Linearno programiranje

Kvantitativne metode u managementu 2011./2012.

Literatura: Babi Zoran (2010): Linearno programiranje, Ekonomski fakultet Split by BB

1. Pojam vektorskog prostora Pod vektorskim prostorom podrazumijeva se skup objekata za koje su uvedene neke operacije i vrijede neka svojstva. Za operaciju zbrajanje vrijede sljedea svojstva:

1) ZATVORENOST (GRUPOIDNOST) , 2) ASOCIJATIVNOST , za svaki X,Y,Z S 3) NEUTRALNI ELEMENT (0) , e nazivamo neutralnim elementom. 4) INVERZNI ELEMENT 5) KOMUTATIVNOST (svojstvo zamjene) X Y Y X, za svaki X,Y S.

Za operaciju mnoenje vrijede sljedea svojstva: 6) (X+Y) = X+Y; R, X,Y S, 7) (+)X = X+ X; , R, X S, 8) (*)X = (X); , R, X,Y S, 9) 1*X = X; 1 R, X S

Dakle, realan vektorski prostor je trojka koja se sastoji od skupa S, preslikavanja ''+'' i preslikavanja ''*''. Elemente skupa S nazivamo vektorima, a realne brojeve R skalarima

2. Euklidski vektorski prostor Rn Skup svih ureenih n-torki realnih brojeva Rn (ili skup svih jednostupanih matrica n-tog reda) tvori vektorski prostor, te njegove elemente nazivamo vektorima. Elemente skupa svih toaka u ravnini R2 ili prostoru R3 moemo nazvati vektorima. Vektorski prostor u kojem je definiran skalarni produkt naziva se euklidski vektorski prostor.

3. Skalarni produkt i svojstva, okomitost vektora Skalarni produkt je mnoenje vektora u prostoru Rn. Kako bi se dva vektora iz Rn mogla mnoiti, treba jedan od njih transponirati. Kao rezultat umnoka dobije se broj, tj. skalar, a takav produkt zove se skalarni produkt. Svojstva su:

a) XT * X = 0

b) XT * X = 0 X = 0 c) XT * Y = YT * X d) (X + Y)T * Z = XT * Z + YT * Z e) (X)T * Y = (XT * Y), R

Dva su vektora okomita, odnosno ortogonalna ako je njihov skalarni produkt jednak nuli.

4. Norma i udaljenost vektora (svojstva) Norma vektora je drugi korijen iz skalarnog umnoka vektora sa samim sobom.

. Udaljenost vektora je norma njihove razlike. , Za funkciju d(X, Y) vrijede sljedea svojstva:

1) d(X, Y) 0 2) d(X, Y) = d(Y,X) 3) d(X, Y) + d(Y, Z) d(X, Z)



5. Linearna kombinacija i linearna zavisnost vektora (definicije) Vektor je linearna kombinacija vektora X1, X2, ..., Xm, gdje su c1, c2, ..., cm skalari, a Xi vektori iz prostora Rn. ci - koeficijenti te linearne kombinacije. Svaki vektor X Rn moe se izraziti kao linearna kombinacija jedininih vektora I1, I2, ..., In te za svaki X Rn vrijedi .

6. Linearna zavisnost i nezavisnost Skup vektora iz prostora Rn je linearno zavisan ako postoji m skalara c1, c2,...,cm koji nisu svi jednaki nuli tako da vrijedi c1X1 + c2X2 + ... + cmXm = 0. Vektori su linearno zavisni ako njihova linearna kombinacija moe biti jednaka nuli, a da koeficijenti te linearne kombinacije nisu svi jednaki nuli. Vektori su linearno nezavisni ako relacija c1X1 + c2X2 + ... + cmXm = 0 vrijedi samo u sluaju c1 = c2 = ... = cm = 0. Vektori su linearno nezavisni ako njihova linearna kombinacija moe biti nula samo u sluaju da su svi koeficijenti te linearne kombinacije jednaki nuli. Tvrdnja: Svaki skup od n+1 vektora u prostoru Rn je linearno zavisan. Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u prostoru Rn jednak je n.

7. Naini odreivanja linearne zavisnosti i nezavisnosti Teorem 1: Vektori X1, X2,, Xm su linearno zavisni ako i samo ako je neki od tih vektora linearna kombinacija preostalih. Teorem 2: Ako je neki skup vektora linearno nezavisan tad je i svaki njegov podskup linearno nezavisan. Pretpostavimo da je skup vektora {A1 , A2, , Am} linearno nezavisan, a njegov podskup {A1, A2, A3}, {m > 3}, linearno zavisan. Iz toga slijedi da postoje realni brojevi a1, a2, a3 koji nisu sve nule tako da vrijedi a1A1 + a2A2 + a3A3 = 0 Uzmimo a4 = a5 = = am = 0 i tada slijedi a1A1 + a2A2 + a3A3 + a4A4 + + amAm = 0, budui da vrijedi a1A1 + a2A2 + a3A3 = 0, a svi ostali ai su jednaki nuli. Dakle, linearna kombinacija vektora A1, A2,, Am jednaka je nuli, a barem jedan od koeficijenata ai nije jednak nuli to znai da su ti vektori linearno zavisni. No, to je u kontradikciji s pretpostavkom da je skup vektora {A1,A2,,Am} linearno nezavisan. Iz toga teorema kao posljedica slijedi korolar da je svaki skup vektora koji ima jedan linearno zavisan podskup i sam linearno zavisan.



8. Baza vektorskog prostora, ortonormirana baza Baza vektorskog prostora je najmanji skup linearno nezavisnih vektora iz kojeg se moe generirati itav taj prostor. Skup vektora , , , je baza vektorskog prostora ako vrijedi:

a) svaki vektor iz tog prostora moe se izraziti kao linearna kombinacija od , , , b) skup vektora , , , je linearno nezavisan.

Ortonomirana baza je baza jedininih vektora kojoj su svi vektori duljine 1 i meusobno okomiti.

9. Prikaz vektora u bazi vektorskog prostora Prikaz vektora u bazi je jedinstven. Dokaz: Neka je ,, , baza vektorskog prostora i neka je Y vektor iz tog prostora. Pretpostavimo suprotno, da se vektor Y moe na dva naina prikazati pomou vektora baze tj. Y = 1X1 + 2X2 + + nXn Y = 1X1 + 2X2 + + nXn Oduzmemo li te dvije relacije imamo: (1 - 1)X1 + (2 - 2)X2 + + (n - n)Xn = 0 Budui su Xi linearno nezavisni slijedi: 1 - 1 = 2 - 2 = = n - n = 0 tj. 1 = 1, 2 = 2,, n = n tj. ne radi se o dva ve o jednom te istom prikazu vektora Y u zadanoj bazi.

10. Baza i ortogonalni vektori Svaki skup od n meusobno ortogonalnih vektora iz Rn, meu kojima nije nul vektor, baza je prostora Rn. Dokaz: Neka su ,, , ; 0 i ortogonalni, tj. Xi

T * Xj = 0, i j. Izjednaimo njihovu linearnu kombinaciju s nulom tj. c1X1 + c2X2 + ... + cnXn = 0 i pomnoimo je skalarno sa X1. Imamo: c1X1T X1 + c2X1T X2 + ... + cn X1T Xn = 0 Zbog ortogonalnosti su svi produkti u toj relaciji, osim prvog, jednaki nuli, pa slijedi: c1X1T X1 = 0 a budui da je 0, slijedi da je c1 = 0. Analogno mnoenjem linearne kombinacije redom sa X2, X3, ..., Xn dobivamo c2 = c3 = ... = cn = 0 tj. vektori X1, X2, ..., Xn su linearno nezavisni i tvore bazu. Skup vektora koji sadri nul vektor je linearno zavisan, pa ne moe biti baza.



11. Bazina rjeenja sustava linearnih jednadbi Rijeiti sustav linearnih jednadbi ekvivalentno je s tim da vektor A0 izrazimo kao linearnu kombinaciju vektora Aj (j=1,2,...,n) gdje su Xj koeficijenti te linearne kombinacije. Odrediti bazino rjeenje tog sustava znai prikazati vektor A0 kao linearnu kombinaciju vektora baze. Da bi odredili bazina rjeenja tog sustava jednadbi potrebno je vektor izraziti u bazi koja je sastavljena od vektora Aj.

12. Naini odreivanja bazinih rjeenja Dva su naina za odreivanje bazinih rjeenja:

a) ispitivanjem jesu li vektori linearno nezavisni, odnosno tvore li bazu, te koliko njih tvori bazu toliko imamo i bazinih rjeenja

b) preko Gauss-Jordanovih formula eliminacije Ukoliko je broj komponenti bazinog rjeenja koje su razliite od nule manji od m (broj jednadbi) radi se o degeneriranom rjeenju. Bazino rjeenje sustava linearnih jednadbi je nedegenerirano ako ima tono m komponenti koje su razliite od nule.



13. Gauss-Jordanove formule eliminacija (osnovni pojmovi i prikaz vektora u bazi pomou G-J formula) Ako imamo zadan sustav od m linearnih jednadbi sa n nepoznanica (m n) moemo ga napisati i kao X1A1 + X2A2 + ... + XnAn = A0 Odrediti bazina rjeenja tog sustava ekvivalentno je s tim da izrazimo vektor A0 kao linearnu kombinaciju vektora baze, tj. iz skupa od n vektora Aj odrediti one podskupove od m vektora Aj koji su linearno nezavisni (tvore bazu) i tada odrediti koeficijente razvoja vektora A0 u toj bazi, a budui da je prikaz vektora u bazi jedinstven, za svaku takvu moguu bazu postoji samo jedno bazino rjeenje. Broj bazinih rjeenja ovisi o tome koliko podskupova od m vektora Aj (j = 1, ..., n) tvori bazu u prostoru Em, tj. koliko od njih su linearno nezavisni. Vektor A0 ne znamo izraziti pomou vektora Aj, ali znamo pomou jedininih vektora. Dakle, A0 = Ideja odreivanja bazinog rjeenja je da se postupno zamijene jedinini vektori sa m vektora Aj. Ako je to mogue, dobili smo vektor A0 izraen pomou m vektora Aj i odreeno je jedno od bazinih rjeenja. U protivnom, ili sustav nema rjeenja ili se A0 moe izraziti s manje od m vektora Aj. Pretpostavimo li da bazni vektor Ir elimo zamijeniti s As, s tim da je koeficijent ars 0, potrebno je jedan vektor (Ir) izbaciti iz baze. U s-tom stupcu tablice moraju biti sve nule, osim jedinice na presjeku s-tog stupca i r-tog retka, a da bi dobili jedinicu na tom mjestu, r-ti redak dijelimo na ars, pa je formula za transformaciju r-tog retka arj 0 Iza toga dobivamo nule u ostalim elementima s-tog stupca. Formule za transformaciju ostalih redaka su , , 0, 1, 2, . Uvrtavajui u tu relaciju formulu

, 0, 1, , dobivamo

, , 0, 1, ,

Te formule poznate su kao Gauss-Jordanove formule eliminacije i pomou njih dobivamo koeficijente razvoja vektora Aj u novoj bazi. Iza toga je potrebno dokazati da je skup vektora stvarno baza u prostoru Em, tj. da su vektori linearno nezavisni.

14. Gauss-Jordanove formule (teorem o izmjeni vektora u bazi) Neka su P1, P2,...,Pm linearno nezavisni i svaki od vektora Aj (j=0,1,2,...,n) moe se izraziti kao linearna kombinacija tih vektora, tj. . Ako je ars 0 tada i vektori P1, P2, ...,Pr-1, As, Pr+1, ..., Pm tvore bazu i koeficijenti razvoja vektora Aj u novoj bazi dobiju se po Gauss-Jordanovim formulama eliminacije:

, 0, 1, , i

, , 0, 1, ,



15. Konveksni skupovi (osnovni pojmovi, konveksna kombinacija, geometrijska interpretacija) Definicija: Skup vektora je konveksan ako vrijedi: X1, X2 C => 1X1 + 2X2 C pri emu je 1, 2 0 i 1 + 2 = 1. Konveksna kombinacija je linearna kombinacija r vektora iz En, . . . , za koju vrijedi i Skup vektora je konveksan ako sadri svaku konveksnu kombinaciju svojih elemenata. Konveksna kombinacija dvaju vektora (toaka) u ravnini je spojnica tih toaka i sve konveksne kombinacije dvaju vektora se nalaze na spojnici dok se ostale kombinacije nalaze izvan segmenta, ali na pravcu koji prolazi tim dvjema tokama. Konveksni skupovi: krug, trokut, pravokutnik. Nekonveksni skupovi: polumjesec, kruni vijenac.

16. Hiperravnina Hiperravnina je skup H za kojeg vrijedi: : , , . Dakle, to je skup svih vektora iz Rn koji skalarno pomnoeni sa zadanim vektorom A kao rezultat daju skalar b. Ako je b = 0, hiperravnina je skup svih vektora koji su okomiti na vektor A. U prostoru R2 hiperravnina je pravac, a u prostoru Rn je konveksan skup.

17. Toke konveksnog skupa, konveksni poliedar, konveksna ljuska Toke konveksnog skupa se dijele na unutarnje i granine, a od graninih posebno su vane ekstremne toke. X je ekstremna toka konveksnog skupa C ako se X ne moe izraziti kao konveksna kombinacija drugih dviju toaka Y i Z iz skupa C, gdje Y mora biti razliito od Z. Geometrijski to znai da ekstremna toka X ne lei na spojnici dviju toaka skupa C. Konveksni poliedar je konveksni skup koji je ogranien i ima konaan broj ekstremnih toaka. Konveksna ljuska skupa S je najmanji konveksni skup koji sadri skup S, a moe se definirati kao skup svih konveksnih kombinacija vektora iz skupa S tj.

| , 1,

0



18. Standardni problem LP i njegov dual Problem linearnog programiranja moe biti ili problem maksimuma ili problem minimuma. Standardni problem maksimuma je problem u kojem su sva ogranienja osim uvjeta nenegativnosti tipa '''' ili prikazano u matrinom obliku:

Max CTX AX B X 0.

Dual standardnog problema maksimuma je standardni problem minimuma u kojem su sva ogranienja osim uvjeta nenegativnosti tipa '''' i javlja se u sljedeem matrinom obliku:

MinYTB YTA CT

Y 0 Original ima n varijabli i m ogranienja, dok u dualu imamo n ogranienja i m varijabli. Funkcija cilja duala dobije se mnoei desnu stranu ogranienja originalnog problema s novim vektorom varijabli.

19. Mogua i optimalna rjeenja problema LP Skup svih vektora S={XRn / AX B, X 0} naziva se skup moguih rjeenja danog problema LP. Mogui vektor je optimalan ako maksimizira linearnu funkciju Max CTX , tj. X* je optimalan ako vrijedi: CT X* = Max CT X. Svakom problemu maksimuma pridruen je i problem minimuma koji se zove dual originalnog problema.

20. Osnovni teoremi LP Teorem 1: Ako su X i Y mogui vektori (mogua rjeenja) para dualnih problema Max CTX, AX B, X 0 i MinYTB, YTA CT, Y 0, tada je CTX YTB Teorem 2 (kriterij optimalnosti): Ako su i mogua rjeenja problema linearnog programiranja Max CTX, AX B, X 0 i njegovog duala MinYTB, YTA CT, Y 0 takva da je CT = T, tada su i i optimalna rjeenja tog para dualnih problema. Teorem 3 (fundamentalni teorem dualiteta) Ako su neki problem LP i njegov dual mogui (imaju mogue rjeenje), tada oba imaju optimalno rjeenje i optimalne vrijednosti funkcija cilja su im jednake. Ako jedan od ta dva problema nije mogu, tada drugi nema optimalno rjeenje.



21. Grafika metoda rjeavanja problema LP Grafikom metodom mogue je rijeiti problem ukoliko ima samo dvije varijable. Zadatak linearnog programiranja je od beskonano mnogo toaka izabrati jednu (ili vie njih) za koju zadana funkcija cilja ima maksimalnu (ili minimalnu) vrijednost. Funkcija cilja je linearna funkcija dviju varijabli z = f(x1, x2) i njen grafiki prikaz je neka ravnina u prostoru R3. Problem LP sastoji se u tome da se odredi Max z = f(x1, x2), ali samo za one toke iz R2 koje se nalaze u skupu moguih rjeenja S. Odrediti optimalno rjeenje problema LP s dvije varijable znai odrediti onu toku iz skupa koja je najvie udaljena od ravnine z = f(x1, x2) u prostoru R3. Ako je skup moguih rjeenja problema LP konveksni poliedar, tad ekstrem uvijek postoji i postie se u jednoj od ekstremnih toaka. Ako se ekstrem postie u 2 ekstremne toke, tada se postie i za svaku njihovu konveksnu kombinaciju. Ako S nije konveksni poliedar ekstrem moe i ne postojati, ali ako postoji postie se u jednoj ekstremnoj toki (ili vie njih) .

22. Kanonski problem LP i ekvivalencija sa standardnim problemom Kanonski problem LP razlikuje se od standardnog problema u tome da su sva ogranienja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jednadbi.

Problem maksimuma standardni kanonski Max CTX Max CTX AX B AX + U = B X 0 X,U 0

Problem minimuma standardni kanonski Min YTB Min YTB YTA CT YTA - VT = CT

Y 0 Y,V 0 Vektor U, je vektor dodatnih ili oslabljenih varijabli, za razliku od komponenata vektora X, koje zovemo strukturnim varijablama. Vektor V je vektor varijabli vika koje pokazuju koliko je lijeva strana ogranienja vea od desne.



23. Princip oslabljene komplementarnosti (korolar i teorem) Teorem: Neka je i , gdje su i mogua rjeenja para dualnih problema. Rjeenja i su optimalna ako i samo ako je 0. Korolar koji je poznat pod nazivom princip oslabljene komplementarnosti: Barem jedna od dviju korespondentnih komponenti od i jednaka je nuli, a isto vrijedi i za i . Korolar nam omoguava da optimalno rjeenje dualnog problema dobijemo bez rjeavanja tog problema, ako smo na neki nain dobili optimalno rjeenje originala.

24. Opi problem LP i njegov dual (osnovne postavke) U opem problemu LP-a (max ili min) ogranienja mogu biti bilo kojeg tipa i za razliku od standardnog problema, u istom problemu se mogu pojaviti ogranienja tipa '''', '''', ali i jednadbe. Neke varijable mogu, a neke ne moraju imati ogranienja nenegativnosti. Uobiajeno je da se opi problem maksimuma prevede u oblik gdje su sve nejednadbe tipa '''', a u opem problemu minimuma sve nejednadbe se prevode u ''''.

25. Opi problem LP i njegov dual (matematika formulacija) Problem se moe predstaviti u matrinom obliku na sljedei nain:

Max CTX

AiX bi, i S AiX = bi, i cS

Xj 0, j T Dual ima sljedei oblik:

Min YTB YTAj cj, j T YTAj = cj, j cT

Yi 0, i S Ako je u originalu varijabla xj imala ogranienje nenegativnosti, tada e j-to ogranienje u dualu biti tipa '''', a ako varijabla xj u originalu nije imala ogranienje nenegativnosti, tada je odgovarajue ogranienje u dualu jednadba.



26. Osnovne postavke simpleks metode Simpleks metoda je iterativna metoda kojom se iz koraka u korak poboljava rjeenje. Sastoji se od 4 koraka:

1) konstruira se neko inicijalno (poetno) mogue rjeenje 2) primjenjuje se test da se odredi je li to optimalno rjeenje 3) ako rjeenje nije optimalno metoda daje uputu kako ii do boljeg rjeenja 4) nakon konano mnogo koraka dolazi se do optimalnog rjeenja ili se utvruje da ono ne

postoji Simpleks metoda radi samo s kanonskim problemom te samo s bazinim rjeenjima tog kanonskog problema.

27. Teorem 2 za simpleks metodu (diskusija) Ako je za neko j cj > zj (zj - cj < 0) tada se moe konstruirati jedan skup moguih rjeenja, tako da za svaki lan tog skupa vrijedi z > z0, gdje je gornja ograda od z konana ili beskonana. Teorem tvrdi da dokle god postoji neki vektor Aj iz danog problema LP za kojega je vrijednost odgovarajueg koeficijenta iz funkcije cilja (cj) vea od izraza zj mogue je dobiti neka druga rjeenja koja su bolja od postojeeg z > z0. Pri tome gornja ograda od z moe biti i beskonano velika, tj. moe se dogoditi da dani problem LP nema optimalno rjeenje.

28. Objanjenje relacije

Relacija predstavlja vektor A0 prikazan pomou vektora Ai (i = 1,2,...,m) i vektora Aj i to s pozitivnim komponentama, odnosno predstavlja mogue rjeenje problema LP-a:

Max CTX AX = A0

X 0 Vektor A0 je prikazan pomou m vektora baze A1, A2,...,Am i jednog novog vektora Aj koji moe biti bilo koji od nebaznih vektora.

29. Objanjenje relacije

Relacija predstavlja vrijednost funkcije cilja za novo rjeenje. Ako je zadovoljena postavka (cj > zj) i uz pretpostavku da je > 0, slijedi da je nova vrijednost funkcije cilja vea nego to je bila poetna tj. .



30. Konstrukcija simpleks tabele (diskusija) Postupak simpleks procedure za problem maksimuma moe se sistematizirati na sljedei nain:

1) Odrediti jedno bazino mogue rjeenje problema LP-a 2) Testirati to rjeenje raunajui izraze (cj - zj) odnosno (zj - cj) 3) Ako je (zj - cj) 0 dano rjeenje je optimalno i problem je rijeen

4) Ako postoji neki Aj za kojega je (zj - cj) < 0 vrijednost funkcije cilja moe se poveati

uvoenjem tog vektora u bazu 5) U bazu se uvodi onaj vektor As za kojega vrijedi:

max | | max , 0

6) Iz baze izlazi onaj vektor Ar za kojega je minimalan kvocijent

min

, 0

to osigurava da novo rjeenje bude bazino i mogue

7) Proces zavrava ako je rjeenje optimalno (zj - cj) 0 ili ako je tij 0 tj. ako nema optimalnog rjeenja,

8) Ako je pri tome (zj - cj) = 0, za neki vektor Aj koji nije u bazi, tada postoji i alternativno optimalno rjeenje Za problem minimuma razlika je samo u tome da se u novu bazu uvodi vektor za kojega je (zj - cj) > 0, a optimalno rjeenje se dobiva u sluaju kada su sve razlike (zj - cj) 0.

31. Kriteriji za izbor vektora koji ulazi u bazu (obini i egzaktni)

Kriteriji za izbor vektora koji ulazi u bazu s ciljem poboljanja vrijednosti funkcije cilja Maksimum Minimum

0, 0 0, 0 Egzaktni Egzaktni

max max Obini Obini

max max

32. Kriterij za izbor vektora koji izlazi iz baze

min

, 0

33. Kriteriji optimalnosti za problem maksimuma i minimuma, alternativno optimalno rjeenje,

signal da nema optimalnog rjeenja zj - cj 0 kriterij maksimuma (nema boljeg rjeenja odnosno rjeenje je optimalno) zj - cj < 0 kriterij minimuma zj - cj = 0 alternativno optimalno rjeenje tij 0 nema optimalnog rjeenja



34. Charnesova M procedura Ako originalni problem minimuma ima bar jedno mogue rjeenje, tada i proireni problem ima nenegativno rjeenje. Ako ne postoji mogue rjeenje originalnog problema, tada e rjeenje proirenog problema sadravati bar jednu pozitivnu artificijelnu varijablu wk > 0, tj. neemo moi izbaciti iz baze sve artificijelne vektore. Takav nain rjeavanja problema naziva se Charnesova M procedura. U prvoj fazi se oslobaamo artificijelnih varijabli. Tek kada artificijelne vektore wi izbacimo iz baze, dobivamo poetno bazino rjeenje originalnog problema i s njim nastavljamo simpleks proceduru. Kada je vektor wi jednom izaao iz baze on se vie u nju ne vraa.

35. Simpleks metoda i opi problem LP Rjeavanje opeg problema LP simpleks metodom zahtjeva malo opreza kod postavljanja poetnog bazinog rjeenja. Budui da u simpleks tablicama ispod vektora A0 itamo vrijednosti varijabli, oito je da s desne strane ogranienja ne smijemo imati negativne brojeve, a ako se pojave, ogranienje je potrebno pomnoiti s (-1). Na poetku problem prevodimo u kanonski oblik, a kod problema maksimuma artificijelne varijable u funkciji cilja e imati veliki negativni koeficijent (-M, M >> 0), jer je njegova svrha pogoravanje vrijednosti funkcije cilja, s namjerom da se natjera simpleks procedura da to prije artificijelne varijable dobiju vrijednost nula, tj. da odgovarajui artificijelni vektori iziu iz baze.

36. Simpleks metoda za probleme bez ogranienja nenegativnosti Kada nema ogranienja nenegativnosti, problem je mogue rijeiti na dva naina:

a) Problem treba prevesti u kanonski oblik i iz tog oblika supstituirati varijablu koja nema ogranienje nenegativnosti pomou ostalih. Problem se svodi na problem LP u kojem sve varijable imaju ogranienje nenegativnosti i koji ima ak jedno ogranienje manje nego originalni problem. Novina je konstanta koja se pojavljuje u funkciji cilja, ali ona ne ometa rjeavanje problema. Potrebno je samo na kraju od dobivene optimalne vrijednosti z'* oduzeti tu konstantu.

b) Supstituiranjem varijable koja nema ogranienje nenegativnosti s razlikom dviju novih nenegativnih varijabli.



37. Postavka problema ishrane Kod problema ishrane rije je o problemu minimuma. Potrebno je odrediti program ishrane koji e minimizirati ukupne trokove ishrane i zadovoljiti sve minimalne zahtjeve za hranjivim sastojcima. Problem ishrane se moe formulirati na slijedei nain: Funkciju cilja predstavljaju ukupni trokovi ishrane koje treba minimizirati, tj. Budui da u jednoj jedinici j-te vrste hrane ima aij jedinica i-tog hranjivog sastojka umnoak predstavlja koliinu tog hranjivog sastojka u jedinica hrane , pa se zahtjev da u obroku, koji se sastoji od svih vrsta hrane, bude barem jedinica hranjivog sastojka , moe prikazati sljedeim skupom ogranienja:

, 1, 2, ,

, 1, 2, , Neka se izbor hrane provodi izmeu n artikala prehrane H1, H2, ..., Hn, koji su raspoloivi na danom tritu. Trine cijene po jedinici j-tog artikla prehrane su bj. Hranjive elemente koji se nalaze u tim artiklima prehrane oznaimo s E1, E2, ..., Em, a neka je aij iznos i-tog hranjivog elementa sadranog u jedinici j-tog artikla prehrane. Neka je ci minimalni zahtjev za i-tim hranjivim elementom, tj. koliina i-tog hranjivog elementa koja mora biti sadrana u optimalnom obroku. Oznaimo s yj broj jedinica j-te vrste hrane. Budui da simpleks metoda daje samo bazina rjeenja, a ona imaju najvie m komponenti koje su razliite od nule, problem ishrane e biti realniji to je broj ogranienja (m) vei.

38. Interpretacija dopunskih i dualnih varijabli u optimalnom rjeenju Optimalne vrijednosti dualnih varijabli vidimo u posljednjem retku tablice te nam pokazuju za koliko bi se poveala vrijednost funkcije cilja ako bi se raspoloivost odgovarajueg resursa poveala za jednu jedinicu. Zovu se i cijene u sjeni (shadow prices) jer pokazuju koliko bi se maksimalno isplatilo platiti za dodatnu jedinicu nekog resursa, i to samo za one resurse koji su iskoriteni u potpunosti. Optimalne vrijednosti dopunskih varijabli oznaavaju kapacitet iskoritenosti, stupanj iskoritenosti. Vidimo ih u zadnjem stupcu tablice.

39. Analiza osjetljivosti Analiza osjetljivosti ili postoptimalna analiza je postupak kojim se odreuje osjetljivost dobivenog rjeenja na promjenu nekih ulaznih parametara modela. Najee promjene su sljedee:

1) Promjena koeficijenata u funkciji cilja 2) Promjene u konstntama s desne strane ogranienja 3) Uvoenje nove aktivnosti 4) Promijena tehnikih koeficijena



40. Osnovni pojmovi problema transporta Transportni problem javlja tamo gdje je potrebno prevesti homogeni teret iz skupa ishodita u skup odredita uz najnie mogue trokove. Definicija: Neka postoji m ishodita i n odredita. S ai oznaimo koliinu ponude i-tog ishodita, a s bj koliinu potranje u j-tom odreditu. S xij oznaimo koliinu tereta koja se transportira iz i-tog ishodita u j-to odredite, a s cij jedinini troak transporta, tj. troak transporta jedinice tereta iz i-tog ishodita u j-to odredite. Pretpostavke na kojima se temelji problem transporta su:

1) homogenost proizvoda 2) trokovi transporta su linearni, odnosno trokovi svake poiljke xij iz i-tog ishodita u j-to

odredite proporcionalni su veliini poiljke i iznose cij * xij, gdje su cij konstantni jedinini trokovi

3) roba se prevozi direktno iz ishodita u odredite, nema pretovara

41. Matematika formulacija problema transporta kao problema LP Problem transporta se sastoji u tome da se odredi koliina robe xij tako da potranja svakog odredita bude zadovoljena, ponuda ishodita iskoritena, a trokovi transporta minimalni tj.

Min , i =1,2,,m , j =1,2,,n

xij 0, i, j

Pri tome relacija , i=1,2,,m znai da koliina tereta koja se iz i-tog ishodita prevozi u sva odredita (xi1 + xi2 + ... + xin) mora biti jednaka ponudi tog ishodita ai, a relacija , j=1,2,,n da koliina tereta koja se iz svih ishodita prevozi u j-to odredite (x1j + x2j + ... + xin) mora biti jednaka potranji tog odredita bj.



42. Metode za odreivanje poetnog rjeenja kod problema transporta Problem transporta se rjeava u dva koraka:

a) odredi se poetno bazino rjeenje b) poboljava se i testira njegova optimalnost

Za konstrukciju poetnog rjeenja koriste se 4 metode, i to:

a) Pravilo sjeverozapadnog kornera Bazino rjeenje se konstruira na nain da tablicu transporta punimo od sjeverozapadnog kuta tako da u prvo mogue polje unosimo maksimalno moguu koliinu tereta, ovisno o ponudi ishodita i potranji odredita.

b) Metoda uzajamno preferiranih tokova Za neki tok kaemo da je preferiran ako je jedinini troak za tu rutu najmanji i u svom retku i u svom stupcu, a poetno rjeenje postavljamo tako da na rute koje su najjeftinije lociramo to je mogue vie tereta. (metoda najmanjih trokova)

c) Vogelova metoda Ona rasporeuje koliine tereta na rute gdje su jeftiniji trokovi transporta, a potrebno je za svako ishodite i odredite izraunati tzv. kazne za nekoritenje najjeftinije rute. To je razlika izmeu dva najmanja troka u odgovarajuem retku ili stupcu. Nakon odreivanja kazni u retku ili stupcu koji ima najveu kaznu bira se polje s najmanjim jedininim trokom i u njega se unosi prva bazina varijabla.

d) Kotzigova metoda Moe se primijeniti kada imamo samo dva ishodita i dva odredita te njenom primjenom uvijek dobivamo optimalno rjeenje u prvom koraku.

43. Metoda skakanja s kamena na kamen Potrebno je izraunati diferencije za nebazine vektore (prazna polja) i to tako da za svako polje traimo zatvoreni put kojim se skaui s kamena na kamen vraamo na to polje na sljedei nain:

a) za odabrano prazno polje traimo kamen u istom retku iz kojega se moe skoiti na kamen u istom stupcu;

b) nastavljamo kretanje s kamena u tom stupcu na kamen u istom retku s kojega ponovo moemo skoiti na kamen u istom stupcu;

c) nastavljamo na taj nain, kreui se alternativno prvo u stupcu, zatim u retku, dok ne stignemo na kamen koji se nalazi u istom stupcu kao i poetno prazno polje za koje elimo izraunati diferenciju zij - cij. Vektor koji izlazi iz baze biramo tako da oznaimo prvi kamen s ''+'' drugi s '''' i tako dalje do praznog polja koje oznaimo s '''' i na tom putu biramo najmanji pozitivno oznaeni kamen



44. MODI metoda i dual problema transporta Budui da svakom ogranienju originalnog problema pripada jedna varijabla u dualnom problemu, oznaimo dualne varijable za taj problem tako da ogranienjima ishodita pridruimo varijable u1, u2, u3, a ogranienjima za odredita v1, v2, v3 pri emu dualne varijable ui i vj nemaju ogranienje nenegativnosti. Budui da za za sve bazine varijable (kamenja) vrijedi zij - cij = 0, to znai da za sve bazine varijable vrijedi i relacija: (ui + vj) - cij = 0 (ui + vj) = cij Diferencijacije zij - cij se raunaju na osnovu sljedee relacije: zij - cij = (uic+ vj) - cij. Dobivene vrijednosti dualnih varijabli zapisujemo na margine tablice transporta tako da nam bude olakano raunanje diferencija zij - cij za prazna polja. Za svako prazno polje tada zbrajamo odgovarajue varijable ui i vj i od toga oduzimamo jedinini troak koji se nalazi u gornjem lijevom uglu svakog praznog polja.

45. Otvoreni problem transporta, naini rjeavanja, interpretacija fiktivnih veliina Pretpostavka da je ukupna ponuda jednaka ukuponoj potranji ne mora biti uvijek ispunjena, i tada se radi o otvorenom modelu transport. U sluaju kad je ukupna ponuda manja od ukupne potranje, tada se u model uvodi jedno fiktivno ishodite s ponudom i jedininim trokom , . Jedinini trokovi tog nepostojeeg ishodita moraju biti jednaki nuli iz razloga da ne bi utjecali na odabir optimalnog rjeenja. Koliina tereta koja se bude nalazila na nekoj ruti iz fiktivnog ishodita ustvari nee biti isporuena, odnosno neko odredite dobit e manje tereta nego to potrauje. U sluaju kad je ukupna ponuda vea od ukupne potranje, u model se uvodi fiktivno odredite koje preuzima na sebe razliku izmeu ponude i potranje. Potranja tog odredita je a jedinini trokovi transporta iz svakog ishodita u to odredite su , . Optimalno rjeenje sadravat e neku koliinu tereta koja e se transportirati u to nepostojee odredite. To znai da neko ishodite nee iscrpiti svu svoju ponudu , tj. na zalihama e ostati neka koliina tereta.

46. Degeneracija u problemu transporta esta pojava kod rjeavanja problema transporta je pojava degeneriranog bazinog rjeenja. Ono povlai za sobom da u tablici transporta nemamo (m + n 1) pozitivnu bazinu varijablu, nego manje od tog broja. Razlog pojave degeneracije je u tome da je neka od parcijalnih suma od ai jednaka parcijalnoj sumi od bj. Da bi se degeneracija izbjegla, potrebno je izmijeniti ponudu i potranju za neki mali pozitivni broj > 0. Ponudu svakog ishodita poveat emo za , a potranja svih odredita, osim zadnjeg, ostaje nepromjenjena. Potranja zadnjeg odredita poveava se za onoliko puta po koliko je bilo ishodita. Nakon to se dobije optimalno rjeenje, zanemarit emo mali pozitivni broj , odnosno pustit emo da 0 .



47. Problem optimalne asignacije (matematiki model) Problem optimalne asignacije sastoji se u tome da se n ljudi rasporedi na n poslova s namjerom da se maksimizira njihova ukupna efikasnost. Problem se svodi na maksimiziranje sume efikasnosti, i moemo ga napisati na sljedei nain:

; 1, 2, ,

; 1, 2, ,

Problem optimalne asignacije moe biti i problem minimuma i problem maksimuma, ovisno o tome eli li se maksimizirati ukupna efikasnost ili minimizirati ukupni troak.

48. Maarska metoda Kod ove metode radi se o problemu minimuma optimalne asignacije kod kojega je prvi korak maarske metode redukcija matrice relativne efikasnosti. To se provodi na nain da se minimalni element u svakom retku oduzme od svih elemenata tog retka, a zatim se isto radi sa stupcima. Tako se dobiva reducirana matrica koja u svakom retku i svakom stupcu ima barem jednu nulu. Te nule predstavljaju polja koja su na neki nain najjeftinija pa su kandidat za asignaciju. Asignacija se vri na nain da traimo retke koji imaju samo jednu nulu i nju asigniramo, a istovremeno kriamo sve nule u stupcu u kojem se nalazi asignirana nula. Kad smo asignirali neku 0 tj. polje u kojem se ta 0 nalazi npr. (1,2) to znai da smo prvom izvoau dali da izgradi drugu dionicu, pa tu drugu dionicu ne moe dobiti vie nijedan izvoa i zato trebamo kriati sve 0 u tom stupcu.

49. Problem trgovakog putnika (matematiki model) Neki trgovaki putnik kree iz jednog grada u drugi i eli obii jo n-1 gradova te se na kraju vratiti u poetni grad. Trgovaki putnik mora obii svih n gradova, a u svaki grad moe otii samo jedanput, a trokovi njegova putovanja ili duljina njegova krunog puta moraju biti minimalni. Problem se moe zapisati isto kao problem optimalne asignacije.

50. Metoda grananja i ograivanja Ova metoda sastoji se u tome da se skup svih moguih krunih putova podijeli na dva disjunktna podskupa i za svaki od njih se izrauna donja ograda na trokove putovanja, ili duljinu puta. Podskup s manjom gornjom ogradom se ponovo dijeli na dva podskupa i taj proces se nastavlja dok se ne dobije samo jedan kruni put ija je ograda manja ili jednaka) od svih gornjih ograda za ostale podskupove. Proces particije prikazuje se kao grananje drveta, a podskupovi kao vorovi, te odatle i dolazi naziv ove metode.

Documents

Linearno programiranje