Upload
vandung
View
235
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
18.5.2016
1
LINEARNO PROGRAMIRANJEReševanje.• grafično• analitično s pomočjo iskanja vršnjih vrednosti• simpleks metoda
Boris JermanIzdelano po viru: http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
OPTIMIRANJE NOSILNIH KONSTRUKCIJ
� Linearno programiranje:
• matematična metoda iskanja optimuma (max ali min),
• tudi pri nalogah z omejitvam.
� CF je linearna.
� Omejitve so linearne (enakostni p. in neenakostne o.).
� Linearni program zapišemo v matematični obliki na naslednji način:
� cenilna oz. ciljna oz. namenska funkcija:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
2
� omejitve:
Povsod znak ≥. Če je znak ≤, neenačbe pomnožimo z (-1).
� pogoji nenegativnosti:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
� Linearni program zapišemo v matrični obliki na naslednji način:
� kjer so:
• vektor koeficientov CF:
• matrika sistema neenačb omejitev:
• vektor prostih členov:
• vektor KS:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
3
PRIMERIzdelava velikih škatlastih in paličnih nosilcevv podjetju Nosilec d.o.o
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
� Podjetje Nosilec d.o.o. izdeluje velike škatlaste in palične nosilce.
� Izdelava poteka v treh fazah: razrez surovcev, varjenje in barvanje nosilca.
� Za škatlasti nosilec potrebujejo 1 uro za razrez, 2 uri za varjenje in 1 uro za barvanje.
� Za palični nosilec potrebujejo 2 uri za razrez, 1 uro za varjenje in 1 uro za barvanje.
� Stroj za razrez je na razpolago 40 ur v vsakem tednu.
� Tudi varilni stroj je na razpolago 40 ur v vsakem tednu.
� Ličarski robot je na razpolago le 25 ur v vsakem tednu.
� Podjetje ima pri prodaji:
• škatlastega nosilca dobiček 30 h€
• pri prodaji paličnega nosilca dobiček 20 h€.
� Podjetje želi doseči čim večji dobiček.Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
4
Zapis v obliki linearnega programa
Ureditev preglednice:
Ciljna funkcija je dobiček, ki naj bo maksimalen:
Škatlasti nosilec Palični nosilec Omejitve
Razrez 1 2 40
Varjenje 2 1 40
Barvanje 1 1 25
Dobiček 30 20
Kosov izdelka x y
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Omejitve:
Za razrez polizdelkov za x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:
ur, kar je lahko skupaj največ 40 ur na teden.
Za varjenje x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:
ur, kar je lahko skupaj največ 40 ur na teden.
Za barvanje x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:
ur, kar je lahko skupaj največ 25 ur na teden.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
5
Vse konstrukcijske spremenljivke so nenegativne:
Linearni program ima sledečo obliko:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Grafična rešitev:
- v koordinatni sistem xy vrišemo vse omejilne funkcije;
- dobimo konveksno dovoljeno območje;
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
6
Grafična rešitev:
- v koordinatni sistem xy vrišemo ciljno funkcijo z vrednostjo 0:
oz.:
- narišemo vzporednico čim više, saj se v tej smeri vrednost CF povrčuje;
- maksimum je v točki C.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Točka C je presečišče premic:
iz česar sledi:
in:
ter maksimum:
h€
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
7
Analitična rešitev:
- določimo koordinate vseh oglišč konveksnega dovoljenega območja:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Analitična rešitev:
- izračunamo vrednost CF v vseh ogliščih:
Največja vrednost CF=650 h€ (na teden) v točki C(15,10), torej pri izdelavi:
- x=15 škatlastih nosilcev in
- y=10 paličnih nosilcev
na teden.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
8
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se maksimum):
V primeru, ko imamo več kot dve (tri) KS:
- grafična rešitev ni možna;
- zgoraj prikazana analitična pot ni več primerna.
Ena izmed možnih metod, ki jo lahko uporabimo v tem primeru, je metoda simpleksov.
Prikazan postopek je možen, ko:
- iščemo maksimum CF,
- neenačbe v omejitvah imajo znak ≤.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
9
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
10
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
11
�
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
12
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
13
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
�
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
14
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:
� Postopek se ponavlja, dokler so v prvi vrstici negativne vrednosti.
� Ker v prvi vrstici ni več negativnih vrednosti, je postopek končan.
� Iz razširjene matrike preberemo rešitev:
� V zadnjem stolpcu prve vrstice preberemo maksimalno vrednost CF: 650 h€.
� V stolpcu x (drugi stolpec), poiščemo vrednost ena (1).
� Enka je v tretji vrstici - iz zadnjega stolpca tretje vrstice: x=15.
� V stolpcu y (tretji stolpec), poiščemo vrednost ena (1).
� Enka je v četrti vrstici - iz zadnjega stolpca četrte vrstice: y=10.
� To pomeni, da bo imelo podjetje maksimalni dobiček v primeru, če bo izdelalo x=15 škatlastih nosilcev in y=10 paličastih nosilcev na teden.
� Dobiček bo v tem primeru znašal f=650 h€.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
15
Opomba:
V primeru, da se išče minimum funkcije, je postopek
drugačen in zahtevnejši.
Primer sledi.
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Primer LINEARNEGA PROGRAMA:
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
16
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
17
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
18
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
19
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
20
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
21
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
22
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
23
�
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
24
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
� Opisan postopek se ponavljamo,
� dokler so v prvi vrstici (razen na prvem in zadnjem mestu) pozitivne vrednosti.
� V obravnavanem primeru v prvi vrstici (razen na 1. in zadnjem mestu) ni več pozitivnih vrednosti �postopek končan.
� Iz razširjene matrike preberemo rešitev:
� V zadnjem stolpcu prve vrstice
� preberemo minimalno vrednost CF: 440.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
18.5.2016
25
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html
Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):
� minimum obravnavanega optimizacijskega problema
� bo nastopil v primeru, če bo sta imeli KS vrednosti:
� x = 4 in
� y = 2.
� Optimalna vrednost bo znašala 440 €.
Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html