Модуль 9. Комплексні числа

Структура модуля Вступ

1. Ключові слова 2. Короткий зміст

Теоретична частина Розділ 9.1. Комплексні числа в алгебричній формі 9.1.1. Алгебрична форма комплексного числа 9.1.2. Рівність комплексних чисел 9.1.3. Додавання комплексних чисел 9.1.4. Множення комплексних чисел 9.1.5. Ділення комплексних чисел 9.1.6. Множина комплексних чисел Розділ 9.2. Геометричне зображання комплексних

чисел 9.2.1. Комплексна площина 9.2.2. Полярні координати 9.2.3. Векторне зображання комплексних чисел 9.2.4. Стереографічна проекція Розділ 9.3. Комплексні числа у тригонометричній

та показниковій формах 9.3.1. Тригонометрична форма 9.3.2. Дії з комплексними числами у тригонометри-

чній формі 9.3.3. Степінь комплексного числа 9.3.4. Корінь з комплексного числа 9.3.5. Комплексні числа в показниковій формі Розділ 9.4. Додаткові відомості 9.4.1. Комплексні числа як арифметичні вектори 9.4.2. Розв’язання вправи 9.1 9.4.3. Подальше поширення числових множин 9.4.4. Розв’язання вправи 9.2 9.4.5. Розв’язання вправи 9.3 9.4.6. Розв’язання вправи 9.4 9.4.7. Розв’язання вправи 9.5

Практична частина 1. Контрольні запитання 2. Навчальні задачі 3. Задачі для самостійного розв’язання

Тестова частина 1. Тест 2. Індивідуальне завдання

Модуль 9. Комплексні числа

Вступ

1. Ключові слова

Комплексне число. Дійсна частина комплексного числа. Уявна частина компле-ксного числа. Алгебрична форма комплексного числа. Сума комплексних чисел. Добуток комплексних чисел. Спряжене число. Частка комплексних чисел. Множина комплексних чисел.

Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. Показникова форма компле-

ксного числа. Формула Муавра. Натуральний степінь комплексного числа. Ко-рінь з комплексного числа. Формула Ейлера.

2. Короткий зміст

Теоретичний матеріал модуля викладено на двох рівнях — базовому (розділи 9.1—9.3) і підвищеному (розділи 9.1—9.4). У модулі:

— означено і вивчено комплексні числа; — розглянуто: дії з комплексним числами, їхні властивості, різні форми

запису і різні способи зображання комплексних чисел; — проілюстровано викладену теорію розв’язаними вправами та навчаль-

ними задачами; — запропоновано низку задач для самостійного розв’язання (з відповідя-

ми) та 30 варіантів індивідуальних завдань (із методичними вказівками).

Модуль 9. Комплексні числа

Теоретична частина

9.1. Комплексні числа в алгебричній формі

9.1.1. Алгебрична форма комплексного числа. Означення 9.1. Комплексним числом звуть вираз вигляду

,z x iy (9.1)

де x та y — довільні дійсні числа, а i — символ, який

справджує умову 2 1.i

Числа x та y звуть відповідно дійсною та уявною частинами комплексно-

го числа z x iy і позначають

den denRe , Im .x z y z

Вираз (9.1) звуть алгебричною формою комплексного числа. Зауважте, що уявна частина комплексного числа — дійсне число! Комплексне число 0x i ототожнюють з дійсним числом .x Комплексне

число 0 1i позначають символом .i Про комплексні числа як арифметичні вектори див. у п. 9.4.1. 9.1.2. Рівність комплексних чисел.

Означення 9.2. Комплексні числа 1 1 1z x iy та 2 2 2z x iy звуть

рівними, якщо рівні їхні дійсні та уявні частини:

1 2def

1 21 2

,

.

x xz z y y

Поняття нерівності для комплексних чисел існує лише як заперечення рів-ності, тобто 1 2z z означає, число 1z не дорівнює числу 2.z Поняття «більше»

та «менше» для комплексних чисел не означують, тобто множина комплексних чисел , на відміну від множини дійсних чисел , не впорядкована.

9.1.3. Додавання комплексних чисел. Означення 9.3. Сумою комплексних чисел 1 1 1z x iy та

2 2 2z x iy звуть комплексне число def

1 2 1 2 1 2( ) ( ).z z x x i y y

Додавання дійсних чисел за «комплексним правилом» тотожне додаванню дійсних чисел.

Протилежним до числа z x iy є число ( ) ( ) ( ).z x i y

Під різницею комплексних чисел 1 1 1z x iy та 2 2 2z x iy розуміють

комплексне число

def

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ).z z z z x x i y y

Для будь-яких комплексних чисел 1 2, ,z z z та 3z правдиві рівності:

1) 1 2 2 1z z z z (комутативність додавання);

Модуль 9. Комплексні числа

2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z (асоціативність додавання);

3) 0 ,z z де def0 0 0i (існування нуля);

4) існує єдине комплексне число ( )z таке, що ( ) 0z z (існування

протилежного числа). 9.1.4. Множення комплексних чисел.

Означення 9.4. Добутком комплексних чисел 1 1 1z x iy та

2 2 2z x iy звуть комплексне число def

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ).z z x x y y i x y x y

Множення дійсних чисел за «комплексним правилом» тотожне множенню дійсних чисел. Добутком дійсного числа на комплексне число z x iy

буде комплексне число .z x i y

Отже, ( 1) .z z

Властивість символу ,i яким позначають комплексне число 0 1 ,i що 2 1,i узгоджується із правилом множення комплексних чисел.

Тобто комплексні числа в алгебричній формі можна додавати і множити як

лінійні многочлени, враховуючи, що 2 1i . Для будь-яких комплексних чисел 1 2, ,z z z та 3z :

1) 1 2 2 1z z z z (комутативність множення);

2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z (асоціативність множення);

3) 1 ,z z де def1 1 0i (існування одиниці);

4) якщо 0,z то існує єдине комплексне число 1,z що 1 1zz (існу-

вання оберненого числа); 5) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z (дистрибутивність множення щодо додаван-

ня).

Вправа 9.1. Переконатись, що під «комплексним числом» (тобто об’єктом, для якого зберігаються всі запроваджені вище поняття) x iy можна розуміти і матрицю

1 0 0 1.

0 1 1 0

x yx yy x

Матриці 2 2

0 0 1 0,

0 0 0 1O E відіграють роль нуля

та одиниці; матриця 0 1

1 0

— роль символу .i

Розв’язання вправи 9.1 див. у п. 9.4.2. Піднесення комплексного числа z до натурального степеня n розглядають

як множення числа z на себе n разів:

Модуль 9. Комплексні числа

def

.n

n

z z z z

Можна переконатись, що

1, 4 ,

, 4 1,.

1, 4 2,

, 4 3,

n

n k

i n ki k

n k

i n k

Враховуючи це, маємо:

2 2 2 2 2 2 2

3 3 2 2 3

( ) 2 ( ) 2 ;

( 3 ) (3 ) .

z x iy x xyi i y x y xyi

z x xy x y y i

9.1.5. Ділення комплексних чисел. Комплексне число x iy звуть спря-

женим до числа z x iy і позначають

def

.z x iy

Маємо

2 2 2 2 2( ) 0 ,

0 0.

zz x y i x y z

zz z

Отже, 2 .zz z

Для будь якого комплексного числа 0z x iy існує обернене. Спра-

вді, помножуючи рівність

1 1z z на ,z одержимо

1 12 2 2 2

1.

x yz zz z z z i

zz x y x y

Під часткою комплексних чисел 1 1 1z x iy та 2 2 2 0z x iy розу-

міють комплексне число

def

11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

.z z z x x y y y x x y

z z iz z z x y x y

9.1.6. Множина комплексних чисел. Множину виразів x iy з означе-

ними рівністю та арифметичними діями звуть множиною комплексних чисел і позначають .

Оскільки комплексні числа вигляду 0z a i ототожнюють з дійсними числами, і дії над ними за «комплексними правилами» відповідають діям над дійсними числами, то . Множину розглядають як поширення множи-ни . Отже, правдиві такі включення: .

Зміст попередніх лекцій — а саме: дії над матрицями, обчислення визнач-ників, теорія систем лінійних алгебричних рівнянь та лінійної залежності век-

Модуль 9. Комплексні числа

торів — залишається правдивим, і якщо елементи матриць, визначників, коефі-цієнти та розв’язки СЛАР, координати векторів вважати комплексними числа-ми.

Про подальше поширення множини комплексних чисел див. у п. 9.4.3.

9.2. Геометричне зображання комплексних чисел

9.2.1. Комплексна площина. Комплексне число z x iy зображують на

площині Oxy точкою ( ; )M x y або радіусом-вектором x

OM y (рис. 9.1).

Існує взаємно однозначна відповідність між комплексними числами , , ,z x iy x y та точками площини .Oxy При цьому:

площину, точки якої ототожнюють з комплексними числами, звуть ком-плексною площиною;

вісь абсцис звуть дійсною віссю (на ній лежать дійсні числа );z x

вісь ординат звуть уявною віссю (на ній лежать уявні числа ).z iy

Якщо число z зображують точкою ( ; ),x y то z — ( ; ),x y ( )z —

( ; ),x y ( )z — ( ; )x y (рис. 9.2).

Рис. 9.1 Рис. 9.2

9.2.2. Полярні координати. Для опису положення точки 0M на коор-динатній площині зручно використати полярні координати ( , ), де — дов-

жина вектора ,OM а — кут між вектором OM та віссю Ox (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Полярний радіус звуть модулем комплексного числа ,z а полярний кут

— його аргументом.

den

, Arg .z z

Декартові і полярні координати точки зв’язані співвідношеннями: cos , sin .x y (9.2)

Модуль комплексного числа

2 2 0.z x y zz

xO x

y

My

z

z

zz

zzy

x

y

O x

M

z

Модуль 9. Комплексні числа

Поняття модуля комплексного числа узгоджене з поняттям модуля дійсно-го числа:

2 20 0 .x i x x

Аргумент комплексного числа 0z визначений з точністю до доданку 2 ,k k :

Arg arg 2 , ,z z k k

де arg z — головне значення аргументу, що належить проміжку завдовжки 2

(зазвичай [0; 2 ), ( ; ] або 32 2[ ; )).

Аргумент комплексного числа 0z невизначений (тобто можна брати будь-який), а модуль дорівнює нулеві.

Аргумент та його головне значення можна знайти із системи

2 2

2 2

cos ,

sin .

x

x yy

x y

Зокрема, якщо 3arg ; ,2 2

z то

, 0, 0,2

arctg , 0,arg

, 0, 0,2

arctg , 0.

x y

yx

xzx y

yx

x

(9.3)

Вправа 9.2. Одержати явні формули знаходження головного зна-чення аргументу, що належить проміжкам: 1) [0;2 );

2) ( ; ].

Розв’язання вправи 9.2 див. у п. 9.4.4.

Вправа 9.3. Виразити модуль та аргумент комплексного числа через модуль та аргумент спряженого з ним числа.

Розв’язання вправи 9.3 див. у п. 9.4.5. 9.2.3. Векторне зображання комплексних чисел. При векторному зобра-

жанні комплексних чисел додаванню та відніманню комплексних чисел відпо-відає додавання та віднімання відповідних їм радіусів-векторів (рис. 9.4).

Рис. 9.4

y

xO

1z

1 2z z

2z

Модуль 9. Комплексні числа

Модуль комплексного числа дорівнює довжині радіуса-вектора. Зокрема, правдиві нерівності, які випливають з нерівностей трикутника (див. Тверджен-ня 5.2):

1 2 1 2

1 2 1 2

,

.

z z z z

z z z z

Вправа 9.4. З’ясувати геометричний зміст співвідношень:

1) 0 ;z z a 2) 0 ;z z a 3) 0 ;z z a

4) arg ;z 5) Re ;z a 6) Im .z b

Розв’язання вправи 9.4 див. у п. 9.4.6. 9.2.4. Стереографічна проекція. Побудуймо ще одне зображення множи-

ни комплексних чисел, навіть поповненої нескінченно віддаленою точкою . Розгляньмо сферу, яка торкається комплексної площини в точці O (рис. 9.5). Позначмо через P точку сфери, діаметрально протилежну точці .O Кожній то-чці z комплексної площини поставмо у відповідність точку M — точку пере-тину сфери з відрізком, що з’єднує точки z та .P Самій точці P відповідає не-скінченно віддалена точка.

Така відповідність між точками розширеної комплексної площини (доповне-ної точкою ) є взаємно однозначною, її звуть стереографічною проекцією, а

сферу — сферою Рімана.

Рис. 9.5

9.3. Комплексні числа у тригонометричній та показниковій формах

9.3.1. Тригонометрична форма. Нехай точка, що зображує комплексне число ,z x iy має полярні координати ( ; ). Тоді, враховуючи співвідношення

(9.2), маємо cos sin (cos sin ), 0.z x iy i i

Вираз

(cos sin ), 0,z i

звуть тригонометричною формою комплексного числа .z 9.3.2. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі. Для

комплексних чисел у тригонометричній формі:

1 1 1 1

2 2 2 2

(cos sin ),

(cos sin )

z i

z i

умови рівності, формули множення та ділення виглядають так:

yxz

O

Модуль 9. Комплексні числа

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

, 2 , ;

(cos( ) sin( ));

z z k k

z z i

1 11 2 1 2

2 2

(cos( ) sin( )).z

iz

Доведімо, приміром, формулу множення.

1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

(cos sin ) (cos sin )

[(cos cos sin sin ) (sin cos sin cos )]

[cos( ) sin( )].

z z i i

i

i

9.3.3. Степінь комплексного числа. Враховуючи означення натурального степеня n комплексного числа (cos sin ),z i

матимемо:

[ (cos sin )] (cos sin )

, arg arg .

n n n

n n n

z i n i n

z z n z

Формулу

(cos sin )n nz n i n (9.4)

звуть формулою Муавра.

Вправа 9.5. Довести формулу Муавра методом математичної ін-дукції (принцип математичної індукції).

Розв’язання вправи 9.5 див. у п. 9.4.7. 9.3.4. Корінь з комплексного числа. Обернену операцію — добування

кореня — означують так. Комплексне число w звуть коренем n -го степеня з комплексного числа, якщо

den

, .n nw z w z

Для будь-якого 0z корінь n z має n різних значень. Справді, підстав-ляючи (cos sin ), (cos sin )z i w r i

у формулу (9.4), дістанемо (cos sin ) (cos sin ).nr n i n i

З рівності комплексних чисел випливає рівність їхніх модулів, а аргументи чисел відрізняються на 2 , .k k Тому

2

, .nk

rn

(9.5)

Отже, модулі всіх коренів n -го степеня із z од-

накові, а аргументи відрізняються на 2 .kn Точки на

комплексній площині, що відповідають різним зна-ченням кореня n -го степеня з комплексного числа

0,z розташовані у вершинах правильного n -

x

y

O

n

2

n

2

n

n

01

2

1n

Модуль 9. Комплексні числа

кутника, вписаного в коло радіусом n з центром у

точці 0w (рис. 9.6).

Рис. 9.6

Надаючи у формулі (9.5) числу k значень 0,1, 2, ..., 1,n одержимо n різ-

них комплексних чисел

2 2

cos sin ,

0, 1.

n nk

k kz i

n n

k n

Важливий випадок добування кореня n -го степеня з числа 1. Із рівності 1 cos 0 sin 0i випливає, що

den 2 21 cos sin , 0, 1.n

kk ki k n

n n

На комплексній площині корені n -го степеня з одиниці розташовані на ко-лі одиничного радіуса і поділяють його на n рівних дуг; однією з точок поділу є число 1. Тобто «недійсні» корені n -го степеня з одиниці розташовані симет-рично щодо дійсної осі — попарно спряжені.

Всі значення кореня n -го степеня з комплексного числа z можна одержа-ти помноженням одного зі значень кореня на всі корені n -го степеня з одиниці, приміром,

0 , 0, 1.nk kz k n

9.3.5. Комплексні числа в показниковій формі. Формула Ейлера, що встановлює зв’язок між показниковою та тригонометричними функціями

cos sin , ,ie i

надає можливість записувати комплексні числа ще й у показниковій формі: (cos sin ) , , Arg .iz i z e z z

Вираз

, , Argiz e z z

звуть показниковою формою комплексного числа .z І, навіть якщо вважати ie лише символом для скорочення запису, слуш-

ність такого позначення випливає зі збігу його властивостей із властивостями показникової функції.

Подамо формули для дій з комплексними числами в показниковій формі, які є «скороченим» записом формул у тригонометричній формі: 1 2

1 1 2 2, :i iz e z e

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

( )1 2 1 2

1 1 ( )

2 2

, 2 , ;

;

;

i

i

z z k k

z z e

ze

z

Модуль 9. Комплексні числа

1

1

1 1

2

1 1

, ;

, 0, 1, .

n n in

kinn n

z e n

z e k n n

Множення комплексного числа ,iz e що зображується вектором ,OM

на число 0iz e еквівалентно повертанню вектора OM на кут (рис. 9.7):

( ).i i ie e e

Рис. 9.7

9.4. Додаткові відомості

9.4.1. Комплексні числа як арифметичні вектори. Існують задачі, для розв’язання яких дійсних чисел недостатньо. Приміром, квадратне рівняння 2 1 0x не має розв’язків у множині дійсних чисел.

Виникає питання: як розширити множину дійсних чисел до такої числової множини, у якій би всі алгебричні рівняння

10 1 0 1... 0, , , ...,n n

n na x a x a a a a

мали б розв’язки. «Матеріалом», з якого можна побудувати нову числову множину є простір

двовимірних арифметичних векторів ,x

z y

що можуть описувати як коор-

динати точок Декартової системи координат на площині, так і координати їхніх радіусів-векторів.

Будь-який елемент 2z можна подати у вигляді

1 2

1 0, , .

0 1

xz x y xe ye x yy

Рівність і додавання арифметичних векторів — поелементні:

1) 1 2 1 2def

1 2 1 2

,

;

x x x x

y y y y

2)

1 2 1 2def

1 2 1 2.

x x x x

y y y y

Добутком арифметичних векторів 1

11

xz y

та 2

22

xz y

звуть арифмети-

чний вектор

1 2 1 2

1 21 2 2 1

.x x y y

z zx y x y

Im z

Re zO

z

ize

Модуль 9. Комплексні числа

Двовимірний лінійний простір з базисом 11

0e

та 20,

1e

в якому

рівність та додавання векторів означено поелементно, а множення векторів — відповідним правилом звуть множиною комплексних чисел, а кожний вектор z — комплексним числом. 1. З означення дій над векторами можна переконатись, що вони збігаються

із властивостями дій над дійсними числами.

2. Підмножина комплексних чисел вигляду , ,0

xx має всі властивості

дійсних чисел, а тому можна казати, що множина дійсних чисел є підмножиною

множини комплексних чисел ( ) і комплексне число 0

x можна ототож-

нити з дійсним числом .x Якщо

den den1 01, ,

0 1i

то комплексне число x

z y можна записати в алгебричній формі

.z x iy

Із правила (9.1), випливає, що

20 0 1

1,1 1 0

ii i

тобто комплексне число 0 1i є розв’язком рівняння 2 1 0.z 9.4.2. Розв’язання вправи 9.1. Справді,

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

,

;

( );

0 0;

0 0

x y x y x x

y x y x y y

x y x y x x y y

y x y x y y x x

x y x y

y x y x

Модуль 9. Комплексні числа

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

( );

1 0 1 0;

0 1 0 1

0 1 0 1 1 0.

1 0 1 0 0 1

x y x y x x y y x y y x

y x y x y x x y y y x x

x x y y x y y x

y x x y x x y y

x y x y x y

y x y x y x

E

9.4.3. Подальше поширення числових множин. Як ми бачили для систе-ми комплексних чисел — точок площини — можливо означити додавання та множення так, щоб вона містила систему дійсних чисел. Хоча платою за це бу-ла втрата впорядкованості.

Виявляється, що не можна означити додавання і множення точок тривимі-рного простору, щоб сукупність точок стала числовою системою, що містить у собі систему комплексних чисел чи хоча б систему дійсних чисел.

З іншого боку, оскільки додавання комплексних чисел еквівалентне дода-ванню радіусів-векторів на площині, природно поставити питання: чи можна при деяких n так означити множення векторів у ,n щоб щодо цього множен-

ня і звичайного додавання векторів побудований простір виявився числовою системою, що містить у собі систему дійсних чисел.

Можна показати, що така побудова можлива, наприклад, для 4,n при

цьому втрачається комутативність множення. Одержимо систему кватерніонів — чисел вигляду

0 1 2 3 ,x x x i x j x k

де 0 1 2 3, , ,x x x x — координати кватерніона; , ,i j k— цілком реальні одиниці,

зв’язані співвідношеннями: 2 2 2 1.i j k ijk

Дійсною частиною кватерніона звуть число 0x — скаляр, а уявною — век-

тор 1 2 3x x i x j x k .

Історично так і відбулося — вектори ввійшли в математику і фізику саме як спрощення кватерніонів.

Цікаво перемножуються уявні кватерніони: ( , ) [ , ],xy x y x y

де ( , )x y — скалярний, а [ , ]x y — векторний добуток «векторів» x та .y

Подальше поширення чисел можливо для 8n — одержимо систему ок-тав — чисел Келі. Для них вже порушено асоціативність множення.

9.4.4. Розв’язання вправи 9.2. 1) Якщо arg [0, 2 ),z то

Модуль 9. Комплексні числа

0arctg , ;0 0, ;02arg arctg , 0;

3 0, ;0202 arctg , ;0

y xy xx

yyz x

x xyy x

yx

2) якщо arg ( , ],z то

arctg , 0;0, ;00 2arg arctg , ;

0 0, ;00 2arctg , .

0

yx

x xy yxz

yx xy yx

yx

9.4.5. Розв’язання вправи 9.3. Оскільки

2, (cos sin ),

zz z z i

z

то

2(cos( ) sin( ))

(cos sin )

, Arg Arg .

zz z i

z i

z z z z

9.4.6. Розв’язання вправи 9.4. 1) Множиною точок, віддаль яких від точки

0z дорівнює ,a є коло з центром у точці 0z радіусом a (рис. 9.8).

2) Нерівність описує внутрішність круга з центром у точці 0z радіусом a

(рис. 9.9). 3) Нерівність описує зовнішність круга з центром у точці 0z радіусом a

(рис. 9.10).

Рис. 9.8 Рис. 9.9 Рис. 9.10

4) Рівняння задає промінь, що виходить з початку координат під кутом з додатним напрямом дійсної осі.

5) Вертикальна пряма .x a 6) Горизонтальна пряма .y b

9.4.7. Розв’язання вправи 9.5. Очевидно, що формула Муавра правдива для 1n :

1( (cos sin )) (cos sin ).i i

Припустімо, що вона правдива для n k :

( (cos sin )) (cos sin ),k ki k i k

0z

Re zO

a

Im z

0z

Re zO

a

Im z

0z

Re zO

a

Im z

Модуль 9. Комплексні числа

і при цьому припущенні доведімо її для 1n k :

1

1

1

( (cos sin )) (cos sin )( (cos sin ))

(cos sin ) (cos sin )

(cos cos sin sin (sin cos cos sin ))

(cos( 1) sin( 1) ).

k k

k

k

k

i i i

i k i k

k k i k k

k i k

Згідно із принципом математичної індукції формула Муавра правдива для будь-якого натурального .n