제6회 우수리포트 공모대회 장려상 수상작

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도

손정은, 이윤희(사범대학 수학교육과)

* 이 글은 2007년 1학기 ‘복소변수함수론’(담당교수: 권오남) 강좌의 리포트이다.

차 례

1. 연구주제

2. 연구목적

3. 연구내용1) 뫼비우스 변환의 정의 2) 자취를 통한 뫼비우스 변환의 분류3) Normal form4) characteristic constant를 통한 뫼비우스 변환의 분류

4. 연구결과1) 패턴 작도의 착상 2) 타원 변환3) 쌍곡 변환4) 포물 변환5) 재미있는 그림 그리기

5. 정리

* 참고문헌

266

뫼비우스 변환의 4가지 유형인 쌍곡, 타원, 포물, loxodromic 변환을 그림으로

나타내어보자. 또한 이 변환을 이용하여 아름다운 패턴을 그려 보자.

실수에서와 달리 복소함수의 경우 다항함수, 지수․로그함수 등 간단한 함수를 제

외하고는 그래프를 그리는 것이 쉽지 않다. 수업시간에 다룬 뫼비우스 변환의 경우

간단한 꼴의 변환이라 하더라도 그 변환을 직관적으로 인식하는 것이 어려웠고, 그

래서 뫼비우스 변환이 기하적으로 어떤 의미를 가지는지에 대해서 궁금했다. 함수

또는 변환을 대수적으로 정의하여 다루는 동시에 변환을 개략적으로나마 그래프로

나타낼 수 있다면 정의역의 상(image)이 어떻게 나타나는지를 알아볼 수 있어 복소

함수를 좀 더 깊이 이해하고 흥미롭게 느낄 수 있을 것이라 생각하였다. 그러한 이

유로 우리는 수업시간에 접한 뫼비우스 변환의 4가지 유형을 그래프로 나타내어보

고 이를 결합하여 재미있는 그림을 그려보기로 하였다.

뫼비우스 변환의 일반적인 꼴은

↦

(이 때 a,b,c,d,z 모두 복소수이고 ad-bc 0)이다. 뫼비우스 변환은 함

수의 합성을 연산으로 가지는 뫼비우스 group ˆ 을 형성한다. 뫼비우스 변

환은 간단한 변환들의 합성으로 나타낼 수 있다. 변환 를 다음과 같이

정의하면

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 267

￭ (translation)

￭ (inversion and reflection)

￭ (dilation and rotation)

￭ (translation)

이다.

뫼비우스 변환을 위의 간단한 4가지 변환으로 분해하여 생각하면 뫼비우스 변환이

가지는 많은 성질들을 직관적으로 보일 수 있다. dilation과 isometry (길이를 보

존하는 변환으로 reflection, translation, rotation이 이에 해당한다)는 명백히

각을 보존하기 때문에 뫼비우스 변환의 각의 보존성은 circle inversion이 각을 보

존한다는 사실을 증명하는 것으로 충분하다. 마찬가지로 circle inversion은 원을

원으로 사상시키는 성질이 있는데, dilation과 isometry도 명백히 원을 원으로 사

상시키기 때문에 이 성질은 뫼비우스 변환에서도 나타난다. 모두 역함

수를 가지고 각각의 역함수를 라 하였을 때, 이 바

로 뫼비우스 변환의 역함수가 되기 때문에 역함수의 존재성 또한 쉽게 보여진다.

뫼비우스 변환 는 행렬 η= 로 나타낼 수 있다.

이러한 행렬 표현을 projective matrix representation이라고 한다. projective

matrix represantation은 두 뫼비우스 변환의 합성을 각각의 projective matrix

representation의 곱으로 나타낼 수 있어서 유용하다. 즉,

π

는 행렬 η를 변환 으로 보내는 사상으로 군 준동형사상(group homomorphism)이

다. 꼴의 모든 행렬은 π의 핵(kernel)이고, 의 center이다. 우리는

quotient group 를 생각할 수 있는데 이 quotient group을

268

projective linear group이라 부르고 로 쓴다. First Isomorphism

Theorem에 의하여 뫼비우스 group ˆ은 와 동형이다. 또한

은 이 conjugaion으로 자기 자신에 작용하는 group action

의 핵(kernel)이므로 은 의 inner automorphism group과 동형

이다. η를 행렬식이 1이 되도록 normalize하면, 사상 π는 에서 ˆ로 가는 surjective map이 되기 때문에 뫼비우스 group은 에도 동형이

다. 종합하면 우리는 다음과 같은 동형사상(isomorphism)들을 얻는다.

ˆ

이제 뫼비우스 변환을 포물, 타원, 쌍곡, loxodromic (hyperbolic은 loxodromic

의 특수한 경우이다) 변환으로 분류할 것이다. 뫼비우스 group이 과 동

형이고 가 의 inner automorphism group과 동형이라는 사실로

부터 임의의 뫼비우스 변환의 projective matrix는 그와 conjugate한 행렬을 가진

다. 그런데 tr ζηζ =trη (:자취)가 성립하여 conjugacy class의 모든 원소는 같

은 자취(trace)를 갖는다. 따라서 뫼비우스 변환을 자취로 분류하면 임의의 뫼비

우스 변환과 conjugate한 모든 변환이 같은 유형에 속하도록 할 수 있다.

￭포물 변환

를 만족할 때 포물 변환이라고 한다. 이 같으면 두 변환이

conjugate하기 때문에 모든 포물 변환은 에 conjugate하다.

비포물 변환들은 λλ

( λ )에 conjugate하다. λ 을 character-

istic constant 또는 multiplier라고 부른다.

￭타원 변환

η 인 변환을 타원 변환이라고 한다. η λ λ 이므로 이를 만

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 269

족하는 λ는 　λ　 일 때이다. λ θ로 나타내면 λλ

=

α αα α

, trη=2 α이다. 우리에게 익숙한 회전 변환

α αα α

의 자취 또한 2 α이므로 이 두 행렬은 conjugate하다. 따라서 타

원 변환들은 회전 변환 α αα α

에도 conjugate하다.

￭쌍곡 변환

η>4인 변환을 쌍곡 변환이라고 한다. 이는 λ가 양의 실수일 때이다.

￭Loxodromic 변환

η의 값이 폐구간 [0,4] 안에 속하지 않을 때 그 변환을 loxodromic 변환이라

한다. 이는 　λ　 1 일 때이다.

위의 네 가지 유형의 뫼비우스 변환을 아래의 표와 같이 정리할 수 있다.

<표 1> 네 가지 유형의 뫼비우스 변환의 성질 비교

성질변환 자취의 제곱값() Multipliers Class representative

σ　 　

θ

θ

θθ

σ α

σθ

θ

θθ

σ σ　 　λ λ

λλ

위에서 자취로 뫼비우스 변환을 분류하고 대수적으로 타원, 포물, 쌍곡, loxo-

dromic 변환의 중요한 내용을 살펴 보았는데 지금부터는 multiplier로 네 가지 변

270

환을 다시 정의하고 위에서 살펴본 각 유형의 중요한 내용을 기하적으로 다시 이끌

어내보자.

의 고정점들은 방정식 을 풀어서 찾을 수 있다. 인

경우에는 고정점이 다음과 같다.

ξ

포물 변환의 경우에 이므로 ξ , ξ 는 일치한다.

인 경우에는 두 개의 고정점 중 하나가 무한점이고, 나머지 하나는

ξ 이다. 이 변환은 translations, rotation, dilation들이 결합된 변환

α β이다.

만약 이고 이면 고정점들은 모두 무한점이고 뫼비우스 변환은 순수한

변환 β이다.

뫼비우스 변환을 고정점과 관련하여 표현할 수 있는데 이를 normal form이라고

한다.

먼저 서로 다른 고정점을 가지는 비포물 변환의 경우를 다루어보자. 위의 표에서

타원, 쌍곡, loxodromic 변환 모두 dilation과 conjugate함을 확인할 수 있지만 이

를 고정점을 이용하여 위에서와 다른 방법으로 보일 수 있다. 함수 를

ξ

ξ

로 정의하면 는 ( ξ , ξ )를 (0, )로 보낸다. 여기서 ξ , ξ 는 유한한 값으로 가

정하자. 이 서로 다른 고정점( ξ , ξ )를 가지면 변환 은 0과 에서 고

정점들을 가지는데, 그러한 변환은 바로 dilation이고 따라서 = ( )

또는 이다. 는 아래와 같다.

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 271

ξ

ξ

ξ

ξ.

위의 방정식으로부터 을 구하여 이를 projective matrix로 나타내면

η ξ ξ ξ ξ ξξ ξ

두 고정점 중에서 한 점이 무한점이면

η ξ ξ

위의 표현으로부터 고정점에서의 의 미분계수를 계산할 수 있다.

ξ ξ

포물 변환의 경우는 오직 하나의 고정점 ξ를 가진다. 변환 ξ는 이 점을

로 보내고 따라서 β 또는 β 이다. β

는 아래와 같다.

ξ ξβ

위의 방정식으로부터 을 구하여 projective matrix로 나타내면

η β ξ ξβ βξβ βξ

이 때 ξ 이면

272

η ξ ξ

포물 변환의 경우에는 ξ 임을 쉽게 확인할 수 있다.

앞에서 multiplier 를 λ 으로 정의하였는데 의 multiplier를 고정점에서

의 미분계수로도 정의할 수 있다. 위의 결과로부터 우리는 비포물 변환인 경우

두 개의 고정점과 그 순서가 주어지면 의 multipliers(k)중에서 하나를 charac-

teristic constant로 구별해낼 수 있다. 반대로 순서가 주어진 두 개의 고정점과

characteristic constant 가 주어지면 normal form η ξ ξ 로부터 을 구할

수 있다. 포물 변환일 경우에는 고정점이 한 개이므로 muliplier 1이 바로 charac-

teristic constant이고, 역으로 translation β와 한 개의 고정점이 주어지면

η β ξ 로부터 을 구할 수 있다.

characteristic constant 를 ρ α ( ρ α )로 나타낼 수 있다.

ρ 　 　 　 ξ 　이므로 고정점 ξ 가 어느 정도로 repulsive한 지, ξ 가 어느

정도로 attractive한 지를 나타낸다. 실수 α는 회전요소인데 ξ 의 시계 반대방향

으로 회전하는 정도와 ξ 의 시계방향으로 회전하는 정도를 나타낸다.

ρ 이면 고정점이 attractive 하지도 repulsive하지도 않으므로 이러한 변환

을 타원 변환이라고 한다. 타원 변환은 두 고정점 주위의 모든 점들을 원 위에서

움직도록 한다.

α π 이면 이 변환은 쌍곡 변환이다. 이 변환은 점들을 한 고정점에서

다른 고정점으로 가는 원의 경로를 따라 움직이도록 한다.

ρ α π일 때의 변환은 loxodromic 변환이라 한다. 이 변환은 모든 점들

을 한 고정점에서 다른 고정점으로 S자 모양의 경로를 따라 움직이도록 한다.

두 변환의 그래프는 다음과 같다1).

1) 그림 1, 2는 http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation에서 인용함

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 273

<그림 1> 타원 변환 <그림 2> 쌍곡 변환

multiplier k는 　 　 　λ 　 　 ξ 　이고 η λ λ 이므로 자취와 multi-

plier는 서로 관련이 있다. 그렇기 때문에 뫼비우스 변환을 자취로 분류하는 것이

나 multiplier로 분류하는 것이나 같다. 하지만 두 가지 경우에 뫼비우스 변환을

다루는 관점이 다르다. 전자의 경우는 대수적으로 접근하고, 후자의 경우는 기하

적으로 접근하고 있기 때문이다. muliplier로 분류하는 것이 쌍곡, 타원, 포물,

loxodromic 변환을 보다 직관적으로 이해할 수 있고, 우리의 목표인 뫼비우스 변환

의 그래프를 그리는 것에 보다 유용하다고 생각한다.

고정점을 조사함으로써 뫼비우스 변환을 보다 간단하고 분명히 나타낼 수 있다.

M(z)가 두 고정점 를 가진다고 가정하자. <그림 3, 4>2)에서 볼 수 있듯이 두

고정점을 지나는 원들의 집합을 C라 하자. 뫼비우스 변환은 원을 원으로 사상시키

므로 에 의하여 C의 각 원소들은 C의 다른 원소들로 사상된다.

p를 선분 ξ ξ 위에 있지 않은 ξ ξ 위의 임의의 점이라고 가정하자. K를 반경이

이고 중심이 p인 원이라고 하면 K에 대하여 는 symmetric하다.

2) 그림 3과 4는 Needham, Visual Complex Analysis, CLARENDON PRESS, 1997, p. 163에서 인용함

274

그래서 K는 C의 각 원소들과 직각으로 만난다. p의 위치를 변화하면서 얻어지는 K

의 집합을 C라 하였을 때 C의 각 원소들에 대해 가 symmetric하다. 그래서

C의 각 원소들은 C의 원소들과 수직이다.

<그림 3>에서 (, )을 (0,∞)로 보내는 뫼비우스 변환 F(z)=

를 취해

보자.

<그림 4>는 <그림 3>에 뫼비우스 변환 F을 취한 상이다. 은 다음과 같이 나타

내어진다.

(z)= = = ρ α

뫼비우스 변환에서 원은 원으로 사상되므로 두 고정점 을 지나는 원들의

집합인 C의 원소들은 0과 ∞를 지나는 원으로 사상된다(이러한 원은 원점을 지나

는 직선이다). F는 각을 보존하므로 F(C)의 각 원소들은 F(C)의 원소들과 수직이

고 따라서 F(C)는 원점을 중심으로 하는 원들의 집합이 됨을 알 수 있다.

<그림 3> <그림 4>

타원 변환의 경우 다음이 성립한다.

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 275

= = = α α

이 원점을 중심으로 하는 원들을 각각 자기 자신으로 보내는 변환이므로,

는 의 각 원소들을 자기 자신으로 보내는 변환이다.

α=일 때 <그림 4>는 점 ˜위에 작용한 의 결과를 보여준다. <그림 3>은

대응하는 의 결과 즉, 원위의 점 z를 원래의 원과 의 각을 이루는

위에 놓일 때까지 움직이는 것을 보여준다. 점 ˜ 위에 를 여섯 번 작용하면

다시 자기 자신˜로 사상된다. 이에 대응되는 점 z 위에 M을 여섯 번 작용하면 원

래의 점 z로 사상된다.

밑의 <그림 5>3)는 타원 변환의 보다 자세한 그림이다. 흰 색의 영역은 M에 의해

서 화살표 방향으로 다음 번의 흰 색의 영역으로 사상되고, 6번 마다 원래의 영역

으로 돌아오므로 은 주기가 6이다. 음영이 들어간 부분도 마찬가지로 에

의해서 화살표방향으로의 바로 다음 번의 음영이 들어간 부분으로 사상된다. 보다

일반적으로 α π (이 때 은 같은 값의 분수 중 분모가 가장 작은

분수)이면 은 주기 n을 갖고, α π 가 무리수이면 을 아무리 많이 취하더라

도 항등원은 존재하지 않는다.

<그림 5> 타원 변환

3) <그림 5>는 Needham, Visual Complex Analysis, CLARENDON PRESS, 1997, p. 165에서 인용함

276

쌍곡 변환의 경우 다음이 성립한다.

ρ ρ , ρ

은 z를 팽창시키는 변환이므로 이는 원점을 지나는 직선 <그림 4>에서 점선으

로 나타내어진 직선을 자기 자신으로 사상시키므로, 은 직선에 대응하는 의

원들을 자기 자신으로 보내는 사상이다. 쌍곡 변환은 점들을 하나의 고정점에서 다

른 하나의 고정점으로 가는 원의 경로를 따라 움직이도록 한다.

<그림 6>

<그림 6>에서 분홍색으로 표시된 점 가 사상 ρ 에 의해 점 로 사상될 때 이

에 대응하는 점 는 쌍곡 변환에 의하여 점 로 사상됨을 알 수 있다. <그림 7>4)

은 ρ 일 때의 변환을 스케치한 것이다. 모든 영역위에서 반복적으로 이 변환을

취하면 ξ 로부터는 밖으로 밀려나고 결국 ξ 으로 빨려 들어가게 된다. 이 경우

ξ 를 repulsive fixed point, ξ 를 attractive fixed point라 한다. 만약

ρ 일 경우 ξ 와 ξ 의 역할이 바뀐다.

4) <그림 7>은 Needham, Visual Complex Analysis, CLARENDON PRESS, 1997, p. 165 에서 인용함

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 277

<그림 7> 쌍곡 변환

포물 변환은 하나의 고정점을 가진다. 이를 라 하였을 때 이 점을 로 보내는

변환

에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

β β

<그림 8>5)을 보자. 그려진 원들은 실선으로 그려진 것과 점선으로 그려진 것으

로 나뉜다. 점선으로 그려진 원은 실선으로 그려진 원과 에서 수직으로 만나는 원

들이다. 이러한 두 타입의 원들은 에서 수직으로 대칭적이게 만나기 때문에, 나머

지 하나의 교차점에서도 수직으로 만난다. 두 수직인 원들의 집합은 변환 에 의

해 두 수직인 평행선들의 집합으로 사상된다.

<그림 9>에서 변환 의 방향이 화살표방향이라고 하면 실선은 에 의해 자기

자신으로, 점선은 화살표 방향의 바로 다음의 점선으로 이동한다. 그래서 직사각

형의 영역은 화살표 방향의 바로 다음 영역으로 이동한다.

따라서 <그림 8>에서 우리는 포물 변환 의 기하학적 모습을 바로 볼 수 있다.

실선으로 그려진 원들은 각각 제자리에 있고, 점선으로 그려진 원들은 또 다른 점

선으로 그려진 원으로 이동하게 된다.

5) <그림 8, 9>는 Needham, Visual Complex Analysis, CLARENDON PRESS, 1997, p. 165에서 인용한

것

278

<그림 8> 포물 변환 <그림 9>

쌍곡 변환과 loxodromic 변환 은 이고,

포물 변환 은 β 임을 상기한다. 쌍곡 변환의 경우

ρ, loxodromic 변환의 경우 ρ α이므로 적절히 ρ, α와 두 고정점 ξ ξ

를 잡아서 이 간단한 그림이 되도록 한 후 의 변환을 생각하여 의 그래프를

유추한다. 마찬가지로 포물 변환의 경우도 적절히 β와 하나의 고정점 ξ을 잡아

이 간단한 그림이 되도록 한 다음 의 변환을 생각하여 포물 변환의 그래프를 유

추한다.

￭ 쌍곡 변환을 이용한 개구리 얼굴 작도

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 279

￭ 포물 변환을 이용한 꽃 작도

280

￭ loxodrome 변환을 이용한 구름 작도

￭ 종합적으로 완성된 아름다운 패턴

하늘에 떠있는 구름 아래,

꽃이 활짝 피는 모습을 개구리가 지켜 보고 있어요!

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 281

처음 연구를 시작했을 때, Visual Complex Analysis에 수록된 타원, 쌍곡, 포물

변환으로 나타난 상(image)을 살펴보면서 도대체 어떤 함수로 사상하였기에 이렇

게 아름다운 그림이 그려지는 지가 궁금했었다. 또한 그런 사상을 응용해 컴퓨터

그래픽으로 처리하면 아름다운 문양들을 좀 더 쉽게 그릴 수 있을 것이라는 추측도

할 수 있었다. 비록 우리가 컴퓨터 그래픽 분야에 응용할 만한 연구 결과를 내지는

못하였으나, 응용될 수 있는 가능성을 보여주는 연구였다고 생각한다.

또한 우리는 완성된 아름다운 패턴을 만드는 작업에서, 수업시간에 깊게 다루지

못했던 뫼비우스 변환에 대해 심도 있게 파악할 수 있었으며, 비록 아이들의 색칠

놀이 같아 보이는 면이 있어도, 정의역과 그 정의역이 사상된 치역을 동일한 색으

로 칠하는 과정에는 상당한 고민이 필요하였다.

<참고문헌>

Needham, Visual Complex Analysis, CLARENDON PRESS, 1997

위키피디아 검색 (http://en.wikipedia.org)

282

심사평장려상

손정은, 이윤희 (사범대학 수학교육과)

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도

추상적이고 복잡한 수학이론을 알기 쉽고 친근감 있게 읽을 수는 없을까? 익숙한

그림을 이용하여 수학을 배울 수 있다면 어려워 보이기만 한 수학이 재미있는 놀이

가 될 수도 있을 것이다. 이 글은 복소변수함수론의 과제임에도 불구하고, 뫼비우

스 변환을 이용하여 재미있는 그림들을 그리는 내용으로서 매우 참신한 시도로 보

인다. 뫼비우스 변환은 복소변수함수론에서 비중 있게 다루어지는 주제이지만 아

무래도 추상적이어서 처음 이와 같은 교과목을 배우는 학생들에게 골칫덩어리가

되기 일쑤이다.

뫼비우스 변환을 이용해서 재미있고 아름다운 패턴을 작도한다는 발상이 신선하

다. 과제 자체가 그런 것을 요구했을 수도 있지만, 복소변수함수론의 과제물에서

“하늘에 떠있는 구름 아래 꽃이 활짝 피는 모습을 개구리가 지켜보고 있어요!”와

같은 문장이 나타나리라고 짐작하기는 쉽지 않은 일이다.

다만 전문용어들을 한국어 용어로 쓰지 않고 영어 용어를 그대로 가져다 쓰는 것

은 문제가 많아 보인다. 수학용어를 한국어로 바꾸고 이를 일관성 있게 사용하는

것은 학문적으로도 매우 중요하다. 특히 학부생의 단계에서 한국어 용어를 쓰지 않

게 되면, 점점 더 한국어 용어가 친숙해지지 않을 것이다. 특히 한국어 용어를 즐

겨 사용하는 것은 중등교육과의 연관을 생각할 때 매우 필요한 일이다. 가령 “뫼

비우스 군”이라고 쓰지 않고 “뫼비우스 group”이라고 쓸 이유는 없다. “대칭

변환, 평행이동변환, 회전변환”처럼 널리 사용되는 용어조차 “reflection,

뫼비우스 변환을 통한 아름다운 패턴 작도 / 손정은⋅이윤희 • 283

translation, rotation”와 같이 영어 용어로 쓰는 것은 바람직하지 않다.

“hyperbolic, elliptic, parabolic, loxodromic transform”을 “쌍곡선 변환,

타원 변환, 포물선 변환, 등사곡선 변환”이라고 해야 할 것이다. 전문용어는 영어

용어가 더 익숙한 경우가 많다는 점을 감안하면, 가령 “등사곡선 변환(loxodromic

transform)”처럼 영어 용어를 괄호 안에 넣어서 함께 써 주는 것도 좋을 것이다.

맞춤법에서도 미숙한 점이 보인다. 가령 “나타내어진다”나 “표현되어진다”와

같은 이중피동은 맞춤법에 맞지 않는다. 그냥 “나타난다” 또는 “표현된다”로

쓰거나 “나타내진다”로 써야 한다.

수식이 들어가는 문장에서는 많은 사람들이 실수를 저지른다. 가령 문장 속에 나

오는 수식을 쓴 뒤에 조사를 붙일 때 그 수식과 조사를 띄어 쓰는 사람이 많다. 이

글에서도 그런 경우가 종종 눈에 띄는데, 조사는 앞말에 붙여 써야 하므로 수식의

경우에도 조사를 반드시 붙여 써야 한다. 수학 분야의 글에서는 수식이 너무 길거

나 눈에 잘 띄게 하기 위해 줄을 바꾸어 쓰는 경우가 많이 있다. 일반적으로 문장

중에 나오는 수식뿐 아니라 단락을 바꾸어 표현하는 수식도 전체 문장의 문법상 성

분 중 하나로 간주해야 한다. 따라서 문장을 매끄럽게 하고 의미의 오해를 막기 위

해서 적절한 구두점을 사용하는 것이 꼭 필요하다.

문서편집기를 사용하여 문서를 작성하는 것이 일반화되어 있지만, 많은 사람들

이 자동으로 설정되어 있는 들여쓰기를 따로 고치지 않은 채 단락을 바꾼 수식을

작성한 뒤 그대로 다음 문장을 잇는다. 그러나 이 전체가 하나의 문장임을 감안하

면, 새로운 단락인 것처럼 보이는 곳에서도 들여쓰기를 하는 것은 문법적으로 옳지

않다.

참고문헌은 위키피디아와 교재 하나밖에 제시되지 않았지만, 접근이 독창적인

편이어서 참고문헌이 부족한 것을 벌충하고 있다. 그러나 막상 개구리 얼굴이나 꽃

이나 구름 등 재미있는 그림이라고 제시된 것은 모두 손으로 직접 그린 것이다. 이

것은 뫼비우스 변환을 이용한다는 애초의 기획에서 아쉬운 점으로 남는다. Matlab

이나 Maple 같이 뫼비우스 변환을 직접 그릴 수 있는 프로그램을 이용했다면 좋았

을 것이다.

김재영(기초교육원 과학과 기술 글쓰기 전임대우 강사)