Optimiranje nosilnih konstrukcijlab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_01__P.pdfVsaka konstrukcija vsebuje eno ali ve č komponent. Vsaka komponenta je lahko (glede

1

1

Univerza v Ljubljani

Fakulteta za strojništvo

KKTS – Katedra za konstruiranje in transportne sisteme

LASOK – Laboratorij za transportne naprave in sisteme

ter nosilne strojne konstrukcije

Optimiranje nosilnih konstrukcij

Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo

KKTS - LASOK


doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• [email protected]

(Tema/Subject: ONK - ...)

Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.

2

Obseg predmeta (5 ECTS):

• predavanja: 30 ur;

• seminar: 0 ur;

• vaje: 30 ur.

Obveznosti:

• inskripcija/frekvenca (prisotnost);

• teorija: izpit/kolokvij (pozitivno > 50%);

• vaje: delo na vajah/domače delo/seminarska naloga (po skupinah).

Vsak se mora sam prijaviti/odjaviti na/z izpit/a.


KKTS - LASOK


3

Gradivo za študente (prosojnice s predavanj):

• http://lab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/

• http://www.fs.uni-lj.si/lasok/

� Gradivo FS

� Optimiranje nosilnih konstrukcij (RR).

Geslo za odpiranje študijskega gradiva!


KKTS - LASOK


4

3

LITERATURA

1. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; Second edition;

Elsevier Academic Press, Amsterdam, ... , 2004.

2. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; McGraw-Hill Book

Company, New York, ... , 1989.

3. Singiresu S. Rao: Engineering Optimization, Theory and Practise; John

Wiley & Sons, New York, ... , 1996.

4. JozsefFarkas, Karoly Jarmai: Analysis and Optimum Design of Metal

Structures; Balkema, Rotterdam; 1997.


KKTS - LASOK


5

LITERATURA

5. Y.M. Xie and G.P.Steven: Evolutionary Structural Optimization; Springer-

Verlag 1997.

6. A.A. Seireg, J. Rodriguez: Optimizing the Shape of Mechanical

Elements and Structures; Marcel Dekker; 1997.

7. Helical Springs; Engineering Design Guides; prepared by The Spring

Research Association; Oxford University Press, 1974.

8. Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-

Verlag, 1986.


KKTS - LASOK


6

4


KKTS - LASOK


Osnovni cilj predmeta:

približati metode optimiranja inženirski praksi.

Obravnavani so praktični primeri:

- ki jih je mogoče matematično korektno popisati

- in je njihovo reševanje relativno enostavno.

V teoretskem smislu je snov naslonjena na literaturo

Arora: Introduction to optimum desig [1],

obseg pa prilagojen razpoložljivemu številu ur.

Predstavljeni so tudi ustrezni pripadajoči postopki konstruiranja.

7

8

Uvod

Strojništvo (samostojno ali interdisciplinarno)

pokriva široko paleto izdelkov kot so:

• orodja, stroji, naprave (tudi transportne),

• vozila: cestna, tirnična,

• plovila: vodna, zračna, vesoljska,

• medicinski aparati in naprave, inštrumenti,

• gradbeni elementi,

• procesna oprema,

• pretvorniki energije,

• elementi informatike,

• ...

5

V želji po konkurenčnejših izdelkih (↑kvaliteta, ↓cena, ↓masa, ...) se

stalno razvija tudi

inženirska optimizacija izdelkov - iskanje najboljšega rezultata ob

danih okoliščinah.

Pri snovanju, izdelavi in vzdrževanju inženirskega izdelka ali

tehniškega sistema se je potrebno neprestano odločati o:

• tehniških vidikih

• estetskih, ekonomskih, ergonomskih, varnostnih, ... vidikih.

Skrajni cilj takih odločitev je minimizirati nastopajoče stroške ali

maksimirati dobiček.

Večina odločitev je vezanih na merljive veličine (zvezne ali

diskretne), katerih učinek je možno izraziti v matematični obliki.

9

• Ožje področje: Razvoja novega serijskega izdelka

Niz prepletenih aktivnosti:

• zasnova, razne analize, (sprememba zasnove), (ponovne analize),

• konstruiranje,

• izdelava prototipa, preskušanje,

• sprememba detajlov ali sprememba zasnove, ponovne analize,

• popravek prototipa ali nov prototip, ponovno preskušanje,

• ...

ki vsebuje tudi elemente optimiranja.

Nove generacije obstoječega serijskega izdelka

• morajo imeti vse boljše funkcionalne lastnosti,

• ob hkratnih poenostavitvah (pocenitvah).

Spet je potrebno optimiranje.

10

6

• Ožje področje: razvoja individualnega izdelka

Individualno snovanje:

• izdelek za znanega kupca (naročilo),

• brez prototipa,

• v tekmi s konkurenco se uporablja optimizacijske postopke.

Vrste optimiranja pri snovanju izdelka:

• klasično snovanje: k optimumu po intuiciji – postopoma;

• matematično podprto optimalno snovanje:

k optimumu z analitičnimi in numeričnimi matematičnimi

sredstvi – iterativno;

• interaktivno optimalno snovanje:

k optimumu izmenično intuitivno in z matematičnimi sredstvi

11

12

Osnovni izrazi in značilni primeri

Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)

V procesu razvoja je potrebno izdelek presojati

(zgolj tehnično ali tudi ekonomsko, ...).

Presoja se lahko vrši s tehtanjem:

• enega

• ali več merljivih parametrov.

7

13



Primeri merljivih parametrov:

• izpolnjevanje funkcionalnih zahtev;

• količina vgrajenega gradiva (maso);

• lastna cena izdelka (cena gradiva, energije, dela, ...);

• stroški izdelka v življenjski dobi (nabavna cena + cena

obratovanja + cena vzdrževanja);

• raba energije (npr. pogonske enote);

• izguba toplote skozi stene;

• torne izgube;

• izkoristek.

14



Za presojo se ustvari cenilno funkcijo, ki zajame vse opazovane

parametre z ustreznimi utežmi (ponderji) glede na njihovo

pomembnost za določen cilj.

Upoštevani parametri morajo biti zapisani z ustreznimi

matematičnimi izrazi.

Nosilne konstrukcije se optimira predvsem glede na:

• funkcionalnost,

• maso,

• lastno ceno,

• stroške v življenjski dobi.

8

15


Konstrukcijske spremenljivke (design variables)

Vsaka konstrukcija vsebuje eno ali več komponent.

Vsaka komponenta je lahko (glede na zasnovo) popisana z več

spremenljivkami, ki enoznačno določajo njeno obliko.

Poleg popisa oblike ima lahko tudi druge spremenljivke, npr.

vrsta gradiva ali vrsta polizdelka.

16



Spremenljivke so lahko:

• zvezne spremenljivke (geometrijske mere);

• nezvezne (diskretne) spremenljivke:

− število ojačilnih reber,

− vrsta gradiva,

− način izdelave,

− ... .

Vse navedene spremenljivke, ki enoznačno popišejo potrebne

lastnosti konstrukcije v procesu optimiranja, so konstrukcijske

spremenljivke.

9

17



Isto komponento lahko enoznačno popišemo z različnimi nizi

konstrukcijskih spremenljivk:

Opredelitev oblike prečnega preseka pravokotne cevi:

a) s spremenljivkami b, d in t,

b) s spremenljivkami bsr, dsr in t.

18


Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)

Vsak izdelek mora izpolniti niz zahtev in se podvreči mnogim

omejitvam. Omejitve se uvršča v več skupin:

I) Glede na matematično formo:

• Enakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih

spremenljivk povezanih v enakostni pogoj (=).

• Neenakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih

spremenljivk povezanih v neenakostni kriterij (<, ≤)

(večina inženirskih nalog ima več neenakostnih omejitev).

10

19



II) Glede na linearnost:

• Linearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke nastopajo

v linearni povezavi.

• Nelinearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke

nastopajo v nelinearni povezavi.

20



III) Glede na eksplicitnost:

• Eksplicitna omejitev - posamezna konstr. sprem. v

omejitvenem smislu ni funkcijsko povezana z drugimi.

• Implicitna omejitev – konstr. spremenljivke so v

omejitvenem smislu funkcijsko implicitno povezane.

Vsaka konstrukcijska omejitev lahko zelo vpliva na položaj in

velikost optimuma, zato je potrebno njeno uporabo dobro

pretehtati in utemeljiti.

11

21


Sprejemljiva izvedba (feasible design)

... nekega izdelka, konstrukcije ali sistema

... je tista izvedba,

... ki izpolnjuje vse postavljene zahteve (pogoje) in omejitve.

Če izvedba ne izpolnjuje ene ali večih zahtev oz. omejitev je to

nesprejemljiva izvedba (unfeasible design).

22


Dovoljeno območje (feasible region)

... konstrukcijskih rešitev

... obsega vse nabore konstrukcijskih spremenljivk,

... kjer so izpolnjene vse zahteve (vsi pogoji) in vse omejitve.

Dovoljeno območje:

• je toliko dimenzionalno, kolikor je neodvisnih

konstrukcijskih spremenljivk.

• je omejeno z enakostnimi pogoji in neenakostnimi

omejitvami.

12

23


Primer optimizacijske

naloge z eno neenakostno

omejitvijo:

ki določa dov. obm. kot

obod in ploščino kroga s

polmerom:

� � 9 � 3

Dovoljeno območje (feasible region)

24


Opredelitev optimizacijske naloge (formulation of an

optimizing problem)

• ima zelo pomembno mesto v optimizacijskem procesu.

• potrebna je jasna in celovita besedilna opredelitev.

• potrebna je prevedba v matematično govorico:

• cenilna funkcija,

• enakostni pogoji,

• neenakostne omejitve.

13

25


Primer 1: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja

Besedilna opredelitev:

Izbrati je potrebno optimalno debelino izolacije, ki bo

minimizirala stroške vzdrževanja ohlajenosti vsebine

rezervoarja, ki so sestavljeni iz stroškov namestitve izolacije ter

stroškov obratovanja hladilne naprave. Upošteva naj se čas

obratovanja 10 let in 5 % letno obrestno mero za vložena

finančna sredstva. Polmer kroglastega rezervoarja r je znan.

26


Matematična opredelitev:

� � 4�� ... površina kroglastega rezervoarja;

t .................. debelina izolacije

t << r .......... realna predpostavka

c1 (€/m3) ..... cena na enoto volumna nameščene izolacije

Prvi strošek je strošek namestitve izolacije:

� � ∙ � � ∙ � ∙ � 4� ∙ ��∙ � ∙

14

27


Drugi strošek so toplotne izgube (izguba hladu) skozi izolacijo.

∆Θ [K]... temperaturna razlika

λ�

��... toplotna prevodnost

t [m] ... debelina izolacije

c2 [€/kWh] ... cena za enoto energije

Toplotni tok skozi steno ob predpostavki t << r je:

Letni strošek zaradi toplotnih izgub so:

28


Tretji strošek je obratovalni strošek hladilne naprave:

• toplotne izgube skozi izolacijo (več, kot se je izgubi),

• amortizacija ter

• strošek vzdrževanja hladilne naprave.

c3 [€/kWh] ... dodaten strošek na kWh* nadoknadene energije.

* ... (kWh = 3,6 MJ)

15

29


T=10 [let] ... celotna življenjska doba rezervoarja.

(T = 10 let·365 dni/leto·24 h/dan = 87.600 h)

o=0 ... obrestna mera - zaradi enostavnosti je časovni vpliv na

vrednost denarja zanemarjen .

Celoten strošek obratovanja znaša (cenilna funkcija):

a b

30


Izgleda, kot da naloga nima nobenih pogojev in omejitev,

vendar lahko hitro ugotovimo, da dodatna omejitev obstaja:

• debelina izolacije: t ≥0;

• oziroma: Ker brez izolacije ohladitev vsebine rezervoarja na

želeno temperaturo sploh ni možna, je realna omejitev: t > 0;

• oziroma: Ker zelo tenkih izolativnih slojev ni mogoče

izdelovati in nameščati, je dejanska omejitev: t ≥ tmin.

Zaradi prostorske stiske se pogosto pojavlja tudi omejitev

debeline izolacije navzgor, kar ima običajno velik vpliv na lego

optimalne točke. Tedaj obstaja še dodatna omejitev: t ≤ tmax.

16

31


Rešitev je pri konkretnih podatkih enostavna:

∙ � � � ∙ �� + �

� ∙ �� − ∙ � + � � 0

�,� � ± � − 4��

2�

pri pogoju: �,� ≥ ��

in/ali

pri pogoju: �,�≤��

32


Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja

Podano inženirsko nalogo je mogoče obravnavati tudi v

zahtevnejši obliki, ki je uporabna tudi za večje debeline

izolacije, kjer ne velja več predpostavka: t << r

Strošek namestitve izolacije se lahko zapiše s točnejšim

zapisom volumna izolacije:

� ∙ �

17

33


Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja

Toplotne izgube se zapiše z obrazcem, ki upošteva

debelostenskost izolacije in oba prestopnostna koeficienta:

α ... koeficient prestopa toplote z medija na steno posode,

α� ... koeficient prestopa toplote z izolacije na okoliški zrak,

λ ... koeficient toplotne prevodnosti izolacije,

� ... notranji premer izolacije = zunanji prem. rezervoarja = const.,

! ... zunanji premer izolacije = spremenljivka, ki se jo išče.

34


Primer 2:

Konstrukcija pločevinke za pivo prostornine 400 cm3


Optimirati je potrebno dimenzije pločevinke valjaste oblike,

katere dimezije so zaradi uporabnosti omejene na:

Globoki vlek – drago orodje.

Velike serije – cena orodja se lahko zanemari.

O rentabilnosti odloča predvsem poraba pločevine �

Optimira naj se poraba pločevine – debelina pločevine je znana

� poraba premo sorazmerna s površino pločevinke.

18

35



Konstrukcijski spremenljivki:

• višina pločevinke h [mm],

• premer pločevinke d [mm].

Cenilna funkcija (površina valja):

36


Neenakostni omejitvi:

Enakostni pogoj:

Enakostni pogoj povezuje konstrukcijski spremenljivki h in d

� poenostavitev cenilne funkcije:

19

37


Cenilna funkcija sedaj vsebuje le še

eno konstrukcijsko spremenljivko:

Kandidatne točko za optimum

se dobi z odvodom:

od koder sledi:

ter iz enačbe za višino:

Kandidatna točka je tik ob meji,

vendar znotraj dovoljenega področja

konstrukcijskih spremenljivk:

38


Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave


Izdeluje se N=100 izdelkov/dan. Sestavljajo se iz ZA=8

komponent A, ZB=5 komp. B in ZC=15 komp. C. Za komp. A je

potrebnih 5 vijakov ali kovic, za B 6 vijakov ali kovic in za C

trije vijaki ali kovice.

Cena in vgradnja enega vijaka stane pri komp. A VA=0,70 €, pri

komp. B VB=1,0 € in pri komp. C VC=0,60 € in ene kovice pri

komp. A KA=0,60 €, pri komp. B KB=0,80 € in pri komp. C

KC=1,0 €.

Zmogljivost delavnice je NV=6000 vgrajenih vijakov in

NK=8000 vgrajenih kovic na dan. Koliko komp. naj bo

vijačenih in koliko kovičenih, da so stroški najmanjši?

20

39




Konstrukcijske spremenljivke:

x1 število vijačenih komponent A na dan

x2 število kovičenih komponent A na dan

x3 število vijačenih komponent B na dan

x4 število kovičenih komponent B na dan

x5 število vijačenih komponent C na dan

x6 število kovičenih komponent C na dan

40




Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):

Omejitve glede na dnevno potrebo po komponentah:

21

41




Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:

Vse konstrukcijske spremenljivke morajo biti nenegativne

(torej pozitivne ali enake nič):

42


Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave

Pristop z drugega zornega kota.

Pojavi se estetska omejitev, da kupce motijo mešane vijačene in

kovičene komponente v istem izdelku.

Zaradi tega se postavi novo zahtevo, da so komponente samo

kovičene ali samo vijačene. V takem primeru zadostujeta samo

dve konstrukcijski spremenljivki:

x1 število izdelkov na dan z vijačenimi komponentami;

x2 število izdelkov na dan s kovičenimi komponentami.

22

43



Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):

Enakostna omejitev:

Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:

44



oziroma:

in

Obe konstrukcijski spremenljivki morata biti nenegativni:

kar drži.

Kaj pa enakostna omejitev?

23

45



Kaj pa enakostna omejitev (pogoj)?

52,17 � 69,57 � 121,74 & 100

Enakostno omejitev ni izpolnjena, zato dobljena rešitev ne leži

v dovoljenem območju.

Enakostno omejitev se uporabi za iskanje drugih kandidatnih

točk za optimum: za izračun pripadajoče druge konstrukcijske

spremenljivke ob znani (zaokroženi navzdol) prvi:

' � 52 → '� � 48

'� � 69 → ' � 31

46



Optimum je na eni od mej ali pa imamo lahko izjemoma isto

rešitev povsod v intervalu:

Optimum je na gornji meji vijačenih izdelkov:

' � 52 * 52,17;

'� � 48 * 69,57.

24

47


Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka


Dimenzionirati je potrebno steber višine h iz krožne valjaste

cevi polmerov rn in rz, ki je v tla vpet momentno skoraj

popolnoma togo, obremenjen s tlačno silo F na vrhu stebra.

Kriterij je najmanjšo porabo gradiva. Gradivo ima dopustno

napetost sdop in gostoto r.

48



Opombe:

• uklonska dolžina za momentno popolnoma togo (konzolno)

vpetje bi bila: +, � 2+;

• uklonska dolžina za obravnavani primer je: +, = 2,2+;

• kadar se za dimenzioniranje uporabi neposredno Eulerjev

obrazec in se pričakuje relativna vitkost več kot 1, mora biti

faktor varnosti najmanj 2,5 (Krautov strojniški priročnik)

-. ≥ 2,5,

zato se pri optimiranju uporabi npr.:

-. = 2,5.

25

49




Konstrukcijski spremenljivki:

- notranji (rn) in zunanji (rz) polmer cevi.

Pomembni statični vrednosti sta:

- prerez cevi:

- upogibni vztrajnostni moment:

50



Cenilna funkcija: masa cevi,

Brez upoštevanja vpetišča se jo zapiše:

Neenakostne omejitve:

- geometrijska zahteva:

- kriterij za čisto tlačno trdnost:

- ...

26

51



Neenakostne omejitve:

- ...

- kriterij za centrično

uklonsko trdnost:

- kriterij za lokalno

izbočitveno trdnost:

Enakostnih pogojev v tem primeru ni.

Documents

Optimiranje nosilnih konstrukcijlab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_01__P.pdfVsaka konstrukcija vsebuje eno ali ve č komponent. Vsaka komponenta je lahko (glede