ו חשב את הערך של .א (2)−2)
f x( )
f x' ( ) > 0
x( , , . . . )n
. בעזרת מחשבון
? חותך את הציריםהאם הגרף של .ב
.הראה כי .ג
xxf נגדיר .40 nn ln)( ⋅== 12,3
הנקודה ומהו מהי . באותה נקודה ובאותו שיפועxהוכח כי הפונקציות חותכות את ציר
.השיפוע
:ופשט היטב את הנגזרת, גזור .41
. ב 2. א 4 2x x− +ln( )ln ג . ee
x
x
4
4 1+ln( )e
xx
2 1+ .)e xex x− −+
( )e ex y
)lnד
y מקיימת הפונקציה .42 x+ = 1y x' ( ) :בטא את.
.xרק במונחי המשתנה .א
.y - וxבמונחי .ב
34
y הוכח כי .43 x מקיימת e y. x( ) ln(ln )=xy ⋅ ⋅ =' 1
y x =גזור את .44 log10
f x ax b x( ) ln( )= + +3 1
.
fמת ה מקייהפונקצי .45 ( )1 f - ו=2 ' ( )1 3=
xln
מצא את הקבועים .
aו - b.
:0 השיפוע של הפונקציות הבאות הוא xמצא לאילו ערכי .46
f.א x ב . x( ) = +xxxf ln)( f . ג =− x x( ) ln xln= f. ד − x xx( ) ln
ln=+ 1
f x x e x( ) = + −
.נגדיר .47
: עבורםxמצא את ערכי
f. א x' f. ב ) x' ( ) ) = 14= f. ג 4 x' ( ) = −1f x' ( ) = 0 . ד
fועית נתונה הפונקציה הריב .א .48 x ax bx( ) = + +12 72x = 1 השיפועידוע כי בנקודה .
xחיובי ובנקודה = −1> 0 .aהוכח כי . השיפוע שלילי
xאם בנקודה , בפרבולה: "סטודנט טוען .ב = השיפוע חיובי אז בהכרח בנקודה 1
x = −1
."השיפוע שלילי
.הראה איור המפריך את טענת הסטודנט
yגזור את .49 x x= +−
−−
1 11
11y' x ובפרט הראה כי < 0.
)ידי דוגמא נגדית שהכלל -ראה עלה .50 )' ''f g f
g=היעזר בפונקציות מהצורה . אינו נכוןxn
a( ) f a g a' ( ) ' ( )>
a( ) f a g a' ( ) ' ( )
.
:הדגם באיור פונקציות המקיימות .51
f .- ו .א a g( ) =
- ו .ב f a g( ) >=.
35
