SPIS TRESCI

Wprowadzenie ................ ... .................. ............................................................................ 5

1. Bl~d pojedynczego pomiaru .................................. ....... ................... ........ .................... 7

1.1 . Analogowe miemiki eleklryczne ................................................................... 12

1.2. Miemiki clektronicznc cyfrowe ................................................... : ................. l6

1.3. Przeliczniki .......... ................... ....................................................................... 20

2. Wartosc sredn ia serii porn iar6w i j ej bl~d .. , ............................................................... 2 5

2.1. Gaussa prawo rozkladu blf(dow ... .................................................................. 26

2.2. Metoda Studenta dla kr6tkiej serii pomiarowej ............................................. 38

2.3. Bll:ld przeci~tny i blqd maksymalny ........................................... .................. ..40

2.4. Srednia wa.tona .............................................................................................. 42

3. Bll:ld wielkosci zloi onej ............. ........... .......................... .......................... ................. 51

3.1. Spos6b r6wiczki zupelnej .............. ...................... ....... ............. - ................... 51

3.2. Spos6b pochodnej logarytmicznej ................................................................. 58

3.3. Metoda r6inicowa .................................................................... ~ ..................... 64

4. Regresja liniowa ......... ............ .. ............................ ....... ................... ....... .................... 69

4.1. Regresja liniowa z zastosowaniem wartosci srednich .............. : .................... 80

4.2. Regresja liniowa Z. zastosowaniem wie1kosci zastcrpczej .............................. 83

4.3. Regresja liniowa z uwzgl~dnieniem wag pomiar6w ........ ............... ............. 88

4.3 .1. Metoda ''{ orka .................................... ............ .......................................... 89

4.3.2. Regresja liniowa z uwzg1ctdnieniem wag zmiennej za1eznej ................... 92

4.4. Estymacja liniowej funkcji regresji .............................................................. .. 96

5. Sporzqdzanie \V)'kres6w .. ........ ............................................................................... . 101

S .1. Graficzna analiza \V)'nik6w pomiar6w ........................................................ 112

4 Spis tresci

5 .I. I . Wyznaczanie nachylenia charakterystyki. .............................................. 112

5.1.2. Wyznaczanie nieznanej wartosci ........................................................... 115

5.2. Prograrny graficzne X-Y ............................................................................. 118

5.2.1. Grapher v. Windows .............................................................................. 118

5.2.2. Sigma Plot ................... ........................................................................... 126

5.2.3 . Origin ........................ ............................................................................. 133

5.2.4. Turbo Grapher ............. ........................................................................... 135

5.2 .5. Axum ...................................................................................................... 136

6. Obliczenia przybliione ............................................................................................ 137

6.1. Arytmetyka liczb przyblizonych .................................................................. 13 7

6.2. Zaokr~lanie vvynik6w ................................................................................ 138

7. Arkusze kalkulacyjne ................... ........................................................................... 141 , .

7.l .Microsoft Excel .......................................................................................... l42

7 .1.1. Wybrane funkcje arkusza ..................................................................... 143

7 .1.2.lnne mozl iwosci arkusza EXCEL 5.0 .................................................. 151

7.2. Arkusz kalkulacyjny Lotus 1-2-3 ............................................................... 156

7 .1 .2.1. Wybrane funkcje arkusza .................................................................. 156

7.3. Arkusz kalkulacyjny Quattro Pro ............................................................... 160

8. Inne prograrny komputcrowe .................................................................................. 163

8.1 . Programy statystyczne ............................................................................... 163

8.2. Programy matematyczne ........................................................................... 166

8.3. Programy ANALIZA i TURBO REGRESJA ........................................... 168

8.3 .1. Program ANALIZA ............................. ~ .............................................. 168

8.3.2. Program TURBO REGRESJA ..................... ............................ ........... 170

8.3.3. Program REGRESJA .......................................................................... 171

9. Uchyby pomiarowe miernik6w cyfrovvych ............................................................. 173

Literatura .. ............................................ : ................................................................ 179

WPROWADZENIE

Dla wi<ckszosci student6w uczelni technicznych cwiczenia laboratoryjne z fizyki

Slt pierwszym spotkaniem z technik~ doswiadczaln3e. W naszej pracowni s~dent CZI(sto

po raz pierwszy w iyciu "''Ykona samodzielnie zadania eksperymentalne. P6zniej, na

wyi:szych latach studi6w, na zaawansowanych zaj~ciach laboratoryjnych, student

otrzyma skomplikowane zadania, spotka si~ z bardziej \\ryrafinowanymi technikami

pomiaro\\rymi, a jcdnak wszl(dzie \\rySt3ePi ten sam problem: <<W jaki sposob opraco­

wac wyniki doswiadczalne?».

Podstawo""Ymi zadaniami cwiczen laboratoryjnych z fizyki s~: dogll(bne pozna­

nie wybranych zagadnien fizyki doswiadczalnej i opanowanie techniki eksperymental­

nej. W tej drugiej grupie zagadnien student powinien zapoznac siC( z typo\\rymi przy­

rzctdami pomiaro\\rymi, za ich pomoc<t wykonac pomiary, a nast<cpnie \\ryniki tych po­

miar6w opracowac i na podstawie obliczen (i wykres6w) podac interpretacj <c rezulta­

t6w. Z braku czasu na zajyciach rezygnujemy z \\rykonania serii pr6bn~j i planowania

pomiar6w. Z kolei coraz powszechniej stosowane komputery osobiste pozwalaj~ spo­

mtdzac eleganckie \\rykresy, a w obliczeniacb stosowac metody regresji liniowej, do­

pasowywanie wielomianami ortogonalnymi, usrednianie wai:one itp.

W miar<c mozliwosci pozostawiamy studentom prawo \\ryboru stosowanej meto­

dy opracowywania \\rynik6w. Pami<ctac jednak naleZ)', ze:

• analizl( bt<cd6w musimy wykonywac zawsze,

• wynik doswiadczalny bez podania wartosci bl<cdu jego \\ryznaczania nie jest wiary­

godny,

• student powinicn bye przygotowany na ,obron<c" przedstawionego sprawozdania

przed prowadZ<tcym zaj<ccia,

6 Wprowadzenie

obowi~uje mi~dzynarodowy uklad jednostek SI i choc same ob1iczenia moina prowa­

dzic przy uzyciu innych jednostek, np. stosowanych tradycyjnie (°C, 1 (litr), mmHg,

crnls), koitcowy wynik ob1iczen podajemy w ukladzie SL

Wyniki pomiar6w opracowuje sitt w fonnie sprawozdania w fonnacie A4. Po-

winno ono zawierac nast~puj~ce cz~sci:

1) stron~ tytulow&.,

2) wst~tp teoretyczny,

3) opis metody pomiarowej,

4) ob1iczenia,

5) V.')'kresy badanych zaleinosci Uesli s~ wymagane),

6) ana1iz~ bl~d6w,

7) zestawienie wvnik6w koncowvch .. .. '

8) wnioski,

9) kart~ pomiarow~.

. Skrypt, kt6ry przekazujemy Czytelnikowi, rna w sv.')'m zalozeniu pom6c stu­

dentom w sporz~dzaniu sprawozdan, a szczeg6lnie jego cz~sci 5 + 7, dotyc~cych spo­

r~dzania wykres6w, obliczania bl~d6w oraz zaokzqglania wynik6w. Wieloletnie do­

swiadczenie pokazuje, ze te wla5nie elementy stanowi~ dla student6w najwi~ks~ trod­

nose podczas wykonywania sprawozdail. Rozwai:ania teoretyczne analizy bl¢6w do­

swiadczalnych zostaly uzupelnione przykladami nawi~j~cymi do najcz~sciej spoty­

kanych bl¢6w w sprawozdaniach.

Autor sklada wyrazy podzi~kowania dr Romanowi Bukowskiemu za wnikliwe

przestudiowanie maszynopisu opracowania i \Vniesienie wielu cennych uwag. W opra­

cowaniu wprowadzono poprawki zgodnie z sugestiami recenzenta, prof. dr hab. Janu­

sza Berdowskiego.

Obecne ll wydanie skryptu uzupelniono opisami najnowszych program6w do

ana1izy statystycznej i spo~dzania wykres6w. Przykladowe procedury, arkusze, wy­

kresy oraz program ANALIZA dost~pne s~ na intemetowej stronie autora skryptu

(http://www.polsl.g1iwice.pV-rrD.

1. Bt.AD POJEDYNCZEGO POMIARU

Podstawow~ czynnosci!l w laboratorium fizycznym jest pomiar, czyli ustalenie

za pomOC!l narz~dzi pomiarowych wartosci 1iczbowej okreslonej wielkosci fizycznej.

Do dyspozycji marny wzorce miar (przymiary, odwainiki, plytki wzorcowe itp.) oraz

przyrzqdy pomiarowe (z odczytem bezposrednim i umoi:liwiaj1!ce pomiar wigl~d­

ny).

Z pomiarem wielk.osci prostej mamy do czynienia wtedy, gdy miar~ okre­

slonej wielkosci fizycznej otrzymtyemy poprzez bezposredni pomiar jednym, "')'bra­

nym przyr~dem. Pomiary wie/kosci zlozonych wymagaj~pomiar6w wielu wielko-

5ci prostych. T akie pomiary om6wimy pozniej .

Wynik pomiaru nie jest, niestety, rzeczywis~ wartosci~ miary wielkosci fizycz­

nej. Niezgodnose \vyniku pomiaru z wartosci~ wielkosci mierzonej nazywamy hlf­

dem'. Wartose wielkosci mierzonej jest tylko wartosci<t por6wnawc~ i moze bye po­

r6wnywana z wartosci~ pbprawn!l (zmierzon~ uprzednio z wi~ksz<t dokladnosci!l przy

zastosowaniu dokladniejszych przyr~d6w pomiarowych) lub ze sredni~ arytmetyczn~

wynik6w serii pomiar6w. Niekiedy stosuje si~ poj~cie uchyb zamiast bl~du. W nie­

kt6rych opracowaniach spotyka si~ ponadto poj~cia blfdu maksymalnego lub nie­

pewnosci pomiarowej.

Rome mog~ .bye przyczyny bl~d6w i r6i:nie mog~ one wplywac na wynik po­

rniaru, Bl¢y pomiaru bezpo5redniego moi:na podzielic na systematyczne, przypadko­

we i grube.

,Blfdy systematyczne przy wi~lu pomiarach tej samej wie1kosci wykonanych

w tych samych warunkach pozostaj~ stale zar6wno co do wartosci bezwzgl~dnej, jak

'Defmicj~ stosowanych ~jyc z omawianego tu zakresu zagadnien podajemy zgodnie 2. Polskimi Nonnamt .PN-71/N-02050, §9. Bl~y wynikow pomiarow i bl~dy nar:z¢zi pomiarowycb.

8 Rozdziat 1

i znaku. Wraz ze zmianct warunk6w bhtd systematyczny zmienia si~ wedrug pewnej,

okreslonej zaleznosci. Wsr6d przyczyn bl~6w systematycznych mozna wymienic

m.in.: blctd wzorcowania miary, blctd atestowania, ·wplyw temperatury, cisnienia, wil­

gotnosci, pol elektrycznego i magnetycznego, tarcie mechanizm6w ruchomych przy­

rzctdu, bezwladnosc mechanicznct lub cieplnl\, histere~ mechanicznl\, cieplnct itp. Przy­

czyny bl~dow mog(\ tkwic w ograniczonej mozliwosci naszych zmysl6w, np. subiek­

t¥Wna ocena jasnosci i barwy pol a widzenia pirometru. Cz~sto spotykanym bl~em jest

odczyt poloi.enia wskaz6wki pod dui.ym kcttem (tzw. blqd paralaksy). Blctd moze wy­

nikac z zastosowania niepoprawnej metody pomiarowej, np. przez nieodpowiednie

podhtczenie woltomierza o matej opomosci. Wi~kszosc bl~d6w systematycznych moi:­

na wyeliminowac stosujqc dokladniejsze przyrzqdy, przestrzegajctc zalecenia produ­

centa przyrzctdu, wprowadzajqc automatyzacj~ i komputeryzacj~ pomiar6w.

Mierzctc wielokrotnie okreslon<t wielkosc (doktadnym przyrz<tdem!) moina za.

uwazyc rozrzut wynik6w. a r6znice mi~dZ)' kolejnymi w)nikami pomiar6w mog:t na­

wet przekraczac blctd systematyczny. Kai:dy z takich pomiar6w obarczony jest bl~dem

przypadkowym. Przyczyna bl~d6w przypadko.,.vych nie jest zanvyczaj znana, nie

mozna ich tei. wyeliminowac, moina natomiast okreslic ich wptyw na ostateczny wy­

nik wielkosci mierzonej.

Bl~dy grube (lub nadmiarowe) wynikaj~t zwykte z niestarannosci osoby wy­

konujqcej pomiary. Moze to bye ile wykonany odczyt. pomylka w zapisie (np. prze­

stawienie przecinka dziesicctnego ), blccdne przyj~cie stosowanego zakresu pomiarowe­

go lub zamiana jednostek. Bt~dy grube mozna stosunkowo latwo zauwazyc i wyelimi-

nowac.

Jak juz wspomniano, wynik pomiaru bez okreslenia dokladnosci (blccdu, nie­

pewnosci) jest WC\_tpliwy. Wartosc rnierzona zawsze zwillZ3Jla jest z bl~dem pomiaro­

wyrn i nie jest wai:ne, czy ten blctd jest dui.y, czy te:i: rnaly.

Rozr6inia sicc blccdy bezwzgl~dne i wzgl~dne.

Blqd bezwzglfdny oznacza odchylenie wyniku pomiaru od wartosci ,,rze­

czywistej " (zwanej tez wartoscictpoprawnv i podawany jest w jednostkach wielko­

sci rnierzonej, np. t ± ilt = (8,4 ± 0,2) s.

9la.d pojedynczego pomiaru 9

Blqd wzglfdny wyratony jest stosunkiem blC(du bezwzgl~dnego do wielkosci

rnierzonej

(1.1)

Zwykle opr6cz wyniku pomiaru podaje si~ blqd procentowy, czyli bl<\_d

,,·zgJt;:dny wyraiony w procentach:

ox = I~I ·IOO[%], (1.2)

np. t = (8,4 = 0.2) s, 8t = 0.2·100/8,4 = 2.4%.

Dokladnosc stosowanego przyrzctdu determinuje minimalnct wanosc bl~du sys­

,ematycznegoJ. Dla wzorc6w pomiarowych (np. odwai.nik6w, plytek wzorcowych,

rezyswr6w i kondensator6w wzorcowych) oraz niek.'16rych przyrzqd6w pomiarowych

cmanometrow. miernik6w elek'trycznych) wprowadzono pojt;:cie klasy. Przyrzctdy SC\.

tak konstruowane, ze wyniki prawidlowo wykonanych pomiar6w r6tniq si~ od warto­

sci rzeczywistej (wzorcowej) nie wi~cej nii: o wartosc odpowiadajctcct klasie przyrzct·

du. Klasa przyrz.~tdu podawana jest w procentach i okre5la blqd wzgl~dny dla V.')'chyle­

nia r6wnego stosowanernu zakresowi.

Wartosc najmniejszej podzialki na skali pt'ZYfZ<Itdu nazywa si~ dokladnosciq

odczytu . Dokladno5c skali jest uzaletniona od klasy przyrz<tdu. Klasa przyrzqdu

U\vzgl~dnia wi~c blccdy systematyczne skalowania. Stosujqc przyrz<tdy z bezposrednim

odcZ}'tem nie powinniSmy odczytywac ~sci (ubmk6w) podzialek. W pewnych przy­

padkach dopuszcza si~ przyjmowanie doldadnosci odczytu mniejszej od wartosci naj­

mniejszej podzialki skali. Moz.na tak post~powac, gdy zachodzi przynajmniej jeden

zwarunk6w:

• interesuje nas r6i:nica wskazail przyrzctdu,

1 Bla,d systematyczny mote wynikac z samej metody pomiarowej i wowczas nie wystarczy uwzgl~d­nienie dokladno5ci przyrza,du.

10 Rozdzial1

• vrysoka klasa pfZYI'Z'tdu pozwala zastosowac wi~kszq doldadnosc odczytu (po­

dzia!ki skali nie odpowiadaj~t rzeczywistej doldadnosci),

• podzialki skali set wystarczajetco odlegle,

• wskaz6wka jest znacznie cieilsza od wartosci podzialki.

Przyldad 1.1

Podaj wartosc wskazania noniusza suwmiarki pokazanego na rys. 1.1.

6 7 8 !. llll!l l ! ll ' II I II II",,,, II I

:111 I I t II lj

/ 0 \ 10 I \ :

67 mm 67,4 mm

Rys. 1.1 . Wskazanie noniusza suwmiark.i

Dzialki noniusza zastosowanej suwmiarki set kr6tsze od dzia!ek skali mili­

metrowej o 0,1 mm (odcinek 9 mm podzielono na 10 c~ci). Taki noniusz pozwala

mierzyc dhlgosc z dokladnosciet 0,1 mm (0,01 em). Wynik pomiaru zapisujemy w po­

staci: I = (67,4 ± 0,1) mm. Oznacza to, ie drugosc zmierzonego odcinka zawarta jest

w przedziale: 67,3 + 67,5 mm. W pracowni stosujemy r6wniez suwmiarki z dokladno­

scia. 0,05 mm (rys. 1.2). Noniusz takiej suwmiarki rna 20 dzialek. Podobnie dziala no­

niusz do odczytu ketta, stosowany m.in. w polarymetrach.

4 4,45 5 6

I "I I I I I ,, I, I I II I rl t I, I I ,, I I I ~ jl'' I " "' 1.! ,!, ,, I" "" " I I J'l'l 'l' l'fil'l 0123 • 58 7 89

Rys. 1.2. Noniusz suwmiarki o dokladno5ci 0,05 mm

PrzykJad 1.2

Wskazanie miemika (np. mi1iamperomierza) pokazano na rys. 1.3. Wskaz6wka

ustawila si~ w srodku pomi~dzy dzialk:ami odpowiadajetcymi wartosciom 33 i 34. Male

podzialki mo:iemy ,w mysli" podzielic na kilka c~sci i odczytac wartosc wskazania

~ctd pojedynczego pomiaru .:.---

11

z ,,·i~kszct dokladnoscict. Bez zadnych prob1em6w moi:na odczytywac wskazania z do­

kladnoscia. do 112 dzialki, czasami udaje si~ odczytywac z dokladnoscia. do 1/5 dziatki.

),"ie z.alecamy odczytu z dokladnoscia, 1/3 Jub 1/4 dzialki, a odczyt z dokladnosci~t 1110

dzialki j est spekulacja,. Czy motemy przyja,c, ze zmierzone nat~i:enie pr~du I =

33.5 mA? Zasadniczo - nie.

Rys. 1.3. Wskazanie miliamperomierz.a

0 tym, z jak~ doktadnosci~ podamy wynik pomiaru, decyduje klasa miemika.

Wynik pomiaru nalei:y zaokr(\glic zgodnie z regulami podanymi w rozdziale 6 (za­

okr~lanie "'-')'Ilik6w). Producent miemika cechuj~c miemik przyja.l dokladnosc r6wna.

wanosci dzial:ki, czyli w tym przyktadzie 1 m .t\, i my nie moiemy tego zmieniac. M6-

wimy, ze pomiar nat~tenia pr(\du za pomOC4 tego miemika wykonalismy z dokladno­

sci<t 1 rnA. Skale miemik6w maj~t zwykle 1 00, 150, 200, 300 podzialek. Dla miemi­

k6w dokladnych (o mnie~zej wartosci klasy, np. 0,2) stosuje si~ dwukondygnacyjn(\

skal~ (miemiki z taka. sK.al~t stosujemy w naszym laboratorium).

Przyldad 1.3

Stoperem elelaronicznym zmierzyliSm y czas opadania kulki pomi~dzy dwiema

rysami w wiskozymetrze Stokesa t = 7,53 s. Zapisz wynik pomiaru.

W omawianym przykladzie bla,d pomiaru jest wi~kszy od 0,01 s! Moina si~

o tym przekonac naciskaja.c kolejno po sobie przyciski START i STOP. Zmierzony

czas zale:ly od naszego refleksu i od sprawnosci palc6w i daje zapewne wartosc wi~k­

SZ<t od 0,10 s. Szacujemy wi~c, ie dokladnosc pomiaru czasu takim stoperem > 0,1 s

i nie popelnimy duZego bl~u, przyjmuj~tc nawet llt = 0,2 s. Wynik pomiaru zapiszemy

w postaci

t = (7,5 ± 0,1) s

12 Rozdziat 1 ·

lub

t = (7,5 ± 0,2) s

lub jeszcze inaczej:

7,4 s < t < 7,6 s.

Gdyby naszym zadaniem byl pomiar r6znicy czasu pomi~dzy dwoma zdarze­

liami, to moina dwukrotnie odczytac wskazanie tego stopera z dokladnosciq 0,01 s.

:oraz cz~sciej stosujemy mierniki wielkosci nieelektrycznych (termometry, barometry,

:vilgotnosciomierze) z "''Yswietlaczem cyfrowym. Czy S<t one dokladniejsze od przy­

Z<td6w klasycznych? Zazwyczaj nie!

W grupie miemik6w elektrycznych "''Yr6zniamy:

• miemiki analogowe,

• mierniki cyfrowe,

• liczniki (przeliczniki),

• komputerowc karty pomiarowe.

'. 1. ANALOGOWE MIERNIK/ ELEKTRYCZNE

W przypadku stosowania miernik6w elektrycznych wielkosci elektrycznych (np.

roltomierza, arnperomierza, cz~stotliwosciomierza) i nieelektrycznych (np. termometr

porowy, weberomierz itp.) metoda okreslania bl~du pomiarowego zale.zy od zastoso­

•anego rodzaju wskazywania wartosci. Klasa miemik6w analogowych (wskaz6w­

owych, z plarnkq swietln~ z rezonatorami) okrdla blctd procentowy odpowiadaj<4_cy

1aksymalnemu wychyleniu (wartosci stosowanego zakresu).

Blqd bezwzgl{dny pomiaru takimi miemikami okresla wz6r:

~~ = klas~~:;mes. , (1 .3)

atctd pojedynczego pomiaru 13

Blqd bezwzglfdny nie zale.zy wi~c od wartosci wielkosci mierzonej dla da­

nego zakresu miemika. Natomiast bl14:d wzglcrdny, zgodnie z wzorem (1.4), bcrdzie

Z\-Vie(kszal si~ przy zmniejszaniu si~ wychylenia wskaz6wki miemika

6.X zakres [o ] oX = . = klasa · . Yo wychyleme wychylente

(1.4)

i dlatego zaleca sicr dobierac taki zakres miemika, aby wychylenie X nie bylo mniejsze

od 213 zakresu. Z drugiej zaS strony zmiana zakresu miemika zmienia calkowit<t opor­

nosc obwodu i wykonujqc seric;: pomiar6w nale.zy zmieniac zakres miemika tylko

w uzasadnionych przypadkach (np. wtedy, gdy opomosc woltomierza jest znacznie

wi~ksza od opomosci zast~pczej badanego obwodu).

Rodzaj pr14du Ustawienie miernika

staly poziome 11

zmienny - pion owe j_

staly i zmienny - ukosne f!o·

Rodzaj prctdu Napi~cie przebicia

magnetoelek\ryczny (] izola*kV

elektromagnetyczny 3 Klasa miernika

0,5 ferrodynamiczny ® elektrostatyczny

_l_

T Rys. 1.4. Symbole opisuj~ rodzaj miernika, poloienie i klas~

Mierniki laboratoryjne maj<4_ zwykle klascr 0,2, 0,5 i 1; klasa miemik6w

technicznych v.ynosi I , 1,5 lub 2,5. Wartosc klasy danego miemika umieszczona jest

na skali zwykle poniZej podzialki na koncu szeregu symboli. Na rys. 1.2 pokazano naj­

cz~sciej stosowane symbole oznaczaja,ce kolejno rodzaj prqdu (staly, zmienny), zasad~

dziatania miernika (np. magnetoelektryczny, e1ektromagnetyczny, elektrodynamiczny,

14 Rozdzi<N 1

elektrostatyczny), poloienie robocze (poziome, pionowe, ukosne), napi~cie pr6by

przebicia izolacji (w kV) i klas~ miemika.

Dokladnosc odczytu uzaletniona jest od klasy miemika. Odczyt z dokladnosci~

do najmniejszej dziatki daje blctd wzgl~dny mniejszy od I%. Dla miemik6w laborato­

ryjnych wskazanie moina interpolowac pomi~dzy dzialkami skali (rys. 1.3). Na po­

dzialce tych miemik6w znajduje si~ zwierciadelko, pozwalajqce wyeliminowac hlctd

paralaksy (patrzqc z gory na skat~ miemika nie powinnismy zobaczyc odbicia wska­

z6wki w zwierciadle).

Przyldad 1.4

Za pomocq miliamperomierza klasy I i o zakresie 30 mA zrnierzono dwukrotnie

r6ine nat~zenie pr<!du i1 = 23 rnA i h:: 4,0 rnA Oblicz hlctd bezwzgl~dny i wzgl~dny

tych pomiar6w.

Bl<td bezwzgl~dny pomiaru nat~ienia prqdu nie zaleiy od wskazania i v.'Ynosi

· w obu przypadkach:

Lli = I . 30 = 0 3 rnA. 100 '

BJ~dy wzgl~dne pomiar6w wynoszq odpowiednio:

Si = 0•3

·100 = 13% I 23 '

. s:· 0•3 100 1 ul2 = -· = 7,5% . 4

W drugim przypadku hl<td wzgl¢ny pomiaru jest 7,5 razy wi~kszy od klasy

miemika.

Przyldad 1.5

Watomierzem k1asy 1 zmierzono moe :zar6wki P = 45,3 W. Oblicz hlccdy pomia-

rowe.

Watomierz rna dwie cewki (prqdow'l i napiccciow<U skrzyzowane ze sobq. Moz­

na niezaleinie zrnieniac zakresy prqdowe i napi~ciowe wlqczajqc dodatkowe opomiki.

B~d pojedynczego pomiaru

1. Dla zakres6w prqdowego 0,5 A i napi<[ciowego 100 V hlqd pomiaru mocy:

6P = 1·0,5·1 001100 = 0,5 w,

oP:: 1·50/45,3 = 1,1 %.

15

2 . Po przel<tczeniu na zakres prqdowy 1 A i napi~ciowy 200 V otrzymamy od-

powiednio:

LlP :;::: 1·1·200/100 = 2,0 w, oP:: 1·200/45,3 = 4,4%.

Przypomnijmy, ie pomiar miemikiem jest poprawny, gdy op6r woltomierza jest

znacznie wi~kszy od oporu R (polqczonego z nim r6wnoleg1e ), a op6r amperomierza -

znacznie mniejszy od szeregowo wlqczonego oporu badanego R. Skm1czone wartosci

oporu miemik6w wi¥<t si~ z zastosowaniem odpowiednich poprawek. Wartosc oporu

wewn~trznego podawana jest zwykle na tabliczce znamionowej miemika.

a.

b .

1® IA=IR R

:..

~ ®'A IR R

) Aq ®

a)

I b)

I

I R ::: IA

UR =Uv-l·RA

u I = I - -

R A R v

Rys. 1.5. Uklady pcl~tc:zen woltomierza i amperomierza

Op6r wewn~trmy arnperomierza moina obliczyc ze wzoru:

R = U...,. A I '

D

(1.5)

gdzie Umax - dopuszczalny spadek napi~cia na miemiku, In - zakres pomiarowy ampe-

romierza.

16

Op6r woltomierza obliczamy nastftpujl\_co:

R = U. v I '

IIW

Rozdzial1

(1.6)

gdzie Imax • dopuszczalne natl(ienie pr£tdu plyn£tcego przez woltomierz., U,. - zakres

pomiarowy woltomierza.

Na rys. 1.5 pokazano dwa schematy uklad6w pomiarowych z zastosowaniem

woltomierza i amperomierza: a) uklad poprawnie mierzonego prl\_du (dla dutego oporu

R) i b) uklad poprawnie mierzonego napi~cia (dla malego oporu R).

1.2. MIERNIK/ ELEKTRON/CZNE CYFROWE

Coraz CZ((sciej stosujemy miemiki cyfrowe z wyswietlaczami jarzeniowymi,

luminescencyjnymi lub cieklokrystalicznymi. Miemiki te majll wiele zalet:

• Sl\_ zwykle dok!adniejsze od analogowych,

• ui.ytkownik unika bl~d6w zwil\_Zanych z paralaks<t,

• podaj<t bezposrednill wartosc wielkosci mierzonej,

• woltomierze majll bardzo du4 opomosc wewn~trznll (nawet ~du G.Q).

W duiym uog6Jnieniu zasad~ dzialania elektronicznych miemik6w cyfrowych

mozna przedstawic nast~tpujl\_co. Przylozone napi~cie przetworzone jest na odcinek

czasu. Wielkosc tego czasu mierzy sitt liczbll impuls6w wewn~trznego generatora

o okresie T. W celu por6wnania napi~cia mierzonego Ux z napi~iem wzorcowym Uw

(stabilizowanym diod<t Zenera) stosuje si~t uklad calkujl\_cy (integrator). Po przyloi:eniu

mierzonego napi~cia (stalego lub zmiennego wyprostowanego) napi~cie na wyjsciu

integratora narasta liniowo z czasem:

(1.7)

Bt.\d pojedynczego pomiaru 17

0 ----- - -- ---'1-------L..--~ ux------------------~

0 t1 <·-- - - -''--- -

.. -> t t

~---L>.

Rys. I. 6. Zasada dzialania woltomie~ cyfrowego

Przelicznik zaczyna zliczac impulsy. 10 000 impuls zeruje przelicznik, a do in­

tegratora podJ<tczone zostaje napi~cie wzorcowe o przeciwnej biegunowosci. Napi~cie

"''yjsciowe integratora maleje i z chwilll osi(\gfli~cia wartosci zerowej przelicznik zo­

Stanie zatrzymany.

Poniewai: spcl:niony jest warunek

A · U 1

· t , = A· U w • t 2 (1.8)

oraz t 1 = I OOOOT, a t2 = nT, wi~c liczba zliczen ukladu licU\cego jest proporcjonalna

do napi~cia mierzonego i nie zaleiy od okresu generatora ani od stalej A integratora:

n= 10000·~. U..,

( 1.9)

Miemiki r6:Zni<t si~ stall\_ integratora, liczb<t zliczanych impuls6w, liczba. cyfr

wyswietlacza, lecz idea dzialania jest zasadniczo ta sama.

Bla.d bezwzgl~dny wielko5ci mierzonej X wyrai:a si~ wzorem:

I KJasa · Wskazanie W 0 . ·c ~ I 6X = 100

+ n · aga StatnleJ Yu/ (1.10)

18 Rozdzial1

i zale:ly od wskazania miemika (od wskazania zale:ly liczba zliczonych impuls6w).

Klasa wi~kszosci miemik6w cyfrowych wynosi 0,5 . Waga ostatniej cyfry zale:ly

od stosowanego zakresu i wynosi np. 1, 0,1, 0,0 I jednostek wielkosci mierzonej, np.

dla wskazania 145,3 - waga ostamiej cyfry wynosi 0,1. Mnoznik njest liczb~ calkowit:(\

i zaleiy od typu miemika i rodzaju mierzonej wielkosci.

Pomiary napi~c i pr<td6w zrniennycb, opomosci, pojemnosci lub cz~stotliwosci

obarczone S<t wi~kszym bl~dem: klasa wynosi w6wczas 0,8, 1 ,2, a nawet 2,0; natomiast

waga ostatniej cyfry jest mnozona przez 2, 3, 5, a nawet 10.

Na rynku istnieje r6tnorodnosc miemik6w cyfrowych, a wartosci klasy dla da­

nego zakresu podane s<~_ kai:dorazowo w instrukcji obshlgi miemika. W koncowej cz~­

sci opracowania podajemy tablice pomocnicze do okreslania bl~d6w pomiarowych

typowych miemik6w cyfrov.'Ych srosowanych w pracowni .

Wartosc bl~tdu wzgl~dnego pomiaru miemikiem cyfrowym obliczamy za pomo­

q wzoru:

oX = Klasa + n · WagaOstatniejCyfry · lOO[%]. Wskazanie

(1.1 1)

Zar6wno bl~d bezwzgl~dny, jak i wzgl~dny zalei.<t od wartosci pomiaru wska­

zywanej przez wyswietlacz miemika.

Przyk.Jad 1.6

Narysuj wykresy zalemosci pf<tdowo-napi~ciowej cewki z uwzgl\!dnieniem hl\!­

d6w pomiarowych wg danych z ponii.szej tablicy.

Prctd staly Prctd zmienny

UM i [mA] UM i[mA1 0,000 ± 0,001 0,00 ±0,02 0,0 i 0,3 0,00 ±0,03 1,000 ± 0,006 14,36 ± 0,13 1,0 ± 0,3 8,96 ± 0,14

2,002 ± 0,011 28,72 ±0,25 2,1 ±0,3 19,12 £0,26

2,999 ± 0,016 42,3 ± 0,7 3,0 ±0,4 32,35 :t 0,42

4,01 :1::0,03 57,1 ± 0,9 4,1 ±0,4 41 ,2 ± 1.0

5,00 ±0,04 70,3 ± 1,0 5,0 ± 0,4 49,3 ± 1,2

5,99 ±0,04 79,9 ± 1,2 6,0 ±0,4 59,8 ± 1,4

91a.d pojedynczego pomiaru 19

Pomiary '\'Ykonano miemikami typu METEX 80. Wartosci bl\!d6w zwi~kszaj(\.

si~ wraz ze wzrostem wielkosci mierzonej . S~ tez r6tne dla pomiaru wielkosci pr<\,du

srelego i zmiennego.

i {mA]

80

70

60

50

<O

30

10

0 2 3 4

Prqd zmienny

5 6 U(VJ

Rys. 1.7. Wykresy zah;i:nosci prqdowo-napiyciowej dla cewki (ze stupkami bt~d6w)

Przyk.Jad 1. 7

Miernikiem V56l zmierzono napi~cie (stale) U = 2,47 V na tar6wce, a nat\!:ie­

nie plyn~cego pf<tdu mie.mikiem METEX-80 otrzymuj(\.c wartosc i = 12,2 rnA.

j72.2 rtR I Korzystaj~c ze wspomnianych tablic bl~d6w miemik6w cyfrowych obliczamy

bl~dy pomiarowe:

a) bl<\,d porniaru stalego napi~cia miemikiem V561 (klasa 0,5, , WagaOstatniej­

Cyfry"- 0,01 V)

ilU = 0,5·2,47/100 + 0,01 = 0,0224 V:: 0,03 V;

20 Rozdzial1

ou = o,03·100/2,47 = 1,2%,

b) bhtd pomiaru nat~zenia prc:tdu statego miemikiem METEX-80 (klasa 0,8,

,.WagaOstatniejCyfry" - 0,1 mA, mnoi:nik n = 2)

~i = 0,8·12,2/100 + 2·0,1 = 0,298 : 0,3 mA ;

oi = o,3·I00/12,2 =is%.

1.3. PRZELICZNIKI

W przypadku pomiaru nat~zenia promieniowania j<~.drowego na bl~dy wynikaj<~.­

ce z dokladnosci przyrzctd6w oraz niedokladnosci samej metody pomiarowej naktadaj<t

si~ flukruacje zwiqzane z zachodzctcymi procesami fizycznymi. Zjawiska wwarzys:z<tce

detekcji promieniowania j(!drowego maj<~. charakter statystyczny. Prawdopodobienstwo

tego, ze w czasie t zarejestrujemy x czctstek, okres1one jest prawem Poissona rozkladu

statystycznego:

- 2

P X -i

=-e • x! , (l.l 2)

~dzie :X - wartosc srednia z1iczeil z wie1u pomiar6w. D1a duzej wanosci_ sredniej 1iczby

~1iczen rozklad Poissona przechodzi w rozklad Poissona om6wiony w nast~nym roz­

iziale. Do z1iczania impu1s6w elektrycznych pochod:z<tcych z detektorow stosuje si~

,rze1iczniki. Liczba zliczen jest proporcjonalna do liczby impu1s6w, a rozklad 1iczby

:1iczen okres1ony jest r6wniez rozkladem Poissona. Pomiar 1iczby z liczeil realizuje si~

1a dwa sposoby:

1) w ustalonym czasie mierzy si~ liczb~ zliczeii,

2) mierzy si~ czas zliczania ustalonej liczby zliczen.

Opieraj&,c si~ na rozkladzie Gaussa moi:na wykazac, i:e blctd liczby zarejestro­

'anych C:z<tStekjest proporcjonalny do wartosci sredniej X:

cr, = .Jx. (1.13)

,..,, d pojedynczego pomiaru ~

21

Prawdopodobienstwo tego, i:e zmierzona liczba c.:z<tstek zawarta jest w prze­

dz_iale ( x - crx, x + Ox), wynosi:

x+o •.

JP,dx = 0,6827. i -o.

Prawdopodobienstwo, i:e wartosc zmierzona x r6i.ni si~ od wartosci sredniej

0 roniej niZ wartosc bl~du (1.13), wynosi 68,3%.

Wykonuj'lc pojedynczy pomiar 1iczby zliczeri N moi:na temu pomiarowi przypi-

sac bl&,d

ILW =~- 1 ( 1.14)

Prawdopodobieristwo tego, ze roi:nica pomi~dzy wartosci'l zmierzon<t.liczby zli­

czen '!'a wanoscict oczekiwan<t. jest wi~ksza od .JN, wynosi 31 ,7%. Zauwaimy, ze

bl¢) wzgl~dne liczby zliczen za1eil\_ w spos6b bardzo wyratny od 1iczby z1iczen:

LlN..fNI oN=-= - =-.

N N .JN (1.15)

Celem zmniejszenia bl~du wzg1~ego (np. ponii:ej 1 %) na1ei:y zwi~kszac czas

zliczania tak, aby Iiczba zliczeil byla wi~ksza od 10 000.

Przyklad 1.8

Obliczyc bt¢y zliczania, jesli liczba zliczeii wynosi:

a)N= 12 345:

.6.N = .JI2345 = 111,

bllld wzgl¢ny

oN= 111112345·1 oo = o,9%.

b) N = 123:

.6.N = .J123 = 11,1,

ON= 9%.

22 Rozdzial 1

c) N = 0:

Dla malej Iiczby zliczen obowi4Zuje.rozklad Poissona i liczb~ najlepiej przybli­

zaj~q rzeczywist<\_liczb~ zliczen jest wartosc N + I zgodnie z v.rzorem:

W tym przypadku bl~d Iiczby zliczen okresla wz6r:

Jesli podczas pomiaru nie zarejestrujerny zadnego zliczenia, to wynik naleiy za­

pisac w postaci:

N = 1 ± 1,

a gdy zarejestruje sitt jed no zliczenie (liczba zliczeil jest liczbl't calkowit~ a bl~d Iiczby

zliczen - liczb~ rzeczywist<l.):

N=2 ± 1,4.

PrzykJad 1.9

W czasie t = 43,15 s zliczono N = 104 impuls6w. W przeliczeniu na 1 minutcc

otrzymamy:

a bl&d:

.1N"1 = JN: = .jl3904,98 = 117,9.

Wynik koncowy zapisze.ti:· w postaci:

Nl = 13 905 + 118,

a po zaokrltgleniu:

tit = 13 900 ± 120,

Liczba zliczen zawarta jest w przedzia1e:

14 020 > N1 > 13 780.

sr.td pojedynczego pomiaru 23

PrzykJad 1.10

Liczba rejestrowanycb impulsow zwil\_Zanych z detekcj~ c~stek ~ zaleiy od

grubosci absorbema d:

odzie J.l - wsp6kzynnik pochlaniania Na podstawie porniar6w zalei:nosci liczby zli-e

czen od gruboSc.i absorbenta wykresl krzyw~ absorbcji z uwzglccdnieniem bl¢6w Iicz-

by zliczen. Bla.d grubosci absorbenta w tym przypadku pomijamy.

d[mm] N d{mm] N

0,00 1000 ± 32 0,16 580 ± 25

0,02 930 ± 31 0,18 540 ± 24

0.04 860 ± 30 0,20 500 ± 23

0,06 800 ± 29 0,25 420 ± 21

0,08 730 ± 28 0,30 360 ± 19

0.10 700 ±27 0,35 300 ± 18

0,12 670 ± 26 0,40 280 ± 17

0,14 620 ± 25

1~j

800

600

400

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 d [mm]

Rys. 1.8. Knywa absorpcji cz.llSlek 13 w aluminium

24 Rozdzi<N 1

BJ~d liczby zJiczen obliczarny wg wzoru (1.14). Na rys. 1.8 pokazano wykres

krzywej absorpcji CZ<4_stek P w alwninium z uwzgl~nieniem bl~d6w zliczania.

2. WARTOSC SREDNIA SERII POMIAROW I JEJ BtAD

BJ~d pojedynczego pomiaru nie jest miar<t dokladnosci danej metody pomiaro­

wej. Nigdy nie rnoi.emy poznac wszystkich przyczyn bl~d6w systematycznych, ani tych

bl~d6w wyeliminowac. Jednyrn ze sposob6w zwi~kszenia stopnia przyblii.enia warto­

~ci eksperymentalnej danej wielkosci do wartosci rzeczywistej jest wykonanie serii

pomiar6w. Irn dokladniejszym przy~dem wykonujemy pomiary, tym bardziej celowe

JeSt wykonanie serii pomiar6w. Nie ma sensu po\'ltarzania pomiar6w, jesli btqd przy­

padkowy j est znacznie mniejszy od dokladnosci pomiaru, a kolejno pomiary S<t takie

:'arne.

W serii n pomiar6w wielkosci x; kai.dy z pomiar6w obarczony jest innym blcc­

dt:m bezwzgl~dnym ox;. Moze si~ zdarzyc, ie n; pomiar6w bccdzie obarczonych takim

samym bl~em (z okreslon~t dokladnosci<t ll - co oznacza, i:e r6i:nica mi¢zy warto­

sciami tych bl~d6w nie jest wi~ksza od wartosci ll), a prawdopodobienstwo wystqpie­

nia takiego bl¢u wyniesie:

p = n; . , n

Przypomnijmy, :ie bl~dy przypadkowe charakteryzujq sicc nastccpuj<tC)-'Illi prawi­

dlowosciami:

• wystqpienie bl¢u o wartosci + 8 i bl~du o wartosci - 8 jest tak samo prawdopodob-

ne,

• prawdopodobienstwo wystqpienia bl~du o wartosci 8 maleje ze wzrostem 181,

• najwiccksze jest prawdopodobienstwo wystiij>ienia blccdu 8 = 0 (a scislej - zawartego

w przedziale (- ll, + ll).

26

2.1. PRAWO GAUSSA ROZKtADU Bt~DOW

Jesli sposr6d n pomiar6w n; jest obarczonych bl~ctem w granicach O; ± ~

przy duzej liczbie pomiar6w prawdopodobienstwo wysuy>ie.nia takiego bl~du wynies·

Wprowadirny wielkosc:

P I. Jl;

, =1m-. n-+~ n

. P(5) <p(o)=hm-

•Ho a

zwan<t g~stosciq prawdopodobienstwa b/~d/Jw przypadkowych. Praw

bieilstwo tego, ze bl<td o zawiera si~ w matyiTl przedziale do, jest proporcjonalne

g~stosci prawdopodobienst\va

P(o) = <p(o) ·d8

a zgod~ie z warunkiem nonnalizacyjnym spetruon~jest relacja:

(2.2)

Funkcja <p(o) zgodnie z podan<t wczesniej definicj<t bl¢6w przypadkowych,

musi spelniac nastcrpujctce warunki:

t) <p (o) ~ o; <p (+ o) = <p c-o).

2) <p (oJ) > <p (&2),jesli loti< J&2J.

3) max. <p (o) = <p (0); min <p (&) = <p (± oo).

Motna wykazac, i:e powyi:sze warunki spelnia funkcja:

(2

Poniewaz wartosc calki wynosi

(2.4)

warto&C srednia i jej bi<l_d

.,.00ctnie z wzorami (2.2 + 2.4) stala calkowania przyjmie wartosc: tO~

h C=- (h> O).

.[;.

po ·wstawieniu tego do wzoru (2.3) otrzymamy ostatecznie funkck

27

(2.5)

z,van<t funkcjq Gaussa (lub Gaussa prawem rozkladu bl~dow). Wielkosc b

0 azywa si~ miarq precyzji . Na rys. 2.1 przedstawiono wykresy rozktadu g~stosci

prawdopodobienstwa dla r6illych miar precyzji b . Ze wzgl~du na ksztalt krzywe nosut

nazw~ , dzwonowycb".

.------T~-c~~--~~~-----r~~~~----~0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Rys. 2.1 . Krzywa rozldadu g~sto5ci prawdopodobienstwa

Dalsze nasze rozwai:ania poprowadzimy przy nastccpujll_cych zalozeniach:

l) pomiary wykonano tym samym pfZYI'Zl\.dem (pomiary o jednakowej dokladnosci),

2) bl~dy sys~ematycme zost.aJy skompensowane tub ~ pomijalne w stosunku do blcc­

d6w przypadkowych,

Rozdziaf 2

3) liczba pomiar6w jest wystarczaj~co duza (w naszej pracowni warunek ten b~e spehliony, jesli liczba pomiarow o ~ 6).

Na pocz.<ttku XIX w. Legendre i Gauss zaproponowali metodft najmniejszych

kwadrat6w1, kt6rej zasadajest nast~puj~ca:

I) wynik kolejnego pomiaru X; moina uwazac za sumft pewnej wartosci sredniej

i tzw. odchylenia ei

(2.6)

2) suma kwadrat6w odchylen powinna bye najrnniejsza:

n n

2:>:,2 = I(x, - xY =min.

t-=J 1•1 (2.7)

Jesli obliczymy pochodn<t wyratenia (2. 7) po kolejnych wartosciach x; i otrzy­

many V.')'nik przyr6wnamy do zera

2I(x, - x)= o, o• l

a nastftpnie otrzymane wyrazenie przeksztakimy nast~puj<tco

nx-i:x,=O i·l

to otrzymamy ostatecznie:

(2.8)

Wykazalismy, ze wartoscict najbardziej prawdopodobnct dla danej serii pomia­

rowej jest hednia arytmetyczna. Latwo pokazac, ze druga pochodna sumy kwa-

1 .w 1806 r. A_· M: ~gendre opubl~owal traktat astronomiczny, w kt6rym zaproponowal zastosowa­

nt~ m~t~y naJrnnleJszych kwadratow do oceny doktadno$ci pomiar6w. Podstawy teoretycme metody n~J~IeJ~zyc.h kwad~t6w ~rz.ed~wil C. F. Gauss w 1809 r. w mooografij astronornicznej 0 rucbu eta! ntebJeskJch wok61 Slonca. Kilka l~t p6iniej P. s .. de Laplace (1812 r.) w spos6b niezaleiny od wywod6w Gaussa podaJ podstawy teom prawdopodob1eristwa.

wartosc srednia i jej btq_d 29

drat6W odchylen liczona po zmiennych x; jest dodatnia (2n > 0). Metoda obliczen

opana na powytszycb postulatach nazywa si~ m etodq Gaussa najmniejszych

~;wadratow tub m etodq wyrownawczq.

Prawdopodobieilstwo tego, :ie bhtd zawiera si~ w przedziale (-a, +a), obliczymy

korzystaj~c z funkcji rozkJadu blctd6w Gaussa:

Podstawiajctc t = hx otrzymamy tzw. calkft bl¢6w:

2 baf _,, PQ = -r e dt.

' '1t 0

Calka ta moie bye W)Tai:ona przez tzw. funkcj~ Laplace'a

Cl>(x) =--.== Jexp --t2 ldt,

1 • ( 1 \ '-'21t 0 2 )

kt6ra Jest stabelaryzowana w wielu opracowaniach. Wstawiajctc

otrzymamy ostatecznie:

't t= -

.fi

Obliczmy wartosci calki bl¢6w dla kilku szczeg6lnych przypadk6w.

(2.9)

(2.1 0)

(2.11)

1) Blqd prawdopodobny Q - z takim samym prawdopodobienstwem bl<td

moze bye mniejszy lub wiftkszy od IQl (co do moduiu), czyli PQ = 0,5. Daje to wartosc:

Q = 0,4769_ h

2) Blqd sredni jest wartoscictprzecifttrutmoduiu blftdU

. .. t = ~qcp(&)de = 2 Jt<p(&)de.

0

(2.12)

30

_ 2h "j xp( h 2 2 )d exp(-h2t

2).. 1

t = .fit o te . - t E = hJ2 o = hJio

3) Blqd sredni kwadratowy jest pierwiastkiem kwadratowym z Ul,. ...... ,, ...

przeci~tnej kwadratu bl~du, co daje:

1 cr---- h.J2 0

~rp(8)

przedzial ufnosci

Ryso 202. Przedzial ufnoSc:i

Wartosc ta odpowiada odci~tej punktu przegi~cia krzywej rozkladu nrP.nm""·

Wielkosc cr na.zywa sicr odchyleniem standardowym rozkladu blcrd6w i rna

wicrksze znaczenie w analizie bl¢6w przypadkowycho Prawdopodobienstwo tego,

pomiar wykonano z blcrdem nmiejszyrn od odchylenia standardowego (co do ... -..uu•u..,

wynosi 68,2%0 Okolo 2/3 pomiar6w (68.2%) mie5ci sicr w przedziale (-cr,

w przedziale (-2cr, +2cr) zawartych jest 95 ,4% pomiarow, a przedzial (-3cr, +3cr)

muje prawie wszystkie pomiary (99,7%)0 Odchylenie standardowe wymacza

przedzial ufnosci zmiennej losowejo Prawdopodobielistwo malezienia wyniku

miaru wewruttrz przedzialu ufuosci nazywa si~ poziomem ufnoscio

W statystyce miar.t rozproszenia zmiennej losowej jest w a ria n c j a :

2 - 1 t- ~: l cr - - 4...u; , n i • l

gdzie oi - bl~td bezwzglcrdny i-tego pomiaru:

Wart.o5c srednia i jej btctd :::;:;----

31

wartosci<t rzeczywist<t (najbardziej prawdopodobnv wielkosci mierzonejo x jest

~ 0 • k Jcv.•adratowy z wariancji nazywa si~ dyspersj~ o Suma bl~d6w okreslona pjerw laste

jest wzorem:

• • z); = Ix; -nox0 ,

t • l , ••

sk<td ot:rzYlllarDY wyratenie na wartosc rzeczywisut X():

Zgodnie z wzorem (2°6) mamy:

E = O. - I)o . . • 0

0 .

0 7:. zale:tnosc do obliczenia sumy kwadrat6w odchylen: \\ ykorzysruJemy pow-yzs~

I • 2 I • - 2- ~ -2 ~.:2 1 1:2 -It; =-~)/-- 5° 4.,.;0; +0 =o -;u o

n •• 1 n •• s n •·•

Dla dui.ej wartosci liczby n oraz przy zaloteniu, ie blcrdy podlegaj<t prawu Gaussa,

otrzymamy

i dalej:

Po wstawieniu do wzoru (2015) otrzymamy ostatecznie:

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywa sicr srednim bl~em kwadrat~

wym (od~hyleniem standardowym) pojedynczego pomiaru:

32

/IE/ I(x-xJ s,::: (j::: 11-'"1

-::: l '"1

Yn-1 l n-1

W rozdziale nast~pnym om6wimy bl~dy wielkosci zlo~nych. Mo.ina .. n,,.,.,. ....

ze wariancja sumy dw6ch wielkosci jest r6wna sumie wariancji tych wielkosci 1:

Poniewa.Z wszystkie pomiary w serii obarczone set takim samym blrrdem (

nim kwadratowym), wirrc mamy

2( I~ ) I ~ 2 I 2 cr -£...x; = 2~cr(x;) =-cr n i=t n ;. , n

co daje:

i ostatecznie odchylenie standardowe wartoici iredniej:

I(x- x,)l s. = (j == l i i·l

• • v n(n- I) ·

Zwrocmy uwag~ na fakt, ze blctd sredni kwadratowy wartosci

mniejszy od bl~du sredniego kwadratowego kai:dego oddzielnego pomiaru.

wsp6lczesne kalkulatory majct wbudowane funkcje statystyczne i pozwalaja. vu'"""' ....

odchylenie standardowe w spos6b bezposredni z wykorzystaniem odpowiednich

cisk6w klawiatury. Zajrzyjmy jednak do instrukcji obslugi i sprawdimy, czy aby

pewno obJiczamy OdchyJenie standardowe WartOSCi Sredniej (w mianowniku ~rl'l7o~nu

podpierwiastkowego pow.inien bye iloczyn n(n-1)). W wi~kszosci przypadk6w ·

I Zgodnie z twierdzeniem: jesli dwie zmienne Iosowe majct rozldad nonnalny, to ich suma rna rozklad nonnalny.

s. srednia i jej ~d ~

33

. . Otrzyman" wartosc odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru . ten.t maczeJ. '1.

ntes ·J• . . . , ' . taki.m przypadku przez pierw1astek hczby pom~arov. · dziehrnYw

przyklad 2.1 . . .

1 0-k.rotnie zmierzono czas opadania kulki w glicerynie mi~dzy 2 I miami cech~-

. rzvmiaru ustawionego pionowo (metoda Stokesa wyznaczania wspolczynm-wanyrnt P · · · , · d d

. . . czy) Obliczyc sredni czas opadania kulki I odchy leme stan ar owe ka JepkOSCI Cle •

wartosci sredniej.

Obliczarny wartosc srednict czasu opadania:

• ~); 636

t = 1::!_ = - ' = 6,36 s. "' n 10

Lp. ~ [s) Ei = fsr- qs]

1 6,2 0,16

2 6,4 -0,04

3 6,0 0,36

4 ,6,4 -0,04

5 6,6 -0,24

6 6,4 -0.04

7 6,2 0,16

8 6,6 -0,24

9 6,4 -0,04

10 6,4 -0,04

2:

Wyniki obliczeil. podano w tablicy 2.1:

Tablica 2.1

0,0256

0,0016

0,1296

0,0016

0,0576

0,0016

0,0256

0,0576

0,0016

0,0016

- kolumna II - kolejne wartosci pomiaru czasu opadania kulki ti>

- kolumna III - odchylenia kolejnych pomiar6w od wartosci sredniej,

- kolumna IV - kwadraty tych odchylen.

34

Sumujemy kwadraty odchylen obliczamy odchylenie standardowe '"'"TT""~

sredniej:

S- = ) 0•304 = 0 0582s.

X 9•10 >

Po zaok:n:tgleniu wynik koncowy zapiszemy w postaci:

!tr = ( 6,36 ± 0,06) s.

Powyiszy spos6b obliczenia odchylenia standardowego wartosci sredniej

maga obliczenia wartosci sredniej i odchyleil kolejnych pomiar6w od wartosci

niej. Proces obliczen upraszcza siC(, jesli za punkt odniesienia odchylen· vv•lll""v•

weirniemy zamiast sredniej tak~ wartosc Xo. kt6ra ze wzgl¢6w rachunkowych ·

najwygodniejsza (rachunki upraszczaj~ sic: w spos6b istotny). W6wczas takie zmoa"'"'

kowane odchylenie wyniesie:

Po wprowadzeniu oznaczenia:

a=~-x

otrzymamy:

J: . =x. -x+x-x =E. -a. ""· l 0 t

Sume( kwadrat6w zmodyfikowanych odchyleil moi:emy przedstawic w postaci:

I~/= I€;2 -2aiE; +na2 = I€;2 +na2. i • l ·-l i•1 i • t

Wykorzystuj~c fakt, Ze suma odchyleil

wartosc srednia i jej bla_d 35

otrzymujemy wyraZ-enie na blqd sredni kwadratowy wartosci sredniej w posta·

ci:

(2.21)

Ten spos6b obliczeri nawii\Zuje do zasady, ze przy obliczaniu wartosci sredniej

nie powinno si~ przyjmowac dokladnosci wi~kszej od dokladnosci pomiaru podzielo­

nej przez licz~ pomiar6w.

PrzykJad 2.2

Oblicz bll:ld sredni kwadratowy dla danych z przykladu 2.1 StOSUj<\C wz6r (2.21).

Je$li za punkt odniesienia przyjmiemy Xo = to ""' 6,0 s, to wyniki obliczeii bt:dq

nasr~puj<\ce :

Tablica 2.2

Lp. qs] ;; = t;- to [s} IE}· = {t; - t0 )2 [s2

]

1 6,2 0,2 0,04

2 6,4 0,4 0,16

3 6,0 0.0 0,00

4 6,4 0,4 0,16

5 6,6 0,6 0,36

6 6,4 0,4 0.16

7 6,2 0,2 0,04

8 6,6 0,6 0,36

9 6,4 0.4 0,16

10 6,4 0,4 0,16

2: 63,6 1,60

Wartosc srednia tsr = 6,36 s. Poprawka

a= (6,00 • 6,36) s = 0,36 s.

36

Bl~d sredni kwadratowy sredniej obliczony wg wzoru (2.21 ) wynosi:

1.6-10·0.361

S, = (IO-l)· 10 = 0,0582s.

A wi~c sredni czas opadania kulki: t = (6.36 ± 0.06) s.

W obliczeniach numerycznych c~sto stosuje si~ jeszcze inn'! postac urv~.,,.n ..

na blctd sredni kwadratowy wanosci sredniej. Obliczmy sum~ kwadratow I'V"'''h"l'•

pomiarow od wartosci sredniej:

co daje ostatecznie

J

l • ' l ( • )2 L:>-· - . 2>-s. =: t• J I n f• } I

• (n -I)n ·

Ponizej przedstawiono uproszczony program napisany w j~zyku Turbo

(taki:e qBASIC) opieraj<tc si~ na \o\'ZOrze (2.22). Program oblicza wanosc srednict i

chylenie standardowe wanosci sredniej dla serii pomiarowej.

REM Odchylenie standardowe wartosci sredniej CLS DEFINTi DEFDBLs INPUT "Liczba pomiar6w = ":LiczbaPomiar FOR i=1 to LiczbaPomiar

PRINT "Pomiar "I INPUT"X ="X SumaX=SumaX+X SumaXX=SumaXX+x•x

NEXT i .

S=SQR( (SumaXX-Sumax•sumaX/LiczbaPomiar)/LiczbaPomiar/(liczbaPomiar ·1)) PRINT "Wartosc srednia = "SumaX!LiczbaPomiar"±"S END

Do wzoru (2.22) odwolujct si~ funkcje statystyC2Ile analizy danych arkuszy

kuJacyjnych. Ten spos6b obliczania odchylania standardowego (i wariancji) jest

37 sc srednia i jej bla,d

~ . , umervcznie. bowiem pod pierwiastkiem znajduje si~ roi:nica dw6ch dui:ych

stabJID) n • . . . . . . . . dczas zaokr'l,glania moze okazac si~. i.e ta rozmca stante s1~ UJemna. Nalezy

Jiczb 1 po . b zpieczyc przed tak~ niespodziank.~ i wprowadzic podwojn<t precyzj~ do obli·

st~ za e czania sum we \VZOrze (2.22) (p. procedura DEFDBL S w powy:lszym programie).

przvklad 2.3

Oblicz odchylenie standardowe wartosci sredniej wg danych z przykladu 2.1

stOSUj<\C wzor (2.22).

Schemat obliczeo odchylenia standardowego wanosci sredniej wg wzoru (2.22)

dla danych z przykladu 2.1 pokazuje poni:lsza tablica.

Tablica 2.3

Lp. ~ [s] t,2 [s7]

1 6,2 38,44

2 6,4 40,96

3 6,0 36,00

4 6,4 40,96

5 6,6 43,56

6 6,4 40,96

7 6.2 38,44 - 8 6,6 43,56

9 6.4 40,96

10 6,4 40,96

I 63,6 404,8

Bi<td sredni kwadratowy wartosci sredniej bctdzie r6wny:

1404,8- ..!.. 63,61

S- =.I 10 = 0,0582 s. • v 9-10

Wszystkie trzy sposoby obliczenia odchylenia standardowego wartosci sredniej

daji\, oczywiScie, ten sam rezultat.

2.2. METODA STUDENTA DLA KROTKIEJ SER/1 POMJA WEJ

Rozklad normalny Gaussa moi:na zastosowac dla drugiej serii pomiar6w.

nie z centralnym twierdzeniem granicznym, rozklad zmiennej losowej d<tZY do

du normalnego,jesli Jiczebnosc pr6by d(lZy do nieskonczonosci :

" •' 1 -~ lim P(a < u <b) = r;:::: Je '1 du, ...... v2n.

gdzie u - zmienna losowa standaryzowana:

x - x u =--..!____ ' 0 0

Wykazuje si~. ze rozklad normalny (standaryzowany) moi:na stosowac

gdy liczebnosc pr6by n > 30 pomiar6w. Jednak wykonanie takiej serii moze

dlugiego czasu, a r6wniei koszt6w. Podczas zaj¢ laboratoryjnych realizuje si~ kr6tkie serie zloione z 3. 5 lub I 0 pomiar6w. Student1 zaproponowal takie rozsze·rzc

nie przedzialu rozkladu rzeczywistego, aby upodobnic go do rozkladu

Pomijajctc odpowiednie dowody stwierdzamy, ie idea sprowadza si~ do oornnc>zer1,.

odchylenia standardowego przez wspolczynnik Studenta t..a, zalei:ny od

pomiar6w n i tzw. poziomu ufnosci a :

Zmienna losowa t,,(l rna wykres funkcji rozkladu zbliiony do krzywej rozkladu

rnalnego (jest bardziej plaska). W tabeli 2.4 podano wanosci wsp6lczynnika

dla kilku poziom6w ufnosci w funkcji liczby pomiar6w n.

Przypomnijrny, ie dla bl~du sredniego kwadratowego poziom ufnosci a= 0

: 0,7 (u = 1). Bl~dowi przeci~tnemu odpowiada poziom ufnosci a = 0,9545 :

I H. Gosset opublikowal prac~ pod pseudonimem Student, a proponowany rozklad nazywa si~ dem Studenta.

sc srednia i jej ~d warto 39

. = 0 9973 (u = 3). Zwykle w pracowni studenckiej '-lpdowi maksvmalnemu a ' ?) a lJl"' , fn . . do-

(u ::= - • • • • 0 7 Dla tak przyj~tego poziomu u osc1 praw S(OSUJ·e siP poziOm ufnoscJ , . rzedz" I

"' "d · ·,. poza p 1a em wartosc rzeczywista znaJ UJe SJ"' d bieilstwo tego, ie pO 0 • ")

..., . ) wvnosi 31 ,7% (poziom istotnosc1 . - s x ... s. , , p; - ·' Tablica 2.4

W .;.'czynniki Studenta ln.a w zaleinosci spl/1 . . f: . .

od liczby pomiar6w n I poZiomu u noscJ a

Q

n 0,5 0,7 0 .95 0,997

2 1,00 1.96 12,71 636.6

3 0.82 1,34 4.30 31 ,6

4 0.71 1.25 3.18 12,9

5 0,74 1.19 2,78 8.6

6 0.73 1,16 2 ,57 6,9

7 0,72 1,13 2.45 6,0

8 0,71 1,12 2 ,36 5,4

9 0,71 1,11 2 ,31 5,0

10 0 ,70 1.10 2.26 4 ,8

12 0 ,70 1.09 2 ,20 4.6

14 0.69 1.08 2 ,16 4.1

16 p ,69 1,07 2 ,13 4.0

18 0 ,69 1.07 2.11 4 ,0

20 0.69 1,07 2 ,09 3,9

30 0 ,68 1,05 2.04 3.8

40 0 ,68 1,05 2.02 3,6

60 0 ,68 1,05 2,00 3,5

120 0,68 1,04 1,98 3,4

PrzykJad 2.4 .. . 'atla (tablica Pi~ciokrotnie zmierzono k~t skr~cenia plaszczyzny polaryzaCJI swt

2.5). Obiicz wartosc sredni~ k~ta i odchylenie standardowe.

42,55o15 = 8,51 °, Odchylenie standardo­Ob!iczamy wartosc sredni~ k~tta q>jr ""

We ob)iczone wg wzoru (2.22) wynosi:

,.. = 0 029°:: o,o3o. vx ' -

Tablica 2.5

Lp. <p; [0] l<fl; - <Psrl (<p; - <Psi 1 8,45 0,06 0,0036

2 8.45 · 0,06 0,0036

3 8,55 0,04 0,0016

4 8,50 0,01 0,0001

5 8,60 0,09 0,0081

r 42,55 0,0170

Dla pi~ciu pomiar6w i poziomu ufnosci a= 0,7 znajdujemy w tablicy 2.4

tosc poprawki Studenta ta.n = 1.19.

Zgodnie z wzorem (2.23) zmodyfikowane odchylenie standardowe

sredniej ~)'niesie:

Wynik koilcow)' zapiszemy w postaci :

g> = (8,51 + 0,04t.

2.3. Bt.4.D PRZECI~TNY I Bt.4_D MAKSYMALNY

Juz wczesniej zauwazylismy, ze hlctd sredni kwadratowy najlepiej opisuje

chylenie standardowe wartosci sredniej (zgodn ie z. ro:zkladem normalnym

Rozwai:ania dotyczyly blt;d6w przypadkowych. Zakladalisrny, ze blctd

jest maly w stosunku do bl~dow przypadkowych. W praktyce laboratoryjnej rue 7",'"'7"

to zalozenie jest spelnione, a obliczony blctd sredni kwadratowy warto5ci sredniej

zbyt maly. Szacunek hl~du pomiarowego wskazuje na wi~kSZ<t wartosc bl~du. J

ze sposob6w szacowania bl~du (z uwzgl~dnieniem hl~d6w przypadkowych i

tycznych) jest obliczenie tzw. blfdu maksymalnego:

41

· ~ - ;~c 5redn:!!:ia0i J~ej~bt~31~d~--------------------·~

odobienstwo tego, i.e blctd jakiegos pomiaru b~dzie wi~kszy od b.t~du ma~sy-prawdOP . . od l o/c Takie hl¢y nazywamy blydami grubymt, a pomtary

o J. est mnteJSze o. ~neg . .

rn ·-""tm hl'""em usuwamy z serii pomtaroweJ . ~zone Ulf' '("' dn. . k

obar" . hl du maksvmalnego jest uwzgl~ teme ma -InnYm sposobem oszacowama «! • . .

o odchylenia pomiarow od wartosci sredmer s•'"'oJneg · flx =lx, -xj_.

Niekiedy wprowadza si~ tzw. blqd przecirtny okreslony wzorem:

X :: ..!!' ":!.-' -­o n

zwany tet odclryleniem sredn im .

(2.25)

(2.26)

p rzvklad 2.5 h Obl~cz blctd maksymalny, odchylenie maksymalne i blctd przeci~tny wg danyc

z przykladu 2 .4. Otrzymujemy:

- blctd maksymalny:

g>- {8,51 + 0,12t.

- odchylenie maksyrnalne:

- hl(\d przecicrtny:

1:1 = 0,09° (pomiar pi<tty),

g>- (8,51 + 0,09t.

Xo == 0,26°/5 = 0,052° = 0,06°

(!)- (8,51 + 0,06)0-

Przyklad 2.6 Pi~iokromie zrriierzono grubosc folii aluminiowej otrzymujl\c kat.dorazowo

. , b ilcrtrycznej wynosila 0 01 mm. Wartosc o, 17 nun. Dokladnosc stosowaneJ sru Y m ome '

Oszacuj bl<td wyznaczania grubosci folii .

42

Bhtd przypadkowy w tej serii pomiarowej = 0, co nie oznacza, ze pomiar

nano bezbl¢nie i t!.d = 0 mm. Jest to cz~sty bbfd studencki. W sytuacji, gdy w

pomiarow wszystkie pomiary majct t~ samct wanosc, odst~ujemy od obliczania

chylenia standardowego i bl~d wyznaczania danej wielkosci jest rowny bl¢owi

dynczego pomiaru. Gdyby jeden z pomiarow wynosil 0,16 mm, to odchylenie

dowe wartosci sredniej wyniosloby 0.002 mm < 0,01 mm. Taki:e w tym przypadku

chylenie standardowe wartosci sredniej jest mniejsze od dokladnosci pomiaru.

Innym bl~dem jest przyj~cie, ze bll!d pomiaru jest rowny dokladnosci nr-TvrT'~"

podzielonej przez liczb~ pomiarow. Dla 5 pomiarow otrzymalibysmy 0,002 mm,

dla 100- juz 0,1 f.!m!

W naszym przykladzie

t!.d = 0,01 mm.

Jednym ze sposob6w obliczenia calkowitego bl~du pomiaru jest vv ..... , ... , ...

sredniej kwadratowej bl~dow przypadkowych i systematycznych:

gdzie S~ - odchylenie Standardowe Wartosci sredniej, oX - dokladnosc stO•SO\.Vartelll

przyrll!du. Pamicrtac jednak nalezy, i:.e metodcc Gaussa (a t.akte metodcc Studenta) wol

nam stosowac tylko wtedy, gdy bhtd systematyczny jest maly w porownaniu z

przypadkowym. W granicznym przypadku mo:lna stosowac te dwie metody c;:nlJrvc;:tvr'

ne, gdy bl~d przypadkowy jest rowny blccdowi systematycznemu.

2.4. SREDNIA WAZONA

Dotychczas zajmowalismy sicc seria. pomiar6w jednakowo dokladnych. w"'ar"'""'

no, ze wartoscil! najbardziej zblizon~ do wartosci rzeczywistej jest srednia

43 rtosc 5rednia i jej ~ ~

·.,n., mozna bylo opisac funkcjct rozkladu normalnego. Jesli wykonano n po­na. pomt .... .;

miar6W

X~o X2, .• .., "n

z roi:.M mi~ precyzji

ht. h2, ... , h,.

to odchylenia poszczegolnycb pomiarow wzglC(dem wartosci oczekiwanej x wynios~:

£ 1 = X1 - X, &2 = X2- X, ... , &, = Xo- X.

Zgodnie z zaloteniem o normalnym rozkladzie bl~dow prawdopodobienstwo

tego. z.e bl~dy poszczeg6lnych pomiarow zawarte Sit w przedzialach ( E; , e:, +de:;), b~-

dz.ie odpowiednio r6wne:

Zastosujmy twierdzenie o iloczynie prawdopodobieftstw dla serii pomiarowej:

h ,h, ... h ( ~h 2 J)d d d p ; • o/2 ° exp - L. 1 £ j £ 1 £2 • · • £n" 1t ••I

(2.27)

Celem uproszczenia rachunk6w wprowadimy wielkosci w~. w2, •.. , W 0 , proporcjonalne

do kwadrat6w miar precyzji pomiarow:

h, =h../w:. h2 = hF;.

.. .,

gd.zie h jest normalna. mial'C\.precyzji. Wz6r (2.27) przyjmie postac:

b" ~w1w2 •• .'w. { :L" ( )J)d d d P= ex -h w . x. -x e:l &2··· e: •. a ll 1 1

1t ••I

Najbardziej prawdopodobna wartosc wielkosci x odpowiada warunkowi mini­

rnurn sumy kwadratOw odchyleil

44

• _L w,(x , -xf =min. ••I

Po obliczeniu pierwszt:i pochodnej powyiszej sumy wzgl~dem x i przyr6wnanju j ej

zera otrzymamy tzw. sredniq wazonq:

• "w.x ~ I I

X =.!.:'=:!..l __ • I w,

•=I

Wielkosci w; nazywamy wagami pomiarow. Gdyby udalo si~ tak do

wsp6kzynniki proporcjonalnosci h2, aby wagi w; byly Iiczbami calkowitym i, to

czas jeden pomiar z miar<l h; bylby r6wnowazny W; pomiarom z normalnct miar<t

a rozk!ad bl~d6w sta!by si~ rozkladem normalnym. Srednia wai:ona jest wi~tc :1aj

szym przybiizeniem serii pomiar6w (wykonanych z r62:nc:t dokladnosci<t) do

rzeczywistej ana!izowanej wielkosci. Wagi pomiar6w oblicza si~ wg wzoru:

c w =--

, (ill:J "

gdzie .il.\; - blctd pomiaru x, (bl(\d maksymalny. odchylenie standardowe wanosci

niej serii pomiarowej, bl<td wyznaczania wielkosci zlozonej), c- dowolna liczba (r62:na

od zera) tak dobrana, aby rachunki staly si~ najprostsze (np. c = 1, c = J0-4).

Blqd sredniej waionej obliczarny w spos6b nast~puj<tcy:

I) je.Sii wykonalismy kilka serii pomiar6w (tym samym przyrzctdem) i bt~dy przypadkowe s~ wi~ksze od bl~du systematycznego, to wstawiaj<tc do wzoru (2.29)

za blqd ~X; odchylenie standardowe wartosci sredniej danej serii S,u otrzymamy:

1 ,.In 1• S =-- w S. -·• n \1 I X1 ' I;w, · ··I

•• I

- - ~ · £c~sr~e~d~n~ia~ilie~j~~~d~--------------------------------------------wartos 45

?) 'e5li wvkonano n pomiarow z roin:t dokJadno.Sci~. to: - _I •

r:t w , (x,- xY s = r ~ ,

'\.. 1 n

\ (n-1)f.; w ,

(2.31 )

· ks od przypadkowych : J) je51i bl~dy systematyczoe Sl! WJ~ u

. I;w;6x,

~x = .!!'":!...'--

I wi (2.32)

... . . . zazwvczaJ· do czvnicnia z tym trzccim przypadkiem. 'VI' nasz~1 pracowm mamy - - .

d . Je-7:< do naibardziej precyzyjnych. a serie pomtaro"ve S(\ Stosowane przyrz~ y me na .....,_ .

zwykle kr6tkie. . _ . . . . . • . cr u do obhczama sredmeJ wa-Ponizej prezenrujemy uproszczon:t wcrsJ~ proeram

zonej . Program napisano '"' j~zyku Turbo Basic.

REM Srednia watona OEFINT i OEFOBLs.w _ INPUT ''Liczba pomfar6w = ";LiczbaPomtar INPUT "Stam wagi C = ";C FOR i=1 to LiczbaPomiar

PRINT "Pomiar "I INPUT "X = "X INPUT "Biad ="OX Waga=C/OX/OX Sumax.W=SumaXW+X~aga

SumaOXW=SumaDXW+DX•waga SumaWag=SumaWag+Waga

NEXTi S=Sumax.W/SumaWag SD=SumaDXW/SumaWag PRINT "Srednia watona = "S"±"SD END

Przyklad 2.7

t ·, ce wartosci ladunku wla-Stosujqc metod~ magnetronowct otrzymano nas C(PUJ<t .

sciwego dla trzech r6Zn.ych napi~c anodowych:

1) e/m = (1 ,81 ± 0,15)-1011 Clkg,

2) elm= (1, 75 ± 0,12)·10 1 1 Clkg,

3) elm = (1,69 ± 0,03}10 11 Clkg.

Oblicz sredni~ wazon~ ladunku wJa.Sciwego.

Wygodnie b~dzie do obliczenia wag stosowac stal"l c = 1022 (Cikgf

obliczeri ilustruje poniisza tablica.

Tablica 2.6

Lp. xrto·ll llX;·IO·I I W; XrWrl0"11 ~·W;·l0" 11

[CikgJ [Cikg] [CikgJ [CikgJ 1 1,8 1 0,15 44 80 6,7 2 1,75 0,12 69 122 8,3 3 1,69 0.03 1111 1878 33,3

I 1225 2080 48,3

Srednict watona. obliczamy wg wzoru (2.29):

- 2080·101! x,. = =I 698·1011 C/ kg,.

1225 •

a bl~td maksymalny wg wzoru (2.32):

A- 48,3·}011 II

uXw = =00395·10 C/kg. 1225 '

Ostatecznie (po zaokr~leniu) wartosc wyznaczonego ladunku wJa.Sciwego wynosi

e/m = (1,70 ± 0,04)-1011 Clkg,

Zwr6cmy uwag~, ze srednia arytrnetyczna daje wartosc 1,75·1011 Clkg, a blctd

ci~tny - 0,10·10 11 Clkg.

PrzykJad 2.8

Wyznaczono ogniskowq soczewki skupiajqcej metodq Bessela dla trzech

nych wartosci odleglosci ekranu od przedrniotu. Stosujqc metod~ r6i:niczki £U~JefJJic:.J

47

. ..-.~usmv blctd wyznaczania ogniskowej dla kazdej serii pomiarowej. Wyniki po-obhC~J , fJliarow i obliczen ujmuje poniisza tablica (wagi pomiar6w obliczylismy przyjmujqc

warto5c stalej c = I cm2).

Tablica 2.7

f; At; W; W;·f; W;.Af;

[cmj [em] [em] [em]

7,781 0,072 193 1501 13,9

7,804 0,092 118 922 10,9

7,825 0,104 92 723 9,6

I 404 3146 34,4

Zgodnie z wzorem (2.27) srednia watona wynosi:

- 3146 f = --= 7,798 em, .. 404

a jej bl~d maksymalny (wz6r (2.31 )):

- 344 Af = -' = 0,085 em.

w 404

Po zaokr~tgleniu wynik koilcowy zapiszemy w postaci:

f= (7,80 ± 0,09) em.

PrzykJad 2.9

T rzech student6w wykonalo po I 0 pomiar6w srednicy pr~ta za pomocq suw­

miarkj z noniuszem o dokladnosci 0,1 nun. Wyn00 pomiar6w i obliczen podano

w tablicy 2.8. Oblicz wartosc sredni"l srednicy pr~ta oraz bhtd wyznaczania tej wielko­

sci.

W tym przypadku mamy trzy serie pomiar6w o tej samej dokiadnosci. Jednaki:e

odchylenia standardowe wartosci srednich z tych serii sa. r6i:ne. Nalety wi~c obliczyc

STedni4 Wai:0n4.

... ..,

Ta blica 2.8

Lp. Seria 1 Seria 2 Seria 3 d(mml d[mml d lmml

1 2.3 2.2 2.1 2 2,4 2,3 2,5 3 2.3 2,4 2,4 4 2,2 2,5 2,6 5 2,4 2,4 2 6 2.3 2.5 2,4 7 2,3 2,2 2,2 8 2,4 2,2 2,3 9 2.3 2.4 2.7 10 2,4 2,3 2

Srednia X [mm] 2,~·. 2,34 2,32

Odch. standard. sredniej [mm} 01'021 ~'0,037 (),on r Wag a :22,0 7,3 1,7 30,9

Waga•x [mm] 51,'15 . 16;98 3,90 72,03

(Waga*Sx)2 [mm2J 0,22 0,07 0,02 0,31

Wagi obliczamy ze stal(\ 0.0 I mm. Srednia wazona obliczona wg wzoru (2.

72,03 d" =-- =2332mm

30,9 . '

a b11\,d sredni kwadratowy (odchvlenie standardowe) bl ' • o 1czony wg wzoru (2.30):

I s;j_ = 30.9 ..[031 = 0.0 18 mm.

Po zaokr(\gleniu wynik6w obliczen otrzymamy:

d = (2,33 ± 0,02) mm.

Przyklad 2.10

Wykonalismy porniary dla pi<:ciu charakterystyk napJ·P,...· d ,.._1owo-prq owych ha

tronu przy r6Znych wartosciach nat~zenia pr(\du plyn(\cego przez solenoid.

metod~ regresji liniowej wyznaczylismy estymatory regresji, a nast~pnie obliczyli

49 sc srednia i jej blq_d

~ haJiotronu i jej btq_d. Wagi obliczalismy ze stal<t c = 10 (m

1Nst Schemat obli·

stahl . podano w tablicy 2.9.

czell

Lp. RH

(m2Ns]

1 59,47

2 58,97

3 60,73

4 57 ,36

5 57,13

L

Srednia wai:ona

Tablica 2.9

6RH w, W,·RH W,2·LI.RH W,·(RH • Rns:)2

[m2Ns) [m2Ns) [m2N s] {m2Ns]2

2,49 1,61 95,9 16,1 2,10

2.04 2,39 141,0 23,9 0,97

2.64 1,43 87,0 14,3 8 ,25

1.96 2 ,60 148,8 26.0 2,46

1,68 3,56 203,4 35,6 5,14

11 ,59 676,1 115,9 18,92

R 676,1 -8 33 'N u = - - = ) . m· s.

• 11.59

Poniewai: stosuj(lc metod~ regresji liniowej uwzgl~dnialismy jedynie bl~dy przypadkowe. wiccc do obliczenia b\¢u sredniej wai:onej zastosujemy wz6r (2.30):

. An ~ JJI5,9 =093 1/V Lll'

11 - • m s.

11,59

Po zaok.n:\gleniu wynik koncowy zapiszemy w postaci:

Je5Ji zastosujemy v,rz6r (2.3 1 ), to otrzymamy:

AD - 18,92 - 064 2/ V lll'\..H- - • m s.

(5-1)·11,59 .

Sredni~ wai'.on(\ danej serii pomiarowej stosowac b¢.z.iemy w6wczas, gdy bl¢y

Poszczeg6lnych pomiar6w r6mi<t si~ w spos6b wyrai.ny b<l.dZ- znaczny. Latwo moi.na

Pokazac, ze dla jednakowych wag wzory (2.29) i (2.30) s<l_ wzorami na odcbylenie

Slandardowe wartosci sredniej. a wz6r (2.31) - na bl<td pojedynczego pomiaru.

50

Przyktad 2.11

Dziesi~ciokrotnie mierzylismy czas wyplywu wody z naczynia w metodzie

seuille'a wyznaczania wsp6lczynnika lepkosci powietrza. Wyniki obliczen

czynnika lepkosci oraz bl~du jego wyznaczania uj~to w tablicy 2.t o. Oblicz

wazonq wsp6kzynnika tepkosci powietrza.

Tablica 2. 10

Lp. TJ waga-TJ waga·ATJ 1 o-7 [Nstm2J wag a

10-7 [Nslm2) 10-7 [Nslm21

1 231,2 ± 7,8 16,4 3800 128 2 209,4 ± 7,1 19,8 4154 141 3 205,9 ± 7,0 20,4 4202 143 4 205,9 ± 7,0 20,4 4202 143 5 201,9 ±6,8 21 ,6 4366 147 6 210.8 ± 7,1 19,8 4181 141 7 201 .9 ±6,8 21 ,6 4366 147 8 192.6 ± 6.5 23,7 4558 154 9 185,5 ± 6,3 25.2 4673 159 10 187,7 ±6,4 24,4 4582 156

L 213446. ~; ~ r ~ 145),6:

Wagi obliczano ze stalct I 0) (Ns / m 2 }. Srednict wat.onct wsp6kzynnik

powietrza obticzamy za pomocq wzoru (2.28):

43083·10' 7

TJ = 213

,46

= 201.8 · 10-' Ns / m1.

Blqd sredniej wat.onej obliczamy stosuj(\.c wz6r (2.32):

1458,6 . 10 _, llTJ= =69 · 10-' Nst m=

21~46 , .

Po zaokr<l.gleniu wynik koncowy zapiszemy w postaci:

TJ = (20,2 ± 0,7)· 1 0-6 Nslm2 •

3. Bt.AD WIELKOSCI ZtOi:ONEJ

W praktyce laboratoryjnej c~to stajemy przed bardziej zlozonymi zadaniami,

niz prosty pomiar czasu. c~totliwosci czy drugosci. Naszym eel em j est wyznaczenie

okreslonej wielkosci fizycznej poprzez pomiar kilku innych wielkosci fizycznych.

w tych przypadkach poszczeg6lne wielkosci mierzymy zazwyczaj jeden raz tub naj­

wyzej kilkakrotnie, a bl<\_d porniarowy wynika z doktadnosci przyrutd6w, klas rniemi­

kow tub jest to bl<\_d maksymatny wartosci sre.dniej z kr6tkiej serii porniarowej. Blctd

wyznaczania takiej wielkosci zlozonej jest zalezny od bl~6w poszczeg6Jnych wielko­

sci, natomiast sposobem skladania si(( (przenoszenia) tych bl~d6w zajmiemy si~ poni-

iej.

3.1. SPOSOB ROZNICZKI ZUPEt.NEJ

Je5li przyj~tc, ze szukana wielkosc jest funkcj(\. kilku zmiennych

(3.1)

to r6iniczk.a zupelna tej funkcji przyjmie postac:

(3.2)

Po zast<u>ieniu r6i:niczek d.x; przyrostami skonczonymi otrzymamy:

(3.3)

Przyrostom skoiiczonym .1>.:, moina przypisac sens ftzyczny bl~d6w (

tycznych, maksymalnych). UwzgJ~dniajltc regul~ dodawania bl~ow' ostatecznie

lub inaczej:

Tego sposobu przenoszenia bl~6w wielkosci zloionej nie moi:na stosowac,

h dn of , . poe 0 a a rowna Sl~ zeru. W otoczeniu punktu X funkcja y(x) nie mote

X;

cech szczeg6lnych (nieci'lglosc, ekstremum, siodlowy punkt przegj~cia).

Je.Sii poszczeg61ne wielkosci wchod.z<tce do naszej zloi:onej funkcji m"~r-Tvn. 'fielokrotnie, a nast~pnie obliczamy odchylenia standardowe wartosci sredni~j . to

rai:enie na odchylenie standardowe sredniej arytmetycznej wielkosci zlozonej

postac:

Sumowanie bl~d6w odbywa si~ w takim przypadku w spos6b sredni lcu!·~tt..,.tn wy, co wynika z twierdzenia o rozldadzie norm~nym bl~d6w przypadkowych.

Przyklad 3.1

Wyznaczylismy wartosc przyspieszenia ziemskiego za pomoc\ wahadfa

matycznego mier:utc drugosc wahadla I = (90 ± 1) em i c~ 10 okres6~ t"" (19,0 0,2) s.

1BI¢y moi:najedynie dodawac!

Rozniczkujctc wz6r:

amy: orrzYUI

2 I g =47t -T2

uwz.gl~dniajctc zasad~ surnowania bJ~6w otrzymamy ostatecznie:

53

gdzie T "' t1 1 0 = 1,9 s i i.\ T = .Mil 0 = 0,02 s. Po wstawieniu danych liczbowych uzy­

skamy. g = 9,84 m/s2 oraz

.1.o = 4n

2

• ( o.Olm + 2. o,9m. 0

•025

) = (0,1 09 + 0,230) ~ = 0.34 ~ · o (l,9s}< · l,9s s s

Widzimy, ze wp1yw bl~du pomiaru okresu drgail wahadla na bl1td calkowity

wyznaczania przyspieszenia ziemskiego jest wi~kszy od wplywu bl~du pomiaru drugo­

sci wahadla. Aby zmniejszyc bl!ld wyznaczania przyspieszenia ziemskiego llt metod<\,

nalezaloby zmniejszyc blc¢ i.\ T, np. przez pomiar 100 (a nie I 0) okres6w. Wynik kon­

cowy zapisujemy w postaci:

l g = (9,84 + 0,34) m/s .

Ponii:ej podajemy przyklady zastosowania metody r6i:niczki zupelnej do obli­

czenia bl¢6w maksymalnych kilku prostych zalei:nosci funkcyjnych:

i.\(m, +m,}= i.\m, + i.\m2,

.£\(sin <p) = Jcoscp! · i.\<p, ( cos<p ~ 0),

.1(.Jx )= ~ L\X, (x ~ o), 2-v X

Przyklad 3.2

Na wykresie zaleinosci nat~ienia pflJ;du fotoelektryeznego od 00,117',,.,...~ ....

kwadratu odleglosci fotokom6rki od t.ar6wkj zaznaezyc slupki bl~d6w. Odleglosc mi

rzono z dokladnosci<t .1X = 1 em w przedziale 10 - 60 em co 10 em.

Stosujqc metod~ r6i.niezki zupelnej (3.4) mamy:

Tablica 3.1

Lp. x [em] x-2 [m-1 J .1(x-2 ){m -2 J

1 60 2,78 0,05 2 50 4,00 0,08 3 40 6,25 0,16 4 30 11 ,11 0,37 5 20 25,00 1,25 6 10 100,00 10,00

Wartosc bl~du wzrasta stosunkowo szybko ze zmniejszaniem si~ oa.1e2tosct

i szerokosc prostokctt6w bl~d6w na wykresie i = r(x -2) staje si~ coraz wi~ksza.

Przyklad 3.3

W celu wyznaczenia wsp6lczynnika zalamania Swiatla w szkle dla nn.r?rn<>n•'

okrdlono kctt lamictcy <p = 59°43' ± 18' i minimalny kltt odchylenia o = 4 1 °10' ± 10'.

Obliczony wsp6lczynnik zalarnania rna wartosc

. <p+o sm--

n = ---=-2- = 1,5482. sin !

2

55

· zanu·enm· v bl<>d wyznaczania k<tt6w (podany w stopniacb) na radiany Na ws~1e ., -,.

· .• = o 0052 rad i .1o = o 0029 rad' . Wsp6lczynnik zatamania okreslony otrZ)'TTIUJl\C u (j) ' ' . .

. wzorem nalety potraktowac jako funkcj~ dw6ch zmiennych <p 1 o 1 wtedy powyzszym

roiniczka zupelna tej funkcji przyjmie postac

· . (j) <p+o 1 (j) . <p + o <p+o -sm-cos----cos - sm--· 1 cos

2 dn = 2 2 2 2 2 2 d<p + _ do. sin 2 ~ 2 sin P.

2 2

Korzystaj<lC z wzoru na sinus r6i.nicy kctt6w oraz przypisujqc r6i.niczkom sens

bl~d6w maksymalnych otrzymamy po przeksztalceniach:

1 sm - <p+o .1n = __ __ 2 .1<p +cos- - .1o

[

. 0 }

. (j) . q> 2 2sm - sm -

- 2 2

Wstawiamy dane liczbowe:

[

. 41°10' J sm - -- 59°43'+41°10' .1n - l 2 . 0 0052 +cos . 0,0029 '

- . 59°43' . 59°43' , 2 2sm-- sm--

2 2

.1n = 1,004 · (3,71· 10-3 + 1,85 .J0-3 )= 5,59 -10-l

i zapisujemy wynik koncowy:

n = 1,548 ± 0,006.

1 Blttd ka.ta podajemy w radianach. Dla ma1ycb ~t6w wartosc sinusa r6wna jest wanosci kltta w mie­

tze hlkowej sina =a.

56

. Zwr6cmy uwag~ na wanosc skladnik6w sumy w W)'raZeniu (3.3.1). Moina

pterwszy rzut oka zauwazyc ie skladnik zwi~7~n '-' d . ' ~Y z vs~ em pomJaru kctta ~"'"'"'~·-

dwukrotnie przewyisza skladnik z bl~em pomiaru k<tta odchylenia.

r:jf=' Warto zapisywac przedostatni etap liczenia (po wstawieniu danych ucz.:OOl~ w celu poznania wplywu bl~d6w poszczeg6lnych wielkosci pomiarowych

blqd ca/kowity wielkosci zlotonej!

Przyldad 3.4

Wyznaczajctc indukcyjnosc cewki metodct technicznct:

uzyskano wyniki:

L = -~-2_2 -_R_2 27tf

impedancja z = (68,5 ± 0,1) n, rezystancja R = (42.8 ± 0,3) n.

Obliczyc wanosc indukcyjnosci L oraz bl,..d bezwzgi...A~ . . . "t yuuy JeJ wyznaczarua.

Cz~stotliwosci sieciowej f nie mierzono . . . . . J przyjffiUJemy JeJ WartOSC uvLLLlHCUUI

50 Hz. R6iniczka zupema funkcii L(Z R) P . . . 'J • IZ}'JmuJe postac:

dL= - 1-( 2Z dZ+ -2R ) 2nf 2.Jz2 - R 2 2.Jz2- R 2 dR

Przypisujemy r6iniczkom sens bl~6w maksymalnych otrzymujllc:

LlL= Z·dZ+R·.1R

2nf.JZ2 -R 2 •

L = .j68,52 -42,82 _

2 . 1t . 50 -: 0,170 H.

LlL "" 68,5. 2,1 + 42,8. 4,3 2 ·7t ·50 · .j68,52 -42,82 = 0,0086+0,0110 = 0,0196 H.

57

wynik ostateczny:

L = (0, 17 ± 0,02) H = ( 170 ± 20) mH .

pr.zyldad 3.5

Chc&:c wyznaczyc moment bezwtadnosci kr<tika z wydi(\Zonym centrycznie

otworem zmierzono za porn~ suwmiarki srednice wewn~trzn<t d i zewn~trzn<t D,

a nast~nie Ja¥:ek zwaiono. Wszystkie pomiary wykonano pi~ciokrotnie, po czym

obliczono wartosci srednie i odchylenia Standardowe, Otrzymujl!C:

d = (12,1 1 ± 0,03) mm,

D = (28,36 ± 0,09) mm,

m = (220,42 ± o, 17) g.

Obliczamy moment bezwladnosci kr<tiJ<a:

Bl<td ·.vyznaczania momentu bezwladnosci krctika obliczymy stosuj(lc wz6r (3.6):

61= ~(~e+D2 )Js.2 +(~mdYSa2 + (~mn)2

S 02 =

= .J408+401 + 19782 = 144 g·mm 2•

Zauwai:my, i:e na sumaryc~ wartosc bl¢u rna wplyw w zasadzie jedna wiel­

kosc- srednica zewn~trzna (i bl~d jej pomiaru). Wynik koncowy zapiszmy w postaci:

I = (26,20 ± 0, 15)-1 0-6 kg·m2 •

Planuj<tc wyznaczenie pewnej wielkosci fizycznej metod<t pomiaru zloionego

\\'Ykonujemy ws~ny rachunek bl~u (np. sposobem r6i:niczki zupelnej) i analizujemy

Wanosci przyczynk6w poszczeg6lnych pomiar6w prostych na bllt4 catkowity. Wnioski

takiej analizy powinny zmierzae do zminimalizowania bl~du wyznaczania tej wielko­

Sci.

3.2. SPOSOB POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ

Metodlt (czy tez raczej sposobem) r6i:niczki zupetnej moi:na obliczyc hlltd mak- ·

symalny (lub odchylenie standardowe) zasadniczo dla wszystkich moi:liwych przypad­

k6w wielkosci zloi:onych. Zadanie sprowadza si~ dCY obliczenia pochodnej funkcji kil­

ku zmiennych. W niekt6rych przypadkach, jak pokai:emy nizej, problem si<c upraszcza.

Jesli analizowane zlozone wyrai:enie jest iloczynem wielkosci prostych podnie­

sionych do dowolnej pot<cgi

v == An• x.·· • I >

•·l

to po obliczeniu logat)1rnu naturalnego obu stron tego ,.vyrai:enia otrzymamy:

a po wyliczeniu r6i:niczki :

(nlv:1' = IniAl+ ~a · ln/x l t "' • ~ ' l t

t•l

Jesli poszczeg61ne r6i:niczki wyst~pujq_ce w powyi:szym wyrai:eniu potraktuje­

my jako hl~dy maksymalne i uwzgl~dnimy najbardziej niekorzystnq sytuacj(( su­

muj'lc bt~dy (bior'lc ich bezwzgl<cdne wartosci), to blqd wzgl~dny

wielko5ci zlozonej moi:na wyliczyc za pomocct nastccpuj'lcej zalei:nosci:

Jesli poszczeg6lne wielkosci proste mierzymy wielokrotnie i obliczamy od­

chylenia standardowe wartosci 5rednich , to sumowanie bl<cd6w wzglccdnych

poszczeg61nych wielkosci realizujemy w spos6b sredni kwadratowy:

Przyldad 3.6

Stosuj~tc metodcc pochodnej Jog~icznej do obliczenia blccdu bezwzgl¢nego

wyznaczania przyspieszenia ziemskiego meto<i'l wahadla matematycznego (przyklad

3.1 ), otrzymamy:

( 1 0,2) m !1g=984· -+2·- ::0,34--r, , 90 19,0 s

a wiccc wynik taki sam, jak w przykladzie 3.1 stosujltc metod(( r6iniczki zupelnej.

Przyldad 3. 7

W tzw. metodzie technicznej pomiaru oporu elektrycznego zastosowano mili-

. kl 0 5 z zakresem 1 00 rnA i woltomierz klasy 1,0 o zakresie 3 V. Dla arnperonuerz asy ,

kano wskazania miemik6w odpowiednio 2,15 V i 68 rnA. Ob· badanego rezystora uzys

licz op6r rezystora.

Stosuj~tC prawo Ohma moi:na wyliczyc rezystancj~

- u - 2,1 s = 31,6 .Q. R- I - 68·10-)

Bl~y pomiarowe wynosz.<t odpowiednio:

1 0 ·3 !1U = - '- = 0,03V,

100

!11 = 0,5 ·1 00 = 0,5 rnA 100

Stosuj~ wz6r (3.10) otrzymamy warto5c blccdu wzglccdnego pomiaru oporu:

!1R !1U !11 0,03 0,5 - o 007 + o 004 = 0 021(:: 2%). oR=-=-+-=--+-- • • • R U I 2,15 68

Wartosc bl¢u bezwzgl~ego wyniesie:

A.R = 31,6·0,021 = o,675 n .

.~i . : ~

60

Zapisujemy wynik koncowy:

R = (31.6 ± 0,7) Q.

PrzykJad 3.8

Podczas wyznaczania stalej siatki dyfrakcyjnej na podstawie wzoru:

d = nA. sincp

otrzymano dla pierwszego rz¢u n = l srednict wartosc I<ctta ugi~cia q> = 6°30' ± 14 •

Dhlgosc swiatla A. = 589 run. Obliczyc wartosc stalej siatki dyfrakcyjnej d oraz bl~d ·

"vyznaczenia.

Stala siatki

d = l· 589 run = 5203 run. sin6°30'

Do obliczenia bt~du \"')'maczania stalej siatki stosujemy spos6b pocbodnej '"n ..... , .. _

micznej otrzymujctc:

A(sincp) coscp ·.6cp . 6d = d · . = d · . = d · ctg cp · stn{ 6q> ),

smcp smcp

poniewai: kctt 6cp jest bardzo maly.

Ad= 5203 run ·ctg6°30'·sinl4'= 186 run.

Zapisujemy wynik koncowy wyznaczania stalej siatki dyfrakcyjnej:

d = (5200 ± 190) nm = (5,2 ± 0,2) ,.un.

Przyklad 3.9

Podczas wyznaczania wykJadnika adiabaty 1< = CrfCv dla powietrza uu;uJu!l.

oscylograficzn~t na podstawie wzoru:

Wl·J.l 1<=--

RT

al3.d wielko5ci ztozonej --otrzymano wyniki:

pr~dkosc diwi~ku w = (334,3 ± 7 ,2) m/s,

temperatura t = (23,5 ± 0,5)°C.

z tablic odczytujemy:

R = 8,31 J/mol·K- stala gazowa,

J.1 = 28,83 glmol - masa molowa powietrza.

Obliczyc wartosc wielkosci K oraz btltd bezwzgl~dny jej wyznaczenia.

Wykladnik adiabaty:

_ Cp _ (338,3 ms-1 f · 28,83 ·I o-3 mol-

1 = 1339.

K- C v - 8,31 Jmor'K-' ·(23,5+273) K ·

Obliczamy bt~d bezwzgl~dny \"')'znaczania 1<:

przyjmujctc R - stala fizyczna i J.1 - stata materialowa.

. ( 7,2 ms-1

O,SK )- oo6 6 K=l·339 ' 2 338,3ms_1 +(23,5+273)K-' .

Zapisujemy wynik koncowy wymaczania wykladnika adiabaty dla powietrza:

K = 1,34 ± 0,06.

Przyklad 3.10

Wyznaczaja.c pr~dkosc diwi~ku metoda. oscylograficzntl_:

c=2·l·M

uzyskano wyniki:

odleglosc rni~dzy poloi.eniami mikrofonu I = 30,5 em,

cz~totliwosci: f1 =715Hz i f1 =1270Hz .

61

Cz~stotliwosc mierzono miernikiem cyfrowym klasy 3. Obliczyc wartosc

kosci dtwi~ku c oraz bl(\d bezwzgl¢ny jej wyznaczania.

Pr~dkosc dtwiccku w powietrzu:

c = 2·0,305·(1270- 715) = 338,6 m / s2•

Obliczamy bl~dy bezwzgl~dne pomiaru czccstotliwo5ci (dokladnosc odczytu

swietlacza cyfrowego (WartoscOstatniejCyfty) przyjmujemy 1 Hz):

M = 715Hz . 3 + 1Hz = 22 5Hz :: 23 Hz I 100 ° '

M2

= 1270Hz·) +1Hz=39,1Hz::40Hz. 100

Za bl(\d pomiaru polozenia mikrofonu przyjmujemy 0,1 em (dokladnosc miarki).

Obliczamy hl2td wzglccdny wyznaczania prcc<ikosci dtwiccku w powietrzu

j2!C spos6b pochodnej logarytmicznej:

poniewat bll\d r62nicy dw6ch wielkosci jest r6wny sumie hl¢6w tych wielko5ci.

bezwzglccdny wyznaczania prccdkosci dtwiccku:

~c= 338,6 m.[ O,l cm + {23+40)Hz ]=39,6 m. s 30,5cm (1270-715)Hz s

Zapisujemy wynik koncowy:

c = (339 ± 40) m/s.

Przyklad 3.11

Celem wytnaczenia g~to5ci materiaru kulki zmierzono jej 5redni~ (Srubl\ mi­

krometrycznv oraz zwatono j(\. Wyniki pomiarow uj~o w pon.it.szej tabelce.

~d wielko$CI zlozoneJ ;.---

4 5 6 7 8 9 10

srednia ±

8,95 8,92 8,89 8,94 8,91 8,96 8,97 8,98 8,95

Tablica 3.l

3,130 3,080 3,050 3,050 3,060 3,040 3,040 3,020 3,100

63

w wierszach pod tabelkl\ podano wyniki obliczen wartosci srednich i ich od­

chylen standardowych.

Obliczamy g~stosc materialu kulki:

=~= 3,06g ·6 3

=8,17l·l0-3g/ mm3 =8,17 lg/cm 3•

p nd3 n ·(8,943mm)

6

Bh\.d wzgl¢ny wyznaczania gccstosci obliczamy stosuj~c metod~t pochodnej lo­

garytmicznej (wz6r (3.11)?:

~p -= p

(~ )] +(3; J =~0,00372 +0,031 =0,00475(::0,5%).

Bl~d bezwzgl~dny wyznaczania gccstosci przyjmuje wartosc:

6p =8,171 ·0,00475=0,039 g/cm3,

a wynik koncowy zapiszemy w postaci:

p=(817l ± 39) kg/ m3

lub inaczej:

64

3.3. METODA ROZNICOWA

Przypomnijmy definicj~ pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie x 0 :

f '(x) = lim f(x~ + h)- f (xo). h->0 h

W obliczeniach numerycznych powinniSmy zamiast pochodnej prawostronnej

sowac pochodn<l obustronn<l:

f'(x) = lim f (X0 +h)- f (x 0 - h). h->0 2h

Jui wcze5niej interpretowalismy r6iniczk~ dx jako hl<ld pomiaro'"'Y rue. 1

wartosc pochodnej jest r6zna od zera oraz gdy bl<!d nie jest zbyt duiy, to:

I b.y = -jf(x + b.x)- f(x- rue)!. 2 .

Dla funkcji dw6~h zmiennych powyi:sze wyrazenie przyjmuje postac:

I 1 M = 2 jf(x + b.x,y)- f (x- b.x,y)l +

21f(x,y + D.y) - f (x,y - D.y~.

Dla wi~kszej liczby _zmiennych zwi~kszy si~ Iiczba takich r6i:nic. Metoda

doskonale nadaje si~ do obliczania bl~d6w ·maksymalnydl w przypadku, gdy TYnun< ....

funkcji wielu zmiennych jest bardzo zlorone i r6i:niczkowanie moze bye

Moina tei t<t metod~ zrealizowac w postaci programu w populamych j~zykach

gramowania (PASCAL, BASIC, C++, Delphi). Ponii:ej przedstawiono sk:r6cony

gram do obliczania bl~du wielkosci zloionej metod<l r6inicow~ napisany w ·

TURBO BASIC.

REM Metoda r6znicowa .INPUT "Liczba zmiennych";n pi=3.14 DIM X(n}, DX(n} FOR i=1 TOn

PRINTi INPUT "Zmienna";X(i)

131a.d wielkoSci ztozonej

NEXT i FOR i=1 ton

NEXT i

x(i)=x(i)+dx(i) GOSUB100 dxg=Funkcja x(i)=x(i}-2*dx{i) GOSU8100 blad=blad+O.S"ABS(dxg- Funkcja) x(i)=x(i)+dx(i)

PRINT FO"±"Biad END

100 Funkcja=4*pi112*X(1)/X(2)"2 RETURN

65

W linii 1 00 naleiy wpisac postac analizowanej funkcji. W powyiszym przykla­

dzie jest to wyratenie

na przyspieszenie ziemskie w metodzie wahad1a matematycznego, gdzie X( I) = I,

X(2) = T.

Pnyklad 3.12

Zastosujmy metod~ rOinicow<l do obliczenia bl~du maksymalnego wyznaczania

wsp6lczynnika zalamania swiatla dla pryzmatu wg danych z przykladu 3.3: ~ = 59°43'

± 18' i 0 = 41 ° 1 0' ± 1 0'.

. ~+0 sm--

Problem rozwi<lZlJjemy wstawiaj~tc do wzoru: n = 2 kolejno wartosci: sin!

2

q> = 59°43' i 0 =41°10' otrzymujltc n(~. o) = 1,5486,

q> = 59°43' + 18' i 0 = 41 °10' OtrzymUj<lC n(~ + b.<p, o) = 1,5449,

cp = 59°43'- 18' i 0 = 41 °10' OtrzymUjltC n(q>- b.cp, o) = 1,5523,

<p = 59°43' i 0 = 41 °10' + 10' otrzymuj~tc n(<p, 0 + b.o) = 1,5504?

q> = 59°43' i 0 = 41 °10'- 10' otrzyrnujltC n(<p, o-M)= 1,5467

66

i ostatecznie:

Lln = ..!.11,5449 -1,55231 + .!.11.5504 -1,54671 = 0,0056. 2 2

Wyznaczony wsp6tczynnik zalamania ma wartosc:

D = 1,549 ± 0,006.

Otrzymalismy taq_ sam~ wart<>Sc, jak w przykladzie 3.3, kiedy to bez wniej~­

nosci obliczania pochodnych zlozonycb funkcji trygonometrycznych nie moszltt,vsrml•

zastosowac metody r6Ziliczki zupemej.

Przyklad 3.13

Oblicz bl<td wyznaczania pracy wyjscia elektron6w z metalu.

Dla dw6ch r6t.nych pr<~.d6w :tarzenia katody okreslono jej temperatur~

T, = (790,0 ± 5,8) K; T2 = (895,6 ± 5,1) K

i nat~i.enie pr<tdu anodowego w warunkach nasycenia

i. = (0,850 ± 0,015) mA; i . = (23,8 ± 0,3) rnA. I 2

w, w2 26,66

29,88 1,33

28,64 0,16

28,36 0,12

Bl~= 3,54

Obliczamy prac~ wyjscia:

gdzie k = 1,38 ·1 o-n J I K - stala Bo1tzmanna.

s~ctd wielkosci zlozonej

W = l,3S·IO-n 79~,0-895,6 10[ 23,~ (790,0 )2

] = 28,48 _ 10.~o J. 89:>,6- 790,0 0,8) 895,6

\\") niki obliczen uj~to w tab! icy 3.3. Wynik koncowy zapiszemy w postaci:

T2 38%

W =(28,5±3,6)· 10-20 J =(1,78±0,23)eY.

in1

T1 54%

Rys. 3.!. Wplyw btc;d6w poszc7.eg6lnych wielkosci na bl(\d calkowity

67

a rys. 3.1 pokazano w~yw poszczeg61nych wielkosci (i ich bl~d6w) na war­

tosc bl~du wyznaczania pracy wyjscia.

Przyklad 3.14

Wyznaczarny dlugosc swiatla lasera p6lprzewodnikowego. Stosujemy siatk~

dyfrakcyjnct o stalej d = 5,2·1 0-6 m. Na ekranie w odleg{osci I = ( 120,0 ± 0, I) em ob­

serw ujemy linie dyfrakcyjne trzec h r~d6w w odleg!osciach x, = (ISO ± I) mm, X2 =

(311 ± J) mm i x3 = (490 ± l) mm' . Do ob1iczenia drugosci swiatla stosujemy wz6r:

Stosujl\_c metod~ r6ZI1icow<~... Wyniki obliczefl uj~to w tablicy 3.4.

68

Tablica 3.4

n x, (mm] A. (nm) A.-A.(6J) A.(.lx) bJ.. [nm] wag a A.*waga 1 150 644,98 0,53 4,23 4,76 0,044 28,4 2 311 652,28 0,51 1,96 2,47 0,163 106,6 3 490 655,26 0,47 1 ' 15 1,61 0,384 251 ,7

Sum a: 0592 3868

Widzimy, ie o bltedzie wyznaczania dlugosci fali decyduje niepewnosc

rowa okre5lania potozenia pr¢a dyfrakcyjnego. Wyniki l!Sredniamy w spos6b

ny otrzymujqc ostatecznie:

A.= {653,7±2,l)nm.

4. REGRESJA LINIOWA

W przypadku scistej zalei:nosci funkcyjnej pomiccdzy zmiennymi x i y zachodzi

jednoznaczne przypol'Z'\dkowanie wartosci zmiennej zalei:nej wartosciom zmiennej

niezalei:nej. Jesli jednak wartosci tych zmiennych uzyskane set na drodze doswiadczal­

nej, to wskutek istnienia bl¢6w zmienne te wykazujct rozrzut wartosci zgodnie z funk­

cjami rozklad6w. Krdlqc t<( zalei:nosc otrzymamy punkty rozrzucone na pewnym ob­

szarze. Mozna jednak zauwai:yc pewne prawidtowosci rozrzutu tych punkt6w. Pro-

blem ten nazywa si<c og6lnie regresj~t .

Zagadnienia polegajqce na sz:ukaniu zalei:nosci regresyjnej na podstawie znajo­

mo5ci funkcji rozkladu obydwu zmiennych naz.)"-vane Sq zagadnieniami regresyjnymi

pierwszego rodzaju. Jesli nie znamy tych funkcji rozkladu, to problem regresji drugie­

go rodzaju sprowadza site do znalezienia takich funkcji

Y = f(x),

X= g(y),

aby suma kwadrat6w odchylen wartosci zmierzonych od wartosci obliczonych na pod­

stawie tych funkcji osiqgata minimum. W6wcnJS musz.l\. zachodzic zalei:nosci:

W praktyce laboratoryjnej najczctsciej stosuje sicc liniowct funkcjcc regresji

Y=ax+b. (4.1)

Odchylerua punkt6w pomiarowych od przewidywanej linii prostej moiemy obliczac na

trzy sposoby, pokazane na rys. 4.1. Najc~ciej stosuje sict przypadek odchylek zmien-

70

nej zaletnej Y (rys. 4 .l.a), przypadki b) i c) realizuje si~ bardzo rzadko i w

opracowaniu zostaly pominiyte.

Rys. 4.!. Odchylenia prostej regresji od punkt6w pomiarowych

Wsptilczynniki regresji a i b znajdujemy metodqnajmniejszycb ..,., . .,,. •. ~~"""

poprzez minimalizacj~ sumy kwadrat6w odchylen:

• L(Y; -ax, - b)2 =min. l=J

Warunek ten jest spelniony, jdli pochodne c~tkowe tego wyrazenia wzglydem a i

zeruj~ si~:

• 2L(-xJ(Y; -ax; - b)= 0

i=l

2I<-t><Y; -ax;- b)= o. i•l

Uklad r6wnaiJ (4.3) po wykonaniu dzialaiJ algebraicznych przybiera postac:

IY; -atx; -nb=O. i-J i • l

Rozwi¥Ujemy ten uklad r6wnaiJ wzglydem a i b otrzymuj&.c:

Regresja liniowa 71

(4.5)

(4.6)

Dalsze rozwatania prowadzimy przy zaloieniach:

a) x jest zmienn&. niezaJeznct. a jej wartosci zostaly znalezione doswiadczalnie (meto­

dy regresji liniowej nie stosujemy do wyniktiw obliczen!),

b) rozklad warunkowy zmiennej y jest rozkladem normalnym, a jej blqd nie zaleiy od

wartosci zmiennej x,

c) bl~dy nie zaleZ&_ od wartosci zmiennych .

Oznaczmy odchylenia kolejnych wynik6w pomiar6w:

1£; = Y, -ax,- b. I (4.7)

Moina wykazac, ze wz6r na bl&.d sredni kwadratowy pojedynczego pomiaru

przyjmie postac:

(4.8)

Wykorzystujemy metody r6iniczki zupemej do obliczenia sredniego blydu kwa­

dratowego wielko5ci zlozonej:

(4.9)

74

Przebieg obliczeri ujmuje tablica 4.1. Odchylenia ~; obliczono zgodnie z

cj'l. (wz6r (4.7)), a nast~nie odchylenia te podniesiono do kwadratu i kwadraty

chylen zsumowano.

7,8 . 13.363 -13 . 6,568 a= - - o 7964 n

7,82 -13·6,5 -- , '

b = 7,8. 6,568-13,363.6,5- ~ 7,82 - 13. 6,5 - },)06 v'

Tablica 4.1

Lp. u I I;

r

u• I 2 U; ·I ; s:, ·100 ~; 2 ·10000 I I I

fVJ I [AJ [v2 J [A 2 J (WJ [V) [v2 J l I

1 1,534 0,0

I 2,353 0,00 0.000 ' 2,825 7,982

2 1.432 0.1 2,051 0,01 0,143 0.589 0,347 3 1,358 0,2 1,844 0,04 0,272 1,153 1,329 4 1,257 0,3 1,580 0,09 0,377 -0.984 0,967 5 1 '165 0,4 1,357 0.16 0,466 -2,220 4,927 6 1,093 0,5 1,195 0,25 0,547 -1,456 2,120 7 1,010 0,6 1,020 0,36 0,606 -1,792 3.212 8 0,942 0,7 0.887 0,49 0,659 -0,629 0,395 9 0,866 0,8 0,750 0,64 0,693 -0,265 0,070

10 0,781 0,9 0,610 0.81 0,703 -0,801 0,642 11 0,719 1,0 0,517 1,00 0,719 0,963 0,927 12 0.633 1,1 0,401 1,21 0,696 0,326 0,107 13 0,573 1,2 0,328 1,44 0,688 2,290 5,245

I 13,363 7,8 14,893 6,50 6,568 0,000 28,270

s = J 28,270·10-4 ·J 13 -• 11 7,82 -13·6,5- o,OI19 n,

sb = /28,270 ·10·• 6,5 _ ' II 7,82 -l3· 6,5 -0,00841 V.

Regresja liniowa 75

Prosta przedstawiona na wykresie (rys. 4.2) zostala wykreslona na podstawie

obliczonych wsp6lczynnik6w regresji liniowej. R6wnanie prostej regresji rna postac:

U [VJ = (1,506 ± 0,009) - (0,796 ± 0,012)-I [A]

Przypisuj<~.c sens fizyczny wsp6lczynnikom regresji otrzymujemy:

- sila elektromotoryczna ogniwa

E = (1,506 ± 0,009) V

- op6r wewncrtrzny ogniwa

r = (0,796 ± 0,012) n. Oblic21Tly sum~ kwadrat6w odchylen stosuj<~.c wz6r ( 4.15):

2:£,2 = 14,893- ( - o,964;. 6,568- 15o6 ·13,363 = o,ooz8z7.

Wykazalismy, ze w rym przykladzie wartosc sumy kwadrat6w odchylen obli­

czona wg wzoru ( 4.15) jest taka sam~ jak podana w tablicy (zgodnie z wzorem ( 4.9)):

Zwrocmy uwag~ na wartosc sumy odchylen - zgodnie z postulatem rozkladu nonnal­

nego bl~d6w suma ta powinna bye rowna zeru.

a) Korelacja

Najprostszym sposobem zbadania, czy pomi~dzy wartosciami pomiar6w dw6ch

wielkosci xi y zachodzi zalei:.nosc liniowa, jest spor~dzenie v.rykresu y = f(x). Jesli

punkty porniarowe ukladajct sicr wzdluz prostej, to moi:.na stosowac metodcr regresji

liniowej. Istnieje wiele metod matematycznych sprawdzania hipotezy o liniowej zalei:·

nosci funkcyjnej pomi¢zy zbiorami wynik6w pomiar6w. Najprostszym sposobem jest

tzw. korelacja, kt6rej mia.I1l.jest tzw. wspolczynnik korelacji:

(4.16)

gdzie sx i sy - odchylenia standardowe zmiennych Josowych X i y, Sxy - tzw. kowa-

riancja 9kreslona wzorem:

76

S 1 ~( -v.. -) I~ __ xy =-~ x, -x/I.Y , - y =-~x,y i -x·y.

n ~~ n,~

Wspolczynnik korelacji oblicza si~ zgodnie z defmicjct okre5lonct u!"7.nr.., ....

( 4.16), kt6ry po przeksztalceniu przyjmie postac:

Dla idealnej linii prostej modul wsp6lczynnika korelacji IPI = 1,0000. Jesli

czona wartosc bezwzgl~dna wsp6lczynnika korelacji IPi < 0,9, to nie powinno' si~

sowac metody regresji liniowej dla zaleznosci y = f (x). Dla wspokzynnika korel

I lub -I (ujemna wartosc wsp6tczynnika regresji a) wszystkie punkty pomiarowe

na prostej. Przy mniejszej korelacji punkty leU\ wewn<!trz elipsy otaczaja,cej

Sarna wanosc wsp6lczynnika korelacji nie jest vvystarczaja,cym argumentem :>W,Ii:lUIL..£41":;

cym o korelacji. lm mniej punkt6w pomiarowych, tym wi~ksza musi bye wartosc

wzgl~dna wsp61czynnika korelacji. Na rys. 4.3 pokazano proste regresji liniowej

3 r6znych wanosci wsp6lczynnika korelacji.

a) b) c)

y y y 10 10 ,0 10 / o 9 p = 1,000 9 p= 0,977 · 0

9 p = 0,795 0 /0 0 /, '/

8 8 9; , 8 _/ /

0 , /

7 /. ~ 0 . , o 7 /. 7 0 '/

6 6 /.i o 6 / / 0

0~ 0 / / /

5 5 s / .·0 ~ , ' 0/ / 4 4 #. . 4 / 0

3 3 . A."o .

3 / /~ .·~ . · o .·

2 2 ~~ 2 /

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X X X

Rys. 4.3. Proste regresji liniowej dla r6:Znych warto5ci wsp61czynnik6w korelacji

~egresja liniowa --PrzykJad 4.2

77

Oblicz wsp6lczynnik korelacji pomitrdzy wartosciami pomiar6w z przykladu

,;1,1.

Schemat obliczen wsp6Jczynnika korelacji dla danych z tego przyktadu przed­

stawiony jest w tablicy 42.

Obliczamy wartosci srednie:

U = 13,363 = 1028 V, St 13 ,

I = 7,8 = 0,6 A . Sf 13

a nasll~pnie kolejno odchylenia 'vartosci U, i I, od wanosci srednich.

Tablica 4.2

llp. I; - lsr 2 (I; - I$1'i (U; - Usr)( I; - 1$1') U; 1; U;- Usr (U;- Usr)

M [A] M [A] [V2) [A2] [VA]

1 1,534 0,0 +0,51 -0.6 0,256 0,36 -0,304

2 1,432 0,1 +0,40 -0,5 0,163 0,25 -0,202

3 1,358 0,2 +0,33 -0,4 0,109 0,16 -0,132

4 1.257 0.3 +0,23 -0,3 0,052 0,09 -0,069

5 1,165 0,4 +0,14 -0,2 0,019 0,04 -0,027

6 1,093 0,5 +0,07 -0,1 0,004 0,01 -0,007

7 1,010 0,6 -0,02 0,0 0,000 0,00 0,000

8 0,942 0,7 -0,09 +0,1 0,007 0,01 -0,009

9 0,866 0,8 -0,16 +0,2 0,026 0,04 -0,032

10 0,781 0,9 -0,25 +0,3 0,061 0,09 -0,074

11 0,719 1,0 -0,31 +0,4 0,095 0,16 -0,124

12 0,633 1,1 -0,39 +0,5 0,156 0,25 -0,197

13 0,573 1,2 -0,45 +0,6 0,207 0,36 -0,273

l: 13,363 7,8 1,157 1,82 -1 ,449

Kowariancja:

1,449 Cov(X Y)= S = ---= -0,11 15.

' xy 1 ~

78

Wsp6lczynnik korelacji obliczamy zgodnie z wzorem (4.18):

= -1•449

= -0 9988, p J I,l57 · 1,82 '

Wartosc bezwzgl~dna tego wsp6lczynnika jest zbliZona do jednosci, co

zuje na dobrq korelacj~ pomi~dzy wartosciami pomiar6w napi~cia i nat~zenia pr~tdu.

b) Anamorfoza liniowa

Metod(( regresji (zwanq metoda, wyr6wnawczq, metod<~. najmniejszych lrU/"n'"'-11

t6w) moina zastosowac nie tylko do zaleinosci liniowych. Wiele postaci funkcji ni

niowych da si~ bowiem drogq zmiany zmiennych sprowadzic do postaci liniowej:

z = a·x + b

* funkcje wykladnicze

- po podstawieniu z = ln y , w = x, a = ln a i b = Ink ,

• funkcje pot~gowe

- po wprowadzeniu z = ln y , w = In x i b = Ink ,

• funkcje paraboliczne

d . . . 1

- po po stawtenm z = y 1 w = - . X

Metoda przeksz:talcenia zaleinosci funkcyjnych do postaci fun.kcji liniowej na­

zywa si~ anamorfozll liniow~ . Stosujqc t~ metod~ nalei.aloby zastanowic si~, czy

zalozenia poczynione na wst~ie niniejszego rozdzialu zostaj<~. zachowane. Niestety,

czasami bl~dy wielkosci zmiennych zaleut od ich wartosci. W6wczas nale:Zy zastoso­

wac bardziej zaawansowane metody regresji.

Regresja hniowa -y a)

7

5

3

1 3

c)

Y ·c s a i

s 5

5

79

y b)

7 9 X 3

d)

y 10

9

8

7

6

5

4

3

2

3 5 7 9 X 3 5 7 9 X

y e ) 300

250

200

150

100

50

0

3 5 7 9 X

Rys. 4.4. Typy linii regresji: a) liniowa, b) eksponencjalna malej<tca. c) eksponencj alna rosn~ca, d) logaryuniczna, e) pot~gowa

80

4.1. REGRESJA LINIOWA Z ZASTOSOWANIEM

SREDNICH

W obliczeniach numerycznych wsp0lczynnik6w regresji liniowej za

zaawansowanych kalkulator6w tub kornputer6w wygodnie jest stosowac .,,~.-...v;...;

srednie zmiennych. Stosuj'lc oznaczenia:

1 - 1 - Ix1y1 = xy,- Ix1 = x, n n 1 " - 1 (""' 2 ) 2 - L Yi :: y,-\L_.Xi =X n n

rnoi.na wzory: (4.5, 4.6) i (4.12, 4.13, 4.15) zapisac w postaci:

I x' y- X xy I b= x' - X' = Y- •· X

~):/ = nl/-a· xy- b · y} i• J

Przyklad 4.3

Przez cewk~ indukcyjnct plynie prctd staly o natccieniu zale:Znym od on:v!c•zmlec.

go napi~ia. Nalecy znaleic rezystancjcc cewki wykorzystujctc metodcc regresji lmlo1wet

(wzory (4.19)- (4.23)) z wartosciami srednimi poszczeg61nycb wielkosci.

f{egresja liniowa .:.----

R6wnanie analizowanej funkcj i liniowej rna postac:

81

Na poniZszym rysunku pokazano "''Ykres tej zaletnosci . Punkty porniarowe

uldadajct si~ wzdluz prostej.

l(mA) 45

20~~ . .L.~I 15~~--~~~~~~-~~~-+l~~ .. ~ .. - .. -1: ..

10j_~~~~~~~~~~~-+~~~:l

o~~~~~~~~~~~~-+~~~~2.oU~ 0.0 0,5 1,0 1,5

Rys. 4.5. Charakterystyka pl'l\(iowo-napiyciowa cewki (pr~d staly)

Obliczone wsp6lczynniki regresji majct wartosc:

- 30,1 - 1,0 . 21,5 = 21496-· a- ? • ,_.('"\ '

1,4-J' ~L

b = 2 1,5 - 21,486·1,0 =0,014mA,

s = _!_( 647-21,52 -21,4862) =0,042-1-, a 9 1,4-e kQ

Sb = 0,042 · ...{[4 = 0,049 rnA.

82

U; I· U/ 1·1 Lp.

I I

[V] [mAJ [V2] [(mA)2]

1 0,0 0,1 0,00 0

2 0,2 4,2 0,04 18

3 0,4 8,6 0,16 74

4 0,6 12,8 0,36 164

5 0,8 17.4 0,64 303

6 1,0 21 ,5 1,00 462

7 1.2 25.8 1,44 666

8 1,4 30,1 1.96 906

9 1,6 34.4 2,56 1183

10 1.8 38,7 3,24 1498

11 2,0 43,0 4,00 1849 . Srednia 1,0 1 21 ,s 1,40 647

Rezystancja badan~j cewki

Natomiast

R "' 1/a = 0,046 kO.

} ~ = 2 Sa = 9,1· 10-s kQ

a

Wynik koilco'"'Y zapisujemy w postaci:

R = (46,5 ± 0, 1) n.

Wsp6kzynnik korelacji obliczamy za pomocl\_ wzoru:

p ;;;: 30,1-1 ·21,5 -) (647- 21,52 X1,4 -12) - o,9999.

R

Tablica 4.3

U;·l,

[V·mA]

0,0

0,8

3,4

7,7

13,9

21 ,5

31,0

42,1

55.0

69,7

86,0

30,1

f<egresja liniowa ;..----

83

Wartosc wsp61czynnika korelacji jest bliska j ednosci, co swiadczy o tym, ze

z.aswsowanie metody regresji !iniowej do wyznaczenia rezystancji cewki bylo racjo­

nalne. Tym samym potwierdzilismy, i.e do naszych wynik6w pomiar6w moi:na stoso-

wac prawo Ohma.

4.2. REGRESJA L/NIOWA Z ZASTOSOWANIEM WIELKOSCI

ZAST~PCZEJ

Obliczenia estymator6w regresji liniowej moi:na uproscic popnez wprowadze­

nie v.1elkosci zast~pczej :

\\' 6wczas otrzymamy:

n

I:x, x, = x, _ ;!..__= x, -X:.

D

n n

LY; LX; b = .!!!..- -a i :l

n n

~-2 "'-&·

s = -~-~ • 1 n - 2 ~- 2

"-xi i::l

]

2 n 2 n

I;&. tx· s = r•l I +(~ s 2

b ' n(n- 2) n • '

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)

.· ..... .7

84

gdzie

n - 2 n 2 n - 1 ( n )l IE; = L:y, -aiy,x, -- IY, . ial , .. , i=l n i=l

Jesli podczas obliczania wyrai:enia (~.29) wySUij)i r6inica dui:ych, prawie

nakowych liczb (co moze spowodowac znaczne bl¢y), to zaleca si~ obliczac

nie zast~pcze wg wzoru:

s, = Y; -ax; -y.

Przyklad 4.4

Dla za leinosci napi~cia Halla od nat~i:enia pr~du sterujqcego wyznacz

nie charakterystyki i jej bl!~_d (stosuj<\_C metod~ regresji Iiniowej z zastosowaniem

kosci zast~pczej) .

Tablica 4.4

Is i. UH i, · UH ~2 u 2 i, · a E,

2 I, E,

Lp. H

[rnA) [rnA] [mV] [mA·V] [(mA)2] [(mV)2] [mV] [mV) [(mV)2]

1 0 -13 0,0 0.0 169 0,0 -8.72 -0,21 0.042

2 2 · 11 1,5 -16,5 121 2.3 -7.37 -0.05 0,002

3 4 -9 2,8 -25.2 81 7,8 -6,03 -0,09 0,008

4 6 -7 4,2 -29,4 49 17,6 -4,69 -0,03 0,001

5 8 -5 5,6 -28,0 25 31,4 -3,35 0,03 o.cc~

6 10 -3 7,0 -21 ,0 9 49,0 -2,01 0,09 0,008

7 12 -1 8,4 -8,4 1 70,6 -0,67 0.15 0.022

8 14 1 9,7 9,7 1 94,1 0,67 0,11 0,012

9 16 3 11 ,1 33,3 9 123,2 2,01 0,17 0,028

10 18 5 12,4 62,0 25 153,8 3,35 0,13 0,016

11 20 7 13,8 96,6 49 190,4 4,69 0,19 0,034

12 22 9 15,0 135,0 81 225.0 6.03 0,04 0,002

13 ~4 11 16.1 177,1 121 259,2 7,37 -0,20 0,039

14 26 13 17,3 224,9 169 299,3 8,72 -0,34 0,114

I 182 0 124,9 610,1 910 1523,7 0,00 0,328

Regresja liniowa :_.:.-;--

85

Obliczarny wartosci srednie i5 = 13,0 rnA i U H = 8,92 m V, a nast~pnie estyma­

•. ,. re>rresji liniowej: tO•; -

u"' {mV) 18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0

a = 610

•1

=0 670 n, 910 '

b = 8,92 - 0,67044 · 13 = 0,206 m V ,

If l 0,328 s = - -·-- =0,00550 ,

* ~ 14-2 910

s = / 0•328

+ 132 . 0,00552 = 0,084 m V

b \1 14· 12

5 10 15 20

Rys. 4.6. Charakterystyka pri\dowo-napil(ciowa hallotronu

2s i, [mAl

Po zaolm\gleniu wyniki koncowe zapiszemy w postaci:

a = (67,0 ± 0,5) ·10-2 n,

b = (0,206 ± 0,084) mV.

Zauwain1y, re suma kwadrat6w odchylen obliczona za pomoc!\_ wzoru (4.29)

fr;2 = 1523,7 - 0,67044 ·610,t- s,92 · 124,9 = o,328 i=l

86

jest taka sama, jak obliczona zgodnie z defmicj'\_ (4.29a), za5 same obliczenia zmtCZlilie'i

sif( uproscBy.

Przyklad 4.5

Badaj'lc temperaturow'l zaleinosc wspolczyrmika lepkosci cieczy moi.na

zek pomif(dzy zmiermymi zapisac nastf(pujctco:

gdzie A i B 5'1. stalymi materialowymi. Logarytmujctc to wyra.Zenie otrzymujemy

OOSC iiniOW'l pomif(dzy Jogarytmem wsp6Jczynnika lepkosci j odVvTOtnOSCi<t

peratury:

ll t In llll Lp.

[Pa·s] [OC]

1 1.873 20 0.628

2 1,587 25 0,462

3 1,216 30 0,196

4 0,994 35 -0,006

5 0,760 40 -0,274

6 0,566 45 -0,569

7 0,419 50 -0,870

I -0,435

1 lnTJ:::: B-+ InA

T

x::::1fT x, [K1J-1 o·3

[K'1J·1 o"" 3,41 1,63

3,35 1,05

3,30 0,50

3,25 -0,03

3,19 -0,55

3,14 -1 .05

3,09 -1,54

22,74

Tablica 4.5

x, ·lnllll - 2 X· I

(In lllD2

[K-1]-10.5 {K"2]-10-8

10,20 2,64 0,394

4,87 1,11 0,213

0,98 0,25 0,038

0,002 0,001 0,000

1,52 0,30 0,075

6,00 1 '11 0.324

13.44 2,37 0,757

36,97 7,8 1,801

Wsp6lczynniki regresji obliczamy wg wzor6w (4.25) i (4.26) stosujl\_c zm1erur1U

zastf(pCZl\_ X; =X;-X ( x = 22,74 ·10-3 17 = 3,25 ·10-3 K-1 ):

a= 3•7 · IO_. = 4741K 7,8 ·10-· '

Regresja liniowa -b

- - 0,435 - 4741· 22,74. I o-• = -15,46 - 7 7

~ ich odchylenia standardowe wg wzor6w (4.27). (4.28) i (4.29):

S = 0,0467 = 346 K. a 5·7,8·10-8

s = . fo,o467 +(22,74·10-J Y .346: :::: 1,125. b v 7·5 7 )

I : : : I : .. : ·· li .. , ~ ..... ,.;.. .; ... . , . . I ..

'i

ti(P a ·S) :: ..

1,5 .~ ..... - ..... : ..... ~-..

0.4 3 ,05 3. 10 3.15 3 ,20 3 ,25 3 ,30 3,35 3,40 3 ,45

1/T [K'1 )·10 :;

Rys. 4.7. Temperaturowa zaleznosc wsp6lczynnika lepkosci cieczy

Wielkosci A i B wyliczymy nast~puj'\_c.o:

A = exp(b) = exp(-15,46) = 1,92 · I o-~ Pa · s

M = Sb ·exp(b) = 2,18· 10-7 Pa-s

87

88

i ostatecznie po zaokrctgleniu:

A= (19 ± 22) ~Pa·s,

B =.(4,7 ± 0,4) ·103 K .

Zwr6cmy uwag~ na dutq wartosc bl¢u wzgl~dnego A. Wynika to z samej

cyfiki zastosowania regresji liniowej do funkcji eksponencjalnej. Na rys. 4.7 pol~azan(~

przebieg analizowanej zaletnosci temperaturowej wsp6lczyrmika lepkosci cieczy.

4. 3. REGRESJA L/NIOWA Z UWZGLE;DNIENIEM WAG POMIARO

Ten podrozdzial przeznaczony jest dla dociekliwych student6w. W praktyce

boratoryj nej cz~to zachodzi koniecznosc stosowania metody regresji liniowej dla

miar6w z r6i:nymi niepewnosciami (bl~dami). Zwil\ZaDe to jest j ednak ze .,,.,.,.,,,.,." ·'"'

dose zlozonych wzor6w i z tego wzgl~du prowad~cy zajcrcia proponuj~

Z\\'Yklej regresji liniowej.

W poprzednich przykladach wszystkie punkty pomiarowe mialy jednakow~

g<(, a btccdow systematycznych (ani przypadkowych) poszczegolnych pomiar6w

uwzgl~dnialismy. Jes li jednak wartosci blcrd6w poszczeg61nych punkt6w porn·

xi ± t.x.; i Yi ± t:.yi Sl\. r6i:ne, to iwagi kolejnych pomiarow herd~ ro:zne. Przyczyn~

r62:nic moie bye np. zmiana zakresu pomiarowego (zmiana skokowa) tub sam

ter pomiar6w. I tak np. bhtd bezwzglcrdny pomiaru miernikiem cyfrowym zalezy

wskazania wyswietlacza cyfrowego (p. wzor (2.9)), a bl~d liczby zliczen jest

pierwiastkowi kwadratowemu z tej Iiczby (2.1 0). Pomiar wykonany dokladniej

nien wplywac w wicckszym stopniu na wyniki obliczeil wsp6lczynnik6w regresji

wej nii: pomiar wykonany z mniejs~ dokladnosci~ (z wicckszym blccdern, z uuu <OJ:>Ut:·

wagll.). Irm~ wai:n<t. przyczyn~ r6i.nicowania wartosci blccdow wielkosci zmiermych

zastosowanie anamorfozy liniowej.

Problem sprowadza sicc do zdefiniowania wagi pomiaru Yi (xj}. Na

punkt pomiarowy otaczamy prostok~tem blccd6w lub przypisujemy mu tzw. srupek

RegresJa liniowa - 89

du. Prosta regresji powinna przecinac pole takiego prostok~ta lub odcinek shtpka bl~­

du. Moina przeanalizowac kilka przypadk6w:

a) zmienia si~ bl~d wielkosci y,

b) zmienia si~ bl~d w ielkosci x,

c) blfCdy wielkosci x i y S'\. stale,

d) blrtdY obydwu wielkosci pomiarowych zmieniaj~ sicc tak samo,

e) blrtdY obydwu wielkosci pomiarowych zmieniaj<t. si~C w spos6b dowolny.

4.3.1. METODA YORKA

Sposr6d wielu znanych sposob6w rov.viltUnia problemu regresji liniowej dla

pomiar6w z r6i:nymi dokladnosciarni (b!ydami) prezentujemy tu metod~ Yorka1. Waga

pomiaru obliczana jest wg w zoru:

\V = w(x , ) · w(y ,)

' a2 ·w(y ,)+ w(x ,)

gdzie a- wsp6lczynnik kierunkowy prostej, natomiast

1 w(x ;) = (t:.x; )1

1 w(y, )= (~yy

(4.30)

(4.31)

set w agami kolejnych pomiar6w wielkosci xi i Yi· Wprowadzamy zmienne zastccpcze:

gdzie:

U; = X ;-X

V; = Y; - y (4.32)

90

f-wx L I I

n "'w v . L.. 1-"1

x = ..:.:'".!....' --

Iw; y = .:.;;'""""'. - -

l:wi ••I ,.,

set srednimi wa.Zonymi obu zmiennych. Stosujctc metod~ najmniejszych kwadrat6w

otrzymujemy r6wnanie trzeciego stopnia:

a32:-' -~-- -2a2I I ; ' -a I w,u ,2 - I -'- ' + l:w,u;v, =0. 0 W 2U 2 D W 2U V [ n n W 2V 2] 0

,., w(x,) ,. , w(x,) i=t •=• w(x,) ,. ,

R6wnanie to rozwi<tZUjemy metodct iteracyjn<t. W celu uproszczenia

wprowadzamy oznaczenia:

' n w -u v 2I-i_l I

,. , w(x,) a = - ---,.,--'-:2-,

3I w,-u,_ ,., w(x,)

• \V 2v 2 " I-·- ~- I w u . l

~ = ,., w( x;) ,. , , , 0 l 2

3I w, u; •~1 w(x,)

n

Iw;U,V; ·~ = ..:.;'""-' -,.---~ I 2 2 ' ~w u L -'-' ;., w(x;)

W6wczas r6wnanie (4.34) przyjmuje postac:

Metodct kolejnych przyblii:en (metod~t iteracyjnv wyznaczamy wartosc a

niaj(tCC\_ to r6wnanie. Kolejne estymatory regresji liniowej wyznaczamy stosuj~tc u r?nn..•-,.

ReQresja liniowa -b = y-a-x,

• 2 1 Iw,(au , -v;)

s = ~-~-· i•l • • n-2 "" z ,t._. W ;U , ,.,

w kilku szczeg6lnych przypadkach zadanie upraszcza si~.

a) Jesli uwzgl¢niamy cylko b!~dy zmiennej zaleinej, to:

w, = w(y.)

:tw(y;)U ,V; a =.!.:'=:!...' _ _ _ _

• 2 ]:w(y,)u; i • l

b) je5li uwzgl~dniamy jedynie bl~dy zmiennej niezaletnej:

w(xJ W ; =~,

gdzie:

c) jesli blc;;dy s~t stale, to

I v;2 _ Iu;2 + (:tv;2 -ciu;2 )

2

+4c(Iu;v;)2

ii ··~· --~i·~·---~·=·'~~~i·~·-~---~·--·-~­a=- 2Iu;v; i • l

(~y)l c=--2.

(~)

91

(4.37)

92

Algorytm zadania jest dose skomplikowany. W pracowni zainstalowany

program rozwi¥Ujqcy ten problem i pozwalajqcy stosowac metod~ regresji dla

row z r6i:nymi wagami. Nalezy jednak podkre5lic, ze dopiero przy duiych rn?'"'"''"

wag pomiar6w obserwuje si~ istotn(\ rozbiei:nosc wynikow w por6wnaniu z metO<:Ialil

pokazanymi w p. 4.1 • 4.2.

Przyldad 4.6

Przypomnijmy, ze dla danych w przyktadzie 4.4 otrzymalismy wsooltc~mn:il

regresji liniowej dla zaleinosci napi~cia Halla od nat~i:enia prq_du steruj(\_cego:

a = (6,7 ± 0,5)·10·1 n, b = (0,21 ± 0,09) mV.

Jdli mvzgl~dnimy bt~dy porniarowe:

· nat~ienie prqdu sterujqcego - staty bt<td zwiqzany z klaS<\_ rniliarnperomierza

& 5 = 0. 15 m.l\,

- napi~cie Halla - bl<td pomiaru miliwoltomierzem cyfrowym:

tlUH = 0,5· UH /100+0,lmV ,

to wsp6kzynniki regresji liniowej obliczone metod<\. Yorka przyjm<\_ wartosc:

a= (7,91 ± 0,14)-10-l n, b = (-0,4 ± 0,2) mV.

lnteresuj<\_cy nas wsp6lczynnik a (nachylenie prostej) rna wartosc r6i:n<t. o

I 0% w por6wnaniu z wartosciq otrzymanq z pomini~iern bl~d6w pomiarowych.

tod~ Y orka poleca si~ w tych przypadkach, gdy podczas wykonywania pomiar6w

lokrotnie zmienialismy zakresy miernik6w i bl~dy poszczeg6lnych pomiar6w

si~ w spos6b istotny. W naszej pracowni nie wymagamy stosowania tej metody.

4.3.2. REGRESJA LINIOWA Z UWZG~NIENIEM WAG ZMIENN.EJ ZALEZNEJ

Metoda Yorka wyczerpuje wszystkie przypadki regresji liniowej

z uwzgl~dnieniem bl~d6w, jednak algorytm tej metody jest zlozony. Cz~sto c:.n<'\rv:~r"rnvt

Regresja liniowa 93

. rzypadkiem, gdv uwzgl~"dnia si~ tylko zmienne wagi wielkosci zmiennej zalez-Sl~ z p • • 't'

oej. a wartosc zrniennej niezalei:nej jest z g6ry zadawana. Wowczas wzory na estyma-

tor:· regresji liniowej znacznie si~ upraszczajl\;.

Jako wag~ i-tego pomiaru przyjmiemy wag~ zmiennej y:

c W ; = (~y}'

gdzie c - dowolna stala, np. c =I. Pomijaj!!_c dose zloione wywody podajemy wzory

koncowe na wsp6lczynniki regresji liniowej:

(4.38)

b :Lw, ·y, L:w, ·X,

- - a . ====-'-~ - Lw; L\"', ' (4.39)

(4 .40)

( 4.41)

gdzie:

(4.42)

PrzykJad 4. 7

Oblicz wsp6lczynniki regresji liniowej dla zalei:nosci kl\;ta skr~cenia plaszczy­

z:ny polaryzacji od st~i.enia wodnego roztworu cukru. K<t.t skr~cenia mierzono 5-

w ·k· · ' · obli-krotnie, a blctd wanosci sredniej obliczano metod<\_ Studenta. ym 1 ponuarow 1

czen uj~o w ponii..szej tab! icy.

94

Tablic. 4.6

Lp. C[%] a [o] 6tt[0] w W·C[%] W·Cl [0

] W·al [o]2 W·a·C [0 ·%] s 1 0 0.11 ± 0,18 0,3 0,00 0,03 0,0 0,0 0,039

2 2 1.46 ± 0,15 0,4 0,89 0,65 1,8 1,3 0,002

3 4 2,82 ± 0,09 1,2 4,94 3,48 19,8 13,9 0,056

4 6 4.86 ± 0,12 0,7 4,17 3,38 25,0 20,3 0,024

5 8 6,32 ±0,23 0,2 1,51 1,19 12,1 9,6 0,000

6 10 7,64 ± 0,16 0,4 3,91 2,98 39,1 29,8 0,038

7 12 9,64 ± 0,07 2,0 24.49 19,67 293,9 236,1 0,004

8 15 12,09 ±0,14 0,5 7,65 6,17 114,8 92,5 0,001

l Suma 5,8 47,6 37,6 506,4 403,5 0,165

(l t•J, 2

11

10

9

8

7

6

5

3

2

0

0 2 4 11 a 10 12

C[% )

Rys. 4.8. Zaleinosc ~ta skr~cenia plasz.czymy polaryz.acji od st~a wodnego roztworu

Do obliczenia wag przyj~to stal~t c = 0,01 [0) . WspOlczynniki regresji uu''"':u.~'~~~

z uwzglccdnieniem wag pomiarow.

Regresja liniowa

a= 5,8·403,5-47,6· 37,6 = 0,820o / %. 5,8. 506,4-47,62

b = 37,6-0,820 47,6 = - 0,2470. 5,8 5,8

S = J O,l65 = 0,166. 8 -2

s. = O,I66 / _5•8

2 = 0,016° / %. ' 5,8 · :>06,4 -47,6

I 506,4 0 1410 sb = o 166 2 = , - . ' \ ' 5.8· 506,4-47,6

Wyniki km1cowe zapiszemy w postaci:

a= (0,82 ± 0,02)0 /%,

b = (-0,25± 0,1St.

95

Czytelnik mote sicc przekonac, ie pomijaj~c blccdy pomiarowe otrzymalibysmy nast~

puj~ce wartosci wsp61czynnik6w regresji:

a= (0,80 ± 0,02)0 /%,

b = (-0, 12± 0,1 4)0•

Powyisze dwa przyklady wskazuj l\, i:.e stosowanie regresji liniowej z uwzgl~d­

nieniem wag pomiar6w daje istotne r6tnice wartosci estymator6w w por6wnaniu

z prostt regresjllliniow~ w6wczas, gdy wartosci hlctd6w pomiarowych s~ stosunkowo

dut.e, a Liczba pomiarow niewielka.

4.4. ES TYMACJA LINIOWEJ FUNKCJ/ REGRESJI

Po ~biiczeniu wsp6kzynnik6w regresji a i b motna narysowac prostct

na wvkres1e y = f1( ) Zas . . ' x · tanowmy Sift nad rozkladem punkt6w pomiarowvch

dem tej proste· M Zn k . . . "' l o a wy azac, ze wanancJa zmiennej y okrcilona jest wzorem:

s 2 :: -~-~ 2 y ~s; •

n - 2 •=l

2dzie suma kwadrato' ' d h I . bl' - "" o c Yen o 1czona jest za pomoc'l. wzoru (4.2)) lub z definicj<t. ( 4.7):

Wariancja wan ' · · d · . . . OSCI Sre nlej ZmleMeJ Y ObJiczona jest zgodnie z zasadami n,-, • .,n.~M;i

nia blyd6w Pt"Zyn dk h r . " ~'a owyc \P· rozdzlal 3 - wariancja wanosci sredniej):

S 2 I ~ . . = ~s · Y n(n -2),=1 '·

Wz6r ten dobrze k 'l . . . . . . 0 res a warJanCJy punkt6w o ~dnej Yi bliskiej wanosci

meJ. Jesh wan .. bl' . . . . osc o Iczontt rzydneJ dowolnego punktu o odciytej x, okreslirny w

mesJeruu do wanosci sredniej

to wariancja teg0 punktu:

s. 2 =(fJY·)·s. 2 +(fJY·)·s 2 y, oy y aa •.

R6i:niczkujemy wyrat · ( . . . eme 4.45) I podstawJamy wyra.Zenia (4.44) oraz (4.12)

IDU)llC:

l<egresja liniowa 91

skll.d ostatecznie:

(4.48)

1ub inaczej:

s. = s. 1 + (x, - xY Y, Y 2 -2 x - x

(4.49)

Widzimy, Ze wartosc odchylenia standardowego jest najmniejsza dla x; = x i rosnie w miary zwi~kszania si~ r6i:nicy j X; - x j. Poniewai: zazwyczaj analizy regresji

iir.iowej przeprowadzamy dla niezbyt wysokiej liczebnosci proby, sutd zachodzi ko­

mecznosc pomnoienia otrzymanej wartosci odchylenia standardowego przez odpo­

\'o.'Jedni~ poprawk~ Studenta dla poziomu ufnosci 0,7. Pros{<t regresj i otaczamy wiC(C

obszarem ograniczonym dwiema krzywymi rozchodZ<tcymi si~ na granicach przedziaru

z:miennosci funkcji. Taki obszar zawarty mi¢zy tymi krzywymi nazywamy obszarem

ufnosci prostej regresji. Na rys. 4.8 pokazujemy obszar regresji dla poziomu ufnosci

0,95 dla danych z przyktadu 4.7.

Je51i chcerny znalczc wartosc odci~tej dla zadanej wanosci y;:

y - b X=-'-

' ' a (4.50)

to odchylenie standardowe znajdujemy w spos6b analogiczny otrzymuj~c:

(4.51)

Przyklad 4.8

Na podstawie danych z przykladu 4.1 oblicz spadek napi~cia na zaciskach

ogniwa dla wartosci natf?Zenia I= 0,37 A.

R6wnanie prostej regresji rna postac:

u [V] = (1,506 ± 0,009). (0,796 ± 0,012}1

Dla wanosci 1 = 0,37 A otrzymujemy:

U = -0,796 · 0,37 + 1,506 = 1,211 V.

Suma kwadrat6w odchylen

Odchylenie standardowe

s = y

13

l:<x.- x)2 = 1,82(mA)2•

·-·

0,002827 ~ 11 = 0,016 v.

Odchylenie standardowe szukanej wanosci:

VI I (0 37-0 6) 2

s = s - + ' ' = 0 00562 v y 13 1,82 • '

gdzie Wartosc srednia X== 0,6 rnA.

Po zaokrctgleniu wynik koncowy zapiszemy w postaci:

u = (1,211 ± 0,006) v.

Przytoczona wyuj metoda obliczenia wanosci zmiennej y (lub x) na DOltsta·WU~ obliczonych wsp6lczynnik6w regresji nie uwzgl~dnia bl~d6w pomiar6w. Je§li

miemy pod uwag~ bl~dy jedynie wielkosci zmiennej zalei:.nej, to opierajctc sicc na

wa.Zaniach poprzedniego rozdzialu otrzymamy wyra.Zenia okreslajctce odchylenia

dardowe poszukiwanych wanosci 1:

a) jesli ok.reslamy wartosc Yo odpowiadajctcct ustalonej wartosci Xo:

1

Sumowanie we wzorach (4.52) i (4.53) wykonujemy od j = 1 don (n - liczba pomiar6w).

Regresja liniowa

S =S· Yo

gdzie S- wyrai:enie okreSlone wzorem (4.42),

b) jes1i okreSlamy wartoSt Xo odpowiadajct~ ustalonej wartosci y0:

s s =-· •• a

Dla danych z przykladu 4.7 (rys. 4.8) otrzymamy:

a) dla Xo = 5,08%:

Yo = (3,99 ± 0,07)0,

b) dla y0 = 5,08°:

Xo = (6,43 ± 0,09)%.

99

(4.52)

(4.53)

Powytsze ytzory wymagajct raczej zastosowania komputer6w. W naszej pra-.

cowni do okre5lania wartosci zmiennych na podstawie regresji liniowej zastosujemy

wzory znacznie prostsze stosujctc spos6b r6iniczki zupelnej. Bl¢y wsp6lczynnik6w

regresji potraktujemy jako bl¢y maksymalne, uzyskujctc wyratenia na bl¢y poszuki­

wanych wartosci zmiennych:

a) okreslamy wartosc y0 dla wartosci zrniennej Xo ± ~:

Yo =a·Xo + b,

(4.54)

b) okrcilamy wart<>Sc Xo dla warto§ci zm.iennej Yo± !lyo:

y - b X =-o __ 0 ' a

100

Przyldad 4.9

Dla danych z przyldadu 4.1 oblicz nat~:lenie pr~du odpo 'ada· . ~ wt YctCe DaJ)JCC:iti!

zac1skach ogniwa u == (l,OO ± 0,05) V.

Obliczamy nat~ienie prctdu:

I0 = E - U o = 1,506- 1,0 _

r 0,796 -0,6357 A.

Blctd wvznaczania nat~i:e · d . - ma Pl'CI! u obhczamy stosujctc wzor (4.55):

&o = /0o ;Ejs,+ 1~/· (L1U +S ) r i lr 0

£

.6.I :: j 1- 1,506 i I I I o /<- 0,796)2j' O,Ol2 + /- o,796 ·(0,05+0,009}=0,0837 A.

Ostatecznie:

lo = (0,64 ± 0,09) A.

5. SPORZJ\DZANIE WYKRESOW

Graficzne przedstawienie ~~ynik6w eksperymentalnych polega na przyporza.dko­

waniu punkt6w na osi liczbowej kolejnym wartosciom danej serii pomiarowej. Para

wartosci dw6cb zmiennych powi(\Zanych zaleinoscict funkcyjnct jest przedstawiana na

p!aszczytnie jako punkt o okreslonycb w spos6b jednoznaczny wspOlrzydnych. Dla

funkcji dw0ch zmiennych stosuje sil( prezentacjf( przestrzenn<:t. W naszej praktyce la­

bl.)ratoryjnej stosujemy zwykle prezentacj~ graficznct dwu zmiennych w ukladzie

'':sp6lrz~dnych prostokcttnych (niekiedy w ukladzie wsp6lrz~dnych biegunowych) .

\\' dalszym cia_gu niniejszego opracowania bE(dziemy ui:ywac slowa wykres m6wiflC

o graficznej prezentacji danych dosv,iadczalnych (lub obliczeniowych), choc wlasci­

'' ie sam w-ykres jest tylko linill, aproksymu.i!!C<:t zbi6r danych (wykresy srupkowe, wy­

cinkowe i inne stosowane np. w statystyce, w laboratoriach fizycznych V.'Jkorzystuje

si~ sporadycznie).

Wykres przedstawia wyniki doswiadczenia w spos6b obrazowy i jesli jest spo­

rz~dzony zgodnie z odpowiednimi regutami, stanowi znakomite nar~dzie do wyzna­

czania nieznanych wielkosci. Wykres moze bye przydatny podczas analizy pomiar6w

serii pr6bnej, a taki.e przy doswiadczalnej weryfikacji zwic:tZk6w otrzymanych teore­

tycznie. Je5li badanej zalei:nosci funkcyjnej pomiydzy mierzonymi wanosciarni zmien­

nych nie moina przedstawic za pomocct okreslonego, jednoznacznego r6wnania, to

Wtedy wla5nie wykres jest jedynct formct podsumowania eksperymentu.

Wykres powinien zawierac nast~ujctce elementy:

I) tytul,

2) osie wspOlrzydnych,

3) zbi6r punkt6w pomiarowych ...vraz z blydarni,

4) lini~ b~dl\.C<t graficznym odwzorowaniem zalei:nosci pomi~dzy wielkosciami, '•

. .., ...

5) legend~,

6) siatkcc.

240

160

80 100 180 200

Rys. 5.1. Zaleznosc nat~nia pntdu fotokomorki od napi~ia iar6wki oswietlacza

220

UM -

. . . Ty tul wykresu umieszcza si~ zwykle nad rysunkiem. Zaleca sicc formy

roilllama: podkreslenie pojedyncze lub podw6ine pogrub1'e · · · .. 1r.. . · :1 ' rue 1 pow1~zerue

uzycie kapitalik6w lub wersalik6w itp Naiczp~c1·e,i ..,,.,,J · · ' :. "C" :1 •J""' Op!SUJe prezentOWaiU\

nose funkcyjn'l.

spc>rz~dzanie wykreWN 103 -

0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

[i.s-10" I 0 25 50 75 100

0 0 80 160 240 320 400

~ 0.00 0.05 0 .10 0.15 0 .20 0.25 0.30 0 .35 0.40 0.45 0.50

niewskazane

0 .0 0.7 1.4 2 .1 2.8 3.5 4.2 4.9 5 .6 6 .3 7.0

z!e

0.00 1.33 2 .66 3 .99 5.32 6 .65 7 .98 9.31

Rys. 52. Przyklady zastosowania r6tnych skal podziatek gl6wnych

Osie ukladu wsp6lrz¢nych prostok<ttnych dobieramy tak, aby os zmiennej nie­

zaleinej byla poz.ioma, a arkusz ustawiamy zwykle w tzW. pozycj i portretowej ( dh!Zszy

bok pionowy). Reguly tej nie naleiy jednak traktowac rygorystycznie. Wykres powi­

nien obejmowac calC\ powierz.chnict arkusza papieru. Powinnismy wiccc rozpocZ<tc praccc

nad wykresem od okreslenia dziedziny zmiennych. Granice osi zblizone S'l do wartosci

ekstremalnych prezentowanych zmiennych. Skala nie musi rozpoczynac si~ od zera.

Elementami osi wsp6lrz¢1lych S'l:

• podzialki gl6wne.

+ podzialk.i pomocnicze,

+ etykiety podzialek,

• opisy osi.

Skale podzialek tak dobieramy, aby wsp6b'z~dne dowolnego punktu mogly bye

odczyzywane z wykresu bez problem6w. Odleglosci miC(dzy podzialkami skali przyj-

104

mujemy zgodnie z wyrateniami: l·HY", 2·1 0", 4·10", 5·1 0", gdzie n jest liczb14_ ~cu.~~.u,"'l''

tl\_. Unikamy wielokrotnosci 3·10", 6·1011, 7·10", 9·10", 1 HO", 2,5·10", ... , itp.

nigdy nie stosujemy innych skal (rys. 5.3). Skate rue musZI\_ zaczynac si~ od zera.

nice skal zblizone Sit do ekstremalnych wartosci zmiennych.

10 ; ! I! ,' ; ~ i I ! : ..

'I ' i ' 0 20 40 60 80 100

5 ,--. I '

0 20 40 60 80 100

zte 8 . : I :

0 20 40 60 80 100

Rys. 5.3. Podzialki pomocnicze (podzial dzialki gl6wnej na 10,5 i 8 cz~5ci)

a)

0.1 2 5 1.0

2 5 10.0

5 100.

b) I i I ' .

0.1 2 3 4 5 6 7 8 91 .0 2 3 4 s s 1 a io.o

c)

5 10 30 50

Rys. 5.4. Skate funkcyjne: a) i b)- logarytmiczne, c) wykladnicza

Na osi zaznaczamy podzialki gl6wne i pomocnicze. Podzialki

~iel14_ odst~p mi~dzy podzialkami gl6wnymi na 2, 5 lub 10 cz~sci (rys. 5.3). LLlf i\.UA ....

-zydzielamy w zasadzie podzialkom gl6wnym (niekoniecznie wszystkim).

sp6lrz~dnych opisujemy zwykJe na ich koncach, rzadziej w cz~sci St-odkowej .

. i musi zawierac wymiar stosowanych jednostek (najcz~ciej uj~ty w nawias

atowy). Niekiedy osie konczymy grotami. Wszystkie elementy osi (podzialki,

oieszczamy na zewn14_trz ukladu ws~ych.

Nachylenie krzywej w jej najbardziej interesuj~tcym obszarze powinno bye

ne do 45°. Motna wykazac, :te w6wczas bl~td odczytu nieznanej wielkosci jest

_?po~dzanie wykres6w 105

nimalny. Zaleca sicc nawet wycicccie interesuj(lcego nas fra~entu wykresu i powi~k­

szenie go przez przyj~ie innych wartosci podzia1ek (przyklad ~a rys. 5.5).

~~----------------------~

.. ~·~~~~~~--q~~------~· ----~'

" ! ~~~----------~\-,----------~ \ ~

\

.oo.l-...... --... ---.---··-·· ·-· .....

.......

\ i -.1\ ·-· -··! ! ~ ;

Xl - --

2) .j '". ; \0 -··--- ------·· · ·- . '-·-- ··: I -.. ......

' I

' ' 01>0

,_ ISO toO I l

0 , ... '· ""'

Rys. 5. 5. Wyznaczanie na~ienia p!C\du krytycmego w metodzie magn~tronowej wymaczania elm

. I=

3A

0 4A

0 5A 6 6A

il- 7A

5 10 15

Rys. 5.6. Charakteryslyki hallotronu dla kilku wartosci nat~t.enia pr~tdu pty­~cego przez solenoid

106

Punkty pomiarowe nanosimy na wykres stosuj<\C znaczniki w postaci

iyk6w' k61eczek., gwiazdek, kwadracik6w itp. ze srodkiem 0 w~dnycb aa:JleJ:.

punktu. Nie powinnismy stosowae punkt6w, gdyt po narysowaniu krzywej orzestlhllt~

bye one widoczne. Znacznik6w nie stosujemy przy prezentacji wynik6w obliczen.

rys. 5.6 pokazujemy przyklad zastosowania r6:Znych znacznik6w punkt6w poinial'Ql

wych dla kilku r6znych serii pomiar6w.

Rys. 5.7. Prostokl\t blfid6w i slupki bl~ow

Punkty pomiarowe otaczamy p r o

s to k q t a m i b If do w . Srodek tak1q~

prostokl\_ta pokrywa sicr ze srodkiem

nika, a wymiary odpowiadaj'l O()(iW<>iOilenm

bl~dowi pomiarowemu. Jesli blCld nn, .. ,_.....,

wy jednej z wielkosci jest nieokreslony

zbyt maly do przedstawierua na ?.-'Ykresie,

rysujemy tzw. s lu p e k b If d u . Jest

odcinek odpowiadaj<\CY podwojqnemu bl~dowi pomiarowemu, zakonczony POI>I'Zl:CZ~

kami. Rozmiary prostokctta bl~du nie powinny bye wi~ksze od 1 em. Jes li "'~on·~+"'"•~

punkty pomiarowe obarczone. S<\ takim sarnym blccdem pomiarowym. to , .. :ystarczy

rysowac 3 prosto~ty bl~d6w ( dla punkt6w skrajnych i punktu srodkowego ). Gdy

dy pomiarowe r6Zl1ych punkt6w nie S<t jednakowe, to prostok<tty bt¢6w powinno

niesc si~ na wszystkie punkty pomiarowe. Je5li po narysowaniu krzywej okate sicc,

jakis punkt jest oddalony od niej, to punkt taki r6wniez otaczamy prosto~tem

Jdli krzywa nie przecina pola prostok<tta blC(du, to punkt pomiarowy obarczony

zapewne b If de m grub y m i powinien bye odrzucony.

W y k res kreslimy za pomoc<t krzyw)ka Jub linijki. Narz~dzia te powinny

prze:Zroczyste. Bardzo prak:tyczne S<t elastycme krzywiki, np. flrmy LOGAREX,

zwalaj<tce dobrae potrzebny ksztalt krzywizny. Krzywa nie musi przechodzie

wszystkie punkty pomiarowe, musi jednak przecinac prostokllty bl¢6w. Po obu

nach ~ej powinna znalezc si~ (w przybliteniu) taka sarna liczba punkt6w. W

szej pracowni nie obserwujemy przebieg6w nieci~lych (np. prz.ejsc fazowych zwiiaz:l~

nych ze zmian~t struktury krystalicznej) i dlatego tei: na naszych wykresach nie OO'willtiii

s~rzc\dzanie wykres6w - 107

00 bye i.adnych zalamari, skok6w i z.<tbk6w. Niekt6re programy komputerowe wyposa­

tone 5<\ w narz¢zia do wygladzania wyk.resu. Mote to bye metoda aprok.symacji do

funkcj i Iiniowej, logarytmicznej lub eksponencjalnej. Czasem zbi6r punkt6w mote bye

opisany za pomoc<t wielomianu n-tego stopnia. Uniwersalnym sposobem jest tzw. wy­

gladzanie ci~iw (spline smoothing).

L e g e n d t stosujemy w przypadku prezentacji na wykresie kilku serii pomia-

rowych (rys. 5.6). Legendct moina umie5cic wewn<ttrz ukladu wsp6lrz¢nych.

S i a t k f wykresu stanowi uklad r6wnoleg1ych linii odpowiadaj<tCych podzial­

kom osi (podzialkom gl6wnym i pomocniczym). Siatkcc tak<t maj~t papiery funkcyjne

(milimetrowy, logarytmicmy, p6llogarytmiczny itd.). Siatka ulatwia kreslenie wykre­

s6w oraz odczyt szukanych wartosci. Nie jest jednak. elementem koniecznym na wy-

kresie.

Poni.Zej pokazujemy i I e wykonane wykresy. Zwracamy w ten spos6b uwagC(

na nagminne bl¢y studenckie:

• rysowanie podzialek osi od zera (rys. 5.8),

• l<tczenie kolejnych punkt6w, przez co otrzymuje sicr krzyw<t laman<t (rys. 5.9),

• nieodpow.iedni dob6r podzialek osi (rys. 5 .I 0).

n [dz] n[dz]

6 5.0

4.5 5

4.0 4 ZLE! 35

3 30

2.5 2

20 1 1.5

0 1.0 0 10)al)3l)4DSJ)6D ;m 4D SJ) €(I) il)

Rys. 5.8. K.rzywa dyspersji (ile wykonana- podzialek. Die zaczyaamy od zera)

108

t(s) t(s) 14 14

' '·

12 t = f(x) 12 t = f(x) I· 10 10

8 8

6 6

4 4

2 2

0 - 0 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14

x{cm] x{cm]

Rys. 5.9. Punkt6w pomiarowych nie ll\czy si~ ze sob!\!

14 b)

12 t = f(x)

10

8

14 6 12 t = «x)

10 4 8

6 2 4

2

0 0 2 4 6 8 10 12 4 6 10

Rys. 5. 10. Nieodpowiednia skala- a) wykrcs zbyt stromy, b) wykres zbyt ptaski

Wykresy stosowane do analizy do§wiadczalnej powinny posiadac mozliwie

ta. siatkct ulatwiaj~tc~t nanoszenie bt¢6w i odczytywanie szukanych wartosci (z

Sporzqdzanie wykres6w 109

pewnosci~t pomiarowv. Takie programy, jak np.: GNU-PLOT, GRAD, Math-CAD,

EUREKA nie posiadaj~t wbudowanych mechanizm6w realizuj~tcych te kryteria. Bar­

dziej zaawansowane programy (np. GRAPHER, SIGMAPLOT, MA THEMA TICA,

STATISTTCA, STATGRAPH) wymagaj~t, niestety, pewnego doswiadczenia w pracy

z nimi. Nie nalety wi~c dziwic si~, i:e wylcres spofZ<ldzony na znakomitym kompute­

rze z zastosowaniem drukarki laserowej czy atramentowej, nie zostanie zaliczony

przez prowadzltcego zaj~ia, bowiem brakuje na wylcresie np. opisu skali, znacznik6w

punkt6w pomiarowych itp.

1.0

0.9 ... ·, o.s+--+--+--1----+---+--+--

', ! I i o.7 -+---+-~~=-~---Ti-. - -+ l, - ---'t----+--·--

1 o.s-+---'=c:.o~-~-~""""=:1-==<~~··c::-=-=_T~·:.::-,_,-=;::==-=----+---+-­

~ o.s+---l----+l-__:,.;"b-·-4--+- -+-­o•+----...;--+l -'....:::··,~--+--+'--

r I ,..........__ ' 0.3 4---+-----+1--t----+-~ ..... "--·-+----! ! "··--...,.._ 0.2-l--+--+,- -t----+---+--F;::::,...-,= 0 ,1 +....-........... .,...j-~-..+ ........... -t--.-< ........ +o-......... ..-+---.....-+ ......... .........,

20 25 30 •o 45 so 55

o.a K I o.e 0.1 I o.e Q.5 a. ...... Ciliilit.....,..•.-............ -.

1 0,4

I -: ["" ~

0.3

I

I 0.2

20 25 30

Rys. 5. II. Zmiana prezentacji wylcresu temperaturowej zalewosci wsp6tczynnika Iepkosci cieczy: a) skala Iiniowa; b) o§ y - skala logarytmiczna, os x - skala odwrotnosci tempe­nuwy (offset reciprocal)

110

Nowoczesne, profesjonalne programy komputerowe umotliwiaj~ zmian~

zentacji danych proponuj~c wiele rozwi(\Zall. Na rys. 5.11 pokazano wykres tenr1pe:rat1u;;

rowej zalei:nosci wsp6lczynnika lepko§ci cieczy. Teoria przewiduje, ze zalei:nosc

opisana jest wzorem:

w Tl = T)..,e lr.T,

gdzie T).., - staJa odpowiadaj~ca wsp6lczynnikowi 1epkosci w wysokiej tenlpe.ranl17A~

W - energia aktywacji, k - staJa Boltzmanna. Po zlogarytmowaniu otrzymamy:

WI In T] = In T) .., - k · T.

Jesli dla osi Iepkosci zastosujemy skal~ logarytmicznct, a dla temperatury - skal~

bolicznll -1- , to wykresem temperaturowej zalei:nosci wsp6lczynnika

t+ 273

powinna bye linia prosta. Zwr6cmy uwag~ na to, t.e my nie zmieniamy Ul<>·rt..,..,,..,.,

zmiennych, zmieniamy jedynie spos6b prezentacji: jaki;e czctstym ble(dem jest rv.;:nw_. ..

nie wykresu zaleznosci logarytmu jakiejs wielkosci fizycznej , np. ln T] = r(r • ). niewa.Z wsp61czynnik lepkosci TJ[Pa · s] rna wymiar, kt6rego nie logarytmujemy,

formalnie In Tl nie istnieje! Moina obliczac logarytm wzgl¢nej lepkosci, np. 1,~ .

Skala logarytmiczna rna ciekawll wla.Sciwosc: uwypukla niewielkie

wielkosci_i tonuje znaczne zmiany. Przykladem niech ~dzie sytuacja z rys. 5.12

suj~ca rozldad energetyczny obrazu dyfrakcrjnego na pojedynczej szczelinie. '"'"''"""""'!"

z teori~ dyfrakcji nat~zenie kolejnych maksim6w dyfrakcyjnych maleje

z funkcj~ sinx/x i dlatego na wykresie liniowym trudno okreslic icb polozenia. Po

mianie skali na logarytmicznll mozemy dokladnie wyznaczyc polo:ienie kolejnych

nim6w i maksim6w dyfrakcyjnych.

Na rys. 5.13 pokazano tzw. wykres radarowy we wsp6lrz¢nych ---.. -w

stosowany do odwzorowania rozkladu ~towego okre5lonych wielkosci

no. natezenia promieniowania nadajnika.

sporze~dzanie wykres6w 111

0.30

0.1

0.25

0.20

0 ,15 0.01

0 ,10

0.05 1E·3

0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Rys. 5.12. WidiDQ energeryczneobrazu dyfrakcyjnego na jednej szczelinie

i (mA) 0 Kr;r:ywa swiatlosci zar6wki

Rys. 5.13. Wylaes radarowy (biegunowy)

112

5.1. GRAFICZNA ANALIZA WYNIKOW POMIAR6W

Dobrze spomtdzony wykres pozwala okreslic wsp61rz¢ne punkt6w

stycznych, np. minimum, maksimum, punkt przegit(cia. szerokosc pol6wkow~ na•::v.-. ....

nie met~ aproksymacji, nachylenie wykresu itp. Wartosci tych wielkosci

r6wniez otrzymac metodct analitycznl\_. Nas interesuje jed.nak problem bardziej zlot.oliM

jak za pomoect wykresu okreslic niepewnosc (blctd) wyznaczania tychZe wielkosci.

5.1.1. WYZNACZANIE NACHYLENIA CHARAKTERYSTYKI

Z obliczeniem nachylenia charakterystyki spotykamy sit( bardzo c~o w Pf1ll(._~~~

tyee laboratoryjnej. Parni~tajmy, ie nachylenie to rna sens ftzyc:my i wymiarem 11

chylenia nie jest stopien (Jub radian). Nachylenia nie mierzymy k"tomtel"2:em

Nachylenie charakterystyki w danym punkcie (x = Xo) ok.resla pochodna:

a-~ d~t ...

i jest to wartosc wsp6iczynnika kierunkowego stycmej do krzywej w tym ~Jwm"'•

W praktyce obliczenie nachylenia sprowadza si~ do obliczenia §redniego n<>r n v •­

odcinka ll\_czctcego dwa pWlkty leictce na fragmencie wykresu zbliZonym do prostej.

Rys. 5.14. OkreSlenie nachylenia odcinka cbarakterystyki

spomtdzanie wykres6w -Na rys. 5.14 pokazano fragment charakterystyki ograniczony punktami P1

Zgodnie z defmicjl\_ nachylenie odcinka lctezctcego te punkty wynosi:

113

(5.2)

Nie uwzgl¢nilismy jednak tego, ie punkty porniarowe nie Sl\. na wykresie

.. -w .. - · 1 rost~""tami 0 wymiarach 2Ay x 2tJ.xl. Przez takie prostokl\_ty motna PllllA""'ul, ecz p ~ przeprowadzic nieskonczenie wiele prostych. Najmniejsze nachylenie rna prosta prze·

cho<izctca przez punkty 1-2

(yl -Ay2)-(y. +Ayt) amio = (x

2 + A.x2 )+ (x1 - Ax 1 )'

a najwi~ksze - prosta przechodzctca przez punkty 3-4

(y 2 - ay 2)- (y, + A.y 1) amin = (x2 +Ax2)+(x, -ax.)'

Wartosc srednia nachylenia wynosi:

a bll!ld nachylenia:

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

w przypadku gdy jedna z wielkosci nie rna jednomacznie okre5lonego bl~du

pomiarowego, obliczamy nachylenie prostych przecho<izctcych przez konce slupk6w

bl¢6w (rys. 5.11 b i c).

. . . . 5 14 _ tyl"o ..... .~ wielko5ci -.~_ · ·-..,;.. bbtd zm•enneJ ulemeJ y, ana rys. · .c " ""l" 1 Na rys. 5.14.b uwzgl ........ ~ono l'• ... r~~ c. kresie tub ~nieokreslone.

x. Bl¢y drugiej wielko5c• Sit zbyt male, aby zamaczy JC na wy •

.·:

114

Przyklad 5.1

Wyznaczyc wsp6lczynnik wzmocnienia p~dowego tranzystora ~ = hm na ~

stawie sporntdzonych charakterystyk statyczny~h.

Bla.d pomiaru nat~i.enia p~du bazy za pomoat mikroamperomierza klasy 1

zakresie 300 ~ wynosi & 8 = 3 ~. z.aS bla.d pomiaru nat~i.enia p~du kolektora

0,075 rnA (stosowalismy miliamperomierz klasy {),5 z zakresem pomiarowym 15

Na \\'Ykresie zaleinosci nat~i.enia pra.du kolektora od nat~enia p~du bazy UIV"''"'"'n1,.!

dwa punkty leza.ce na prostoliniowym odcinku charakterystyki:

Pt (let= 1,30 rnA; 1st= 60 ~).

P2 (IC2 = 4,50 rnA; 182 = 180 1-1A.).

Wsp6lczynnik wzmocnienia pra.dowego obliczamy zgodnie z definicja.:

Wsp6tczynnik wzrnocnienia p jest r6wny nachyleniu odcinka

naszej charakterystyki. Otaczamy wi~c obydwa punkty pomiarowe prostoka.tami

d6w. Przez te prostoka.ty moina poprowadzic wiele prostych o r6inym

Weimy dwa krailcowe przypadki i obliczmy nachylenie prostej:

a.) przechodz<l_cej przez punkty l i 2 na rys. 5.15:

(Ic - olc) - (lc + ole) 45-13-2·0075 A - 2

I - , ' ' - 24 21 1-'1- - '- ' . (lg

2 +81 8 )-(18, - 018 ) (180- 60+2 ·3)·10_,

b) przechodza.cej przez punkty 3 i 4:

~2 = Cicl +ole) - (le, - ole ) = 4,5-1,3 + 2. 0,075 3 = 29,39. (I 81 - 81 9 ) - (18, +81 8 ) (180 - 60 - 2 ·3)· 10-

Wartosc srednia tego wsp6lczynnika wynosi:

~=.!.(pi +~2) = 24,21+ 29,39 = 26,8, 2 2

115

~~~~~dz~a~n~ie~~~r~e~so~·w~----------------------------------------

a bla.d:

ic [mA) 5 ,0

4 ,5

4 ,0

3,5

3 ,0 l 2 ,5 1

/

:l 2 .o -:j

1,5 ~ 1 A/ 1 3 ,...; 3 p

::: ~~J;t.LC/..,...,..,..,,..,....,./.,..,.,...,...-J""l"T'rrr...,....,.-rrrrrr,....,..,'~"'""''MI~~ 0,0 160 180 200

0 2 0 40 60 80 100 i8 [I!Al

· - fi(. ) tranzystora Rys. 5.15. Charakterystyka prqdowa tc- ta

Wynik koncowy zapiszemy w postaci:

~ =27 ±3 .

. I 5.1.2. WVZNACZANIE NIEZNANEJ W ARTOSC

. . rozdzial 4.4) pozwalaja. okre5lic tzW. obszar Scisle rozwaZ.anla statystyczne (p. . ik6w

• . . 0 ksztalt zalety od w1elu czynn · korelacji (zwany takte obszarem ufnoscl), a Jeg . b zaru

. . . blii:onego oszacowama tzW. o s w tym miejscu ograniczamy Sl~ Jedyme do przy

bl¢u.

116

Kai:dy punkt pomiarowy obarczony jest bl¢em. Zaznaczmy na wykresie

stoJatty lub slupki bl~6w. Wykres jest pewnym \JSrednieniem tzw. obszaru

Uwzgl¢niajctc wielkosc bl~d6w punkt6w pomiarowych poprowadzimy krzywe

mocnicze ograniczajctce ten obszar.

Ys

8

7

6

5

4

3

2

0

y = f(x}

2 5 6 7 8 9 10 11

Rys. 5. I 6. Okreslanie z wykresu poszukiwanej warto5ci zmiennej x

12

X

Przyldadem moie bye wykres zaletnosci y = f(x) pokazany na rys. 5.16.

zadanej wartosci zmiennej zaletnej y0 rysujemy poziomy pas o szerokosci nor"'""'

j<4.cej podwojonemu bl~dowi fly. UwzgJ~iajctc najbardziej niekorzy~ okre5lamy maksymalny przedzial watto5ci zmiennej niezaleinej ~ a wynik eSt'lfiD.IIIi.l

zapisujemy w postaci:

W tym przykladzie otrzymamy:

6,1 <x < 7,4.

sporzctdzanie wykres6w 117

P:rzyklad 5.2

Okre51 zasi~g czctstek p w aluminium na podstawie krzywej absorbcyjnej

(rys. 5.17).

4000

3000 2500 2000

1500

1000 800

600 500 400 300 250 200

150

100 80

60 50 40

30 25 20

15

N

N = f(x)

10 _t;:;:;;;;:~:,:;;~mTTTTrflTI"I'TTT1"'f""'T~TTrm'"'l"rTTTTTnFmm'f"*"'""T1,tnO ~1.1 0 0 0 1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 • · x[mm)

Rys. 5.17. Krzywa absorbcji promieni 13 w aluminium

Przez przeciw1egle wierzcholki prostokc:tt6w bl~d6w prowadzirny proste re~-

. z) ' • d N - 16 ± 4 rysujemy lime sji, przedlui:ajc:tc je do osi odci~tych. Dla liczby tczen a t -

.. ~~ · · 'b dziej niekorzystnc:t sy-poziome przecinajctce przez linie regresji. Uwzglyu.ui3J'tC naJ ar . .

. , h · · prostymi okreslaJctcym.t tuacjcc okreslamy odci~te punkt6w przectccc prostyc regresJt z . .

I.· · ZC\Stek ~ w alwruruwn obszar bl¢u zliczen tla. W ten spos6b wymaczy tsmy zast~g c

otrzymuj~:

0,83 mm ~ Z ~ 1,01 mm. .• )~

118

5.2. PROGRAMY GRAFICZNE X- Y

Od czasu ukazania si~ pienvszego wydania skryptu min~ty tylko trzy lata,

w informatyce oznacza az trzy lata Dost~p student6w do komputer6w nie jest ·

powszechny, ale niewiele brakuje, by sprz~t sredniej klasy trafi/ pod studenckie

chy. W Domach Akademickich funkcjonuje s iec komputerowa. a studenci coraz

sciej instaluj& licencyjne, profesjonalne programy. Lista program6w sporntdzaj

wykresy jest dtuga. Sl\_ to albo oddzielne programy, albo moduty w innych

nych programach (np. w procesorach tekstu, arkuszach kalkulacyjnych. rn;rnn~

bazach danych itp.). W tym miejscu ograniczymy si~ do om6wienia kilku nn111r·~m

swsov,ranych do sporZ&dzania •vykres6w Iiniowych, populamych w naszym

sku. Nie jest naszym celem promocja zadnego programu. Uwai.amy jedynie. u programy funkcjonujq na polskim rynku softwarowym i Sll znane s1udentom.

5.2.1 . GRAPHER V. WINDOWS

Program Grapher for Windows

tirmy Golden Software, Inc. ' (wersja

2.30) jest doskonalym narz~dziem do

wykonywania wykres6w liniowych na

podstawie danych pomiar6w fizycz­

nych. Lista zalet programu jest druga,

najwazniejsza - to prostota. I choc jest

to jut. staruszek w softwarowym parku,

w dalszym ciqgu zajmuje w studenckim

rankingu pierwsze miejsce w tej grupie

Makeos or Surlw~ GnphB' M;lpViever ~

1 http://www.goldensoftware.com/, www.golden.com\golden\index-l .htm

sporz(\dzanie wykres6w 119

program6w. W laboratorium studenckim korzystamy takZe z jego DOS-owego przod­

ka z 1988 r.

Rys. 5. 19. Ekran roboczy programu Grapher v. 1.30

Wad~ programu jest ograniczona mozliwosc kontiguracji. Standardowe dane

programu (np. wielkosc znacznik6w, czcionek. podzialek) nie Sl\ najlepiej dobrane.

Przeciez na wykresie rna dorninowac linia z punktarni pomiarowymi, a nie jakies ele­

menty pomocnicze. Pokazemy kilka okienek dialogowych programu z wartosciami

parametr6w stosowanych najcz~sciej przez autora niniejszego opracowania.

Wartosci wynik6w pomiar6w wstawiamy do arkusza kalkulacyjnego wywola­

nego z menu File 1 Worksheet ... Zbi6r danych (w kodach ASCII) moze bye wczytany

lub wprowadzony r~cznie • z klawiatury. Arkusz pozwala wykonac proste obliczenia,

1 Pami~taj, t.e miejsce dzicsi~tnc oznaczamy kropk<\, a nic przccinkiem.

120

np. bl~d6w pomiarowych. SluZy do tego komenda Transform z menu Compute.

modutu konstrukcji wykresu przechodzimy wywolujctc komend~ NEXT z

SHORT -MENU (lub przez skr6t ldawiszowy Ctrl +F6).

Rys. 5.20. Arkusz kalkulacyjny programu Grapher for Windows

Ponizej przedstawimy kolejno§c czynnosci podczas tworzenia nowego

i jego fonnatowania. Jest to nasza propozycja, a Czytelnik more w kaZdej chwili

rzystac z obszemego podrf(cznika pomocy (HELP).

};> Z menu GRAPH wywolujemy komend~ Line or Symbol.

};> W okienku Pick One ustalamy ir6dlo danych (podajemy nazw~ zbioru z danymj).

121 S~Cldzanie wykres6w -

ll' ~ ;: . L • • ' '

~ c:\grf.-cl\cl .. •ol.det X A>H: X Allis 1 Y Aloio: Y Allis 1

lS ~ Paiool:o

raQu.M-------o-.--Alli~-.--

. ; x """' ~~ ;:====:I " r . x....: JZS I r P

vmin: ~ 1 P r

Ymmc ~ l r ~'G

IU

Is~ il ~hll

~WO<bh-~- ---- ·--·-

X: lA Colo"'n A 221 ]v: [c Col•••C jJ 1..--·-··- --· ---·-"'""'.. .. - ··---k··· ....

Rys. 5.21. Okno dialogowe parametr6w wykresu

'r W okienku Line Plot ustalamy kolejno:

• kolumn~ z danymi zmiennej niezaleznej X.

• kolumnf( (lub kolumny) z danymi zmiennej zale1:nej Y,

• grubosc i typ linii lctCZC\.Cej punkty pomiarowe - linia obok napisu Curve 1

(zwykle ustalamy Invisible - brak linii),

- t.ob --------

6111e rs:d !f-_- Jist- ~ ·. ; ~ -~ .......:- -~~"'--'~ l L.. -·-·-··----·· - ..... ----···

18JI51 an --II r SMipla ···- ···-···---· · · ····-----···· · .... ---------

Rys. 5.22. Okno dialogowe parametr6w linli wykresu

122

• wielkosc i typ znacznik6w punkt6w pomiarowych (do okienka dialogowegq

przechodzimy naciskaj<tc s(\Siedni przycisk z napisem No, wielkosc

nika nie powinna bye wittksza od 3 mm),

k<Jior: Blade.

10 .19 em tfJ

Rys. 5.23. Okno dialogowc paramctr6w znacznik6w punkt6w pomiarowych

);> typ dopasowania linii - naciskamy przycisk Fits •.. i w okienku dialogowym

bieramy kolejno:

• typ dopasowania, np. wielomianami (polynomial),

A

P Ute M~O;.;;Ol;;:.o _ __,

..... )(: ~ 1.':1 . ~."":.<= ~:..Fs:...,_ _ _,J_

Pt<M-...

~~--Fnl: U.ew. V•IM<•A

~~~';i,a•x . J.~t Nu.-r of dele pomta uaed • 25

~=~: ~! ,fj: ;·.

Rys. 5.24. Okno dialogowe dopasowania ksztaltu linii

l'ii

SJ>orz(\dzanie wykres6w 123

• grubosc i typ linii, np. ci~la, grubosc 0.05, kolor niebieski,

+ ksztah znacznika, np. brak (no); po wcisni~ciu przycisku Selected fit pojawi

si~ okienko z wartosciami parametr6w dopasowania,

- -----n ~~ lc Column c

(Both directions [']

Bar 'Width: (0.21 em EtJ

~Horizontal Euor Bar I Read hom data column

jo Column o Multiplier: [1

(Both ditectlons I!J Bar 'Width: 10.21 em EiJ

Line Style :

I DK ,;J I~ I

r Average Indicator

1 0 Plot S.l.'.mbOI$ at Avgs.

! ~mbol:

~ 0 Plot Average J!ar

Average Bar Width:

[0.76 em eJ

Rys. 5.25. Ol.no dialogo"e slupk6w bl~du

+ rodzaj bl~du (np. wczytywany z odpowiedniej kolumny zbioru danych) dla

zmiennych Y i X, rodzaj poprzeczek Gedno- lub dwustronnych) i ich dlu­

gosc, cz~stotliwosc przypisywania slupk6w kolejnym pomiarom, sty! Iinii

(np. ci(\gla, grubosc 0.03).

Efekt naszej pracy uzyskamy zamykaj(\C wszystkie okicnka przez potwierdze­

nie ustalonych opcji i parametr6w przyciskiem OK. Teraz przystl(pujemy do fonnato­

wania kolejnych osi. Zaznaczamy odpowiedni~ os dwukrotnie ,klikaj<tc'' lewym przy­

ciskiem myszki i wchodzimy do okienka edycji osi 1 •

1 Przejscic do kolejnych element6w wykrcsu wykonujemy klikaj<~,c myszk'l, pny wciSili~t:ym klawiszu Ctrl.

124

------~Y~is y~· 1 -------- · ~ IS

~cale:j .._ L_inl'l_at ____ J.L!=.~~ ,.. ~ength & Starling f.osition­

(on page coordinates)

Length: 10.00 em

X: 3.00 Clll

Y: 16.00 ct11

Axis Li.!!!ih -----Data Min: 0 I I i,cOK.;' - ~ Data Wax: 38 •

Auto [ ~ -~ I8J Axis lol in: 10 I 0 Axis Max: '"". 4-0 - -...-J 0 !!ide Axit

0 Ol!~ending !.,ine St,te:

1~~----------------- I ~ . ' lu [mVJ

@Automatic

0 Relative X Offset: ,1.50 em ~-­y 0 ltset: 5. 50 C1ll _'

Ticks and Tick Labels------Show ...

f8l Maio< T ich

£8l lolinor Ticks

£8l lot aio< Labels 0 lot in01 labels

r E eli"',_.,-=-=- J 1 st~F:

[ 'fdil l~ ... ]

Rys. 5.26. Okno d1alogowe edycJi parametrow osi

Kolejno ustalamy:

•:• rodzaj skali (liniowa, logarytmiczna),

•!• dtugosc osi i potoz.enie jej poczqtku (liczttc od dolne I •!• . go ewego rogu strony),

zakres zm,ennosci danej wielkosci fizycznej (wpisujemy przedziat zmiennosci

okr&glajttc proponowane wartosci minimum i maksirnum),

•!• grubosc osi (np. 0.03),

•!• tytul osi, rodzaj czcionki (Font: np Aria! 12) p 1 _, . 1 . . · , o ozen tc tytu1u wzgl~dem uuo~L.I:I.,..

ku os1 1 kttt ustawienia.

----- --·;G Tick Marks Y~is l --- -----

r

Waior MiQor

181 ([~~~~-~!~~!l 181 Show Minor Ticks I -PP.f &~f 0 Right Tick length: 0 Right Tick Length:

181 Left 10.25c• ~ 181Lefl lo.13Clllit I lAncet ] Sp<~cing (data unital: N inor T iclts per 1rot ajor Tick:

0 Auto Is I 0Auto I• ji

Tick ftange Data Axia

Min: 10 I 0 181 Wax: 40 0 181

0 Fnt tick is a .,ajor tick.

Rys. 5.27. Okno dialogowe edycji podzialek osi

s~rzctdzanie wykres6w ~

125

Naciskamy przycisk Edit Ticks ... pnechodZ<\C do edycji usta,vienia osi i usta­

Jarn~ nast~pujttce parametry:

.;• polozenie podzialek glownych (major) i pomocniczych (minor),

.;. ich dlugosc, np. 0.25 i 0.13 em.

·:· wartosc podzialki gtownej (Spacing),

·:· liczb~ podzialek pomocniczych mi~dzy podzialkami g!6wnymi (liczba podzialu -

np. 1).

·:· zak'TeS stosowania podzialek. Naciskamy przycisk Edit Labels ... i zmieniamy parametry opisu podzialek:

·:• odleg~osc od podzialek, np. 0.16 em,

·:· wielkosc czcionki, np. A rial II,

·:· fonnat liczb, np. Fixed 0 - liczby calkov. ite.

Z menu Set w-ybieramy ko­

mend~ Grid Lines i ustalamy, czy

majtt bye rysowane linie s iatki r6w­

nolegle do obu osi, oraz rodzaj tych

linii. Zaznaczamy caty wykres (kla­

wisz F2) i wywolujemy komend~

Legend z menu Graph. Wpisujemy

nazwy tytulu legendy (wykresu)

1 nazwy kolejnych linii wykresu

!8J At lota(ol Ticks

0 At l aheb Only !..ine st,le: .-""=-, .. ---_.....,.....,.,.. .......,..,,..::""· 1

lf1r '~ --a-~-

!81 At Nigof Ticks

0 At l..lbeb OniJ Line ~ljlle: .... , _ __,_ ~..,.,.,.- ....,~..,...;-~--....,]

Rys. 5.28. Edycja parametr6w siatki

(Items). Po wykonaniu powyzszych czynnosci powinnismy otrzymac wykres pokazanY

na rys. 5.1. Po wybraniu polecenia Zoom Page z menu View i zaznaczeniu calego

wykresu (F2) moi.emy ustalic rozmiar wykresu i jego polozenie wzgl~dem margine-

sow strony. Sposobem na obejscie ograniczen konfiguracyjnych programu jest wy­

wolanie wykresu wczesniej ~pnrzqdzonego i zmiana danych w arkuszu

o nazwie odpowiadajqcej formatowanemu wykresowi.

126

5.2.2. SIGMA PLOT

.x-'~G·~. , n. Program Sigma PI t fi ~~=...' .. £!- 0 rrmy Jande! Corporation' sh!Zy do sporzqdzania wykres6w liniOY."'ch ? . 3 . J -- I -wymrarowych w

cowniach naukowych z · . . awrera narz~dzia pozwalaj<\_ce wykonac

fesJOnalny wykres, a jednoczesnie jest bardzo prosty w obsludze. Wiele

wykonywanych jest automatycznie. Pracuj<l_c w srodowr·sku w· d . rn ows rna ws.7V•dlri

zalety ,,okrenek", w tym opcj~ OLE po 1 . .. . zwa 3J(\_C<l_ przenOSIC wykres vc.~uusre'

rnnych aplikacji, np. do procesora tekstu.

I ext Draw Jlo>< CtrltSili!ttB On"' fiHpse CtrhShlft+E F=-.:::._..=..~..:.:;;ilil Draw Une Ctri•Sbih•L Draw Arrow Ctri+Shi!HA

"LegenJis Ctrltl

Rys. 5.29. Okna programu Sigma Plot

I . www.randel.com\brochures\sigmaplot\index htm . ' www.spss.com\software\science\

sporzq_dzanie wykies6W

----127

tymi oknami umoiliwia zesp6l trzech ikon w pasku nar~dzi. Arkusz kalkulacyjny rna

\\·lasnosci podobne do wlasciwosci innych arkuszy. m.in. pozwala obliczac wartosci

b!~d6w pomiarowych. Po wywolaniu komendy Transforms ... z menu Math (F lO)

pojawia si~ okienkoedycyjne transformacji kolumn arkusza. Sigma Plot pozwala two-

rzyc sekwencj~ wzor6w, a naswpnie transformacj~ zapisywac. W przykladzie pokaza-

nym nitej obliczamy bl<td pomiaru napi~cia miernikiem cyfrowym.

Wyniki obliczen zawarte s~ w drugiej kolumnie arkusza.

R)s. 5. 30 T::-py ''Ykr~s6w

4 rgumenty f unkcji:

lclasa:cell(3.2} mn=ce11(3,.4} waga :cell[3.6) X:C111(1) Coi(2)"X"Idasll/1 OO+mn~wagll

Rys. 5.31. Okno transformacji kolumn

f!n.W.t'J O~atc:h 0 Single •lep

• CELL(kolumna, wiersz), np. CELL(2,3),

• COL(kolumna, g6rny wiersz, dolny wiersz), np. COL(2,5,100) - kolumna 2, wier-

sze od 5 do 100, • BLOC K (kolumnal, wierszl , kolumna2. wiersz2), np. BLOCK( I, 1,3,24) - obszar

od kom6rki (l,l) do kom6rki (3,24). Aby na podstawie danych arkusza kalkulacyjnego sporz~dzic wykres, nalei)'

wykonac komend~ Create Graph z menu Graph (klawisz F3) i wybrac typ wykresu

Cliniowy, liniowy z symbolami, biegunowy, tr6jwymiarowy, wycinkowy kotowy,

z uwzgl~dnieniem bl~d6w). Katdy typ wykresu moze bye przedstawiony w kilku sty­

lach (np. tylko zbiory punkt6w, b\~dy zmiennej x lub y, tzw. srednia bieutca). Najcz~-

128

sciej b~dziemy sto$owac wykres liniowy z zadanym i wartosciami bl~d6w nolmBI'"'""' "'

wych (opcja domyslna).

Kolejn'l czynnosci<t jest przypisanie kolejnych kolumn zmiennym x i y i ~:Jq~..- c~~:: d6v .. tych wielkosci (okienko dialogowe Pick Data to Plot)- rys. 5.32 i 5.33.

Rys. 5.33. Okno danych wanosci b1~d6w

Po zaakceptowaniu wybranego przyporZ<tdkowania kolumn zbioru danych

miarowych (i ich bl~6w) w oknie graftcznym mozemy zobaczyc szkic naszego

kresu. Mamy wi~c naniesione punkty pomiarowe ze stupkami bt~d6w oraz osie

tytuMw. Przyst~pujemy do fonnatowania wykresu oraz osi zmiennych: zaleinej

i niezaleznej x. Moma dany element zaznaczyc myszk<t i dwukrotnym , kl Krnt::cu:ru

lewym przyciskiem przejsc do trybu edycji. Moina tez kolejne czynnosci

odpowiednimi komendami z menu PLOT (linie, symbole centryczne, sJupki oteumfr

oraz regresja liniowa) i AXIS (osie).

s porzctdzanie wykres6w 129

· ~--~.,

litle 'Plot 4 I ~ l.~lil .. 1 Line Options

line Type Layer ~ -~ ~0

IJope

0 @ ~ame For All

0 ln£ront ® ~ehind 0 ArAo!ncreaoe 0 f.rono CoMm

Propetlies

Thict,neu I liJ

I~ ® ~aate For All

Shape I ·~-0 ArAolncr~

I ill 0 [rOID "Col.-n I

Rys. 5.34. romlatowanie ~v)'kresu (Sigma P!or 2.0)

N 5 35 Pokazano okno formatowania wykresu, osi. siarki i legcndy" a rys. . . .. . lk ·~

. .. . bose lmu wykresu, w1e os._ Zwr6cmy uwag~ na odpowiednict grubosc hnu osJ. gru , 1 h

. s· Plot pozwala stosowac w tytu ac czcionek. .format etykiet podzJatek. Program Jgtna .

. . , . dolne Program proponuJe r6ine rodzaje czcionek oraz wprowadzac mdeksy gorne I . . .

zbyt dui:y rozmiar m acznik6w punkt6w pom iarowych (3,8 mm). ProponuJemy

zmniejszyc wymiary znacznik6w np. do 2,0 mm.

• 1 ntow wvkresu R 5 35 Okno dialogowe formatowanta e erne • ys. . .

130

Linia, b~td~ca graficznym przedstawieniem zalei:no~ci funkcyjnej dw6ch

kosci (na wykresie y-x), powinna bye linia.. ci<tgl~ bez za1amail. Program Sigma

proponuje nam kilka sposob6w rozwi~zania tego problemu.

Rys. 5.36. Okno rcgresji liniowej

Dla wielkosci zaleinych lioiowo stosujemy znan<t nam jui: metod~ regresji

niowej. Po wy\votaniu opcji Resu/Js w oknie Linear Regression (rys. 5.36)

uzyskac wyniki obliczen wsp6lczynnik6w estymacji (nachylenie i odci~ta

Program w wersji 4.0 posiada rozbudowany modut regresji liniowej z

ustalenia anamorfozy (przeksztakenia funkcji) oraz parametr6w regresji.

lnna metoda dopasowania ksztahu linii wykresu do poloienia punkt6w

rowych, zwana Cubic Spline', wywolywana jest jako jedna z opcji metody

komendy Lines menu Plot. Nas interesuje zwykle ostatni przypadek -

linii. Metody schodkowe mog~ bye wykorzystywane podczas sporz~dzania rus1tog'A:j

mu. Naleiy zaznaczyc, ie metoda Cubic Spline daje zadowalaja..ce rezultaty wowc:~

gdy liczba punkt6w pomiarowych jest wystarczaj~co dui:a, a w zbiorze nie rna

row z bl~tdami grubymi.

1 Algorytm tej metody opisany jest w ksil\tkach: Lawson Ch. L., Hanson R. J., Solving Least Squares Problems, Englewood Cliffs,

Hall 1974, Press W. H., Flannery B. P., Teukosky S. A., Yetterling W. T., Numerical Retipes inC,

bridge University Press, Cambridge 1988.

sporz<tdzanie wykres6w -131

Program Sigma Plot rna wewn~ttrzny j~zyk programowania (zb~i~~ny do Pas-

d d sowania ksztahu lmn do danych cala) do tworzenia zaawansowanych proce ur opa

pomiarowych (komenda Curve Fits ... z menu Math).

o. x·10 ·2 [mm] 14

12

10

8

6

2

10 F [kN] 2 4 6

Sigma Plot (z za7..naczon;m Rys. 5.37. Wykres ... vykonany z.a pomoe<\ programu

obszarem regresj i)

Powyt.ej pokazano przykladowy wykres spol"U\.dzony za pomoc~ programu . . . . . L. ·.:~ przeryrwan~ zaznaczono ob-

Sigma Plot. Zastosowano metod~ regresJI ltmoweJ. m•~ o

kt6rym mieszcZ<t si~ punkty pomiarowe z prawdopodobienstwem 95 Yo. W szar, w . . d

. . . . d · · unkty z bl~tdem mmeJszym o obszarze ograniczonym hm~ kropkowan~ znaJ UJ<\ Slit p . . .

d b. . two tego te punkt znaJduJe Sl~ trzykrotnego bl~u maksymalnego, a prawdopo o tens '

poza tym obszarem, wynosi 1%. . . d . t ty tyczne Sigma Stat, ktorego okna

Uzupdnieniem programu Jest narz~ ne sa s

pokazano na rys. 5.38.

132

Col2~ o.e:;1 +- (1 04< • Col I)

N•7.000

R =O.SOJ ,i<"!1·: 0 6-<J AciJR~ =O J

Rys. 5.38. Ramki programu SigmaStat

Na rys. 5.39 pokazano przykladowy wykres 3D.

Plasma Wave in Electromagnetic Field

1.0 ~

~ 0.8

-n 0.6 3 -.J' 0.4

•• H.; = ~.).J..., z ,,..(r, q>)

e-:

0.2 1

~~ '6,· 'c "tt~ %~

Rys. 5.39. Wykres 3-wymiarowy

Sporzctdzanie wykres6w

5.2.3. ORIGIN

MieFOCal .

QRIGtN-

133

Obecnie najbardziej rozbudowanym programem do

spofZ<\.dzania wykres6w jest Origin 5.0 firmy Microcai' . Jest

to profesjonalne nowoczesne narZ((dzie naukowe i dla stu­

denta pewnct barierctjest cena produktu. Bardzo duze moili-

wo5ci rna jednak funkcjonalna demonstracyjna wersja pro­

gramu dost~pna na serwerze firmy.

. J

! . i · t- ~·-=~~----~-~~

Rys. SAO. Pr.cyldad wykresu Sporzltdzonego za pomQC<\ programu Origin 5.0

Origin posiada narz~dzia niedost~pne w innych programach tego typu, m.in.

dopasowanie funkcji nieliniowych (Gaussa, Lorentza, Boltzmanna, logarytmiczna,

eksponencjalna, hiperboliczna), wyg!adzanie metodami Savitzky'ego-Golaya i filtrem

FFT, -wygladzanie splajnem i 8-splajnem (bardzo skuteczne), analiza wierzchotk6w,

powi~kszanie wybranych fragment6w wyk.resu (rys. 5.40).

I www mirrnr-lll com\

1.:!"1

Dodatkowe moduly umoiliwiajct. akwizycj~ danych pomiarowych zbi

za pomoca. kart pomiarowych Jub miemik6w ze standardem RS-232.

Wi<(kszosc czynnosci podczas tworzenia i formatowania wykresu program W\1~~~,

konuje automatycznie, co nie zawsze daje oczeldwane efekty. Na rys. 5.41 oOJca..z:tn

okno dialogowe regresji nieliniowej.

Rys. 5.41. Regresja nieliniowa

Stosuja.c metod<( regresji Jiniowej otrzymujemy wartosci wsp61czynnik6w a i

oraz ich bl<(d6w (waine!), a na i:yczenie otrzymamy rozszerzonct. macierz W\rnilco,_,,

regresji. Wewn~trzny j<(zyk programowania Lab Talk (podobny do C++) no:~:wa ..

kontrolowac proces wizualizacji oraz akwizycji danych. Modul 30 umoiliwia spo~

dzanie plastycznych tr6jwymiarowych prezentacji, np. budowy sieci krystaliczneh

Czy moze bye Jepszy program do sporzct.dzania wykres6w? Bye moze, choe najnow­

sza wersja Origina potrafi prawie wszystko.

Sporz(\dzanie wykres6w

5.2.4. TuRBO GRAPHER

Tani program typu shareware' populamy

wsr6d m!odziei:y amerykanskiej jest malo wy­

magaj<\;CY przy stosunkowo dui:ych moiliwo­

sciach. Na uwag<( zasluguje duza r6inorodnosc

rodzaj6w dopasowania (rys. 5.43) oraz mozli­

wosci analizy statystycznej. Metoda krzywych

Beziera pozwala narysowac wykres o dowol­

nym, nawet najbardziej skomplikowanym kszta!cie.

Rys. 5.42. Wizyt6wka programu

Rys. 5.43. Typy wylcres6w programu TurboGrapher

• Infprmacje w intemecie pod adresem: btto://www.midplains.net/-iradue

135 -~

.:~ .,..

136

5.2.5. AXUM

Produkt firmy MathSoft 1 w wersji 5.0 jest profesjonalnym programem do

zentacji danych. Pr6bk~ moiliwosci tego programu pokazano na rys. 5.41.

mozna dopasowywac do punkt6w pomiarowych w spos6b Iiniowy, eksponenc

logarytmiczny, wyktadniczy i splinami.

Click on the 2Dor 3D

type button ...

Your publication-quality graph is created instantly!

Rys. 5.44. Okienka programu Axum 5.0

Rys. 5.45. Axum 5.0

Axum dzi~ki opcjom OLE-2 i drag-and-drop umoiliwia bezposredni&. wsp6l­

pra~ z innymi aplikacjami syStem Windows'95 Iub Windows'98.

1 www.matbsoft.com/num/

6. OBLICZENIA PRZYBLIZONE

Zr6iniczkowalismy skomplikowany wz6r, metodll. regresji liniowej wyznaczyli­

smy parametry funkcji eksponencjalnej, okreslilismy odchylenia standardowe i stosu­

j&.c tryb podw6jnej precyzji obliczyli5my szukan&. wielkosc i jej bt~d maksymalny zapi­

sujctc wynik koilcowy:

X= 32.2838384176263535 ± 1.2376776364747364

Ku ogromnemu zaskoczeniu. nasz trud zostat ,wynagrodzony" adnotacja, na spra­

wozdaniu: Zwrot. Dlaczego?

6.1. ARYTMETYKA LICZB PRZYBLIZONYCH

Jdli nie podano bll(dU danej wielkosci w tablicach fizycznycn, to przyjmujemy

niepewnosc maksymalrul_ r6wnct 10 jednostkom miejsca dziesi~tnego zajmowanego

przez ostatnict cyfr~ macZ<t~ (cyfr~ najmniej znacZ<tect). Na przyklad, niepewnosc

maksymalna liczby 64~ wynosi IO, liczby 23,845 - 0,010 itp.).

Poniewa2 z punlctu widzenia maternatyki wszystkie wyniki pomiar6w S<\ licz­

bami p rzyblitony mi, wi~ operacje matematyczne w fizyce set rachunkami na Jicz­

bach przyblii:onycb. Poni.Zej podamy kilka przyklad6w zastosowania regul operacji na

liczbach przyblii:onych.

Dodawanie lub odejmowanie - bl&.d wyniku koncowego nie mo:ie bye

mniejszy od najwi~kszego btl(du wszyst.kich skladnik6w, np.:

l4U + 92,45 + 11,023- o,ooi (= 248.772) = 249.

Cyfry niepewne podkreSlono (zgodnie z regull\ niepewnosc maksymalna jest rowna l 0

jednostkom ostatniego miejsca dziesi~tnego).

138

Mnotenie lub dzielenie - liczba cyfr znacz.I\Cych wyniku koncowego

r6wna liczbie cyfr znacl4_cych czynnika o najmniejszej liczbie cyfr znac:utcych. np.

56. 7· 43,55 (= 2469,285) = 2470, bo 56,7 ma 3 cyfry znaczctce,

123,84· O,J (= J.7,152) = ~o. bo 0,3 ma 1 cYfr(( mac~ 61· 1,234 (=75,2740) = 75, bo 61 rna 2 cyfry znaCZ4_ce.

Podnoszenie do kwadratu {lub szcicianu) - liczba cyfr ~cych

powinna bye o jedno miejsce mniejsza od liczby cyfr znacl4_cych Jiczby po<lnoSZCJa

do pot((gi, np.:

3.452 (= 11,9025) = 12,

55,812

(= 31 14,7561) = 3110,

12,43 (= 1906,624) = 1.200,

o,~3 (= 0,474552) = o.~.

Pierwiastkowanie - wynik rna takct sanut licz~ cyfr znacl4_cych, jaJat

liczba pierwiastkowana, np.:

M < = 8,9443) = 8,9.

Jo,12 <= 0,3464) = o,35,

V@ (= 4,6416) = 4,64,

vo.o063 <= o,t847) = o,t8.

6.2. ZAOKR~GLANIE WYNIKOW

Nigdy nie znamy dokladnej wartosci danej wielkosci mierzonej. Mozemy

z zalozonym prawdopodobieflstwem okre51ic przedzial, w k:t6rym powinna ................ .....

si~ wartosc zmierzona czy tez wyznaczona. Z analizy funkcji rozldadu bl¢6w

.ie istotne znaczenie rna wla5ciwie tylko pierwsza cyfra znac14.ca wartosci blctdu•.

ko w przypadku wykonywania precyzyjnych pomiar6w sens fizyczny przypisaC

1 Pierwsza cyfra :tn&CZJtCA jest pierwwt niezeroW\ cyf'nt liC?JtC od lewej strony (niczalei:nie od sea umieszczenia przecinka dzies~ego). Kolejne cyfry, icl4c w ptaW\ stro~ 54 kolejnymi mac24cvmi (zera r6wniei).

Obliczenia przyblii:one 139

drugiej cyfrze znacZ<tcej. Pozostale cyfry nie majct sensu fizycznego. Zar6wno wanosc

bl¥du, jak i wanosc szukanej wielko5ci musZ<t bye zaolcrqglone zgodnie z nast((puj~t­

c~mi zasadami:

+ obliczamy do trzeciego miejsca znacl4_cego,

• zaokr~glamy zawsze w gor~.

• zaol<:n:!glamy do:

- pierwszej cyfry znacZ<tcej lub

- drugiej cyfry znacZ<tcej, jesli w pierwszym przypadku blctd zwi~ksza si~ wi~cej

nii: o 20%.

lw nik y t 1• obliczamy z dok!adnosci4 o jedno miejsce wi~cej, niz w przypadku zaokr(\glone-

go bl~du (zwykle najwyi:ej do czrerech miejsc znacZ<tcych),

• zaokrulamy do tego samego miejsca, cow przypadku bl~du,

• zaokr<tglamy wedlug normalnych zasad zaokr~lania:

- cyfry l, 2, 3, 4- w d6l,

- cyfry 6, 7, 8, 9- w gorce,

- cyfr~ 5:

- w g6"', jesli poprzed.za jet cyfra nieparzysta,

- w d6l, jesli jest poprzedzona cyfrct parzystct.

W zapisie wyniku oblicze6 zaleca sict stosowanie odpowiednich przedrostk6w

jednostek (np. kilo, mega, mikro) i wielokrotnosci pot~gowe (tzw. zapis naukowy, np .

3·1 0-4) tak, aby·bl¢em byly obarczooe jedynie miejsca dziesi~tne i setne.

•:_(:

140

Przyldady zapisu wyniku kolicowego

Pned zaokntgleoiem Po zaokntgleoiu

t = (0,234 :!: 0,028) s t = (0,23:!: 0,03) s

m = (43,55 ± 0,823) g m = (43,6 ± 0,9) g

I = ( 154,25 ± 0,67) mA I = (154,2 ± 0,7) mA

F "' (98095 ± 3111) C F = (9,81 :!: 0,32)- 104 C

c = (2453 :!: 55) nF c = (2,45 :1:: 0,06) JJF p =(3100± 75) w

P -' (3, 10± 0.08} kW

Powinnismy starac Sit( tak zapisywac wynik koricowrv ab . . fra - , y p1erwsza cy

cz~ca hl~'du porn· . 't' larowego znalazfa Sl" na pierwszym · · .

, • . 't' mieJscu po przecinku (np. koSCi m, r, F w powytszej tabelce). w CZ\vartym przypadku zast I''

• · osowa tSmv tzw ukowy fonnat zapisu liczby z kJ · . . • ·

. wy e unikamy zap!Su z ntSkimi potf(garni liczby 10 szemy 3_2, a nie 3,2·10•; piszemy 0,06 zamiast 6·10·2).

PrzykJad 6.1

W wyniku obliczeri otrzymalismy wartosc:

X= 32,283 ± 1,234. Zal6imy ze hlctd za kr 1 d .

. , . o 'l,g amy o pierwszej cyfry znaczctcej. W6wczas ~ = 2, co woduJe ZWtf(kszenie wartosci blf(du o:

2 - 1,234 . 1,234 = 0,62 = 62% .

J~t to zbyt daleko idctce zaokrcmJenie. Zal6imy wict:c, ie hl<td zao.lcr(\glam do

:Jerws:ch cyfr znaczctcych. W6wczas ~ = 1,3 {blct:dem byloby przyj~ci: ~ = arto§c bl~du zawsze zaokr'l,gla si~ w gone!).

Wynik zaokr~alamy d · · • -u;, o pierwszeJ cyfry po przecinku (podobnie jak bfltd) i

SUJemy w postaci:

X = 32,3 ± 1,3 •

7. ARKUSZE KALKULACYJNE

W ostatnich kilkunastu latach jestesmy swiad.k.ami kolejnej rewolucji, tym ra­

zem bez.krwawej, rewolucji infonnatycznej. Dotyczy to takie pracowru flZ)'cznej. Co­

raz CZf(sciej studenci w oaszych pracowniacb stosuj<t kalkulatory z wbudowanyrni

fun.kcjami statystycznymi, a takte kalkulatory programowalne. Dzisiaj studenci maj<t

w!asne komputery z procesorami ·PENTIUM 2 o cz~stotliwosci zcgara 333 MHz. Za

pomoc'l_ takiego programu, jak arkusz kalkulacyjny EXCEL 8.0, przeci~toy student

sporz~tdzi sprawozdanie z w-ykonanego zadania doswiadczalnego z fizyki w cil\_g\J kil­

kud.ziesi~ciu minut. Problemem jest tylko to, i:eby student wiedzial, co komputer obli­

czyl. Takie ,,komputerowe" sprawozdanie powinno zawierac opis procedury oblicze­

niowej, a student musi wied.ziec, co zawiera jego sprawozdanie.

W rozdziale tym zapoznamy Czytelnika z najclf(Sciej stosowanymi arkuszami

kalkulacyjnymi. Nie b~d~t to jednak opisy obslugi program6w, lecz pr6ba dostosowania

programu do zadari w laboratorium: obliczenia wartosci 5redniej z serii pomiar6w

i odchylenia standardowego tej sredniej, obliczenia estymator6w regresji liniowej, spo­

~dzenia wykresu itp.

Arkusz kalku lacyjny slui:y do przechowywania danych, wykonywania na

nim r6inych operacji matematycznycb., spo~dzania zestawien i wykonywania wykre­

s6w. Arkusz kalkulacyjny rna wszechstronne zastosowanie. Narz~dzia i moiliwosci

wsp6kzesnych arkuszy kalkulacyjnych umoi:liwiaj'\_ wykonywanie skomplikowanych

operacji na bazie danych doswiadczalnych m.in. w pracowni fizycznej. Niekwestiono­

wanym liderem jest obecnie arkusz Microsoft EXCEL, swych zwolennik6w rna arkusz

LOTUS 1-2-3, znacznie zmienil si~ r6wniei: Quattro Pro finny Corel.

142

7.1. MICROSOFT EXCEL

Dost~pna obecnie wersja Excel 97 (z pakietu Office'97) pozwala m.in.:

• prowadzic edycj~ wewncttrz kom6rek b&.di w pasku formuly,

• fonnatowac poszczeg61ne znaki w kom6rkach zawierajqcych tekst,

• wykonywac \\oykresy z liniami trendu i stupkami bt~d6\v,

• korzystajqc z kreatora funkcji wybrac odpowiedni&. funkcj~, uzupelnic jq

tami i wstawic do procedury,

• definiowac wlasne funkcje, procedury i makrodefinicje.

Cry Microsoft Excel 97 wykona wszystko, o czym byta mowa w ,..,..,"'?<•ri ... •-~ rozdziatach? Odpowiedi brzmi - prawie wszystko. Po om6wieniu

funkcji statystycznych podamy przyklady kilku arlruszy do wykorzystania w 1n.rnun

fizycznej.

2 3 4 5 0.80 6 1.00 7 1.20 8 9

Rys. 7 .I. Widolc arkusza Microsoft Excel

Arl<usze kalkulacyjne 143

7 .1.1. WYBRANE FUNKCJE ARKUSZA

Do arkusza wbudowano szereg funkcji matematycznych. Ponizej przedstawimy

niektore z nich. Nas interesuj&. zwlaszcza funkcje statystyczne oraz fun.kcje organizuj&.­

ce wyniki obliczeil. Spolszczenie arkusza spowodowalo pev.IJle zamieszanie w na­

zwach funkcji (powstaly dziwolqgi typu ZAOKR.DO.CALK). Obok nazw funkcji sto­

sowanych w polskoj~zycznej wersji programu podajemy nazwy angielskie.

a) Zaokr~glanie liczb

• UCZBA.CALK(liczba; /iczba_cy.fr)- obcina liczby do liczby calkowitej usuwaj&.c

jej cz~c ulamkowc:t. Liczba_cy.fr jest Jiczbc:t okrdlaj&.c&. dokladnosc obcinania (do­

myslnie - zero). (INT)

LICZBA.CALK(6,75) = 6.

LlCZBA.CALK(-6,75) = -6.

• ZAOKR.DO.CALK(liczba; liczba_cyfr)- zaokrqgla w d6l do liczby calkowitej .

(TRUNC)

ZAOKR.DO.C4LK(6,74) = 6.

ZAOKR.DO.CALK(-6,74) = -7.

• ZAOKR(liczba; liczba_cyfr) - zaokrqgla liczb~ do okreslonej liczby cyfr po prze-

cinku. (ROUND)

ZAOKR(3,15; 1) = 3,2.

ZAOKR(3,149; 2) = 3,15.

ZAOK.R(-2,475; 2) = -2,48.

ZAOKR(l 21,5; -1) = 120.

• ZAOKR. W.GORF;(liczba; znaczenie) - zaokrqgla liczb~ w gor~ do najblizszej

wielokrotnosci cyfry znac:z..tcej. Znaczenie jest to wielokrotnosc, do kt6rej nalezy

Iicz~ zaokl'c:\glic. (CEILING)

ZAOKR. W.G6~(3,5; 1) = 4.

ZAOK.R.W.GOJUa-2,5; 2) = -4.

.w

144

ZAOKR. W.G6~(0,234987; 0,01) = 0,24.

• ZAOKR. W.DOL(/iczba; znaczenie)- zaokr(\gla liczb~ w d6l, w kierunku zera,

najbliiszej wielokrotnosci znaczenia. Znaczenie jest to wielokrotnosc, do

nalei:y licz~ zaokr<\glac. (FLOOR)

ZAOKR. W.DOL(3,5 ; 1) = 3.

ZAOKR.W.DOL(-3,5; -3) = -3.

ZAOKR.W.DOL(3,5; 0,1) = 3,5.

ZAOKR.W.DOL(3,534; 0,01) = 3,53.

b) Zbiory liczb

• ILE.LICZB(wartosCJ; wartosc2; ... ) - ilosc liczb w liscie argument6w.

""'Yj(ltkiem kom6rek pustych. (COUNT A)

• SREDNIA(liczbal; liczba2; ... ) - srednia arytmetyczna argument6w.

mog(l bye liczby, nazwy, tablice lub adresy kom6rek zawieraj(lcych liczby. Je§li

gument w postaci tablicy lub adresu zawiera tekst, wartosci logiczne lub puste

m6rki, to wartosci te Sq zignorowane. (AVERAGE)

. LX SREDNIA=-

n

• ODCH.KWADRATOWE(/iczbal; liczba2; ... ) - suma kwadrat6w odchylc:4

punkt6w danych od ich wartosci sredniej. (DEVSQ)

ODCH.KWADRATOWE= 2:(x -xf

• ODCH.SREDNIE(liczbal; liczba2; ... )- wartosc srednia modulu odchylen punk" .

t6w danych od ich wartosci sredniej. (A VEDEV)

ODCH.SREDNIE= .!_ :Lix-xl n

• ODCH.STANDARDOWE(liczbal; liczba2; ... ) - odcbylenie standardowe na pod­

stawie pr6bki (bhtd sredni kwadratowy pojedynczego pomiaru). (STDEV)

Antusze kalkulacyjne 145

-[n:Lx2 -(Lx}

ODCH.ST ANDARDOWE = V n(n -l)

• ODCH.STA!"lDARD.POPUL(/iczbal; liczba2; .. . ) - odcbylenie standardowe na

podstawie ca!ej populacji. (STDEVP)

n:Lx2 -{Lxf ODCH.STANDARD.POPUL =

02

• W ARIANCJA(liczbal; liczba2; ... ) - wariancja pr6bki. (V AR)

n:Lx2 -(l:XY W ARIANCJA = n(n _ 1)

• WARIANCJA.POPUL(liczbal; liczba2; ... ) - wariancja na podstawie catej po­

pulacji. (V ARP)

nl:x2 - {Lx} W ARI.ANCJA.POPUL = 2

n

. , . ") art sc przedzialu ufnosci dla • UFNOSC(alfa; odchylenie_standardowe; llcznosc - w o ·

.. . . · · p · ufnosci = 100(1 - alfa)%, np. sredniej z populagt. A/fa - pOZJOm tstotnOSCI. oztom

dla a! fa = 0,05 - poziom ufnosci = 0,95%.

, • ODCH.ST ANDARDOWE UFNOSC = 1,96 .Jn

Przyklad 7.1 . Oblicz bl~d Sredni kwadratowy wartosci sredniej pr6bki zloi.onej" z l 0 pomta-

r6w okre5lonej wielkosci ijzycznej (np. grubosci drutu w mm).

P · · · okazano fragment Schemat obliczen podano w arkuszu ODCH-ST. omzeJ P

ark odpo ·ednim. · rann· w kom6rkach B3:B12 wpisane s~ wartosci tego :usza Z WI I WZO . ·

iki br en funkcji EXCEL-a kolejnych pomiar6w. W kom6rkach E3:Ell podano wyn o tcz . .

h W tabrcy DJ4·E26 znajduJ~ st~ zwi<tUDYCh z rozkladem bl~d6w przypadkowyc . t ·

... ~ ..

146

wartosci analizy statystycznei b' k :~ z Joru wy onanej na!'Z¥dziem Statystyka

w menu Analiza danych.

..

Bl~d ' d · "t sre OJ kwadratowy wartosci sredniei • obiJ'czam

:~ Y wg wzoru:

s, .::: ODCH.STANDARDOWE::: ODCH.STANDARD.POPUL

"'ILE.LICZB "'ILE.LICZB I

c) Regresja lin iowa

1 l

t J

~ I

-1 I

• REGLlNP(zb" b' ' zor _y; z ror_x; const; status) - oblicza parametry prost . .. . . eJ regres•1 moweJ metoA., · · · 'J

u.<t naJmmeJszych kwadrat6w. (LINEST) • Jezeli const = F ALSZ, to b = 0.

1 EXCEL pod b · · 5 ed . k' 0 me Jak inne arkusze kalkulacyjne, nie oblicza r mego wadratowego) wartosci sredniej!

Arl<usze kalkulacyjne 147

• Jeteli wielkosc status= FALSZ (lub jest pominit(ta), to funkcja REGUNP daje

w wyniku tylko wsp61czynnik a i stal&. b.

Jezeli wielkosc status = PRA WDA, to funkcja REGLINP daje dodatkowe para­

metry regresji liniowej: odchylenia standardowe wsp6lczynnik6w a i b, wsp6tczynnik

wyznaczania (r2), standardowy bll\d oceny y (se y), statystyk~ F, liczb~ stopni swo­

body, regresyjnl\ sum~ kwadrat6w i resztkowl4, sumct kwadrat6w.

• Nachylenie a= INDEKS(REGLINP(zbi6r y~ zbi6r_x); 1).

• Punkt przeciC(cia z osil'l. y = INDEKS(REGLINP(zbior y; zbior_x); 2).

Rys. 7.3. Okno dialogowe funkcji REGUNP

W analizie metod&. regresji program Microsoft EXCEL oblicza dla ka:ldego

punl'tU kwadrat r6inicy pomi~dzy wartoscil4, y przewidywan&. dla tego punktu a jego

wartoki<t rzeczywist(\_ y. Suma tych kwadrat6w (r6inie nazywana) jest resztkowl\, su­

m<t kwadrat6w. Nast~pnie oblicza si~ sum~ kwadrat6w r6znic pomi~dzy rzeczywisty­

mi wartosciarni y a sredni<t z wartosci y. Suma ta nazywana jest ll4,cznl4, sum(\ kwadra­

t6w (regresyjna suma kwadrat6w + resztkowa suma kwadrat6w). Jm mniejsza jest

resztkowa suma kwadrat6w w por6wnaniu z tl\CZDl\. sum~t kwadrat6w, tym wi~ksza

jest wartosc kwadratu wsp6tczynnika korelacji r2• Wsp6tczynnik ten Jest wskainikiem

tego, w jakim stopniu rownanie wynikaj&.ce z analizy metodl4, regresji prezentuje li­

niow&. zaleinosc pomi~dzy zmiennymi.

;J -Jj

148

•• II: -4.41

~~~~& .. ·~.J~Il'.U~9 "lfl. ·---""d

Rys. 7.4. Oblic7..anie estymator6w regresji liniowej

• NACHYLENIE(zbior y; zbior _x) - nachylenie prostej regresji. (SLOPE)

• ODCIF;T A(zbior y; zbior_x) · wartosc punktu przeci~ia si~ prostej regresji

wej z osi~t y. Wielkosc ta powinna nazywac si~ raczej RZ~DNJ\ (blctd nu;ma,c.u"';

nia). (INTERCEPT)

b=y-a -x

• WSP.KORELACJI(tablical; tablica2)- wartosc wsp6lczynnika korelacji

su kom6rek tablical:tablica2. (CORREL)

• PEARSON(zbior y; zbior_x) - wsp6lczynnik korelacji liniowej Pearsona r.

SON)

Arkusze kalkulacyjne 149

W wi~kszosci przypadk6w wsp6lczynnik korelacji WSP.KORELACn daje ten

sam wynik, co funkcja PEARSON.

• R.KWADRAT(zbior_y; zbior_x) - kwad.rat wsp6lczynnika korelacji Pearsona.

(RSQ)

• REGBLSTD(zbior y; zbio!:_x) - standardowy bl~td prognozowanej wartosci y dla

kaidego x przy stosowaniu metody regresji liniowej. (STEYX)

• REGEXPP(zbior y; zbior_x; const; status)- oblicza krzyw~t wykladnicZ<t dopaso­

wan~t do danych i podaje w wyniku tablic~ opisujl\_C'l t~ krzyw<t. (LOGES I)

• REGLI!'f"W(zbior y; zbior_x; nowe_x; const) - daje wartosci ·wzdluz trendu liniowe­

go. (FORECAST)

• Nowe _x - nowe wanosci x, dla kt6rych chcemy, by funkcja REGLINW dala

w wyniku odpowiednie wartosci y.

• Jeieli const = FALSZ, to b = 0.

• KOWARIANCJA(tablical; tablica2)- srednia z iloczyn6w odchytek ka.Zdej pary

punktu danych. (COV AR)

KOWARIANCJA =.!. ~)x , - xXY; -y) n ; .. 1

Arkusz kalkulacyjny Microsoft Excel 97 nie rna wbudowanej specjalnej funkcji

okreslaj~tcej odcbylenia standardowe wsp6lczynnik6w a i b regresji liniowej zgodnie

z rozdzialem 4. Moina jednak te odchylenia okreslic w spos6b posredni za pomoC<t

wzor6w:

S- = 1_1_[WARIANCJA(zbi6r y) -a2]

• J n-2 WARIANCJA(zbi6r_x)

I _ ~SUMA.KWADRATOW(zbi6r x) I S-- S- · b •

0

150

Przyklad 7.2

Oblicz estymatory regresji liniowej dla zbioru wielk<>Sci x i y uj~tego w pu~:-.,~1,.. szej tablicy pomiarowej.

Tablica pomiarowa

Lp. X y

1 1,00 1,00 2 2,00 2,50 3 3,00 4,50 4 4,00 5,00 5 5,00 6,00 6 6,00 8,00 7 7,00 9,50 8 8,00 11,00 9 9,00 13,00

PoniZej pokazano fragment arkusza RegLin (dosttepnego w intemecie pod

sem www.polsl.gliwice.pV-rr/reg_x.ls.zip) z wynikami obliczen i odpowied.nimi

rami. Arkusz ten pozwala obliczyc wsp6lczynniki regresji liniowej dla serii z!o1totllt

z 22 par pomiar6w1• Funkcje arkusza analizuj~ zawart<>SC kom6rek i pomijajll w

czeniach kom6rki puste. Ta wla5ciwosc pozwala konstruowac uniwersalne

obliczeniowe.

Fragment arkusza RegLin

pomiar6w n 9

1,442

b .0,486

0,057

0,319

0,9946

1 Zakres pomiarowy moina rozszerzyc wstawiaj~~,e dodatlrowe wiersz.e. Funkcje arlcusza kom6rki puste. I'V .... ,.rr;a

Arkusze kalkulacyjne 151

Wsp6kzynniki regresji liniowej mot.na r6wniei obliczyc wykorzystuj(lc zbi6r

specjalnych na~dzi analizy danych Analysis ToolPak. Opis tego zbioru znajdzie

Czytelnik w podr~czniku uZytkownika programu. Zbi6r tych narz~dzi musi bye

uprzednio zainstalowany (menu Na~dzia - Dodatki, opcja Analysis TooiPak).

Zbi6r narz¢zi analizy danych wywoluje si~ z menu Narz~dzia - Analiza Danycb,

opcja Regresja . Pojawia si~ okienko dialogowe pokazane nizej (rys. 7.5).

Rys. 7.5. Okno dialogowe Regresja

7.1.2.1\'II'NE MOZLJWOSCI ARKUSZA EXCEL 97

Excel posiada szereg innych n~dzi do analizy danych doswiadczalnych,

m.in.:

• analiza Fouriera,

• analiza wariancji: jednoczynnikowa, dwuczynnikowa z powt6rzeniami, dwuczyn-

nikowa bez powt6rzeft,

• generowanie Iiczb \osowych,

• histogram,

152

• korelacja,

• kowariancja,

• pr6bkowanie,

• regresja,

• srednia ruchoma,

• test F: wariancje z dw6cn proo,

• test t: dla dw6ch pr6b o r6wnych wariancjach, dla dw6ch pr6b 0 nier6wnych

riancjach, dla srednich z dw6cb pr6b parowanych,

• test z: dla srednich z dw6ch pr6b,

• wygladzanie wyktadnicze.

3 4 5 6

·C639 · 1.644 ·0.373 -0 240 -0 107

Wlel. R-~kkw~ Oop. Rkw.-~R~ ~.:sl-~ stadliiboy Wso.·~ICI~

Rys. 7.6. Fragment arlcusza z modulem Regrt~sja

" } .;

Na~dzia te dost~pne sq po uaktywnieniu dodatku Analysis TooiPak: lnnym

ciekawym dodatkiem jest Solver, pozwalajqcy m.in. obliczyc ekstremum funkcji,- ·

rozwiqzac r6wnanie n-tego stopnia, rozwiqzac uklad r6wnafl Jiniowych itp.

Arkusz kalkulacyjny pozwala spor~dzic proste formularze do obliczenia sred­

niej wazonej oraz do obliczenia bl~du wielkosci zlozonej metodq r6micowq.

Arkusze kalkulacyjne 153

Przyklad 7.3

Oblicz blqd wyznaczania kqta przesuni~cia fazowego metod(\ p6losi elips z za­

stosowaniem oscylografu. Kqt przesuni~cia fazowego w tej metodzie obliczamy za

pomocq wzoru:

cp = 2. arctan(; J gdzie a i b - p6losie elipsy otrzymanej przez zlozenie dw6ch drgan harmonicznych

w kierunkach prostopadtych. Obliczenie bl~du wyznaczania kqta przesuni~cia fazo­

wego metodq r6i.niczki zupemej zwi¥3ne jest ze stosowaniem dose zlozonego wyra­

zenia.

Ponii:ej pokazujemy algorytm metody r6znicowej wyznaczania blydu L\q> z za­

stosowaniem arkusza kalkulacyjnego oraz wyniki obliczen.

Jednym z ciekawszych na.rz¢zi omawianego arkusza jest menedzer scenariu­

szy. Umot.liwia on m.in. zapisanie zawarto5ci poszczeg6lnych kom6rek arkusza

w wielu wariantach, a nast~pnie oglqdanie wynik6w obliczefl dla zmieniajqcych sil(

parametr6w i wartosci pomiar6w. W ten spos6b mozemy sprawdzac poprawnosc wy-

154

nik6w pomiar6w poprzez por6wnanie ich z wynikami wzorcowymi. Mozna nn·......:~~­

wowac wptyw r6znych wielkosci na wartosc wyniku koncowego i wartosc bl~du.

Prawie w kaidym sprawozdaniu elementem uzupelniajl\_cym wyniki vv••ua.n :

jest wykres. Arkusz Excel 5.0 pozwala wykonac graficznct prezentacj~ danych

nie z kryteriami podanymi w rozdziale 5 dzi~ki tzw. kreatorowi wykres6w. uL ....... .,

nik w kolejnych okienkach dialogowych wybiera zakres danych, typ wykresu,

tytuly i ustala postac legendy. Inne opcje wykresu moi:na zmieniac z pola Menu

pomoc(\ ikon.

Na rys. 7. 7 pokazano przyktadowy \\-ykres sporz(\dzony za pomocl\_

Excel 5.0.

Rys. 7.7. Wykres sporz<tdzony na podstawie danych z przy­kJadu 7.2

Arkusz Excel rna mozliwosc naniesienia na wykres tzw. linii trendu oraz

k6w bl~d6w. W ramkach okna dialogowego menedtera linii trendu mamy nr7v..-~~~~~:

zastosowania r6znych typ6w trendu (liniowego, logarytmicznego, un·

wielomianowego, pot~gowego, wykladniczego oraz tzw. sredniej ruchomej). W

dialogowym menedtera srupk6w bl~d6w mamy opcje wyboru ksztaltu stupk6w OR:~~~:

d6w oraz ich wielko5ci.

Dotychczas prezentowalismy najcZ((sciej stosowany typ wykresu: wykres ,._..._,_,_=-,c~

wy. Excel mot.e wykonac kilkana5cie wykres6w r6znych typ6w. Kazdy typ ""'1~o

Ar1<usze kalkulacyjne 155

maze bye wykonany w kilku odmianach. Maroa tei: na jednym wykresie wyswietlic

kitka r6tnych typ6w.

Rys. 7.8. Olcienko dialogowe mened.tera linii trendu

---- ·----- -----·---- ·- - -·-, ! I

tAl 7

t. (mAl

Rys. 7.9. Wykres przestrzenny (3-wymiarowy)

·.···:

156

lnteresujctce set wykresy przestrzenne zaleznosci trzech zmiennych stosow~

w6wczas, gdy dane sklasyfikowane set na dwa r6zne sposoby. Przyktadem jest zaJICl..i~~

nose napi~cia Halla od natcczenia pf<tdu sterujctcego i indukcji magnetycznej (Iub n~~ _zenia pf<tdu plynctcego przez cewkcc).

7.2. ARKUSZ KALKULACYJNY LOTUS 1·2-3

Wielu zwolennik6w rna arkusz kalkulacyjny LOTUS

omowimy mozliwosc zastosowania w pracowni fizycznej wersji 8.0 (Millenium). M .,

kusze Excela mog<t bye eksportowane do pakietu 1-2-3 bez problem6w Gest nawet. ~~, moiliwosc stosowania polecen Lotusa 1-2-3 w Excelu).

Rys. 7.10. Arkusz Lotus 1-2-3 (Milleniwn)

7.2.1. WYBRANE FUNKCJE ARKUSZA

@A VG(lista)- srednia arytrnetyczna wartosci wpisanych do listy.

@ PUREAVG(/ista)- srednia wartosci z listy z pomini~iem wszystkich kom6-

rek zawierajl\_cych tek:>L

Arl<usze kalkulacyjne 157

@A VEDEV(lista)- srednie, bezwzglccdne odchylenie standardowe dla wartosci

z listy.

@STD(lista) - odchylenie standardowe dla dui.ej Hczby pomiar6w, kt6rych wy-

niki stanowi<t wartosci z Jisty (odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru).

@PURESTD(lista)- odcbylenie standardowe dla duzej liczby pom.iar6w, kt6-

rych wyniki stano\¥i<t wartosci z listy (z pomini((ciem kom6rek zawieraja,_cych tekst).

Funkcje @STD i @PURESTD stosuja,_ do obliczania odchylenia standardowego

wzory z ,.n" w mianowniku:

@STDS(lista)- odchylenie standardowe dla wartosci z listy (dla calej popula-

cj i). @PURESTDS(lista) - odchylenie standardowe dla war1osci z listy (z pomini~

ciem kom6rek zawieraj~cych tekst).

Funkcje @STDS i @PURESTDS stosuj<\_ do obliczania odchylenia standardo-

wego w pr6bce z populacji wzory z ,,n-1" w mianowniku:

L:X2 -~ (Ixf @STDS= n

1 n-

Funkcje te zaleca sic; stosowac do obliczenia odchylenia standardowego pr6bki

zloi.onej ze skonczonej liczby wartosci (male n). Odchylenie standardowe jest pier­

wiastkiem kwadratowym z wariancji wszystkich element6w tej pr6bki.

@V AR(lista) - wariancja dla populacji okrdlonej danyrni znajduj(lcyrni sicc na

liscie.

@PUREV AR(lista) - wariancja dla populacji (z pominiccciem kom6rek zawie-

raj(lcych tekst).

Funkcje @V AR i @PUREV AR stosuj~ wzory z ,,n" w mianowniku:

158 Rozdziaf7

@V ARS(lista) - wariancja dla pr6bki z populacji okreSlonej danymi majdujat­

cymi si~ na li~cie.

@PUREV ARS(/ista) - wariancja dla pr6bki z populacji (z pomini~iem komO- ·

rek zawieraj<tcych tekst).

Funkcje @V AR i @PUREV AR stosuj<t wzory z ..n - 1" w m.ianowniku;

~.:X2 _ _!.{Ixf @VAR= n

n-1

W celu obliczenia odcbylenia standardowego wartosci sredniej nalezy zasto­

sowac wzory:

S- = 2:x2 -~(Ixf _ @SID(lista) _ @SIDS(lista)

x n(n -1) - .rn::J - .JD

@WEIGHTAVG(obszar _danych; obszar _wagi; [tw])- Srednia watona wart~

sci znajdujctcych si\l w obszarze danych. Typ jest liczbct, okre~laj'l~ spos6b ltczc:rua

sredniej watonej:

0.

I .

:Lx·w S= :Lw '

S= :Lx·w. n

Przy braku tego argumentu wartosci<t domysJn<tjest 0.

@CORREL(obszarl; obszar2)- wsp<Hczynnik korelacji dla wart<>Sci z obszarl

i obszari. Korelacjajest niezalema odjednostki miary.

@COV(obszarl; obszar2; [typ]) - wspOlczynnik korelacji dla warto5ci z of>..

szar I i obszar 2 ( wartosc srednia iloczyn6w odchylen standardowych dla OOJ:x>"ne<lntc;Jl.~ll,

wartosci z listy). Kowariancja jest zalema od jednostki miary. Typ jest opcjonalnym ';:>.~ :Jiloli~

Ar!(usze kalkulacyjne 159

argumentem okre51ajttcym. czy liczy sicc kowariancjcc pros~ (typ = 1; wartosc domysl­

na), czy tei kowariancjcc dla populacji (lyp = 0).

@REGRESSION(x-obszar; y-obszar; atrybut; [oblicz]) - wykonuje anal~

wielokrotnej regresji liniowej i zwraca okreslone jej parametry.

Obszar zm.iennych nie moie zawierae kom6rek pustych.

Atrybut okresla, kt6ry ze wspotczynnik6w rna bye obliczony:

I - stala b- rz¢na punktu przecicccia prostej regresji,

2 - hlctd standardowy Sy-x.

3 - wsp6kzynnik r (wsp6lczynnik korelacji) podniesiony do kwadratu.

4 - liczba obserwacji,

5 - liczba stopni swobody:

liczbastopniswobody = liczbaobserwacji -liczbazmiennych- 1

101 - wsp6kzynnik X (a- nacbylenie prostej regresji),

201 - standardowy hlctd wsp<Hczynnika X (Sa)·

Oblicz jest opcjonalnym argumentem pozwalaj'lcym okreslic rzccdnct b w r6wna­

niu

y= ax+ b:

0 - stala b = 0.

1 - oblicza stalct b (wartosc domyslna: ob/icz = I).

Te same wyniki daje wykonanie komencly Menu: OBSZAR/ANALIZA/ RE­

GRESJA. Na rys. 7.10 przedstawiono wspotczynniki regresji dla danych z przykladu

72.

Omawiana wersja arkusza Lotus 1-2-3 posiada wbudowany mechanizm auto­

matycznego wykonywania wykres6w. Lotus 1-2-3 pozwala wykonae wszystkie stan­

dardowe typy wykres6w. Nie ma jednak mot.liwosci wygladzania ksztaltu linii l~tcz.~tcej

punkty pomiarowe ani dopasowywania funkcji do zbioru danych ( opr6cz regresji li-

160 Rozazial

niowej). Wykres sporz<tdzony za pomoc<\_ omawianego arkusza kalkulacyjnego nie

b~dzie m6gl bye zaliczony w pracowni fizycznej.

7.3. ARKUSZ KALKULACYJNY QUATTRO PRO

Arkusz Quattro Pro zostal opracowany w flJlTlie Borland w 1990 r. i przez pe­

wien czas byl uniwersalnym narz~dziem do analizy danych doswiadczalnych w pra­

cowni fizycznej. Po przej~ciu przez COREL-a arkusz zostal zmodemizowany i obec­

nie na rynku znajduje si~ wersja Corel Suite 8.0. Arkusz cechuje duia prostota przy­

sporych mozliwosciach, jednak nie wytrzymuje on konkurencji z arkuszem Microsoft

Excel97.

W"~iot !)~t w.a-~"Se

... ·-- -~,.i;.~m

~==~~,·.c;,~,;.,,:.,~ ;,;.....,......,.,.~:IW--:Jc • l.;~'t •.

Rys. 7. 11. Statystyka

Arkusz wyposa.Zony zosta~ w kilka funkcji statystycznych omawianych jui:

wczesniej. Kom6rki puste traktowane S<\. tak., jakby znajdowaly si~ w nich warto5ci

zerowe.

Musze kalkulacyjne

Wybrane funkcje arkusza:

@COUNT(lista)- liczba niepustych kom6rek w tiscie lub bleku.

@SUM(lista) - suma liczb w liscie.

@A VG(lista) - 5rednia arytmetycma Iiczb w liscie.

@V AR(lista)- wariancja liczb w liSi;ie.

@V ARS(lista)- wariancja pr6bki w populacji.

@STD(lista)- odchylenie standardowe zbioru liczb.

@STDS(lista)- odchylenie standardowe pr6bki wybranej z populacji.

161

w funkcjach @STD i @V AR suma kwadrat6w odchyleil dzielona jest przez

liczb~ element6w zbioru n. Wzory te stosowane S'l w6wczas, gdy mamy liczny zbi6r

liczb w populacji. W funkcjach @STDS i @V ARS suma kwadratow odchy~eil dzielo­

na jest przez (n - 1) i funk.cje te stosujemy dla liczb wybieranych losowo z populacji.

Aby obliczyc odchylenie standardowe sredniej arytmetycznej (a nie pojedynczego po­

miaru!), nalezy wartosc funkcji @SID podzielic przez pierwiastek kwadratowy z (n-1)

tub wartosc funkcji @STDS podzielic przez pierwiastek kwadratowy z n:

S- = @STD(x, .. x.) := @STDS(x, .. x.) • ..rn::l Fn

Do analizy wielkosci zalet.nych liniowo sruzy komenda REGRESS~ON w roz­

wini~tym menu TOOLS I ADVANCED MATH I REGRESSION. Po wybraniu tej

komendy pojawia si~ okienk.o dialogowe. W kolejnych wierszacb ustalamy:

• Indepedent - kolumny danych zmiennej niezaleinej x,

• Dependent- kolumny danych zmiennej zaleinej y,

• Output - kom6rki do wpisania wynik6w obliczeti,

• y Intercept-- ustala, czy prosta regresji rna prz.echodzic przez punkt o wsp~d­

nych {0,0).

W wyniku obliczen otrzymujemy:

• Constant - rz¢na przeci~ia prostej regresji z OSi'l y,

• Std Err of Y Est - bl'ld standardowy wielko5ci y (Sx.y), b¢4lcy miaf'l odchylenia

rz¢nych punkt6w pomiarowycb od prostej regresji,

162 Rozdziat7

• R Squared- kwadrat wsp6lczynnika korelacji,

• No. of Observations - liczba pomiar6w,

Rys. 7.12. Arkusz Regresja I

• Degrees of Freedom - liczba stopni swobody (liczba pomiar6w - liczba parame- .

tr6w niezalemych),

• X- Coefficient(s)- nachylenie prostej regresji,

• Std Err of Coef. - bl<'!d nachylenia.

8. INNE PROGRAMY KOMPUTEROWE

W poprzednich rozdzialach om6wilismy kilka program6w do sporl<'!dzania

wykres6w oraz trzy arkusze kalkulacyjne. Ponizej w spos6b wybi6rczy om6wimy

moZ!iwosc zastosowania kilku innych program6w. Nie wyczerpiemy calej gamr,

oprogramowania na potrzeby fizyka eksperymentatora. Nie b~dziemy tez omawiae

program6w, kt6re nie set w Polsce legalnie sprzedawane, ani tez program6w typu

, shareware", tak licznie sprowadzanych za pomoc<'! sieci internetowej.

8.1. PROGRAMY STATYSTYCZNE

W Instytucie Fizyki nie mot.e zabraknctc profesjonalnych program6w do staty­

stycznej analizy danych: Statgraphics, Systat i Sysgraph, Statistica. Mozliwosci tych

program6w om6wimy na przykladzie programu ST A TISTICA firmy StatSoft Co.

!\: ,· \: i ~ ' I . !·

,,/ !\...

analizv uS 'ca PL (5. 1

164 Rozdziat 8

ST A TISTICA ma struktur~ modutowq. W kaidym module wystE(puje grupa

pokrewnych procedur. Istnieje moi:liwosc pracy z kilkoma modutami jednoczesnie.

W pracowni najczE(sciej stosuje si~ moduly statystyki podr~cznej oraz regresjE( \vielo­

krotnq. Statystyki nieparametryczne, rozklady oraz analizy ANOV AIMANOV A sto­

suje si~ sporadycznie.

Rys. 8.2. Regresja liniowa

Program umotliwia przeprowadzenie zaawansowanych obliczen statystycz­

nych, takich jak analiza wariancji (ANOVA, MANOVA), testy nastl(pstwa zdarzeil,

korelacja kanoniczna, regresja, estyrnacja nieliniowa, rozklady statystyczne, testy

zgodnosci rozktadu empirycznego z rozkladem teoretycznym (np. test X~·

Systemem mot.na sterowac za pomocq interakcyjnego interfejsu, makr, jc;:zyka

·polecen SCL oraz z poziomu innycb aplikacji Windows. Zasada altematywnego do­

st~pu pozwala dostosowac styl pracy do potrzeb UZytkownika. Ponizsze rysunki

wskazujq na olbrzyrnie moiliwosci programu.

- ,S-·ift·

-f!?~ .,~..:-

~~~: . .

~-"{7fl :<..

165 lnne programy komputerowe

Rys. &.4. Okno dialogowe wylcresu

.. ·t ych punkt6w Program posiada narz~dzie wyr62:niania (eksploracJI) poszczego n

na wykresie (np. wyl'tczania bl~d6w grubych).

166

Programy SYST AT i STATGRAPHICS maj~ zblizony zakres mozliwo~i •

i pracuj~ zasadniczo w srodowisku DOS Iub OS/2 (choc mo~ bye uruchamiane jako

aplikacje WINDOWS). Programy s~ rozbudowane, profesjonalne, wymagaj~ wielu

godzin do bieglego opanowania (no i znajomosci statystyki matematycznej).

8.2. PROGRAMY MATEMATYCZNE

W ostatnich latach pojawilo si~ wiele program6w wspomagajctcych obliczenia - .! ... ~"1

matematyczne, poczynaj~c od tych najprostszych (EUREKA, MERKURY), poprzez _ ..

programy typu DERIVE i MATHCAD, do prawdziwych ,,kombajn6w" matematycz- ..

nych MATHLAB, MAPLE V oraz MATHEMATICA. Programy matematyczne

maj(l wbudowany specyficzny j~zyk do pisania i wywotywania odpowiednich proce­

dur.

1.0 LO 2.0 ts 3.0 4.5 r :• 1 .. 9 n :: 9 i "'0 .. 11

4.0 5 VX :: s.o VY :• 4 11 := alope(VX ,VY) b :: irercept( VX .VY) SX :• wr(\~) SY -: wr(VY)

6.0 I

7.0 9.5

~ sxx ,. ~vxx

Sa :• (SY- a1

) -1- Sb :• Sa-.f-¥ F(x):. ax + b

SX n- 2 n

8.0 11.0 9.0 13.0

IS

// 10 F( r)

VYI <> J

0 J

• 'l 4 . ' II

Yi!esitczvnnjki .rsrui!

a= 1.442 Sa ::: O.OS7

b:~- Sb = 0.319

Rys. 8.5. Ekran program.u MathCAD 5.0 +

... ~ \,:;;

lnne programy komputerowe 167

Na potrzeby analizy danych posiadaj(\ funkcje statystyczne oraz mechanizmy

tworzenia wykres6w, a taki:e moiliwosc animacji. Ten zakres zainteresowan, kt6ry

omowilismy juz wczesniej, znajduje si~ w tych progiamach na marginesie innych

problem6w matematycznych. llustracj(l tego s~ dwa ekrany dw6ch program6w mate­

matycznych.

Program MATHCAD jest bardzo populamy w srodowisku studenckim naszej

Uczelni. Wersja 5.0 Plus jest znakomitym narz~dziem matematycznym, a g16wnct za­

let(\jest prostota obslugi. Na poniiSzym rysunku pokazujemy, w jaki spos6b moiemy

obliczyc wsp6lczynniki regresji liniowej. Czytelnik moze zmienic rozmiar wektor6w

wejsciowycb VX i VY i ich wartosc, a program MathCAD wyliczy wsp6kzynniki

regresji i narysuje wykres liniowej zaleinosci mi~dzy zmiennymi Xi Y.

X -, data< c ~ V _. dal:t< t> n := rows( dAtA } n = 9

a -= slope( X. Y) b -= iD.tf'rtfpt ( X . Y)

1 SE b =• - ·

D

a -L I yi - l - ( II ~ - l • b) 12

i = I

{ • - 2)-a-var(X)

a

L I v, - l - ( . x, - I • b H i = 1

a= 1.442

+ b • -Q.486

wr(X)

SE 11 • 0.057

SE b • 0.845

n

Rys. 8.6. Regresja liniowa1 (Mathcad 7.0)

Modul do~ny pod adresem: www.polsl.gliwice.pV-rr/mc7 .zip

Ull H1U ·

1lll 2:!11 _

; 1l1l lSI

I ill sm 5111 SlJI

Ul a ,. Ul -illl tUJI

u ""'

168

(I - a 1) = 99 -~·;,

prediction b<~~td for Ute orilUll:ll FLEX drua fSII~~---~~~~~~~ cou.tidence ulter:als. tbe b~nd will be •vtde;: ,--~ue:; Of a t .

k • 0 .. J lloweryred{m; yAo:(x,y} • mtercept{x,~·} - slope(x ,,r )·.T

p ' ' npperyted(o~ yhat pred{xQ,x,y) , intercept(~· ,y) • s lope (x ,y)

,:1

. .;._'•'

._ < ; ~.~·

-

!nne programy komputerowe 169

zaokr'l:glania wynik6w km1cowych. Program jest poprawion<~: wersj<l: podobnego pro­

gramu zainstalowanego kiedys na poczciwych komputerach rodzimej produkcji

, MERITUM". Zaloiono, i:e program me bye prostym w obstudze, a czy eel ten osi'l:­

gni~to, OS<l:dzi student w laboratorium. Nie przewidziano procedur drukowania wykre-

su.

W gl6wnym Menu programu mamy do w)'boru 3 opcje:

I . Wartosc srednia i jej hl<~:d.

2. Srednia wazona.

3. Regresja lin iowa.

Metod~ regresji liniowej mozemy zastosowac do funkcji liniowej:

y == a·x + b

oraz innych funkcji, kt6re mozna przeksztalcic do postaci funkcji liniowej po wpro-

· -~ wadzeniu zmiennych zast~pczych:

MATHEMATIC A wymaga dobrej znajomosci wbudowanych procedur, a~~~-i:. przeprowadzic analiz~ danych doswiadczalnych. Z innymi programami matematyczir{~: nymi mamy podobne problemy. . · ;~~

·:,'f~:-1:

: :ft&t 8.3. PROGRAMY ANALIZA, TURBOREGRESJA I REGRESJA

-. ~';-·

:~-~

~--~~~-

Na zakonczenie podamy kr6tki opis trzech program6w zainstalowanych w pra- :$ -~::

cowni studenckiej i wykonuj'l:cych anali~ danych doswiadczalnych. -·

8.3.1. PROGRAM ANALIZA

Program napisany zostal w j~zyku BASIC i skompilowany za pomQC'l:

programu Turbo Basic. Autorem programu jest Robert Respondowski •. Zastosowano

klasyczne procedury analityczne, dodajll:C oryginalne procedury wstawiania Jiczb oraz

1 Program bezplatny dostC(pny pod adresem: www.polsl.gliwice.pV-rr/analizazip +~~

_c.~.

Rys. 8.8. Wyniki obliczen

y = b·exp(a·x),

.:~

170

Po wprowadzeniu danych (przycisk K) mozemy dokonac edycji danych w ta­

belach (zmiana, dodanie, usuni~ie), a nast~pnie wykonae obliczenia. W przypadku ·;i;_ analizy regresji moZemy zobaczyc rozldad pWlkt6w pomiarowych w odniesieniu do fi linii regresji. Wyniki obliczeti podawane set w formacie podw6jnej precyzji i mogct by{_ ·

zaokr(\glone zgodnie z regulami podanymi w popnednim rozdziale.

8.3.2. PROGRAM TURBO REGRESJA

Program zostal napisany w Turbo Pascalu 7.0 przez Z. Opilskiego i M. Piwo- ·" ~·:::..,

warczyka. Umoi:liwia:

• wykonanie obliczeil wartosci sredniej i odchylenia standardowego na podstawie; _:~-zbioru danych,

• obliczenie sredniej wai:.onej zbioru danych pomiar6w wykonanych z r6i:nct dold~ ·~-~-noscill, ~~-·

~:_ • obliczenie wsp6lczynnik6wregresji liniowej metod<\. Yorka (z uwzgl¢nieniem bl~ . .,..

dow wielkosci x i y),

• obliczenie bll(du wielkosci zloi:onej metodct r6micow4

• wykonanie wykresu.

Dodatkowe narz<cdzia sluil\ do wykonania prostych obliczeil (kalkulator), p~

cwiczenia regul zapisywania wyniku koncowego, skorzystania z miemika METEX

podlctczonego do wejscia szeregowego komputera itp. Menu gl6wne uruchamia si~ :~

klawiszem Alt lub FlO.

Sesja pracy z programem moie przebiegac nast~ujctco:

I. Z menu Nan.~dzia wybieramy opcjf( Arkusz kalkulacyjny i wprowadzamy dane

pomiarowe. Najwygodniej b¢zie, gdy w kolumnie A ~dane pomiar6w zmiennej

niezale.tnej, a w kolejnych kolumnach dane zmiennej zaleZilej. Do arkusza moi.Da

wprowadzic dane z wczeSniej sporntdzonego zbioru danych. Arkusz rna n~

pozwalajctce wykonac transformacjf( kom6rek. wierszy i kolumn oraz blok6w.

lnne programy komputerowe 171

2. Obliczamy bl~dy poszczeg61nych pomiar6w stosuj(lc metod~ Formula. Przykla­

dowo: aby do kolumny C wprowadzic bl<\,d pomiaru wielkosci X (dane w kolumnieA)

miemikiem cyfrowym klasy 0.8 i wag<t ostatniej cyfry 0,08, nalety napisac:

C I =A I *0.8/1 00+0.08

i formul~t t<( skopiowac do kolejnych kom6rek kolumny C.

3. Wychodzimy z arkusza kalkulacyjnego (Ait-W).

4. Wchodzimy do gl6wnego menu i wybieramy odpowiedni<\ opcj~ z menu Ob/iczenia.

5. Spoi"Z"\dzamY wykres zaleino5ci Y = f(X). lstnieje moiliwosc usuni~tcia wybranych

punkt6w pomiarowych przez klikni~cie lewym przyciskiem myszy w6wczas, gdy

kursor jest w obr~bie danego punktu (punkty te nie set uvrzgl~dniane w dalszych

obliczeniacb). Po nacisnittciu prawego klawisza myszki ukaiq_ si~ wsp61Tz~dne kur­

sora w jednostkach przyj~tych na wykresie.

83.3. PROGRAM REGRESJA

Autorem prostego programul do oblicz.ania wsp6kzynnik6w regresji liniowej

jest Adam Walanus, byty pracownik lnstytutu Fizyki.

Rys. 8.9. Okno programu Regresja

• • .<,

172 Rozdziat 8 ~-

Na ekranie widoczny jest prosty dwukolumnowy arkusz kalkulacyjny do ·wpro- ~:·:~~ ·.:.\·:~

wadzania danych oraz wykres y = f{x). Istnieje moZliwosc zamiany zmiennych: ·7~·

x~JX.

y~Jny,

x~---

273 .15+ x

~--

. ;-.:;:~

::: "" .. -.

9. UCHYBY POMIAROWE MIERNIKOW CYFROWYCH

Tabela 9.1

Miernik V561

Funk cia Zakres Rozdzielczosc Bl&d pomiaru 200mV JOOuV

2V I mV Napi~cie stale 20V IOmV 0,5% W+ I C

200V lOOmV 1000 v JV

200mV JOOV 2V l mV

Napif(Cie przemienne 20 v 10mV 1,0% W+5 C

200V JOO mV 7SOV IV

200uA 100 i1A

- 2mA lilA Pr¥1 staly 20 mA IOuA 0,5% W+3 C

200mA IOOuA 2A I rnA

lOA lOrnA 1 5% W+3 C

2mA luA 20mA 10 uA 1,5% W+5 C

Ptq_d przemienny 200mA 100 llA 2A 1 rnA

10 A lO rnA 20%W+5C

2000 o 1 o 2k0 1 0

Rezystancja 20k0 100 0,5% W+S C 200kQ 1000

2MO 1 ill 20Mn JOkQ

Oznaczenia: W ~ wskazanie miernika,

C ~ warto5c ostatniej cyfry wyswietlacza (tzw. rozdzielczosc).

174 Rozdzial9 Uchyby pomiarowe miemik6w cyfrowych 175

Tablica 9.2 Tablica 9.3

Miernik METEX-80 Miernik METEX M4650 CR1

Funkcja Zak:res Rozd.zielczosc Bl~td pomiaru Funkcia Zak:res Rozdzielczosc Blad pomiaru

400mV 100 J.lV

Napi~cie stale 4V 1 mV 0,5%W+ I C

40V IOmV

200mV 10 uV 2V 100J.1V

0,05% W+3 C Napi~cie state 20V 1mV

200V IOmV 400V IOOmV 1,0% W+ I C 1000V lOOmV O,l%W+ SC

Napi~cie przemienne 400V lOOmV

1,8% W+3 C 700V IV

4rnA 1 J.lA 0,8%W+2C 40mA I 0 ).LA

Pr~td staly 400mA 100 J.lA 1,2%W+2C

200mV 10 uV 2V too 1-1v

0,5%W+ IOC Napi~cie prz.emienne 20V 1 mV

200V IOmV

7SOV l OOmV 0,8% W+S C 2mA IOOnA 0 3% w + 3 c

2A I rnA P~d staly 200mA 10 ).LA 0,5% W+3 C 20A lOrnA 2,0% W + 3 C 20A 1 mAmA 0,8%W+5C

4 rnA 1J.LA 1,2% W + 3 C 40mA 10 ).LA

Pr<l,d prz.emienny 400mA I 00 f.l.A 1,8% W+3C

2A I rnA

2mA IOOnA 0 8%W + IOC Pr<l,d przemienny 200mA 10 llA 1,0% w + 10 c

20A 1 rnA 1,2% w + 15 c Cz~totliwosc

20kHz !Hz 2,0% w + 5 c

200kHz 10Hz

20A lOrnA 3,0% W+S C

Cz~stotliwosc 4kHz 1Hz

2,0%W+5C 20kHz lOHz

2000 pF 0 I pf 2,0% W+ 20C

Pojemnosc 200nF lOpF

20 J,1F lnF 3,0% W+30C

4kn In 0,8% W + 8 C

200n o.o1 n 02% W+ JOC 2kn o,I n

40kn ton Rezystancja

400kn 1000

4MO I k.n 1,2% W+ IOC

Rezystancja 20kn t n

0,15%W+3C 200 k.n 10 n

2MO 1000

20MO 1 k.Q 0,5% W+5 C

I Miernik ma interfejs szeresz;owv oozwalaia(";V wvlrnnvw..r """';""'' - · • ·

176 Rozdziat 9 ;;~;~- Uchyby pomiarowe miemik6w cyfrowych 177

Tablica 9.4 Tablica 9.5

Mierniki METEX M3850 i Mj830 Miernik HC81

Funkcia Zakres Rozdzielczosc Blad oomiaru Funk. cia Zakres Rozdzielczosc Blad oomiaru

400mV 100 uV 400mV 100 uV

Napi~cie stale 4V lmV 0,3%W+ I e

40V lOmV

40V 1 mV 0,3% W+ l e Napi~cie stale 40V lOmV

400V lOOmV 400V IOOmV lOOOV IV 03% W+3e

IOOOV IV 0.5% W+ J e 4V I mV 400mV 100 uV

Napi~cie przemienne 4V 1 mV 0,8% W +3 e

40V IOmV

Napi~ie przemienne 40V lOmV 1,2% w + 5 e 400V IOOmV 750V IV

400V IOOmV 750V IV 10%W+3e

Pr!\_d staly 40mA IO uA 0,8% W+ I e

400mA IOOuA

4mA luA 40mA 10 uA 1,5% W + 2e

Prl\;d staly 400A 100 uA 4A JmA

20A lOrnA 15% W + 5 e lOA lOrnA 2,0% W+2e

Prctd przemienny 40mA 10 uA 1.5% W + 3 e

400mA IOOuA 20A lOrnA 2.0%W-t-5e

ez~stotliwosc 4kHz I Hz

40kHz 10 Hz 0,1% W ... l e

4 mA luA 40mA !OuA

Prl\;d przemienny 400mA 100 uA 2,0% W+S e

4A 1 rnA lOA lOrnA

400kHz lOOHz 4nf lpF

40nF 10 pF 2,0% W+3 e

Pojemnosc 400nF lOOpF 4 uF lnf

40 uF lO nf 3,0% W + S e

4oo UF lOOnf 4000 o I o

4k.O 10

Rezystancja 40k.O 10 0 0,5%W+ l e

400k.O 100 0 4MO 1 kO

40MO lOkO 1,0% W +2 e

Temperatura -4ooe l 0 e 3,00/o w + 2 e 2oooe toe

lOOHz 0.01 Hz 1 kHz 01 Hz O,l%W+lOe

C~stotliwosc 10kHz 1Hz

100kHz 10Hz

1 MHz 100Hz Nieokreslony

4nf 1 pf 40nf 10 oF

Pojemnosc 400nf 100 pF 5,00/o w +2 e

4uF lnf

40uF lOnf

4000 o 1 o 1 O%W+2e

4k0 10

Rezystancja 40k.O 100 0,7% W+2e

400k0 1000

4Mn 1 ill 40MO lOk!l 2,0% W+Se

178

Miernik MY - 64

Funk cia Zakres Rozdzielcz<>Sc 200mV 0.1 mV

2V I mV Napi~cie stale 20V IOmV

200V 0,1 v IOOOV IV

200mV 0.1 v 2V lmV

Napi~cie przemienne 20V IOmV 200V 0,1 v 700 v IV

2mA I uA

Pr~d staly 20mA IO~A 200mA 0,1 mA

lOA lOrnA

2mA I u.A Pr'ld przemienny 20mA IOu.A

200mA 0,1 mA 10 A IOmA

Cz~stotl.iwosc 2kHz I Hz

20kHz 10Hz 2000 0 JQ 2kQ lQ

20kQ lOQ Rezystancja 200kn lOOQ

2 MQ 1 kQ

20Mn IOkQ

200Mn IOO. kn 2nF I oF

Pojemnosc 20 oF 10 pF

200nF 0,1 nF 2 uF- 1nF

20 uF 10 nF -20°C + ooc JoC

Temperatura 0°C+ 400°C l°C 400°C : 1000°C JoC

Rozdziat 9

Tablica 9.6

ID&d pomiaru

0,5% W+ IC

0,8% W+2C

1..2%W+3C

0,8% W+3C

1,2%W+3C

0,8% W+ lC

1.5% W + lC 2,00/o w.,. sc I,O%W+3C

1,8% W+3C 3,0% W+7C 2.0% W + SC 1,5% W+SC 0.8% W + 3C

0,8% W+ IC

I,O%W + 2C 5,00/o W + IOC

4,00/o W+ 3C

5 00/o W + 4C 1,0% W+3C

2,0%W

LITERATURA

l. Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions with

Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , U.S. Government Office •.

Washington 1972.

2. Brandt S., Metody statystyczne i obliczeniowe analizy danych , PWN,

Warszawa 1974.

3. Feichtinger_ H.G., Strohmer T., Gabor A nalysis and Algorithms , Vienna

1998.

4. Golowiejko A. G., Matematiczeskaja obrabotka opy tnych dannych , BPI,

Miilsk 1960.

5. Guter R. S., Owczynski B. W., Matematyczne opracowy wanie wynikow

doswiadczeti , PWN, Warszawa 1965.

6. Hansel H., Podstawy rachunku bl~dow, WNT, Warszawa 1968.

7. Hellwig Z.., Elementy rachunku prawdopodobietistwa i statystyki mate-

matycznej, PWN, Warszawa 1972.

8. Hunter W. G., Hunter J. S., Statistics for Experimenters, John Wiley and ·

Sons, New York 1978.

9. Jakowlew K. P., Matematische Auswewrtung von Messergebnissen, Ber-

lin 1952.

10. Khazanie R., Statistics in a World of Applications, Humboldt State Univer-

sity, 1996.

1l.Kiemnic J. W., Tieorija oszibok izmierienij, Gieodezizdat, Moskwa 1961.

12.Kolmogorov A .• Foundations of the Theory of Probability, Chelsea. New

York 1954.

13. Linnik J.W., Metoda najmniej szych kwadrat6w i teo ria opracowywania

obserwacji, PWN, Warszawa 1962.

.,