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Documento sulla risoluzione geometrica di operazioni con le frazioni
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Lavoro sulle frazioni
Il suddetto documento è il frutto della collaborazione di una serie di insegnanti delle Scuole Waldorf in
Italia e vorrebbe essere un semplice esempio di come, poter collaborare insieme in un ambito di ricerca
pedagogica e didattica condivisa ampiamente con tutti i colleghi.
L’argomento scelto è la rappresentazione geometrica delle operazioni con le frazioni. La domanda iniziale
che ci ha guidato è stata: come è possibile portare ai ragazzi un modo semplice, artistico e visivo per
illustrare le operazioni tra frazioni? Questa è una possibile risposta.
Addizioni
Nelle addizioni si può procedere in questo modo:
• Si rappresenta la prima frazione disegnando un poligono e dividendolo orizzontalmente, con una
linea tratteggiata, secondo il denominatore indicato dalla frazione; si divide poi lo stesso poligono
verticalmente secondo il denominatore della seconda frazione con delle linee continue. Il poligono
viene così diviso in un numero di sottopoligoni pari al prodotto dei denominatori delle due frazioni.
Si colorano gli elementi che compongono il poligono secondo la prima frazione;
• si disegna un secondo poligono nello stesso modo e con le stesse suddivisioni, ma si colorano gli
elementi che lo compongono indicati dalla seconda frazione;
• Si somma il numero dei sottopoligoni colorati del primo poligono a quelli del secondo e si
rappresenta il risultato come la somma dei primi due disegni.
Es.
Sottrazioni
Nelle sottrazioni si può procedere in modo analogo:
• Si rappresenta la prima frazione disegnando un poligono e dividendolo orizzontalmente, con una
linea tratteggiata, secondo il denominatore indicato dalla frazione; si divide poi lo stesso poligono
verticalmente secondo il denominatore della seconda frazione con delle linee continue. Il poligono
viene così diviso in un numero di sottopoligoni pari al prodotto dei denominatori delle due frazioni.
Si colorano gli elementi che compongono il poligono secondo la prima frazione;
• si disegna un secondo poligono nello stesso modo e con le stesse suddivisioni, ma si colorano gli
elementi che lo compongono indicati dalla seconda frazione;
• Si sottrae il numero deisottopoligoni colorati del secondo poligono a quelli del primo e si
rappresenta il risultato come la differenza dei primi due disegni.
Es.
Moltiplicazioni
Nelle moltiplicazioni si può procedere in due modi equivalenti:
Metodo 1
• Si rappresenta la prima frazione disegnando un poligono e dividendolo orizzontalmente, con una
linea tratteggiata, secondo il denominatore indicato dalla frazione; si divide poi lo stesso poligono
verticalmente secondo il denominatore della seconda frazione con delle linee continue. Il poligono
viene così diviso in un numero di sottopoligoni pari al prodotto dei denominatori delle due frazioni.
Si colorano gli elementi che compongono il poligono secondo la prima frazione;
• si disegna un secondo poligono nello stesso modo e con le stesse suddivisioni, ma si colorano gli
elementi che lo compongono indicati dalla seconda frazione;
• Si prendono in considerazioneil numero dei sottopoligoni comuni tra il primo ed il secondo
poligono.
Es:
Metodo 2
• Si disegna la prima frazione, su un lato del poligono che ho scelto per rappresentare questa
operazione, e si colora la parte corrispondente a questa frazione
• Si disegna sullo stesso schema la seconda frazione, su un altro lato del poligono e si colora.
• In questo modo dall’incrocio delle due aree colorate emergeranno gli elementi che costituiscono il
risultato di questa operazione
Divisioni
Nelle divisioni si può procedere nel seguente modo:
• Si rappresenta la prima frazione disegnando un poligono e dividendolo orizzontalmente, con una
linea tratteggiata, secondo il denominatore indicato dalla frazione; si divide poi lo stesso poligono
verticalmente secondo il denominatore della seconda frazione con delle linee continue. Il poligono
viene così diviso in un numero di sottopoligoni pari al prodotto dei denominatori delle due frazioni.
Si colorano gli elementi che compongono il poligono secondo la prima frazione;
• si disegna un secondo poligono nello stesso modo e con le stesse suddivisioni, ma si colorano gli
elementi che lo compongono indicati dalla seconda frazione;
• La domanda corretta ora è: quante volte la frazione sta nella frazione ?
Per rispondere alla domanda, contiamo quante volte i due quadretti della frazione stanno nei
quattro quadrettidella frazione . Ovviamente la risposta è due. Nel seguente disegno si osserva la
sovrapposizione della frazione sulla frazione .
Seguendo il disegno possiamo quindi scrivere:
Facciamo ora l’esempio di una divisione tra frazioni il cui risultato non sia un numero intero.
Ad esempio: =
Contiamo, attraverso una sovrapposizione, quante volte il gruppo di nove quadratini sta nei dieci
quadratini. La risposta è ovviamente 1 più un quadratino. Il quadratino, coerentemente con la domanda,
rappresenta della zona colorata del secondo poligono, cioè del divisore . Dal disegno risulta che la
zona viola sta nella zona rossa 1 volta più :
Il risultato finale è quindi:
Domande aperte
Come si rappresentano operazioni con frazioni improprie
Desiderata
Si attendono contributi migliorativi, esaustivi , etc.. che possano aiutare tutti noi in questo lavoro.
