Okénková Fourierova transformace

střední široké úzké

t Time rozlišení: separace 2 „špicí“ v časové oblasti

f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních komponent

Obě rozlišení nemohou být libovolně velké!

Intervaly

Heisenbergův princip

t * f > 1/(4) Gaborův princip neurčitosti

Historie Wavelet

1909 Alfred Haar - Haar báze.

1946 Gabor - ne-orthogonální neomezené wavelety

1976 Croisier, Esteban a Galand - filter banks pro dekompozici a rekonstrukci signálu

1982 Jean Morlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

1987-1993 Stephane Mallat a Yves Meyer - multiresolution , Diskrétní Waveletová Transformace

1988 Ingrid Daubechies - ortonormální, kompaktní skupina wavelet

Komprese

Odstraňování šumu a poškození

Detekce struktur

Problematika rozmazáníRegistrace

Fúze dat s různým rozlišením

„Laplacian“ pyramida

- time scale space

O co tady jde ?

Analýza signálu

- time frequency space

O co tady jde ?

Haarova waveleta

•kompaktní•dyadická•ortonormální

g = [ , - ]

h = [ , ]

g* = [ - , ]

h* = [ , ]

• Okno proměnné šířky– analýza vysokých frekvencí úzké okno pro

lepší „time“ rozlišení– analýza nízkých frekvencí širší okno pro lepší

„frequency“ rozlišení

Wavelet transformace

Okénková Fourierova transformace

waveletová transformace

translace, dilatace

a > 0, R R

h a, => a,b

- matečná waveleta (mother wavelet)

- wave... osciluje- ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle

- = 0

- | |2 <

- FT() a,b v 0 - 0, v - 0

- něco jako band-pass filtr ve FT

Waveletová transformace

a,b

x - b

a > 0, Rb R, normalizace přes škály

dC

)(< ∞

2

c - záleží na

Spojitá waveletová transformace

a,b*a, b

a,ba, b

a > 0, Rb R

REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b

WF(a,b) = f (t), a,b

Dyadická waveletová transformace - waveletové řady

- < m, n < m, n Z

Přeurčenost

binární škálování - zmenšování o faktor 2dyadický posun - posun o k/2j

m,n - ortonormální báze L2(R)

m,n ,k,l = m,k n,l

f(x) = c m,n ,m,n

c m,n = f (x), m,n

- -

Diskrétní waveletová transformace - cesta

Kompaktní dyadická waveletová transformace

- f(x), m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval

j

j = 2m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2j - 1

pro libovolné j je m je největší takové, že 2m j, n = j - 2m

Diskretizace f … f (i x) N vzorků … mocnina 2

f(x) = c j ,j

c j = f (x), j

-

spojité

Diskrétní waveletová transformace

Kompaktní dyadická waveleta

j

Diskretizace f …. f (i x) N vzorků … mocnina 2

f(x) = c j ,j

c j = f (x), j = f(x) j

1

N

1

N

diskrétní

Waveletová dekompozice funkce f

základ + detaily různéhoměřítkaVjVj0

WJ-1

Mutliresolution analysis (MRA)

- postup pro konstrukci ortonormálních bází

- L2 prostor

- vnořená sekvence uzavřených

podprostorů Vi

- každé Vi odpovídá

jednomu měřítku

- plně určeno volbou

škálovací funkce

Platí:

nárůst i - jemnější rozlišení

scale invariance

funkce ij (x), kde

tvoří ortonormální bázi Vi … škálovací funkce„father wavelet“

Pi(f) - ortonormální projekce f do Vi , pak

škálovací koeficienty

reprezentace chyby ( detailu ) Vi+1 - Vi

ortonormální doplněk Wi

shift invariance

každý Wi je generován posuny i, j

waveleta

Platí:škálová invariance

translační invariance

ortonormalita Wi a Wk

waveletové koeficienty

Waveletová transformace - dekompozice

Vj0

Vj

Wj0

Wj-1

waveletové koeficienty

… vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový (=1)

- = 0

- a FT() dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech)

- kompaktní , - nulové krom určitého konečného intervalu

škálovací koeficienty

dilatační rovnice

V0 V1

V0 V1

W0 V1

V0 V1W0

Haar waveleta

g = [ , - ]

h = [ , ]