83Μέθοδο Simplex: ανακεφαλαίωση

1. Να βρεθεί μία αρχική βασική εφικτή λύση

2. Να ελεγχθεί το κριτήριο αριστοποίησης: εάν το σχετικό κόστος όλων των

μη-βασικών μεταβλητών είναι αρνητικό ή μηδενικό τότε σταματάμε (≥0 όταν

χρησιμοποιούμε πίνακες)

3. Να επιλεγεί η εισερχόμενη μεταβλητή xj, αυτή που έχει το υψηλότερο σχετικό

κόστος.

4. Να προσδιοριστεί η εξερχόμενη μεταβλητή:

5. Να πραγματοποιηθεί μία περιστροφή και να προσδιοριστεί μία καινούργια

βασική εφικτή λύση; Επιστροφή στο βήμα 2

min 0iij

iij

ba

a

84Υπολογισμούς σε πίνακες Simplex

Υπολογισμός νέων σειρών

Νέα αξονική σειρά =Παλαιά αξονική σειρά /αξονικό στοιχείο

Νέα σειρά = παλαιά σειρά – στοιχείο αξονικής στήλης Χ νέα αξονική

σειρά

Μέθοδος Simplex:

άσκηση

86Πρόταση στόχος

T-shirt με μανίκι ή χωρίς

Η Reebok Sports παράγει δύο ειδών T-shirt: με μανίκι και χωρίς.

Πόσα από κάθε είδος θα πρέπει να παράγει κάθε εβδομάδα ώστε να μεγιστοποιεί τακέρδη, δοθέντος των ακόλουθων περιορισμών:

Η συνεισφορά (στο κέρδος) για κάθε T-shirt χωρίς μανίκι είναι €3.00, ενώ με μανίκι είναι € 4.50.

Κάθε T-shirt με μανίκι χρησιμοποιεί 0.5m υλικού και χωρίς μανίκι 0.4m. Υπάρχουν 300m υλικού είναι διαθέσιμα.

Απαιτούνται: 1 ώρα για την παραγωγή ενός T-shirt χωρίς μανίκι και 2 ώρες για ένα με μανίκι. 900 εργατοώρες είναι διαθέσιμες.

Δεν υπάρχει όριο στην ζήτηση για T-shirt χωρίς μανίκι αλλά η συνολική ζήτηση για T-shirt με μανίκι είναι 375 κομμάτια ανά εβδομάδα.

Κάθε T-shirt χωρίς μανίκι χρησιμοποιεί ένα λογότυπο και 600 υπάρχουν λογότυπα στην αποθήκη.

87Έκφραση του προβλήματος ΓΠ

Έστω x1 o αριθμός των T-shirt χωρίς μανίκι και x2 με μανίκι που παράγονται εβδομαδιαίως

Max Z=3x1+4.5x2 Αντικειμενική συνάρτηση

0.4 x1+0.5x2≤300

x1+2x2≤900

x2≤375

x1≤600

x1≥0, x2≥0

Περιορισμοί

88Βήμα 1ο

Μετατροπή ανισοτήτων σε περιορισμούς ισοτήτων με τον ορισμό χαλαρών μεταβλητών.

0.4 x1+0.5x2+x3 =300

x1+2x2+ x4 =900

x2+ x5 =375

x1+ x6 =600

Η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως ακολούθως:

Z-3x1-4.5x2-0x3-0x4-0x5-0x6=0

89Βήμα 2ο: Κατασκευή πίνακα Simplex

Αρχική Βασική Εφικτή Λύση (0,0,300,900,375,600) και Ζ=0

Β. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0.5 1 0 0 0 0 300

x4 2 1 2 0 1 0 0 0 900

x5 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 -4.5 0 0 0 0 1 0

Αξονική στήλη Εύρεση εισερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε την

αξονική στήλη, βρίσκουμε την

μικρότερη τιμή της γραμμής 5

(γραμμή αντικειμενικής

συνάρτησης) στον πίνακα

Simplex

Εύρεση εξερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε τη

αξονική γραμμή, διαιρούμε

κάθε δεξί μέλος με το

αντίστοιχο αριθμό της

αξονικής στήλης. Επιλέγουμε

τη γραμμή με το μικρότερο

δεξί μέρος.

Αξονική γραμμή

90Βήμα 3ο:Μετατροπή του αξονικού

στοιχείου σε μονάδα

Β. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0.5 1 0 0 0 0 300

x4 2 1 2 0 1 0 0 0 900

x5 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 -4.5 0 0 0 0 1 0

Αξονική στήλη

Αξονική γραμμή

Αξονικό στοιχείο

91Βήμα 4ο: μετατροπή σε 0 όλων των

στοιχείων της αξονικής στήλης (πλην

του αξονικού στοιχείου)

Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων

Γραμμή 1:

Γραμμή 1 – 0.5*Γραμμή 3

Γραμμή 2:

Γραμμή 2 –2*Γραμμή 3

Γραμμή 3:Αξονική Γραμμή

Γραμμή 4: Ήδη 0

Γραμμή 5:

Γραμμή 5 +4.5*Γραμμή 3

Β. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0.5 1 0 0 0 0 300

x4 2 1 2 0 1 0 0 0 900

x5 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 -4.5 0 0 0 0 1 0

Αξονική στήλη

92Βήμα 5ο: Έλεγχος Αριστοποίησης

Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές (υπάρχουν).Εάν υπάρχουν, επιστροφήστο βήμα 3

Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0 1 0 -1/2 0 0 112.5

x4 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 0 0 0 4.5 0 1 1687.5

Νεα Βασική Εφικτή Λύση (0, 375, 112.5 , 150 , 0, 600) και Ζ=1687.5

93Βήμα 2ο:2η Επανάληψη

Β. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0 1 0 -1/2 0 0 112.5

x4 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 0 0 0 4.5 0 1 1687.5

Εύρεση εισερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε την αξονική

στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή

της γραμμής 5 (γραμμή αντικειμενικής

συνάρτησης) στον πίνακα Simplex

Αξονική στήλη

Εύρεση εξερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε τη αξονική

γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με

το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής

στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το

μικρότερο δεξί μέρος.

Αξονική Γραμμή

94Βήμα 3ο: Μετατροπή του αξονικού

στοιχείου σε μονάδα

Δεν χρειάζεται διότι είναι

ήδη μονάδαΒ. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0 1 0 -1/2 0 0 112.5

x4 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 0 0 0 4.5 0 1 1687.5

Αξονική στήλη

Αξονική Γραμμή

95Βήμα 4ο:Μετατροπή των κελιών

της στήλης pivot σε 0

Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων

Γραμμή 1:

-0.4*Γραμμή 2 + Γραμμή 1

Γραμμή 2: Αξονική Γραμμή

Γραμμή 3: Ήδη 0

Γραμμή 4:

-Γραμμή 2 +Γραμμή 4

Γραμμή 5:

3*Γραμμή 2 + Γραμμή 5

Αξονική στήλη

Β. Μετ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0.4 0 1 0 -1/2 0 0 112.5

x4 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 1 0 0 0 0 1 0 600

5 -3 0 0 0 4.5 0 1 1687.5

96Βήμα 5ο: Έλεγχος Αριστοποίησης

Έλεγχος τελευταίας

γραμμής για

αρνητικούς συντελεστές. Εάν δεν

υπάρχουν, τότε λύση

του προβλήματος.

Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0 0 1 -0.4 0.3 0 0 52.5

x1 2

1

0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 0 0 0 -1 2 1 0 450

5 0 0 0 3 -1.5 0 1 2137.5

Νέα Βασική Εφικτή Λύση (150, 375, 52.5, 0 , 0, 450) και Ζ=2137.5

97Βήμα 2ο: 3η επανάληψη

Β. Με

τ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0 0 1 -0.4 0.3 0 0 52.5

x1 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 0 0 0 -1 2 1 0 450

5 0 0 0 3 -1.5 0 1 2137.5

Αξονική στήλη

Αξονική Γραμμή

Εύρεση εισερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε την αξονική

στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή

της γραμμής 5 (γραμμή αντικειμενικής

συνάρτησης) στον πίνακα Simplex

Εύρεση εξερχόμενης βασικής

μεταβλητής. Για να βρούμε τη αξονική

γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με

το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής

στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το

μικρότερο δεξί μέρος.

98Βήμα 3ο: Μετατροπή του αξονικού

στοιχείου σε μονάδα

Πολλαπλασιασμός όλης

της γραμμής με 10/3.Β. Με

τ

Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ

Δεξί Μέλος

x3 1 0 0 1 -0.4 0.3 0 0 52.5

x1 2 1 0 0 1 -2 0 0 150

x2 3 0 1 0 0 1 0 0 375

x6 4 0 0 0 -1 2 1 0 450

5 0 0 0 3 -1.5 0 1 2137.5

Αξονική στήλη

Αξονική Γραμμή

99Βήμα 4ο:Μετατροπή των κελιών

της στήλης pivot σε 0

Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων

Γραμμή 1: Αξονική Γραμμή

Γραμμή 2: Γραμμή 2 + 2*Γραμμή 1

Γραμμή 3: Γραμμή 3 - Γραμμή 1

Γραμμή 4: Γραμμή 4 – 2*Γραμμή 1

Γραμμή 5: Γραμμή 5 +1.5*Γραμμή 1

Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5

x6 Ζ Δεξί Μέλος

x5 1 0 0 10/3 -4/3 1 0 0 175

x1 2 1 0 20/3 -5/3

0 0 500 0

x2 3 0 1 -10/3 4/3 0 0 0 200

x6 4 0 0 -20/3 5/3 0 1 0 100

5 0 0 5 1 0 0 1 2400

100Βήμα 5ο: Έλεγχος Αριστοποίησης

Νέα Βασική Εφικτή Λύση (500, 200, 0, 0 , 175, 100) και Ζ=2400. Η νέα εφικτή λύση είναι και η άριστη

Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί Μέλος

x5 1 0 0 10/3 -4/3 1 0 0 175

x1 2 1 0 20/3 -5/3 0 0 0 500

x2 3 0 1 -10/3 4/3 0 0 0 200

x6 4 0 0 -20/3 5/3 0 1 0 100

5 0 0 5 1 0 0 1 2400