Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

1

2. SPEKTRALNA ANALIZA SIGNALA

Svaku periodičnu funkciju 𝑦(𝑡) može se prikazati s pomoću Fourierova reda kao suma

sinusnih i kosinusnih članova čije su frekvencije cjelobrojni višekratnici osnovne frekvencije:

𝑦(𝑡) = 𝐴(0) +∑[�̂�(𝑛) cos(𝑛𝜔𝑡) + �̂�(𝑛) sin(𝑛𝜔𝑡)]

∞

𝑛=1

Gdje je:

𝑦(𝑡) – trenutna vrijednost funkcije/signala

𝐴(0) - srednja vrijednost funkcije

�̂�(𝑛), �̂�(𝑛) – tjemena vrijednost n-tog kosinusnog/sinusnog člana

𝜔 - osnovna frekvencija

𝐴(0) =1

𝑇∫𝑦(𝑡)𝑑𝑡

𝑇

0

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑦(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑦(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

Bitno je naglasiti kako je moguće Fourierov red zapisati i na druge načine.

𝑦(𝑡) = 𝐴(0) +∑ �̂�(𝑛) sin(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑(𝑛))

∞

𝑛=1

= 𝐴(0) +∑ �̂�(𝑛) cos (𝑛𝜔𝑡 + 𝜑(𝑛) −𝜋

2)

∞

𝑛=1

�̂�(𝑛) = √�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛)

𝜑(𝑛) = 𝑡𝑔−1�̂�(𝑛)

�̂�(𝑛)

�̂�(𝑛) – vršna vrijednost n-tog harmonijskog člana

𝜑(𝑛) – fazni pomak n-tog harmonijskog člana

Parsevalov teorem

Kada je potrebno iz poznatih koeficijenata Fourierovog reda (�̂�(𝑛), �̂�(𝑛), �̂�(𝑛) ) izračunati

efektivnu vrijednost tada je najjednostavnije koristiti Parsevalov teorem, tj. efektivna

vrijednost signala je:

𝑌 = √𝐴2(0) +1

2∑[�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛)]

∞

𝑛=1

= √𝐴2(0) +1

2∑ �̂�2(𝑛)

∞

𝑛=1

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

2

Faktor harmonijskog izobličenja

Faktor harmonijskog izobličenja određuje se kao omjer efektivne vrijednosti napona svih

viših harmonika i efektivne vrijednosti osnovnog člana. Ukupni faktor harmonijskog

izobličenja THD (Total Harmonic Distortion) definira se na sljedeći način:

𝑇𝐻𝐷 =√∑ 𝐶2(𝑛)∞

𝑛=2

𝐶(1)

Pojedinačni faktori izobličenja definiraju se kao:

𝐷𝑛 =𝐶(𝑛)

𝐶(1)

Zadatak 2.1.

Za funkciju danu izrazom:

𝑢(𝑡) = 10𝑠𝑖𝑛 (0𝑡 +𝜋

2) + 5𝑠𝑖𝑛 (314𝑡 +

𝜋

4) + 3𝑠𝑖𝑛 (628𝑡 −

𝜋

6) treba nacrtati fazno-

frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izračunati ukupni faktor

harmoničkog izobličenja te odrediti faktor oblika.

Rješenje:

Funkcija se prvo pretvotri u oblik Fourierova reda sa sinusnim članovima:

𝑢(𝑡) = 10𝑠𝑖𝑛 (0𝑡 +𝜋

2) + 5𝑠𝑖𝑛 (314𝑡 +

𝜋

4) + 3𝑠𝑖𝑛 (628𝑡 −

𝜋

6)

Vremenski dijagram izgleda prema slici:

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5

0

5

10

15

20

t (ms)

u(t

) V

u(t)=10+5sin(314t+pi/4)+3sin(628t-pi/6)

u1(t)=5sin(314t+pi/4)

u2(t)=3sin(628t-pi/6)

ud=10

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

3

Amplitudno-frekvencijska karakteristika

f0 fo 2fo

Um

10

3

5

Fazno-frekvencijska karakteristika

f0 fo2fo

2

4

6

Srednja ispravljena vrijednost funkcije:

10U U V

Efektivna vrijednost funkcije:

𝑈 = √𝑈2(0) + 𝑈2(1) + 𝑈2(2) = √102 + (5

√2)2

+ (3

√2)2

≈ 10,82 V

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

4

Faktor oblika:

10 821 082

10

U ,f ,

U

Ukupni faktor harmoničkog izobličenja:

2

2

1

3

2 0 65

2

UTHD ,

U

Zadatak 2.2.:

Za funkciju danu izrazom: u(t) = sin(ω0t) – 0,5cos(3ω0t) treba nacrtati vremenski

dijagram, fazno-frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izračunati

ukupni faktor harmoničkog izobličenja te odrediti faktor oblika.

Rješenje: 0 69U , V ; Uef = 0,79 V; Um = 1,5 V; f =1,12; THD = 0,5

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

5

Zadatak 2.3.

Odredite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku za prva četiri nenulta

harmonika signala zadanog slikom, ako je 𝛼 =1

4. Odredite valovitost i pojedinačne faktore

distorzije za prva četiri nenulta harmonika.

Matematički zapis valnog oblika zadan je prema:

𝑢(𝑡) = { �̂� 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝛼𝑇−�̂� 𝛼𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

Srednju vrijednost zadanog signala računa se prema:

𝑈(0) = 𝐴(0) =1

𝑇∫𝑢(𝑡)𝑑𝑡

𝑇

0

=1

𝑇[∫ �̂�𝑑𝑡 −

𝛼𝑇

0

∫ �̂�𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] = (2𝛼 − 1)�̂�

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

=2

𝑇[∫ �̂� cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝛼𝑇

0

− ∫ �̂� cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] =

2�̂�

𝑇[∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝛼𝑇

0

− ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] =2�̂�

𝑇[1

𝑛𝜔sin(𝑛𝜔𝑡)|0

𝛼𝑇 −1

𝑛𝜔sin(𝑛𝜔𝑡)|𝛼𝑇

𝑇 ] =

2�̂�

𝑛𝜔𝑇[sin(𝑛𝜔𝛼𝑇) − sin(0) − sin(𝑛𝜔𝑇) + sin(𝑛𝜔𝛼𝑇)] =

2�̂�

2𝑛𝜋[sin(2𝜋𝑛𝛼) − sin(0) − sin(2𝜋𝑛) + sin(2𝜋𝑛𝛼)] =

𝟐�̂�

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒏𝜶)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

=2

𝑇[∫ �̂� sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝛼𝑇

0

− ∫ �̂� sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] =

2�̂�

𝑇[∫ sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝛼𝑇

0

− ∫ sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] =2�̂�

𝑇[−

1

𝑛𝜔cos(𝑛𝜔𝑡)|0

𝛼𝑇 +1

𝑛𝜔cos(𝑛𝜔𝑡)|𝛼𝑇

𝑇 ] =

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

6

2�̂�

𝑛𝜔𝑇[− cos(𝑛𝜔𝛼𝑇) + cos(0) + cos(𝑛𝜔𝑇) − cos(𝑛𝜔𝛼𝑇)] =

�̂�

𝑛𝜋[− cos(2𝜋𝑛𝛼) + cos(0) + cos(2𝜋𝑛) − cos(2𝜋𝑛𝛼)] =

�̂�

𝑛𝜋[2 − 2cos(2𝜋𝑛𝛼)] =

2�̂�

𝑛𝜋[1 − cos(2𝜋𝑛𝛼)] =

𝟒�̂�

𝒏𝝅𝒔𝒊𝒏𝟐(𝝅𝒏𝜶)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝒖(𝒕) = (𝟐𝜶 − 𝟏)�̂� +∑ [𝟐�̂�

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒏𝜶) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝒕) +

𝟒�̂�

𝒏𝝅𝒔𝒊𝒏𝟐(𝝅𝒏𝜶) 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝒕)]

∞

𝒏=𝟏

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

�̂�(𝑛) = √�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛) = √(2�̂�

𝑛𝜋sin(2𝜋𝑛𝛼))

2

+ (4�̂�

𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))

2

=

=2�̂�

𝑛𝜋√(sin(2𝜋𝑛𝛼))2 + (2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))

2=

2�̂�

𝑛𝜋√(2 sin(𝜋𝑛𝛼) cos(𝜋𝑛𝛼))2 + (2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))

2=

4�̂�

𝑛𝜋sin(𝜋𝑛𝛼)√(cos(𝜋𝑛𝛼))2 + (𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛𝛼))

2=𝟒�̂�

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝝅𝒏𝜶)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝜑(𝑛) = 𝑡𝑔−12�̂�𝑛𝜋 sin

(2𝜋𝑛𝛼)

4�̂�𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛

2(𝜋𝑛𝛼)

= 𝑡𝑔−1sin(2𝜋𝑛𝛼)

2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼)= 𝑡𝑔−1

2 sin(𝜋𝑛𝛼) cos(𝜋𝑛𝛼)

2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼)

= 𝑡𝑔−1cos(𝜋𝑛𝛼)

𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛𝛼)= 𝑡𝑔−1(𝑐𝑡𝑔(𝜋𝑛𝛼)) = 𝑡𝑔−1 (𝑡𝑔 (−𝜋𝑛𝛼 +

𝜋

2)) = −𝝅𝒏𝜶+

𝝅

𝟐

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝒖(𝒕) = (𝟐𝜶 − 𝟏)�̂� +𝟒�̂�

𝝅∑ [

𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝅𝜶)

𝒏𝐬𝐢𝐧 (𝒏(𝝎𝒕 − 𝝅𝜶) +

𝝅

𝟐)]

∞

𝒏=𝟏

Za 𝛼 =1

4 slijedi:

𝑢(𝑡) = −�̂�

2+∑[

4�̂�

𝑛𝜋sin (

𝑛𝜋

4) sin (𝑛 (𝜔𝑡 −

𝜋

4) +

𝜋

2)]

∞

𝑛=1

Aproksimacija signala s prva četiri nenulta harmonika:

𝑢(𝑡) ≈�̂�

2𝑠𝑖𝑛 (−

𝜋

2) +

2�̂�

𝜋(√2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 +

𝜋

4) + 2𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡) + √2𝑠𝑖𝑛 (3𝜔𝑡 −

𝜋

4))

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

7

Amplitudno-frekvencijska karakteristika

Fazno-frekvencijska karakteristika

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

8

𝑤𝑢 = √𝑈2

𝑈2(0)− 1 = √3 ≈ 1,73

Gdje je:

𝑈 - efektivna vrijednost 𝑈 = �̂�

𝑈(0) – srednja vrijednost 𝑈(0) = −�̂� 2⁄

𝑈 = √1

𝑇∫𝑢2(𝑡)𝑑𝑡

𝑇

0

= √1

𝑇[∫ �̂�2𝑑𝑡

𝛼𝑇

0

+ ∫(−�̂�)2𝑑𝑡

𝑇

𝛼𝑇

] = �̂�

Pojedinačni faktori distorzije su:

𝐷0 =𝐶(0)

𝐶(1)=

�̂�22�̂�𝜋

=𝜋

4

𝐷2 =𝐶(2)

𝐶(1)=

2√2�̂�𝜋2�̂�𝜋

= √2

𝐷3 =𝐶(3)

𝐶(1)=

2�̂�𝜋2�̂�𝜋

= 1

Zadatak 2.4.

Odredite prva tri nenulta harmonika zadane funkcije i THDU.

n 𝐷𝑛

0 𝜋

4≈ 0,79

1 1

2 √2 ≈ 1,41

3 1

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

9

Matematički zapis funkcije:

𝑢(𝑡) =

{

2�̂�

𝜋𝑡 𝑡 ∈ [0,

𝜋

2]

−2�̂�

𝜋(𝑡 −

𝜋

2) + �̂� 𝑡 ∈ [

𝜋

2,3𝜋

2]

2�̂�

𝜋(𝑡 −

3𝜋

2) − �̂� 𝑡 ∈ [

3𝜋

2, 2𝜋]

Period zadane funkcije je 2𝜋, dok je kružna frekvencija 𝜔 = 1.

Zadana funkcija je neparno simetrična, tj. centralno simetrična s obzirom na ishodište.

Svojstvo neparnosti zadanog valnog oblika može se zapisati kao 𝑢(−𝑡) = −𝑢(𝑡).

Bez računanja može se zaključiti da je srednja vrijednost signala nula, tj. 𝑈(0) = 0. U pravilu

srednja vrijednost je nula zbog neparnosti funkcije 𝑢(𝑡).

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

=2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇 2⁄

−𝑇 2⁄

= 0

Članovi �̂�(𝑛) jednaki su nuli jer je podintegralna funkcija neparna, tj. množenjem neparne

𝑢(𝑡) i parne cos(𝑛𝜔𝑡) funkcije dobiva se neparna funkcija.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

�̂�(𝑛) =2

𝑇∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0

=2

𝑇∫ 𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑇 2⁄

−𝑇 2⁄

=4

𝑇∫ 𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑇 2⁄

0

Navedene relacije vrijede jer je funkcija 𝑢(𝑡) neparna, tj. podintegralna funkcija je parna jer

je umnožak dvije neparne funkcije parna funkcija.

�̂�(𝑛) =2

𝜋∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

0

=2

𝜋

[

∫2�̂�

𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

0

+ ∫(−2�̂�

𝜋𝑡 + 2�̂�) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋2 ]

=

2

𝜋

[

∫2�̂�

𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

0

− ∫2�̂�

𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋2

+ ∫2�̂� sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋2 ]

=

4�̂�

𝜋

[ 1

𝜋

(

∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

0⏟ 𝐼

− ∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋2

)

+ ∫ sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋2 ]

=

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

10

𝐼 = ∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = |𝑢 = 𝑡𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

|𝑑𝑣 = sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡

𝑣 = −1

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)

| =

−𝑡

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +

1

𝑛∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = −

𝑡

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡)

�̂�(𝑛) =4�̂�

𝜋[1

𝜋((−

𝑡

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡))|

0

𝜋2

− (−𝑡

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡))|

𝜋2

𝜋

)

−1

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)|𝜋

2

𝜋] =

4�̂�

𝜋

[ 1

𝜋

(

−

𝜋2𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛

𝜋

2) +

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛

𝜋

2) + 0 − 0

− (−𝜋

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) +

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜋)⏟

0

+

𝜋2𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛

𝜋

2) −

1

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛

𝜋

2))

)

−1

𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑛

𝜋

2))

]

=

4�̂�

𝜋[1

𝜋(𝜋

𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛

𝜋

2) +

2

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛

𝜋

2) +

𝜋

𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)) −

1

𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑛

𝜋

2))] =

4�̂�

𝜋[1

𝜋

2

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛

𝜋

2)] =

8�̂�

𝜋2𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛

𝜋

2)

𝑢(𝑡) ≈8�̂�

𝜋2(sin(𝑡) −

1

9sin(3𝑡) +

1

25sin(5𝑡))

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Efektivna vrijednost se računa prema:

𝑈 = √1

𝑇∫𝑢2(𝑡)𝑑𝑡

𝑇

0

= √4

𝑇∫ 𝑢2(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 4⁄

0

=

√2

𝜋[∫ (

2�̂�

𝜋𝑡)

2

𝑑𝑡

𝜋 2⁄

0

] = √�̂�2

3=�̂�

√3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

11

𝑇𝐻𝐷 =√∑ 𝐶2(𝑛)∞

𝑛=2

𝐶(1)=√𝑈2 − 𝑈2(1)

𝑈(1)=

√(�̂�

√3)2

− (8�̂�

𝜋2√2)2

8�̂�

𝜋2√2

≈ 0,12 = 12%

Gdje je

𝑈(1) – efektivna vrijednost osnovnog harmonika

Zadatak 2.5.

Odredite spektar punovalno ispravljenog sinusnog signala zadanog slikom. Odredite

valovitost.

Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić

12

Rješenje:

𝑢(𝑡) =2�̂�

𝜋−4�̂�

𝜋∑

cos (2𝑛𝑡)

(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

𝑤𝑢 = √𝜋2

8− 1