Embed Size (px)
Citation preview
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ
ЧИСЕЛЧИСЕЛ
Зміст• І Вступ• ІІ Основна частина• 2.1 Уявна одиниця. Означення комплексного числа.• 2.2 Двовимірність комплексного числа.
Геометрична інтерпретація. • 2.3 Тригонометрична форма запису комплексного
числа• Модуль числа.• Аргумент.• Тригонометрична форма.• 2.4 Дії над комплексними числами.• 2.5 Спряжені комплексні числа.• 2.6 Застосування комплексних чисел.• ІІІ Висновки• ІV Список використаних джерел інформації
Обчислити: 144
25,6
256
64
900−
Уявна одиниця
i – початкова буква французького слова
imaginaire – «уявний»
Наприклад,
i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−
Множина дійсних чисел
Множину дійсних чисел можна подати у вигляді числової прямої
Множина комплексних чисел
• Простір комплексних чисел двовимірний
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=
−==⋅=⋅==⋅=⋅=
=−−=−=⋅−==−=−==
−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=
−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
ii =1 ii =1
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=
=⋅=⋅==−−=−=⋅−==
−=−==−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=
−==⋅=⋅==⋅=⋅=
=−−=−=⋅−==−=−==
−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
.1
;)1(
;1
;1
;1)1(
;)1(
;1
;
78
67
256
45
234
23
2
=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=
−==⋅=⋅==⋅=⋅=
=−−=−=⋅−==−=−==
−=
iiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiii
i
i
Значення степенів числа i повторяються з періодом, що дорівнює 4.
Знайти:
.;; 1353328 iii
Розв'язання.
i ,– 1, – i , 1 , i, – 1, – i, 1 тощо.
Маємо, 28 = 4×7 (без остачі);
33 = 4×8 + 1 ;
135 = 4×33 + 3 . Відповідно отримуємо:
.;;1 1353328 iiiii −===
Комплексні числа
Означення 1. Числа виду a + bi, де a і b – дійсні числа,
i – уявна одиниця,
називаються комплексними. a - дійсна частина комплексного числа,
bi – уявна частина комплексного числа,
b – коефіцієнт при уявній частині.
VII сторіччя
Квадратний корінь з додатного числа має два значення – додатне і від'ємне, а з від'ємних чисел квадратні корні вилучити не можна: не існує такого числа х, щоб х2 = -9.
XVI сторіччя
Оскільки вивчались
кубічні рівняння, виникла необхідність вилучення квадратних коренів
з від'ємних чисел.
Першим вченим, що запропонував ввести числа нової природи, був Джорж Кордано.
Він запропонував
Кордано назвав такі величини “чисто від'ємними” або навіть
“софічно від'ємними”, вважаючи їх непотрібними і намагався не
використовувати їх.
ааа =−⋅−
У 1572 році італійський вчений
Бомбелі випустив книгу, в якій було встановлено перші правила арифметичних операцій над комплексними числами.
Назву “уявні числа” ввів французький математик і філософ Р. Декарт
У 1637році
один із значних математиків XVIII сторіччя – Л. Ейлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginare (уявний) для позначення
У 1777 році
a + bi = c + di, якщо a = c і b = d.
Закон 1
Розв'язання.
Згідно умови рівності комплексних чисел маємо 3y = 15, 5x = – 7. Отже .5,
5
7 =−= yx
Знайти x і y з рівності:
3y + 5xi = 15 – 7i;
Наприклад.
(а+bi)
Віднімання
=(a+c)+(c+di)
Додавання
(b+d)+ i
(а+bi)- (c+di)=(a-c)+ (b-d)i
Виконати дії:
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i.
Знайти: а) z1 + z2; б) z1 – z2;
а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) = =(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) = =(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
Розв'язання.
Множення
(c+di)
= ac bсi
=
+ ++аd bd
(а+bi)
i =
= (ac-bd) + (аd+bc)i
i2
Виконати дії:
(5 + 3i)(5 – 3i)
(2 + 3i)(5 – 7i)
(2 – 7i)2
=
=
=
= (10+21) + (-14+15)i = 31+i
25-9i2 = 34
4 - 28i + 49i2 ==
-45-28i
25m2+16(5m-4i)(5m+4i)
25m2 -16i2 =
=
Означення. Два комплексних числа називаються спряженими, якщо вони відрізняються один від одного тільки знаками перед уявною частиною.
z1= a + bi і z2= a - bi
Ділення
i
i
75
32
−+
i
i
75
32
−+
i
i
75
75
++
74
2911 i+−i
74
29
74
11 +−
=
=
•
=
Виконати дії:
2741
)4()32(i
i
ii +−
−++
i
i
−+
1
26
i
i
−+
1
26i
i
++⋅
1
1i4− =
2
84 i+i4− =
= 2
набагато
в математиці
ширше,
комплексні числавикористовуються
дійсні
ніж
Комплексні числа мають
прикладне значення в богатьох галузях науки, являються
основновою для розрахунків
в електротехніці та зв’язку.
Застосування при конструюванні
ракет та літаків
При кресленнігеографічних
карт
В дослідженні
течії води, а також в інших науках.
• А фрактали? Вони прекрасні і загадкові. Їх відкрили не так давно і їх дослідження стало можливим завдяки появі потужної обчислювальної техніки і існуванню комплексних чисел. Існують фрактали геометричні і алгебраїчні, для задання останніх часто використовують комплексні числа.
• Класичний приклад алгебраїчного фрактала є множина Мандельброта, яка будується за формулою Z = Z2 + a, де Z і a — комплексні числа у просторі R2: дійсна частина а — координата (х) комплексної площини; уявна частина а — координата (у) комплексної площини; Z — циклічна змінна.
Висновки• Отже, Виконуючи дану роботу, я ознайомився з поняттям
комплексних чисел, способами задання та їх застосуванням. Я помітив, що операції над комплексними числами суттєво відрізняються від операцій з дійсними числами, а геометричний зміст комплексного числа дозволяє розв’язувати задачі та теореми планіметрії за допомогою саме комплексних чисел.
• Досліджуючи літературу з даної теми я зрозумів, що для детального вивчення питань застосування комплексних чисел на практиці, необхідно більш глибоке вивчення сучасної математики: теорії матриць, диференціального числення тощо.
Висновки
• Через це, в практичній частині, я обмежився розв’язанням деяких рівнянь шкільного курсу, розширивши при цьому множину дійсних чисел і навчившись знаходити уявні корені цих рівнянь. Ця робота – лише вершина великого айсберга. З цією темою можна пов’язувати і подальші дослідження в галузі математики.
