Μικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσπίπτει σε σηµεί ο Α της περιφέρειας ενός δακτυλιδιού ακτίνας R, το οποίο µπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από ένα σηµείο του Ο. Η ταχύτητα πρόσπτωσης

�

! v

0 του σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα

κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. i} Εάν η κρούση του σφαιριδίου µε το δακτυλίδι είναι ελαστική, να βρεθεί η µάζα του δακτυλιδιού, ώστε το σφαιρίδιο να αποκτήσει αµέσως µετά την κρούση ταχύτητα

�

-! v

0/2.

ii) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας

�

! v

0, ώστε η µέγιστη γωνιακή

εκτροπή του δακτυλιδιού να είναι π/3. iii) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του δακτυλιδιού στην θέση της µέγιστης γωνιακής του εκτροπής. ΛΥΣΗ: i) Επειδή o χρόνος κρούσεως Δt του σφαιριδίου µε το δακτυλίδι είναι πολύ µικρός (Δt→0), η ροπή του βάρους του σφαιριδίου περί το Ο προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της αντίστοιχης στροφορµής του συστήµατος δακτυλίδι-σφαιρίδιο κατά τον χρόνο Δt. Εξάλλου κατά τον χρόνο αυτόν η δύναµη που δέχεται το δακτυλίδι από τον άξονα περιστροφής του διέρχεται από το σηµείο Ο καθώς και ο φορέας του βάρους του δακτυλιδιού και εποµένως εξασφαλίζεται ότι, η στροφορµή του συστήµατος δακτυλίδι-σφαιρίσιο περί το Ο δεν µεταβάλλε ται, δηλαδή ισχύει:

Σχήµα 1

�

! L !"#$ %&"'

(O)=! L (µ)*+, µ)-(

(O)

�

!

�

L !"#$ %&"'(O)

= L (µ)*+, µ)-((O)

�

!

�

mv0d + 0 = I

O! -mv

0d /2

�

!

�

3mv0d /2= I

O! (1)

όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος αµέσως µετά την

κρούση, d η απόσταση του Ο από τον φορέα της

�

! v

0 και ΙΟ η ροπή αδράνειας του

δακτυλίδιού ως προς τον άξονα περιστροφής του. Όµως εάν Μ είναι η µάζα του δακτυλιδιού θα έχουµε ΙΟ=ΜR2+MR2=2MR2, ενώ από το σχήµα προκύπτει d= Rηµφ, µε αποτέλεσµα η (1) να γράφεται:

�

3mv0R!µ" /2 = 2MR

2#

�

!

�

3mv0!µ" = 4MR# (2)

Eπειδή η κρούση σφαιριδίου-δακτυλιδιού είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος στον χρόνο Δt δεν µεταβάλλεται, δηλαδή έχουµε:

�

mv0

2

2+ 0 =

m

2

v0

2

4+

IO!

2

2

�

!

�

3mv0

2

4= 2MR

2!

2

�

!

(2)

�

3mv0

2

4= 2MR

23mv

0!µ"

4MR

#

$ %

&

' (

2

�

!

�

12m =18m

2!µ

2"

M

�

!

�

M =3m!µ

2"

2 (3)

ii) Kατά την κίνηση του δακτυλιδιού από την αρχική του θέση µέχρι την θέση της µέγιστης γωνιακής του εκτροπής η µηχανική του ενέργεια διατηρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

Σχήµα 2

�

IO!2/2 + 0 = 0 + MgR 1- "#$% /3( )

�

!

�

2MR2!

2/2 = MgR/2

�

!

�

!2=

g

2R

�

!

(2)

�

3mv0!µ"4MR

#

$ %

&

' (

2

=g

2R

�

!

�

v0

2

!µ2"

= 2gR

�

!

�

v0 = !µ" 2gR (4) iii) Την στιγµή της µέγιστης γωνιακής εκτροπής του συστήµατος, αυτό δέχε ται συνισταµένη ροπή

�

! ! περί τον άξονα περιστροφής του, της οποίας το µέτρο

είναι:

�

! = MgR"µ#

3

�

!

(3)

�

! = gR3m"µ

2#

2

3

2=

3 3mgR"µ2#

4 (5)

Όµως σύµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της στροφορµής την στιγµή αυτή ισχύ ει η σχέση:

�

dL

dt= !

�

!

(5)

�

dL

dt=

3 3mgR!µ2"

4

όπου

�

d! L /dt ο ζητούµενος ρυθµός µεταβολής της στροφορµής. Εάν δεχθούµε

συµβατικά ως θετική φορά περιστροφής την φορά της γωνιακής ταχύτη τας

�

! ! ,

τότε το µοναδιαίο διάνυσµα

�

! k περιστροφής θα είναι αντίρροπο της ροπής

�

! ! και

η σύµβαση αυτή µας επιτρέπει να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

�

d! L

dt= -

3 3mgR!µ2"

4

! k

P.M. fysikos

Δύο µικρές σφαίρες Σ1 και Σ2 µε αντίστοιχες µάζες m1 και m2 (m1<<m2), αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h επί ανενδότου οριζοντίου επιπέδου. Oι σφαίρες κινούνται πάνω στην ίδια κατακόρυφη και η σφαίρα Σ2 προηγείται πολύ λίγο της άλλης σφαίρας Σ1. Όταν η σφαίρα Σ2 φθάνει στο οριζόντιο επίπε δο ανακλάται και µόλις αποχωριστεί από αυτό συγκρούεται µετωπικά µε την κατερχόµενη σφαίρα Σ1. Eάν όλες οι κρούσεις θεωρηθούν ελα στικές και η αντίσταση του αέρα αµελητέα, να δείξετε ότι, το µέγιστο ύψος στο οποίο ανέρχεται η σφαίρα Σ1 εκ του οριζοντίου επιπέδου είναι ίσο µε 9h, ενώ το µέγιστο ύψος της άλλης είναι ίσο µε h. ΛYΣH: Eάν

�

! v είναι η ταχύτητα των σφαιρών λίγο πριν αυτές φθάσουν στο

οριζόντιο επίπεδο, τότε θα ισχύει η σχέση:

�

v = 2gh (1) Πρώτη φθάνει στο οριζόντιο επίπεδο η σφαίρα Σ2, η οποία ανακλάται µε ταχύ τητα

�

-

! v αφού η κρούση της µε το επίπεδο είναι µετωπική και ελαστική και

αµέσως µετά την ανάκλασή της συγκρούεται µετωπικά µε την σφαίρα Σ1, η οποία την στιγµή αυτή έχει ταχύτητα

�

! v . Eφαρµόζοντας για την κρούση αυτή

την αρχή διατήρησης της ορµής, µε θετική φορά την προς τα πάνω, παίρνουµε την σχέση: -m1v + m2v = m1v1 + m2v2 ! -m1(v + v1) = m2(v2 - v) (2) όπου

�

! v

1,

�

! v

2 οι ταχύτητες των σφαιρών Σ1 και Σ2 αντιστοίχως αµέσως µετά την

µετωπική τους κρούση. Όµως η κρούση αυτή είναι ελαστική, οπότε η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται, δηλαδή θα έχουµε:

�

m1v

2

2+

m2v

2

2=

m1v

1

2

2+

m2v

2

2

2 !

�

m1(v2- v1

2) = m2(v2

2- v

2) !

�

m1(v- v1)(v- v1) = m2(v2- v)(v2+ v) (3) Όµως v2≠v, οπότε από (3):(2) προκύπτει: -(v - v1) = v2 + v ! v1 - v2 = 2v (4)

Σχήµα 3

Aπό την λύση του συστήµατος των (2) και (4) έχουµε τελικά για τα µέτρα των ταχυτήτων

�

! v

1,

�

! v

2 τις σχέσεις:

�

v1 =(3m2 - m1)v

m1 + m2

!3m2v

m2

= 3v (5)

και

�

v2 =(m2 - 3m1)v

m1 + m2

!m2v

m2

= v (6)

Tα µέγιστα ύψη h1 και h2 στα οποία ανέρχονται οι σφαίρες Σ1 και Σ2 από το οριζόντιο επίπεδο είναι:

�

h1=v1

2/2g (5)

!

�

h1= 9v2/2g !(1)

�

h1= 18gh/2g = 9h

�

h2= v2

2/2g (6)

!

�

h2= v2/2g !(1)

�

h1= 2gh/2g = h P.M. fysikos

Δύο απόλυτα όµοιες σφαίρες ακτίνας R, ισορ ροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ώστε να εφάπτονται µεταξύ τους. Mια τρίτη σφαίρα της ίδιας µάζας και της ίδιας ακτίνας µε τις δύο προηγούµενες σφαίρες κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα

�

! v

0, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο επαφής Ο

των δύο σφαιρών και κάποια στιγµή συγκρούεται ταυτόχρονα µε

αυτές. Eάν η κρούση των σφαιρών είναι ελαστική, να βρεθεί πως µεταβάλλεται µε τον χρόνο η απόσταση των δύο πρώτων σφαιρών. ΛYΣH: Kατά την κρούση των τριών σφαιρών τα κέντρα τους βρίσκονται στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 2R, οι δε δυνάµεις που δέχονται οι δύο ακίνητες σφαίρες από την κινούµενη σφαίρα έχουν την διεύθυνση των διακέντρων KK1 και KK2, οπότε οι ταχύτητες

�

! v

1 και

�

! v

2 των σφαιρών αυτών

µετά την κρούση θα έχουν φορείς τις διακέντρους KK1 και KK2 αντιστοίχως (σχ. 4). Eξάλλου, η ταχύτητα

�

! v της τρίτης σφαίρας θα έχει αµέσως µετά την

κρούση τον ίδιο φορέα µε την αρχική της ταχύτητα

�

! v

0, αφού οι δυνάµεις κρού

σης που δέχεται από τις άλλες δύο σφαίρες είναι συµµετρικές ως προς την

�

! v

0.

Eφαρµόζοντας για το σύστηµα των τριών σφαιρών την αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον άξονα Kx παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 4

Λίγο πριν την κρούση Αµέσως µετά την κρούση

�

m! v

0= m! v

1x+ m! v

2x+ m! v

�

!

�

! v

0=! v

1x+! v

2x+! v

�

!

v0 = v1συνφ + v2συνφ + v

�

!

�

v0= v

13/2 + v

23/2 + v (1)

όπου φ η γωνία Κ1ΚΟ ή η γωνία Κ2ΚΟ, ίση µε π/6. Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα των τριών σφαιρών την αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον άξο να Ky έχουµε:

�

! 0 = m

! v 1y + m

! v 2y +

! 0

�

! mv1y - mv2y = 0

�

! v1y = v2ψy

�

! v1ηµφ = v2ηµφ

�

! v1 = v2 (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

v0= 2v

13/2 + v = v

13 + v

�

!

�

v0- v = v

13 (3)

Όµως η κρούση των τριών σφαιρών είναι ελαστική, οπότε η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται, δηλαδή θα έχουµε:

�

mv0

2/2 = mv

1

2/2 + mv

2

2/2 + mv

2/2

�

!

(2)

�

v0

2= 2v

1

2+ v

2

�

!

�

v0

2- v

2= 2v

1

2

�

!

�

(v0 - v)(v0 + v) = 2v1

2 (4) Eπειδή v0≠v, µε διαίρεση κατά µέλη των (3) και (4) έχουµε:

�

(v0 - v)(v0 + v)

v0 - v=

2v1

2

v1 3

�

!

�

v0+ v =

2v1

3

(5)

Σχήµα 5 Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (5) έχουµε:

�

2v0

= v1

3 + 2v1/ 3

�

!

�

2v0

= v1

3 + 2v1

3/3 = 5 3v1/3

�

!

�

6v0= 5 3v

1

�

!

�

v1

= 6v0/5 3 = 2 3v

0/5 (6)

Eάν s είναι η απόσταση των κέντρων K’1, K’2 των δύο προπορευόµενων σφαι ρών, ύστερα από χρόνο t µετά την κρούση, θα έχουµε από τα όµοια τρίγωνα ΚK1K2 και ΚK’1K’2 (σχ. 5) την σχέση:

�

K1K

2

K'1K'

2

=KK

1

KK'1

�

!

�

2R

s=

2R

2R + v1t

�

!

�

s = 2R + v1t

�

!

(6)

�

s = 2R +2 3v

0t

5

P.M. fysikos

Ένα σωµατίδιο µάζας m είναι ακίνητο στο κεντρο Ο κανονικού εξαγώνου, ελκόµενο από κάθε κορυφή του µε δύναµη

που είναι ανάλογη του διανύσµατος θέσεως του σωµατιδίου ως προς την κορυφή, µε κοινό συντελεστή αναλογίας k για όλες τις κορυφές. Εκτρέπουµε το σωµατίδιο κατά µια ορισµενη διεύθυνση (ε) επί του επιπέδου του εξαγώνου και το αφήνουµε ελευθερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σωµατιδίου αγνοώντας το βαρυτικό πεδιο της Γης. ΛΥΣΗ: Όταν το σφαιρίδιο βρίσκεται στο κέντρο Ο του κανονικού εξαγώνου δέχεται τις δυνάµεις

�

! F

1,

�

! F

2,

�

! F

3,

�

! F

4,

�

! F

5,

�

! F

6 που ανά δύο είναι αντίθετες (σχ. 6)

και στο σύνολό τους αλληλοαναιρούνται, δηλαδή η θέση Ο του σωµατιδίου είναι θέση ισορροπίας του. Όταν το σωµατίδιο εκτραπεί από την θέση Ο κατά την ορισµένη διεύθυνση (ε) παραµένοντας στο επίπεδο του εξαγώνου, τότε ευρισκόµενο στην θέση Μ δέχεται από τις κορυφές του τις δυνάµεις

�

! ! F 1,

�

! ! F 2,

�

! ! F 3,

�

! ! F 4,

�

! ! F 5,

�

! ! F 6, οι οποίες υπολογίζονται από τις σχέσεις:

Σχήµα 6

�

! ! F 1

= k"MA1 = k OA1 - OM( ) = k OA1 -! r ( )

�

! ! F 2

= k"MA2 = k OA2 - OM( ) = k OA2 -! r ( )

……………………………………………………

�

! ! F 6

= k"MA6 = k OA6 - OM( ) = k OA6 -! r ( )

όπου

�

! r το διάνυσµα θέσεως του Μ ως προς το Ο. Προσθέτοντας κατά µέλη τις

πιο πάνω σχέσεις παίρνουµε:

Σχήµα 7

�

! ! F 1+! ! F 2+ ... +

! ! F 6

= k OA1 + OA2 + ... + OA6( ) - 6k! r

�

!

�

! F !"

= k#! 0 - 6k

! r = -6k

! r (1)

όπου

�

! F !"

η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το σωµατίδιο στην θέση Μ. Η σχέ ση (1) εγγυάται ότι το σωµατίδιο εκτελεί πάνω στην διεύθυνση (ε) αρµονική τα λάντωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο και γωνιακή συχνότητα ω, για την οποία ισχύει ω2=6k/m. Η περίοδος Τ της ταλάντωσης αυτής είναι:

�

T =2!

"= 2!

m

6k

P.M. fysikos

Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο B είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, αφήνεται σε ύψος h=3mg/2k από το άκρο B και όταν έλθει σε επαφή µε αυτό αρχίζει να συµπιέζει το ελατήριο. i) Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το σφαιρίδιο έρχεται σε επαφή µε το ελατήριο να µελετήσετε την κίνη ση του σφαιριδίου επί όσο χρόνο διατηρείται η επαφή αυτή. ii) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της δύναµης που δέχεται το σφαιρίδιο από το ελατήριο σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Να δεχθείτε ότι η κρούση του σφαιριδίου µε το ελατήριο είναι τε λείως ελαστική και να θεωρήσετε ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Tο σφαιρίδιο από την θέση Α όπου αφήνεται ελεύθερο, µέχρι την θέση B όπου έρχεται σ’ επαφή µε το κατακόρυφο ελατήριο, εκτελεί ελεύθερη πτώση, δηλαδή οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα µε επιτάχυνση

�

! g . Στην συνέχεια αποκτά επαφή µε το ελατήριο και εκτελεί κατα

κόρυφη αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την θέση O, στην οποία όταν αφεθεί το σφαιρίδιο ισορροπεί και µε σταθερά ταλάντωσης ίση µε την στα θερά k του ελατηρίου (σχ. 8). H ταλάντωση αυτή έχει νόηµα, όσο χρόνο το σφαι ρίδιο διατηρεί την επαφή του µε το ελατήριο, δηλαδή όταν αυτό κινείται από την θέση B στην κατώτατη θέση του Γ και από την Γ πάλι στην B. Κατά την έναρξη ταλάντωσης του σφαιριδίου αυτό έχει αποµάκρυνση xΒ και ταχύτητα

�

! v !

για τις οποίες ισχύει η σχέση:

�

v!

2= "

2x

0

2- x

B

2( )

�

!

�

x0

2= x

B

2+

v!

2

"2

= xB

2+

mv!

2

k (1)

όπου x0 είναι το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή της συχνότητα, ίση

µε

�

k/m . Όµως έχουµε ακόµη τις σχέσεις:

�

v!

2 = 2gh =6gmg

2k=

3mg2

k

και

�

kxB = mg

�

!

�

xB = mg/k (2)

Σχήµα 8 οπότε η (1) παίρνει την µορφή:

�

x0

2 =m2g2

k2+

m

k

3mg2

k=

4m2g2

k2

�

!

�

x0 =2mg

k (3)

Eπειδή την στιγµή που αρχίζει η ταλάντωση του σφαιρίδιου, αυτό έχει απο µάκρυνση xΒ και ταχύτητα -vB, η ταλάντωση παρουσιάζει αρχική φάση φ, οπότε η εξίσωση της αποµάκρυνσής του x και της ταχύτητάς του v είναι της µορφής:

�

x = x0!µ("t +#)

v = x0"$%&("t +#)

' ( )

�

!

t=0

�

xB= x

0!µ"

-v# = x0$%&'"

( ) *

�

!

(2),(3)

�

mg /k = 2mg!µ" /k

#$%" = -v& /x0'

( ) *

�

!

�

!µ" = 1/2

#$%" < 0

& ' (

! φ=5π/6

Tην στιγµή που το σφαιρίδιο βρίσκεται στην κατώτατη θέση Γ για πρώτη φορά από την έναρξη της ταλαντώσεώς του η αποµάκρυνσή του θα είναι –x0 και θα έχουµε: -x0 = x0ηµ(ωtBΓ + 5π/6)

�

! ηµ(ωtBΓ + 5π/6)= -1

�

! ωtBΓ + 5π/6 = 3π/2

�

! ωtBΓ = 4π/6

�

!

tBΓ = 2π/3ω

�

!

�

t!"

=2#

3

m

k (4)

Έτσι, η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου όσο χρόνο έχει επαφή µε το ελατήριο έχει την µορφή:

�

x =2mg

k!µ "t +

5#6

$

% &

'

( ) (5)

µε

�

0 ! t ! 2tB"

�

!

(4)

�

0 ! t !4"

3

m

k (6)

ii) Εάν

�

! F !"

είναι η δύναµη που δέχεται το σφαιρίδιο σε τυχαία θέση Μ, στην οποία η αποµάκρυνσή του είναι x, τότε η αλγεβρική τιµή της δύναµης αυτής θα είναι:

Σχήµα 9

�

F!"

= k xB

- x( )

�

!

(2),(5)

�

F!" = kmg

k-2mg

k#µ $t +

5%6

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1

�

!

�

F!" = mg 1- 2#µ $t +5%6

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1 µε

�

0 ! t !4"

3

m

k (7)

Για t=0 η (7) δίνει:

�

F!" = mg 1- 2#µ5$6

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0 = 0

Για t=2π/3ω η (7) δίνει:

�

F!" = mg 1- 2#µ $2%3$

+5%6

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1 = 3mg

Για t=4π/3ω η (7) δίνει:

�

F!" = mg 1- 2#µ $4%3$

+5%6

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1 = 0

Με βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της συνάρτησης (7) έχει την µορ φή που φαίνεται στο σχήµα (9).

P.M. fysikos

Σφαιρίδιο µάζας m είναι στερεωµένο στο ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακ λόνητο. (σχ. 10). Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο κατακόρυφα προς τα πάνω µέχρις ότου το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του µήκος και το αφή νουµε ελεύθερο. Tο σφαιρίδιο στην διάρκεια της κίνησής του εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση µε σταθερά απόσβεσης b και περίοδο Τ. i) Nα δείξετε ότι η µηχανική ενέργεια En του ταλαντωτή σφαιρίδιο-ελατήριο την χρονική στιγµή nΤ (n θετικός ακέραιος), ικανοποιεί την σχέση:

�

En

=E

0

21+ e

-2n!T( ) όπου Ε0 η µηχανική του ενέργεια την χρονική στιγµή t=0 έναρξης της ταλάντωσης και λ η σταθερά b/2m. ii) Να δείξετε ότι η επιτάχυνση an (αλγεβρική τιµή) του σφαιριδίου την στιγµή nT ικανοποιεί την σχέση:

�

an = -ge-n!T

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή t=0 που το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο η µηχανική ενέργεια Ε0 του ταλαντωτή είναι ίση µε την βαρυτική δυναµική ενέργεια του σφαιριδίου, διότι το σφαιρίδιο έχει µηδενική ταχύτητα και το ελατήριο βρίσκε ται στην φυσική του κατάσταση. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

�

E0 = mgx0 = kx0

2 (1) όπου x0 η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση, όταν το σφαιρίδιο βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του Ο όπου ισχύει mg=kx0. Την χρο νική στιγµή t=nT η αποµάκρύνση του σφαιριδίου παρουσιάζει τοπικό µέγιστο xn και µηδενική ταχύτητα, το δε ελατήριο είναι επιµηκυµένο κατά x0-xn από την φυσική του κατάσταση, οπότε η µηχανική ενέργεια Εn του ταλαντωτή την στιγµή αυτή θα είναι:

�

En = mgxn +k

2x0 - xn( )

2

= mgxn +kx0

2

2+

kxn

2

2- kx0xn

�

!

�

En = xn mg - kx0( ) +kx0

2

2+

kxn

2

2=

kx0

2

2+

kxn

2

2 (2)

Όµως ισχύει και η σχέση:

�

xn

= x0e

-n!T (3) οπότε η (2) γράφεται:

�

En

=kx

0

2

2+

kx0

2

2e

-2n!T=

kx0

2

21+ e

-2n!T( )

�

!

(1)

�

En

=E

0

21+ e

-2n!T( ) (4)

ii) Eξετάζοντας το σφαιρίδιο κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνσή του από το Ο είναι

�

! x , παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος του

�

m! g , την δύναµη

�

! F !"

από το παραµορφωµένο ελατήριο και την δύναµη απόσβεσης

�

-b! v . Σύµφωνα µε

τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:

Σχήµα 10

�

ma = -mg + k x0 - x( ) - bv

�

!

�

ma = -mg + kx0 - kx - bv

�

!

�

a = -k

mx -

b

mv = -

k

mx - 2!v (5)

όπου v, a οι αλγεβρικές τιµές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης αντιστοίχως του σφαιριδίου την στιγµή t. H (5) εφαρµοζόµενη την στιγµή t=nT δίνει:

�

an

= -k

mx

n-

b

m0 = -

k

mx

0e

-n!T

�

!

�

an = -k

m

mg

ke-n!T = -ge-n!T

P.M. fysikos

Το σώµα (Σ) του σχήµατος (11) έχει µάζα M και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαι ρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµα τος µε ταχύτητα

�

! v

0 και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται

στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της

�

! v

0, ώστε το σφαιρίδιο να φθάσει

σε ύψος h=3R/2 υπεράνω του οριζόντιου τµήµατος, έχοντας προφα νώς εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο. ii) Να δείξετε ότι την στιγµή που το σφαιρίδιο εγκαταλείπει το τεταρ τοκύκλιο η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του είναι ίση µε την ταχύτητα του τεταρτοκυκλίου. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτη

τας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε την περίπτωση που το σφαιρίδιο εγκαταλείπει το τεταρ τοκύκλιο στην θέση Α φθάνοντας στιγµιαία σε ύψος h>R υπεράνω του οριζον τίου τµήµατος του σώµατος. Τότε στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους το σφαι ρίδιο στην θέση Α θα έχει οριζόντια ταχύτητα

�

! v

x και κατακόρυφη ταχύτητα

�

! v

y, οπότε στην συνέχεια θα εκτελεί πλάγια βολή διαγράφοντας παραβολική

τροχιά όπως φαίνεται στο σχήµα (11), ενώ το σώµα θα κινείται οριζόντια µε στα θερή ταχύτητα

�

! V . Εφαρµόζοντας για το σύστηµα σώµα–σφαιρίδιο την αρχή

διατήρησης της ορµής κατά τον χρόνο κίνησης του σφαιριδίου από Γ σε Α και κατά την οριζόντια διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 11

�

mv0

= mvx+ MV

�

!

�

vx= v

0- MV/m (1)

Eξάλλου στο ίδιο χρονικό διάστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας δίνει την σχέση:

�

mv0

2

2=

mvx

2

2+

mvy

2

2+

MV2

2+ mgR (2)

Εφαρµόζοντας το ίδιο θεώρηµα για την κίνηση του σφαιριδίου από την θέση Α στην ανώτατη θέση Δ της παραβολικής του τροχιάς έχουµε:

�

vy

2 = 2g(h - R) οπότε η (2) γράφεται:

�

mv0

2 = mvx

2 + 2gm(h - R) + MV2 + 2mgR

�

!

�

mv0

2 =mvx

2 + 2gmh + MV2

�

!

(2)

�

mv0

2 =m(v0 - MV/m)2+2gmh+MV2

�

!

�

mv0

2 = mv0

2 + M2V2/m - 2mMv0V + 2gmh + MV2

�

!

�

M(M/m +1)V2 - 2Mv0V + 2gmh = 0

�

!

�

M(M + m)V2 - 2Mmv0V + 2ghm2 = 0 (3) Η (3) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως πρός V και πρέπει να έχει ρίζες πραγ µατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα της να είναι µη αρνητική, που σηµαίνει ότι:

�

4M2m2v0

2 - 8ghm2M(M + m) ! 0

�

!

�

Mv0

2! 2gh(M + m)

�

!

�

v0

2!

2gh(M + m)

M

�

!

�

v0 !2gh(M + m)

M

�

!

�

vmin =2gh(m + M)

M

�

!

�

vmin =3gR(m + M)

M (4)

ii) Όταν

�

! v

0=! v

min η εξίσωση (3) θα έχει µια διπλή ρίζα, που δίνεται από την σχέ

ση:

�

V =2mMv0

2M(M + m)=

mv0

M + m (5)

Συνδυάζοντας τις (1) και (5) παίρνουµε:

�

vx = v0 -M

m!

mv0

(M + m)= v0 -

Mv0

M + m

�

!

�

vx=

mv0

M + m= V

Παρατηρούµε ότι, αν η ταχύτητα

�

! v

0 του σφαιριδίου έχει µέτρο που ικανοποιεί

την (4) το σφαιρίδιο θα εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο στο σηµείο Α φθάνον τας σε ύψος h=3R/2 και την στιγµή αυτή η οριζόντια συνιστώσα

�

! v

x της ταχύ

τητάς του θα είναι ίση µε την ταχύτητα

�

! V του τεταρτοκυκλίου. Αυτό σηµαίνει

ότι το σφαιρίδιο στην περίπτωση αυτή θα βρίσκεται συνεχώς στην ίδια κατα κόρυφη µε το σηµείο Α του τεταρτοκυκλίου. Παρατήρηση: Μπορούµε γρηγορότερα να φθάσουµε στην σχέση

�

! v

x=! V χρησιµοποιώντας την

έννοια της σχετικής ταχύτητας. Πράγµατι, την στιγµή που το σφαιρίδιο εγκατα λείπει το τεταρτοκύκλιο η σχετική του ταχύτητά του ως προς αυτό είναι κατακόρυφη, δηλαδή η οριζόντια συνιστώσα της σχετικής του ταχύτητας ως προς το τεταρτοκύκλιο είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα

�

! V είναι

ίση µε την

�

! v

x.

P.M. fysikos

Το σώµα Σ του σχήµατος (12) έχει µάζα 2m και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι, µε το οποίο παρουσιάζει συντε λεστή οριακής τριβής n. Το σφαιρίδιο έχει µάζα m το δε νήµα που το συνδέει µε το σώµα είναι αβαρές και µη εκτατό, µπορεί δε να ολισ θαίνει χωρίς τριβή στο αυλάκι της µικρής τροχαλίας. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο, ώστε το νήµα να σχηµατίσει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ0 και το αφήνουµε ελεύθερο. i) Να βρεθεί η τάση του νήµατος σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση, όταν το σώµα Σ ηρεµεί. ii) Nα βρεθεί η µέγιστη τιµή της φ0, ώστε το σώµα να µη ολισθαίνει πάνω στο τραπέζι. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η από

σταση L της τροχαλίας από το σφαιρίδιο. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η αρχική γωνιακή εκτροπή φ0 του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση έχει τιµή, για την οποία το σώµα δεν ολισθαίνει πάνω στο τραπέζι, όταν το σφαιρίδιο κινείται. Στην περίπτωση αυτή το σώµα θα ισορ ροπεί υπό την επίδραση του βάρους του

�

2! w , της τάσεως

�

! ! F του οριζόντιου

νήµατος και της δύναµης

�

! A από το τραπέζι, η οποία αναλύεται στην τριβή

�

! T

Σχήµα 12

και στην κάθετη αντίδραση

�

! N . Λόγω της ισορροπίας του σώµατος ισχύει:

T = F’ (1) Επειδή η τριβή

�

! T είναι στατική θα έχουµε:

T ≤ nN

�

!

(1)

�

! F " 2nw

�

!

�

! F " 2nmg (2) Εξάλλου το σφαιρίδιο κινείται πάνω σε κυκλικό τόξο που έχει κέντρο την µικρή τροχαλία και ακτίνα L, υπό την επίδραση του βάρους του

�

! w και της

τάσεως

�

! F του νήµατος, η δε συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων

�

! F και

�

! w

1

(όπου

�

! w

1 η συνιστώσα του βάρους κατά την διεύθυνση του νήµατος) αποτελεί

για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση:

F – w1 = mv2/L

�

! F – wσυνφ = mv2/L

�

! F = mv2/L + mgσυνφ (3) όπου

�

! v η ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή που το εξετάζουµε και φ η αντί

στοιχη γωνία του νήµατος µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Όµως το νήµα είναι αβαρές και η τροχαλία χωρίς τριβή, οπότε ισχύει F=F’ µε αποτέλεσµα η σχέση (3) να γράφεται:

�

! F = mv2/L + mgσυνφ (4) Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έρ γου κατά την κίνησή του από την θέση Α0 στην θέση Α, παίρνουµε:

�

KA

- KA0

= W! w

+ W!

F

�

!

�

mv2/2 - 0 = mgx

�

!

�

mv2/2 - 0 = mg(L!"#$ - L!"#$0)

�

!

�

v2 = 2gL(!"#$ - !"#$0) (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε:

�

! F = 2mg(συνφ – συνφ0) + mgσυνφ

�

!

�

! F = mg(3συνφ – 2συνφ0) (6) ii) H σχέση (6) µε βάση την (2) γράφεται: mg(3συνφ – 2συνφ0) ≤ 2nmg

�

! 2συνφ0 ≥ 3συνφ - 2n

�

! συνφ0 ≥ 3συνφ/2 – n (7) Η (7) πρέπει να ισχύει και όταν φ=0, οπότε: συνφ0 ≥ 3/2 – n

�

! (συνφ0)min = 3/2 – n (8) Προφανώς πρέπει:

(συνφ0)min < 1

�

!

(8)

3/2 - n <1 δηλαδή πρέπει n >1/2.

P.M. fysikos