OndaseLinhas

10/05/17

1

SJBV SJBV

(pags 95 a 102 do Pozar)

•  Equações de Maxwell e equação de onda

•  Solução geral para Modos TEM

•  Solução geral para Modos TE e TM

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Guias de Onda

SJBV SJBV

•  Tecnicamente, linhas de transmissão também são guias de onda, mas na prática o termo guia de onda é usado para estruturas que não suportam modos TEM.

•  No geral, linhas de transmissão possuem dois ou mais condutores e guias de onda (metálicos) possuem apenas um condutor.

•  Guias de onda são estruturas que confinam e suportam a propagação de ondas eletromagnéticas.

•  Veremos que os modos suportados em guias de onda possuem frequências de corte.

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Guias de Onda

SJBV SJBV

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Guias de Onda

RETANGULAR

CIRCULAR

Linhas de Transmissão

CABO COAXIAL

PLACAS PARALELAS

MICROSTRIP

x

z

y

SJBV SJBV

•  Usando a igualdade vetorial :

•  Sabemos que ondas eletromagnéticas satisfazem as equações de Maxwell.

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Equação de Onda

•  Tomando o rotacional em ambos os lados:

•  Em um meio homogêneo e sem fontes ( J = 0 e ρv = 0):

∇×!E = − jωµ

!H

⇒∇×∇×!E = − jωµ∇×

!H

∇×∇×!E =∇ ∇⋅

!E( )−∇2

!E( )

∇ ∇⋅!E( )−∇2

!E = − jωµ∇×

!H

0

SJBV SJBV

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Equação de Onda

•  A equação resultante é a Equação de Helmholtz:

•  Para um meio sem fontes, ρv = 0. Pela lei de Gauss:

−∇2!E = − jωµ jωε

!E( )

∇2!E +ω 2µε

!E = 0

•  É possível chegar a uma equação equivalente para o campo magnético.

∇2!H +ω 2µε

!H = 0

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Soluções Modais

•  Considerando uma onda se propagando num guia na direção do eixo z, o campo eletromagnético tem a forma:

!E(x, y, z) =

!E(x, y)e− jβz      e    

!H (x, y, z) =

!H (x, y)e− jβz

•  Utilizando estas soluções nas equações de Maxwell, chegamos a expressões para os campos transversais em função de Ez e Hz:

Hx =jkc2 ωε

∂Ez

∂y−β

∂Hz

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Hy = −jkc2 ωε

∂Ez

∂x+β

∂Hz

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ex = −jkc2β∂Ez∂x

+ωµ∂Hz

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ey =jkc2−β∂Ez∂y

+ωµ∂Hz

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

SJBV SJBV

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Equação de Onda

•  Substituindo esta solução na Eq. de Helmholtz temos:

•  Considerando como solução geral uma onda plana com vetor de onda k = k âk:

Onde:

!E(!r ) =

!E0e

− j!k ⋅!r

x

y

z!E0

!H0

!k

!k ⋅!k = k2 = ω

2

vp2

k2 = kx2 + ky

2 + kz2

vp =1µε

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Modos TEM

•  O vetor de onda k só possui componente na direção de propagação (eixo z abaixo).

•  Os modos TEM se comportam como ondas planas dentro das Linhas de Transmissão, com Ez = Hz = 0.

x

yz

!E0 !

k

β = k(É comum chamar o componente do vetor de onda na direção de propagação de β )

!H0

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Modos TEM (Ez = Hz = 0)

•  A equação de onda (Helmholtz) para o componente Ey é:

•  Além disso kc = 0 (β = k). Veremos que isso implica que não há frequência de corte.

∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2+ k2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ey = 0

−β 2Ey

∂2

∂x2+∂2

∂y2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ey = 0

•  Mas β2 = k2 para modos TEM. Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TEM é a equação de Laplace:

Resolver usando C. C. na linha de Transmissão

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Modos TEM

•  A impedância de onda para modos TEM é a mesma que a da onda plana uniforme:

•  Se conhecermos o campo elétrico, podemos calculado o campo magnético para modos TEM usando:

ZTEM = −Ey

Hx

=Ex

Hy

=η =µε

!H (x, y) = 1

ZTEMaz ×!E(x, y)

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Modos TE e TM

•  Modos TE não possuem componente Ez e modos TM não possuem componente Hz .

•  Os modos TE e TM são compostos de superposições de ondas planas.

x

yz

!E0

!k

k2 = kc2 +β 2

Modo TM !E0

!k

12

!E0

!k

!E0

!k

•  Os modos TE e TM possuem componente transversal ‘kc’ do vetor de onda:

k2 = kx2 + ky

2 + kz2

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Modos TE

•  Os modos TE são caracterizados por ter Ez = 0 (Hz ≠ 0).

•  A equação de onda (Helmholtz) para o componente Hz é:

•  Além disso kc2 = k2 - β2. Há frequência de corte.

∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2+ k2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Hz (x, y, z) = 0

∂2Hz

∂z2= −β 2Hz

∂2

∂x2+∂2

∂y2+ kc

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Hz (x, y) = 0

•  A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é

•  Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TE é a equação de Helmholtz 2D:

Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda

SJBV SJBV

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Modos TE

•  A impedância de onda para modos TE é dada por:

•  Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes Ex e Hy para os modos TE:

ZTE =Ex

Hy

=−Ey

Hx

=ωµβ

=kηβ

Hy = −jkc2 β

∂Hz

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ex = −jkc2 ωµ

∂Hz

∂y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

SJBV SJBV

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Modos TM

•  Os modos TM são caracterizados por ter Hz = 0 (Ez ≠ 0).

•  A equação de onda (Helmholtz) para o componente Ez é:

•  Além disso kc2 = k2 - β2. Há frequência de corte.

∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2+ k2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ez (x, y, z) = 0

∂2Ez

∂z2= −β 2Ez

∂2

∂x2+∂2

∂y2+ kc

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ez (x, y) = 0

•  A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é

•  Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TM é a equação de Helmholtz 2D:

Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda

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Modos TM

•  A impedância de onda para modos TM é dada por:

•  Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes Ex e Hy para os modos TM:

ZTM =ExHy

=−EyHx

=βωε

=βηk

Hy = −jkc2 ωε

∂Ez

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ex = −jkc2 β

∂Ez

∂x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

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Constante de Atenuação

•  A constante de atenuação ‘αd’, devido a perdas no material dielétrico, para modos TE e TM é:

•  Para modos TEM, β = k, e a constante de atenuação ‘αd’, devido a perdas no material dielétrico, é:

αd =k2 tanδ2β

 [Np /m]  

αd =k tanδ2

[Np /m]

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Ondas e Linhas

Trabalho de Final de semestre

§  Projetar guias de onda e Linhas de transmissão para operar em uma frequência a ser especificada e com número de modos a ser especificado (de acordo com Grupo.

§  Escolher um material dielétrico (pesquisar os mais usados) e projetar as dimensões do guia/L.T. de acordo com o dielétrico escolhido.

§  Identificar nome da banda de operação.

§  Discutir aplicações (dentro e fora das telecomunicações) para aquela banda de frequência.

Plotar (usando Matlab) os campos eletromagnéticos dos modos especificados de acordo com o grupo. NÃO USAR PACOTES DE MATEMÁTICA SIMBÓLICA.

SJBV SJBV

Ondas e Linhas

Trabalho de Final de semestre

§  No máximo 8 páginas com Figuras e Código.

§  Em cada caso, pesquisar formas de acoplamento da onda (do gerador para o guia/

linha).

§  Citar as referências usadas. Para os guias de onda, quando possível, identificar o

padrão do guia de onda

(ex: WR-## para guias retangulares).

§  Para linha de placas paralelas, relacionar dimensões com a de uma linha do tipo

Microstrip.

Apresentações e entrega: 08 /06 / 2017 e 13 /06 / 2017

SJBV SJBV

Ondas e Linhas Trabalho de Final de semestre

Grupo 1

v  Guia de onda circular operando em 56 GHz.

v  O guia deve suportar 1 modo TE somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético.

Grupo 2

v  Guia de onda retangular operando em 45 GHz.

v  O guia deve suportar 3 modos TE somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.

v  Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

SJBV SJBV

Ondas e Linhas

Grupo 3

v  Guia de onda retangular operando em 12 GHz.

v  O guia deve suportar 3 modos TM somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.

v  Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

Grupo 4

v  L.T. de placas paralelas operando em 3 GHz.

v  O guia deve suportar 3 modos TE somente (além do TEM).

v  Plotar campo elétrico e magnético.

v  Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

SJBV SJBV

Ondas e Linhas

Grupo 5

v  Guia de onda retangular operando em 27 GHz.

v  O guia deve suportar somente um modo da polarização TM.

v  Plotar campo elétrico e magnético.

v  Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

Grupo 6

v  Guia de onda circular operando em 100 GHz.

v  O guia deve suportar 1 modo TE somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético.

SJBV SJBV

Ondas e Linhas

Grupo 7

v  L.T. de placas paralelas operando em 1,6 GHz.

v  O guia deve suportar 3 modos TM somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.

v  Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

Grupo 8

v  Guia de onda circular operando em 500 MHz.

v  O guia deve suportar 1 modo TE somente.

v  Plotar campo elétrico e magnético.