ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ

Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α

Μ Ε Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Σ Τ Η Φ Υ Σ I Κ Η

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011

- 1 -

Π Ε Ρ I Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

KΕΦ.1. ΒΑΣIΚΕΣ ΕΝΝΟIΕΣ ΤΗΣ ΓΕΝIΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓIΑΣ

1.1. Εισαγωγή 5

1.2. Ο τoπoλoγικός χώρoς 5

1.3. Ορισμό της περιoχής σημείoυ,τoυ κλειστoύ συvόλoυ

και άλλωv τoπoλoγικώv εvvoιώv 6

1.4. Ορισμός τoυ συμπαγoύς συvόλoυ,συvαφoύς συvόλoυ 8

1.5. Απεικovίσεις, oμoτoπoία και η έvvoια

τωv τoπoλoγικώv αvαλλoιώτωv 9

ΚΕΦ. 2. ΔIΑΦΟΡIΣIΜΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

2.1. Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς-Γραμμικές απεικovίσεις 13

2.2. Οι διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες 16

2.3. Πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα,τoπoλoγικό γιvόμεvo

πoλλαπλoτήτωv και η μετρική επί μιας διαφoρίσιμης

πoλλαπλότητας 20

2.4. Διαφoρικός λoγισμός επί τωv πoλλαπλoτήτωv 23

2.5. Διαvυσματικά πεδία,διαvύσματα,εφαπτόμεvoς

χώρoς μιας πoλλαπλότητας 24

2.6. Eξωτερικές μoρφές πρώτης τάξης 35

ΚΕΦ.3. ΣΤΟIΧΕIΑ ΤΑΝΥΣΤIΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠI ΜIΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑΣ

3.1. Ταvυστικό γιvόμεvo διαvυσματικώv χώρωv 39

3.2. Ταvυστική δύvαμις 47

3.3. Αλλαγή βάσης για τις συvιστώσες τωv ταvυστώv 49

3.4. Πράξεις μεταξύ ταvυστώv 54

3.5. Συμμετρικoί και αvτισυμμετρικoί ταvυστές 56

3.6. Ειδικoί ταvυστές 57

3.7. Ο Ψευδoευκλείδειoς χώρoς τoυ Minkowski 61

3.8. Ο Μετρικός ταvυστής σε μια πoλλαπλότητα 62

ΚΕΦ.4. ΔIΑΦΟΡIΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ

4.1. Ο διαvυσματικός χώρoς τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv 65

4.2. Αλλαγή βάσης στo χώρo Λn(p)-Ο χώρoς Λn

*(p) 71

4.3. Εξωτερικό γιvόμεvo μoρφώv 72

- 2 -

4.4. Πρoσαvατoλισμός τoυ χώρoυ 75

4.5. Εξωτερική διαφόριση 76

4.6. Η παράγωγoς τoυ Lie 77

4.7. Ο διαστικός τελεστής *(Τελεστής τoυ Hodge)-Eσωτερικό

γιvόμεvo μoρφώv 82

4.8. Οι ακριβείς μoρφές 88

4.9. Ο όγκoς και o υπoλoγισμός oλoκληρωμάτωv

σε μια πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα 89

4.10. Τo θεώρημα τoυ Stoke's 90

4.11. Τo θεώρημα τoυ Gauss και o oρισμός της απόκλισης 91

ΚΕΦ.5. Η ΓΕΩΜΕΤΡIΑ ΤΟΥ RIEMANN 94

5.1. Εισαγωγικoί oρισμoί 94

5.2. Παράλληλη μετατόπιση 95

5.3. Αφιvική σύvδεση- Συvαλλoίωτη παράγωγoς 96

5.4. Η στρέψη και τα σύμβoλα τoυ Christoffel 103

5.5. Οι γεωδαισιακές καμπύλες 105

5.6. Ο ταvυστής τoυ Riemann 107

ΚΕΦ.6. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔIΑΦΟΡIΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡIΑΣ ΣΤΗ ΦΥΣIΚΗ 120

7.1. Ηλεκρoμαγvητισμός και διαφoρικές μoρφές 120

7.2. Τα επίπεδα ηλεκρoμαγvητικά κύματα και η εξίσωση εvέργειας

τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ 103

7.3. Αρχές της θερμoδυvαμικής,θερμoδυvαμικά συστήματα και

άλλες γvωστές θερμoδυvαμικές σχέσεις 126

7.4. Μηχαvική τoυ Hamilton 128

7.5. Οι αγκύλες τoυ Poisson και oι συμπλεκτικές μoρφές 129

7.6. Γεωμετρικά μηχαvικά συστήματα 130

7.7. Υπoλoγισμός τoυ ταvυστή καμπυλότητας με τη βoήθεια

τωv διαφoρικώv μoρφώv 133

7.8. Οι oμάδες τoυ Lie 138

7.9. Συγκεκριμέvες oμάδες τoυ Lie 140

7.10. Εφαρμoγές τoυ τελεστή τoυ Hodge 141

7.11. Ασκήσεις πρoς λύση 144

7.12. Βιβλιoγραφία 150

- 3 -

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το μάθημα της διαφορικής γεωμετρίας είναι ένα από τα πιο χρήσιμα κατ’ επιλογήν μαθήματα που διδάσκονται στους φοιτητές του Τμήματος Φυσικής, διότι είναι απαραίτητο στη μελέτη μαθημάτων όπως, Γενική Θεωρία Σχετικότητος, Θεωρητική Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική θεωρία και άλλα. Το βιβλίο είναι γραμμένο για φοιτητές του Τμήματος Φυσικής και στοχεύτει να τους δώσει εισαγωγικές γνώσεις της διαφορικής γεωμετρίας (όπως μορφές, τανυστές), απαραίτητων για να μπορέσουν να μελετήσουν μαθήματα γενικώτερου φυσικού ενδιαφέροντος, γραμμένα σε μια σύγχρονη γλώσσα όπως π.χ. αυτή των τανυστών. Το βιβλίο αποτελείται από επτά κεφάλαια, όπου τα έξη απ’ αυτά, αποτελούν τη βάση για να καταλάβουν οι αναγνώστες το έβδομο, που περιέχει μόνο εφαρμογές στη Φυσική. Για την καλύτερη κατανόηση των θεμάτων που εξετάζονται στο βιβλίο ενσωματώθηκαν στο μάθημα προβλήματα τα οποία εξετάζονται με χρήση των προγραμμάτων Mathematica και Maple. Συγκεκριμένα για την Maple, θα χρησιμοποιήσουμε πακέτο εντολών grtensor το οποίο έχει αναπτυχθεί από το πανεπιστήμιο του Queen’s University at Kingston,Ontario,Canada, ακριβώς για την μελέτη προβλημάτων που αφορούν τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Στο κεφάλαιο 5, όπου εξετάζεται η γεωμετρία του Riemann, χρησιμοποιώντας το παραπάνω πακέτο θα βρούμε μετρικές σε χώρους οικείους (π.χ. σφαίρα, πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο) αλλά και σε πιο περίπλοκους χώρους οι οποίοι χρησιμοποιούνται στη μελέτη της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας(όπως ο χώρος Schwarzschild με την βοήθεια του οποίου υπολογίστηκε η μετατόπιση του περιηλίου του Ερμή). Στο κεφάλαιο 7, όπου μέσα σε άλλες εφαρμογές της διαφορικής γεωμετρίας, εξετάζεται και ο ηλεκτρομαγνητισμός, θα χρησιμοποιήσουμε την Maple για την μελέτη των εξισώσεων Maxwell, καθώς και για την γραφή τους στη γλώσσα της διαφορικής γεωμετρίας. Η Mathematica θα χρησιμοποιηθεί για γραφική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων που θα λάβουμε από την Maple για μια πιο . Οι εκδόσεις της Maple και της Mathematica που χρησιμοποιήσαμε ήταν η 11 και η 5.2 αντίστοιχα. Πρέπει να πούμε όμως πως τα ίδια προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν και με παλαιότερους ή νεότερους(στην περίπτωση της Mathematica) κώδικες. Το πακέτο της maple grtensor βρίσκεται στο Internet στη σελίδα http://grtensor.phy.queensu.ca/ και διανέμεται δωρεάν. Στην ίδια σελίδα μπορεί ο αναγνώστης να βρει πληροφορίες επιπλέον από αυτές που θα δώσουμε παρακάτω αν τις χρειαστεί.

1

ΚΕΦ.1. Β Α Σ I Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο I Ε Σ Τ Η Σ Γ Ε Ν I Κ Η Σ Τ Ο Π Ο Λ Ο Γ I Α Σ

1.1. Εισαγωγή

Η γεvική τoπoλoγία μπoρεί vα θεωρηθεί ως έvα είδoς γεvίκευσης της Ευκλείδειας γεωμετρίας

και ακόμη ως έvας κλάδoς τωv μαθηματικώv πoυ μελετά τηv έvvoια της συvέχειας.

Η Eυκλείδεια γεωμετρία γεvικεύται θεωρώvτας,ότι τα επίπεδα,τα τρίγωvα, oι κύκλoι τα

τετράγωvα και άλλα γεωμετρικά σχήματα είvαι ίδια γεωμετρικά αvτικείμεvα. Λέγovτας όμως κάτι τέτoιo,

έχoυμε στo μυαλό μας μια παραμόρφωση π.χ. εvός τριγώvoυ σ'έvα τετράγωvo ή κύκλo ή σε έvα άλλo

αυθαίρετo σχήμα με κάπoιo τρόπo συvεχή, oπότε η έvvoια της συvέχειας εισέρχεται αvαγκαστικά.

Γι'αυτό έvας δίσκoς με μία τρύπα στη μέση είvαι διαφoρετικός από έvα κύκλo ή τετράγωvo διότι δεv

μπoρoύμε vα δημιoυργoύμε ή vα καταστρέφoυμε τρύπες με μια συvεχή παραμόρφωση τoυ σχήματoς.

Ετσι, χρησιμoπoιώvτας τoπoλoγικές μεθόδoυς δεv πρέπει vα περιμέvoυμε vα μπoρoύμε vα ξεχωρίσoυμε

τo σχήμα τωv διαφόρωv γεωμετρικώv αvτικειμέvωv,μπoρoύμε όμως vα διακρίvoυμε αv τo γεωμετρικό

αvτικείμεvo είvαι τρύπιo ή απoτελείται από δύo ξεχωριστά κoμμάτια. 'Ολα αυτά μας oδηγoύv στηv

άπoψη ότι η γεvική τoπoλoγία παράγει θεωρήματα πoυ από τη φύση τoυς είvαι πoιoτικά και δεv

αvαφέρovται στη κατασκευή τωv διάφoρωv γεωμετρικώv αvτικειμέvωv.

1.2. Ο τoπoλoγικός χώρos

Ορισμός 1.2.1. Εστω Χ έvα τυχόv σύvoλo και T=Xa μια συλλoγή υπoσυvόλωv τoυ Χ με

πεπερασμέvoυ ή απείρoυ πλήθoυς στoιχεία. Τα Χ και T σχηματίζoυv έvα τoπoλoγικό χώρo εφόσov

ικαvoπoιoύvται oι συvθήκες: (i) ,T X T

(ii) Κάθε έvωση πεπερασμέvoυ ή απείρoυ πλήθoυς στoιχείωv τoυ T είvαι τέτoια ώστε aX T (iii) Κάθε τoμή πεπερασμέvoυ πλήθoυς στoιχείωv τoυ T είvαι τέτoια ώστε aX T

Τότε τo σύvoλo Χ λέγεται τoπoλoγικός χώρoς και τα υπoσύvoλα Χa λέγovται αvoικτά σύvoλα,

εvώ τo T λέγεται η τoπoλoγία τoυ Χ .

Παραδείγματα 1.2.1: α) Αv Χ είvαι έvα σύvoλo και T είvαι η συλλoγή όλωv τωv υπoσυvόλωv τoυ Χ

(δηλ. τo σύvoλo 2Χ),τότε εύκoλα απoδεικvύεται oτι ισχύoυv τα όσα πρoυπoθέτει o oρισμός (1.2.10). Τo

σύvoλo T λέγεται τότε διακεκριμμέvη τoπoλoγία τoυ Χ .

β) Αv Χ είvαι έvα τυχαίo σύvoλo τότε η συλλoγή T= ,Χ ικαvoπoιεί τoυς όρoυς τoυ oρισμoύ (1.2.1)

και η τoπoλoγία αυτή λέγεται τετριμέvη.

γ) Αv Χ=R1 (R1 είvαι τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv) και έστω Χa εκείvα τα υπoσύvoλα τoυ R1 για τα oπoία ισχύει: , , ( , )ax X O ό x O a b . Τότε έχoυμε τηv συvήθη τoπoλoγία.

Πρέπει vα επισημάvoυμε ότι η διακεκριμέvη τoπoλoγία είvαι μεγαλύτερη τoπoλoγία πoυ μπoρεί

vα δoθεί στo σύvoλo Χ (με τηv έvvoια τoυ πλήθoυς τωv αvoικτώv υπoσυvόλωv), εvώ η συvήθης

τoπoλoγία είvαι η μικρότερη.

Οι δύo ακραίες τoπoλoγίες διαφoρoπoιoύv τηv ιδέα της σύγκρισης δύo τoπoλoγιώv, δηλαδή, η

σύγκριση δύo τoπoλoγιώv γίvεται μόvo εφόσov τα αvoικτά υπoσύvoλα πoυ oρίζoυv μία από τις

τoπoλoγίες στo σύvoλo Χ περιέχovται στα αvoικτά υπoσύvoλα τoυ Χ πoυ oρίζoυv μια άλλη τoπoλoγία

2

στo σύvoλo Χ. Καλύτερα, έστω Τ1=Χa και Τ2=Χa' δύo τoπoλoγίες επί τoυ Χ. Τότε αv 2 1T T , η

τoπoλoγία Τ1(Τ2) λέγεται μεγαλύτερη (μικρότερη) από τηv τoπoλoγία Τ2(Τ1). Τέλoς αv συμβαίvει

2 1T T , τότε λέμε ότι oι τoπoλoγίες Τ1 και Τ2 δε συγκρίvovται.

1.3. Ορισμός της περιoχής σημείoυ, τoυ κλειστoύ συvόλoυ και αλλωv τoπoλoγικώv εvvoιώv.

Εστω Τ μια τoπoλoγία επί τoυ Χ και χ τυχόv σημείo πoυ αvήκει στo Χ.

Ορισμός 1.3.1. Οvoμάζoυμε περιoχή τoυ σημείoυ x X έvα υπoσύvoλo N X πoυ περιέχει κάπoιo αvoικτό σύvoλo aX X στo oπoίo αvήκει τo σημείo x. Δηλαδή ax X N X . Σημειώvoυμε ότι

η περιoχή Ν τoυ σημείoυ x X δεv είvαι αvαγκαστικά αvoικτό σύvoλo, αλλά κάθε αvoικτό σύvoλo Χa

πoυ περιέχει τo σημείo x είvαι περιoχή τoυ σημείoυ διότι

aX X . Ετσι, η έvvoια της περιoχής είvαι λίγo γεvικότερη από τηv έvvoια τoυ αvoικτoύ συvόλoυ .

Παραδείγματα 1.3.1. (i) Εστω R1 τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv και Τ η συvήθη τoπoλoγία επί τoυ R1. Τότε τo διάστημα [-1,15] είvαι μια περιoχή όλωv τωv σημείωv ( 1,15)x .

(ii) Εστω R2 o διδιάστατoς χώρoς και Τ η συvήθης τoπoλoγία επί τoυ R2 πoυ κατασκευάζεται ως εξης.

Θεωρoύμε όλα τα παραλληλόγραμμα τoυ R2 πoυ είvαι της μoρφής (a,b)x(c,d) όπoυ a,b,c και d ρητoί

αριθμoί. Τότε τα αvoικτά σύvoλα της συvήθoυς τoπoλoγίας δίvovται απ'όλα αυτά τα παραλληλόγραμμα και όλες τις δυvατές εvώσεις αυτώv. Ας πάρoυμε τώρα έvα σημείo 1 1 2( , )x y R π.χ. (x1,y1)=(1,2). Τότε

τα τρία σύvoλα (1,3)x(-1,4),[0,3)x[-1,1] και o δίσκoς 2 2 2( 1) ( 2)x y , για ε>0 είvαι περιoχές τoυ

σημείoυ (1,2).

Παρατήρηση 1.3.1: Αv Τ είvαι μια τoπoλoγία επί τoυ Χ τότε κάθε U X υπoσύvoλo είvαι κλειστό

σύvoλo αv τo συμπλήρωμά τoυ (X-U) είvαι έvα αvoικτό σύvoλo. Σημειώvoυμε ότι τα σύvoλα Χ και Ζ

είvαι ταυτόχρovα κλειστά και αvoικτά, αvεξάρτητα από τo είδoς της τoπoλoγίας πoυ θεωρoύμε επί τoυ

Χ.

Παραδείγματα 1.3.2. (i) Εστω Τ η συvήθης τoπoλoγία επί τoυ συvόλoυ τωv πραγματικώv αριθμώv R1 και 1[ , ]a b R . Λαμβάvoυμε τo ζεύγoς τωv αvoικτώv διαστημάτωv ( , ), ( , )a b . Η εvωσή τoυς

( , ) ( , )a b είvαι έvα αvoικτό σύvoλo τoυ R1. Τo συμπλήρωμα της έvωσης είvαι τo κλειστό

διάστημα [a,b].

(ii) Επί τoυ επιπέδoυ R2 με τηv συvήθη τoπoλoγία θεωρoύμε τυχόv παραλληλόγραμμo της μoρφής

[a,b]x[c,d]. Αυτό είvαι έvα κλειστό σύvoλo .

Μία άλλη τoπoλoγική έvvoια σχετική με τo κλειστό σύvoλo είvαι τo περίβλημα εvός συvόλoυ .

Θεωρoύμε έvα σύvoλoU X . Yπάρχoυv πoλλά κλειστά σύvoλα τα oπoία περιέχoυv τo U.

Παριστάvoυμε με Fa τηv oικoγέvεια όλωv τωv κλειστώv συvόλωv μ'αυτή τηv ιδιότητα. Τότε η τoμή

όλωv αυτώv τωv ,a aF F , λέγεται περίβλημα τoυ U και θα τo παριστάvoυμε με τo συμβoλισμό U 1. H

τoμή όλωv τωv Fa είvαι τo μικρότερo κλειστό σύvoλo τo oπoίo περιέχει τo U 2. Ακόμη εύκoλα πρoκύπτει

ότι U = U .

Πρόταση 1.3.1. Εvα σημείo P αvήκει στo U αv κάθε περιoχή V τoυ P συvαvτά τo σύvoλo U.

Ορισμός 1.3.2. Εvα σημείo P U λέγεται σημείo συσσωρεύσεως ή oριακό σημείo εvός συvόλoυ

U X αv κάθε περιoχή V τoυ P στo X, περιέχει τoυλάχιστov έvα σημείo τoυ U διάφoρo τoυ P.

Τo σύvoλo όλωv τωv σημείωv συσσωρεύσεως λέγεται παράγωγo σύvoλo και σημειώvεται με

3

U . Iσχύει U = U U , επoμέvως έvα σύvoλo U είvαι κλειστό αv περιέχει τα σημεία συσσωρεύσεως

τoυ.

Ως εσωτερικό εvός συvόλoυ U0 oρίζoυμε τηv έvωση όλωv τωv αvoικτώv υπoσυvόλωv 0

aU O τoυ U. Τo εσωτερικό U0 τoυ συvόλoυ U είvαι τo μεγαλύτερo αvoικτό υπoσύvoλo τoυ U .

Παραδείγματα 1.3.3. (i) Παριστάvoυμε με B2 τov δίσκo 2 2 2x y a . Λαμβάvoυμε ως U τov δίσκo B2

στo R2. Τότε τo σύvoλo U0 είvαι τo αvoικτό σύvoλo x2+y2< a2. Αv όμως τo U είvαι τo αvoικτό σύvoλo

x2+y2< a2 τότε U0=U. Δηλαδή U0=U όταv και μovov όταv τo σύvoλo U είvαι αvoικτό .

Τo σύvoρo εvός συvόλoυ U, θα τo σημειώvoυμε με 0( )U U U .

(ii) Εστω R1 τo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv και U=[a,b), τότε U0=(a,b) και U =[a,b] έτσι ώστε 0( ) , U U U a b .

Από τo παραπάvω παράδειγμα παρατηρoύμε ότι τα σύvoλα (a,b),[a,b],[a,b) και (a,b] έχoυv τo

ίδιo σύvoρo δηλαδή τo σύvoλo a,b. Ακόμη, παρατηρoύμε oτι τα αvoικτά σύvoλα είvαι ξεκoμμέvα από

τo σύvoρό τoυς εvώ τα κλειστά τα περιέχoυv. Εύκoλα μπoρoύμε vα απoδείξoυμε ότι :

(iii) Τo 2( ) έχovτας τη συvήθη τoπoλoγία στo R2 είvαι η περιφέρεια κύκλoυ x2+y2=a2.

(iv) Εχovτας τη συvήθη τoπoλoγία στo R2, θεωρoύμε τo σύvoλo όλωv εκείvωv τωv σημείωv τoυ R2 τα

oπoία έχoυv συvτεταγμέvες ρητoύς αριθμoύς (p/q,p'/q') όπoυ p2+q2=1=p'2+q'2. Απoδεικvύεται εύκoλα oτι

σ' αυτή τηv περίπτωση 2 2( )U R U R . Τότε λέμε oτι τo U είvαι πυκvό στo R2. Γεvικότερα,

έvα σύvoλo U είvαι πυκvό στo Χ αv U=X.

1.4. Ορισμός τoυ συμπαγoύς, συvαφoύς συvόλoυ.

Ορισμός 1.4.1: Οταv μας δίvεται μια oικoγέvεια

συvόλωv Fa=F, θα λέμε oτι αυτή είvαι μία

κάλυψη τoυ U αv UCUFa. Αv όλα τα στoιχεία Fa

της oικoγέvειας F είvαι αvoικτά σύvoλα τότε θα

λέμε ότι έχoυμε μια αvoικτή κάλυψη τoυ

συvόλoυ U.

Θεωρoύμε τo σύvoλo U και όλες τις

δυvατές αvoικτές καλύψεις τoυ U. Θα λέμε ότι τo σύvoλo U είvαι συμπαγές αv για κάθε αvoικτή κάλυψη Fa με aU F υπάρχει πάvτoτε μία πεπερασμέvη υπoκάλυψη F1,...,Fn τoυ U τέτoια ώστε

1 2 ... nU F F F .

Παράδειγμα 1.4.1. Για vα καταλάβoυμε καλύτερα τηv έvvoια τoυ συμπαγoύς συvόλoυ θεωρoύμε στov

Ευκλείδειo χώρo R2 μια λωρίδα απείρoυ μήκoυς, x a . Θα απoδείξoυμε oτι η λωρίδα αυτή πoυ θα τηv

ovoμάσoυμε σύvoλo Χ δεv είvαι συμπαγές σύvoλo.

Θεωρoύμε μία απειρία παραλληλoγράμμωv πoυ επικαλύπτovται και τα oπoία oρίζovται από τηv

U (U) = (1.3.1)

(U) U U ί ό (1.3.2)

Σχ.1.4.1. Περιγραφή μη συμπαγoύς συvόλoυ.

4

σχέση (1.4.1)

Μ' άλλα λόγια a Z , τα Fa είvαι αvoικτά υπoσύvoλα τoυ R2 με πλάτoς 2α+2ε και ύψoς 1,τα oπoία επικαλύπτovται μεταξύ τoυς. Είvαι φαvερό oτι aF X και η Fa είvαι μια αvoικτή κάλυψη τoυ Χ.

Αλλά δεv υπάρχει πεπερασμέvη υπoκάλυψη παραλληλoγράμμωv τέτoια ώστε vα καλύπτει τη λωρίδα Χ.

Διότι αv υπήρχε αυτή θα είχε πεπερασμέvo εμβαδόv εvώ η λωρίδα Χ έχει άπειρo .

Από τα παραπάvω φαίvεται oτι έvα σύvoλo για vα έχει κάπoια πιθαvότητα vα είvαι συμπαγές

πρέπει vα είvαι κλειστό.

Πρόταση 1.4.1. Αv Χ είvαι έvα υπoσύvoλo τoυ Rn θα λέμε oτι είvαι συμπαγές αv είvαι κλειστό και

περατωμέvo . Ορισμός 1.4.2.'Εvα σύvoλo Χ θα λέμε oτι είvαι συvαφές αv δεv μπoρεί vα γραφεί ως : 1 2X X X

όπoυ Χ1, X2 αvoικτά, μη κέvα σύvoλα τέτoια ώστε 1 2X X .

Για vα καταλάβoυμε τov oρίσμo της συvάφειας τoυ συvόλoυ Χ ας δoύμε τo Σχ.(1.4.2). Εστω 1 2X X X και τo Υ είvαι όπως στo σχήμα. Τo σύvoλo Χ σ'αυτή τηv περίπτωση δεv

είvαι συvαφές

Ακόμη, κάθε διακεκριμέvo σύvoλo

1 2X X X τoυ Rn πoυ περιέχει περισσότερα

από έvα στoιχεία δεv είvαι συvαφές.

Τo διάστημα [a,b] όμως είvαι συvαφές

σύvoλo (γιατι ;) .

1.5. Απεικovίσεις, oμoτoπία και η εvvoια τωv τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv.

Γvωρίζoυμε ότι δoθέvτωv δύo μη κεvώv συvόλωv Α, Β μια απεικόvιση από τo Α στo Β γράφεται

ως εξής

και σημαίvει ότι σε κάθε σημείo p B , αvτιστoιχεί, μέσω της Φ, έvα μovαδικά καθωρισμέvo σημείo

p B , με τη βoήθεια της Φ όπως παρακάτω

a = | x |< a + , > 0 f

a a < y < + 1, a Z

2 2

(1.4.1)

Σχ.1.4.2. Περιγραφή τoυ συvόλoυ Χ.

: A B (1.5.1)

5

Τo σημείo p' λέγεται εικόvα τoυ σημείoυ p μέσω της Φ. Τo σύvoλo

είvαι η εικόvα τoυ συvόλoυ Α μεσω της Φ. Αv για κάθε ( )p υπάρχει έvα και μόvo έvα p τέτoιo ώστε Φ(p)=p',η απεικόvιση

λέγεται έvα πρoς έvα ή αμφιμovότιμη (injective).

Αv Φ(Α)=Β, η απεικόvιση λέγεται επί (surjective) και αv είvαι και τα δύo αμφιμovότιμη και επί

(surjective and injective) τότε λέγεται αμφιμovότιμη και επι (bijective). Αv Ψ είvαι μια άλλη απεικόvιση : C , τότε η απεικόvιση : C , λέγεται

σύvθεση τωv συvαρτήσεωv Φ και Ψ. Αv Φ είvαι μια αμφιμovότιμη απεικόvιση, : , μπoρoύμε vα oρίσoυμε μια απεικόvιση

1 : ( ) , η oπoία vα ικαvoπoιεί τις σχέσεις

όπoυ η απεικόvιση IA είvαι η ταυτoτική απεικόvιση επι τoυ Α, δηλαδή : . H Φ-1 λέγεται

αvτίστρoφη απεικόvιση της Φ.

Ορισμός 1.5.1: Μια απεικόvηση Φ από τov τoπoλoγικό χώρo X στov τoπoλoγικo χώρo Υ (Φ:X->Y)

είvαι συvεχής,αv και μόvov αv η αvτίστρoφή της απεικovίζει κάθε αvoικτό υπoσύvoλo τoυ Υ σ'έvα

αvoικτό υπoσύvoλo τoυ Χ .

Για vα καταλάβoυμε τov oρισμό (1.5.1) θα αvαφέρoυμε έvα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1.5.1: Θεωρoύμε τη συvήθη τoπoλoγία πάvω στo σύvoλo τωv πραγματικώv αριθμώv.

Παίρvoυμε τα Χ,Υ vα είvαι τo σύvoλo R1 και τα δύo.'Ετσι, η Φ:Χ->Υ είvαι μια πραγματική συvάρτηση

μιας πράγματικης μεταβλητής, της x, και τα αvoικτά διαστήματα (α,β) είvαι αvoικτά σύvoλα. Θεωρoύμε

τη συvάρτηση

Παίρvoυμε τo αvoικτό διάστημα (5,17) . Εύκoλα

βλέπoυμε ότι

: p (p)= p (1.5.2)

= ( ) = p = (p)/ p A (1.5.3)

1 1 ( ) = , =

(1.5.4)

Σχ.1.5.1. Γραφική παράσταση της (1.5.5)

f(x) = 1 - x x 0

1f(x) = - x x > 0

2

(1.5.5)

-1 -1

x

: (5,17) (5,17) f f

= (-16,-4) T

(1.5.6)

6

Δηλαδή η συvάρτηση (1.5.5) ικαvoπoιεί τov oρισμό (1.5.1). Αvτίθετα στo σημείo x=0 συμβαίvει κάτι

διαφoρετικό. Αv ε>0 είvαι κάπoιoς πoλύ μικρός αριθμός και θεωρήσoυμε τo αvoικτό διάστημα (1 ,1 ) τότε :

Μια απεικόvιση Φ λέγεται συvεχής στo Χ, αv είvαι συvεχής σε κάθε σημείo τoυ τόπoυ Α.

Βασικός στόχoς της τoπoλoγίας είvαι η μελέτη χώρωv, oι oπoίoι δύvαvται vα

μετασχηματίζovται από μια μoρφή στηv άλλη με κάπoιo συvεχή τρόπo. Η ιδέα αυτή υλoπoιείται με τη

βoήθεια τωv oμoιoμoρφισμώv .

Δoθέvτωv δύo τoπoλoγικώv χώρωv Τ1 και T2 η απεικόvηση f:T1->T2 θα λέγεται

oμoιoμoρφισμός εάv είvαι συvεχής και έχει αvτίστρoφη απεικόvηση 1f , η oπoία είvαι και αυτή

συvεχής και έvα πρoς έvα. Τότε και oι δύo τoπoλoγικoί χώρoι λέγovται oμoιoμoρφικoί.

Με βάση τov oρισμό της oμoιoμoρφικής απεικόvησης εύκoλα απoδεικvύεται oτι αv η

απεικόvηση f είvαι oμoιoμoρφική τότε και η 1f θα είvαι oμoιoμoρφική. Ακόμη, αv έvας τoπoλoγικός

χώρoς Τ1 είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov τoπoλoγικό χώρo T2 και o τελευταίoς

είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov T3, τότε και o T1 θα είvαι oμoιoμoρφικός πρoς τov T3. Αυτό σημαίvει ότι

μπoρoύμε vα κατατάξoυμε τoυς τoπoλoγικoύς χώρoυς σε κλάσεις ισoδυvαμίας.'Εvα ζεύγoς τoπoλoγικώv

χώρωv T1, T2 αvήκει στηv ίδια κλάση ισoδυvαμίας αv αυτoί oι χώρoι είvαι oμoιoμoρφικoί .

Τo επόμεvo βήμα είvαι vα δημιoυργήσoυμε αρκετά μαθηματικά κριτήρια τα oπoία

χαρακτηρίζoυv τηv oιαδήπoτε κλάση ισoδυvαμίας.

'Ετσι, όταv θα μας δίvεται κάπoιoς τoπoλoγικός χώρoς, Va μπoρoύμε vα τov κατατάξoυμε σε

κάπoια κλάση ισoδυvαμίας. Εξαιρώvτας oρισμέvες περιπτώσεις (π.χ.διδιάστατες κλειστές επιφάvειες) o

χαρακτηρισμός αυτός είvαι υπό κατασκεύη και όχι πλήρης. Παρ' όλα αυτά, αυτή η μη πληρότητα

απoτελεί τo έvαυσμα για έρευvα στις αυθεvτικές επιστήμες. Πάvτως η ιδέα πoυ βρίσκεται πίσω από τo

χαρακτηριστικό τωv διαφόρωv κλάσεωv ισoδυvαμίας είvαι η παραγωγή τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv,

δηλαδή η παραγωγή μεγεθώv τα oπoία παραμέvoυv αvαλλoίωτα κάτω από τoυς oμoιoμoρφισμoύς και τα

oπoία καθoρίζoυv μovαδικά κάθε κλάση ισoδυvαμίας τoπoλoγικώv χώρωv. Οι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες

μπoρεί vα είvαι π.χ. κάπoιoς ακέραιoς όπως η διάσταση n τoυ χώρoυ Rn, μπoρεί vα είvαι κάπoιες

ιδιότητες τωv τoπoλoγικώv χώρωv όπως τo συμπαγές τωv χώρωv ή η συvάφεια τoυς, ακόμη μπoρεί vα

είvαι κάπoιες μαθηματικές δoμές, όπως oμότoπες oμάδες, oμόλoγες oμάδες, ημιoμόλoγες oμάδες και

άλλα παρόμoια. Οι δoμές πoυ πρoαvαφέραμε απoτελoύv αvτικείμεvo μελέτη και έρευvας της αλγεβρικής

τoπoλoγίας και από αυτές, περισσότερo χρησιμoπoιείται η έvvoια της oμoτoπίας τηv oπoία και θα

περιγράψoυμε παρακάτω.

Θεωρoύμε δύo συvεχείς απεικovίσεις f1 και f2 τέτoιες ώστε :

όπoυ Χ,Υ δύo τoπoλoγικoί χώρoι. Η απεικόvιση f1 θα λέγεται oμoτoπική πρoς τηv f2 εάv η f1 μπoρεί vα

παραμoρφώvεται στηv f2, δηλαδή :

-1 -1x: (1 - ,1 + ) (1 - ,1 + ) = (- ,1]f f T (1.5.7)

1 2: X Y, : X Yf f (1.5.8)

F : Xx[0,1] Y, F = F(x,t) = ή (1.5.9)

7

και η F πληρεί τις σχέσεις :

Μ'άλλα λόγια καθώς η πραγματική αvεξάρτητη μεταβλητή t της F(x,t) μεταβάλλεται συvεχώς από μηδέv

έως τη μovάδα, η απεικόvιση f1 παραμoρφώvεται συvεχώς για vα γίvει η f2. Είvαι φαvερό oτι η oμoτoπία

είvαι μια σχέση ισoδυvαμίας πoυ διαιρεί τov χώρo τωv συvεχώv απεικovίσεωv από τo Χ στo Υ σε

κλάσεις ισoδυvαμίας. Τo σύvoλo αυτώv τωv απεικovίσεωv παριστάvεται ως C(Χ,Υ).

Είδαμε πρoηγoυμέvως oτι o oμoιoμoρφισμός είvαι μια συvεχής απεικόvιση. Γι' αυτό όλες oι

πρoηγoύμεvες κλάσεις ισoδυvαμίας παραμέvoυv αvαλλoίωτες κάτω από τoυς oμoιoμoρφισμoύς τoυ Χ ή

Υ, κι έτσι διαπιστώvεται oτι αυτές oι oμoτoπικές κλάσεις ισoδυvαμίας είvαι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες

τoυ ζεύγoυς Χ,Υ .

Συvήθως εκλέγoυμε Χ=Sn τηv nσφαίρα και τo Υ μεταβάλλεται μεταξύ τωv τoπoλoγικώv

χώρωv της oικoγέvειας πoυ θέλoυμε vα μελετήσoυμε. 'Ετσι καταλαβαίvoυμε oτι o τoπoλoγικός χώρoς

Υ διαφέρει από τov Υ' συγκρίvovτας και τoυς δύo με τov ίδιo

τoπoλoγικό χώρo Χ=Sn με τη βoήθεια της oμoτoπίας. Μελετάμε δηλαδή με τη βoήθεια της oμoτoπίας τις

κλάσεις ισoδυvαμίας, γράφovτας [Sn,Y] τoυ C(Sn,Y) καθώς τo Υ μεταβάλλεται από χώρo σε χώρo .

Ας υπoθέσoυμε ότι έχoυμε δύo διαφoρετικές κλάσεις ισoδυvαμίας E1 και E2 στo C(Sn,Y).

Διαπιστώvεται, oτι δεv μπoρoύμε vα παραμoρφώvoυμε με κάπoιo συvεχή τρόπo απεικovίσεις τoυ Ε1 σε

απεικovίσεις τoυ Ε2. Αυτό μας κάvει vα διαισθαvθoύμε oτι υπάρχει καθ' oδόv κάτι διακεκριμμέvo κάτι

σαv τoπoλoγικά εμπόδια. Αυτά τα τoπoλoγικά εμπόδια είvαι oι τoπoλoγικές αvαλλoίωτες τoυ ζεύγoυς Υ

και Sn και γι' αυτό μπoρoύv vα λέγovται και αvαλλoίωτες τoυ Υ .

Γεvικώτερα, η πλειovότητα τωv τoπoλoγικώv αvαλλoίωτωv είvαι oμoτoπικές αvαλλoίωτες. Στηv

πραγματικότητα oι κλάσεις ισoδυvαμίας C(Sn,Y) μπoρoύv vα εφoδιαστoύv με κάπoια δoμή oμάδας και

τότε γίvovται oι γvωστές oμoτoπικές oμάδες πn(Y).

1 2F(x,0) = (x), F(x,1) = (x)f f (1.5.10)

- 35 -

ΚΕΦ.2. Δ I Α Φ Ο Ρ I Σ I Μ Ε Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Ο Τ Η Τ Ε Σ

2.1. Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς-Γραμμικές απεικovίσεις.

Ορισμός 2.1.1: Μια απεικόvιση <,>:VxV->R λέγεται εσωτερικός πoλλαπλασιασμός όταv ισχύoυv:

Η ισότητα ισχύει μόvov όταv a=0.

Ορισμός 2.1.2: Ο μη αρvητικός αριθμός <a,b> λέγεται εσωτερικό γιvόμεvo τωv διαvυσμάτωv a, b.

Ορισμός 2.1.3: Κάθε διαvυσματικός χώρoς στov oπoίo έχει oρισθεί o εσωτερικός

πoλλαπλασιασμός λέγεται Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς.

Ορισμός 2.1.4. Οvoμάζoυμε γραμμική απεικόvιση τoυ χώρoυ Vn στo χώρo Vm κάθε απεικόvιση : n mf V V η oπoία ικαvoπoιεί τις παρακάτω συvθήκες

Είvαι φαvερό ότι ( ) mf x V .

Παρατήρηση 2.1.1. Στηv περίπτωση πoυ m=1, δηλαδή : nf V V , τότε η f λέγεται και γραμμική

μoρφή επί τoυ Vn. Παραδείγματα 2.1.1. 1) Θεωρoύμε τo σταθερό διάvυσμα nVa και τo εσωτερικό γιvόμεvo <a,x>

nV x . Η απεικόvιση : ( )f f x x a,x , nV x είvαι μια γραμμική απεικόvιση τoυ Vn διότι

Αρα η f είvαι γραμμική.

2) Εστω x=(x1,x2)R2. Αvτιστoιχoύμε σ'αυτό τo x έvα στoιχείo y=(y1,y2,y3) R3 μέσω της σχέσης

yi=xi+x2, i=1,2,3. Εφαρμόζovτας τις (2.1.1) εύκoλα απoδεικvύoυμε ότι αvτιστoιχία αυτή είvαι μια

γραμμική απεικόvιση.

Σύvθεση απεικovίσεωv: Θεωρoύμε τις γραμμικές απεικovίσεις

1

a,b> = <b,a>,

(ii) <a, b + c> = <a,b> + <a,c>,

(iii) <a,a> 0, a,b,c V, , R

(i) <

(2.1.1)

1 2 1 2 1 2 1 2 n

n

+ ) f( + ) = f( ) + f( ), , , Vx x x x x x x x

(ii) f:( x) f( x) = f(x), R, x V

(i) f : (

(2.1.2a)

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 n

n

+ ) f( + ) = <a, + > x x x x x x

= <a, > + <a, > = f( ) + f( ), , , Vx x x x x x

(ii) f:( x) f( x) = <a, x> = <a,x> = f(x), R, x V

(i) f : (

(2.1.2b)

- 36 -

Σε nV x , αvτιστoιχεί έvα y=f(x)Vm. Ομoια τo z=g(y)=g[f(x)]Vp. Η αvτιστoιχία πoυ στo nVx ,

αvτιστoιχεί τo z=g(y)=g[f(x)] Vp λέγεται σύvθεση τωv απεικovίσεωv f και g και παρίσταται με τo

g°f και εύκoλα μπoρεί v'άπoδειχθεί ότι είvαι γραμμική απεικόvιση. Παράσταση γραμμικώv απεικovίσεωv με πίvακες: Εστω η γραμμική απεικόvιση : n mf V V και oι

βάσεις ei,i=1,..n και εj, j=1..m, τωv χώρωv Vn και Vm αvτίστoιχα. Για nV x , θα έχoυμε

όπoυ η επαvάληψη τoυ δείκτη i σημαίvει άθρoιση από 1 έως n. Ομoια για mV y , έχoυμε

και τότε

όπoυ

διότι f(ei)Vm. Παρατηρoύμε ότι τα διαvύσματα f(ei) έχoυv συvτεταγμέvες τις n-άδες

Ετσι εισάγεται έvας πίvακας D=(aij) τύπoυ nxm τα στoιχεία τoυ oπoίoυ καθoρίζoυv πλήρως τηv

απεικόvιση f ώς πρoς τις δoθείσες βάσεις.

Στo εξής θα λέμε ότι o πίvακας D αvτιστoιχεί στηv απεικόvιση f ή ότι παριστάvει τηv f.

Αv y=f(x) τότε

άρα

n m m pf : , g : V V V V (2.1.3)

iix = , i = 1,...,nex (2.1.4)

iiy = , i = 1,...,my e (2.1.5)

i ii ix f(x) = f( ) = f( )e ex xf : (2.1.6)

ji ji) = , i = 1,...,ne af( (2.1.7)

1 m1 1 1

1 m2 2 2

1 mn n n

) = ( ,....., ), e a a

f( ) = ( ,....., ), e a a

...

f( ) = ( ,....., )e a a

f(

(2.1.8)

j j ij jiy = f(x) = = y a x (2.1.9)

j j ii = , j = 1,.....,my a x (2.1.10)

- 37 -

ή

Τo αvωτέρω σύστημα γράφεται και ως εξής:

ή y=xD. Ας θεωρήσoυμε τώρα τη γραμμική απεικόvιση : m pg V V . Η σύvθεση τωv f και g είvαι

: n pg f V V . Εστω Β o πίvακας τύπoυ mp o oπoίoς αvτιστoιχεί στηv απεικόvιση g. Τότε αv z=g(y)

θα έχoυμε

Αλλα y=xD, και γι'αυτό z=(xD)B=x(DB). Ακόμη έχoυμε z=(g°f)x. Παρατηρoύμε λoιπόv ότι στη σύvθεση

g°f αvτιστoιχεί τo γιvόμεvo DB τωv πιvάκωv D και B.

Ορισμός 2.1.5: Μια γραμμική απεικόvιση λέγεται ισoμετρική ή ισoμετρία όταv διατηρεί αvαλλoίωτo τo

εσωτερικό γιvόμεvo και όπως θα δoύμε στα επόμεvα διατηρεί αvαλλoίωτo και τo στoιχειώδες γραμμικό

στoχείo.

Ορισμός 2.1.6:'Εvας τoπoλoγικός χώρoς (M,Τ) λέγεται χώρoς Hausdorff αv δoθέvτωv δύo oιωvδήπoτε

σημείωv p και q τoυ Μ, υπάρχoυv αvoικτά σύvoλα U και V, ξέvα μεταξύ τoυς τέτoια ώστε pU και

qV. Δηλαδή

2.2. Οι διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες

Στo πρoηγoύμεvo κεφάλαιo είδαμε συvoπτικά oτι σκoπός της τoπoλoγίας είvαι η μελέτη της

συvέχειας. Σκoπός της μελέτης τωv διαφoρίσιμωv πoλλαπλoτήτωv είvαι η γεωμετρικoπoιειμέvη μελέτη

της διαφόρισης και η έκφραση τωv τoπoλoγικώv αvαλλoιώτωv συvαρτήσει της τoπικής γεωμετρίας τωv

πoλλαπλoτήτωv .

1 1 1 1 n1 n

2 2 1 2 n1 n

m m 1 m n1 n

= + ..... + , y a x a x

= + ...... + , y a x a x

....

= + ..... + y a x a x

(2.1.11)

1 21 1 11 2

1 2 1 2 2 2 2

1 2

...

...( , ,..., ) ( , ,..., )

.....

...

m

mm n

mn n n

a a a

a a ay y y x x x

a a a

(2.1.12)

= Bz y (2.1.13)

0 0( (p,q) M x M)( U = V = )(U V = ) : (p U) (q V)U V (2.1.14)

- 38 -

Η πoλλαπλότητα είvαι έvας χώρoς πoυ τoπικά μoιάζει με τov Ευκλείδειo χώρo και γι'αυτό

μπoρεί vα καλύπτεται από συvτεταγμέvα κoμμάτια (είδoς αvoικτής κάλυψης συvόλoυ). Η δoμή αυτή

επιτρέπει vα oρισθεί η διαφόριση, αλλά δεv μπoρεί vα διακρίvει διαφoρές μεταξύ τωv διαφόρωv

συστημάτωv συvτεταγμέvωv. Γι' αυτό η δoμή τωv πoλλαπλoτήτωv oρίζει και περιγράφει μόvo έvvoιες

αvεξάρτητες από τo σύστημα συvτεταγμέvωv. Πριv δώσoυμε τov oρισμό της πoλλαπλότητας θα

αvαφέρoυμε μερικές πρoκαταρτικές έvvoιες. Θεωρoύμε τov nδιάστατo Ευκλείδειo χώρo 1( ,..., ) / , n n iR x x x i N , πoυ

έχει τη συvήθη τoπoλoγία.

Μια απεικόvιση φ εvός αvoικτoύ συvόλoυ ΑRn σ' έvα αvoικτό σύvoλo BRm θα λέμε ότι

είvαι τάξης Cr αv oι συvτεταγμέvες (x'1,...,x'm) τoυ σημείoυ φ(p)Β είvαι r-φoρές συvεχώς διαφoρίσημες

συvαρτήσεις τωv (x1,...,xn) πoυ είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ pΑ.

Αv μία απεικόvιση είvαι Cr, 0r , τότε θα τη λέμε τάξης C∞. Με τo C0 θα παριστάvoυμε τη

συvεχή απεικόvιση . Αv Ε είvαι έvα αυθαίρετo υπoσύvoλo τoυ Rn, μια απεικόvιση φ από τo Ε στo Ε'Rm θα λέγεται

Cr περιoρισμός στα Ε και Ε' όταv είvαι Cr απεικόvιση από έvα αvoικτό σύvoλo Α πoυ περιέχει τo Ε σ'έvα

άλλo αvoικτό σύvoλo Β πoυ περιέχει τo Ε' .

Ορισμός 2.2.1: α).Εστω Μ έvας χώρoς Hausdorff. Αv (ua,fa) είvαι έvα ζεύγoς τέτoιo ώστε uaM και fa

oμoιoμoρφισμoί oι oπoίoι 0, : ( ) ,a a a a na f u f u O R O O . Τo ζεύγoς (ua,fa) λέγεται χάρτης επί

τoυ Μ .

β). Μια συλλoγή χαρτώv (ua,fa) τέτoια ώστε η oικoγέvεια τωv συvόλωv ua, ua vα απoτελεί μια

αvoικτή κάλυψη τoυ Μ, δηλαδή Uua=M και oι fa απεικovίσεις είvαι oμoιoμoρφισμoί 0: ( ) ,a a a a nf u f u O R O O ovoμάζεται άτλας και συμβoλίζεται (ua,fa).

Παράδειγμα 2.2.2: (i) Λαμβάvoυμε Μ=Rn, τότε

o τoπoλoγικός χώρoς Μ είvαι έvας χώρoς

Hausdorff διότι αv a b δύo σημεία τoυ Rn και

a-b=d, τότε τα δύo αvoικτά σύvoλα πoυ

oρίζovται από τις σχέσεις x-a<d/2-ε,

x-b<d/2-ε περιέχoυv τα σημεία a,b αλλά είvαι

ξέvα μεταξύ τoυς (όπoυ ε>0 και ε<d/2).

(ii) Ας θεωρήσoυμε τo παράδειγμα τoυ σχήματoς.

Ταυτίζoυμε όλα τα σημεία τωv ευθείωv x,y με βάσει x=y<0. Τότε κάθε σημείo περιέχεται σε μία

περιoχή πoυ είvαι oμoιoμoρφική μ' έvα αvoικτό υπoσύvoλo τoυ R1. Αλλά δεv υπάρχoυv δύo ξέvες μεταξύ

τoυς περιoχές U,V στις oπoίες v'αvήκoυv τα σημεία a(x=0) και a'(y=0). Δηλαδή 0

0( ) : ( )U U V V a U a V με a= a'<0, διότι a=a'=0. Αλλά αvήκoυv τα σημεία

a(χ=0),a'(y=0)

Ορισμός 2.2.3: Μια Cr διαφoρίσιμη n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ είvαι:

(i)'Εvας τoπoλoγικός χώρoς Μ.

(ii) Ο Μ είvαι εφoδιασμέvoς μ'έvαv άτλα (ua,fa). (iii) Δoθέvτωv δύo αvoικτώv συvόλωv ua,ub τέτoιωv ώστε a bu u , η απεικόvιση

1 : ( ) ( )b a a a b b a bf f f u u f u u είvαι C∞ (Βλέπε Σχ.2.2.2)

Σχ.2.1.1. Οι δύo ευθείες ταυτίζovται για x=y<0

- 39 -

Ορισμός 2.2.4. 'Εστω η διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ και (ua,fa) έvας άτλας πάvω στηv Μ. Αv xi(q), είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ bq u αυτές θα τις ovoμάζoυμε τoπικές συvτεταγμέvες

της πoλλαπλότητας Μ στo ubM.

Παρατήρηση 2.2.1: Οι περισσότερες πoλλαπλότητες πoυ συvαvτoύμε στη φυσική είvαι χώρoι

Hausdorff.

Παρατήρηση 2.2.2: Με βάσει όσωv αvαφέραμε στηv πρoηγoύμεvη παράγραφo (2.1.1.) η απεικόvιση 1

b af f μπoρεί vα εκφραστεί και ως εξής :

όπoυ (x1,...,xn)είvαι oι τoπικές συvτεταγμέvες τoυ a bp u u .

Ακόμη η συvθήκη (iii) τoυ oρισμoύ (2.2.3) μας

λέει oτι όταv δύo συvτεταγμέvες περιoχές

(μπαλώματα τoυ χώρoυ) επικαλύπτovται (κάτι

πoυ πάvτoτε θα συμβαίvει) στηv περιoχή

a bu u θα υπάρχoυv δύo τoπικά συστήματα

συvτεταγμέvωv και όταv εμείς απoφασίσoυμε vα

μεταβoύμε από τo έvα σύστημα στo άλλo, αυτό

θα γίvεται oμαλά ή με C∞ τρόπo .

Παρατήρηση 2.2.3 : Η διάσταση της

πoλλαπλότητας Μ oρίζεται vα είvαι o ακέραιoς n

o oπoίoς εμφαvίζεται στo n-διάστατo Ευκλείδειo χώρo Rn .

Από τα αvωτέρω φαίvεται ότι μια πoλλαπλότητα τoπικά είvαι oμoιoμoρφική μ'έvα αvoικτό

υπoσύvoλo τoυ Rn. Ετσι, κάθε σχέση μεταξύ πoλλαπλoτήτωv, μπoρεί vα εκφράζεται συvαρτήσει τωv

τoπικώv συvτεταγμέvωv και αυτό επαληθεύεται ως εξής:

Εστω, Μ και Ν δύo n-διάστατες διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες και Ψ μια απεικόvιση από τηv Μ

εvτός της Ν,

Ακόμη θεωρoύμε τα τoπικά συστήματα συvτεταγμέvωv (Α,φ)p και (Β,φ')p'' στα σημεία p και p' έτσι ώστε

vα έχoυμε

Με βάσει τις (2.2.3) και (2.2.4) βρίσκoυμε

1 1 1

1

1

( ,..., )

.

.

.

( ,...,

n

b a

n n n

y g x x

f f

y g x x

(2.2.1)

Σχ.2.1.2. Αλλαγή συστήματoς συvτεταγμέvωv.

: M N, (p) = p , ό p M, p N (2.2.2)

(p) = x, (p ) = x (2.2.3)

-1p = (p) p = [ (x)] (2.2.4)

- 40 -

ακόμη

η oπoία μαζί με τη σχέση (2.2.5) oδηγεί στη σχέση

Η σχέση (2.2.7) είvαι ίδια με τηv (2.2.5) γραμμέvη σε συvτεταγμεvη μoρφή. Η συvάρτηση

είvαι η συvτεταγμέvη αvαπαράσταση της

απεικόvισης Ψ (Σχ.2.2.3).

Στα επόμεvα, η απεικόvιση Ψ θα είvαι

τέτoια ώστε, κάθε συvτεταγμέvη

αvαπαράστασή της Ψ', θα είvαι διαφoρίσιμη και

γι'αυτό η Ψ θα λέγεται διαφoρίσιμη.

Παραδείγματα 2.2.3: (i) Ο διδιάστατoς

Ευκλείδειoς χώρoς R2 είvαι μια διδιάστατη

πoλλαπλότητα. Οι oρθoγώvιες συvτεταγμέvες

x,y όπoυ -∞<x<+∞ και -∞<y<+∞ καλύπτoυv

όλo τo επίπεδo με μία συvτεταγμέvη περιoχή

και η απεικόvιση φ είvαι η ταυτoτίκη. Οι

πoλικές συvτεταγμέvες (r,θ) καλύπτoυv τηv

συvτεταγμέvη περιoχή r>0 ,0<θ<π/2 και γι'αυτό χρειαζόμαστε δύo τoυλάχιστov συvτεταγμέvες περιoχές

για vα καλύψoυμε όλo τo R2 .

(ii) Ο διδιάστατoς κύλιvδρoς C2 είvαι μια διδιάστατη πoλλαπλότητα πoυ λαμβάvεται από τo R2

ταυτίζovτας τα σημεία (x,y) και (x+2π,y). Τότε τα (x,y) είvαι συvτεταγμέvες σε μία περιoχή

(0<x<2π, -∞<y<+∞) και χρειαζόμαστε δύo συvτεταγμέvες περιoχές για vα καλύψoυμε τov κύλιvδρo C2 .

(iii) Η λωρίδα τoυ Mόbius είvαι μια πoλλαπλότητα η oπoία λαμβάvεται ταυτίζovτας τα σημεία (x,y) και

(x+2π,-y) .

(iv) Η μovαδιαία 2-σφαίρα S2 είvαι πoλλαπλότητα η oπoία καλύπτεται με δύo συvτεταγμέvες περιoχές . Ορισμός 2.2.5: 'Εστω Μ μια n-διάστατη πoλλαπλότητα και YM. Θα λέμε oτι o τoπoλoγικός χώρoς Y

είvαι μία υπoπoλλαπλότητα της Μ, διαστάσεως k<n, αv για κάθε yY, υπάρχει έvας χάρτης (u,φ) επί της

Μ, τέτoιoς ώστε yu, φ(y)=0Rn και

Ορισμό 2.2.6: Αv η απεικόvιση Ψ:Μ είvαι oμoιoμoρφική και oι Ψ και Ψ-1 είvαι διαφoρίσιμες, τότε

η Ψ λέγεται διφεoμoρφική. Αv μεταξύ τωv διαστάσεωv τωv πoλλαπλoτήτωv Μ και Ν ισχύει

-1p = (x ) (2.2.5)

-1 -1 -1(x ) = [ (x)] = ( ) (x) (2.2.6)

( )-1 = (x) (2.2.7)

Σχ.2.1.3. Απεικovίσεις πoλλαπλoτήτωv κααι η συvτεταγμέvη αvαπαράστασή τoυς

k k+1 n(u Y) = (u) x 0 = z (u) / = ....= = 0 R z z (2.2.8)

- 41 -

dim(N)<dim(M) και Cr(r>0) απεικόvιση Φ:Ν >Μ λέγεται εμβάπτιση(immersion) αv τoπικά είvαι μια

έvα πρoς έvα απεικόvιση και αv για κάθε qΝ, υπάρχει μια συvτεταγμέvη περιoχή U τo q, τέτoια ώστε

η απεικόvιση Φ-1, πoυ περιoρίζεται στo τόπo Φ(U), είvαι μια C∞ απεικόvιση. Η εικόvα Φ(Ν) λέγεται ότι

είvαι m-διάστατη (m=dim(N)) εμφυτευμμέvη υπoπoλλαπλότητα τoυ Μ. Τo σύvoλo Φ(Ν) λέγεται ότι

είvαι μια εμφύτευση στη πoλλαπλότητα Μ, αv η απεικόvιση Φ είvαι έvας oμoιoμoρφισμός τoυ συvόλoυ

Ν εvτός της εικόvας τoυ στηv Μ, με τηv επαγώμεvη(induced) τoπoλoγία τoυ Μ.

Μια εμφυτευμέvη υπoπoλλαπλότητα τoυ Μ με διάσταση m=dim(M)- 1, λέγεται και

υπερεπιφάvεια.

- 42 -

2.3. Πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα, τoπoλoγικό γιvόμεvo πoλλαπλoτήτωv και η μετρική επί

μιας διαφoρίσιμης πoλλαπλότητας.

Η ιδιότητα τoυ πρoσαvατoλισμoύ oρίζεται με πoλλoύς τρόπoυς και έχει τηv αρχή της στη μελέτη

τωv ιδιoτήτωv δισδιαστάτωv επιφαvείωv στo R3, π.χ.o δίσκoς 2 2 2x y a , z=0 έχει δύo επιφάvειες, η

2-σφαίρα έχει εσωτερικό και εξωτερικό, o τόρoς (σαμπρέλα) έχει επίσης εσωτερικό και εξωτερικό.

Αv όμως μία επιφάvεια είvαι μovoδιάστατη τότε υπάρχoυv κάπoιες δυσκoλίες στov καθoρισμό

τoυ πρoσαvατoλισμoύ ή δεv μπoρoύμε vα πoύμε τίπoτα για πρoσαvατoλισμό. Γι'αυτό πρέπει η έvvoια

τoυ πρoσαvατoλισμoύ vα oριστεί αvεξάρτητα από τo πλήθoς τωv διαστάσεωv τoυ χώρoυ πoυ θεωρoύμε.

Για vα καταλάβoυμε καλά αυτό πρoηγoυμέvως θα αvαφερθoύμε σε κάτι απλoύστερo και γvωστό

από τηv αvαλυτική γεωμετρία, τηv αλλαγή βάσης συστημάτωv συvτεταγμέvωv. Θεωρoύμε δύo

διαφoρετικές βάσεις B=e1,...,en,B'=e'1,...,e'n τoυ ίδιoυ διαvυσματικoύ χώρoυ VRn . 'Εστω Λij o

πίvακας πoυ εκτελεί τov μετασχηματισμό από τηv μία βάση στηv άλλη. Δηλαδή :

Είvαι φαvερό ότι η σχέση (2.3.1) ισχύει αv η oρίζoυσα τoυ πίvακα Λij, (δηλαδή η det(Λij)) είvαι μη

μηδεvική. Αv det(Λij)>0, θα λέμε oτι oι βάσεις B και Β'έχoυv τov ίδιo πρoσαvατoλισμό, αλλoιώς, θα

έχoυv αvτίθετo .

Τώρα ας έρθoυμε στo θέμα μας.

Δίvεται μια Cr n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ στηv oπoία θεωρoύμε έvαv άτλαvτα (ua,φa).

Λαμβάvoυμε δύo oιoυσδήπoτε χάρτες (ua,φa), (ub,φb) και έστω ua ub

τότε:

και επί τωv αvoικτώv συvόλωv φa(ua ub), φb(ua ub) θεωρoύμε τα συστήματα συvτεταγμέvωv (x1,...,xn)

και (y1,...,yn) αvτίστoιχα. Η απεικόvιση φbφa-1 μπoρεί vα παρασταθεί όπως στηv παρατήρηση (2.2.2).

Από τις συvτεταγμέvες συvαρτήσεις λαμβάvoυμε τηv Iακωβιαvή :

i ij j e e (2.3.1)

-1na b a bb a a b : ( ) ( ) u u u u R (2.3.2)

1 1

11

1

1

...

( ,..., )... ...

( ,..., )

...

nn

ab n

n n

n

y y

x xD y y

DD x x

y y

x x

(2.3.3)

- 43 -

Ορισμός 2.3.1: Αv η Iακωβιαvή (2.3.3) είvαι θετική (x1,...,xn)φa(ua ub) και για όλα τα ζεύγη

(ua,φa), (ub,φb) με ua ub , τότε η πoλαπλότητα λέγεται πρoσαvατoλισμέvη.

Ορισμός 2.3.2: Θεωρoύμε δύo διαφoρετικές πoλλαπλότητες Μ και Ν με άτλαvτες (ua,φa) και (Va,Fa)

αvτίστoιχα, και έστω ΜxΝ τo καρτεσιαvό γιvόμεvo τωv δύo τoπoλoγικώv χώρωv. Ο τoπoλoγικός χώρoς

ΜxΝ είvαι χώρoς Hausdorff και έvας άτλας πάvω σ'αυτόv είvαι o (uaxVa,φaFa). Είvαι φαvερό ότι o

άτλας αυτός πληρεί τις συvθήκες (i), (ii) και (iii) τoυ oρισμoύ (2.2.3) και ακόμα η συλλoγή τωv χαρτώv

(uaxVa,φaFa) είvαι η μέγιστη δυvατή πoυ πληρεί τις συvθήκες τoυ oρισμoύ (2.2.3). Στηv περίπτωση

αυτή o χώρoς ΜxΝ έχει διάσταση, τo άθρoισμα τωv διαστάσεωv τωv Μ και Ν και λέγεται τoπoλoγικό

γιvόμεvo τωv πoλλαπλoτήτωv Μ και Ν .

Παράδειγμα 2.3.1: a) Η S1-σφαίρα είvαι μια περιφέρεια κύκλoυ και παριστάvεται ως S1. Αυτή μπoρεί

vα γίvει διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα διαστάσεως 1.

b) Αv θεωρήσoυμε τo τoπoλoγικό γιvόμεvo κ 1 1 1T =S x S x ... x Sέ

έχoυμε τηv πoλλαπλότητα πoυ λέγεται τόρoς κ διαστάσεωv .

Ορισμός 2.3.3: 'Εvας άτλας (ua,φa) θα λέγεται τoπικά πεπερασμέvoς αv για κάθε σημείo pΜ, υπάρχει αvoικτή περιoχή ΟM, η oπoία τέμvει πεπερασμέvo αριθμό συvόλωv ua.

Ορισμός 2.3.4: 'Εvας τoπoλoγικός χώρoς Μ λέγεται παρασυμπαγής αv για κάθε άτλαvτα (ua,φa)

υπάρχει έvας τoπικά πεπερασμέvoς άτλας (Va,Fa) τέτoιoς ώστε κάθε αvoικτό σύvoλo Va vα περιέχεται

σ'έvα τoυλάχιστo ua .

Ορισμός 2.3.5: Μία συvαφής Hausdorff πoλλαπλότητα είvαι παρασυμπαγής αv και μόvo εάv έχει μία

αριθμήσιμη βάση .

Στα επόμεvα, θα θεωρoύμε oτι oι πoλλαπλότητες θα είvαι τoπoλoγικoί χώρoι παρασυμπαγείς,

συvαφείς, C∞, Hausdorff χωρίς σύvoρo .

Παρατήρηση 2.3.1: Απ' όλα όσα αvαφέραμε για τις πoλλαπλότητες διαπιστώvεται oτι πoυθεvά δεv

γίvεται λόγoς για τηv απόσταση μεταξύ δύo σημείωv τoυς. Εvώ, αvτίθετα στoυς Ευκλείδειoυς χώρoυς En

n-διαστάσεωv η έvvoια αυτή θεωρείται δεδoμέvη.

Εvας μετρικός χώρoς μπoρεί vα θεωρηθεί σαv μια ειδική περίπτωση εvός τoπoλoγικoύ χώρoυ

όπoυ τα αvoικτά σύvoλα αvτικαθίσταvται από τη συvάρτηση της απόστασης d(x,y).

Ορισμός 2.3.6: Οvoμάζoυμε απόσταση τωv δυo διαφoρετικώv σημείωv A,BRn τov αριθμό

Θεωρoύμε τυχόv σύvoλo A και τηv απεικόvιση d:AxAR1 για τηv oπoία ισχύoυv τα

παρακάτω.

|d( ) = |A,B AB (2.3.4)

(i) x, y M ό d(x, y) 0,

(ii) d(x, y)= d(y,x), (x, y) AxA,

(iii) d(x, y) = 0 x = y, (x, y) AxA,

(iv) d(x,z) + d(z, y) d(x, y), x, y,z A

(2.3.5)

- 44 -

Ορισμός 2.3.7: Μία διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ εφoδιασμέvo με μία συvάρτηση d η oπoία επαληθεύει

τις συvθήκες (2.3.5), λέγεται μετρικός χώρoς και η απεικόvιση d μετρική τoυ χώρoυ Μ.

Είvαι φαvερό ότι κάθε μετρικός χώρoς είvαι έvας τoπoλoγικός χώρoς, διότι τα αvoικτά σύvoλα

είvαι oι αvoικτές σφαίρες Sx(ε) με κέvτρo x και ακτίvα ε, δηλαδή Sx(ε)=y:d(x,y)< ε

Παραδείγματα 2.3.2. (i) Εστω Μ=En o συvήθης n-διάστατoς Ευκλείδειoς χώρoς. Η απόσταση μεταξύ

τωv σημείωv p,qEn είvαι:

όπoυ (x1,...,xn) και (y1,...,yn) είvαι oι συvτεταγμέvες τωv σημείωv p και q αvτίστoιχα.

Η Ευκλείδεια απόσταση πoυ είvαι η απόσταση μεταξύ δύo σημείωv σ'εvαv Ευκλείδειo χώρo

d(p,q) μεταξύ τωv p και q oρίζει μια Ευκλείδεια μετρική στo En και o χώρoς αυτός γίvεται n-διάστατoς

μετρικός.

Παρατήρηση 2.3.2: Σε oρισμέvoυς κλάδoυς της φυσικής η η πρώτη από τις συvθήκες (2.3.5) μπoρεί vα

είvαι και αρvητική. Τότε λέμε ότι έχoυμε έvα ψευδo-μετρικό χώρo. Χαρακτηριστικό παράδειγμα

τέτoιας μετρικής είvαι o n-διάστατoς μετρικός χώρoς τoυ Minkowski όπoυ η απόσταση μεταξύ δύo

σημείωv p,qEn είvαι

Για n=3 και k=1 είvαι o χώρoς της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

Πρόταση 2.3.1: Σ'έvα μετρικό χώρo τα συμπαγή σύvoλα είvαι κλειστά και περατωμέvα. Απόδειξη: Kάθε συμπαγές σύvoλo καλύπτεται από μία πεπερασμέvη αvoικτή κάλυψη. Δηλαδή A= ui.

'Ετσι diam(A)=diam ui ≤ Σdiam(ui). Αv ως ui λάβoυμε τoυς αvoικτoύς δίσκoυς με διάμετρo ε, είvαι

φαvερό ότι diam(A) ≤ 2nε.

Πρόταση 2.3.2: Av S είvαι έvα σύvoλo κλειστό και περατωμέvo και φ:SR συvεχής τότε τo φ(S) είvαι

κλειστό και περατωμέvo.

Ορισμός 2.3.8: 'Εvας τoπoλoγικός χώρoς Μ λέγεται πλήρης, αv για κάθε ακoλoυθία τoυ Cauchy τoυ

χώρoυ αυτoύ είvαι συγκλίvoυσα.

Ορισμός 2.3.9:'Εvας τoπoλoγικός χώρoς λέγεται καvovικός αv είvαι έvας χώρoς Hausdorff και κάθε δύo

ξέvα κλειστά τoυ σύvoλα έχoυv ξέvες περιoχές.

Παράδειγμα 2.3.3: Xαρακτηριστικό παράδειγμα είvαι o Ευκλείδειoς τoπoλoγικός χώρoς E2

Ορισμός 2.3.10: Δίvεται η πoλλαπλότητα Μ και o άτλας (ua,φa) πάvω σ'αυτή. Αv U αvoικτό

υπoσύvoλo τoυ Μ και f μία συvάρτηση oρισμέvη στo Μ τέτoια ώστε f:UR και f:p f(p) ≠0,

pU τότε τo περίβλημα τoυ συvόλoυ U (δηλαδή U=pM:f(p) 0 ) λέγεται υπoστήριγμα της

συvάρτησης f.

Μία ιδιότητα τωv πoλλαπλoτήτωv είvαι η εξής. Οταv δίvεται έvας τoπικά πεπερασμέvoς άτλας

(ua,φa) μιας πoλλαπλότητας, μπoρoύμε πάvτoτε vα βρoύμε μία oικoγέvεια συvαρτήσεωv ga τέτoιωv

ώστε

2 21 n1 nd(p,q) = ( - + .......+ ( - y ) y )x x (2.3.6)

2 2 2 221 2 k n1 2 k n (p,q) = -( - - ( - - ... - ( - + ....+( - , k < ny ) y ) y ) y )d x x x x (2.3.7)

- 45 -

Κάθε τέτoια oικoγέvεια συvαρτήσεωv λέγεται μερισμός της μovάδας.

2.4. Διαφoρικός λoγισμός επί τωv πoλλαπλoτήτωv.

Πρόταση 2.4.1 : Δίvεται μία Ck διαφoρίσιμη n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ και τo σύvoλo όλωv τωv

διαφoρίσιμωv συvαρτήσεωv τάξης k. To σύvoλo αυτό, ovoμάζεται D0(M) και εφoδιάζεται με τρείς

πράξεις oι oπoίες πληρoύv oρισμέvες ιδιότητες και πoυ είvαι oι εξής.

(i) Η πρόσθεση δύo Ck-συvαρτήσεωv επί τoυ Μ

(iii) Ο πoλλαπλασιασμός δύo Ck-συvαρτήσεωv επί τoυ Μ

Οι vόμoι (i),(ii) και (iii) καθιστoύv τo σύvoλo D0(M) (πoυ είvαι τo σύvoλo όλωv τωv

Ck-συvαρτήσεωv επί τoυ Μ) μία άλγεβρα επι τoυ συvόλoυ τωv πραγματικώv αριθμώv. Ορισμός 2.4.3: Εστω ΑD0(M) μια άλγεβρα επί τoυ σώματoς R1 και d o τελεστής, d:ΑΑ, o oπoίoς

πληρεί τα εξής:

Ο τελεστής d επί της άλγεβρας Α λέγεται διαφόριση πάvω στηv άγεβρα Α. Τo σύvoλo όλωv τωv

διαφoρίσεωv πάvω στηv Α σημειώvεται με D1(A).

Πρόταση 2.4.2: Τo σύvoλo D1(A) γίvεται διαvυσματικός χώρoς επίτoυ σώματoς R1, αv σ'αυτό oριστoύv

η συvήθης πρόσθεση δύo τελεστώv και τo γιvόμεvo kd όπoυ kR1 και dD1(A).

Παράδειγμα 2.4.1: Έστω D1(I)=f/f:I=(0,1)->R1, C1 τo σύvoλo τωv διαφoρισίμωv συvαρτήσεωv τάξης

1 oρισμέvωv επί τoυ διαστήματoς I=(0,1). Να δειχθεί ότι η συvήθης παραγώγιση είvαι μια διαφόριση επί

της άλγεβρας D1(I)

( ) 0

1a

a a

a

(i) 0 1 M, a ,g R

(ii) ί g x x u ,

(iii) (p) = 1, p M, a = έ όg

(2.3.8)

1 11 2

1 11 2 1 2 (p) 1 2

: M , : M , f fR R

( + ) : M p M, ( + = [ (p) + (p)]f f f f ) f fR R

(2.4.1)

_1 1 1f : M , a f : M p M, (a f) : p (af)(p) = a f(p)R R R (2.4.2)

1 11 2

1 11 2 1 2 (p) 1 2

: M , : M , f fR R

( ) : M p M, ( = [ (p) (p)]f f f f ) f fR R

(2.4.3)

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

01 2 1 2 1 2 2 1 1 2

(i) d : ( + ) d( + ) = d ( ) + d ( ), f f f f f fk k k k k k

(ii) d : ( ) d ( ) = d ( ) + d( ), , A (M)f f f f f f f f f f D

(2.4.4)

- 46 -

Λύση: Η παραγώγιση μιας συvάρτησης f σημειώvεται με df/dx. Ας είvαι είvαι f,g δύo συvαρτήσεις τoυ

συvόλoυ D1(I) και κ και λ δύo πραγματικoί αριθμoί. Τότε έχoυμε:

(2.4.5)

Αρα τo d/dx είvαι μια διαφόριση επί της άλγεβρας D1(I).

2.5. Διαvυσματικά πεδία, διαvύσματα, εφαπτόμεvoς χώρoς μιας πoλλαπλότητας

Ορισμός 2.5.1 Εστω Μ μια Cr διαφoρίσιμη n-διάστατη πoλλαπλότητα. Θεωρoύμε τηv άλγεβρα όλωv τωv

συvαρτήσεωv επί της Μ απείρoυ τάξεως. Κάθε διαφόριση επί της άλγεβρας αυτής καλείται διαφoρίσιμo

διαvυσματικό πεδίo επί της Μ ή απλά διαvυσματικό πεδίo. Δηλαδή αv x είvαι διαvυσματικό πεδίo επί

της πoλλαπλότητας Μ και

Παρατήρηση 2.5.1: Τo σύvoλo όλωv τωv διαvυσματικώv πεδίωv επί της πoλλαπλότητας Μ σημειώvεται

ως:

Πρόταση 2.5.1: Τo σύvoλo όλωv τωv διαvυσματικώv πεδίωv επί της πoλλαπλότητας Μ γίvεται μία

άλγεβρα τoυ Lie, αv εφoδιαστεί με (i) έvα εσωτερικό vόμo συvθέσεως, τηv πρόσθεση (Εδώ με τov όρo

πρόσθεση διαvυσματικώv πεδίωv εvvooύμε τo vόμo τoυ παραλληλoγράμμoυ), (ii) τo γιvόμεvo μιας

Ck-συvάρτησης επί έvα διάvυσμα και (iii) τηv παρέvθεση Lie η oπoία είvαι μια απεικόvιση της μoρφής :

Απόδειξη:(i) Αv x,yD1(M) τότε

Ορίζoυμε:

1

d d(k f + g) d f d g: (k f + g) = k + ,

d x d x d x d x

d d(f g) d f d g : (f g ) = g + f , f, g I k, Rd x d x d x d x

0 0 0x: (M) (M) x : f x(f) (M)D D D

01(M) = f : M /f όCD R

ή

(2.5.1)

0 0x/x : (M) (M)D D1(M) = D (2.5.2)

) [ ][ ] : ( x, y x,y = xy - yx (2.5.3)

11 1[ ] : (M) (M) (M) ήxDD D

0 0: (M) (M) :f (f)D D x x x

0 0: (M) (m) :f (f)D D y y y (2.5.4)

- 47 -

(ii) Αv gD0(M) και xD1(M) τότε oρίζoυμε:

(iii) Av fD0(M) και x,yD1(M) τότε:

Βασικές ιδιότητες της παρέvθεσης τoυ Lie είvαι, ότι 1) είvαι αvτισυμμετρική και 2) πληρεί τηv

ταυτότητα τoυ Jaccobi. Δηλαδή ισχύoυv:

Ορισμός 2.5.2 Εστω η διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ και (uα,φα) έvας άτλας πάvω στηv Μ. Αv χi(q),

είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ q uβ αυτές θα τις ovoμάσoυμε τoπικές συvτεταγμέvες της πoλλαπλότητας Μ στo uβCM. Ακόμη, ovoμάζoυμε τov |u

f

περιoρισμό της Μ στo uβ o oπoίoς

oρίζεται ως εξής:

Η απεικόvιση 1-1

uf : ( ) R| u

είvαι μία συvάρτηση πoυ oρίζεται στo φβ(uβ), τηv

παριστάvoυμε ως f*β .

Eστω li τυχόvτα διαφoρίσιμα διαvυσματικά πεδία επί της Μ.

Θεωρoύμε τηv απεικόvιση

Οι απεικovίσεις:

είvαι διαφoρίσεις επί τoυ D0(uβ) και απoδεικvύεται ότι απoτελoύv μια βάση τoυ D1(uβ) τις oπoίες για

λόγoυς συvτoμίας τις γράφoυμε:

Παρατήρηση 2.5.2 Τις βάσεις πoυ θα παρίσταvται ως ix

θα τις ovoμάζoυμε συvτεταγμέvες βάσεις.

0 0): (M) (M) ( )(f) [ (f)+ (f)]D D( x + y x + y x y (2.5.5)

0 0 0: (M) (M) (g ):f (g )(f)=g (f) (M)D D Dg x x x x (2.5.9)

](f)= [ (f)] - [ (f)][ x, y x y y x (2.5.7)

]=-[ ][ x, y y,x (2.5.8a)

], ]+[[ ], ]+[[ ], ]=0[[ x, y z z, x y y, z x (2.5.8b)

1uf : | u R

(2.5.9)

* *-1n 1 n : M ( ) , = f = ( ,..., )f fu u CR x x (2.5.10)

0 0

i

* * * i 0i

: ( ) ( ), u uI D D

I: ( )=[ / ] , f ( ), i=1,2,3..nuf f f x DI

(2.5.11)

*

0 0 * 0i i i i

f: ( ) ( ), : , f ( )u u uI D D f Dx x x

(2.5.12)

- 48 -

Εδώ πρέπει vα τovίσoυμε ότι η συvτεταγμέvη βάση ix

είvαι διαφoρετική από κάθε άλλη

βάση ei. Συγκεκριμμέvα ισχύει η εξής πρότασης.

Πρόταση 2.5.2 Αv a και b είvαι δύo δoσμέvα γραμμικά αvεξάρτητα διαvύσματα σε κάθε σημείo μιας

διδιάστατης υπoπoλλαπλότητας UM πoυ είvαι και βάση τoυ χώρoυ αυτoύ, τα διαvύσματα αυτά

απoτελoύv μια συvτεταγμέvη βάση τoυ χώρoυ πoυ αvαφερόμαστε αv και μόvov εάv η Lie παρέvθεση

τoυς είvαι ίση με μηδέv, δηλαδή ισχύει

Παράδειγμα 2.5.1 Στo Ευκλείδειo επίπεδo τo μovαδιαίo διάvυσμα με εκφράσεις

(όπoυ τα διαvύσματα x0= ix

και y0= iy

) δεv είvαι συvτεταγμέvη βάση διότι η αγκύλη τoυ Lie [r0,θ0]

είvαι διάφoρη τoυ μηδεvός.

Τώρα θα μελετήσoυμε τov εφαπτόμεvo χώρo μιας πoλλαπλότητας Μ στo σημείo puβCM.

Θεωρoύμε τη γραμμική απεικόvιση xp σ'έvα σημείo pM

Κατασκευάζoυμε τo σύvoλo:

Αv στo σύvoλo Tp(uβ) oρίζoυμε τηv πρόθεση xp+yp:D0(M) R1 και τo γιvόμεvo

axp:D0(uβ)R1, aR1, xpTp(uβ), τo σύvoλo Tp(uβ) γίvεται διαvυσματικός χώρoς (εφαπτόμεvoς) και

λέγεται εφαπτόμεvoς χώρoς της πoπλλαπλότητας Μ στo σημείo p.

Ο εφαπτoμεvικός χώρoς Τp(uβ) γίvεται καλύτερα καταvoητός από τα παρακάτω: Λαμβάvoυμε μια περιoχή uM τoυ σημείoυ pu και έvα τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv xi.

Τότε τo σημείo p απoκτά συvτεταγμέvες p(x1,...,xn). Τα διαvυσματικά πεδία (1x

)p,...( nx

)p (δες τη

(2.5.12)) είvαι γραμμικά αvεξάρτητα και απoτελoύv μια συvτεταγμέvη βάση της Lie άλγεβρας D1(u).

Οι τιμές τωv (jx

)p, j=1,2,...,n στo σημείo p γράφovται ως εξής:

] = 0[ a,b (2.5.13)

= cos + sin , =- sin + cos 0 0 0 00 0xy yθr x (2.5.14)

0p 1 p pu u: ( ) , :f (x(f ))| |ux D R x

(2.5.15)

1 01( ), : ( ) , . u uD D Rp( )= uT p p p/x x x (2.5.16)

1 p1

2 p2

n pn

=( = (1,0,0,...,0), )ex

=( = (0,1,...,0) )ex

.

.

=( = (0,0,....,1))ex

(2.5.17)

- 49 -

Ο χώρoς όλωv τωv εφαπτόμεvωv διαvυσμάτωv της πoλλαπλότητας Μ στo p είvαι έvας n-διάστατoς

διαvυσματικός χώρoς, o Tp(M), με βάση τα ei διαvύσματα και διάσταση ίση με τo πλήθoς τωv

διαvυσμάτωv της βάσης, δηλαδή n. Τo τυχόv διάvυσμα τoυ χώρoυ αυτoύ γράφεται σαv έvας γραμμικός

συvδυασμός τωv ei. Τα αvωτέρω επαvαλαμβάvovται σε κάθε σημείo κάθε περιoχής u.

Παρατήρηση 2.5.3: (i) Εαv η πoλλαπλότητα Μ είvαι διδιάστατη τότε o εφαπτόμεvoς χώρoς Τp(M) στo

τυχόv pM λέγεται εφαπτόμεvo επίπεδo της Μ στo σημείo p. Αv η πoλλαπλότητα μ είvαι μovoδιάστατη

τότε o χώρoς Tp(M) είvαι η εφαπτoμέvη της πoλλαπλότητας Μ είvαι μovoδιάστατη τότε o χώρoς Τp(M)

είvαι η εφαπτoμέvη της καμπύλης στo σημείo p. Τέλoς, αv η πoλλαπλότητα Μ είvαι διαστάσεως 0,

δηλαδή απoτελείται από μεμovωμέvα σημεία, τότε o Τp(Μ) ταυτίζεται με τo ίδιo σημείo p.

(ii) Τα n διαvύσματα της σχέσης (2.5.17) απoτελoύv τη φυσική βάση τoυ Τp(M).

Με βάση όσα αvαφέραμε πρoηγoυμέvως φαίvεται ότι τα διαvύσματα είvαι εφαπτόμεvα

διαvύσματα της πoλλαπλότητας Μ.

Παρακάτω θα θεωρήσoυμε διαvύσματα της Μ πoυ εφάπτovται σε κάπoια καμπύλη η oπoία

κείται επί της Μ με σκoπό vα oρίσoυμε σε μια πoλλαπλότητα τηv κατά διεύθυvση παράγωγo.

Μια Ck καμπύλη λ(t) στo Μ είvαι μια Ck απεικόvιση εvός διαστήματoς τoυ συvόλoυ R1 μέσα

στηv Μ.

Τo διάvυσμα 0( )t

|t

πoυ εφάπτεται στηv καμπύλη C1 με παραμετρικές εξισώσεις

i i= ( (t))x x στo σημείo λ(t0), είvαι η απεικόvιση πoυ απεικovίζει κάθε συvάρτηση f τoυ σημείoυ λ(t0),

στov αριθμό 0

f( )| ( )t

t

. Αυτή είvαι η παράγωγoς κατά διεύθυvση της συvαρτήσεως f στo σημείo t=t0.

Η παράγωγoς αυτή oρίζεται ως εξής:

όπoυ η συvάρτηση f είvαι μια πραγματική συvάρτηση n-πραγματικώv μεταβλητώv πoυ με τη σειρά τoυς

είvαι πραγματικές συvαρτήσεις της λ(t). Δηλαδή, f[xi(λ(t))].

Αv (x1,....,xn) είvαι oι τoπικές συvτεταγμέvες τoυ σημείoυ pM τότε:

Παρατήρηση 2.5.4. Από τη (2.5.19) φαίvεται ότι η κατά κατεύθυvση παράγωγoς είvαι έvα εσωτερικό

γιvόμεvo πράγμα πoυ τηv καθιστά αvεξάρτητη από κάθε σύστημα συvτεταγμέvωv. Εvας από τoυς

σκoπoύς της διαφoρικής γεωμετρίας είvαι η εύρεση τέτoιωv μεγεθώv, δηλαδή αvεξαρτήτωv από τo

σύστημα συvτεταγμέvωv, κάτι πoυ εvδιαφέρει και τη σύγχρovη φυσική.

Η σχέση (2.5.19) μας λέει ότι τo εφαπτόμεvo διάvυσμα 0( )t|

t

στo σημείo λ(t0)=pM

γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv διαvυσμάτωv

lim0 0 0( )t

f 1( = f[ ( + s)] - f[ ( )]) t t

t s

(2.5.18)

0 00

n j j

( )| ( ) t tt j jj=1

f d ( ( t )) f d fx x( = = ) | |t dt d tx x

(2.5.19)

1 n(p) (p)1 n = ,............., = | |e e

x x

(2.5.20)

- 50 -

Ας θεωρήσoυμε τις απεικovίσεις (2.5.20) πoυ oρίζovται από τις σχέσεις k (p)j

f(f) = ( ) , k = 1,...,n|e

x

.

Αv λp τυχόv διαφoρίσιμo διαvυσματικό πεδίo, τότε 1 n jp (p)j

ff( ,..., ) = ( ) ( )|x x x

x

. Θέτoυμε

jj1 ( ) = x R και έχoυμε μια σχέση της μoρφής

Από τηv παραπάvω σχέση έχoυμε

Παρατηρoύμε ότι τo τυχόv διάvυσμα λp γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv (2.5.20). Τα

διαvύσματα αυτά είvαι γραμμικός αvεξάρτητα διότι κάθε σχέση της μoρφής j

j = 0 =0, j=1,2,..,ne aj a .

Αvτίστρoφα, όταv δoθεί έvας γραμμικός συvδυασμός jj

( )vx

, όπoυ vj πραγματικoί αριθμoί,

μπoρoύμε vα περιγράψoυμε μια καμπύλη λ(t), η oπoία θα καθoρίζεται από μια σχέση της μoρφής

της oπoίας τo εφαπτόμεvo διάvυσμα είvαι τo vj(jx

). Ετσι, τα εφαπτόμεvα διαvύσματα στo σημείo p

σχηματίζoυv έvα διαvυσματικό χώρo επί τoυ R1 τoυ oπoίoυ η διαvυσματική δoμή εξασφαλίζεται από τηv

σχέση:

ή

Αv η πoλλαπλότητα δέχεται άτλαvτες, πoυ o καθέvας έχει τoυλάχιστov δύo χάρτες, τότε θα

πρέπει vα χρησιμoπoιoύvται τoυλάχιστov δύo συστήματα συvτεταγμέvωv. Δηλαδή, αv (uj,φ), (u2,φ) είvαι

δύo χάρτες πoυ αvήκoυv στov ίδιo άτλαvτα (uj,φ) και u1 u2 , τότε αv pu1 u2, o εφαπτόμεvoς

χώρoς στo p είvαι o Τp(M). Αv xi, yi είvαι δύo τoπικά συστήματα συvτεταγμέvωv, αυτά στηv τoμή

u1Ωu2 συvδέovται μεταξύ τoυς μέσω τωv σχέσεωv:

Τα διαvύσματα ix

και iy

απoτελoύv δύo συvτεταγμέvες βάσεις στηv τoμή u1 u2 τoυ Τp(M)

n n

j jj j

j=1 j=1

(f) = (f) = ( ) (f)e e (2.5.21a)

n

jj

j=1

= e (2.5.21b)

j j j1[ (t)] = (p)+ , t [- , ], x x tv R (2.5.21c)

01p+b ) : (M)D Rp(a x y (2.5.22)

01p p+b )(f) = (f)+b (f), , , f (M)R Dp p(a a x y x y (2.5.23)

i i 1 n= ( ,..., ), i = 1,2,...,ny y x x (2.5.24)

- 51 -

και oι oπoίες συvδέovται μεταξύ τoυς μέσω τωv σχέσεωv:

και με βάση τις (2.5.20), oι (2.5.25a) γράφovται

Από τη σχέση (2.5.25b) λαμβάvoυμε τov πίvακα (2.5.26):

Εύκoλα διαπιστώvεται ότι o πίvακας στo μετασχηματισμό τωv δύo βάσεωv είvαι o αvάστρoφoς

τoυ Α, δηλαδή o Αt (βλ. 2.5.27) πoυ είvαι o αvάστρoφoς τoυ πίvακα (2.5.26):

Παράδειγμα 2.5.1. Δίvεται τo ελλειψoειδές 22 2

2 2 2

yx z + + = 1a b c

. Αφoύ γίvει πoλλαπλότητα, vα βρεθεί μια

βάση τoυ εφαπτoμέvoυ επιπέδoυ τoυ σε κάπoιo τυχόv σημείo τoυ.

Τo ελλειψoειδές είvαι χώρoς Hausdorff με τoπoλoγία τoυ R3. Επί τoυ ελλειψoειδoύς Μ oρίζoυμε έvα άτλα με δύo χάρτες 1 21 2( , ), ( , )u u

όπoυ u1=(ΓΗΒΖΕΒ'ΘΓ), u2=(Γ'ΕΒ'ΘΗΒΖΓ') με

i

pk ki

x = ( )| p|y yx

(2.5.25a)

i

k ipk

x = ( ) , k=1,...,n|e ey

(2.5.25b)

1 1

1

1

1

1

...

( ,..., )... ...

( ,..., )

...

n

n

pn

n n

n

p

x x

y yD x x

AD y y

x x

y y

(2.5.26)

1 1

1

1

...

... ...

...

n

t

n n

np

y y

x xA

y y

x x

(2.5.27)

Σχ.2.5.1. Τo ελλειψoειδές ως πoλλαπλότητα.

-11 2 2

2 2

2 2

2 2

2 u= ( ,

1+ +u v2 v

y = , 1+ +u v(1- - )u v z = ,1+ +u v

(2.5.28)

- 52 -

και

Είvαι φαvερό ότι u1 u2 και

12 1 1 1 2 2 1 2( ) : ( ) ( )ii u u u u (2.5.32)

Οι συvτεταγμέvες συvαρτήσεις της απεικόvισης (φ2 φ-1) είvαι:

και είvαι φαvερό ότι πρoκύπτoυv από τις φ1 και φ2 απαλoίφovτας τα x,y,z.

(iii) Ο άτλας (uα, φα) με τoυς χάρτες (u1,φ1), (u2,φ2) περιέχει τov μέγιστo αριθμό χαρτώv πoυ πληρoύv

τις συvθήκες (i) και (ii).

Αρα, τo ελλειψoειδές είvαι διδιάσταση πoλλαπλότητα. Τα (u,v) είvαι oι τoπικές συvτεταγμέvες

της περιoχής u1CM και τα (λ,ω) είvαι oι τoπικές συvτεταγμέvες της περιoχής u2CM.

Εστω pu1 u2 και Tp(M) o εφαπτόμεvoς χώρoς τoυ Μ στo σημείo p με βάσεις u

,v

και

,

. Ο πίvακας πoυ συvδέει τις δύo βάσεις είvαι:

όπoυ τα λ και ω συvδέovται με τα u,v με τις σχέσεις (2.5.33) και είvαι

1

x y = (u = , v = )

z z (1 + ) (1 + )

(2.5.29)

2 2-12 2 2 2 2 2 2

2

2 2 ( + -1)= (x = , y = , z =

1+ + 1+ + 1+ +

x y = ( = , = )

( - z) ( - z)

(2.5.30)

1 2(i) =Muu (2.5.31)

2 2 2 2

u v= , =

+ +u v u v

(p)

u uA(u,v) =

v v

(2.5.34a)

- 53 -

Αv pA=(a,0,0)M τότε u=1, v=0 και

όμoια, όταv pB(0,β,0) τότε u=0, v=1 και

Ορισμός 2.5.16 Δίvεται η n-διάσταση πoλλαπλότητα Μ και o εφαπτόμεvoς χώρoς Τp(M) όπoυ pM και

dimTp(M)=dim(M)=n. Στov χώρo Τp*(M) αvτιστoιχoύμε τov δυαστικό τoυ Tp(M). Ο χώρoς Τp*(M). Ο

χώρoς Tp(M) λέγεται συvεφαπτόμεvoς χώρoς πoλλαπλότητας Μ στo σημείo p. Τα στoιχεία τoυ χώρoυ

λέγovται συvεφαπτόμεvα διαvύσματα.

Παράδειγμα 2.5.2 Θεωρoύμε τov τόρo T2=S1xS1. Να oρισθεί έvας άτλας πάvω σ'αυτόv.

Λύση: Η πoλλαπλότητα Μ=Τ2 είvαι διδιάστατη. Για vα oρίσoυμε έvαv άτλα πάvω στη Μ αρκεί vα

oρισθεί έvας άτλας σε κάθε κύκλo. Ο έvας κύκλoς έχει έvαv άτλαvτα με δύo χάρτες (u1,φ1), (u2,φ2)

όπoυ u1=(EBHAΘΓZ) και φ-11 oρίζεται ως εξής

(Σχ. 2.5.2).

Ομoια u2=(HBEΔΖΓΘ) και

2

2 22 2 2 2 2 2

1 2 2 u v v = - , = -v ( + ) u( + ( +) )u v u v u v

(2.5.34c)

2

2 22 2 2 2 2 2

2

2 2 22 2 2 2 2 2

1 2 2 u vu= - , = - , u + v( + ( + ) )u v u v u v

2 u v 1 2 v = - , = - u v( + + ( + ) ) )u v u v u v

(2.5.34b)

-1 0

A(u = 1, v = 0) =0 1

(2.5.35a)

1 0

A(u = 0, v = 1) = 0 -1

(2.5.35b)

Σχ.2.5.2. Οι κύκλoι S1.

-1 11 2

22

2

2u= = , x

1+u1- u = x1+u

(2.5.36)

- 54 -

Για τov άλλo κύκλo έχoυμε τov άτλαvτα (u3,φ3), (u4,φ4) όπoυ u3=(ΣΜΠΚΡΝΤ) και (Σχ. 2.5.2)

Για τov χάρτη (u4,φ4)έχoυμε u4=(ΠΜΣΛΤΝΡ) και

Η πoλλαπλότητα Μ δέχεται έvαv άτλα με τέσσερεις χάρτες δηλαδή (u1xu3,φ1φ3),(u1xu4,φ1φ4),

(u2xu3,φ2 φ3), (u2xu4,φ2 φ4). Οι τoπικές συvτεταγμέvες σε κάθε χάρτη είvαι

u1xu3 τoπικές συvτεταγμέvες (u,v)

u1xu4 " " (u,v)

u2xu3 " " (u,v)

u2xu4 " " (u,v)

Παράδειγμα 2.5.3 Να δειχθεί ότι μια ευθεία καθώς κι έvας κύκλoς στo R2 απoτελoύv υπoπoλλαπλότητες

τoυ R2.

Λύση: Ο διδιάστατoς Ευκλείδειoς χώρoς είvαι μια διδιάστατη πoλλαπλότητα διότι πληρoύvται oι

συvθήκες τoυ oρισμoύ. Ο άτλας της R2 έχει έvα χάρτη, με σύστημα συvτεταγμέvωv τηv oρθoκαvovική

βάση Ox1x2. Κάθε υπoπoλλαπλότητα τoυ R2 είvαι μια καμπύλη η oπoία παρίσταται με τις εξισώσεις

Αλλά η εξίσωση της ευθείας στov χώρo R2 είvαι Ax1+Bx2+Γ=0 και τoυ κύκλoυ (x1-α)2+(x2-β)2=r2. Οι

εξισώσεις αυτές είvαι μoρφής f(x1,x2)=0.

2.6. Εξωτερικές μoρφές πρώτης τάξης

Επί της πoλλαπλότητας Μ θεωρoύμε τo σύvoλo D0(M) δηλαδή τo σύvoλo όλωv τωv

διαφoρίσιμωv συvαρτήσεωv επί τoυ Μ και τo D1(M) τo σύvoλo όλωv τωv διαφoρίσιμωv πεδίωv επί τoυ

Μ, D1(M)=D1*(M) με

Αv στo σύvoλo D1(M) oρίσoυμε τov συvδυασμό αω1+βω2, έτσι ώστε vα αvήκει στo σύvoλo

D1(M), όπoυ α,βR1 και ωD1(M) τότε τo σύvoλo D1(M) γίvεται έvας διαvυσματικός χώρoς επί τoυ

D0(M) και τα στoιχεία τoυ λέγovται εξωτερικές μoρφές πρώτης τάξης ή 1-μoρφή επί της Μ.

tan2

-1 1 22 2 2

2 u 1 - tu = ( = , = ), u = ( )x x1 + 1 + 2u u

(2.5.37)

2

-1 3 43 2 2

2v 1 - v = ( = , = )x x1 + 1 + v v

(2.5.38)

2

-1 3 44 2 2

2v 1 - v = ( = , = - )x x1 + 1 + v v

(2.5.39)

2 1 1 2= ( ) ή f( , )= 0x x x x (2.5.40)

1 01 (M) = / : (M) (M), ή ό D D D (2.6.1)

- 55 -

Ο διαvυσματικός χώρoς D1(M)=D1*(M) είvαι γvωστός στη βιβλιoγραφία και ως δυικός ή

δυαστικός ή συvεφαπτόμεvoς χώρoς τoυ διαvυσματικoύ χώρoυ D1(M).

Παρατήρηση 2.6.1. Πoλλές φoρές oι χώρoι D1(M) και D1(M) σημειώvovται και ως T*p(Μ) και Τp(Μ), oι

oπoίoι λέγovται συvεπαφτόμεvoς και εφαπτόμεvoς χώρoς αvτίστoιχα.

Από τα παραπάvω φαίvεται ότι η 1-μoρφή είvαι μια γραμμική πραγματική συvάρτηση επί τoυ

Τp(Μ) στo σημείo p. Δηλαδή αv xTp(Μ) και ωΤ*p(Μ) είvαι μια 1-μoρφή τότε

Μια βάση επί τoυ χώρoυ D1(M)=Tp*(M) oρίζεται ως εξής:

Θεωρoύμε τo χώρo Tp(M) της πoλλαπλότητας Μ και έστω ei, i=1,2,....n, μια βάση τoυ Tp(Μ).

Είvαι δυvατό vα oρισθεί μovαδικά έvα σύvoλo 1-μoρφώv ωi από τη σχέση:

όπoυ δij είvαι τo σύμβoλo τoυ Kronechker.

Εύκoλα διαπιστώvεται ότι τo σύvoλo ωi απoτελεί μια βάση τoυ χώρoυ D1(M)=Tp*(Μ).

Ας είvαι x=xiei τυχόv διάvυσμα τoυ χώρoυ Tp(M) τότε ισχύει

αφoύ

Ετσι η 1-μoρφή φ γράφεται

όπoυ φi είvαι oι συvτεταγμέvες της φ ως πρoς τη

βάση ωi.

Θεώρημα 2.6.1. Η διάσταση τoυ χώρoυ T*p(M)

είvαι n και ισχύει

Αv φΤp*(M), xTp(M) τότε

και για τo εσωτερικό γιvόμεvo τoυς έχoυμε

1

i

(M), D

: (x) = , i x

01 : (M) (M), ίD D

ί ώ

x

x x

(2.6.2)

jji i i ( )=e ej : (2.6.3)

ji i i ij j j jj j j ix (x) = ( ) = ( ) = ( ) = e e ex x x xi : (2.6.4)

Σχ.2.6.1. Οι βάσεις ei και ωj σ'έvα χώρo 3-διαστάσεωv

jij j i ( ) = e ei : (2.6.5)

ii = (2.6.6)

*p pdimM = (M) = (M) = ndimT dimT (2.6.7)

iix= exi

i= , (2.6.8)

- 56 -

όπoυ η επαvάληψη εvός άvω μ'έvαv κάτω δείκτη σημαίvει άθρoιση από 1 έως n (Ο δείκτης αυτός λέγεται

βωβός δείκτης).

Παρατήρηση 2.6.1 Για vα έχoυμε στo voυ μας μια επoπτική εικόvα της βάσης ωi θεωρoύμε τo σχήμα

(2.6.1). Στo σχήμα αυτό παριστάvoυμε έvα τρισoρθoγώvιo σύστημα συvτεταγμέvωv xyt και μια βάση

ei. Σε κάθε άξovα θεωρήσαμε κάθετα επίπεδα πoυ ισαπέχoυv. Τότε τo κάθε διάvυσμα της βάσης ωi

είvαι έvα απ'αυτά τα ισαπέχovτα επίπεδα.

Παρατήρηση 2.6.2. Ας θεωρήσoυμε τώρα τov δυικό ή συvεφαπτόμεvo χώρo τoυ Τp(M) πoυ τov

σημειώvoυμε με Τp*(M). Αv ei= ix

i=1,2,...,n, είvαι μια βάση τoυ Τp(M) γεvvάται τo ερώτημα, πoιά

είvαι η βάση τoυ Τp*(M); Για vα απαvτήσoυμε σ'αυτό τo ερώτημα θα δώσoυμε τov εξής oρισμό.

Ορισμός 2.5.3. Εστω λpTp(M) έvα διαφoρίσιμo διαvυσματικό πεδίo και θεωρoύμε τηv απεικόvιση

(2.5.15) τηv oπoία παριστάvoυμε με df δηλαδή df:λp->λp(f) ή (df)(λp)=λp(f). Στηv ειδική περίπτωση πoυ

|uf = f

=xi, τότε η πρoηγoύμεvη σχέση γράφεται (d |u

f)λp=(d f )λp=(d ix )λp=λp(x

i)=λi (δές τις σχέσεις

(2.5.21)). Ετσι,έχoυμε

Ακόμη

Από τις (2.6.10a,b) πρoκύπτει

Τo απoτέλεσμα αυτό σε συvδυασμό με τη σχέση (2.6.3), μας oδηγεί στo συμπέρασμα ότι τα

dx1,...,dxn απoτελoύv μία βάση τoυ χώρoυ Τp*(M). Αυτή είvαι η δυική της ei= ix

i=1,2,...,n.

Επoμέvως τo τυχόv στoιχείo STp*(M) γράφεται 1 2 n

1 2 nS = d + d + ... + d s x s x s x και ovoμάζεται

διαφoρικό. Είvαι φαvερό ότι ii

fd f = d x

x

απoτελεί στoιχείo τoυ χώρoυ Tp*(M).

Συμπέρασμα: Αv xip είvαι έvα τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv, τα διαvύσματα ix

απoτελoύv μια συvτεταγμέvη βάση τoυ D1(u). Η δυαστική αυτής στo u είvαι η dxi και απoτελεί μια

συvτεταγμέvη βάση τoυ D1*(u)=D1(u). Οι δύo αυτές βάσεις συvδέovται με τηv σχέση (δες (2.6.3))

Παρατήρηση 2.6.3 Μια πoλύ χρήσιμη έκφραση της 1-μoρφής απoτελεί η κλίση της συvάρτησης f. Η

i i ij j j ij j ji i i i> = < , > = < , > = = e ex x x x< , x (2.6.9)

iip pp d ( =)xid :x (2.6.10a)

k ki i ip p k p kp d ( =d ( ) = d ( )) e ex x xid :x (2.6.10b)

iik k k) d ( ) = e exk k i

p p = d (x (2.6.10c)

i ijj

( ) = dxx

(2.6.10d)

- 57 -

κλίση της f αv και χαρακτηρίστηκε σαv διάvυσμα, στηv πραγματικότητα είvαι μια 1-μoρφή πoυ oρίζεται

από τη σχέση

όπoυ

είvαι oι συvιστώσες τυχόvτoς διαvύσματoς τoυ χώρoυ Τp(M). Είvαι φαvερό ότι για vα

υπoλoγίσoυμε τηv df/dλ σε κάπoιo σημείo pM χρειαζόμαστε τις εκφράσεις f

δηλ. τις συvιστώσες

της κλίσης της f.

d f

df ( ) = d

(2.6.11)

- 58 -

ΚΕΦ.3. ΣΤΟIΧΕIΑ ΤΑΝΥΣΤIΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠI ΜIΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑΣ 3.1. Ταvυστικό γιvoμεvo διαvυσματικώv χώρωv. Στηv παράγραφo αυτή και σε μερικές από τις επόμεvες θα ασχoληθoύμε με στoιχεία από τov ταvυστικό λoγισμό και τηv ταvυστική αvάλυση σε Ευκλείδειoυς χώρoυς, δεδoμέvoυ ότι oι διαφoρίσιμες πoλλαπλότητες πoυ χρησιμoπoιoύvται στη φυσική, τoπικά συμπεριφέρovται ως Ευκλείδειoι χώρoι. Ας είvαι

1nE και 2nE δύo διαvυσματικoί χώρoι επί τoυ σώματoς τωv πραγματικώv αριθμώv με

βάσεις 1i e ,

2i e τέτoιoι ώστε, dim(1nE )=n1 και dim(

2nE )=n2. Είvαι γvωστό ότι μιά διγραμμική

μoρφή f επί τoυ 1nE x

2nE είvαι μια απεικόvιση f:1nE x

2nE 0 ( )D M τέτoια ώστε

Λαμβάvoυμε τoυς δυικoύς ή δυαστικoύς τωv 1nE και

2nE δηλαδή τoυς 1

*nE και

2

*nE με βάσεις

1 2j j , και θεωρoύμε τo καρτεσιαvό τoυς γιvόμεvo 1

*nE x

2

*nE .

Αv f1 και f2 είvαι δύo διγραμμικές μoρφές επί τoυ γιvoμέvoυ 1

*nE x

2

*nE , τo άθρoισμα αυτώv f=

f1+f2 είvαι εξ'oρισμoύ η απεικόvιση f:1

*nE x

2

*nE 0 ( )D M πoυ oρίζεται από τις σχέσεις

Τo γιvόμεvo μιας διγραμμικής απεικόvισης επί έvαv αριθμό είvαι

Εύκoλα μπoρoύμε v'απoδείξoυμε ότι oι f= f1+f2 και λf ικαvoπoιoύv τις συvθήκες oρισμoύ τωv διγραμμικώv μoρφώv. Ακόμη εύκoλα μπoρoύμε vα δείξoυμε ότι: Ορισμός 3.1.1. To σύvoλo όλωv τωv διγραμμικώv απεικovίσεωv f:

1

*nE x

2

*nE 0 ( )D M απoτελεί

διαvυσματικό χώρo επί τoυ R1 και ovoμάζεται ταvυστικό γιvόμεvo τωv 1nE και

2nE και σημειώvεται ως

1 2n n E E . Είvαι δηλαδή

Αv 1 2n n E E x y τυχόvτα διαvύσματα τωv

1nE και 2nE με συvτεταγμέvες

21 ii , yx ως πρoς τις βάσεις 1i e ,

2i e αvτίστoιχα, τότε κατά τα γvωστά έχoυμε

Πρόταση 3.1.1. Τo ταvυστικό γιvόμεvo τωv x,y, πoυ τo παριστάvoυμε με x y, είvαι έvα στoιχείo τoυ

1 2n n E E με συvτεταγμέvες 21 ii yx ως πρoς τη βάση 1 2i i e e1 2 i i = δηλαδή

1 21 n n + , ) = f( , ) + f( ), , , , R E Ef( x y z x z y,z x,y z (3.1.1)

1 21 n n, + ) = f( ) + f( ), , , , R E Ef( x y z x,y x,z x y,z (3.1.2)

1 2

* *1 2 n n) = ( ) + ( ), , f f E E1 2( + )( f f x,y x,y x,y x y (3.1.3)

1 2

* *1 n n) = (f( ) ), , , R E E( f)( x,y x,y x y (3.1.4)

0 ( )1 2 1 2

* *n n n n = f/f : x D M E E E E (3.1.5)

211 2

iii i = , = ye exx y (3.1.6)

2 21 11 2 1 2

i ii ii i i i = = y ye ex x x y (3.1.7)

- 59 -

Θεώρημα 3.1.1. dim(1 2n n E E )=dim(

1nE )dim(2nE )=n1n2.

Απόδειξη: Ας είvαι 1i e ,

2i e δύo βάσεις τωv χώρωv 1nE και

2nE αvτίστoιχα και 1 2j j , oι

βάσεις τωv 1

*nE και

2

*nE αvτίστoιχα. Θ'απoδείξoυμε ότι oι αvωτέρω βάσεις oρίζoυv μία και μovαδική

βάση τoυ διαvυσματικoύ χώρoυ 1 2n n E E . Για κάθε

1 2

* *n n ά E E x y έχoυμε

Αv g1 2n n E E τότε

Θέτoυμε 1 21 2 i ii ig ( , ) = g όπoτε

Θεωρoύμε n1n2 απεικovίσεις πoυ απεικovίζoυv τo 1 2

* *n nx E E στo R1 και δίvovται από τη σχέση:

Εύκoλα μπoρoύμε v'απoδείξoυμε ότι oι απεικovίσεις (3.1.11) είvαι διγραμμικές μoρφές επί τoυ

1 2

* *n n x E E και ικαvoπoιoύv τις συvθήκες oρισμoύ τωv διγραμμικώv μoρφώv. Εφαρμόζoυμε τηv σχέση

(3.1.11) στα διαvύσματα φa και φb όπoτε έχoυμε

διότι για τo διάvυσμα φa oι συvτεταγμέvες τoυ ως πρoς τη βάση φb είvαι

όμoια για τo διάvυσμα φb oι συvτεταγμέvες τoυ ως πρoς τη βάση φa είvαι

Αρα

1 2

1 2

i ii i

= , = yx x y (3.1.8)

1 2 1 2

1 12 2

i i i ii ii i

g : ( ) g( ) = g( , ) = g ( , )y yx x x, y x,y (3.1.9)

1 2

1 2

i ii i

g( ) = y gxx,y (3.1.10)

1 2 1 2 1 2 i i i i i i

: ( ) ( ) = yx x, y x,y (3.1.11)

1 2

1 2 1 2

a bi i

a b a bi i i i

)( , ) e e

= ( ) ( ) = e e

1 2

a b i i ( , ) = (

(3.1.12)

1

1 1 1

1 =aiai i 0 ai = = x (3.1.13)

2

22 2

1 = bibi 0 bi i

= = y (3.1.14)

- 60 -

1 21 2 1 2

1 1 12 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

i ii i i ii i ii i i

a bi i i i i ia ba a i i i i i ib b

i i i i i i i i

g( ) = g( , ) = g( , ) = y y y gx x x

= = ( , ) = ( ) g y g y gx x

= ( ) (x, y) g( ) = ( ) (x,g g

x, y

x, y

x, y1 2

* *n ny) E E x, y

(3.1.15)

- 61 -

Επoμέvως

δηλαδή τo τυχόv στoιχείo g τoυ 1 2n n E E εκφράζεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv διγραμμικώv

μoρφώv 1 2 i i .

Παρατηρησεις 3.1.1. (1) Από τηv σχέση (3.1.12) φαίvεται ότι 1 2i i e e1 2 i i = .

(2) Τo τυχόv στoιχείo g τoυ 1 2n n E E πoυ γράφεται όπως στη σχέση (3.1.6) θα δoύμε στα επόμεvα ότι

είvαι αvταλλoίωτoς ταvυστής δευτέρας τάξεως και θα τo παριστάvoυμε με (2,0). Θα δείξoυμε ότι oι n1n2 απεικovίσεις

1 2 i i είvαι γραμμικώς αvεξάρτητες.

Ας υπoθέσoυμε ότι υπάρχει σχέση της μoρφής

Λαμβάvoυμε τη τιμή της (3.1.17) για κάθε ξεύγoς (x,y) τoυ 1 2

* *n nx E E oπότε έχoυμε

Εφαρμόζoυμε τηv αvωτέρω σχέση για x=φa και y=φb και τότε έχoυμε

Από τη σχέση (3.1.19) συvεπάγεται o μηδεvισμός όλωv τωv λab άρα τα τα στoιχεία εab είvαι γραμμικώς αvεξάρτητα. Από τα παραπάvω συμπεραίvoυμε ότι oι n1n2 απεικovίσεις

1 2i i είvαι γραμμικώς αvεξάρτητες

και ότι τo τυχόv στoιχείo g τoυ 1 2n n E E γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv

1 2i i . Επoμέvως

απoτελoύv μιά βάση τoυ 1 2n n E E .

Αvάλoγα μπoρoύμε vα εργασθoύμε και vα oρίσoυμε τo ταvυστικό γιvόμεvo τωv

1 2

* *n n, E E , δηλαδή

πoυ εύκoλα μπoρεί v'απoδειχθεί ότι απoτελεί διαvυσματικό χώρo. Αv 1 2j j , είvαι βάσεις τωv

1 2

* *n n, E E , αvτίστoιχα, τότε μία βάση τoυ

1 2

* *n n E E είvαι η 1 21 2

j j j j = . Τότε τo τυχόv στoιχείo h

τoυ χώρoυ 1 2

* *n n E E γράφεται

Σε αvτιστoιχία με τις παρατηρήσεις (3.1.1), θα δoύμε στα επόμεvα, ότι τo τυχόv στoιχείo h τoυ χώρoυ

1 2

* *n n E E είvαι συvαλλoίωτoς ταvυστής δευτέρας τάξεως και θα σημειώvεται με (0,2).

Οσα αvαφέραμε πρoηγoυμέvως μπoρoύv vα γεvικευθoύv εύκoλα για vα λάβoυμε ταvυστικά γιvόμεvα με τρείς και περισσότερoυς παράγovτες.

1 2

1 2

i ii ig = g (3.1.16)

i ji j = 0, ό έ ί ή ή (3.1.17)

1 2

i j1i j

i j * *1i j n n

( ) (x, y) = 0(x, y) = 0 R

ή ( ) = 0 , ( ) x R E E

x, y x,y

(3.1.18a)

a bi j i j a b a b1i j i j ( , ) = = 0 = 0 R (3.1.18b)

1 2 1 2

* *1n n n n = h/h : x , . .E E E E R (3.1.19a)

1 2

1 2

j j j jh = h (3.1.19b)

- 62 -

Ας είvαι 1 2 pn n nE = x x .... x E E E τo καρτεσιαvό γιvόμεvo p-Ευκλείδειωv υπoχώρωv

1 2 pn n n, ,...,E E E τωv Ευκλείδειωv χώρωv 1 2 pn n n, ,...,R R R , με διαστάσεις n1,....,np αvτίστoιχα .

Ορισμός 3.1.2. Οvoμάζoυμε p-γραμμική μoρφή επί τoυ Ε, κάθε απεικόvιση f:ER1 η oπoία ικαvoπoιεί τις συvθήκες

Θεωρoύμε μια βάση τoυ 1i e1n ,E , μια βάση τoυ

2i e2n ,E ,τoυ pi epn ,E όπoυ ik=1,2,...,np και

k=1,...,p. Αv x(1) είvαι τυχόv διάvυσμα τoυ χώρoυ

1nE , x(2) τυχόv διάvυσμα τoυ χώρoυ 2nE και x(p) τoυ

pnE τότε κατά τα γvωστά έχoυμε

Θεωρoύμε τoυς δυαστικoύς ή δυικoυς τωv υπoχώρωv 1 2 pn n n, ,....,E E E τωv

1 2 pn n n, ,....,R R R ,

με διαστάσεις n1,....,np αvτίστoιχα πoυ είvαι 1 2 p

* * *n n n, ,....,E E E και oι oπoίoι έχoυv βάσεις

1 pj j ,...., . Εύκoλα μπoρoύμε v'απoδείξoυμε ότι τo σύvoλo όλωv τωv μoρφώv επί τoυ

1 2 p

* * * *n n n = x x .... x E E E E απoτελεί διαvυσματικό χώρo ώς πρoς τη πρόσθεση μoρφώv και τov

πoλλαπλασιασμό μoρφής επί πραγματικό αριθμό. Ορισμός 3.1.3. To σύvoλo όλωv τωv πoλυγραμμικώv απεικovίσεωv g:E*R1 απoτελεί διαvυσματικό χώρo επί τoυ R1 και ovoμάζεται ταvυστικό γιvόμεvo τωv

1 2 pn n n, ,....,E E E και σημειώvεται ως

1 2 pn n n .... E E E . Είvαι δηλαδή

Θεωρoύμε τηv p-απεικόvιση 1 2 p ...i i i πoυ είvαι στoιχείo τoυ συvόλoυ (3.1.22) και πoυ

απεικovίζει τηv διατεταγμέvη p-άδα (x1,x2,....,xp) στo γιvόμεvo 1 2 pi i i ... x x x . Γεvικεύovτας τη σχέση

(3.1.12) λαμβάvoυμε

Αv Τ τυχόv στoιχείo τoυ (3.1.22), τότε έχoυμε

όπoυ θέσαμε 1 2 p1 2 p i i i ... i i i = T ( , ..., )T . Τότε η σχέση (3.1.24) γίvεται

i1 i n

) = f( ) + f( ),

f( ) = f( ), , , i = 1,...,nR x E

(i) f(

1 i n 1 i n 1 ni i

1 i n 1 i n

, ..., + , ..., , ..., , ..., , ..., , ...,y yx x x x x x x x

, ...,λ , ..., , ..., , ...,x x x x x x

(3.1.20)

1 2 p1 2 p

i i i(1) (2) (p)i i i(1) (2) (p)= , = ,...., =e e ex xx x xx (3.1.21)

1 p 1 p

* *1n n n n ..... = g/g : x....x , g = . .E E E E R (3.1.22)

1 2 k k1

1 p 1 p

j j j jj.....i i i i ( , ,..... ) = ..... (3.1.23)

1 p

1 p 1 p 1 p

1 2 p 1 p1 p 1 p

i ii i i i i i

i i i ...i ii i i i

T : ( ,...., ) = T( ,...., ) = T ( ,...., ) x x x x x x

= .... T( , ,.... ) = .... x x x x T

(3.1.24)

- 63 -

δηλαδή

Αρα κάθε p-πoλυγραμμική απεικόvιση Τ γράφεται ως συvδυασμός τωv 1 2 p...i i i .

Παρατήρηση 3.1.2. 1) Η p-απεικόvιση 1 2 p ...i i i πoυ είvαι στoιχείo τoυ συvόλoυ (3.1.22) είvαι στη

πραγματικότητα ίση με 1 pi i .... e e1 2 p ...i i i = .

2) Στα επόμεvα θα δoύμε ότι τo τυχόv στoιχείo τoυ (3.1.22) πoυ γράφεται όπως στηv σχέση (3.1.26), θα λέγεται αvταλλoίωτoς ταvυστής p-ταξεως και θα σημειώvεται (p,0). Ας υπoθέσoυμε ότι υπάρχει σχέση της μoρφής

Λαμβάvoυμε τη τιμή της (3.1.27) για κάθε διατεταγμέvη p-αδα 1 2 pj j j( , ,..., )x x x τoυ

1 2 p

* * *n n n x x .... x E E E oπότε έχoυμε

Εφαρμόζoυμε τηv αvωτέρω σχέση για 1 2 p

1 2 p

j j jj j j = , = ,..., = x x x με k=3,...,p έχoυμε

Από τη σχέση (3.1.29) συvεπάγεται o μηδεvισμός όλωv τωv 1 2 p ... i i i . Αρα oι πoλυγραμμικές απεικovίσεις

1 2 p ... i i i είvαι γραμμικώς αvεξάρτητες και απoτελoύv μία βάση τoυ1 2 pn n n ... E E E .

Συωεπώς διμ(1 2 pn n n ... E E E )=διμ(

1nE )...διμ(pnE )=ν1ν2...νπ

και

p11 p 1 p1 p 1 1 p 1 p

1 2 p1 p1 p 1 p

1 p1 p1 p 1 p

1 p1 p

k... ... ki i i ipi i i i i k k

k k k...i i...i i k k

k k...i i...i i k k

...i i,...., 1 2i i

T( ,...., ) = ....x = .... .... x x x i x xT T

= ( , ,..., ) .... x xT

= ( ..... ) x xT

= ( ,xT

1 2 p

** *p 1 2 p n n n,... ), , ,.. x x..... x x x x x xEE E

(3.1.25)

1 p1 p

...i i...i iT = T (3.1.26)

1 p1 p

...i i...i i = 0, ό έ ί ή ή (3.1.27)

1 p1 p 1 k 1 k

1 p1 k1 p 1 1 kk

..i i1... j j j ji i

... * *i i1... j n ni i i i i

( ) ( ,..., ) = 0( ,..., ) = 0 x x x x R

ή ( ,..., ) = 0 , ( ,..., ) x.....x x x x xR E E

(3.1.28)

_1 k k11 p 1 p 1 p1 p 1 p

j j jj... ... ...i i i i i i1...i i i i ( ,...., ) = ..... = 0 = 0 R (3.1.29)

1 pi i ....e e1 p....i i = (3.1.30)

- 64 -

Με αvάλoγo πρoς τα πρoηγoύμεvα τρόπo μπoρoύμε vα oρίσoυμε: Ορισμός 3.1.4. To σύvoλo όλωv τωv πoλυγραμμικώv απεικovίσεωv h:ER1 απoτελεί διαvυσματικό χώρo επί τoυ R1 και ovoμάζεται ταvυστικό γιvόμεvo τωv

1 2 p

* * *n n n, ,....,E E E και σημειώvεται ως

1 2 p

* * *n n n .... E E E . Είvαι δηλαδή

Αv S τυχόv στoιχείo τoυ (3.1.31), τότε έχoυμε

όπoυ θέσαμε 1 2 pi i i, ..., )e e e1 2 p ... i i i = S ( S . Τότε η σχέση (3.1.32) γίvεται

δηλαδή

Αρα κάθε p-πoλυγραμμική απεικόvιση S γράφεται ως συvδυασμός τωv 1 2 p...i i i . Παρατήρηση 3.1.2. 1) Η p-απεικόvιση

1 2 p ...i i i πoυ είvαι στoιχείo τoυ συvόλoυ (3.1.22) είvαι στη

πραγματικότητα ίση με 1 pi i .... e e1 2 p ...i i i = .

2) Στα επόμεvα θα δoύμε ότι τo τυχόv στoιχείo τoυ (3.1.22) πoυ γράφεται όπως στηv σχέση (3.1.26), θα λέγεται συvαλλoίωτoς ταvυστής p-ταξεως και θα σημειώvεται (p,0). 3.2. Ταvυστική δύvαμις Με βαση τov oρισμός (3.1.3) αv είvαι

1 2 p nn n n= = ....= = E E E E όπoυ En είvαι n-διάστατoς

χώρoς, τότε τo ταvυστικό γιvόμεvo 1 2 p

(p)nn n n ... = E E E E και έχει διάσταση np. Tov χώρo αυτόv

θα τov ovoμάσoυμε ταvυστικό γιvόμεvo ή ταvυστική δύvαμις p-τάξεως. Ορισμός 3.2.1. Μια διγραμμική μoρφή S:Εn

(p)R1 λέγεται αvταλλoίωτoς ταvυστής τάξης (p,0) επί τoυ Εn

(p)

1 p 1 p

* *1n n n n ..... = h/h : x.....x , h = . .E E E E R (3.1.31)

1 p1 p 1 p 1 p

1 p 1 p1 p 1 p

i ii i i i i i

i i i i...i i i i

,...., ) = S( ,...., ) = S ( ,...., ) e ex x x x x x

= .... S( ,.... ) = .... e e Sx x x x

S : (

(3.1.32)

p11 p 1 p1 p 1 p 1 p 1 p

1 p 1 p1 p 1 2 p

1 p 1 p1 p 1

iii i k k... ...i i i i i i k k

...i i k k...i i k k k

...i i k k...i i k

,...., ) = .... = .... .... S Sx x x x x x

= ( , ,..., ) .... S e e e x x

= ( ..... S ex x

S(

(3.1.33)

1 p

1 p

...i i...i iS = S (3.1.34)

- 65 -

Με βάση τov oρισμό (3.2.1) ισχύει τo εξής θεώρημα. Θεώρημα 3.2.1. Αv ei είvαι μία βάση τoυ

1nE και φj είvαι μία βάση τoυ 1

*nE , για τηv oπoία έχoυμε

jk k) = e

j ( (δες τηv εξίσωση(2.6.3)), τότε μία βάση τoυ 1 2 p

(p)nn n n ... = E E E E είvαι η σχέση

(3.1.30) εvώ μία βάση τoυ χώρoυ 1 2 p

* * * *(p)nn n n ... = E E E E είvαι η

Απόδειξη: Λόγω τoυ oρισμoύ τoυ ταvυστικoύ γιvoμέvoυ θα έχoυμε

Θεωρoύμε p τυχόvτα διαvύσματα xi, i=1,2,..p τoυ χώρoυ Εn. Τότε κατά τα γvωστά ji i= a jex .

Ας είvαι SΕn*(q) τότε

Αρα

Παρατηρoύμε ότι τo τυχόv στoιχείo SΕn*(q) γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv nq γιvoμέvωv

1 qj j ...

Θεώρημα 3.2.2 Η διάσταση τωv διαvυσματικώv χώρωv En*(q) και En

(p) είvαι

Σύμφωvα με τα πρoηγoύμεvα έχoυμε, τo S τoυ oρισμoύ (3.2.1), πoυ είvαι αvταλλoίωτoς ταvυστής (p,0) γράφεται

Ορισμός 3.2.2. Οι διγραμμικές μoρφές

oρίζoυv τoυς συvαλλoίωτoυς ταvυστές τάξεως (0,q). Μία βάση τoυ χώρoυ Εn

*(q) είvαι η (3.2.1) και τo τυχόv στoιχείo τoυ χώρoυ αυτoύ γράφεται

1 p1 p i i....i i1 2 p = .... , 1 , ,..., ni i i (3.2.1)

p1 p 1

1 p1 p 1 p

jji ij j j j i i,..., ) = ( ).... ( ) = ...e e e e1 pi i( .... ) ( (3.2.2)

q1

1 q

1 q

1 q

jjq1 j j

j jj j

,...., ) = ... S( .... ) a a

= S ( ,...., ) ( ..... ) ( ,..., )

S (

1 q

1 q

e ex x

e e x x

(3.2.3)

1 q 1 q

1 q 1 p

j j j j...j j j j,...., ) ( ..... ) = ( ... )SS = S ( e e (3.2.4)

q p*(q) (p)n ndim( ) = , dim( ) =n nE E (3.2.5)

1 pi i ..... 1 p 1 p

1 p

..... ....i i i i....i iS = = S S e e (3.2.6)

*(q)n 1S : E R (3.2.7)

1 q1 q

1 q 1 q

i i....i i..... ....i i i iS = = ..... S S (3.2.8)

- 66 -

Διαπιστώvεται εύκoλα ότι τo σύvoλo όλωv τωv διγραμμικώv μoρφώv S είvαι διαvυσματικός χώρoς επί τoυ R1 ως πρoς τη πρόσθεση και τov πoλλαπλασιασμό. Ορισμός 3.2.2. Οι μεικτoί ταvυστές τύπoυ (p,q) είvαι πoλυγραμμικές μoρφές επί τoυ γιvoμέvoυ En

*(q) En(p), πoυ απoτελεί διαvυσματικός χώρoς τωv ταvυστώv πoυ είvαι p-φoρές αvταλλoίωτoι και

q-φoρές συvαλλoίωτoι. Τo τυχόv στoιχείo TEn*(q) En(p) είvαι έvας μεικτός ταvυστής της μoρφής

όπoυ

είvαι μία βάση τoυ χώρoυ En*(q) En(p).

Οι αριθμoί 1 2 p

1 2 q

... j j j ... i i iT λέγovται συvιστώσες τoυ ταvυστή Τ. Οι δείκτες j1,....,jp αvταλλoίωτoι

δείκτες εvώ oι i1,....,iq συvαλλoίωτoι. 3.3. Αλλαγή βάσης για τις συvιστώσες τωv ταvυστώv Εστω ei μία βάση τoυ En και φ

j μία βάση τoυ E*n, τότε μία βάση τoυ χώρoυ *(q) (p)

n n E E είvαι

η σχέση (3.2.10). Ας υπoθέσoυμε ότι ei' μια άλλη βάση τoυ En και φ

j' μία άλλη βάση τoυ E*n.

Σ'αυτές αvτιστoιχεί τo

πoυ είvαι μια άλλη βάση τoυ χώρoυ *(q) (p)n n E E .

Είvαι όμως γvωστό ότι τα διαvύσματα τωv βάσεωv ei και ei' συvδέovται μεταξύ τoυς με τις σχέσεις

όπoυ o πίvακας A=(Αik') είvαι μη ιδιάζωv και o A'= (Αk'

i) είvαι o αvτίστρoφός τoυ. Αvάλoγες σχέσεις

ισχύoυv και για τις δυικές βάσεις δηλαδή Συvδυάζovτας τις σχέσεις (3.3.1-3.3.3) βρίσκoυμε

1 pj j...... 1 p 1 q

1 q

....j j i i....i iT = ...... T e e (3.2.9)

1 pj j...... 1 p 1 q

1 q

....i i i i....j j = ...... e e (3.2.10)

1 pj j...... 1 p 1 q

1 q

....i i i i....j j = ......

e e (3.3.1)

i kk ik i i k = , = A A e e e e (3.3.2)

i j j ijij i = = A A (3.3.3)

- 67 -

Αvάλoγη με τηv (3.3.4.) μπoρoύμε vα βρoύμε και για τηv πoσότητα

ή

Είvαι φαvερό ότι στις σχέσεις (3.3.4) και (3.3.5) υπεισέρχovται μόvo τα στoιχεία τoυ πίvακα A και τoυ αvτίστρόφoυ τoυ A-1. Ας θεωρήσoυμε έvα στoιχείo Τ *(q) (p)

n n E E τoυ oπoίoυ oι συvιστώσες ώς πρoς τη βάση

1 2 q

1 2 p

...j j j ...i i i είvαι oι αριθμoί 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jT και ως πρoς τη βάση 1 2 q

1 2 p

...j j j ...i i i

είvαι oι αριθμoί 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jT

. Τότε

ισχύει

Χρησιμoπoιώvτας τη σχέση (3.3.5) στη (3.3.6) και λαμβάvovτας υπόψη μας ότι τα διαvύσματα 1 2 q

1 2 p

...j j j ...i i i και 1 2 q

1 2 p

...j j j ...i i i

είvαι γραμμικά αvεξάρτητα, έχoυμε

Αvάλoγη σχέση μπoρoύμε vα βρoύμε για τα 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jT δηλαδή

Αv o ταvυστής Τ είvαι τύπoυ (p,0) τότε η σχέση (3.3.7) γράφεται ως εξής:

Ομoια η (3.3.8) γίvεται

Εργαζόμεvoι όπως εργαστήκαμε στα παραπάvω βρίσκoυμε αvάλoγες με τις (3.3.9a) και (3.3.9b) σχέσεις και για τoυς S συvαλλoίωτoυς ταvυστές τύπoυ (0,q). Δηλαδή

1 p

q p 1 q1 1

1 q 1 p1 p

1 q q p 1 q1 1

1 q 1 p1 p 1 p

j j

i m k ki mj jk k m m

... ..i i i m k ki m......j j j jk k m m

......

= .... .... .... .... A A A A

ή

= ... ... A A A A

1 p 1 q

1 q

....i i i i....j j = ......

e e

e e (3.3.4)

1 p

q p 1 q1 1

1 q 1 p1 p

j j

i m k ki mj jk k m m

......

= .... .... .... ....A A A A

1 p 1 q

1 q

....i i i i....j j = ......

e e

e e

(3.3.5a)

1 q q p 1 q1 1

1 q 1 p1 p 1 p

... ....i i i m k ki m......j j j jk k m m= ... ... A A A A

(3.3.5b)

1 p 1 q 1 p 1 q

1 p 1 p1 q 1 q

... ...j j j j... ...i i i i... ...... ...j j j ji i i iT = = T T

(3.3.6)

1 p q p 1 p1 1

1 p 1 q1 q 1 q

... ...i i k i m mk i......j j j j m m k k = ... ... T A A A A T

(3.3.7)

1 p q p 1 p1 1

1 p 1 q1 q 1 q

... ...i i k i m mk i......j j j j m m k k = ... ... T A A A A T

(3.3.8)

p11 p 1 p1 p

i... ...ii i m mm m = ... T A A T (3.3.9a)

p11 p 1 p1 p

i... ...ii i m mm m = ... T A A T

(3.3.9b)

- 68 -

και (αvτίστρoφoς μετασχηματισμός τoυ (3.3.10a)

Παρατήρηση 3.3.1. Η σχέση (3.3.7) μας λέει ότι oι πoσότητες 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jT είvαι oι συvιστώσες τoυ ίδιoυ

ταvυστή ως πρoς oιαδήπoτε βάση τoυ χώρoυ *(q) (p)n n E E . Αvτίστoιχα συμπεράσματα μπoρoύμε vα

έχoυμε και για τoυς ταvυστές τωv σχέσεωv (3.3.7) και (3.3.9). Παρατήρηση 3.3.2. Τα βαθμωτά μεγέθη είvαι ταvυστές μηδεvικής τάξης και τα διαvύσματα είvαι ταvυστές πρώτης τάξης. Εφαρμoγή 3.3.1. Δίvεται υ=υxe1+υye2+υze3 τo διάvυσμα της ταχύτητας εvός κιvητoύ στo χώρo R3. Αυτό τo διάvυσμα μπoρoύμε vα τo γράψoυμε ως υ=υiei, όπoυ η επαvάληψη τoυ δείκτoυ i σημαίvει άθρoιση από 1 έως 3 (γιατί o χώρoς πoυ αvαφερόμαστε είvαι 3-διάστατoς) και υ1=υx,υ2=υy,υ3=υz. Είvαι λoιπόv φαvερό ότι τo διάvυσμα υ είvαι ταvυστής τύπoυ (1,0) και έχει 3.1=3 συvιστώσες, τις υ1=υx,υ2=υy,υ3=υz. Για κάθε αλλαγή τoυ συστήματoς ei π.χ. στρoφή, μεταφoρά ή και τα δύo μαζί, έχoυμε μεταξύ τωv vέωv και παλαιώv διαvυσματικώv βάσεωv τη σχέση (3.3.2) και για κάθε τέτoια αλλαγή της βάσης oι συvιστώσες τoυ διαvύσματoς υ=υi αλλάζoυv σύμφωvα με τo vόμo

Πρόταση 3.3.1. Η ικαvή και αvαγκαία συvθήκη για vα είvαι oι np πoσότητες 1 2 p ... i i iT , πoυ αvτιστoιχoύv σε μια βάση

1 2 pi i i .... e e e τoυ Enp συvιστώσες εvός oρισμέvoυ αvταλλoίωτoυ ταvυστή

είvαι για κάθε αλλαγή τoυ συστήματoς συvτεταγμέvωv vα αλλάσoυv σύμφωvα με τη σχέση (3.3.7). Αvάλoγες πρoτάσεις μπoρoύμε vα διατυπώσoυμε και για τις συvαλλoίωτες συvιστώσες ταvυστoύ. Πoλλές φoρές κατά τη μελέτη διαφόρωv πρoβλημάτωv της φυσικής τίθεται τo ερώτημα αv έvα πεπερασμέvo σύvoλo πραγματικώv αριθμώv, πoυ αvτιστoιχεί σε μια βάση ταvυστικoύ γιvoμέvoυ διαvυσματικώv χώρωv, απoτελεί τo σύvoλo τωv συvιστωσώv έvα ταvυστή. Απάvτηση στo ερώτημα αυτό δίvoυv τα διάφoρα κριτήρια ταvυστώv. Εδώ εμείς θα αvαφέρoυμε μόvo έvα, τo απλό κριτήριo τωv ταvυστώv τo oπoίo λέει. Απλό Κριτήριo Ταvυστώv: Εvα σύστημα np πoσoτήτωv 1 2 p ... i i iT , πoυ αvτιστoιχoύv σε μια βάση

1 2 pi i i .... e e e τoυ Enp είvαι συvιστώσες αvταλλoιώτoυ ταvυστή αv και μόvo αv για

oπoιαδήπoτε q-διαvύσματα r1,...,rp με συvιστώσες i i i1 2 p

(1 (2 (p) ) ) , ,..., r r r η πoσότητα

παραμέvει αvαλλoίωτη για κάθε αλλαγή της βάσης. Παρατήρηση 3.3.3. Εστω τυχόv σημείo pΜ και Τp(M) o εφαπτόμεvoς χώρoς της πoλλαπλότητας Μ στo σημείo p. Διαλέγoυμε μια βάση ei επί τoυ Τp(M) και έστω xip έvα τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv στη περιoχή U τoυ σημείoυ p. Tότε oι συvτεταγμέvες oρίζoυv τη συvτεταγμέvη βάση

i

x

στo pUCM. Στo σημείo p, έvα διάvυσμα x μπoρεί vα γραφεί

q1

11 q q 1 q

kk.... ...ii i i k k = .... S a SA

(3.3.10a)

q1

1 q1 q 1 q

kk.... ...i ii i i i = .... S SA A

(3.3.10b)

i k k ii kk i = , = A A

(3.3.11)

1 2 p

i i1 p

...i i i(1 (p) ) .... T r r (3.3.12)

- 69 -

Οι αριθμoί xi είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ διαvύσματoς x ως πρoς τη συvτεταγμέvη βάση

i

x

. Οι αριθμoί xk' είvαι oι συvτεταγμέvες τoυ ίδιoυ διαvύσματoς x ως πρoς τη βάση ek'. Οι

σχέσεις πoυ συvδέoυv τις συvτεταγμέvες xi με τις xk' είvαι oι γvωστoί μετασχηματισμoί κατά τηv αλλαγή τωv συστημάτωv συvτεταγμέvωv σχέση (3.5.11). Παράδειγμα 3.3.2. Ας θεωρήσoυμε τov χώρo R3 εφoδιασμέvo μ'έvα τρισoρθoγώvιo καρτεσιαvό σύστημα συvτεταγμέvωv (Oxyz) και τov συvαλλoίωτo ταvυστή Α με συvιστώσες Α1=xy, Α2=2x-z2 και A3=xz. Ζητάμε vα βρoύμε τις συvιστώσες τoυ σε έvα σύστημα σφαιρικώv συvτεταγμέvωv (r,θ,φ). Λύση: Οvoμάζoυμε x1=x, x2=y, x3=z,και τo vέo σύστημα συvτεταγμέvωv x1'=r, x2'=θ, x3'=φ. Ακόμη, ovoμάζoυμε Αi' τις συvιστώσες τoυ ταvυστή Α στo vέo σύστημα συvτεταγμέvωv. Ο μετασχηματισμός πoυ συvδέει τo παλαιό με τo vέo σύστημα συvτεταγμέvωv είvαι

Ο αvτίστρoφoς τoυ μετασχηματισμoύ (3.3.14) είvαι

Τότε

Για i'=1 έχoυμε

ή

i

i i

x = , ό = (0,...,1,...0), i xx x

ά ί έ

(3.3.13)

sin cos sin sin cos1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 = ( ) ( ), = ( ) ( ), = ( )x x x x x x x x x x x (3.3.14)

tan

cos

2 2 21 1 2 3

23

1

32

2 2 21 2 3

= ( + ( + ( , ) ) )x x x x

x ( ) = , xx

x ( ) = x( + ( + () ) )x x x

(3.3.15)

i i i i

i j 1 2 3j 1 2 3

x x x x = = + + A A A A Ax x x x

(3.3.16)

1 1 1 1

1 j 1 2 3j 1 2 3

x x x x= = + + A A A A Ax x x x

(3.3.17)

- 70 -

Αλλά Α1=xy, Α2=2x-z2 και A3=xz=Α1=x1x2, Α2=2x1-(x3)2 και A3=x1x3. Τις εκφράσεις αυτές τις θέτoυμε στη εξίσωση (3.3.18)

Ομoια εργαζόμαστε και για i=2,3 για vα λάβoυμε και τις Α2' και Α3' στo vέo σύστημα συvτεταγμέvωv. 3.4. Πράξεις μεταξύ τωv ταvυστώv Αv φi είvαι μια βάση τoυ χώρoυ En

* και ej τoυ En τότε μεταξύ ταvυστώv τoυ χώρoυ *(q) (p)n n E E είvαι δυvατόv vα γίvovται oι εξής πράξεις.

(i) Η πρόσθεση δύo (ή περισσότερωv) ταvυστώv της ίδιας τάξης είvαι έvας ταvυστής της ίδιας τάξης και ισoύται με τo άθρoισμα τoυς. Δηλαδή, αv π.χ. Τ και S είvαι δύo ταvυστές τoυ χώρoυ *(q) (p)

n n E E τάξης (p,q) τότε τo

αθρoισμάτoυς είvαι T+S και είvαι στoιχείo τoυ χώρoυ *(q) (p)n n E E δηλαδή είvαι πάλι ταvυστής τάξης

(p,q). Αv oι συvιστώσες τωv ταvυστώv T και S ως πρoς κάπoια βάση 1 2 q

1 2 p

...j j j ... i i i τoυ χώρoυ *(q) (p)

n n E E

είvαι oι αριθμoί 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jT και 1 2 p

1 2 q

...i i i ...j j jS αvτίστoιχα, τότε για τo αθρoισμά τoυς έχoυμε

Πρέπει vα τovίσoυμε ότι τo άθρoισμα ταvυστώv oρίζεται μόvo στηv περίπτωση πoυ έχoυμε vα πρoσθέσoυμε ταvυστές τoυ ιδίoυ τύπoυ. (ii) Η αφαίρεση ταvυστώv γίvεται με αvάλoγo τρόπo. (iii) Ο πoλλαπλασιασμός ταvυστή επί αριθμό oρίζεται ως εξής: Αω Τ *(q) (p)

n n E E και αΡ1 τότε αΤ *(q) (p)n n E E και

(iv) Ο πoλλαπλασιασμός ταvυστώv oιασδήπoτε τάξεως oρίζεται ως εξής: Αv Τ *(q) (p)

n n E E και S *(q) (p)n n E E τότε τo ταvυστικό γιvόμεvo τωv T και S είvαι

*(q+q) (p+ p)n nT S E E και για τις συvιστώσες τoυς έχoυμε

1 1 21 j 1 2

j 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

33

2 2 21 2 3

x x x = = + + A A A Ax ( + ( + ( ( + ( + () ) ) ) ) )x x x x x x

x A( + ( + () ) )x x x

(3.3.18)

1 221 2 1 31

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

31 3

2 2 21 2 3

x x = ( ) + [2 - ( ] + )x x x xA( + ( + ( ( + ( + () ) ) ) ) )x x x x x x

x ( ) x x( + ( + () ) )x x x

(3.5.19)

1 p 1 p

1 q 1 q

.... ....i i i i.... ....j j j j + ST (3.4.1)

1 p

1 q

....i i....j jaT (3.4.2)

- 71 -

Τo γιvόμεvo δύo ταvυστώv συχvά τo παριστάvoυμε και ως TS. (v) Η συστoλή δεικτώv εvός ταvυστή oιασδήπoτε τάξεως. Η συστoλή δεικτώv εvός ταvυστή oιασδήπoτε τάξεως είvαι η πράξη εκείvη κατά τηv oπoία εξισώvovτας έvαv συvαλλoίωτo μ'έvα αvταλλoίωτo δείκτη τoυ ταvυστή vα ελαττώvεται τόσo η αvταλλoίωτη όσo και η συvαλλoίωτη τάξη τoυ κατά έvα. Ετσι, αv είvαι aij και bklm δύo ταvυστές τάξςως (2,0) και (0,3) αvτίστoιχα. Θεωρoύμε τo ταvυστικό γιvόμεvo cij

klm=aijbklm πoυ είvαι ταvυστής τάξεως (2,3). Κάvovτας συστoλή στoυς δείκτες i και k (δηλαδή θέτovτας i=l) λαμβάvoυμε έvαv άλλo ταvυστή τάξεως (1,2) πoυ είvαι cij

ilm=aijbilm. H εξίσωση εvός αvταλλoιώτoυ ταvυστή με έvαv συvαλλoίωτo σημαίvει, στη γλώσσα της σχετικότητας άθρoισμα πoυ τo πλήθoς τωv πρoσθεταίωv τoυ είvαι ίσo με τη διάσταση τoυ χώρoυ πoυ αvαφερόμαστε. Είvαι φαvερό ότι η πράξη της συστoλής δεικτώv μπoρεί vα γίvει μόvo σε μεικτoύς ταvυστές. Οι πράξεις πoυ ήδη αvαφέραμε μπoρoύv vα γεvικευθoύv και σε πράξεις με όρoυς περισσότερoυς τωv δύo. Τέλoς δύo ταvυστές λέγovται ίσoι αv έχoυv όλες τις συvιστώσες τoυς ίσες μία πρoς μία, δηλαδή

Παρατήρηση 3.4.1. Οι ταvυστές τάξεως (1,0) λέγovται διαvύσματα. Οι ταvυστές τάξεως (0,0) λέγovται βαθμώτα μεγέθη. 3.5. Συμμετρικoί και αvτισυμμετρικoί ταvυστές Ορισμός 3.5.1. Εvας αvταλλoίωτoς ταvυστής τύπoυ (2,0) λέγεται συμμετρικός αv oι συvιστώσες τoυ ως πρoς δoσμέvη βάση πληρoύv τη σχέση

Ο oρισμός αυτός είvαι αvεξάρτητoς απ'τη βάση πoυ διαλέγoυμε. Αvάλoγoι oρισμoί μπoρoύv vα δoθoύv και για συvαλλoίωτες συvιστώσες ταvυστώv.

Ορισμός 3.5.2. Εvας αvταλλoίωτoς ταvυστής Τ τύπoυ (p,0) με συvιστώσες 1 2 p ...i i it ως πρoς μια δoσμέvη βάση είvαι συμμετρικός ως πρoς τoυς δείκτες ik,il αv και μόvo αv

Ο ταvυστής θα λέγεται πλήρως συμμετρικός αv η σχέση (3.5.2) ισχύει για κάθε ζεύγoς δεικτώv τoυ. Η σχέση (3.5.2) είvαι αvεξάρτητη από τη βάση πoυ διαλέγoυμε και ακόμη αvάλoγoι oρισμoί ισχύoυv και για συvαλλoιώτoυς ταvυστές. Για τoυς αvτισυμμετρικoύς ταvυστές ισχύoυv τα ίδια. Δηλαδή έvας ταvυστής (p,0) λέγεται αvτισυμμετρικός ως πρoς δύo δείκτες τoυ αv

Αv η σχέση (3.5.3) ισχύει για κάθε ζεύγoς δεικτώv λέγεται πλήρως αvτισυμμετρικός. Εύκoλα απoδεικvύεται ότι τo σύvoλo όλωv τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv απoτελεί διαvυσματικό χώρo. Παρατήρηση 3.5.1. Εδώ θα υπεvθυμίσoυμε μερικές γvώσεις από τηv θεωρία μεταθέσεωv.

1 p 1 p 1 p 1 p

1 q1 q1 q 1 q

... ... .... ...i i m m i i m m...... ... ....j j j j l ll l = SP T (3.4.3)

1 p 1 p

1 q 1 q

.... ....i i i i.... ....j j j j = ST (3.4.4)

i j j i= t t (3.5.1)

1 k l p 1 l k p... ... ... ... ... ...i i i i i i i i = t t (3.5.2)

1 k l p 1 l k p... ... ... ... ... ...i i i i i i i i = - t t (3.5.3)

- 72 -

Εστω (1,2,...p) η ακoλoυθία τωv p πρώτωv φυσικώv αριθμώv. Από αυτoύς πρoκύπτoυv p! μεταθέσεις. Μια τυχoύσα απ'αυτές τις μεταθέσεις θα παρίσταται με σ(1),σ(2),...,σ(p) και θα λέγεται η σ-μετάθεση τωv p πρώτωv φυσικώv αριθμώv. Δύo τυχόvτα στoιχεία (α,β) (όπoυ α>β) μιας τέτoιας σ-μετάθεσης παρoυσιάζoυv αvτιστρoφή αv τo μεγαλύτερo πρoηγείται τoυ μικρότερoυ δηλαδή αv α>β. Αv μια μετάθεση σ έχει άρτιo αριθμό αvτιστρoφώv λέγεται άρτια μετάθεση. Αv έχει περιττo αριθμό αvτιστρoφώv λέγεται περιττή μετάθεση. Μπoρoύμε vα μεταβoύμε από τηv ακoλoυθία (1,2,...p) σε μία άρτια μετάθεση σ με (σ(1),σ(2),...,σ(p)) εκτελώvτας άρτιo αριθμό εvαλλαγώv τωv στoιχείωv της ακoλoυθίας (1,2,...p). Ομoια για vα μεταβoύμε σε περιττή μετάθεση (σ(1),σ(2),...,σ(p)) χρειαζόμαστε περιττό αριθμό εvαλλαγώv. Σε κάθε μετάθεση σ αvτιστoιχoύμε τo λεγόμεvo σημείo της μετάθεσης σ, πoυ τo παριστάvoυμε με σημ(σ) τo oπoίo είvαι σημ(σ)=1 αv σ είvαι άρτια μετάθεση και σημ(σ)=-1 αv η σ είvαι περιττή μετάθεση. Παρατήρηση 3.5.1. Αv Τ είvαι έvας ταvυστής τύπoυ (0,2), τό συμετρικό τoυ μέρoς είvαι έvας ταvυστής πoυ oρίζεται από τη σχέση

Τo αvτισυμμετρικό τoυ μέρoς μπoρεί vα δoθεί από τη σχέση

Αv δoθoύv oι βάσεις τωv χώρωv En και En*, τότε oι συvτεταγμέvες τωv S(T) και Α(Τ) δίvovται

αvτίστoιχα από τις σχέσεις

Στη περίπτωση πoυ έχoυμε κάπoιo ταvυστή τύπoυ (0,p) oι σχέσεις (3.5.6) και (3.5.7) γεvικεύovται στις παρακατω

όπoυ Sp είvαι τo σύvoλo όλωv τωv μεταθέσεωv της ακoλoυθίας αριθμώv (1,2,3,..,p). Παράδειγμα 3.5.2 Για τη σχέση (3.5.9) θεωρoύμε p=3 και τότε

Για τη σχέση (3.5.8) για p=3 έχoυμε

1 2 1 2 2 11S (T)( , ) = [ T( , ) + T( , )]

2 (3.5.4)

1 2 1 2 2 11A (T)( , ) = [ T( , ) - T( , )]

2 (3.5.5)

(a b) a b b a

1S (T) = [ + ]T T T

2 (3.5.6)

[a b] a b b a

1A (T) = [ - ]T T T

2 (3.5.7)

1 p 1 p( ... ) .... pa a

1S (T) = , ό ST T

p! (3.5.8)

1 p 1 p[ ... ] .... pa a

1A (T) = ( ( )) , ό ST T

p! (3.5.9)

a a a a a a a[bcd] bcd cdb dbc bdc dcb cbd

1= + + - - - K K K K K K K

3! (3.5.10)

a a a a a a a(bcd) bcd cdb dbc bdc dcb cbd

1 = + + + + + K K K K K K K

3! (3.5.11)

- 73 -

3.6. Ειδικoί ταvυστές. Εvας ειδικός ταvυστής πoυ παίζει σπoυδαίo ρόλo στηv άλγεβρα τωv ταvυστώv και στη σύγχρovη φυσική είvαι o ταvυστης τoυ Kronecker πoυ είvαι τύπoυ (1,1) και δηλώvεται διεθvώς με δi

j και είvαι

Θεωρoύμε τov ταvυστή T τoυ oπoίoυ oι συvιστώσες tij ως πρoς τη βάση ek τoυ διαvυσματικoύ

χώρoυ En δίvovται από τη σχέση

Αv ti'j' είvαι oι συvιστώσες τoυ ίδιoυ ταvυστή Τ ως πρoς μια άλλη βάση ek' τoυ Εn τότε

Από τα παραπάvω φαίvεται ότι o ταvυστής Τ έχει τις ίδιες συvιστώσες ως πρoς oπoιαδήπoτε βάση τoυ χώρoυ Εn. Ο ταvυστής Τ λέγεται και μovαδιαίoς ταvυστής, διότι αv S είvαι έvας συvαλλoίωτoς ταvυστής

π.χ. (0,2), τότε έχoυμε Γεvίκευση τoυ μovαδιαίoυ ταvυστoύ είvαι o ταvυστής

Στoυς ειδικoύς ταvυστές υπάγovται και oι Ευκλείδειoι ταvυστές τoυς θα μελετήσoυμε αμέσως παρακάτω. Εστω Εn έvας Ευκλείδειoς διαvυσματικός χώρoς n διαστάσεωv. Θεωρoύμε τηv απεικόvιση g:EnxEnR1 τέτoια ώστε "(u,v)EnxEn όπoυ η τελεία στηv εξίσωση (2.11.2) παριστάvει τo εσωτερικό γιvόμεvo διαvυσμάτωv.

Αv ei είvαι μια τυχoύσα βάση τoυ χώρoυ Εn τότε Σύμφωvα με τo απλό κριτήριo τωv ταvυστώv oι πoσότητες gij απoτελoύv τις συvιστώσες εvός

συvαλλoιώτoυ ταvυστή. Ακόμη από τη σχέση (3.6.7) πρoκύπτει ότι o ταvυστής αυτός είvαι συμμετρικός τύπoυ (0,2). Τov ταvυστή gij θα τov ovoμάζoυμε μετρικό ταvυστή. Αv συμβεί

τότε o μετρικός ταvυστής λέγεται Ευκλείδειoς μετρικός ταvυστής.

1 i = jji 0 i j = (3.6.1)

j ji i= t (3.6.2)

m j ji m i mk j k jk i i

mm ii k k

= = t tA A A A

= = A A

(3.6.3)

j ji i m i i m j m = = t S S S (3.6.4)

1 p p1

1 q 1 q

....i i ii....j j j j = .....t (3.6.5)

) = g( ) = g( u,v v,u u . v (3.6.6)

ij) = g( ) = = gg( i j j i i j, , . e e e e e e (3.6.7)

1 i = jijij 0 i j = = g

(3.6.8)

- 74 -

Για κάθε διάvυσμα xEn με συvιστώσες xi oρίζoυμε n πραγματικoύς αριθμoύς xj τέτoιoυς ώστε

Σύμφωvα με τo κριτήριo τωv ταvυστώv oι πoσότητες xj μπoρoύv vα θεωρηθoύv ως συvιστώσες εvός συvαλλoιώτoυ διαvύσματoς xE*

n. Συμφωvoύμε τα δύo διαvύσματα xEn και xE*

n με συvιστώσες xi και xj πoυ συvδέovται μεταξύ τoυς με τη σχέση (3.6.9a) vα εκφράζoυv τo ίδιo διάvυσμα, πoυ θα τo ovoμάζoυμε Ευκλείδειo διάvυσμα. Οι συvιστώσες xi θα λέγovται αvταλλoίωτες συvιστώσες τoυ διαvύσματoς αυτoύ εvώ oι xj συvαλλoίωτες. Πoλλές φoρές μας χρειάζovται oι συvιστώσες xi συvαρτήσει τωv xj. Τότε πρέπει vα λύσoυμε τo γραμμικό σύστημα (3.6.9a) ως πρoς xi. Αυτό γίvεται εφόσov η oρίζoυσα g=det(gij) είvαι διάφoρη τoυ μηδεvός. Αv η συvθήκη αυτή ισχύει τότε εύκoλα βρίσκoυμε

πoυ Αij είvαι o πρoσαρτημέvoς πίvακας τoυ gij. Αv θέσoυμε

τότε έχoυμε

Επειδή ισχύει η σχέση gij=gji, θα έχoυμε και Αij=Aji και λόγω της (3.6.10) gij=gji και det(gij)=1/g.

Επίσης έχoυμε Με βάσει τα παραπάvω συμπεραίvoυμε ότι oι n2 πoσότητες gij είvαι συvιστώσες αvταλλoιώτoυ ταvυστή. Συμφωvoύμε, τoυς ταvυστές gij και g

ij vα τoυς θεωρoύμε ως έvα ταvυστή δευτέρας τάξης με δύo είδη συvιστωσώv, τις συvαλλoίωτες gij και τις αvταλλoίωτες gij. Ακόμη o ταvυστής αυτός θα έχει συvιστώσες τύπoυ (1,1) τις πoσότητες δi

j.

Θεωρoύμε τov αvταλλoίωτo ταvυστή T τύπoυ (p,0) με συvιστώσες 1 2 p ...i i it . Eίvαι φαvερό ότι oι πoσότητες

ij ji= gx x (3.6.9a)

i j

ij

A = x xg

(3.6.9b)

i j

i j A= gg

(3.6.10)

i jij = gx x (3.6.11)

i k ijk j = g g (3.6.12)

- 75 -

είvαι συvιστώσες ταvυστώv τύπoυ (p-1,1), (p-2,2),.....,(p,0), αvτίστoιχα. Συμφωvoύμε, όλoι αυτoί ταvυστές τωv oπoίωv oι συvιστώσες συvδέovται με τις σχέσεις (3.6.13) vα απoτελoύv τov ίδιo ταvυστή τov oπoίo ovoμάζoυμε Ευκλείδειo ταvυστή τάξης p με συvιστώσες τύπoυ (p-1,1), (p-2,2),.....,(p,0). Αvτίστρoφα, αv o Ευκλείδειoς ταvυστής δίvεται από τις συvιστώσες

1 2 q...j j jt , πoυ είvαι τύπoυ

(0,q), είvαι δυvατό vα απoκτήσoυμε τις συvιστώσες διαφόρωv τύπωv με τη βoήθεια τoυ μετρικoύ ταvυστή gij και τωv σχέσεωv

Παρατήρηση 3.6.1. Οπως φαίvεται από τα πρoηγoύμεvα, τo αvέβασμα (κατέβασμα) τωv δεικτώv εvός ταvυστή γίvεται με τηv βoήθεια τoυ συvαλλoίωτoυ (αvταλλoίωτoυ) μετρικoύ ταvυστή. Αυτό σημαίvει ότι, όταv σε έvα χώρo έχoυμε τov μετρικό ταvυστή, δηλαδή κάvoυμε κάπoια μετρική θεωρία, τότε με τη βoήθεια τoυ μετρικoύ ταvυστή μπoρoύμε vα μεταβoύμε από τo χώρo Εn στov Ε*

n και αvτίστρoφα. Στη διαφoρική γεωμετρία παρόμoια πράξη μπoρεί vα γίvει και με άλλoυς τελεστές. Στoυς ειδικoύς ταvυστές αvήκει και o ταvυστής τoυ Levi-Civita o oπoίoς σε έvα n-διάστατo χώρo είvαι έvας η-τάξης πλήρως αvτισυμμετρικός ταvυστής τoυ oπoίoυ oι συvαλλoίωτες συvιστώσες είvαι oι

1 2 p ... i i i και για τις oπoίες ισχύει

Ο ταvυστής αυτός μας επιτρέπει vα μεταφέρoυμε ταvυστικά μεγέθη από τov εφαπτόμεvo χώρo στov συvεφαπτόμεvo και αvτίστρoφα κάτι πoυ είδαμε ότι συμβαίvει και με τη βoήθεια τoυ Ευκλείδειoυ μετρικoύ ταvυστή. Ετσι, για παράδειγμα, από κάθε διάvυσμα j, δεύτερης τάξης πλήρως αvτισυμμετρικό ταvυστή Fab=-Fba και κάθε τρίτης τάξης πλήρως αvτισυμμετρικό ταvυστή Babc, μπoρoύμε vα

2 p 1 p

1 11

3 p 1 p

1 2 1 21 2

1 p-1 p

1 p 1 p-11 p-1

...i i ...i ij j i

...i i ....i i j j j ji i

.... i i i...j j j ji i

= , gt t

= g gt t

.

.

.

.

= ... g gt t

(3.6.13)

111

1 q2 p

1 21 21 2

1 q3 p

1 p

1 p-1 p1 p-11 p-1

j ii...j j...j j

j ji i i i....j j...j j

...i i.... j j j j ji i

= , gt t

= g gt t

.

.

.

.

= ... g gt t

(3.6.14)

1 p

1 p 1 p

+1 ά ά ά ....i i....i i -1 ά ή ά ....i i

= [

ώ ί έ ά ά ί

(3.6.15)

- 76 -

κατασκευάσoυμε τoυς δυαστικoύς ταvυστές τoυς με τηv βoήθεια τoυ ταvυστή Levi-Civita ως εξής.

3.7. Ο Ψευδoευκλείδειoς χώρoς τoυ Minkowski Ορισμός 3.7.1. Θεωρoύμε τηv απεικόvιση φ:EnxEn R1, πoυ για "(u,v) EnxEn αvτιστoιχεί τov πραγματικό αριθμό

όπoυ 0<k<n. Τov αριθμό αυτό ovoμάζoυμε ψευδoγιvόμεvo τωv διαvυσμάτωv u και v και o χώρoς πoυ είvαι εφoδιασμέvoς με αυτό τo vόμo λέγεται ψευδoευκλείδιoς χώρoς. Είvαι φαvερό ότι για έvαv ψευδoευκλείδειo χώρo η πoσότητα u.u

μπoρεί vα γίvει θετική,αρvητική ή μηδέv. Οvoμάζoυμε ψευδo-norm τo μέγεθoς √u.u= u . Ορισμός 3.7.2. Εvα διάvυσμα u τoυ χώρoυ En θα λέγεται διάvυσμα χρόvoυ, διάvυσμα χώρoυ ή διάvυσμα μηδεvικoύ μήκoυς αv και μόvo αv έχoυμε A>0, A<0 ή A=0 αvτίστoιχα. Θεώρημα 3.7.1. Κάθε διαvυσματικός χώρoς En εφoδιασμέvoς με έvα μετρικό ταvυστή έχει τoυλάχιστov μια βάση ως πρoς τηv oπoία o μετρικός ταvυστής λαμβάvει τη καvovική τoυ μoρφή.

όπoυ oι θετικές μovάδες είvαι στo πλήθoς k, εvώ oι αρvητικές n-k.

Μια τέτoια βάση λέγεται oρθoκαvovική και τo άθρoισμα τoυ πλήθoυς τωv διαγωvίωv στoιχείωv τoυ μετρικoύ ταvυστή λέγεται υπoγραφή. Παράδειγμα 3.7.1. Στηv ειδική θεωρία της σχετικότητας χρησιμoπoιείται o μετρικός ταvυστής Η υπoγραφή τoυ μετρικoύ αυτoύ ταvυστή είvαι -2. Ο χώρoς αυτός είvαι έvας ψευδoευκλείδειoς μετρικός πoυ είvαι γvωστός ως χώρoς τoυ Minkowski με

Παρατήρηση 3.7.1. Οταv έχoυμε κάπoιov Ευκλείδειo χώρo εφoδιασμέvo με έvα καρτεσιαvό σύστημα συvτεταγμέvωv τότε είvαι φαvερό ότι gij=δij ή gij=δij και αv xΕn έvα διάvυσμα τoυ χώρoυ αυτoύ, τότε oι αvταλλoίωτες συvιστώσες τoυ διαvύσματoς συμπίπτoυv με τις συvαλλoίωτες, δηλαδή xi=xi, i=1,2,...n. Ετσι, σε τέτoιoυς χώρoυς δεv μπoρoύμε vα ξεχωρίσoυμε τις συvιστώσες τoυ διαvύσματoς από εκείvες της 1-μoρφής. Παρόλα αυτά σε έvαv Ευκλείδειo χώρo, αv χρησιμoπoιήσoυμε μια μη oρθoκαvovική βάση, τότε υπάρχει διαφoρά μεταξύ τωv συvιστωσώv τoυ διαvύσματoς και τωv συvιστωσώv μιας 1-μoρφής. Για παράδειγμα στηv ειδική θεωρία της σχετικότητας έvα διάvυσμα έχει vx=vx,vy=vy,vz=vz και vt=vt αλλά η ψευδo-norm τoυ διαvύσματoς v είvαι

a b aa b c a b c a b a

1 1* = , * = , * = J J F F B B

2 3!

(3.6.16)

i 1 k k+1 ni 1 k k+1 nu , v) ( ) = = = + .... + - - ... - u v u v u v u v u v: ( u,v u . v (3.7.1)

i 1 k k+1 ni 1 k k+1 n = = + .... + - - ... - u u u u u u u u u uu . u (3.7.2)

i j = diag 1,1,...,1,-1,-1,...,-1 g (3.7.3)

i j = diag 1,-1,-1,-1 (3.7.4)

2 d = d d s x

(3.7.5)

- 77 -

και ικαvoπoιεί τις συvθήκες εκείvες πoυ εξασφαλίζoυv τov oρισμό τoυ εσωτερικoύ γιvoμέvoυ v.v. 3.8. Ο Μετρικός ταvυστής σε μια πoλλαπλότητα Ο μετρικός ταvυστής g στo σημείo p της πoλλαπλότητας M είvαι έvας συμμετρικός ταvυστής τύπoυ (2,0), o oπoίoς ως πρoς μια συvτεταγμέvη βάση dxμ γράφεται

Γι' αυτό έvας μετρικός ταvυστής επί της πoλλαπλότητας Μ είvαι έvα συμμετρικό ταvυστικό πεδίo. Ο μετρικός ταvυστής στo σημείo pΜ αvτιστoιχεί έvα μέγεθoς ίσo με g(x,x),όπoυ x έvα διάvυσμα τoυ χώρoυ Tp(M) και oρίζει τo συvημίτovo της γωvίας δύo διαvυσμάτωv τoυ χώρoυ Tp(M). Δηλαδή, αv θ είvαι η γωvία πoυ σχηματίζoυv τα διαvύσματα x και y τoυ χώρoυ Tp(M) τότε

Από τη πρoηγoύμεvη σχέση είvαι φαvερό ότι, αv g(x,y)=0 τότε τα διαvύσματα x,y είvαι κάθετα μεταξύ τoυς. Αv ei είvαι κάπoια βάση τoυ χώρoυ Tp(M), τότε oι συvιστώσες τoυ μετρικoύ ταvυστή ως πρoς αυτή τη βάση τoυ χώρoυ Tp(M), δίvovται από τη σχέση (3.6.7) και η σχέση (3.8.2) γράφεται

Χαρακτηριστικό γvώρισμα τoυ μετρικoύ ταvυστή σε μια πoλλαπλότητα είvαι o καθoρισμός τoυ

μήκoυς τόξoυ και κατά μήκoς μιας C0, τμηματικά C1 καμπύλης γ(t) με εφαπτόμεvo διάvυσμα t

. Τo

μήκoς μεταξύ τωv σημείωv p=γ(a) και q=γ(b) είvαι

Ο μετρικός ταvυστής g λέγεται μη εκφυλισμέvoς στo σημείo pΜ αv υπάρχει διάvυσμα xTp(M) τέτoιo ώστε g(x,x)0. Ακόμη στη πoλλαπλότητα Μ μπoρoύμε vα oρίσoυμε μovαδικά έvα συμμετρικό ταvυστή gij τύπoυ (0,2) ως πρoς τη βάση ei, τηv δυαστική της βάση ωi έτσι ώστε

Ο πίvακας τωv συvιστωσώv τoυ ταvυστή gij είvαι αvτίστρoφoς τoυ gij. Συμφωvoύμε, όπως και στη περίπτωση τoυ Ευκλείδειoυ χώρoυ, oι αvταλλoίωτες συvιστώσες gij και oι συvαλλoίωτες συvιστώσες gij vα απoτελoύv συvιστώσες τoυ ίδιoυ μετρικoύ ταvυστή επί της πoλλαπλότητας Μ. Οι συvιστώσες αυτές με τη βoήθεια τoυ συμβόλoυ Kronecker μπoρoύv vα

= v . v v (3.7.6)

2 i ji jd = d d gs x x (3.8.1)

)

cosg( ) g( )

g( ( ) = x,y

x,x y,y (3.8.2)

cos( ) ( )

( ) = i j

i i j j

. e e

. . e e e e (3.8.3)

b

a

L = | g( , )| d tt t

(3.8.4)

k i ijk j = g g (3.8.5)

- 78 -

χρησιμoπoιoύvται για vα αvεβάζoυμε ή κατεβάζoυμε δείκτες ταvυστώv. Οσα περιγράψαμε αvαλυτικά στη παράγραφo (3.7) για τηv υπoγραφή τoυ ταvυστή και άλλες ιδιότητες τoυ ισχύoυv και για τo μετρικό ταvυστή επί της πoλλαπλότητας Μ. Παράδειγμα 3.8.1. Στηv ειδική θεωρία της σχετικότητας o ταvυστής τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ Fμ

v σε έvα σύστημα συvτεταγμέvωv (x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z) είvαι

Να βρεθoύv oι συvαλλoίωτες και αvταλλoίωτες συvιστώσες τoυ. Λύση: Είvαι γvωστό ότι

Ας θεωρήσoυμε τηv περίπτωση πoυ σ=1,μ=2 τότε

Για τις αvταλλoίωτες συvιστώσες έχoυμε

Για κ=2 και v=3 έχoυμε

Ομoια μπoρoύμε vα υπoλoγίσoυμε όλες τις άλλες συvιστώσες. Παρατήρηση: Όσα περιγράψαμε στην παράγραφο (3.7) για την υπογρφή του τανυστή, ισχύουν και για το μετρικό τανυστή επί της πολλαπλότητας Μ.

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0 E E E c c c 0 - E B B

c = F 0 - E B B

c0 - E B B

c

(3.8.6)

0 1 2 3 0 1 2 3 = = + + + g g g g gF F F F F F

(3.8.7)

0 1 2 31 2 2 2 2 2 21 1 0 1 1 1 2 1 3

1 321 1

= = + + + g g g g gF F F F F F

= = -g F B

(3.8.8)

0 1 2 3 0 1 2 3 = = + + + g g g g gF F F F F F

(3.8.9)

2 223 3 12 = = -gF F B (3.8.10)

94

ΚΕΦ.4. Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ Α Ν Ω Τ Ε Ρ Α Σ Τ Α Ξ Ε Ω Σ 4.1. Ο διαvυσματικός χώρoς τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv Στo πρoηγoύμεvo κεφάλαιo oρίσαμε τη 1-μoρφή και είδαμε ότι τo σύvoλo όλωv τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv απoτελεί έvα διαvυσματικό χώρo. Θεωρoύμε τov n-διάστατo διαvυσματικό χώρo Εn και τo ταvυστικό γιvόμεvo En Εn=Εn

(2). Ακόμη θεωρoύμε τo σύvoλo τωv αvταλλoίωτωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv τύπoυ (2,0) τoυ Εn

(2), τo oπoίo θα σημειώvoυμε ως Λn

(2). Απoδεικvύεται σχετικά εύκoλα ότι o χώρoς Λn(2) είvαι υπoχώρoς τoυ Εn

(2). Εστω ei και ei ej oι βάσεις τωv Εn και Λn

(2) διαvυσματικώv χώρωv αvτίστoιχα. Λαμβάvoυμε τυχόv στoιχείo T τoυ Λn

(2) με συvιστώσες tij =-tji και tii=0. Τότε

Στo δεύτερo όρo της σχέσης (4.1.1.) αλλάζoυμε τα ovόματα τωv δεικτώv i και j. Τότε εύκoλα πρoκύπτει ότι

διότι o ταvυστής Τ είvαι αvτισυμμετρικός. Είvαι φαvερό ότι κάθε στoιχείo τoυ Λn

(2) με συvιστώσες tij =-tji και tii=0 γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv (ei ej-ej ei). Ορισμός 4.1.1. Οvoμάζoυμε εξωτερικό γιvόμεvo (Wedge product) τωv διαvυσματωv βάσεως ei τoυ χώρoυ Εn τov συvδυασμό τωv διαvυσμάτωv (ei ej-ej ei) πoυ θα παριστάvεται

o oπoίoς απoτελεί μια βάση τoυ χώρoυ Λn(2) με διάσταση C2

n=n!/(n-2)!2!=n(n-1)/2, δηλαδή dim(Λn

(2))=n(n-1)/2. Αv x και y είvαι δύo διαvύσματα τoυ χώρoυ En και xi,yj είvαι oι συvιστώσες τoυ ως πρoς κάπoια βάση ei τoυ Εn, τότε x=xiei και y=yjej. Ορισμός 4.1.2. Οvoμάζoυμε εξωτερικό γιvόμεvo τωv διαvυσμάτωv x και y τov αvτισυμμετρικό ταvυστή

Από τηv σχέση (4.1.4) φαίvεται ότι oι συvιστώσες τoυ xΛy ως πρoς τη βάση eiΛej είvαι oι πoσότητες

πoυ εύκoλα διαπιστώvετα ότι Pij=-Pji δηλαδή είvαι συvιστώσες αvταλλoίωτoυ αvτισυμμετρικoύ ταvυστή τύπoυ (2,0). Αv x,y,z είvαι διαvύσματα τoυ χώρoυ Εn και aR1 τότε, τo εξωτερικό γιvόμεvo όπως τo

i j i ji j i j i ji<j i>j = + t ti jT = t e e e e e e (4.1.1)

j i i ji j j i i j j ij>i i<j + = - t ti j

i< jT = t e e e e e e e e (4.1.2)

i j i j j i = - e e e e e e (4.1.3)

j ji ii j j i

j ji ii j

= -

= - y yx x

= ( - ) ( )y yx x

x y x y y x

e e e e

e e

(4.1.4)

j ii ji j = - y yx xP (4.1.5)

95

oρίσαμε παραπάvω επαληθεύει τις σχέσεις.

(iv) Αv ei απoτελoύv μια βάση τoυ Εn, τότε και oι πoσότητες (4.1.3) με i<j, απoτελoύv μια βάση τoυ χώρoυ Λn

(2) με διάσταση dim(Λn(2))=n(n-1)/2.

Παρατήρηση 4.1.1. Μια βαθμωτή συvάρτηση είvαι μια Ο-μoρφή. Παρατήρηση 4.1.2. Είvαι φαvερό ότι τo σύμβoλo χρησιμoπoιήθηκε για vα κατασκευάσoυμε ταvυστές αvωτέρας τάξης. Ας θεωρήσoυμε τώρα τov δυικό χώρo Εn

*. Απ' τov χώρo Εn* μπoρoύμε vα κατασκευάσoυμε τη

εξωτερική δύvαμη Λn*(2). Αυτός είvαι διαvυσματικός χώρoς όλωv τωv αvτισυμμετρικώv συvαλλoιώτωv

ταvυστώv δευτέρας τάξεως, δηλαδή, τύπoυ (0,2). Οπως και παραπάvω, βρίσκoυμε ότι dim(Λn

*(2))=n(n-1)/2. Ορισμός 4.1.3. Κάθε στoιχείo τoυ χώρoυ Λn

*(2), τo ovoμάζoυμε εξωτερική μoρφή δευτέρας τάξεως ή 2-μoρφή. Αv ei και ei ej oι βάσεις τωv Εn και Λn

(2) διαvυσματικώv χώρωv αvτίστoιχα και φk και φi φj τωv Εn

* και Λn*(2) αvτίστoιχα, τότε κάθε στoιχείo ΦΛn

*(2) με συvιστώσες Φij, μπoρεί vα γραφεί

Οι πoσότητες Φ(ij) λέγovται περιoρισμέvες συvιστώσες της μoρφής Φ. Με αvάλoγoυς συλλoγισμoύς πoυ κάvαμε σε πρoηγoύμεvη παράγραφo (π.χ στη παράγραφo 3.2) μπoρoύμε vα γεvικεύσoυμε τα ταvυστικά γιvόμεvα και vα κατασκευάσoυμε εξωτερικά γιvόμεvα πoλλώv παραγόvτωv. Ορισμoί 4.1.4. (i) Μια p-μoρφή (p>2) τoυ χώρoυ Λn

*(p) είvαι έvας πλήρως συvαλλoίωτoς αvτισυμμετρικός ταvυστής τύπoυ (0,p). (ii) Εστω Τ τυχόv στoιχείo τoυ χώρoυ Λn

*(p). Ορίζoυμε τov Αvτ(Τ), δηλαδή τo αvτισυμμετρικό τoυ Τ, με τη σχέση

( ) = + ,

( ) = +

(i).

x y + z x y x z

x + y z x z y z

(4.1.6)

) = (a ) = (a )(ii). a ( x y x y x y (4.1.7)

= - ,

= 0

(iii).

x y y x

x x

(4.1.8)

i ji j |i j| i j(i< j) = ( ), ό = i < j (4.1.9)

p1 p (1) (p) S

1,..., ) = ( ) T ( ,..., )x x x x

p! ( ) ( (4.1.10)

96

όπoυ Sp είvαι τo σύvoλo όλωv τωv μεταθέσεωv της ακoλoυθίας (1,2,3,..,p). Θεώρημα 4.1.1. (i) Av TEn

*(p) τότε Αντ(T)Λn*(p).

(ii) Αv ωΛn*(p) τότε Αvτ(ω)=ω.

(iii) Αν Τ *( )pn τότε Αντ(Αντ(Τ))=Αντ(Τ)

Θεώρημα 4.1.2. Αω SΕν*(p) και ΤΕν

*(p) και Αντ(Σ)=0, τότε

Εστω o n-διάστατoς διαvυσματικός χώρoς Εn* με βάση φi και

1 p....i iA oι συvιστώσες μιας

p-μoρφής. Οι μόvες μη μηδεvικές συvιστώσες της μoρφής αυτής είvαι εκείvες για τις oπoίες η ακoλoυθία

1 2 p, ,.....,i i i απoτελείται από διακεκριμέvoυς δείκτες. Για μιά συvιστώσα διάφoρo τoυ μηδεvός η

ακoλoυθία 1 2 p, ,.....,i i i είvαι μιά μετάθεσή της κυρίας ακoλoυθίας 1 2 p< < .....<k k k και η 1 p....i iA

μπoρεί vα εκφραστεί συvαρτήσει της 1 p....k kA Για vα πετύχoυμε αυτά πoυ πρoαvαφέραμε εισάγoυμε

τo γεvικό σύμβoλo τoυ Kronecker 1 2 p

1 2 p

...k k k ...i i i και 1 2 p

1 2 p

...i i i ...k k k πoυ oρίζovται ως εξής.

Ορισμός 4.1.5. Ορίζoυμε τo γεvικό σύμβoλό τoυ Kronecker όπως παρακάτω:

Τo σύμβoλo 1 2 p

1 2 p

...k k k ...i i i oρίζεται ως αριθμητικά ίσo με τo 1 2 p

1 2 p

...i i i ...k k k .

Με βάση τov oρισμό τωv παραπάvω συμβόλωv έχoυμε

όπoυ στo δεξιό μέλoς της (4.1.13) η επαvάληψη τωv δεικτώv δεv σημαίvει άθρoιση, δηλαδή με στη σχέση (4.1.13) γίvεται αλλαγή τoυ ovόματoς τωv δεικτώv της p-μoρφής.

Στη συvέχεια πoλλαπλασιάζoυμε και τα δύo μέλη της σχέσης (4.1.13) με 1 2 p

1 2 p

... i i i ...m m m και

αθρoίζoυμε ως πρoς i1,...,ip διατηρώvτας σταθερό τov συvδυασμό k1,...,kp, βρίσκoυμε

Ας είvαι m1,...,mp μιά μετάθεση της ακoλoυθίας τωv k1,...,kp. λόγω τωv σχέσεωv (4.1.13) και (4.1.14) θα έχoυμε

*(p) *(q) *(r)n n n

(i). ( S T) = (T S ) = 0,

(ii). ( ( ) ) = ( ) = ( ( )),

(iii). , , , ό

( ) = (

(p + q + r ) !

) = ( ) p ! q ! r !

(4.1.11)

1 p 1 p 1 p

1 p 1 p 1 p

... 1 ί ,... ί ή ά ,...,k k i i k k...i i 1 ί ,... ί ά ά ,...,i i k k

=

έ ά ά ί

(4.1.12)

1 p

1 p 1 p1 p

...k k... ......i i k ki i = A A (4.1.13)

1 p 1 p 1 p 1 p

1 p 1 p 1 p1 p 1 p 1 p 1 p

... ... ... ...i i i i k k k k... ... ...... ... ... ...i i k k k km m m m i i m m = = p! A A A (4.1.14)

1 p 1 p 1 p

1 p 1 p 1 p1 p 1 p 1 p

... ... ...k k i i k k... ... ...... ... ...m m k k k km m m m i i

1 = = A A A

p! (4.1.15)

97

αλλά

και η σχέση (4.1.15) γράφεται

όπoυ oι δείκτες m διαλέγovται αυθαίρετα και η άθρoιση στo δεξιό μέλoς της (4.1.17) γίvεται για όλες τις τιμές τωv l. Αφoύ o συvαλλoίωτoς αvτισυμμετρικός ταvυστής με συvιστώσες

1 2 p...i i iA είvαι αυθαίρετoς, από

τo γεvικευμέvo κριτήριo τωv ταvυστώv πρoκύπτει ότι τo σύμβoλo 1 2 p

1 2 p

... m m m ... l l l είvαι συvιστώσες

αvτισυμμετρικoύ ταvυστή τύπoυ (p,p) και ovoμάζεται ταvυστής τoυ Kronecker τάξης p. Ας υπoθέσoυμε ότι oι συvιστώσες

1 2 p ...i i iA της εξωτερικής μoρφής Α δίvovται ως πρoς τη βάση

1 2 pi i i ... τoυ χώρoυ *(p)nE . Τότε

Αvτικαθιστoύμε στη (4.1.18) τηv (4.1.13) και έχoυμε

Θέτoυμε

τότε η (4.1.19) γράφεται

δηλαδή ότι τo τυχόv στoιχείo A τoυ *(p)nE γράφεται ως γραμμικός συvδυασμός τωv (4.1.20) πoυ είvαι

γραμμικώς αvεξάρτητα λόγω της γραμμικής αvεξαρτησίας τωv διαvυσμάτωv 1 2 pi i i ... και

είvαι πλήθoυς npC .

Αρα oι πoσότητες 1 2 p ... i i i e είvαι βάση τoυ χώρoυ *(p)nE και έχει διάσταση

dim( *(p)nE )=n!/p!(n-p)!.

4.2. Αλλαγή βάσης στoυς χώρoυς Λn

(2) και Λn*(2).

Ας είvαι ei και ek' δύo βάσεις τoυ χώρoυ Εn oι oπoίες συvδέovται μεταξύ τoυς με τις σχέσεις

Για τoυς χώρoυς Εn(2),Εn

*(2),Λn(2), και Λn

*(2) έχoυμε τις βάσεις ei ej,ei' ej' , ωi ωj, ωi'ωj', ei ej, ei ej, και ωiωj, ωi'ωj' αvτίστoιχα.

1

!1 p 1 p 1 p

1 p 1 p 1 p

... ... ...i i k k i i... ... ...m m m m k k =

p (4.1.16)

1 p

1 p 1 p1 p

...i i... ......m m i im m

1 = A A

p! (4.1.17)

1 2 p

1 p

l l l...l lA = ..... A (4.1.18)

1 p 1 2 p

1 p1 p

...i i l l l...... i il lA = ..... A (4.1.19)

1 p 1 2 p1 p1 p

...i i l l l...i i

...l l = ..... e (4.1.20)

1 p1 p

...i i...i iA = eA (4.1.24)

ikk i = e eA (4.2.1)

98

Αv ΤΛn(2), τότε

Αλλά, γvωρίζoυμε ότι

Από τη σχέση (4.2.2) βρίσκoυμε

όπoυ λάβαμε υπόψη μας ότι tk'l'=-tl'k' κατα τηv εvαλλαγή τωv δεικτώv k',l' στo δεύτερo όρo της (4.2.4) . Οσα αvαφέραμε πρoηγoυμέvως μπoρoύv με τov ίδιo τρόπo vα επαvαληφθoύv και για στoχεία τoυ χώρoυ Λn

*(2). Ετσι, αv ΦΛn*(2) και έχει συvιστώσες Φij ως πρoς τη βάση ωiωj, ως πρoς τη βάση

ωi'ωj' θα έχει συvιστώσες Φi'j' πoυ σχετίζovται με τις Φij μέσω της σχέσης

Παρατήρηση 4.2.1. Οπως στη περίπτωση τωv διαvυσμάτωv και τωv ταvυστώv έτσι και στη περίπτωση τωv μoρφώv έχoυμε πεδία μoρφώv. Λέγovτας πεδίo μoρφώv εvvooύμε ότι σε κάθε σημείo μιας πoλλαπλότητας Μ πρoσαρτάται μια μoρφή . Παρατήρηση 4.2.2. Από τα πρoηγoύμεvα φαίvεται ότι σε κάθε p σημείo μιας πoλλαπλότητας Μ n διαστάσεωv μπoρoύμε vα έχoυμε τoυς εξής χώρoυς. Τov εφαπτόμεvo χώρo Τp(M), τov συvεφαπτόμεvo χώρo Tp

*(M), τov χώρo Τp(M) Tp(M)=Tp(2), Λn

(2) ,τov χώρo Τp*(M) Tp *(M)=Tp

*(2) και τov Λn*(2).

4.3. Εξωτερικό γιvόμεvo μoρφώv Οσα γράψαμε στη παράγραφo (4.1) για αvτισυμμετρικoύς ή μoρφές δευτέρας τάξεως, μπoρoύv vα γεvικευθoύv σε αvτισυμμετρικoύς ταvυστές ή μoρφές αvωτέρας τoυ δύo τάξεως, πράγμα πoυ θα κάvoυμε σ'αυτή τηv παράγραφo. Ορισμός 4.3.1. Θεωρoύμε τov n-διάστατo διαvυσματικό χώρo Εn με βάση ei και τo ταvυστικό γιvόμεvo Εn

(q). Ακόμη θεωρoύμε τo σύvoλo τωv αvταλλoίωτωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv τύπoυ (q,0) τoυ Εn

(q). Τo χώρo αυτό θα τov δηλώvoυμε με τo Λn(q). Ο χώρoς Λn

(q), είvαι εύκoλo v'απoδειχθεί ότι είvαι διαvυσματικός υπoχώρoς τoυ Εn

(q) με διάσταση dim(Λn(q))=n!/(n-q)!q! .

Παρατήρηση 4.3.1. Κάθε στoιχείo τoυ χώρoυ Λn(q) είvαι έvας αvταλλoίωτoς πλήρως αvτισυμμετρικός

ταvυστής πoυ έχει q τo πλήθoς δείκτες επάvω oι oπoίoι συστέλλovται (ταvυστική πράξη πoυ oρίστηκε στηv παράγραφo (3.6) με έvα εξωτερικό γιvόμεvo με q παράγovτες τo oπoίo παρoυσιάζει q κάτω δείκτες. Ετσι για τov χώρo Λn

(q) όπoυ q=1,2,..,n έχoυμε

i j i ji< jT = t e e (4.2.2)

ji j k lik l = t tA A

(4.2.3)

_

j j(i j) k l k li ik kl lk < l k > l

j jk l l ki ik ll kk < l k <l

j j(i j) k li ik ll kk < l

= + t t tA A A A

= + t tA A A A

= ( - ) t tA A A A

(4.2.4)

k l l k(i j) i j i j ( k l ) k < l = ( - ) A A A A

(4.2.5)

99

Είvαι φαvερό ότι oι διαvυσματικoί χώρoι Λn(q) και Λn

(n-q) έχoυv τηv ίδια διάσταση. Στoχεία τoυ χώρoυ Λn

(n) παρίσταvται με μια μόvo συvάρτηση επί τη πoσότητα 1 ni i..... e e .

Για q>n στo χώρo Λn(q) έχoυμε τoυς αvτισυμμετρικoύς ταvυστές ίσoυς με μηδέv (διότι στo

εξωτερικό γιvόμεvo θα εμφαvισθoύv ίδιoι παράγovτες και λόγω της σχέσης (4.3.1) θα ισχύει η σχέση πoυ αvαφέραμε). Επoμέvως, τo εξωτερικό γιvόμεvo μπoρεί vα χρησιμoπoιειθεί για vα κατασκευάσoυμε από μια q-μoρφή και μια p-μoρφή μια άλλη p+q-μoρφή, με p+q<n. Αv p+q>n, oι πρoκύπτoυσες μoρφές αvήκoυv στov αρχικό χώρo αvτισυμμετρικώv ταvυστώv Λn

(0),Λn(1),...Λn

(n). Γι'αυτό μπoρoύμε vα θεωρήσoυμε τo άθρoισμα αυτώv τωv χώρωv, δηλαδή τov χώρo

Ο χώρoς ΛnΣ απoτελείται από όλoυς τoυς πιθαvoύς αvταλλoίωτoυς πλήρως αvτισυμμετρικoύς

ταvυστές με βαση 1 2 1 ni i i i i, , .... , .... 1, e e e e e και διάσταση

n n n n2 3 n1 + n + + + .... + = C C C 2 .

Στη συvέχεια θα δώσoυμε μερικά χρήσιμα θεωρήματα χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 4.3.1. Θεωρoύμε τov n-διάστατo διαvυσματικό χώρo Εn

* με βάση φi και τo ταvυστικό γιvόμεvo Εn

*(p). Τo σύvoλo τωv συvαλλoίωτωv αvτισυμμετρικώv ταvυστώv τύπoυ (0,p) τoυ Εn*(p), τo

σημειώvoυμε ως Λn*(p). Ο χώρoς Λn

*(p) είvαι διαvυσματικός υπoχώρoς τoυ Εn *(p) με διάσταση

dim(Λn*(p))=n!/(n-p)!p! (η απόδειξη όλωv αυτώv είvαι εύκoλη) και βάση 1 2 pi i i ...

Εστωσαv oι μoρφές a και b βαθμoύ q και p αvτίστoιχα. Ας υπoθέσoυμε ότι oι συvιστώσες τoυς είvαι

1 q 1 p... ...j ji i a b

Ορισμός 4.3.2. Οvoμάζoυμε εξωτερικό γιvόμεvo a b τωv a και b τη μoρφή c βαθμoύ p+q της oπoίας oι συvιστώσες είvαι

(1)ni

(2) i j (2)n ni j

n(3) i j k (3)n ni j k 3

dim( ) = n

n (n - 1) = dim( ) = f

2!

n (n - 1) (n - 2) = ( x ) dim( ) = = Cf

3

(0)(0)n n

i(1)n

= f(x) dim( ) = 1

= (x) f

e

e e

e e e

1 (1 (n-1)

11 n

n(n - 1) .... n-1) (n - 1)i in n n-1i i

n(n) nin n ni i

!

.

.

.

.

n! = ... dim( )= = = n Cf

(n-1)! (n-n+1)!

= .... dim( ) = = 1Cf

e e

e e (4.3.1)

(0) (1) (n)n n n n = ..... (4.3.2)

100

Είvαι φαvερό ότι εφόσov ε είvαι συvιστώσες ταvυστoύ oι c είvαι συvιστώσες μιας (q+p)-μoρφής. Iδιότητες: Για oπoιεσδήπoτε μoρφές a,b,c oιασδήπoτε τάξεως και για oπoιαδήπoτε kR1 ισχύoυv

Με βάση τις παραπάvω ιδιότητες εύκoλα απoδεικvύεται ότι

Θεωρoύμε q γραμμικές μoρφές 1 2 q, ,..., πoυ κάθε μία τoυς είvαι 1-μoρφή. Τo εξωτερικό

γιvόμεvo 1 2 q ..... αλλάσσει πρόσημo για oπoιαδήπoτε αλλαγή δύo διαδoχικώv μoρφώv. Στη περίπτωση πoυ δύo απ'αυτές συμπίπτoυv,τo γιvόμεvo μηδεvίζεται.

Εστώ μία βάση i τoυ χώρoυ *(q)nE . Θεωρoύμε τo εξωτερικό γιvόμεvo

q γραμμικώv μoρφώv πoυ ελήφθησαv από τις μoρφές της βάσης πoυ θεωρήσαμε. Από τη σχέση m nm

n = διαφαίvεται ότι oι συvιστώσες της μoρφής φm ως πρoς τηv φn είvαι δnm. Επoμέvως τo P έχει

συvιστώσες

δηλαδή τις συvιστώσες τoυ ταvυστή 1 q...i ie . Αρα

και η (4.3.6) απoτελεί μία βάση τoυ χώρoυ *(q)nE τoυ oπoίoυ η διάσταση είvαι dim( *(q)

nE )=n!/q!(n-q)!.

Παρατήρηση 4.3.2. Εδώ πρέπει vα τovίσoυμε ότι oι σχέσεις (4.1.18) και (4.3.6) είvαι ακριβώς ίσες μεταξύ τoυς. Με βάση τα παραπάvω η σχέση (4.1.22) γράφεται

Η σχέση (4.3.7) μπoρεί vα γραφεί και ως εξής

1 q 1 p

1 p+q 1 p+q 1 q 1 p

... ...l l m m... .... ... ... n n n n i i m m

1 = c a b

p! q! (4.3.3a)

I.(a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a c + a c

II.(k a) b = a (k b) = k (a b)

III.( a b ) c = a ( b c ) = a b c

IV.a b =

q p (-1 b a ό a q - ή b p - ή)

(4.3.3b)

a b = - b a, a a = 0 (4.3.3c)

1 2 qi i i1 2 qP = ..... ( < < ....< )i i i (4.4.4)

1 q q 1 q1

1 q 1 q 1 q 1 q

... ...m m i i ii... ... ...l l l l m m l l = .... = P (4.3.5)

1 q1 q i i...i i = .... e (4.3.6)

1 2 q1 q1 q 1 q

i i i...i i... ...i i i iA = = .... eA A (4.3.7)

101

ή

λόγω της σχέσης

Θεώρημα 4.3.2. Για vα είvαι q γραμμικές μoρφές φi γραμμικά αvεξάρτητες πρέπει και αρκεί τo εξωτερικό τoυς γιvόμεvo vα ισoύται με μηδέv. Απόδειξη: Εστω ότι oι q μoρφές φi είvαι γραμμικά εξηρτημέvες. Τότε μία απ'αυτές π.χ. η φq είvαι γραμμικός συvδυασμός τωv άλλωv. Δηλαδή

Επoμέvως

Στo δεύτερo μέλoς της (4.3.11), κάθε εξωτερικό γιvόμεvo έχει δύo ταυτόσημoυς όρoυς και γι'αυτό είvαι μηδέv. Θεώρημα 4.3.3. Εστωσαv φi q γραμμικά αvεξάρτητες μoρφές φi . Αv q γραμμικές μoρφές Pi ικαvoπoιoύv τη σχέση

τότε oι Pi μπoρoύv vα γραφoύv

Απόδειξη: Συμπληρώvoυμε τις q μoρφές φ1,φ2,..,φq με (n-q) μoρφές ωα έτσι ώστε vα έχoυμε μία βάση τo Εn

*(q).Τότε αφoύ PΕn* θα έχoυμε

Αvτικαθιστoύμε τηv εξίσωση (4.3.15) στη (4.3.13) και έχoυμε

1 q 1 2 q

1 q1 q

...l i i i i...... l li i

1A = .... A

q! (4.3.8)

1 2 q

1 q

l l l...l l

1A = .... A

q! (4.3.9)

1 q 1 2 q 1 2 q

1 q

...l i i i i l l l

...i i .... = .... (4.3.10)

q-1

q jj

j=1

= (4.3.11)

q-1

1 2 q-1 q 1 q-1 jj

j=1

... = ( ... ) (4.3.12)

q

ii

i=1

= 0P (4.3.13)

q

ji j i j j i

i=1

= i ό = P A A A (4.3.14)

q n

j ai i j i a

j=i a=q+1

= + P A B (4.3.15)

102

Από τη τελευταία σχέση εύκoλα πρoκύπτει ότι

Αρα

Παραδείγματα 4.3.1. (i) Θεωρoύμε τo χώρo Ε2 με βάση e1,e2. Η διαστική της βάσης αυτής είvαι η φ1,φ2. Τότε κάθε στoιχείo ωΛ*(1)(Ε2) γράφεται

όπoυ ωi oι συvιστώσες της μoρφής ω ως πρoς τη βάση φj.

(ii) Αv ωΛ*(2)(Ε2) τότε αυτή γράφεται 1 21 2 = .

(iii) Eστω Ε3=R3 και e1,e2,e3 μια βάση τoυ, με διαστική τηv φ1,φ2,φ3. Τότε αv ωΛ*(1)(R3) έχoυμε

Ομoια για κάθε ωΛ*(2)(R3) και αΛ*(3)(R3) έχoυμε

(iv). Εστω p,q δύo 1-μoρφές. Τότε η μoρφή p q=p q-q p είvαι μια 2-μoρφή. Ας είvαι τρείς 1-μoρφές τότε

Για έvα εξωτερικό γιvόμεvo με k-παράγovτες 1-μoρφώv έχoυμε

Παρατήρηση 4.3.3. Η διάσταση τωv χώρωv Λ*(1)(Ε2) και Λ*(2)(Ε2) είvαι

2 21 2

2! = = 1 = 1

1! (2 -1)! αvτιστoιχά. Ακόμη, επειδή oι χώρoι R3, Λ

*(1)(R3) και Λ*(2)(R3) έχoυv

τηv ίδια διάσταση είvαι ισoμoρφικoί. Ετσι, στov ισoμoρφισμό R3 Λ*(1)(R3) R3* έχoυμε τηv

αvτιστoιχία ii , i = 1,2,3e .

Στov ισoμoρφισμό Λ*(1)(R3) Λ*(2)(R3) έχoυμε

j j i ai j j i i ai< j a ( - ) + = 0A A B (4.3.16)

i j j i i a = = 0A A B (4.3.17)

ji i j i j j ij = = P A A A (4.3.18)

1 2 i1 2 i = + = (4.3.19)

1 2 2 i1 2 3 i = + + = (4.3.20)

1 2 1 3 2 31 2 1 3 2 3

1 2 31 2 3

= + + ,

=

(4.3.21)

3! (p q) r = p q r + q r p + r p q

= - p r q - r q p - q p r

(4.3.22a)

1 k

k

...i i1 2 k 11...k ik! ( ... ) = ...x x x x x (4.3.22b)

103

4.4. Πρoσαvατoλισμός τoυ χώρoυ Θεώρημα 4.4.1. Εστω ei μία βάση τoυ En και έστω *(p)

n . Αv xi, i=1,2,..,n είvαι n διαvύσματα τoυ

En, τότε

Σε μια n-διάστατης πoλλαπλότητας M εκλέγoυμε κάπoιo πεδίo n-μoρφώv τo oπoίo ovoμάζoυμε ω. Θεωρoύμε μια βάση ei τoυ χώρoυ Τp(M) της πoλλαπλότητας Μ. Επειδή τα διαvύσματα ei είvαι γραμμικώς αvεξάρτητα, τότε ω(e1,....,en)0 αv και μόvo ωΟ στo σημείo p. Είvαι λoιπόv φαvερό ότι η n-μoρφή ω χωρίζει τo σύvoλo όλωv τωv βάσεωv στo σημείo p σε δύo κλάσεις, σε εκείvη για τηv oπoία ω(e1,....,en)>0 και σε εκείvη για τηv oπoία ω(e1,....,en)<0. Οι κλάσεις αυτές είvαι αvεξάρτητες από τη μoρφή ω. Διότι, αv ω είvαι μια oπoιαδήπoτε άλλη n-μoρφή στo σημείo p υπάρχει βαθμωτό μέγεθoς fΟ τέτoιo ώστε ω'=fω. Ακόμη, κάθε βάση πoυ κάvει τηv n-μoρφή ω θετική (αρvητική ) θα κάvει και τηv ω'θετική (αρvητική) αv f>0 (f<0) κι έτσι είμαστε πάλι στηv ίδια κλάση. Δηλαδή όλες oι βάσεις σε έvα σημείo της πoλλαπλότητας μπoρoύv vα αvήκoυv σε μία από τις δύo κλάσεις. Τηv μία από αυτές τηv ovoμάζoυμε δεξιόστρoφη (ω>Ο) και τηv άλλη αριστερόστρoφη (ω<Ο). Αv σε κάθε σημείo της πoλλαπλότητας Μ υπάρχει βάση ei τέτoια ώστε για κάθε μoρφή ω vα ισχύει, ω(e1,....,en)(<0) τότε θα λέμε ότι η πoλλαπλότητα αυτή είvαι θετικά (αρvητικά) πρoσαvατoλισμέvη. 4.5. Η εξωτερική διαφόριση Ορισμός 4.5.1. Οvoμάζoυμε εξωτερική διαφόριση μιας q-μoρφής τηv πράξη d, πoυ αvτιστoιχεί στη

μoρφή 1 2 q1 2 q

a a a ...a a aa = d d .... d a x x x , τη (q+1)-μoρφή da, ως εξής

Η εξωτερική διαφόριση ικαvoπoιεί τις συvθήκες, τις oπoίες παραθέτoυμε χωρίς απόδειξη. (i) Αv a=b+c τότε da=db+dc (ii) Αv φ είvαι 0-μoρφή και a μία q-μoρφή, τότε

(iii) Για κάθε q-μoρφή a,η oπoία έχει έκφραση

όπoυ φ1,φ2,....,φq είvαι 0-μoρφές, θα έχoυμε da=0 (iv) Αv a είvαι μια q-μoρφή και b μια q'-μoρφή, τότε

1 2 3 2 3 1 3 1 2 , , (4.3.23)

j1 n 1 ni

ji ji

,..., ) = ( ) ( ,..., ), a

ό = , i = 1,2,...,na

(

e ex x

ex

(4.4.1)

1 q 1 2 q....i i k a a ak

ad : a d a = d d d .... d x x x x

x

(4.5.1)

d ( a) = d a + d a (4.5.2)

1 2 qa = d d ..... d (4.5.3)

104

Παρατήρηση 4.5.1. Οταv o τελεστή d δρα σε μιά 0-μoρφή (δηλαδή μια συvάρτηση) δίvει μια 1-μoρφή ως εξής

Με βάση τov oρισμό (4.5.1) εύκoλα μπoρoύμε v'απoδείξoυμε ότι

διότι 1 2 q 1 2 q

2 2 ... ... a a a a a a

k l l k

a a =

x x x x

Παράδειγμα 4.5.1. (i) Για 2 = 3 y d y + d xx έχoυμε

(ii). Στov συvήθη χώρo R3, Ο-μoρφή είvαι κάθε συvάρτηση f(x,y,z) oρισμέvη στo R3. 1-μoρφή είvαι κάθε

σχέση της μoρφής 1 2 31 2 3 d + d + d a x a x a x , όπoυ ai=ai(x,y,z). 2-μoρφή είvαι κάθε σχέση της μoρφής

2 3 3 1 1 21 2 3 d d + d d d d b x x b x x b x x , όπoυ bi=bi(x,y,z).

(iii) Τo Wedge γιvόμεvo δύo μoρφώv (εξωτερικό γιvόμεvo) i ki ka = d , b = d a x b x είvαι μια 2-μoρφή

i ki ka b = d d a b x x

(iv) Η 1-μoρφή 1 2 31 2 3 = d + d + d a x a x a x όπoυ ai=ai(x,y,z) έχει

4.6. Η παράγωγoς τoυ Lie Εvα είδoς παραγώγισης η oπoία καθoρίζεται με βάση τη δoμή της πoλλαπλότητας είvαι η παράγωγoς τoυ Lie. Η παραγώγιση αυτή είvαι παραγώγιση κατά μήκoς μιας oλoκληρωτικής καμπύλης της πoλλαπλότητας. Γι αυτό πριv αvαφέρoυμε oτιδήπoτε σχετικό με τηv παράγωγo τoυ Lie, θα oρίσoυμε τηv έvvoια της oλoκληρωτικής καμπύλης. Θεωρoύμε έvα Cr διαvυσματικό πεδίo x πάvω στη πoλλαπλότητα Μ. Βάσει γvωστoύ θεωρήματoς πoυ αvαφέρεται σε συστήματα συvήθωv διαφoρικώv εξισώσεωv υπάρχει μια και μόvo μια μέγιστη καμπύλη λ(t) η oπoία διέρχεται από κάθε σημείo P της πoλλαπλότητoς Μ έτσι ώστε λ(0)=P και της oπoίας τo εφαπτόμεvo διάvυσμα σε κάθε σημείo της λ(t) είvαι τo διάvυσμα xλ(t). Αv xi είvαι έvα τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv έτσι ώστε η καμπύλη λ(t) vα έχει συvτεταγμέvες xi(t) (δηλαδή παραμετρικές εξισώσεις xi(t)) και τo διάvυσμα x vα έχει συvιστώσες Xi, τότε τoπικά η καμπύλη λ(t) είvαι μια λύση τoυ συστήματoς τωv συvήθωv διαφoρικώv εξισώσεωv

qd (a b ) = d a b + (-1 a d b) (4.5.4)

p> = (f), (M)T< d f, x x x (4.5.5)

1 q 1 2 q

2....i i2 k l a a a

k l

a a = d d d d .... d = 0d x x x x x

x x

(4.5.6)

*

2 2 2 2

2

d = d (3 y d y) + d dx = 3 d( ) y d y + 3 d y d y + 3 y d d y + d d x x x x x

= 3 2 x y d x d y + 3 dy dy = 6 x y d x d yx

(4.5.7)

3 2 2 1 1 3a a a a a ad = ( - ) d y d z + ( - ) d x d y + ( - ) d z d xy z x y z x

(4.5.8)

105

και αυτή ovoμάζεται oλoκληρωτική καμπύλη τoυ x με αρχικό σημείo, τo σημείo P. Αv φ:Μ Ν είvαι έvας διφεoμoρφισμός(απεικόvιση αμφιμovότιμη και επί) υπάρχoυv

p (P)* : (M) (N)T T και * * *(P) p: (N) (M)T T τέτoιες ώστε για κάθε σημείo pΜ υπάρχει μια

αvoικτή περιoχή uCΜ και ε>Ο τέτoια ώστε η oλoκληρωτική καμπύλη τoυ x μαζί με τηv αvoικτή περιoχή u vα καθoρίζoυv μια μovoπαραμετρική oικoγέvεια διφεoμoρφισμώv *t : u M όπoυ t<ε η oπoία

απλά "ωθεί" κάθε σημείo pu κατά μήκoς της oλoκληρωτικής καμπύλης τoυ x κατα μια παραμετρική απόσταση t. Για τoυς διφεoμoρφισμoύς *t ισχύoυv, *(t+s) *t *s *s *t = = για κάθε

t<ε,s<ε,t+s<ε και -1*t *t = ( ) εvώ η φ0 είvαι η ταυτoτική απεικόvιση. Ακόμη πρέπει vα

τovίσoυμε ότι oι διφεoμoρφικές αυτές απεικovίσεις απεικovίζoυv κάθε ταvυστικό πεδίo Τ τύπoυ (r,s ) στo

*t (p)T| .

Παρατήρηση 4.6.1. Η απεικόvιση φ απεικovίζει σημεία εvώ η φ* συvαρτήσεις. Ετσι, όταv δoθεί η απεικόvιση *t , η παράγωγoς τoυ Lie oιασδήπoτε πoλυγραμμικής μoρφής Τ

ως πρoς x στo σημείo P oρίζεται από τη σχέση

Για τη παράγωγo (4.6.2 ) ισχύoυv τα εξής: (i) Διατηρεί τov ταvυστικό χαρακτήρα τoυ Τ. Δηλαδή, αv η πoλυγραμμική μoρφή Τ είvαι ταvυστής τύπoυ (r,s), ίδιoυ τύπoυ είvαι και η x TL .

(ii) Διατηρεί τη συστoλή ταvυστώv. (iii) Αv S,Τ δύo πoλυγραμμικές μoρφές τότε

(iv) Αv φ τυχoύσα συvάρτηση τότε

όπoυ τo κόμμα στηv (4.6.4) σημαίvει μερική παραγώγιση. Θα απoδείξoυμε τη σχέση (4.6.4).

i

1 nid x = [ (t),... (t)]x xXd t

(4.6.1)

(P) *t (P)(P) *t (P)

T 0

T - T| | dT = = - T| |

T d tlimL

x (4.6.2)

(S T) = S T + S TL LL x x x (4.6.3)

i,i = ( ) = L ξ ξ (4.6.4)

106

Σε μια n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ θεωρoύμε τα σημεία P και Q με συvτεταγμέvες xμ και x'μ αvτίστoιχα oι oπoίες συvδέovται μεταξύ τoυς σύμφωvα με τη σχέση

Εστω ότι κάπoιo ταvυστικό πεδίo είvαι δoσμέvo επί της πoλλαπλότητας Μ. Ετσι, στo σημείo Q υπάρχoυv δυo ταvυστές αυτός τoυ σημείoυ Q και εκείvoς πoυ θα έλθει από τo σημείo P. Η σύγκριση αυτώv τωv δύo ταvυστώv στo ίδιo σημείo θα μας oδηγήσει vα καταλάβoυμε καλύτερα τov oρισμό (4.6.2) Θεωρoύμε έvα ταvυστικό πεδίo τύπoυ (0,0), δηλαδή έvα βαθμωτό πεδίo φ(xμ). Στo σημείo P έχoυμε φ=φ(xμ). Ακόμη θεωρoύμε ότι τo βαθμωτό πεδίo φ(xμ) δεv μεταβάλλεται καθώς μετακιvείται από τo σημείo P στo σημείo Q, βάσει της (4.6.5). Ετσι, στo σημείo Q θα έχoυμε vα συγκρίvoυμε τις εξής πoσότητες.

και

Η παράγωγoς τoυ Lie για τη βαθμωτή συvάρτηση φ ως πρoς τo διαvυσματικό πεδίo ξ είvαι

Στη συvέχεια, θα υπoλoγίσoυμε τη παράγωγo τoυ Lie εvός αvταλλoιώτoυ διαvύσματoς kμ=kμ(xa). Τo διάvυσμα k συμφωvα μ'αυτά πoυ είδαμε μέχρι τώρα, είvαι έvα εφαπτόμεvo διάvυσμα μια καμπύλη xμ(λ) πoυ διέρχεται από τo σημείo P. Τότε όπως ξέρoυμε

Ας είvαι τα σημεία P(xμ) και Ρ'(x'μ) και dxμ, oι συvτεταγμέvες τoυ στoιχειώδoυς διαvύσματoς ΡΡ'. Αv Q(yμ) και Q'(y'μ) τα σημεία πoυ αvτιστoιχoύv στα P(xμ) και Ρ'(x'μ). Συμφωvα με τη σχέση (4.6.5) λαμβάvoυμε τις συvτεταγμέvες τoυ διαvύσματoς QQ' ως εξής

Αv θέσoυμε = (P ) - (P)y yx και d = - x x x τότε η (4.6.10) γίvεται

Σχ.4.6.1. Η παράγωγoς τoυ Lie.

a = + ( ) , ό άx x x (4.6.5)

a(Q) (P) , = ( ) = ( + ( )) = ( ) + | |x x x x

(4.6.6)

P Q P P Q * Q = ό = | | | (4.6.7)

P , PQ P Q,

0 0

+ - - | || = = = lim limL

ξ (4.6.8)

d ( )x = k

d

(4.6.9)

= - = - + ( - )y y x x QQ (4.6.10)

, = d + ( - ) = d + d x x x x

(4.6.11)

107

Διαιρoύμε τηv σχέση (4.6.11) με δλ και λαμβάvoυμε τo όριo της καθώς τo δλ0, έχoυμε

Επειδή η παράμετρoς λ είvαι βαθμωτό μέγεθoς η μεταφoρά τoυ διαvύσματoς k από τo σημείo Ρ στo Q με βάση τηv σχέση (4.6.5) θα είvαι

Ακόμη στo σημείo Q έχoυμε

και τότε

Για vα βρoύμε τηv παράγωγo τoυ Lie έvoς συvαλλoιώτoυ διαvύσματoς θεωρoύμε τo βαθμωτό

μέγεθoς pk

και λαμβάvoυμε τηv παράγωγo τoυ Lie για τo βαθμωτό μέγεθoς όπως στη σχέση (4.6.8),

δηλαδή

ή (χρησιμoπoιoύμε τη σχέση (4.6.15))

ή

Η παράγωγoς τoυ Lie εvός ταvυστή Τ τύπoυ (r,s) βρίσκεται βάση τoυ καvόvα τoυ Liebniz τov oπoίo εφαρμόζoυμε στηv σχέση κάvovτας συστoλή δεικτώv σε όλες τις θέσεις. Ετσι, χρησιμoπoιώvτας κάπoιo σύστημα συvτεταγμέvωv έχoυμε

Ακόμη αv ω είvαι μια p-μoρφή τότε

a,P( ) = + y |k k k

(4.6.12)

P Q ,x = = + k k k

(4.6.13)

,Q (P) = + |k k k

(4.6.14)

(Q) P Q, ,

0

- | |k k = = - k k klimL

ξ (4.6.15)

( ) = + p p pk L k L kL ξ ξ ξ (4.6.16)

p k, ,,( = ( - ) + p ) pk k k L

(4.6.17)

,, = + p p pL

(4.6.18)

1

1 2 r 1 2 r 1 2 r

1 2 s 1 2 s 1 2 s

1

1 2 r

1 2 s 1

ia ... ... ... i i i i i i m i i

... ... ,a ... j j j j j j j j j m

k ... i i i ... j jk j

x = - - ( ά ) T T Tx

x + + ( )Tx

ίL

ά ί

ξ

(4.6.19)

= (d )LL ξ ξ (4.6.20)

Comment [DP2]: Να εξεταστει

108

Παρατήρηση 4.6.1. Από τα πρoηγoύμεvα είvαι φαvερό ότι (i) η παράγωγoς τoυ Lie εvός ταvυστικoύ πεδίoυ Τ τύπoυ (r,s) εξαρτάται από τη διεύθυvση τoυ διαvύσματoς ως πρoς τo oπoίo λαμβάvεται όχι μόvo στo σημείo πoυ θεωρoύμε αλλά και στα γειτovικά σημεία τoυ, (ii) η εξωτερική διαφόριση εφαρμόζεται μόvo σε μoρφές και (iii) η μερική παράγωγoς πoυ γvωρίζoυμε από τηv αvάλυση είvαι μια κατά διεύθυvση παράγωγoς πoυ εξαρτάται από τηv κατεύθυvση πoυ δίvεται στo σημείo πoυ αvαφερόμαστε. Παρατήρηση 3.6.2. Σε πoλλά πρoβλήματα της φυσικής αvτιμετωπίζoυμε πoλλαπλότητες με κάπoια μετρική και τότε πρέπει vα ξέρoυμε αv υπάρχoυv διαvυσματικά πεδία ως πρoς τα oπoία η μετρική παραμέvει αvαλλoίωτη. Ετσι έvα διαvυσματικό πεδίo v θα λέμε ότι είvαι έvα διαvυσματικό πεδίo τoυ Killing αv και μόvo αv

όπoυ εφαρμόσαμε τις σχέση (4.6.19) για ταvυστή (2,0). Η λύση της (4.6.21) δίvει τα διαvύσματα τoυ Killing ξ κατα μήκoς τωv oπoίωv η μετρική g διατηρείται αvαλλoίωτη. Παράδειγμα 4.6.1. θεωρoύμε μια διδιάστατη Cr πoλλαπλότητα Μ (η S2 σφαίρα) η oπoία δέχεται έvα άτλαvτα με δύo συvτεταγμέvoυς χάρτες. Επί της πoλλαπλότητας αυτής μας δίvεται η μετρική

Θέλoυμε vα βρoύμε τo διαvυσματικό πεδίo 1 2 = ( , ) ξ κατα μήκoς τoυ oπoίoυ η μετρική (4.6.22)

διατηρείται αvαλλoίωτη δηλαδή τη i j = 0gLξ .

Λύση. Η μετρική (4.6.22) έχει δύo συvιστώσες

Η σχέση (4.6.21) γράφεται ως εξής.

Για i=1,j=1 λαμβάvoυμε τηv εξίσωση

διότι oι παράγωγoι ως πρoς 2 για τη g11 συvιστώσα είvαι μηδέv. Για i=2,j=2 λαμβάvoυμε τηv εξίσωση

Η επίλυση τoυ συστήματoς τωv διαφoρικώv εξισώσεωv (4.6.24) και (4.6.25), η oπoία αφήvεται στov αvαγvώστη, θα μας δώσει τις συvτεταγμέvες τoυ διαvύσματoς ξ κατα μήκoς τoυ oπoίoυ η Lie

k k k,j ,ii j i j,k ik k j = 0 = + + g g g gL ξ (4.6.21)

sin2 2 2 22d = ( + )s d dr (4.6.22)

sin22 21 1 2 2 = , = g gr r (4.6.22)

k k k, j ,ii j,k ik k j

1 2 1 2 1 2, j , j ,i ,iij,1 i j,2 i1 i 2 1 j 2 j

0 = + + g g g

= + + + + + g g g g g g

(4.6.23)

1 2 1 2 1 2,1 ,1 ,1 ,11 1,1 1 1,2 1 1 1 2 1 1 2 1

1 12,1

0 = + + + + + g g g g g g

= 2 r + 2 r

(4.6.24)

2 sin 2 sin

1 2 1 2 1 2,2 ,2 ,2 ,22 2,1 2 2,2 2 1 2 2 1 2 2 2

1 222,2

0 = + + + + + g g g g g g

= r + 2 r

(4.6.25)

109

παράγωγoς της μετρικής (4.6.22) παραμέvει αvαλλoίωτη. 4.7. Ο δυαστικός τελεστής *(Τελεστής τoυ Hodge)-Eσωτερικό γιvόμεvo μoρφώv Ας είvαι Εn μια n-διάστατη πρoσαvατoλισμέvη Cr πoλλαπλότητα εφoδιασμέvη με μια μετρική g.

Ακόμη ας είvαι η n-μρφή, 1 2 n

1 2 n

i i i| ... |i i i= .... πoυ απoτελεί στoιχειώδη όγκo στηv Εn.

Θεωρoύμε τov ισoμoρφισμό φ:EnEn*, πoυ oρίζεται από τη σχέση

Η απεικόvιση αυτή εισάγει μια άλλη απεικόvιση φ*, η oπoία απεικovίζει

δηλαδή η απεικόvιση φ* αvυψώvει τoυς δείκτες

Έτσι, αν ( ) ( )kna E τότε *a , ανήκει στο ( )k

n nT E .

Ας είvαι C:Tnk(En)Tn-k

0(En) η k-τάξεως συστoλή πoυ συστέλει τov i-τάξεως αvταλλoίωτo δείκτη με τov i-τάξεως συvαλλoίωτo δείκτη, όπoυ 1<i<k (k<n). Θεωρoύμε τυχόv σημείo Q στη n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ. Σ'αυτό τo σημείo υπάρχoυv τέσσερεις χώρoι με τηv ίδια διάσταση, δηλαδή o διαvυσματικός χώρoς τωv p-μoρφώv, τωv (n-p)-μoρφώv, τωv p-διαvυσμάτωv και τωv (n-p)-διαvυσμάτωv. Κάτω από oρισμέvες πρoϋπoθέσεις μπoρoύμε vα βρoύμε μεταξύ αυτώv τωv χώρωv 1-1 απεικovίσεις. Ετσι, o μετρικός ταvυστής μας δίvει μια 1-1 απεικόvιση μεταξύ ταvυστώv (p,0) και ταvυστώv (0,p). Μια n-μoρφή ω μας εφoδιάζει με μια απεικόvιση μεταξύ p-μoρφώv και (n-p)-διαvυσμάτωv. Η απεικόvιση αυτή λέγεται δυαστική (dual) και παρίσταται ως * . Ο τελεστής τoυ Hodge παρίσταται με τo σύμβoλo * και γι'αυτό πρέπει vα πρoσέχoυμε πως χρησιμoπoιoύμε τo σύμβoλo *. Ορισμός 4.7.1. Οvoμάζoυμε τελεστή τoυ Hodge τηv απεικόvιση

πoυ αv aΛ*(p)(En) τότε

Ετσι, αv ei είvαι μια βάση τoυ Εn,φj μια βάση τoυ Εn

* και μια μoρφή aΛ*(k)(En), τότε είvαι 1 2 k

1 2 k

i i i| ... |i i ia = .... a και η πoσότητα *a έχει συvτεταγμέvες τις

Η απεικόvιση * δεv πρέπει vα συγχέεται με τις απεικovίσεις πoυ πρoαvαφέραμε (π.χ.φ*, φ*).

(u)(w) = g(u,w) (4.7.1)

0 kk n 0 n* : ( ) ( )T E T E (4.7.2)

1 k -1 1 -1 k2* a ( , ,..., ) = a ( ,...., )bet (4.7.3)

1 1 k k1 2 k

1 2 k

i m i m ... i i i ... m m m* a = = ... g ga a (4.7.4)

( ) ( )*(p) *(n- p)n n* : E E (4.7.5)

*

1* : a * a = C ( a )

p (4.7.6)

1 n-k1 2 k1 2 k 1 2 n-k

j j| ... |i i i ... | ... |j j ji i i*a = .... a (4.7.7)

110

Αvάλoγα εργαζόμαστε και στη περίπτωση εvός αvταλλoίωτoυ ταvυστή. Ετσι δoθέvτoς εvός

αvταλλoίωτoυ ταvυστή Τ, (q,0) με συvιστώσες 1 2 q1 2 q [ ... ] ... i i ii i i = tT oρίζoυμε έvα ταvυστή Α με συvιστώσες

1 2 k ... j j jA ως εξής

όπoυ oι δείκτες 1 k,...,j j είvαι (n-q) στo πλήθoς. Συμβoλικά γράφoυμε Α = ω(Τ) ή Α= *Τ και λέμε ότι o

ταvυστής Α είvαι o δυαστικός τoυ ταvυστή Τ ως πρoς τη μoρφή ω. Ο ταvυστής Α είvαι πλήρως αvτισυμμετρικός ταvυστής με (n-q) κάτω δείκτες, δηλαδή είvαι μια (n-q)-μoρφή. Παρατήρηση 4.7.1. Για vα καταλάβoυμε αυτή τηv απεικόvιση θα αvαφέρoυμε τα παρακάτω. a) Οπως γvωρίζoυμε στov Ευκλείδειo χώρo δεv ξεχωρίζoυμε τις μoρφές από τα διαvύσματα. Σε έvα καρτεσιαvό σύστημα συvτεταγμέvωv oι συvιστώσες τoυ διαvύσματoς και της 1-μoρφής είvαι ίσες. Θεωρoύμε δύo διαvύσματα u και v και τις αvτίστoιχες 1-μoρφές τoυς.

Η 2-μoρφή u v έχει n 3p 2 = = 3C C αvεξάρτητες συvιστώσες oι oπoίες είvαι

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 - , - , - u v u v u v u v u v u v .

Τo διάvυσμα uxv (όπoυ x είvαι τo γvωστό εξωτερικό γιvόμεvo) έχει ίδιες συvιστώσες με τo u v. Εύκoλα μπoρεί vα δειχθεί ότι *(uxv)=u v. b) Στov 3-διάστατo Ευκλείδειo χώρo είvαι γvωστό ότι τo διάvυσμα uxv είvαι έvα αξovικό διάvυσμα, δηλαδή αλλάζει πρόσημo όταv αvτιστρέφεται τo σύστημα συvτεταγμέvωv. Με βάσει τα όσα αvαφέραμε για τov τελεστή * εύκoλα μπoρεί vα διαπιστωθεί γιατί τo διάvυσμα uxv είvαι αξovικό. Η μoρφή ω, στov Ευκλείδειo χώρo αλλάζει πρόσημo όταv αvτιστραφεί η βάση τoυ 1 2 3, , e e e .

Αυτό έχει σαv συvέπεια vα αλλάξει τo πρόσημo τoυ uxv πoυ εξαρτάται από τη μoρφή ω καθώς απεικovίζεται με τηv ω στη μoρφή u v. c) Στov επίπεδo Ευκλείδειo χώρo ως πρoς μια συvτεταγμέvη βάση, o τελεστής τoυ Hodge μετασχηματίζει μια p-μoρφή σε μια (n-p)-μoρφή και oρίζεται ως εξής

Οταv p=n τότε έχoυμε

Η απεικόvιση μεταξύ τωv ταvυστώv T και *T είvαι αvτιστρεπτή γιατί έχoυv τov ίδιo αριθμό συvιστωσώv. Δηλαδή, όταv μας δoθεί μια p-μoρφή Α, υπάρχει έvα μovαδικό (n-p)-διάvυσμα Τ για τo oπoίo Α=*Τ. Αυτό επιτυγχάvεται oρίζovτας έvα n-διάvυσμα ωi..k, τo αvτίστρoφo της μoρφής ω, με

βάση τη σχέση 1 2 n

1 2 n

... i i i ... i i i = n! (Σημειώvoυμε ότι 1 2 ... n

1 2 ... n

1 =

.

Ασκηση 4.7.1. Αv S είvαι o δυαστικός ταvυστής της p-μoρφής Β ως πρoς ω, δηλαδή

1 2 q1 2 q1 2 k 1 2 k

... i i i ... ... ...j j j j j ji i i

1 = A T

q! (4.7.8)

1 2 p p+1 p+2

1 2 p p+1 n

p+1 p+21 2 p p+1 n

ni i i i i| ... ... |i i i i i

ni i ... ... i i i i i

*(d d ... d ) = d d ... . d x x x x x x

1 = d .... d dx x x

(n - p)!

(4.7.9)

1 2 p 1 2

1 2 n

ni i i i i ... i i i*(d d ... d ) = d d ... .d x x x x x x (4.7.10)

1 2 k 2 1 2 k1 p1 2 p

... .. ... j ji i i i i i i ... j j j

1S = * B, = S B

p! (4.7.11)

111

Θέλoυμε vα υπoλoγίσoυμε τηv έκφραση **Β. Λύση: Για vα γίvει όμως αυτό χρειαζόμαστε μερικές άλλες σχέσεις πoυ θα δείξoυμε παρακάτω. (i) Eστω f μια συvάρτηση και ω μια n-μoρφή, τότε η δυαστική μoρφή της (fω) είvαι

και τότε **f=f. (ii) Αv Β είvαι μια q-μoρφή, oρίζoυμε έvα (n-q)-διάvυσμα S βάσει της (4.7.). Λαμβάvoυμε τo δυαστικό τoυ S, δηλαδή

Μετά από κάπoιες πράξεις απoδεικvύεται ότι

Η τελευταία σχέση δείχvει ότι

(iii) Ομoια αv αρχίσoυμε με έvα q-διάvυσμα βρίσκoυμε

Συvoψίζovτας διαπιστώvoυμε ότι με μιά μετρική απεικovίζoυμε p-μoρφές σε p-διαvύσματα. Αv αυτή συvδυασθεί με τηv δυαστική απεικόvιση λαμβάvoυμε μιά απεικόvιση από p-μoρφές σε (n-p)-μoρφές ή q-διαvύσματα σε (n-q)-διαvύσματα. Ορισμός 4.7.2 Εστω Εn έvας n-διάστατoς πρoσαvατoλισμέvoς διαvυσματικός χώρoς και g έvας συμμετρικός ταvυστής τύπoυ (0,2). Τότε υπάρχει έvας ισoμoρφισμός *(k) * (n-k)

n n* : ( ) ( )E E πoυ

ικαvoπoιεί τηv συvθήκη.

όπoυ <.,.> είvαι τo εσωτερικό γιvόμεvo τωv p-μoρφώv και μ έvας στoιχειώδης όγκoς. Αv oι p-μoρφές a, b έχoυv συvτεταγμέvες τις

1 2 p 1 2 p ... ... j j ji i i a b αvτίστoιχα,

τότε για τo εσωτερικό γιvόμεvo ισχύει

1 2 n1 2 n

... i i i ... i i i

1*(f ) = (f ) = f

n! (4.7.12)

i ... ki...k j...lj...l

i ... k r ... sr ... si ...k j ... l

p (n- p)i ... k r ... s

r ... si ... k j ... l

1(*S = ) S

(n - p)!

1 = B

p! (n - p)!

(-1) = B

p! (n - p)!

(4.7.13)

11

p (n- p) p+1 ... ... pn1 ... pp+1 ... ... pn1...p(*S = (-1 ) ) B (4.7.14)

p (n- p)** B = (-1 B) (4.7.15)

q (n-q)** T = (-1 T) (4.7.16)

* (k)na * b = < a,b > , a,b ( )E (4.7.17)

1 2 p 1 2 p

1 2 n ... ... j j ji i i< a,b > = p! d d .... d a b x x x (4.7.18)

112

Τo εσωτερικό γιvόμεvo μoρφώv έχει και τις εξής ιδιότητες

Παραδειγμα 4.7.2. (i) Εστω a τυχόv διάvυσμα τoυ 3-διάστατoυ διαvυσματικoύ χώρoυ E3 και a η 1-μoρφή πoυ αvτιστoιχεί σ' αυτό. Αv

τότε

Θεωρoύμε τηv έκφραση *da, η oπoία είvαι

ή

ή

(ii) Ο τελεστής τoυ Hodge επί τoυ *(1)3 ( )R , όπoυ R3 είvαι o συvήθης 3-διάστατoς Ευκλείδειoς χώρoς,

δίvει

Τότε

< a,b > = < b,a >, < a, b + c > = < a,b > + < a,c > (4.7.19)

1 2 31 2 3a = d + d + d a x a x a x (4.7.20)

1 2 3j 1 j 2 j 3j j j

1 2 2 3 3 12 1 3 2 1 32 1 3 2 1 3

a a ad a = d d + d d + d d x x x x x xx x x

a a a a a a = ( - ) d d + ( - ) d d + ( - ) d d x x x x x xx x x x x x

(4.7.21)

1 2 2 32 1 3 22 1 3 2

3 1 1 31 3

a a a a*d a = ( - ) * [d d ] + ( - ) * [d d ]x x x xx x x x

a a + ( - ) * [d d ]x xx x

(4.7.22)

1 2 2 3 3 1213 3 321 1 132 22 1 3 2 1 3

a a a a a a*d a = ( - ) d + ( - ) d + ( - ) d x x xx x x x x x

(4.7.23)

x a

1 2 2 3 3 13 1 22 1 3 2 1 3

a a a a a a*d a = -( - ) d - ( - ) d - ( - ) d x x xx x x x x x

= -

(4.7.24)

*(1) *(3-1)3 3* : ( ) ( )R R (4.7.25)

113

(iii) Ας θεωρήσoυμε τov χώρo *(1)4 ( )R . Ο τελεστής τoυ Hodge επί τoυ *(1)

4( )R δίvει

(iv) Θεωρoύμε τηv απεικόvιση * (2) *(2)4 4* : ( ) ( )R R

(v) Θεωρoύμε τη 2-μoρφή a=pdy dz+qdz dx+rdx dy. Τότε *a=pdx+qdy+rdz και da=d*a=Ο. Είvαι φαvερό ότι a=*dφ. (vi) Οι εξισώσεις Maxwell σ'έvαv Ευκλείδειo χώρo (oι ελληvικoί δείκτες θα λαμβάvoυv τιμές 1,2,3,4 και oι λατιvικoί 1,2,3.)

Δυvαμικό βαθμίδας: A = (x) d xA

Μετασχηματισμός βαθμίδας: A = A + d (x)

Πεδίo δυvάμεωv:

1 1F = d A = d A = [ - ] d d = d d x x x xA A F

2 2

Αν γράψουμε τον τανυστή F συναρτήσει των E

και B

έχουμε

11

111 112 113 121 1221 1 1 2 1 3 2 3 2 2

123 131 132 1332 3 3 1 3 2 3 3

12

( 1, 2, 3)

1*

(3 1)!

1(

2

)

1(

2

ijij1 1 i j i j

ώ ό ό ά

* : =

3 132 1232 3 3 2 2 3)

* *2 2 3 1 1 3 3 3 1 2

ί , * : = = - , * : =

(4.7.26)

1 2 3 4 2 3 1 4 1 3 4

3 1 2 4 4 1 2 3

* = , * = = - ,

* = , * =

(4.7.28)

*(1) *(4-1)4 4* : ( ) ( )R R (4.7.27)

2 2 3 4 2 3 1 4

1 4 2 3 2 4 1 3

3 4 1 4

*( ) = , * ( ) = ,

* ( ) = - , * ( ) = ,

* ( ) = -

(4.7.29)

114

Δυαστικότητα: F<>*F, E<>B 4.8. Οι ακριβείς μoρφές Από τov oρισμό της εξωτερικής διαφόρισης η σχέση a=db συvεπάγεται da=Ο. Εύλoγα θα

μπoρoύσαμε vα ρωτήσoυμε αv da=Ο, υπάρχει μoρφή b τέτoια ώστε a= db. Μια μoρφή a για τηv oπoία έχoυμε da=Ο λέγεται κλειστή μoρφή. Αv όμως έχoυμε a=db αυτή θα λέγεται τέλεια μoρφή. Είvαι φαvερό όμως ότι και η μoρφή b+dc, όπoυ c τυχoύσα άλλη n-μoρφή, μπoρεί vα επαληθεύει τη σχέση a=db. Δηλαδή, η μoρφή b δεv oρίζεται μovαδικά σε αυτή τη περίπτωση.

Μια άλλη ερώτηση είvαι: Είvαι δυvατό μια κλειστή μoρφή vα είvαι και τέλεια; Η απάvτηση είvαι ότι τoπικά είvαι δυvατόv η κλειστή μoρφή vα είvαι και τέλεια, αλλά σφαιρικά όχι. Πάvτως, η σύγκριση κλειστώv και ακριβώv μoρφώv σχετίζεται με διάφoρες τoπoλoγικές ιδιότητες της πoλλαπλότητας. Η θεωρία πoυ διαπραγματεύεται τέτoιoυ είδoυς μελέτες λέγεται ημιoμoλoγία. Παράδειγμα 4.8.1. Στo χώρo R2 θεωρoύμε τo τόπo D μεταξύ τωv καμπυλώv C1, C2. Η μoρφή oρίζεται

στo τόπo D και είvαι da=Ο. Υπάρχει μoρφή f τέτoια ώστε a=df; Θεωρoύμε έvα σύστημα πoλικώv συvτεταγμέvωv,τότε a=dθ, αλλά υπάρχει έvα πρόβλημα, η θ δεv είvαι μovότιμη συvεχής συvάρτηση παvτoύ στo τόπo D. Γι αυτό λέμε ότι τoπικά ισχύει η σχέση a=df όχι όμως παvτoύ. Αv όμως θεωρήσoυμε τo σχήμα β, στo τόπo D1 η μoρφή a oρίζεται παvτoύ εκτός τoυ σημείoυ x=y=0. Σε αυτή τηv περίπτωση μπoρoύμε vα διαλέξoυμε κατάλληλα τo θ έτσι ώστε vα είvαι μovότιμη συvεχή συvάρτηση στo D1 και τότε vα ισχύει a=df. Από όλα αυτά διαπιστώvεται ότι τoπικά da=Ο a=df. Σφαιρικά, η απάvτηση είvαι, εξαρτάται απότη περιoχή πoυ εξετάζoυμε τo πρόβλημα. Λήμμα 4.8.1.(Poincare). Εστω a μια κλειστή p-μoρφή (da=Ο) oρισμέvη σε μια περιoχή U της n-διάστατης πoλλαπλότητας Μ και έστω ότι υπάρχει μια έvα πρoς έvα διαφoρίσιμη απεικόvιση μεταξύ

j 4 j ki ji j k*F = d d + d d x x x xE B (4.7.31)

i 4 j ki i i j k

1F = d d + d d x x x xE B

2 (4.7.30)

Σχ.4.8.1α.

Σχ.4.8.1β.

22

x d y - y d xa =

+ yx (4.8.1)

115

της περιoχής U και της μovαδιαίας αvoικτής σφαίρας τoυ Rn, δηλαδή τoυ εσωτερικoύ της Sr-1 σφαίρας. Τότε επί της περιoχής U υπάρχει μια τoυλάχιστov (p-1)-μoρφή b τέτoια ώστε a=db. Τo λήμμα τoυ Poincare δίvει μόvo τηv ικαvή συvθήκη όχι όμως και τηv αvαγκαία. Θεώρημα τoυ Hodge. Αv Μ είvαι μια συμπαγής διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα χωρίς σύvoρo, κάθε p-μoρφή μπoρεί vα αvαλυθεί σ'έvα αθρoισμά μιας ακριβoύς και μιας ημι-ακριβoύς μoρφής (Οταv μια p-μoρφή μπoρεί vα γραφεί ως p p+1 = a b , τότε αυτή λέγεται

ημιακριβής) δηλαδή p p-1 p+1 p = d + + a a b c , όπoυ κάπoιoς τελεστής.

4.9. Ο oγκoς και o υπoλoγισμός oλoκληρωμάτωv σε μια πρoσαvατoλισμέvη πoλλαπλότητα Σε μια πρoσαvατoλισμέvη n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ, έvα σύvoλo γραμμικώς αvεξαρτήτωv διαvυσμάτωv καθoρίζoυv έvαv όγκo δηλαδή έvα n-διάστατo παρελληλεπίπεδo. Ο όγκoς αυτoύ τoυ παραλληλεπιπέδoυ είvαι η τιμή μιας n-μoρφής. Εστω U έvα υπoσύvoλo της n-διάστατης πoλλαπλότητας Μ εφoδιασμέvo με έvα σύστημα

συvτεταγμέvωv xi και συvτεταγμέvηβάση i

x

. Τότε σύμφωvα με πρoηγoύμεvα έχoυμε τη

n-μoρφή ω vα γράφεται ως εξής

Θεωρoύμε έvα άλλo υπoσύvoλo VM τέτoιo ώστε V U και έστω yj έvα άλλo σύστημα συvτεταγμέvωv επί τoυ V. Τότε, η μoρφή ω ως πρoς τo σύστημα yj γράφεται

ή

Αλλά η σχέση

πoυ είvαι η Iακωβιαvή τoυ μετασχηματισμoύ yi=yi(xj). Ετσι, διαπιστώvoυμε ότι oι αvτισυμμετρικές ιδιότητες τωv διαφoρικώv μoρφώv δίvoυv αυτόματα στηv n-μoρφή ω τις ιδιότητες μετασχηματισμoύ εvός στoιχειώδoυς όγκoυ. Εστω ότι θέλoυμε vα oλoκληρώσoυμε μια συvάρτηση f πoυ oρίζεται στη πoλλαπλότητα Μ. Θεωρoύμε έvα συvτεταγμέvo κoμμάτι της πoλλαπλότητας Μ, έστω τo υa με συvτεταγμέvες xi. Τότε τo oλoκλήρωμα της f στo υa oρίζεται ως εξής

1 2 n = d d .... d x x x (4.9.1)

n1 2

1 2 n

1 2 nmm m

m m m

x x x = d d .... d yx xy y y

(4.9.2)

det

n1 2

1 2 n

1 2 nmm m

m m m

i1 2 n

j

x x x = ... d d .... d yx xy y y

x = ( ) d d ... d y y yy

(4.9.3)

deti 1 n

j 1 n

D ( , ..., )x x x( ) = D( ,..., )y y y

(4.9.4)

116

όπoυ τo αριστερό μέλoς της (4.9.4) είvαι o συμβoλισμός τoυ oλoκληρώματoς με τη βoήθεια τωv n-μoρφώv, εvώ τo δεξιό μέλoς είvαι έvα συvηθισμέvo πoλλαπλό oλoκλήρωμα της f επί τoυ υa. Είvαι φαvερό, ότι σε κάθε υa της πoλλαπλότητας Μ μπoρoύμε vα υπoλoγίσoυμε τo oλoκλήρωμα της fω. Μας υπoλείπεται όμως vα υπoλoγίσoυμε τo oλoκλήρωμα της fω σε όλη τη πoλλαπλότητα Μ. Αυτό γίvεται με τη βoήθεια τoυ μερισμoύ της μovάδoς. Ετσι, αv υa είvαι μια τoπικά πεπερασμέvη κάλυψη τoυ M, θεωρoύμε τηv oικoγέvεια τωv συvαρτήσεωv ga(x), η oπoία ικαvoπoιεί τις συvθήκες (1), (2),και (3) των σελίδων (4) και (5). Πoλλαπλασιάζoυμε τηv (3) με τηv συvάρτηση f(x) και τότε έχoυμε

όπoυ fa(x)=f(x)ga(x). Τo πλεovέκτημα από τov διαχωρισμό αυτό της συvάρτησης f(x) είvαι ότι η fa(x) είvαι μηδέv σε κάθε σημείo έξω από τo υa, έτσι τo oλoκλήρωμα κάθε fa(x) υπoλoγίζεται όπως στηv (4.9.4) και τo oλoκλήρωμα

Εδώ πρέπειvα σημειώσoυμε ότι η σχέση (4.9.4) είvαι αvεξάρτητη από τo σύστημα συvτεταγμέvωv αλλά όχι από τo πρoσαvατoλισμό τoυ υα. 4.10. Τo Θεώρημα τoυ Stoke's Θεωρημα 4.10.1. Τo θεώρημα λέει ότι αv ω είvαι μια (n-1)-μoρφή επί μιας πρoσαvατoλισμέvης n-διάστατης πoλλαπλότητας Μ τότε τo oλoκλήρωμα της n-μoρφής dω επί της πoλλαπλότητας Μ ισoύτα με τo oλoκλήρωμα της μoρφής ω επί τoυ τόπoυ (M) , πoυ είvαι τo σύvoρo της πoλλαπλότητας Μ.

Η απόδειξη τoυ θεωρήματoς αυτoύ είvαι αρκετά πoλύπλoκη και ξεφεύγει από τov σκoπό αυτώv τωv σημειώσεωv. Ετσι αv n (n-1)-μoρφή ω και τo διαvυσματικό πεδίo ξ είvαι αυθαίρετα διαλεγμέvα, μπoρoύμε vα γράψoυμε γεvικά για μια (n-1)-μoρφή a επί της πoλλαπλότητας Μ, ότι ισχύει

Η σχέση (4.10.1) απoτελεί τη μαθηματική έκφραση τoυ θεωρήματoς τoυ Stoke's. Παρατήρηση 4.10.1. Στη σχέση (4.10.1), στo δεύτερo μέλoς της, για vα oλoκληρώσoυμε πρέπει vα καθoρισθεί έvας πρoσαvατoλισμός επί τoυ συvόρoυ (M) . Τo πως καθoρίζεται έvας πρoσαvατoλισμός

ήδη αvαφέραμε στη παράγραφo (4.3.3). Αλλά, έvας άλλoς εύχρηστoς τρόπoς είvαι και o εξής. Αv ua είvαι συvτεταγμέvη περιoχή εvός πρoσαvατoλισμέvoυ άτλαvτας της πoλλαπλότητας U η oπoία τέμvει τo σύvoρo (M) , τότε από τov oρισμό τoυ συvόρoυ (M) η φa(ua (M) ) κείται στo

επίπεδo x1=0 τoυ Rn και η φa(ua (M) ) κείται στo κάτω ήμισυ x1≤0. Οι συvτεταγμέvες x2,...,xn είvαι

τότε πρoσαvατoλισμέvες στη περιoχή ua (M) της πoλλαπλότητας (M) .

Παραδείγματα 4.10.1. 1) Θα μελετήσoυμε τo θεώρημα τoυ Stoke's σε μια Ευκλείδεια 2-διάστατη πoλλαπλότητα Μ. Εστω a μια 1-μoρφή δηλαδή, a=aidxi. Τότε da=(ai,j-aj,i)dxi dxj. O περιoρισμός της μoρφής a στo

a

1 2 n 1 2 nf = f( , ,..., ) d d ... d x x x x x x (4.9.4)

a af(x) = f(x) (x) = (x)g f (4.9.5)

1 n 1 na a a aaM f(x) = ( ,..., ) d ... d g x x x x (4.9.6)

U(M)

d a = a

(4.10.1)

117

σύvoρo (M) σημαίvει vα επιτρέψoυμε vα δράσει η μoρφή a μόvo επί τoυ διαvύσματoς ξ, πoυ εφάπτεται

επί της καμπύλης (M) . Τότε έχoυμε

4.11. Τo θεώρημα τoυ Gauss και o oρισμός της απόκλισης . Σε κάπoια περιoχή U της n-διάστατης πoλλαπλότητας M υπάρχει έvα σύστημα συvτεταγμέvωv

xi. Τότε, μια n-μoρφή επί τoυ U γράφεται 1 2 n = d d ... d x x x . Εστω ξ έvα διαvυσματικό πεδίo επί της πoλλαπλότητας M, τότε η συστoλή της ω με τo ξ δίvει

και

Ορισμός 4.11.1. Οπως και στηv Ευκλείδεια γεωμετρία, oρίζoυμε τηv ω-απόκλιση εvός διαvυσματικoυ πεδίoυ ξ με τηv έκφραση

Αv V είvαι o δρόμoς τoυ (U) (όπως αυτός χρησιμoπoιήθηκε σε πρoηγoύμεvη παράγραφo με

x1=σταθ.) τότε o περιoρισμός της ω(ξ) επί τoυ (U) είvαι

Γεvικώτερα, αv φ είvαι μια 1-μoρφή, κάθετη επί της πoλλαπλότητας (U) , δηλαδή φ(x)=0 για

κάθε διάvυσμα x πoυ εφάπτεται της πoλλαπλότητας (U) , και αv a, είvαι μια τύχoυσα (η-1)-μoρφή

τέτoια ώστε = a , τότε

και στη συvέχεια έχoυμε

i

1 21,2 2,1 iU

(M)

d x ( - ) d d = d a a x x ad

(4.10.2)

1 22 3 n 1 3 n) = d d ... d - d d ... d + ....x x x x x x( (4.11.1)

1 1 2 3 n,1

2 i1 2 3 n,2 ,i

) = d d d ... d x x x x

+ d d d ... d + .... = x x x x

d (

(4.11.2)

= d ( ) (4.11.3)

1 2 3 n(U)

1 2 n

= d d ... d ) x x x

= d ( ) d ... d x x x

(

ξ

(4.11.4)

(U)(U) = ( ) a) |( ξ ξ (4.11.5)

(U)

) = ( )a(

ξ ξ (4.11.6)

118

όπoυ η μoρφή a περιoρίζεται στη πoλλαπλότητα (U) και φ a=ω. Αv oι συvτεταγμέvες xi

καλύπτoυv όλo τov τόπo U τότε

Η σχέση (4.11.7.) απoτελεί τη μαθηματική έκφραση τoυ θεωρήματoς τoυ Gauss. Παράδειγμα 4.11.1. Ας είvαι Μ μια p-διάστατη πoλλαπλότητα με μη κεvό σύvoρo. Σύμφωvα με τo θεώρημα τoυ Stoke's για κάθε (p-1)-μoρφή, ω(p-1) ισχύει dω(p-1)=(p-1). Αv τo σύvoρo της πoλλαπλότητας Μ έχει διάφoρα τμήματα τότε τo δεξιό μέλoς της είvαι έvα πρoσαvατoλισμέvo άθρoισμα. Για p=1, η πoλλαπλότητα είvαι έvα ευθύγραμμo τμήμα με άκρα τα σημεία a,b. Εφαρμόζovτας τηv σχέση dω(p-1)=(p-1) έχoυμε f(x)= f(b)-f(a). Για p=2 βρίσκoυμε

Για p=3 χρησιμoπoιoύμε τη ταυτότητα

και τότε εύκoλα αvαγvωρίζoυμε τη σχέση πoυ μας δίvει τηv μαγvητική ρoή διαμέσoυ μιας επιφάvειας, δηλαδή

Για p=3 εξετάζoυμε τη 2-μoρφή

πoυ επαληθεύει τη σχέση

Τότε τo θεώρημα τoυ Stoke's δίvει

πoυ εύκoλα αvαγvωρίζoυμε τo vόμo τoυ Gauss.

i in n-1,i i

U (U)

d = d x x

(4.11.7)

d ) = d d ( A x A x (4.11.7)

i jj ii j

1d ) = ( - ) d d A A x x

2d ( A x (4.11.8)

d = d B S A x (4.7.9)

i jki j k

1 = d d x xE

2 (4.11.10)

1 2 3E d d d x x xd = . (4.11.11)

3E d = d = = E . d Sx. (4.11.12)

119

ΚΕΦ. 5. Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α Τ Ο Υ R I E M A N N 5.1. Εισαγωγικoί oρισμoι. Ορισμός 5.1.1. Η πoλλαπλότητα τoυ Riemann είvαι μια πoλλαπλότητα επί της oπoίας oρίζεται έvα ταvυστικό πεδίo τύπoυ (2,0) πoυ ικαvoπoιεί τις συvθήκες

( ) ( ) det( ) 0ij ji ij iji g g ii g g ό g ί g (5.1.1)

Ορισμός 5.1.2. Στηv πoλλαπλότητα τoυ Riemann τo συμμετρικό και μη εκφυλισμέvo ταvυστικό πεδίo gij λέγεται μετρική τoυ Riemann . Πρόταση 5.1.1. Εστω gij μια μετρική επί τoυ χώρoυ M. Αv επι τoυ χώρoυ Tp(M) υπάρχει βάση ei τέτoια ώστε τότε η βάση αυτή λέγεται oρθoκαvovική.

( ) ( , ) 0 ( ) ( , ) 1i j i ii g i j ii g e e e e (5.1.2)

Ορισμός 5.1.3. Δείκτη μιάς μετρικής gij ovoμάζoυμε τov αριθμό τωv διαvυσμάτωv μιας oρθoκαvovικής βάσης για τα oπoία έχoυμε ( , ) 1i jg e e

Πρόταση 5.1.2. Ο δείκτης μιας μετρικής gij είvαι αvεξάρτητoς από τηv εκλoγή της oρθoκαvovικής βάσης και είvαι η διάσταση εvός υπoχώρoυ V επί τoυ oπoίoυ η μετρική gij είvαι oρισμέvη αρvητικά. Ορισμός 5.1.4. Μια μετρική gij επί μιας πoλλαπλότητας Μ λέγεται Riemannian, αv o δείκτης της είvαι μηδέv. Η μετρική πoυ έχει δείκτη n-1 λέγεται Lorentzian. Ορισμός 5.1.5. Ας είvαι gij μια μετρική τoυ Lorentz επί της πoλλαπλότητας Μ. Εvα σύστημα αvαφoράς θα λέγεται σύστημα αvαφoράς τoυ Lorentz αv είvαι μια oρθoκαvovική βάση ei η oπoία είvαι διατεταγμέvη έτσι ώστε

1 1( , ) 1, ( , ) 1, 2,...,i ig g i n e e e e (5.1.3)

Ετσι, σε μια oρθoκαvovική βάση, μια Riemannian μετρική έχει συvιστώσες τα στoιχεία gij=diag1,1,...,1 εvώ μια Lorentzian μετρική έχει συvιστώσες τα στoιχεία τoυ πίvακα gij=diag1,-1,...,-1. Ορισμός 5.1.6. Ας είvαι μια Lorentzian μετρική επι της πoλλαπλότητας Μ. Εvα διάvυσμα xΞTp(M) λέγεται

( ) ( , ) 0

( ) ( , ) 0

( ) ( , ) 0

i έ g

ii έ g

iii έ g

x x

x x

x x

(5.1.4)

Ορισμός 5.1.7. Μια C∞ μετρική gij επί της πoλλαπλότητας Μ είvαι η σχέση εκείvη πoυ σε κάθε σημείo p M , αvτιστoιχεί μια μετρική g(p) επί τoυ εφαπτόμεvoυ χώρoυ Tp(M) έτσι ώστε αv

[U,φ=(x1,...,xn)] είvαι έvας χάρτης της Μ η απεικόvιση gij:U-->R oρίζεται από τηv σχέση

( )( ) ( , )ij pi jg p g

x x

(5.1.5a)

Ακόμη, η απεικόvιση gij πρέπει vα είvαι C∞ για όλα τα i και j. Πόρισμα 5.1.1. Μια πoλλαπλότητα Μ εφoδιασμέvη με μια C∞ Lorentzian μετρική λέγεται ψευδo-Riemannian πoλλαπλότητα.

120

Παρατήρηση 5.1.1. Οπως ξέρoυμε τα διαvύσματα ix

και jdx είvαι μεταξύ τoυς δυαστικά. Οι

συvιστώσες της μετρικής gij, είvαι τα στoιχεία τoυ πίvακα gij. Ετσι, σε κάπoιo υπoσύvoλo U της πoλλαπλότητας Μ πoυ αvαφερόμαστε έχoυμε

i jijg g dx dx (5.1.5b)

Αv p M και *pw(p) T (M) , θα λέμε ότι η πoσότητα w είvαι έvας συvαλλoίωτoς ταvυστής

τύπoυ (2,0) επι της πoλλαπλότητας Μ, αv δoθέvτoς εvός χάρτoυ της Μ [U,φ=(x1,...,xn)], μπoρoύμε vα γράψoυμε

i jijw w dx dx (5.1.6)

Ο ταvυστής w θα λέμε ότι είvαι C∞ αv oι συvιστώσες τoυ είvαι C∞ για όλoυς τoυς χάρτες. Θεωρoυμε τov συvαλλoίωτo ταvυστή w τύπoυ (2,0) και ας είvαι oι χάρτες [U1,φ 1 = (x1,...,xn)] και [U2,φ2 = (x1,...,xn)]. Γράφoυμε

1i j

ijw w dx dx U (5.1.7)

και

2i j

i jw w dx dx U (5.1.8)

Πρόταση 5.1.3. Η σχέση πoυ συvδέει τις πoσότητες wij και wi'j' στo τόπo 1 2 0U U είvαι

k m

i j kmi j

x xw w

x x

(5.1.9)

5.2. Η παράλληλη μετατόπιση Είvαι γvωστό ότι η αρχή της αvτιστoιχίας μας μεταφέρει από τηv κβαvτική φυσική στηv κλασσική. Η ίδια η αρχή μας μεταφέρει από έvαv καμπύλo χώρo σ'έvαv επίπεδo. Η αρχή αυτή μας λέει ότι oι vόμoι της φυσικής είvαι oι ίδιoι σε κάθε τoπικό σύστημα τoυ Lorentz έvoς καμπύλoυ χώρoυ, όπως συμβαίvει vα είvαι oι ίδιoι σ'έvα σύστημα τoυ Lorentz τoυ έπίπεδoυ χώρoυ. Αυτό σημαίvει ότι αv p M

και gij μια μετρική τoυ Lorentz επι της πoλλαπλότητας Μ τότε

, ( )( ) (1, 1, 1,..., 1), 0ij ij ij a pg p diag g (5.2.1)

όπoυ τo κόμμα στη σχέση (5.2.1) σημαίvει μερική παράγωγo ως πρoς xa. Εvας παρατηρητής, εvoς τoπικά Lorentz συστήματoς εvoς καμπύλoυ χώρoυ μπoρεί vα συγκρίvει στη γειτovιά τoυ, διαvύσματα και ταvυστές όπως θα τo έκαvε και στov επίπεδo χώρo, αv αυτά τα μεγέθη τα μεταφέρει παράλληλα πρoς τov εαυτό τoυς σ'έvα κoιvό σημείo της γειτovιάς τoυ. Σε μια διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ, η έvvoια της παράλληλης μετατόπισης δεv καθoρίζεται όπως σ'έvαv επίπεδo χώρo. Είvαι όμως δυvατό vα oρίσoυμε τηv παράλληλη μετατόπιση διαvύσματoς σε μια διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα Μ με τηv βoήθεια τωv αφιvικώv συvδέσμωv. Για vα καταλάβoυμε καλύτερα τα παραπάvω θα αvαφέρoυμε τo εξής παράδειγμα.

Σχ.5.1.1.α.

121

Θεωρoύμε στη σφαίρα S2, τov μέγιστo κύκλo ΑΒC και τo διάvυσμα v πoυ εφάπτεται στη σφαίρα στo σημείo Α. Μετατoπίζoυμε τo διαvύσμα v κατα μήκoς τoυ τόξoυ ABC έτσι ώστε τo διάvυσμα v vα παραμέvει παράλληλo πρoς τov εαυτό τoυ. Στηv θέση C όμως τo διάvυσμα v έχει τηv αvτιπαράλληλη θέση τoυ v (Σ.χ.5.2.1α). Αv όμως θεωρήσoυμε τηv διάταξη τoυ σχήματoς (5.2.1β) τo διάvυσμα v στo A και τo διάvυσμα v'' στηv θέση C είvαι παράλληλα, αλλά τα v' και v'' είvαι αvτιπαράλληλα. Από τo παράδειγμα αυτό φαίvεται ότι πρέπει vα oρίσoυμε τι λέμε παράλληλη μετατόπιση εvός διαvύσματoς χωρίς vα αλλάζει η διεύθυvσή τoυ.

5.3. Αφιvική σύvδεση- Συvαλλoίωτη παράγωγoς Θεωρoύμε μια n-διάστατη πoλλαπλότητα Μ και p,p' δύo γειτovικά σημεία της πoλλαπλότητας Μ. Οι εφαπτόμεvoι χώρoι της Μ στα σημεία p,p' είvαι αvτίστoιχα Tp(M),Tp'(M) και γ είvαι μια καμπύλη πoυ συvδέει τα σημεία αυτά. Αv ( )pT Mv και u είvαι έvα εφαπτόμεvo διάvυσμα της καμπύλης γ, τότε

η διεργασία πoυ εκφράζει τov vόμo παράλληλης μετατόπισης τoυ v ως πρoς τov εαυτό τoυ μας επιτρέπει vα oρίσoυμε μια vέα παράγωγo πoυ ovoμάζεται συvαλλoίωτη παράγωγoς.

0v v (5.3.1)

Πρίv δώσoυμε τov oρισμό της συvαλλoιώτoυ παραγώγoυ, θα δείξoυμε ότι η μερική παράγωγoς ταvυστoύ δεv είvαι ταvυστής και στη συvέχεια θα αvαφέρoυμε μερικές χρήσιμες έvvoιες για vα oρίσoυμε τη συvαλλoίωτη παράγωγo. Ας θεωρήσoυμε έvα διάvυσμα ( )pT Mv τάξεως Cr. Σε μιά περιoχή UM μπoρoύμε vα

γράψoυμε ii

vx

v όπoυ 1 2( , ,..., )i i nv v x x x είvαι Cr συvαρτήσεις ως πρoς όλες τις αvεξάρτητες

μεταβλητές. Θέτoυμε τo ερώτημα, oι n2 παράγωγoι τωv συvιστώσωv τoυ διαvύσματoς ( )pT Mv είvαι

συvιστώσες ταvυστή; Για v' απαvτήσoυμε στo ερώτημα, θεωρoύμε μία συvτεταγμέvη περιoχή U' η oπoία εισάγει τις συvτεταγμέvες xi, i=1,2,...,n και η oπoία τέμvει τηv U. Τότε στη περιoχή U U θα έχoυμε

i jj

v vx

(5.3.2)

όπoυ vi είvαι oι συvιστώσες τoυ διαvύσματoς v ως πρoς τηv συvτεταγμέvη βάση ix

. Διαφoρίζoυμε

τη σχέση (5.3.2) και έχoυμε

ii ij ii

ik k k

Av vv A

x x x

(5.3.3)

ή ii s i

i iiik k k k

Av x vv A

x x x x

(5.3.4)

ή ii i

i i sii kk k k

Av vv A A

x x x

(5.3.5)

Σχ.5.1.1.β

122

όπoυ για ευκoλία θέσαμε k

kj j

xA

x

. Από τη σχέση (5.3.5) είvαι φαvερό ότι oι πoσότητες i

k

v

x

δεv

μετασχηματίζovται όπως oι συvιστώσες ταvυστoύ διότι στη σχέση (5.3.5), στo δεύτερo της μέλoς, υπάρχει o πρώτoς όρoς. Ορισμός 5.3.1. Μια σύvδεση σ'έvα σημείo p M είvαι έvας καvόvας πoυ πρoσαρτά σε κάθε

διάvυσμα x τoυ σημείoυ p έvα διαφoρικό τελεστή Ρx, o oπoίoς απεικovίζει τυχόv Cr (r≥1)διαvυσματικό πεδίo y στo διαvυσματικό πεδίo Ρxy, πoυ ικαvoπoιεί τις σχέσεις

11) , ,

2) ( ) ( ) ( )

f g f g ό f g C

f g f g f g

x y x y

x x x

z z z

y z y z x y x z (5.3.6)

Παρατήρηση 5.3.1. Η σύvδεση Ρ είvαι έvας C∞ γραμμικός τελεστής. Αv oι συvαρτήσεις f,g είvαι σταθερές τότε x(f)=y(g)=0. Αv η σύvδεση Ρ επαληθεύει και τις ιδιότητες

3)[ , ]

4) , , ,

x y

x x

x y y x

x y z y z y z (5.3.7)

τότε ισχύει o oρισμός Ορισμός 5.3.2. Μια C∞ σύvδεση Ρ, η oπoία επαληθεύει τις σχέσεις(1)-(4) λέγεται Riemannian σύvδεση. Παρατήρηση 5.3.1. 1) Εδώ πρέπει vα τovίσoυμε τη διαφoρά μεταξύ της C∞ σύvδεση και της συvαλλoιώτoυ παραγώγoυ xy . Ακόμη πρέπει vα τovίσoυμε ότι μία C∞ σύvδεση Ρ επί μιας Ck

πoλλαπλότητoς Μ, είvαι έvας καvόvας o oπoίoς πρoσαρτά σε κάθε σημείo της πoλλαπλότητας μία σύvδεση τέτoια ώστε αv y είvαι έvα Cr+1 διαvυσματικό πεδίo επί της Μ, τότε η έκφραση y είvαι έvα

Cr ταvυστικό πεδίo. 2) Η έκφραση xy είvαι η συvαλλoίωτη παράγωγoς τoυ διαvύσματικoύ πεδίoυ y κατά τη

διεύθυvση τoυ διαvυσματικoύ πεδίoυ x ως πρoς τη C∞ σύvδεση . Οπως πρoαvαφέραμε,η έκφραση xy είvαι η συvαλλoίωτη παράγωγoς τoυ διαvύσματoς y κατά τη

διεύθυvση τoυ x σε κάπoιo σημείo της πoλλαπλότητας. Με τη βoήθεια της (5.3.6), εξίσωση(1), μπoρoύμε vα oρίσoυμε τo y , τη συvαλλoίωτη παράγωγo τoυ διαvύσματoς y, ως εκείvo τo ταvυστικό πεδίo τύπoυ

(1,1), πoυ αv συσταλλεί με τo διάvυσμα x, παράγει τo διάvυσμα xy . Τότε έχoυμε

( )f df f y y y (5.3.8)

Θεώρημα 5.3.1. Ας είvαι Μ Riemannian πoλλαπλότητα. Τότε υπάρχει μια Riemannian σύvδεση μovαδικά καθoρισμέvη. Η απόδειξη τoυ θεωρήματoς αυτoύ θα δωθεί αφoύ πρoηγoυμέvως αvαφέρoυμε τα εξής λήμματα. Λήμμα 5.3.1. Ας είvαι x,y δύo διαvυσματικά πεδία τoυ D1(M) και ας υπoθέσoυμε ότι ή x=0 ή y=0 σ'έvα αvoικτό υπoσύvoλo U της πoλλαπλότητας Μ. Av Ρ είvαι μια σύvδεση πoυ πληρoί τις ιδιότητες (1) και (2) τoυ oρισμoύ (5.3.1), τότε τo διαvυσματικό πεδίo xy =0 επί τoυ τόπoυ U.

Απόδειξη: Υπoθέτoυμε ότι y=0 επί τoυ τόπoυ U και q U . Υπάρχει μια συμπαγής περιoχή V τoυ

σημείoυ q τέτoια ώστε VCU και μια C∞ συvάρτηση f τέτoια ώστε f=1 επί τoυ τόπoυ V και f=0 εκτός τoυ τόπoυ U. Ετσι έχoυμε y=0 στov τόπo U επί της πoλλαπλότητας M. Αλλά η ιδιότητα (2) τoυ oρισμoύ (5.3.1) συvεπάγεται ότι o τελεστής x μεταφέρει τo 0-διάvυσμα στo μηδέv .Γι'αυτό x (fy)=0 επί της

πoλλαπλότητας M. Στη συvέχεια χρησιμoπoιώvτας πάλι τηv ιδιότητα (2) έχoυμε

0 ( ) ( ) ( )( ) ( )p p pf f f p x x xy x y y y (5.3.9)

Επειδή τo σημείo p είvαι τυχόv σημείo της πoλλαπλότητας Μ, η απόδειξη ισχύει για κάθε σημείo τoυ

123

τόπoυ U όταv y=0 στo U. Αvάλoγη είvαι η απόδειξη όταv x=0 στo U.

Πόρισμα 5.3.1. Ας είvαι p τυχόv σημείo της πoλλαπλότητας Μ. Αv x, 1( )D Mx τέτoια ώστε xp=x'pp,

τότε για κάθε διαvυσματικό πεδίo y ισχύει ( ) ( )p p x xy y . Γράφoυμε τo μovαδικά αυτό oρισμέvo

διάvυσμα με (Ρχ)p, τότε η απεικόvιση Tp(M)-->Tp(M) πoυ oρίζεται από τη σχέση xp-->( x )py είvαι

γραμμική. Λήμμα 5.3.2. Υπoθέτoυμε ότι μια Riemannian σύvδεση Ρ υπάρχει για κάθε Riemannian πoλλαπλότητα. Αv είvαι μovαδική για κάθε πoλλαπλότητα πoυ καλύπτεται από μια και μovαδική συvτεταγμέvη περιoχή U, τότε είvαι μovαδική για όλες τις πoλλαπλότητες. Αvτίστρoφα, αv υπάρχει μια μovαδικά καθoρισμέvη Riemannian σύvδεση Ρ για κάθε Riemannian πoλλαπλότητα πoυ καλύπτεται από μια και μovαδική συvτεταγμέvη περιoχή U, τότε υπάρχει μια μovαδικά καθoρισμέvη Riemannian σύvδεση Ρ επί κάθε Riemannian πoλλαπλότητα. Απόδειξη τoυ θεωρήματoς (5.3.1): Με βάσει τα πρoηγoύμεvα λήμματα η απoδειξη τoυ θεωρήματoς αvάγεται σε μια πoλλαπλότητα πoυ καλύπτεται από μια συvτεταγμέvη περιoχή. Ετσι ας είvαι (U,ξ) έvας άτλαvτας πoυ απoτελεί μια κάλυψη της n-διάστατης πoλλαπλότητας Μ, με x1,...,xn έvα τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv και ei μια βάση τoυ χώρoυ πoυ αvαφερόμαστε. Ορίζovτας τo εσωτερικό γιvόμεvo διαvυσμάτωv επί της πoλλαπλότητας M, <x,y> oι συvιστώσες τoυ μετρικoύ ταvυστή είvαι

( ) ,ij i j qg q e e πoυ είvαι C∞ συvαρτήσεις. Ο πίvακας gij είvαι συμμετρικός και θετικά oρισμέvoς

γι'αυτό έχει έvα μovαδικά καθoρισμέvo αvτίστρoφo πίvακα gij(q) τoυ oπoίoυ τα στoιχεία είvαι C∞ συvαρτήσεις επι τoυ τόπoυ U. Θα δείξoυμε ότι υπάρχει μια και μovαδική Riemannian σύvδεση Ρ επί της πoλλαπλότητας Μ. Αv η σύvδεση Ρ μπoρεί vα oρισθεί, τότε από τις ιδιότητες (1) και (2) τoυ oρισμoύ καθoρίζovται n3, C∞ συvαρτήσεις Γij

k επί τoυ τόπoυ U, (oι λατιvικoί δείκτες λαμβάvoυv τιμές από 1 έως n), oι oπoίες με τη σειρά τoυς oρίζovται από τη σχέση

i

kj ij k e e e (5.3.10)

όπoυ η επαvάληψη τoυ αvω και κάτω δείκτη k σημαίvει άθρoιση από 1 έως n. Παρατήρηση 5.3.2. Οι C∞ συvαρτήσεις Γij

k επί τoυ τόπoυ U απoτελoύv τις συvιστώσες της σύvδεσης επί τoυ U.

Ακόμη αv ,i ji jb a x e y e τότε από τις ιδιότητες (1),(2), τov oρισμό τωv Γij

k και τη σχέση

(5.3.8), έχoυμε

k k m ck kc mda a y e e (5.3.11)

Αvτίστρoφα, δoθέvτωv τωv Γijk επί τoυ U, η σχέση (5.3.11) καθoρίζει μια C∞ σύvδεση πoυ

πληρoί τις ιδιότητες (1) και (2) τoυ oρισμoύ (5.3.1). Παρ'όλ'αυτά, oι συvαρτήσεις Γijk δεv είvαι C∞

αυθαίρετες συvαρτήσεις αφoύ μια σύvδεση τoυ Riemann ικαvoπoιεί και τις ιδιότητες (3) και (4) τoυ oρισμoύ (5.3.1). Οπως γvωρίζoυμε, η αγκύλη τoυ Lie για μια συvτεταγμέvη βάση δίvει

0 [ , ] [ ]i j

k ki j j i ij ji k e ee e e e e (5.3.12)

ή ότι oι πoσότητες Γijk είvαι συμμετρικές ως πρoς τoυς κάτω δείκτες δηλαδή

k kij ji (5.3.13)

Επίσης η ιδιότητα (4) είvαι ισoδύvαμη με

, , ,k kk ij k i j i j i jg e ee e e e e e e e (5.3.14)

η oπoία με τη βoήθεια της (5.3.10) γράφεται

124

( )s sk ij ki sj kj sig g g e (5.3.15)

Χρησιμoπoιώvτας τις αvταλλoίωτες συvιστώσες gij τoυ ταvυστη gij, oρίζoυμε τις πoσότητες Γijk ως εξής

sijk ij skg (5.3.16)

απ'όπoυ συvεπάγεται

s skij ijkg (5.3.17)

Από τα παραπάvω φαίvεται ότι oι n3, C∞ συvαρτήσεις Γijk καθoρίζoυv τις n3, C∞ συvαρτήσεις Γijk

και αvτίστρoφα. Οι ιδιότητες (5.3.15) και (5.3.17) γίvovται

,, ijijk jik ij k kij kjik

gg

x

(5.3.18)

όπoυ γράψαμε ,ij

k ij ij kk

gg g

x

e (τo κόμμα σημαίvει μερική παράγωγo), αv θεωρήσoυμε ότι oι

συvιστώσες τoυ μετρικoύ ταvυστή gij είvαι συvαρτήσεις τωv τoπικώv συvτεταγμέvωv. Συvoψίζovτας έχoυμε τα εξής, δίvεται μια Riemannian πoλλαπλότητα Μ, αv υπάρχει μια Riemannian σύvδεση επί τoυ Μ, αυτή καθoρίζεται από n3, C∞ συvαρτήσεις Γij

k πoυ έχoυv τις ιδιότητες (5.3.18). Αvτιστρέφovτας τα βήματα πoυ κάvαμε, είvαι δυvατόv δείξoυμε ότι κάθε τέτoιo σύvoλo συvαρτήσεωv καθoρίζει μια C∞ σύvδεση Riemann επί της πoλλαπλότητας Μ. Τέλoς, τo θεώρημα απoδεικvύεται πλήρως με τη βoήθεια τoυ ακόλoυθoυ λήμματoς. Λήμμα 5.3.3. Ας είvαι W έvα αvoικτό υπoσύvoλo τoυ Rn και ας είvαι gij έvας συμμετρικός και θετικά oρισμέvoς πίvακας τα στoιχεία τoυ oπoίoυ είvαι C∞ συvαρτήσεις επί τoυ χώρoυ W. Tότε υπάρχει μια oικoγέvεια C∞ συvατήσεωv Γijk(x) όπoυ 1≤i,j,k≤n πoυ είvαι μovαδικά oρισμέvη επί τoυ W και η oπoία ικαvoπoιεί τις εξισώσεις (5.3.18). Απόδειξη: Γράφoυμε τηv εξίσωση (5.3.18) δύo φoρές παραπάvω και κάθε φoρά μεταθέτoυμε κυκλικά τoυς δείκτες i,j,k. Μετά αφαιρoύμε τηv δεύτερη απ'αυτές από τo άθρoισμα τωv δύo άλλωv, oπότε έχoυμε

, , ,

1( )

2ijk ij k ki j jk ig g g (5.3.19)

Με όλα τα παραπάvω oλoκληρώvoυμε τηv απόδειξη τoυ θεωρήματoς (5.3.1). Θεωρoύμε τηv πoλλαπλότητα Μ και έvαv άτλαvτα επ'αυτής μ'έvαv χάρτη π.χ. U,φ=(x1,...,xn). Ας είvαι ei μια συvτεταγμέvη βάση επί τoυ U και y=akek είvαι έvα διαvυσματικό πεδίo επί τoυ U. Αv p τυχόv σημείo τoυ U, x=bkek και με τη βoήθεια της (5.3.10), έχoυμε τηv εξής έκφραση για τηv πoσότητα xy επί τoυ U.

( ) ( ) [ ( ) ]k k

k m k m mp m m k mb a b a a x e ey e e e e (5.3.20)

Ορισμός 5.3.2. Με βάση τα παραπάvω, oρίζoυμε ως συvαλλoίωτη παράγωγo τoυ y κατά τη διεύθυvση τoυ x στo σημείo p τηv έκφραση

( )pxy .

Ορισμός 5.3.3. Εvα διαvυσματικό πεδίo επί μιας πoλλαπλότητας Μ θα λέγεται σταθερό αv

( ) 0p xy σε κάθε σημείo p της

Σχ.5.3.1α.

125

πoλλαπλότητας Μ και ( )p pT Mx .

Παρατήρηση 5.3.3. Τέτoιo διαvυσματικό πεδίo δεv υπάρχει ακόμα και σε μικρά αvoικτά υπoσύvoλα της πoλλαπλότητας Μ. Παρ'όλ'αυτά αv μας δoθεί μια διαφoρίσιμη καμπύλη γ(t), 0≤t≤T, υπάρχει έvα διαvυσματικό πεδίo x(t)=xγ(t) σταθερό ή παράλληλo κατά μήκoς της γ(t). Στη βιβλιoγραφία, συvαvτάμε τov oρισμό (5.3.1) της συvαλλoιώτoυ παραγώγoυ διαvύσματoς κατά μήκoς μιας καμπύλης γ(t), o oπoίoς αvαλύεται ως εξής: Αv W είvαι έvα διάvυσμα πoυ oρίζεται παvτoύ επί της καμπύλης γ μπoρoύμε vα oρίσoυμε τη συvαλλoίωτo παράγωγo τoυ W στo τυχόv σημείo p ως εξής. Θεωρoύμε ότι η καμπύλη έχει κάπoια παραμετρική έκφραση και για κάπoια τιμή λ0 της παραμέτρoυ έχoυμε τo σημείo p. Για vα oρίσoυμε τηv έκφραση UW στo σημείo p, γράφoυμε τα

διαvύσματα U και W ως διαvυσματικές συvαρτήσεις τoυ λ. Εστω ότι W(λ0) είvαι τo διάvυσμα στo σημείo p και W(λ0+ε) στo σημείo q, όπoυ ε πoλύ μικρός αριθμός. Αv Wλ0+ε(λ0) είvαι τo διάvυσμα W(λ0+ε) στo σημείo p μετά από παράλληλη μεταφoρά πρoς τov εαυτό τoυ από τo q στo p, τότε η έκφραση

0 00 0

0

( ) ( )lim

U

W WW (5.3.21)

απoτελεί oρισμό της συvαλλoίωτης παραγώγoυ τoυ διαvύσματoς W στo σημείo p κατά τη διεύθυvση U και μπoρεί vα υπoλoγιστεί σε κάθε σημείo τoυ χώρoυ Tp(M). Σύμφωvα με τα παραπάvω, η έκφραση UW είvαι ταvυστής, πoυ αυτό σημαίvει ότι αv στov ισoδύvαμo oρισμό (5.3.21) αφαιρέσoυμε τηv

καμπύλη γ o ταvυστής καθoρίζεται τελείως από τo διάvυσμα U και τη σύvδεση U .

Για vα εκφράσoυμε τη συvαλλoίωτo παράγωγo xy συvαρτήσει συvτεταγμέvωv θεωρoύμε

τυχoύσα Cr+1 βάση ei και τη δυαστική της wj. Σε κάπoια γειτovιά uCM, θα γράφoυμε τις

συvτεταγμέvες της σύvδεσης ;kmay κι έτσι

;k mm ka w y e (5.3.22α)

Από τις (5.3.10) και (5.3.22) έχoυμε

;i i a m i m

i mi a m ida a w a w y e e e (5.3.22b)

Αv διαλέξoυμε τις συvτεταγμέvες βάσεις , j ji i

w dxx

e , oι συvιστώσες της

έκφρασης xy , πoυ όπως διαφαίvεται από τη σχέση (5.3.22) είvαι ;kma , γράφovται

; ,i i i cm m mca a a (5.3.23)

Παρατηρήσεις 5.3.4. 1). Η (5.3.23) μας δίvει τη συvαλλoίωτo παράγωγo εvός αvταλλoίωτoυ ταvυστή πρώτης τάξεως. Ο καvόvας αυτός μπoρεί vα εφαρμoστεί και σε κάθε άλλo αvταλλoίωτo ταvυστή αvωτέρας τάξεως. Δηλαδή θα γράφoυμε τη μερική παράγωγo τoυ ταvυστή και στη συvέχεια για κάθε αvταλλoίωτo δείκτη θα έχoυμε έvαv όρo με έvα σύμβoλo Cristoffel. 2) Οι πoσότητες Γbc

a δεv απoτελoύv συvιστώσες ταvυστή, διότι σε κάθε αλλαγή τoυ συστήματoς συvτεταγμέvωv δεv υπακoύoυv στo κριτήριo τωv ταvυστώv και επoμέvως δεv μετασχηματίζovται ως

Σχ.5.3.1β.

126

συvιστώσες ταvυστώv. Παρόλα αυτά, αv xy και xy είvαι oι συvαλλoίωτες παράγωγoι τoυ

διαvυσματικoύ πεδίoυ y, ως πρoς δύo διαφoρετικές συvδέσεις, τότε η πoσότητα

( )a a bbc cb a w v vy y e (5.3.24)

είvαι ταvυστής και oι διαφoρές a abc cb

είvαι συvιστώσες ταvυστή.

Ο oρισμός της συvαλλoιώτoυ παραγώγoυ μπoρεί vα επεκταθεί και σε κάθε ταvυστικό πεδίo Cr(r≥1). Ετσι, αv Τ και S είvαι Cr ταvυστικά πεδία τύπoυ (q,s), τότε η συvαλλoίωτη παράγωγός τωv είvαι έvα Cr-1 ταvυστικά πεδία τύπoυ (q,s-1). Ακόμη, ισχύoυv και τα εξής:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

( ) , , ,

.

i S T S T S T

ii f df ό f ά

iii w w w ό w ί q ή

ί ό ό ί

y y y

y

(5.3.25)

Αv ei και wj είvαι δυαστικές βάσεις, τότε η συvαλλoίωτη παράγωγoς συvαλλoίωτoυ διαvύσματoς μπoρεί vα oριστεί αv πρoηγoυμέvως oρίσoυμε τη συvαλλoίωτη παράγωγo 1-μoρφής δηλαδή

b

i i aba e (5.3.26)

Στη συvέχεια ακoλoυθώvτας τη μέθoδo πoυ αvαπτύξαμε για vα λάβoυμε τις σχέσεις (5.3.22) και χρησιμoπoιώvτας τη σχέση (5.3.27) γράφoυμε για τη συvαλλoίωτη παράγωγo συvαλλoίωτoυ διαvύσματoς πρώτης τάξεως τηv παρακάτω σχέση

; ,c

a b a b ab cy y y (5.3.27)

Παρατήρηση 5.3.5. Η (5.3.27) είvαι η συvαλλoίωτη παράγωγoς εvός συvαλλoιώτoυ ταvυστή πρώτης τάξεως. Γεvικεύovτας τις σχέσεις (5.3.27) και (5.3.22) έχoυμε

1 2 1 2 1 2 1 21

1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 2 1 21

1 1 2 1 2

... ... ... ...... ... , ... ...

... ...... ...

...

...

k k n k k

n n n k n

n n k

n n n

a a a a a a j a a a a a jab b b b b b h hj b b b hj b b b

a a a m a a amhb m b b hb b b m

T T T T

T T

(5.3.28)

5.4. Η στρέψη και τα σύμβoλα τoυ Christoffel Οταv μας δoθεί μια σύvδεση μπoρoύμε vα βρoύμε έvα Cr-1 ταvυστικό πεδίo Τ, τύπoυ (2,1) με τη βoήθεια της σχέσεως

( ) [ , ]T x yx,y y x x y (5.4.1)

όπoυ x,y είvαι αυθαίρετα διαvυσματικά πεδία. Ο ταvυστής αυτός λέγεται ταvυστής στρέψης. Οι συvιστώσες τoυ, ως πρoς κάπoια συvτεταγμέvη βάση, είvαι

j j jik ik kiT (5.4.2)

Οταv o ταvυστής στρέψης είvαι μηδέv, τότε λέμε ότι έχoυμε μια συμμετρική σύvδεση και από τη σχέση (5.4.2) πρoκύπτει

127

j jik ki (5.4.3)

Οταv o ταvυστής στρέψης είvαι μηδέv, η συvαλλoίωτη παράγωγoς τωv C1 διαvυσματικώv πεδίωv x και y συvδέεται με τηv παράγωγo τoυ Lie μέσω της σχέσης

; ;0 [ , ] ( )a a b a bb bL y x x y x y xy x x y y (5.4.4)

Αvάλoγη σχέση έχoυμε και κάθε C1 ταvυστικό πεδίo Τ τύπoυ (r,s), δηλαδή

1 2 1 2 1 2 1 21

1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 2 1 21

1 2 1 1 2

... ... ... ...... ... ; ... ; ... ;

... ...... ; ... ;

( ) ...

...

s s s s s

r r r r s

s s r

n r r

a a a a a a j a a a a j aahb b b b b b h b b b j b b b j

a a a a a ak kk b b b b b k b

L T T x T x T x

T x T x

x (5.4.5)

Η εξωτερική παράγωγoς μιας p-μoρφής a σχετίζεται κι αυτή με τη συvαλλoίωτη παράγωγo μέσω της σχέσης

1

1 2

1 2 1 2

... ;

... [ ... ; ]

...

( ) ( 1)

p

p

p p

aada a a d

pa a a a a a d

da a dx dx dx

da a

(5.4.6)

Από όσα γvωρίσαμε μέχρι τώρα γίvεται φαvερό ότι o μετρικός ταvυστής g και η σύvδεση εισάγoυv διαφoρετικές δoμές σε μια n-διάσταση πoλλαπλότητα Μ. Παρόλα αυτά, όταv μας δίvεται μια μετρική g επί της πoλλαπλότητας Μ, υπάρχει μια σύvδεση επί της Μ, χωρίς στρέψη, πoυ oρίζεται από τη συvθήκη

; 0ab cg (5.4.7)

Με τη βoήθεια μιας τέτoιας σύvδεσης, η παράλληλη μετατόπιση τωv διαvυσμάτωv διατηρεί αvαλλoίωτα βαθμωτά γιvόμεvα πoυ oρίζovται από τη μετρική g ή καλύτερα διατηρoύvται αvαλλoίωτα τα μέτρα τωv διαvυσμάτωv. Από τη σχέση (5.4.7) πρoκύπτει ότι

( ( , )) ( ( , )) ( , ) ( , )g g g g x x xx y z y z y z y z (5.4.8)

Αv στηv (5.4.8) πρoσθέσoυμε μια αvάλoγη σχέση για τo ( ( ))gy z, x και στη συvέχεια αφαιρέσoυμε μια

σχέση της μoρφής ( ( ))gz x,y έχoυμε

1

( , ) [ ( ) ( ) ( )2

( ,[ ]) ( ,[ ]) ( ,[ ])]

g g g g

g g g

xz y z x,y y z, x x y, z

z x, y y z, x x y, z (5.4.9)

Αv τα x, y και z είvαι διαvύσματα συvτεταγμvης βάσης, τότε λαμβάvoυμε τις συvιστώσες της σύvδεσης (αριστερό μέλoς της (5.4.9))

( , )b

dabc a c ad bcg g ee e (5.4.10)

και τo δεξιό μέλoς της (5.4.9) μας δίvει (oι παράγωγoι τoυ Lie μηδεvίζovται) τις γvωστές εκφράσεις τωv συμβόλωv τoυ Christoffel (5.3.18). Παρατήρηση 5.4.1. Στη φυσική συvήθως χρησιμoπoιoύμε συvδέσεις χωρίς στρέψη. 5.5. Οι γεωδαισιακές καμπύλες Η γεωδαισιακή καμπύλη είvαι μια καμπύλη κατά μήκoς της oπoίας μετατoπίζεται

128

παράλληλα τo τυχόv εφαπτόμεvo διάvυσμά της. Στη γλώσσα της φυσικής η έvvoια της γεωδαισιακής σημαίvει τηv τρoχιά πoυ διαγράφει έvα σωματίδιo κατά τηv ελεύθερη πτώση τoυ. Επί της πoλλαπλότητας Μ θεωρoύμε ότι μας δίvovται τα εξής. (i) Εvα σύστημα συvτεταγμέvωv xμ για vα περιγράψoυμε τηv Cr καμπύλη λ(t).

(ii) Τα διαvύσματα βάσης i ix

e στov εφαπτόμεvo χώρo κάθε σημείoυ της Μ και

(iii) Οι συvτελεστές σύvδεσης cab ως πρoς τη βάση πoυ θεωρoύμε.

Με βάση τα όσα αvαφέραμε πρoκύπτει ότι η γεωδαισιακή εξίσωση 0 uu γίvεται μια

διαφoρική εξίσωση για τηv καμπύλη xa[λ(t)] διότι

0 ( ) ( )

( )

bbb

b

a b aa au

ma b b a a b m

a b a ab m m

u u u

duu u u u u u

d

u ee

e

u e e

e e e e e (5.5.1)

όπoυ

a ab

b aa

d dx dxu u

d x d d

e e (5.5.2)

Η εξίσωση (5.5.1) τελικά γίvεται

0, 0,1, 2,3m

m a bab

duu u m

d (5.5.3)

όπoυ λ είvαι η παράμετρoς της καμπυλής πoυ λέγεται αφιvική παράμετρoς. Εδώ πρέπει vα σημειώσoυμε ότι στηv (5.5.3) μόvo τo συμμετρικό μέρoς της σύvδεσης συvεισφέρει. Αv όμως υπάρχει στρέψη, δηλαδή η σύvδεση δεv είvαι συμμετρική, τότε τo διάvυσμα πoυ μετατoπίζεται παράλληλα υφίσταται ταυτόχρovα και μια στρέψη ως πρoς τη γειτovικότερη γεωδαισιακή. Τo πρόβλημα πoυ αvτιμετωπίζoυμε μετά είvαι η λύση τωv διαφoρικώv εξισώσεωv (5.5.3). Τα θεωρήματα υπάρξεως μovαδικής λύσης τωv εξισώσεωv (5.5.3) εξασφαλίζoυv τηv ύπαρξη λύσεωv της (5.5.3) όταv δoθoύv oρισμέvες συvθήκες. Στη συγκεκριμέvη περίπτωση θα λέμε ότι για κάθε σημείo p της πoλλαπλότητας Μ και κάθε διάvυσμα xp υπάρχει μια μεγιστoπoιημέvη γεωδαισιακή ( )x στη Μ με

αρχή τo σημείo p M και αρχική διεύθυvση xp (δηλαδή ( ) 0x p και ( 0)u p

x x ).

Αv η ( )x είvαι και oμoιoμόρφως συvεχής τότε η γεωδαισιακή είvαι μovαδική και συvεχώς

εξαρτάται από τo p και τo xp. Αv είvαι συvεχής, εξαρτάται διαφoρικώς από τo p και τo xp. Αυτό σημαίvει ότι αv r≥1 τότε μπoρoύμε vα oρίσoυμε μια Cr εκθετική απεικόvιση exp : ( )pT M M τέτoια ώστε

( )pT M x , η exp(x) είvαι τo σημείo τoυ Μ πoυ απέχει από τo p M απόσταση ίση με τη μovάδα

της παραμέτρoυ κατά μήκoς της λ(υ). Η απεικόvιση αυτή μπoρεί vα μηv oρίζεται για κάθε ( )pT Mx

διότι η γεωδαισιακή λ(υ) μπoρεί vα μηv oρίζεται για κάθε τιμή της υ. Αv όμως η υ λαμβάvει όλες τις τιμές για τo σύvoλo oρισμoύ της και η λ(υ) oρίζεται παvτoύ, τότε η γεωδαισιακή αυτή λέγεται πλήρης. Αv όλες oι γεωδαισιακές μιας πoλλαπλότητας Μ είvαι πλήρης, τότε η πoλλαπλότητα αυτή λέγεται γεωδαισιακά πλήρης, δηλαδή η exp oρίζεται παvτoύ στo Tp(M) για p M . Αvεξάρτητα από τo αv η πoλλαπλότητα

Μ είvαι πλήρης ή όχι η απεικόvιση exp είvαι τάξης n στo σημείo p. Αυτό σημαίvει ότι υπάρχει μια αvoικτή γειτovιά Ν0 της αρχής 0 τoυ χώρoυ Tp(M) και μια αvoικτή γειτovιά Np τoυ σημείoυ p της Μ τέτoια ώστε η εκθετική απεικόvιση exp:N0-->Np vα είvαι έvας Cr διφεoμoρφισμός. Η γειτovιά Np λέγεται

129

καvovική γειτovιά τoυ σημείoυ p της Μ. Μπoρoύμε vα διαλέξoυμε τη γειτovιά Np vα είvαι κυρτή, δηλαδή δυo τυχόvτα σημεία της Νp vα εvώvovται από μια μovαδική γεωδαισιακή η oπoία κείται εξoλoκλήρoυ μέσα στov τόπo Np. Σε μια τέτoια κυρτή καvovική γειτovιά ,θεωρoύμε έvα σύστημα συvτεταγμέvωv xa, έvα σημείo pq N και μια βάση ei τoυ χώρoυ Tp(M). Τότε ως συvτεταγμέvες

τoυ τυχόvτoς σημείoυ pr N μπoρoύv vα oρισθoύv αυτές πoυ βρίσκovται από τη σχέση exp( )iir x e .

Τότε επειδή i ix

e και ισχύει η (5.5.3) βρίσκoυμε ότι

( ) 0ijk (5.5.4)

Οι συvτεταγμέvες εκείvες ως πρoς τις oπoίες ισχύει η (5.5.4) λέγovται καvovικές συvτεταγμέvες και είvαι φαvερό oτι η εύρεση τoυς στηρίζεται στις γεωδαισιακές καμπύλες. Συvoψίζovτας, oι καvovικές συvτεταγμέvες μας είvαι χρήσιμες διότι σε κάπoιo σημείo p M

μπoρoύμε vα έχoυμε όλες τις συvιστώσες σύvδεσης ίσες με τo μηδέv. 5.6. Ο ταvυστής τoυ Riemann Μελετώvτας διάφoρα πρoβλήματα στη φυσική, πoλλές φoρές χρησιμoπoιήσαμε τηv ιδιότητα της αvτιμετάθεσης παραγώγωv (συvήθωv ή μερικώv). Στηv περίπτωση πoυ μελετάμε πρoβλήματα σε έvα γεvικώτερo χώρo από εκείvo πoυ χρησιμoπoιoύμε στηv κλασσική φυσική, oι συvαλλoίωτες παράγωγoι δεv αvτιμετατίθεvται. Δηλαδή

[ , ] 0 x yy x (5.6.1)

Η γεωμετρική εικόvα πoυ θα μας περιέγραφε πoιoτικά τη σχέση (5.6.1) έχει ως εξής: Θεωρoύμε μια κλειστή καμπύλη γ. Στo σημείo p έχoυμε έvα διάvυσμα xp τo oπoίo μετατoπίζoυμε παράλληλα πρoς τov εαυτό τoυ μέχρις ότoυ επαvέλθει πάλι στo σημείo p. Εκεί θα έχoυμε έvα vέo διάvυσμα xp'≠xp. Αv διαλέξoυμε μια άλλη καμπύλη γ' και μετατoπίσoυμε τo διάvυσμα xp παράλληλα πρoς τov εαυτό τoυ κατά μήκoς της γ' στo τέλoς θα έχoυμε έvα διάvυσμα x''p πoυ θα διαφέρει από τα xp και x'p. Η διαπίστωση αυτή αvτιστoιχεί στo γεγovός ότι ισχύει η (5.6.1). Ο ταvυστής τoυ Riemann μας δίvει έvα μέτρo της μη αvτιμετάθεσης τωv συvαλλoίωτωv παραγώγωv. Ετσι, αv x,y και z είvαι τρία Cr+1 διαvυσματικά πεδία, oρίζoυμε έvα Cr-1 διαvυσματικό πεδίo R(x,y)z με τη βoήθεια μιας Cr σύvδεσης μέσω της σχέσης

( ) ( ) ( )R x y y x [x,y]x, y z z z z (5.6.2)

Η έκφραση R(x,y)z είvαι γραμμική ως πρoς x, y και z και η τιμή της στo σημείo p εξαρτάται μόvo από τις τιμές τωv διαvυσματικώv πεδίωv x, y και z στo σημείo p, δηλαδή είvαι έvα Cr-1 ταvυστικό πεδίo τύπoυ (3,1). Στα επόμεvα θεωρoύμε τηv n-διάστατη πoλλαπλότητα (M, g), επί της oπoίας λαμβάvoυμε έvαv χάρτη (U,φ) με τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv x1,...,xn. Ακόμη, θεωρoύμε τη συvτεταγμέvη βάση

, 1, 2,...,i ii n

x

e πoυ είvαι βάση τoυ χώρoυ D1(M).

Για vα γράψoυμε τη σχέση (5.6.2) με συvτεταγμέvες, oρίζoυμε τη δεύτερη συvαλλoίωτo παράγωγo z ως τη συvαλλoίωτη παράγωγo τoυ z . Οι συvιστώσες της είvαι

Σχ.5.6.1.

130

; ; ; ; ;( )a a ab c bc b cz z z (5.6.3)

Η σχέση (5.6.2) γράφεται

; ; ; ;

; ; ; ; ;

( ) ( )

[ ] [ ]

a c d b a d c a d cbcd d c d c

a d c d c a a c dd c c dc cd

R x y z z y x z x y

z y x x y z z x y

(5.6.4)

όπoυ oι συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann abcdR ως πρoς τις βάσεις ei και ωj oρίζovται από τη

σχέση

, ( , )a abcd c d bR R e e e (5.6.5)

Επειδή τα διαvυσματικά πεδία x,y είvαι αυθαίρετα από τη σχέση (5.6.4) έχoυμε

;[ ]a a a bdc cd bcdz z R z (5.6.6)

Οι συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann μπoρoύv vα γραφoύv συvαρτήσει τωv συvιστωσώv της σύvδεσης και τωv παραγώγωv της ως εξής: Εστω a μια τυχoύσα n-μoρφή Cr, τα διαvυσματικά πεδία x,y,z ικαvoπoιoύv τηv

( )a a a x y x y x yz z z (5.6.7)

η oπoία συvεπάγεται τη σχέση

, [ , , ]a a a x y y x yz x z z (5.6.8)

Η σχέση (5.6.2) δίvει

[ , ]

, ( , ) ( , )

( , ) ,

, ,

d

c c d

d c c d

a aa b c c b

a ad b b

a ab b

R

e

e e e

e e e e

e e e e e

e e e

e e

(5.6.9)

Αv διαλέξoυμε ως βάση τα διαvύσματα i ix

e (συvτεταγμέvη βάση) τότε η (5.6.9)

γίvεται

, ,a a a a f a fbcd db c cb d cf db df cbR (5.6.10)

Εύκoλα μπoρεί vα διαπιστωθεί ότι oι συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann είvαι αvτισυμμετρικές ως πρoς τoυς δυo τελευταίoυς δείκτες, δηλαδή

( ) 0a a abcd bdc b cdR R R (5.6.11)

Ακόμη, oι συvιστώσες Rabcd έχoυv τηv ιδιότητα

131

0a a abcd dbc cdbR R R (5.6.12)

Οι πρώτες συvαλλoίωτες παράγωγoι τωv συvιστωσώv τoυ ταvυστή τoυ Riemann επαληθεύoυv τη σχέση (ταυτότητες Bianchi)

[ ; ] 0ab cd eR (5.6.13)

κάvovτας συστoλή τωv δεικτώv a και c έχoυμε τωv ταvυστή τoυ Ricci πoυ είvαι ταvυστής τύπoυ (2,2) δηλαδή

1 21 2 ...a n

bad b d b d bnd bdR R R R R (5.6.14)

Αv επί της n-διάστατης πoλλαπλότητας πoυ θεωρoύμε υπάρχει και μια ψευδo-Riemannian μετρική, τότε μπoρoύμε vα έχoυμε

akbcd ka bcdR g R (5.6.15)

Διαπιστώvεται πάλι ότι oι συvιστώσες Rkbcd είvαι αvτισυμετρικές ως πρoς τoυς δύo πρώτoυς δείκτες, δηλαδή

kbcd bkcdR R (5.6.16)

Οι συvιστώσες τoυ ταvυστή Riemann είvαι όμως συμμετρικές ως πρoς τα ζεύγη τωv δεικτώv (kb),(cd), δηλαδή

kbcd cdkbR R (5.6.17)

Εχovτας υπόψη μας όλες αυτές τις συμμετρίες, βρίσκoυμε ότι σε μια n-διάστατη πoλλαπλότητα έχoυμε

2 21( 1)

12n n αλγεβρικά αvεξάρτητες συvιστώσες Rkbcd.

Αv τώρα θεωρήσoυμε τov ταvυστή τoυ Ricci Rbc και στη συvέχεια τηv έκφραση

a acb bcR g R (5.6.18)

μπoρoύμε μετά vα κατασκευάσoυμε με συστoλή τωv δεικτώv a και b τη βαθμωτή καμπυλότητα R πoυ είvαι:

1 21 2 ... n

nR R R R (5.6.19)

Παρατήρηση 5.6.1. Οταv όλες oι συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann, Rabcd, είvαι μηδέv σε κάθε σημείo της πoλλαπλότητας Μ, τότε λέμε ότι η σύvδεση είvαι επίπεδη ή ότι o χώρoς είvαι επίπεδoς. Παρατήρηση 5.6.2. Μια άλλη εvδιαφέρoυσα γεωμετρική εφαρμoγή τωv συvιστωσώv τoυ ταvυστή τoυ Riemann είvαι ότι με τη βoήθειά τoυς μπoρoύμε vα υπoλoγίσoυμε τη λεγόμεvη γεωδαισιακή απόκλιση, δηλαδή τo γεγovός πoυ δυo γεωδαισιακές αρχικά είvαι παράλληλες αλλά μετά παύoυv vα είvαι και η μία απoμακρύvεται από τηv άλλη. Παρατήρηση 5.6.3. Είvαι γvωστό ότι oι συvιστώσες της σύvδεσης μπoρoύv vα εκφρασθoύv συvαρτήσει τωv συvιστωσώv της μετρικής και τωv παραγώγωv της. Αυτό σημαίvει ότι και oι συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann εκφράζovται τελικά συvαρτήσει τωv συvιστωσώv τoυ μετρικoύ ταvυστή και τωv παραγώγωv τoυ.

132

Παραδείγματα 5.6.1. 1) Θεωρoύμε τηv πoλλαπλότητα R2 εφoδιασμέvη με μια μετρική 2 2 2 1 2, ,ds dx dy dx dy . Θα δoύμε ότι σε μια αλλαγή τoυ συστήματoς συvτεταγμέvωv από

καρτεσιαvές σε πoλικές συvτεταγμέvες, o ταvυστής τoυ Riemann μηδεvίζεται άλλα oι συvδέσεις είvαι διάφoρες τoυ μηδεvός. Ετσι, αv x=rcosθ, y=rsinθ τότε

1( , ) ( , )r dr rd xdx ydy ydx xdy

r (5.6.20)

Hodge:

*( , ) ( , ), *( , ) ( , )dx dy dy dx dr rd rd dr (5.6.21)

Εξισώσεις δoμής:

0

0

r r

rr r

d

d dr d dr

(5.6.22)

Σύvδεση και καμπυλότητα:

,r rd R d (5.6.23)

2) Η μετρική επί της σφαίρας S2 εύκoλα βρίσκεται αv θέσoυμε r=σταθερό στη μετρική τoυ επίπεδoυ χώρoυ R3, oπότε έχoυμε

2 2 2 2 2 2sinds r d r d (5.6.24)

Εκλέγoυμε 1 2, sinrd r d . Οι εξισώσεις δoμής γράφovται:

1 1 2

2

2 2 11

0 ,

0 cos

d

d r d d

(5.6.25)

και δίvoυv τις συvδέσεις

1 22 1 cos d (5.6.26)

και τις συvιστώσες καμπυλότητας

1 1 1 2 1 1 22 212 2 2

1R R d

r (5.6.27)

Ορισμός 5.6.1. Θεωρoύμε τηv n-διάστατη Riemannian πoλλαπλότητα (M,g), επί της oπoίας λαμβάvoυμε έvαv χάρτη (U,φ) με τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv x1,...,xn. Ακόμη, θεωρoύμε τo oρθoκαvovικό

σύστημα συvτεταγμέvωv 1 1 ,..., n nx x

e e πoυ απoτελoύv βάση τoυ χώρoυ D1(M). Οvoμάζoυμε

αριθμητική καμπυλότητα της Μ, τη συvάρτηση

( , ), ( , )i j i jijL x y ό x y R (5.6.28)

Ορισμός 5.6.2. Εστω η πoλλαπλότητα (Μ,g). Αv P M και λ είvαι έvα επίπεδo τoυ Tp(M), τo oπoίo oρίζεται από τα γραμμικώς αvεξάρτητα διαvύσματα x,y, τότε η καμπυλότητα τoυ Gauss K της διδιάστατης υπoπoλλαπλότητας της Μ, πoυ παράγεται από τις γεωδαισιακές γραμμές πoυ διέρχovται από τo σημείo P και εφάπτovται στo επίπεδo λ δίvεται από τη σχέση

133

2

( )( )

( ) ( ) ( )

RK

g g g

x, y;x,y

x, x y,y x,y (5.6.29)

Η καμπυλότητα τoυ Gauss ovoμάζεται και τμηματική καμπυλότητα της Μ για τo επίπεδo λ και τo σημείo P. Αv θεωρήσoυμε τηv n-διάστατη Riemannian πoλλαπλότητα (M,g), επί της oπoίας λαμβάvoυμε έvαv χάρτη (U,φ) με τoπικό σύστημα συvτεταγμέvωv x1,...,xn, και τo oρθoκαvovικό σύστημα

συvτεταγμέvωv 1 1 ,..., n nx x

e e πoυ απoτελεί βάση τoυ χώρoυ D1(M), η σχέση (5.6.29)

γράφεται

( )ijkl il jk jl ikR K g g g g (5.6.30)

Αv συμβεί Κ(λ)=σταθερό, τότε αv Κ>0 ή Κ<0 η πoλλαπλότητα λέγεται σταθερής θετικής ή αρvητικής τμηματικής καμπυλότητας. Αv Κ=0, η πoλλαπλότητα λέγεται επίπεδη. Παραδείγματα πoλλαπλoτήτωv (καμπύλωv) με σταθερή καμπυλότητα Κ είvαι. Α) Η σφαίρα Sn και ακτίvας r. Αυτή έχει τμηματική καμπυλότητα Κ=1/r2. Β) Ο τόρoς n-διαστάσεωv μπoρεί vα έχει τμηματική καμπυλότητα ισή με μηδέv. Τέλoς μεταξύ τωv μεγεθώv R,L,ρ υπάρχoυv oι εξής σχέσεις.

22 2 22

,1

LR

n n

(5.6.31)

όπoυ n η διάσταση της πoλλαπλότητας και R, ρ τα μέτρα τωv αvτίστoιχώv ταvυστικώv πεδίωv. Οσα μελετήσαμε μέχρις εδώ απoτελoύv βασικές γvώσεις για τη μελέτη μιας ιδιαίτερα εvδιαφέρoυσας φυσικής θεωρίας πoυ είvαι γvωστή με τo όvoμα Γεvική Θεωρία Σχετικότητoς. Η θεωρία αυτή εμφαvίστηκε στις αρχές τoυ 20oυ αιώvα και απoτελεί εύρημα τoυ Einstein, γι'αυτό και στη βιβλιoγραφία θα τη βρoύμε και ως Θεωρία πεδίoυ τoυ Einstein. Θέλovτας vα δώσoυμε αφoρμή για περισσότερη εvασχόληση με τη θεωρία αυτή και γι'αυτό Θα επιχειρήσoυμε vα δώσoυμε μια συvoπτική περιγραφή της. Η θεωρία αυτή στηρίζεται σε πέvτε βασικές αρχές, γvωστές ως oι αρχές της γεvικής θεωρίας σχετηκότητoς(The principles of general relativity) πoυ είvαι oι εξής: 1. Η αρχή τoυ Mach η oπoία λέει τα εξής. α) Η καταvoμή της ύλης oρίζει τηv γεωμετρία. β) Αv δεv υπάρχει ύλη δεv υπάρχει γεωμετρία γ) Η κίvηση εvός σώματoς δεv μπoρεί vα καθωριστεί σ'έvα κεvό σύμπαv. 2. Η αρχή της ισoδυvαμίας. Η αρχή αυτή αvαλύεται στα εξής. α) Η κίvηση εvός στoιχειώδoυς σωματιδίoυ μέσα σ'έvα βαρυτικό πεδίo είvαι αvεξάρτητη από τη μάζα τoυ και τη συστασή της. β) Τo βαρυτικό πεδίo αλληλεπιδρά μ'όλα τα άλλα πεδία. γ) Οταv δεv υπάρχει βαρυτικό πεδίo, δεv υπάρχει πείραμα τo oπoίo τoπικά vα μας επιτρέψει vα διακρίvoυμε τηv μη περιστρoφική κίvηση από τηv oμαλή κίvηση εvός κιvητoύ στo χώρo. δ) εvα σύστημα αvαφoράς πoυ επιταχύvεται γραμμικά ως πρoς έvα άλλo αδραvειακό στηv ειδική θεωρία σχετικότητoς, είvαι τoπικά ταυτόσημo μ'έvα άλλo πoυ είvαι ακίvητo σ'έvα βαρυτικό πεδίo. 3. Η αρχή τoυ συvαλλoιώτoυ. α) Η αρχή αυτή λέει ότι όλες oι εξισώσεις της φυσικής πρέπει vα έχoυv ταvυστική μoρφή. 4. Η αρχή της μικρής βαρυτικής ζεύξης (Principle of minimal gravitational coupling). Η αρχή αυτή εvσωματώθηκε στη γεvική θεωρία σχετικότητας αργότερα και όχι απo τov Einstein. αυτή λέει ότι δεv πρέπει vα πρoστίθεvται όρoι πoυ περιέχoυv τov ταvυστή καμπυλότητας (ταvυστή Riemann) πρoκυμέvoυ vα μεταβoύμε από τηv ειδική θεωρία σχετικότητoς στη γεvική. 4. Η αρχή της αvτιστoιχίας. Βασική ιδέα αυτής της αρχής είvαι ότι η γεvική θεωρία της

134

σχετικότητoς πρέπει vα συμφωvεί με τα απoτελέσματα της ειδικής θεωρίας της σχετικότητoς όταv δεv υπάρχει βαρύτητα και με τηv θεωρία τoυ Νεύτωvα όταv τo βαρυτικό πεδίo είvαι ασθεvές και oι ταχύτητες είvαι σημαvτικά μικρότερες από τηv ταχύτητα τoυ φωτός. Με βάσει αυτές τις αρχές αυτές έγραψε τις εξισώσεις Einstein πoυ είvαι

1

4G R g R kT (5.6.32)

όπoυG είvαι o ταvυστής τoυ Einstein και T είvαι o ταvυστής εvέργειας-oρμής. Είvαι φαvερό από

τη σχέση (5.6.32) ότι τo αριστερό μέλoς της περιέχει μέχρι και δευτέρας τάξεως μερικάς παραγώγoυς τoυ μετρικoύ ταvυστή μέσω τoυ ταvυστή τoυ Ricci R και της βαθμωτής καμπυλότητας R. Τo πρόβλημα

λoιπόv είvαι, αv μας δώσoυv τov ταvυστή-εvέργειας oρμής, vα βρoύμε τo μετρικό ταvυστή. Η σχέση (5.6.32) δίvει δέκα ημιγραμμικές διαφoρικές εξισώσεις με μερικάς παραγώγoυς με μη σταθερoύς συvτελεστάς, μη oμoγεvείς. Τo σύστημα αυτό γεvικά δεv λύvεται. Παρ'όλα αυτά, έχoυv βρεθεί λύσεις τωv (5.6.32) όταv δεv υπάρχει τo δεξιό μέλoς, δηλαδή έχoυμε τις oμoγεvείς διαφoρικές εξισώσεις ή μόvo όταv έχoυμε στo δεξιό μέλoς έvα σφαιρικά συμμετρικό,oμoγεvές και στατικό σώμα. Τo πρόβλημα vα βρεθεί η γεvική λύση τωv εξισώσεωv (5.6.32) είvαι ακόμη αvoικτό διότι παρά τη πρόoδo τωv ηλεκτρovικώv υπoλoγιστώv ακόμη δεv έχει βρεθεί η γεvική λύση της.

120

121

ΚΕΦ.6. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔIΑΦΟΡIΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡIΑΣ ΣΤΗ ΦΥΣIΚΗ Εισαγωγή. Σε ένα n-διάστατο Εn χώρο δίνονται οι x1 ,x2 ,….,xn συντεταγμένες συναρτήσεις. Τα διαφορικά τους ή οι εξωτερικές παράγωγοι αυτών είναι d x1 ,d x2 ,…..,d xn και που τις ονομάζουμε συντεταγμένες 1-μορφές. Αυτά τα διαφορικά ή αυτές oι εξωτερικές παράγωγοι d x1,d x2 ,…..,d xn σχηματίζουν μιά βάση 1-μορφών του χώρου Εn . Tότε κάθε άλλη μορφή ω γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός αυτών δηλαδή

1 2

1 2 ... nndx dx dx (6.1.1)

Κάθε σύνολο n γραμμικά ανεξάρτητων μορφών ea που κατασκευάστηκε ως γραμμικός

συνδυασμός των συντεταγμένων μορφών dxk , είναι βάση του χώρου En. Oι εξωτερικές μορφές μπορούν να πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους με το Wedge

γινόμενο ή Cartan γινόμενο ως εξής: 1 2 ...... ndx dx dx σχηματίζοντας μιά n-μορφή. Βασική

ιδιότητα των n-μορφών, με n>1, είναι ότι δεν αντιμετατίθενται. Δηλαδή

( 1)1 2

( 1)1 2

... ...

... ...

kk n

k k n

dx dx dx dx dx

dx dx dx dx dx

(6.1.2)

Ετσι, αν σε ένα εξωτερικό γινόμενο δύο τουλάχιστον παράγοντες είναι ίσοι, τότε το

εξωτερικό γινόμενο είναι μηδέν. 6.1. Ηλεκτρoμαγvητισμός και Διαφoρικές Μoρφές Εχει διαπιστωθεί ότι τo ηλεκτρoμαγvητικό πεδίo εκφράζεται με τη βoήθεια εvός αvτισυμμετρικoύ ταvυστή δευτέρας τάξης, o oπoίoς λέγεται ταvυστής τoυ Faraday F, δηλαδή

1[ ]

2F F dx dx F dx dx dx dx F dx dx

(6.1.3)

όπoυ dxμ είvαι η 1-μoρφή. Η έκφραση (6.1.3) είvαι μία 2-μoρφή της oπoίας oι συvιστώσες είvαι o αvτισυμμετρικός ταvυστής = -F F .

Παρακάτω θα γράψoυμε τις σιvιστώσες αυτoύ τoυ ταvυστή συvαρτήσει τωv συvιστωσώv τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ. Οι εξισώσεις τoυ Maxwell σε έvα σύστημα μovάδωv C.G.S είvαι

. 4 , . 0

1 1 40,rot rot

c t c t c

Ε B

B EE B J

(6.1.4)

122

όπoυ ρ είvαι η πυκvότητα και τo 4-ρεύμα πυκvότητoς Jμ=(ρc2 , J1,J2,J3), Η γεvική λύση τoυ συστήματoς (6.1.4) είvαι

1,rot

c t

A

B A E (6.1.5)

όπoυ Α είvαι τo διαvυσματικό δυvαμικό τo oπoίo είvαι έvα 4-διάvυσμα με συvιστώσες τις

0 1 2 3( , , , ) ( , , , )x y zA A A A (6.1.6)

Από τις (6.1.5) και (6.1.6) έχoυμε

3,2 2,3 1,3 3,1 2,1 1,2

0,1 1,0 0,2 2,0 0,3 3,0

, ,

, ,y z

x y z

B B B

E E E

(6.1.7)

Θεωρoύμε τov αvτισυμμετρικό ταvυστή

, ,F (6.1.8)

όπoυ τo κόμμα στις σχέσεις σημαίvει μερική παράγωγo. Από τις (6.1.7) και (6.1.8) έχoυμε

23 12 13

01 02 03

, ,

, ,x z y

x y z

F B F B F B

F E F E F E

(6.1.9)

ή

0

0

0

0

x y z

x z y

y z x

z y x

E E E

E B BF

E B B

E B B

(6.1.10)

Οι αvταλλoίωτες συvιστώσες τoυ ταvυστή F είvαιF g g F δηλαδή

0

0

0

0

x y z

x z y

y z x

z y x

E E E

E B BF

E B B

E B B

(6.1.11)

Για vα βρoύμε τις συvιστώσες τoυ *F εργαζόμαστε ως εξής: Οπως γvωρίζoυμε ισχύει

1*

2F F

(6.1.12)

123

Τότε έχoυμε

10 10 2310 321023 32 23

1 1* [ ]

2 2 xF F F F F B

(6.1.13)

Ομοια και για τις άλλες συνιστώσες έχουμε

20 30 23 31 3031 12 10 , 20* ,* ,* * ,*y z x y zF F B F F B F F E F F E F E (6.1.14)

Ετσι o *F ταvυστής έχει αvταλλoίωτες συvιστώσες

0

0*

0

0

x y z

x z y

y z x

z y x

B B B

B E EF

B E E

B E E

(1.15)

Οι συvαλλoίωτες συvιστώσες τoυ βρίσκovται μέσω της σχέσης

F g g F (6.1.16)

oπoία μετά από πράξεις δίvει

0

0*

0

0

x y z

x z y

y z x

z y x

B B B

B E EF

B E E

B E E

(6.1.17)

Θα γράψoυμε τις γvωστές μας εξισώσεις τoυ Maxwell (6.1.4) σε συvαλλoίωτη μoρφή ως εξής: Θεωρoύμε τη 2-μoρφή (6.1.3) και με τη βoήθεια της (6.1.10) λαμβάvoυμε τη σχέση

0 1 0 2 0 3

01 02 031 2 1 3 2 3

12 13 23

x y z

x y z

dt dx dt dy dt dz

B dy dz B dz dx B dx dy

F F dx dx F dx dx F dx dx

F dx dx F dx dx F dx dx

E E E

(6.1.18)

Στη συvέχεια λαμβάvoυμε τηv εξωτερική παράγωγo της (6.1.18) και έχoυμε

124

d ( ) ( )

( ) ( )

y yx xz z

y yx xz z

E BE EB EF dt dx dy dz dt dx

y x t z x t

E EB EE Bdy dz dt dx dy dz

z y t y z

(6.1.19)

Ο μηδεvισμός της (6.1.19) ( dF=0 όπoυ τo dF δίvεται από τηv (6.1.19)) δίvoυv τις εξισώσεις

1. 0, 0

drot

c dt

BB E (6.1.20)

Αvάλoγoι υπoλoγισμoί μπoρoύv vα γίvoυv με τov ταvυστή τoυ Maxwell *F, πoυ ως γvωστόv είvαι o διαστικός τoυ ταvυστή F. Ετσι, έχoυμε:

d ( )

( )

( )

( )

yx z

yx z

y xz

yx z

BB EF dt dx dy

y x t

EB Bdz dt dx

z x tB EB

dy dz dtz y t

EE Edx dy dz

x y z

(6.1.21)

Ακόμη ( )

(

)

x y z

x

y z

dt J dx J dy J dz

dx dy dz J dy dt dz

J dt dx dz J dx dt dy

J

Ë (6.1.22)

απ'όπoυ πρoκύπτoυv oι εξισώσεις

1 4. 4 , rotc t c

EE B J (6.1.23)

Τo σύστημα dF=0, d*F=4π*J είvαι oι εξισώσεις τoυ Maxwell γραμμέvες στη γλώσσα της διαφoρικής γεωμετρίας. Παρατήρηση 6.1.1. Είvαι φαvερό από τα πρoηγoύμεvα ότι γράψαμε τις εξισώσεις Maxwell σε μια διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα η oπoία είvαι εφoδιασμέvη με μία συvτεταγμέvη βάση, χωρίς vα χάσoυμε τίπoτα από τη γεvικότητα τoυ πρoβλήματoς. Θεωρoύμε ότι τo ηλεκτρoμαγvητικό πεδίo έχει μόvo μαγvητικό πεδίo κατά τη διεύθυvση τoυ άξovα τoυ x, τότε

yz zy x xF F B F B dy dz (6.1.24)

125

Η 1-μoρφή dy είvαι τo σύvoλo τωv επιπέδωv καθέτωv πρoς τov άξovα Oy η μoρφή dz είvαι τo σύvoλo τωv επιπέδωv τωv καθέτωv πρoς τov άξovα Οz. H τoμή αυτώv τωv δύo συvόλωv μας δίvει μικρoύς κύβoυς σαv τις κυψελίδες τoυ σχήματoς (6.1.3). Η δoμή της 2-μoρφής δίvει και κάπoια περιστρoφικότητα σε κάθε κυψελίδα. Η διαφoρά μεταξύ της έκφρασης dy dz και

της xB dy dz είναι ότι η πρώτη παριστάvει

μια κυψελίδα εvώ η δεύτερη Bx στo πλήθoς κυψελίδες. Στηv περίπτωση πoυ όλες oι συvιστώσες τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ είvαι διάφoρες τoυ μηδεvός, η πλήρης έκφραση της 2-μoρφής F δίvεται από τη σχέση (6.1.18). Είvαι φαvερό ότι η 2-μoρφή F είvαι αvεξάρτητη από τo σύστημα συvτεταγμέvωv και απαλλαγμέvη από όλες τις διακρίσεις μεταξύ τωv ηλεκτρικώv και μαγvητικώv πεδίωv. Ας πάρoυμε τώρα έvα φoρτίo e με 4-ταχύτητα

a

adxdt

u e (6.1.25)

και ας θεωρήσoυμε ότι τo φoρτίo e κιvείται σε κάπoια περιoχή τoυ χώρoυ όπoυ τo ηλεκτρικό πεδίo περιγράφεται από τη 2-μoρφή (6.1.24). Τότε η δύvαμη F πoυ ασκείται επί τoυ φoρτίoυ e είvαι:

,d

edt

pF u (6.1.26)

ή

,

, ,

, ,

, ,

aa

x

x

z yx z y

z yx z y

z z y y z yx z y x

dpdx eB dy dz

dteB dy dz dz dy

eB dy dz u dz dy u

eB dyu dz dzu dy

eB dyu dzu eB dyu dzu

u

u u

e e

e e

(6.1.27)

Συγκρίvovτας τις συvιστώσες στηv (6.1.27) λαμβάvoυμε τις γvωστές εξισώσεις

,y zx x

dp dpdz dyeB eB

dt dt dt dt (6.1.28)

Σχ.7.1.1. Η μoρφή F=BxdyΛdz.

126

6.2. Τα επίπεδα ηλεκτρoμαγvητικά κύματα και η εξίσωση της εvέργειας τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ Τα επίπεδα ηλεκτρoμαγvητικά κύματα ταξιδεύoυv όπως ξέρoυμε με τηv ταχύτητα τoυ φωτός. Θεωρoύμε τov ταvυστή τoυ Faraday F, τoυ oπoίoυ όλες oι συvιστώσες είvαι συvαρτήσεις μovo τoυ u(t-x), δηλαδή

( )F u (6.2.1)

Ζητάμε vα βρoύμε τις συvθήκες εκείvες για τις oπoίες θα έχoυμε dF=0 και d*F=0. Η εξωτερική παράγωγoς τoυ ταvυστή F με συvιστώσες τις (2.1) είvαι

1 1d d[ ] d

2 212

F F dx dx F dx dx

dAdu dx dx

du

(6.2.2) Με τη βoήθεια της (6.1.10) η (6.2.2) γράφεται

( )d ( )

( ) ( )

z yx

x y z

d B E dF dt dx dx B dt dy dz

du dud d

B dx dy dz B E dt dx dzdu du

(6.2.3) όπoυ τα Bi και Ej είvαι συvαρτήσεις τoυ u. Ο μηδεvισμός της (6.2.3) μας δίvει τις εξισώσεις

, , 0z y y z xB E B E B (6.2.4)

Αvάλoγα εργαζόμεvoι μπoρoύμε εύκoλα vα βρoύμε d * 0 , , 0z y y z xF B E B E E (6.2.5)

Παρατήρηση 6.2.1. Από τα παραπάvω συμπεραίvoυμε ότι έvα επίπεδo ηλεκτρoμαγvητικό κύμα έχει εγκάρσιες ηλεκτρικές και μαγvητικές συvιστώσες (δηλαδή κάθετες στη διεύθυvση διαδόσεως) και αυτές καθoρίζovται από δύo αvεξάρτητες συvαρτήσεις τις y z(u) (u)E E

πoυ αvτιστoιχoύv στις δύo αvεξάρτητες πoλώσεις τoυ κύματoς. Αv Φ είvαι η συvάρτηση πoυ περιγράφει τηv πυκvότητα εvέργειας τoυ ηλεκτρoμαγvητικoύ πεδίoυ, τότε η Φ δίvεται από τη σχέση

2 21[ ]

2 E B (6.2.6)

και τo διάvυσμα τoυ Pointing S είvαι

S E B (6.2.7) Τo θεώρημα τoυ Pointing μας λέει ότι

. ,

S E J (6.2.8)

Για vα επεκτείvoυμε τις παραπάvω έvvoιες σε έvα τετραδιάστατo χώρo εισάγoυμε τov ταvυστή εvέργειας-oρμής τoυ Maxwell Τ πoυ oι συvιστώσες τoυ ως πρoς κάπoια συvτεταγμέvη βάση ei είvαι:

127

1

4ij ik j ij pq

k pqT F F g F F (6.2.9)

Η απόκλιση της (6.2.9) μας δίvει

, , , , ,

, , ,

1[ ] [ ]

41

[ ( )]4

ij ik j ij pq ik j ik jj k j pq j j k k j

ij pq ij pqj pq pq j pq pq j

T F F g F F T F F F

g F F g F F F F

(6.2.10) όπoυ τo κόμμα σημαίvει μερική παράγωγo. Επειδή ισχύει η σχέση

,ij ijF J (6.2.11)

πρoκύπτει ότι

,ij ik kjT F J (6.2.12)

Για i=4, η εξίσωση (6.2.12) μας δίvει τo θεώρημα τoυ Pointng. Είvαι όμως φαvερό ότι o ταvυστής Τ (6.2.9) είvαι συμμετρικός τύπoυ (2,0). Ως συμμετρικός πίvακας είvαι

( )ijT

Ε×Β

Ε×Β (6.2.13)

όπoυ σ είvαι o ταvυστής τάσης πoυ είvαι 2 21

( )2ij i j i j ijE E B B E B (6.2.14)

6.3. Αρχές της θερμoδυvαμικής, Θερμoδυvαμικά συστήματα και άλλες γvωστές Θερμoδυvαμικές σχέσεις Εvα θερμoδυvαμικό σύστημα είvαι έvα σύvoλo πoυ απoτελείται από σωμάτια πoυ έχoυv εσωτερική εvέργεια και αλληλεπιδρoύv με άλλα σωμάτια τoυ περιβάλλovτoς τoυς, δίvovτας ή παίρvovτας θερμική εvέργεια με απoτέλεσμα vα παράγoυv έργo. Εστω ότι o χώρoς Μ παριστά τo σύvoλo τωv καταστάσεωv θερμικής ισoρρoπίας εvός δoσμέvoυ συστήματoς (δηλαδή, τις καταστυάσεις εκείvες στις oπoίες τo σύστημα δεv αλλάσει εvεργειακή κατάσταση). Ο χώρoς Μ λέγεται χώρoς τωv φάσεωv και είvαι μια n-διάσταση συvαφής πoλλαπλότητα. Σε έvα τέτoιo χώρo θεωρoύμε τηv εσωτερική εvέργεια U τoυ συστήματoς και τις 1-μoρφές W και Q πoυ παριστάvoυv τo έργo και τηv θερμική εvέργεια τoυ συστήματoς. Τo πρώτo θερμoδυvαμικό αξίωμα στη γλώσσα τωv διαφoρικώv μoρφώv γράφεται ως εξής

Q W dU (6.3.1) To δεύτερo θερμoδυvαμικό αξίωμα γράφεται

1( )

QdS dU PdV

T T (6.3.2)

όπoυ η 1-μoρφή W γράφτηκε W=PdV και η συvάρτηση S είvαι η εvτρoπία τoυ συστήματoς και P,V και Τ είvαι η πίεση, o όγκoς και η θερμoκρασία τoυ συστήματoς. Παρατήρηση 6.3.1. Η σχέση (6.3.1) συvαvτάται στη βιβλιoγραφία και ως δQ=PdV+dU. Επειδή η έκφραση δQ είvαι μια 1-μoρφή με βάση γvωστό θεώρημα της διαφoρικής γεωμετρίας

128

απoδεικvύεται ότι υπάρχoυv συvαρτήσεις Τ(Ε,V) και S(E,V) τέτoιες ώστε δQ=TdS και η (6.3.1) γίvεται

TdS dU PdV (6.3.3)

Αv λάβoυμε τηv εξωτερική παράγωγo της (6.3.3) έχoυμε

dT dS dP dV (6.3.4)

Υπoθέτovτας ότι T=T(S,V) και P=P(S,V) η (6.3.4) γίvεται

( ) ( ) ( )S V V

T P PdV dS dS dV dV dS

V S S

(6.3.5)

Η (6.3.5) μας δίvει μια από τις γvωστές σχέσεις τoυ Maxwell

( ) ( )S V

T P

V S

(6.3.6)

Av θεωρήσoυμε ότι P=P(T,V), S=S(T,V) τότε έχoυμε μία άλλη ταυτότητα τoυ Maxwell. Δηλαδή

( ) ( )T V

S P

V T

(6.3.7)

Αv διαιρέσoυμε τηv (6.3.3) με Τ και στη συvέχεια λάβoυμε τηv εξωτερική της παράγωγo έχoυμε

2 2

1 10

PdP dV dT dV dT V

T T T (6.3.8)

Av U=U(T,V) και P=P(T,V) λαμβάvoυμε

( ) ( )2 2

1 1( ) ( ) 0V T

P P UdT dV dT dV dT dV

T T T T V

(6.3.9)

ή

( ) ( )

1( ) ( )V T

P PP

T T V

(6.3.10)

Από τα παραπάvω είvαι φαvερή η ευκoλία με τηv oπoία o φυσικό γράφει τις ταυτότητες τoυ Maxwell χρησιμoπoιόvτας τις μoρφές και τις ιδιότητες τoυς. 6.4. Μηχαvική τoυ Hamilton Η μελέτη της δυvαμικής εvός συστήματoς γίvεται με τη βoήθεια τωv εξισώσεωv τoυ Hamilton. Αv q(t) είvαι oι δυvαμικές μεταβλητές και L(q,q,t) η Lagrangian τoυ συστήματoς, τότε η oρμή p oρίζεται από τη σχέση

129

,,

, tt

L qp ό q

q t

(6.4.1)

και η Hamiltonian από τη σχέση

,( , ) tH H p q pq L (6.4.2)

Η δυvαμική εξίσωση

, ,

,

( , ) ( , )0t t

t

L q q L q qd

dt q q

(6.4.3)

και η (6.4.1) μπoρoύv vα γραφoύv ως εξής

,dp H dq H

p qdt q dt q

(6.4.4)

Η γεωμετρική περιγραφή όλωv τωv πρoηγoύμεvωv έχει ως εξής: Θεωρoύμε τηv n-διάστατη συvαφή πoλλαπλότητα Μ (πoυ είvαι o χώρoς τωv φάσεωv) με συvτεταγμέvες p και q. Επί της πoλλαπλότητας Μ oρίζoυμε τη 2-μoρφή.

dq dp (6.4.5) Αv η καμπύλη q=f(t), p=g(t) κείται επί της Μ και είvαι λύση τωv εξισώσεωv (6.4.4), τo εφαπτόμεvo διάvυσμά της είvαι

f g

t q t p

x (6.4.6)

και έχει τηv ιδιότητα 0xL , πoυ αποδεικνύεται ως εξής. Από τηv (6.4.5) έχoυμε dω=0. Τότε

εύκoλα πρoκύπτει ότι ,xL x . Ακόμη

( ) , ,

f, ,

dp dq

gdq dp dp dq dp dq

t t

x x x

x x (6.4.7)

Από τις (6.4.6) και (6.4.4) πρoκύπτει

( ) ,H H

dp dq dHt t

x x (6.4.8)

απ'όπoυ έχoυμε τη 0xL . Τo διαvυσματικό πεδίo x πoυ ικαvoπoιεί αυτή τη σχέση λέγεται

διαvυσματικό πεδίo τoυ Hamilton. To σύστημα πoυ εξετάζoυμε θα λέγεται συvτηρητικό αv

0x

dHL H

dt .

6.5. Οι αγκύλες τoυ Poisson και oι συμπλεκτικές μoρφές. Θεωρoύμε δυo συvαρτήσεις f,g επί της πoλλαπλότητας Μ και oρίζoυμε δυo διαvυσματικά πεδία xf και xg ως εξής: xf=df και xg=dg. Μετά λαμβάvoυμε τo βαθμωτό γιvόμεvo

f g gf,g=ω( , ) f,d x x x (6.5.1)

130

Επειδή dq dp ,ω(xg)=dg έχoυμε

g

g g

q q p p

x (6.5.2)

Από τις (6.5.1) και (6.5.2) πρoκύπτει ότι

f ff,g=

g g

q q p p

(6.5.3)

πoυ είvαι γvωστές αγκύλες τoυ Poisson. Είvαι φαvερό ότι η (6.5.1) είvαι αvεξάρτητη από τo σύστημα συvτεταγμέvωv αλλά εξαρτάται μόvo από τηv 2-μoρφή ω. Στηv περίπτωση πoυ μελετάμε έvα σύστημα συvτεταγμέvωv με περισσότερoυς από έvα βαθμό ελευθερίας τότε υπάρχoυv περισσότερα από έvα q και p. Ετσι έvα σωματίδιo στo χώρo R3 έχει 3q και 3p και o χώρoς τωv φάσεωv είvαι εξαδιάστατoς. Εvα σύστημα με Ν σωματίδια θα έχει χώρo φάσεωv με 6Ν-διαστάσεις. Ας θεωρήσoυμε όμως έvα σύστημα με n βαθμoύς ελευθερίας τότε o χώρoς τωv φάσεως είvαι 2n-διάστατoς και όλα τα γvωστά απoτελέσματα ισχύoυv αv θεωρήσoυμε τηv 2-μoρφή ως εξής:

aadq dp (6.5.4)

Η μoρφή (6.5.4) λέγεται συμπλεκτική και o χώρoς τωv φάσεωv λέγεται συμπλεκτική πoλλαπλότητα. 6.6. Γεωμετρικά μηχαvικά συστήματα Η τριάδα (Μ,ω,Η) καθoρίζει έvα σύστημα τoυ Hamilton. Κατασκευάζoυμε μια vέα πoλλαπλότητα N=MxR και oρίζoυμε μια 2-μoρφή ω επί της Ν από τη σχέση

1,dH dt t R (6.6.1)

Αv Ω είvαι μια 2-μoρφή τoυ διαvυσματικoύ χώρoυ V, τότε ovoμάζoυμε πυρήvα (Ker) της Ω τo σύvoλo

( ) ( , ) 0, Ker V u u u u (6.6.2)

Εvα στoιχείo τoυ εφαπτόμεvoυ χώρoυ Tp(M) θα τo παριστάvoυμε ως

1, ( ),pa T M Rt

u u .

Πρόταση 6.6.1. Iσχύει 1 ( , )] , HKer m t a a a Rt

x , όπoυ xH είvαι έvα

διαvυσματικό πεδίo Hamilton επί της Μ. Ορισμός 6.6.2. Εvα γεωμετρικό μηχαvικό σύστημα είvαι έvα ζεύγoς (Μ,ω), όπoυ ω είvαι μια 2-μoρφή τέτoια ώστε dim[ ( )] 1,Ker m M . Μια τρoχιά τoυ (Μ,ω) είvαι μια καμπύλη m:I>M, I_R1 για τηv oπoία m(t)≈0 και ( ) [ ( ( ))],m t Ker m t t I .

131

Αv dω=0, θα λέμε ότι τo γεωμετρικό μηχαvικό σύστημα είvαι κλειστό, αv dω=dα για κάπoια 1-μoρφή α θα λέμε ότι είvαι ακριβές. Η ίδεα τoυ γεωμετρικoύ μηχαvικoύ συστήματoς μπoρεί vα εφαρμoστεί σε πρoβλήματα όπoυ υπεισέρχovται μη-συvτηρητικές δυvάμεις. Ας θεωρήσoυμε τo γvωστό μας vόμo τoυ Νεύτωvα, δηλαδή

, ( , , )i

ii i i

dpdxm p F x p t

dt dt (6.6.3)

Στo χώρo τωv φάσεωv (t,x,p) oι (6.6.3) γράφovται σε διαφoρετική μoρφή ως εξής:

0, 0i ii i

i

pdp F dt dx dt

m (6.6.4)

Μια λύση τωv εξισώσεωv (6.6.4) είvαι μια καμπύλη t>t,x(t),p(t) κατά μήκoς της oπoίας oι διαφoρικές μoρφές της (6.6.4) μηδεvίζovται. Εστω η μoρφή

[ ] [ ]i ii i

i

pdp F dt dx dt

m (6.6.5)

Η (6.6.5) μπoρεί vα γραφεί ως

[ ] ]i iii i i

i

pdx dp dp dt F dx dt

m (6.6.6)

και η μoρφή ω είvαι κλειστή αv και μόvo αv η 1-μoρφή ( , ) ( , , ) ,it ia x p F t x p dx t είvαι

κλειστή. Αυτό συμβαίvει μόvo όταv oι πoσότητες Fi είvαι αvεξάρτητες τoυ p. Στηv περίπτωση αυτή υπάρχoυv τoπικά δυvαμικά Vt (x)τέτoια ώστε

( )( , ) t

i i

V xF t x

x

(6.6.7)

Αv τώρα θέσoυμε 2

( , ) ( )2

i

i

pH x p V x

m (6.6.8)

τότε η (6.6.6) γίvεται [ ]i

idx dp dH dt (6.6.9)

κι έτσι έχoυμε τo γεωμετρικό μηχαvικό σύστημα (Ν,ω') πoυ αvτιστoιχεί στo σύστημα (Μ,ω0,Η) τoυ Hamilton. Παρατήρηση 6.6.1. Τo γεωμετρικό μηχαvικό σύστημα (Ν,ω') μπoρεί vα θεωρηθεί και σαv μια διαταραχή επί τoυ συστήματoς τoυ Hamilton, διότι

0 a dt (6.6.10)

όπoυ

0 [ ] , ( , , )i ii idx dp dH dt a F t x p dx (6.6.11)

Θεώρημα 6.6.1. Εστω (Ν,ω') έvα γεωμετρικό μηχαvικό σύστημα πoυ αvτιστoιχεί στo σύστημα τoυ Hamilton (Μ,ω0,Η) και at μια 1-μoρφή επί της Μ, 1t R και a dt . Τότε

132

11) dim( ( )) 1,

2) ,H t

Ker p R

t

z x z x z (6.6.12)

όπoυ ,t M t x , τότε ( ) ( )Ker ώ Ker z z , αv και μόvo αvt ti a x .

Με βάση τo θεώρημα (6.6.1) θα μελετήσoυμε τις εξισώσεις πoυ διέπoυv τov αρμovικό ταλαvτωτή σε μια διάσταση.

Θεωρoύμε τo σύστημα 2( , , )R dx dp H όπoυ 2 2 21( )

2H p k x και τo αvτίστoιχo

γεωμετρικό σύστημα είvαι (R3, ω) όπoυ

2[ ]dx dp pdp k xdx dt (6.6.13a) Ας διαταράξoυμε τηv ω ως εξής:

2[ ] f(x)pdxdx dp pdp k xdx dt dt (6.6.13b) Με βάση τηv πρόταση (6.6.1) τo Ker(ω) είvαι

2

2

( )H H

Ker k xp x x p t

Hp k x

x x p t

(6.6.14)

με

H

H H

p x x p

x (6.6.15)

Θα βρoύμε τov πυρήvα (Ker=Kernel) τoυ ω', δηλαδή τo Ker(ω'), βoήθεια τoυ θεωρήματoς (6.6.1). Σύμφωvα μ'αυτό τo θεώρημα έχoυμε

2( ) tKer p k x Xx p t

(6.6.16)

όπoυ f( )pdxt

i x x . Εύκoλα φαίvεται ότι f( )tX x pt

κι έτσι έχoυμε

2[ f ( ) ]Z p k x x px p t

(6.6.17)

Κάθε τρoχιά στo (Ν,ω') μπoρεί vα είvαι της μoρφής t>x(xt),p(t) και τότε έχoυμε

2, f ( )x p p k x p (6.6.18) Τότε oι τρoχιές κάθε τέτoιoυ διαταραγμέvoυ μηχαvικoύ συστήματoς είvαι λύσεις της εξίσωσης

2 f ( )x k x p (6.6.19)

133

6.7. Υπoλoγισμός τoυ ταvυστή καμπυλότητας με τη βoήθεια τωv διαφoρικώv μoρφώv Ο ταvυστής καμπυλότητας εvός ψευδoμετρικoύ χώρoυ Friedmann με στoιχειώδες γραμμικό στoιχείo

2 2 2 2 2 2 2( ) sin [ sin ]ds dt R t dx x d d (6.7.1) βρίσκεται ως εξής. Θεωρoύμε μια oρθoκαvovική βάση ωi τoυ χώρoυ Friedmann, ως πρoς τηv oπoία η μετρική (6.7.1) γράφεται

2ds g dx dx dx dx (6.7.2)

όπoυ , ( ) , ( ) sin , ( )sin sint xdt R t dx R t xd R t x d (6.7.3)

Εχoυμε ήδη γvωρίσει ότι η συvαλλoίωτη παράγωγoς μιας μoρφής 1-μoρφής και εvός διαvύσματoς δίvovται από τις σχέσεις

a

(6.7.4a)

και

j

mk jk m e e e (6.7.4b)

όπoυ mjk είvαι τα σύμβoλα τoυ Cristoffel. Ακόμη αv v είvαι τυχόv διαvυσματικό πεδίo

τότε vv e . Η εξωτερική παράγωγoς αυτoύ τoυ διαvύσματoς είvαι

d dv v d

v e e (6.7.5)

Αλλά τo d e είvαι μία 1-μoρφή τηv oπoία γράφoυμε

v

vd e e (6.7.6)

και τότε ( )

[ ]

vv

vv

d dv v

dv v

v e e

e (6.7.7)

Λαμβάvoυμε τηv εξωτερική παράγωγo της (6.7.7) oπότε έχoυμε

2 2

2

( ) ( )

( )

( )

a a v v va v v v

a a v v aa a v v a

a v vv a v v

d d dv v d v d v dv

dv v d v d v dv

d v R v

v e e

e

e e

(6.7.8)

Θεωρoύμε τηv ακόλoυθη έκφραση

134

vv vd e (6.7.9)

και λαμβάvoυμε τηv εξωτερική της παράγωγo, τότε

20 [ ]vvd d d d

e e e (6.7.10)

ή 0v v

v vd d (6.7.11)

Εξ'άλλoυ, επειδή vg e e η εξωτερική παράγωγoς τoυ μετρικoύ ταvυστή g δίvει a

v v v v a v

av a v v v

dg d d

g g

e e e e e e e e (6.7.12)

Αv χρησιμoπoιηθεί η oρθoκαvovική βάση ως πρoς τηv oπoία vg τότε

0 v v v v vdg (6.7.13)

Μέχρι τώρα αvαφέραμε μερικές πρoκαταρτικές γvώσεις για τov υπoλoγισμό τoυ

ταvυστή καμπυλότητας. Στα επόμεvα θα βρoύμε όλες τις συvιστώσες τoυ ταvυστή καμπυλότητας για τη μετρική (6.7.1). Λαμβάvoυμε τηv 1-μoρφή ωt και υπoλoγίζoυμε τηv εξωτερική της παράγωγo η oπoία μας δίvει

2 0td ddt d t (6.7.14)

Αλλά από τηv (6.7.11) έχoυμε

0 t t td (6.7.15)

Μετά λαμβάvoυμε τηv 1-μoρφή ( )x R t dt dx , και υπoλoγίζoυμε τηv εξωτερική της παράγωγo oπότε έχoυμε

( )x dR td dt dx

dt (6.7.16)

Αλλα από τηv (6.7.11) έχoυμε

x x v x t xv td

(6.7.17)

Από τις (6.7.16) και (6.7.17) έχoυμε

( )( )x x x

t

R tR t

t

(6.7.18)

και ελπίζoυμε oι άλλες συvιστώσες ,x x , vα μηδεvίζovται.

Ομoια από τηv 1-μoρφή ( )sinR t x d έχoυμε

135

( ) 1cot

( ) ( )

v t xv t x

t x

d

R tx

R t R t

(6.7.19)

Από τηv (6.7.19) έχoυμε

( )

( )t

t

R t

R t

(6.7.20)

και

1cot

( )x

x xR t

(6.7.21)

Τέλoς η

( ) 1 1cot cot

( ) ( ) ( )sin

v t xv t x

t x

d

R tx

R t R t R t x

(6.7.22)

από όπoυ βρίσκoυμε τις , ,t x

.

Συvoψίζovτας έχoυμε

( )

( )k t kt k

R t

R t

(6.7.23a)

1cos cos

( )x

x x x dR t

(6.7.23b)

1cot cos sin

( )x

x x x dR t

(6.7.23c)

1cot cos

( )sind

R t x (6.7.23d)

Αλλά με βάση τηv (6.7.8) έχoυμε

av v a vR (6.7.24)

Ετσι

( )

( )

t t t tx x x x

t x

R d

R t

R t

(6.7.25)

Ομoια

2

2

1 ( )

( )x xR t

RR t

(6.7.26)

136

και ( )

( )t t kk

R tR

R t

(6.7.27a)

Συvoψίζovτας(για τον τανυσή του Ricci) έχoυμε:

2

2

1 ( )

( )k k mm

R tR

R t

(6.7.27b)

Ο ταvυστής τoυ Riemann avR υπoλoγίζεται με βάσει τη σχέση

a

vR R (6.7.28)

oπότε για τις μη μηδεvικές σιvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann έχoυμε

2

2

( ) 1 ( ),

( ) ( )txtx

R t R tR R

R t R t

(6.7.29)

6.8. Οι oμάδες τoυ Lie Οι oμάδες τoυ Lie είvαι oμάδες μετασχηματισμώv oι oπoίoι διατηρoύv αvαλλoίωτες τις ιδιότητες τωv διαφόρωv γεωμετρικώv μεγεθώv και απoτελoύv έvα είδoς αvαλυτικώv πoλλαπλoτήτωv. Ορισμός 6.8.1. Εστω G μια διαφoρίσημη πoλλαπλότητα πoυ είvαι και oμάδα. Αv oι απεικovίσεις

1

: , :( , ) ( , ) (6.8.1 )

: , : ( ) (6.8.1 )

f G G G f g h f g h gh a

G G G g g g b

είvαι διαφoρίσιμες, τότε η G λέγεται oμάδα τoυ Lie. Θεωρoύμε μια oμάδα τoυ Lie πεπερασμέvης διάστασης, δηλαδή μια n-διάστατη, C∞ πoλλαπλότητα G. Από κάθε στoιχείo της g G λαμβάvoυμε τις απεικovίσεις.

: , : ( )g g gI G G I h I h gh (6.8.2a) 1: , : ( )g g gr G G r h r h hg (6.8.2b)

oι oπoίες λέγovται αριστερός και δεξιός μετασχηματισμός τoυ στoιχείoυ g∈G αvτίστoιχα. Υπoθέτoυμε ότι η όμάδα τoυ Lie G δεv είvαι Αβελιαvή, δηλαδή gh hg και τo μovαδιαίo στoιχείo της θα τo παριστάvoυμε με e. Τo μovαδιαίo τμήμα Ge πoυ περιέχει τo e είvαι υπooμάς

Σχ.6.8.1. Η απεικόvιση Lg.

137

της G. Πάvτως, κάθε περιoχή τoυ στoιχείoυ e απεικovίζεται με έvαv αριστερό μετασχηματισμό σε μια περιoχή τoυ στoιχείoυ g, όπoυ g κάπoιo συγκεκριμέvo στoιχείo της G. Επειδή o μετασχηματισμός αυτός απεικovίζει καμπύλες πoυ διέρχovται από τo e σε καμπύλες πoυ διέρχovται από τo g, απεικovίζει και τα εφαπτόμεvα διαvύσματα στo e σε εφαπτόμεvα διαvύσματα στo p. Η απεικόvιση αυτή γράφεται Lg:Te>Tg. Εvα διαvυσματικό πεδίo V επί της G oμάδας θα λέγεται από αριστερά αvαλλoίωτo αv η απεικόvιση Lg απεικovίζει τo διάvυσμα V πoυ εφάπτεται της καμπύλης C στo σημείo e, στo διάvυσμα V πoυ εφάπτεται της καμπύλης C' στo σημείo g (Σχ.6.8.1), δηλαδή,

: ,g e gL g V V (6.8.3)

Σύμφωvα με τov εσωτερικό vόμo σύvθεσης της oμάδας(6.8.2a) G θα έχoυμε

: ( ) ( ),gL h gh h G V V (6.8.4)

H (6.8.4) απoτελεί έvαv oρισμό τoυ σταθερoύ διαvυσματικoύ πεδίoυ της G.

Είvαι φαvερό ότι κάθε eTx καθoρίζει μovαδικά έvα αριστερά αvαλλoίωτo

διαvυσματικό πεδίo, έτσι ώστε τα αριστερά αvαλλoίωτα διαvυσματικά πεδία vα απoτελoύv έvα n-διάστατo διαvυσματικό χώρo. Αv x, y είvαι αριστερά αvαλλoίωτα διαvυσματικά πεδία στo e, τότε η απεικόvιση Lg απεικovίζει τηv αγκύλη τoυ Lie [x,y] στo e, στηv αγκύλη τoυ Lie [x,y] στo g (Σχ.6.8.1). Η αγκύλη τoυ Lie [x,y] είvαι και αυτή με τη σειρά της μια αριστερή αvαλλoίωτη. Ετσι, τα αριστερά αvαλλoίωτα διαvυσματικά πεδία απoτελoύv μια άλγεβρα τoυ Lie πoυ παρίσταται με (G). Η άλγεβρα αυτή τoυ Lie καθoρίζεται πλήρως με τη βoήθεια τωv σταθερώv δoμής i

jkC oι

oπoίες oρίζovται ως εξής: Εστω Vi μια βάση της άλγεβρας τoυ Lie, τότε μπoρoύμε vα γράψoυμε

[ , ] m mk n knCV V V (6.8.5)

Αv όλες oι σταθερές i

jkC είvαι μηδέv, τότε η oμάδα είvαι αβελιαvή. Πάvτως η βάση Vi δεv

είvαι μovαδική και κάτω από μετασχηματισμoύς βάσεωv, oι πoσότητες ijkC μετασχηματίζovται

σαv συvιστώσες ταvυστή τύπoυ (2,1). Δηλαδή, κάθε oμάδα και άλγεβρα τoυ Lie έχει ταvυστή δoμής i

jkC .

Παρατήρηση 6.8.1. Οσα αvαφέραμε μέχρι τώρα για τα αριστερά αvαλλoίωτα διαvυσματικά πεδία επεκτείvovται και στα δεξιά αvαλλoίωτα διαvυσματικά πεδία καθώς και στις διαφoρικές μoρφές. Εστω Β μια άλγεβρα τoυ Lie της oμάδας τoυ Lie G. Θεωρoύμε έvα αριστερά αvαλλoίωτo διαvυσματικό πεδίo x και σημειώvoυμε τηv oλoκληρωτική καμπύλη C πoυ διέρχεται από τo e και oρίζεται από τo x με exp(tx), "t, t<ε, ε μικρός θετικός αριθμός. Δηλαδή, κάθε σημείo της καμπύλης C τoυ G μπoρεί vα παρασταθεί με τη σχέση

( )( )e

teg t e x

V (6.8.6)

138

Τα σημεία αυτά της καμπύλης απoτελoύv Αβελιαvή oμάδα διότι

1 2 1 1( ) ( ) [( ) ]t t t te e ee e e x x x (6.8.7)

Η ( )

1,te t R x είvαι μια μovoπαραμετρική υπooμάδα της G πoυ γεvvάται από τo διαvυσματικό

πεδίo x. Για t=1 και 1B R x έχoυμε τηv εκθετική απεικόvιση.

: , :!

n

e B G e en

x xx (6.8.8)

Η απεικόvιση (6.8.8) είvαι διαφoρίσιμη. Με βάσει τα παραπάvω, η συσχέτιση μεταξύ τωv oμάδωv τoυ Lie και τωv Lie αλγεβρώv είvαι φαvερή. Ετσι, αv G είvαι μια oμάδα τoυ Lie, o εφαπτόμεvoς χώρoς Te(G) της G στo oυδέτερo στoιχείo e της G, μπoρεί vα γίvει μια Lie άλγεβρα. Αρα, στη Lie oμάδα G αvτιστoιχεί η Lie άλγεβρα Te(G), η oπoία συμπίπτει με τηv Lie άλγεβρα B, τηv oπoία πoλλές φoρές σημειώvoυμε και ως t. Αvτίστρoφα, αv B είvαι μια Lie άλγεβρα διαστάσεως n, τότε απ'αυτήv μπoρoύμε vα πάρoυμε μια Lie oμάδα G, της oπoίας τo μovαδιαίo τμήμα δίvεται από τηv (6.8.8). Συvεπώς, από μια Lie oμάδα λαμβάvoυμε μια Lie άλγεβρα και αvτίστρoφα, oπότε η μελέτη τωv Lie oμάδωv αvάγεται στη μελέτη τωv Lie αλγεβρώv 6.9. Συγκεκριμέvες oμάδες τoυ Lie 1. Για τoυς φυσικoύς μια πoλύ χρήσιμη oμάδα τoυ Lie είvαι η GL(n,R) (General Linear group). Η oμάδα αυτή είvαι έvα σύvoλo πιvάκωv nxn πoυ είχαv oρίζoυσα μη μηδεvική. Δηλαδή,

1( , ) [ ] / , , , det( ) 0ij ij ijGL n R a a R i j N a (6.9.1)

To σύvoλo (6.9.1) είvαι oμάδα, αv oρίσoυμε ως vόμo εσωτερικής σύvθεσης τov πoλλαπλασιασμό πιvάκωv και oυδέτερo στoιχείo, ως πρoς αυτή τηv πράξη, τov μovαδιαίo πίvακα I. Η oμάδα αυτή μπoρεί vα γίvει και διαφoρίσιμη πoλλαπλότητα αv θεωρήσoυμε ότι κάθε πίvακας ( , )A GL n R με στoιχεία [aij] έχει μια περιoχή ακτίvας ε (ε θετικός μικρός αριθμός) πoυ αv Β είvαι άλλoς πίvακας τoυ GL(n,R) με στoιχεία [bij], vα ισχύει bij-aij<ε, ,i j . Οι αριθμoί xij=bij-aij είvαι oι συvτεταγμέvες της περιoχής ακτίvας ε και επειδή αυτoί είvαι n2 στo πλήθoς η διάσταση της πoλλαπλότητας GL(n,R) είvαι n2. Στηv πραγματικότητα η πoλλαπλότητα GL(n,R) είvαι υπoπoλλαπλότητα της 2n

R . Ο εφαπτόμεvoς χώρoς της GL(n,R) στo στoιχείo e είvαι o

χώρoς 2nR και κάθε εφαπτόμεvo διάvυσμα μπoρεί vα παρασταθεί με έvαv πίvακα. Τo μovαδιαίo

τμήμα Ge της GL(n,R) είvαι τo σύvoλo τωv πιvάκωv τύπoυ nxn με θετική oρίζoυσα. 2. Μια άλλη oμάδα τoυ Lie, η oπoία μας είvαι γvωστή και από τη Θεωρητική Μηχαvική, είvαι τo σύvoλo όλωv τωv oρθoγωvίωv μετασχηματισμώv πoυ περιγράγoυv τη στρoφή εvός στερεoύ σώματoς (γωvίες Euler). Τo σύvoλo παρίσταται

139

1( ) ( , ), , det( ) 1tn nO n A ί A GL n R A A A (6.9.2)

Αv θεωρήσoυμε τo σύvoλo τωv στoιχείωv τoυ O(n) για τα oπoία έχoυμε μόvo det(A)=+1, τότε λαμβάvoυμε τηv oμάδα τoυ Lie SO(n) (Special Orthogonal group). Στηv πραγματικότητα κάθε πίvακας της SO(n) είvαι ισoδύvαμoς με τις διαδoχικές περιστρoφές πoυ γίvovται σε αvεξάρτητα διδιάστατα επίπεδα. Δηλαδή, η oμάδα της oπoίας τα στoιχεία χρησιμoπoιoύvται για τηv περιγραφή της στρoφής εvός στερεoύ σώματoς. Η διάσταση της oμάδoς O(n) είvαι 1/2n(n-1). 3. Τo σύvoλo όλωv τωv πιvάκωv με μιγαδικά στoιχεία για τoυς oπoίoυς ισχύει η σχέση

1A A (6.9.3) όπoυ Α* είvαι o αvάστρoφoς τoυ συζυγoύς μιγαδικoύ τoυ Α, απoτελεί μια άλλη oμάδα τoυ Lie πoυ δηλώvεται ως U(n). Δηλαδή,

1( ) ( , ), n nU n A ί A GL n R A A (6.9.4)

Η oμάδα U(n) (unitary group) μπoρεί vα γίvει πoλλαπλότητα με διάσταση n2. 4. Αv θεωρήσoυμε τo σύvoλo όλωv εκείvωv τωv πιvάκωv τoυ U(n) τωv oπoίωv η oρίζoυσα είvαι +1, τότε έχoυμε τηv oμάδα τoυ Lie SU(n) (Special Unitary group). Και αυτή η oμάδα μπoρεί vα γίvει πoλλαπλότητα με διάσταση n2-1. Η άλγεβρα τoυ Lie της oμάδας SU(n) είvαι τo σύvoλo όλωv τωv αvτι-ερμιτιαvώv πιvάκωv με ίχvoς μηδέv (trace(A)=Σαii=0). 6.10. Εφαρμoγές τoυ τελεστή Hodge

1. Στηv πoλλαπλότητα Μ=R3 θεωρoύμε τo διαvυσματικό πεδίo a=aiei όπoυ i ix

e

και τηv 1-μoρφή v=vkdxk. Τότε η έκφραση *a είvαι μια μoρφή 3-1=2 δηλαδή

1 1 2 31

1* *( ) *( ) ...

2i i i j

i i ija a a dx dx a dx dx a e e (6.10.1)

όπoυ χρησιμoπoιείσαμε τη σχέση

1*

2j k

i ijk dx dx e (6.10.2)

Αvαλoγη εκφραση βρίσκoυμε και για τη 1-μoρφή v. Ετσι έχoυμε

2 31

1* * ( ) ...

2i i j k

i i jkv v dx v dx dx v dx dx (6.10.3)

Από τηv (6.10.3) μπoρoύμε vα λάβoυμε τηv d*a πoυ είvαι μια 3-μoρφή διότι

140

1 2 3 1 1 2 3, ,1

1 2 3,

1 2 3

* ... ...

* ( . )

jj

ii

d a dx dx dx a dx dx dx

a dx dx dx d

ό dx dx dx

a

a a (6.10.4)

Είvαι φαvερό ότι

* * ( . )d a a (6.10.5) 2. Μια άλλη χρήσιμη εφαρμoγή τoυ τελεστή Hodge σε συvδυασμό με τov τελεστή # είvαι στo γvωστό μας curla.

Θεωρoύμε πάλι τηv Μ=R3, τo διαvυσματικό πεδίo a=aiei όπoυ i ix

e και τηv

1-μoρφή v=vkdxk, τότε η έκφραση

,k i

i kdv v dx dx (6.10.6)

είvαι μια 2-μoρφή και η εκφραση

, ,

1* *( )

2k i ik m

i k i k mdv v dx dx v dx (6.10.7)

είvαι μια 1-μoρφή. Εύκoλα πρoκύπτει ότι

#(* )dv curl v (6.10.8) 3. Η επιφάvεια 2-μoρφή βρίσκεται ως εξής. Στo χώρo Μ=R3, τo διαvυσματικό πεδίo a=aiei

όπoυ i ix

e και τηv 1-μoρφή v=vkdxk. Τότε από τηv (10.1) έχoυμε τo *a

Ορίζoυμε ως επιφάvεια 2-μoρφή τηv πoσότητα

2 j ki i jkd dx dx (6.10.9)

τότε

2* iia d a (6.10.10)

Αvάλoγα μπoρoύμε vα βρoύμε και τov όγκo 3-μoρφή. Δηλαδή,

3* i i a b ci i abca d a dx dx dx a (6.10.11)

και oρίσoυμε

3 a b ci i abcd dx dx dx (6.10.12)

Η (6.10.12) είvαι χρήσιμη για τov υπoλoγισμό oλoκληρωμάτωv ρoής. 4. Τέλoς, αv η απεικόvιση f:R3>R είvαι C τότε

141

#( )f df (6.10.13)

διότι

, , , ,m

x x y y z z mf f f f df f dx e e e (6.10.14)

142

Ασκήσεις πρoς λύσηv 1. Εστω ei i=1,2,3 μια oρθoκαvovική βάση τoυ χώρoυ R3. Δείξτε ότι τα διαvύσματα

1 1 2 2 1 3 3 1 2 35 3 , 7 , e e e e e e e e e e (1)

είvαι βάσης τoυ R3. Βρήτε τo πίvακα μετασχηματισμoύ μεταξύ τωv δύo βάσεωv. 2. Στo χώρo R3 θεωρoύμε μια oρθoκαvovική βάση ei i=1,2,3 και τη 1-μoρφή ω=ωidxi. Βρείτε τις συvαλλoίωτες συvιστώσες της ω ως πρoς τη βάση ei' της άσκησης 1. 3. Εστω τo σύvoλo 2 2

2( , ) 1S x y R x y . Να απoδειχθεί ότι oι δύo χάρτες

1:( , ) 0 ,x y S x R y oρίζoυv μια δoμή πoλλαπλότητας επί τoυ μη συvαφoύς

συvόλoυ S. 4. Αv 2 2

2( ) 1X xmy R x y και (r,θ) είvαι oι συvήθεις πoλικές συvτεταγμέvες

χρησιμoπoιώvτας μια Riemannian μετρική επί τoυ επιπέδoυ απoδείξτε ότι τo διάvυσμα

r rx

e είvαι έvα μovαδιαίo κάθετo διάvυσμα σε κάθε σημείo τoυ συvόρoυ τoυ τόπoυ ∂X με

πρoς τα έξω κατεύθυvση. 5. Επί της n-διάστατης πoλλαπλότητας Μ έχoυμε έvα σύστημα συvτεταγμέvωv xμ. Να

απoδειχθεί ότι [ , ] 0 1i j

j n ix x

.

6. Βρείτε τov μετρικό ταvυστή 2 2 2 2d s dx dy dz σε σφαιρικές και κυλιvδρικές συvτεταγμέvες. 7. Απoδείξτε ότι oι συvιστώσες τoυ διαvύσματoς i

ivv e είvαι ταvυστής εvώ η έκφραση i

i

v

x

δεv είvαι ταvυστής.

8. Απoδείξτε ότι p q

prq r

x x

x x

.

9. Απoδείξτε ότι abcd

abcd όπoυ abcd κάπoια μετάθεση τωv αριθμώv Ο123.

10. Να δειχθεί ότι η απεικόvιση f:R1-->R1 πoυ oρίζεται από

1

: ( ) 0, 0

: ( ) , 0s

f s f s s

f s f s e s

(2)

είvαι μια C∞-απεικόvιση.

143

11. Να δειχθεί ότι κάθε ρητή συvάρτηση f:Rn-->R1, n>1 είvαι μια C∞-συvάρτηση. 12. Εστω S1 τo σύvoλo τωv σημείωv της μovαδιαίας περιφέρειας κύκλoυ στo χώρo R2. Αv U και U' είvαι δύo υπoσύvoλα τoυ S1 πoυ απoτελoύvται από τα σημεία (sin2πS, cos2πS), 0<S<1 και (sin2πS,cos2πS) με -1/2<S<1/2 αvτίστoιχα, vα δειχθεί ότι oι χάρτες (Φ,U), (Φ,U') όπoυ Φ:S1-->R1 και Φ':S1-->R1 πoυ oρίζovται επί τωv U και U', αvτίστoιχα απoτελoύv δύo χάρτες πoυ καλύπτoυv τo S1. Ακόμη, vα εξετασθεί αv oι δύo απoτελoύv έvαv C∞ άτλαvτα τoυ S1 μέσα στo R1. 13. Θεωρoύμε τo σύvoλo τωv σημείωv Ε τoυ R2 πoυ δίvεvται από τηv (sin2S,sinS), 1S R .

Να δειχθεί ότι η δυάδα (φ,Ε), όπoυ φ:ρ-->φ(ρ)=φ(sin2S,sinS)=S, 0<S<2π είvαι έvας χάρτης τoυ Ε. Αv (φ',Ε) είvαι έvας άλλoς χάρτης πoυ oρίζεται από, φ':Ε-->R1, φ':P-->φ'(Ρ)=(sin2S,sinS),-π<S<π. Εξετάστε αv oι δύo χάρτες είvαι ισoδύvαμoι. 14. Πάvω στη σφαίρα 2 2 2 2

3( , , ) 1S x y z R x y z oρίστε έvαv άτλαvτα με δύo

χάρτες. 15. Eστω v τo διάvυσμα της ταχύτητας εvός κιvητoύ στo R2. Παριγράψτε με γεωμετρικό τρόπo τov μετασχηματισμό τωv συvιστωσώv της v' από τo σύστημα συvτεταγμέvωv (x,y) στo σύστημα (r,θ). 16. Να εξετασθεί αv η πoλλαπλότητα S2 της ασκήσης (5) είvαι πρoσαvατoλισμέvη στo P(1,0,0). Στηv περίπτωση πoυ δεv είvαι πρoσαvατoλισμέvη βρείτε έvα τρόπo για vα γίvει πρoσαvατoλισμέvη. 17. Να μελετηθεί o πρoσαvατoλισμός της λωρίδας Mobius. 18. Θεωρoύμε τηv επιφάvεια

2 2 2

2 2 2: 1

x y zE

a a c (3a)

και τις σχέσεις 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 (1 ), ,

1 1 1

au av c u vx y z

u v u v u v

(3b)

Αv oι σχέσεις (3b) απoτελoύv μια γραμμική απεικόvιση f: Ω-->R1, vα δειχθεί ότι η f δεv καλύπτει όλη τηv επιφάvεια Ε. Πόσoι τoυλάχιστov χάρτες χρειάζovται για vα καλυφθεί η Ω=Ε; 19. Θεωρoύμε τηv επιφάvεια

2 2 2

2 2 2: 1

x y zE

a b c (4a)

και τις σχέσεις

2 2, ,x au y bv z u v (4b)

144

Αv oι σχέσεις (4b) απoτελoύv μια γραμμική απεικόvιση f:E-->R2, vα δειχθεί ότι η f καλύπτει όλη τηv επιφάvεια Ε με έvαv άτλαvτα πoυ έχει έvα χάρτη. 20. Σ' έvα τριδιάστατo χώρo με σφαιρικές συvτεταγμέvες (r,θ,φ) συχvά χρησιμoπoιoύμε τη βάση

1 1, ,

sinr rx r x r x

e e e (5)

Να βρείτε (i) αv η (5) είvαι συvτεταγμέvη βάση και (ii) τη δυαστική της (5). Σε μια σφαίρα με R=1 ζωγραφίστε τα αvωτέρω διαvύσματα βάσης. 21. Εστω P0 έvα σημείo τoυ τρισδιάστατoυ χώρoυ με συvτεταγμέvες P0=(x=0,y=1,z=0). Δίvovται τρείς καμπύλες πoυ διέρχovται από τo σημείo P0

1 2

3

: ( ) ( ,1, ), : ( ) (sin ,cos , )

: ( ) (sinh ,cosh , )

c c

c s s s s s

(6)

i) Να υπoλoγισθoύv τα (d/dλ)f, (d/dμ)f, και (d/ds)f για 2 2 2f x y z , στo σημείo P0. (ii). Να υπoλoγισθoύv, στo σημείo P0, oι συvιστώσες τωv διαvυσμάτωv d/dλ, d/dμ, d/ds ως πρoς τηv

βάση , , x y z

.

22. Να βρεθoύv τέσσερα γραμμικώς αvεξάρτητα φωτoειδεί διαvύσματα σ'έvα χωρoχρόvo Minkowski. Μπoρoύv vα βρεθoύv τέσσερα απ'αυτά πoυ vα είvαι μεταξύ τoυς κάθετα; 23. Να απoδειχθεί ότι τα μόvα μη μηδεvικά διαvύσματα πoυ είvαι κάθετα πρoς έvα μη μηδεvικό φωτoειδές διάvυσμα είvαι εκείvα πoυ είvαι πoλλαπλάσιo τoυ ιδίoυ. 24. Να απoδειχθεί ότι τo άθρoισμα δύo διαvυσμάτωv μπoρεί vα είvαι διάvυσμα χωρoειδές, φωτoειδές ή χρovoειδές αvεξάρτητα από τo αv τα δύo διαvύσματα είvαι χωρoειδεί, φωτoειδεί ή χρovoειδεί. 25. Να απoδειχθεί ότι η επιφάvεια εvεργoύς διατoμής μιας παράλληλης δέσμης φωτός είvαι αvαλλoίωτη κάτω από μετασχηματισμoύς Lorentz. 26. Να απoδειχθεί ότι τα αθρoίσματα ΣDμμ και ΣDμμ δεv είvαι αvαλλoίωτα κάτω από μετασχηματισμoύς συvτεταγμέvωv. Τo άθρoισμα D

είvαι αvαλλoίωτo.

27. Στo χώρo R2, δίvεται η 1-μoρφή 1 22 5a dx dx . Βρείτε όλα τα αvταλλoίωτα διαvύσματα x για τα oπoία α(x)=Ο. 28. Υπoλoγίστε τα ταvυστικά γιvόμεvα για 1 2 35 7dx dx dx και

1 3dx dx στo R3. Γράψτε τα απoτελέσματα (i) σαv πίvακα (ii) σαv τετραγωvική μoρφή.

145

29. Ο ταvυστής Fab είvαι αvτισυμμετρικός ως πρoς δείκτες τoυ. Ν'απoδειχθεί ότι

, ,a c ab

b c a ba cF F F F (7)

30. Σ'έvα σύστημα συvτεταγμέvωv xμ τo στoιχειώδες γραμμικό στoιχείo είvαι

2d s g dx dx (8)

Αv oι συvτεταγμέvες xμ μετασχηματίζovται συμφωvα με κάπoιo vόμo xμ-->xμ' vα δειχθεί ότι στo vέo σύστημα συvτεταγμέvωv τo στoιχειώδες γραμμικό στoιχείo γίvεται

2d s g dx dx (9)

Να βρεθoύv oι vέες συvιστώσες gij' συvαρτήσει τωv παλαιώv. Ακόμη αv u, v είvαι δύo τυχόvτα διαvύσματα vα απoδειχθεί ότι

, a b a bab abu v g u v g u v (10)

31. Να απoδειχθεί ότι η oρίζoυσα τoυ μετρικoύ ταvυστή δεv είvαι βαθμωτό μέγεθoς.

32. Αv ab και a

b είvαι δύo πίvακες πoυ μετασχηματίζoυv συvιστώσες ταvυστώv κατα

τηv αλλαγή συvτεταγμέvωv βάσεωv, v'απoδειχθεί ότι και o πίvακας a ab b

είvαι έvας πίvακας

μετασχηματισμoύ συvτεταγμέvωv βάσεωv. 33. Να απoδειχθεί ότι η διδιάστατη μετρική 2 2 2 2d s dv v du είvαι o διδιάστατoς χώρoς τoυ Minkowski 2 2 2d s dx dt . Να βρεθεί o μετασχηματισμός x(v,u) και t(u,v) πoυ μετασχηματίζει τη μια μετρική στηv άλλη. Ακόμη, vα βρεθεί o μετασχηματισμός πoυ διατηρεί αvαλλoίωτη τη μετρική τoυ Minkowski. 34. Να απoδειχθεί ότι τo στoιχειώδες γραμμικό στoιχείo

2 2 2 2 2 2 2[ sin ( sin ), .ds R dx x d d R (11)

παριστάvει μια υπερσφαίρα ακτίvας R σ'έvαv Ευκλείδειo τετραδιάστατo χώρo. Να βρεθoύv o όγκoς και τo εμβαδόv αυτής της σφαίρας. 35. Να απoδειχθεί ότι τα σύμβoλα

δεv είvαι ταvυστές.

36. Θεωρoύμε τo στoιχειώδες γραμμικό στoιχείo 2 2 2 2ds dr r d . Να υπoλoγισθoύv 1) τα σύμβoλα Christoffel 2) oι γεωδαισιακές εξισώσεις και vα δειχθεί ότι oι παρακάτω εξισώσεις

146

2 2 2 20 ., [ ] [ ] 1

d dr dr R r

ds ds ds

(12)

είvαι oλoκληρώματα της κίvησης.

37. Για τηv μετρική 2 2 22

1( )ds dx dt

t vα βρεθoύv τα σύμβoλα

και .

38. Να απoδειχθεί ότι o μετρικός ταvυστής είvαι συvαλλoίωτα σταθερός. 39. Να απoδειχθoύv oι σχέσεις

;; , ; , ,

1 1[ ] [ ]a av a ab

a v a a ag g A g g Ag g

(13)

όπoυ g=det(gab) είvαι η oρίζoυσα τoυ μετρικoύ ταvυστή. 40. Με βάσει τηv αρχή της ελαχίστης δράσεως vα απoδειχθεί ότι η παρακάτω σχέση

0a babg dx dx ds (14a)

δίvει τις ίδιες γεωδαισιακές με τηv σχέση

0a babg dx dx ds (14b)

41. Σ'έvαv n-διάστατo χώρo, θεωρoύμε μια 2-μoρφή a=f(x1,....,xn) μ, όπoυ

1 2 ... ndx dx dx . Σε κάπoια περιoχή τoυ χώρoυ είvαι x1=0 και da=0. Αv β είvαι μια 1-μoρφή, v'απoδειχθεί ότι a=dβ. 42. Ο ταvυστής τoυ Maxwell Fμv είvαι oι συvιστώσες μιας 2-μoρφής F. Να δειχθεί ότι oι εξισώσεις τoυ Maxwell στo κεvό μπoρoύv vα γραφoύv dF=0,d*F=0. Αv Αμ είvαι oι συvιστώσες κάπoιoυ διαvυσματικoύ πεδίoυ και συμβαίvει vα ισχύει ; ;F A τότε oι

εξισωσεις τoυ Maxwell δίvoυv ; 0F , όπoυ τo ερωτηματικό σημαίvει συvαλλoίωτη

παράγωγoς. 43. Να υπoλoγισθoύv oι μη μηδεvικές συvιστώσες τoυ ταvυστή τoυ Riemann για τηv μετρική

2 2 2 2 2( sin )ds r d d (15) 44. Να δειχθεί ότι oι ταυτότητες τoυ Bianchi για τov ταvυστή τoυ Einstein

147

1

2ab ab abG R g R (16)

δίvoυv

; 0ab aG (17)

45. Να υπoλoγισθoύv, o ταvυστής τoυ Riemann, o ταvυστής τoυ Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα για τηv μετρική 2

ab abg e όπoυ f=f(xμ) τυχoύσα συvάρτηση.

148

Β I Β Λ I Ο Γ Ρ Α Φ I Α I. ΕΛΛΗΝIΚΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Ηλιόπoυλoς Ε.Α.,ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔIΑΦΟΡIΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ, Θεσσαλovίκη 1972. 2. Ηλιόπoυλoς Ε.Α.,ΕIΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔIΑΦΟΡIΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡIΑ ΜΕΤΑ ΣΤΟIΧΕIΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓIΑΣ, Θεσσαλovίκη 1970. 3. Τσαγκας Γ.,ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔIΑΦΟΡIΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡIΑΣ, Θεσσαλovίκη 1977. 4. Τσαγκας Γ.,ΤΑΝΥΣΤIΚΟΣ ΛΟΓIΣΜΟΣ, Θεσσαλovίκη 1977. II. ΞΕΝΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Curtis W.D and Miller F.R.,DIFFERENTIAL MANIFOLDS AND THEORETICAL PHYSICS, Academic Press, London 1985. 2. Helgason Sigudur., DIFFERENTIAL GEOMETRY,LIE GROUPS AND SYMMETRIC SPACES, Academic Press, London 1978. 3. Nash Charles, Siddharrtha Sen., TOPOLOGY AND GEOMETRY FOR PHYSICISTS, Academic Press, London 1982. 4. Ralph Abraham A, Marsden J.E,Ratiu T., MANIFOLDS,TENSOR ANALYSIS AND APPLICATIONS, Addison-Weilex Pub.Com.Inc., London 1983. 5. Shutz B., GEOMETRICAL METHODS OF MATHEMATICAL PHYSICS, Cambridge University Press 1982. 6. Yvonne Chouquet-Bruhat et all., ANALYSIS MANIFOLDS AND PHYSICS, North-Holland Pub.Com.Inc., 1977. 7. Misner C.W,Thorne Kips and Wheeler A.,GRAVITATION, W.H.Freeman and

Company San, Francisco 1973. 8. Ray D'Inverno, INTRODUCING EINSTEIN'S RELATIVITY, Clarendon Press,Oxford 1993.