ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ВЕЛИЧИНИ, …web.uni-plovdiv.bg/eligeo/Fizika (Baza Smolyan)/LEKCII...ФИЗИКА (Механика и молекулна физика)

ФИЗИКА (Механика и молекулна физика)

доц. д-р Елисавета Марекова 1

4. ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ВЕЛИЧИНИ, КОИТО ГО

ХАРАКТЕРИЗИРАТ.

МАТЕМАТИЧНО, ФИЗИЧНО И ПРУЖИННО МАХАЛО.

ВЪЛНИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ВЪЛНОВОТО ДВИЖЕНИЕ.

ВИДОВЕ ВЪЛНИ. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЧУПВАНЕ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И

ДИФРАКЦИЯ.

Хармонични трептения.

В природата често се наблюдават процеси, при които дадена система се връща в

първоначалното си състояние след определен период от време. Примери за такива процеси са

движението на махало, движението на топка, пусната от някаква височина надолу към

повърхността на Земята, класическите представи за движението на електроните в атома. Всеки

такъв процес, който се характеризира с определена повторяемост във времето, се нарича

периодичен процес или трептене (колебание). При всички трептения някаква величина се

изменя периодично с времето – това може да бъде разстояние от някаква точка, ъгъл на

отклонение, сила, електричен заряд, напрежение, големина на електричен ток и др. В зависимост

от променящата се величина се разглеждат различни видове трептения – механични,

електромагнитни, електромеханични и др.

Тук ще се разглеждат механични трептения и ще се даде кратко описание за това как могат

да възникнат периодични движения в механиката.

Когато векторната сума от всички сили, които действат на една материална точка е нула и

същевременно материалната точка е в покой, се счита, че последната се намира в състояние на

механично равновесие.

Състоянието на механично равновесие може да е устойчиво, неустойчиво или

безразлично. Ако малко отклонение от положението на равновесие води до възникване на сили,

които още повече отклоняват материалната точка от равновесното положение, равновесието е

неустойчиво. Когато при малко отклонение от равновесното положение възникват сили, които

връщат материалната точка в равновесното положение, то се нарича устойчиво. Ако при

произволно отклонение от положението на равновесие сумата от силите остава нула,

равновесието се нарича безразлично.

Ако материална точка, намираща се в състояние на устойчиво равновесие, се отклони

малко от това състояние и после се пусне да се движи само под действие на силите, които

обуславят това състояние, точката започва да извършва периодично движение, което се състои в

редуване на връщане и отклонение в противоположна посока от точката на равновесие.

Периодично движение на материална точка около точка на устойчиво равновесие се

нарича трептене. Примери за трептене в механиката са: движението на тежест, окачена на

пружина, люлеенето на махало и много други.

Трептенията се разделят най-общо на два вида – свободни и принудени трептения. При

свободните незатихващи трептения се пренебрегват силите на триене и съпротивление на

средата, които могат да доведат до намаляване на енергията на трептящата система. Такива

трептения са най-прост и идеализиран случай на такова движение.



Описание на свободни трептения може да стане, като се започне от познатото вече

движение на материална точка по окръжност. Ако материална точка M се движи равномерно по

окръжност с радиус A, то нейната проекция Р върху някой от диаметрите на окръжността

извършва трептене – фиг. 1. Ако се използва декартова координатна система с начало O в центъра

на окръжността и се разглежда проекцията Р на материалната точка M върху оста x, ординатата

на тази проекция в даден момент е:

tAtx sin , (1)

където t е полярния ъгъл между радиус вектора на материалната точка и оста y. Този ъгъл се

променя с времето по закона:

00 tt , (2)

където 0 е ъгълът в началния момент време 0t , а 0 – ъгловата скорост. Следователно

координата на проекцията Р върху оста x се изменя с времето по закона:

00sin tAtx . (3)

Движение, което се извършва по синусов (или косинусов) закон, изразяващ се с формула

(3) се нарича хармонично трептене.

На фиг.2а е представена графиката на хармоничното трептене. По хоризонталната ос е

поставено времето t .

Величините, които участват във формула (3) се наричат:

o x – отклонение от равновесното положение или елонгация;

Тъй като косинусът се мени от -1 до 1, то стойностите на отместването ще се намира в

границите от A до A .

o Величината A е амплитудата и представлява максималната абсолютна стойност

на отклонението от положението на равновесие; амплитудата A е постоянна положителна

величина. Отправната система обикновено се избира така, че в равновесното положение x = 0.

o Величината 00 tt , която стои под знака на синуса в (3) се нарича фаза на

трептенето в момента t. Константата 0 е равна на стойността на фазата в момента време 0t

и се нарича начална фаза на трептенето.

Фазата се променя във всеки момент от време и определя знака на величината x. С промяна

на началния момент на отчитане на движението се променя и стойността на началната фаза.

o Величината 0 представлява собствена кръгова честота. За хармоничните

трептения тя е характеристика само на трептящата система. Мерната й единица е [rad/s].

o Тъй като косинусът е периодична функция с период 2 , системата извършва

периодични трептения, повтарящи се през такъв интервал от време T , за който фазата на

трептенето нараства с 2 . Този интервал от време се нарича период и се определя от израза:

0

2

Т .

o Броят на трептенията за единица време се нарича (линейна) честота на трептенето

.

Фиг. 1

х

А

x

MP

x

A

0

О

0M

А

y



Фиг. 2а. Фиг. 2б.

Честотата и периодът на трептенето са свързани от следната зависимост:

Т

1 .

За единица честота е приета честотата на трептене, чийто период е равен на 1 s. Тази мерна

единица се нарича херц [Hz]. Честота, равна на 103 Hz се нарича килохерц [kHz], а честота равна

на 106 Hz – мегахерц [MHz].

Равенството

22

0 T

показва, че величината 0 e равна на броя на трептенията,

които се извършват за 2 секунди.

Скоростта и ускорението при хармоничното трептене се получават от закона за

движението (3) чрез последователно диференциране:

2sincos 000000

tAtA

dt

dx (4)

00

2

000

2

0 sinsin tAtAdt

da (5)

Формула (4) показва, че скоростта на точката също се изменя с времето по хармоничен

закон със същата честота , но фазата ú се различава с 2

от тази на отместването. В момента,

когато отместването е равно на нула, скоростта на точката е максимална. Ускорението също се

изменя по хармоничен закон. Неговата фаза се отличава от тази на отместването с .

Зависимостите на отклонението, скоростта и ускорението на хармоничното трептене от времето

са представени на фиг. 2б.

Като се използва закона (3) и израза за ускорението (5) се вижда се, че ускорението а е

свързано с отместването х по формулата:

xa 2

0 , (6)

откъдето се вижда действително, че ускорението и отместването са в противофаза (когато

отместването достига максималната си стойност, ускорението също има максимум, но в обратна

на отместването посока).



Сега може да се замести ускорението във втория принцип на динамиката:

kxxmmaFx 2

0 . (7)

При последното преобразование се въвежда означението km 2

0 , което играе роля на

коефициент на пропорционалност между силата и отклонението.

Така се вижда, че силата, която действа върху материална точка, извършваща хармонично

трептене, е пропорционална на отклонението от равновесното положение и има посока

противоположна (знак минус) на това отклонение:

kxFx . (8)

Сила, действаща по този начин, се нарича квазиеластична сила.

За да възникне едно трептение, в системата винаги трябва да действа някаква възвръщаща

сила, насочена към равновесното положение на системата (в случая това е сила на еластичност),

а за да бъде трептението хармонично, големината на тази сила трябва зависи линейно от

отклонението (F = kx).

Ако се отчете, че ускорението е втора производна на радиус-вектора (в конкретния случай

на едномерно движение – координатата x) по времето, може да се получи и т.нар. диференциално

уравнение на хармоничното трептение:

02

02

22

02

2

xdt

xdилиx

dt

xda .

Решенията на това диференциално уравнение са функции от вида:

,cos

sin

00

00

tAx

tAx

където A и 0 са произволни константи, които зависят от началните условия на трептението.

Константата A (амплитуда) зависи от това, колко ще бъде отклонено топчето от равновесното му

положение в началния момент, а константата 0 (начална фаза) зависи от момента от време, който

се избира за начален при движението.

Следователно, амплитудата и началната фаза са константи, които не зависят от самата

трептяща система, а само от външни фактори, докато кръговата честота 0 при хармоничните

трептения зависи само от характеристиките на самата система.

От формули (6) и (7) е ясно, че кръговата честота може да се представи във вида:

m

k0 . (9)

Следователно останалите характеристики на трептенето – период и честота са свързани с

динамичните параметри чрез равенствата:

k

mT

2

2

0

; m

k

T

2

11 . (10)

Описанието на едно механично движение е пълно, ако е определено уравнението на

движение. В случая на хармонично трептение в уравнението има само една константа, която

зависи от свойствата на системата – кръговата честота 0. Следователно, ако може да се определи

0 (или периода T, или честотата ), може да се запише уравнението на движение в общ вид, а

като се имат предвид и началните условия (константите A и 0) ще се получат уравненията във

всеки конкретен случай.

Ще бъдат разгледани няколко конкретни примера на механични хармонични трептения.

Пружинно махало.

Като пример на хармонично трептене е движението, което се извършва от пружинно

махало. Система от тяло с маса m, свързано с лека пружина, се нарича пружинно махало. (фиг.

3).



Разглежда се вертикално пружинно махало. В равновесното положение на пружинното

махало силата на тежестта gmG

се уравновесява от силата 0xkFx

, възникваща при

деформация на пружината. Ако външна сила изведе топчето от равновесното положение, което е

в точка 0x , и го отмести на някакво разстояние ( 0x ), махалото започва да извършва

хармонични трептения под действие на равнодействащата на силите G

и xxkFx

0 , която

се стреми да го върне отново в равновесното положение. Тази сила е квазиеластична и поражда

хармонично трептене.

В разгледания пример хармоничните трептения възникват в резултат на еднократно

отклонение на трептящото тяло от началното състояние на равновесие и в отсъствие на външни

сили. Такива трептения се наричат свободни. Свободните хармонични трептения се съпътстват

от периодични превръщания на кинетичната енергия на трептящите тела в потенциална енергия

и обратно.

Честотата и периодът на трептенето се изразяват чрез формули (9) и (10). Кръговата

честота и периодът се определят от масата m на тялото и от коефициента на еластичност k на

пружината.

Потенциалната енергия на пружинно махало е: 2

2kxE p .

Замества се изразът (3) за х и се получава:

00

222 sin2

1

2

1 tkAkxE p . (11)

Кинетичната енергия на махалото в произволен момент от време ще се получи, като се

замести израза за скоростта (4) във формулата

00

222 cos2

1v

2

1 tkAmEk . (12)

Пълната енергия на махалото е сума от неговата кинетична и потенциална енергия

constkAEEE pk 2

2

1. (13)

Получената формула показва, че пълната енергия е пропорционална на квадрата на

амплитудата на трептенията.

Превръщането на енергията се извършва в съответствие със закона за запазване на

механичната енергия в консервативна система. При движението на махалото надолу или нагоре,

отчетено спрямо равновесното положение, неговата потенциална енергия се увеличава, а

кинетичната намалява. В точката с максимално отместване потенциалната му енергия има

максимална стойност и е равна на пълната енергия, а кинетичната енергия е равна на нула. Когато

махалото преминава през равновесното положение, неговата потенциална енергия става равна на

нула, а кинетичната придобива максимална стойност, равна на пълната енергия. Измененията на

потенциалната и кинетичната енергия с течение на времето са показани на фиг. 4.

Фиг. 3



Математично махало.

Във физиката под махало се разбира също и твърдо тяло, което под действието на силата

на тежестта извършва колебателно движение около неподвижна ос. Прието е да се разграничават

математично и физично махало.

Математично махало се нарича идеализирана система, състояща се от безтегловна

неразтеглива нишка, на която е окачена маса, съсредоточена в една точка. Достатъчно добро

приближение на математично тяло е малко кълбо, окачено на дълга тънка нишка (фиг.5).

Фиг. 5

Отклонението на махалото от равновесното му положение се характеризира с ъгъла ,

който нишката сключва с вертикалата. При отклонение на махалото от равновесното му

положение възниква въртящ момент М, създаван от тангенциалната компонента на силата на

тежестта (на чертежа е означена с Ft ; нормалната компонента Fr минава през оста на люлеене и

следователно не може да предизвика такова движение):

sinmgLM ,

където m е масата, а L дължината на махалото. Той има такава посока, при която се стреми да

върне махалото в равновесното му положение и по този начин играе ролята на квазиеластична

сила.

Честотата на трептене на математичното махало зависи само от дължината на нишката и

от земното ускорение и не зависи от масата му.

За периода на трептене на математичното махало се получава формулата:

g

lT 2

Фиг. 4



Физично махало.

Ако трептящото тяло не може да бъде представено като материална точка, махалото се

нарича физично. При отклонение на махалото от равновесното му положение на ъгъл възниква

въртящ момент, който се стреми да върне махалото в равновесното му положение (фиг.6).

Фиг. 6

Този момент е равен на sinmgLM .

Тук m е масата на махалото, L – разстоянието от точката на окачване О до центъра на

тежестта С на махалото. Инерчният момент на махалото спрямо точката на окачване е I.

При малки отклонения от равновесното положение физичното махало извършва

хармонични трептения, чиято честота зависи от масата, инерчния момент спрямо оста на въртене

и разстоянието от оста на въртене до центъра на тежестта на махалото.

Периодът на трептене на махалото е: mgL

IT 2 , а честотата -

I

mgL2

0

От сравнението на тази формула с периода на математичното махало, може да се направи

заключението, че математично махало с дължина

mL

ILпр . ,

където .прL се нарича приведена дължина, ще има същия период на трептене както и физичното

махало. По такъв начин приведената дължина на физичното махало е равна на дължината на

математично махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на даденото

физично махало.

Точката А от правата, съединяваща точката на окачване с центъра на тежестта на махалото,

лежаща на разстояние от токата на окачване равно на приведената дължина, се нарича център на

люлеене на физичното махало. Може да се покаже, че ако се окачи махалото в центъра на люлеене

А, приведената дължина, а следователно и периода на люлеене, остават същите. Следователно,

точката на окачване и центъра на люлеене са взаимно заменяеми: при окачване на махалото в

точката на люлеене, предишната точка на окачване става център на люлеене. На този принцип се

основава определянето на земното ускорение с помощта на реверсионно махало. Реверсионно се

нарича такова махало, в двата края на което са поставени две еднакви триъгълни призми. По

дължината на махалото могат да се закачват и преместват теглилки. Посредством преместване на

теглилките се търси такова тяхно положение, при което при окачване на махалото, периодът на

люлеене остава един и същ. Тогава разстоянието между точките на окачване ще бъде равно на

приведената дължина .прl , а измервайки периода на трептене, може да се определи земното

ускорение:

2

.

24

Т

lg

пр



Затихващи трептения.

При разглеждане трептенията на пружинното махало бе показано, че превръщанията на

енергията се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енергия. Това е

възможно само при предположение, че системата е затворена и консервативна. Свободните

трептения в този случай се наричат незатихващи трептения. Такива трептения са възможни

само в системи, където се пренебрегват силите на триене и съпротивление, т.е. незатихващите

трептения са идеализирани. Те се характеризират с амплитуда, която се запазва постоянна с

времето, и могат да продължават неограничено дълго време. Свободните трептения, които се

извършват в реалните системи, се наричат затихващи трептения. Поради действащите сили на

триене амплитудата на тези трептения с течение на времето намалява и те постепенно затихват

(фиг. 7).

В този случай уравнението движението е :

00 sin teAtx t ,

където 22

0 се нарича честота на затихващите трептения.

Величината се нарича коефициент на затихване и характеризира бързината за

затихване на трептенията в разглежданата система.

Когато на трептящото тяло освен квазиеластична сила действа и сила на триене, неговото

движение е трептене, което не е хармонично. Величините, характеризиращи затихващите

трептения, се изменят непрекъснато – те не се повтарят през равни интервали, както при

незатихващите трептения. Затихващите трептения не са периодични движения. Честотата на

трептене в този случай зависи не само от k и m , а и от коефициента на затихване . От

формулата следва, че честотата на затихващите трептения е по-малка от собствената честота

на незатихващите. Това е напълно логично, тъй като наличието на сили на съпротивление с

системата намалява скоростта на движение на трептящото тяло. Вследствие на това периода се

увеличава и предизвиква намаляване на кръговата честота.

Характерна особеност на затихващите трептения е постепенното намаляване на

амплитудата с времето: teAA 0 .

Отношението на две съседни амплитуди е постоянна величина

TeA

A

A

A ...2

1

1

0 .

Натуралният логаритъм на горното отношение се нарича логаритмичен декремент на

затихването и се означава с :

Te T ln .

Фиг. 7



Принудени трептения.

Когато в една трептяща система действат сили на триене, трептенията, които се извършват

в нея, след известно време се преустановяват. По тази причина те се наричат затихващи. Едно

затихващо трептение може да се превърне в незатихващо, ако предаваме на системата енергия

отвън, която да компенсира загубите вследствие триенето и съпротивлението на средата. Такова

трептение се нарича принудено трептение. Тази енергия се предава чрез извършване на работа

от някаква външна сила. Тъй като работата може да бъде положителна или отрицателна в

зависимост от посоката на силата и преместването, ако се направи опит да се предаде енергия в

неподходящ момент (силата действа в посока, обратна на преместването на трептящото тяло в

дадения момент), може да се постигне обратен ефект – вместо да се предаде, да се отнеме енергия

от системата. Следователно не може да се предизвикат принудени трептения с постоянна сила –

тя действа винаги в една посока и през част от времето ще отнема енергия от системата.

Принудено трептение се осъществява, когато на една трептяща система действа периодична сила,

напр. Fcost или Fsint. Под действие на тази периодична сила системата ще започне да трепти

със същата честота, с която се променя силата (след първоначален период на "синхронизация"),

тъй като така ще приема енергията в подходящия момент. Принудените трептения се наричат

още и несвободни трептения.

Може да се разгледа система, в която действа външна сила, изменяща се с времето по

периодичен закон:

tFtF sin0 .

Силата tF се нарича принуждаваща сила.

Означения: 0 - честота на собствените трептения на тялото (когато в системата не

действат сили на съпротивление), – коефициент на затихване (при наличие на съпротивителни

сили в системата). Честотата е кръговата честота на периодичната сила tF , която извършва

някаква работа върху тялото. Това предизвиква трептения на тялото, които се извършват със

същата честота , с която се изменя и външната сила. Тази честота се нарича честота на

принудените трептения на тялото.

Разликата между фазите на силата и отместването на трептящото тяло е равна на .

За амплитудата А и фазата на принудените трептения се получават изразите:

2

0

22222

0

2

0 2,

4

tgf

A . (*)

Амплитудата на принудените трептения зависи от амплитудата и честотата на външната

сила, от коефициента на затихване, собствената честота 0 на трептенето и от масата на

трептящото тяло ( 0

0 fm

F ).

Фиг. 8



При постоянни 0F , m и амплитудата А зависи от съотношението между кръговата

честота на външната сила и собствената честота 0 на свободните незатихващи

трептения.Зависимостта на амплитудата от при различни коефициенти на затихване е

показана на фиг. 8.

Ето някои частни случаи на формулите (*):

а) Кръговата честота е 0 :

constm

FAA

20

00

.

Върху тялото действа постоянна сила 0FF , която го отмества от равновесното му

положение на разстояние 0A . Постоянните сили не предизвикват трептения. Ако в новото си

равновесно положение тялото получи еднократен тласък, то ще започне да извършва хармонични

трептения със собствена честота 0 .

б) При пренебрежимо малък коефициент на затихване ( 0 ) амплитудата на

принудените трептения расте с увеличаването на . Когато 0 , A . При по-нататъшно

увеличаване на 0 амплитудата започва да намалява и при се стреми към нула.

Явлението, при което амплитудата нараства силно при честота на принудените трептения

0 , се нарича резонанс.

в) При коефициент на затихване 0 амплитудата на принудените трептения зависи и от

. За да се определи условието за резонанс в този случай, трябва да се намери минимума на

знаменателя във формулите (*). За целта е необходимо изразът под корена да се диференцира по

и да се приравни на нула. По този начин се получава стойността на честотата , при която

настъпва резонанс:

22

0 2 рез

Тази честота се нарича резонансна честота, а стойността на амплитудата при

резонансната честота – резонансна амплитуда:

22

0

0

2

fAрез .

От израза за рез следва, че резонансната честота е винаги по-малка от собствената честота

0 на трептението и намалява с увеличаване на коефициента на затихване (фиг. 8). Ако

коефициентът на затихване е много голям (2

0 , 6 на фиг.8), изразът за рез става имагинерен

т.е. резонанс няма да се наблюдава при никаква реална честота (няма максимум на резонансната

крива). Същото е валидно и за амплитудата - при резонанс е толкова по-голяма, колкото е по-

малко (фиг. 8) и при 0 става имагинерна, т.е изобщо няма трептение. От горните изрази

се вижда също, че в идеалния случай ( = 0) резонансната честота рез е равна на собствената

честота на системата, а резонансната амплитуда Aрез клони към безкрайност.

Резонансните явления се проявяват при всички принудени трептения, които намират

широко приложение в различни области на техниката. В акустиката резонансът се използва за

анализ и усилване на звукови трептения. В радиотехниката той намира приложение във всички

радиопредаватели и радиоприемници. С явлението резонанс се обясняват и много процеси от

ядрената физика.



ВЪЛНИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ВЪЛНОВОТО ДВИЖЕНИЕ.

В предходна лекция бяха разгледани трептенията на дадено тяло (материална точка), без

да се отчита дали то се намира в някаква среда. Ако трептящото тяло се намира в дадена точка

на непрекъсната еластична среда, то привежда всички допиращи се до него частици от средата в

трептеливо движение, тъй като между частиците на средата съществуват сили на

взаимодействие, които оказват съпротивление срещу всякакъв вид деформации. При трептенето

тялото предизвиква отклонение от равновесните им положения на най-близките до него частици,

вследствие на което в съседните на тялото области се появяват периодични деформации (свиване

и разтягане). Като резултат от това в средата възникват еластични сили, стремящи се да върнат

деформираните области към първоначалното състояние на равновесие. Така всички частици от

средата започват да трептят около равновесните си положения, повтаряйки с известно закъснение

хармоничните трептения на тялото, намиращо се в дадената точка на средата. Това тяло

изпълнява ролята на източник или център на разпространяващия се вълнов процес.

Вълнообразното движение се състои в предаване на трептения от една частица на средата

на другите частици и се нарича още механична вълна. Ако трептенето, което извършват

отделните частици на средата е хармонично, то и механичната вълна се нарича хармонична

вълна. Колкото по-далеч от източника се намира дадена частица, толкова по-късно тя ще започне

да трепти. В такъв случай фазите на трептене на източника и на частиците от средата ще бъдат

различни. При предположение, че в средата няма загуба на енергия, амплитудите на трептенията

на източника и различните частици на средата ще се запазват постоянни с времето. Следователно,

за да се наблюдават вълни в дадена еластична среда, т.е. частиците ѝ да започнат да трептят, е

необходимо да се внесе източник (трептящо тяло) в нея. Енергията на източника се предава от

частица на частица и се разпространява в средата, т.е. частиците от средата трептят около

равновесните си положения, а при самия вълнов процес (разпространението на трептението) се

пренася енергия, а не маса, както изглежда на пръв поглед.

В зависимост от характера на възникващите еластични деформации вълните биват

надлъжни и напречни. При надлъжните вълни частиците на средата трептят по направлението, в

което се разпространяват вълните. При напречните вълни частиците на средата трептят в

направление, което е перпендикулярно на това, в което се разпространяват вълните.

В зависимост от областта, която обхващат вълните при разпространението си, те могат да

бъдат разделени и по друг признак – обемни, когато обхващат целия обем на средата (пример -

звуковите вълни), и повърхнинни, ако обхващат само повърхностния ѝ слой (например, вълните

върху водна повърхност), а ако трептенията се разпространяват само в посока на дадена линия -

за едномерна или линейна вълна (например, разпространение на трептения по направление на

опъната струна).

Тъй като всяка частица на средата, в която се извършва вълнообразно движение извършва

трептене, то при описание на вълнообразното движение се използват всички понятия, които се

използват и при описание на трептенията – елонгация, амплитуда, период, честота, кръгова

честота, фаза, начална фаза, скорост и ускорение на трептенето и т.н. С такива понятия се описва

трептенето, което извършват отделните частици на средата, но наред с тези понятия, за описание

на вълнообразното движение се въвеждат и други понятия.

Ако преди източникът да започне да трепти, всички точки на средата са неподвижни, след

започване на трептенето то обхваща останалите точки на средата постепенно. Във всеки момент

време съществува граница между частта от средата, която вече извършва вълнообразно движение

и частта от средата, която е неподвижна, защото вълнообразното движение още не е достигнало

до нея. Тази граница се нарича фронт на вълната. Фронтът на вълната се движи с определена

скорост , която се нарича скорост на разпространение на вълната или само скорост на вълната.

Фронтът на вълната може да има различна форма – сферична, плоска, или друга. Когато фронтът

има сферична форма, казваме, че и вълната е сферична. Ако фронта има форма на равнина,

говорим за плоска вълна.

При вълнообразно движение частиците на средата трептят с различна фаза. Близо

разположени една да друга точки трептят почти еднакво, но разположените далеч една от друга



точки могат да имат силно различаващи се фази на трептене. Например, ако в един момент време

дадена точка преминава през началното си положение, то други точки в същото време вече са

стигнали до една от крайните точки на отклонението си, трети – вече се връщат към началното

положение и т.н. Точките от средата, които трептят с еднаква фаза образуват непресичащи се

повърхнини, които се наричат фазови повърхнини. Фазовите повърхнини, както и фронта на

вълната се движат със една и съща скорост – скоростта на разпространение на вълната.

Разстоянието λ, на което се преместват фазовите повърхнини (а също и фронта на вълната) за

един период на трептене T се нарича дължина на вълната. От даденото определение следва, че:

T ,

където, ν е честотата на трептенията.

Уравнение на вълната.

Разглежда се най-простият случай на разпространение на трептението – плоска

хармонична напречна вълна, разпространяваща се в дадена посока (напр. оста X на избраната

отправна система). Всяка точка, до която е достигнала вълната в даден момент ще започне да

трепти по оста Y, перпендикулярна на X. Уравнението на вълната (уравнението на движение на

всички частици от средата, до които е достигнала вълната) трябва да е функция не само на

времето t (както при трептението), а и на разстоянието x, на което се намира дадена точка от

източника на трептения (началото на координатната система) – y = f(x, t). В този случай (плоска

хармонична вълна), всички точки от средата, до които достига вълновият процес, повтарят

трептенията на източника с известно закъснение, тъй като те се намират на различни разстояния

от източника. Трептения им започват след различни интервали от време, които променят

съответно фазите им (началната фаза на трептението на всяка точка зависи от разстоянието x),

т.е. ако се знае уравнението на трептене на източника и скоростта на разпространение на

вълната, може да се получи уравнението на трептене на всяка точка от средата в даден момент от

време – това е и уравнението на вълната.

Нека една едномерна напречна вълна се разпространява по направление на оста X.

Източникът на трептене се поставя в началото на координатната система, т.е. в частица с

координата 0x . Уравнението на движение на тази частица ще бъде:

tAy cos

След време

xt , където е скоростта на разпространение на трептенето, то ще

достигне до точка с координата x , за която уравнението на движение ще има вида:

x

tAy cos .

Този израз може да се преобразува във вида:

kxtAxtAx

tAy

coscoscos .

Това уравнение се нарича уравнение на едномерна вълна.

Величните, посредством които се описва вълната, се наричат параметри на вълната. Те

са следните:

o y - отклонение на частиците от равновесното им положение;

o А - амплитуда - максималната стойност на отклонението;

o kxt - фаза на вълната;

o - кръгова честота - броя на трептенията, които се извършват за 2 секунди;

o

k - вълново число;

o - дължина на вълната;



Движението на частици с координати 1x и 2x , които трептят във фаза (по един и същ

начин), се описва с изразите:

11 kxt

22 kxt

mxxk 2)( 12 ,

където ,...3,2,1m е цяло число. За 1m , 12 xx , тогава се получава:

2k или

2k

Величината се нарича дължина на вълната и представлява разстоянието, на което

фазата на вълната се изменя с 2 . С други думи, дължина на вълната е разстоянието, между две

най-близки точки, които трептят с една и съща фаза.

o T - период на вълната;

Може да се опише движението на една частица с координата x в два момента от време, за

които трептенията са във фаза.

kxt 11

kxt 22

mtt 2)( 12 ,

където ,...3,2,1m е цяло число. За 1m , интервалът от време Ttt 12 е най-краткото време,

след което трептенето на частицата се повтаря по същия начин. Това време се нарича период на

вълната. Оттук се получава:

2Т , или T

2 , или

2T .

Фиг. 9

o Фазова скорост;

Разглежда се фазата на вълната: kxt и изразът се диференцира по времето.

Получава се следното: dxkdtd .

За две частици, които трептят във фаза, т.е. 0d , се получава:

kdt

dx

Тази величина се нарича фазова скорост на вълната. Тя може да бъде изразена още по

следния начин:

TTk

2

2

Фазовата скорост е равна на разстоянието, на което се разпространява вълната за време,

равно на 1 период. За хомогенна среда тя е константа. Фазовата скорост на вълната и



скоростта на трептене на частиците са две различни величини. Скоростта на трептене на

частиците е променлива величина и има следния вид:

2cos 00

tAT

.

Скоростта, с която се разпространява механичната вълна в различните материални среди,

зависи от техните еластични свойства. В твърдите тела и течностите механичните вълни се

разпространяват по-бързо в сравнение с газовете. Това е естествено, тъй като частиците при тях

са разположени по-близо една до друга и трептенията се предават по-бързо.

За газове и течности скоростта се определя от следните изрази:

pгаз ;

Kтечност ,

където p и са измененията на налягането и плътността в газовата среда, а К – модулът на

обемна деформация на течностите.

В твърдите тела се разпространяват както надлъжни, така и напречни механични вълни,

чиято скорост се определя от аналогични изрази:

E

ттв. ;

G

ттв. ,

където Е и G са съответно модулите на еластичност при надлъжна и напречна деформация.

При преход на механичната среда от една среда в друга нейната честота се запазва

постоянна, а дължината на вълната се изменя пропорционално на скоростта на разпространение:

2

1

2

1

Видове вълни.

В зависимост от това, какви са посоките на трептене и разпространение на вълната, се

разграничават два вида вълни: напречни и надлъжни.

Фиг. 10



- напречни вълни (Фиг.10В): посоката на трептене на частиците на средата е

перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната;

Напречните вълни се разпространяват само в твърди тела, които имат еластичност на

формата. Примери: гумен шнур, единият край на който е закачен на опора, се привежда в

колебателно движение посредством прилагане в другия му край на променлива сила,

перпендикулярна на дължината му; сеизмични вълни, разпространяващи се в земната кора при

земетресения, повърхностни водни вълни, при които еластичността на формата се поддържа от

силата на тежестта и силите на повърхностно напрежение, които се стремят да възстановят

хоризонталната повърхност на течността.

При напречните вълни частиците на средата не се преместват по посока на

разпространение на вълната. Трептенето на всяка следваща частица изостава по фаза по

отношение на предишната. Вследствие на това се образуват гребени и падини на вълната, които

се преместват по направлението на разпространение и могат да бъдат наблюдавани зрително.

Напречните вълни могат да се разпространяват само в твърди еластични среди.

- надлъжни вълни (Фиг.10А): посоката на трептене на частиците на средата е еднаква с

посоката на разпространение на вълната.

Примери: вълни, разпространяващи се при свиване и разпъване на пружина, звукови вълни

и др. Надлъжните вълни, за разлика от напречните, могат да се разпространяват както в твърди,

така и в течни и газообразни среди.

Механичните вълни не могат да се разпространяват във вакуум!!!

Отражение на вълни.

Фиг. 11

Отражение на вълна се нарича явлението, при което разпространяваща се в дадена среда

вълна достига границата на средата и предизвиква поява на нова вълна в същата среда (фиг. 3).

Вълната, която се разпространява към границата на средата, се нарича падаща вълна, а

вълната, която се отдалечава от границата – отразена вълна. Дължината на отразената вълна е

равна на дължината на падащата вълна.



Тъй като двете вълни се разпространяват в една и съща среда, скоростите им са еднакви и

от формулата

, следва, че и честотите на падащата и отразената вълна са равни.

Посоките на разпространение на падащата и на отразената вълна се определят от техните

лъчи, наречени за краткост падащи лъчи и отразени лъчи (фиг. 11). Ъгълът между падащия лъч

и перпендикуляра към границата се нарича ъгъл на падане, а ъгълът между отразения лъч и

същия перпендикуляр – ъгъл на отражение.

При отражение на механични вълни са в сила известните от оптиката закони за отражение:

1. Отразеният лъч, падащият лъч и перпендикулярът към границата лежат в една

равнина.

2. Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение.

Принцип на суперпозицията.

Фиг. 12

Принципът на суперпозицията е един от най-общите принципи във физиката. Най-просто

формулировката му гласи: Резултатът от въздействието на няколко сили е сумата от тях. В

линейни среди вълните се разпространяват независимо една от друга, т.е. вълните не изменят

свойствата на средата, а всяка вълна се разпространява така, като че ли другата не съществува.

Това позволява да се изчисли резултантната вълна като сума на всички вълни, разпространяващи

се в дадена среда. Важно е да се отбележи, че този принцип е в сила само при линейни системи.

Това означава, че когато се търси резултатът C от влиянието на явленията (или сили, материални

обекти) A и B, резултатът C не трябва да зависи от взаимодействието между A и B. Само тогава

важи принципа на суперпозицията, т.е. FC= FA+FB.

Всички точки от фронта трептят в една и съща фаза, но в дадена точка от екрана те ще

пристигат с фазова разлика, поради разликата в разстоянията, които ще изминат от различни

точки на отвора. Когато фазите съвпаднат се получава ярко петно, а когато се настигнат с 180º

разлика, взаимно „се гасят“ и така се получава дифракционна картина от поредица от максимуми

и минимуми.

Принцип на Хюйгенс-Френел.

Принципът, който Хюйгенс въвежда през 1678 и по-късно е допълнен от Френел се

формулира така: Всеки елемент от вълновия фронт може да се разглежда като център на вторично

трептене, пораждащо вторични сферични вълни, а полученото вълново поле във всяка точка от

пространството ще се определя от наслагването (суперпозицията) на тези вълни. Фронтът на

вълната на точковия източник в еднородно пространство представлява сфера. Амплитудата във

всяка точка от този сферичен фронт е еднаква.



Интерференция на вълни.

Фиг. 13

Досега се разглеждаха случаи, когато в дадена среда се разпространява само една вълна

(от един източник). Ако в средата се намират два или повече източника, в някои точки от

пространството около тях вълните се пресичат, т.е. тези точки ще участват едновременно в

няколко трептения. Като се има предвид, че трептенията могат да се представят и векторно, може

да се използва принципа на суперпозицията за получаване на резултантните трептения на

частиците в тези точки. След точките на наслагването всяка от вълните продължава

разпространението си в своята посока, независимо от другите. Опитът показва, че при

пресичането на две или повече вълни, те не взаимодействат помежду си и поведението на всяка

от тях е такова, каквото би било и в отсъствие на другите (това се отнася само за среди, които не

променят свойствата си от разпространяващите се в тях вълнови процеси).

Ще бъде разгледан най-простия случай – когато в дадена точка се наслагват трептения,

породени от две плоски хармонични вълни

22222222

11111111

coscos

coscos

AxktAy

AxktAy

,

разпространяващи се в еднородна среда, т.е. в тази точка трябва да се съберат две

хармонични трептения. Ако тези трептенията са в една посока, може лесно да се получи

амплитудата на резултантното трептение:

cos2 2122

21 AAAAA .

Вижда се, че амплитудата A на резултантното трептение зависи от фазовата разлика на

двете вълни в тази точка:

2111222121 xkxkt .

Ако фазовата разлика ΔΦ зависи от времето t, във всеки момент от време и във всяка точка

от средата cosΔΦ ще се изменя непрекъснато от минималната си стойност –1 до максималната 1

и средното му значение за всеки краен интервал от време ще бъде 0. Тогава A ще има една и съща

стойност във всички точки от средата – (съответно за интензитета I на вълната ще се получи I

= I1 + I2).

Ако фазовата разлика ΔΦ не зависи от времето, вълните се наричат кохерентни. Вижда

се, че това е възможно само ако двете вълни имат еднакви честоти (ω1 = ω2= ω, ω = 2π). Тъй като

средата е еднородна, скоростите на разпространение на двете вълни (фазовите скорости) също

трябва да са равни 1 = 2 = . Но в такъв случай и вълновите числа на двете вълни трябва да

са равни – k1 = k2 = k. Тогава изразът за фазовата разлика ще придобие вида:

Wave refraction in the manner of Huygens

Пречупване (рефракция)

Wave diffraction in the manner of

Huygens and Fresnel

http://en.wikipedia.org/wiki/Refraction



2112 xxk ,

т.е. фазовата разлика на двете кохерентни вълни зависи само разликата в пътищата на вълните до

дадената точка Δ= x2–x1. Двете константи 1 и 2 зависят само от началния момент на двете

трептения, породили вълните y1 и y2 (това са началните фази на тези трептения), и са едни и същи

за всички точки от средата. Ако може да се синхронизират двата източника така, че да започнат

трептенията си в един и същ момент, началните им фази 1 и 2 ще бъдат равни и изразът за

ще се опрости:

212 kxxk .

Ако за дадена точка от средата Δ има такава стойност, че ΔΦ = 2mπ, cosΔΦ = 1 и

амплитудата A на резултантното трептение и интензитетът I на вълната в тази точка във всеки

момент от време ще бъдат:

212121

22

212121

22

21

2

2

IIIIIII

AAAAAAAAA

,

т.е. в тази точка се наблюдава усилване на трептенията (и следователно увеличаване на енергията

в тази област) в сравнение с наслагването на некохерентни вълни.

В точките, в които Δ има такава стойност, че ΔΦ=(2m+1)π, cos ΔΦ= –1, амплитудата на

резултантното трептение A и интензитетът I на вълната във всеки момент от време ще бъдат:

212121

22

212121

22

21

2

2

IIIIIII

AAAAAAAAA

.

Ще се наблюдава отслабване на трептенията (намаляване на енергията в тези области) в

сравнение с наслагването на некохерентни вълни. Явлението, при което се наблюдава

преразпределение на енергията на вълните в средата, вследствие наслагването на две или повече

кохерентни вълни се нарича интерференция. Точките, в които се наблюдава усилване на

трептенията (увеличаване на енергията и интензитета на вълната), се наричат интерференчни

максимуми, а тези, в които се наблюдава отслабване на трептенията (намаляване на енергията и

интензитета на вълната) – интерференчни минимуми. Местоположението на тези точки се

определя само от разликата Δ в пътищата на двете (или повече) вълни от източника до

съответната точка. Лесно може да се получат условията за минимум и максимум.

Интерференчен максимум се наблюдава в тези точки, за които ΔΦ = 2mπ:

mm

m

22

22

’

т.е. в тези точки, за които разликата в пътищата на вълните е четно число полувълни.

В точките, за които ΔΦ = (2m+1)π, ще се наблюдава интерференчен минимум:

2)12(

2)1(2

m

m

,

т.е. точките, за които разликата в пътищата на вълните е нечетно число полувълни.

Стояща вълна.

Ето един интересен в практическо отношение случай на интерференция – когато се

наслагват две плоски кохерентни бягащи вълни с еднакви амплитуди, които се разпространяват

в противоположни посоки. Явлението се наблюдава при отражение на вълна от преграда, която

е перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната, и се нарича стояща вълна. Може

да се определи резултатът от интерференцията на две такива вълни – y1 и отразената вълна y2,

разпространяващи се в двете противоположни посоки на оста Х (допуска се, че в средата, в която



се разпространяват вълните, няма загуба на енергия). Ако падащата вълна е хармонична,

отразената вълна също е хармонична, със същата честота и тогава е изпълнено условието за

тяхната интерференция.

Фиг. 14

На фиг.14 се вижда резултатът от такава интерференция в случая на вълна,

разпространяваща се по шнур. Разтрептяването на свободния край на шнура създава вълна, която

достига неподвижния край, отразява се в обратна посока и интерферира с падащата вълна. В

точките В1, В2 и т.н. се получават интерференчни минимуми, а в точките С1, С2 и т.н. –

интерференчни максимуми. В минимумите каучуковият шнур е неподвижен, а в максимумите

амплитудата на трептенията е най-голяма. Положенията на тези минимуми и максимуми не се

изменят с времето.

И така: всички части на шнура трептят с еднакви честоти, а амплитудите им са между нула

и една максимална стойност. Те едновременно минават през равновесните си положения,

едновременно големините на отклоненията им стават равни на съответната за всяко място

амплитуда и т.н. Във всеки момент формата на каучуковия шнур се описва със синусоида.

Същият резултат се получава и при изследване на трептенията на струна, опъната нишка и т.н.

Стояща вълна се нарича вълната, която възниква в резултат от интерференцията на

падаща и отразена вълна, разпространяващи се в противоположни посоки. Интерференчните минимуми, в които струната е неподвижна, се наричат възли на

стоящата вълна, а интерференчните максимуми – върхове на стоящата вълна. Разстоянието

между два съседни възела е равно на половин дължина на падащата или на отразената вълна.

Стоящата вълна не пренася механична енергия, защото колкото енергия пренася падащата

вълна в едната посока, толкова енергия пренася отразената вълна в обратна посока. При бягаща

вълна източникът трябва непрекъснато да извършва работа, за да може трептенията да се

разпространяват все по-надалече. При стояща вълна обаче източникът на вълната извършва

работа само докато се образува стоящата вълна.

Дифракция.

Рисунката на експеримента на Томас Юнг, 1803

Фиг. 15



Дифракция, от лат. diffractus, буквално означава счупен, пречупен. Дифракцията е

отклонението на вълни от праволинейното им разпространение в пространството, проявяващо се

най-силно при дължина на вълната, близка до размера на някаква нееднородност на средата.

Пример за дифракция е промяната в посоката на разпространение на вълната при преминаване

през отвор. Дифракцията се наблюдава при всички вълни, независимо от техния характер. Най-

добре изучена е дифракцията при светлинните и звуковите вълни. Дифракцията представлява

интерференция на голям брой кохерентни вълни, затова тя не се различава принципно от

явлението интерференция.

Първоначално се тълкува като отклонение на вълните от праволинейното им

разпространение при препятствия, проникване на вълната в геометричната сянка. Проявява се

най-силно, когато преградите или отворите са близки по размер до дължината на вълната.

Тези схеми показват как влияе големината на преградите/отворите върху характера на

дифракцията.

Дифракция възниква заради начина, по който се разпространяват вълните. Той се описва

от принципът на Хюйгенс-Френел и принципът на суперпозиция на вълните.

Фиг. 16

Каква е разликата между дифракция и интерференция?

Всъщност и според квантовият физик Ричард Файнман „никой никога не е бил в състояние

да определи разликата между интерференция и дифракция задоволително“. Това е просто въпрос

на приемане, без съществена разлика във физическата същност на двете явления – и двете се

изразяват в преразпределение на интензивността на вълновия поток чрез наслагване

(суперпозиция) на кохерентни вълни. Кохерентност означава съгласуваност. Две или повече

колебания са кохерентни, ако разликата на техните фази остава постоянна във времето. Прието

е, че когато суперпозиция на вълните е предизвикана от краен брой отделни кохерентни

източници да се нарича интерференция, а дифракция – когато е налице суперпозиция на вълни

от непрекъсната област от източници. Например, когато има два тесни отвора е интерференция,

а при един отвор – дифракция.

Documents

ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ВЕЛИЧИНИ, …web.uni-plovdiv.bg/eligeo/Fizika (Baza Smolyan)/LEKCII...ФИЗИКА (Механика и молекулна физика)