Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_19

Název Komplexní čísla – Moivreova věta

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Komplexní čísla

Anotace Násobení, dělení a umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)

Klíčová slova Komplexní číslo, goniometrický tvar, Moivreova věta

Očekávaný výstup Žáci jsou schopni provádět převádět násobení, dělení a umocňování k.č. v goniometrickém tvaru

Datum vytvoření 6.7.2012

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

a . b = |a| . |b| . (cos (α + β) + i.sin (α + β))

- umocňování – Moivrova věta: a = |a| . (cos α + i.sin α)

a n = |a| n. (cos (n.α) + i.sin (n.α))

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

Příklad 1: Určete a.b, a/b, b5, je-li dáno:a = 8.(cos 120° + i.sin 120°)b = 2.(cos 30° + i.sin 30°)

a . b = 8 . 2 . (cos (120°+30°) + i.sin (120°+30°)) = = 16 . (cos 150° + i.sin 150°)

= 4 . (cos 90° + i.sin 90°)

b5 = 25. (cos (5.30°) + i.sin (5.30°)) = 32 . (cos 150° + i.sin 150°)

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

Příklad 2: Určete z = a4 . b2, je-li dáno:a = 3.(cos 80° + i.sin 80°)b = √2.(cos 260° + i.sin 260°)

z = a4 . b2 = 162 . (cos 400° + i.sin 400°) = 162 . (cos 40° + i.sin 40°)

a4 = 34. (cos 240° + i.sin 240°) = 81 . (cos 240° + i.sin 240°)

b2 = (√2 )2. (cos 520° + i.sin 520°) = 2 . (cos 160° + i.sin 160°)

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

Příklad 3: Určete z = a3 / b5, je-li dáno:a = 9.(cos 140° + i.sin 140°)b = 3.(cos 110° + i.sin 110°)

z = a3 / b5 = 3 . (cos (-130°) + i.sin (-130°)) = = 3 . (cos 230° + i.sin 230°)

a3 = 93. (cos 420° + i.sin 420°) = 729 . (cos 60° + i.sin 60°)

b5 = 35. (cos 550° + i.sin 550°) = 243 . (cos 190° + i.sin 190°)

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

Příklad 4: Určete z = a . b7, je-li dáno:

- nejprve převedeme a na goniometrický tvar

Re x

Im y

3

|a|φ

OPERACE S K.Č. V GON. TVARU

Příklad 4: Určete z = a . b7, je-li dáno: