Математические модели в авиации ...venec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Nikonova_2.pdfАвиационное происшествие – любое событие,

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АВИАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания

по изучению дисциплин

Ульяновск 2009

ББК Ув6я7 М34

Математические модели в авиации. Математические методы в экономике. Эконометрика : метод. указания по изучению дисциплин / В. П. Глухов, А. М. Лебедев, С. П. Никонова. – Ульяновск : УВАУ ГА(и), 2009. – 45 с.

Приведены планы лекционных и практических занятий и методические ука-

зания по изучению каждой темы (дидактической единицы) дисциплин. Даны перечни основных понятий курсов, списки вопросов для самопроверки

и литературы для самостоятельного изучения дисциплин и подготовки к итого-вому контролю.

Предназначены для курсантов и студентов заочной формы обучения УВАУ ГА(и) всех специализаций.

Печатаются по решению Редсовета училища.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АВИАЦИИ .............................................................. 3Общие сведения ................................................................................................. 3Словарь основных терминов ............................................................................ 7Методические указания по изучению дисциплины ..................................... 12 Вопросы для самоконтроля ............................................................................ 14Рекомендуемая литература ............................................................................. 16

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ ....................................................... 19Общие сведения ............................................................................................... 19Словарь основных терминов .......................................................................... 22Методические указания по изучению дисциплины ..................................... 23 Вопросы для самоконтроля ............................................................................ 28Рекомендуемая литература ............................................................................. 29

ЭКОНОМЕТРИКА .................................................................................................... 31Общие сведения ............................................................................................... 31Словарь основных терминов .......................................................................... 33Методические указания по изучению дисциплины ..................................... 38 Вопросы для самоконтроля ............................................................................ 41Рекомендуемая литература ............................................................................. 43

Ульяновск, УВАУ ГА(и), 2009.


ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Математическое моделирование в последние десятилетия является самым

распространенным понятием в науке и вошло в общие методы научного по-

знания.

Основной целью изучения дисциплины «Математические модели в авиа-

ции» является формирование у обучающихся систематизированных знаний,

необходимых для изучения специальных авиационных дисциплин.

Знание данной дисциплины позволяет специалистам гражданской авиа-

ции квалифицированно осуществлять эксплуатацию бортового и наземного

оборудования, содержащего в составе программного обеспечения математи-

ческие модели, а также осваивать новые научные направления и внедрять но-

вую технику.

Изучение дисциплины «Математические модели в авиации» базируются

на знаниях, полученных при изучении дисциплин «Математика», «Физика»,

«Механика». В свою очередь, она является базовой для специальных авиаци-

онных дисциплин.

В процессе обучения предусматривается прослушивание лекций, прове-

дение практических занятий, выполнение вычислительных экспериментов

(лабораторных работ), самостоятельное выполнение контрольных работ, ре-

фератов и расчетно-графических работ в объемах и сроках, утвержденных

действующими учебными планами.

Виды отчетности и распределение учебного времени по дидактическим

единицам и темам для всех специализаций и форм обучения приведены в

табл. 1 и 2.

В. П. Глухов, А. М. Лебедев, С. П. Никонова

Математические модели в авиации. Математические методы в экономике. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2010 г 3

Таблица 1

№ п/п

Вид обучения Специализация Номер

по таблице 2 Вид

отчетности

1 Дневное 280102.65.12 – Инженерно-техническое обеспечение авиаци-онной безопасности

1 Реферат

2 Дневное 160505.65.01 – Управление воз-душным движением 2 Зачет

3 Дневное 160503.65.01 – Летная эксплуата-ция гражданских воздушных судов 3 Реферат

4 Дневное 28012.65.01 – Поисковое и аварий-но-спасательное обеспечение гра-жданской авиации

4 Реферат

5 Заочное

160505.65.01 – Управление воз-душным движением; 160503.65.01 – Летная эксплуата-ция гражданских воздушных судов

5 Зачет

6 Заочное 28012.65.01 – Поисковое и аварий-но-спасательное обеспечение гра-жданской авиации

6 Зачет

Таблица 2

№ п/п Дидактическая единица Тема дидактической

единицы Дневное обучение Заочное

обучение

1 2 3 4 5 6

1 Математическая модель Классификация 4 1 1 2 4 2

Основы математиче-ского моделирования 4 1 1 2 3 2

Методы моделиро-вания 7 1 1 2 4 2

2 Исследование операций Оптимизация и ли-нейное программи-рование

17 1 1 4 3 4

Теория игр 17 1 1 2 3 2

Динамическое про-граммирование 14 1 1 4 3 4

Ситуационная мо-дель (моделирова-ние работ)

16 1 1 18 3 18

Исследование опе-раций 8 – – – –




Продолжение табл. 2



обучение

1 2 3 4 5 6

3 Математическое модели исследования динамики

полета ВС и движения ВС как материальной точки

Вывод системы дифференциальных уравнений движения

– 4 8 – 4 –

Анализ решения сис-темы

– 2 14 – 4 –

Боковое движение и движение крена

– – 4 – 3 –

Движение ВС как ма-териальной точки

– 6 4 – 5 –

4 Законы регулирования и устойчивости ВС

Законы регулирова-ния и устойчивости ВС

– – 13 – 2 –

Автопилоты анало-говые и цифровые

– – 3 – 2 –

5 Элементы теории контроля и испытаний

Контроль и испыта-ния

– 6 5 5 2 9

Техническая диагно-стика

– 12 11 5 2 9

Достоверность – 2 3 – – –

Примеры автомати-зированных систем контроля и диагно-стики

– 2 3 – – –

6 Математические основы надежности ВС

Вероятность безот-казной работы. Ре-зервирование

4 11 6 6 – 9

Элементы теории массового обслужи-вания

3 19 3 7 – 7

Марковские случай-ные процессы

3 5 3 1 – 1

Случайные процессы 2 5 3 10 – 10




Окончание табл. 2



обучение

1 2 3 4 5 6

7 Основы рациональных вычислений

Приемы рациональ-ных вычислений и средства вычисле-ний

– 21 19 11 – –

8 Наземные и бортовые управляющие вычисли-

тельные комплексы

Функционирование УВК

2 7 6 9 4 9

Программное обес-печение УВК

1 5 3 7 3 7

Автоматизированные системы управления и контроля

2 4 – – 6

9 Применение спутниковых систем

Спутниковые систе-мы

1 1 1 4 4

Применение спутни-ковых систем в гра-жданской авиации

1 1 1 7 – 7

Итого 106 120 120 106 60 106

В результате изучения тем дисциплины «Математические модели в авиа-

ции» обучающиеся должны:

иметь представление:

− о перспективах дальнейшего развития математического моделиро-

вания в ГА;

− о технической реализации результатов математического моделиро-

вания в авиации;

знать:

− методы разработки математических моделей и их применение при

изучении базовых дисциплин специализации;

− ограничения и предельные значения, в которых математическая мо-

дель дает точные результаты;

− достоинства и недостатки применяемого для описания модели ма-

тематического метода;




уметь:

− применять полученные знания при изучении дисциплин специали-

зации;

− сформулировать требования к разработке новой математической

модели;

иметь навыки самостоятельного применения математических моделей

при изучении дисциплин специализации.

СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ

Авиационная безопасность (АБ) – состояние защищенности авиации от

незаконного вмешательства в ее деятельность, обеспечиваемое людскими и

материальными ресурсами, предназначенными для защиты гражданской

авиации от актов незаконного вмешательства.

Авиационное происшествие – любое событие, которое произошло во

время эксплуатации ВС и повлекло за собой следующее: 1) смерть или серь-

езное телесное повреждение; 2) существенное повреждение ВС, включая раз-

рушение его конструкции или необходимость в крупном ремонте ВС;

3) пропажа ВС без вести.

Авиационное событие – совокупность авиационных происшествий и ин-

цидентов.

Агрегатирование – объединение нескольких элементов в единый эле-

мент.

Адекватность модели – ситуация, когда результаты моделирования

удовлетворяют исследователя и служат основой для прогнозирования пове-

дения или свойств оригинала.

Алгоритм контроля – совокупность предписаний, определяющая после-

довательность действий исполнителей и средств контроля, необходимых и

достаточных для выполнения контроля.

Безопасность – состояние, при котором риск причинения вреда лицам

или нанесения имуществу снижен до приемлемого уровня и поддерживается




на этом либо более низком уровне посредством непрерывного процесса вы-

явления источников опасности и контроля факторов риска.

Безопасность полетов (БП), уровень безопасности полетов (УБП) –

комплексная характеристика воздушного транспорта и авиационных работ,

определяющая способность выполнять полеты без угрозы для жизни и здо-

ровья людей.

Верификация – проверка, эмпирическое подтверждение теоретических

положений науки путем сопоставления их с наблюдаемыми объектами.

Вероятность безотказной работы (ВБР) – вероятность того, что в пре-

делах заданной наработки не возникает отказа объекта.

Декомпозиция – разбиение объекта исследования на отдельные струк-

турные звенья; может быть неоднозначной и зависит от цели исследования.

Дефект – каждое отдельное несоответствие продукции установленным

требованиям.

Диагностика – область знаний, охватывающая теорию и средства опре-

деления технического состояния объектов, распознавание состояния техни-

ческой системы с глубиной «до» в условиях ограниченной информации.

Диагностическая модель – формализованное описание объекта, исполь-

зуемое для решения задач диагностирования; описание может быть аналити-

ческим, графическим, табличным, векторным.

Допусковый контроль – контроль, устанавливающий факт нахождения

действительного значения параметра относительно его предельно допусти-

мых значений без измерения значения параметра.

Достоверность – форма существования истины, обоснованной каким-

либо способом (экспериментом, логическим доказательством) для познаю-

щего субъекта.

Достоверность контроля – показатель степени объективного отображе-

ния результатами контроля (диагностирования) действительного техническо-

го состояния.

Интерфейс – совокупность физического канала связи и алгоритмов обмена.




Инцидент – любое событие, кроме авиационного происшествия, связан-

ное с использованием ВС, которое влияет или могло бы повлиять на безопас-

ность эксплуатации. Серьезным инцидентом является инцидент, обстоятель-

ства которого указывают на то, что едва не имело место авиационное проис-

шествие.

Испытание – экспериментальное определение (оценивание и / или кон-

троль) количественных или качественных характеристик свойств объекта ис-

пытаний как результата воздействия на него при его функционировании, при

моделировании объекта и воздействий.

Испытания натурные – испытания объекта в условиях, соответствую-

щих реальным.

Испытания с использованием моделей – проведение расчетов на мате-

матических или физико-математических моделях.

Классификация – система соподчиненных понятий в какой-либо области

(объектов, явлений, наук), составленная на основе общих признаков объектов

и закономерных связей между ними; позволяет ориентироваться в многооб-

разии объектов и является источником знаний.

Когнитивная модель – мысленная модель, формируемая исследователем.

Контролируемый (диагностический) параметр – параметр объекта, ис-

пользуемый при его контроле (диагностировании).

Концептуальная модель – содержательная модель, при формулировке

которой используются понятия и представления предметных областей: логи-

ко-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные

модели.

Критерий отказа – признак или совокупность признаков нарушения ра-

ботоспособного состояния объекта, установленные в нормативно-

технической документации и НД.

Критерий предельного состояния – признак или совокупность призна-

ков предельного состояния в нормативно-технической документации и НД.

Математическое моделирование – идеальное научное знаковое фор-

мальное моделирование, при которой описание объекта осуществляется на




языке математики, а исследование проводится с использованием тех или

иных математических методов.

Методология научного познания – учение о принципах построения,

формах и способах научно-исследовательской деятельности. Различают сле-

дующие уровни методологии: 1) философский уровень; 2) общенаучная ме-

тодология (системный подход, математическое моделирование, различные

типы научных исследований и их элементы: аксиома, гипотеза, объект и

предмет, цель и задачи); 3) конкретная методология данной научной дисцип-

лины (методы конкретной дисциплины).

Модель – образец какого-либо изделия, процесса, воспроизведенный в

уменьшенном масштабе; материальный или мысленно представляемый объ-

ект, который в процессе познания (изучения) заменяет объект-оригинал, со-

храняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Моделирование – использование каких-либо явлений, процессов или

систем объектов путем построения и изучения их моделей; одна их основных

категорий познания.

Надежность – 1) свойство объекта сохранять во времени в установлен-

ных пределах значения всех параметров, характеризующих способность вы-

полнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения,

технического обслуживания, хранения и транспортирования; 2) комплексная

характеристика, включающая, в зависимости от применения, безотказность,

долговечность, ремонтопригодность.

Наработка – продолжительность или объем работы объекта (объем ча-

сов, объем посадок).

Научное исследование – исследование, направленное на решение про-

блем, которые сознательно формируются как цель; носит систематический

характер.

Объект – 1) предмет (явление), на который направлена деятельность;

2) существующий вне нас и независимо от нас внешний мир; 3) то, что про-

тивостоит субъекту.




Объективность – соответствие объективной действительности, беспри-

страстность, непредвзятость.

Оптимальность – решение задачи, обеспечивающее наилучшее значение

некоторого критерия при заданных ограничениях.

Оптимальный – наилучший, наиболее благоприятный.

Оригинал – изучаемый процесс, явление, технический объект, для изуче-

ния которого создается математическая модель.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состоя-

ния объекта.

Программа – четкая последовательность шагов, направленная на дости-

жение какого-либо результата.

Риск – математическое ожидание социально-экономического ущерба;

вычисляется по формуле ∑=

==n

iiYQyMR

11)( , где Qi – вероятность риска, Yi –

ущерб риска; существует матрица риска.

Синтез – сочетание, соединение различных элементов; в теоретическом

или научном знании выступает как взаимосвязь теорий, относящихся к еди-

ной предметной области, как объединение конкурирующих теорий.

Система – целое, составленное из частей, множество, закономерно свя-

занных друг с другом элементов, явлений, представляющее собой опреде-

ленное целостное образование.

Системный подход – направление методологии научного познания, в ос-

нове которого лежит рассмотрение объектов как систем, ориентирует иссле-

дователя на раскрытие целостности объекта, выявление многообразных ти-

пов связей в нем и сведение их в единую теоретическую картину; является

основой системного анализа.

Стратегия – общий план какого-либо действия, важный для достижения

общих, генеральный целей.

Субъективность – то, что свойственно субъекту, или то, что зависит от

деятельности субъекта.

Теория – комплекс взглядов, представлений, идей.




Эмерджентность – возникновение нового качества при объединении

элементов в систему.

Эргатические системы – сложная система управления, составным эле-

ментом которой является человек-оператор (или группа операторов), напри-

мер, управление самолетом, диспетчеризация.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Математическая модель

При изучении данной дидактической единицы необходимо уяснить цели

моделирования, понятие модели и оригинала. Следует изучить классифика-

цию моделей, ознакомиться с методами научного познания мира и места ма-

тематического моделирования в этих методах, затем рассмотреть различные

классификации математических методов. Важно понять термины адекватно-

сти математической модели и ее точности

Рекомендуемая литература: [3], [14].

Исследование операций

При изучении данной дидактической единицы необходимо повторить извест-

ные из курса математики математические методы, уделив особое внимание рас-

смотрению областей математики, которые близки Вашей специализации.

Рекомендуемая литература: [3], [4], [5], [10], [20].

Математические модели исследования динамики полета ВС

и движения ВС как материальной точки

При изучении данной дидактической единицы следует вспомнить соот-

ветствующие разделы, изучаемые в аэродинамике. Особое внимание следует




уделить рассмотрению процесса линеаризации уравнений движения ВС. Не-

обходимо научиться решать задачу вычисления переходного процесса ВС.

Рекомендуемая литература: [9], [14], [17].

Законы регулирования и устойчивости ВС

На материалах данной дидактической единицы основываются знания ра-

боты системы автоматического управления или автопилота. Необходимо ус-

воить понятие устойчивости ВС.

Рекомендуемая литература: [9], [14].

Элементы теории контроля и испытаний

Понятия данной дидактической единицы являются базовыми для системы

понятий, связанных с эксплуатацией воздушного транспорта и принятия ре-

шения о парировании пилотом особых ситуаций. Этому процессу посвящен

раздел «Техническая диагностика». Особое внимание следует уделить рас-

смотрению понятия достоверности, вероятности рисков заказчика и изгото-

вителя, дерева отказов (дендрит). Следует остановиться на примерах систем

автоматизированного контроля и диагностики.

Рекомендуемая литература: [7], [9], [11], [13], [15], [19].

Математические основы надежности ВС

Материал данной дидактической единицы имеет практическую значи-

мость для будущей профессиональной деятельности, поэтому необходимо

внимательно ознакомиться с основными понятиями и определениями. Особое

внимание следует уделить рассмотрению теории вероятностей и математиче-

ской статистики, а затем обратиться к техническим приложениям.

Рекомендуемая литература: [4], [5], [12].




Основы рациональных вычислений

Изучение данной дидактической единицы направлено на повторение ос-

нов оценочных вычислений в уме и будет особенно полезно.

Рекомендуемая литература: [16].

Наземные и бортовые управляющие вычислительные комплексы

Введение данной дидактической единицы обусловлено тем, что УВК яв-

ляются техническим средством, реализующим математические модели. Из-

ложение этих комплексов на базе ролевой игры позволяет достаточно просто

освоить этот сложный раздел современной техники.

Рекомендуемая литература: [6]–[8], [18], [19].

Применение спутниковых систем

При изучении данной темы необходимо рассмотреть причины и особенно-

сти использования математических моделей спутниковой навигации в граждан-

ской авиации, проанализировать перспективу развития этого явления.

Рекомендуемая литература: [7].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое модель и оригинал?

2. Что такое модель и моделирование?

3. В каких областях человеческой деятельности применяются математи-

ческие модели?

4. Назовите существующие типы моделирования.

5. Чем отличается моделирование натуральное от мысленного?

6. Назовите характерные особенности аналоговых моделей?

7. Что такое когнитивная модель?




8. Назовите разновидности содержательных моделей.

9. Чем концептуальная модель отличается от содержательной?

10. Что такое формальная модель?

11. Какое моделирование называется математическим?

12. Какие примеры математических моделей Вам известны?

13. По каким классификационным признакам можно разделять математи-

ческие модели?

14. Чем отличаются линейные и нелинейные модели?

15. Для каких целей служит оптимизационная модель?

16. Как влияет размерность задачи на сложность модели?

17. Чем отличаются стационарные и нестационарные модели?

18. Охарактеризуйте дескриптивную модель.

19. Охарактеризуйте прогностическую модель.

20. Что такое имитационная модель?

21. Что такое адекватность математической модели?

22. Что такое подобие объектов?

23. Для чего служит критерий оптимальности в задаче оптимизации?

24. Чем определяется точность моделирования?

25. Перечислите способы снижения размерности задачи на примере раз-

деления системы дифференциальных уравнений движения ВС на продоль-

ное, боковое движение и движение крена.

26. Последовательное и параллельное соединение элементов в схеме на-

дежности.

27. Укажите виды резервирования.

28. Вывод расчетных формул при различных видах резервировании.

29. Прогнозирование авиационных происшествий на основе математиче-

ских моделей, основанных на цепях Маркова.

30. Вычислительные комплексы, устройства ввода – вывода, центральный

модуль обмена.

31. Модули выдачи команд управления, система аппаратных прерываний,

постоянные запоминающиеся устройства.




32. Работа управляющего вычислительного комплекса в нормальном и

аварийном режимах.

33. Работа управляющего вычислительного комплекса в режимах управ-

ления, контроля, диагностики и конфигурации.

34. Программа-диспетчер (супервизор) и циклопрограмма работы управ-

ляющего вычислительного комплекса.

35. Расчет переходных процессов ВС при малых отклонениях.

36. Элементы теории контроля и испытаний.

37. Прогнозирование технического состояния ВС (линейная и нелиней-

ная модели).

38. Ошибки контроля 1-го и 2-го рода. Дефект допусков. Риск заказчика и

риск изготовителя.

39. Анализ решений системы движения ВС.

40. Линеаризация или варьирование уравнений движения ВС.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Белов, П.Г. Системный анализ и моделирование опасных процессов в

техносфере : учеб. пособие / П.Г. Белов. – М. : Академия, 2003. – 512 с.

2. Бочкарев, В.В. Автоматизированное управление движением авиацион-

ного транспорта / В.В. Бочкарев, Г.А. Крыжановский, Н.Н. Сухих. – М. :

Транспорт, 1999. – 319 с.

3. Введение в математическое моделирование : учеб. пособие / под ред.

П.В. Трусова. – М. : Университетская книга : Логос, 2007. – 440 с.

4. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М. : Наука,

1964. – 576 с.

5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика :

учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. − M. : Высшая школа, 2005. – 479 с.




6. Лебедев, А.М. Метод расчета ожидаемого предотвращения ущерба от

авиационных происшествий : монография / А.М. Лебедев. – Ульяновск :

УВАУ ГА, 2007. – 155 с.

7. Лебедев, А.М. Теория и методы синтеза интегрированных систем диаг-

ностического управления, контроля и испытаний бортовых систем и ком-

плексов воздушного судна в целях обеспечения летной годности и безопас-

ности полетов : монография / А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2005. –

238 с.

8. Ломанцов, Б.Н. Бортовая автоматизированная система контроля само-

лета Ан-124-100 (БАСК-124) : учеб. пособие / Б.Н. Ломанцов, А.М. Лебедев,

В.С. Мехоношин. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2003. – 113 с.

9. Остославский, И.В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость

летательных аппаратов / И.В. Остославский, И.Б. Стажева. – М. : Машино-

строение, 1965. – 476 с.

10. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : в 2 т /

Н.С. Пискунов. – М. : Наука, 1978.

Т. 1. – 418 с.

Т. 2. – 544 с.

Дополнительная

11. Биргер, И.А. Техническая диагностика / И.А. Биргер. – М. : Машино-

строение, 1978. – 240 с.

12. Контроль автоматизированный технического состояния изделий авиа-

цинной техники. Термины и определения : ГОСТ 19919-74. – Введ.

01.07.1975.

13. Контроль и испытания. Термины и определения : ГОСТ 16504-81. –

Взамен ГОСТ 16504-74; введ. 01.01.91.

14. Кубланов, М.С. Математическое моделирование : учеб. пособие /

М.С. Кубланов.– М. : МГТУ ГА, 1996. – 96 с.

15. Техническая диагностика. Термины и определения : ГОСТ 20911-89. –

Взамен ГОСТ 20911-75; введ. 01.01.91.

Методические материалы и технические средства




обучения и контроля знаний

16. Имитационная модель определения оптимального маршрута : метод.

указания к лаб. работе / сост. А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2008. –

11 с.

17. Математика и оптимизация процессов управления (сопроводительный

текст к диапозитивам) : диафильм / В.Г. Болтянский. – М. : Знание, 1980.

18. Математическая модель определения расстояния между воздушными

судами при их наибольшем сближении : метод. указания к лабораторной ра-

боте / сост. А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2007. – 14 с.

19. Основы рациональных вычислений : учеб. пособие / сост. А.М. Лебе-

дев, Н.А. Юганова. – Ульяновск : УВАУ ГА, 1999. – 31 с.

20. Структурные модели функционирования бортовых и наземных систем

автоматизированного управления и контроля : метод. указания к ролевой иг-

ре / сост. А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2008. – 14 с.






В настоящее время наблюдается бурный рост математических методов во всех областях практики, в том числе и в экономике. Математика начинает все больше использоваться в других, кроме естественных, науках, так как ее ме-тоды позволяют глубже проникнуть в сущесность явления, проследить его закономерности, обнаружить скрытые связи, малодоступные наблюдению простым, невооруженным взглядом. Математические методы можно рас-сматривать как достаточно эффективное средство структурированного, более компактного и обозримого представления имеющейся информации. Анализ результатов математической обработки данных зачастую позволяет выска-зать некоторые рекомендации относительно тех или иных способов действия.

«Испытанный метод проб и ошибок в наши дни часто теряет свою уни-версальность: слишком катастрофическими могут оказаться ошибки и слиш-ком мало времени отпущено для проб. Становится все более ясным, что се-годня меньше, чем когда-либо ранее, допустимы произвольные, чисто воле-вые решения» ([5], с. 12–13).

Следует отметить, что математические методы способны эффективно ре-шать те задачи, которые изложены на ее языке. К сожалению, многие задачи экономики, управления слабо формализованы, что затрудняет использование математических методов.

В процессе изучения дисциплины «Математические методы в экономике» предусматривается прослушивание лекций, проведение практических заня-тий, подготовка и выступление с докладами, выполнение контрольных и рас-четно-графических работ в объемах и сроках, утвержденных действующими учебными планами.




Виды отчетности и распределение учебного времени по темам и видам занятий для курсантов и студентов заочной формы обучения приведены ниже в табл. 3 и 4.

Таблица 3

№ п/п

Форма и срок обучения

Аудиторные занятия Самостоятельная

работа Вид

отчетности лекции

практич. занятия

1 ОФО, 5 лет 30 30 40 КР, зачет

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 12 – 88 зачет

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 8 – 72 зачет

4 ЗФО, 3 года 8 6 86 КР, зачет

Таблица 4

№ п/п Форма и срок обучения


работа лекции практические занятия

Введение

1 ОФО, 5 лет 1 – – 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 0,5 – –

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 0,5 – – 4 ЗФО, 3 года 0,5 – –

Тема 1. Решение систем линейных уравнений и неравенств 1 ОФО, 5 лет 4 8 6

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 8 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 3 4 ЗФО, 3 года 1 1 8

Тема 2. Применение методов математического анализа 1 ОФО, 5 лет 4 4 6

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 8 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 3

4 ЗФО, 3 года 1 1 8 Тема 3. Методы оптимального планирования на транспорте

1 ОФО, 5 лет 3 2 4 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 6

4 ЗФО, 3 года 1 – 10




Окончание табл. 4

№ п/п Форма и срок обучения


работа лекции практические занятия

Тема 4. Линейное программирование

1 ОФО, 5 лет 6 4 6

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 10

4 ЗФО, 3 года 1 1 10

Тема 5. Задачи целочисленного программирования

1 ОФО, 5 лет 2 2 4

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1,5 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 10

4 ЗФО, 3 года 1 – 10

Тема 6. Проблема оптимизации дискретных процессов

1 ОФО, 5 лет 2 2 4

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 0,5 – 10

4 ЗФО, 3 года 0,5 1 10

Тема 7. Динамическое программирование

1 ОФО, 5 лет 4 4 4

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. – – 10

4 ЗФО, 3 года – 1 10

Тема 8. Некоторые математические модели

1 ОФО, 5 лет 2 2 4

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 10

4 ЗФО, 3 года 1 1 10

Тема 9. Элементы теории исследования операций и теории игр

1 ОФО, 5 лет 2 2 2

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 1 – 10

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 10

4 ЗФО, 3 года 1 – 10




В результате изучения дисциплины «Математические методы в экономи-

ке» обучающиеся должны:

знать:

− основные определения, теории, правила;

− основные математические методы;

− методы математического исследования некоторых экономических

задач;

− примеры применения математических методов к решению управ-

ленческих задач;

− основы математического моделирования;

уметь:

− применять основные математические методы исследования и реше-

ния прикладных математических задач;

− самостоятельно разбираться в математическом аппарате, применяе-

мом в специальной литературе, необходимой при овладении профессией;

− анализировать математические модели и их результаты;

иметь навыки употребления математической символики для выражения

количественных и качественных отношений исследуемых объектов.


Динамическое программирование – математический аппарат, позво-

ляющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляе-

мых процессов и процессов, зависящих от времени.

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыска-

ния наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные

которой наложены линейные ограничения.

Линейность – свойство математических выражений и функций. Напри-

мер, выражение вида ах + bу, где х и у – переменные величины, а и b – посто-

янные числа, называется линейным относительно переменных х и у.




Математическая модель – формализованная, переведенная на язык ма-

тематики экономическая или другая задача.

Нелинейное программирование – наука о методах исследования и оты-

скания наибольших и наименьших значений функции, на неизвестные кото-

рой наложены ограничения, при этом либо сама функция, либо система огра-

ничений, либо и то, и другое вместе не удовлетворяют условиям линейности.

Операция – система действий, объединенных общим замыслом (управ-

ляемое целенаправленное мероприятие).

Решение системы линейных уравнений или неравенств – упорядочен-

ный набор чисел, при подстановке которого в данную систему все уравнения

или неравенства становятся верными.

Стратегия – план игрока, по которому он совершает выбор в любой воз-

можной ситуации и при любой возможной фактической информации.

Теория игр – теория математических моделей, интересы участников ко-

торых различны, причем они достигают своей цели различными путями.

Транспортная задача – задача оптимального планирования грузопотоков

и работы различных видов транспорта.

Управление – организация, в том числе и технологическая, той или иной

осмысленной деятельности для достижения каких-либо целей.

Фундаментальная система решений – базис во множестве решений сис-

темы линейных уравнений.

Целочисленное программирование – линейное программирование, в

котором наложено условие целочисленности.



Тема 1. Решение систем линейных уравнений и неравенств

При изучении решений систем линейных уравнений и неравенств с n не-

известными особое внимание следует уделить установлению совместности




или несовместности системы, нахождению общего решения, определению

свободных и базисных неизвестных, поиску фундаментальной системы ре-

шений.

Сначала необходимо рассмотреть системы с двумя неизвестными, допус-

кающие наглядную геометрическую иллюстрацию. При решении систем ли-

нейных неравенств с тремя неизвестными геометрическая иллюстрация ста-

новится затруднительной, а с большим числом неизвестных и просто невоз-

можной. Поэтому далее на нескольких примерах необходимо изучить спосо-

бы решения системы линейных неравенств.

В заключение следует рассмотреть способы решений систем линейных

неравенств путем сведения их к системам линейных уравнений, но с боль-

шим числом неизвестных.

Рекомендуемая литература: [5], с. 81–108.

Тема 2. Применение методов математического анализа

Современное производство, конструирование и создание аппаратов и

процессов с высокой степенью автоматизации требуют знаний математиче-

ского аппарата, позволяющего в большинстве случаев находить приемлемое

решение экономических задач. Основой для применения методов прикладной

математики в практике является математическая модель, в рамках которой

формализуются доступные для анализа закономерности функционирования

изучаемых объектов и которая соединяет практическую задачу с аппаратом

прикладной математики. При изучении данной темы необходимо научиться

переводить реальные задачи на математический язык и решать их с помощью

методов математического анализа. Проблема оптимизации, то есть задача на-

хождения максимумов или минимумов экономических функций, весьма ус-

пешно решается с помощью производных. Многие задачи экономики реша-

ются с использованием методов интегрального исчисления, например, нахо-

ждение добавочной выгоды, определение процентной ставки.

Рекомендуемая литература: [2], с. 4–12; [5], с. 109–135; [7].




Тема 3. Методы оптимального планирования на транспорте

При изучении данной темы следует ознакомиться с конкретными резуль-

татами приложений математических методов в решении задач транспортной

отрасли. В настоящее время оптимизация принадлежит к числу наиболее

разработанных разделов прикладной математики, обладающих мощным ар-

сеналом методов, которые находят все более полное и глубокое применение

практически во всех отраслях народного хозяйства, в том числе и на транс-

порте. Следует проанализировать ряд транспортных задач, например, рас-

пределение воздушных судов для обеспечения воздушных перевозок. Особое

внимание следует уделить рассмотрению способов составления первого

опорного плана и методов решения замкнутой транспортной задачи, незамк-

нутую модель задачи.

Рекомендуемая литература: [1], с. 179–222; [2], с. 37–53; [6], [9].

Тема 4. Линейное программирование

Линейное программирование является одним из разделов математического

программирования, занимающегося изучением методов поиска экстремумов

функций на множествах n-мерного векторного пространства. В линейном про-

граммировании на экстремум исследуются линейные функции на множествах,

задаваемых системой линейных уравнений и неравенств. При изучении дан-

ной темы следует рассмотреть способы решения задач геометрическим мето-

дом, определить его преимущества и недостатки. Далее необходимо изучить

основы симплекс-метода, законы построения симплекс-таблиц, провести ана-

лиз влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное реше-

ние задачи линейного программирования (анализ чувствительности). Анализ

чувствительности следует проводить в простейшем случае, допускающем

графическое решение, при изменении коэффициентов целевой функции, изме-

нении значений констант в правой части системы ограничений.

Рекомендуемая литература: [1], с. 26–126; [5], с. 65–78.




Тема 5. Задачи целочисленного программирования

Целочисленное линейное программирование ориентировано на решение

задач линейного программирования, в которых все или некоторые перемен-

ные должны принимать целочисленные значения. При изучении данной темы

следует описать тот класс задач, для которых известны алгоритмы получения

оптимального решения. По мнению многих специалистов, эффективных ал-

горитмов для решения этих задач не существует. Несмотря на интенсивные

исследования, проводимые на протяжении последних десятилетий, извест-

ные вычислительные методы решения задач целочисленного программиро-

вания далеки от совершенства. Тем не менее следует рассмотреть простые

практические задачи, которые сводятся к задачам целочисленного програм-

мирования, например, задачу распределения капиталовложений, задачу о за-

грузке воздушного судна грузами нескольких типов.


Тема 6. Проблема оптимизации дискретных процессов

Многие экономические задачи характеризуются тем, что объемы управ-

ляемых ресурсов могут принимать только целые значения. В общем виде за-

дача дискретного программирования может быть сформулирована как задача

нахождения максимума (минимума) целевой функции f(x 1 , x 2 , …, x т ), где на

x 1 , x 2 , …, x т накладывается условие дискретности. В некоторых ситуациях

требование «целочисленности» может быть наложено лишь на некоторые пе-

ременные, что радикально не меняет характера задачи. Принципиальная

сложность, вызываемая наличием условий целочисленности в системе огра-

ничений оптимизационной задачи, состоит в том, что в значительном коли-

честве случаев невозможно заменить дискретную задачу ее непрерывным

аналогом и, найдя соответствующее решение, округлить его компоненты до

ближайших целых значений. Тем не менее при изучении данной темы следу-

ет познакомиться с некоторыми методами (метод ветвей и границ, метод




отсекающих плоскостей), которые начинают работать с оптимальным реше-

нием обычной (непрерывной) задачи и получают приемлемое решение.


Тема 7. Динамическое программирование

Динамическое программирование определяет оптимальное решение

n-мерной задачи путем ее декомпозиции на n этапов, каждый из которых

представляет подзадачу относительно одной переменной. Вычислительное

преимущество такого подхода состоит в том, что мы занимаемся решением

одномерных оптимизационных подзадач вместо большой n-мерной задачи.

При изучении данной темы следует рассмотреть понятие оптимальности как

фундаментальный принцип динамического программирования, составляю-

щий основу декомпозиции задачи на этапы. Так как природа каждого этапа

решения зависит от конкретной оптимизационной задачи, динамическое про-

граммирование не предлагает вычислительных алгоритмов непосредственно

для каждого этапа. Вычислительные аспекты решения оптимизационных

подзадач на каждом этапе проектируются и реализуются по отдельности

(что, конечно, не исключает применения единого алгоритма для всех этапов).

В качестве примера следует рассмотреть упрощенную задачу нахождения

оптимальной траектории полета летательного аппарата.


Тема 8. Некоторые математические модели

Изучение данной темы следует начать с рассмотрения понятия математи-

ческой модели, требований, предъявляемых к ним. Далее следует ознако-

миться с обзором видов моделирования, этапами математического моделиро-

вания. Построение математической модели означает перевод формализован-

ной задачи на четкий язык математических соотношений. Особое внимание




следует уделить рассмотрению известных математических моделей, исполь-

зуемых при решении некоторых экономических задач авиации.

Рекомендуемая литература: [4]; [5], с. 81–108.

Тема 9. Элементы теории исследования операций и теории игр

Цель изучения данной темы – познакомиться со сравнительно молодыми

науками «Исследование операций» и «Теория игр», приобретающих в по-

следние годы все более широкое применение. Потребности практики вызвали

к жизни специальные научные методы, которые удобно объединить под на-

званием «исследование операций». Под этим термином следует понимать

применение математических, количественных методов для обоснования ре-

шений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Ис-

следование операций – своеобразное «примеривание» будущих решений, по-

зволяющих экономить время, силы и материальные средства, избегать серь-

езных ошибок. Необходимо рассмотреть типичные задачи исследования опе-

раций, позволяющих принимать решения в условиях неопределенности. Сле-

дует познакомиться с простейшими задачами теории игр, то есть с задачами,

имитирующими конфликтные ситуации.

Рекомендуемая литература: [5], с. 81–108, 514–561.


1. Дайте понятие системы линейных уравнений, неравенств.

2. Что такое решение системы линейных уравнений, неравенств?

3. Дайте понятие совместности, несовместности системы линейных урав-

нений, неравенств.

4. Дайте определение фундаментальной системы решений системы ли-

нейных уравнений.

5. Какие неизвестные называются свободными, а какие базисными?

6. Назовите методы решения систем линейных уравнений, неравенств.




7. Постановка задачи нахождения оптимального решения.

8. Назовите типы оптимизационных задач.

9. Сформулируйте задачи, приводящие к линейному программированию.

10. В чем состоит графический метод решения задач линейного програм-

мирования?

11. Опишите симплекс-метод.

12. В чем суть задач целочисленного программирования?

13. Дайте определение экстремума функции.

14. Сформулируйте условия транспортной задачи.

15. Опишите методы составления первого опорного плана транспортной

задачи.

16. Опишите метод потенциалов решения транспортной задачи.

17. В чем суть метода динамического программирования?

18. Охарактеризуйте понятие математической модели.

19. Расскажите об известных методах решения экономических задач.

20. Опишите известные математические модели.

21. Укажите предмет и методы изучения исследования операций.

22. Что это такое теория игр?


Основная

1. Андронов, А.М. Математические методы планирования и управления

производственно-хозяйственной деятельностью предприятий гражданской

авиации / А.М. Андронов, А.Н. Хижняк. – М. : Транспорт, 1977. – 166 с.

2. Богомолова, И.В. Математические методы в экономике : учеб.-метод.

пособие / И.В. Богомолова, В.П. Глухов, А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ

ГА, 2005. – 81 с.

3. Горшков, А.Ф. Компьютерное моделирование менеджмента :

учеб.-метод. пособие / А.Ф. Горшков, Б.В. Евстеев; под общ. ред. Н.П. Ти-

хомирова. – М. : Экзамен, 2004. – 528 с.




4. Дорохина, Е.Ю. Моделирование микроэкономики : учеб. пособие для

вузов / Е.Ю. Дорохина, М.А. Халиков; под общ. ред. Н.П. Тихомирова. – М. :

Экзамен, 2003. – 224 с.

5. Шикин, Е.В. Математические методы и модели в управлении /

Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – М. : Дело, 2004. – 440 с.


6. Беленький, А.С. Прикладная математика в народном хозяйстве /

А.С. Беленький. – М. : Знание, 1985. – 57 с.

7. Беленький, А.С. Совершенствование планирования в транспортных

системах / А.С. Беленький. – М. : Знание, 1988. – 62 с.

8. Болтянский, В.Г. Оптимальное управление дискретными системами /

В.Г. Болтянский. – М. : Наука, 1973. – 448 с.

9. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. – М. :

ИНФРА-М, 1999. – 400 с.

10. Петров, В.А. Математический анализ в производственных задачах /

В.А. Петров. – М. : Просвещение, 1990. – 62 с.






Целью изучения дисциплины «Эконометрика» является формирование у

обучающихся знаний, необходимых для определения возможностей использо-

вания эконометрических моделей при описании, анализе и прогнозировании

реальных экономических процессов, а также дальнейшее развитие навыков

применения математических методов в экономике, совершенствование мате-

матического мышления и математической культуры будущего специалиста.

Изучение дисциплины «Эконометрика» базируется на знаниях, получен-

ных при освоении математики, теории вероятностей и математической стати-

стики, и опирается на специальные курсы «Микроэкономика», «Макроэко-

номика», «Статистика».

В свою очередь, эконометрика является одной из базовых дисциплин со-

временного экономического образования. Если в период централизованной

плановой экономики упор делался на балансовые и оптимизационные мето-

ды исследования, описание системы функционирования социалистической

экономики, построение оптимизационных моделей отраслей и предприятий,

то в период перехода к рыночной экономике возрастает роль эконометриче-

ских методов. Без знания этих методов невозможно ни исследование и теоре-

тическое обобщение эмпирических зависимостей экономических перемен-

ных, ни построение сколько-нибудь надежного прогноза в банковском деле,

финансах или бизнесе.

В процессе обучения предусматривается прослушивание лекций, прове-

дение практических занятий, самостоятельное выполнение контрольных ра-

бот (КР), рефератов и типовых расчетов (ТР) в объемах и сроках, утвержден-

ных действующими учебными планами.




Распределение учебного времени по дидактическим единицам (темам) и видам занятий, а также формы отчетности для курсантов и студентов заочной формы обучения приведены в табл. 5.

Таблица 5

№ п/п

Форма и срок обучения


работа Вид

отчетности лекции практические занятия

Тема 1. Определение эконометрики

1 ОФО, 5 лет 2 – 2 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 6 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 4

4 ЗФО, 3 года 1 – 5 Тема 2. Некоторые сведения из теории вероятности и математической статистики

1 ОФО, 5 лет 4 4 4 ТР 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 15

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 10 4 ЗФО, 3 года 1 – 15

Тема 3. Парная линейная регрессия 1 ОФО, 5 лет 6 8 10 КР

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 22 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 2 – 13 4 ЗФО, 3 года 2 2 21

Тема 4. Множественная регрессия 1 ОФО, 5 лет 6 6 8

2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 15 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 2 – 15

4 ЗФО, 3 года 2 2 15 Тема 5. Нелинейная регрессия. Виды нелинейной регрессии

1 ОФО, 5 лет 6 6 8 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 15 3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 15

4 ЗФО, 3 года 1 – 15 КР Тема 6. Моделирование одномерных временных рядов

1 ОФО, 5 лет 6 6 8 Зачет 2 ЗФО, 5 лет 6 мес. 2 – 15 Зачет

3 ЗФО, 3 года 10 мес. 1 – 15 Зачет 4 ЗФО, 3 года 1 2 15 Экзамен




В результате изучения дисциплины обучающиеся должны:

знать:

− основные определения, концепции, правила эконометрики;

− методы построения базовых эконометрических моделей;

− методы математического исследования некоторых экономических

задач;

− примеры применения математических и эконометрических методов

к решению управленческих задач;

уметь:

− применять основные математические методы исследования и реше-

ния прикладных задач;

− самостоятельно разбираться в математическом аппарате, применяе-

мом в специальной литературе, необходимой при овладении профессией;

иметь навыки:

− употребления математической символики для выражения количест-

венных и качественных отношений исследуемых экономических объектов;

− принятия решений о спецификации и идентификации эконометри-

ческой модели, выбора метода оценки параметров модели, интерпретации

результатов, получения прогнозных оценок.


Автокорреляционная функция временного ряда – последовательность

коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная зависимость между

последовательными уровнями временного ряда.

Аналитическое выравнивание временного ряда – построение аналити-

ческой функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или

тренда.




Временной ряд – ряд произведенных в последовательные промежутки

времени наблюдений за значениями одной и той же анализируемой случай-

ной величины (ежегодные финансовые отчеты предприятия, ежемесячные

отчеты о проделанной работе и др.). Аддитивная модель временного ряда оп-

ределяется по формуле У = Т + S + E, мультипликативная модель вычисля-

ется по формуле ТSE=У , где Т – трендовая компонента временного ряда, S –

сезонная компонента временного ряда, Е – случайная компонента временно-

го ряда.

Изокванта – предельная норма заменяемости одного фактора другим.

Изоклинал – множество сочетаний значений показателей-факторов, при

которых предельная норма заменяемости принимает одно и то же значение.

Коррелограмма – график зависимости значений автокорреляционной

функции от величины лага.

Коэффициент детерминации – число 2xyr , характеризующее долю дис-

персии результативного признака у, объясняемую регрессией.

Коэффициент регрессии – параметр b уравнения линейной регрессии,

задающий среднее изменение результата с изменением фактора на одну еди-

ницу и вычисляемый по формуле 22 xxyxxyb

−

−= .

Коэффициент эластичности – показатель, выражающий, на сколько

процентов изменится результативный признак, если данный фактор-признак

изменится на 1 %, а остальные факторы останутся неизменными. Коэффици-

ент эластичности для парной регрессии вычисляется по формуле Э =yxxf )(′ ,

где xyxf ˆ)( = ; коэффициент эластичности для множественной регрессии оп-

ределяется по формуле yx

xyÝ i

ixi

⋅∂∂

= .

Лаг – величина, характеризующая запаздывание в воздействии фактора

на результат.

Лаговые переменные – временные ряды факторных переменных, сдви-

нутые на один момент времени и более.




Линейный коэффициент корреляции – показатель тесноты связи между

признаками x и y, вычисляемый по формуле yxy

xxy

yxxybrσσ−

=σσ

= .

Метод максимального правдоподобия (ММП) – правило отыскания

оценок параметров, максимизирующих т.н. функцию правдоподобия, выра-

жающую собой плотность вероятности совместного появления результатов

выборки; при этом должен быть известен вид закона распределения вероят-

ностей имеющихся выборочных данных.

Метод наименьших квадратов (МНК) – правило для получения оценок

неизвестных коэффициентов модели парной или множественной регрессии,

при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результа-

тивного признака от расчетных (теоретических) минимальна:

min)ˆ( 2 →−∑ xyy .

Множественная регрессия – модель с большим количеством факторов,

задаваемая уравнением ε+= yy ˆ , где ),...,,(ˆ 21 pxxxfy = . Линейная форма

уравнения множественной регрессии имеет вид

ε+++++= pp xbxbxbay ...2211 , где ib – коэффициенты регрессии.

Модели авторегрессии – модели, содержащие в качестве факторов лаго-

вые значения зависимой переменной.

Модель бинарного выбора – зависимая переменная, которая может при-

нимать только два значения.

Модель с распределенным лагом – модель, содержащая не только те-

кущие, но и лаговые значения факторных переменных:

tptpttt xbxbxbay ε+++++= −− ...110 , где 0b – краткосрочный мультиплика-

тор, lbbbb +++= ...10 – долгосрочный мультипликатор, показывающий аб-

солютное изменение в долгосрочном периоде (t + l) результата у под влияни-

ем изменения на единицу фактора х.

Нелинейные регрессионные модели – эконометрические модели, выра-

жающие нелинейные отношения между экономическими явлениями. Различают

модели нелинейной регрессии по включенным в них объясняющим перемен-




ным ( ,2 ε+++= cxbxay ,32 ε++++= dxcxbxay ε++=xbay ) и модели, не-

линейные по оцениваемым параметрам ( ε= baxy , ε⋅⋅= xbay , ε= +bxaey ).

Парная (простая) регрессия – регрессия между фактор-признаком и ре-

зультатом, описываемая уравнением ε+= xyy ˆ , где y – фактическое значение

результативного признака, )(ˆ xfyx = – его теоретическое значение, ε – слу-

чайная величина, характеризующая отклонение реального значения резуль-

тативного признака от теоретического (т.н. возмущение).

Производственная функция – функция, определяющая зависимость ме-

жду набором факторов производства и максимально возможным объемом

продукта, производимым с помощью данного набора факторов:

ε⋅⋅⋅= mbm

bb FFFаР ...212`1 , где Р – количество продукта, изготавливаемого с по-

мощью m производственных факторов F1, …, Fm, bi – эластичность количест-

ва продукции по отношению к количеству соответствующего фактора Fi..

Пространственные данные – данные по какому-либо экономическому

показателю, полученные для разных однотипных объектов (фирм, компаний,

регионов и т.д.).

Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо величины от не-

которой другой величины.

Результативный признак (объясняемая переменная, результирующая

переменная, эндогенная переменная) – зависимая переменная в регрессион-

ном анализе, характеризующая результат функционирования анализируемой

экономической системы.

Система одновременных уравнений – набор взаимосвязанных регрес-

сионных моделей, в которых одни и те же переменные в различных уравне-

ниях системы могут одновременно играть роль результирующих и объяс-

няющих переменных.




Средняя ошибка аппроксимации – характеристика качества регресси-

онной модели, соответствия расчетных и фактических данных, определяемая

по формуле ∑ ⋅−

= %100ˆ1

yyy

nA x .

Статистическая значимость (существенность) уравнения регрессии –

проверка соответствия математической модели, выражающей зависимость

между переменными, экспериментальным данным. Оценка значимости про-

изводится на основе дисперсионного анализа с использованием чаще всего

F-критерия Фишера или t-статистики Стьюдента.

Тренд – зависимость от времени линейного, квадратичного или иного ти-

па или очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Различают btayt += – линейный тренд, tbayt += – гиперболический

тренд, btaty += e – экспоненциальный тренд, b

t aty = – тренд степенного ха-

рактера.

Уравнение парной линейной регрессии – уравнение вида bxayx +=ˆ ,

позволяющее по заданным значениям фактора х находить теоретические зна-

чения результативного признака.

Фактор-признак (объясняющая переменная, регрессор, экзогенная пере-

менная) – независимая переменная, случайная или неслучайная по своей при-

роде, описывающая функционирование изучаемой экономической системы.

Эконометрика – наука о применении статистических и математических

методов в экономическом анализе для проверки правильности экономиче-

ских теоретических моделей и способов решения экономических проблем.

Эконометрическое моделирование – процесс построения математиче-

ских моделей задач экономической теории, основными видами которых яв-

ляются модели временных рядов, регрессионные модели (с одним уравнени-

ем), системы одновременных уравнений.






Тема 1. Определение эконометрики

Прежде всего, целесообразно изучить цели и задачи дисциплины, уяснить

понятие «эконометрия». Необходимо ознакомиться с историей возникнове-

ния и развития эконометрики как самостоятельной науки, именами экономи-

стов и математиков, сыгравших ключевую роль в ее становлении, направле-

ниями их исследований. Следует обратить внимание на особенности эконо-

метрического метода, сложившегося в преодолении отдельных факторов,

приводящих к искажению результатов применения классических статистиче-

ских методов, изучить этапы типичного эконометрического исследования,

отметить особую роль измерений и представлений о точности (адекватности

измерения) в экономике.


Тема 2. Некоторые сведения из теории вероятности

и математической статистики

Для успешного освоения дисциплины «Эконометрика» необходимы

прочные знания основ теории вероятностей и математической статистики.

Поэтому при изучении данной темы следует повторить ряд основополагаю-

щих понятий, формул, фактов, служащих для обоснования методов и средств

эконометрики и используемых при решении задач экономического характе-

ра: событие, вероятность, случайная величина, конкретные дискретные и не-

прерывные распределения, функция и плотность распределения случайной

величины, числовые характеристики случайных величин, многомерные слу-

чайные величины, корреляционный момент и коэффициент корреляции пары

случайных величин, генеральная совокупность, выборка, статистическое

распределение, основные функциональные и числовые характеристики




статистических распределений, точечные и интервальные оценки статисти-

ческих распределений, проверка статистических гипотез, критерии согласия.

Полезно вспомнить формулировки типовых задач и используемый в их ре-

шении математический аппарат.

Рекомендуемая литература: [3], с. 24–49.

Тема 3. Парная линейная регрессия

При изучении данной темы необходимо рассмотреть материал, тесно свя-занный с математической статистикой и в то же время имеющий самостоя-тельную методологическую основу. Представляется целесообразным сле-дующий порядок изучения учебного материала: уравнение линейной регрес-сии, оценка его параметров с использованием метода наименьших квадратов, выяснение экономической интерпретации коэффициента регрессии, линей-ного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации, оценка су-щественности уравнения регрессии в целом с помощью критерия Фишера, а также значимости отдельных его параметров согласно статистике Стьюдента. Особое внимание следует уделить освоению методики производства про-гнозных расчетов по уравнению регрессии, получения как точечных, так и интервальных оценок. Важно осознать, что изученные методы будут исполь-зоваться в дальнейшем и модифицироваться, обобщаться.

Рекомендуемая литература: [3], с. 50–76; [4], с. 5–8, 20–23; [5], с. 43–44, 51–77.

Тема 4. Множественная регрессия

Освоение материала данной темы будет более эффективным при рассмот-рении в сравнительном ракурсе понятий, терминов, формул, методов, отно-сящихся к множественной и парной регрессии, в том числе выбора формы уравнения регрессии и оценки его параметров с использованием метода наи-меньших квадратов, как традиционного, так и обобщенного. Особое внимание следует обратить на практическую значимость уравнения множественной




регрессии, индекса корреляции, коэффициента детерминации и частных ко-эффициентов корреляции. Важно уяснить смысл и значение коэффициентов эластичности.

Рекомендуемая литература: [3], с. 82–106; [4], с. 58–77; [5], с. 109–135, 145–166, 201–208.

Тема 5. Нелинейная регрессия. Виды нелинейной регрессии

Для успешного освоения материала данной темы следует ознакомиться с нелинейными регрессионными моделями, уточнить способы сведения этих новых видов уравнений к уже известным с помощью линеаризации, конкре-тизировать значения оценок нелинейных регрессионных параметров и харак-теристик, в том числе коэффициентов эластичности, выявляя их экономиче-ский смысл. Необходимо изучить понятие модели бинарного выбора, суть метода максимального правдоподобия, обратить внимание на общий вид и возможные экономические интерпретации т.н. производственных функций.

Рекомендуемая литература: [3], с. 124–128; [4], с. 8–19, 24–28; [5], с. 77–108, 208–211.

Тема 6. Моделирование одномерных временных рядов

При изучении данной темы необходимо рассмотреть следующие вопросы: основные элементы временного ряда, моделирование тенденции временного ряда (автокорреляция уровней или построение тренда), моделирование се-зонных и циклических колебаний (аддитивная и мультипликативная модели), стационарные временные ряды. Особое внимание следует обратить на мето-ды построения моделей авторегрессии и скользящего среднего. Следует уяс-нить, что важной особенностью изучаемого материала является наличие об-ширного перечня прикладных экономических задач, допускающих успешное решение в рамках рассмотренной теории.

Рекомендуемая литература: [3], с. 133–149; [4], с. 184–200; [5], с. 296–334.





1. Дайте определение эконометрики.

2. Назовите основные ступени выделения эконометрики в особую науку и

перечислите имена ученых, внесших наибольший вклад в ее развитие.

3. С какими науками связана эконометрика?

4. Каковы этапы эконометрического исследования?

5. Почему можно утверждать, что эконометрические методы развивались

в ответ на преодоление недостатков классических статистических методов?

6. Какие типы данных используются в эконометрическом исследовании?

7. По каким типам шкал проводятся измерения в эконометрике?

8. Укажите основные классы событий.

9. В чем различие подходов к определению вероятности события? Сфор-

мулируйте классическое, геометрическое и статистическое определения ве-

роятности.

10. Как определяются сумма и произведение событий и по каким форму-

лам вычисляется их вероятность?

11. Что такое случайная величина? Чем отличаются друг от друга дис-

кретные и непрерывные случайные величины?

12. Дайте определение функции и плотности распределения случайной

величины, укажите ее основные числовые характеристики.

13. Перечислите примеры наиболее известных дискретных и непрерыв-

ных распределений.

14. Дайте определение системы случайных величин, совместных диффе-

ренциальной и интегральной функций их распределения.

15. Какие числовые характеристики двумерной случайной величины от-

ражают связь между ее составляющими?

16. Дайте определения генеральной совокупности, выборки, статистиче-

ского распределения случайной величины по выборке.

17. Чем отличается полигон статистического распределения от его гисто-

граммы?




18. Как найти статистическую функцию распределения, среднее значение

и выборочную дисперсию случайной величины по заданной выборке?

19. Укажите методы нахождения доверительных интервалов для несме-

щенных оценок параметров распределений.

20. Для чего в математической статистике используются критерии согла-

сия? Какие критерии согласия Вам известны? В чем состоит принцип их дей-

ствия?

21. Запишите уравнение парной линейной регрессии, поясните смысл ко-

эффициента регрессии, назовите способы его оценки.

22. Поясните сущность метода наименьших квадратов.

23. Какова концепция F-критерия Фишера?

24. Как оценивается значимость параметров линейного уравнения регрес-

сии?

25. В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?

26. Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включе-

ния их в модель множественной регрессии.

27. Как интерпретируются коэффициенты регрессии линейной модели

потребления?

28. Какой вид имеет система нормальных уравнений для оценки парамет-

ров уравнения множественной регрессии с помощью МНК?

29. Какие коэффициенты используются для оценки сравнительной силы

воздействия факторов на результат?

30. Каково назначение частной корреляции при построении модели мно-

жественной регрессии?

31. Как связаны между собой t-критерий Стьюдента для оценки значимо-

сти bi и частные F-критерии?

32. Каковы условия применения обобщенного метода наименьших квад-

ратов?

33. Перечислите все виды моделей, нелинейных относительно: а) вклю-

чаемых переменных; б) оцениваемых параметров.




34. Чем отличается применение МНК к моделям, нелинейным относи-

тельно включаемых переменных, от применения к моделям, нелинейным по

оцениваемым параметрам?

35. Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам рег-

рессионных моделей?

36. Что такое функция правдоподобия? Каковы основные принципы ее

построения?

37. В каком случае модель с дискретной зависимой переменной является

моделью бинарного выбора?

38. Какая функция называется производственной?

39. Перечислите основные элементы временного ряда.

40. Что такое автокорреляция уровней временного ряда и как ее можно

оценить количественно?

41. Перечислите основные виды трендов.

42. Запишите общий вид мультипликативной и аддитивной модели вре-

менного ряда, укажите этапы их построения.

43. С какими целями проводится выявление и устранение сезонного эф-

фекта?


Основная

1. Богомолова, И.В. Математические методы в экономике : учеб.-метод.

пособие / И.В. Богомолова, В.П. Глухов, А.М. Лебедев. – Ульяновск : УВАУ

ГА, 2005. – 81 с.

2. Доугерти, К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. – М. : ИНФРА М,

2004. – 402 с.

3. Кремер, Н.Ш. Эконометрика : учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко. – М. : ЮНИТИ, 2002. – 311 с.

4. Практикум по эконометрике : учеб. пособие для вузов / И.И. Елисеева и

др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М. : Финансы и статистика, 2003. – 344 с.




5. Эконометрика : учеб. для вузов / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И.

Елисеевой. – М. : Финансы и статистика, 2002. – 576 с.


6. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики : учеб.

для вузов : в 2 т. / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М. : ЮНИТИ–ДАНА,

2001. – 432 с.

7. Варюхин, А.М. Эконометрика : учеб. пособие / А.М. Варюхин,

О.Ю. Панкина, А.В. Яковлева. – М. : Юрайт, 2005. – 128 с.

8. Высшая математика для экономистов : учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер и др.;

под ред. Н.Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 1998. – 567 с.

9. Замков, О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анали-

зе : курс лекций / О.О. Замков. – М. : Диалог МГУ, 1999. – 244 с.

10. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс : учеб. / Я.Р. Магнус,

Л.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – М. : Дело, 2000. – 248 с.

11. Носко, В.П. Эконометрика. Введение в анализ временных рядов : курс

лекций / В.П. Носко. – М., 2002.




Методические указания

по изучению дисциплин




Составители: ГЛУХОВ

ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ

ЛЕБЕДЕВ

АЛЕКСЕЙ МИХАЙЛОВИЧ

НИКОНОВА

СВЕТЛАНА ПАВЛОВНА

Редактор Т.В. Никитина

Компьютерная верстка Н.П. Яргункина

Разработчик электронного учебника Н.В. Цысс

Подписано в печать 2009. Формат 60×90/16. Бумага офсетная

Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,81. Уч.-изд. л. 2,25.

Тираж Заказ

РИО и типография УВАУ ГА(и). 432071, Ульяновск, ул. Можайского, 8/8.

Documents

Математические модели в авиации ...venec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Nikonova_2.pdfАвиационное происшествие – любое событие,