ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО …ippo-vm.at.ua/program/maket_pr_10-11_algebra_prilozhenie...Рекомендовано Министерством образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОУ ДПО «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ПРОГРАММЫ

СРЕДНЕГО ОБЩЕГО

ОБРАЗОВАНИЯ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

10-11 классы

(базовый и профильный уровни)

Приложения к программам для общеобразовательных организаций

Донецк

2017

Рекомендовано

Министерством образования и науки

Донецкой Народной Республики

(приказ № 825 от 14.08.2017г.)

Утверждено решением

научно-методического совета

ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»

(протокол № 5 от 19.06.2017г.)

Составители:

Федченко Л.Я., заведующий отделом математики ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», доцент,

кандидат педагогических наук

Полищук И.В., методист отдела математики ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»

Потемкина Л.Л., учитель математики общеобразовательного учреждения «Лицей «Коллеж»

Министерства образования и науки Донецкой Народной Республики, кандидат

физико-математических наук

Научно-методическая редакция:

Полякова Л. П., министр образования и науки Донецкой Народной Республики, доктор наук по

государственному управлению, профессор, член-корреспондент Российской

академии естествознания

Чернышев А. И., ректор ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», кандидат педагогических наук, доцент,

академик Международной академии наук педагогического образования

Рецензенты:

Скафа Е.И., проректор по научно-методической и учебной работе Донецкого национального

университета, зав. кафедры высшей математики и методики преподавания

математики ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», доктор

педагогических наук, профессор.

Киселева Е.А., учитель математики Муниципального образовательного учреждения «Школа

№46 города Донецка»

Потемкин В.Л., учитель математики общеобразовательного учреждения «Лицей «Коллеж»

Министерства образования и науки Донецкой Народной Республики, кандидат

физико-математических наук

Консультанты :

Симонова И. В., заместитель министра образования и науки Донецкой Народной Республики

Зарицкая В. Г., проректор по научно-педагогической работе ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»,

кандидат филологических наук, доцент

Технический редактор, корректор:

Шевченко И.В., методист центра издательской деятельности ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»

Алгебра и начала математического анализа: 10-11 кл.: приложения к

программам для общеобразоват. организаций: базовый, профильный

уровени / сост. Федченко Л.Я., Полищук И.В., Потемкина Л.Л. – 2-е

издание, доработанное. – ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО». – Донецк:

Истоки, 2017. – 110 с.

© ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», 2017

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................... 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ................................................................................................................ 6

Квадратный корень и его свойства ................................................................................... 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ............................................................................................................. 13

Степень с целым показателем ........................................................................................... 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ............................................................................................................. 16

Линейные неравенства, системы, совокупности ................................................... 16

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ............................................................................................................. 20

Метод интервалов при решении нелинейных неравенств .............................. 20

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ............................................................................................................. 23

Модуль числа. Упрощение выражений со знаком модуля ................................ 23

ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ............................................................................................................. 27

Квадратичная функция, ее свойства и график ........................................................ 27

ПРИЛОЖЕНИЕ 7 ............................................................................................................. 33

Арифметическая и геометрическая прогрессии .................................................... 33

ПРИЛОЖЕНИЕ 8 ............................................................................................................. 37

Уравнения со знаком модуля ............................................................................................. 37

ПРИЛОЖЕНИЕ 9 ............................................................................................................. 45

Неравенства со знаком модуля ......................................................................................... 45

ПРИЛОЖЕНИЕ 10 .......................................................................................................... 49

Параметр в уравнении с модулем ................................................................................... 49

ПРИЛОЖЕНИЕ 11 .......................................................................................................... 52

Параметр в иррациональном уравнении .................................................................... 52

ПРИЛОЖЕНИЕ 12 .......................................................................................................... 54

Показательные уравнения и неравенства с параметром .................................. 54

ПРИЛОЖЕНИЕ 13 .......................................................................................................... 55

Логарифмические уравнения с параметром ............................................................. 55

ПРИЛОЖЕНИЕ 14 .......................................................................................................... 57

Деление многочленов ............................................................................................................ 57

4

ПРИЛОЖЕНИЕ 15 .......................................................................................................... 62

Решение алгебраических уравнений ............................................................................ 62

ПРИЛОЖЕНИЕ 16 .......................................................................................................... 67

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим ............................................................... 67

ПРИЛОЖЕНИЕ 17 .......................................................................................................... 71

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными ................................ 71

ПРИЛОЖЕНИЕ 18 .......................................................................................................... 74

Различные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными 74

ПРИЛОЖЕНИЕ 19 .......................................................................................................... 78

Решение задач с помощью систем уравнений ......................................................... 78

ПРИЛОЖЕНИЕ 20 .......................................................................................................... 81

Использование свойств функций при решении уравнений, неравенств и систем ............................................................................................................................................. 81

ПРИЛОЖЕНИЕ 21 .......................................................................................................... 83

Замены в тригонометрических уравнениях ............................................................. 83

ПРИЛОЖЕНИЕ 22 .......................................................................................................... 87

Однородные тригонометрические уравнения ........................................................ 87

ПРИЛОЖЕНИЕ 23 .......................................................................................................... 91

Введение вспомогательного угла в тригонометрическом уравнении ...... 91

ПРИЛОЖЕНИЕ 24 .......................................................................................................... 93

Применение тригонометрических формул при решении уравнений ....... 93

ПРИЛОЖЕНИЕ 25 .......................................................................................................... 95

Отбор корней в тригонометрическом уравнении ................................................. 95

ПРИЛОЖЕНИЕ 26 .......................................................................................................... 97

Тригонометрическая подстановка в алгебраических уравнениях и системах ......................................................................................................................................... 97

ПРИЛОЖЕНИЕ 27 ........................................................................................................ 101

Механический смысл производной ............................................................................ 101

ПРИЛОЖЕНИЕ 28 ........................................................................................................ 103

Скорость и ускорение ......................................................................................................... 103

ПРИЛОЖЕНИЕ 29 ........................................................................................................ 105

Применение производной и интеграла к решению практических задач. .......................................................................................................................................................... 105

5

ВВЕДЕНИЕ

Приложения к программам среднего общего образования по алгебре и началам

математического анализа составлены на основе новых Государственных образовательных

стандартов среднего общего образования, Базисного учебного плана и Программам среднего

общего образования по алгебре и началам математического анализа.

В данном методическом пособии рассмотрены темы, предусмотренные к изучению в

курсе алгебры и начал математического анализа и не вошедшие в учебник авторов

Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина и др. «Математика: алгебра и начала математического

анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для

общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровень».

Пособие предназначно для изучения математики на базовом и профильном уровнях.

Следует отметить, что в соответствии с государственным образовательным

стандартом среднего общего образования изучение алгебры и начал математического

анализа на профильном уровне, помимо базовых предметных результатов освоения курса,

сводящихся к пониманию роли и места математики в системе научного мировоззрения, а

также к решению основных типов задач, предусматривает следующие требования:

1) сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании

математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики;

знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и

находить нестандартные способы решения задач;

3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать

построенные модели, интерпретировать полученный результат;

4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа

и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование

полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

С целью реализации этих требований в пособии:

приведено большое число содержательных задач на доказательство утверждений;

разобраны примеры важной роли аксиом (математической индукции, полноты) в

построении алгебры и математического анализа;

приведены задачи с практическим содержанием или взятые из других наук (например,

физики), требующие для своего решения построения модели явления с

использованием практических соображений или физических законов;

приведено большое число исследовательских задач

Поскольку одной из основных особенностей пособия является наличие большого

числа задач, среди которых есть и весьма сложные, в пособии для учителя изложены

решения или указания к решению некоторых задач, к более простым задачам приведены

ответы. В тексте параграфов имеются как необходимые теоретические сведения, так и

многочисленные примеры решения задач различной трудности, причем изложенные с точки

зрения того, как соответствующее решение можно придумать. Таким образом, пытливым

учащимся данное пособие может быть рекомендовано как пособие для самостоятельного

изучения.

В помощь учителю, для повторения ранее изученного материала по алгебре и началам

анализа для 10 класса (приложения 1-7) и дальнейшего изучения материала (приложения 8-

13), для изучения материала по алгебре и началам анализа в профильных 11-х классах

(приложения 14-28) подготовлены дополнительные материалы, представленные в

приложениях к программе.

Курсивом выделен материал для изучения в профильных классах.

6

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И ЕГО СВОЙСТВА

Определение. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а

называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Равенство ba означает, что 0a , 0b и ab 2 .

Свойства арифметического квадратного корня

1. Если 0a , 0b , то baab . 2. Если 0a , 0b , то b

a

b

a .

3. Если 0a , то aa 2

. 4. aa 2 при любых значениях а.

Пример 1. Вычислить: а) 1694815108 ; б)324

125605 .

Решение.

а) Разложим на множители некоторые из сомножителей подкоренного выражения и

сгруппируем их так, чтобы образовались квадраты целых чисел. Затем воспользуемся

свойствами 1 и 4, вынося числа из-под знака корня: 1694815108

21316335528 22222222 133516133516 3120133516 .

б) Действуя аналогично предыдущему пункту, получим:

18

275

18

2511

18

2511

18

2555121

324

1256052

22

2

.

Пример 2. Найти значение выражения:

а) 11212 ; б) 35212 ; в) 53 ; г) 74 .

Решение.

а) Выделим под знаком корня квадрат суммы двух чисел. При этом мы должны

подбирать числа так, чтобы сумма их квадратов равнялась 12, а произведение – 11 .

Нетрудно увидеть, что такие числа – это 1 и 11 . Значит,

11111111121111121222

2 111 .

б) Аналогично предыдущему пункту получаем:

35212 577575752752

.

в)

2

15

2

15

2

526

2

52653

2

2

210 .

7

г)

2

142

2

142

2

7416

2

74274

2

.

Пример 3. Выполнить действия:

а) 25332 ; б) 261123 ; в) 4

5353

.

Решение.

а) 151257151245125332253325332222

б) 1 способ. Выделим под знаком корня квадрат суммы двух чисел (см. пример 2):

232323232611232 729232323

22 .

2 способ. Учитывая, что 023 , внесем это выражение под знак корня:

2611232611232 74972121261126112611

22 .

в)

4

5353

22

5353

22

5926535353253 10010426 22

Пример 4. Упростить выражения:

а) 526526 ; б) 34135618 .

Решение.

а) 1 способ. Обозначим рассматриваемое число через а: 526526 a .

Тогда, возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:

203625265262 a , откуда 42 a . Поскольку 526526 , 0a .

Значит, 2a .

2 способ. Выделим под знаком каждого корня квадрат суммы или разности двух чисел

(см. пример 2):

5151515152652622 21551 .

б) 2

132561834135618 1325618

2

13618 33333612636182

.

8

Пример 5. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а)28

14; б)

2352

2

; в)

62532

1

.

Решение.

а) 77

7

72

14

28

14 ;

б)

22

2352

23522

23522352

23522

2352

2 2352

2

23522

в)

2332

1

2332

1

62532

12

23

2323

23

23

1

.

Упражнения для самостоятельного решения

1. Вычислить.

1) 36121 2) 64196 3) 25144 4) 49225 5) 16256

6) 81169 7) 9324 8) 4289 9)121

1227 10)

169

3218

11)490

156 12)

225

8045 13)

144

4875 14)

289

11752 15)

324

125605

16) 625

68153 17)

208

44143 18) 181045 19) 35396521

Ответ: 1) 66 2) 112 3) 60 4) 105 5) 64

6) 117 7) 54 8) 34 9)

11

18 10)

13

24

11) 7

3

12) 4 13) 5 14)

17

78 15)

18

275

16) 25

102 17)

2

11

18) 90 19) 1365

2. Упростить:

1) 75122 2) 63328 3) 18285 4) 205453 5) 993442

6) 98724 7) 482274 8) 242288 9) 32034052 10) 11221753

11) 1471082

Ответ:

9

1) 39 2) 77 3) 24

4) 519 5) 1113 6) 217

7) 320 8) 2

9) 56 10) 723 11) 35

3. Найти значение выражения.

1) 223 2) 347 3) 2611 4) 625 5) 249

6) 1528 7) 1429 8) 21210 9) 3413 10) 549

11) 21217 12) 32037 13) 1027

Ответ: 1) 12

2) 32 3) 23

4) 32 5) 122

6) 53 7) 27 8) 37 9) 132 10) 25

11) 223 12) 532 13) 25

4. Вычислить:

1) 347347 2) 56145614 3) 728728

4) 3102831028 5) 64116411 6) 1041410414

7) 15281528 8) 627627 9) 261121027

10) 3473819 11) 34133472 12) 612302612353

Ответ: 1) 4 2) 6 3) 72 4) 10 5) 24 6) 4

7) 52 8) -2 9) 8 10) 6 11) 3 12) 313

5. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1)62

3 2)

12

8 3)

32

12 4)

18

6 5)

102

5

6)21

14 7)

153

10 8)

12

1

9)32

14

10)

223

1

11)12

12

12)

423

2

13)

23

1

14)

352

11

15)

325

26

16)35

35

17)

753

12

18)

2462

4

19)

2223

7

20)

5265

19

Ответ:

1)4

6 2)

3

34 3)

2

23

4) 2 5)

4

10

6)3

212 7)

9

152;

8) 12 9) 226 10) 223

10

11) 223 12) 423 13) 32 14) 352 15) 3410

16) 154 17) 5921 18) 222 19) 122

20) 152

6. Сократить дробь:

1) 22

12

2)

3 5

3 5 5

3)

2315

252

4)

323

326

5)

32

132

6)

47

712

7)

23

221

8)

327

338

9)

22326

1236

10)

331553

13515

Ответ:

1)2

2 2)

5

5 3)

3

2 4)

3

6

5) 2

6) -2 7) 12 8) 32

9) 2

2

10) 3

3

7. Найти х из пропорции: 1)

x

6 3 3

2 3

3

2)

12

2222

x

3)

22

127

127

x

4)

12621

126

x

Ответ: 1) 1 2) 1 3) 2 4) 21

8. Упростить выражения:

1. 1

1

x

x . Ответ:

1

1

x .

2. 4

2

x

x. Ответ:

2

1

x

3. nm

nmnm

2. Ответ:

nm

nm

4. yx

yxyx

4

44

. Ответ:

yx

yx

2

2

5. 9

3

a

aa. Ответ:

3a

a

6. 25

5

b

bb. Ответ:

5b

b

7. 11

a

a

a

a. Ответ:

1a

a

8. 24

c

c

c

c. Ответ:

c

c

4

2 .

11

9.ba

a

bab

ba

2 Ответ:

b

ba .

10.ba

b

aba

ba

22 Ответ:

a

ba

2

11. n

m

n

mn

nm

n:

Ответ:

nm

m

.

12.

y

xy

xy

y

xy

x: Ответ:

x

y

13. 2222

11

baabaa

Ответ:

2

2

b

a

14. ba

b

ba

a

. Ответ:

ba

ba

.

15. 22

22:1 baa

ba

a

Ответ:

22

1

ba

16. 1

2

11

1

aa

a

a. Ответ:

a1

3 .

17.

x

xx 4

4

7:716 2

Ответ: x4

18. xyx

xx

x

y

y

x

2. Ответ:

y

1 .

19.

yy

yyx

yx

yx 1. Ответ: 2 .

20. abba

ab

a

2

1

2

2

2

. Ответ: ba .

21.xxxxx

x 11

1

1

1

. Ответ:

xx

1 .

22.

3

3

3

3

3

3

3

3

a

a

a

a

a

a

a

a

. Ответ: 3

a .

23.

2

2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

a

a

a

a

a

. Ответ: 2

a .

24. a

b

abaaba

11.

Ответ: 2 .

12

25. xxxxxxx

x

2

1:

1. Ответ: 1 .

26.

ba

ba

abba

ba

11

11

:2

. Ответ: 1 .

27.

xxx

x

x

x

x 14

1

1

1

1.

Ответ: x4 .

28.

112

1

2 x

xx

x

xx

x

x.

Ответ: x2 .

29.

xyyx

yx

yx

yx 11.

Ответ: yx

4 .

30.

2

ba

baab

ba

bbaa. Ответ: 1 .

31.

11

22

ba

bab

ab

baa . Ответ: ab2 .

32. xy

xy

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

2. Ответ: y2 .

33. a

a

a

a

aa

a 1

1

2

12

2

.

Ответ: 1

2

a .

34. ba

a

a

ba

ba

a

aba

a

:

2.

Ответ: a

ba

35. aaaaaaa

a

2

1:

1.

Ответ: -1.

36. bba

baba

bbaa

a

ba4:

22

. Ответ:

ba 2

1.

13


СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Известно, что множителей - n

aaaa n , nN; а1

= а.

Свойства степеней с целым показателем:

1) n

n

aa

1

, nN, а0;

2) а0=1, а0;

3) mnmn aaa , а0;

4) m-nmn aaa : , а0;

5) mnmn aa , а0;

6) m

mm

b

a

b

a

, а0, b0;

7) mmmbaab , а0, b0.

Пример 1. Записать выражения в виде степени с основанием х:

1)

4

9

57

x

xx; 2)

5

8

3

x

x; 3)

139 : mnmn xx .

Решение.

1) 12

1243434957

4

9

57 1

ххххх

x

xx

;

2) 25

255555583

5

8

3 1

ххххх

x

x

;

3) 22139139 : ххxx тптпmnmn .

Пример 2. Вычислить: 1)

2

3

23

; 2) 3

75,0

; 3) 7

512

25127

12552

.

Решение.

1) 121

9

11

3

3

11

3

23

222

;

2) 27

64

3

4

4

375,0

33

3

;

3)

25

1

5127

127

5127

525

5127

552

25127

12552214

312

14

1512

7

512

.

14


1. Записать выражения в виде степени с основанием х: 1) 5xx . Ответ: 6x . 2) 32

xx . Ответ: 5x .

3) 43 xx . Ответ: 1x . 4) 62 xx . Ответ: 8x .

5) 174 xx . Ответ: 13 x . 6) 145x . Ответ: 70x .

7) 297 xx . Ответ: 32x . 8) 297 xx . Ответ: 25x .

9) nxx 23 . Ответ: nx5 . 10)

51

x.

Ответ: 5x .

11)

3

9

2

x

x. Ответ: 21x . 12)

7

6

x

x. Ответ: 35x .

13)

6

5

43

x

xx. Ответ: 12x . 14)

5

8

1

x

. Ответ: 40x .

15)

19

1

x

x. Ответ: 38x . 16)

8

3

4

x

x. Ответ: 56x .

17)

9

5

2

x

x. Ответ: 27x . 18) 12 nn xx . Ответ: 13 nx .

19) nn xx 5 . Ответ: 5x . 20) nn xx 31 . Ответ: 4x .

21) nmn xx 24 : . Ответ: mnx 25 . 22) 25 : nn xx . Ответ: 7x .

23) 31 : nn xx . Ответ: 2x . 24) 63 : mnmn xx . Ответ: 3x .

25) 3 nn xx . Ответ: 1 . 26) 232 nn xx . Ответ: пх 2 .

2. Вычислить:

1)

2

3

2

. Ответ:

9

4. 2)

2

2

12

. Ответ:

4

16 .

3)

3

4

11

. Ответ:

64

611 . 4)

2

4

3

. Ответ:

16

9.

5)

3

5

2

. Ответ:

125

8 . 6) 1

1,0

. Ответ: 10.

7) 21,0 . Ответ: 01,0 . 8)

2

8

5

. Ответ: 56,2 .

9)

2

3

2

. Ответ:

4

12 . 10) 1

2,0

. Ответ: 5 .

11) 24,0

. Ответ: 25,6 . 12) 2

2,0

. Ответ: 25 .

13)

2

2

13

. Ответ:

49

4. 14)

3

2

11

. Ответ:

27

8.

15) 325,0

. Ответ: 64 . 16)

4

3

21

. Ответ:

625

81 .

15

3. Найти значения числовых выражений:

1) 1413

15

72

14

. Ответ: 28 . 2)

54

36

227

49

. Ответ: 2 .

3) 48

129

87

75

911

322

215

53

. Ответ: 198 . 4)

87

4

36

4

52

20:

32

24

. Ответ: 60000 .

5) 54

35

521

68

914

498:

73

421

. Ответ:

27

14. 6)

10

2122

49

71372 . Ответ: 7 .

7) 19

7778

16

2927 . Ответ: 10 . 8)

311

91113

23

16425

. Ответ:

9

4.

9) 202215

107

2251623

24

. Ответ: 4 . 10)

3132

3130

747

772122

. Ответ: 4 .

4. Найти значения числовых выражений:

1) 38

9

813

26

. Ответ: 13 . 2)

715

9

32

12

. Ответ: 72 .

3) 8

76

911

10

14

27:

172

34

. Ответ: 833 . 4)

48

5

59

6

52

40

94

12

. Ответ:

81

10.

5) 87

10

68

213

52

18:

52

316

. Ответ: 150 . 6)

16

3032

9

3934 . Ответ: 5 .

7) 7

513

917

274315

. Ответ: 1 . 8)

10109

410321

1226

9415272

. Ответ: 2 .

9)

6566

6465

535

56525

. Ответ: 2 . 10)

24

2324

21619

956762

. Ответ:

6

5.

16


ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ, СОВОКУПНОСТИ

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (ax+b<0, ax+b0, ax+b0), где а и b –

действительные числа, причем а0.

При проведении преобразований в неравенствах необходимо следить за их

равносильностью.

При переносе выражения из одной части неравенства в другую необходимо менять

знак перед этим выражением.

При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства

сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства

меняется на противоположный.

Решить систему неравенств – это найти все общие решения входящих в нее

неравенств. Для этого нужно пересечь множества полученных решений.

Решить совокупность неравенств – это найти все решения, удовлетворяющие хотя бы

одному входящему в нее неравенству. Для этого нужно объединить множества полученных

решений.

Пример 1. Решить неравенство: 5231532 ххх .

Решение. Раскрыв скобки, получим 1565562 ххх .

Отсюда 15613 хх ; 149 х ; 9

14х .

Ответ:

9

14; .

Пример 2. Решить неравенство: 32

32)13(5)1(2

3

212

xxxx

xx

.

Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 6. Знак

неравенства при этом не изменится.

xxxxxx 2)32(3)13(30)1(12)2(272 .

Отсюда xxxxxx 296309012124272 ; 550 x .

Последнее неравенство верно при любом значении х, поэтому множеством его

решений служит вся числовая прямая.

Ответ: (-; +).

Пример 3. Решить систему неравенств:

.4713

,1325

xx

xx

Решение. Данная система равносильна следующей:

.4

5

,2

3

x

x

Пересекая полученные множества решений, находим, что ответом служит интервал

17

4

5;

2

3. Это и есть множество решений данной системы.

Ответ:

4

5;

2

3.

Пример 4. Решить совокупность неравенств:

.2

31

3

,2

23

5

32

xx

xx

Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную

данной

.7

6

,11

4

x

x

Объединением этих множеств служит промежуток

7

6; , который и

является решением совокупности неравенств.

Ответ:

7

6; .

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить линейные неравенства: 1. 186 x . Ответ: ;3 .

2. 102 x . Ответ: 5; .

3. 09,3 x . Ответ: ;0 .

4. 22,0 x . Ответ: ;10

5. 100 x . Ответ: .

6. 80 x . Ответ: ;

7. 63

2x . Ответ: 5,4;

8. 23

1

4

5

xx. Ответ: 43;

9. 23613 x . Ответ: 6; .

10. )6(3,03,2)27(2,0 yy Ответ: ;27

11. 105)2)(5()1)(8( xxxxx . Ответ: 8; .

12. xxxxx 8)3)(5()2)(4( . Ответ: 5,11; .

13. 6

8

4

33

9

47 xxx

. Ответ: ;13 .

14. )2,15,1(34,5)2(5,4 xx . Ответ: ; .

15. 10

1

5

3

4

25 xxx

. Ответ:

;

31

24.

16. )311(22)4)(13()3(3 xxxxx . Ответ: .

18

17. xxxxx 5)4)(3()1)(6( . Ответ: 6; .

18. xxxxx 5,1)34)(34()83(2 . Ответ: ;2 .

19. 1)42,6(3)2,31(5)43,1(2 xxx . Ответ: ; .

20. )7(8,02,3)38(3,0 yy . Ответ: ;64 .

Решить системы линейных неравенств:

1. 2 6 0

4 20 0

x

x

Ответ: 5;x . 2.

5 7 0

2 3 0

x

x

Ответ:

3;

2x

3. 3 5 0

7 28 0

x

x

Ответ: ; 4x 4.

18 6 0

15 3 0

x

x

Ответ: x .

5.

;153

,427

x

x Ответ: 5;6 . 6.

;147

,255

x

x Ответ: 2;5 .

7.

;182

,279

x

x Ответ: 9; . 8.

;43

,164

x

x Ответ:

3

4; .

9.

;62

,04

x

x Ответ: 4;3 . 10.

;123

,32

x

x Ответ: ;5 .

11.

;14

,93

x

x Ответ: 3; . 12.

;62

,124

x

x Ответ: ;4 .

13.

;27

,58

x

x Ответ: 3; . 14.

;975

,312

xx

xx Ответ:

4;

2

3.

15.

;747

,036

x

x Ответ: ;0 16.

;33332

,1225

xx

xx Ответ: 6;1 .

17.

;3237

,3110

xx

x Ответ:

5

8;

5

2. 18.

;5107

,533

xx

xx Ответ:

5;

2

3.

19.

;31311

,163

xx

xx Ответ: 1; . 20.

;11615

,634

xx

xx Ответ: 12;3 .

21.

;21310

,15194

xx

xx Ответ: . 22.

;2447

,34113

xx

xx Ответ: .

23.

;48163

,3476

xx

xx Ответ: 4;2 . 24.

;1135

),6(237

xx

xx Ответ:

8;

5

9.

25.

;63

1

,83

x

x

Ответ: 17;5 . 26.

;24

,26

x

x

Ответ: 8;4 .

27. 3( 1) 2(2 3 ) 5 3

8 3(2 5) 2( 7)

x x x

x x x

Ответ: 1;x .

28.5( 2) 9( 1) 3 1 4( 3)

7(3 5 ) 3 5( 2)

x x x

x x x

Ответ: . x

19

29.

7 5 7

2 4 2 8

2 1 1 25

4 3

x x

x x

Ответ: 53 7

;2 16

x

.

30. Ответ:

31.

;1)4()3)(3(

),1(43)3(2

2xxx

xxx Ответ: 3;2x .

32.

);4)(5()6)(3(

),6(3)11(2

xxxx

xx Ответ:

;

5

4x .

Решить совокупности неравенств:

1. 2 5

2

x

x

Ответ: ;5x . 2.

3 5

5

x

x

Ответ: 3;x .

3. 3

5 2 2(1 )

x

x x

Ответ: 3;x . 4. 2

3 5 3( 1)

x

x x

Ответ: x R .

5. 2 3 1

3 2 2(1 )

x

x x

Ответ: x R . 6. 2

3 5 3( 1)

x

x x

Ответ: x R .

7.

52

20

01

x

x

x

Ответ: 1;5x . 8.

1 2

2 5

5

x

x

x

Ответ: 1;x

9.

3 2 11

3 5

1 4 4

x x

x

Ответ: 3

; 3;4

x

.

10.

2 1 21

2 7

4 1 0

x x

x

Ответ: 1

;4

x

.

11.

3 2 1

5 2

2 3

x x

x x

Ответ: 1

;2

x

.

12.

3 2 1 5

4 6

3 1 3 2

x x

x x

Ответ: x R .

2 1 3 23

3 5

7 5 11

3 6 3 6

x xx

x x

1;

2x

20


МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

При решении нелинейных неравенств часто удобно пользоваться методом

интервалов. Его смысл заключается в следующем. Неравенство равносильными

преобразованиями приводится к виду, когда в одной из его частей получается ноль. Для

выражения, находящегося в другой части определяются точки возможной перемены знака

(обычно это нули числителя и знаменателя дроби, в виде которой удается представить все

выражение). Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых знак

выражения постоянен. Расставляя знаки в указанные промежутки, на числовой оси можно

увидеть ответ к решаемому неравенству.

Пример 1. Решить неравенство: 07235223 xxx .

Решение. Выражение, находящееся в первой скобке, равно нулю при 2

5x , больше

нуля при 2

5x и меньше нуля при

2

5x . Для выражения, стоящего во второй скобке, таким

значением, при прохождении через которое меняется его знак, является 2

3x , а для

выражения в третьей скобке – 7x . Нанесем эти точки на числовую ось, разбив ее при

этом на промежутки (рис. 1). Выберем любой из них. Ясно, что для каждой точки внутри

Рис. 1

этого промежутка левая часть неравенства имеет один и тот же знак. В самих

нанесенных точках значение левой части неравенства равно нулю. Расставим знаки в

указанные промежутки (рис. 2). Для этого достаточно проверить знак выражения в любой

точке промежутка. Получаем ответ:

2

5;

2

37x .

Рис. 2

Заметим, что в промежутках вокруг числа -7 знак выражения один и тот же,

поскольку скобка, корнем которой является это число, входит в выражение во второй

степени. Это означает, что знак выражения изменяется дважды, то есть сохраняется.

Ответ:

2

5;

2

37x .

Пример 2. Решить неравенство:

0123

1242

xx

xx.

Решение. Точками возможной перемены знака для левой части неравенства являются

4x ; 2

1x ; 3x ;

2

1x . Нанесем их на числовую ось (рис. 3), изображая нули числителя

закрашенными, а нули знаменателя – выколотыми (знаменатель не может равняться нулю, а

равенство нулю числителя в данном случае допустимо, поскольку неравенство нестрогое).

Расставим знаки и получим ответ.

21

Рис. 3

Ответ:

;43;

2

1

2

1;

2

1x .


xxxx .

Решение. Разложим на множители квадратные трехчлены:

031321 xxxx . Тогда 033212

xxx . Применим метод интервалов (рис.

4).

Рис. 4

Ответ:

;3

2

3;x .


2

x.

Решение. Ошибочно было бы умножить обе части неравенства на знаменатель левой

части без учета его знака и разбора возможных вариантов. Метод интервалов позволяет

справиться с неравенством относительно просто. Перенесем 1 в левую часть и приведем к

общему знаменателю: 03

32

x

x или 0

3

1

x

x. Решим полученное неравенство методом

интервалов (рис. 5).

Рис. 5

Ответ: 3;1x .


Решить неравенства:

1. 0)9)(12( xx . Ответ:

2

1;9x .

2. 0)37)(25( xx . Ответ:

2

5;

3

7x .

3. 0473 2 xx . Ответ:

3

4;1x .

4. 0792 2 xx . Ответ:

2

7;1x .

5. 0132 2 xx . Ответ:

;

2

11;x .

22

6. 0165 2 xx . Ответ:

;

5

11;x .

7. 032 2 xx . Ответ: ;x .

8. 0145 2 xx . Ответ: ;x .

9. 0543 2 xx . Ответ: нет решений.

10. 0732 2 xx . Ответ: нет решений.

11. 08

102

x

x. Ответ: 5;8x .

12. 0104

7

x

x. Ответ: 5,2;0x .

13. 2

1 3 2 0x x x . Ответ: 3 ;22 ;1 x .

14. 2 3

2 1 2 3 4 0x x x . Ответ: х1 2

4;2 3

.

15. 2 2

1 3 5 4 2 0x x x x x . Ответ: 5 ;44 ;33 ;2)1 ;( х

16.

2

3

5 1 3 10

8 1

x x

x x

. Ответ: х

1 18; 1;

5 3

.

17.

3 4

5

4 1 5 20

3 2

x x

x x

. Ответ: х

1 23; 2;

4 5

.

18.

21 2

01

x x

x

. Ответ: х ; 2 2; 1 1; .

19.

2

2

3 244

3 3

x x

x x

Ответ: х ; 1 4;

20. 2

3 5 1

4 5 2

x

x x

Ответ: х 5;1

21. 6

1

5

3

8

42 xxxx

. Ответ:

;

15

462;x .

22. 24

19

8

58

6

43

4

12 2

xxx

. Ответ:

1;

3

13x .

23.

2

2

6 90

5 4

x x

x x

Ответ: х 5;1 3 .

24.

2

2

8 70

4 4 1

x x

x x

Ответ: х 1;7 .

25. 2 22 3 2 9 9 0x x x x . Ответ: 3

; 1 3;2

x

.

26. 029412822

xxxx . Ответ: х

;62

4

1; .

23


МОДУЛЬ ЧИСЛА. УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Определение.

.0,

,0,

аеслиа

аеслиаa

Свойства модуля

1. aa при любых значениях а.

2. при любых значениях а и b.

3. b

a

b

a при любых значениях а и при 0b .

4. aa 2 при любых значениях а.

5. 22aa при любых значениях а.

6. baba при любых значениях а и b.

Геометрический смысл выражения ba при любых значениях а и b – это расстояние

между точками а и b на числовой оси.

Пример 1. Упростить выражения: а) 1325 xx ; б)34

122

2

xx

xx.

Решение. а) Разобьем числовую ось точками 3

1x и

5

2x на три промежутка (см.

рис). Выражение 25 x обращается в ноль при 5

2x , положительно при

5

2x и

отрицательно при 5

2x . Выражение 13 x обращается в ноль при

3

1x , положительно при

3

1x и отрицательно при

3

1x . Поэтому, на каждом из трех промежутков можно

открыть оба модуля.

1) Пусть 3

1x . Тогда xx 5225 и 1313 xx . Выражение принимает

следующий вид: xxx 811352 . 2) Если 5

2

3

1 x , то xx 5225 , а

1313 xx . Данное выражение принимает следующий вид: xxx 231352 . 3) При

5

2x получаем: 2525 xx , и 1313 xx . Тогда выражение принимает следующий

вид: 181325 xxx .

Ответ: x81 при 3

1x ; x23 при

5

2

3

1 x ; 18 x при

5

2x .

baba

24

б) Пользуясь свойством 5 и раскладывая квадратные трехчлены на множители,

получаем:

13

112

34

12

34

122

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

При условии, что 1x , то есть 1x , получаем 3

12

x

x. Раскрывая модуль по

определению можем записать

Ответ: 3

12

x

x при 0;11; x ;

3

12

x

x при ;11;0x .

Пример 2. Доказать, что 211 xx .

Решение. 1 способ. Разобьем числовую ось на три промежутка точками 1x и

1x .

1) При 1x получаем: xxx 211 . Поскольку 1x , 22 x . На этом

промежутке неравенство выполняется.

2) При 11 x получаем: 211 xx . На этом промежутке неравенство

также выполняется.

3) При 1x получаем: xxx 211 . Поскольку 1x , 22 x . И на этом

промежутке неравенство выполняется.

2 способ. По свойству 1, xx 11 . Тогда, применяя свойство 6, получаем:

21111 xxxx .

3 способ. По геометрическому смыслу модуля, левая часть неравенства – это сумма

расстояний от точки х до точек -1 и 1. Ясно, что она не меньше 2.


1. Упростить выражения:

1. 21 xx . Ответ: 12 x при 1x ; 3 при 21 x ; 12 x при 2x .

2. 13 xx . Ответ: x24 при 1x ; 2 при 31 x ; 42 x при 3x .

3. 22 xx . Ответ: 4 при 2x ; x2 при 22 x ; 4 при 2x .

4. 3213 xx . Ответ: x4 при 2

3x ; 45 x при

3

1

2

3 x ; 4x при

3

1x .

5. 43

521

x

xx.

Ответ: 1 при 2

5x или 1x ;

43

6

x

x при

3

4

2

5 x ;

43

6

x

x

при 13

4 x .

6. x

xx

1

412.

Ответ: 3 при 2

1x или 4x ;

x

x

1

5 при 1

2

1 x ;

1

5

x

x при

41 x .

7. 1

122

x

xx. Ответ: 1x при 0x и 1x ;

1

12

x

x при 0x .

25

8. 2

442

x

xx. Ответ:

2

22

x

x при 0x и 2x ; 2x при 0x .

9. 32

9124 2

x

xx. Ответ: 32 x при 0x и

2

3x ; 32 x при 0x и

2

3x .

10. x

xx

5

25102

. Ответ: 5x при 0x и 5x ; x5 при 0x и 5x .

11. 1

122

2

x

xx. Ответ:

1

1

x

x при 0x и 1x ;

1

1

x

x при 0x и 1x .

12. 136

112362

2

x

xx. Ответ:

16

16

x

x при 0x и

6

1x ;

16

16

x

x при 0x и

6

1x .

13. 9

962

2

x

xx. Ответ:

3

3

x

x при 0x и 3x ;

3

3

x

x при 0x и 3x .

14. 14

1442

2

x

xx. Ответ:

12

12

x

x при 0x и

2

1x ;

12

12

x

x при 0x и

2

1x .

15. 56

232

xx

x. Ответ:

1

1

x при 3x и 5x ;

5

1

x при 3x и 1x .

16. 82

312

xx

x. Ответ:

2

1

x при 1x и 2x ;

4

1

x при 1x и 4x .

17. xx

x

4

22. Ответ:

x

1 при 4;x ;

x

1 при 2;4 x ;

4

1

x при

;00;2x .

18. 24

31

xx

x.

Ответ: 2

1

x при 1;22; x ;

x4

1 при 4;1x ;

4

1

x при ;4x .

19. xx

xx

5

103

2

2

.

Ответ: x

x 2 при ;52;x ;

x

x 2 при

5;00;2 x .

20. 2

2

3

152

xx

xx

.

Ответ: x

x 5 при ;35;x ;

x

x 5 при

3;00;5 x .

21.

2522

12 2

xx

x

x

.

Ответ: 14 2 x при

;2

2

1;x ; 241 x при

2;

2

1x .

22.

1431

13 2

xx

x

x

.

Ответ: 19 2 x при

;

3

11;x ; 291 x при

3

1;1x .

26

23. 2

3

6

m m

m m m

. Ответ:

2

1

m при ;30;22;m ;

2

1

m при

3;0m .

24. nnn

nn

103

22

.

Ответ: 5

1

n при ;55;02;n ;

n5

1 при

0;2n .

25.

2 1 1

2

x x

x x

.

Ответ: x

x 1 при 1;x ;

x

x

2

1 при 0;1x ;

2

1

x

x при

;22;0x .

26. 13

42 2

xx

xx.

Ответ: 1

2

x

x при 3;x ;

1

2

x

x при 2;11;3 x ;

3

2

x

x при ;2x .

27. 3 2

2

2

2 4

a a a

a a a

; Ответ:

2

a при 2;a ;

2

1aa при ;2a .

28.

2

3 2

3 9

2 3 9

x x x

x x x

.

Ответ: 32

3

xx при 3;00;

2

3

2

3;

x ;

x

1 при

;3x .

2. Упростить выражения при заданных условиях

1. Известно, что 1a . Упростить выражение aa 11 . Ответ: a2 .

2. Известно, что 2a . Упростить выражение aa 32 . Ответ: a21 .

3. Известно, что 4a . Упростить выражение aa 641 . Ответ: 55 a .

4. Известно, что 6

5a . Упростить выражение aa 433 . Ответ: 37 a .


14

2

9 a . Упростить выражение 54 aa . Ответ: 1.


1 a . Упростить выражение aa 41512

.

Ответ: a216 .

7. Упростить выражение 216

5442

x

xxx, если 1x . Ответ:

3

1 .


1962

x

xxx, если 0x . Ответ:

2

1 .


3122

x

xxx,

если 23 x .

Ответ: 2 .


125102

x

xxx,

если 34 x .

Ответ: 2 .

27


КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Квадратичная функция задается следующей формулой: cbxaxxf 2, где 0а .

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при

0a (рис. 1) и вниз при 0a (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Координаты вершины параболы определяются формулами a

bхв

2 ; a

acbув

4

42

.

Точка a

bхв

2

делит числовую ось на два промежутка, на каждом из которых

квадратичная функция либо возрастает, либо убывает. Характер поведения функции зависит

от знака старшего коэффициента a. При 0a квадратичная функция убывает на промежутке

a

b

2; и возрастает на промежутке

;

2a

b. При 0a характер возрастания и

убывания функции меняется на противоположный.

Пример 1. Для функции у = 8х – 3х2 - 4 назовите коэффициенты а, b и с.

28

Решение. Т.к. формула квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + с, то а = –3;

b = 8; с = –4.

Ответ: а = –3; b = 8; с = –4.

Пример 2. Найдите значение функции у = 8х + 6х2 – 7 в точке –2.

Решение. Подставим число –2 вместо х: у = 8(–2) + 6(–2)2 – 7; у = 1.

Ответ. 1.

Пример 3. Укажите координаты вершины параболы хху 2

4

1.

Решение. Координаты вершины параболы (хв;ув ) находятся по формулам:

a

bхв

2 ; a

acbув

4

42 . Значит, 2

4

12

)1(

вх . Подставим это значение в

исходную функцию: 121224

1 2 ву

Ответ: (2;-1).

Пример 4. По рисунку определите знаки коэффициентов а, b и с.

Решение. Коэффициент а показывает направление ветвей

параболы. Если 0a , то ветви направлены вверх, если 0a , то

ветви направлены вниз. Коэффициент с показывает ординату точки

пересечения параболы с осью ординат. В нашем случае 0a ,

3c , то есть 0c . Для определения знака b заметим, что

02

a

bхв

. При 0a это неравенство выполняется для 0b .

Ответ: 0a , 0b , 0c .

Пример 5. По рисунку определите промежуток, в котором

функция убывает.

Решение. Точка a

bхв

2 делит числовую ось на два

промежутка, на каждом из которых квадратичная функция либо

возрастает, либо убывает. Характер поведения функции зависит от

знака старшего коэффициента a. При 0a квадратичная функция

убывает на промежутке

a

b

2; и возрастает на промежутке

;

2a

b. При 0a характер возрастания и убывания функции

меняется на противоположный. В нашем случае, 0a , 2вх , следовательно функция

убывает на промежутке 2; .

Ответ: 2; .

Пример 6. Постройте график функции

122

1 2 хху . Укажите наибольшее значение этой

функции.

Решение. Графиком данной функции является

парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем абсциссу

29

вершины параболы 2

2

12

2

2

a

bхв .

Подставим хв в уравнение параболы и найдем ординату ее вершины, значение

которой и является наибольшим значением данной функции

уmax = yв= 312222

1 2 .

Пересечение с осью ординат у параболы в точке 1;0 . С осью абсцисс парабола

пересекается в точках с иррациональными координатами. Для построения графика данной

параболы вычислим координаты двух пар ее точек, симметричных относительно ее оси х = 2.

х 0 1 3 4

у 1 2,5 2,5 1

Ответ: уmax= 3

Пример 7. Найдите множество значений функции 29 ху на заданном отрезке [-

1;4].

Решение. Найдем координаты вершины параболы: 909,02

2 вв уa

bх .

Подставим концы отрезка [-1;2] в исходную функцию:

у(-1) = 9 – (-1)2 = 8, у(2) = 9 – 2

2 = 5.

Значит, [5;9] – множество значений функции у = 9 – х2

на отрезке [-1;2].

Ответ: [5;9].


1. Принадлежит ли графику функции 2

25xy точка:

1) )100;2( A ; 2) )100;2(B ; 3)

1;

5

1C ?

2. Принадлежит ли графику функции 2

40xy точка:

1) )160;2( A ; 2) )160;2(B ; 3) )4,0;1,0(C ?

3. Дана функция 152)(2

xxxf . Найдите значение

аргумента х, при котором:

1) 0)( xf ;

2) 7)( xf ;

3) 33)( xf .

Ответ:

1) -3 и 5

2) -2 и 4

3) -6 и 3.

4. Найдите координаты точки параболы 1062

xxy , у

которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 34.

Ответ:

1) 2;2 и 5;5 ;

2) 37;3 и 26;8 .


xxy , у

которой ордината на 12 больше абсциссы.

Ответ: 11;1 и 15;3 .


xxy , у

которой абсцисса на 28 больше ординаты.

Ответ: 32;4 и

24;4 .

30

7. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) 20102

xxy ; Ответ: вверх; 5;5 .

2) 322


3) 322


4) 3122

xxy ; Ответ: вверх; 33;6

5) 46)(2

xxxf ; Ответ: вверх; 5;3

6) 24)(2

xxxg ; Ответ: вверх; 2;2 .

7) 36)(2

xxxg ; Ответ:вниз; 12;3 .

8) 14)(2

xxxf ; Ответ: вниз; 5;2 .

9) 642

xxy ; Ответ: вниз; 2;2 .

10) 432

xxy ; Ответ: вниз; 75,1;5,1 .

11) 322


12) 22 xxy ; Ответ: вниз; 25,2;5,0 .

13) 54,23,02

xxy ; Ответ: вверх; 8,9;4 .

14) 6,222,76,02


15) 3,116,33,02

xxy ; Ответ: вверх; 5,0;6 .

16) 12,04,04,02

xxy ; Ответ: вверх; 22,0;5,0 .

17) 62052


18) 5632


19) 1842

xxу ; Ответ: вверх; 5;1 .

20) 21232

xxу ; Ответ: вверх; 10;2 .

21) 582 2 xxy ; Ответ: вниз; 13;2

22) 21052

xxy . Ответ: вниз; 7;1 .

8. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) 164)(2

xxxf ; Ответ: ;20 ; ;2 ; 2; .

2) 182)(2

xxxf ; Ответ: ;7 ; ;2 ; 2; .

3) 384)(2

xxxf ; Ответ: ;1 ; ;1 ; 1; .

4) 163)(2

xxxf ; Ответ: ;2 ; ;1 ; 1; .

31

5) 625

1)( 2 xxxf ; Ответ: 1; ; 5; ; ;5 .

6) 327

1)( 2 xxxf ; Ответ: 10; ; 7; ; ;7 .

7) 23

1)( 2 xxxf ; Ответ: 25,1; ; 5,1; ; ;5,1 .

8) 1024

1)( 2 xxxf ; Ответ: 14; ; 4; ; ;4 .

9) 2

3,0124)( xxxf ; Ответ: 124; ; 20; ; ;20 .

10) 2

2,01617)( xxxf ; Ответ: 337; ; 40; ; ;40 .

11) 2

4,01220)( xxxf ; Ответ: 110; ; 15; ; ;15 .

12) 2

6,0189)( xxxf ; Ответ: 144; ; 15; ; ;5 .

13) xxxf 217)(2 ; Ответ: ;75,15 ; ;5,1 ; 5,1; .

14) xxxf 85)(2 ; Ответ: ;2,3 ; ;8,0 ; 8,0;

15) xxxf 311)(2 ; Ответ:

;

44

9;

;

22

3;

22

3; .

16) xxxf 73)(

2 ; Ответ:

;

12

49;

;

6

7;

6

7; .

17) 8122 2 xx ; Ответ: ;10 ; ;3 ; 3; .

18)2

2,089 xxy . Ответ: 89; ; 20; ; ;20 .

9. График квадратичной функции – парабола с вершиной в

начале координат, проходящая через точку (6; -3). Задайте эту

функцию формулой.

Ответ: 2

12

1ху .


точке )7;0(C , проходящая через точку )101;6( D . Задайте

эту функцию формулой. Ответ: 73

2 ху .


точке )3;0( A , проходящая через точку )24;3(B . Задайте эту

функцию формулой. Ответ: 33

2 ху .

12. Пусть D – дискриминант квадратного трехчлена cbxax 2. Изобразите

схематически график квадратичной функции cbxaxy 2, если:

1) 02

,0,0 a

bDa 2) 0

2,0,0,0

a

bcDa

3) 02

,0,0 a

bDa 4) 0

2,0,0,0

a

bcDa

5) 02

,0,0 a

bDa 6) 0

2,0,0

a

bDa

7) 02

,0,0 a

bca 8) 0

2,0,0

a

bDa

32

9) 02

,0,0 a

bDa 10) 0

2,0,0,0

a

bcDa

11) 02

,0,0 a

bDa 12) 0

2,0,0

a

bDa

13) 02

,0,0 a

bca 14) 0

2,0,0

a

bDa

15) 02

,0,0 a

bDa 16) 0

2,0,0,0

a

bcDa

13. Найти область значений функции на заданном отрезке.

1) 2

3

1xy , где ]6;3[x ; 2) 2

4

1xy , если ]8;2[x ;

3) 2

4

1xy , где ]8;4[x ; 4) 2

3

1xy , где ]3;6[x ;

5) 562

xxy , где ]2;6[x ; 6) 342

xxy , где ]5;0[x .

14. Найдите наименьшее значение функции 21832

xxy

на промежутке:

1) ]4;1[ ; 2) ]1;4[ ; 3) ]5;4[ . Ответ: 1) -25; 2) -13; 3) -22.


xxy на

промежутке:

1) ]6;4[ ; 2) ]1;7[ ; 3) ]10;4[ . Ответ: 1) -11; 2) -8; 3) 1.

16. Найдите наибольшее значение функции 1082

xxy


1) ]3;5[ ; 2) ]0;1[ ; 3) ]10;11[ . Ответ: 1) 26; 2) 17; 3) -10.

17. Найдите наибольшее значение функции 462

xxy


1) ]5;2[ ; 2) ]1;2[ ; 3) ]6;5[ . Ответ: 1) 13; 2) 9; 3) 9.


xxy на

промежутке:

1) ]4;3[ ; 2) ]2;4[ ; 3) ]3;5,0[ . Ответ: 1) -11; 2) -7; 3) -10.

33


АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Последовательность чисел а1, а2, …., ап называется арифметической прогрессией,

если найдётся такое число d, называемое разностью прогрессии, что a2 = a1 + d, a3 = a2 + + d,

,…, an = an+1 + d. Иными словами, второй член получается из первого прибавлением числа d,

третий получается из второго прибавлением того же самого числа d, и т.д. Отсюда ясно, что

все члены прогрессии определяются её первым членом и разностью.

Практически любая задача на арифметические прогрессии решается составлением

системы уравнений относительно а1 и d. Для того чтобы составить такую систему,

достаточно знать следующие формулы:

an = a1 + (n – 1)d,

1 11 2

2 ( 1)...

2 2

nn n

a a a n dS a a a n n

.

Название «арифметическая прогрессия» для последовательности а1, а2, …., ап

происходит из того, что любой член прогрессии является средним арифметическим соседних

с ним членов (если они имеются), т.е. для любых трёх последовательных членов

арифметической прогрессии , ,x y z выполнено равенство: 2

x zy

.

Последовательность чисел b1, b2, ….., bn называется геометрической прогрессией,

если найдётся такое число q ≠ 0, называемое знаменателем прогрессии, что b2 = b1 q, b3 =

b2 q, ….., bn = bn-1 q.

Задачи на геометрические прогрессии решаются так же, как и задачи на

арифметические прогрессии – составлением системы уравнений относительно b1 и q .

Необходимые для этого формулы:

1

1

n

nb b q ,

1 2 1

1...

1

n

n n

qS b b b b

q

.

Если b1, b2, ….., bn – это геометрическая прогрессия с положительными членами, то

каждый её член равен среднему геометрическому своих соседей (если они имеются), т.е. для

любых трёх последовательных членов геометрической прогрессии , ,x y z выполнено

равенство: y x z .

Пример 1. Найти пятидесятый член арифметической прогрессии 8; 11; …

Решение. Разность прогрессии равна 11 – 8 = 3. Первый член прогрессии – это 8.

Следовательно, по формуле п-го члена арифметической прогрессии получаем:

1551478493850 а .

Ответ: 155.

Пример 2. Известно, что а1, а2, …., ап – арифметическая прогрессия и a3 + a9 = 8.

Найти a1 + a2 + …+ a11.

34

Решение. Имеем a3 = a1 + 2d, a9 = a1 + 8d, a11 = a1 + 10d, где d – разность прогрессии.

Мы знаем, что :

a1 + 2d + a1 + 8d = 2a1 + 10d = 8.

Требуется найти величину: 1 11 12 1011 11

2 2

a a a d . Ясно, что для этого нужно подставить

в последнюю формулу значение известного нам числителя.

Ответ: 44.

Пример 3. Известно, что b1, b2, b3, b4 - геометрическая прогрессия, b1 0, причём b1 +

b4 = –49, b2 + b3 = 14. Найти b1, b2, b3, b4.

Решение. Два приведенные в условии равенства дают два уравнения :

3

1 1

2

1 1

49

14

b b q

b q b q

или

3

1

1

1 49

1 14

b q

b q q

.

Из того, что правые части не равны нулю, следует, что q ≠ –1. Значит, можно

поделить первое уравнение на второе и получить:

2

7

1

1 3

qq

q.

Откуда имеем :

21 7

2

q q

q

или 2q

2 +

5q + 2 =0. Решая квадратное уравнение, находим

следующие корни: 1 2

12,

2q q . Если q = –2, то b1 = 7, а если

2

1q , то b1 = –56 0

- не

годится.

Ответ: 7, –14, 28, –56.

Пример 4. Пусть a1, a2, a3 – арифметическая прогрессия с ненулевой разностью.

Известно, что a1a2, a2a3, a3a1 – геометрическая прогрессия. Найти её знаменатель.

Решение. Из того, что a1a2, a2a3, a3a1 – геометрическая прогрессия, следует, что ни

одно из чисел a1, a2, a3 не равно нулю. Знаменатель геометрической прогрессии равен

отношению её второго члена к первому, т.е. 2 3 3

1 2 1

a a aq

a a a . Следовательно, a3a1 = a2a3q,

откуда 1

2

aq

a . Получили уравнение:

3 1

1 2

a a

a a . Путём несложных преобразований получаем:

dadaa 211

2

1 и 1

2

3ad .

Теперь можно найти 1 1 1

2 1 1 1

2( 1,5 )

a a aq

a a d a a

.

Ответ: –2.

35


Арифметическая прогрессия 1. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии

(an), если 4,0;5,11 da

Ответ: 1,5; 1,1; 0,7; 0,3.

2. В арифметической прогрессии (an) 8,0;41 da .

Найдите a4; a21; a36.

Ответ: -1,6; 12; 24.

3. Найдите разность и сто пятьдесят первый член

арифметической прогрессии 1,8; 2,2; 2,6; …. .

Ответ: 0,4; 61,8.

4. Найдите формулу n го члена арифметической прогрессии : ;...10;7;4;1

Ответ: 131 nan .

5. Найдите разность арифметической прогрессии (хп), если: х1 =

14; х8 = –7.

Ответ: –3.

6. Найдите разность арифметической прогрессии (хп), если: х1 =

6; х8 = 38. Ответ:

7

32 .

7. Найдите первый член арифметической прогрессии (уп) , если:

у6 = 16; у18 = 52.

Ответ: 1.

8. Найдите номер члена арифметической прогрессии (zn),

равного 3,8, если 6,0;4,101 dz .

Ответ: 12.

9. Дана арифметическая прогрессия 5,3; 4,9; 4,5;….. Начиная с

какого номера её члены будут отрицательными.

Ответ: с 15-го.

10. Найдите количество отрицательных членов арифметической

прогрессии (an), если 241 a ; 2,1d .

Ответ: 20.

11. Между числами –6 и 6 вставьте семь таких чисел, чтобы они

вместе с данными числами образовали арифметическую

прогрессию.

Ответ: –4,5; –3; –1,5; …

; 4,5.

12. Найдите первый член и разность арифметической

прогрессии na , если: а4 + а8 = 35 и а3 + а21 = 65.

Ответ: а1 = 5; d = 2,5.


прогрессии (an), если: а5 + а13 = 38 и а4 + а8 = 29.

Ответ: а1 = 7; d = 1,5.

14. Найдите сумму сорока первых членов арифметической

прогрессии 14; 9; 4; ….

Ответ: -3340.

15. Найдите сумму двадцати пяти первых членов

арифметической прогрессии –10; –7; –4; …..

Ответ: 650.

16. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой n го

члена ап = 3п – 1. Найдите сумму сорока семи первых членов

прогрессии.

Ответ: 3337.

17. Найдите сумму девятнадцати первых членов

арифметической прогрессии (an), если: а19 = 60; q = 3,5.

Ответ: 541,5.

18. При любом n сумму n первых членов некоторой

арифметической прогрессии можно вычислить по формуле Sn =

3n2 + 7n. Найдите первый член и разность прогрессии.

Ответ: а1 = 10; d = 6..

19. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 11

и не больше 374.

Ответ: 6545.

20. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и

не больше 192.

Ответ: 2079.

21. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые при

делении на 4 дают в остатке 1 и не превышают 145.

Ответ: 2701.

22. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые при Ответ: 3629.

36

делении на 5 дают в остатке 3 и не превышают 188.

23. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с

седьмого по двадцать шестой включительно, если первый член

равен 39, разность равна -2.

Ответ: 160.

24. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с

шестого по двадцать третий включительно, если первый член

равен 28, разность равна -3.

Ответ: -225.

25. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической

прогрессии -5,6;-5;-4,4;… .

Ответ: -29.

26. Найдите сумму всех положительных членов арифметической

прогрессии 7,4;7;6,6;… .

Ответ: 72,2.


прогрессии, если сумма семи первых её членов равна 94,5, а

сумма пятнадцати первых членов равна 112,5.

Ответ:

5,1d;181 a .

28. Решите уравнение: 32414...1395 n , где n -

натуральное число.

Ответ: 12.

Геометрическая прогрессия 1. Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии

(bn), если 3,21 qb .

Ответ: -2; 6; -18; 54.

2. Найдите знаменатель и пятый член геометрической

прогрессии ;64

1;

128

1;

256

1 … .

Ответ: 16

1;2 5 bq .

3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии nb ,

если 4

1,1 53 bb .

Ответ: 5,0 .

4. Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если

4

1,

4

35 qb .

Ответ: 192.

5. Число 162 является членом геометрической прогрессии

,...2;3

2;

9

2 . Найдите номер этого члена.

Ответ: 7.

6. Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81,

чтобы они вместе с данными числами образовали

геометрическую прогрессию?

Ответ: 24; 36; 54 или -24;

36; -54.

7. Последовательность (bn) задана формулой n го члена bn =

4 3n – 1

. Является ли эта последовательность геометрической

прогрессией?

Ответ: да .

8. Найдите первый член и знаменатель геометрической

прогрессии (bn), если b10 = 9b8; b3 + b6 = 168. Ответ: 3;

3

21 qb или

3;39

281 qb

9. При каком значении x значения выражений 2x + 1; x + 2; 8 –

x будут последовательными членами геометрической

прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Ответ: x = 4; члены

прогрессии 9; 6; 4; ;3

1x

члены прогрессии 3

25;

3

5;

3

1.

10. Найдите сумму первых четырёх членов геометрической Ответ:

216

259.

37

прогрессии (bn), если 6,216

11 qb

11. Найдите сумму первых шести членов геометрической

прогрессии 16, 24, 36, … .

Ответ: 332,5.

12. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической

прогрессии (bn), если b6 = 4; q = 2. Ответ:

8

15.

13. Геометрическая прогрессия (bn) задана формулой n го

члена bn = 7 22n – 1

. Найдите сумму четырёх её первых

членов.

Ответ: 1190.

14. Найдите первый член геометрической прогрессии (bn),

если 156,5

14 Sq .

Ответ: 125.

15. Разность пятого и третьего членов геометрической

прогрессии равна 1200, а разность пятого и четвёртого членов

равна 1000. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Ответ: 1562.


УРАВНЕНИЯ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ

В этом разделе мы разберём методы решения уравнений и неравенств, содержащих

знак модуля, а также рассмотрим некоторые общие подходы для решения таких заданий.

Часто уравнения такого типа удается решить пользуясь только определением модуля:

.0,

,0,0

,0,

аеслиa

аесли

аеслиа

а (1)

Некоторые виды модульных уравнений можно решать с помощью схем равносильных

переходов к совокупностям или системам.

)()( xgxf

).()(

),()(

xgxf

xgxf (2)

)()( xgxf

).()(

),()(

,0)(

xgxf

xgxf

xg

(3)

)()( xfxf 0)( xf ; (4) )()( xfxf 0)( xf . (5)

Пример 1. Решить уравнения: 1) 5 4 3x ; 2) 073 x ; 3) 449 x .

Решение. 1) Поскольку правая часть уравнения положительна, ясно, что здесь есть

две возможности: 5 4 3x или 5 4 3x . Отсюда несложно получить 1

5x или

7

5x .

38

Ответ: 1

5x или

7

5x .

2) Модуль равен нулю только если подмодульное выражение равно нулю, поэтому

получаем: 073 x и тогда 3

7x .

Ответ: 3

7x .

3) Поскольку модуль всегда принимает только неотрицательные значения, уравнение

не имеет решений.

Ответ: x .

Пример 2. Решить уравнения: 1) 01034 2 xx ; 2) 022

22

x

x

xx .

Решение. 1) Поскольку 22xx , уравнение можно записать в виде: 01034

2 xx .

Отсюда 2x или 2

5x . Из первого уравнения 2x , а второе не имеет решений.

Ответ: 2x .

2) Из условия следует, что 2x . При 2x уравнение примет вид: 022 xx .

Корнями этого уравнения являются 1x и 2x . Оба эти значения не удовлетворяют

условию, при котором открывали модуль. При 2x уравнение примет вид: 022 xx .

Его корнями являются 1x и 2x . Ограничению удовлетворяет только первое значение.

Ответ: 1x .

Пример 3. Решить уравнения: 1) 1 2 2x x ; 2) 24312 xx ; 3)

743 xx .

Решение. 1) Подмодульные выражения обращаются в ноль при 1x и 2x .

Числовая ось разбивается этими точками на три промежутка, на каждом из которых можно

открыть оба модуля.

а) ; 2x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид

221 xx . Решая его, находим, что 2

5x . Это значение входит в промежуток,

который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного уравнения.

б) 1;2 x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид

221 xx . После упрощений получаем: 0 1 . Это означает, что на рассматриваемом

промежутке решений нет.

в) ;1x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид

221 xx . Решая его, находим, что 2

1x . Это значение также входит в промежуток,

который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 5

2x или

1

2x .

2) Подмодульные выражения обращаются в ноль при 2

1x и

4

3x .

39

а)

2

1;x . Открывая модули на этом промежутке, получаем: 24312 xx .

Решая это уравнение, находим, что 3x . Это значение не входит в промежуток, который мы

сейчас рассматриваем, поэтому не является корнем исходного уравнения.

б)

4

3;

2

1x . На этом промежутке уравнение принимает вид: 24312 xx .

Отсюда 3

2x . Это значение входит в рассматриваемый промежуток, значит является одним

из решений исходного уравнения.

в)

;

4

3x . Тогда 24312 xx . Отсюда 1x . Это значение также входит в

промежуток, который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного

уравнения.

Ответ: 3

2x или 1x .

3) Используя геометрический смысл модуля, можем сказать, что в левой части

уравнения записана сумма расстояний на числовой оси от точки х до -4 и до 3. Ясно, что

этому условию удовлетворяют все точки отрезка 3;4 и только они.

Ответ: 3;4x .

Пример 4. Решить уравнение: 96823 2 xxx .

Решение. Воспользуемся схемой (3). Данное уравнение равносильно системе:

96823

96823

0968

2

2

2

xxx

xxx

xx

или

0798

01138

0968

2

2

2

xx

xx

xx

.

Второе уравнение даёт следующие решения: 16

3059 x , а первое уравнение

имеет решения: 8

11;1 21 xx . Решая неравенство получаем ограничения для x :

3 3; ;

2 4x

. Непосредственной проверкой убеждаемся, что из первого уравнения

подходит корень 1x , а из второго 16

3059 x .

Ответ: 16

3059 x , 1x .

Пример 5. Решить уравнения: 1) 152152 22 xxxx ;

2) 22 3223 xxxx .

40

Решение. 1) Выражение, записанное под модулем, совпадает с правой частью

уравнения, как в схеме (4). По определению модуля это возможно только, если

01522 xx . Решая это неравенство, получаем: ;35;x .

Ответ: ;35;x .

2) Аналогично предыдущему, данное уравнение равносильно неравенству

023 2 xx , следуя схеме (5). Решая это неравенство, получаем:

1;

3

2x .

Ответ:

1;

3

2x .


Решение. Используем схему (2). Уравнение равносильно объединению двух

следующих уравнений:

552

;5252

2

xxx

xxx или

0

;01032

2

xx

xx.

Отсюда

1;0

;5;2

xx

xx.

Ответ: 2;1;;0;5x .

Следующее уравнение сводится к структуре (2), но необходимо отметить, что в

подобных случаях надо учитывать ограничения. Если этого не делать, то возможны ошибки.

Пример 7. Решить уравнение: 12

3

xx.

Решение. Уравнение имеет смысл при всех x , кроме 0 и 2 . С учётом этих

ограничений, уравнение приводится к виду x

x3

2 , которое эквивалентно следующей

системе:

xx

xx

x

32

32

0

или

032

032

0

2

2

xx

xx

x

.

Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет корни 1 и -3. Очевидно, что 1 не

подходит.

Ответ: 3x .


2

x

x.

Решение. Так как знаменатель не может обращаться в ноль, то 0;2 xx и

уравнение переписывается в виде: 112 xx . Подмодульные выражения обращаются в

ноль при 2x и 1x .

а) 2;x . Открывая модули на этом промежутке, получаем: 112 xx .

Решая это уравнение, находим, что решением является любое число из данного промежутка.

41

б) 1;2 x . На этом промежутке уравнение принимает вид: 112 xx .

Отсюда 2x . Это значение не входит в рассматриваемый промежуток, значит, не является

решением исходного уравнения.

в) ;1x . Тогда 112 xx . Отсюда 02 . Т.е. уравнение не имеет решений.

Ответ: 2;x .


1

2

3

x

x

x

x.

Решение. Ограничения для знаменателя очевидны 7;2 xx и уравнение

переписывается в виде:

12

73

x

x

xx и эквивалентно следующей системе:

12

73

12

7301

xx

xx

xx

xxx

или

2214

2214

1

22

22

xxxx

xxxx

x

откуда

4

1933

5

191

x

x

x

.

С учётом всех ограничений, подходит корень 4

1933 x .

Ответ: 4

1933 x .

Пример 10. 041

15

1

1

x

x

x

x.

Решение. Т.к. знаменатель не равен нулю, то 1;1 xx . Делаем замену 1

1

x

xt и

получаем уравнение 045

t

t , сводящееся к квадратному 0542 tt . Корни

квадратного уравнения 5;1 21 tt . Тогда получаем совокупность уравнений:

51

1

11

1

x

x

x

x

или с учётом ограничений:

5

11

11

xx

xx.

Первое уравнение переписываем по схеме (3):

11

1101

xx

xxx

, и, решая, находим, что

0x . Второе уравнение записывается аналогично:

5

11

5

11

01

xx

xx

x

и, как легко убедиться,

корней не имеет.

Ответ: 0x .

42


Решить уравнения: 1.

2 3 3 0x x x . Ответ: -1; -3.

2. 2 4 4x x x . Ответ: -1; 4.

3. 2 2 1 2 0x x . Ответ: 0; 1 5 .

4. 2 4 1 8 0x x . Ответ: 2; 2 2 2 .

5. 2 5 1 0x x x . Ответ: 3 10;2 5 .

6. 2 3 1 0x x x . Ответ: 2 5; 1 2 .

7. 2 3x x x . Ответ: 0;4; 2 .

8. xxx 522 . Ответ: 0; 3.

9. 2 8 5 0x x x . Ответ: 0; 3 .

10. 0732 xxx . Ответ: 0.

11. 2 3 2 2 0x x x . Ответ:

1 17;1

2

.

12. 03452 xxx . Ответ: 3;2

339 .

13. 2 3 2 4 4 0x x x . Ответ: 2 .

14. 2 2 4 1 4 0x x x . Ответ: 4; 6 .

15. 2 2 3 1 3 0x x x . Ответ: 0;1; 2; 3 .

16. 2 4 3 2 6 0x x x . Ответ: 0;1;3;4 .

17. 214 2 7x x x . Ответ:

1

2; 7.

18. 2

2 42

xx x . Ответ: 2; 4.

19. 23 15 5x x x . Ответ:

1

3 ; 5.

20. 22 6 3x x x . Ответ:

1

2; -3

21. 4 8

2

xx

x

. Ответ: 4 .

22. 1 2

13 1

x

x

. Ответ:

1

3 .

23. 2

11x x

. Ответ: -1.

24. 12

3

xx. Ответ: -3.

25. 2

2 3 6 0x x . Ответ: 1

3;4

.

26. 0292132

xx . Ответ: 2 .

43

27. 2

1

3

42

x

xx . Ответ: 2

3;

3

1 .

28. 5

1

10

72

x

xx . Ответ: 5

2;

2

1 .

29. 3 2 1 4x x . Ответ: -1.

30. 2 1 3x x . Ответ: -5; 1.

31. 2 5 2x x . Ответ: -1;-7.

32. 7 2 3x x . Ответ: 10

;43

.

33. 2 4 1 10x x . Ответ:13

3 ;

7

3.

34. 1 2 1 3x x . Ответ: 4

3 ; 0.

35. 91332 xx . Ответ:5

6;0 .

36. 113322 xx . Ответ:5

16;2 .

37. 7 2 9x x . Ответ: 2;7 .

38. 615 xx . Ответ: 1;5 .

39. 473 xx . Ответ: 7;3 .

40. 792 xx . Ответ: 2;9 .

41. 4 2 2x x . Ответ: 4; .

42. 615 xx . Ответ: ;1 .

43. 29272 xx . Ответ:

2

9; .

44. 3 8 3 2 6x x . Ответ: 2

;3

.

45. 7 12 7 11 1x x Ответ: 11

;7

.

46. 2 11 2 3 8x x Ответ: 3

;2

.

47. 1 3 2 4x x x . Ответ: 3; .

48. 7252 xxx . Ответ: ;2 .

49. 3 2 8 3 15x x x Ответ: .

50. 2 3 5 4 8x x x Ответ: .

51. 012343 222 xx . Ответ: 3 .

52. 010232 222 xx . Ответ: 2;0 .

53. 06151 222 xxxx . Ответ: 2;1;0 .

44

54. 0442342 222 xxxx . Ответ: 4;2;0 .

55. 11

5 4 01 1

xx

x x

. Ответ: 0.

56. 022

23

2

2

x

x

x

x. Ответ: -4; -1.

57. 033

12

1

3

x

x

x

x. Ответ: 5.

58. 042

33

3

2

x

x

x

x. Ответ:

4

7;

2

1

59. 2 1 5x x . Ответ: 2 ; 3

60. 23 6 1 2 3x x x . Ответ: 5 7

1; ;3 3

.

61. 23 2 5x x x . Ответ: 2 ; 1 5

2

.

62. 2 26 2 1x x x x . Ответ:7

3 .

63.

2 6

3 3

x x

x x

. Ответ: 2 .

64. 5

35

5

22

xx

xx. Ответ: -7.

65. 2 3 6 2x x x . Ответ: 2; 3.

66. 2 1 5x x . Ответ: 2; -3

67. 2 25 7x x . Ответ: .

68. 21 3 0x x x . Ответ: .

69. 2 3 5 0x x x . Ответ: -5; 1.

70. 2 4 3 3 0x x x . Ответ: 0; -2; -3.

71. 2 24 4x x . Ответ: ; 2 2; .

72. 2 29 9x x . Ответ: 3;3 .

73. 2 22 3 5 5 3 2x x x x . Ответ:5

;12

.

74. 22 347743 xxxx . Ответ:

1;

3

7.

75. 2 22 1 2 1x x x x . Ответ: 1.

76. 2 26 9 6 9x x x x . Ответ: 3.

45


НЕРАВЕНСТВА СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ

При решении неравенств со знаком модуля также используются его определение и

свойства, а также применяются определённые структуры, к которым такие неравенства

сводятся.

)()( xgxf

).()(

),()(

xgxf

xgxf (1)

)()( xgxf

).()(

),()(

xgxf

xgxf (2)

)()( xgxf 0)()()()( xgxfxgxf . (3)

Пример 1. Решить неравенство: 2 3 5x .

Решение. Воспользуемся схемой (1). Данное неравенство равносильно системе:

2 3 5

2 3 5

x

x

или

4

1

x

x

. Отсюда получаем, что 1;4x .

Ответ: 1;4x .

Пример 2. Решить неравенство: 2 4 2 1x x .

Решение. В этом случае удобно применить схему (2). Тогда данное неравенство

равносильно совокупности: 2

2

4 2 1

4 2 1

x x

x x

или

( 1)( 3) 0

( 1 6)( 1 6) 0

x x

x x

.

Решая каждое из этих неравенств и объединяя эти решения, получаем:

; 3 1 6;x .

Ответ: ; 3 1 6;x .

Пример 3. Решить неравенство: 2 1 2x x .

Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат и

получим равносильное неравенство: 22212 xx . Тогда 0212

22 xx или

(2 1 2)(2 1 2) 0x x x x . Фактически эти действия означают применение схемы

равносильного перехода (3). Отсюда ( 3)(3 1) 0x x . Решая это неравенство, получаем:

1

; 3;3

x

.

Ответ: 1

; 3;3

x

.

Решение следующего неравенства использует идею постоянства знаков

подмодульных выражений на определённых промежутках, которая уже ранее применялась

нами при решении модульных уравнений.


312 xxx .

46

Решение. Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль, и

определим промежутки знакопостоянства. Очевидно, это точки 1 и -2, разбивающие

числовую ось на три части.

1) 2;x . Тогда неравенство переписывается следующим образом:

2

312 xxx , откуда

2

3x . Пересекая полученное множество, с тем, на котором

мы работали, находим, что решений нет.

2) 1;2x . Неравенство записывается так: 2

312 xxx , откуда

2

5x .

Пересекая, убеждаемся, что решений, в данном случае, также нет.

3) ;1x . Переписывая неравенство, получаем: 2

312 xxx . Упрощая,

находим, что 2

9x . Пересекая, получаем, что

;

2

9x . Объединяя все рассмотренные

варианты, получаем окончательный ответ.

Ответ:

;

2

9x .

Следующие два примера являются вариациями предыдущих методов, но в них

необходимо обратить (как всегда!) внимание на область допустимых значений.


2

x

x.

Решение. Очевидно, что 3x и тогда, с учётом положительности модуля, перепишем

неравенство в виде: 23 xx . Теперь, по схеме (6), получим:

23

23

xx

xx

2

5;

x

x.

Пересекая промежутки, а также учитывая ограничения, находим ответ:

;33;

2

5x .

Ответ:

;33;

2

5x .


2

x

xx.

Решение. Выражения под модулем обращаются в ноль в точках 2 и 3. Рассмотрим три

случая.

1) 2;x . Раскрывая модуль, имеем 213

2

x

xx. Преобразуя, получаем

неравенство 02

2

x. Решением неравенства является множество 2;x . Пересекая,

получаем, что 2;x .

47

2) 3;2x . Раскрывая модуль, имеем 213

2

x

xx, преобразуя получаем

неравенство

02

3

x

x. Оно легко решается методом интервалов и ;32;x . Пересекая,

находим, что 3x .

3) ;3x . Раскрывая модуль, имеем 213

2

x

xx. Преобразуя, получаем

неравенство 04

26

x

x. Оно легко решается методом интервалов и ;43;x .

Пересекая, находим, что ;4x .

Объединяем, полученные в каждом из случаев промежуточные ответы.

Ответ: ;432;x .

В следующем примере мы опираемся на неотрицательность модуля, что позволяет не

потерять часть решения.

Пример 7. Решить неравенство: 0829 22 xxx .

Решение.

1 способ. Так как модуль величина неотрицательная, то достаточно решить

неравенство 0822 xx и добавить в ответ те точки, в которых 092 x . Решением

неравенства является множество точек 2;4x , а решением уравнения точки 3 и -3.

Ответ: 32;4 x .

2 способ. Применим метод интервалов. Разложим на множители левую часть

неравенства: 02433 хххх . Левая часть неравенства обращается в ноль в

точках -4, -3, 2 и 3. Нанесем эти точки на числовую ось, расставим в полученных

промежутках знаки выражения:

Теперь остается выбрать в ответ интервалы, в которых стоит знак «-» и все

закрашенные точки (в них выражение обращается в ноль).

Ответ: 32;4 x .


Решить неравенства: 1. .41272 xxx Ответ: .4;2

2. .956 2 xxx Ответ: .3;1

3. .0713 2 xx Ответ: .;21;

4. .0932 2 xx Ответ: .;13;

5. .9922 2 xxx Ответ: .;2

35

2

24;

6. .2933 2 xxx Ответ: .;3

194

3

194;

48

7. 2 2 1 2 1x x x . Ответ: 1;1 1;3x .

8. .23442 xxx Ответ: .1;22;5

9. 3 4 3x x . Ответ: x .

10. 4 2 5 12 6x x . Ответ: x .

11. 5 2 3 5x x . Ответ: Rx .

12.3 2 5 4 10x x . Ответ: 1;0x .

13. 2 3 2 1x x x . Ответ: ;3 .

14. 1 2 3x x x . Ответ: ;0 6; .

15. 12

25

х

х. Ответ: ;22;0 .

16. 11

12

x

x. Ответ: ;11;0 .

17. 22 1 1x x x . Ответ: ; 1 1;0 1; .

18. 2 2 3 6 6x x x . Ответ: 9;1 1;3x

19. 127

1

x

x. Ответ:

8;

2

7

2

7;2 .

20. 2 1

21

x

x

. Ответ:

3;1 1;

4

.

21. 2 5 7x x . Ответ: 2

12;3

.

22. .142 xx Ответ:

3;

3

5.

23. .123 xx Ответ: .;2

7

4

5;

24. .412 xx Ответ: .;22;

25. 2 2 3 3 3x x x . Ответ: 2;5 .

26. 2 2x x x . Ответ: 1;3 .

27. 2 3 3x x x . Ответ: ; 3 3; 1 1; .

28. 2 3 5x x x . Ответ: ; 1 5; .

29. 2 24 4 3 0x x x . Ответ: 2 1;3x

30. 0925 22 xx . Ответ: 3;35 x .

31. 2 29 7 10 0x x x . Ответ: 5; 3 3; 2 2;3 3;5x

32. 0829 22 xxx . Ответ: 2;43 x .

49


ПАРАМЕТР В УРАВНЕНИИ С МОДУЛЕМ

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми

значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать различные числовые значения.

Заданные таким образом коэффициенты называют параметрами. Решить уравнение,

содержащее параметр, это означает, для каждого допустимого значения параметра найти

множество всех решений данного уравнения.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Для каждого значения а определить количество решений уравнения

ax 21 .

Решение. Построим график функции 21 xу . Для этого проведем следующие

преобразования графиков: ху 1ху 21ху 21 xу .

Затем на полученном графике построим при различных значениях а график функции

aу :

Определяя количество точек пересечения полученных графиков при различных а,

можем записать ответ.

Ответ: если 0a , то решений нет; если 0a или 2a , то 2 решения; если

20 a , то 4 решения; если 2a , то 3 решения.

Пример 2. При каких значениях b уравнение 02324 22 bbxbx имеет два

различных решения?

Решение. Сделаем замену xt . Тогда уравнение примет вид:

02324 22 bbtbt По теореме Виета нетрудно найти его корни: bt или 23 bt .

Мы получаем совокупность двух уравнений: bх и 23 bх . У этой совокупности будет

два различных решения в нескольких случаях: если существует такое b , что а) одно из этих

двух уравнений имеет два решения, а второе – ни одного; б) оба уравнения имеют по два

решения, которые совпадают; в) каждое из уравнений имеет ровно по одному решению и они

различны. Разберем эти случаи.

а) Если 0b , а в то же время 023 b , первое уравнение не имеет решений, а

второе имеет два решения. Но таких b не существует, чтобы выполнялись оба эти условия.

50

Если 0b , а в то же время 023 b , второе уравнение не имеет решений, а первое имеет

два решения. Это выполняется при

3

2;0b .

б) Чтобы у обоих уравнений были одинаковые решения, необходимо, чтобы 23 bb

или 1b . Проверим, что в этом случае условие выполняется. Действительно, при 1b оба

уравнения имеют одинаковые корни 1 и -1.

в) Если каждое уравнение имеет ровно один корень, это происходит при различных

значениях b . Следовательно, такого b , при котором эти условия выполняются

одновременно, не существует.

Ответ: 2

0; 13

.

Упражнения для самостоятельного решения 1. Для каждого значения а определить

количество решений уравнения 5 2x a .

Ответ: если 2a , то решений нет;

если 2a , то 1 решение; если 2a ,

то 2 решения.

2. Для каждого значения а определить

количество решений уравнения ax 243 .

Ответ: если 2a , то решений нет; если

2a , то 1 решение; если 2a , то 2

решения.


количество решений уравнения axx 1 .


1a , то бесконечно много решений; если

1a , то 1 решение.


количество решений уравнения ax 11 .


0a или 1a , то 2 решения; если

10 a , то 4 решения; если 1a , то 3

решения.


количество решений уравнения

ax 213 .


0a или 2a , то 2 решения; если

10 a или 2a , то 4 решения; если

1a , то 5 решений; если 21 a , то 6

решений.


количество решений уравнения axx

x

1

1.

Ответ: если 1a , то решений нет;

если 11 a , то 1 решение; если 1a ,

то 2 решения.



axx 132 .

Ответ: если 2

1a , то решений нет; если

2

1a , то 1 решение; если

2

1a , то 2

решения.



axx 112 .

Ответ: если 2

3a , то решений нет; если

2

3a , то 1 решение; если

2

3a , то 2

решения.

9. Найти все значения а, при которых уравнение

5 3x x a имеет бесконечно много

Ответ: 8.

51

решений?

10. Найти все значения а, при которых

уравнение 1 3x x a имеет бесконечно

много решений?

Ответ: -4; 2.

11. При каких значениях а уравнение

1 0x x a имеет три решения? Ответ: 1

;04

a

.


012 axx имеет три решения? Ответ:

4

9;0a .


1 2x x a x имеет три решения?

Ответ: 1;3 .


2x ax не имеет корней?

Ответ: 0;1 .


3 3 2x ax имеет два корня?

Ответ: 2;3a .


3 3 4x ax имеет один корень?

Ответ: ;33;a .

17. Найти все значения а, при которых

уравнение 2 1 3x a x имеет единственное

решение.

Ответ: –8; –4.


2 23 1 2 0x a x a a имеет четыре

различных решения?

Ответ: 1

;1 1;2

.

19. Найти все значения параметра а, при

которых уравнение

21 2 10 5a x a a x a имеет два

положительных корня.

Ответ: 5;7 .

52


ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ






Пример 1. При каких a уравнение 0))(1( axx имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 1х и

ах при условии, что 0х . Первое из уравнений имеет решение 1х . Требуемое условие

будет выполнено, если у второго уравнения будет точно такое же решение или совсем не

будет решений в области допустимых значений. Отсюда получаем ответ.

Ответ: 10; a .

Пример 2. При каких значениях а уравнение 01722 xax имеет корни?

Решение. Запишем уравнение в виде: xax 1722. Это уравнение равносильно

системе:

.172

,0122 хах

х Отсюда получаем:

,4

,1

ах

х или 14 а , 3а .

Ответ: 3;a .


1. При каких a уравнение 0)2)(3( axx имеет

единственное решение? Ответ:

;0

2

9a .

2. При каких значениях а уравнение x a x имеет

два корня? Ответ:

1;0

4a

.


0221102 xxax имеет одно решение? Ответ:

21

20

3

2;

7

2a .


341 2 xxax имеет два решения? Ответ:

3

1;0a .

5. Найти все значения а, для которых уравнение

0610 xax имеет решение на отрезке 1;1 .

Ответ: ;42;a .


2 2 26 8 3 1 2a x x ax a x имеет одно

решение?

Ответ: 2;3 3;4a .

7. Определить количество корней уравнения

0232 axxx в зависимости от а.

Ответ: при 1;2 a 2 решения,

при ;12;a 3

решения.


0222 axxx в зависимости от а.

Ответ: при 2;4a 2 решения,

при ;24;a 3 решения.

9. В зависимости от а найти число корней уравнения

axx 12 .

Ответ: при 1a решений нет;

при 1a или 2

1a 1 решение;

при 2

11 a 2 решения.

53

10. В зависимости от а найти число корней уравнения

1 1

2 4x x x a .

Ответ: при 1

4a решений нет, при

1

4a 1 решение.


3 5 3 11x b x в зависимости от b.

Ответ: при 4b решений нет, при

4b 1 решение.


axx 1 имеет решения?

Ответ: 1;0a .


xaxx 3862 имеет единственное решение

на промежутке 0; ?

Ответ:

;86;12

4

49a .


0

1

1234

2

2

x

axax имеет единственное решение?

Ответ:

3

4

3

1;

3

1a .

15. При каких значениях k уравнение

2

2

3 2 4 100

2 2 1

x k x k

x x

имеет одно решение?

Ответ:

5;38

321;

8

321

k .

16. Решить уравнение 5102 xaxx . Ответ: при 25a ;5x ; при

25a нет решений.

17. Решить уравнение 14

2

x

a.

Ответ: при ;2a aax 42 ;

при 2;a нет решений.

18. Решить уравнение 0)1( axx . Ответ: при 1;a 1, xax ;

при 1a 1x ; при 1a ax .

54


ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Иногда в уравнениях или неравенствах некоторые коэффициенты заданы не

конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать

различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называют

параметрами. Решить уравнение или неравенство, содержащее параметр, это означает, для

каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения

или неравенства.

Пример 1. При каких значениях а уравнение 4 1 2 2 2 0x xa a имеет

единственное решение?

Решение. Данное уравнение является квадратным относительно переменной х2 .

Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета равны 2 и 1а . Отсюда 22 х, то

есть 1х или 12 ах , что либо дает то же решение, либо не дает решений совсем. Отсюда

получаем ответ.

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство аа х 82 .

Решение. Рассмотрим три случая: 1) если 0а , то неравенство примет вид 00 то

есть будет выполняться при любых значениях х; 2) если 0а , то неравенство примет вид

82 х , что является верным при 3х ; 3) 0а , то неравенство примет вид 82 х , что

выполняется при 3х . Таким образом, получаем ответ.

Ответ. При 0а Rх , при 0а ;3х , при 0а 3;х .


1. При каких значениях р уравнение

имеет единственное решение?

Ответ: .



Ответ: .


не имеет

действительных корней?

Ответ: .


имеет два различных

действительных корня?

Ответ: .


имеет решения?

Ответ: .


не имеет решений?

Ответ: .

7. При каких значениях р уравнение

не имеет решений? Ответ: .



Ответ: .

9. При каких действительных значениях а неравенство

не имеет решений?

Ответ: .

;1 3a

9 4 3 1 0x xp ;0 4p

044234 aa xx

51; a

0121025425 2 aaa xx

3;2a

0121028164 2 aaa xx

3;

3

7

3

7;2a

4 3 2 3 0x xa a 0;a

2 24 5 2 9 0x xa a 3;3a

4 9 1 3 2 1 0x xp p p

3; 4;7

p

0463 122 xxx a 10; a

142 321912 xx aaa

;4a

55


имеет хотя бы одно решение?

Ответ: .


выполняется при всех

действительных значениях х?

Ответ: .

12. Найти все значения а, при которых неравенство

выполняется при любых х.

Ответ: .


не имеет ни одного целочисленного решения.

Ответ:

.

14. При каких значениях а неравенство

имеет решения? Ответ: .


ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ






Пример. Найти все значения а, при которых уравнение 5,01log 4 axx имеет

единственное решение.

Решение. Данное уравнение равносильно системе:

.4

1,0

,21

xх

хах При 0а

получаем, что 2

1х или

4

1х , что недопустимо. Если 0а , уравнение системы является

квадратным относительно х . Это квадратное уравнение имеет единственный корень во-

первых, если его дискриминант равен 0, то есть при 1а . В этом случае 1х -

единственный корень исходного уравнения. Во-вторых, у квадратного уравнения могут быть

два корня разных знаков. Если при этом положительный корень удовлетворяет второму

ограничению, нас это тоже устроит. Это условие выполняется при 0а .

Ответ: 10; а .


1. Решить уравнение: Ответ:

2. Решить неравенство: . Ответ: при любых а .


имеет одно решение?

Ответ: .


имеет

одно решение?

Ответ:

.

21422 12 aaa xx

;32;a

13241 12 aaa xx

5;1a

5 1 9 10 3 3 0x xa a 4;a

9 20 3x x a ; 99a

36 6 8 0x xa a ; 4a

.05log3log2 2 axaxa .1,0;; 21 aaaa

log 1 1a x x a x

lg 2 lg 2 lg lg 0x x a 100;a

2 2

2 42 4log 2 3 2log 2 1axax

x x x x 3 3 3

2; ; 12 2 4

a

56


имеет

одно решение?

Ответ: .


имеет три корня? Ответ: .

7. Решить уравнение:

. Ответ: При , при

решений нет.

8. При каких значениях т уравнение

имеет 2

решения, меньшие 5?

Ответ: .

9. При каких значениях т уравнение

имеет 2

решения, меньшие 3?

Ответ: .


имеет хотя бы одно

решение.

Ответ: .

11. Найти все значения параметра а, при которых

уравнение имеет единственное

решение.

Ответ: .



решение.

Ответ: .



решение.

Ответ: .



решение.

Ответ: .


уравнение имеет

единственное решение.

Ответ: .



решение.

Ответ: .



решение.

Ответ: .

2 2

66log 2 3 2 2log 2 4axax

x x x x

7 7 72; ;3

3 3 2a

ln 0x ax 10;a

e

2 22 2

3 73 2 log 4 4 1 log 1 2a x x a x 1a

1

2x

1a

2

3 34 log 2 4 log 2 2 0m x m x m

2;

9m

2

2 2log 1 2 log 1 4 0m x m x m 4;m

log log

a x a xx a x x

1;

2a

2

11log 2 axx

2

10;a

2

1log 1 axx

4

31;a

22log xax

4

72;a

1log 2

1 axxx

1;a

193log 2

2 aaxxx

5;a

2

1log 1 axx

;14

3a

24log axx

5;4a

57


ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Рассмотрим многочлены 5х2 – 6х – 2, –4х

3 + 2х

2 – 3х, х

4 + 4.

Эти многочлены содержат только одну букву х, записаны в стандартном виде, и

показатели степеней буквы х расположены в порядке убывания. В таких случаях первый

член многочлена называют его старшим членом, показатель степени буквы х в старшем

члене называют степенью многочлена. В рассматриваемых примерах 5х2 – старший член

первого многочлена, –4х3 – второго, х

4 – третьего; первый многочлен – многочлен второй

степени, второй – многочлен – третьей степени, третий – многочлен четвертой степени.

Последние члены первого и третьего многочленов не содержат х, их называют свободными

членами. В общем случае многочлен п-й степени записывают так:

Рп(х) = а0хп + а1х

п-1 + … + ап-1х + ап,

где а0, а1, …, ап-1, ап – заданные числа, а0 ≠ 0, п – натуральное число. Здесь а0хп– старший

член многочлена Рп(х), п – его степень, ап – свободный член.

Многочлен Р0(х) = а0, где а0 – задуманное число, а0 ≠ 0, называют многочленом

нулевой степени, а число 0 – нулевым многочленом.

1. Деление многочленов нацело

Вы знаете, что при сложении, вычитании и умножении многочленов также получается

многочлен. При делении многочленов иногда также может получиться многочлен.

Задача 1. Разделить многочлен 8х2 + 10х – 3 на многочлен 2х + 3.

Деление можно выполнить уголком, как и деление натуральных чисел. Вычисления

проведем по следующей схеме.

0

Остаток равен нулю, поэтому многочлен 8х2 + 10х – 3 делится на многочлен 2х + 3, то

есть в результате деления многочленов также получился многочлен:

.1432

310832:3108

22

х

х

ххххх

Ответ: 4х – 1.

На примере этой задачи поясним схему (алгоритм) деления многочленов уголком

(когда степень делимого больше степени делителя).

Алгоритм деления многочленов уголком

1) Первое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на

8х2 + 10х – 3

–

8х2 + 12х

2х + 3

4х – 1

–

–2х – 3

–2х – 3

остаток

делимое делитель

первый остаток частное

58

старший член делителя (в задаче 1 получилось 8х2 : 2х = 4х).

2) Найденное первое слагаемое частного умножается на делитель (в задаче 1

получилось (4х) (2х + 3) = 8х2 + 12х), произведение записывается под делимым и

вычитается столбиком из делимого в результате получается первый остаток (в задаче

1 первый остаток равен –2х – 3).

3) Первый остаток делится на делитель так же, как и в пп. 1), 2); второе слагаемое

частного получается делением старшего члена первого остатка на старший член

делителя (в задаче 1 получилось (–2х) : (2х) = –1), найденное второе слагаемое

умножается на делитель (в задаче 1 получилось (–1)(2х + 3) = –2х – 3), произведение

записывается под первым остатком и вычитается из него столбиком, в результате

получается второй остаток.

Затем второй остаток делится на делитель и т.д. Этот процесс продолжается до

тех пор, пока степень очередного остатка не окажется меньше степени делителя (см.

далее задачи 5, 6).

Задача 2. Найти частное от деления многочлена х4 + 2 на многочлен х

2 + 2х + 2.

Выполним деление уголком (проверьте устно):

х4 + 2

х4 + 2х

3 + 2х

2

х2 + 2х + 2

х2 – 2х + 2

–2х3 – 2х

2 + 4

–2х3 – 4х

2 – 4

2х2 + 4х + 4

2х2 + 4х + 4

0

Ответ: х2 – 2х + 2.

Как и при делении чисел, результат деления многочлена можно проверить

умножением. Проверьте результат деления многочленов в задачах 1, 2 т.е. покажите, что

верны равенства

8х2 + 10х – 3 = (4х – 1)(2х + 3),

х4 + 4 = (х

2 – 2х + 2)(х

2 + 2х + 2).

Вообще, если многочлен Рп(х) степени п ≥ 1 делится на ненулевой многочлен Qk(х) и в

результате деления получается многочлен Мт(х), то справедливо равенство

Рп(х) = Мт(х) Qk(х). (1)

Это равенство называют формулой деления многочлена Рп(х) на многочлен Qk(х), а

многочлен Мт(х) – частным от деления Рп(х) на Qk(х).

Отметим, что в формуле (1) обязательно выолняется равенство

п = т + k, (2)

так как при умножении двух многочленов степеней п и k получается многочлен степени т +

k.

Задача 3. Выяснить, при каком значении а многочлен

Р4(х) = 2х4 + 3х

3 – 5х

2 – 6х + а

делится нацело на многочлен Q2(х) = 2х2 + 3х – 1.

Выполним деление уголком:

59

2х4 + 3х

3 – 5х

2 – 6х + а

2х4 + 3х

3 – х

2

2х2 + 3х – 1

х2 – 2

–4х2 – 6х

2 + а

–4х2 – 6х

2 + 2

а – 2

Ответ: Остаток должен равняться нулю, поэтому а = 2.

Задача 4. Найти такой многочлен Q2(х), чтобы многочлен

Р5(х) = х5 + 2х

3 – х

2 – 2

делился нацело на Q2(х) и частное от деления рвнялось

М3(х) = х3 – 1.

По формуле деления должно выполняться равенство Р5(х)=М3(х)Q2(х).

Задача свелась к нахождению делителя по неизвестному делителю и частному. Поэтому

Q2(х) = Р5(х) : М3(х). Выполним деление уголком:

х5 + 2х

3 – х

2 – 2

х5 – х

2

х3 – 1

х2 + 2

2х3 – 2

2х3 – 2

0

Ответ: х2 + 2.

2. Деление многочленов с остатком

Теперь покажем, как выполняется деление многочленов в случаях, когда многочлены

не делятся нацело.

Задача 5. Разделить многочлен Р3(х) = х3 – х

2 – 2х + 4 на многочлен Q2(х) = х

2 – 3х + 1.

Выполним деление уголком:

х3 – х

2 – 2х + 4

х3 – 3х

2 + х

х2 – 3х + 1

х + 2

2х2 – 3х + 4

2х2 – 6х + 4

3х + 2

Дальнейшее деление невозможно, так как степень последнего остатка 1 меньше

степени делителя 2.

Ответ: Частное х + 2, остаток 3х + 2.

В этой задаче в результате деления получилось

.13

232

13

4222

23

хх

хх

хх

ххх (3)

В равенстве (3) обозначим М1(х) = х + 2 – неполное частное (кратко: частное), R1(х) =

3х + 2 – остаток и используем обозначения условия задачи. Тогда равенство (з) примет вид:

,2

11

2

3

xQ

xRxM

xQ

xP

откуда

60

.1213 xRxQxMxP

В общем случае формула деления многочлена Рп(х) степени п ≥ 1 на многочлен Qk(x)

степени k ≥ 1, k ≤ п такова:

Рп(х) = Мт(х) Qk(х) + Rl(x), (4)

где степень частного т = п – k, степень остатка l k.

Задача 6. Разделить многочлен Р4(х) = х4 – х

3 + 3х

2 – 2х на многочлен Q2(х) = х

2 – х + 1

и результат проверить умножением.

Разделить многочлен на многочлен – это значит, выполнить деление, найти частное

и остаток. Выполним деление:

х4 – х

3 + 3х

2 – 2х

х4 – х

3 + х

2

х2 – х + 1

х2 + 2

2х2 – 2х

2х2 – 2х + 2

–2

Ответ: Частное равно М2(х) = х2 + 2, остаток равен R0(х) = –2.

Проверить результаты деления умножением – это значит показать, что справедлива

формула деления (4). Проверяем:

М2(х) Q2(х) + R0(x) = (х2 + 2)(х

2 – х + 1) – 2 = х

4 – х

3 + х

2 + 2х

2 – 2х + 2 – 2=

= х4 – х

3 + 3х

2 – 2х = Р4(х).

Задача 7. Найти такой многочлен Q2 (х), чтобы при делении многочлена P3 (х) = 3х3 +

х2 – 3 на Q2 (х) частное было равно M1(x) = 3x + 1 и остаток был равен R1(x) = 9x.

По формуле деления (4) должно выполняться равенство

P3(x) = M1(x) Q2(x) + R1(x).

Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому, частному и остатку.

Поэтому 3x3 + x

2 – 3 = (3x + 1) Q2(x) + 9x, откуда

(3x + 1) Q2(x) = 3x3 + x

2 – 9x – 3,

Q2(x) = (3x3 + x

2 – 9x – 3) : (3x + 1).

Выполним деление:

3х3 + х

2 – 9х – 3

3х3 + х

2

3х + 1

х2 – 3

–9х – 3

–9х – 3

0

Ответ: Q2(x) = х2 – 3.

Проверьте результат решения этой задачи, выполненив деление заданного

многочлена P3(x) = 3x3

+ x2 – 3

на найденный многочлен Q2(x) = х2 – 3.

61

Упражнения 1. Найти частное (результат проверить

умножением):

1) (x2 – 2x – 35) : (x – 7);

2) (–4x2 – x + 5) : (4x + 5);

3) (6x2 + 7x – 3) : (2x + 3);

4) (6x3 + 7x

2 – 6x + 1) : (3x – 1);

5) (6x3 + 11x

2 – 1) : (2x

2 + 3x – 1);

6) (15x3 – x

2 + 8x – 4) : (3x

2 + x + 2).

2. Выполнить деление:

1) (6x4 + x

3 – 6x

2 + 1) : (2x

2 + x – 1);

2) (9x4 – 7x

2 + 6x – 2) : (3x

2 – 2x + 1);

3) (15x5

+ 6x4 – 20x

2 – 8x) : (3x

3 – 4);

4) (12x5 – 9x

4 + 8x

2 – 6x) : (4x

2 – 3x).

3. Написать формулу деления многочлена

P(x) на многочлен Q(x):

1) P(x) = x2 + 3x + 4, Q(x) = x – 2;

2) P(x) = 4x2 – x – 1, Q(x) = x + 3;

3) P(x) = 6x3 + 3x

2 – 4x + 3, Q(x) = 2x + 1;

4) P(x) = 2x3 – 3x

2 + 2x – 2, Q(x) = x

2 + 2.

4. Найти частное M(x) и остаток R(x) от

деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) P(x) = 3x3 + 4x

2, Q(x) = 3x + 2;

2) P(x) = x3 – 3x

2, Q(x) = 2x

2 + 5;

3) P(x) = 3x4 + 6x

3 – 2x

2 – x + 7, Q(x) = x

3 + 2x

2

– 4x;

4) P(x) = 2x4 + 3x

3– x, Q(x) = x

2 + x + 1.

5. Выполнить деление:

1) (x5 + 1) : (x + 1);

2) (x6 – 1) : (x – 1);

3) (3x5 – 10x

3 – 7) : (3x

2 + 2);

4) (6x6 + x

4 + x) : (2x

4 – 3x

2).

6. Выяснить, делится ли нацело многочлен

P(x) на многочлен Q(x):

1) P(x) = 8x5 + 2x

4 – 10x

3 – 15x

2, Q(x) = 4x

2 –

5;

2) P(x) = 3x5 + x

4 – 6x

3 + 7x, Q(x) = 3x

2 + x;

3) P(x) = x6 – 4x

4 + 6x, Q(x) = x

2 – 2x;

4) P(x) = x6 – 3x

4 – x

3 + 2x

2 + x, Q(x) = x

3 + 2x

2

+ x.

7. Выяснить, при каком значении a

многочлен P(x) делится нацело на

многочлен Q(x):

1) P(x) = 5x3 – 9x

2 + 13x + a, Q(x) = 5x + 1;

2) P(x) = 7x3 – 22x

2 + ax – 1, Q(x) = x

2 – 3x +

1;

3) P(x) = 2x4 + 8x

3 – 5x

2 – 4ax + a, Q(x) = x

2 +

4x – 1;

4) P(x) = 3x5 – 3x

4 + ax

2 – ax, Q(x) = 3x

3 + 2.

8. Найти такой многочлен Q(x), чтобы

многочлен P(x) делится нацело на Q(x) и

частное от делениея равнялось M(x):

1) P(x) = 4x3 – 5x

2 + 6x + 9, M(x) = x

2 – 2x + 3;

2) P(x) = 12x4 + 9x

3 – 8x

2 – 6x, M(x) = 3x

2 – 2;

3) P(x) = 2x5 + 3x

3 – 2x, M(x) = x

2 + 2;

4) P(x) = 3x6 + 6x

4 –x

2 – 2, M(x) = 3x

4 – 1.

9. Найти такой многочлен Q(x), чтобы при делении многочлена P(x) на Q(x) частное было

равно M(x) и остаток был равен R(x):

1) P(x) = x2 – 5x + 6, M(x) = x – 9, R(x) = 42;

2) P(x) = 2x3 – 3x + 5, M(x) = 2x – 4, R(x) = 5x + 5;

3) P(x) = 2x5 + 4x

4 – 5x

3 – 9x

2 + 3, M(x) = 2x

2 – 5, R(x) = x

2 + 3;

4) P(x) = 15x6 – 5x

4 + 6x

3 – 1, M(x) = 5x

3 + 2, R(x) = 2x – 1.

62


РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим пример алгебраического уравнения, которое можно решить с помощью

деления многочленов.

Задача 1. Решить уравнение

x3 – 7x + 6 = 0. (1)

Можно догадаться, что число x1 = 1 является корнем этого уравнения, так как 1 – 7 +

6 = 0. Покажем, как можно найти остальные корни. Левую часть уравнения (1)

обозначим P3(x) и запишем формулу деления многочлена P3(x) на (x – x1), т.е. на (x –

1):

P3(x) = M2(x) (x – 1) + R0,

Где M2(x) – многочлен второй степени, R0 – число. Так как P3(1) = 0, то из этой

формулы получается, что R0 = 0, т.е. многочлен P3(x) делится нацело на (x – 1). Для

нахождения M2(x) разделим P3(x) на (x – 1):

х3 – 7x + 6

х3 – х

2

х – 2

х2 + х – 6

х2 – 7х +6

х2 – х

–6х + 6

–6х + 6

0

Следовательно, левую часть уравнения (1) можно разложить на множители:

(x2 + x – 6) (x – 1) = 0.

Решения уравнение x2 + x – 6 = 0, находим x2 = 2, x3 = –3.

Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = –3.

Уравнение (1) называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим

уравнением.

Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение

Pn(x) = 0, (2)

где Pn(x) – многочлен n ≥ 1.

Каждый корень уравнения (2) называют также нулем (или корнем) многочлена Pn(x).

Так же как и в задаче 1, доказывается, что если x1 – корень уравнения (2), то

многочлен Pn(x) делится на (x – x1), т.е. уравнение (2) можно записать так:

Mn – 1 (x) (x – x1) = 0,

где многочлен Mn – 1 (x) степени степени n – 1 является частным от деления

многочлена Pn(x) на (x – x1).

Таким образом, решение уравнения (2) степени n сводится к решению уравнения Mn – 1

(x) = 0 степени n – 1.

Этот процесс можно продолжить: если n ≥ 2 и известен корень x2 уравнения Mn – 1 (x) =

0, то Mn – 1 (x) = Mn – 2 (x) (x – x2), и уравнение (2) можно записать так:

Mn – 2 (x) (x – x1) (x – x2) = 0,

63

где Mn – 2 (x) – многочлена степени n – 2, т.е. решение уравнения (2) степени n сводится к

решению уравнения Mn – 2 (x) = 0 степени n – 2 и т.д.


x4 + 3x

3 – 13x

2 – 9x + 30 = 0 (3)

1) Можно убедиться в том, что x1 = 2 – корень уравнения (3), а как он обнаружен, будет

рассказано чуть позже.

2) Разделив многочлен P4(x), стоящий в левой части уравнения (3), на (n – 2), получаем

P4(x) = M3(x) (n – 2), где

M3(x) = x3 + 5x

2 – 3x – 15.

Поэтому уравнение (3) запишется так:

(x3 + 5x

2 – 3x – 15) (x – 2) = 0.

Задача о решении уравнения (3) четвертой степени свелась к решению уравнения

третьей степени:

x3 + 5x

2 – 3x – 15 = 0 (4)

3) Подставляя x2 = –5 в уравнение (4), убеждаемся, что это число – корень уравнения (4).

4) Разделив многочлен M3(x) на (x + 5), получим M3(x) = (x2 – 3) (x + 5).

В результате исходное уравнение (3) запишется так:

(x2 – 3) (x + 5) (x – 2) = 0.

Решая уравненние x2 – 3 = 0, находим x3,4 = ± √3.

Ответ: x1 = 2, x2 = – 5, x3,4 = ± √3.

В задачах 1, 2 показано, как важно уметь находить хотя бы один корень

алгебраического уравнения.

Теорема 1. Если уравнение

a0xn + a1x

n – 1 + … + an – 1x + an = 0 (5)

с целыми коэффициентами a0, a1, …, an – 1, an, где an ≠ 0, имеет целый корень, то этот корень

является делителем числа an (свободного члена уравнения (5)).

Пусть x = m – целый корень уравнения (5), т.е.

a0mn + a1m

n – 1 + … + an – 1m + an = 0.

Из этого равенства следует, что m ≠ 0, так как an ≠ 0. Разделив это уравнение на m ≠ 0,

получаем

0 a + … + ma + ma 1 -n

2 -n

1

1 -n

0 m

an

откуда

a - … - ma - ma 1 -n

2 -n

1

1 -n

0m

an

Правая часть этого равенства - целое число, так как по условию m, a0, a1, … , an – 1 –

целые числа. Следовательно, m

an - целое число, т.е. число na нацело делится на m.

64

Итак, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (если такие

есть) нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Именно так в

задаче 2 были обнаружены корень уравнения (3) ( 21 x – делитель числа30) и корень

уравнения (4) (2

x = –5 – делитель числа – 15).


4x5 + 4x

4 – 13x

3 – 6x

2 + 9x + 2 = 0. (6)

Обозначим P5(x) – многочлен, стоящий в левой части уравнения (6). Найдем все целые

корни уравнения (6). Делителями числа 2 являются числа 1, –1, 2, –2. Проверяем: P5(1) =

0, P5(–1) = 0, P5(2) = 84 ≠ 0, P5(–2) = 0. Поэтому

P5(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2)M2(x).

Делением многочлена P5(x) на многочлен

(x – 1)(x + 1)(x + 2) = x3 + 2x

2 – x – 2 находим

M2(x) = 4x2

– 4x – 1.

Корнями этого многочлена являются числа 212

1 . Итак, исходное уравнение (6)

имеет пять действительных корней.

Ответ: x1,2 = ±1, x3 = -2, x4,5 = 212

1 .

Задача 4. Разложить на множители многочлен

P4(x) = x4 + 3x

3 – 5x

2 – 13x + 6 = 0. (7)

1) Найдем целый корень многочлена (7), если такой есть. Выпишем все делители числа

6:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6.

Проверяем по порядку: P4(1) = –8, x = 1 не является корнем; P4(–1) = 12, x = –1 не

является корнем; P4(2) = 0, x = 2 – корень многочлена (7). Можно было продолжить проверку

остальных делителей свободного члена многочлена (7). Однако проще, найдя первый корень

x1 = 2, понизить степень этого многочолена и остальные целые корни находить по

свободному члену многочлена – частного. Разделив P4(x) на (x – 2)

P4(x) = (x – 2) M3(x),

где M3(x) = x3 + 5x

2 + 5x – 3. (8)

2) Найдем теперь целый корень многочлена M3(x), если такой есть. Делителями числа

–3 является числа 1, –1, 3, –3. Числа 1 и –1 не являются корнями многочлена M3(x), так как

уже установлено, что они не являются корнями многочлена P4(x). Проверяем числа 3 и –3:

M3(x) = 84, x = 3 не является корнем; M3(–3) = 0, x = –3 – корень многочлена M3(x).

Разделив M3(x) на (x + 3), получаем M3(x) = (x2 + 2x – 1), поэтому

P4(x) = (x – 3) (x + 3) (x2 + 2x – 1).

3) Квадратный трехчлен вы умеете раскладывать на множители. Решая уравнение x2 +

2x – 1 = 0, находим его корни x = –1± 2 . Поэтому

x2 + 2x – 1 = (x +1 – 2 )(x +1 + 2 ).

Ответ: P4(x) = (x – 2)(x + 3)(x +1 – 2 )(x +1 + 2 ).

65

Задача 5. Сократить дробь 232

423

23

xxx

xx.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Перебирая делители числа –4, находим целый корень числителя x = 2. Разделив

числитель на (x – 2), получим

423 xx = (x – 2) (x2 + x + 2).

Перебирая делители числа 2, находим целый корень знаменателя x = –1. Разделив

знаменатель на (x + 1), получим

232 23 xxx = (x + 1) (x2 + x + 2).

Следовательно,

1

2

21

22

232

42

2

23

23

x

x

xxx

xxx

xxx

xx.

Из истории решения алгебраических уравнений

Итак, вы познакомились с простым способом решения алгебраических уравнений с

помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти

некоторые корни уравнения.

Остается два главных вопроса: 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы

один корень и 2) как его находить?

Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики –

«Высшая алгебра».

Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема:

Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет

хотя бы один корень.

Однако практически найти хотя бы один корень алгебраического уравнения удается

чрезвычайно редко. Более того, в общем случае нет способа нахождения хотя бы одного

корня алгебраического уравнения, несмотря на то что по теореме 2 такой корень существует.

На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения

алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей

алгебрысформулировал в 1629г. Голландский математик А. Жирар (1595-1632), но первое

строгое доказательство дал лишь в 1799 г. Немецкой математик К. Гаусс (1777-1855).

Долгое время оставался открытым вопрос о практическом способе нахождения корней

алгебраических уравнений. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в

книге греческого математика Диофанта «Арифметика» в III в. По формуле корней

квадратного уравнения их можно найти, выполнив действия сложения, вычитания,

умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами уравнения. В таких случаях

говорят, что уравнение разрешимо в рабикалах (знак √ называют радикалом). Только в XVI в.

было доказано, что алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней также разрешими в

радикалах. Формулы корней уравнения 3-й степени (кубического) впервые опубликованы в

1545г. Итальянским математиком Дж. Кардано (1501-1576). В том же 1545г. Другим

итальянским математиком Л. Феррари (1522-1565) был найден способ сведения решения

уравнения 4-й степени к последовательному решению одного кубического и двух

квадратных уравнений. После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки

решить в радикалах уравнения более высоких степеней. Только в 1826 г. Норвежский

математик Н. Абель (1802-1829) доказал, что в общем случае алгебраические уравнения 5-й

и всех более высоких степеней в радикалах неразрешимы.

66

Упражнения 1. Решить уравнение:

1) x3 – x

2 – 8x + 6 = 0;

2) x4 + x

3 – 4x

2 – 2x + 4 = 0;

3) 6x3 + 11x

2 – 3x – 2 = 0;

4) 4x4 – 8x

3 + 3x

2 + 2x – 1 = 0.

2. Найти действительные корни уравнения:

1) x3 – 5x

2 + 8x – 6 = 0;

2) 9x3 + 12x

2 – 10x + 4 = 0;

3) x4 + x

3 – 5x

2 + x – 6 = 0;

4) 2x4 – 2x

3 – 11x

2 – x – 6 = 0.

3. Разложить на множители многочлен:

1) 6x3 – 25x

2 + 3x + 4;

2) 4x3 + 12x

2 – 3x – 9;

3) 4x4 + 4x

3 – 25x

2 – x + 6;

4) x4 – 2x

3 – 14x

2 – 6x + 5.

4. Сократить дробь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

5. Решить уравнение:

1) x5 – x

4 – 7x

3 + 7x

2 + 12x – 12 = 0;

2) 2x5 – 3x

4 – 7x

3 + 8x

2 + 6x – 4 = 0;

3) x6 + x

5 – 7x

4 – 5x

3 + 16x

2 + 6x – 12 = 0;

4) 9x6 + 6x

5 – 17x

4 – 12x

3 + 7x

2 + 6x + 1 = 0.

6. Уравнение ax3 – 2x

2 – 5x + b = 0 имеет

корни x1 = 1, x2 = –2. Найти a, b и третий

корень этого уравнения.

7. Доказать теорему Виета для кубического

уравнения:

если x1, x2, x3 – корни уравнения x3 + ax

2 + bx

+ c = 0, то

x1 + x2 + x3 = –a,

x1x2 + x2x3 + x1 x3 = b,

x1x2x3 = – c.

8. Доказать, что если x1, x2, x3 – корни

уравнения

x3 + ax + b = 0, то = 3x1, x2, x3.

342

9223

23

xxx

xx

12

12223

23

xx

xxx

632

2234

34

xxx

xxx

3252

3573223

234

xxx

xxxx

3

3

3

2

3

1xxx

67


УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ

Рассмотрим несколько примеров уравнений, которые можно свести к алгебраическим

уравнениям.

Задача 1 Найти действительные корни уравнения

(x + 1)(x3 + 1) = 2x(1 – x

2) + 4.

Перенесем все члены правой части уравнения в левую с противоположным знаком и

упростим полученное уравнение:

(x + 1)(x3 + 1) – 2x(1 – x

2) – 4 = 0,

x4 + x

3 + x + 1 – 2x + 2x

3 – 4 = 0,

x4 + 3x

3 – x – 3 = 0.

Это алгебраическое уравнение можно решить таким же способом, как решены задачи

1-3 (приложения 15). Однако в данном случае это уравнение можно решить проще, разложив

его левую часть на множители способом группировки:

x4 + 3x

3 – x – 3 = (x

4 + 3x

3) – (x + 3) = x

3(x + 3) – (x + 3) =

= (x + 3)( x3 – 1) = (x + 3)( x – 1)( x

2 + x + 1).

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению уравнения

(x + 3)( x – 1)( x2 + x + 1) = 0,

Откуда x1 = –3, x2 = 1, а уравнение x2 + x + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Ответ x1 = –3, x2 = 1.

Задача 2 Решить уравнение

x4 – 2x

3 – 22x

2 – 2x + 1 = 0.

Это уравнение является алгебраическим, но не имеет целых корней, так как делители

свободного члена (числа ±1) не являются корнями уравнения. Однако данное уравнение

можно решить, заметив, что оно обладает своеобразной «симметрией»: коэффициент при

x4 равен свободному члену, а коэффициент при x

3 равен коэффициенту при x. На этом

примере покажем, как можно решать такие уравнения.

Заметив, что x = 0 не является корнем данного уравнения. Поэтому можно разделить

уравнение на x2 без потери корней:

012

2222

2 xx

xx , т.е.

.0221

21

2

2

xx

xx

Сделаем замену неизвестного, обозначив .1

tx

x

Тогда ,1

2 2

2

2 tx

x откуда ,21 2

2

2 tx

x и уравнение сводится к уравнению t2 – 2 – 2t –

22 = 0, т.е. t2 – 2t – 24 = 0, откуда t1 = 6, t2 = –4.

Возвращаясь к неизвестному x, нужно рассмотреть следующие два случая:

1) ,61

xx откуда x

2 – 6x + 1 = 0,

2,1

x = 3±2 .2

2) ,41

x

x откуда x2 + 4x + 1 = 0,

4,3

x = –2± 3

Ответ 2,1

x = 3±2 2 , 4,3

x = –2± 3 .

68

С помощью замены tx

x 1

можно решать возвратные уравнения

ax4 + bx

3 + cx

2 + bx + a = 0,

ax6 + bx

5 + cx

4 + dx

3 + cx

2 + bx + a = 0, и т.д.

Задача 3 Решить уравнение

23

716

1

12 2

x

x

x

x. (1)

Пусть x – корень данного уравнения, т.е. x – такое число, что верно равенство (1). Тогда

знаменатели дробей, входящих в равенство (1), не равны нулю, т.е. x ≠ 1 и x ≠ –3.

Умножая равенство (1) (т.е. обе его части) на общий знаменатель дробей (x – 1)(x + 3) ≠ 0,

получаем верное равенство

(2x2 – 1)(x + 3) – (16x – 7)(x – 1) = 2(x – 1)(x + 3). (2)

Найдем значения x, при которых верно равенство (2), т.е. решим уравнение (2).

Преобразуем это уравнение:

2x3 + 6x

2 – x – 3 – 16x

2 + 16x + 7x – 7 =

= 2x2 + 6x – 2x – 6,

2x3 – 12x

2 + 18x – 4 = 0,

x3 – 6x

2 + 9x – 2 = 0. (3)

Решим кубическое уравнение (3) таким же способом, каким решались задачи в §2.

Среди делителей свободного члена находим целый корень 1

x = 2 уравнения (3). Разделив

левую часть уравнения (3) на (x – 2), получаем, что уравнение (3) таково:

(x – 2)(x2 – 4x + 1) = 0.

Решая квадратное уравнение x2 – 4x + 1 = 0, находим его корни

3,2x = 2± 3 .

Итак, равенство (3) является верным при найденных тех значениях трех значениях x.

Так как эти значения не равны 1 и –3, то из верного равенства (3) обратными

преобразованиями можно получить верное равенство (1). Однако эти сложные обратные

преобразования можно не делать. Достаточно проверить, что найденные значения x в самом

деле являются корнями уравнения (1). При проверке можно не выполнять все громоздкие

вычисления, если есть уверенность, что при решении не допущены ошибки при

преобразованиях и вычислениях, а достаточно заметить, что при найденных значениях x

знаменатели дробей, входящих в уравнение (1), не равны нулю.

Ответ 1

x = 2, 3,2

x = 2± 3 .

Уравнение (1) – это пример рационального уравнения, так как его членами являются

рациональные алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются

многочлены.

Задача 4 Найти действительные корни рационального уравнения

21

32

21

1 3

xx

x

x

x

x.

Умножая это уравнение на (x + 1)(x + 2), получаем x + 2 + x3(x + 1) = 2x + 3, откуда

x4

+ x

3 – x – 1 = 0.

Решим это уравнение, разложив его левую часть на множители способом

группировки:

(x4 – 1) + (x

3 – x) = 0,

(x2 – 1)(x

2 + 1) + x (x

2 – 1) = 0,

(x2 – 1)(x

2 + x + 1) = 0,

откуда 2,1

x = ±1, а уравнение x2 + x + 1 = 0 не имеет действительных корней. При x = 1

знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение, не равны нулю, поэтому x = 1 – корень

69

этого уравнения. При x = –1 знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю,

поэтому x = –1 – посторонний корень.

Ответ x = 1.

Итак, для решения рационального уравнения нужно:

1) умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение;

2) свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его;

3) проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей,

входящих в уравнение, не равны нулю.

При этом необязательно проводить такие подробные рассуждения, как в задаче 3,

выполняя их устно (в уме), как и при решении задачи 4.

Задача 5* Решить уравнение

0992

189

3

52

32

742

23

xx

x

x

xx

x

xx. (4)

Разложим квадратный трехчлен 2x2 + 9x + 9 на множители. Решая квадратное уравнение

2x2 + 9x + 9 = 0, находим его корни x = –3 и

2

3x . Поэтому

3232

332992 2

xxxxxx .

Умножим уравнение (4) на общий знаменатель дробей (x + 3)(2x + 3):

(4x3 – 7x)(x + 3) – (2x

2 + 5x)(2x + 3) + 9x + 18 = 0,

Откуда 4x4 + 12x

3 – 7x

2 – 21x – 4x

3 – 6x

2 – 10x

2 – 15x + 9x + 18 = 0,

4x4 + 8x

3 – 23x

2 – 27x + 18 = 0. (5)

Решим это уравнение. Перебирая делители его свободного члена – числа 18,

получаем, что x = 2 и x = –3 являются его корнями. Поэтому многочлен P4(x), стоящий в

левой части уравнения (5), делится нацело на многочлен (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6, т.е.

P4(x) = (x2 + x – 6) M2(x).

Разделив P4(x) на (x2 + x – 6) уголком, получим M2(x) = 4x

2 + 4x – 3. Следовательно,

уравнение (5) таково:

(x – 2)(x + 3)(4x2 + 4x – 3) = 0.

Решая квадратное уравнение 4x2 + 4x – 3 = 0, находим его корни

2

1x и

2

3x .

Итак, корнями уравнения (5) являются числа 2, –3, 2

1,

2

3 . Из них второй и

четвертый являются посторонними для уравнения (4), так как при x = –3 и при x = 2

3 хотя

бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение (4), равен нулю.

Ответ: 1

x = 2, 2

x = 2

1.

70

Упражнения 1. Найти действительные корни уравнения:

1) (2x + 1)(x3 + 1) + x

2 = 2x(x

3 + 3) – 5;

2) (2x2 – 1)

2 + x(2x – 1)

2 = (x + 1)

2 + 16x

2 – 6;

3) x2(x – 2)(6x + 1) + x(5x + 3) = 1;

4) x2(3x + 1) – (x

2 + 1)

2 = 3.

2. Решить возвратное уравнение:

1) 6x4 – 35x

3 + 62x

2 – 35x + 6 = 0;

2) x4 + 2x

3 – 22x

2 + 2x + 1 = 0.

3. Решить рациональное уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

4. Доказать, что уравнение ax4 + bx

3 + cx

2 – bx

+ a = 0, где a ≠ 0, заменой сводится

к уравнению at2 + bt + c + 2a = 0.

Решить уравнение:

1) x4 – 4x

3 – 2x

2 + 4x + 1 = 0;

2) 2x4 – 15x

3 + 14x

2 + 15x + 2 = 0.

5. Найти действительные корни уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6. Выяснить, при каких действительных

значениях a уравнение

имеет два действительных различных корня.

7. Выяснить, при каких действительных

значениях a уравнение

Имеет три различных действительных корня.

xxxx

x

21

11

2

5

1

2

xxx

x22

1

4

916

1

95

1

7

1

32

22

x

x

xx

x

2

142

2

3

1

22

2

xx

x

x

x

x

x

2232

3

2

1

12

3

xxx

x

x

x

2376

4

23

2

3

1

xxx

x

x

x

tx

x 1

23

3227

2

1

1

92

23

xx

x

xx

xx

2

6

1

13

2 2

223

xx

x

x

x

x

x

6

6193

3

22

2 2

222

xx

xx

x

xx

x

x

2

278

12

22

223

xx

xx

x

x

x

x

0

2

12 22

x

aaxax

03

22 3223

x

axaaxx

71


СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В 8 классе рассматривались простейшие системы уравнений, содержащие уравнения

второй степени. Продолжим рассмотрение таких систем.

Задача 1. Решить систему уравнений

.2

,3422

yx

yx

Решим эту систему способом подстановки, выразив y через x из второго уравнения

системы: y = x – 2. Подставляя это значение y в первое уравнение, получаем x2 + (x – 2)

2 =

34, откуда

x2 – 2x – 15 = 0,

1x = 5,

2x = –3.

По формуле y = x – 2 находим 1

y = 3, 2

y = –5.

Ответ: (5;3), (–3; –5).


.543

,32

22 yxyx

yx

Эту систему также решим способом подстановки: y = 2x – 3,

3x2 – 4x(2x – 3) + (2x – 3)

2 = 5,

3x2 – 8x

2 + 12x + 4x

2 – 12x + 9 = 5,

x2 = 4,

1x = 2,

2x = –2.

По формуле y = 2x – 3 находим 1

y = 1, 2

y = –7.

Ответ: (2;1), (–2; –7).


.35

,12

xy

yx

Эту систему также можно решить способом подстановки. Однако если числа x, y таковы,

что их сумма равна 12, а произведение равно 35, то по теореме, обратной теореме Виета,

они являются корнями уравнения z2 – 12z + 35 = 0, откуда

1z = 7,

2z =5.

Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел:

1x = 7,

1y = 5 и

2x = 5,

2y = 7.

Ответ: (7;5), (5;7).


.20169

,243

22 yx

yx

Запишем второе уравнение системы так:

(3x – 4y)(3x + 4y) = 20.

Подставляя в это уравнение значение 3x – 4y = 2, получаем

2(3x + 4y) = 20, т.е. 3x + 4y = 10.

Данная система свелась к системе

,1043

,243

yx

yx

которую решим способом сложения:

6x = 12, x = 2; 8y = 8, y = 1.

Ответ: (2;1).


.22

,102

xyyx

xyyx

72

Складывая почленно уравнения системы, получаем 2x + 2y = 8, откуда y = 4 – x.

Подставляя это значение y в любое из уравнений системы, например во второе,

получаем

х + 4 – х – 2х(4 – х) = –2, откуда

4 – 8х + 2х2 = –2,

2х2 – 8х + 6 = 0,

х2 – 4х + 3 = 0,

х1 = 1, х2 = 3.

По формуле у = 4 – х находим у1 = 3, у2 = 1.

Ответ: (1; 3), (3; 1).


.6

,1322

xy

yx

Прибавим к первому уравнению чичтемы второе, умноженное на 2:

х2 + 2ху + у

2 = 25,

откуда

(х + у)2 = 25, х + у = ±5,

т.е. или у = 5 – х, или у = –5 – х.

Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений:

Решая каждую из этиз систем (используя теорему, обратную теореме Виета), находим

четыре решения: х1 = 2, у1 = 3; х2 = 3, у2 = 2; х3 = –2, у3 = –3; х4 = –3, у4 = –2.

Ответ: (2; 3), (3; 2), (–2; –3), (–3; –2).


.032

,162

22

22

xxyy

yxyx

Выразим из второго уравнения у через х, решая его как квадратное относительно у:

,23 22

2,1 xxxxxy

откуда у = 3х или у = –х.

1) Подставляя у = 3х в первое уравнение данной системы, получаем

х2 – 3х

2 +18х

2 = 16,

16х2 = 16, х

2 = 1, х1 = 1, х2 = –1,

откуда у1 = 3, у2 = –3.

2) Подставляя у = –х в первое уравнение системы, получаем 4х2 = 16, х

2 = 4, х3 = 2, х2 = –

2, откуда у3 = –2, у4 = 2.

Ответ: (1; 3), (–1; –3), (2; –2), (–2; 2).

Задача 8.* При каких значениях а система

22

;

axy

ayx имеет рещения (х; у) такеие,

что

–2 < х < 2, –2 < у < 2?

Найдем решение системы, используя теорему, обратную теореме Виета:

z2 – az – 2a

2 = 0, откуда

. ,2 ,82

121

22

2,1 azazaaaz

Поэтому решениемя системы являются пары чисел: (2а; –а) и (–а; 2а).

По условию должны выполняться неравенства –2 < 2а < 2, –2 < –а < 2, откуда –1 < а < 1, –

2 < –а < 2.

Ответ: –1 < а < 1.

73

Упражнения

Решить систему уравнений

1)

;12

,7422

yx

yx 2)

;4

,3222

yx

yx

3)

;4

,1022

yx

yx 4)

;1

,1622

yx

yx

5)

;132

,922 2

xy

xxyx 6)

;0103

,9186 22

yx

yxyx

7)

;5

,211

yx

yx 8)

;3

,112

yx

yx

9)

;40

,3

xy

yx 10)

;18

,7

xy

yx

11)

;15

,8

xy

yx 12)

;15

,2

xy

yx

13)

;2794

,332

22 yx

yx 14)

;1

,5

yx

yx

15)

;15

,3422

xy

yx 16)

;12

,2522

xy

yx

17)

;332

,132

22 yxyx

yx 18)

;7

,13333

yx

yx

19)

;13

,7

yxxy

yxxy 20)

;29

,22

yxxy

yxxy

21)

;3

,1022

xy

yx 22)

;15

,1922

xy

yxyx

23)

;15

,944 22

xy

yxyx 24)

.7

,86 22

xy

yxyx

74


РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим еще примеры нахождения действителых решений систем уравнений.


.8

311

,12

yx

yx

Если (х; у) – решение этой системы уравнений, то х ≠ 0 и у ≠ 0. Запишем второе

уравнение системы так: .8

3

xy

yx

Подставляя значение х + у = 12 в полученное уравнение, находим ,8

312

xy откуда ху = 32.

Решение данной системы свелось к решению системы

.32

,12

xy

yx

Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, получим х1 = 4, у1 = 8, х2 = 8, у2 = 4.

Ответ: (4; 8), (8; 4).


.28

,3

2

2

xy

yx

Выразим у2 из первого уравнения системы и подставим это выражение во второе

уравнение:

у2 = х – 3, х(х – 3) = 28, х

2 – 3х – 28 = 0, откуда х1 = 7, х2 = –7.

Пользуясь формулой у2 = х – 3, находим значение у: если х = 7, то у

2 = 7 – 3, у

2 = 4,

откуда у = 2 или у = –2; если х = –4, то у2 = –4 – 3 = –7 < 0, поэтому действительных корней

нет.

Ответ: (7; 2), (7; –2).

Эту систему уравнений можно было решить иначе.

Записав систему в виде

,28

,3

2

2

yx

yx можно было составить по теореме, обратной

теореме Виета, уравнение z2 – 3z + 28 = 0; решив это уравнение, получим z1 = x = 7, z2 = x = –

4, откуда, естественно, получим тот же ответ.

Заметим, что замена х через у из первого уравнения и подстановка найденного

выражения во второе уравнение привели бы к решению биквадратного уравнения.


.2

,7

22

33

xyyx

yx

По условию х ≠ 0, у ≠ 0, х – у ≠ 0. Разделим первое уравнение системы на второе,

получим

,2

7 ,

2

7 22

22

33

yxxy

yxyxyx

xyyx

yx

75

.0252 ,72 2222 yxyxxyyxyx

Рассматривая полученное уравнение как квадрат относительно х, найдем его корни:

,4

35 ,

4

162552,1

22

2,1

yyx

yyyx

откуда х = 2у или .

2

yx

Подставив найденное выражение х через у во второе уравнение системы, получаем:

1) 4у3 – 2у

3 = 2, откуда у

3 = 1 и у1 = 1;

2) ,224

33

yy

откуда у3 = –8 и у2 = –2.

Теперь найдем соответствующие заначения х по формулам х = 2у и .2

yx

Получаем х1 = 2, х2 = –1.

Ответ: (2; 1), (–1; –2).


.358

,742

33

22

yx

yxyx

Применяяформулу суммы кубов, запишем второе уравнение системы в виде

.35422 22 yxyxyx

Используя первое уравнение системы, находим х + 2у = 5.

Выразим из этого уравнения 2у через х и подставим найденное выражение во второе

уравнение системы: 2у = 5 – х, х2 + (5 – х)

2 = 35, откуда

х3 + 125 – 75х + 15х

2 – х

3 = 35,

15х2 – 75х + 90 = 0.

х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 3, х2 = 2.

Теперь находим соответствующие значения у: 2у = 5 – 3, откуда у1 = 1,

2у = 5 – 2, откуда у2 = .2

3

Ответ: (3; 1), (2; 2

3).


.6

5

,5

x

y

y

x

yx

Обозначим ,ty

x тогда .

1

tx

y Второе уравнение системы теперь записывается

так: ,016

5 ,

6

51 2 ttt

t откуда .3

2 ,

2

3 ,

12

13

12

51

144

25

12

5212,1 ttt

76

Так как t 0, то ,2

3

y

x или ,

4

9

y

x откуда .

4

9yx

Подставляя это выражение х в первое уравнение системы получим, ,54

9 yy

.4 ,54

5 yy Поэтому х = 9.

Так как мы возводили в квадрат заведомо положительные числа y

x и

2

3, проверка

не нужна.

Ответ: (9; 4).

Задача 6*. Решить систему уравнений

.5

,3

,2

22 yx

xz

xy

Найдем сначала значения х и у, пользуясь первым и третьим уравненями данной

системы. Сложив третье уравнение с удвоенным первым, получим

(х + у)2 = 9, откуда х + у = 3 или х + у = –3.

Подставляя значения х = 3 – у и х = –3 – у в первое уравнение системы, получаем:

1) (3 – у)у = 2, у2 – 3у + 2 = 0; у1 = 1; у2 = 2;

2) (–3 – у)у = 2, у2 + 3у + 2 = 0; у3 = –2, у1 = –1.

Тогда соответствующие значения х таковы:

х1 = 2, х2 = 1, х3 = –1, х4 = –2.

Из второго уравнения системы находим ,3

xz откуда

.2

3 ,3 ,3 ,

2

34321 zzzz

Ответ:

2

32;-1;-- ,1;-2;-3- ,1;2;3 ,

2

3;1;2

Задача 7*. При каких значениях а система уравнений

8

,2522

yax

yaxyх имеет

решение (х; у), где х = 1?

Если х = 1 входит в решение системы, то получаем следующую систему двух

уравнений относительно у и а:

.8

,251 22

ya

yay

Решаяя эту систему уравнений способом подстановки, получаем

а = 8 – у, 1 + (8 – у)у + у2 = 25,

откуда 1 + 80 – у2 + у

2 = 25, 8у = 24, у = 3.

Поэтому а = 8 – у, т.е. а = 5.

Ответ: а = 5.

77

Упражнения

1. Решить систему уравнений

1)

;4

,111

yx

yx 2)

;80

,2

3

xy

yx

yx

3)

;3,011

,3

yx

yx

4)

;5,011

,9

yx

yx

5)

;18

,7

2

22

yx

yx 6)

;01

,32

2

2

yx

yx

7)

;20

,7

22

22

yx

yx 8)

;29

,21

22

22

yx

yx

9)

;12

,28

22

33

yxxy

yx 10)

;10

,1032

xyx

xyxy

11)

;993

,5427

22

33

yxyx

yx 12)

;49

,19

22

22

yxyx

yxyx

13)

;6

,7233

yx

yx 14)

;85

,255 22

yx

yxyx

15)

;20

41

,5

x

y

y

x

yx

16)

;4

,10

yx

yx

17)

;34

,10

,15

22 zy

xz

yz

18)

.7

,15

,16

xyxz

yzxy

yzxz

2. Решить систему уравнений относительно х и у:

1)

;3

,2

2axy

ayx 2)

.2

,

2bxy

byx

78


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Решение текстовой задачи складывается из трёх основных моментов:

а) удачного выбора неизвестных;

б) составления уравнений и формализации того, что требуется найти;

в) решения полученной системы уравнений.

В задачах на движение в качестве неизвестных величин выбирают расстояние,

скорость или время. В задачах на работу за неизвестную, как правило, надо принимать

производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение.

Пример 1. От пристани одновременно отправились вниз по течению катер и плот.

Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся к пристани

через 14 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно,

что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от пристани.

Решение. Пусть v - скорость катера в стоячей воде, а c - скорость течения. Тогда,

исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений:

ccvcv

cvcv24249696

149696

.

В последнем уравнении разделим знаменатель каждой дроби на c и сделаем замену

c

vk . Тогда уравнение примет вид:

1

3

1

41

kk. Преобразовав его, получим:

0)7( kk . Отсюда, так как k в ноль не обращается, 7k . Поэтому cv 7 и, подставляя

это соотношение в первое уравнение системы, находим, что 2c км/ч и, соответственно,

14v км/ч.

Ответ: Скорость течения – 2 км/ч; скорость катера – 14 км/ч.

Пример 2. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы

сначала первый сделал половину работы, а затем другой - другую половину, то вся работа

была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в

отдельности?

Решение. Пусть первый рабочий работает со скоростью 1v , а второй – со скоростью

2v . Обозначим весь объём работы за 1 . Тогда, исходя из условия задачи, получаем

следующую систему уравнений:

252

1

2

1

121

21

21

vv

vv.

Из первого уравнения легко находим, что 12

121 vv , а из второго

600

121 vv .

Отсюда получаем, что 20

11 v ,

30

12 v или наоборот, так как не сказано какой из рабочих

79

работал быстрее. Следовательно, каждый в отдельности, мог выполнить эту работу за 20 и

30 дней.

Ответ: 20 дней; 30 дней.

Пример 3. Иван, Пётр и Кирилл косили траву. Пётр и Кирилл скосили бы всю траву

вдвое быстрее, чем Иван. Иван и Кирилл скосили бы всю траву втрое быстрее, чем Пётр. Во

сколько раз быстрее, чем Кирилл, скосили бы всю траву Иван и Пётр?

Решение. Пусть Иван, Кирилл и Пётр косят траву со скоростями 321 ,, vvv

соответственно. Тогда, исходя из условия, мы можем записать следующие соотношения:

321

132

13

12

vvv

vvv .

Отсюда, легко получаем, что 134

3vv и 12

4

5vv . Поэтому, необходимый нам ответ

получаем из следующего соотношения: 4,15

7

1

1

2

31

21

2

v

vv

vv

v раза.

Ответ: в 1,4 раза.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Из города в город выезжает велосипедист, а через 3 часа после его

выезда из города навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в

3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист

встречаются посередине между и . Сколько часов в пути до встречи был

велосипедист?

Ответ:

4,5 часа.

2. Пассажир едет в трамвае и замечает, что параллельно трамвайной линии в

противоположном направлении идёт его приятель. Через минуту человек

вышел из вагона и, чтобы догнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4

раза медленнее трамвая. Через сколько минут пассажир догонит приятеля?

Ответ:

9 минут.

3. Пассажир проехал на поезде 120 км, пробыв на станции 40 минут, вернулся с

обратным поездом, проходившим в час на 6 км больше, чем первый. Общая

продолжительность поездки составила 8 часов. Сколько километров в минуту

проезжает каждый поезд?

Ответ:

0,5

км/мин;

0,6 км/мин.

4. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 секунд и 15 секунд идёт мимо

телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость. Ответ:

225 м;

54 км/ч.

5. Расстояние между городами и равно 80 км. Из в выехала машина,

а через 20 минут – мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист

догнал машину в пункте и повернул обратно. Когда мотоциклист проехал

половину пути от к , машина прибыла в . Найти расстояние от до .

Ответ:

60 км.

6. Три велосипедиста из одного посёлка в одном направлении выезжают с

интервалом в 1 час. Первый двигался со скоростью 12 км/ч, второй – 10 км/ч.

Третий велосипедист, имея большую скорость, догнал второго, а ещё через 2

часа догнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.

Ответ:

20 км/ч.

A B

B

A B

A B A B

C

C A B A C

80

7. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 30 км друг от

друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через час. Если бы

моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это

потребовалось бы 3 часа 20 минут. Определить скорости лодки и парусника.

Ответ:

18 км/ч;

12 км/ч.

8. Двое рабочих, работая вместе, закончили работу за два дня. Если бы первый

рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы всей

работы. Найти за сколько дней выполнит эту работу один первый рабочий.

Ответ:

за 3 дня.

9. Бассейн, содержавший 30 воды, сначала был опорожнён, а затем снова

заполнен до прежнего уровня. На всё это потребовалось 8 часов. Сколько

времени шло заполнение бассейна, если при наполнении насос перекачивает в

час на 4 воды меньше, чем при опорожнении?

Ответ:

5 часов.

10. Две трубы наполнили бассейн объёмом 54 . При этом первая труба

открыта 3 часа, а вторая – 2 часа. Какова пропускная способность первой

трубы, если 1 она заполняет на 1 минуту медленнее, чем вторая?

Ответ:

10 .

11. Один рабочий должен был изготовить 36 деталей, второй – 20 деталей.

Первый делал в день на 2 детали больше, чем второй, и затратил на

изготовление своего заказа на 1 день меньше, чем второй. По сколько деталей

делали в день рабочие?

Ответ: 4

детали и 2

детали.

12. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 часа.

Один первый экскаватор затратит на эту работу на 6 часов больше, чем один

второй. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая

отдельно?

Ответ:

12 часов и

6 часов.

13. Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил

бы эту работу каждый из них в одиночку, если известно, что первому пришлось

бы работать на 9 дней больше второго?

Ответ:

45 дней и

36 дней.

14. Бригада маляров начала красить цех. Через пять дней вторая бригада начала

красить другой такой же цех и закончила покраску одновременно с первой.

Если бы они стали красить первый цех вместе, то им понадобилось бы на это 6

дней. Сколько времени первая бригада красила цех?

Ответ:

15 дней.

5

6

3м

3м3м

3м

3 /м ч

81


ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента

x . Знание области определения позволяет доказать, что данное уравнение или неравенство

не имеет решений, либо иногда позволяет найти решения непосредственной подстановкой

чисел из области определения.

Пусть )(xf - непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке,

тогда уравнение axf )( , может иметь не более одного решения на данном промежутке.

Пусть )(xf и )(xg - непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда, если

)(xf - монотонно возрастает, а )(xg - монотонно убывает, то уравнение )()( xgxf имеет не

более одного решения.

Если, решая уравнение )()( xgxf , удалось показать, что axf )( , а axg )( , то

данное уравнение эквивалентно системе:

axg

axf

)(

)(.

Пример 1. Решить уравнение: 1782cos 2 xxx .

Решение. Выделим в правой части полный квадрат и перепишем уравнение

следующим образом: 1)4(2cos 2 xx . Оценим левую и правую части уравнения:

12cos1 x , 11)4(178 22 xxx . Следовательно, равенство достигается, если

11)4(

12cos2x

x. Решая второе уравнение системы получаем 4x . Подставляем это значение

в первое уравнение и убеждаемся, что равенство выполнено.

Ответ: 4x .

Пример 2. Решить уравнение: 17 xx .

Решение. Подбором находим, что 3x - корень уравнения. Так как левая часть

уравнения – убывающая функция, а правая- возрастающая функция, то других корней нет.

Ответ: 3x .


Решение. Рассмотрим ОДЗ уравнения. Так как,

01

01

x

x, то 1x . Таким образом

область допустимых значений состоит из одного числа. Проверкой убеждаемся, что число

1x является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1x .

Пример 4. Решить неравенство: xxx sin1sin .

Решение. Нахождение ОДЗ достаточно сложная задача, поэтому перейдём к

равносильной системе неравенств:

xxx

xx

x

sin1sin

0sin1

0sin

. Решая третье неравенство, получаем,

что 1;1x . Первое и второе неравенства справедливы только для 1;0x . Поэтому этот

полуинтервал является множеством решений системы.

Ответ: 1;0x .

82


1. . Ответ: решений нет.

2. . Ответ: .

3. . Ответ: 1.

4. Ответ: ; .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: 2.



9. . Ответ: 1.

10. . Ответ: .

11. . Ответ: 2.

12. . Ответ: 5.

13. . Ответ: 23.

14. Ответ: .

15. Ответ: .


17. . Ответ: .

18. Ответ. .

19. Ответ. .

20. . Ответ. -1.

21. . Ответ. .

22. Ответ. 3.

23. . Ответ. 1.

24. Ответ. .

25. Ответ. 1.

26. Ответ. .

27. . Ответ. 0.

2 5 62 x x xlg( )

log5

41x x 10 x

x x x x x xx 2 24 3 3 5 4 2 2 2sin( / )

z xy

x xy xy

2

2

1 2

1 2 1 4

,

.

0;

4

1;1

0;

4

1;1

2 3 1 x x x 2;1

x x x x2 22 4

12848 xxx

45232 xxxx

642 322

xxx

3432 xxx 0;

xxx 543

xx 62log 7

xx 2322lg

x e y e

x xy y

x y

,

.2 2 12 2;2;2;2

x y y xy y x x

3 3 3

9 4 2 3

(ln ln ),

. 1;1

3212sin 223 xxxx

544sin4 2 xxx2

1

.sin3241

xx

1

2

.1

2sin2

2

x

xx

1

23222 xxxx

3122 22 xxxx1

2

26 9 3 1x x x

2 1 1

3log 8 2 2 2x xx x

.2141

xctgxtgx

1

4

.2log1log 1

2

2

2

2 xxx

.2sin3log 2

2

x

x

2

1

3

log 3 sin 2 2x

x

83

28. . Ответ. .

29. . Ответ. .

30. . Ответ. .

31. . Ответ. -1.

32. . Ответ: .

33. . Ответ. -3.

34. Ответ. .

35. . Ответ. .


ЗАМЕНЫ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Часто в тригонометрических уравнениях есть возможность сделать замену

переменных. Эти замены достаточно разнообразны и для их проведения иногда

предварительно необходимы преобразования входящих в уравнение тригонометрических

выражений.

Пример 1. Решить уравнение: 02sinsin 2 xx .

Решение. Проводим очевидную замену tx sin , тогда уравнение можно переписать в

виде 022 tt , откуда легко находятся корни 1;2 21 tt . Так как первый корень

меньше -1, то он не подходит. Решая уравнение 1sin x , находим решение

nnx ,22

.

Ответ: nnx ,22

.

Пример 2. Решить уравнение: 01cossin8 2 xx .

Решение. Используя основную тригонометрическую формулу перепишем уравнение

в следующем виде: 01coscos18 2 xx или 09coscos8 2 xx . Проведём

очевидную замену 1;1,cos ttx и получим квадратное уравнение: 098 2 tt с легко

находящимися корнями .8

9,1 21 tt Так как второй корень больше 1, то он не подходит.

Решая уравнение ,1cos x находим решения уравнения kkx ,2 .

Ответ: kkx ,2 .

Пример 3. Решить уравнение: xx 4cos322sin .

Решение. Воспользовавшись формулой косинуса двойного угла, перепишем

уравнение в виде: xx 2sin21322sin 2 или 052sin2sin6 2 xx . Пусть

3

4log 4 cos sin

3

xx

96 ,

2n n Z

3

1 3log sin

3 2x x

3

2

2

22 cos

x xx

0;2

043135 xxx

02sin352102820 57 xxxx ;0

1062835 xxx

42

1 3 24

x x x

2

4

4332

1log 2 xxx

2

1;2

84

1;1,2sin txt . Запишем квадратное уравнение как 056 2 tt , его корни

6

5,1 21 tt . Так как оба корня походят под ограничения, то получаем совокупность:

6

52sin

12sin

x

x, откуда

.,26

5arcsin

2

11

,,4

Znn

x

Zkkx

n

Ответ: ,,4

Zkkx

.,26

5arcsin

2

11 Zn

nx

n

Пример 4. Решить уравнение:

017cos

52

2

2

x

xtg

.

Решение. Использовав формулы приведения перепишем уравнение в виде:

017cos

52

2 x

xtg , так как xtgx

2

21

cos

1 , то уравнение принимает вид:

32 xtg и его можно записать как совокупность:

3

3

tgx

tgx, или

Zkkx

Zkkx

,3

,3

.

Ответ: Zkkx ,3

, Zkkx ,3

.

Пример 5. Решить уравнение: 045 22 xctgxtg .

Решение. Пусть yxtg 2 0y , тогда

yxctg

12 . Получаем уравнение 045

y

y ,

откуда 0542 yy и 0y . Решая уравнение, находим 5,1 21 yy . Очевидно первый

корень не подходит, тогда 52 xtg и это уравнение можно переписать как совокупность:

5

5

tgx

tgx, или

Zkkarctgx

Zkkarctgx

,5

,5

.

Ответ: Zkkarctgx ,5 , Zkkarctgx ,5 .

Пример 6. Решить уравнение: 63322 xctgxtgxctgxtgctgxtgx .

Решение. Пусть ctgxtgxy , тогда 22222 xctgxtgctgxtgxy и

2222 yxctgxtg . xctgxtgxctgxctgxtgxtgctgxtgxy 322333 33 отсюда

выражаем сумму кубов: yyctgxtgxtgxctgxyxctgxtg 33 3333 . Тогда исходное

уравнение можно записать в виде: 632 32 yyyy или 08223 yyy .

Используя группировку, получаем: 02422 2 yyyyy или

0432 2 yyy . Приравнивая каждую из скобок к нулю, и, решая полученные

уравнения, получаем один корень 2y (квадратное урав-нение корней не имеет, так как

дискриминант меньше нуля). Возвращаясь по замене, приходим к уравнению: 2 ctgxtgx

85

или 21

tgx

tgx , решая его аналогично с помощью замены, нахо-дим, что 1tgx и

Zkkx ,4

.

Ответ: Zkkx ,4

.


1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7.

Ответ: .

8. . Ответ: .

9. . Ответ: .

10. . Ответ: .

11. . Ответ: .

12. . Ответ: .

13. . Ответ: .

14. . Ответ: .

15. . Ответ: .

16. . Ответ: .

17. . Ответ: .

18. . Ответ: .

2sin 3 3sin3 2 0x x 2

,6 3

kk Z

22cos 5cos 2 0x x 2 ,3

k k Z

2sin 2 5sin 2 4 0x x ,4

k k Z

22cos cos 1 0x x 2 , 2 ;3

k k k Z

4 22 3 3 3 1 0tg x tg x 1 2, ; ,

3 2 3 12 3

k narctg k Z n Z

3 2 3 3tg x tg x tgx , ; ,4 3

k k Z n n Z

4 3 24cos 2cos 4cos cos 1 0x x x x 2

; 2 ;2 ,4 3

n n n n Z

3 22 2 3 3 0tg x tg x tgx ,4

k k Z

4 2 25cos 2 6cos 2

16x x ;

6 2

kk Z

2 2 3tgx ctgx 12 ; ,

2arctg k arctg k k Z

2 23 4tg x ctg x , ; ,3 4

k k Z n n Z

2 2 2tg x ctg x ,4 2

nn Z

2sin 2cos 1x x 1

2 , ; 1 ,2 6

nk k Z n n Z

28cos 6sin 3 0x x 1

1 ,6

nn n Z

22cos 5sin 4 0x x 1 ,6

nn n Z

22cos 2 2 sin 3 0x x 1 ,4

kk k Z

2cos2 sin sin 0,25x x x 1

1 ,6

kk k Z

225sin 100cos 89x x arccos0,8 2 ,k k Z

86

19. . Ответ: .

20. . Ответ: .

21. . Ответ: .

22. . Ответ: .

23. . Ответ: .

24. . Ответ: .

25. . Ответ: .

26. . Ответ: .

27. . Ответ: .

28. . Ответ: .

29. . Ответ: .

30. . Ответ: .

31. . Ответ: .

32. . Ответ: .

33. . Ответ: .

34. . Ответ: .

35. . Ответ: .

36. . Ответ: .

37. . Ответ: .

38. . Ответ: .

39. . Ответ: .

xx cos1sin2 2 Znnn ,23

;2

xx sin1cos2 2 Znnnn

,22

;6

1

sin 3 3cos 6 2x x 12 5, ; arcsin ,

6 3 3 6 3

n

k nk Z n Z

cos 2 5sin 3 0x x 1

1 ,6

kk k Z

32sin cos2 sin 0x x x ; 2 ,4 2 2

nn n Z

cos 2 3sin 2x x 1 ; 2 ,6 2

kk k k Z

2cos4 2cos 1x x ,6 3

kk Z

21 2cos 2 2 sin cos 2 0x x x 1

1 ,4

kk k Z

2 22cos 2 sin 23 6

x x

,6

k k Z

2

2

517 0

costg x

x ,

3k k Z

3

2

11 3 3

costg x tgx

x , ; ,

3 4k k Z n n Z

2

13

costgx

x , ; 2 ,

4k k Z arctg n n Z

2

33 3

costgx

x , ; ,

6k k Z n n Z

2 57 0

costg x

x 1

2 , ; arccos 2 ,3 3

k k Z n n Z

2 32 3

costg x

x 2 ,k k Z

2 24 3 cos 3 2tg x x ,12 3

kk Z

3 2sin 3 4 0ctg x x ctgx 3; ,

4 6k k k Z

4 4 2 2 4tg x ctg x tg x ctg x ,4 2

kk Z

2 1 22sin sin sin 2sin 6x x x x 1

2 , ; 1 ,2 6

nk k Z n n Z

2 2 3 3 4 0tg x ctg x tgx ctgx ,4

k k Z

4 2 4 2 106

9tg x tg x ctg x ctg x 11 157

, ; ,3 6

k k Z arctg n n Z

87

40. . Ответ: .

41. . Ответ: .

42. . Ответ: .

43. . Ответ: .

44. . Ответ: .

45. . Ответ: .

46.

Ответ: .

47. . Ответ: .

48. . Ответ: .


ОДНОРОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения ;0cossin xbxa

;0coscossinsin 22 xcxxbxa

0coscossincossinsin 3223 xdxxcxxbxa и т.д.

называют однородными относительно xsin и xcos . Сумма показателей степеней при

xsin и xcos у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью

однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и

третью степень.

Делением на xkcos , где k - степень однородного уравнения, уравнение приводится к

алгебраическому относительно функции tgx . При этом отдельно проверяется случай

0cos x .

Рассмотрим уравнение 0cossin xbxa . Это однородное уравнение первого

порядка.

Если 0a , то 0cos x (иначе xsin тоже равнялся бы нулю, что невозможно,

поскольку xsin и xcos при одном и том же значении x в нуль не обращаются). Поделим обе

части уравнения на xcos и получим: 0 btgxa . Отсюда легко выразить tgx и закончить

решение. Если же 0a , то уравнение имеет вид 0cos xb и его решение легко довести до

конца.

Рассмотрим уравнение 0coscossinsin 22 xcxxbxa (1)

Если 0a , то уравнение можно переписать в следующем виде:

0cossincos xcxbx . Отсюда либо 0cos x , либо 0cossin xcxb . Второе из них –

однородное линейное уравнение, решение которого мы обсуждали.

sin cos 1 sin cosx x x x 2 , ; 2 ,2

k k Z n n Z

2sin 2 3 sin cosx x x 1 1

1 arcsin ,42 2

kk k Z

sin cos 2x x tgx ctgx 2 ,4

n n Z

sin 2 5 sin cos 1x x x ,4

n n Z

4 cos sin 4 sin 2x x x 2 , ;2 ,2

k k Z n n Z

sin cos sin cos 1x x x x 2 , ; 2 ,2

k k Z n n Z

5 1 sin 2 16 sin cos 3 0x x x 2

1 arcsin ,10 4

kk k Z

2 1 sin cos 0x x tgx ctgx 2 10, ; arccos 2 ,

4 4 4n n Z k k Z

3 3sin cos 1x x 2 , ;2 ,2

n n Z k k Z

88

Если 0a , то 0cos x (иначе xsin тоже равнялся бы нулю, что невозможно).

Разделим уравнение (1) на x2cos и получим:

02 ctgxbxtga (2)

При 0a , уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. 0cos 2 x .

Из уравнения (2) определяем значения tgx , а затем находим соответствующие

значения x . Очевидно, что при 042 acb значения tgx не существуют на множестве

действительных чисел, а потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1)

решений не имеют.

Уравнение: dxcxxbxa 22 coscossinsin (3)

в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его

правую часть на 1cossin 22 xx :

;cossincoscossinsin

);cos(sincoscossinsin

2222

222

xdxdxcxxbxa

xxdxcxxbxa

0)()( 2 dctgxbxtgda (4)

При da уравнение (3) и (4) – равносильны.

Из уравнения (4) находим tgx , а затем соответствующие значения x

Пример 1. Решить уравнение: 0cos3sin2 xx .

Решение. Разделим обе части уравнения на xcos ( 0cos x ), тогда имеем:

032 tgx или 2

3tgx . Откуда karctgx

2

3 , k .

Ответ: karctgx 2

3 , k .

Пример 2. Решить уравнение: 02cos2sin xx .

Решение. Разделим обе части уравнения на x2cos 02cos x , тогда имеем:

012 xtg или 012 xtg . Окончательно kx

42 или

8)14(

kx , k .

Ответ: 8

)14(

kx , k .

Пример 3. Решить уравнение: 0coscossin3sin 22 xxxx .

Решение. Разделим обе части уравнения на x2cos 0cos x , и получим:

0432 tgxxtg , откуда 4,1 tgxtg и окончательно Zkkx ,4

, narctgx 4 ,

Zn .

Ответ: Zkkx ,4

, narctgx 4 , Zn .

Пример 4. Решить уравнение: 3cossin2sin4 2 xxx .

Решение: Умножим правую часть уравнения на xx 22 cossin , получим:

xxxxx 222 cos3sin3cossin2sin4 или 0cos3cossin2sin 22 xxxx . Очевидно, что

0cos x . Разделим на x2cos , получим:

;0322 tgxxtg 3tgx и 1tgx karctgx 3 и nx

4, kn, .

Ответ: karctgx 3 , nx

4, kn, .

Пример 5. Решить уравнение: 0cos27cossin27cossinsin 4334 xxxxxx .

Решение. Разделив уравнение на x4cos и сделав замену ttgx , получим:

89

0272734 ttt , 012713 ttt , 0271 3 tt , откуда 3,1 21 tt , поэтому

Zkkx ,4

1

, Znnarctgx ,32 .

Ответ: Zkkx ,4

1

, Znnarctgx ,32 .


Решите уравнение

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. . Ответ: .

11. . Ответ: .

12. Ответ:

13. Ответ:

14.

Ответ:

15.

Ответ:

2 27sin 8sin cos 15cos 0x x x x 15

, ; ,7 4

arctg k k Z n n Z

2 2sin 3cos 2sin 2 0x x x 3 , ; ,4

arctg k k Z n n Z

2 26sin 7sin 2 8cos 0x x x 4

, ; ,3 4

arctg k k Z n n Z

23sin 2sin cos 2x x x 1 3 ,arctg k k Z

222cos 4sin 2 7x x 15

, ; ,7 4

arctg k k Z n n Z

2 1 1sin sin cos

23x x x , ; ,

6 3k k Z n n Z

.2coscossinsin6 22 xxxx .4

3;

421 karctgxkx

.cos3cossin2sin 22 xxxx .3;4

21 karctgxkx

.2sinsincos3 22 xxx ).14(4

;3 21 kxarctgkx

2 13 1 cos 3 1 sin 2 1

2x x , ; ,

4 3n n Z k k Z

2

4 4 2cos sin sin 2x x x ,8 2

nn Z

3 2 2 3 4cos sin cos sin 3cos sin 3sin 0.x x x x x x x , , , , ,4 6

k k Z n n Z l l Z

.0coscossincossin2sin2 3223 xxxxxx .2

2);14(

421 karctgxkx

.03

cos33

cos3

sin33

cos3

sin3

sin 3223 xxxxxx ).13();14(

4

321 kxkx

.3

34cossin2cossin 22 xxxctgxxtgx

.26

)1(k

x k

90

16.

Ответ:

17. 2 2 233sin cos( ) 3sin cos sin cos

2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x

2cos

22sin 2 xx

.

Ответ: ).16(3

);14(2

21 kxkx

18. .02cos2cos52sin2

1)

2(cossin3 4222 zzzzz

Ответ: ).13(3

kz

19. .02cos2)22

3(sin2sin3)2

2

3cos(2sin 322 xxxxx

Ответ: .2

22

1);14(

821

karctgxkx

20. .2cos)2

3(cossincossin5)

2

3(sincos2 3223 zzzzzzz

Ответ: ).13(3

kz

21. 5 3 2 2 3 5sin 3 sin 3 cos 3 8sin 3 cos 3 8cos 3 0x x x x x x .

Ответ:1

2 , .3 3

karctg k Z

22. 4 3 3 4sin 2 sin 2 cos2 8sin 2 cos 2 8cos 2 0x x x x x x .

Ответ: 1

2 , ; ,2 2 8 2

k narctg k Z n Z

.

23. . Ответ: .

24. . Ответ: .

25. Ответ:

26. . Ответ: .

27. . Ответ: .

28. . Ответ: .

.0)2

sin(cos5cos)2

(cos3)2

(cossin2 222 xxxxxx

).14(4

kx

34sin sin cos 0x x x ,4

n n Z

3sin sin cosx x x ,2

n n Z

.sincos4sincos 2 xxxx ).14(8

);14(4

21 kxkx

6 6 4 42sin cos sin cos

3x x x x

5 1,

2arctg n n Z

2 2 432cos sin 2 sin cos2 0

4x x x x ,

3n n Z

2sin 3cos 3x x 3

2 2 , ; 2 ,2

arctg k k Z n n Z

91


ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

Уравнения вида cxbxa cossin могут быть решены введением вспомогательного

угла. Перепишем уравнение в виде 222222

cossinba

cx

ba

bx

ba

a

. Числа

22 ba

a

и

22 ba

b

являются синусом и косинусом одного и того же угла. Поэтому, левую

часть уравнения можно записать в виде синуса или косинуса суммы или разности двух углов.

Пример. Решить уравнение 02cossin3 xx .

Решение. Разделим обе части уравнения на 2: 1cos2

1sin

2

3 xx . Тогда

16

sin

x . Отсюда kх

226 , Zk . Окончательно Zkkх ,2

3

.

Ответ: Zkk ,23

.


1. 0215cos315sin xx . Ответ: Zkk

,15

2

90

.

2. 02cossin3 xx . Ответ: Zkkk

,64

1

.

3. 032cos22sin2 xx . Ответ: Zkkk

,286

1

.

4. xxx 3cos2sincos3 . Ответ: Zkkk

,12

,224

.

5. xxx 11sin11cos241cos2 . Ответ: 26208

k ; Zk

k ,

15120

.

6. xxx 13cos25cos5sin . Ответ: Zkkk

,972

,432

.

7. xxxx 3sin5cos35sin3cos . Ответ: Zkkk

,12

,416

.

8. xxxx cos3sin3sin3cos . Ответ: Zkkk

,12

,28

.

9. xxxx 8cos6sin36cos8sin . Ответ: Zkkk

,4

,712

.

10. 2cos4sin3 xx . Ответ: Zkk

k ,

5

4arcsin

5

2arcsin1 .

11. 2

1cos3sin2 xx . Ответ: Zkk

k ,

13

3arcsin

132

1arcsin1 .

12. 52cos42sin3 xx . Ответ: Zkk ,

45

4arcsin

2

1

.

92

13. 5,6cos12sin5 xx . Ответ: Zkk

k ,

13

12arcsin

61

.

14. 8,02

cos32

sin2 xx

. Ответ:

Zkkk

,213

3arcsin2

135

4arcsin12 .

15. 5cos5sin xx . Ответ: .

16. .

Ответ:

.

17. . Ответ: нет решений.

18. . Ответ:

.

Zkkk

,6

5arcsin

6

5arcsin1

43cos53sin3 xx

Zkkk

,334

5arcsin

3

1

34

4arcsin1

3

1

2,55cos35sin4 xx

06sin132cos122sin5 xxx

Zkkk

,213

12arcsin

4

1

4;

413

12arcsin

8

1

93


ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Пример 1. Решить уравнение: xxx 2sinsin5sin .

Решение. Распишем левую часть уравнения как разность синусов, тогда уравнение

примет вид: xxx 2sin3cos2sin2 или 013cos22sin xx , откуда получаем совокупность:

2

13cos

02sin

x

x и, окончательно

Znn

x

Zkk

x

,3

2

9

,2

.

Ответ: Zkk

x ,2

, Zn

nx ,

3

2

9

.

Пример 2. Решить уравнение: xxx 3cos2)8sin(2sin .

Решение. Используя формулу приведения перепишем уравнение в виде:

xxx 3cos28sin2sin и по формуле суммы синусов имеем: xxx 3cos23cos5sin2 ,

откуда: 0)25sin2(3cos xx и получаем совокупность:

02-2sin5x

0cos3x , или

Zkkx

Znnx

k,

415

,2

3

, и, окончательно

Zkk

x

Znn

x

k,

5201

,36

.

Ответ: Znn

x ,36

, Zk

kx

k ,

5201

.


1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7. . Ответ: .

8. . Ответ: .

9. . Ответ: .

sin 2sin 2 sin 3x x x ,

2

kk Z

cos cos5 cos3 cos 7x x x x ,

4

kk Z

2sin sin cos

6 3 4x x x

,

4k k Z

cos 3 cos3 cos cos3 3

x x x x

; ,6 2

kk k Z

sin 3 sin sin 2x x x ; 2 ,

2 3

kk k Z

cos5 cos 7 cos 6x x x 2; 2 ,

12 6 3

kk k Z

sin sin 5 sin 3 sin 7x x x x ; ; ,

4 2 8 4

k kk k Z

cos9 cos 7 cos3 cos 0x x x x ; ,

6 3 5

k kk Z

sin sin 112 4

x x

2 ,

12k k Z

94

10. . Ответ: .

11. . Ответ: .

12. Ответ:

13. Ответ:

14. Ответ:

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ:

18. Ответ:

19. Ответ:

20. Ответ:

21. Ответ:

22. Ответ:

23. Ответ:

24. Ответ:

25. Ответ:

26. . Ответ: ; .

27. . Ответ: .

28. . Ответ: .

29. . Ответ: .

cos cos sin3 6 4

x x x

,4

k k Z

sin sin sin 2 sin 24 4

x x x x

22 ; ,

12 3

kk k Z

.09cos5cos2sin3 xxx .721

)1(,2

1

21

kx

kx k

.0)23cos(5cos7sinsin xxxx).34(

8,

421 kx

kx

.03cos2coscos1 ttt).12(

3),12(

221 ktkt

).2

37cos(8sin3sin2sin

xxxx .

5

kx

).3sin2(cos25sin3sin 22 xxxx ).14(18

),12(2

21 kxkx

.08sin5sin2sinsin xxxx).12(

7,

321 kx

kx

.2sin3cos8sin7cos xxxx

).14(10

),14(2

,5

321 kxkxk

x

).6cos(7cos5cos xxx .2

3

2),12(

1221 kxkx

.4sin5sin3sin xxx ).16(

3,

421 kx

kx

.1sin26cos2cos 2 xxx).12(

12 kx

.2sin37sin3sin xxx 1 2

2, .

2 6 5

k kx x

.sin4sin3sin 3 xxx ).12(

4, 21 kxkx

.22

12sin6sin xtgxx ).16(

6,

221 kx

kx

.cos43sinsin 3 xxx ).14(

4),12(

221 kxkx

2 2cos cos 2 1x x x 1,

2k k Z

1 4 1,

2

nn N

2 26cos 2 2 cos

25tg x tg x

1 5; arccos ,

4 2 2 6

nn n Z

2sin sin 1x x x 2 1, 1 2 1; 0,1,2,...k k k

2 214cos 2 2 sin

25tg x tg x

1 5; arccos ,

4 2 2 7

nn n Z

95


ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

Часто в уравнениях кроме тригонометрических преобразований необходимо делать

некоторые ограничения на входящие в них величины.

Пример 1. Решить уравнение 2

2 2

2 2sin cos0

6 5

x x

x x

.


.056

,0cossin2222

2

xx

xx Первое

уравнение после очевидных преобразований приводит к тому, что 0cos x или 2

1cos x . Из

второго условия следует, что 2

x и

3

x . Поэтому, получаем ответ.

Ответ: 2 , 2 , ; , , , 0, 13 3 2

n k m n k m Z k m

.

Пример 2. Решить уравнение 0sin34 2 xxx .


.034

,0sin0342

2

xх

xилихх Из

уравнений системы получаем: 1х ; 4х ; пх , Zп . Из неравенства системы следует,

что 4;1х . Поэтому, из серии ответов уравнению удовлетворяют только два значения.

Ответ. –1 ; 4 ; 0 ; .


1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ:

5. . Ответ. .

6. Ответ. .

7. . Ответ.

8. . Ответ. .

9. . Ответ. 2 ; 3/2 ; 1/2 .

2 2

2 3sin cos20

6

x x

x x

2 , 1 ; , , 0

2 6

nk n k n Z k

2 2

cos2 2cos 10

12 8

x x

x x

2 , ; , , 0

2k n k n Z n

2

2 2

2sin cos 20

12 4

x x

x x

, ; , , 0

6 6k n k n Z n

2 2

cos 2 sin0

8 12

x x

x x

2 , 1 ; , , 0

2 6

nk n k n Z k

2

coscos

3

2

xx

x

1; ,

2 2n n Z

2

sinsin 0

4

xx

x

5; ,n n Z

21

sin sin 02

x x x

3; ,

2n n Z

2

2 cos cosx x x 1; 2 1 ,2

n n Z

0cos32sin4 2 xxx

96

10. . Ответ. 3 ; 5/2 ; 3/2 ; 1/2 .

11.

Ответ. 1; ; .

12. . Ответ. п,

13. . Ответ. ,

14. . Ответ. .

15. . Ответ. .

16. . Ответ. .

17. . Ответ. .

18. . Ответ. .

19. . Ответ. .

20. . Ответ.

21. . Ответ. .

29 2sin 2 5cos 0x x x

02sin5cossin4cos31 22 xxxxxNkk ,

4

Nnnarctg ,

3

1

24 1 0x tg x n Z

3 2 0x x ctg x 1

2n n N

2 2

sin sin 2 sin 30

x x x

x

20; ;

2 3

03cos2coscos

22

x

xxx

3

2;

4

3;

4

xxx 2sinsin3sin Znnnn ,3

;22

;

xxx 2sinsin3sin Znnnn ,3

;22

;

xxx 2sincos3cos Znnnn ,6

;2

;2

xxx 2sin3coscos Znnnn ,6

;2

;2

1sin

5sin3sin2

x

xxZnnnnnn ,2

3

2;2

3;2

2;2

4

3;2

4

Znnnnnn ,23

2;2

3;2

2;2

4

3;2

4

1cos

5cos3cos2

x

xxZnnnn ,2

4

3;2;2

6

97


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ

Иногда в уравнениях оказывается, что 1х . В этом случае возможна замена

переменных в виде

2;

2,sin

x или ;0,cos x . Если в уравнение

переменная входит в виде 12 х , то удобной является замена

2;

2,

tgx или

;0, сtgx . В других случаях необходимы предварительные преобразования, а затем

подходящая подстановка.

Пример 1. Решить уравнение: xxx 341 32 .

Решение. Из условия следует, что 1x . Сделаем замену ;0,cos x . Тогда

уравнение примет вид: cos3cos4cos1 32 . Отсюда, с учетом ;0 , получаем:

3cossin ; 03cos2

cos

; 02

4sin

4sin2

. При условии ;0 ,

имеем: 8

5,

8,

4

3 . Для

4

3 получим:

2

2

4

3cos

х . Вычислим

8cos

.

18

cos28

2cos4

cos2

2 2

. Тогда 4

22

2

21

2

1

8cos2

, а

2

22

8cos

.

Аналогично 2

22

8

5cos

.

Ответ: 2

2;

2

22;

2

22

.


35

12

x

xx .

Решение. Из условия следует, что 1x . Это означает, что 1;01

х. Сделаем замену

2;0,

sin

1

x . Запишем уравнение:

12

35

1sin

1

sin

1

sin

1

2

. Учитывая, что

2;0

, получаем: 12

35

sin1

1

sin

1

2

или

12

35

cos

1

sin

1

, то есть

12

35

cossin

cossin

; cossin35cossin12 . Пусть cossin t . Тогда

222 coscossin2sin t или 12

1cossin 2 t . Наше уравнение равносильно

следующему: 12

3512 2 tt , то есть 0352435 2 tt . Получаем

5

7t или

7

5t .

98

Поскольку

2;0

, 5

7t . То есть

5

7cossin , а

25

121

2

1cossin 2 t . Если

известны сумма и произведение двух чисел, по теореме Виета можем получить эти числа:

5

3sin ,

5

4cos или

5

4sin ,

5

3cos . Отсюда получаем ответ.

Ответ. 5 5

;3 4

.


2

51

2 1x x

x

.

Решение. Сделаем замену

2;

2,

tgx . Тогда ,

cos

111

2

22

tgx

cos

1

cos

1

cos

111

2

22 tgx . Исходное уравнение можно записать в

следующем виде:

cos

2

5

cos

1 tg или

2

cos5

cos

sin1

. При условии

2;

2

это

уравнение равносильно следующему: 2cos5sin22 или 2sin55sin22 .

Отсюда 03sin2sin5 2 , то есть 1sin или 5

3sin . Поскольку

2;

2

,

1sin . Если же 5

3sin , при

2;

2

5

4cos , а

4

3tg . Следовательно,

4

3 tgx .

Ответ. 3

4 .

Пример 4. Решить систему уравнений:

.1)12(4

,12

22

yxy

yx

Решение. Поскольку 122 уx , можем сделать замену sinx , 2;0,cos y

. Тогда второе уравнение системы примет вид: 11cos2cossin4 2 . Пользуясь

формулами синуса и косинуса двойного угла, получаем: 12cos2sin2 , а отсюда

14sin . Учитывая, что 2;0 , можем записать: 8

13,

8

9,

8

5,

8

. Тогда ответ

можно представить следующим образом:

8cos;

8sin

;

8

5cos;

8

5sin

;

8

9cos;

8

9sin

;

8

13cos;

8

13sin

. Например, синус и косинус угла

8

вычислим следующим образом:

8sin21

82cos

4cos

2

2 2 .

Тогда 4

22

2

21

2

1

8sin 2

, а

2

22

8sin

.

99

18

cos28

2cos4

cos2

2 2

.

Тогда 4

22

2

21

2

1

8cos2

, а

2

22

8cos

.

Далее, имеем: 2

22

8cos

28sin

8

5sin

;

2

22

8sin

28cos

8

5cos

;

2

22

8sin

8sin

8

9sin

;

2

22

8cos

8cos

8

9cos

;

2

22

8cos

2

3

8sin

8

13sin

;

2

22

8sin

2

3

8cos

8

13cos

.

Ответ:2 2 2 2

;2 2

; 2 2 2 2

;2 2

; 2 2 2 2

;2 2

;

2 2 2 2;

2 2

.


Решить уравнения и системы:

1. . Ответ. .

2. . Ответ: ; ; ; ; ;

; .

3. . Ответ: ;

4. . Ответ. .

)12(21 22 xxx 2 6 2;

2 2

1)188)(21(8 242 xxxx 2cos

9

4cos

9

1

2

8cos

9

cos

7

3cos

7

5cos

7

09)616(32 xx 23 5sin

2 18

23 7

sin2 18

248

212

xx

1 5 651; ;

2 12

100

5. . Ответ. ; ; .

6. . Ответ. ; ; .

7. . Ответ. 0.

8. . Ответ. .

9. . Ответ. .

10. . Ответ. .

11. . Ответ. .

12. . Ответ. .

13. . Ответ. .

14. . Ответ. .

15.

.

Ответ. 2.

16. . Ответ. .

17. Ответ. ; ;

; ;

; .

18.

Ответ. .

19.

Ответ. .

3 3 1 0x x 2sin

18

52sin

18

72sin

18

3 26 9 1 0x x x 2 sin 1

18

52 sin 1

18

72 sin 1

18

2

2

2

21 1

1

xx

x

122

1 2

xx 5 1

4

31

4 32

xx x

cos ;cos

7 5

22 12121 xxxx 3cos

10

122

121 22

xxx 2 6 2

;2 2

2

11 322 xxxx 2

2

xx 2222

2cos9

345

212

xx1 3

1;2

3 3

3 3

x xx

x x x x

21 2 1 4 1 2 8 1x x x x 1 3cos

2 10

2 2

2 1 4 3,

1.

x y xy

x y

5 5cos ;sin

36 36

7 7cos ;sin

36 36

cos ;sin36 36

sin ; cos36 36

7 7sin ;cos

36 36

5 5sin ; cos

36 36

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

zx

z

xy

x

yz

y

0;0;0 , 1;1;1

3

3

40,

10.

xxy

y

yxy

x

4;2 , 4; 2

101


МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть точка двигается с переменной скоростью по закону )(tfS . Для

характеристики неравномерного движения используем понятие средней скорости за

некоторый промежуток времени: t

tfttfVср

)()(.

.

Тогда скорость на данный момент времени (мгновенная скорость) есть предел .срV

при условии, что t стремится к нулю:

)(lim)()(

limlim)( '

00.

0tf

t

f

t

tfttfVtV

ttср

t

.

Мгновенная скорость движения )(tV в момент времени t – это есть производная пути

по времени – таким является механический (физический) смысл производной.

Пример 1. Материальная точка движется по закону 526)( 2 ttts . Найдите её

скорость в момент времени ct 3 .

Решение. Найдём производную пути по времени: 212526)()('2' ttttStV .

Тогда скорость в момент времени ct 3 равна 342312)3( V м/с.

Ответ: 34 м/с.

Пример 2. Материальная точка двигается по закону 10246)( 2 tttS . В какой

момент времени после начала движения точка остановится?

Решение. Найдём производную пути по времени:

241210246)()('2' ttttStV . Когда тело остановится его скорость будет равна

нулю, т.е. 02412 t . Откуда 2t c.

Ответ: 2 с.

102

Упражнения для самостоятельного решения 1. Материальная точка движется по закону

. Найдите её скорость в момент времени

.

Ответ: .

2. Тело движется по закону . Найдите его

скорость в момент с.

Ответ: .

3. Тело движется по закону . Найдите его

скорость в момент времени с.

Ответ: .

4. Материальная точка движется по закону

. Найдите её скорость в момент времени

с.

Ответ: .

5. . Найти скорость в момент . Ответ: м/с.

6. . Найти скорость в момент . Ответ: 21 м/с .

7. . В какой момент времени

тело имеет наибольшую скорость? Найти эту

скорость.

Ответ: м/с.

8. . Найти скорость в момент

с.



.



с.



с.


12. Материальная точка двигается по закону

. В какой момент времени после

начала движения точка остановится?

Ответ: 2 .

13. Материальная точка двигается по закону

. В какой момент времени после

начала движения точка остановится?

Ответ: 3 .

1

14)(

t

tts

ct 2

9

5)2(,

)1(

5)(

2

v

ttv

t

tts

4

42)(

2t

5,3)2(,)4(

14)(

2

v

ttv

1

12)(

t

tts

4t

04,0)4(,)1(

1)(

2

v

ttv

2

23)(

t

tts

3t

16,0)3(,)2(

4)(

2

v

ttv

4 3( )

4

tS t

t

9t

1

133( ) 2 3 4S t t t 2t

2

2 5( ) 8 2 24 0,3S t t t t 2 70v

23 3

( ) 2 12

tS t t t

3t 3 2( ) 2 2,5 3 1S t t t t

1t 2

3 3( ) 4 3

2

tS t t t

2t 2

3 5( ) 2 7 3

2

tS t t t

1t

2( ) 3 12 18S t t t

с

2( ) 2 12 20S t t t

с

103


СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ

Пусть точка двигается с переменной скоростью по закону )(tfS . Для

характеристики неравномерного движения используем понятие средней скорости за

некоторый промежуток времени: t

tfttfVср

)()(.

.

Тогда скорость на данный момент времени (мгновенная скорость) есть предел .срV

при условии, что t стремится к нулю:

)(lim)()(

limlim)( '

00.

0tf

t

f

t

tfttfVtV

ttср

t

.

Мгновенная скорость движения )(tV в момент времени t – это есть производная пути

по времени – таким является механический (физический) смысл производной.

Производная от скорости по времени есть ускорение: )(')( tVta или )('')( tSta -

такой механический смысл второй производной.

Пример 1. Материальная точка движется по закону 2

3 3( ) 4 3

2

tS t t t . Найти

скорость в момент 2t с. В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с 2 ?

Решение. Найдём производную пути по времени:

433342

3)()( 2

'2

3'

ttt

tttStV . Тогда скорость в момент времени ct 2 равна

1442323)2( 2 V м/с. Найдём вторую производную по времени:

36)433()(')()( '2'' ttttVtSta . Так как ускорение равно 9 м/с 2 , то 936 t или

1t c.

Ответ: 14 м/с; 1 с.

Пример 2. Тело массой 2 кг движется по закону 353)( 3 ttts . Найдите

действующую на него силу в момент времени ct 3 .

Решение. Найдём вторую производную по времени:

tttttSta 18)59()353()()( '2''3'' .

Через 3 с ускорение будет равняться 54318)3( a 2/ см . Тогда по закону Ньютона

amF и 108542 F )(Н

Ответ: )(108 HF .


1. Тело массой 2 кг движется по закону . Найдите

действующую на него силу в момент времени .

Ответ: .

2. Найдите силу, действующую на тело массой 2 кг, движущееся

по закону в момент времени с.

Ответ: .

3. Найдите силу, действующую на тело массой 6 кг, движущееся


Ответ: .

4. Найдите силу, действующую на тело массой 5 кг, движущееся Ответ: .

353)( 3 ttts

ct 3

)(108 HF

32

1)( 3 ttts 4t

)(24 HF

22)( 3 ttts 3t

)(216 HF

)(30 HF

104


5. При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной

точки изменяется по закону . Найти ускорение

(в м/с2) тела через 6 секунд после начала движения.

Ответ: .

6. . Найти скорость и ускорение в момент . Ответ: 21 м/с; 24 м/с .

7. . В какие моменты времени ускорение

движения тела равно нулю?

Ответ: 1; 4.

8. . Найти скорость в момент с. В какой

момент времени ускорение будет равно 9 м/с ?

Ответ: 20 м/с; 2 .

9. . Найти скорость в момент . В какой

момент времени ускорение будет равно 19 м/с .

Ответ: 4 м/с; 2 .

10. . Найти скорость в момент с. В какой

момент времени ускорение будет равно 9 м/с ?

Ответ: 14 м/с; 1 .

12 . . Найти скорость в момент с. В

какой момент времени ускорение будет равно 11 м/с ?

Ответ: 4 м/с; 0,5 .

123

1)( 3 ttts 3t

1t3t)t(V 2

2/с9м

3( ) 2 3 4S t t t 2t 2

4 3 2( ) 0,5 5 12 1S t t t t

23 3

( ) 2 12

tS t t t 3t

2

с

3 2( ) 2 2,5 3 1S t t t t 1t 2

с

23 3

( ) 4 32

tS t t t 2t

2

с

23 5

( ) 2 7 32

tS t t t 1t

2

с

105


ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Необходимое условие экстремума

Если 0x - точка экстремума функции, то либо 0)(x0

' f , либо не существует

производной в этой точке (т.е. это стационарная точка).

Достаточные условия экстремума

Пусть функция )(xfy -дифференцируема на интервалах 0;xa и bx ;0 и 0x -

стационарная точка. Тогда:

1) Если при переходе через точку 0x производная меняет знак с минуса на плюс, то 0x -

точка минимума функции.

2) Если при переходе через точку 0x производная меняет знак с плюса на минус, то 0x -

точка максимума функции.

Площадь криволинейной трапеции Теорема. Пусть f - непрерывная и

неотрицательная на отрезке ba; функция, а F - её

первообразная на этом отрезке. Тогда площадь

криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

)()( aFbFS .

Определённый интеграл Теорема. Если функция f непрерывна на

отрезке ba; , а функция F является её первообразной на ba; , то справедлива формула:

b

a

aFbFdxxf )()()( .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Для удобства записи

разность )()( aFbF принято обозначать b

axF )( .

Пример 1. Заготовлена изгородь длиной 480 м. Этой изгородью надо огородить с трёх

сторон, примыкающий к реке участок прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры

участка, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?

Решение. Пусть ширина участка x , тогда его длина x2480 . Таким образом, его

площадь 22480)2480()( xxxxxS . Найдём производную от этой функции по

переменной x . xxS 4480)(' . Приравнивая производную к нулю, находим, что 120x .

Проверкой убеждаемся, что правее этой точки производная – отрицательна, левее –

положительна. Т.е. эта точка является максимумом данной функции и площадь будет

наибольшей, если ширина равна 120 м, а длина 240 м.

Ответ: 240 м120 м.

Пример 2. Найти число, разность которого со своим квадратом наибольшая.

106

Решение. Пусть искомое число x . Так как это число должно превышать свой квадрат

на максимальное значение, найдём максимум функции: 2)( xxxf . Найдём производную

этой функции: xxf 21)(' . Приравнивая производную к нулю, находим, что 5,0x .

Проверкой убеждаемся, что правее этой точки производная – отрицательна, левее –

положительна. Т.е. эта точка является максимумом данной функции.

Ответ: 0,5.

Пример 3 Найти площадь криволинейной трапеции: 2 1; 0; 0; 1y x y x x .

Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Тогда

1

0

1

0

2

3

401

3

1

3

)1(

3

xx

dxxS .

Ответ: 3

4.


1. Найти число, утроенный квадрат которого превышает его куб на

максимальное значение. Ответ: .

2. Число 36 разложить на два таких положительных сомножителя,

чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Ответ: .

3. Число 8 разложить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов

была наименьшей. Ответ: .

4. Положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы их

произведение было наибольшим. Ответ: .

5. При каком значении первого сомножителя произведение будет

наименьшим, если второй сомножитель на 10 меньше первого? Ответ: .

6. Разность двух чисел равна 8. Какими должны быть эти числа, чтобы

произведение куба первого числа на второе было наименьшим? Ответ: .

7. Число 20 представить в виде суммы двух положительных

слагаемых, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была

наименьшей.

Ответ: .

8. Число 26 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых

так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей и чтобы второе

слагаемое было втрое больше первого.

Ответ: .

9. Представить число 48 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их

произведение было наибольшим.

Ответ: 24; 24.

10. Найти число, которое превышало свой утроенный квадрат на

наибольшее значение. Ответ:

11. Найти положительное число, которое превышало бы свой

утроенный кубический корень на наименьшее значение.

Ответ: 1.

12. Найти положительное число, сумма которого со своей обратной

величиной имеет наименьшее значение.

Ответ: 1.

13. Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два

из них относились, как 1:2, а произведение трех слагаемых было

наибольшим.

Ответ:

14. Число 72 представить в виде суммы трех положительных

слагаемых так, чтобы два из них относились, как 8:3, а сумма кубов Ответ:

2

6;6

4;4

a

2;

2

aa

5

2;6

3

50;

3

10

10;12;4

.6

1

.80;60;40

.28;12;32

107

этих трех чисел была наименьшей.

15. Отрезок длины поделить на две части так, чтобы сумма

площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей. Ответ: .

16. Среди всех равнобедренных треугольников с данной боковой

стороной найти треугольник наибольшей площади.

Ответ:

прямоугольный

треугольник.

17. Найти острые углы прямоугольного треугольника наибольшей

площади , если сумма его катета и гипотенузы постоянна. Ответ: .

18. При каком значении длины высоты прямоугольная трапеция с

острым углом и периметром 4 имеет наибольшую площадь? Ответ: .

19. Среди всех прямоугольных треугольников площадью 32 найти тот,

для которого площадь описанного круга будет наименьшей. Ответ:

равнобедренный с

катетами длиной 8.

20. В полукруг радиуса вписан прямоугольник с наибольшей

площадью. Найти эту наиболь-шую площадь. Ответ: .

21. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,

вписанного в полукруг радиуса . Ответ: .

22. Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр которого

равен 120 м, чтобы его площадь была наибольшей?

Ответ: 30 м.

23. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника,

имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине

медианы, проведенной к его боковой стороне.

Ответ:

24. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна , угол между

диагоналями . Найти длины диагоналей, при которых площадь

параллелограмма будет наибольшей.

Ответ:

25. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого

диагональ наименьшая.

Ответ: квадрат.

26. В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком

соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь? Ответ:

равносторонний

треугольник.

27. В равнобокой трапеции меньшее основание и боковые стороны

равны по . Найти длину большего основания, при котором площадь

трапеции будет наибольшей.

Ответ:

28. Найти размеры бассейна в форме прямоугольного параллелепипеда

с квадратным дном, который имеет объём 32 так, чтобы на облицовку

его дна и стенок пошло наименьшее количество материала.

Ответ: .

29. Найти размеры открытого бассейна объёма с дном в форме

прямоугольника, стороны которого относятся как , чтобы на

облицовку его дна и стенок пошло наименьшее количество материала.

Ответ:

30. Из всех прямоугольных параллелепипедов, в основании которых

лежит квадрат и площадь полной поверхности равняется , найти

параллелепипед наибольшего объёма.

Ответ: куб с

ребром .

31. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды,

объём каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами.

Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой

грани и вычислить этот периметр.

Ответ: сторона

основания 2;

боковое ребро 1;

.

32. Найти наибольший объём правильной треугольной пирамиды, у

которой апофема равна . Ответ: .

a

2;

2

aa

b

60;30

45 122

R 2R

R 5

4;

5

RR

.8,0

а2

30

.;аа

а

.2а

2;4;4

V

3:1

4

12;12;

3

12 33

3 VV

V

S

6

S

6P

l3

2 3l

108

33. Найти наибольший объём правильной треугольной пирамиды,

боковое ребро которой имеет длину . Ответ: .

34. Какой наибольший объём может иметь правильная

четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой имеет длину ? Ответ: .

35. Какой наибольший объём может иметь правильная шестиугольная

пирамида, боковое ребро которой имеет длину ? Ответ: .

36. Найти размеры цилиндра, который имеет наибольший объём, если

площадь его полной по-верхности равняется .

Ответ:

.

37. Найти наибольший объём цилиндра, у которого периметр осевого

сечения равняется . Ответ: .

38. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка

данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность? Ответ:

39. В правильной треугольной призме расстояние от центра основания

до одной из вершин другого основания равно . При какой длине

высоты призмы ее объем будет наибольшим? Найти это наибольшее

значение объема.

Ответ:

40. Найти кратчайшее расстояние от точки А(1; 0) до графика функции

.

Ответ: 3.

41. Найти кратчайшее расстояние от точки М(5;0) до графика функции

. Ответ:

42. На графике функции , >1, найти точку В, ближайшую к

точке А (1; 0).

Ответ:

43. Фигура ограничена графиком функции , прямой и

осью ординат. В какой точке графика функции надо провести

к нему касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры

треугольник наибольшей площади?

Ответ:

44. В какой точке нужно провести касательную к графику функции

, , чтобы она образовывала с координатными

осями треугольник наименьшей площади?

Ответ: .

45. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1;4) и

отсекающей на положительных полуосях осей координат отрезки,

сумма длин которых наименьшая.

Ответ:

b6

3b

b27

34 3b

b3

3b

S2RH;

6

SR

P 216

3P

.2

;4

33

VR

Vh

l .2

;3

3 3ll

1062 xxy

5 xy.

2

39

1

1

xy x

).1;2(В

xy 2y

xy

.3

4;

9

16

2218

3y x 0 3 2x

3;2

.62 ху

109


1. 21 ; 0y x y . Ответ:

4

3.

2. 2 1; 0; 1; 2y x y x x . Ответ:

4

3.

3. 2; 0y x x y . Ответ:

1

6.

4. 0;42 yxy . Ответ: 3

210 .

5. 2 4 ; 0; 1,5; 0,5y x x y x x . Ответ:

15

12.

6. 0;52 yxxy . Ответ: 6

520 .

7. 4;1;0;1162 xxyxxy . Ответ: 9.

8. 23 ; 0; 0; 1y x x y x x . Ответ:

11

6.

9. 2;1;0;322 xxyxxy . Ответ: 3

18 .

10. 1;3;0;542 xxyxxy . Ответ: 3

113 .

11. 3; 0; 1y x y x . Ответ:

1

4.

12. 3;2;0;642 xxyxxy . Ответ: 3

12 .

13. 2;1;0;3 23 xxyxxy . Ответ: 4

13 .

14. 2;0;3 xyxy . Ответ: 4.

15. 2;1;0;2 23 xxyxxy . Ответ: 12

11.

16.

2

1; 0; 1; 2

1y y x x

x

Ответ:

1

6.

17.

2

1; 0; 1; 0

1y y x x

x

. Ответ:

1

2.

18. 2 1; 0; 1; 5y x y x x . Ответ: 26

3.

19. 3 1; 0; 0; 8y x y x x . Ответ: 248

9.

20. 2

sin ; 0; 0;3

y x y x x

. Ответ: 1,5 .

21. 3

2cos ; 0; ;2 2

y x y x x

. Ответ: 4 .

22. cos ; 0; ;2 3

xy y x x

. Ответ: 1 .

23. sin 2 ; 0; 0;2

y x y x x

. Ответ: 1 .

110

24. ; 0; 0; 2xy e y x x . Ответ: 2 1e .

25. ; 0; 1; 0xy e y x x . Ответ: 1e .

26.

1

22 ; 0; 1; 2x

y e y x x . Ответ:

44e

e .

27. 1 ; 0; 3; 0xy e y x x . Ответ: 34 e .

28. 2 ; 0; 0; 2xy y x x . Ответ: 3

ln 2.

29. 3 ; 0; 0; 1xy y x x . Ответ: 2

ln3.

30. 4

; 0; 1; 2y y x xx

. Ответ: 4ln 2 .

31. 2

; 0; 4; 1y y x xx

. Ответ: 2ln 4 .

32. 7 5

sin 2 ; 0; ;12 6

y x y x x

. Ответ: 11 3

4 .

33. 4

sin ; 0; ;3 3

y x y x x

. Ответ: 2.

34. 5

cos ; 0; ;2 6

y x y x x

. Ответ: 1

2.

35. 1

sin ; 0; 3 ; 42

y x y x x . Ответ: 2.

Documents

ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО …ippo-vm.at.ua/program/maket_pr_10-11_algebra_prilozhenie...Рекомендовано Министерством образования