ONDAS MECANICAS : Ondas en cuerdas, velocidad de propagación

Objetivos.- Físicos : Estudiar aspectos y características relevantes de ondas mecánicas, en particular de ondas en cuerdas;

verificación de las leyes que las rigen, puntualmente, de su velocidad de propagación.. Metodológicos : combinar diferentes aportes de errores en las variables involucradas y en el resultado final. Aplicar las fórmulas para propagar errores. Gráficos y sus normas científicas.

Introducción teórica . - En este experimento, manejaremos los siguientes términos y conceptos:

Movimiento vibratorio – Amplitud - frecuencia - período - longitud de onda - velocidad de propagación - ondas mecánicas viajeras y estacionarias - ondas longitudinales y transversales.

En una cuerda tensa cualquier perturbación aplicada en un instante dado, genera un pulso que se propaga a lo largo de la misma y normalmente se refleja al llegar al extremo. Los pulsos reflejados, interactúan entre si, superponiéndose en forma constructiva y destructiva, ( reforzándose o anulándose ).

Si la excitación se aplica continuamente y es de forma senoidal, se genera una onda que avanza con velocidad v, que también se refleja e interactúa con la incidente, en principio sumándose algebraicamente. Si la amplitud de la señal generada es pequeña, y la atenuación en el extremo también, la señal resultante puede expresarse matemáticamente como:

y = 2ym· ( sen 2 px / l) · ( cos 2p t / T ) , donde:

y : amplitud instantánea ; 2ym : amplitud máxima x : posición a la largo de la cuerda ; l : longitud de onda t : tiempo transcurrido ; T : período de la señal resultante : T = 1/f , f = frecuencia.

Podemos ubicarnos en un punto de la cuerda y ver que pasa en función del tiempo, o bien podemos sacar una "instantánea" y ver que pasa en cada instante en toda la cuerda.

En la ecuación anterior, si hacemos x = cte., tenemos que 2ym· ( sen 2p x / l) , es la amplitud de una señal sinusoidal de frecuencia: f = 1/T , o sea, en cada punto la cuerda realiza un movimiento armónico simple.

Puede verse que para ciertos valores de x, sen ( 2p x / l ), se anula, ( = 0, l /2, l, 3l /2, ...), y paraotros puntos la amplitud será máxima. Esos puntos se denominan mínimos y máximos, respectivamente.

Si analizamos ahora la "instantánea", haciendo t = cte., resulta una señal sinusoidal a lo largo de la cuerda (amplitudes transversales ).

Llamaremos longitud de onda l a la distancia entre dos máximos o dos mínimos sucesivos. Los puntos donde la amplitud es nula se denominan nodos y aquellos donde es máxima, antinodos , cimas si es arriba y sima, hacia abajo respecto del punto de reposo Para una frecuencia de excitación cualquiera, las reflexiones que ocurren en ambos extremos de la cuerda, no resultan en fase con la señal incidente de modo que en general, la amplitud resultante es pequeña y los nodos y antinodos quedan mal definidos.

Sin embargo, para ciertas frecuencias de resonancia que son función del largo de la cuerda entre apoyos (nodos impuestos), las señales reflejadas en uno y otro extremo, lo hacen en fase con la señal incidente y su suma da la llamada onda estacionaria: variación senoidal de la amplitud a lo largo de la cuerda caracterizada por puntos en reposo ( nodos fácilmente visualizables ) y que equivale a una onda que no avanza; de ahí la denominación de estacionaria.

Las relaciones que deben cumplirse, son :

en que : l = longitud de onda.1) l = 2 L / n : L = largo de la cuerda entre apoyos.

: v = velocidad de propagación.2) v = ( Te /m ) 1/2 : m = densidad lineal de la cuerda.

: Te = tensión aplicada a la cuerda.3) f = ( n / 2L ) · ( Te /m ) 1/2 : f = frecuencia de la señal aplicada número entero.

: n = número entero: 1,2,3…, referido a los nodos, según esquema inferior.4) v = l· f

PARTE EXPERIMENTAL . En el trabajo de hoy los datos se registrarán manualmente, teniendo como apoyo referencial los display digitales del generador de frecuencias y opcionalmente, de la lámpara estroboscópica.

PARTE A ( obligatoria, salvo indicación de su P Aux ) : Modos resonantes y velocidad de propagación

Equipo y montaje.- l

n =0 n =1 n =2 n =3

generadorde señales

vibrador

Dispuestos los elementos según esquema superior, Ud. define Te y L idóneos y que dejará constantes; luego encuentre la menor frecuencia de la señal aplicada que originan ondas estacionarias. La frecuencia menor importante es la que produce un nodo en cada extremo y un máximo central ( se llama modo fundamental, ver nota abajo ). NOTA.- Si con Te, m y L constantes, se aumenta gradualmente la frecuencia, la configuración de nodos y máximos se modifica recibiendo los nombres de 1ª armónica, 2ª armónica, etc. Manteniendo Te = cte., varíe L ; verifique el cumplimiento de la ec. 4 : v = l · f resonanc. ; para cada par de valores f , l calcule v, o y también grafique f = f (1/ l ), de donde puede deducir v.

***ALTERNATIVOS u OPTATIVOS : a) puede determinar el m de la cuerda y la tensión Te aplicada a ella. Use v = ( Te / m )b) puede cambiar el diámetro y/o material de la cuerda, por ejemplo, una de metal

Datos .- tabulación y cálculos a realizar con ellos :

Frecuencia Longitud de Onda Velocidad Observacionesf l ( o 2· l / 2 ) v , ( v = f · l )

Hz m m · s - 1

± ± ±........................ .......................... ....................... ............................................... .......................... ....................... .......................

Respecto a la tabla , note que :

1) cada magnitud lleva asociado un error el que en las columnas f y l, está dado por la resolución del instrumento usado para medir. En este caso f lleva ± 1 en la última cifra y l lleva un error del orden de ± 0,001 m pues se mide con una cinta graduada en milímetros.

2) La columna v lleva un error COMBINADO, pues es el resultado de un producto, para calcularlo use las formulas vistas en la clase inicial acerca de propagación de errores.

Cálculos numéricos del error en el promedio de las velocidades :

En la columna Velocidad, Ud. obtuvo los diversos valores de v al variar la frecuencia, cada uno de estos valores tiene su propio error. Ahora calcule el promedio de estas velocidades, note que este promedio ahora llevara otro error el que entrega la desviación media si son 3 o menos valores, o la desviación estandar si son 4 o mas valores.

Esto no debe implicar muchos cálculos, pues las calculadoras traen preprogramada la desviación estándar y solo bastara que Ud. , en el modo STAT, ingrese los valores de v . El programa le entregara el promedio y su error.

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