Örnekleme Dağılımları

1 – Ortalamaların örnekleme dağılımı

2 – Oranların örnekleme dağılımı

3 – Ortalamaların farkının örnekleme dağılımı

4 – Oranların farkının örnekleme dağılımı

5 – Varyansların örnekleme dağılımı

6 – Varyans oranlarının örnekleme dağılımları

Örnekleme Teorisi• Tanımlar • Kütle: Bir olayın mantıken mümkün bütün birimlerinin

oluşturduğu kümedir. Örnek ise bu kütlenin bir kısım birimlerinden meydana gelen bir alt kümedir. Kütledeki birimlerin çekilişi işlemine ise örnekleme adı verilir. İstatistik analizin temel amacı örneğe dayanarak kütle hakkında tahminde bulunmak, genelleme yapmak ve karar vermek olup, bu amacı gerçekleştirebilmek için örneğin ait olduğu kütleyi iyi bir şekilde temsil etmesi gerekir.

• Bir okulda başarı durumunu ölçmek için yapılan araştırmada örneği sadece belli bir sınıftan seçmek veya sadece erkek öğrencilerden seçmek ya da çift numaralı öğrencilerden seçmek sistematik bir örnekleme hatasına sebep olur. Bu araştırma sonucunda elde edilen değerler kütlenin gerçek durumunu yansıtmayacaktır. Bu sebeple kütledeki birimlerin örneğe girme şansının eşit olmasına, örnek seçiminin rastsal olmasına ve örnek büyüklüğünün yeterli olmasına dikkat edilmesi gereklidir.

Örneklemeyi gerektiren sebepleri

Örnekleme yapmayı gerekli kılan sebepler kısaca şöyle sıralanabilir:

• Maliyetlerden (test, muayene vs.) tasarruf sağlanması,

• Zaman tasarrufu sağlanması,

• Doğru bilgi sağlanması,

• Anakütlenin tam sayımının pratik olarak imkansız olması,

• Tahribatlı muayene işlemlerinde bir zorunluluk olması

Örnek Seçiminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

• 1. Anakütlenin tanımı: Örnek alınacak kütleye ait birimler açık bir şekilde tanımlanarak kütlenin çerçevesi çizilmelidir.

• 2. Örneğin temsilcilik niteliği: Örnek, üzerinde durulan özellik bakımından kütleye benzer durumda bulunmalı, onu temsil etmelidir.

• 3. Birimlerin eşit şansla seçimi: Kütle içinde yer alan tüm birimlerin örneğe seçilme şansları eşit kılınmalıdır. Her birim eşit şansla seçime katılmalıdır.

• 4. Tarafsızlık: Kütleden örnek birimlerinin seçimi sırasında, bu işi yapan kişinin tamamen tarafsız davranması gerekir.

• 5. Örnek hacmi: Örnek hacmi arttıkça örnek istatistiği kütle parametresine yaklaşır. Bunun için yeterli büyüklükte örnek seçilmelidir.

Anakütleden Örnek Seçme Yöntemleri

• Kütleden örneklerin seçilmesi işi olasılıklı ve olasılıksız olmak üzere iki şekilde yapılır.

Olasılıklı örneklemede, kütledeki tüm birimlerin örneğe girme şansları eşit kılınır. N tane birimden oluşan bir kütleden n birimden oluşan bir örnek seçilecekse, her bir birimin örneğe girme şansı eşit yani n/N olur. Olasılıklı seçimden dolayı örnek, kütleyi daha iyi yansıtır.

Olasılıksız örneklemede, birimlerin seçimi için bir kural yoktur. Bundan dolayı da her birimin seçilme şansı farklı farklıdır. Seçim tamamen keyfi yapılmakta ya da yalnız gönüllü olanlar örneğe dahil edilmektedirler. Birimlerin rastgele yöntemle seçilmemelerinden dolayı örneğin kütleyi temsil yeteneği azdır

Olasılıklı Örnekleme1- Basit Rastgele Örnekleme• Üzerinde durulan özellik bakımından kütledeki birimler

homojen bir şekilde dağılmışlarsa, örnek basit rassal yöntemle seçilir. Bu yöntemde birimlerin örneğe girme şansları eşit olup, örnek kütleden rassal olarak bir defada seçilir.

2- Sistematik Örnekleme• Örnek seçim işlemlerinin kolay olması sebebiyle özellikle ana

kütlenin büyük olduğu durumlarda kullanılan bir örnekleme yöntemidir. Kütle yapı itibarıyla basit rastgele örneklemede olduğu gibi aranan özellik açısından homojen bir yapıya sahipse sistematik örnekleme kullanılabilir. Basit rastgele örneklemeden farkı, birimlerin seçiminin tamamen rassal değil de sistematik bir şekilde yapılmasıdır.

3- Tabakalı Örnekleme  • Üzerinde durulan özelliğin değerleri bakımından birimlerin

homojen dağılmadığı, buna karşılık birbirlerine yakın değerlerin bir araya gelerek tabakalar oluşturduğu kütlelerde tabakalı örnekleme yöntemi uygulanabilir.

4- Kademeli Örnekleme • Kütlenin doğal olarak kademeli bir şekilde alt gruplara

ayrılabildiği ve ilgilenilen özellik yönünden birimlerin homojen dağıldığı durumlarda tercih edilen bir yöntemdir.

Olasılıklı Örnekleme

Olasılıklı Olmayan Örnekleme• Olasılıklı olmayan örnekleme, birimlerin seçiminde keyfi

seçim yönteminin uygulandığı örnekleme yöntemleridir.1- Kolayda Örnekleme: Bu örnekleme yönteminde kolayca

ulaşılabilir birimleri seçmek suretiyle bir örnek oluşturulmaya çalışılır. Örneklemede birimlerinin seçimi görüşmeci tarafından doğru zamanda doğru yerde bulunan birimler, gönüllü katılımcılar arasından yapılır.

2- Yargısal Örnekleme: Örneği oluşturacak birimlerin seçimlerinin seçimi yapan kişilerin arzu, düşünce ve deneyimlerine dayanarak yapılmasına yargısal örnekleme denir.

3- Kota Örneklemesi: Bu yöntemde tabakalı örnekleme yönteminde olduğu gibi anakütle alt kütlelere ayrılır. Araştırmacı her alt kütlenin temsili için kota koyar. Bu kota belirlenen tabakanın anakütleye oranına göre belirlenir. Kota örneklemede örneğe girecek elemanlar tesadüfen değil araştırmacını kendi isteğine göre belirlenir.

Olasılıklı olmayan örnekleme5- Dilim Örneklemesi: Tanımlanan anakütlenin birimleri

geniş bir coğrafi alana dağılmışsa, birimlere ulaşmak hem masraflı hem de çok zaman alıcı olur. Bu teknikte çerçeveye gerek yoktur.

6- Kartopu Örneklemesi: anakütlenin elemanları tam olarak belirlenmezse ya da anakütle sınırını belirlemek mümkün değilse anakütleyi belirleyecek örneği oluşturmak zordur. Araştırmacı bu durumda örneği adım adım oluşturur. Kartopu olarak bilinen bu yöntemde araştırmacı ulaşabileceği ilk elemanı belirler. Bu elemandan elde ettiği bilgilerle diğer elemanlara ve bu şekilde zincirleme olarak anakütleyi temsil eden örneğe ulaşmaya çalışır.

• Genellikle N harfi ile gösterilen kütle hacmi sınırlı veya sınırsız olabilir, ancak n harfi ile gösterilen örnek hacmi sınırlıdır. N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı sınırlı sayıda olmakla birlikte, sınırsız sayıda eleman içeren bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı da sınırsız olur.

• N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilen bir örnekte kütledeki birimlerin örneğe girme şansları eşit ise bu tür örneklemeye “Basit Rassal Örnekleme” adı verilir. Basit rassal örneklemede kütledeki birimler iadeli ya da iadesiz şekilde çekilebilirler.

• Kütleyi betimleyen ortalama, varyans gibi ölçülere kütle parametreleri adı verilir. Eğer bu ölçüler örnekten elde ediliyorsa buna da örnek istatistiği adı verilir. Örnek istatistikleri kütle parametrelerinin bir tahminidir.

Basit rasal örnekleme

Örnekleme dağılımları• x1,x2,x3,.....,xn rassal değişkenlerinden elde edilen her hangi bir

örnek istatistiği (x, s vs) bu değişkenlerin bir fonksiyonu olduğundan kendisi de bir rassal değişkendir. Her hangi bir örnek istatistiğinin olasılık dağılımına o istatistiğin örnekleme dağılımı adı verilir. N büyüklüğünde bir kütleden n büyüklüğünde çekilmesi mümkün bütün örnekler çekilerek herhangi bir istatistik hesaplanır ve bu değerler bir dağılım şeklinde ifade edilirse bu dağılıma o istatistiğin örnekleme dağılımı adı verilir.

• Sınırlı bir kütleden deneysel olarak örnekleme dağılımı teşkil edilebilir. Bunun için şöyle bir yol takip edilir.

1) Önce N büyüklüğündeki kütleden n büyüklüğünde çekilmesi mümkün bütün örnekler tesadüf, olarak çekilir.

2) Hangi örnek istatistiğinin dağılımı belirlenecekse, her örnek için o istatistiğin değerleri hesaplanır.

3) Bir sütuna hesaplanan değerler, diğer sütuna ise bu değerlerin tekrar sayıları yazılarak deneysel olarak örnekleme dağılımı elde edilir.

• Ancak kütle sınırsız olduğunda böyle bir yol takip edilemez. Çünkü böyle kütlelerden sonsuz sayıda örnek çekmek mümkündür. Böyle durumlarda yeterli sayıda örnek çekilerek gerçeğe yakın bir örnekleme dağılımı elde edilebilir.

Ortalamaların Örnekleme Dağılımı

• Kütlenin sınırlı ya da sınırsız olmasına göre ortalamaların örnekleme dağılımı farklılık gösterir. İadeli seçim durumunda kütle sınırlı bile olsa sınırsız hale gelmiş olur. Çünkü seçilen örnek hacmi istenildiği kadar büyük tutulabilir (kütle hacminden bile büyük olabilir). Eğer kütle sınırlı ve iadesiz seçim yapılıyorsa örnek hacmi kütle hacminden daha büyük olamaz.

Burada önce kütlenin sınırlı olduğu, iadeli seçimin yapıldığı ve örnek hacminin (n) kütle hacminden (N) küçük olduğu durumlarda ortalamaların örnekleme dağılımı incelenecektir.

• Aşağıda küçük bir kütleden çekilen iadeli örnekler için ortalamaların örnekleme dağılımının nasıl oluştuğu deneysel olarak gösterilmiştir.

• Elemanları { 1,2,3,4,5 } rakamlarından oluşan bir kütle örnek olarak ele alındığında parametreleri;

• Bu kütleden 2 birim içeren örnekler iadeli olarak seçilirse toplam Nn = 52 = 25 örnek seçilebilir. Bu 25 örneğin dağılımına ilişkin tablo aşağıda verilmiştir. Tabloda parantez içindeki değerler örnek ortalamalarıdır. Bu ortalama değerler kullanılarak ortalamalar için frekans dağılımı elde edilmiştir. Buna ortalamaların örnekleme dağılımı adı verilmektedir.

35

15

NiX

225

102)(2

NiX

Ortalamaların örnekleme dağılımı

• Tablo: N=5 büyüklüğündeki kütleden n=2 büyüklüğünde çekilebilecek mümkün örnekler

Birinci

Seçim

İkinci Seçim

1 2 3 4 5

11;1

(1)

1;2

(1,5)

1;3

(2)

1;4

(2,5)

1;5

(3)

22;1

(1,5)

2;2

(2)

2;3

(2,5)

2;4

(3)

2;5

(3,5)

33;1

(2)

3;2

(2,5)

3;3

(3)

3;4

(3,5)

3;5

(4)

44;1

(2,5)

4;2

(3)

4;3

(3,5)

4;4

(4)

4;5

(4,5)

55;1

(3)

5;2

(3,5)

5;3

(4)

5;4

(4,5)

5;5

(5)

Ortalamaların örnekleme dağılımı

• Yukarıdaki grafiklerde kütle verilerinin düzgün dağılım göstermelerine karşılık örnek ortalamalarını dağılımının simetrik dağıldığı görülmektedir. Bu durum örnek sayısının artmasına bağlı olarak dağılımın normale yaklaşacağının bir işaretidir.

Ortalamaların örnekleme dağılımı

fi

Nispi frekans fi/fi

1 1 0,04 1 -2 4

1,5 2 0,08 3 -1,5 4,5

2 3 0,12 6 -1 3

2,5 4 0,16 10 -0,5 1

3 5 0,2 15 0 0

3,5 4 0,16 14 0,5 1

4 3 0,12 12 1 3

4,5 2 0,08 9 1,5 4,5

5 1 0,04 5 2 4

Toplam 25 1 75 25

• Yukarıdaki tablodaki ortalamalar için aşağıdaki dağılım elde edilir.

iX ii Xf XX i 2)( XXf ii

• Yukarıdaki örnekte ortalamaların örnekleme dağılımının ortalaması;

• olup kütle ortalamasına (µ) eşittir.

• Ortalamaların örnekleme dağılımının varyansı ise

• olarak bulunur. Kütle varyansı ile

örnek ortalamalarının varyansı aynı sonucu vermemiştir. Kütle varyansından hareketle örnek ortalamalarının varyansını elde edebilmek için;

• • işlemi yapılır. Örnekleme dağılımının

varyansının karekökü, yani örnekleme dağılımının standart sapmasına ortalamanın standart sapması ya da kısaca standart hata adı verilir ve şöyle yazılır.

325

75

i

ii

f

XfX

)( 2x

125

25)( 22

i

iix f

XXf

12

222

nx

nx

12

2 x

• Yukarıdaki standart hata formülüne dikkat edilirse örnek hacmi (n) büyüdükçe standart hata küçülmektedir. Şu halde örnek hacminin artması kütle ile ilgili bilginin artmasına, dolayısıyla örnek ortalamasının giderek kütle ortalamasına yaklaşmasına sebep olmakta ve örnekleme hatasının azalmasına sebep olmaktadır.

• Sonuç: Yukarıdaki örnekte elde edilen:

XXE )(

nnXE xx

;])[(2

22

Ortalamaların örnekleme dağılımı

Kütle hacmi N sınırlı iken örnek seçimi iadesiz olarak yapılıyorsa

ve örnek oranı oluyorsa ortalamaların örnekleme

dağılımının ortalaması (beklenen değeri) ve varyansı;

• Yukarıdaki standart hata formülündeki ifadesi sınırlı kütle

düzeltme faktörü olarak adlandırılır. Bu ifade kütlenin sınırlı

olduğu, örnek seçiminin iadesiz yapıldığı ve örnekleme oranının

olduğu durumlarda kullanılır. Diğer durumlarda

kullanılmaz.

05,0N

n

XXE )(

olur1

;1

])[(2

22

N

nN

nN

nN

nXE xx

1

N

nN

05,0N

n

Seçimin iadesiz yapıldığı durumlarda ortalamanın örnekleme dağılımı

• Yukarıdaki örnekte örneklemenin iadesiz olarak yapıldığı kabul edilirse, çekilebilecek örnek sayısı:

• olup, örnekleme dağılımı şöyle

teşkil edilir.

10)!25(!2

!5

)!(!

!

nNn

N

n

N

iX if iiXf XX i 2)( XXf ii

1,5 1 1,5 -1,5 2,25

2,0 1 2,0 -1,0 1,00

2,5 2 5,0 -0,5 0,50

3,0 2 6,0 0,0 0,00

3,5 2 7,0 0,5 0,50

4,0 1 4,0 1,0 1,00

4,5 1 4,5 1,5 2,25

Toplam 10 30 7,50

• Dağılımın ortalaması:

• Dağılımın varyansı:

• Standart hata: şeklinde bulunur.• Bu sonuçlar kütle parametreleri kullanılarak şöyle elde edilir.

• Buradan standart hata olarak yazılır.• Eğer kütle standart sapması bilinmiyorsa, onun yerine

örneğin standart sapmasından hareketle örnekleme dağılımının standart hatasının tahmini değeri; olur.

310

30

i

ii

f

XfX

75,010

5,7)( 22

i

iiix f

XXf

75,010

5,7x

3)( XXE

75,0)15

25(

2

2)

1(])[(

222

N

nN

nXE x

75,0x

1

N

nN

n

sx

Merkezi Limit Teoremi • Örneklerin çekilmiş olduğu kütlenin ortalaması ve varyansı

2 olan bir olasılık dağılımına sahip olsun. Bu kütlenin dağılımı normal dağılmasa bile örnek ortalamalarının dağılımı örnek hacmi büyük olmak kaydıyla (n 30) ortalaması ve varyansı olan normal dağılıma

yaklaşır. Bu dağılım standart normal dağılıma;

formülü ile dönüştürülür.

• Bu formül örneklemenin sınırlı kütleden iadesiz yapılması durumunda aşağıdaki şekilde yazılır.

nx

22

n

XXZ

x

1

NnN

n

XXZ

x

Örnek: Belli bir çaptaki çelik bir halatın kopma kuvvetinin dağılımının ortalaması 25 ton, standart sapması 6 ton olan normal dağılıma uymaktadır.

a) Bu kütleden 80 birimlik bir örnek seçildiğinde kopma kuvveti için ortalamaların örnekleme dağılımını teşkil ediniz.

b) Çekilen örnekte kopma kuvvetinin ortalamasının 25,6 ton ile 26,5 ton arasında olma olasılığını hesaplayınız.

c) En yüksek %8 olasılıkla örneğin ortalama kopma kuvveti en az ne olabilir?

Ortalamaların örnekleme dağılımı – Problem-

Ortalamaların örnekleme dağılımı – Problem-

Çözüm:

a)

b)

c)

27,267,0

255,269,0

67,0

256,25

?)5,266,25(

21

ZZ

XP

27,2

9,0

27,2

0

9,0

0

1725,03159,04884,0)()()()27,29,0( dzzfdzzfdzzfZP

4,142,0)(08,0)(0

Zdzzfdzzfz

z

938,2667,0

254,1

X

XXZ

x

25 olur.67,080

6

nx