7 ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.1. Örnekleme Dağılışları

7.2. Örnek Dağılışı

7.3. Örnekleme Dağılışlarının Özellikleri

7.3.1.Sapmasızlık

7.3.2. Minimum Varyanslılık

7.4. Örnek Oranının Örnekleme Dağılımı

7.5. Örnek Varyansının Örnekleme Dağılımı

7.6. Merkezi Limit Teoremi

7.7. Binom Dağılışına Normal Dağılış Yaklaşımı

7.8. Poisson Dağılımına Normal Dağılış Yaklaşımı

2

7.1. Örnekleme Dağılışları

Önceki bölümlerde bir şans değişkeninin olasılık dağılışının bilindiği varsayımı ile

hesaplamalar yapıldı.

Burada ise şans değişkeninin belli değerlerdeki varsayılan olasılık, ortalaması ve

varyansları ile ilgilenilmektedir. Uygulamaların çoğunda bu bilgilere sahip olunmaz.

PARAMETRE: Bir populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve populasyondaki

gözlemlerden hesaplanır.

ÖRNEK İSTATİSTİĞİ: Bir örneğin sayısal betimsel ölçüsüdür ve örnekteki

gözlemlerden hesaplanır.

Sıkça kullanılan parametre ve örnek istatistikleri

Parametre Örnek istatistiği

Aritmetik ortalama μ Χ

Medyan M m

Varyans 2σ 2s

Standart sapma σ s

Bir populasyon parametresi hakkında en geniş bilgiyi hangi örnek istatistiğinin

içerdiğine nasıl karar verilecek? Burada bu soruya cevap verilecektir.

Bir populasyon parametresi tahminlenmek istenirse; Populasyon ortalaması μ ’nün

tahmini için kullanılabilecek bazı örnek istatistikleri vardır. Bunlardan iki tanesi;

=Χ örnek ortalaması

m =örnek medyanı

Bunlardan hangisi μ için daha iyi bir tahmini verir? Bu sorunun cevabını aramak için

aşağıdaki örnek ele alınacaktır.

3

Örnek: Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. Populasyon parametresi μ için;

beklenen değer

x 1 2 3 4 5 6

P(x) 6

1 61 6

1 61 6

1 61

xP(x) 6

1 62 6

3 64 6

5 66

5,3621

66......

62

61)()(

6

1

==+++== ∑=x

xxPxE

5,3)( == xEμ

Ancak bu μ değerinin bir an için bilinmediğini ve bunu tahmin etmek için

populasyandan 3 örnek alındığını varsayalım.

Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; 2,2,6 elde edilsin.

333,33

103

622==

++=

∑=

nxx ve m=2 hesaplanabilir.

1 2 3 4 5 6

m=2X=3.3

μ =3.5

x , μ ’ye daha yakındır.

Zar 3 kez olduğunda farklı örnek sonuçları elde edilebilir, örneğin: 3,4,6 elde edilsin.

3,43

13==x m=4

4

1 2 3 4 5 6

mx

μ

m , μ ’ye daha yakındır.

Bu örnek sonuçları çok önemli bir noktayı göstermektedir. Ne örnek ortalaması ( x ) ,

ne de örnek medyanı (m) , populasyon ortalamasına daima daha yakındır denilemez.

Bunun için örnek dağılışına gerek duyulmaktadır.

7.2. Örnek Dağılışı

n adet ölçümden oluşan bir örnekten hesaplanan bir örnek istatistiği için örnekleme

dağılışı, bu istatistiğin bir olasılık dağılışıdır.

ÖRNEK : Büyük bir populasyondan alınmış 3 ölçümün (0, 3, 12) olasılık dağılışı

aşağıdaki gibidir.

x 0 3 12

P(x) 3

1 31 3

1

n = 3

a) Örnek ortalaması ( x )’ nın örnekleme dağılışı

b) Örnek medyanı (m)’ nın örnekleme dağılışını bulunuz.

5

Mümkün

Örnekler

x m Olasılık p= x / n (x tek

sayı gelmesi durumu)

0 0 0 0 0 27

1 0/3

0 0 3 1 0 27

1 1/3

0 0 12 4 0 27

1 0/3

0 3 0 1 0 27

1 1/3

0 3 3 2 3 27

1 2/3

0 3 12 5 3 27

1 1/3

0 12 0 4 0 27

1 0/3

0 12 3 5 3 27

1 1/3

0 12 12 8 12 27

1 0/3

3 0 0 1 0 27

1 1/3

3 0 3 2 3 27

1 2/3

3 0 12 5 3 27

1 1/3

3 3 0 2 3 27

1 2/3

3 3 3 3 3 27

1 3/3

3 3 12 6 3 27

1 2/3

3 12 0 5 3 27

1 1/3

3 12 3 6 3 27

1 2/3

3 12 12 9 12 27

1 1/3

12 0 0 4 0 27

1 0/3

12 0 3 5 3 27

1 1/3

6

12 0 12 8 12 27

1 0/3

12 3 0 5 3 27

1 1/3

12 3 3 6 3 27

1 2/3

12 3 12 9 12 27

1 1/3

12 12 0 8 12 27

1 0/3

12 12 3 9 12 27

1 1/3

12 12 12 12 12 27

1 0/3

Aritmetik Ortalama Örnekleme Dağılışı

x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

( )xP 27

1 273 27

3 271

273

276

273

273

273 27

1

Medyan Örnekleme Dağılışı

m 0 3 12

P (m) 27

7 2713 27

7

7.3. Örnekleme Dağılışlarının Özellikleri 1) sapmasızlık

2) minimum varyanslılık

Eğer bir tahminleyici bu iki özelliği de sağlıyor ise buna en iyi tahminleyici denir.

7.3.1.Sapmasızlık

Eğer örnek istatistiğinin örnekleme dağılışının ortalaması populasyon parametresine

eşit ise bu istatistiğe parametrenin sapmasız tahminleyicisi denir.

θ : Parametre

7

A, B : İstatistik

A

f(A)

θ için sapmasız örnek istatistiğiθ

B

f(B)

θ için sapmalı örnek istatistiği

θSapma

A istatistiğinin örnekleme

dağılışı B istatistiğinin

örnekleme dağılışı

x 0 3 12

P(x) 1/3 1/3 1/3

8

a) x , μ nün sapmasız bir tahminimidir?

E(x) = ∑ )(xxP

E(x) = ∑ =31(0)(xxP ) + 3( )

31(12)

31+ =5=μ

x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

( )xP 27

1

27

3

27

3

27

1

27

3

27

6

27

3

27

3

27

3

27

1

E( ∑ =+++== 5)271(12........)

273(1)

271(0)() xpxx

E( μ=)x

Sapma= ( ) 0=− μxE

,x μ ’nin sapmasız bir tahminleyicisidir.

b) m, μ ’nün sapmalı bir tahminimidir?

m 0 3 12

P(m) 277 27

13 277

E(m) =∑ =++= 56,4)277(12)

2713(3)

277(0)(mmP

Sapma= E(m)-μ =4,56-5 = -0,44

m, μ ’nün sapmalı bir tahminleyicisidir.

9

7.3.2. Minimum Varyanslılık

E(x 2 2 153) ( )3

x p x= =∑

Var(x) = ( ) [ ]22 )(xExE −

= 2153 (5) 51 25 263

− = − =

x 0 1 2 3 4 5 6 8 9 12

( )xP 27

1

27

3

27

3

27

1

27

3

27

627

327

327

3 271

2x 0 1 4 9 16 25 36 64 81 144

2x( )xP

0 27

3

27

12

27

9

27

48

27

150

27

108

27

192

27

243

27

144

E( 2x )= ( )27

9092 =∑ xPx

Var( [ ]22 )()() xExEx −= = 2)5(27

909− =8,66

var( )( ) 26 / 3 8.66xvar x

n= = =

x 0 3 12

P(x) 3

1 31

31

x2 0 9 144

x2 P(x) 0 3

93

144

10

E(m 2 )= 66,41)(2 =∑ mPm

( )[ ]22 )()( mEmEmVar −=

=41,66- ( )256,4

=20,86

var( ) 26var( ) 8.66 min.varyanslı x'dır.var( ) 20.86

xxm

== ⇒=

dolayısıyla x, 'nün sapmasız ve min.varyanslı tahminleyicisidir.μ

AÇIKLAMA:

( )

( ) ( ) ( )( )

1 22

1 22

2

1 ....

1 ....

1 ( )( )

n

n

xVar Var x x x

n n

Var x Var x Var xn

Var xnVar xn n

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= =

∑

( ) 66,8333,26)(

≅==n

xVarxVar

SONUÇ: x ’nın örnekleme dağılışının ortalaması ve standart sapması populasyonun

relative frekans dağılımının şekli göze alınmaksızın

1. x ’nın örnekleme dağılışının ortalaması μ ’ya eşittir. Örneklenen

populasyon ortalaması yani xμ =μ dir.

m 0 3 12

P(m) 27

7 2713 27

7

m2 0 9 144

m2 P(m) 0 27

11727

1008

11

2. x ’nın örnekleme dağılışının standart sapması σ ’ya eşittir. Örneklenen

populasyonun standart sapması, örnek büyüklüğünün kare köküne

bölünür.

nxσσ = (ortalamanın standart hatası olarak da anılır.)

NOT: Eğer örnek büyüklüğü n,populasyon hacmi N’ye göre büyük ise (n/N=%5

veya daha fazla ise) xσ sonlu populasyon düzeltme faktörü 1−

−N

nN ile

çarpılmalıdır. Çoğu örnekleme durumlarında bu düzeltme terimi 1’e yakın olduğundan

ihmal edilir.

Örneğin, örneklenen populasyonunun uniform olasılık dağılışına sahip olduğunu

varsayalım.

1 *

x

f(x)

0 1örneklenen populasyonunun

relative frekans dağılışı

μ=0.5 σ=0.29

( ) 1/ 2 0.52

a bE x += = =

Bu populasyonda n=11 adet örnek olduğunu varsayalım.

12

Örnek ortalamasının örnekleme dağılışının aritmetik ortalaması x =0.5 ve standart

sapması 09.01129.0

===nxσσ

μ=0.50.09 0.81μ-2σ μ+2σ

120relativefrekans

0

Üniform dağılışında n=11 ölçünün 1000 örnekteki x için relative frekans histogramı

7.4. Örnek Oranının Örnekleme Dağılımı

Birbirinden bağımsız n adet Bernoulli Deneyinin bir araya gelmesi sonucunda X başarı

sayısının Binom Dağılımı’na uygun olduğu bilinmektedir. Populasyon

( anakütle ) örnek oranının bilinmediği durumlarda olasılık hesaplamaları için

kullanacak dağılışı belirlemek bir problem olarak görünmektedir. Örnek olarak bir yeni

il olan bir ilin A partisi için oy oranının belirlenmesi veya yeni çıkan bir derginin tüm

rakip dergiler dikkate alında satış yüzdesinin belirlenmesi verilebilir. Bu gibi örneklerde

başarı olasılığını “ p” ’yi tahminlemek amacıyla populasyondan alınan örnekten elde

edilen bilgiler doğrultusunda p̂ hesaplanır.

İlgilenilen başarı olasılığının p’nin bilinmediği durumlarda n hacimlik örnek alındığında

X örnekteki başarı sayısı olarak ele alındığında, örnekten elde edilen başarı olasılığı (

örnek oranı );

13

nXp =ˆ

şeklinde hesaplanır. Yukarıdaki ifadede X şans değişkeninin dağılışının Binom Dağılışı

gösterdiği bilindiğine göre dağılışın beklenen değer ve varyansı;

E( X ) = np Var ( X ) = np( 1 - p )

bilgisi kullanılarak örnek oranının beklenen değeri ( ortalaması );

( ) pXEnn

XEpE x ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )(1ˆ

şeklinde elde edilir. Benzer şekilde örnek oranının varyansı;

( )n

pppnpn

XVarnn

XVarpVar x)1()1(1)(1ˆ

22

−=−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

olarak elde edilir. Örnek oranının standart sapması standart hata adını alır.

Yukarıda elde edilen iki sonuç birlikte ele alındığında örnek oranının örnekleme

dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir.

Başarı olasılığı p olan bir populasyondan alınan n hacimlik bir rassal örneğin başarı

oranı p̂ olsun. Bu durumda;

i. xp̂ ’in örnekleme dağılımının ortalaması p ‘dir:

( ) ppE x =ˆ

ii. xp̂ ’in örnekleme dağılımının standart sapması;

npp

p)1(

ˆ−

=σ

olarak bulunur.

14

p̂ ~ N ( p , p ( 1- p ) / n )

Merkezi limit teoreminin bir sonucu olarak Binom Dağılımı’nda başarı sayısı olarak

adlandırılan X’in dağılımının, büyük hacimli örneklerde, yaklaşık olarak Normal

Dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Bu sonuçtan hareketle örnek oranından

ortalamasını çıkartıp sonucu standart hatasına bölersek standart normal dağılıma

uygun olan bir şans değişkeni elde edilir.

p

x ppZ

ˆ

ˆσ−

=

p sabitken örnek hacmi arttığında örnek oranının standart hatası küçülür. Aşağıdaki

şekilde görüldüğü gibi örnek hacmi arttığında xp̂ ’in kendi ortalaması etrafında

yoğunlaştığı görülmektedir.

.72 .88 .92.84.80.76.68

n=400

n=100

Örnek: Büyük bir populasyondan alınan 3 ölçüm ile ilgili bir önceki örneğe dönersek

x tek sayı gelme olayını göstermek üzere örnek oranının beklenen değerini ve

varyansını bularak dağılımını elde ediniz.

p 0/3 1/3 2/3 3/3

p2 0/9 1/9 4/9 9/9

P(p) 8/27 12/27 6/27 1/27

)ˆ( xpf

xp̂

15

2

2 2 2 2

2

8 0 12 1 6 2 1 3ˆ( ) 0.3327 3 27 3 27 3 27 3

8 0 12 1 6 4 1 9ˆ( ) 0.18527 9 27 9 27 9 27 9

ˆ ˆ( ) ( ( )) 0.185 (0.33) 0.074

(1 ) 0.33(1 0.33) 0.0743

x

x

p x x

p

E p

E p

E p E p

p pn

σ

σ

= + + + =

= + + + =

= − = − =

− −= = =

7.5. Örnek Varyansının Örnekleme Dağılımı

Ortalaması xμ ve varyansı 2xσ olan bilinmeyen bir populasyondan X1,X2,……Xn ile

gösterilen n adet rassal bir örnek alındığında populasyon varyansı aşağıdaki gibi bir

beklenen değer ifadesine eşittir.

22 )( xx XE μσ −=

Populasyon ortalaması xμ bilinmediğinde yerine X konularak 2)( XX − örnek

varyansı aşağıdaki gibi tanımlanır.

∑=

−−

=n

iix XX

ns

1

22 )(1

1

Örnek varyansı yukarıdaki gibiğ tanımlandığına göre onun örnekleme dağılımının

ortalaması yani populasyon varyansına eşit olduğu görülmektedir.

22 )( xxsE σ=

16

)1()1(

2

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −n

snE

x

x

σ

Buradan 2xs ‘nin ortalaması daha öncede ifade edildiği gibi;

)1()()1( 22 −=− nsEn

xxσ

22 )( xxsE σ=

olarak elde edilir.

2xs ’nin varyansı ise;

)1(2)1(

2

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −n

snVar

x

x

σ

ifadesinden yola çıkarak;

)1(2)()1( 24

2

−=− nsVarn

xxσ

)1(2

)(4

2

−=

nsVar x

xσ

olarak elde edilir.

Varyansı 2xσ olan bir populasyondan alınan n hacimlik bir örneğin örnek varyansı

2xs olarak ifade edildiğinde;

i. 2xs ’nin örnekleme dağılımının ortalaması 2

xσ ’dir.

22 )( xxsE σ=

ii. 2xs ’nin örnekleme dağılımının varyansı, örnekleme dağılımın Ki- Kare dağılımına

uygun olduğunu sonucundan hareketle ;

17

)1(

2)(

42

−=

nsVar x

xσ

olarak elde edilir.

7.6. Merkezi Limit Teoremi

Günlük yaşantımız içerisindeki uygulamaların çoğunda karşılaşılan şans değişkeni ( x ),

oldukça büyük sayıda bağımsız şans değişkeninin toplamı yada ortalaması ( doğrusal

bir fonksiyonu ) dır.

1 2, ,..., nx x x n tane bağımsız şans değişkeni olsun. Ortalamaları μ varyansı 2σ ise

1 2 ... nx x x x= + + + biçiminde elde edilen yeni değişken için aşağıdakiler

söylenebilir.

( ) ( ) ( ) ( )nxExExExE +++= ...........21

( ) ( ) ( ) ( )nxVarxVarxVarxVar +++= ...........21

( ) μnxE = ( ) 2σnxVar =

( )( ) 2

X E X X n X n X n n nzn n nVar X n

x xn

nn n

μ μ μσ σσ

μ μσ

σ

− − − −= = = =

− −= =

burada xnx= alınmıştır.

( )

2

2

?( , ) isei=1,...,n

lim ,

i

n

x

x z n n

μ σ

μ σ→∞∑

∼

∼

18

Tanım: Merkezi Limit Teoremi

1 2, ,..., nx x x ; ortalaması μ varyansı 2σ olan ve birbirinden farklı dağılımlara uyan n

adet bağımsız şans değişkeni olsun. Bu şans değişkenlerinin toplamını x∑ ,

ortalamasını x ile gösterelim, n büyüdükçe,

2

x n xzn

n

μ μσσ

− −= =∑

olan z değişkeni standart normal dağılışa yaklaşır.

n adet bağımsız tekdüzen x şans değişkeninin ortalamasının olasılık yoğunluk

fonksiyonları

n=1 x

f( x )

x

x

f( x )

f( x )

n=2

n=10

Teorem: Normal dağılışa sahip bir populasyondan çekilen örneklerin ortalamaları,

örnek büyüklüğü dikkate alınmaksızın, normal dağılışa sahiptir.

19

Teorem: Örnek büyüklüğü artışı ile ( n → ∞ ) herhangi bir dağılıştan çekilen

örneklerin ortalamalarının normal dağılışa yaklaşır. Bu teorem merkezi limit

teoremidir.

Not: 22 σσ <x

Teorem: Eğer, ortalaması μ standart sapması σ olan bir dağılıştan n hacimli şans

örnekleri çekilir ise bu örneklerin aritmetik ortalamaları; ortalaması μ ve standart

sapması n

σ olan yaklaşık normal dağılış gösterir. Bu yaklaşım n büyüdükçe daha

doğru olur.

Veya bir başka ifadeyle, Tekrar tekrar örnek alındığında eğer n yeteri kadar büyükse,

gözlemlerin toplamı da yani, ∑ ix , ortalaması n��ve standart sapması σn olan

normal dağılış gösterir.

Bu teorem iki bakımdan önemlidir.

1) Niçin bazı gözlemler yaklaşık normal dağılış gösterir.

2) Tahminleyicilerin normal dağılış gösterdiği varsayım ile populasyon hakkında

karar verilir.

Teoremin sakıncası

“ n yeteri kadar büyük olmalıdır “ cümlesinin anlamı amaca göre değişir. Ancak her

zaman doğru olmamakla beraber bayağı küçük örnekler için de geçerli olabilir.

Merkezi Limit Teoremi uyarınca Xi ~ Herhangi bir dağılım ( 2,μ σ ) , Xi bağımsız şans

değişkeni

nXXXXX .......321 +++=∑

( ) μnxE =∑ ( ) 2σnxVar =∑

20

( )

( ) n

nn

nxxVar

xEx1

1*

2σ

μ−=

− ∑∑∑∑

n

xσ

μ−=

Xi dağılımı ne olursa olsun,

2σ sonlu kalmak koşulu ile

n → ∞ büyüdükçe Z ‘nin dağılımı standart normal dağılıma yaklaşır.

Teorem: Eğer bir normal dağılışta bir populasyondan n adet şans örneği alınırsa,

x ’nın örnekleme dağılışı normal dağılış olacaktır.

Eğer n gözlemlik bir şans örneği herhangi bir populasyondan seçilirse, ve n yeteri

kadar büyük ise, x ’nın örnekleme dağılışı normal dağılış olacaktır. Örnek büyüklüğü n

büyüdükçe, x ’nın örnekleme dağılışına normalite yaklaşımı daha iyi olur.

Farklı örnek büyüklükleri ( n ) ve farklı populasyonlar için x ’nın örnekleme dağılışı

21

n=2 için n=30 içinn=5 için

x

x

x

x

orjinalpopulasyon

22

Örnekleme dağılışı ile örnek büyüklüğü arasındaki ilişki:

n=16

n=4

n=1

μ

f ( x )

Bir istatistiğin örnekleme dağılışının varyansı, örnek büyüklüğü ile ters orantılıdır. ( Bu

tüm istatistikler doğru değildir, ancak çoğu için doğrudur. )

x ’nın standart sapması n

σ ’dır. Burada örnekleme dağılışının standart sapmasının

n1 ile orantılı olduğu söylenebilir.

Bir istatistiğin örnekleme dağılışının standart sapmasının ½ ‘ye indirgemek için,

örneğin 4 katına ihtiyaç vardır.

21

411 ==

n

23

Örnek: Bernoulli

a) x ’nın örnekleme dağılışının ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.

ppqxE =+== )(1)(0)(μ

( ) ( ) pqqppqpqqpppqpxE =+=+=−+−=−= )(10)( 222222 μσ

pxE == μ)(

npq

nx ==σσ

b) p = 0.8 n = 1, 10, 25, 100 n = 1000 örnek ortalamasını formüle ediniz.

8.0== pxμ

nnnpq

x4.0)2.0)(8.0(

===σ

x 0 1

P(x) q p

n xμ xσ

1 0,8 0,4

10 0,8 0,1265

25 0,8 0,08

100 0,8 0,04

24

0,8

0,2

0 1,0

relative fr. relative fr.

0,03

0,24

0,55 1,00

relative fr.

0,03

0,24

relative fr.

0,03

0,24

n=100n=25

n=1 n=10

25

7.7. Binom Dağılışına Normal Dağılış Yaklaşımı

X ~ binom dağılışı ise

( ) np=xE ( ) p)-np(1npqxVar == ‘dir

n → büyük ise Merkezi Limit Teoremine göre,

( )

)1()( pnpnpx

xVarxExz

−−

=−

=

n büyüdükçe bu yaklaşım giderek iyileşir.

Örnek: x ~ binom n=10 , p=0.5 ise

μ = E(x) = np = 10(0.5) = 5

2σ = )(xVar = 58.1)5.0)(5.0(101( ==− pnp

( ) (1 )x n xnP x p p

x−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 4P x≤ ≤ = ( ) ( ) ( )2 3 4P x P x P x= + = + =

( ) ( ) ( ) ( ) +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 7382 5.05.0

310

5.05.0210

( ) ( ) 366.05.05.0410 64 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

26

5 6 7 8 9 1043210x

-2,22 -0,32z

0

f(x)

Normal Dağılış Yaklaşımı ile Çözüm

x ~ N ( μ =5, σ = 1.58) xz μσ−

=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

<−

=<<58.1

55.458.1

55.15.45.1σμxPxP

( )32.022.2 −<<−= zP

( ) ( )032.0022.2 <<−−<<−= zPzP

3613.01255.04868.0 =−=

Soru : ( ) 0.366 0.3613 ( )P Binom P Normal= ≠ = Bu durumu açıklayınız.

7.8. Poisson Dağılımına Normal Dağılış Yaklaşımı

x ~ Poisson dağılışı

E(x)= λ =np

Var(x)= λ

n → büyük ise Merkezi Limit Teoremine göre;

27

( )( ) λ

λ−=

−=

xxVarxExz

olur.

Örnek: Bir polikliniğe günde ortalama 25 başvuru yapılmakta olup başvuruların

poisson dağılışına uygun olduğu bilinmektedir. Belli bir günde 20 ile 30 arası başvuru

yapılması olasılığı nedir?

λ =25

( ) 19.5 25 30.5 2520 3025 25

xP x P μσ

− − −⎛ ⎞≤ ≤ = < <⎜ ⎟⎝ ⎠

( )11. 11.P z= − ≤ ≤

( ) ( )1.1 0 0 1.1 0.3643 0.3643 0.7286P z P z= − < < + < < = + =

Süreklilik düzeltmesi yapılırsa

f(x)

x

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

−<

−=≤≤

25255.30

25255.193020

σμxPxP

( )1.11.1 ≤≤−= zP

( ) ( ) 7286.03643.03643.01.1001.1 =+=<<+<<−= zPzP