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対称群の表現論 (組合せ論講義ノート)
橋本隆司
3
目次
第 1章 対称群，線形代数 7
1 n次対称群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 線形代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第 2章 Sn の表現論 19
3 有限群の表現論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Specht加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
参考文献 37
5
はじめに
この講義ノートは鳥取大学大学院工学研究科情報エレクトロニクス専攻の博士前期課程
1年生を対象に行われた講義「組合せ論」の講義ノートを加筆・修正して作成された．
講義では対称群の表現論への入門的な解説を行うことを目標とし，第 1章では対称群の
構造について簡単におさらいした後，線形代数の復習を行い，多重線形代数，すなわち，
ベクトル空間のテンソル積，外積代数，対称代数について説明した．ついで第 2章におい
ては有限群の表現論および指標について解説した後，対称群の表現を組合せ論的に構成す
る Specht加群についての解説を行った．線形代数が縦横に駆使される様子を目の当たり
にすることができるかと思う．
7
第 1章
対称群，線形代数
1 n次対称群
1.1 n次対称群
定義 1.1.1. X,Y を 2つの集合， f : X → Y を X から Y への写像とする．
1. f が全射（上への写像）def.⇐⇒ f (X) = Y
2. f が単射（1対 1写像）def.⇐⇒ f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2
3. f が全単射def.⇐⇒ f は全射かつ単射．このとき f : X
∼→ Y とかく．
部分集合 A ⊂ X に対し， f (A) = { f (x) ∈ Y; x ∈ A}を， f による Aの像という．部分集
合 B ⊂ Y に対し， f −1(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}を， f による Bの逆像という．1点のみから
なる集合の逆像 f −1({y})を単に f −1(y)とかく．また写像 f : X → Y を，部分集合 A ⊂ X
に制限して得られる写像を， f |A : A→ Y とかく．
2つの写像 f : X → Y, g : Y → Z が与えられたとき，その合成写像 g ◦ f : X → Z とは，
各 x ∈ X に対し，Z の元 g( f (x))を対応させる写像である．
X からそれ自身への恒等写像を 1X : X → X, x 7→ xと定める．
写像 f : X → Y が全単射であるとき，∀y ∈ Y に対し，y = f (x)となる X の元 xがただ
1つ存在するので，Y から X への写像が定まる．この写像
Y → X, y 7→ x （ただし y = f (x)）
を f の逆写像といい， f −1 とかく．このとき
f −1 ◦ f = 1X , f ◦ f −1 = 1Y
がなりたつ．
自然数 nに対し，集合 [n] := {1, 2, . . . , n}からそれ自身への全単射な写像全体のなす集合に，写像の合成により積を定義したものを n 次対称群といい，Sn とかく．単位元は
恒等写像 1[n]，σの逆元は逆写像 σ−1 である．Sn の各元を置換という．σ ∈ Sn により，
8 第 1章 対称群，線形代数
i 7→ σ(i) (i = 1, 2, . . . , n)となるとき，σを
σ =
(1 2 · · · nσ(1) σ(2) · · · σ(n)
)とかく．σが全単射であるとは，i , j ⇒ σ(i) , σ( j)を意味する．この記法で，στ = ρ，
すなわち(1 2 · · · nσ(1) σ(2) · · · σ(n)
) (1 2 · · · nτ(1) τ(2) · · · τ(n)
)=
(1 2 · · · nρ(1) ρ(2) · · · ρ(n)
)とすると，ρ(i) = σ(τ(i))となる*1．例えば，n = 3のとき，(
1 2 32 1 3
) (1 2 31 3 2
)=
(1 2 32 3 1
),(
1 2 31 3 2
) (1 2 32 1 3
)=
(1 2 33 1 2
)となることからわかるように，n > 3のとき，Sn は非可換な有限群で，その位数は n!に
等しい．
定義 1.1.2. 集合 Gが群であるdef.⇐⇒ Gは次の 3条件を満たす：
1. ∀x, y, z ∈ Gに対し，結合法則 (xy)z = x(yz)がなりたつ．
2. 単位元とよばれる Gの元 eが存在して，∀x ∈ Gに対し，xe = ex = xがなりたつ．
3. ∀x ∈ Gに対し，Gの元 x′ が存在して，xx′ = x′x = eがなりたつ．この元 x′ を xの逆元とよ
び，x−1 とかく．
群 Gの集合としての濃度 #Gが有限であるとき，Gを有限群といい，#Gを Gの位数という．
1.2 巡回置換，互換
いま
i1 → i2 → i3 → · · · → il−1 → il → i1
となる Sn の元 σを l次の巡回置換といい σ = (i1, i2, . . . , il)とかく．
例 1.2.1. σ =( 1 2 3
2 3 1)は巡回置換で，σ = (1, 2, 3)とかける．同様に，
( 1 2 33 1 2
)= (1, 3, 2).
命題 1.2.2.任意の σ ∈ Sn はいくつかの巡回置換の積でかける．
例 1.2.3. 1. σ =( 1 2 3 4 5
3 5 4 1 2
)について
1→ 3→ 4→ 1, 2→ 5→ 2 ∴ σ = (1, 3, 4)(2, 5) = (2, 5)(1, 3, 4).
2. σ =( 1 2 3 4 5 6 7
4 2 5 1 3 7 6
)について
1→ 4→ 1, 3→ 5→ 3, 6→ 7→ 6 ∴ σ = (1, 4)(3, 5)(6, 7).
*1 本によっては，ρ(i) = τ(σ(i))とする逆の流儀もあるので注意．
1 n次対称群 9
2次の巡回置換を互換という．
命題 1.2.4.任意の巡回置換は互換の積でかける．実際，
(i1, i2, . . . , il) = (i1, il)(i1, il−1) . . . (i1, i2).
証明 . 右辺の置換の積を図式化すると次のようになる:
i1 i2 i3 · · · il
これが左辺の置換に等しいことは明らか． �
命題 1.2.5.任意の互換 (i. j) (i < j)に対し，
(i, j) = (i, i + 1)(i + 1, i + 2) . . . ( j − 2, j − 1)( j − 1, j)( j − 2, j − 1) . . . (i, i + 1)
が成り立つ．
証明 . 上の命題と同様，右辺の置換の積を図式化すると以下の如し:
i i + 1 i + 2 · · · j − 1 j
これが左辺の置換に等しいことも明らか． �
10 第 1章 対称群，線形代数
互換 (i, i + 1)を隣接互換という．
定理 1.2.6.任意の置換はいくつかの隣接互換の積でかける．ただし，その表し方は一通り
とは限らない．
例 1.2.7. σ =( 1 2 3
3 2 1)= (1, 2)(2, 3)(1, 2) = (2, 3)(1, 2)(2, 3).
隣接互換 (i, i + 1)を si とかく．与えられた σ ∈ Sn に対し，
σ = si1 si2 . . . sik (1.2.1)
とかいたときの k の最小値を σの長さといい，ℓ(σ)とかく．特に ℓ(e) = 0とする. また，
(1.2.1)において，k = ℓ(σ)となるとき，右辺を σの最短表示という．
問 1.2.8. S3 のすべての元に対し，その長さを求めよ．
問 1.2.9. S4 の元で長さが最大になる元 wo を求めよ．また，ℓ(wo)および wo の最短表示
を求めよ．
1.3 共役・型
定義 1.3.1. σ, τ ∈ Sn が共役def.⇐⇒ ∃g ∈ Sn s.t. τ = gσg−1.
注意 1.3.2. σ, τ ∈ Sn に対し，σ ∼ τを “σと τが共役” と定めると，2項関係 ∼は同値関係，すなわち,次の 3つの条件をみたす：
1. σ ∼ σ (∀σ ∈ Sn)
2. σ ∼ τ⇒ τ ∼ σ3. σ ∼ τかつ τ ∼ ρ⇒ σ ∼ ρ
今，任意の σ ∈ Sn を
σ = (i1, i2, . . . , il1 )( ji, j2, . . . , jl2 ) · · · (k1, k2, . . . , kls )
と互いに共通部分のない巡回置換の積にかくとき，各因子は互いに可換なので
l1 > l2 > . . . > ls > 0, (l1 + l2 + · · · + l2 = n)
としてよい．数列 (l1, l2, . . . , ls)は σにより一意に決まる．この数列を σの定める分割と
いう．また，p = 1, 2, . . . , nに対し，li = pとなる li の個数を αp = αp(σ)とかき
1α1 2α2 · · · nαn (α1 + 2α2 + . . . nαn = n, α1 > 0, . . . , αn > 0)
を σの型という．
例 1.3.3. σ = 354162879*2 は σ = (1, 3, 4)(2, 5, 6)(7, 8)(9) とかけるので，σ の分割は
(3, 3, 2, 1)，型は 1232.
*2 置換( 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 1 6 2 8 7 9)を行き先 (2行目)だけを抜き出して，単にこうかく (one-line notation)．
2 線形代数 11
定理 1.3.4. σ と τ が共役であるための必要十分条件は，σ と τ の型が一致することで
ある．
証明 . ⇒: σ′ = gσg−1, σ = σ1σ2 · · ·σs (σi は li 次の巡回置換) とすると，gτg−1 =
gσ1g−1 · gσ2g−1 · · · gσsg−1 で，gσig−1 は互いに共通部分のない li 次の巡回置換．
⇐:(略)) �
2 線形代数
2.1 線形代数 (復習)
以下，体 kは R，または Cとする．
定義 2.1.1(vector space). V が k-vector spacedef.⇐⇒
1. V は加法群，
2. スカラー倍とよばれる写像 k × V → V, (λ, v) 7→ λvが定義されていて，（a）λ(µv) = (λµ)v
（b）λ(u + v) = λu + λv, (λ + µ)v = λv + µv
（c）1v = v
がすべての λ, µ ∈ kと u, v ∈ V についてなりたつ．
k-vector spaceV の部分集合 U ⊂ V が，上の 3条件を満たすとき，U を V の k-vector
subspace，あるいは単に部分空間という．
定義 2.1.2. 1. V を k-vector spaceとする．{vi, v2, . . . , vr} ⊂ V が k 上一次独立または
線形独立def.⇐⇒ λ1, . . . , λr ∈ kに対し
λ1v1 + · · · + λrvr = 0⇒ λ1 = · · · = λr = 0
が成り立つ．
2. Σ = {vi, v2, . . . , vn}が V の k-基底def.⇐⇒ Σは k上一次独立であって，∀v ∈ V は
v = λ1v1 + · · · + λnvn (2.1.1)
とかける．このとき，n を V の k 上の次元とよび，n = dimk V とかく．体 k が明らか
なときは添え字を省略する．また，(2.1.1)の形を v1, , . . . , vn の一次結合または線形結合と
いう．
例 2.1.3. Cn = {(x1, . . . , xn)t; xi ∈ C} (n次列ベクトルの全体)
定義 2.1.4(線形写像). V,W を k-vector spaceとするとき，写像 ϕ : V → W が k-線形写
像def.⇐⇒
12 第 1章 対称群，線形代数
1. u, v ∈ V ⇒ ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) (ϕは加法群の準同型)
2. λ ∈ k, v ∈ V ⇒ ϕ(λv) = λϕ(v) (ϕはスカラー倍の作用と可換)
V から W への k-線形写像の全体を Homk(V,W)，また Homk(V,V)を Endk(V)とかく．
Homk(V,W)に和 f + gおよびスカラー倍 λ f ( f , g ∈ Homk(V,W), λ ∈ k)を
( f + g)(v) := f (v) + g(v), (λ f )(v) := λ f (v) (v ∈ V) (2.1.2)
により定めると，Homk(V,W)はまた k-vector spaceになる．
Σ1 = {v1, . . . , vn}, Σ2 = {w1, . . . ,wm}をそれぞれ V,W の基底とすると，ϕ ∈ Hom(V,W)に
対して，m × n行列 A = (ai j)が
ϕ(v j) =m∑
i=1
ai jwi ( j = 1, . . . , n) (2.1.3)
により定まる．行列 Aを基底 Σ1,Σ2 に関する ϕの表現行列という．(2.1.3)を行列の形で
表せば
(ϕ(v1), . . . , ϕ(vn)) = (w1, . . . ,wm)A.
Σ′1 = {v′1, . . . , v′n}, Σ′2 = {w′1, . . . ,w′m}をそれぞれ V,W のもう一つの基底とするとき，Σ′1,Σ′2
に関する ϕの表現行列 Bと，Aとの関係はどうなるかを見よう．Σ1 と Σ′1 の間の基底の変
換行列を P = (αi j)i, j=1,...,n, i.e.v′j =∑
i αi jvi とする．これを行列の形で書くと
(v′1, . . . , v′n) = (v1, . . . , vn)P. (⋆)
同様に，Σ2 と Σ′2 の間の基底の変換行列を Qとする:
(w′1, . . . ,w′m) = (w1, . . . ,wm)Q.
このとき AP = QBとなることが容易にわかる．すぐあとに示すように，基底の変換行列
は可逆であるので，従って B = Q−1APとなる．
命題 2.1.5. V の基底を，Σ,Σ′,Σ′′ とし，Σから Σ′, Σ′ から Σ′′，また Σから Σ′′ への変換行
列をそれぞれ P1, P2, P3 とすると，P3 = P1P2 である．特に，Σ = Σ′′ とすれば P3 = I で
あるから，基底の変換行列は可逆である．
証明 . Σ := {v1, . . . , vn}, Σ′ := {v′1, . . . , v′n}, Σ′′ := {v′′1 , . . . , v′′n }とすると，
(v′1, . . . , v′n) = (v1, . . . , vn)P1
(v′′1 , . . . , v′′n ) = (v′1, . . . , v
′n)P2
(v′′1 , . . . , v′′n ) = (v1, . . . , vn)P3.
一番目の式を二番目の右辺に代入して (v′′1 , . . . , v′′n ) = (v1, . . . , vn)P1P2,これと三番目と比
較して，P3 = P1P2 (∵ v1, . . . , vn は一次独立)． �
2 線形代数 13
商ベクトル空間
k-vector spaceV とその部分空間 U に対し，V ∋ v,wの間の 2項関係 ∼を
v ∼ wdef.⇐⇒ v − w ∈ U
で定めると，これは同値関係で，商集合 V/ ∼に和およびスカラー倍を
[u] + [v] := [u + v], λ[v] := [λv] (u, v ∈ V, λ ∈ k)
により定める*3と，V/ ∼は k-vector spaceになる．これを V を U で割った商ベクトル空
間といい，V/U とかく．このとき，自然な射影 V → V/U, v 7→ [v] は全射な線形写像に
なる．
定理 2.1.6(準同型定理). ϕ : V → W を k-vector spaceの線形写像とすると，
ϕ : V/Ker ϕ→ Im ϕ, [v]→ ϕ(v) (2.1.4)
は同型写像になる．
系 2.1.7. ϕ ∈ Homk(V,W)について，dim V = dim Ker ϕ + dim Im ϕ
系 2.1.8. dim V = dim W とすると，ϕ ∈ Homk(V,W)について，ϕが単射⇔ ϕが全射．
直和
k-vector spaceの族 {Vi}i=1,2,...,r に対し，直積集合 V1 × V2 × · · · × Vr に和およびスカラー
倍を
(x1, x2, . . . , xr) + (y1, y2, . . . , yr) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xr + yr),
λ(x1, x2, . . . , xr) := (λx1, λx2, . . . , λxr)
により定義すれば，k-vector spaceになる．これを {Vi}の直和空間といい，V1⊕V2⊕· · ·⊕Vr，
または⊕r
k=1 Vk で表す．写像 ιi : Vi →⊕r
k=1 Vk, xi 7→ (0, . . . , xi, . . . , 0) (i番目以外はゼロ
ベクトル)は単射線形写像で，これにより各 Vi を直和空間⊕
Vk の部分空間とみなすこと
ができる．このとき (x1, x2, . . . , xr) = x1 + x2 + · · · + xr に注意．
双対空間
(2.1.2)において，W = kとしたものを V∗ とかき，V の双対空間という．{e1, . . . , en}をV の基底とすると，任意の v ∈ V は v = c1e1 + · · · + cnen (c1, . . . , cn ∈ k)と一意的にかける
ので
fi(v) = ci
*3 ただし [v]は vの同値類をあらわす
14 第 1章 対称群，線形代数
とおくと， fi ∈ V∗ (i = 1, . . . , n)，さらに { f1, . . . , fn}が V∗ の基底となることがわかる．こ
れらは fi(e j) = δi j をみたす．基底 fi, . . . , fn を {e1, . . . , en}の双対基底という．
例 2.1.9. Cn = {x = (x1, . . . , xn)t; xi ∈ C}の双対空間 (Cn)∗ は {u = (u1, . . . , un); ui ∈ C} (行
ベクトル)ただし
⟨u, x⟩ = (u1, . . . , un)
x1...
xn
=∑
i
uixi
ei = (0, . . . , 1, . . . , 0)t (第 i成分以外は 0)とおくとき，{e1, . . . , en}は Cn の基底で，その双
対基底は {et1, . . . , e
tn}．
注意 2.1.10. 一般に，任意の (有限次元)ベクトル空間 V に対し，自然な同型 (V∗)∗ ≃ V が
成り立つ．
2.2 テンソル積
次にべクトル空間のテンソル積に導入したいのだが，その前に，例を一つ挙げよう．
例 2.2.1. V := Cn = {x := (x1, . . . , xn)t; xi ∈ C} に対して，V のベクトル空間として
の構造は，なにも各成分が C の元である必要はなく，和とスカラー倍が定義されて
いる空間，すなわちベクトル空間の元であれば，全く同じようにして定義できるこ
とは明白であろう．そこで例えば，W := Cm ∋ y := (y1, . . . , ym)t として，ベクトル
x ⊗ y := (x1y, . . . , xny)t ∈ Cnm の全体を V ⊗W とかく (係数拡大)．このとき，次が成り立
つことに注意: 任意の x, x′ ∈ V; y, y′ ∈ W; λ, µ ∈ kに対して
(λx + µx′) ⊗ y = λx ⊗ y + µx′ ⊗ y
x ⊗ (λy + µy′) = λx ⊗ y + µx ⊗ y′(2.2.1)
また V = Cn,W = Cm の基底として，それぞれ {ei}i=1,...,n, { f j} j=1,...,m，ただし
ei = (0, . . . ,i1, . . . , 0)t f j = (0, . . . ,
j1, . . . , 0)t
をとれば，ei ⊗ f j (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m) が V ⊗W の基底となることは明らかであろ
う．特に dim(V ⊗W) = nm.
上の例を一般化して，ベクトル空間のテンソル積を次のように定義する．V,W,T を
k-vector space，dim V = n, dim W = mとする．写像 Φ : V ×W → T が双線形，i.e.任意
の x, x′ ∈ V; y, y′ ∈ W; λ, µ ∈ kについて
Φ(λx + µx′, y) = λΦ(x, y) + µΦ(x′, y)
Φ(x, λy + µy) = λΦ(x, y) + µΦ(x, y′)
を満たすとする．さらに次の条件を考える:
2 線形代数 15
(T1) x1, . . . , xr ∈ V が一次独立ならば y1, . . . , yr ∈ W に対して
r∑i=1
Φ(xi, yi) = 0⇒ yi = 0 (i = 1, . . . , r)
(T1’) y1, . . . , yr ∈ W が一次独立ならば，x1, . . . , xr ∈ V に対して
r∑i=1
Φ(xi, yi) = 0⇒ xi = 0 (i = 1, . . . , r)
(T2) T は Φ(x, y) (x ∈ V, y ∈ W)により生成される．
補題 2.2.2.上の記号の下，Φが (T1)，(T2)（または (T1’)，(T2)）を満たす⇔V,W の基
底をそれぞれ {ei}, { f j}とするとき，Φ(ei, f j)が T の基底である．
このとき，次の定理が成り立つことが知られている:
定理 2.2.3. k-vector spaceV,W が任意に与えられたとき，k-vector spaceT，
および双線形写像 Φ : V × W → T で，(T1)，(T1’) および (T2) を満たす
ものが存在する．さらに，このような組 (T,Φ) は次の意味で普遍的である:
(T ′,Φ′) を k-vector spaceと双線形写像 V ×W → T ′ の勝手な
組とするとき，線形写像 ρ : T → T ′ で
Φ′(x, y) = ρ(Φ(x, y)) (x ∈ V, y ∈ W)
を満たすものが一意に定まる．
V ×W
Φ
��
Φ′
##GGG
GGGG
GG
Tρ
// T ′
このとき，
V ⊗W := T, x ⊗ y := Φ(x, y)
とかき，V ⊗W を V と W のテンソル積という．V ⊗W は k-vector spaceであるばかりで
なく，双線形写像
V ×W → V ⊗W, (x, y) 7→ x ⊗ y
が与えられていて，(T1),(T1’),(T2)を満たすことに注意．また補題より，dim(V ⊗ W) =
(dim V)(dim W)．
命題 2.2.4. U,V,W を k-vector spaceとするとき，
1. V ⊗W ≃ W ⊗ V x ⊗ y↔ y ⊗ x
2. (U ⊗ V) ⊗W ≃ U ⊗ (V ⊗W) (x ⊗ y) ⊗ z↔ x ⊗ (y ⊗ z)
3. V ⊗ k ≃ k ⊗ V ≃ V x ⊗ λ↔ λ ⊗ x↔ λx
命題 2.2.4の 2.(テンソル積の結合則)より，(U⊗V)⊗W = U⊗(V⊗W)を，単にU⊗V⊗Wと
かく．また，テンソル積は括弧のつけ方に無関係に定まるので⊗s
i=1 Vi = V1⊗V2⊗· · ·⊗Vs
で表す．特に，V1 = V2 = · · · = Vs = V のとき，⊗s
i=1 Vi = V⊗s とかく．
16 第 1章 対称群，線形代数
命題 2.2.5. Ψ : (V∗)⊗s ≃ (V⊗s)∗，ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕs 7→ (v1 ⊗ · · · ⊗ vs 7→ ϕ1(v1) · · · ϕs(vs))
証明 . V の基底を {ei}，V∗ の双対基底を { fi}とすると，ϕ =∑ξi1...is fi1 ⊗ · · · ⊗ fis とかける．
仮定より，任意の (V⊗s)∗ の元での ϕの値がゼロであるから，特に
0 = ϕ(ei1 ⊗ · · · ⊗ eis ) =∑
ji,..., js
⟨f j1 , ei1
⟩· · ·
⟨f js , eis
⟩= ξi1···is (∀i1, . . . , is)
∴ ϕ = 0.
すなわち Ψは単射．dim(V∗)⊗s = dim(V⊗s)∗ = (dim V)s であるから，Ψは同型． �
問 2.2.6. Hom(V,W) ≃ V∗ ⊗W であることを示せ．
2.3 テンソル代数，外積代数，対称代数
直和空間 T (V) :=⊕∞
r=0 V⊗r (ただし V⊗0 = k) に和とスカラー倍を以下で定義する:
t =∑
tr, t′ =∑
t′r (tr, t′r ∈ V⊗r;有限和)に対して，
t + t′ :=∑
(tr + t′r), λt :=∑λtr
これにより，T (V)は k-vector spaceとなるが，さらに，積 tt′ を
tt′ :=∑
n
( ∑r+s=n
tr ⊗ t′s)
で定義すれば，これは双線形，かつ，結合則および分配側を満たす．これを V のテンソル
代数という．
外積代数
次に，線形写像 An : V⊗n → V⊗n を
An(v1 ⊗ · · · ⊗ vn) :=∑σ∈Sn
(−1)σvσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(n)
で定義し*4，∧n V := A (V⊗n)とおく (ただし，
∧0 V := k).∧• V :=
⊕∞n=0
∧n V を V の外
積代数という．
例 2.3.1. n = 2のとき，A2(v1 ⊗ v2) = v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1
n = 3のとき
A3(v1 ⊗ v2 ⊗ v3) = v1 ⊗ v2 ⊗ v3 − v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v1 ⊗ v3 ⊗ v2
+ v2 ⊗ v3 ⊗ v1 + v3 ⊗ v1 ⊗ v2 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1
v1 ∧ · · · ∧ vn := An(v1 ⊗ · · · ⊗ vn)とかく.
*4 (−1)σ := (−1)ℓ(σ)
2 線形代数 17
命題 2.3.2. 1. v1∧· · ·∧(λvi+µv′i)∧· · ·∧vn = λ v1∧· · ·∧vi∧· · ·∧vn+µ v1∧· · ·∧v′i∧· · ·∧vn
2. vσ(1) ∧ · · · ∧ vσ(n) = (−1)σv1 ∧ · · · ∧ vn
dim V = Nとすると，dim∧n V =
(Nn
)で {e1, . . . , eN}が V の基底ならば，{ei1∧· · ·∧ein ; 1 6
i1 < · · · < in 6 N}が∧n V の基底．
命題 2.3.3.線形写像∧k V ⊗∧n−k W → ∧n(V ⊕W)を (v1 ∧ · · · ∧ vk) ⊗ (w1 ∧ · · · ∧wn−k) 7→
v1∧· · ·∧vk∧w1∧· · ·∧wn−k により定義するとき，同型⊕n
k=0(∧k V⊗∧n−k W) ≃ ∧n(V⊕W)
を得る．
命題 2.3.4.線形写像 ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk 7→(v1 ∧ · · · ∧ vk 7→
∑σ(−1)σϕσ(1)(v1) · · · ϕσ(k)(vk)
)によ
り，同型∧kV∗ ≃ (
∧kV)∗ を得る．
問 2.3.5. V の基底を {ei}，V∗ の双対基底を {e∗i }とするとき，{e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ik ; i1 < · · · < ik}が {ei1 ∧ · · · ∧ eik }の双対基底となることを示せ．
対称代数
線形写像Sn : V⊗n → V⊗n を
Sn(v1 ⊗ · · · ⊗ vn) :=∑σ∈Sn
vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(n)
で定義し，Symn V := Sn(V⊗n)とかき，Sym• V :=⊕∞
n=0 Symn V を V の対称代数という．
例 2.3.6. n = 2 S2(v1 ⊗ v2) = v1 ⊗ v2 + v2 ⊗ v1
Sn(v1 ⊗ · · · ⊗ vn)を単に v1 · · · vn とかく (cf.下の命題 2.3.7の 2.)．
命題 2.3.7. 1. v1 · · · (λvi + µv′i) . . . vn = λ v1 . . . vi . . . vn + µ v1 . . . v′i . . . vn
2. vσ(1) . . . vσ(n) = v1 . . . vn
V の基底を {e1, . . . , eN}とすると，{ei11 · · · e
iN
N ; i1, . . . , iN > 0, i1 + · · · + iN = n}が Symn V
の基底．
問 2.3.8. dim Symn V =(
N+n−1N−1
)=
(N+n−1
n
)を示せ．
命題 2.3.9. Symk V ⊗ Symn−k W → Symn(V ⊕ W) を v1 . . . va ⊗ w1 . . .wn−k 7→v1 . . . vkw1 . . .wn−k により定義すれば，同型
⊕nk=0 Symk V ⊗ Symn−k W ≃ Symn(V ⊕W)を
得る．
証明 . p := dim V, q := dim W とおくと dim(V ⊕ W) = p + q．ゆえに dim Symn(V ⊕W) =
(p+q+n−1
p+q−1
)．一方，次の補題 2.3.10より dim(LHS) =
∑nk=0
(p+k−1
a
)(q+n−k−1
n−k
)=
(p+q−1
n
)=
dim(RHS)． �
18 第 1章 対称群，線形代数
補題 2.3.10.等式n∑
k=0
(p + k − 1
a
)(q + n − k − 1
n − k
)=
(p + q − 1
n
)が成り立つ．
証明 . α ∈ Cに対し，展開式 (1 − x)−α =∑∞
k=0
(α+k−1
k
)xk が成り立つ．そこで (1 − x)−p(1 −
x)−q = (1 − x)−p−q の両辺で xn の係数を比較することにより，望む等式を得る． �
命題 2.3.11.写像 ϕi . . . ϕn 7→(v1 . . . vk 7→
∑σ ϕσ(1)(v1) · · · ϕσ(k)(vk)
)により，同型 Symn V∗ ≃
(Symn V)∗ を得る．
証明 . 外積代数の場合と同様，i.e. Symn V∗ ↪→ (V∗)⊗n ≃ (V⊗n)∗ �
V の基底を {e1, . . . , eN}，V∗ の双対基底を {e∗1, . . . , e∗N}とすると，{1∏α(iα!)
(e∗1)i1 . . . (e∗N)iN
}が，Symn V の基底 {ei1
1 . . . eiN
N }の (Symn V∗ の)双対基底となる．
以上で，線形代数，多重線形代数からの準備を終える．
19
第 2章
Snの表現論
3 有限群の表現論
以下，特に断らない限り，ベクトル空間といえば複素数体 C(代数的閉体) 上のものと
する．
3.1 定義
G を (有限) 群，V を有限次元ベクトル空間とし，GL(V) := { f : V → V;線形同型 } とする．
定義 3.1.1.写像 ρ : G → GL(V)が群準同型であるとき，組 (ρ,V)を G の表現という．表
現 (ρ,V)に対して，V をG加群，dim V を ρの次数という．また，ρ(g)vを単に gvとかく．
(σ,W)をもう一つの Gの表現とする．
定義 3.1.2. ϕ ∈ Hom(V,W)がG-linear mapdef.⇐⇒ 図式 V
ϕ //
ρ(g)��
W
σ(g)��
Vϕ // W
がすべての g ∈ G
について可換．G-linear mapの全体を HomG(V,W)とかく．
Gの表現 (ρ,V)に対し，
1. W ⊂ V が部分表現または部分 G 加群def.⇐⇒ ρ(G)W ⊂ W, i.e. g ∈ G, v ∈ W ⇒ gv ∈
W.
2. V が可約表現def.⇐⇒ V の部分 G加群 W で，V % W % {0}を満たすものが存在する．
3. V が既約表現def.⇐⇒ V , {0}，かつ，V は可約でない．
4. W が V の部分 G 加群ならば，V/W も自然な G の作用で G-moduleとなる．これ
を V のW による商表現という．
ϕ ∈ HomG(V,W) に対し，Ker ϕ, Im ϕ はそれぞれ V,W の部分 G 加群で，Cokerϕ :=
20 第 2章 Sn の表現論
W/ Im ϕは，商表現となる．
V,W を二つの G-moduleとするとき，直和 V ⊕W，テンソル積 V ⊗W は
g(v + w) := gv + gw g(v ⊗ w) := gv ⊗ gw (g ∈ G, v ∈ V,w ∈ W)
と定義することにより，G-moduleとなる．
注意 3.1.3. G-moduleV に対し，V⊗n はG-moduleで，∧n V,Symn V はその部分G加群で
ある．
G加群 V に対し，V∗ = Hom(V,C)は
⟨ρ∗(g)v∗, v⟩ =⟨g, ρ(g−1)v
⟩(g ∈ G, v ∈ V, v∗ ∈ V∗)
により G加群になる．これを V の双対表現または双対 G加群という．
さらに，G 加群 V,W に対し，Hom(V,W)も次により G 加群となる: ϕ ∈ Hom(V,W)に
対し
(gϕ)(v) := gϕ(g−1v) (v ∈ V)
W = Cを自明な表現，i.e. ∀w ∈ W に対し，gw := wとしたものが双対表現に他ならない．
問 3.1.4. V,W を G 加群とするとき，G 加群としての同型 Hom(V,W) ≃ V∗ ⊗W がなりた
つことを示せ．
問 3.1.5. G加群 V に対し，VG := {v ∈ V; gv = v (∀g ∈ G)}とおくとき，VG は V の部分G
加群であることを示せ．
問 3.1.6. HomG(V,W) = Hom(V,W)G を示せ．
3.2 完全可約性，Schurの補題
命題 3.2.1. G を有限群，V を G 加群，W ⊂ V を部分 G 加群とするとき，部分 G 加群
W′ ⊂ V でW ⊕W ′ = V を満たすものが存在する．
証明 . H を任意の G不変なエルミート内積とする (cf.問 3.2.3)．
W⊥ := {v ∈ V; H(v,w) = 0 (∀w ∈ W)}
とおくと，W⊥ は V の部分 G加群で，かつ，V = W ⊕W⊥ をみたす*1． �
系 3.2.2.有限群の任意の表現は既約表現の直和で表せる (この性質を完全可約性という)．
すなわち，有限群の任意の表現は完全可約である．
*1 V の H に関する正規直交基底で，始めの r個がW の基底になっているもの {e1, e2, . . . , en}をとって証明する．
3 有限群の表現論 21
問 3.2.3. Gを有限群，V を G加群，H を勝手な V 上のエルミート内積とするとき，
HG(v,w) :=1|G|
∑x∈G
H(xv, xw)
は G不変なエルミート内積であることを示せ．
ただし，H(v,w)が V 上のエルミート内積であるとは，
1. H(λu + µv,w) = λH(u,w) + µH(v,w) (u, v,w ∈ V; λ, µ ∈ k)
2. H(w, v) = H(v,w) (v,w ∈ V)
3. H(v, v) > 0 (v ∈ V)，かつ，H(v, v) = 0⇔ v = 0
を満たすものをいう．
問 3.2.4.複素数を成分とする n次正方行列 Aが
A∗A = AA∗ = I (A∗ := At)
をみたすとき，n次ユニタリ行列という．Cn = {z = (z1, . . . , zn)t; zi ∈ C}上のエルミート内積 (·, ·)を
(z,w) :=∑i=1
ziwi
で定義するとき，Aがユニタリ行列であることと，すべての z,w ∈ Cn について (Az, Aw) =
(z,w)であることとは同値であることを示せ．
補題 3.2.5(Schurの補題). V,W を既約な G加群，ϕ ∈ HomG(V,W)とすると，
1. ϕは同型，または ϕ = 0．
2. V = W ならば ϕ = λI (∃λ ∈ C)．
証明 . 1. V の既約性から，V の部分G加群Ker ϕは，= {0}または = V．Ker ϕ = V ⇔ ϕ = 0
に注意．また前者 (i.e.ϕ：単射)の場合，準同型定理により，V ≃ Im ϕ．W の既約性より，
W の部分 G加群 Im ϕは = {0}または = W．前者の場合，V = {0}となり，V , {0}に反する．Im ϕ = W のとき，ϕは全射となり，ϕは同型．
2. λ ∈ Cを ϕの固有値とすると，ϕ − λI ∈ HomG(V,W),かつ，Ker (ϕ − λI) , {0}．ゆえに 1.より Ker (ϕ − λI) = V，すなわち，ϕ = λI． �
3.3 例
Abel群
(ρ,V) を Abel 群 G の既約表現とする．g ∈ G を任意に固定する．このとき，G の
可換性から ρ(g)ρ(x) = ρ(x)ρ(g) (∀x ∈ G). Schurの補題により，ρ(g) = λgI (∃λg ∈ C)．
V ∋ v , 0を任意に一つとり固定する．ρ(g)v = λgv ∈ Cvと V の既約性により V = Cv．特
に dim V = 1で，ρ : G → C×．
22 第 2章 Sn の表現論
3次対称群 S3
S3 の表現として次のものを考える:
• 自明表現 (trivial rep.) U = C，i.e.σv = v (σ ∈ S3, v ∈ U)
• 符号表現 (alternating rep.)U′ = C，i.e.σv = (−1)σv (σ ∈ S3, v ∈ U′)
• 標準表現 (standard rep.)V :={(z1, z2, z3)t ∈ C3; z1 + z2 + z3 = 0
}とおき，
σ(z1, z2.z3)t := (zσ−1(1), zσ−1(2), zσ−1(3))t (3.3.1)
と定義する．
いま，standard rep.V において，α = (ω, 1, ω2)t, β = (1, ω, ω2)t ∈ V とおけば
(1, 2, 3)α = (ω2, ω, 1)t = ω(ω, 1, ω2)t = ωα
(1, 2, 3)β = (ω2, 1, ω)t = ω2(1, ω, ω2)t = ω2β
(1, 2)α = (1, ω, ω2)t = β
(1, 2)β = (ω, 1, ω2)t = α
(3.3.2)
に注意する．
§4でこれら 3つの S3-加群は既約であることを示す．
さて，W を任意の S3-moduleとする．τ = (1, 2, 3), σ = (1, 2)とおくと，S3 = ⟨τ, σ⟩で
τ3 = σ2 = e, στσ = τ2
となる．⟨τ⟩ ≃ Z/3Zは Abel群であるから，W =⊕
Vi，Vi = Cvi，τvi = ωαi vi とかける．
次に，v ∈ W が τについて固有値 ωi の固有ベクトル，i.e. τv = ωivとすると，
τ(σv) = σ(τ2v) = σ(ω2iv) = ω2iσv
となり，σvは τについて固有値 ω2i の固有ベクトルとなる．
1. ωi , 1のとき，v, σvは一次独立 (cf. 補題 3.3.1)なので，V ′ := ⟨v, σv⟩C ⊂ W とお
くと，v↔ α, σv↔ βにより，V ′ ≃ V (standard rep.)．
2. ωi = 1とする．
（a）σvと vが一次独立でないとき，σv = λvとかけて，λ2 = eより λ = ±1．λ = 1
のとき，⟨v⟩C = U (trivial rep.)で，λ = −1のとき，⟨v⟩C = U′ (alternating rep.)．
（b）σv と v が一次独立なとき，⟨v + σv⟩C = U (trivial rep.)．⟨v − σv⟩C =U′(alternating rep.)．
まとめると，S3 の既約表現は，自明表現 U，符号表現 U′，標準表現 V のいずれかに同
値であることが (既約性の証明をのぞいて)わかった．
補題 3.3.1. ϕ ∈ End(V)の固有値を {λi}i=1,...,n，固有値 λi の固有ベクトルを vi とする．こ
のとき，λi , λ j (i , j)ならば v1, . . . , vn は一次独立である．
4 指標 23
証明 . c1v1 + . . . cnvn = 0 とする．この両辺に ϕ j ( j = 0, 1, . . . , n − 1) をほどこすと，
c1λj1v1 + · · · + cnλ
jnvn = 0．行列の形にかけば
(c1v1, c2v2 . . . , cnvn)
1 λ1 λ2
1 · · · λn−11
1 λ2 λ22 · · · λn−1
2.......... . .
...1 λn λ2
n · · · λn−1n
= (0, 0, . . . , 0)
左辺の行列について，その行列式は∏
i< j(λ j−λi)に等しく*2，これは仮定により , 0，よっ
て可逆．∴ c1v1 = · · · = cnvn = 0．∴ c1 = · · · = cn = 0. �
4 指標
4.1 指標
Gの表現 (ρ,V)に対し，G上の函数 χV : G → CがGの指標であるdef.⇐⇒ χV (g) = tr(ρ(g))
(=線形写像 ρ(g) : V → V の “トレース”)
問 4.1.1. A, Bを n次正方行列とするとき，tr(AB) = tr(BA)を示せ．
上の問から，特に χV (hgh−1) = χV (g)となり，χV は G の共役類上の函数である．一般
に Gの共役類上の函数を類函数という．また
V ≃ W ⇒ χV = χW , χV (e) = dim V
にも注意．実は逆に，χV = χW ⇒ V ≃ W が成り立つ．つまり，有限群の表現は指標によ
り (同型を除き)決まってしまう (cf.系 4.2.5)．
いま，行列 A ∈ Matn(C)の固有値を重複を繰り返して並べたものを {λi}とする:
A ∼[λ1 ∗. . .O λn
]. (4.1.1)
∴ tr A =∑n
i=1 λi.従って，χV (g)は線形写像 g|V の固有値の総和に他ならない．さらに，g|Vは，V 上のある内積に関してユニタリ変換であるから (cf.問 3.2.3および問 3.2.4)，V の
正規直交基底に関して対角化できる (つまり，基底として，固有ベクトルからなるものを
とれる)ことに注意する．
命題 4.1.2. V,W を G加群とすると，
1. χV⊕W = χV + χW , χV⊗W = χVχW , χV∗ = χV
2. χ∧2 V (g) = 12
(χV (g)2 − χV (g2)
), χSym2 V (g) = 1
2
(χV (g)2 + χV (g2)
),
*2 この行列式は Van der Monde行列式と呼ばれる．
24 第 2章 Sn の表現論
証明 . 1. g ∈ G を固定するとき，線形写像 g|V, g|W の固有値をそれぞれ {λi}, {µ j}とすると，g|V⊕W の固有値は {λi} ∪ {µ j}，g|V⊗W の固有値は {λiµ j}*3 となる．ゆえに χV⊕W (g) =
χV (g) + χW (g)，χV⊗W (g) = χV (g)χW (g)．次に，線形写像 g は何回かほどこすと恒等写像
になるから |λi| = 1であることに注意すると，V∗ 上での固有値は λ−1i = λi であるから*4，
∴ χV∗ = χV．
2.また∧2 V 上での gの作用の固有値は {λiλ j; i < j}で，∑
i< j λiλ j =12 ((
∑λi)2 −∑
λ2i )．
g2 の V 上での作用は λ2i であるから
χ∧2 V (g) =12
(χV (g)2 − χV (g2)).
同様に，Sym2 V 上での g の作用の固有値は {λ2i (i = 1, 2, . . . ); λiλ j(i < j)} で，∑
i λ2i +∑
i< j λiλ j =12 ((
∑λi)2 +
∑λ2
i )．
∴ χSym2 V (g) =12
(χV (g)2 + χV (g2)).
�
有限群 Gが有限集合 X = {x1, x2, . . . , xn}に置換群として作用するとき，Gの表現 (ρ,V)
を次のように定義する: X の元の数だけ記号 {exi }i=1,...,n を用意し，V := Cex1 + · · ·+Cexn と
し，各 g ∈ G に対し，線形写像 ρ(g) : V → V を ρ(g)exi = egxi により定義する．(ρ,V)を
G の置換表現という．特に X = G とした置換表現を G の正則表現といい，RG であらわ
す*5．
例 4.1.3. n = 3，X = {1, 2, 3}，G = S3
ρ(213) =
0 1 01 0 00 0 1
ρ(132) =
1 0 00 0 10 1 0
ρ(231) =
0 0 11 0 00 1 0
etc.
命題 4.1.4. V を Gの置換表現とするとき，χV (g) = #{x ∈ X; gx = x}.
S3 の指標表
(i) χは類函数
(ii) σ, τ ∈ S3 が共役⇔σ, τの型が一致より，各共役類 [e], [(1, 2)], [(1, 2, 3)]での指標の値を求める:
*3 v ∈ V,w ∈ W を固有値が λ, µである gの固有ベクトルとすると，g(v⊗w) = gv⊗ gw = λv⊗ µw = λµv⊗w，すなわち v ⊗ wは固有値 λµの固有ベクトル．
*4 {vi}を固有値が λi の固有ベクトルからなる V の基底，{ f j}をその双対基底とすると，∀v =∑
i civi に対し，⟨g. f j, v
⟩=
∑i ci
⟨g. f j, vi
⟩=
∑i ci
⟨f j, g−1.vi
⟩=
∑i ci
⟨f j, λ
−1i v j
⟩=
∑i ciλiδi j =
⟨λ−1
j f j, v⟩. ∴ g. f j = λ
−1j f j.
*5 eg ↔ δg により，RG ≃ {ϕ : G → C} asG-module.
4 指標 25
1 3 2S3 [e] [(1, 2)] [(1, 2, 3)]
trivial U 1 1 1alternating U′ 1 −1 1
standard V 2 0 −1
実際，C3 = U ⊕ V (ただし C3 は S3 の置換表現)より，
χC3 = (3, 1, 0) ∴ χV = χC3 − χU = (3, 1, 0) − (1, 1, 1) = (2, 0,−1).
また，C3 = U ⊕ V となることは，まず permutation rep.について，σv =∑
i zieσ(i) =∑j zσ−1( j)e jより，σ|V = standard rep.,U := V⊥ = {(t, t, t); t ∈ C}とおくと，σ|U = trivial rep.
で C3 = V ⊕ U．
4.2 射影公式
有限群 Gとその表現 V に対し，VG = {v ∈ V; gv = v (∀g ∈ G)}
φ :=1|G|
∑g∈G
g ∈ End(V) (4.2.1)
とおくとき，g1 ∈ G, v ∈ V に対し，
φ(g1v) =1|G|
∑g∈G
g1(gv) =1|G|
∑h∈G
hv
= φ(v)
また
g1φ(v) = g1
( 1|G|
∑g∈G
gv)=
1|G|
∑g∈G
g1(gv)
= φ(v) (4.2.2)
∴ g−1φ(gv) = g−1φ(v) = φ(v), i.e. g−1φg = φ (∀g ∈ G)
特に
命題 4.2.1. φ : V � VG は onto-projection.
証明 . φ(v) ∈ VG は (4.2.2)で示した．逆に，v ∈ VG ならば gv = v (∀g ∈ G) より，
v = 1|G|
∑gv = φ(v)．∴ v ∈ Imφ, φ2 = φ. �
V の中に自明表現が何個あるか，i.e. dim VG は
dim VG = trφ =1|G|
∑g∈G
tr g =1|G|
∑g∈GχV (g) (4.2.3)
26 第 2章 Sn の表現論
で求められる*6．
特に，V: 既約，, (trivial rep.)のとき，VG = {0}であるから，∑g∈G χV (g) = 0．
さらに，G-modulesV,W に対し，Hom(V,W)はまた G-moduleであり，
Hom(V,W)G = HomG(V,W)
に注意する. V,W ともに既約ならば，Schurの補題により
dim HomG(V,W) =
1 if V ≃ W
0 if V ; W.(4.2.4)
Hom(V,W) = V∗ ⊗W より χHom(V,W)(g) = χV (g)χW (g)に注意すれば，(4.2.3),(4.2.4)より
1|G|
∑g∈GχV (g)χW (g) =
1|G|
∑g∈GχHom(V,W)(g)
= dim Hom(V,W)G
=
1 if V ≃ W
0 if V ; W.(4.2.5)
G上の class functionsの空間 Cclass(G)に (エルミート)内積 (·, ·)を
(α, β) :=1|G|
∑g∈Gα(g)β(g) (4.2.6)
で定義する．このとき (4.2.5)は，以下のように言い表せる．
定理 4.2.2.有限群 Gの既約表現の指標は，内積 (4.2.6)に関して直交している．
系 4.2.3. V: irrep.⇔ (χV , χV ) = 1
証明 . ⇒: (4.2.5).
⇐: V =⊕
i aiVi を V の既約分解，i.e. Vi: 互いに同値でない Gの既約表現，ai ∈ N，とすると，χV =
∑i aiχVi．1 = (χV , χV ) =
∑i a2
i より，ある一つの iについてのみ ai = 1で，
他はすべて 0. �
系 4.2.4. Vi: irrep.とするとき，V における Viの重複度multV (Vi)は，multV (Vi) = (χV , χVi )
で与えられる．
系 4.2.5. χV = χW ⇒ V ≃ W.
*6 p : V → V; linear s.t.p2 = pに対し，W := Im p,W′ := Im (1v − p)とおくとき，V = W ⊕W′ を示したい．実際，∀v ∈ V は v = v − p(v) + p(v) ∈ W′ +W とかけるので V = W +W′．次に W′ ⊂ Ker p (∵ w ∈ W′ ならば w = y − p(y) (∃y ∈ V) で，p(w) = p(y) − p2(y) = p(y) − p(y) = 0)に注意して，v ∈ W ∩ W′ とすると，v ∈ W より v = p(x) (∃x ∈ V)，一方，v ∈ W′ ⊂ Ker p より0 = p(v) = p2(x) = p(x) = v．∴ V = W ⊕W′．明らかに，p|W = 1W , p|W′ = 0．そこで Vの basisとして {v1, . . . , vr︸ ︷︷ ︸
W の basis
, vr+1, . . . , vn︸ ︷︷ ︸W′の basis
}をとれば，tr p = dim W．
4 指標 27
証明 . V =⊕
i aiVi, W =⊕
i biVi を既約分解とすると，χV = χW ⇔ (χV , χVi ) =
(χW , χVi ) (∀i)⇔ ai = bi (∀i)⇔ V ≃ W �
最後の系から
#{irrep. ofG
}6 #
{一次独立な G上の class function
}= #
{conjugacy class inG
}がわかる．
R = RG を Gの正則表現とすると，命題 4.1.4より
χR(g) =
0 if g , e
|G| if g = e
ゆえに，G , {e}ならば Rは既約でない．また {Vi}をGの既約表現の同値類全体のなす族
とし，R =⊕
i aiVi とすると，ai = (χVi , χR) = 1|G|χVi (e)χR(e) = dim Vi であるから，
系 4.2.6. Gの任意の既約表現 V は，Rの中に dim V 回現れる (i.e. V の Rにおける重複度
は dim V)．
特にこのことから，Gの既約表現の個数は有限であることが再び従う．実際，χR(e) = |G|より
|G| = dim R =∑
i
ai χVi (e) =∑
i
(dim Vi)2 (4.2.7)
また χR(g) = 0(g , e)より
0 =∑
i
(dim Vi)χVi (g) (g , e) (4.2.8)
これら 2つの式から，Fourier逆公式*7が従う．
4.3 射影公式 2
G上の函数 α : G → Cを考える．G-moduleV に対し，
φα,V :=∑g∈Gα(g)g : V → V
とおく．このとき，
*7 Gの既約表現の同値類全体を Gと記す．Gの表現 ρ : G → GL(Vρ)とG上の函数 φに対し，その Fourier変換 φ : G → End(Vρ)を
φ(ρ) =∑g∈Gφ(g)ρ(g)
で定義するとき，次の Fourier逆公式が成り立つ:
φ(g) =1|G|
∑ρ∈G
dim Vρ · tr(ρ(g−1)φ(ρ)
)ここで，和
∑ρ∈G は Gの既約表現の同値類全体 Gの上をわたる．
28 第 2章 Sn の表現論
命題 4.3.1. α: class function⇔ 任意の G-module V に対し，φα,V ∈ HomG(V,V)(=:
EndG(V)).
証明 . ⇒: h ∈ Gを任意に固定するとき，
φα,V (hv) =∑
g
α(g) g(hv) =∑
g
α(g) (gh)v
gを hgh−1 で置き換えて
=∑
g
α(hgh−1) (hgh−1h)v = h∑
g
α(hgh−1)gv
= hφα,V (v) (∀v ∈ V)
⇐: “αが class functionでない⇒∃V: G-module s.t.φα,V < EndG(V)” を示す．
V := {v : G → C; function}, (gv)(x) := v(g−1x) とおく．α は class functionでないから，
∃g1, g2, h ∈ G s.t. g2 = hg1h−1 andα(g1) , α(g2). δg−12∈ V を
δg−12
(x) =
1 if x , g−12
0 if x = g−12
で定めると，
(φα,Vδg−12
)(e) =∑
g
α(g) (gδg−12
)(e) =∑
g
α(g) δg−12
(g−1)
= α(g2).
一方， ((hφα,Vh−1)δg−1
2
)(e) =
∑g
α(g) (hgh−1δg−12
)(e) =∑
g
α(g) δg−12
((hgh−1)−1)
= α(g1).
ゆえに φα,V < EndG(V). �
命題 4.3.2. #{irrep. ofG
}= #
{conjugacy class inG
}，i.e. {χV ; V : irrep. ofG} は Cclass(G)
の正規直交基底．
証明 . Cclass(G)(=: U と以下では記す)の元 αが，(α, χV ) = 0 (∀V: irrep.)を満たすとする．
φα,V =∑
g α(g) gは ∈ EndG(V) (命題 4.3.1)であるから，Schurの補題より φ = λ1V (∃λ)．n = dim V とおくと，
λ =1n
trφα,V =1n
∑α(g) χV (g)
=1n
∑α(g)χV∗(g) =
|G|n
(χV∗ , α)
= 0 (∵ V∗ : irrep.)
∴ φα,V = 0, i.e.∑α(g) g = 0 (∀V : irrep.)
4 指標 29
特に V = R (regular rep.)とすると，g : R → R は End(R) の中で一次独立*8，ゆえに
α(g) = 0 (∀g ∈ G)．i.e. α = 0.
以上のことをまとめれば，
W :=⟨χV ; V : irrep. ofG
⟩C , W⊥ := {w ∈ U; (w, v) = 0 (∀v ∈ U)}
とするとき，
W⊥ = {0},
すなわち U = W ⊕W⊥ = W．特に dim U = dim W で，dim U = #{conjugacy class inG
},
dim W = #{χV ; V : irrep. ofG
}= #
{irrep. ofG
}. �
S4 の指標表
1 6 8 6 3S4 [e] [(1, 2)] [(1, 2, 3)] [(1, 2, 3, 4)] [(1, 2)(3, 4)]
trivial U 1 1 1 1 1alternating U′ 1 −1 1 −1 1
standard V 3 1 0 −1 −1V ′ = V ⊗ U′ 3 −1 0 1 −1
W 2 0 −1 0 2
standardV
S3 の場合と同様，C4 = V ⊕ U．∴ χV = χC4 − χU = (4, 2, 1, 0, 0) − (1, 1, 1, 1, 1) =
(3, 1, 0,−1,−1)．
また (4.2.7)より 24 = 1 + 1 + 32 + (dim V1)2 + (dim V2)2，(dim V1)2 + (dim V2)2 = 13と
なる既約表現があと 2つ存在する (∵ #{ irrep. } = #{共役類 })，ゆえにそれらの次元はそれぞれ 2, 3である．
そこで今，V ′ := V ⊗ U′ とおけば，χV ′ = χVχU′ = (3,−1, 0, 1,−1)となるが，これは既
約．実際，
(χV ′ , χV ′) =1|S4|
∑σ
χV ′ (σ)χV ′ (σ)
=124
(32 · 1 + (−1)2 · 6 + 02 · 8 + 12 · 6 + (−1)2 · 3)
= 1.
もう一つ 2次元の既約表現があるはずで，それを例えば W とする．χW を求めよう．
(4.2.8)より
• σ = (1, 2) 1 · 1U+ 1 · (−1)
U′+ 3 · 1
V+ 3 · (−1)
V ′+ 2χW (1, 2) ∴ χW (1, 2) = 0
*8 ∑g cg g = 0 in End(R)とする．両辺を δe ∈ Rにほどこせば，∀x ∈ Gに対し，0 = (
∑g cg g)δe(x) = cx.
30 第 2章 Sn の表現論
• σ = (1, 2, 3) 1 · 1U+ 1 · 1
U′+ 0 · 3
V+ 0 · 3
V ′+ 2χW (1, 2, 3) ∴ χW (1, 2, 3) = −1
• σ = (1, 2) 1 · 1U+ 1 · (−1)
U′+ 3 · (−1)
V+ 3 · 1
V ′+ 2χW (1, 2, 3, 4) ∴ χW (1, 2, 3, 4) = 0
• σ = (1, 2)(3, 4) 1 · 1U+ 1 · 1
U′+ 3 · (−1)
V+ 3 · (−1)
V ′+ 2χW ((1, 2)(3, 4)) ∴ χW (1, 2) = 2
5 Specht加群
5.1 Young部分群，Young盤，タブロイド
定義 5.1.1. λ = (λ1, λ2, . . . , λl)が nの分割であるdef.⇐⇒ λ1 > · · · > λl > 0, λ1 + · · · + λl = n
このとき λ ⊢ n, |λ| = n etc.とかく．
例 5.1.2.分割 λ = (3, 3, 2, 1)に，図形
を対応させ，これを λに対応する Young図形という．分割 λに対応する Young図形も λ
とかく．
定義 5.1.3. λ = (λ1, . . . , λl) ⊢ nに対し，Sn の部分群 Young部分群 Sλ を
Sλ := S{1,...,λ1} ×S{λ1+1,...,λ1+λ2} × · · · ×S{λ1+···+λl−1+1,...,n}
で定義する*9．たとえば S(3,3,2,1) = S{1,2,3} ×S{4,5,6} ×S{7,8} ×S{9}.
定義 5.1.4. λ ⊢ nとする．型 (shape)λの Young盤 (Yonug tableau)tλ とは，Young図形 λ
に番号 1から nまでを過不足なく入れたものをいう．たとえば型 の Young盤は
1 23 , 1 3
2 , 2 13 , 2 3
1 , 3 12 , 3 2
1
の 3!個ある．以下，Young盤 tの型を sh tと書く．
定義 5.1.5. λ ⊢ nに対し，λ-タブロイド (λ-tabloid)とは，型 λの Young盤 tλ の同値類 {t}のことをいう．ただし，型 λの Young盤 t, t′ が同値
def.⇐⇒ t, t′ の各行に並ぶ数字の集合が
同一．
たとえば，t = 1 23 と同値な Young盤は 1 2
3 , 2 13 .
∴{
1 23
}=
{1 23 , 2 1
3
}
*9 群Gの部分群の族 H1,H2, . . . ,Hk が，“ i , j⇒ Hi∩H j = {e}” を満たすとき，その直積群 H1×H2×· · ·×Hk
は，(g1, g2, . . . , gk) 7→ g1g2 · · · gk により Gの部分群とみなせる．
5 Specht加群 31
λ = (λ1, λ2, . . . , λl) ⊢ nならば，tλ と同値な Young盤は λ1!λ2! . . . λl!(=: λ!)個だけある．
従って，λ-tabloidの個数は n!/λ!である．
σ ∈ Sn の tλ (λ ⊢ n)への作用を
σ.tλ := (σ(ti j)) tλ = (ti j)
で定める*10．たとえば，(1, 2, 3). 1 23 = 2 3
1 .
さらに σ.{t} := {σ.t}と定義する．これは well defined．実際，t ∼ t′ ⇔ ti,• = t′i,• (∀i)よ
り σ(ti,•) = σ(t′i,•).
5.2 Specht加群
定義 5.2.1. Young盤 tが行 (row) R1,R2, . . . ,Rl，列 (column)C1,C2, . . . ,Ck をもつとき，
Rt := SR1 ×SR2 × · · · ×SRl
Ct := SC1 ×SC2 × · · · ×SCk
をそれぞれ tの row stabilizer, column stabilizerという．{t} = Rttとかけることに注意．
たとえば t = 4 1 23 5 のとき
Rt = S{1,2,4} ×S{3,5}, Ct = S{3,4} ×S{1,5} ×S{2}.
一般に，Sn の部分集合 H に対し，
H+ :=∑σ∈Hσ, H− :=
∑σ∈H
(−1)σσ (∈ C[Sn])
とおき*11，さらに，
κt := C−t =∑σ∈Ct
(−1)σσ
とおく．Young盤 tが列 C1,C2, . . . ,Ck をもつならば，κt = S−C1S−C2· · ·S−Ck
となる．実際，
脚注*9より，
κt = C−t =∑
(σ1,...,σk)∈SC1×···×SCk
(−1)σ1···σkσ1 · · ·σk
=( ∑σ1∈SC1
(−1)σ1σ1
)· · ·
( ∑σk∈SCk
(−1)σkσk
)= S−C1
S−C2· · ·S−Ck
*10 σ.tλ の第 i行第 j列のマスには，数字 σ(ti j)が入る．*11 一般に群 Gに対し，有限和
∑g∈G agg (ag ∈ C)の全体を考え，これらの間の和および積を∑
agg +∑
bgg :=∑
(ag + bg)g,(∑
agg) (∑
bgg)
:=∑
cgg (ただし，cg =∑xy=g
axby)
で定義したものを Gの群環 (group algebra)と呼び，C[G]で表す．
32 第 2章 Sn の表現論
定義 5.2.2.分割 λに対し，
Mλ := C- Span ⟨{t}; sh t = λ⟩ =⊕sh t=λ
C{t}
とおく．また λ-tableaut に対し，et := κt{t} ∈ Mλ とおく．Mλ を置換加群 (permutation
module)，et を polytabloidという．
例 5.2.3. t = 4 1 23 5 のとき
κt = C−{3,4}C−{1,5}C
−{2}
= (e − (3, 4))(e − (1, 5))e
= e − (3, 4) − (3, 4)(1, 5) + (3, 4)(1, 5)
∴ et =
{4 1 23 5
}−
{3 1 24 5
}−
{4 5 23 1
}+
{3 5 24 1
}補題 5.2.4. ∀σ ∈ Sn に対し，
1. Rσt = σRtσ−1
2. Cσt = σCtσ−1
3. κσt = σκtσ−1
4. eσt = σet
がなりたつ．
証明 . 1. g ∈ Rσt ⇔ g{σt} = {σt} ⇔ σ−1gσ{t} = {t} ⇔ σ−1gσ ∈ Rt ⇔ g ∈ σRtσ−1.
2. g ∈ Cσt ⇔ g ∈ R(σt)′ *12 に注意すると，1.より g ∈ R(σt)′ = Rσt′ ⇔ σ−1gσ ∈ Rt′
∴ σgσ−1 ∈ Ct.
3. 2.より
κσt =∑π∈Cσt
(−1)ππ =∑
π∈σCtσ−1
(−1)ππ
=∑π∈Ct
(−1)πσπσ−1 = σ(∑π∈Ct
(−1)ππ)σ−1
= σκtσ−1.
4. 3.より eσt = κσt{σt} = σκtσ−1{σt} = σκt{t} = σet. �
定義 5.2.5.分割 λ ⊢ nに対し，
S λ := C- Span ⟨et; sh t = λ⟩ =⊕sh t=λ
Cet ⊂ Mλ
を Specht加群という．σet = eσt であるから S λ ⊂ C[Sn]et に注意．
*12 t′ により，Young盤 t′ の共役，i.e. tを対角線に関して折り返してできる Young盤を表す．
5 Specht加群 33
例 5.2.6. λ = (n)のとき，t = 1 2 · · n で Ct = {e}であるから，et = { 1 2 · · n }．また ∀σ ∈ Sn に対し，
σet = eσt
={σ(1)σ(2) · · σ(n)
}=
{1 2 · · n
}= et.
ゆえに S (n) = U (trivial rep.)．
例 5.2.7. λ = (1n)のとき，t =
12··n
で Ct = Sn であるから，
et =∑π∈Sn
(−1)ππ{t}
ゆえ，∀σ ∈ Sn に対し，
σet =∑π∈Sn
(−1)σπσπ{t} × (−1)σ
= (−1)σ∑π∈Sn
(−1)ππ{t}
= (−1)σet.
ゆえに S (1n) = U′ (alternating rep.)．
例 5.2.8. n = 3, λ = (2, 1)のとき
e 1 23=
{1 23
}−
{2 31
}=: v3 − v1
e 1 32=
{1 32
}−
{2 31
}=: v2 − v1
e 2 13=
{1 23
}−
{1 32
}= v3 − v2 = e 1 2
3− e 1 3
2
e 2 31=
{2 31
}−
{1 32
}= v1 − v2 = −e 1 3
2
e 3 12=
{1 32
}−
{1 23
}= v2 − v3 = −e 1 2
3+ e 1 3
2
e 3 21=
{2 31
}−
{1 23
}= v1 − v3 = −e 1 2
3
ただし，vi =· ·i とおいた．∴ S (2,1) = C- Span
⟨e 1 2
3, e 1 3
2
⟩.
5.3 部分加群定理
補題 5.3.1(Sign Lemma). H ⊂ Sn を部分群とする．
34 第 2章 Sn の表現論
1. π ∈ H ならば πH− = H−π = (−1)πH−
2. u, v ∈ Mλ に対し，⟨H−u, v⟩ = ⟨u,H−v⟩*13
3. 互換 (b, c) ∈ H ならば，H− = k(e − (b, c)) (∃k ∈ C[Sn]).
4. tableautのある同一行に b, cが含まれ，かつ，(b, c) ∈ H ならば，H−{t} = 0.
証明 . 1. πH− = π∑σ∈H(−1)σσ =
∑σ(−1)σπσ =
∑σ′(−1)πσ
′σ′ = (−1)πH−. H−π =
(−1)πH− も同様．
2. u =∑
c{t}{t}, v =∑
d{s}{s}とすると，
⟨H−u, v
⟩=
∑π∈H
(−1)π ⟨πu, v⟩
=∑π
(−1)π∑{t},{s}
c{t}d{s} ⟨π{t}, {s}⟩ =∑π
(−1)π∑{t},{s}
c{t}d{s}δπ{t},{s}
=∑π
(−1)π∑{t},{s}
c{t}d{s}δ{t},π−1{s}
= · · · = ⟨u,H−v
⟩3. K = ⟨e, (b, c)⟩ = {e, (b, c)} ⊂ H とおくと，H =
⨿i kiK (∃{ki} ∈ H)と disjoint unionで
かける．このとき，H− = (∑
i ±ki)(e − (b, c)).
4.仮定より (b, c){t} = {t}. ∴ H−{t} = k(e − (b, c)){t} = k({t} − {t}) = 0. �
定義 5.3.2. λ = (λ1, . . . , λl), µ = (µ1, . . . , µm) ⊢ nに対し，任意の iについて
λ1 + λ2 + · · · + λi > µ1 + µ2 + · · · + µi
がなりたつとき，λは µに支配的 (dominant)といい，λ D µとかく．ただし i > l (または
i > m)のとき λi = 0 (または µi = 0)とする．
例 5.3.3. 6の分割 (3, 3), (2, 2, 1, 1)について (3, 3) D (2, 2, 1, 1)である．実際
3 > 2, 3 + 3 > 2 + 2, 3 + 3 + 0 > 2 + 2 + 1, 3 + 3 + 0 + 0 > 2 + 2 + 1 + 1.
また (3, 3)と (4, 1, 1)については
3 6 4, 3 + 3 > 4 + 1
より比較不能．
補題 5.3.4(Dominance Lemma). tλ, sµ をそれぞれ λ-, µ-tableauxとする．各番号 iについ
て，sµ の第 i行に含まれる数字が，常に tλ の相異なる列に含まれるならば，λD µである．
証明 . sµ =: sの 1行目に含まれる数字は tλ =: tの相異なる列に含まれるので，
∃q1 ∈ Ct s.t. ∀(sの 1行目の数字) ∈ (q1tの 1行目)
*13 ただし，⟨·.·⟩は ⟨{t}, {s}⟩ = δ{t},{s} で定義される Mλ 上の内積．
5 Specht加群 35
次に，sの 2行目に含まれる数字についても同様に，tの相異なる列，すなわち q1tの相異
なる列に含まれるので
∃q2 ∈ Ct s.t. ∀(sの 1 & 2行目の数字) ∈ (q2q1tの 1 or 2行目)
この操作を続けて
∃q1, . . . , qk ∈ Ct s.t. ∀(sの最初の k行の数字) ∈ (qk · · · q1tの最初の k行)
特に，
λ1 > µ1
λ1 + λ2 > µ1 + µ2
...
λ1 + λ2 + · · · + λk > µ1 + µ2 + · · · + µk
が，k = 1, 2, . . . についてなりたつ． �
例 5.3.5. λ = 32, µ = 2212
s =
5 64 321
t = 4 2 31 5 6
(2,5)(3,6)−−−−−−→ 4 5 61 2 3
系 5.3.6. sh t = λ, sh s = µとするとき，λ = µならば，∃p′ ∈ Rs,∃q ∈ Ct s.t. p′s = qt.
証明 . 上の補題の証明で，qtと sの各行に含まれる数字は同じ．∴ qt = p′s (∃p′ ∈ Rs). �
系 5.3.7. λ, µ ⊢ nとする．sh t = λ, sh s = µとなる Young盤 t, sについて，κt{s} , 0なら
ば，λ D µ．また λ = µならば κt{s} = ±et.
証明 . b, cを sの同一行にある数字とすると，これらは tの同じ列に含まれることはない．
なぜなら，もし同じ列に含まれるとすると，Sign Lemmaより κt = k(e − (b, c))とかけて，
κt{s} = k(e − (b, c)){s} = k({s} − (b, c){s}) = 0. Dominance Lemmaより λ D µ.
λ = µならば，上の系より {s} = q{t} (∃q ∈ Ct). ∴ κt{s} = κtq{t} = (−1)qκt{t} = ±et. �
系 5.3.8. u ∈ Mµ, sh t = µならば，κtuは et のスカラー倍．
証明 . u =∑
i ci{si}, sh si = µ (∀i)とかけて，上の系より κtu = (∑
i ±ci)et. �
定理 5.3.9(Submodule Theorem). U を Mλ の submoduleとすると
U ⊃ S µ or U ⊂ (S µ)⊥
である．特に S µ は既約．
36 第 2章 Sn の表現論
証明 . u ∈ U, tを µ-tableauとする．上の系より κtu = f et (∃ f ∈ C)
(i). f , 0とする．u ∈ U ならば f et = κtu ∈ U (∵ C[Sn]U ⊂ U)より，et ∈ U. よって
C[Sn]et = S µ ⊂ U.
(ii). f = 0とすると κtu = 0 (∀t s.t. sh t = µ). ⟨·, ·⟩は Sn-不変であるから
⟨u, et⟩ = ⟨u, κt{t}⟩ = ⟨κtu{t}⟩ = 0.
S µ = C- Span ⟨et; sh t = µ⟩より u ∈ (S µ)⊥. ∴ U ⊂ (S µ)⊥.
従って W を W ⊂ S µ なる submoduleとすると，上で示したように
W ⊃ S µ or W ⊂ (S µ)⊥.
前者のときはW = S µ，後者のときは W ⊂ S µ ∩ (S µ)⊥ = {0}. �
命題 5.3.10. θ ∈ HomC[Sn](S µ,Mλ)が nonzeroならば，λ D µ．また λ = µのとき，θはス
カラー．
証明 . θ , 0なので ∃et ∈ S λ(基底ベクトル) s.t. θ(et) , 0. Mλ = S λ ⊕ (S λ)⊥ より θを (S λ)⊥
上では 0と拡張すれば θ ∈ HomSn (C[Mλ,Mµ])と看做せて，
0 , θ(et) = θ(κt{t}) = κt(θ{t}) = κt(∑
i
ci{si})
(si : µ-tableau)
従って ∃i s.t. κt{si} , 0ゆえ，系 5.3.7より λ D µ.
次に λ = µとする．系 5.3.8より θ(et) = cet (∃c ∈ C).
∴ θ(eπt) = θ(πet) = πθ(et) = π(cet) = ceπt (∀π ∈ Sn)
S λ = C[Sn]et であるから θ = cIS λ . �
定理 5.3.11. {S λ; λ ⊢ n}は Sn の既約表現のすべてを尽くす．
証明 . 既約性は既に示した．#{Snの既約表現 } = #{Snの共役類 }であるから，
λ , µ⇒ S λ ; S µ
を示せば十分．S λ ≃ S µ とすると，S µ ⊂ Mµ に注意すれば ∃θ , 0 ∈ HomC[Sn](S λ,Mµ).
よって命題 5.3.10より λ D µ. 同様に µ D λ. ∴ λ = µ. �
37
参考文献
[1] Fulton and Harris, Representation theory, Springer Verlag
[2] 岩堀長慶,対称群と一般線型群の表現論 基礎数学講座,岩波書店
[3] Sagan, The symmetric group, Springer Verlag
[4] Goodmann and Wallach, Representations and invariants of the classical groups, Cam-
bridge University Press
[5] 佐武一郎，線型代数学，裳華房
