1

Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo

KKTS - LASOK

Optimiranje nosilnih konstrukcij

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• boris.jerman@fs.uni-lj.si

(Tema/Subject: NK - ...)

Uklon in zvrnitev enoosnih nosilnih elementov

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.

2

SNOVANJE IN DIMENZIONIRANJE TLAČNO OBREMENJENIH

NOSILNIH ELEMENTOV

Nosilni elementi, ki so obremenjeni izključno s tlačno obremenitvijo, imajo sledeče lastnosti:

• niso prvenstveno podvrženi nenadnemu rušenju zaradi nagle plastifikacije ali širjenja razpok;

• morebitne razpoke so nevarne šele v pogojih nestabilnosti ali ob prisotnosti drugih obremenitev;

• občutljive so na različne vrste nestabilnosti.

2

3

Poznamo naslednje nestabilnostne pojave tlačno obremenjenih elementov:

• upogibni uklon enoosnih nosilnih elementov (NE) vseh tipov prečnega prereza (PP);

• upogibno-torzijski uklon enoosnih NE odprtega PP; • zvrnitev upogibnih nosilcev odprtega PP; • izbočitev ravnih tenkostenih delov enoosnih NE ter večosnih

tenkostenih nosilnih konstrukcij; • nestabilnost oblike tenkostenih enoosnih in večosnih NE; • izbočitev enkrat in dvakrat ukrivljenih tenkostenih delov enoosnih

NE in ploskovnih konstrukcij.

3b

Nekaj slik nestabilnostnih pojavov:

3

4

Uklon centrično tlačno obremenjenih

enoosnih NE

Vitkost:

ˇ

Večji “i” in manjši “l” se pri enakem “A” doseže z votlimi elementi (okrogle, kvadratne in pravokotne cevi ter varjeni elementi škatlastega prereza).

8

Uklonska dožina

4

9

a

k < ∞

k

k

k

3d

Uklonska dolžina :

http://www.google.si/imgres?q=buckling&um=1&hl=sl&biw=1204&bih=668&tbm=isch&tbnid=s1uCSOXh04IGcM:&imgrefurl=http://emergingengineeringgroupm.blogspot.com/2010/04/buckling-example.html&docid=E-Sa3M8zmCzfJM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_1wpR1xULtQM/S9GFM1eVP2I/AAAAAAAAADg/PiBGTdDh9GY/s1600/Buckling.JPG&w=800&h=600&ei=psTETpCtEonbsgbVm83hCw&zoom=1&iact=hc&vpx=906&vpy=278&dur=552&hovh=194&hovw=259&tx=139&ty=102&sig=109055628936960215159&page=5&tbnh=134&tbnw=178&start=74&ndsp=18&ved=1t:429,r:11,s:74

5

10

(za popolnoma raven tlačni element iz idealno elastičnega gradiva, ki ima mejo plastičnosti v neskončnosti)

Rešitev te homogene diferencialne enačbe je:

Diferencialna enačba uklona

11

Enačba (Euler) poda teoretsko vrednost kritične tlačne obrementive � � ni primerna za praktično uporabo (veliki faktorji varnosti).

6

11b

Že v 19. stoletju Karman omeji nosilnost tlačnih elementov z mejo plastifikacije elementa.

Tetmayer zmanjša nosilnost za manj vitkte palice (mejna vitkost za jeklo 105, za les 100)

V drugi polovici 20. stoletja so v razvitih evropskih državah, v severni Ameriki in na Japonskem opravili ogromno preskusov. Rezultat teh raziskav je bilo pet evropskih krivulj za zmanjševalni faktor KKKK (=kapa) glede na mejo plastičnosti elementa.

Uporaba:

12

Evropske uklonske krivulje (za določitev zmanjševalnega faktorja)

Zm

an

jšev

aln

ifa

kto

r K

Relativna (brezdimenzijska) vitkost

7

13

Evropske uklonske krivulje

Parameter, ki loči krivulje med seboj, je nadomestna neravnost tlačenega elementa w0, ki jo popisuje faktor geometrijske nepopolnosti α.

α zajema neravnosti elementa, zaostale napetosti, nesimetričnost prereza, debelino delov profila in druge okoliščine. Vrednosti tega parametra so:

α

w0

13b

Kateri uklonski krivulji izdelek pripada, je v splošnem odvisno odvrste in kvalitete tehnologije. V SIST EN 1993-1-1 je določeno (1/2):

8

13c

V SIST EN 1993-1-1 je določeno (2/2):

14

“Plastična” vitkost (1/2):

����

je tista vitkost elementa λ, pri kateri sovpadeta kritična

uklonska sila in tlačna sila na meji plastifikacije:

�

�

�

9

15

“Plastična” vitkost (2/2):

����

�

�

�

( je tista vitkost elementa, ko sovpadeta kritična uklonska sila in sila v elementu na meji plastifikacije.)

15b

Relativna vitkost :

je kvadratni koren razmerja med tlačno silo na meji

plastifikacije in dejansko kritično uklonsko silo:

10

16

Zmanjševalni faktor se lahko tudi izračuna:

(za optimiranje je to mnogo primernejše)

pri

pri

Pri tem je pomožna količina podana z izrazom:

17

Mejna uklonska sila:

Kriterij dimenzioniranja:

Vrednost K naglo pada, ko se vrednost λ povečuje preko 1.

Ekonomičnost zato narekuje, da se v praksi relativna vitkost omeji: 1. ne preseže vrednosti 1,5 za glavni nosilni element v konstrukciji;2. ne preseže vrednosti 2,5 za podrejene elemente.

11

17b

Diagram nekaterih veličin iz preračuna

18a

Kombinirana tlačna in upogibna obremenitev

Čista centrična tlačna obremenitev zelo redka.

Kombinirana tlačna + strižno-upogibna obremenitev.

Ker so strižne obremenitve navadno majhne glede na strižnonosilnost se jih običajno zanemari.

Upogibni moment � prečne deformacije sicer ravne osi elementa.

Hkratna prisotnost tlačne obremenitev in ukrivljene osi � povečanjeprečnih deformacij osi.

12

18b

Kombinirana tlačna in upogibna obremenitevZnano:

• tri vplivne komponente splošnega obremenitvenega vektorja upogibno-tlačnega nosilca:

N, My in Mz;

• porazdelitev teh obremenitev vzdolž elementa:

N=N(x),

My = My (x),Mz = Mz (x).

x-os … vzdolžna os;

y-os … upogibno močnejša os;

z-os … upogibno šibkejša os;

N ....... osna tlačna sila;

My .... upogibni moment okoli y-osi (upogibno močnejše);

Mz .... upogibni moment okoli z-osi (upogibno šibkejše).

19

Te komponente spremljajo naslednje največje napetosti v prerezu:

Trije klasični kriteriji preverjanje varnosti:

Prvi kriterij predstavlja kombinacijo napetosti vseh treh prispevkov, kot da stabilnostni problem ne obstaja.

13

20

Druga dva kriterija upoštevata tudi stabilnostni problem elementa:

Koeficienta pred napetostjo zaradi tlačne sile upoštevata vse neidealnosti elementa:

αi; (i=y, z) … faktor geometrijske nepopolnosti (evropske krivulje),

<1 … izraz v imenovalcu povečuje vrednost koeficienta kN (glej _____naslednjo prosojnico)

… relativna napetost (glej naslednjo prosojnico)

21

Parcialni varnostni faktor na strani obremenitve (≥1).Z njim se dejansko obremenitev množi, da je preračun navarni strani.

Dodatek:

SIST EN 1993. Projektiranje jeklenih konstrukcij.

Ponderirana tlačna napetosti:

Parcialni varnostni faktorji:

Parcialni varnostni faktor na strani nosilnosti materiala (≥1).Z njim se dejansko nosilnost deli, da je preračun na varnistrani.

14

21b

Koeficienta in imata v imenovalcu izraz, ki se naglopribližuje vrednosti nič, če se ponderirana tlačna napetostpribližuje kritični uklonski napetosti:

Koko blizu sta si vrednosti ponderirane tlačne napetostiin meje plastičnosti popisuje njuno razmerje - relativna napetost:

Kako blizu sta si vrednosti ponderirane tlačne napetosti in kritične uklonske napetosti je popisano na sledeč način:

21c

Koeficienta pred obema deležema upogibnih napetosti sta podana z izrazoma:

V števcu je koeficient β za vpliv porazdelitve upogibnih momentov vzdolž nosilnega elementa. Njegove vrednosti so prikazane v tabeli na naslednji prosojnici.

V imenovalcu je izraz, ki povečuje delež upogibnih napetosti, napram prisotnim tlačnim (glej prejšnjo prosojnico).

15

22

-1<ψ<1 ψ*MM

MM

M

-M

M

M

M

M

23

Koeficient se pojavlja le ob upogibnih napetostih okrog močnejše osi.

Izraža vpliv tega momenta zaradi zvrnitve nosilca (kadar je nosilec nagnjen k temu �� odprti prerezi, ki imajo vztrajnostni moment okrog močnejše glavne osi bistveno večji kot okrog šibkejše).

......... mejna upogibna napetost zaradi zvrnitve nosilca.

......... zmanjševalni faktor pri zvrnitvi nosilca.

16

24

Zvrnitev upogibnih nosilca

vir: prof.dr. Darko Beg, Jeklene konstrukcije 1, 11.0 Bočna zvrnitev upogibnih nosilcev, Prosojnice

(Nestabilnostna zvrnitev upogibnega nosilca odprtega prereza. Ta pojav spremlja klasična in zadržana torzija.)

V primeru upogibnega nosilca na skici, ki ima odprt enkrat simetričen prerez okrog vertikalne (šibke) osi, je poznana Eulerjeva rešitev za kritično vrednost upogibnega

momenta:

• močnejša glavna os je y-os;• šibkejša glavna os je z-os.

x

z

y

y

25

so faktorji, ki so odvisni od obremenitve in robnih pogojev na konceh nosilca.

deplanacijski vztrajnostni moment prereza nosilca.

faktor uklonske dolžine za uklon okrog vertikalne (šibke) osi. Obseg od 0,5 do 1,0.

faktor vpliva deplanacije končnih prerezov. Obseg vrednosti od 0,5 do 1,0. Če ni posebnega vpetja za preprečitev deplanacije, je enak 1,0.

Razpetina nosilca (razdalja med oporama).

z-koordinata prijemališča obremenitve, merjeno od težišča prereza. Pozitivna z-os je usmerjena vedno k tlačni pasnici prereza.

z-koordinata prijemališča obremenitve, merjeno od strižnega središča.vrednost se računa po obrazcu. Pri dvakrat simetričnih I-prerezih je enaka 0.

z koordinata strižnega središča prereza.

Eulerjeva (elastična) rešitev za kritično vrednost upogibnega momenta:

17

26

Kadar imamo:• vzdolž nosilca porazdeljen konstanten upogibni moment brez

prečne sile in • dvakrat simetričen prerez in • členkasto podporo na konceh ter • viličasto rotacijsko oporo na konceh, se obrazec za kritični upogibni moment poenostavi v:

27

V primeru: • ene koncentrirane prečne obremenitve in • ko ima nosilec dvakrat simetričen I prerez ter • členkasti podpori na konceh v z smeri ter • viličasti torzijski opori na konceh se prvotni obrazec poenostavi v:

z-koordinata prijemališča obremenitve, merjeno od strižnega središča TS.

zg zg

zg zg

deplanacijski vztrajnostni moment 2-x simetričnega I-prereza.

h

18

28

Rezultat elastične analize se uporabi za določitev relativne vitkosti za primerbočne zvrnitve:

Vrednost koeficienta :

• je za preseke 1. in 2. razreda kompaktnosti enaka 1,

• v primeru 3. razreda kompaktnosti:

• v primeru 4. razreda kompaktnosti:

29

Reltivna vitkost je potrebna za izračun zmanjševalnega zvrnitvenega koeficienta

:

Združen koeficient vseh nepopolnosti nosilca:

........... za valjane I prereze (krivulja a).

........... za varjene I prereze (krivulja c).

19

31

Zmanjševalni koeficient pri bočni zvrnitvi

vir: prof.dr. Darko Beg, Jeklene konstrukcije 1, 11.0 Bočna zvrnitev upogibnih nosilcev, Prosojnice

30

Mejni zvrnitveni upogibni moment, ki upošteva:• mejo plastičnosti gradiva in • vse druge nepopolnosti kot pri centričnem uklonu, se izračuna (podobno kot mejna uklonska tlačna sila):

zmanjševalni koeficient pri bočni zvrnitvi

Kriterij dimenzioniranja:

(ali pri probabilističnem postopku: )

20

32

Viri

•prof.dr. Darko Beg, Jeklene konstrukcije 1, 11.0 Bočna zvrnitev upogibnih nosilcev, Prosojnice•FAGG, Katedra za metalne konstrukcije. Prosojnice 8.1 Tlačne palice