Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

23

IV VEŽBA: FURIJEOVA TRANSFORMACIJA I FURIJEOVI REDOVI DISKRETNIH SIGNALA

4.1. Teorijska osnova

Posmatrajmo neki vremenski diskretan signal x[n] na intervalu .00 FNnnn +<≤ Furijeov red diskretnog signala u kompleksnom obliku predstavlja red:

,10,][1][1

20

0

−≤≤= ∑−+

=

−F

Nn

nn

nkfj

F

NkzaenxN

kXF

Fπ

gde je ./1 FF Nf = Koeficijenti X[k] se nazivaju koeficijenti Furijeovog reda diskretnog signala ili spektralni koeficijenti diskretnog signala x[n]. Celobrojna promenljiva k predstavlja redni broj harmonika osnovne učestanosti Ff . Ova jednačina se još naziva i jednačina za analizu signala x[n], jer razlaže signal na harmonijske komponente. Za k = 0, Furijeov koeficijent za X[0], predstavlja srednju vrednost diskretnog signala x[n] na intervalu FNnnn +<≤ 00 :

.][1]0[10

0

∑−+

=

=FNn

nnF

nxN

X

Pomoću Furijeovih koeficijenata X[k], diskretni signal x[n] može se predstaviti na intervalu na FNnnn +<≤ 00 odgovarajućim redom

FNk

nkfj NnnnekXnxF

F +≤≤= ∑=

002 ,][][ π

koji se naziva Furijeov razvoj diskretne funkcije x[n] u red, odnosno, Furijeov red. Diskretni signali nkfj FekX π2][ predstavljaju harmonijske komponente signala (harmonike). Komponente za k = ± 1,

nazivaju se osnovnim harmonicima ili prvim harmonicima signala. Prethodna jednačina se još naziva i jednačina za sintezu signala, jer generiše signal x[n] iz njegovih harmonijskih komponenata.

Problem kod analize diskretnih signala pomoću Furijeovog reda diskretnih signala, se kao i kod Furijeovog reda kontinualnih signala, nalazi u činjenici da izvan intevala FNnnn +<≤ 00 jednačina za sintezu signala ne važi odnosno signal:

,][][ 2∑=

=F

F

Nk

nkfjF ekXnx π

za n van ovog intervala, u opštem slučaju ne mora biti jednak signalu x[n]. Ova dva signala će biti jednaka i van intervala FNnnn +<≤ 00 , odnosno jednačina za sintezu signala će opisivati signal i van ovog intervala, samo u slučaju da je signal x[n] periodičan, i da važi da je širina intervala jednaka celobrojnom umnošku periode signala x[n].

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

24

Razvoj u Furijeov red diskretnog signala x[n] predstavlja samo drugi način prikaza istog signala na nekom intervalu, koji omogućava da se vidi kakve harmonijske komponente signal ima. Skup kompleksnih Furijeovih koeficijenata X[k] naziva se frekvencijski spektar signala. Skup modula i faza Furijeovih koeficijenata (|X[k]| i arg(X[k])) nazivaju se amplitudski spektar signala i fazni spektar signala, respektivno. Pošto je definisan samo za celobrojne vrednosti k, frekvencijski spektar diskretnog periodičnog signala je diskretna funkcija, pa se često naziva linijski spektar.

Furijeova transformacija diskretnih signala se uvodi da bi otklonila probleme u analizi aperiodičnih diskretnih signala koji nastaju upotrebom Furijeovih redova za diskretne signale. Za vremenski diskretni signal x[n], Furijeova transformacija se definiše kao:

,][)( 2∑+∞

−∞=

−=n

fnjenxfX π

ukoliko su ispunjeni potrebni uslovi za postojanje konvergencije sume. Poznavanjem Furijeove transformacije diskretnih signala ),( fX moguće je izračunati vrednosti signala x[n], na sledeći način:

.)(][1

2∫= dfefXnx fnj π

Prethodnom izrazom definisana je inverzna Furijeova transformacija signala ).( fX Signali x[n] i )( fX čine Furijeov transformacioni par, što se prikazuje

).(][ fXnx FT⎯⎯→←

U izrazima za Furijeov transformacioni par se može koristiti kružna učestanost, tako da tada važi:

( ) ,][∑+∞

−∞=

Ω−=Ωn

njenxjX

( ) ,21][ ∫

−

Ω ΩΩ=π

ππdejXnx nj

).(][ Ω⎯→← jXnx FT

Važna osobina funkcija )( fX i )( ΩjX je da su to kontinulane funkcije, sa periodom 1, odnosno ,2π respektivno.

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

25

4.2. Zadaci

Zadatak 1 - Razvoj diskretnih signala u Furijeov red

Kontinualni signali x(t) i y(t) definisani su na sledeći način:

msT

trecttt

ty

ttrittx

50

)2()50sin(1)(

)()100(cos)( 2

=

=

=

π

π

Napisati program koji:

a) Iscrtava signale x(t) i y(t).

b) Ukoliko se izvrši odabiranje signala x(t) i y(t) sa periodom odabiranja:

- T1 = 1ms

- T2 = 5ms

- T3 = 20ms

određuje i iscrtava Furijeovu transformaciju diskretnih signala x[n] i y[n]. Objasniti dobijene rezultate.

c) Ukoliko je signal x[n] dobijen odabiranjem signala x(t) sa periodom T1, određuje i prikazuje

koeficijente Furijeovog reda diskretnog signala .6364],[][ ≤≤−= nnxnx f

d) Koristeći Furijeove koeficijente X[k] iz prethodne tačke određuje signal

∑=

−=

127

0

1282

1 ][][k

nkj

ekXnxπ

na intervalu 127128 <<− n i poredi ga sa signalom x[n] (prikazuje na istom grafiku). Objasniti dobijene rezultate.

Primer za:

.100)()70sin()(

))()()(100sin()( 202

msTTtuettty

TtueTtuettxt

tt

=+=

−+−=−

−

π

π

function f = fx(t) f =sin(100*pi.*t).*(exp(-40.*t).*((t>=0)&(t<0.1)) + exp(20.*t).*((t<0)&(t>-0.1))); function f = fy(t) f = t.*sin(70*pi.*t).*(exp(-33*t).*(t>-0.1));

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

26

% Funkcija koja ima za cilj da izvrsi odabiranje funkcija x(t) % i y(t), kao i da odredi Furijeovu transformaciju tako % dobijenih diskretnih funkcija. function [x,X,y,Y] = SPEC(T1,n,f), for i = 1:length(n), x(i) = fx(n(i)*T1); y(i) = fy(n(i)*T1);

end for i = 1:length(f), X(i) = sum(x.*exp(-j*2*pi*f(i)*n)); Y(i) = sum(y.*exp(-j*2*pi*f(i)*n));

end clc; T = 0.1; t = -1.2*T:0.001:1.2*T; x = fx(t); y = fy(t); figure(1); plot(t,x); title('Signal x(t)'); grid on; pause figure(2); plot(t,y); title('Signal y(t)'); grid on; pause close all; T1 = 1/1000; n = -floor(T/T1+1):floor(T/T1+1); f = -1:0.01:1; [x,X,y,Y] = SPEC(T1,n,f); figure(3); subplot(221); plot(f,abs(X)); title('Amplitudska karakteristika x[n]:T1'); grid on; subplot(223); plot(f,angle(X)); title('Fazna karakteristika x[n]'); grid on; subplot(222); plot(f,abs(Y)); title('Amplitudska karakteristika y[n]:T1'); grid on; subplot(224); plot(f,angle(Y)); title('Fazna karakteristika y[n]');

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

27

grid on; pause close all; T2 = 5/1000; n = -floor(T/T2+1):floor(T/T2+1); [x,X,y,Y] = SPEC(T2,n,f); figure(4); subplot(221); plot(f,abs(X)); title('Amplitudska karakteristika x[n]:T2'); grid on; subplot(223); plot(f,angle(X)); title('Fazna karakteristika x[n]'); grid on; subplot(222); plot(f,abs(Y)); title('Amplitudska karakteristika y[n]: T2'); grid on; subplot(224); plot(f,angle(Y)); title('Fazna karakteristika y[n]'); grid on; pause close all; T3 = 20/1000; n = -floor(T/T3+1):floor(T/T3+1); [x,X,y,Y] = SPEC(T3,n,f); figure(5); subplot(221); plot(f,abs(X)); title('Amplitudska karakteristika x[n]:T3'); grid on; subplot(223); plot(f,angle(X)); title('Fazna karakteristika x[n]'); grid on; subplot(222); plot(f,abs(Y)); title('Amplitudska karakteristika y[n]:T3'); grid on; subplot(224); plot(f,angle(Y)); title('Fazna karakteristika y[n]'); grid on; pause close all;

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 4

28

n= -64:63; Nf = 128; clear x; for i = 1:length(n), x(i) = fx(n(i)*T1);

end clear X; k = 0:Nf-1; for i=1:length(k), X(i)=1/Nf*sum(x.*exp(-j*2*pi*k(i)/Nf*n));

end figure(6); subplot(211); stem(k,abs(X)); title('Moduo koeficijenta Furijeovog reda'); grid on; subplot(212); stem(k,angle(X)); title('Faza koeficijenata Furijeovog reda'); grid on; pause n = -128:127; x = [zeros(1,64) x zeros(1,64)]; for i = 1:length(n), x1(i) = sum(X.*exp(j*2*pi*k*n(i)/128));

end figure(7); stem(n,x1); grid on; title('Plavi -rekonstruisani signal; Crveni – pocetni signal'); hold on pause; stem(n,x,'r');