航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 第 225-236頁 民國 98年9月 225 Journal of Photogrammetry and Remote Sensing Volume 14, No.3, September 2009, pp. 225-236

1 國立臺灣大學土木工程學系 副教授 收到日期:民國 99 年 03 月 23 日 2 國立臺灣大學土木工程學系 博士候選人 修改日期:民國 99 年 04 月 19 日 3 內政部地政司衛星測量中心 科員 接受日期:民國 99 年 04 月 23 日 ＊通訊作者, 電話: 886-2-23678645, E-mail: jejaw@ntu.edu.tw

有理函式秩虧處理

趙鍵哲1* 彭念豪

2 黃泊森

3

摘 要

應用衛星影像進行物空間定位及測圖任務須依賴可靠之物像對應關係，其中，有理函數模式(Rational

Function Model, RFM)具有不需引入感測器物理模式並能在某些條件具足下呈現近乎等同於嚴密感測器

模式的物像幾何對應品質，並深具使用上的透明性及便利性，遂成為一通用的物像對應數學工具。然而，

實務作業中，引用控制點方式進行高階有理函式物像對應之參數解算受制於過度參數化影響，為一秩虧

(Rank Deficiency)方程，現行作業常以加入微小常數方式使求解系統穩定，然作業上仍有諸多不便之處。

本研究探討以消除相依參數之概念處理上述問題，經由初步之測試成果驗證，本文引用之方法為能夠選

用獨立參數組且能達提升工作效能之益。

關鍵詞：秩虧、特徵值、特徵根

1. 前言 近年來，高解析度衛星影像因獲取來源廣泛及

便利，民生用途日廣。衛星行徑有一定的軌道，可

由地面控制站直接操控衛星感測器掃描範圍，除了

常態性的攝像任務，針對災害發生的立即性圖資收

集，亦佔極大的優勢。隨著光學及電子科技之進展，

衛星影像地面解析度正逐漸提升，GeoEye-1 全色

態影像已進入 0.41m 地面解析度等級。高解析度衛

星影像方興未艾的發展及應用潛能，也牽動許多空

間資訊生產之議題與研究。

利用衛星影像研判空間幾何資訊需仰賴物像

對應關係，能否準確可靠地解算衛星影像拍攝時的

位置及姿態或找到相應且品質良好的物像對應關

係式，是前述任務圓滿之前提。一般而言，衛星影

像與框幅式影像具有不同之成像方式，為了能攝取

較大範圍並順利存錄攝像內容，衛星影像成像採用

線列式(Line Array)之 CCD(Charge Coupled Device)

配置，利用推掃式(Push-broom)方式成像，其在垂

直航向之方向上具有由中心透視投影(Perspective

Projection)所產生的幾何變形，而平行航向方向則

為近乎平行投影(Parallel Projection)。藉由載台移動

及曝光時間間隔非常短暫的線列成像方式，每一線

列對應之透視中心其位置及姿態(兩者構成外方位

參數)參數須以動態之方式來描述。常見之物像對

應模式可分為兩大類，第一類為嚴密感測器模式

(Rigorous Sensor Model ， 或 稱 Physical Sensor

Model)，考量成像幾何之物理特性，由動態衛星成

像透視中心及物、像點坐標形成共線條件，因此需

引用透視中心之外方位參數方能進行物像解算。線

列式影像每一列有其各自對應之透視中心，理論上，

每一列影像有其對應的外方位參數。某些商業衛星

在影像相關資料上並未提供軌道資訊，而以其他方

式來供應物像對應關係，或者，從使用便利性考量，

產製處理上方便的物像對應轉換參數。因此第二類

型之物像對應模式，也就是變通模式(Alternative

Model，或稱Replacement Sensor Model)因應而生，

例如三維仿射轉換模式(3-D Affine Transformation

Model, AFM) 、 平 行 透 視 投 影 模 式 (Parallel

Perspective Model, PPM)(Vozikis et al., 2003)及有

理函式等。

在變通模式中，一般多採用不具成像物理意義

226 航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 民國 98 年 9月

的多項式表達物像對應，雖然多項式在已知點上之

擬合性良好，但考量地景變化錯縱複雜，倘多項式

軌跡無法與地形幾何吻合時，常易產生嚴重扭曲的

物像對應。相對而言，具分子及分母多項式型態之

有理函式則具備較佳地形描述。高階有理函式雖非

線性方程，但若鬆綁平差模式之嚴密性，則可仿照

直接線性轉換法(Direct Linear Transform, DLT)取

得參數近似解，惟高品質之參數解仍需倚賴後續進

行參數更新迭代演算方能獲致。

高階有理函式中常因為參數間之相依行為造

成法方程矩陣秩虧的現象，成為解算上之困擾，Tao

and Hu(2001)經由實驗觀察在控制點分佈不佳時，

最小二乘平差計算其設計矩陣(Design Matrix)常易

呈現條件不足(Ill-conditioned)或奇異(Singular)的

情況，後者導致法方程式矩陣(Normal Matrix)秩虧

(Rank defect, Rank deficiency)而無法在一般的運作

中求逆。為解決上述問題，首要任務為使法方程式

矩陣滿秩，作法上可採加入約制條件(例如設定高

階項次係數為零之虛擬觀測)補足秩虧數以穩定

(Regularize) 法 程 式 矩 陣 ， 或 利 用 廣 義 逆 陣

(Generalized Inverse)透過最小範數約制求解逆矩

陣，而加入微小常數法似是目前慣用的施作方式，

在 Tao and Hu(2001)文章中雖提出實驗建議值，但

衛星影像場景多元，受到地形以及可用控制點之位

置分佈限制，在此微小常數之使用上仍以試驗法為

主，因此造成在解算彈性及效率上之困擾。為此，

本研究即針對此問題提出變通方法，採用特徵值

(Eigenvalue)為工具，嘗試找出相依之參數並剔除

之，解決造成秩虧之根本問題，並探討與現行作業

方式之優劣。

2. 有理函式

2.1 數學型態

有理函式為利用兩個多項式相除之數學函式，

在衛星影像物像對應上可期能描述較複雜地形幾

何之特性，展現較佳的擬合效果。但使用上亦具有

一些限制及缺點，如參數不具物理意義而不易解讀、

影像大小之限制、分母為零之困擾以及參數間具高

相關性等問題(Madani, 1999)。有理函式數學型態

如式(1)，利用一條有理函式來描述影像上一方向

之物像對應，在衛星影像的物像對應關係中較常採

用三階之有理函式。Tao and Hu(2001)認為一階項

可描述由光學投影之透視現象，而由地球曲率、大

氣折光及透鏡扭曲所產生之變形可由二階項來近

似，其他未知因素所造成之變形(如相機震動)則可

由三階項來補償。

式 (1) 中 ， , 為 正 常 化 之 影 像 坐 標 ，

, , 為正常化之物空間坐標。正常化是指利

用平移及尺度調整，使坐標值的範圍在-1.0 到+1.0

之間，避免矩陣中數值差異過大而造成數值解算上

之問題，如式(2)所示，其中 、 、 及

為影像坐標之平移量及尺度量； 、

、 、 、 及 為地面坐標

之平移量及尺度量。 , , …等則為多項式之係

數，此即為欲求解之參數，可稱之為有理函式係數

(Rational Polynomial Coefficients, RPCs) ；

1, 2, 3則表示 , , 之最大階數，以單一影像

而言，在三階的情況下( 3)共有 78 個未

知參數(如式(3))，因此需要至少 39 個控制點方可

求解。

, ,

, ,

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

, ,, ,

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

(1)

為考量數值穩定性，可將物像坐標值均經正常化處理如下:

趙鍵哲、彭念豪、黃泊森：有理函式秩虧處理 227

,

, ,

(3)

有理函式係數取得方式可分為兩種，其一為間

接(Indirect)取得，即藉由已知之感測器模型去模擬

大量且分佈均勻之物、像點來進行有理函式係數之

求解。其目的為以有理函式係數代替複雜的載體參

數，方便使用者在不需了解感測器成像特性及數學

模式的情況下也可經由此組係數進行物像解算。由

載體資訊取得有理函式係數之作業模式可稱之為

Terrain-Independent，但所得之有理函式係數常包

含有系統性之偏移存在，故仍需要由控制點或數值

高程模型進行修正(Toutin, 2004)。雖然隨著 GPS、

IMU 及 Star Tracker 之進步，軌道參數之幾何品質

及定位精度不斷改進(GeoEye 與 WorldView 即為

顯著例子)，然而修正軌道參數的需求目前仍是常

態作業下的考量。

另一種作法則利用實際存在之地面控制資料

與對應之像點觀測量進行物像關係之求解 (即

Terrain-Dependent)， 又稱為直接(Direct)解法。在

實際作業中常因地面控制資料數量的不足而無法

解算，因而常被認為不實用的作法(Tao and Hu,

2002; Chen et al., 2006)。但隨著愈益頻繁的圖資更

新，以既有圖資作為控制資料的作業方法帶來大量

控制資料之優勢，當軌道參數之幾何品質除系統性

問題外，還隨帶精度不足之疑慮，甚或無堪用之軌

道資訊，則為直接解法之適用時機。然而此種作法

在控制點幾何分佈不佳的情況下，法方程式矩陣便

產生秩虧現象。

如同前述，在以直接法進行衛星影像高階有理

函式之係數解算時，法方程式矩陣易形成奇異現象。

然而並非高階有理函式本身即存有參數相依之問

題，而是應用於透視投影物像關係解算時的過度參

數化效應，一般作業中常用之解決方法如下所述。

2.2 微小常數法

Tao and Hu(2001)引用改善法方程式矩陣條件

數(Condition number)的方法來解決此問題。由矩陣

條件數為矩陣之最大特徵值除以最小特徵值，當矩

陣為奇異時，其最小特徵值趨近於 0，而條件數則

趨近無限大，因此可在法方程式矩陣之對角線元素

上加入一同樣大小之微小常數 。經推導後可得其

特徵值等於原特徵值加上此微小常數，由此最小之

特徵值變為 ，而最大之特徵值通常遠大於 ，因

此可忽略 ，此時矩陣條件數便會大幅下降，而矩

陣之奇異現象則可獲得改善。而針對處理有理函式

之問題，即為在每次迭代時，在法方程式矩陣之對

角線元素中加入此微小常數，如式(4)。

· (4)

其中N為法方程式矩陣， 為加入之微小常數，

I為單位矩陣。適當之微小常數數值不易於解算前

得知，因此 Tao and Hu(2001)提供一由測試所得之

範圍為 0.0002 至 0.004，利用逐次增加之方式以

0.0001 為間隔，將所有微小常數所對應之有理函式

係數都解算出，由檢核資料或是平差之後驗資訊評

估最佳之微小常數。蔡文龍(2005)則針對福衛二號

影像，依照上述作法建議適合用於福衛二號之微小

常數，其建議二階及三階分別採用 0.0002 及

0.00045。此類作法雖可成功解決法方程式矩陣秩

虧問題，但最佳之微小常數不一定出現於建議之區

間中，此時則需要增大測試範圍，藉由反覆計算取

得合適之微小常數值。

(2)

228 航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 民國 98 年 9月

2.3 Eigen-Approach

Puatanachokchai and Mikhail(2008)採用之作法

為將原具有相依性參數之法方程矩陣，轉換至僅具

獨立參數且維度較小之矩陣，當參數不具相依性時

則法方程式不再秩虧故可求逆，採用之作法則為利

用特徵值及特徵向量，令法方程式矩陣 N 經特徵

值分解後如式(5)。

(5)

其中 V 為特徵向量矩陣，D 為特徵值組成之

對角線矩陣。若 N 為一秩虧之矩陣，則其特徵值

中必有零元素存在，將式(5)整理，可寫為式(6)。

(6)

其中 為不為零之特徵值所組成之矩陣，而

及 則分別為對應非零及零特徵值之特徵向量矩

陣，此時新參數之法方程式矩陣即為 ，而轉換前

後之參數關係則為 ，設計矩陣為 ，

利用上述關係式則可求解新參數並更新原參數。相

較於微小常數作法，此法無需反覆計算及加入數值，

在使用之便利及合理性都顯得較佳，然參數轉換後

雖消除參數間之相依性，但原參數中之相依關係卻

無法得知。

3. 本研究提議之方法 基於前述兩類方法不足之處，本研究嘗試找出

參數間之相依關係，在不影響數學模式所描述之現

象前提下剔除相依參數，由此來解決參數相依所造

成之矩陣秩虧問題。

由相依之參數間必存在高相關性之特性，欲求

得相依之參數可由參數間之相關性來評估。但針對

衛星影像之物像對應問題，參數本身就具有高相關

之特性，若採用相關係數作為指標恐不易發揮效用。

因此本研究採與 Puatanachokchai and Mikhail(2008)

類似之出發點，惟著重於從特徵值與特徵向量解析

並分離參數相依現象。其原理乃藉由計算法方程式

矩陣 N 的特徵值，從特徵值為零或數值上趨近於

零之個數得知矩陣之秩虧數，法方程式矩陣 N 具

對稱且元素均為實數之特性，據此分解之特徵向量

彼此正交，因此可得式(7)。

(7)

其中 N、D、V符號定義如前，而由各別特徵值與

特徵向量乘積滿足式(8)

1,2, … , (8)

其中 為特徵值矩陣中第 元素， 為此特徵

值對應之特徵向量。由相依參數在數學模式中，其

係數具線性關係，而這樣的現象亦會出現於設計矩

陣A及法方程式矩陣N中。因此當特徵值 0時，

又 不可為一零向量，為滿足式(8)，此時式(8)等

號右邊相乘後所有元素為零，則法方程式矩陣 N

對應於特徵向量非零元素之行間應存有相依關係，

將此時之特徵向量映射(Mapping)為零向量，如圖 1

之事例所示。依據此特性可進一步評估參數間之相

依關係。

0.10.200

0.3

0 ·

0.10.200

0.3

00000

圖 1 利用特徵向量元素是否為零判斷參數之相依性

(其中 ~ 為法方程式矩陣 之行向量)

然而在實際作業中，受觀測誤差及非線性問題

之近似值影響，理論上為零的特徵值在數值顯現上

為趨近於零之微小數。另外，多組相依參數的複雜

關係亦會造成處理上的困擾，因此研究中採用之策

略為針對一個特徵值接近零之特徵向量，選取一絕

對值最大之元素對應之參數(方法如圖 2)，視為應

剔除之參數，採行選取絕對值最大之考量乃基於認

為其在相依關係中的數值影響性最強。依以上方式

逐次踢除相依參數直至處理完畢所有接近於零值

之特徵值或已達滿秩，如此剔除參數之個數會等於

原始法方程式矩陣之秩虧數。

對應之參數相依

趙鍵哲、彭念豪、黃泊森：有理函式秩虧處理 229

圖 2 選取欲剔除參數之流程

圖 3 以剔除參數之作法解決秩虧問題

在平差計算時，僅於第一次迭代計算時，依照

上述方法判斷需剔除之參數，並將設計矩陣 A 中

對應參數之行向量去除，由此所得之法方程式矩陣

N便不再具有前述欲剔除之參數，在後續迭代過程

中則無需再次判斷，僅需由參數近似值建立新的設

計矩陣 A 矩陣，可如圖 3 所示。經由此程序即可

消除相依參數所造成之影響，進而解決法方程矩陣

秩虧無法進行求逆之困擾。

4. 實驗成果與分析 為測試微小常數法、Eigen-Approach 及本工作

提出之方法對秩虧問題的解決能力及品質，在實驗

設計上，採用一模擬之簡易數學方程使其具有相依

之參數(測試一)來檢驗三種方法理論上之差異，並

以實際影像量測資料(測試二)探討實際作業時三

種方法的實用性。

4.1 測試一

本測試採用部份參數相依之數學式，如式(9)，

其中 x1 與 x8 相依及 x2 與 x9 相依，數值[x1,x2,..

x9]=[5,10,1,2,3,4,6,7,8]。為比較各模式在有無雜訊

(Noise)情況下求解結果之差異，因此採用觀測量(li)

真值以及加入兩組大小不等隨機誤差(σ=±10-5，±

10-3)之觀測值進行參數求解，成果則由後驗方差作

比較，如表 1 所示。

由表 1 中成果顯示，本工作提出之特徵值法去

除 2 個參數，而此 2 個參數皆分別為相依參數中之

一。微小常數法測試範圍為 0.0002-0.004，並從中

擇取最佳求解成果。而比較三種方法之成果，在無

誤差情況下，微小常數法成果稍差，其原因為在法

方程式矩陣加入微小常數，導致其成果無法如同其

餘兩法如此之接近零；在誤差擾動下，三種方法之

擬合效果無顯著差別。另外，為比較在解算時對不

具相依性之參數的影響，將各法所得之參數解與真

值差異列於表 2，而成果同樣顯示出在無誤差下，

微小常數法成果略遜其他二者；而在誤差擾動下，

三者成果未顯示差異性。

230 航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 民國 98 年 9月

1 1 4 1 2 2 2

2 3 1 2 1 4 6

3 4 5 3 3 6 8

2 1 4 3 2 4

1 1 2 2 1 2 1 2 2

4 5 7 2 1 1 3 8 10

1 3 2 3 5 2 4 2 6

4 3 5 6 9 1 1 8 6

2 8 2 3 2 4 2 4 16

表 1 測試一成果

加入誤差 模式 後驗方差 去除參數 加入之微小常數

微小常數法 4.46E-11 0.0010

無誤差 Eigen-Approach 1.56E-24

本研究方法 1.65E-23 x1, x2 微小常數法 1.21E-10 0.0009

σ=±10-5 Eigen-Approach 9.84E-11

本研究方法 9.84E-11 x1, x2

微小常數法 5.44E-07 0.0012

σ=±10-3 Eigen-Approach 5.44E-07

本研究方法 5.44E-07 x1, x2

表 2 測試一之參數解與真值差異成果(參數解-真值)

加入誤差 模式

無誤差

微小常數法 1.36E-06 -6.65E-07 5.59E-07 1.32E-07 -1.38E-06

Eigen-Approach -2.61E-13 -2.23E-13 1.27E-13 -3.66E-13 3.20E-13

本研究方法 -2.27E-13 0.00E+00 -1.14E-13 -1.14E-13 5.68E-14

σ =±10-5

微小常數法 4.04E-08 7.82E-06 -4.50E-06 2.37E-06 -2.02E-06

Eigen-Approach -1.92E-06 8.77E-06 -5.30E-06 2.18E-06 -3.92E-08

本研究方法 -1.92E-06 8.77E-06 -5.30E-06 2.18E-06 -3.92E-08

σ =±10-3

微小常數法 1.92E-04 -4.02E-04 3.53E-04 -3.64E-05 -3.60E-04

Eigen-Approach 1.92E-04 -4.02E-04 3.52E-04 -3.65E-05 -3.59E-04

本研究方法 1.92E-04 -4.02E-04 3.52E-04 -3.65E-05 -3.59E-04

(9)

趙鍵哲、彭念豪、黃泊森：有理函式秩虧處理 231

4.2 測試二

測試二為採用福衛二號影像並以直接法解算

有 理 函 式 係 數 ， 以 影 像 控 制 區 塊

0.2 ; 0.5 作為控制及檢核資料，在本

研究中所有像點量測採用人工方式，控制點與檢核

點於影像中之分佈如圖 4，共採用 239 個控制點以

及 71 個檢核點，解算所得之成果，可藉由檢核點

計算像點坐標Line及Sample分量均方根誤差(Root

Mean Square Error, RMSE)，而本文統計圖中之

RMSE_Total 乃 定 義 為 [(RMSE_Line)2+

(RMSE_Sample)2]1/2。

如同前述，有理函式之秩虧問題受近似值影響，

給 予 不 同 之 近 似 值 ， 秩 虧 數 會 改 變 ， 對

Eigen-Approach 及本研究方法而言，皆由秩虧數來

重組法方程矩陣，由此可分為兩種處理方式，一為

以第一次迭代之法方程矩陣為基準，固定 Eigen-

Approach 法方程矩陣縮減之程度，以及本研究方

法中所需剔除之參數，簡稱固定法；亦可由每次迭

代之法方程矩陣來重新判斷秩虧數，簡稱不固定法

(參照圖 5，以本研究提議之方法為例)。另外，起

始近似值對測試成果有明顯之影響，因此採用各階

有理函式之線性解(例如圖 6~8 之二階近似值代表

以二階有理函式仿線性處理所獲致參數解，而此時

對應之三階係數近似值應為零)作為起始近似值以

及控制點數目(45,67,106,160 及 239，採逐次均勻加

密方式)亦為以下探討之變因。

由圖 6 至圖 8 之成果顯示，微小常數法具有較

穩定之成果，在控制點數較少亦有不錯之 RMSE

的表現。反觀 Eigen-Approach 常會有不穩定的跳動，

且不固定法比固定法來得嚴重，在本研究提議方法

中也有此現象，即固定法比不固定法穩定。而採用

不同階之線性解作為近似值對成果也有明顯之差

異，高階近似值並未具有較好的 RMSE，但隨著控

制點數之增加有接近低階近似值之趨勢。而根據上

述之比較，將較佳之成果比較整理於圖 9。

圖 4 測試二之控制點(紅方塊)與檢核點(黃十字)於影像中之分佈

Sample

Line

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

232 航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 民國 98 年 9月

圖 5 固定法與不固定法之操作示意

圖 6 測試二微小常數法之成果

圖 7 測試二 Eigen-Approach 之成果，左為固定法，右為不固定法

45點 67點 106點 160點 239點

一階近似值 1.145  0.987  0.786  0.680  0.620 

二階近似值 1.271  1.034  0.760  0.704  0.709 

三階近似值 4.148  3.773  1.139  1.059  0.688 

0.000 

1.000 

2.000 

3.000 

4.000 

5.000 

RMSE_Total(pixel)

微小常數法

45點 67點106點

160點

239點

一階近似值 1.203  0.978  0.818  0.732  0.644 

二階近似值 1.716  2.041  0.967  0.858  0.846 

三階近似值 35.239  6.338  5.515  4.033  2.150 

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

RMSE_Total(pixel

)

Eigen Appraoch(固定法)

45點 67點106點

160點

239點

一階近似值 183.819 844.651  1.423  13.409  0.722 

二階近似值 5.512  2.175  6.766  0.762  0.770 

三階近似值 4.139  7.050  3.789  1.575  0.701 

0.000 

200.000 

400.000 

600.000 

800.000 

1000.000 

RMSE_Total(pixel)

Eigen Approach(不固定法)

趙鍵哲、彭念豪、黃泊森：有理函式秩虧處理 233

圖 8 測試二本研究提議方法之成果，左為固定法，右為不固定法

圖 9 以一階線性解作為近似值之測試二各方法之成果比較

表 3 本研究方法於一階線性解作為近似值下所剔除之參數

控制點數 去除之參數序號(固定法)

45 點 b b b b b b b b c c c c c c c c

67 點 b b b b b b b b c c c c c c c c c

106 點 b b b b b b b b b c c c c c c c c c

160 點 b b b b b b b b c c c c c c c c c

239 點 b b b b b b b b c c c c c c c c c

45點 67點106點

160點

239點

一階近似值 1.213  0.978  0.818  0.732  0.644 

二階近似值 14.263  1.302  0.860  0.730  0.766 

三階近似值 14.890  3.920  6.469  3.355  1.450 

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000 RM

SE_Total(pixel)

本研究方法(固定 法)

45點 67點 106點

160點

239點

一階近似值 38.081 3.258 1.405 0.986 1.442

二階近似值 4.119 2.500 3.585 0.817 0.755

三階近似值 11.973 7.990 3.242 1.650 0.842

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

RMSE_Total(pixel

)

本研究方法(不固定法)

45點 67點 106點 160點 239點

微小常數 1.145  0.987  0.786  0.680  0.620 

Eigen_Approach 1.203  0.978  0.818  0.732  0.644 

本研究方法 1.213  0.978  0.818  0.732  0.644 

0.000 

0.200 

0.400 

0.600 

0.800 

1.000 

1.200 

1.400 

RMSE_Total(pixel)

1階線性解為近似值&固定法

234 航測及遙測學刊 第十四卷 第三期 民國 98 年 9月

(a) 在控制點數為 239 且以 2 階線性解為近似值 (b) 在控制點數為 45 且以 1 階線性解為近似值

進行 3 階有理函式解算之條件下 進行 3 階有理函式解算之條件下

圖 10 測試最佳微小常數範圍之範例(資料配置與測試二相同)

由圖 9 中可看出，採微小常數法之成果在多數

情況下略優於其他二者，但差異不明顯。Eigen-

Approach 和本研究提議方法之成果在圖 7 及圖 8

的比較上可看出明顯差異，但在合理的配置下，此

兩法具有相同的解算能力。

本研究方法於一階線性解作為近似值下所剔

除之參數如表 3 所示。由表 3 中顯示，控制點數量

的改變雖會影響參數去除之結果，但差別僅在少數

參數，且此些差異之參數皆屬同一相依參數組合中，

因此乃為合理現象。然而，以不同階數取得近似值

之變因及使用不固定法便會影響相依參數的組合，

其剔除之參數不僅相異且會有個數上之顯著差

異。

考量作業上之便利性，在確定採用一階線性解

作為近似解及固定法後，Eigen- Approach 和本研究

提議方法皆具有唯一解之特性，但對於微小常數法

而言，仍有需反覆代入各微小常數以得到最佳解之

處理，如圖 10(a)所示，即使微小常數的差異很小，

對成果亦有影響。以目前之實驗配置而言，測試

100 組微小常數可在 1 分鐘內完成，對作業程序影

響不大，但若建議之範圍並不適用且差異很大時，

如圖 10(b)，建議範圍在 0.0002-0.004，但最佳之成

果落在 0.3550，則會對解算的成果有顯著負面影

響。

5. 結論 本研究提議以特徵值為基礎之剔除參數法，在

測試成果中與微小常數法及 Eigen-Approach 成果

品質上無明顯差異。

相對於 Eigen-Approach，雖然同樣根基於減少

未知參數個數，本研究所提出之方法其優勢在於可

找出相依之參數，Eigen-Approach 轉換後之參數已

不具原參數之意義，而本研究提議方法所剔除或保

留之參數皆為原參數，由此可得知原參數間之相依

關係，有助於後續應用的分析；相較於微小常數法，

在研究中所提出的方法以剔除相依參數為概念，無

需藉由反覆計算等作法求得最佳成果，由此所得之

成果不但具唯一性且效率也較佳。除此之外，微小

常數法倚賴可靠的區間行使有效及品質良好的解

算，而此項因素在作業中並不是能輕易掌控的。

由本文之理論推演及實驗測試成果顯示，本

研究提議之方法確實可有效解決參數相依所帶來

之秩虧問題，除了可利用於目前衛星影像以直接法

進行有理函式係數求解以外，從方法本身的特性來

看，應可延伸至其他相依方程的對治處理。

參考文獻

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0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010.7

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

微小常數值

RM

SE

Tot

al

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

微小常數值

RM

SE

Tot

al

趙鍵哲、彭念豪、黃泊森：有理函式秩虧處理 235

立成功大學測量與空間資訊學系碩士論文，

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236 Journal of Photogrammetry and Remote Sensing Volume 14, No.3, September 2009

1 Associate Professor, Department of Civil Engineering, National Taiwan University Received Date: Mar. 23, 2010 2 Ph.D. Candidate, Department of Civil Engineering, National Taiwan University Revised Date: Apr. 19, 2010 3 Officer, Satellite Survey Center, Department of Land Administration, M.O.I. Accepted Date: Apr. 23, 2010 *.Corresponding author, Phone: 886-2-23678645,E-mail: jejaw@ntu.edu.tw

Alternative Treatment Of Rank Deficiency When Solving Rational Function Model

Jen-Jer Jaw 1* Nei-Hao Perng 2 Po-Sen Huang 3

ABSTRACT Among models sufficiently employed for positioning and mapping tasks by using satellite

imagery, rational function model (RFM) performs almost as equally well as rigorous sensor model when fulfilling some restrictions, and has gained increasing popularity due to its transparency and convenience on application side. One disadvantage of RFM is the issue of rank deficiency when estimating high-order RFM coefficients by exclusively using ground control points with insufficient geometry as referring to RFM. Although the approach of regularizing normal matrix by adding a small multiplication of the identity matrix has been commonly used to stabilize the system and obtain the solution, non-smoothing processing still gets bothered and suggests that more efficient methods are welcome and expected. To this end, the authors proposed a method in which correlated parameters are to be eliminated. The preliminary result shows that effectiveness of the proposed method towards the solution is highly performed. Apart from that, identifying the correlations among the parameters highlights the very unique contribution as compared to other alternatives.

Keywords: Rank Deficiency, Eigenvalue, Eigenvector.