МАТЕМАТИКА - bohdan-books.com · століть визначили напрямки розвитку математики. Поряд із до-сягненнями теоретичного

О.М. АфанасьєваЯ.С. БродськийО.Л. ПавловА.К. Сліпенко

МАТЕМАТИКАкласПідручник для закладів загальної середньої освітиРівень стандарту

ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

ISBN 978-966-10-5422-5

© АфанасьєваО.М.,БродськийЯ.С.,ПавловО.Л.,СліпенкоА.К.,2018

© Навчальнакнига–Богдан,2018

Афанасьєва О.М.А94 Математика:підручникдля10кл.закладівзагальн.серед.освіти:рівень

стандарту./О.М.Афанасьєва,Я.С.Бродський,О.Л.Павлов,А.К.Сліпенко.—Тернопіль:Навчальнакнига–Богдан,2018.—574с.:іл.

ISBN 978-966-10-5422-5

Пропонований підручник відповідає програмі з математики для 10-гокласурівнястандартуйпередбачаєготовністьучнівдоширокогоісвідомогозастосуванняматематики.Цюорієнтаціюзабезпечуютьзмісткурсу,характервикладеннянавчальногоматеріалу,добірілюстраційіприкладизастосувань,системавправіконтрольнихзапитань.

Дляучнівівчителівзакладівзагальноїсередньоїосвіти.УДК512(075.3)

УДК 512(075.3) А94

Охороняється законом про авторське право.Жодна частина цього видання не може бути відтворенав будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

Підручник доповнено електронним додатком, який можна відкрити за посиланням: http://www.bohdan-digital.com/edu10/

! Звернення до читацького кола

Дорогий юний друже!Передвамипідручникзматематики.Йогоголовнепризначен-

ня— допомогти вам систематизувати, розширити й поглибитизнанняівміння,якінеобхіднідляматематичногомоделюванняідослідженняпроцесівіявищзадопомогоюфункцій,рівняньтаіншихматематичнихоб’єктів,опануватисуміжніпредмети(фізи-ка,хімія,біологіятощо).Ітимсамимупевнитисьумогутностіма-тематичноїмовидляпізнаннянавколишньогосвіту,урозв’язаннірізнихпроблем.

Підручникдля10класувміщаєпотрирозділиз«Алгебриіпо-чатківаналізу»та«Геометрії».Кожномурозділупередуєматеріал,щовивчавсяупопередніхкласахінеобхіднийдлявивченняцьогорозділу.Йогоподаноувиглядітаблиць.Длязабезпеченняготовнос-тідовивченняматеріалурозділунаводитьсядіагностичнийтест.

Розділипідручникаподіленонапараграфи,які,усвоючергу,розчленованінапункти.Докожногопунктуподаноконтрольнізапитання, що мають забезпечити активне засвоєння основнихпонятьіфактівуїхньомувзаємозв’язку.

Викладеннянавчальногоматеріалуукожномупунктіструкту-рованезарівнями.Напершомурівні(йогопозначенолітероюБ)викладаютьсянайголовнішіпоняття, основніфакти теми, хоча,найчастіше,безформальнихдоведень.Цейматеріалєбазоюдляподальшоговивченнятеми,більшґрунтовногоіповного.

Надругомурівні(йогопозначенолітероюО)наводитьсябільшповнеобґрунтуванняпопередньогоматеріалу,йогорозширення,наводяться приклади його застосування.Матеріал на цих двохрівняхповністюзабезпечуєоволодінняпредметомзгіднозвимо-гамипрограминарівністандарту.

Виклад теоретичного матеріалу супроводжується розв’язаннямтиповихзадачвідповідногорівня.Початокікінецьдоведеньтвер-дженьтарозв’язаньприкладівпозначеновідповіднознакамиі■.

Звернення до читацького кола 4

Система задач, вправ і контрольних запитань, наведених упідручнику,маєтрирівніскладності:першийрівеньскладностіпозначеносимволом«°»,другийнемаєпозначень,третійпозна-ченосимволом«*».

Дозагальноїсистемизадачвключеновправинаповторення,щомаютьсприятиготовностіопануваннянаступнимматеріалом,збереженню вмінь, навичок та компетентностей, сформованихпрививченніпопередніхрозділів.

Кожний розділ завершується матеріалом для підготовки дотематичного оцінювання, який складається із запитань для са-моконтролю (з відповідями) та зразка тематичної контрольноїроботи.Дляповторенняісистематизаціїнавчальногоматеріалурозділунаведеновідповіднітаблиці.

Підручникміститьвказівкиівідповідідозадач,атакожпред-метнийпокажчик.

Читаннякнигине єлегкою справою.Деякіфрагментидове-деньзалишенідлясамостійногоопрацювання.Неминайтеїх!

Щиро бажаємо успіхів!Колективавторів

Позначення для орієнтування в навчальному матеріалі

, —двісходинкизасвоєннянавчальногоматеріалу—звернітьувагу—початокрозв’язаннязадачі,доведеннятеореми—кінецьрозв’язаннязадачі,доведеннятеореми°—задачіпершогорівняскладності*—задачітретьогорівняскладності

—контрольнізапитання —графічнівправи;задачі —вправидляповторення —завданнядлясамоконтролю —тестдлядіагностики —історичнийкоментар —межідлярізнихтипівзадач

!

?

∃ —існуєоб’єкт∃! —існуєєдинийоб’єкт⇒—знаклогічногосліду-

вання:якщо...,то⇔— рівносильність: тоді

ітількитоді

! Вступ

Розвиток суспільства і математикаОднієюзхарактернихособливостейнашогочасуєширокеза-

стосуванняматематикиурізнихгалузяхдіяльностілюдини.Безматематикинеобійтисяприпроектуваннітабудівництвіспоруд,виробництвіприладівтаїхніхдеталей,важливурольвідіграєцянаукауплануваннігосподарчоїдіяльності,керуваннітехнологіч-нимипроцесами,роботоюпідприємствтощо.

Суттєве прискорення процесу математизації науки, техні-ки,господарськоїдіяльностірозпочалосявсерединіХХст.Вонопов’язанезіствореннямелектронно-обчислювальнихмашин,ав-томатизацієюпроцесіввиробництва,новітнімитехнологіями, іс-тотнимизмінамиухарактеріпрацілюдини.

Математика стала універсальним засобом моделювання тадослідження навколишнього світу, інструментом програмуван-ня,надійнимзнаряддямрозв’язуванняпрактичнихзадач.Томувивчення математики, її застосувань є невід’ємною складовоюформування світогляду людини та підготовки сучасного фахів-ця—кваліфікованогоробітника,програміста,техніка,інженера,економістатощо.

Практика — основне джерело розвитку математикиОчевидно,математикавиникланараннійстадіїрозвиткулюд-

ствапідвпливомпотребпрактики.Розвитокремесла,землероб-ства,торгівлійобміну,навігації,управліннядержавоюпотребу-вавудосконаленнявимірюваньірозрахунків.

Неможливоточновідповістинапитання,колисамебулосфор-мовано перші математичні поняття. Однак є переконливі пи-семні свідчення (папіруси, глиняні таблички), які підтверджу-ютьвисокийрівеньматематичнихзнаньумогутніхцивілізаційСтародавньогоСходу—Єгипті таВавилоні— за три-дві тися-

Вступ6

чіроківдон.е.Тогочаснаматематикамалаяскравовираженийконкретнийхарактер.Їїдосягненнядійшлидонасувиглядіза-дач,більшістьзякихналежитьдорозрядугосподарських,іїхніхрозв’язків.Унихйдетьсяпровимірюванняплощіоб’ємів,пропід-рахункиврожаюівеличиниподатку,прообчислення,пов’язанізісплатоюборгівтаін.

ПриблизноуVIIст.дон.е.виниклагрецькацивілізація,якавідрізнялась від країн Стародавнього Сходу політичним ладоміекономікою.РозквітнаукиімистецтвауСтародавнійГреціїсу-проводжувався плідними теоретичними дослідженнями. Нама-гання стародавніх греків зрозуміти будову Всесвіту, визначитироль імісцелюдиниуприродітасуспільствіпривелидоутвер-дженняновихформ раціональногомислення.Уматематиці цяформамисленнявиявляласьупрагненнідовестивсітвердження,виходячизневеликоїкількостіпочатковихтверджень.Дотихча-сівматематикамала«рецептурний»характер.Тожобґрунтуван-няузвичаєнихпрактичних«рецептів»сталооднимзосновнихза-вданьгрецькихматематиків.УжевІІІст.дон.е.Евклідстворивкнигу«Начала»,вякійудедуктивнійформівиклавосновитого-часноїматематики.Упродовждвохтисячоліть«Начала»Евклідавважалисявзірцемстрогостійістотновпливалинарозвитокма-тематики.Втім,аксіоматичнийметод,задопомогоюякогоЕвклідвиклавосновигеометрії,єзагальновизнанимприпобудовінаук,інетількиматематичних.

УСтародавнійГреції були зроблені відкриття, якіна багатостолітьвизначилинапрямкирозвиткуматематики.Порядіздо-сягненнями теоретичного характеру тогочасні вчені мали бага-то суто практичних здобутків. Найвидатнішим представникомприкладної математики того часу історики вважають Архімеда(приблизно287–212рр.дон.е.).Вінбувнетількиматематиком,а й талановитим інженером. Його праці з обчислення площ іоб’ємів стали передвісниками найпотужніших сучаснихметодівматематики.

Останнійперіодрозвиткуантичногосуспільствапов’язанийізвпливомРимськоїімперії,де,навідмінувідГреції,математикоюцікавилисьмало.ПісляприйняттяхристиянствауVст.н.е.рим-ський імператорЮстиніаннавіть заборонив заняттяматемати-коюпідзагрозоюсмерті.

ПіслязанепадуРимськоїімперіїцентрматематичнихдослідженьперемістивсянаСхід.Найбільшзначнимидосягненнямисередньо-

Вступ 7

вічноїматематикиєзапровадженнявІндіїсучасноїдесятковоїпо-зиційної системи запису чисел, введення від’ємних чисел і нуля,створення арабськими математиками (аль-Караджі, аль-Біруні,аль-Хайамітаін.)основалгебри,яказгодомвиділиласьусамостій-нийрозділматематики.МатематичнідослідженнянаСходімалиарифметико-алгебраїчнийхарактерібулибільшприкладними,ніжзачасівантичності.Арабськіматематикиістотнорозвинулитриго-нометріюзоглядунанеобхідністьастрономічнихдослідженьтапо-требнавігації.

Утойчас,якСхідпродовжуваврозвиватись,ЗахіднаЄвропапоступовозанепадала.Феодальнічвари,низькийрівенькульту-риівиробництваажніякнесприялирозвиткунауки.Вивченняматематикивкультурнихцентрахтогочасу—монастирях—об-межувалосьстудіюваннямарифметики.

На початку XII ст. економічне життя Заходу активізується,встановлюютьсяторговельнізв’язкизіСходом.ЧерезарабівЄв-ропа знайомиться з працями грецьких вчених, в європейськихкраїнахпожвавлюєтьсяінтересдоматематики.

Кінецьсередньовіччя(XV-XVIст.)уЗахіднійЄвропіхаракте-ризуєтьсябурхливимизмінами,пов’язанимизрозпадомфеодаль-ного суспільства і формуванням ринкових відносин. Розвитокпромисловості,торгівлі,мореплавства,друкарськоїсправипривівдорозквітукультури,мистецтваінауки.Математикастаєважли-вимзасобомнауковогоВідродження.Впроцесіактивнихзанятьнеювченістворилисучаснуалгебраїчнусимволіку.

УжевепохуВідродженняпочалосявикористаннярізнихмашинімеханізмівнамануфактурах,убудівництві,гірничійсправітощо.Відтак з’явилися передумови для розвитку теоретичної механікитавивченнямеханічногоруху.Вченімусилиподбатипростворен-нявідповідногоматематичногоапарату.НапочаткуXVIIст.РенеДекарт(1596–1650)ввівунауковийобігпоняттязмінноївеличи-ни.Відтоді основнимоб’єктомматематикисталопоняттяфункції.ЗусиллямиНьютона,Лейбніца,їхніхучнівіпослідовниківдляви-вченняфункціональноїзалежностібулорозробленоновийматема-тичнийапарат.Йогозастосуванняприрозв’язуваннізадачмехані-ки,астрономіїтаіншихнаукнадовговизначилоподальшішляхирозвиткуматематики.

РозвитокринковихвідносинуXVIII iXIXстоліттях супрово-джувався перебудовою виробництва із застосуванням паровихмашин,іншихтехнічнихзасобів.Розвитокматематикиутойчас

Вступ8

бувтіснопов’язанийзтехнічноюреволюцією,вимогамипракти-ки.Створеннягеометричнихтеорій,розвитокпоняттяпрочисло,вивченняфункційстимулювалисянеобхідністювирішеннянау-ково-технічнихпроблемвцаринікораблебудівництваімореплав-ства,балістики,гідротехніки,геодезіїікартографії,астрономії.

Зчасомбезпосереднійвпливпрактикинарозвитокматемати-кидещо зменшувався.Однак становленнярізнихприродничихітехнічнихнаук,передусім–фізики,булотіснопов’язанезудо-сконаленнямматематичнихметодів,розширеннямсфериїхньогозастосування.

Таким чином, зв’язок математики з практикою найчастішездійснюєтьсячерезприродничіітехнічнінауки.

Важливимджереломрозвиткуматематикиє їївнутрішніпо-треби,спрямованінасистематизаціютеорій,їхнєузагальнення,вдосконаленнянауковихметодівіт.ін.

РозвитокматематикивXIXст.визначавсяякїївнутрішнімипотребами, так іпотребамипрактики.Яскравірезультатибулиодержаніінатому,інаіншомушляху.Нерідкоабстрактнімате-матичнітеоріїзчасомставалиприкладними.Так,наприклад,не-евклідовагеометрія,творцямиякоїбулиК.Ф.Ґаусс(1777–1855),Я.Больяй(1802–1860)таМ.І.Лобачевський(1792–1856),по-сталанаґрунтінамаганьудосконалити«Начала»Евкліда.Напо-чаткуХХст.цевідкриттясталоневід’ємноючастиноюсучаснихфізичнихтеорій.

Щебільшурольувивченнінавколишньогосвітутаусуспіль-стві загаломвідіграєматематикавXXст. Їїможливості істотнозросливнаслідокстворенняелектронно-обчислювальнихмашин.Сучасний етап розвитку суспільства характеризується значнимростомсферзастосуванняматематики.

Чимжепояснюєтьсярозмаїттязастосуваньматематикийуні-версальністьїїметодів?По-перше,математикапослуговуєтьсядо-ситьзагальнимиічіткимиоб’єктамидляописаннянавколишніхявищ(геометричніфігури,числа,рівняння,векториіт.д.).

А,по-друге,вченимирозробленонизкупотужнихметодівдо-слідженняматематичнихоб’єктів:методкоординат,алгебраїчніметоди,методиматематичногоаналізуйін.

Такимчином,математикаєзручниміефективнимзасобомдляописанняідослідженнязакономірностейреальності.

Вступ 9

Математичне моделюванняЗастосуванняматематикидляописанняідослідженняпроце-

сівтаявищдійсностіставитьнаспереднеобхідністюзнайтивід-повідьнапитання:«Авчомуполягаєсутністьрозв’язанняпри-кладної задачі за допомогою математики?». Власне, про це миіпоговоримо.

Усім вам доводилось застосовувати математичні знання длярозрахункушвидкостізаповненнябасейну,часувиконанняробо-титаін.Цізастосуванняпередбачаютьзамінуреальнихоб’єктівівідношеньміжнимиматематичнимиоб’єктамиівідношеннямиміжними(функціями,рівняннями,геометричнимифігурами).

Дляцьогонеобхіднопередусімвиділитисуттєвіхарактеристикиреальнихоб’єктівівідношеньміжними,проігнорувавшинесуттєві,атоді—самеїхзамінитиматематичнимиоб’єктамиізв’язкамиміжними.Процестакогозаміщенняназиваютьматематичним моде-люванням.

Математичними моделями звичайноназиваютьнаближеніописанняякогоськласуявищзовнішньогосвіту,вираженізадопо-могоюматематичнихпонятьівідношеньміжними.

Математичною моделлю вільного падіння тіла на землюєфункція

h t h gt v t( ) ,� � �0

2

02деh—висота,м;g—прискорення вільногопадіння,м/c2; t—час, с; v0 — початкова швидкість, м/c; h0 — початкова висотатіла, м. Ця функція описує залежність відстані тіла від Землівмоментчасуtзаумови,щотілознаходитьсянависотіh0вмо-ментчасуt =0.Аякщонасцікавитьпитання:“КолитіловпаденаЗемлю?”,тойогоматематичноюмоделлюєзадача:знайтизна-ченняt,приякому

h gt v t0

2

02− − = 0.

Застосуванняматематикиприрозв’язанніпрактичних задачзводитьсядоїхперекладумовоюматематики,розв’язанняодер-жаноїматематичноїзадачі,тлумаченнярозв’язку.

Розглянемо задачу, яка демонструє застосування методу ма-тематичного моделювання на практиці. Побудова математич-нихмоделейґрунтуєтьсянанехтуваннінеістотнихвластивостей

Вступ10

об’єктівчипонять,якімоделюються.Наприклад,убагатьохви-падкахвільнепадіннятіламожнавивчатизаприпущеннями:

1)Земля—інерціальнасистема;2)прискореннявільногопадінняєсталоювеличиною;3)Земляєплоскою;4)опірповітряможнаневраховувати;5)структуруірозміритіламожнаневраховувати.Ціприпущення,якнампідказуєдосвід,єприроднимиіслуш-

нимизапевнихумов(тіломаєневеликірозміри,воносиметрич-не,початковашвидкістьневеликаіт.п.).

Створенняматематичнихмоделейбазуєтьсянавикористаннізаконів,щохарактеризуютьпроцес.Цеможутьбутизаконифі-зики,хімії,біологіїчиіншихнаук.Урозглянутомуприкладіне-обхідноскористатисядругимзакономНьютона,якийописуєрухтілапіддієюсили.

Математичназадача,доякоїзвелосявизначеннячасупадіннятілазвисотиh0,має,якмибачили,виглядквадратногорівняння:

h gt v t0

2

02− − = 0.

Оскількидискримінантцьогорівняннядодатний,торівняннямаєдвакорені:

tv v gh

g1 20 0

202

, ��

.

Ізфізичногозмістузадачівипливає,щоодинкоріньзайвий.

Справді,корінь tv v gh

g20 0

202

��

від’ємний, томуйогоможна

відкинути.Остаточнавідповідьнапоставленепитанняєтакою:

часпадіннятілавизначаєтьсяформулою tv v gh

g�� 0 0

202.

Щоправда, математичні задачі, що виникають при моделю-ванні,незавждитакіпрості,якнаведенавище.Наприклад,якщовраховуватисилуопоруповітряприпадіннітіла,тозалежністьвисотивідчасуірівняннядлязнаходженнячасупадіннябудутьзначноскладнішими.Необхідноматипевніматематичнізнанняі навички,щоб досліджувати математичні моделі. Використан-няматематикидлявивченняекономічних,соціальнихпроцесів,іншінетрадиційні сфери її застосуваньвимагаютьрозробкино-

Вступ 11

вихідейіметодів.Уцьомупроявляєтьсявпливпрактикинароз-витокматематикиунашчас.

Розв’язування одержаної при моделюванні математичної за-дачінезавершуєрозв’язуванняданоїприкладноїзадачі,дляякоїбулопобудованоматематичнумодель.Одержанірезультативи-користовуютьсядляприйняттяякихосьрішеньчипрогнозуван-няперебігупроцесу,щовивчається.Аотже,потрібнавпевненістьу тому,що одержаними результатами можна скористатись дляцих цілей. Інакше кажучи, необхідно переконатись у відповід-ностіпобудованоїмоделіявищу,якевивчається(втіймірі,якоївимагаєданазадача).

Розглянемо,наприклад,падіннякаменя,кинутогоуколодязь,рухпарашутистаувільномупадінні,спусккабіникосмічногоко-рабля у атмосфері. Зрозуміло,що точність розрахунків і склад-ність моделей, які використовуються у даних прикладах, різні.Однак,іглибинуколодязя,ішвидкістьприземленнякосмічногоапаратуналежитьрозраховуватимаксимальновірогідно.

Дослідженняадекватностіматематичноїмоделіявищу,якеви-вчається,з’ясуваннятого,наскількиблизькідореальнихрезуль-тати, одержані за допомогою математичної моделі, є найбільшскладнимівідповідальниметапомматематичногомоделювання.Нацьомуетапііснуючамодельможезазнатизмін,якіроблятьїїбільшреальною,досконалою,хоча,якправило,ібільшскладною.Наприклад,врахувавшиурозглянутійзадачіте,щоЗемлямаєформукулііобертаєтьсянавколовласноїосі,атвердетіловільнопадаєнаЗемлюзвеликоївисоти,можназробитивсірозрахункизначноточніше,ніжзадопомогоюрозглянутоїранішеформули.Необхідністьуточненняматематичнихмоделейвизначаєтьсяви-могамипрактики.

Підбиваючипідсумки,можнастверджувати,щопроцесмате-матичногомоделюваннязагаломскладаєтьсязтрьохетапів:

1) вибір чи побудова математичної моделі для описан-ня даної задачі;

2) дослідження побудованої моделі, тобто розв’язування математичної задачі;

3) тлумачення результатів дослідження, встановлен-ня відповідності одержаного результату цілям досліджень.

Принеобхідностіуточнюєтьсясамаматематичнамодельіре-зультати,якізнеївипливають.

Вступ12

Побудова математичної моделі ґрунтується на абстрагуваннівідусіхвластивостейоб’єктапізнання,крімкількіснихіпросто-рових.Припобудовіматематичноїмоделізавждивиникаєнеоб-хідність нехтувати тими чи іншими сторонами реальності.Проякістьпобудованоїмоделіможна судитилише зарезультатамипорівняння дійсності з інформацією, отриманоюшляхом дослі-дженнямоделі.Такимчином,методматематичногомоделюваннявиходитьзпрактики,створюючиматематичнімоделіявищіпро-цесів, і повертається до неї,щоб обґрунтувати доцільність ство-реннямоделі.

ПідсумокОсновоюзастосуванняматематики,якужезазначалось,єпро-

цес математичного моделювання. До цієї діяльності Ви готува-лись,вивчаючикурсматематикивосновнійшколі.Тамстворю-вавсязапасматематичнихмоделей,формувалисьнавичкиїхньоїпобудовитадослідження.

У даному курсі передбачається систематизація, поглибленняірозширеннязнань, одержанихвосновнійшколі,а такожудо-сконаленнянавичокмоделювання.Длямоделюванняреальнихоб’єктів івідношень,зякимиВиматиметесправупрививченнііншихдисциплін,вмайбутнійпрофесійнійдіяльності,необхідносуттєво розширити засоби математичного моделювання і дослі-дженняматематичнихмоделей,зарахунокуведенняновихкла-сівфункційтаматематичнихметодів.ДанакнигадопоможеВамудосягненніцихцілей.

Алгебра і початки аналізу

Розділ 1.

ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

Кожній людині постійно доводиться мати справу з різними залежнос-тями між величинами. У відповідності з цим вивчення залежностей є осно-вним змістом її навчання в школі, а також у вищому навчальному закладі. Щоб переконатись у цьому, досить погортати сторінки підручників з фізи-ки, хімії, технічних чи суспільних дисциплін, науково-популярних журналів та інших видань. Із закінченням навчання не зникає потреба враховувати, розглядати і досліджувати різні залежності. Для будівельників важливою є залежність вартості будівництва від його тривалості, залежність якості виконаних робіт від якості будівельних матеріалів. Для підприємств ав-томобільного транспорту викликає інтерес залежність витрат палива від якості доріг. Перелік таких прикладів із господарства, побуту, політики тощо можна продовжити.

Починаючи з ХVII ст. вивчення найважливіших типів залежностей ста-ло основним завданням математики. В математику міцно увійшли поняття змінної величини та функції, які стали і залишаються до цього часу по-тужними засобами моделювання реальних процесів, а тому й одними з головних об’єктів дослідження. У даному розділі закладено основи для вивчення функціональних залежностей між змінними величинами, виді-лено деякі найважливіші класи функцій, вивчаються елементарні методи дослідження функцій, а також продовжується вивчення однієї з найбільш застосовних функцій — степеневої.

Готуємось до вивчення теми «Функції, їхні властивості та графіки»

Вивченнятеми«Функції,їхнівластивостітаграфіки»базуєть-сяпрактичнонаусьомуалгебраїчномуматеріалі,якийвивчавсявпопередніхкласах.Головнепризначенняцієїтемиякразіпо-лягаєуйогоповторенні,систематизаціїіпоглибленні.Томудляпідготовкидовивченнятеминаведенонайважливішийматеріалувиглядітаблиць.

Числа та обчисленняТаблиця 1

Тема Зміст ПрикладиЗвичайні дроби

Додаванняівідніманнядробівз однаковими знаменниками:ac

bc

a bc

� �� ; a

cbc

a bc

� �� .

Щобдодатиабовіднятидробизрізнимизнаменниками,їхспо-чаткузводятьдоспільногозна-менника, а потім виконуютьдіюзаправиломдодаванняабовіднімання дробів з однакови-мизнаменниками.

Множення: abcd

acbd

� � .

Ділення: ab

cd

abdc

adbc

: � � � .

35

56

1830

2530

� � � �

= =4330

11330.

Готуємось до вивчення теми «Функції, їхні властивості та графіки» 17

Тема ЗмістВідсотки і пропорції

1%=0,01.

р%відчислаадорівнюють ap100

.

Якщор%відчислаадорівнюютьb,тоa bp

� �100 .

Відсотковевідношеннячиселаіb дорівнює ab

⋅100% .

Головна властивість пропорції a : b = c : d — ad = bc.

Вирази та їхні перетворенняТаблиця 2

a b a b a b2 2� � � �( )( ), ( ) ,a b a ab b� � � �2 2 22

( ) ,a b a a b ab b� � � � �3 3 2 2 33 3 a b a b a ab b3 3 2 2� � � � �( )( ),

a b a b a ab b3 3 2 2� � � � �( )( ),

ax bx c a x x x x21 2� � � � �( )( ) ,

дех1іх2–коренірівнянняax bx c2 + + =0,а ≠0.

Функції і графікиТаблиця 3

1.Лінійна функція y = kx + b. Графік—пряма,непара-лельнаосіу.Коефіцієнтk дорівнює тангенсу кутанахилу прямої до осі х:k = tgϕ.2.Квадратична функ-ція y = ax2, а ≠ 0.Графік—парабола,віткиякої спрямовані вгору,якщоа>0, і вниз,якщоa<0.

Алгебра і початки аналізу. Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки18

3.Обернена пропорцій-

ність y kx

= , k ≠ 0.

Графік — гіпербола, якаприk>0розташованауІіІІІчвертях,априk<0—уІІіІVчвертях.

4. Функція y x= .Визначена на проміжку[0;+∞).

РівнянняТаблиця 4

Тип рівняння Розв’язанняЛінійнерівняння ах = b Якщоа ≠0,то x b

a= .

Якщоа=0,b ≠0,торівняннянемаєкоренів.Якщоа=0,b =0,тобудь-якехєкоренемрівняння.

Квадратнерівнян-няах2 + bx + c = 0, а ≠ 0,D = b2–4ac—йогодискримінант

ЯкщоD<0,торівняннянемаєкоренів.ЯкщоD =0, торівняннямає одинкорінь

x ba

� �2.

Якщо D > 0, то рівняння має два корені

x b Da1 2 2, .�

� �

Неповне квадратнерівняння(одинзко-ефіцієнтівbабосдо-рівнює0)

ах2 +bx = 0 або х(ах +b) = 0, тоді x1 = 0,

x ba2 � � .

ах2+c=0або x ca

2 � � .

Якщо � �ca

0 ,то x ca1 � � , x c

a2 � � � .

Якщо � �ca

0 ,торівняннянемаєкоренів.

Готуємось до вивчення теми «Функції, їхні властивості та графіки» 19

Означення степеня з цілим показникомТаблиця 5

Степінь з натуральнимпоказником

n N n� �, 1⇒ a a a an

n разів

= ⋅ ⋅ ⋅... .� �� а1 = а.

Степінь з нульовим по-казником а0=1,а ≠0.

Степінь з цілим від’єм-нимпоказником a

aan

n� � �

1 0, , n N∈ .

Властивості степеня з цілим показникомТаблиця 6

Добутокстепенівзоднаковимиосновами a a a x y Zx y x y� � �� , , .Часткавідділеннястепенівзоднаковимиосновами a a a x y Zx y x y: , , .� ��

Піднесеннястепенядостепеня a a x y Zx y xy� � � �, , .

Степіньдобутку ab a b x Zx x x� � � � �, .

Степіньчастки ab

ab

x Zx x

x��

�� , .

Арифметичний квадратний корінь та його властивостіТаблиця 7

Означення а ≥ 0 ⇒ a a a� � � �02

,Арифметичний квадратний ко-ріньздобутку а ≥0,b ≥ 0 ⇒ ab a b� � .

Арифметичний квадратний ко-ріньздробу а ≥0,b > 0 ⇒ a

bab

= .

Арифметичний квадратний ко-ріньзквадрата a a2 = .

Тест для діагностики готовності до вивчення теми «Функції, їхні властивості та графіки»

1. Обчисліть: ��

��112

3

.

А. −278. Б. 8

27. В. −

827

. Г. 278.

2. Порівняйтебезобчислювальнихзасобівчислаa =45іb =

56.

А. a < b. Б. a = b. В. a > b.Г. Порівнятинеможливо.

3. Після підвищення цін на 10% ціна товару дорівнювала220грн.Якоюбулапочатковацінацьоготовару?А.242грн. Б.200грн. В.198грн. Г.180грн.

4. Обчислітьзначеннявиразу x x− 3

2приx =– 5 .

А. −3 5 . Б. −2 5 . В. 2 5 . Г. 3 5 .

5. Скоротітьдріб aa

−−242 .

А. 12a +. Б. 1

2a −. В. a –2. Г. 1

2 − a.

6. Подайтевираз aa

6

2

5�

��

�

�� увиглядістепенячислаа.

А. а15. Б. а20. В. а8. Г. а9.7. Серед наведених точок укажіть точку, через яку проходить

графікфункції yx

� �2 .

А.(−1;−2). Б.(−1;2). В. � ��

��1 12

; . Г. � ��

��1 12

; .

Тест для діагностики готовності до вивчення теми 21

8. Нарисункузображенографікфункції…А. y x� �1 . Б. y x� �1 . В. y x� � �1 . Г. y x� � �1 .

9. Графікфункціїу = х2зображенонарисунку…А. Б. В. Г.

10. Яказнаведенихфункційєоберненоюпропорційністю?

А. y x= 2 . Б. y x= 2 . В. yx

=2 . Г. y x= .

11. На рисунку представлено графікрухутуристазпунктуАвпунктВ,деs—відстаньвідпунктуАдотуристаумоментчасуt.Скількичасурухав-сятуристдопривалу?А.2год. Б. 3год.В. 1,5год. Г. 1год.

12. Ізформули s vt� �2

1 виразітьзалежністьчасуt>0відшляхуs.

А. t vs

��2 2

. Б. t sv

��2 2 . В. t s

v�

�2 2 . Г. t sv

��2 1 .

13. Скількикоренівмаєрівняння3х2 –5х+2=0?А.Жодного. Б.Один. В.Два. Г. Більшевіддвох.

14. Розв’яжітьсистемунерівностей 2 1 01 0

xx� �

� ��

,.

А. 121;�

�� . Б. ��

��

121; . В. ��

��

��

1 12; . Г. 1; � �� .

15. Знайдітьобластьвизначеннявиразу 1 2− x .

А. x ≥12. Б. x ≤

12. В. x ≥ 2 . Г. x ≤ 2 .

16. Розв’яжітьнерівність: x2 4< .А.(2;+∞). Б.(−2;2).В. (−∞;−2)∪(2;+∞). Г.(−∞;2).

§1. Функціональні залежності

Функціональні залежності між величинами можуть за-даватися по-різному: за допомогою формул, графіків, таблиць, словесних описів. Вдосконаленню вмінь корис-туватися ними, добувати необхідну інформацію присвя-чено даний параграф.

1. Поняття функції, способи її заданняХарактерною особливістюфункціональних залеж-ностейєте,щодлякожногодопустимогозначенняоднієїзізміннихвониоднозначновизначаютьзна-

ченнядругоїзмінної.Так,длякожногозначенняtзаформулоюs t� �3 1 можназнайтилише однезначенняs.Узагальнимоспо-чаткуте,щовивчалосяпрофункціональнізалежностіраніше.

Нехайзаданодвізмінніхіу,якінабуваютьчисловихзначень,іD—множиназначеньзмінноїх.

Залежність між змінними х і у, яка для кожного значення х із D визначає єдине значення у, назива-ється функціональною залежністю у від х з областю визначення D.Змінну х у таких залежностях називатимемо незалежною

змінною або аргументом, зміннуу — залежною змінною. Функціональнізалежностізазвичайназиваютьфункціямиіпо-значають латинськими (іноді грецькими) літерами— f, g, F, ϕ тощо.

Функція — від латинського function — дія, виконання.

Функціональні залежності 23

ОбластьвизначенняфункціїfчастопозначаютьD(f).Значен-нязмінноїу, якевідповідаєх, називаютьзначенням функції f у точці х іпозначаютьf(x).Запис«у = f(x)»означає,щозаданофункціюf.Функціональнузалежністьзмінноїувідхінодізапи-суютьтак:у = у(x).

Множину значень, яких набуває залежна змінна у, якщо х пробігає область визначенняфункції f, називаютьмножиною значень цієї функціїіпозначаютьE(f).

Фраза «задати функцію у від х» означає сформулювати правило, за допомогою якого для кожного допустимого значення змінної х можна знайти відповідне йому зна-чення змінної у.Існують різні способи задання функції. У математиці

функціональназалежністьнайчастішезадаєтьсяформулами.Яквідомо,лінійна функціязадаєтьсяформулою:y = kx+b,

деkіb–деякічисла,x–аргумент.Наприклад,функціїу = 2х–3(тутk=2,b=–3),y=–0,5x+2(тутk=–0,5,b=2),y = 4x(тутk=4,b=0),y=5(тутk=0,b=5)єлінійними.

Квадратична функціязадаєтьсяформулою:y = ax2+bx+c,деa,b,c–деякічисла,а ≠0,x–аргумент.Наприклад,функціїу = х2,у = 3х2 +1,у = 2х2 +х–4єквадратичними.(Вкажітьдлякожноїзцихфункцій,чомудорівнюютькоефіцієнтиa,b,c.)

Обернена пропорційність задається формулою y kx

= , де

k ≠0—деякечисло,x—аргумент.Такийспосібзаданняфункціїназиваєтьсяаналітичним.Зауважимо,щонекожна залежністьміжзміннимиєфункціо-

нальноюзалежністю.Наприклад, залежністьміж зміннимиу іх,яказадаєтьсярівнянням x y2 2 1� � ,неєфункціональною,бо,на-приклад,значеннюх = 0відповідаютьдвазначенняy:у1=–1,у2=1.

Якщо функція задана формулою, то при відсутності додаткових зауважень чи умов вважають, що її облас-тю визначення є всі значення незалежної змінної, при яких ця формула має зміст. Так,лінійнафункціяy = kx+b,квадратичнафункціяy = ax2+

+bx + c визначені при всіх значеннях х, тобтоD(y) = (–∞; +∞).

!

!


Оберненапропорційність y kx

= визначенапривсіхзначенняхх,

окрімх=0,тобтоD(y)=(–∞;0)∪(0;+∞). Областювизначенняфунк-ціїу = x єпроміжок 0; � �� ,оскількидобуванняквадратногокоренязвід’ємнихчиселнеможливе.

Приклад 1. Данофункцію yx

��312 .Знайти:

1)областьвизначенняфункції;2)значенняфункціївточціх=–2;3)значенняаргументу,заякихфункціянабуваєзначення1. 1) Функція визначена при всіх значеннях х, для яких

знаменникдробунедорівнюєнулю,тобтопривсіхх, окрім ±1 .Отже,D y( ) ;� �� 1 � �� 1 1 1; ; .

2)Значенняфункціївточціх=–2дорівнює: y( )( )

� ��

�2 32 12

= 34 1

1�

� .

3)Щобзнайтизначенняаргументу,заякихфункціянабуває

значення1,розв’яжеморівняння1 312�

�x.Одержимо:х2–1=3,

х2 = 4, х1 = –2, х2 = 2. Отже, у цих точках функція набуваєзначення1.

Відповідь. 1) �� ; ; ;1 1 1 1 ;2)1;3)–2;2.При розв’язуванні багатьох прикладних задач область

визначення функції встановлюють, виходячи з фізичного чигеометричного змісту задачі. Наприклад, якщо розглядатизалежністьплощіквадратавіддовжинийогостороних,тообластювизначенняцієїфункціїбудеінтервал 0; � �� ,оскількидовжинасторони квадрата може виражатися тільки додатним числом.Утакомуразіінколипишуть: y x= 2 , х>0.

Зверніть увагу на те, що функції y x= 2 і y x= 2 , х > 0, є різними функціями. У них не тільки не збігаються об-ласті визначення, вони також мають різні властивості, у чому переконаємося згодом.Уматематицітаїїзастосуванняхдужепоширенийграфічний

спосіб задання функції.Існуєбагатосамописнихприладів,які

!


викреслюютькриві,встановлюючитимсамимзалежністьміждо-сліджуванимивеличинами.Так, сейсмографзаписуєграфікко-ливанняземноїкори.Зацимграфікомможна,наприклад,вивча-тисилуіхарактерпоштовхівприземлетрусі.

Задопомогоюлінії,зображеноїнарис. 1,можна для кожногомоментучасу0≤ t ≤12вказатиєдинезначен-нятемпературисередовищаТ,тобтоцялініязадаєфункціональнузалеж-ністьміжзміннимиtіТ.

Незавждилініянакоординатнійплощині визначає деяку функцію.Щоб деяка лінія визначала функціональну залежність у від х,необхідноідостатньо,абикожнапряма,паралельнаосіу,івісьу перетинали цю лініющонайбільше в одній точці. Так, лінії нарис. 2 визначаютьфункціональні залежності у від х.На рис. 3євертикальніпрямі,якіперетинаютьлініювдвохточках.Томувідповіднілініїневизначаютьфункціюувідх.

Приклад 2. Функціюy = f(x)заданографічно(рис.4).Вкажіть:1) їїобластьвизначення;2)їїмножинузначень;3)значенняфункціїприх=5;4)значенняаргументух,приякомуфункціянабуваєзначення3.1)Областювизначенняфункціїєвідрізок[–2;5].


2)Множиноюзначеньфункціїєвідрізок[0;4].3)f(5)=4.4)Проведемопрямуу=3ізнайдемоїїточкиперетинузграфі-

комфункціїy = f(x)(рис.5).Цеточкизкоординатами(0;3)і(4;3).Отже,значення3функціянабуваєприх=0іприх=4.

Відповідь.1)[–2;5];2)[0;4];3)4;4)0;4.Приклад 3. На рис. 6 зображено залежність N(t) кількостідеталей,яківиготовивробітник,відчасу,деtуднях.1)Скількидеталейвиготовивробітникзаперші10днів?2)Заякі10днів—першічиостанні—робітниквиготовивбільшедеталей?3)Заскількиднівробітниквиготовив50деталей? 1) Знайдемо значення функції N(t) при

t=10.ЗвернітьувагунамасштабпоосіtіосіN. Маємо:N(10)=40,тобтозаперші10дніввиготов-лено40деталей.

2)ЗаостаннідесятьдніввиготовленоN(30)––N(20)=80–60=20деталей,тобтоменше,ніжзаперші10днів.

3) Потрібно знайти значення аргументу, заякогофункціянабуває значення50.ПроведемопрямуN =50доперетинузграфікомфункціїN = N(t).Одержимо,що50деталейробітниквиготовивза15днів.

Відповідь.1)40;2)заперші;3)15.

У розглянутому прикладі функція N(t) визначена для натуральних значень аргументу. Її графік є скінчен-ною сукупністю точок. Для наочності вони сполучені відрізками. Такий прийом зображень залежностей бу-демо використовувати і в подальшому.Кріманалітичногоіграфічногоспособівзаданняфункцій,за-

стосовуєтьсятакожтабличнийспосіб.Уфізицітатехніцічастозалежностіміжзміннимифіксуютьсянашкалахвимірювальнихприладів.Утакихвипадкахфункціюзадаютьувиглядітаблиці,упершомурядкуякоїмістятьсявсізначеннянезалежноїзмінноїх1, x2 , x3 ...,удругому—відповідніїмзначенняфункції.Найзручні-шимиєтаблицізісталимирізницями x x2 1− , x x3 2− ,…,причомузначеннярізниціназиваєтьсякроком таблиці.Для таких та-блицьнезалежназміннанабуваєзначень x0 , x h0 + , x h0 2+ ,…,де

!


h —кроктаблиці.Так,наведенанижчетаблицяпоказуєдинамі-кузміниобсягупасажирськихперевезень(умлн.людей)унашійкраїні,починаючиз2009року.

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 20177,27 6,84 6,98 6,81 6,62 5,9 5,18 4,85 4,65

Функціональні залежності широко використову-ютьсянапрактиці.Багатопроцесів іявищопису-ються лінійноюфункцією.Наприклад, при рівно-мірномурусіпройденийшляхпрямопропорційний

часу, тиск газу р при сталому об’ємі прямо пропорційний йоготемпературіT:p = cT(законШарля);напругаUвелектричномуколізісталимопоромR прямопропорційнасиліструмуI:U = RI (законОма).ЗалежністьсилиF,якадієнапружину,відвеличиниїїрозтягуваннях маєвигляд:F=–kx(законГука).

Чималофізичних залежностей виражається за допомогоюква-дратичноїфункції.Наприклад,законрухтілавздовжкоординатної

прямоїпіддієюсталоїсилиможнаподатиувигляді:x x v t at� � �0 0

2

2,

залежністькінетичноїенергіїтілаW,масаякогодорівнюєm,від

швидкостіvвиражаєтьсяформулою:W mv=

2

2,.Тіла,якікинули

горизонтально чи під кутом до горизонту, рухатимуться попараболічнійтраєкторіїпіддієюсилитяжіння(рис.7,8).

Оберненопропорційнимиє:— залежність часу, який витрачається на подолання даного

шляху,відшвидкостірівномірногопрямолінійногоруху;—залежністьміжсторонамипрямокутникапризаданійплощі;—залежністьміжтискомгазутайогооб’ємомпристалійтем-

пературі.Приклад 4. Привільномупадіннітілазпочатковоюшвидкіс-тюv0=10м/сзалежністьпройденогошляхувідчасувиражається


формулою:s v t gt� �0

2

2,деs—шлях,м;t — час,с; g ≈10м/с2 — при-

скореннявільногопадіння.1)Який шляхпройдетілозаперші2с?2)Заякийчастілопройде15м?1)Щобвідповістинапершезапитання,потрібнообчислити

значенняфункціїs приt=2:

s( )2 10 2 10 22

402

� � ��

� (м).

2)Щоб відповістина друге запитання, треба розв’язати ква-дратнерівняння: 10 5 152t t� � .Вономаєдвакорені: –3 і 1, алеумовузадачізадовольняєтількизначенняt=1.Отже,тілоподо-лає15мприблизноза1с.

Відповідь.1)40м;2)≈1с.Приклад 5. Деякамасагазупритемпературі20°Смалаоб’єм107см3,апри40°Соб’ємдорівнював114см3.1) Виходячи із закону Гей-Люссака, знайти функціональну за-лежністьоб’ємугазувідтемператури.2)Якимбудеоб’ємгазупри0°С? 1) Згідно із законом Гей-Люссака, об’єм газу V лінійно

залежить від температури t:V = a +bt, деa іb – деякі числа.Знайдемоцічисла,користуючисьумовоюзадачі.ОскількиV(20)== 107, V(40) = 114, то маємо систему рівнянь відносно a і b:107 20114 40

� ��

��

a ba b

,.Звідси:b=0,35,a=100.Отже,V=100+0,35t.

2)V(0)=100+0,35⋅ 0=100(см3).Відповідь.1)V=100+0,35t;2)100см3.

9 Контрольні запитання1°. Якізнаступнихзалежностейєфункціональними:

а) кожному двоцифровому числу ставиться у відповідністьсумайогоцифр;б)кожномучислу,якенедорівнюєнулеві,ставитьсяувідпо-відністьоберненедоньогочисло;в)кожномучислуставитьсяувідповідністьцілечисло,меншевіднього?


2°. Яказліній,зображенихнарис.9,а)–г),невизначаєфунк-ціюувідх?

3. Якимєзначенняфункції y xx

��2 1

уточціх=–1;х=0?

4. Ускількохточкахфункціяу = х2–2хнабуваєзначення0;–1;–2?

5. Дляякоїзнаступнихфункцій:1)1 1 2 3 1 4 2) ; ) ; ) ; )yx

y x yx

y x= = = =2)1 1 2 3 1 4 2) ; ) ; ) ; )yx

y x yx

y x= = = =3)1 1 2 3 1 4 2) ; ) ; ) ; )yx

y x yx

y x= = = =

4)1 1 2 3 1 4 2) ; ) ; ) ; )yx

y x yx

y x= = = = областювизначенняєпроміжок(0;+∞)?

6. Данофункції:1 12

2 2 3 1 42 2) ; ) ; ) ( ) ; ) .y x y

xy x y x�

��

а)Яказнихєлінійною;квадратичною;оберненоюпропорцій-ністю?б)Уякихточкахквадратичнафункціянабуваєзначення1?в)Яказфункційненабуваєзначення0?

7. Для графічно заданої функції y = f(x)(рис.10)знайдіть:а)областьвизначення;б)множинузначень;в)значенняфункціївточціх=0;х=4;г)нуліфункції,тобтоточки,вякихфункціянабуваєзначення0.

2. Графік функціїГрафічнийспосібзаданняфункціїбільшнаочнийу порівнянні з аналітичним. За графіком легкоохарактеризувати досліджувану величину. На-

приклад,заграфіком,зображенимнарис.1,можнасказати,щотемпературапротягом12годинзмінюваласьвід–1°до+1°.Заграфіком видно також, коли температура збільшувалась, колизменшувалась,аколизалишаласьнезмінною.


Тому часто аналітичне задання функції супроводжують гра-фіком.Уданомупунктірозглядаютьсяграфікивжевідомихвамфункційідеякіспособипобудовиграфіків.

Графік функції у = f(х) — це множина точок коорди-натної площини з координатами (х; f(х)), де х — до-вільне число з області визначення функції.Дляпобудовиграфікафункціїу = f (х)наплощинівводятьпря-

мокутнусистемукоординатібудуютьточкизкоординатами(x;f(x)).Абсолютно точно побудувати графік функції неможливо, тому що неможливо точно зобразити навіть одну точку (х0; f(х0)) на координатній площині, а тим більше, якщо їх безліч. Тому під побудовою графіка функції розуміють побудову рисунка (найчастіше лінії), що відображає го-ловні особливості ідеального графіка. Такі рисунки на-зивають ескізами графіків. Отже, побудувати графік функції — означає побудувати ескіз графіка, тобто відо-бразити графічно всі основні властивості функції. Графікомлінійноїфункціїy = kx+bє,як

вамвжевідомо,прямалінія.Дляїїпобудовидоситьзнайтидвіточкиграфікаічерезнихпровестипряму.Наприклад,дляпобудовиграфікафункціїу = 2х+1візьмемоточкиперетину прямої з осями координат, тобто

точкиА(0;1) і B ��

��

120; іпроведемочерез

нихпряму(рис.11).Числоkдорівнюєтангенсукутаϕнахилу

прямоїy = kx+bдоосіхіназиваєтьсяїїкутовим коефіцієнтом.

!


Нарис.12,а),б)зображеніграфікилінійнихфункційзалежновідзнакаk.Якщоk=0,томаємосталуфункціюy = b,графікякоїзображенонарис.12,в).Приклад 6. Побудуватиграфікфункціїy =|x|.Оскільки

|x| = , x < 0,−

| |,

xx

x=

x ≥ 0,

якщоякщо

тодляневід’ємнихзначеньхграфікфункціїy =|x|збігаєтьсязграфікомфункціїy = x,адлявід’ємних—зграфікомфункціїy=–x (рис.13).■

Графікомквадратичноїфункціїу = ах2 + bх + сєпарабола.Їїрозміщеннянакоординатнійплощинізалежитьвідкоефіцієнтівa,b,c.Напрямїївітоквизначаєтьсязнакомчислаа:приа >0вониспрямованівгору,приа<0—вниз.Вершинаїїзнаходитьсяуточці

забсцисоюx ba0 2

� � .Параболаможенематиспільнихточокзвіссю

х,аможематизнеюоднучидвіспільніточки.Цезалежитьвідкіль-костікоренівквадратногорівнянняах2 + bх + с=0.

Парабола — грецьке �� (parabole) від �� (parabollein) — прикладаю, порівнюю.

Параболузазвичайбудуютьзаїївершиноюіточкамиперетинузосямикоординат.Графікифункційу = х2іу=–х2зображенонарис.14,15.

Розглянемонаконкретнихприкладахпобудовуграфіківква-дратичноїфункції.


Приклад 7. Побудуватиграфікфункції:1)у = х2 +6х+8; 2)у=–х2+2х+3; 3)у = 2х2–4х+3. 1) Знайдемо абсцису вершини параболи за формулою

x ba0 2

� � : x062

3� � � � . Ордината вершини знаходиться обчис-

леннямзначенняквадратичноїфункціїприх0=–3:у0 = у(–3)= =9–18+8=–1.Отже,координативершини—(–3;–1).Знайдемоабсциси точок перетину графіка з віссю абсцис. Для цьогорозв’яжеморівняння:х2 +6х+8=0.Одержимо:х1=–4;х2=–2.Знайдемоточкуперетинуграфіказвіссюу.Дляцьогообчислимозначенняфункціїу = х2 +6х+8прих=0:у(0)=8.Графікпере-тинаєвісьувточці(0;8).Віткипараболиспрямованівгору,аджекоефіцієнт при х2 є додатним. Побудуємо графік, враховуючиотриманірезультати(рис.16).

2)Вершинапараболизнаходитьсяуточцізкоординатами(1;4).Точкиперетинупараболизвіссюабсцисмаютькоординати(–1;0)і(3;0).Графікфункціїперетинаєвісьувточцізкоординатами(0;3).Віткипараболиспрямованівниз.Графікзображенонарис.17.

3)Вершинапараболизнаходитьсяуточцізкоординатами(1;1).Параболанеперетинаєвісьх,оскількирівняння2х2–4х+3=0немаєкоренів.Параболаперетинаєвісьу вточцізкоординатами(0; 3). Для уточнення положення графіка обчислимо значенняфункціївточціх=2:у(2)=3,тобтопараболапроходитьчерезточ-куАзкоординатами(2;3).Графікзображенонарис.18.

Графікомоберненоїпропорційності y kx

= єгіпербола,розмі-

щенняякоїзалежитьвідзнакаk(рис.19,20).


Гіпербола (грецькою νπερβολη — hyperbole) — надли-шок, перебільшення.

Приклад 8. Нарис.21зображенографікоберненоїпропорційності.Задатицюзалеж-ністьформулою. Обернена пропорційність задається

формулою y kx

= .Необхіднознайтичислоk.

Графікфункціїпроходитьчерезточкузко-ординатами(–1;2),тобтосправджуєтьсярів-

ність:21

��k . Звідсиk=–2.

Відповідь. yx

� �2 .

Існуютьрізніспособипобудовиграфіківфункцій.Одинзних–побудовазаточками.

Графікфункціїпотрібнобудуватинезадовільнообранимиточ-ками,азахарактернимиточкамидляданоїфункції.

Найпростішепобудуватиграфіклінійноїфункції.Дляцьогодо-статньознайтидвіточки,якіналежатьграфіку,ічерезнихпровестипряму.Характерноюточкоюдляквадратичноїфункції є вершинапараболи і абсциси точок перетину параболи з осями координат.Адляоберненоїпропорційностіхарактерноюєточках=0,уякійїїграфік«розривається».Уподальшомувипознайомитесьіззагальни-миметодамизнаходженняхарактернихточок.

Іншимспособомпобудовиграфікафункціїєгеометричні пере-творення графіка.Так,знаючиграфікфункціїу = f (х),можна


побудуватиграфікифункційу = f (х)+аіу = f (х+b),деаіb–деякічисла,занаступнимиправилами.

Графік функції у = f(x) + a одержують із графіка функції y = f(x) паралельним перенесенням його уздовж осі у на |а| одиниць: у напрямі осі у, якщо а > 0, і у напрямі, протилежному напряму осі у, якщо а < 0 (рис. 22).

Графік функції y = f(x + b) одержують із графіка функції y = f(x) паралельним перенесенням його уздовж осі х на |b| одиниць: у напрямі осі х, якщо b < 0, і у напрямі, протилежному осі х, якщо b > 0 (рис. 23).

Наприклад,графікфункціїу = х2–1можнаодержатипара-лельнимперенесеннямграфікафункціїу = х2на1одиницюуна-прямі, протилежному напряму осі у, оскільки х2 – 1 = х2 + (–1)(рис.24).Графікфункціїу=(х–1)2можнаодержатиізграфікафункціїу = х2паралельнимперенесеннямостанньогона1одини-цюунапряміосіх,оскільки(х–1)2=(х+(–1))2(рис.25).


Побудова графіків за довільно вибрани-ми точками може привести до суттєвих помилок.

Наприклад,щоб побудувати графікфункції yx

=1 , складемо

таблицюїїзначень.х –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

у −14

−13

−12 –1 1

12

13

14

Тепер зобразимо відповідні точки на координатній площинііз’єднаємоїхвідрізками.Одержимолінію,зображенунарис.26.

Однаквоназовсімнесхожанасправжнійграфік yx

=1 .Вийогодо-

брезнаєте—цегіпербола(див.рис.19).Учомужмиприпустилисьпомилок?Аутому,що,якмивідмічалираніше,графікфункціїпо-трібнобудуватинезадовільнообранимиточками,азахарактер-нимиточкамидляданоїфункції.

Характерною точкою для квадратичної функції є вершина па-раболи.Адляоберненоїпропорційностіхарактерноюєточках=0,уякійїїграфік«розривається».Уподальшомувипознайомитесьіззагальнимиметодамизнаходженняхарактернихточок.

Геометричніперетворенняграфіківдаютьзмогурозв’язуватиріз-номанітнізадачі.

Приклад 9. Скількикоренівмаєрівняння xx

2 12

� ��?

Рівняннямаєстількикоренів,скількиспільнихточокмають

графікифункційу = х2і yx

� ��12. Зобразимографікицихфунк-

!


ційводнійсистемікоординат.Графікфункції yx

� ��12можна

отриматиізграфікафункції yx

� �1 паралельнимперенесенням

останньоговздовжосіхна2одиницівліво(рис.27).Тодіізрис.28видно,щорівняннямаєодинкорінь.

Відповідь. Одинкорінь.Тепернагадаємо,якзнаючиграфікфункціїу = f(х),можнапобу-

дуватиграфікифункційу = kf(х)іу = f(ωх),деkіω—деякідодатнічисла.

Графік функції у = kf(x) (k > 0) одержують із графіка функції y = f(x) розтягом в k разів від осі х при k > 1

(рис. 29) і стиском у 1k

разів до осі х при 0 < k < 1

(рис. 30).

Приклад 10. Побудуватиграфікифункційу =1,5х2,у = 0,5х2. Графікфункціїу=1,5x2одержимозграфікафункціїу = x2

розтягом від осіх в 1,5 рази (рис. 31). Графікфункціїу = 0,5х2 одержимозграфікаy = x2 стискомйогодоосіхв2рази(рис.32).


Графік функції y = f(ωx) (ω > 0) одержують із графіка функ-ції y = f(x) стиском його до осі у в ω разів при ω > 1 (рис. 33)

і розтягом в 1ω

разів від осі у при 0 < ω < 1 (рис. 34).

Наприклад,графікфункції y x=

3можнапобудувати,розтяг-

нувшиграфікфункції y x= відосіув3рази(рис.35).Графікфункції y x= 3 одержимозграфікафункції y x= ,стиснувшийогодоосіуутричі(рис.36).

Припобудовіграфікафункціїінодідоводитьсявиконуватиде-кількагеометричнихперетворень.


Приклад 11. Побудуватиграфікфункціїу = 2|х|–1. Побудовавиконуєтьсяудваетапи:1)графікфункціїу = |х|розтягуєтьсявідосіхудвічі(рис.37);2)одержанийграфікпаралельнопереноситьсяна1одиницюу

від’ємномунапряміосіу(рис.38).

Неважкопобачити,щографікилінійноїіквадратичноїфунк-ційможнапобудувати,невідриваючиолівцявідаркушупаперу.Якщофункціюзаданонадеякомупроміжку,таїїграфікподаноувиглядінерозривноїлінії,токажуть,щофункціянеперервна нацьомупроміжку.

Так,лінійнаіквадратичнафункціїнеперервніусвоїхобластях

визначення.Функція yx

=1 неперервна на кожному з проміжків

(–∞;0),(0;+∞).Однакграфікцієїфункціїрозриваєтьсяуточціх=0.

Кажуть,щоточках=0єточкоюрозривуфункції yx

=1 .

Розглянемо графікифункційу = f(х) іу = g(х), зображенінарис.39і40.

Функціяу = f(х)неперервнаусвоїйобластівизначення,оскількиїїграфікєнерозривноюлінією.Графікфункціїу = g(х)такоївлас-


тивостінемає.Вінрозірванийуточцізабсцисоюх=–0,5.Незама-льованим кружечком позначено точку, яка не належить графікуфункціїy = g(x).Тобтоточказкоординатами(–0,5;1,5)неналежитьцьомуграфіку.Водночасграфікуфункціїy = g(x)належитьточказкоординатами(–0,5;2):g(–0,5)=2.Звернітьувагунате,щодвіточ-кизоднаковимиабсцисаминеможутьодночасноналежатиграфікуфункціїувідх.

Профункціюу = g(х)(рис.40)кажуть,щоточках=–0,5єїїточкою розриву.Напри-клад,точках=0єточкоюрозриву функцій

yx

=1 (див. рис. 19 при k = 1) і y

xx

=

(рис.41).Неперервна функція описує процеси,

які відбуваються плавно, без «стрибків»,тобтоколидосліджуванавеличиназамалийпроміжокчасузмі-нюєтьсямало.Саметакузвичайнихумовахзмінюєтьсядовжинашляху,пройденоготілом,швидкістьмеханічногоруху,темпера-туратілаприохолодженні.

Однак існують процеси, в яких досліджувана величи-на змінюється стрибками. Наприклад, так змінюєть-ся залежно від часу маса товару m, що залишається в машині, якщо його розвантажують ящиками (рис. 42, а); сума грошей на банківському рахунку залежно від часу, якщо цей рахунок поповнюється, але гроші з цього рахунку не знімаються (рис. 42, б); висота трави на газоні залежно від часу за умови регулярного її підстригання за допомогою газонокосарки (рис. 42, в) тощо.Важливонавчитисяпрацюватизподібнимифункціями.

!


9 Контрольні запитання1°. Чипроходитьграфікфункціїу = 5х+2черезточку:

а)А(0;5); б)В(0;2); в)С(–1;–2); г)D(–1;3)?2°. Вякихточкахпрямау=1–4хперетинаєосікоординат?3°. Вкажітьдекількаточок,черезякіпроходитьграфіклінійної

функціїу=–2.4°. Які знакимаютьчислаk іb, якщо графіклінійноїфункції

y = kx+bзображенонарис.43?5°. Вякихзнаступнихпараболвіткинапрямленівгору:

а)у=1–х+2х2; б)у = 5х–3х2–1; в)у=1–х2?6°. Якоюєабсцисавершинипараболи:

а)у=1–3х+2х2; б)у=–5х2+х–2; в)у=(х+5)(х–1)?7°. Якою є обернена пропорційність, графік якої зображено на

рис.44?

8°. Ускількохточкахперетинаютьсяграфікифункцій:

а)у = 2x,у = х; б)у = 2

x,у=–х; в)у=– 2

x,у = х2?

9°. Наскількиодиницьівякомунапряміслідпаралельнопере-

нестигіперболу yx

=1 ,щоботриматигіперболу:

а) yx

��14; б) y

x� �1 4 ?

10°.На скількиодиниць і вякомунапрямі слідпаралельнопе-ренестипараболуу = х2,щобїївершинаопиниласьуточцізкоординатами:а)(–2;0);б)(0;2)?


11°.Якоюформулоюможебутизаданафункція,графікякоїзображенонарис.45,якщойогоотриманозадо-помогою геометричних перетво-реньізграфікафункції y x= ?

12. Для кожної з функцій y = |x + 3|, y = |x|+3,y = 3|x|підберітьвідповіднийграфікнарис.46,а)–в).

13*. На рис. 47 зображено графікфункції у = g(х). Які з наступнихтвердженьєправильними?1)Функціяу = g(х)єнеперервною.2)Функціямаєтриточкирозриву.3)Функція не визначена в точкахрозриву.4)g(0)=3.5)g(4)=2.

Задачі1. Данофункцію f x x x( ) � � �2 2 3 .Знайдіть:

1°) f f f( ), ( ), ;� ��

��2 3 12

2°) нуліфункції; 3)коренірівняння f x f( ) ( ).= 0

2°. Дано функцію y xx

��

2 11. Знайдіть значення аргументу, за

якихфункціянабуваєзначення:1)–2;2)2;3)3.


3. Знайдітьобластьвизначенняфункції:

1°) y xx

��

5 142 ; 2°) y x

x�

��

5 142 ; 3°) y

x�

�1

2;

4°) y x� �3 2 ; 5) y xx

x��

� �3

2 ; 6) y xx

��1 2

.

4. Функціюу = f(х)заданографічно(рис.48).1°)Якоюєїїобластьвизначення?2°)Якоюємножиназначеньфункції?3°)Скількинулівмаєфункція?4°)Заякихзначеньхфункціянабуваєдодатних(від’ємних)значень?5°)Чиєфункціяпарною?Непарною?6)Чомудорівнюєнайбільше(найменше)значенняфункції?7)Скількикоренівмаєрівнянняf(х)=0,5?

5. Нарис.49зображенографікирухівдвохпішоходівназустрічодинодномупошосе,якез’єднуєпунктиА іВ;s1(t) іs2(t)—відстанівідА,відповідно,допершоготадругогопішоходівумоментчасуt.1°)Якоюєвідстаньміжпунктами?2°)Скількикілометрівпройшовпершийпішохідзапершідвігодини?3)Якийзпішоходівдомоментузустрічіподолавбільшувід-стань?4)Якийзпішоходівприйшовупунктпризначенняпершим?


6. Нарис.50наведенографікзалежностічасу t, який витрачається на шляхз пунктуА в пунктВ, відшвидкостіруху v,щопредставляєсобоюоберненупропорційність. З якою швидкістютребарухатися,щобдістатисязАвВ меншніжза2години?

7°. Побудуйтеграфікфункції:

1) y x�

�32; 2) y � �3; 3) y

x� �

2 ; 4) y x x� � �2 5 4;

5) y x x� � � �3 2 12 ; 6) y x x� � �2 4 4; 7) y x x� � �( )( ).2 4 8. Побудуйтеграфікфункціїзадопомогоюгеометричнихпере-

творень:

1°) y x� �� 0 5 2, ; 2°) y x� �2 0 5, ; 3) y x=

2

2; 4°) y x� � 2;

5°) y x� � 2; 6°) yx

��13; 7°) y

x� �1 3; 8°) y x

� ��

��2

2

.

9. Нарис.51зображенографікфункціїy = f(x).Побудуйтеграфікфункції:1°) y f x� �( )1 ;2°)y = f(x)–1;3)y = f(2x);4)y = 2f(x).

10. Знайдітьлінійнуфункцію,якщо:1°)їїграфікпроходитьчерезточкиА(1;–1)іВ(2;–1);2)їїграфікутворюєкут135°звіссюxіпроходитьчерезточкуА(0;2).

11°. Задайтезадопомогоюформулифункції,графікиякихзображенонарис.52,а)–в).

12. Напругавелектричномуколірівномірнозростає,тобтоліній-нозалежитьвідчасу.Напочаткудослідунапругадорівнюва-ла10В,анаприкінцідосліду,щотривав5с,напругазбільши-ласяу1,5разів.


1)Виразіть залежністьнапругивідчасу іпобудуйтеграфікцієїфункції.2)Якоюбуланапругачерез3спісляпочаткудосліду?

13°. Знайдітьоберненупропорційність,якщовідомо,щоїїграфікпроходитьчерезточкуА(–1;3).Побудуйтеїїграфік.

14. ЗгідноіззакономБойля–Маріотта,тискріоб’ємгазуVпов’я-

заніформулою p cV

= , де с—деяке число, стале дляданої

маси і температури газу.Побудуйте графікцієї залежності,якщопритискур=10Паоб’ємгазудорівнює0,5л.

� Вправи для повторення15. Якізнаступнихпарточоксиметричнівідносноосіу,аякі—

відноснопочаткукоординат:1)А(0;1),В(1;0); 2)А(0;1),В(0;–1);3)А(1;2),В(–1;2); 4)А(1;2),В(–1;–2)?

16. Вкажіть функції, графіки яких симетричні відносно осі у,аяких—відноснопочаткукоординат:

1)у = х; 2)у=–х+1;3)у = х2; 4)у = х3; 5) yx

=1 .

17. Доведіть,щобільшомузначеннюаргументувідповідаєбіль-шезначенняфункції:1)у = 2х +1;2) y x= .

18. Чомудорівнюєвідстаньміжточками:1)А(х)іВ(2); 2)А(а)іВ(–3);3)А(а)іB(b); 4)A(a)іB(–b)?


Підсумок

Основні поняття

Означення Геометрична інтерпрета-ція, приклади

Залежність між змінними х і у,якадлякожногозначенняхізD визначаєєдинезначенняу,нази-вається функціональною залеж-ністюувідхзобластювизначен-няD.

Наприклад,висотавідлітакадоповерхніземлієфункцієючасу його перебування в по-льоті.

Графікфункціїу = f(х)—цемно-жина точок координатної пло-щинизкоординатами(х; f(х)),дех—довільнечислозобластіви-значенняфункції.

Частографікомфункціїєде-якалініянаплощині,аленебудь-якалініяєграфікомде-якоїфункції.

§2. Основні властивості функцій

Вивчення реальних процесів часто зводиться до до-слідження залежностей, які описують ці процеси. До-слідити функціональну залежність — означає виявити її характерні особливості. Характерними особливостями функції є, наприклад, її зростання чи спадання, парність чи непарність, неперервність. Розгляду цих властивос-тей і присвячено даний параграф.

1. Спадання і зростання функційРозглянемо функції, графіки яких зображено нарис.53.

Характерноюознакоюцихфункційєте,щобіль-шому значеннюаргументу відповідає більше зна-

ченняфункції.Такіфункціїназиваютьзростаючими.Зростаючіфункціїописуютьпроцесиіявища,вякихзалежна

величина збільшується зі зростанням незалежної. Наприклад,температураводизчасомзбільшуєтьсяприїїнагріваннідомо-ментукипіння.Такожзбільшуєтьсязчасомшвидкістьтілапривільномупадіннідомоментупадіння.

Якщобільшомузначеннюаргументувідповідаєменшезначен-няфункції,тотакуфункціюназиваютьспадною(рис.54).

Основні властивості функцій 47

Процесиіявища,вякихзалежнавеличиназменшуєтьсяпризростаннінезалежної,описуютьсяспаднимифункціями.Напри-клад, зменшуєтьсяатмосфернийтискпри зростанні висотинадрівнемморя,швидкістьтілапригальмуванні.

Зростаючічиспадніфункціїназиваютьмонотонними.Монотонний — грецькою mονοtονοζ (monotonos), від mονοζ (monos) — один, і tονοζ (tonos) — натягування, напружен-ня — однотонний, однозвучний, одноманітний.

Багатофункційнеємонотонними.Наприклад,квадратичнафунк-ціяу = х2(див.рис.14)чиоберненапропорційність(див.рис.19,20).Однак,якщорозглядатифункціюу = х2тількинапроміжку(–∞;0],товонаспадає.Напроміжку[0;+∞)цяфункціязростає.

Функція у = f(х) називається зростаючою на деякому про-міжку, якщо для довільних точок цього проміжку х1 і x2, таких, що х1 < x2, справджується нерівність f(х1) < f(х2).Функція у = f(х) називається спадною на деякому про-міжку, якщо для довільних точок цього проміжку х1 і x2, таких, що х1 < x2, виконується нерівність f(х1) > f(х2).Встановленняпроміжків,наякихфункціязростаєчиспадає,єваж-

ливимзавданнямудослідженніцієїфункції.Цезавданняназиваютьзнаходженням проміжків монотон-ності функції.Дляфункцій,заданихгра-фічно,вонорозв’язуєтьсядоситьлегко.Приклад 1. Нарис.55зображеногра-фік функції y = f(x). З’ясувати, чи є цяфункціямонотонною.Вказатипроміжкизростання і спадання функції. Знайтипроміжок,наякомуфункціянабуваєста-логозначення.


Функціянеємонотонною.Вонаспадаєнапроміжку[–2;–1]ізростаєнакожномузпроміжків[–1;2]і[4;6].Функціязберігаєсталезначення,щодорівнює3,напроміжку[2;4].Приклад 2. Нарис.56зображенографікшвидкостірухуавто-мобіля.Охарактеризуватийогорух.Першіпівгодинишвидкістьрухуавтомобілязросталавід

0 км/год до 90 км/год, тобто автомобіль рухався прискорено.Протягом наступних двох годин(на часовому проміжку [0,5; 2,5])він рухався зі сталоюшвидкістю90км/год,тобторівномірно.Післяцьогошвидкість почала зменшу-ватись,ічерезгодинуавтомобільзупинився. Всього він рухався3,5год.

Для функцій, заданих аналітично, знаходитипроміжки зростання і спадання досить важко.Розв’яжемо цю проблему для вже знайомих вамфункцій:лінійної,квадратичноїіоберненоїпропо-

рційності.Улінійноїфункціїy = kx+bкоефіцієнтkдорівнюєтангенсу

кутанахилу її графіка (прямої)доосіх.Якщоk>0, то tgϕ > 0 і0° < ϕ < 90°.Отже,кутнахилупрямоїдоосіхєгострим,ілінійнафункціязростає(див.рис.12,а).Якщоk = tgϕ<0,то90° < ϕ < 180°.Відтак кут нахилу прямої до осі х є тупим, і лінійна функціяспадає(див.рис.12,б).

Наприклад,лінійнафункція y x�

�12

єзростаючою,оскільки

k � �12

0 ,алінійнафункція y x�

�12

єспадною,боk � � �12

0 .

Графікомквадратичноїфункціїу = ах2 + bх + сєпарабола,вер-

шинаякоїзнаходитьсяуточцізабсцисоюx ba0 2

� � .Якщоа>0,то

квадратичнафункціяспадаєнапроміжку ��

��

; ba2

ізростаєна

проміжку � � ��

��

ba2; (рис.57).


Якщо а < 0, то квадратична функція зростає на проміжку

��

��

; ba2

іспадаєнапроміжку � � ��

��

ba2; (рис.58).

Наприклад, вершина параболи у = х2 + 2х – 3 знаходиться

у точці з абсцисою x022

1� � � � і а = 1 > 0. Тому квадратична

функціяу = х2+2х–3спадаєнапроміжку �� ; 1 ізростаєнапроміжку � � �� 1; .

Розглянемо тепер обернену пропорційність. Зверніть

увагу на те, що функція yx

=1 не є спадною у своїй об-

ласті визначення �� ; ; .0 0 Порівняємо, напри-клад, значення цієї функції в точках х1 = –1 і х2 = 1: у(1) = 1 > y(–1) = –1, тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Однак, вона спадає на кожному з проміжків �� ; 0 і 0; .� �� Згадайтеграфікфункції y x= іпоміркуйте,чиєвонамоно-

тонною.

9 Контрольні запитання1°. Яказфункцій, графікиякихзображенонарис.59,а)–г), є:

1)зростаючою;2)спадною?2°. Якізфункцій,графікиякихзображенінарис.59,а)–г),ма-

ютьпроміжкисталості?3°. Якізфункцій,графікиякихзображенінарис.60,а)–г),зрос-

таютьнапроміжку[0;1]?4°. Якізнаступнихлінійнихфункційєзростаючими(спадними):

а)у=1–х; б)у = х–1; в)у=–1; г)у=–2(х+1)?

!


5. Відомо,щоf(–1)=2,f(0)=1,f(1)=3.Чиможефункціяу = f(х)бутимонотонною?

6°. Функціяу = f(х)спадаєнапроміжку[–2;2].Порівняйте,якщоцеможливо,числаf(–0,5)іf(–1).

7. Якимєпроміжокспаданняфункції:

а) y x� �

2

3; б)у = х2–1; в)у=(х–1)2?

8°. Яказнаведенихфункційзростаєнапроміжку(0;+∞):

а) yx

=3 ; б) y

x=13; в) y

x��13; г) y x

� �3?

2. Парність і непарність функційРозглядаючи графіки функцій у = х2 і у = |x| (рис. 61, 62), ми помічаємо, що вони симетричнівідносноосіу.


Функцію,графікякої симетричнийвідносноосіу,називаютьпарною.Якщофункціяy = f(x)єпарною,тоїїобластьвизначеннясиметричнавідноснопочаткукоординат,івточкаххі–х,симе-тричних відносно початку координат, функція набуває того са-могозначення:f(–x)=f(x).Томуможнадатинаступнеозначенняпарноїфункції.

Функція у = f(х) називається парною, якщо:1) її область визначення разом з кожною точкою х містить і точку –х;2) для кожного х із області визначення функції ви-конується рівність:

f(–x) = f(x).

Із даного означення і попередніх міркувань випливає твердження:функція є парною тоді і тільки тоді, коли її графік си-метричний відносно осі ординат.

Графік функції yx

=1 (рис. 63) симе-

тричнийвідноснопочаткукоординат.Такіфункції називають непарними. Якщофункція є непарною, то її область визна-ченнясиметричнавідноснопочаткукоор-динат,івточкаххі–х,симетричнихвід-носнопочаткукоординат,функціянабуваєпротилежнихзначень:f(–x)=–f(x).

Функція у = f(х) називається непарною, якщо:1) її область визначення разом з кожною точкою х містить і точку –х;2) для кожного х із області визначення функції ви-конується рівність:

f(–x) = –f(x).

Із даного означення і попередніх міркувань випливає твердження:функція є непарною тоді і тільки тоді, коли її графік симетричний відносно початку координат.

!

!


Виявленняпарності чинепарностіфункції полегшуєпобу-довуграфіка,зменшуєобсягнеобхіднихдосліджень:можнадо-сліджуватиповедінкуфункції ібудувати їїграфіктількидляневід’ємнихзначеньаргументу,адлявід’ємних–скористатисьзгаданоювищесиметрією.Зокрема,якщопарнафункціязрос-таєнапроміжку[a;b],a>0,тонапроміжку[–b;–a]вонаспа-дає,інавпаки.

Дослідження функції на парність чи непарність проводятьзгідно з означенням.Якщо хоча б одна з цих ознак в обох означеннях не справджується, то функція не є ні парною, ані непарною.

Приклад 3. Дослідитинапарністьінепарністьфункцію:

1) f x xx

( ) ;��

3

2 32) f x x

x( ) ;�

�

4

2 33) f x x

x( ) .�

�

3

31)Перевіримо,чиєсиметричноюобластьвизначенняфунк-

ції відносно початку координат. Область визначення функції

f x xx

( ) ��

3

2 3 міститьусідійснічисла,відміннівід± 3 ,тобтовона

симетрична відносно початку координат. Знайдемо вираз для

f(–x): f x xx

( ) ( )( )

� ��

� �

3

2 3� �

�x

x

3

2 3. Порівняємо його з f(x): f(–x) =

=–f(x).Отже,f(х) —непарнафункція.

2)Область визначенняфункції f x xx

( ) ��

4

2 3 збігається з об-

ластювизначенняфункціїзпопередньогозавдання.Справджу-

єтьсярівність: f x xx

( ) ( )( )

� ��

� �

4

2 3�

��

xx

f x4

2 3( ). Томуданафункція

єпарною.

3)Функція f xxx

( ) ��

3

3 неєніпарною,анінепарною,оскількиїїобластьвизначеннянеєсиметричноювідноснопочаткукоорди-нат:–3входитьвобластьвизначення,а3—невходить.

Длядоведеннятого,щофункціянеєпарноючине-парною,доцільнодіятинаступнимчином.

1)Перевірити,чисиметричнаобластьвизначенняфункції відноснопочаткукоординат.Якщо вонане


симетрична(див.приклад3,3)),тофункціянеєніпарною,нінепар-ною.Якщовонасиметрична,топродовжуватидослідження.

2) Підібрати дві точки, симетричні відносно початку коор-динатітакі,що f(–x)≠ f(x) і f(–x)≠–f(x).Цеідоводитьпотрібнетвердження.Приклад 4. Довести,щофункціяf(x)=x2+xнеєніпарною,анінепарною.Їїобластьвизначеннясиметричнавідноснопочаткукоорди-

нат,алевсиметричнихточках1і–1вонанабуваєзначень2і0,якінеєанірівними,аніпротилежнимичислами.Томунесправ-джуєтьсянірівністьf(–x)=f(x),нірівністьf(–x)=–f(x)длявсіххізобластівизначення.Звідсивипливає,щофункціянеєніпарною,анінепарною.

9 Контрольні запитання1°. Яказфункцій,графікиякихзображенонарис.64,а)–г),може

бути:1)парною;2)непарною?

2. Якувластивістьмаютьусіфункції,графікиякихзображенонарис.65,інемаєжоднаізфункцій,графікиякихзображенонарис.66?


3°. Графікиякихфункційсиметричнівідносноосіу:а)у = 3х+1; б)у=–х2; в)у = х3;

г)y = |x|; ґ)y=1; д) y xx

��11?

4°. Графікиякихфункційсиметричнівідноснопочаткукоординат:

а°)у = 3х; б°)у = х2 +1; в°)у = х3; г) yxx

= ?

5. Відомо,щофункціяy = f(x)єпарноюіf(2)=1.Чомудорівнюєf(–2)?

6. Відомо, що функція y = f(x) є непарною і f(–3) = 2. Чомудорівнюєf(3)?

7. Областювизначенняпарноїфункціїєпроміжок a; 4� � .Чомудорівнюєчислоа?

8. Функціяу = f(х)єпарноюізростаєнапроміжку[1;2].Чиєвоназростаючоюнапроміжку[–2;–1]?

9. Чиможезростаючафункціябути:а)парною;б)непарною?

Задачі19°.Дослідітьфункціюнапарністьінепарність:

1) y x x� �5 3 ; 2) y x� �2 3; 3) y xx

��

2

4 1; 4) y x� �1;

5) y x x� � �2 4; 6) y = 3; 7) y xx

��

3

22 1; 8) y x

x�

�

3

2 1.

20. Доведіть,щофункція у = f(х) не є ні парною, ні непарною,якщо:

1) f x x x x( ) ;� � � �3 23 1 2) f x xx

( ) .��2 1


21°.Нарис.67,68зображенографікифункційу = g(х) іу = f(х).Знайдітьдлякожноїфункції:1)областьїївизначення;2)множинуїїзначень;3)нуліфункціїтапроміжкизнакосталості;4)проміжкизростання,спаданняфункції.

22°.На рис. 69 зображено залежністьшвидкостівелосипедиставідчасу.1) Якою булашвидкість велоси-педиставмоментчасуt=18хв?2)Вякімоментичасушвидкістьдорівнювала5км/год?3)Вкажітьпроміжкичасу,протя-гомякихшвидкістьвелосипедистазростала,спадала,буласталою.4) Якою була найбільша швид-кістьвелосипедиста?

23°.На рис. 70 зображено залежністьоб’ємуводивідїїтемператури.Вка-жітьнахарактерніособливостіцієїзалежності.

24. Знайдітьпроміжкизростанняіспаданняфункції:1) y x x� � �2 4 ; 2) y x x� � �3 6 42 ; 3) y x x� � �( )( );1 2

4) y x� �1; 5) yx

��12; 6) y

x� �1 2.


25. Побудуйтеграфікфункціїy = f(x),яказадовольняєумови:1°)функціявизначенаізростаєнапроміжку[–2;2],f(–2)=–1,f(2)=1;2°)функціязростаєнапроміжку(–∞;2]іспадаєнапроміжку[2;+∞);3)функціяпарнаіспадаєнапроміжку[–3;0];4)функціявизначенанапроміжку[–4;4],непарнаізростаюча.

26. Нарис. 71, а)–в) зображено графікидеякихфункцій.Добу-дуйтекожнийзних(якщоцеможливо)дографіка:1)парноїфункції;2)непарноїфункції.

27*.Розподілітьграфіки,зображенінарис.72,а)–в),на2класизаїхнімихарактернимиознаками.Опишітьознаки,заякимикласифікаціязапропонована.

28*.Розподілітьусіфункції,графікиякихзображенінарис.73,а)–д), на3класизадеякоювластивістю.Опишітьвластивості,спіль-нідляфункційкожногокласу.


� Вправи для повторення29. Скількиіснуєквадратнихкоренівзчисла:1)36;2)0;3)–36?30. Чимаєзміствираз:1) −49; 2) ( ) ;−7 2 3) ( ) ?−7 3

31. Обчисліть:1) ( ) ;� � � �3 52 22) 31

3115

⋅ ; 3) 182.

32. Винесітьмножникз-підзнакакореня:1) 490; 2) 12 02a a, .<

33. Спростітьвираз:1) 48 300 75� � ; 2) a b ab�� 22 .

34. Данофункцію f x x( ) .� � 31) Побудуйтеграфікфункції.2) Скількикоренівмаєрівняння:f(x)=1;f(x)=–1; f(x)=x?


Підсумок

Основні поняття

ОзначенняГеометрична

інтерпретація, приклади

Застосування

Функціяу = f(х)називаєтьсязростаючоюна деякомупро-міжку, якщо для довільнихточокцьогопроміжкух1 іx2,таких,щох1 < x2, справджу-єтьсянерівність:f(х1)<f(х2).Функція у = f(х) називаєть-сяспадноюнадеякомупро-міжку, якщодлядовільнихточокцьогопроміжкух1іx2,таких,щох1 < x2,виконуєть-сянерівність:f(х1)>f(х2).

Опис харак-тернихособли-востей реаль-них процесіві явищ; порів-няннязначеньвеличин.

Функціяу = f(х)називаєтьсяпарною,якщо:1) її область визначення ра-зом з кожною точкою х міс-титьіточку–х;2) для кожного х із областівизначення функції вико-нуєтьсярівністьf(–x)=f(x).Функціяу = f(х)називаєтьсянепарною,якщо:1) її область визначення ра-зом з кожною точкою х міс-титьіточку –х;2) длякожного х ізобластіви-значенняфункціївиконуєть-сярівністьf(–x) = –f(x).

С п р ощ е н н япобудови гра-фіків і дослі-дження функ-цій.

§3. Корені n-го степеня

У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного ко-реня з невід’ємного числа. У даному параграфі узагаль-нимо це поняття, визначивши поняття кореня з довіль-ним натуральним показником, більшим за 1.

1. Степеневі функції з натуральними показникамиРанішемирозглядалифункціюу = х2.Їїаргумен-том є основа степеня, значенняфункції при кож-номузначенніаргументуєдругимстепенемаргу-

менту.Такуфункціюназиваютьстепеневою.Показникстепеняуданомувипадкудорівнює2.Можнарозглядатистепеневіфунк-ціїзпоказниками,відміннимивід2.

Степеневою функцією з натуральним показником будемо називати функцію у = хп, де п — натуральне число.Розглянемо спочатку степеневі функції

з парними натуральними показниками, тобтофункціївидуу = х2,у = х4,у = х6,....Усіфунк-ціїзазначеноговидумаютьтісамівластивості,що іфункціяу = х2, графікякої зображенонарис. 74. Вони визначені на множині дійснихчисел.Ціфункції єпарними.Наприклад,дляфункціїу = х4маємо:у(–х)= (–х)4 = х4 = у(х).Аналогічніобґрунтуванняможнанавестидлядовільної зазначеної функції. Графіки цихфункційсиметричнівідносноосіординат.

Степеневіфункціїзпарниминатуральнимипоказникамина-буваютьневід’ємнихзначеньімаютьлишеодиннуль:х=0.Тому


їхніграфікилежатьуверхнійпівплощинііпроходятьчерезпоча-токкоординат.Крімтого,графікиусіхзазначенихфункційпро-ходятьчерезточкузкоординатами(1;1).

Функціїу = х2,у = х4,у = х6, ...зростаютьнапроміжку[0;+∞)іспадаютьнапроміжку(–∞;0].Їхніграфікисхожінаграфік,зо-браженийнарис.74.

Розглянемо тепер степеневі функції з не-парниминатуральнимипоказниками,відмін-нимивід1, тобтофункції видуу = х3,у = х5,у = х7,… .Областювизначенняцихфункційємножинадійснихчисел.Вониєнепарними.Наприклад,дляфункціїу = х5маємо:у(–х)==(–х)5=–х5=–у(х).Графікицихфункційси-метричнівідноснопочаткукоординат.

Степеневіфункції знепарниминатураль-нимипоказниками є зростаючими.Вонима-ютьлишеодиннуль:х=0.Їхніграфікипрохо-дятьчерезточкузкоординатами(1;1)ісхожінаграфік,зображенийнарис.75.

Зокрема,функціюу = х3називаютькубіч-ною,аїїграфік–кубічною параболою.Приклад 1. Данофункціюf(x)=x4+1 1)ЧипроходитьїїграфікчерезточкиА(–1;2);В(–1;0)?2)Побудуйтеїїграфік.3)Скількикоренівмаєрівнянняf(x)=2;f(x)=–2?

Documents

МАТЕМАТИКА - bohdan-books.com · століть визначили напрямки розвитку математики. Поряд із до-сягненнями теоретичного