【三階魔方陣】

有趣的數學題目

1 4

在在在在一一一一次家庭聚會上次家庭聚會上次家庭聚會上次家庭聚會上泰迪泰迪泰迪泰迪給大家出了給大家出了給大家出了給大家出了一一一一道有趣道有趣道有趣道有趣

的數學題的數學題的數學題的數學題::::「「「「我認識我認識我認識我認識一一一一位位位位元元元元先生先生先生先生，，，，他有一串三十三他有一串三十三他有一串三十三他有一串三十三

顆珍珠顆珍珠顆珍珠顆珍珠((((如下圖如下圖如下圖如下圖))))。。。。中間的一顆在所有珍珠中是最中間的一顆在所有珍珠中是最中間的一顆在所有珍珠中是最中間的一顆在所有珍珠中是最

大大大大、、、、最好的最好的最好的最好的，，，，其他的都是經過挑選其他的都是經過挑選其他的都是經過挑選其他的都是經過挑選，，，，然後進行排列然後進行排列然後進行排列然後進行排列。。。。

從從從從左左左左端開始端開始端開始端開始，，，，每個連續的珍珠都比每個連續的珍珠都比每個連續的珍珠都比每個連續的珍珠都比前一顆珍珠前一顆珍珠前一顆珍珠前一顆珍珠要貴要貴要貴要貴

100100100100 英鎊英鎊英鎊英鎊，，，，直到大珍珠直到大珍珠直到大珍珠直到大珍珠為止為止為止為止((((含大珍珠含大珍珠含大珍珠含大珍珠))))。。。。從從從從右右右右端開端開端開端開

始按照始按照始按照始按照 151515150000 英鎊遞增英鎊遞增英鎊遞增英鎊遞增，，，，直到大珍珠直到大珍珠直到大珍珠直到大珍珠為止為止為止為止((((含大珍含大珍含大珍含大珍

珠珠珠珠))))。。。。已知已知已知已知整串珍珠價值整串珍珠價值整串珍珠價值整串珍珠價值 65000650006500065000 英鎊英鎊英鎊英鎊，，，，請問大珍珠請問大珍珠請問大珍珠請問大珍珠

的價值是多少的價值是多少的價值是多少的價值是多少????」」」」 ((((解答詳見解答詳見解答詳見解答詳見P.3)P.3)P.3)P.3)

【33 顆珍珠的價值】......................... 難度:★★★★

將 1～9 共 9 個數字放入左邊的空格中，數字不能

重複，且任意一個直行、橫列及對角線中的數字和皆為

15。請問有幾種排法?

將圖三旋轉 90°、180°、和 270°，我們可以得到下面四個圖形。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

8 3 4

1 5 9

6 7 2

6 1 8

7 5 3

2 9 4

2 7 6

9 5 1

4 3 8

2 9 4

7 5 3

6 1 8

4 3 8

9 5 1

2 7 6

8 1 6

3 5 7

4 9 2

6 7 2

1 5 9

8 3 4

先利用一個簡單的方法找出第一個三階魔方陣先利用一個簡單的方法找出第一個三階魔方陣先利用一個簡單的方法找出第一個三階魔方陣先利用一個簡單的方法找出第一個三階魔方陣：：：：

先把 1，2，3，…，9按次序寫下來（如圖一），中間的 5不動，其他八個數字

看作鐘錶面上的記號，把它們分別按順時針挪動一個位置(如圖二)，再把上、下兩

數對調，左、右兩數也對調，馬上就成功了(如圖三)。如下:

1 ○○○○ ○○○○ 3 2 ○○○○

6 ○○○○

○○○○ 9 8 ○○○○ ○○○○ 7

○○○○ 4 5 ○○○○

圖一

1 ○○○○

○○○○ 3

2 ○○○○

6 ○○○○ ○○○○ 9 8 ○○○○

○○○○ 7

○○○○ 4

5 ○○○○

圖二

1 ○○○○

○○○○ 3

2 ○○○○

6 ○○○○

○○○○ 9

8 ○○○○

○○○○ 7

○○○○ 4

5 ○○○○

圖三

想想看還有什麼樣的方法可以很快的找到這八個魔方陣? 出處：有趣的數學魔方陣（談祥柏/著）

出版者：專業文化出版社－豐閣

這些圖形，表面上看起來很錯綜複雜，但是把圖形畫在透明紙上後，從反面來

觀察，則又可以得到下面四個圖形，總計有八個。

出處：全世界都在玩的有趣數學題

作者:（亨利˙恩斯特˙杜德奈/著）

出版者：宇河文化出版有限公司

NNOO. 11 2007 年 10 月

國中數學專刊

畢達哥拉斯定理

a 2＋b 2=c 2

3

33 顆珍珠的價值

解答：

中間那顆最大的珍珠價

值 3000 英鎊。

aaaa

bbbb cccc

2

畢達哥拉斯定理就是我們所熟悉的畢氏定理，由希臘數學家

畢達哥拉斯所提出，內容為「在任一直角三角形中，其兩股平方和

等於斜邊的平方」(如圖一)。

畢達哥拉斯定理對於幾何學與代數學都有重要的影響，因此

畢達哥拉斯認為世上所有的長度皆可用整數間的比來表示。也就是

說，當時只存在「有理數」的觀念。

但我們不難發現，以一個等腰直角三角形來看，假設等腰的邊

長皆為 1單位長(如圖二)。依照畢達哥拉斯定理，則斜邊為 2 單

位長。而 2 就是我們所說的「無理數」。因此，這個思想違反了

畢達哥拉斯的信念，於是畢達哥拉斯學派封鎖了「無理數」的事實，

但紙包不住火，歐幾里得的時代證明了「無理數」的存在。

參考書籍:

1. 剛部恆治/著，用漫畫來學數學。

2. 奧斯朋出版編輯群，圖解數學辭典。

(3、4、5)

(5、12、13)

(7、24、25)

(8、15、17)

(9、40、41)

(11、60、61)

32＋42＝52

52＋122＝132

72＋242＝252

82＋152＝172

92＋402＝412

112＋602＝612

以上符合畢氏定理的三個正整數稱為畢氏三元數組，想想看還有哪些組合呢?

既然畢達哥拉斯只承認有理數的存在，那符合畢達哥拉斯定理且為正整數

的邊長組合有哪些呢?

假設 a、b、c 為三角形的三邊長(a、b、c 皆為正整數)，此三角形滿足畢

氏定理(a 2＋b 2=c 2 )，找出(a、b、c)有哪些組合?

圖一

x 2＝12＋12 ＝2

x＝ 2

1111

1111 xxxx

圖二

畢達哥拉斯 (Pythagoras of Samos，約西元前 580 年前~西元前 500 年)

畢氏是比同時代中一些開壇授課學者進步一點，他容許婦女來

聽課。畢氏建立畢達哥拉斯兄弟會，崇拜整數、分數為偶像，對於

畢達哥拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。所以

無理數的存在，會引起對他信念的懷疑。

（資料來源：南一高中教具數學發展簡史掛圖）

怎麼辦? 怎麼了?

倉庫是邊長 2公尺的正立方體，

竹竿卻有 3公尺，沒辦法放進去。

對喔! 從對角線放進去不是很容易嗎?

還是你比較聰明! 呵呵! ２

２ ２

２ ＋ ＋ ２

２ ＝ １２ ≒3.5