1

SVEUČILIŠTE U SPLITU

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

DIPLOMSKI RAD

OPTIMIRANJE OBLIKA PRIMJENOM 3D PARAMETRIZACIJE I

RAČUNALNE DINAMIKE FLUIDA

Ivo Marinić-Kragić

Split, lipanj 2013.

2

3

SADRŽAJ

1. UVOD .................................................................................................. 1

2. PARAMETRIZACIJAOBLIKA........................................................ 2

2.1. Spline krivulje ...........................................................................................3

2.1.1. B-spline .........................................................................................5

2.2. Spline plohe ...............................................................................................8

2.2.1. Interpolirajuće (loft) plohe .............................................................9

2.3. Modeliranje tijela .................................................................................... 10

3. RAČUNALNA DINAMIKA FLUIDA ............................................. 13

3.1. Matematički model strujanja ................................................................. 15

3.1.1. Jednadžbe očuvanja...................................................................... 15

3.1.2. Modeli turbulencije ...................................................................... 16

3.1.3. Rubni uvjeti ................................................................................. 22

3.1.4. Strujanje s slobodnom površinom ................................................. 26

3.2. Metode diskretizacije .............................................................................. 27

3.2.1. Greške diskretizacije .................................................................... 30

3.3. Numerička mreža .................................................................................... 31

3.4. Metode rješavanja sustava jednadžbi .................................................... 34

4. OPTIMIRANJE ................................................................................ 40

4.1. Genetski algoritmi................................................................................... 41

4.1.1. Više kriterijsko optimiranje .......................................................... 46

4.1.2. MOGA algoritam ......................................................................... 48

4.1.3. Memetički algoritmi ..................................................................... 50

4.2. Robusno optimiranje .............................................................................. 51

5. INTEGRACIJA PROCESA I OPTIMIZACIJA DIZAJNA .......... 52

5.1. Uvod u ModeFRONTIER ...................................................................... 52

5.2. Integracija procesa ................................................................................. 53

5.2.1. Data mining ................................................................................. 55

5.2.2. Dizajn eksperimenata (DoE) ........................................................ 56

5.2.3. Algoritmi optimiranja................................................................... 57

5.3. Obrada podataka .................................................................................... 58

5.3.1. Plohe odziva ................................................................................ 59

5.4. Robusno optimiranje .............................................................................. 60

4

6. OPTIMIRANJE LOPATICE VENTILATORA S RADIJALNIM

KOLOM.......................................................................................................... 62

6.1. Opis ventilatora ....................................................................................... 62

6.2. Parametrizacija geometrije .................................................................... 65

6.3. Izrada mreže ........................................................................................... 69

6.4. Numerički model ..................................................................................... 72

6.5. Pregled rezultata i provjera ispravnosti modela.................................... 74

6.6. Optimiranje ............................................................................................. 78

6.6.1. Robusno optimiranje .................................................................... 80

6.7. Rezultati optimiranja .............................................................................. 82

6.7.1. Optimiranje lopatice s jednostrukom zakrivljenošću ..................... 83

6.7.2. Optimiranje lopatice s dvostrukom zakrivljenošću ....................... 85

6.7.3. Robusno optimiranje s jednostrukom zakrivljenošću lopatice ....... 87

6.7.4. Optimiranje lopatice s promjenjivom debljinom stjenke ............... 90

6.7.5. Pregled lokalnih značajki različitih varijanti ventilatora ............... 92

7. OPTIMIRANJE TRUPA BRODA .................................................. 98

7.1. Otpor broda ............................................................................................ 98

7.2. Parametrizacija geometrije .................................................................... 99

7.2.1. 3D skeniranje trupa .................................................................... 101

7.3. Izrada mreže ......................................................................................... 105

7.4. Numerički model ................................................................................... 105

7.5. Rezultati i provjera ispravnosti modela ............................................... 108

7.6. Optimiranje ........................................................................................... 110

7.7. Rezultati optimiranja ............................................................................ 112

7.7.1. Probno optimiranje pramca ........................................................ 112

7.7.2. Optimiranje skenirane brodice .................................................... 113

7.7.3. Višekriterijsko optimiranje brodice ............................................ 114

8. ZAKLJUČAK ................................................................................. 118

9. LITERATURA ................................................................................ 119

10. POPIS OZNAKA I KRATICE .................................................... 120

11. SAŽETAK ..................................................................................... 121

1

1. UVOD

U sadašnjim vremenima, pojavom sve bržih računala dobiva se mogućnost provoĎenja

numeričkih eksperimenata koji s dovoljnom točnošću mogu predvidjeti svojstva proizvoda,

prije nego što je on fizički izraĎen. Osim točnosti, vrijeme potrebno za provoĎenje svake

numeričke simulacije postaje sve kraće. To omogućuje ispitivanje mnogo različitih varijanata

proizvoda prije same izrade. Tako se može promatrati kako promjena oblika ili drugih

karakteristika utječe na bitna svojstva razmatranog proizvoda. Ukoliko je simulacija dovoljno

točna, vrijeme trajanja svake simulacije kratko i broj parametara kojima je opisan oblik

relativno malen može se nad proizvodom provesti proces optimiranja oblika. Posebno je

zanimljiva primjena računalne dinamike fluida koja s novim postignućima konstantno

poboljšava točnost i brzinu izvoĎenja kompleksnih simulacija. S modernim programskim

paketima i računalima može postići točnost koja predviĎa karakteristike proizvoda (npr.

učinkovitost) s vrlo malim odstupanjima od istih dobivenih s fizičkim eksperimentima. Osim

dizajna potpuno novih proizvoda, optimiranje oblika proizvoda se može provesti i na

postojećim proizvodima. Tada je zgodna primjena 3D skeniranja kojim se na relativno lagan

način stvarna geometrija može pretvoriti u računalni model. Za izvoĎenje ovih različitih

procesa kod rješavanja nekog problema najčešće ne postoji jedinstveni programski paket. Da

bi se mogao provesti proces optimiranja potrebno je meĎusobno povezati različite programske

alate odnosno potrebno je ostvariti komunikaciju izmeĎu tih programskih alata. Tako mogu

različiti programi raditi pojedine dijelove cjelokupnog procesa optimiranja.

Iako je točnost rezultata iz numeričkih simulacija može biti visoka, još uvijek su

potrebni eksperimentalni podaci za provjeru. Zato će ovdje kao prvi primjer razmatrati

optimiranje već postojećeg proizvoda za kojeg postoje eksperimentalni podaci. Radi se o

optimiranju lopatica ventilatora s radijalnim kolom. Iako postoje rezultati samo za jedan oblik

lopatice, ukoliko simulacija točno predviĎa taj slučaj može se pretpostaviti da će biti dobra i

za druge oblike lopatice. Dalje se može razmotriti i primjena robusne optimizacije gdje bi se

oblik lopatice optimirao za više različitih režima rada. Cilj je dobiti oblik lopatice koji bi

postojećem dao povećanu učinkovitost.

Drugi primjer je optimiranje trupa broda s ciljem smanjenja otpora i mase trupa. Za

proračun otpora broda numeričkim eksperimentima valja se za početak opredijeliti na

istisninske brodove, čime se pojednostavljuju računski modeli. Osim optimiranja općeg trupa

razmotrit će se i optimiranje oblika već postojećeg trupa broda primjenom 3D skeniranja. Cilj

je ispitati mogućnosti optimiranja oblika trupa kod različitih varijanti istisninskog broda.

2

2. PARAMETRIZACIJAOBLIKA

Parametrizacija je proces definiranja, kao i proces odlučivanja o potrebnim

parametrima za potpuni opis nekog modela ili geometrijskoga oblika. Ponekad ovo uključuje

identifikaciju pojedinih parametara ili varijabli. Na primjer kod modela ventilatora bitni

parametri mogu biti broj, promjer i nagib lopatica.

Najčešće parametrizacija predstavlja matematički proces koji uključuje potpuni skup

efektivnih koordinata ili stupnjeva slobode modela. Parametrizacija linije, površine ili

volumena na primjer predstavlja identifikaciju skupa koordinata koje omogućuju jednoznačno

odreĎivanje svake točke (na pravcu, površini ili volumenu) s ureĎenim skupom brojeva.

Krivulja se može izraziti matematički koristeći se jednim od tri oblika: eksplicitni,

implicitni ili parametarski. U dvije dimenzije eksplicitne jednadžbe su oblika:

(2.1)

Ovakav oblik je dobar za prikaz krivulja koje imaju jedinstvenu vrijednost y za svaki x.

MeĎutim ako neka krivulja sadrži vertikalnu liniju (x= konstanta), tada se nagib odnosno

derivacija krivulje povećava prema beskonačnosti. U tom slučaju ovim matematičkim

oblikom nije moguće prikazati takvu krivulju. Drugi oblik opisivanja krivulje je implicitnim

jednadžbama:

(2.2)

MeĎutim i ovaj oblik teško opisuje krivulje koje su od značaja za dizajn. Na primjer

bilo bi teško prikazati dio kružnice koji se nalazi samo u prvom kvadrantu. U takvim

slučajevima najkorisniji je prikaz krivulje parametarskom jednadžbom, koja može biti

zapisana u sljedećem obliku:

(2.3)

gdje je u parametar. Lako je primijetiti se da je ovim zapisom lako prikazati vertikalne

linije. Ako se želi prikazati samo segment neke krivulje se takoĎer može na način da se

dodaju granice parametrima. Granice se najčešće postavljaju od 0 do 1. S parametrom u

krivulja u tri dimenzije se može zapisati u vektorskom obliku kao:

(2.4)

3

Krivulje koje se često susreću u inženjerskoj praksi su presjeci izmeĎu tijela kao što su

cilindri, stošci i sfere. Jedan primjer je krivulja presjeka izmeĎu cilindra ( (x-a)2+y

2=a

2 ) i

sfere ( x2+y

2+z

2=4a

2 ). Ta krivulja je poznata pod nazivom Vivianijeva krivulja čija

parametarska jednadžba može biti zapisana kao:

(2.5)

Ovdje je meĎusobni položaj kugle i cilindra ograničen na način da sfera tangira

cilindar i cilindar prolazi kroz središte kugli prikazano na slici (Slika 2.1.). U parametarskoj

jednadžbi krivulje je a radijus cilindra, dok je radijus kugle jednak 2a.

Slika 2.1. Vivianijeva krivulja prikazana u jednom oktantu [1].

Parametarskom jednadžbom (2.5) može se prikazati samo krivulja koja je presjek

cilindra i sfere u opisanom meĎusobnom položaju. Jedino što je omogućeno mijenjati je

njihov radijus. Ako je potrebna jednadžba kojom se može opisati općenitija krivulja mogu se

koristiti na primjer spline krivulje.

2.1. Spline krivulje

Termin spline dolazi od engleske riječi za tanku drvenu letvicu koja se koristi za

crtanje krivulja. Takva letvica kada se učvrsti jednostavnim osloncima u nekim točkama daje

glatku krivulju. Krivulja dobivena takvom letvicom, kao i model za segment izmeĎu oslonaca

prikazani su na slici ispod (Slika 2.2.).

Slika 2.2. Shematski prikaz crtačke letvice i modela jednog njenog segmenta [1].

4

Oblik takve krivulje se može odrediti matematički iz linearizirane Euler-Bernoulijeve

jednadžbe elastične grede za male deformacije. Jednadžba za jedan segment izmeĎu dva

oslonca glasi:

(2.6)

gdje je EI fleksijska krutost greda, y je progib, a A i B su poznate konstante koje

odreĎuju moment savijanja koji djeluje na gredu. Rješavanjem jednadžbe za progib dobije se:

(2.7)

gdje su C1 i C2nepoznate konstante. Sada se uzme da je duljina segmenta grede l. S

obzirom da je greda jednostavno oslonjena, za x=0 i x=l, progib je jednak nuli, stoga:

(2.8)

Za kontinuitet druge derivacije na rubovima segmenta potrebno je da moment

savijanja Ax+B bude jednak kao u susjednim segmentima. Ovime se osigurava C2 kontinuitet

krivulje, što znači da je osiguran kontinuitet druge derivacije.

Kada se više takvih segmenata spoji takva krivulja se naziva kubični spline. Kubični

spline je jedna varijanta općenitijeg polinomnog spline-a koji se može matematički zapisat

kao (t). Polinomni spline (t) ima vrijednosti yi za vrijednosti parametra ti, i=0, 1,…, n,

gdje je ti-1<ti< ti+1. Osim toga da bi (t) opisivao gore opisanu drvenu letvicu potrebno je

ostvariti kontinuitet funkcije (t) kao i njenih derivacija '(t) i ''(t). Jedan segment

kubičnog spline-a može se matematički zapisati u obliku:

(t) = a0 + a1t + a2t2

+ a3t3 (2.9)

Koeficijenti ai se tada računaju iz poznatog položaja za rubove segmenta i iz

kontinuiteta prve i druge derivacije što daje za svaki segment četiri jednadžbe i četiri

nepoznanice. Još nedostaju dvije nepoznanice za krajnje rubove prvog i zadnjeg segmenta. Na

tim mjestima je potrebno zadati nagib ili zakrivljenost da bi se mogli odrediti svi koeficijenti

ai.

5

2.1.1. B-spline

Naziv B-spline dolazi od engleske riječi za bazu (basis). Taj naziv je usvojen iz

razloga što se B-spline krivulja sastoji od linearne kombinacije baznih spline krivulja. B-

spline krivulja je odreĎena s oblikom baznih funkcija i položajem kontrolnih točaka koje suna

primjeru prikazane na sljedećoj slici (Slika 2.3.).

Slika 2.3. B-spline krivulja učvršćena na oba kraja [1].

Ako je zadano n+1 kontrolnih točaka b0, b1, …, bn, i vektor čvorova T = {t0, t1, …,

tm}, B-spline krivulja b(t) koja je reda p se tada može izraziti kao težinska suma linearne

kombinacije normaliziranih B-spline funkcija:

(2.10)

Normalizirani kubični spline se dobiva na način da se konstruira kubični polinomni

spline s čvorovima ti ,ti-1 ,ti-2 ,ti-3s takvim rubnim uvjetima gdje su (t), '(t) i '' (t) na

rubovima spline-a jednaki nuli. To daje 6 uvjeta s kojima se dobiva trivijalno rješenje (t)=0.

Stoga je potrebno dodati još jedan uvjet i još jedan čvor ti-4. Sljedećim dodatnim uvjetom se

dobiva standardizirani spline:

(2.11)

Opći oblik standardiziranog spline-a u rasponu čvorova ti-4 < t < ti je prikazan na

sljedećoj slici (Slika 2.4.). Ovakav standardizirani spline se naziva i bazni spline odnosno B-

spline.

Slika 2.4. Shematski prikaz B-spline bazne funkcije četvrtog reda [1].

6

Normalizirane bazne funkcije često se računaju na sljedeći način:

𝑁𝑘 ,𝑖 𝑡 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−𝑘 𝑀𝑘 ,𝑖(𝑡) (2.12)

gdje se 𝑀𝑘 ,𝑖računa prema rekurzivnim formulama:

(2.13)

(2.14)

Na donjoj slici prikazan je graf B-spline-a za 𝑁𝑘 ,𝑖 𝑡 . Za 𝑁1,𝑖 𝑡 i j=1,2,3 i 4, funkcije

su jednake jedinici u intervalu 𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 , a nuli drugdje. Dalje za 𝑁2,𝑖 𝑡 i j=1,2,3 i 4, krivulje

su trokutaste funkcije. Za 𝑁3,𝑖 𝑡 i j=1,2,3 i 4, krivulje su zvonolikog oblika, dok je za 𝑁4,𝑖 𝑡

i j=1,2,3 i 4 krivulja B-spline funkcija što je označeno najdebljom linijom(Slika 2.5.).

Slika 2.5. Graf normaliziranog B-spline-a [1].

Bazna funkcija je stoga polinom stupnja k-1. Osim toga ima svojstvo ne-negativnosti

za svaki i,k i t. S tim da su za krivulju p-tog reda najviše p normaliziranih B-spline funkcija

ne-negativne. Još jedno svojstvo B-spline funkcija je što je suma svih ne-negativnih B-spline

funkcija (Slika 2.6.) na intervalu 𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 jednaka 1.

Slika 2.6. Shematski prikaz normaliziranih B-spline funkcija četvrtog reda koje su ne-

negativne na intervalu 𝑡𝑖 , 𝑡𝑖+1 [1].

7

Bitno svojstvo B-spline krivulja je mogućnost lokalne promjene krivulje bez da se

utječe na druga mjesta (Slika 2.7.).

Slika 2.7. Lokalna modifikacija oblika B-spline krivulje [1].

Kao što se vidi na gornjoj slici spline ne prolazi kroz kontrolne točke. Ukoliko je želja

da spline krivulja proĎe kroz kontrolne točke to se može postići multipliciranjem čvorova.

Utjecaj multipliciranja čvorova na baznu funkciju je prikazan na sljedećoj slici (Slika 2.8.)

gdje je k broj multiplikacije.

Slika 2.8. Utjecaj multipliciranja čvorova na baznu funkcije [1].

U slučaju da je razmak izmeĎu čvorova jednolik B-spline se naziva uniformnim, u

slučaju da razmak nije jednolik naziva se neuniformni B-spline. Osim toga postoje i

racionalne i neracionalne B-spline krivulje. Kada su x(t), y(t) i z(t) definirani kao omjer dvaju

polinoma daje im se naziv racionalne u suprotnom su neracionalne. Neuniformni racionalni

B-spline za opisivanje jedne tro-dimenzionalne kontrolne točke koriste se 4 parametra (x, y, z,

w) umjesto samo 3 (x, y, z). Razlog za jedan parametar više je mogućnost točnog prikazivanja

koničnih krivulja (krugovi, elipse, parabole i hiperbole), kao i povećana kontrola nad oblikom

drugih krivulja. Četvrta koordinata, w, naziva se težina kontrolne točke. Uobičajeno, svaka

kontrolna točka ima težinu 1, što znači sa sve one imaju jednak utjecaj na oblik krivulje.

Povećanje težine pojedinačne kontrolne točke daje joj veći utjecaj i ima za efekt "povlačenje"

krivulje prema toj točki [2]. NURBS krivulju k-tog se može matematički zapisati:

(2.15)

gdje su wi težinske funkcije.

8

2.2. Spline plohe

Postoje razni načini definiranja ploha, na primjer ploha može biti definirana rotacijom

ili translacijom krivulja. Mnogo oblika kao što su limenke, boce, prije ili noge kod namještaja

mogu biti dobiveni rotacijom krivulje. Isto tako translacijom (ekstrudiranjem) krivulja (Slika

2.9.) mogu biti dobiveni mnogi za inženjere bitni objekti kao što su cjevovodi, korugirani

limovi i mnogi drugi.

Slika 2.9. Ploha korugiranog lima dobivena ekstrudiranjem krivulje [1].

MeĎutim ako se želi neki kompleksniji oblik opisati potrebne su spline plohe. Tako na

sličan način kao što se definiraju spline krivulje s jednom parametarskom varijablom, mogu

se definirati spline plohe kada se koriste dvije parametarske varijable. B-spline ploha se može

zapisati kao:

𝒓 𝑢, 𝑣 = 𝑷𝑖 ,𝑗𝑁𝑝 ,𝑝+𝑖 𝑢 𝑁𝑞,𝑞+𝑗 (𝑣)𝑛𝑗 =0

𝑚𝑖=0 (2.16)

gdje je za razliku od B-spline krivulje dodana još jedna bazna funkcija 𝑀𝑗 ,𝑙 . Isto kao i

kod krivulje sada se oblik plohe odreĎuje mijenjanjem položaja kontrolnih točaka ri. Na slici

ispod (Slika 2.10.) je prikazana ploha koje je dobivena s uniformnim kvadratičnim B-spline-

om.

Slika 2.10. B-spline ploha [1].

NURBS ploha, slično kao i NURBS krivulja se može zapisati u obliku:

(2.17)

9

NURBS omogućava točan prikaz ravnih linija, krugova, parabola, elipsoida i hiperbola

sve s jednom formulom. Zbog niza pozitivnih karakteristika NURBS reprezentacija danas je

gotovo pa standard za opisivanje geometrije u većini područja ljudske djelatnosti koja imaju

potrebu za geometrijskim modeliranjem objekata. Tako se i za prikaz forme broda najčešće

koristi NURBS ploha, a primjer mreže kontrolnih točaka za opisivanje brodske forme je

prikazan na sljedećoj slici (Slika 2.11.).

Slika 2.11. Gusta mreža kontrolnih poligona za opisivanje brodske forme [2].

2.2.1. Interpolirajuće (loft) plohe

Često programi nemaju opciju za direktno zadavanje NURBS plohe,već kao

alternativu nude interpolirajuće (loft) plohe. Loft plohe su plohe nastale kada se kroz više 3D

krivulja provuče glatka ploha. Time se dobije ploha s kontrolnim točkama na istim mjestima

gdje su se nalazile kontrolne točke na krivuljama iz kojih je nastala ploha. Iako postoje i

druge metode, većina programa danas koristi NURBS plohu kako bi se opisala loft plohu.

Tako plohe koje će se koristiti u ovom radu su nastale provlačenjem loft ploha kroz više 2D

B-spline krivulja, čime se dobiva loft ploha. Ta ploha će ovisno o upotrebi predstavljati

stjenku lopatice ili trup broda. Na slici ispod (Slika 2.12.) je prikazan primjer takve plohe

dobivene s 4 2D B-spline krivulje od kojih svaka ima po 5 kontrolnih točaka.

Slika 2.12. Primjer loft plohe izraĎene u ANSYS geometry modeler.

10

2.3. Modeliranje tijela

Tijela predstavljaju veliku skupinu objekata koji su vidljivi i s kojima se može

rukovati. Modeliranje tijela (Solid Modeling) ne zahtijeva samo odreĎivanje površine i rubne

geometrije već zahtjeva i topološke informacija kao što je informacije o unutrašnjosti,

povezanosti i rupama. Žičani modeli i plohe ne mogu opisivati ova svojstva. Mnogi procesi se

ne mogu provoditi s površinama ili krivuljama već zahtijevaju izradu modela u obliku tijela.

U te procese spadaju: analiza konačnih elemenata (kao i konačnih volumena), brza izrada

prototipova, automatizirana izrada NC programa itd.

Tijelo V se matematički može opisati kao skup točaka u trodimenzionalnom prostoru

koji zadovoljava sljedeće uvjete:

- ograničenost: Skup točaka V mora zauzimati konačno veliki prostor. Time se

onemogućava tijelo s beskonačnim volumenom,

- granica i unutrašnjost: Neka b(V) i I(V) budu podskup skupa V takav da

b(V)∪I(V)=V, gdje je b(V skup točaka na granici, a I(V) je skup unutarnjih

točaka (Slika 2.13..). Tada je točka p ∈ V unutarnja točka ako postoji otvorena

kugla koja zatvara točku p koja se sastoji samo od točaka koje pripadaju V,

- odreĎenost granice: Ako je b(V) zatvorena ploha, tijelo V je poznato i unutrašnjost

je jednoznačno odreĎena,

- homogena trodimenzionalnost: Tijelo V ne smije imati nepovezane pod skupove.

- krutost: Relativan položaj svake dvije točke p1 i p2 unutar V mora biti

nepromjenjiv,

- zatvorenost: Operacije sa skupovima (unija, presjek i oduzimanje) primijenjene na

tijela V1 i V2 moraju dati tijelo V3 koje zadovoljava sve ranije navedene uvjete.

Slika 2.13. Točke unutrašnjosti i granice tijela [1].

11

Tijela se mogu generirati kombiniranjem takozvanih primitiva koristeći se Booleovim

operacijama. U Booleove operacije spadaju sljedeće:

- neka su A i B podskupovi univerzalnog skupa. Unija dvaju skupova A i B,

označava se s A B a definira se kao skup svih elemenata koji pripadaju barem

jednom od skupova A i B,

- presjek dvaju skupova A i B koji se označava s A B, definira se kao skup koji

se sastoji od onih i samo onih elemenata koji su istovremeno sadržani i u A i u B,

- razlika ili diferencija dvaju skupova A i B, označava se s A \ B a definira se kao

skup svih elemenata skupa A koji nisu u skupu B.

Primitivi uključuju tijela kao što su: blok, stožac, cilindar, sfera, trokutna prizma,

torus i mnoga druga. Booleove operacije mogu se vršiti nad njima kao i nad svim drugim

tijelima bez obzira kako su nastali. Na sljedećoj slici je prikazano što je moguće postići

Booleovim operacijama izmeĎu kugle i bloka.

Slika 2.14. Booleove operacije nad kuglom i blokom [1].

Kao što se ekstrudiranjem krivulje može dobiti ploha, tako se s ekstrudiranjem plohe

može dobiti tijelo. Ta ekstruzija može biti pravocrtna ili krivocrtna. U slučaju da je krivorctna

naziva se sweep operacijom. Ista tako se i rotacijom ploha mogu dobiti rotacijska tijela. U

ovom radu su kompleksna tijela dobivena na način da su se pravocrtno ekstrudirale plohe

čime se dobiva tijelo s konstantnom debljinom. Takvo tijelo odgovara stvarnoj lopatici

ventilatora koje je potrebno da daljnju analizu i prikazano je na slici 2.15. b). S Booleovim

operacijama izmeĎu takvih tijela i jednostavnije generiranih geometrija dobivena su tijela

12

koja su potrebna za izradu mreže konačnih volumena. Na primjer kod analize ventilatora

potrebno izmeĎu ostalog dobiti tijelo koje predstavlja zrak koji se nalazi u ventilatoru. Za

dobiti takvo tijelo potrebno je od unutrašnjosti ventilatora oduzeti volumen koji zauzimaju

lopatice kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Slika 2.15. Segment lopatičnog kanala dobiven oduzimanjem lopatice od ostatka

kanala pomoću Booleove operacije.

13

3. RAČUNALNA DINAMIKA FLUIDA

Računalna dinamika fluida, poznata pod nazivom CFD (Computational Fluid

Dynamics) je grana mehanike fluida koja koristi numeričke metode i algoritme za rješavanje i

analiziranje problema koji uključuju strujanje fluida. Računala se koriste za provoĎenje

proračuna koji su potrebni za simuliranje meĎudjelovanja tekućina i plinova s površinama

koje su definirane s graničnim uvjetima. S modernijim brzim računalima mogu se postizati

sve bolji rezultati što je i motiv ovog rada.

Jednadžbe koje opisuju strujanje fluida su nelinearne parcijalne diferencijalne (ili

integralno diferencijalne) jednadžbe. Temelj gotovo svih problema računalne dinamike fluida

jesu Navier-Stokesove jednadžbe koje definiraju svako jednofazno strujanje fluida. Ove

jednadžbe mogu biti pojednostavljene s uklanjanjem viskoznosti čime se dobivaju Eulerove

jednadžbe. Daljnje pojednostavljenje je moguće dobiti uklanjanjem članova koji opisuju

vrtloženje čime se dobivaju potencijalne jednadžbe.

Ove jednadžbe osim u specijalnim slučajevima ne mogu biti riješene analitički.

Moguće je dobiti samo približno rješenje numerički, a za dobivanje numeričkog rješenja

potrebno je koristiti neku od metoda diskretizacije. Tim metodama se prethodno spomenute

jednadžbe aproksimiraju sustavom algebarskih jednadžbi. Ove aproksimacije se primjenjuju

za male domene u prostoru i vremenu što znači da numeričko rješenje daje rezultate za

diskretne položaje u prostoru i vremenu. Kao što točnost eksperimentalnih podataka ovisi o

kvaliteti korištenih alata, tako točnost numeričkih rješenja ovisi o korištenoj diskretizaciji.

Kod eksperimentalnih radova postoje problemi koji se lako rješavaju korištenjem

računalne dinamike fluida. Na primjer ako se želi simulirati strujanje oko gibajućeg

automobila u zračnom tunelu potrebno je pozicionirati automobil i upuhivati zrak u tunel.

MeĎutim to nije sve, tlo se mora gibati jednakom brzinom kao i zrak što može bitiizvedeno ali

je skupa investicija. U numeričkim simulacijama ovo ne predstavlja poseban problem.

Drugačiji rubni uvjeti se s lakoćom zadaju unutar proračuna. Drugi primjer prednosti

korištenja CFD-a je što neprozirnost fluida ili visoke temperature ne predstavljaju probleme

za dobivanje rezultata, dok kod vršenja eksperimentalnih mjerenja mogu nastati teškoće.Osim

toga kod eksperimentalnih mjerenja sami proces mjerenja može utjecati na strujanje.

Ukoliko se točno riješe Navier-Stokesove, dobiva se potpuni skup podataka svake

fizikalno značajne veličine. MeĎutim ove prednosti ovise o točnom rješavanju Navier-

Stokesovih jednadžbi, što je vrlo teško za većinu tokova koji se susreću u inženjerskoj praksi.

14

S trenutnim računalima točno rješavanje tih jednadžbi je moguće samo za tokove s niskim

Reynoldsovim brojem koji nisu zanimljivi za inženjerske primjene, što je detaljnije opisano u

poglavlju o modeliranju turbulencije.

Postoji razlog zašto se rješenja dobivena CFD-om razlikuju od „stvarnosti“. Greške

kod dobivanja numeričkih rješenja se mogu javiti iz više razloga:

- diferencijalne jednadžbe mogu sadržavati aproksimacije, modele ili idealizacije,

- dodatne aproksimacije su napravljene u procesu diskretizacije prostora i vremena,

- kod rješavanja diskretiziranih jednadžbi se često koriste iterativne metode.

Najčešće se kod ovih metoda ne dobiva potpuno točno rješenje diskretiziranih

jednadžbi već samo aproksimacija.

Vizualizacija numeričkih rješenja korištenjem vektora, kontura i drugih vrsta

vizualizacije je bitna za interpretaciju rezultata. Tako se na najefektivniji način može

prikazati veliki skup podataka koji je dobiven rješenjem. MeĎutim, postoji opasnost da

rješenje s greškom može izgledati dobro. Stoga je rezultate potrebno kritički provjeriti

umjesto da im se slijepo vjeruje. Na sljedećoj slici prikazan je primjer vizualne interpretacije

rješenja strujanja oko trupa broda.

Slika 3.1. Strujnice koje prikazuju strujanje oko trupa broda i površina mora dobiveni

primjenom CFD-a.

15

3.1. Matematički model strujanja

Matematički model strujanja je skup jednadžbi koje su potrebne za rješavanje

problema strujanja fluida. Osnova svih CFD analiza su Navier-Stokesove jednadžbe u koje

spadaju zakon očuvanja mase, količine gibanja i energije. Navier-Stokesove jednadžbe su se

pokazale točnima za većinu problema strujanja ali same zasebno se rijetko rješavaju. Da bi se

računski posao olakšao koriste se mnogi matematički modeli kojima se modeliraju specifični

slučajevi strujanja. U te modele spadaju modeli turbulencije, višefaznog strujanja, izgaranja,

radijacije itd. Dalje u ovom poglavlju će biti opisane jednadžbe koje su se koristile za

rješavanje problema strujanja.

3.1.1. Jednadžbe očuvanja

Potrebne jednadžbe mogu biti zapisane u obliku zakona očuvanja (mase, količine

gibanja ili energije) za promatrani dio tvari. Zakon očuvanja mase tako može biti zapisan u

obliku jednadžbe:

(3.1)

gdje je m masa, a t vrijeme. Dok se masa ne može mijenjati, količina gibanja se može.

Jednadžba očuvanja je tada drugi Newtonov zakon gibanja:

(3.2)

gdje v vektor brzine, a f vektor sile koja djeluje na djelić mase.

Isti zakoni mogu se transformirati u oblik koji promatra kontrolni volumen. Taj oblik

je najčešće korišten u CFD programima i zbog toga je najvažniji. Ako je neka vrijednost za

koju vrijedi zakon očuvanja (za masu =1; za količinu gibanja=v), lijevu stranu jednadžbe

očuvanja za taj kontrolni volumen se može zapisati kao:

(3.3)

gdje CM predstavlja volumen koji zauzima kontrolna masa, CV je kontrolni

volumen, SCV je površina koja zatvara kontrolni volumen, n je jedinični vektor okomit na SCV

i usmjeren je prema vanka, v je brzina fluida a vb je brzina kojom se giba kontrolni volumen.

16

Sada za dobiti zakon očuvanja mase potrebno je u izraz (3.3) uvrstiti =1 i desnu

stranu izjednačiti s nulom. Ako uz to se uzme da kontrolni volumen miruje dobije se

jednadžba očuvanja mase za kontrolni volumen:

(3.4)

Zakon očuvanja količine gibanja dobiva se za =v, a na desnoj strani ostaju sile koje

djeluju na kontrolni volumen. Te sile mogu biti:

- površinske (tlak, normalno i smično naprezanje, površinska napetost itd.) i

- masene sile (gravitacija, centrifugalna i Coriolisova sila, elektromagnetske sile

itd.).

Za opisivanje površinskih sila najčešće se primjenjuje model Newtonovog fluida, koji

vrijedi za mnoge realne fluide meĎu kojima su i zrak i voda. Za ovaj model, tenzor naprezanja

T koji predstavlja mjeru molekularnog transporta količine gibanja može biti zapisan kao:

(3.5)

gdje je dinamička viskoznost, I je jedinični tenzor, p je statički tlak i D je tenzor

deformacije:

(3.6)

Ako se masene sile zapišu kao b, integralni oblik očuvanja količine gibanja tada

postaje:

(3.7)

3.1.2. Modeli turbulencije

Praktički svi inženjerski problemi sadržavaju turbulencije stoga zahtijevaju i

modeliranje turbulencije. Kod proučavanja turbulentnih tokova cilj je dobiti teoriju ili model

koji opisuje veličine od značaja kao što su brzine. Karakteristika ove vrste strujanja je:

- turbulentno strujanje je vrlo nestacionarno. Graf brzine u nekoj točki kao funkcija

vremena bi izgledao nasumičan za promatrača koji nije upoznat s ovakvim

tokovima,

17

- strujanje je trodimenzionalno, iako usrednjeni vektor brzine na primjer može imati

samo dvije komponente, fluktuacije u brzini su trodimenzionalne,

- sadrže mnogo vrtloženja,

- turbulencija povećava količinu miješanja drugih veličina, što se naziva

turbulentnom difuzijom,

- turbulencijom se dovode u kontakt fluidi s različitim vrijednostima količine

gibanja, što preko djelovanja viskoznosti smanjuje kinetičku energiju strujanja.

Odnosno miješanje je disipacijski proces. Izgubljena energija se nepovratno

pretvara u unutarnju energiju fluida,

- pokazano je kako se turbulentno strujanje sastoji od koherentnih struktura koje su

ponovljive i u suštini su deterministički dogaĎaji. MeĎutim nasumična

komponenta turbulentnih strujanja uzrokuje da se ove strukture razlikuju

meĎusobno po veličini, snazi i vremenskim intervalima što ih čini njihovo

proučavanje teškim,

- turbulentno strujanje stvara fluktuacije na širokom rasponu dužinskih i vremenskih

intervala. Ovo otežava numeričke simulacije.

Sa stajališta turbulencije postoji nekoliko razina predviĎanja turbulentnih strujanja od

kojih se svaka može podijeliti u više pod skupina. Prva razine uključuje korelacije koje daju

koeficijent trenja kao funkciju od Reynoldsovog ili Nusseltovog broja. Ove metode se koriste

za jednostavna strujanja koja se mogu definirati s malim brojem parametara. Druga razina

uključuje integralne jednadžbe koje se reduciraju na sustav jedne ili više običnih

diferencijalnih jednadžbi, što se koristi kod rješavanja problema koji uključuju prijelaz

topline. Treća razina se postiže usrednjavanjem jednadžbi po vremenu. Ovaj pristup se zove

zatvaranje jednadžbi s jednom točkom što vodi do skupine parcijalnih diferencijalnih

jednadžbi koje se nazivaju Reynolsds-usrednjene Navier-Stokesove (RANS) jednadžbe. Ove

jednadžbe ne formiraju skup zatvorenih jednadžbi i zbog toga su potrebne aproksimacije

odnosno modeliranje turbulencije. Ovo je najvažnija razina predviĎanja turbulencije za svrhe

u ovom radu. Dalje postoje još razine od kojih su bitne simuliranje velikih vrtloga (LES) i

zadnja je direktna numerička simulacija (DNS) koja rješava NS jednadžbe bez ikakvih

modela turbulencije. Kako se ide od prve do zadnje razine povećava se računanje turbulencije

a smanjuje se korištenje aproksimacija. Tako se i povećava potrebna računalna snaga za

rješavanje problema metodom viših razina.

DNS je najtočniji pristup simuliranju turbulencije koji ne koristi usrednjavanja ili

aproksimacije, osim aproksimacija koje su napravljene numeričkom diskretizacijom.

18

Konceptualno je ovo i najjednostavniji pristup. Da bi se ovaj pristup mogao koristiti potrebno

je osigurati dužinsku i vremensku razlučivost svih turbulentnih struktura. Tako veličina

elemenata mreže ne smije biti veća od veličine koja se naziva Kolmogoroffova veličina, a

označava se s η. S obzirom da proračunska domena mora obuhvatiti i najveće turbulentne

strukture duljine L broj elemenata mreže u svakom smjeru mora iznositi minimalno L/η.

Može se pokazati da je ovaj omjer proporcionalan s ReL3/4

gdje je ReL Reynoldsov broj koji je

baziran na brzini turbulentnih fluktuacija. Ovaj broj za tipične inženjerske probleme iznosi

otprilike 1% od uobičajeno korištenog Reynoldsovog broja. S obzirom da postoje tri

prostorne koordinate i jedna vremenska potrebna računalna snaga za rješavanje problema

pomoću DNS je proporcionalna s ReL4(3/4)

odnosno s ReL3. To je vrlo veliki broj elemenata pri

veličinama Reynoldsovog broja koje se susreću u praksi. Tako da s trenutno dostupnim

računalima nije moguće koristiti ovu metodu za inženjerske probleme. Korištenjem DNS

metode dobiva se velik broj podataka od kojih puno nije potrebno za inženjerske svrhe. Tako

je na sljedećoj slici prikazana disipacija kinetičke energije dobivena DNS-om za jedan

vremenski trenutak. Ova metoda je bitna kao istraživački alat, a rješenje dobiveno njom se

može smatrati ekvivalentno eksperimentalnim podacima.

Slika 3.2. Konture kinetičke energije kod DNS simulacije [4].

S obzirom da su vrtloženja većih duljina energičniji od malih, to ih čini najefektivnijim

po pitanju utjecaja turbulencije na strujanje. Tako se razvila LES metoda koja velika

vrtloženja rješava egzaktnije dok za manje koristi modele. Ovo čini LES metodu računalno

jeftinijom od DNS i njom se mogu simulirati i neki inženjerski bitni problemi ali još uvijek se

koristi uglavnom samo za istraživačke svrhe.

Slika 3.3. Shematska usporedba LES i DNS: slika turbulentnog strujanja (lijevo) i

brzine kroz vrijeme (desno)[4].

19

Za inženjerske probleme najčešće se koriste RANS modeli s modelima turbulencije koji

opisuju pojave vezane uz turbulenciju. Osim što su računski manje zahtjevni od prethodnih s

njima se ne dobiva ogroman broj podataka kao što je rečeno za prethodne metode. U praksi su

najčešće dovoljne vremenski usrednjene vrijednosti varijabli, koje se dobivaju s ovim

modelima. S RANS pristupom modeliranja turbulencije, usrednjavaju se sve turbulentne

fluktuacije. Time je brzina (definirana kao statistički stacionarno strujanje. Svaka varijabla

tada može biti zapisana kao zbroj vremenski usrednjene vrijednosti i fluktuacije oko te

vrijednosti:

(3.8)

Gdje je (xi) usrednjena komponenta a(xi,t) fluktuacija. Ako strujanje nije

stacionarno tada i usrednjena komponenta ovisi o vremenu t, čime se mogu rješavati i

nestacionarni problemi. S obzirom da je usrednjena fluktuirajuća komponenta jednaka nuli,

vrijednost nelinearnih članova unutar transportne jednadžbe iznosi:

(3.9)

Drugi član u jednadžbi je jednak nuli samo ako nema korelacije izmeĎu dvije

vrijednosti, a to je rijetko slučaj. Jednadžbe očuvanja, kada su pretvorene u ovakav oblik,

sadrže članove kao što su koji se nazivaju Reynoldsovim naprezanjima i koji se

nazivaju turbulentni skalarni tok. Sada jednadžbe očuvanja mase i količine gibanja, za slučaj

nestlačivog strujanja bez masenih sila, mogu se zapisati kao:

(3.10)

(3.11)

gdje je 𝜏𝑖𝑗 usrednjeni viskozni tenzor naprezanja:

(3.12)

Jednadžba za usrednjenu skalarnu veličinu može biti zapisana kao:

(3.13)

20

Prisustvo Reynoldsovih naprezanja i turbulentnog skalarnog toka u jednadžbama

očuvanja znači da one nisu zatvorene, odnosno sadrže više varijabli nego što imaju jednadžbi.

Zatvaranje zahtijeva neke aproksimacije koje najčešće ima oblik izražavanja Reynoldsovih

naprezanja i turbulentnog skalarnog toka preko članova srednjih vrijednosti. Sve jednadžbe

ovakvog oblika da bi bile riješene zahtijevaju neku vrstu aproksimacijskog modeliranja. Zato

se ovakve jednadžbe smatraju inženjerskim aproksimacijama a ne znanstvenim zakonima.

Kao što je od ranije poznato u laminarnom strujanju, disipacija energije i prijenos mase

i količine gibanja koji su okomiti na strujnice su uzrokovani viskoznošću. Tako je prirodno

pretpostaviti da se efekt turbulencije može prikazati kao povećana viskoznost. Ovo vodi do

eddy-viskoznih modela gdje za Reynoldsova naprezanja vrijedi:

(3.14)

A eddy-difuzijski model za skalarni difuzni tok:

(3.15)

U jednadžbi (3.14),k je turbulentna kinetička energija:

(3.16)

Iako hipoteza eddy-viskoznosti nije ispravna do detalja, jednostavna je za

implementaciju i s pažljivom primjenom može pružiti razumno dobre rezultate za mnoga

strujanja. Najjednostavniji opis turbulencije može se karakterizirati s dva parametra od kojih

je prvi kinetička energija, k ili brzina 𝑞 = 2𝑘. Drugi parametar je parametar dužine L. Sada

se dimenzionalnom analizom može pokazati da je:

(3.17)

Gdje je C bezdimenzionalna konstanta.Za opisivanje turbulencije potrebno je

najmanje dvije veličine a to su dužinska i brzinska skala. Stoga model kojim se mogu odrediti

ove veličina zahtjeva bar dvije jednadžbe. U većini takvih modela s dvije jednadžbe,

jednadžba za turbulentnu kinetičku energiju, k, odreĎuje brzinsku skalu. Točnu jednadžbu za

ovu veličinu nije teško izvesti:

(3.18)

21

Članovi na lijevoj strani jednadžbe i prvi član na desnoj strani ne zahtijevaju

modeliranje. Zadnji član predstavlja umnožak gustoće) i disipacije. Disipacija je

brzina kojom se turbulentna energija nepovratno pretvara u unutarnju energiju. Drugi član s

desne strane predstavlja turbulentnu difuziju kinetičke energije (transport fluktuacija brzine s

fluktuacijama brzine), koji se modelira kao gradijent difuzije:

(3.19)

gdje je t eddy-viskoznost definirana ranije, i k je turbulentni Prandtlov broj čija

vrijednost iznosi približno jedan. Treći član desne strane jednadžbe (3.18) predstavlja brzinu

proizvodnje turbulentne kinetičke energije iz usrednjenog strujanja fluida. Drugačije se može

reći da predstavlja prijenos kinetičke energije iz usrednjenog strujanja u turbulenciju. Ovaj

član se može aproksimirati:

(3.20)

S ovime je završen razvoj jednadžbe za turbulentnu kinetičku energiju. Kao što je već

spomenuto potrebna je još jedna jednadžba da bi se u potpunosti mogla modelirati

turbulencija, odnosno da bi se odredila dužinska skala turbulencije. Izbor jednadžbe nije očit,

i postoji nekoliko jednadžbi koje se koriste za ovu svrhu. Najpopularnija se bazira na

promatranju da je disipacija potrebna u jednadžbi energije i u takozvanim ravnotežnim

turbulentnim strujanjima. To su strujanja u kojima su proizvodnja i uništavanje turbulenciju u

ravnoteži. Disipacija , turbulentna kinetička energija k i L su povezani s:

(3.21)

Ova ideja je zasnovana na činjenici, da pri većim Reynoldsovim brojevima postoji

kaskada energije od najvećih skala do najmanjih i da se energija prenesena na najmanje skale

disipira. U prethodnoj jednadžbi nema ni jedne konstante jer su konstante kombinirane s

drugima u ukupnom modelu. Iako točna jednadžba disipacije može biti izvedena iz Navier-

Stokesove jednadžbe, na nju je primijenjeno modeliranje u tolikoj mjeri da se u potpunosti

može smatrati modelom. U najčešćem obliku jednadžba glasi:

(3.22)

22

U ovom modelu eddy-viskoznost se može izraziti kao:

(3.23)

Model koji je osnovan na jednadžbama(3.19)(3.18) i (3.22) se naziva k- model.

Model sadrži pet parametara a najčešće korištene njihove vrijednosti su:

(3.24)

Ovo je jedan od najčešće korištenih modela i korišten je u ovom radu za modeliranje

turbulencije. Osim ovoga korišten je i model k-koji koristi jednadžbu za inverznu

vremensku skalu . Model se sastoji od modificirane jednadžbe za kinetičku energiju i nove

jednadžbe.

(3.25)

(3.26)

Kod ovog modela eddy-viskoznost je izražena kao:

(3.27)

Koeficijenti koji ulaze u ovaj model su:

(3.28)

Postoje još mnogi modeli, od kojih su neki korišteni i u ovom radu ali ne u tolikoj

mjeri kao prethodno opisani k- model stoga neće biti detaljnije spominjani.

3.1.3. Rubni uvjeti

Osim prethodnih jednadžbi koje vrijede za proračunsku domenu, potrebno je postaviti

rubne uvjete na granicama proračunske domene. U općem slučaju na granicama se postavljaju

Dirichletovi rubni uvjeti (poznata je vrijednost) ili Neumannovi rubni uvjeti (poznata je

derivacija) ili se koristi linearna kombinacija ova dva rubna uvjeta.

Ako su vrijednosti neke varijable poznate nema potreba za dodatnim rješavanjem.

MeĎutim kada su na rubu propisani gradijenti, potrebne su dodatne operacije. Pretpostavljeno

je da se problem rješava nekom od metoda diskretizacije o kojima će više rečeno biti u

sljedećem poglavlju. S obzirom da se proračunsko područje nalazi samo s jedne strane granica

proračunske domene, aproksimacije koje se rade (na primjer za izračun gradijenta) moraju biti

23

bazirane na jednostranim diferencijacijama ili ekstrapolacijama. Ako je na primjer propisano

na granici da je gradijent jednak nuli tada se on može aproksimirati:

(3.29)

gdje indeks 1 označava vrijednost u rubnom elementu a indeks 2 vrijednost u

susjednom elementu. Ovim se dobije 1 = 2, odnosno vrijednost na granici se zamjenjuje s

vrijednosti u čvoru pokraj granice. Time nepoznata vrijednost na rubu postaje poznata. Isto

tako lako je izraziti vrijednosti na granici s aproksimacijama višeg reda.

Na stjenkama se često prepisuje rubni uvjet bez klizanja, odnosno brzina fluida je

jednaka brzini stjenke, što je Dirichletov rubni uvjet. Može se taj uvjet postaviti i drugačije,

na način da se postave normalna viskozna naprezanja na stjenci su jednaka nuli.

(3.30)

Kada se koriste integralne jednadžbe za difuzivni tok u v jednadžbi na granici e (Slika

3.4) vrijedi:

(3.31)

Stoga se primjenjuje ovaj uvjet jer ako se koristi uvjet v= 0 na stjenci ovaj uvjet ne bi

bio ispunjen. S obzirom da brzina v u susjednom elementu nije jednaka nuli (vP≠ 0) dobila bi

se derivacijav po y koja nije jednaka nuli što uvjetuje ne zadovoljavanje tog uvjeta. Može se

još spomenuti da smična naprezanja τxy uz stjenku u ovom slučaju nisu jednaka nuli.

Slika 3.4. Granični uvjeti za stjenku i simetriju [4].

Kada je granica ravnina simetrije, tada je po pitanju naprezanja uz granicu stanje

obratno: smično naprezanje je jednako nuli, dok normalna naprezanja nisu kao što je vidljivo

na prethodnoj slici.

24

Koristeći metodu konačnih volumena, tlak na granicama nije potrebno zadavati, već se

on može računati ili ekstrapolirati iz susjednih elemenata. Valja napomenuti da ako tlak nije

zadan na granicama, tada mora biti zadana brzina. Isto tako se može na ulazu i izlazu zadati

samo tlak, a u tom slučaju se ne zadaje brzina. Tada se brzine računaju u proračunskoj

domeni, a ekstrapoliraju se na granice. Kada se na granice zadaje tlak, često se za ulazne

zadaje totalni tlak, dok se na izlazu zadaje statički tlak.

Osim za nepoznate brzine i tlakove, na granicama je potrebno postaviti rubne uvjete i

za varijable koje su dio modela turbulencije. Kod k- modela na ulazu i izlazu (na izlazu samo

u slučaju povratnog strujanja) se zadaju vrijednosti k i koje se mogu pretpostaviti iako

najčešće nisu poznate. Njihov utjecaj na rezultate nije toliki da bi bile potrebne točne

vrijednosti na ulazu i izlazu. Uz stjenku je prikladno postaviti k = 0, meĎutim disipacija nije

jednaka nuli i može se primijeniti sljedeći uvjet:

(3.32)

Pri visokim Reynoldsovim brojevima, viskozni pod-sloj graničnog sloja je toliko tanak

da je teško koristiti dovoljno finu mrežu da bi se dobro razlučio. Stoga da bi se izbjegao ovaj

problem koriste se zidne funkcije koje se oslanjaju na postojanje logaritamskog profila brzine.

Profil brzine kod turbulentnog graničnog sloja je prikazan na sljedećoj slici. Crtkane linije

odgovaraju jednadžbama, dok puna linija odgovara eksperimentalnim podacima.

Slika 3.5. Profil brzine kod turbulentnog graničnog sloja kao funkcija udaljenosti od

zida [4].

U jednadžbama na slici u+ je brzina prema sljedećoj formuli:

(3.33)

25

gdje je 𝑣 𝑡 usrednjena brzina paralelna s zidom, a 𝑢𝜏 je smična brzina prema𝑢𝜏 =

𝜏𝑤 /𝜌. Gdje je 𝜏𝑤 smično naprezanje uz stjenku. Konstanta κ naziva se von Karmanova

konstanta (κ = 0.41), a B je empirijska konstanta koja ovisi o debljini viskoznog pod sloja.

Bezdimenzionalna udaljenost od stjenke n+ se računa prema:

(3.34)

Često se pretpostavi da je strujanje u lokalnoj ravnoteži, odnosno da je proizvedena

turbulencija jednaka disipiranoj. Tada se može pokazati da je:

(3.35)

Iz ove jednadžbe i jednadžbe za profil brzine kod turbulentnog graničnog sloja može

se doći do jednadžbe koja spaja brzinu u prvoj točci mreže uz stjenku, i smičnog naprezanja

uz stjenku:

(3.36)

gdje je E= eκB

. U jednadžbi za količinu gibanja paralelnu sa stjenkom, potrebno je

smično naprezanje uz stjenku. Ono se može dobiti iz prethodne jednadžbe. Proizvodnja

turbulencije kinetičke energije u području blizu stjenke može se računati prema:

(3.37)

Da bi dobili disipaciju (koja je jednaka proizvodnji) u središnjoj točci kontrolnog

elementa najbližeg stjenci, potrebne derivacije se mogu dobiti iz pretpostavljenog

logaritamskog profila brzine. Iz toga i aproksimacije za dužinsku skalu L≈ 2.5n, se može

izračunati disipacija koja se za centar kontrolnog volumena postavlja jednaka:

(3.38)

Potrebno je naglasiti da prethodni granični uvjeti vrijede kada je prva točka mreže

unutar logaritamskog sloja odnosno kada je 𝑛P+ >30. Problemi se javljaju kod odvajanja

strujanja unutar kada prethodni uvjeti nisu zadovoljeni. Uglavnom se ovo ignorira i zidne

26

funkcije se primjenjuju svugdje. To znači da ako je područje u kojemu je zidna funkcija

neispravna preveliko može doći do velikih grešaka u rezultatima.

3.1.4. Strujanje s slobodnom površinom

Najčešći slučaj strujanja s slobodnom površinom je izmeĎu vode i zraka iako može biti

i druge vrste. Ako se zanemari izmjena faza na granicama, sljedeći rubni uvjeti vrijede:

- Kinematski uvjet zahtjeva da slobodna površina bude oštra granica koja odvaja

dva fluida i ne dopušta strujanje kroz nju,

- Dinamički uvjet zahtjeva da sile koje djeluju na fluid na slobodnoj površini budu u

stanju ravnoteže (očuvanje količine gibanja na slobodnoj površini). To znači da su

normalne sile s svake strane jednakog intenziteta i suprotnog smjera dok su sile u

tangencijalnom smjeru jednakog intenziteta i smjera.

Postoji više metoda za traženje oblika slobodne površine koje se dijele u dvije glavne

skupine:

- Interface-tracking metoda je metoda koja uz slobodnu površinu izraĎuje mrežu

koja se mijenja zajedno sa slobodnom površinom,

- Interface-capturing metoda, koristi se fiksnom mrežom i ne definira oštru granicu.

Oblik slobodne površine je odreĎen s udjelom napunjenosti svakog elementa blizu

slobodne površine. Ovo se može raditi na više načina od kojih je jedan rješavanje

transportnih jednadžbi za udio elementa koji je okupiran s tekućom fazom. Ova

metoda se naziva Volume-of-Fluid shema odnosno VOF shema.

Kod VOF metode osim rješavanja jednadžbi očuvanja mase i količine gibanja, rješava se i

jednadžba udjela popunjenosti svakog kontrolnog volumena c. Gdje c= 1 znači da je volumen

popunjen dok c= 0 znači da je volumen prazan. Može se pokazati da za c vrijedi jednadžba:

(3.39)

S obzirom da ovdje granica nije oštro definirana, u području granice je potrebno

napraviti lokalno finiju mrežu.

27

Oba fluida se zatim mogu promatrati kao jedan čija svojstva variraju u ovisnosti o

volumnom udjelu svake faze odnosno:

(3.40)

U ovom slučaju ne postoji posebna granica već je granica mjesto gdje fluid naglo

mijenja svojstva. Jednadžbe (3.40) i (3.39) osiguravaju zadovoljenje kinematskih i dinamičkih

uvjeta. Površinska napetost se može uzeti u obzir ali se često zanemaruje.

3.2. Metode diskretizacije

Prvi korak prema dobivanju rješenja je odrediti matematički model odnosno skup

parcijalnih diferencijalnih ili integralno diferencijalnih jednadžbi i rubne uvjete. Taj

matematički model može sadržavati neka pojednostavljenja ranije navedenih zakona

očuvanja. Tako se metode rješavanja uglavnom prilagoĎavaju odreĎenom skupu jednadžbi.

Izraditi metodu koja je može primjenjivati u općem slučaju odnosno za sve vrste strujanja se

pokazalo nepraktično. Kao kod svih alata opće primjene takve metode nisu optimalne za

svaku primjenu.

Nakon što je odabran matematički model potrebno je izabrati prikladnu metodu

diskretizacije odnosno metodu aproksimacije skupa diferencijalnih jednadžbi sa skupom

algebarskih jednadžbi. Postoji više metoda a najvažnije su: metoda konačnih razlika, metoda

konačnih volumena i metoda konačnih elementa. Svaka metoda daje jednako rješenja ako je

mreža vrlo fina. MeĎutim, neke metode su primjerenije nekim vrstama problema. Najčešće

korištena metoda u CFD programima je metoda konačnih volumena. Ova metoda koristi

integralni oblik jednadžbi očuvanja:

(3.41)

gdje je S površina koja opisuje volumen . Domena koja se rješava je podijeljena na

konačan broj kontrolnih volumena (CV) i jednadžbe očuvanja primijenjene na svaki CV. U

težištu svakog CVa stoji računski čvor za koji se računaju varijable. Interpolacija se koristi da

bi se izrazile vrijednosti varijabli na površinama CVa.

Površinski i volumni integrali su aproksimirani s prikladnim formulama. Kao rezultat

dobiva se jedna algebarska jednadžba za svaki CV. U svakoj jednadžbi se pojavljuje nekoliko

vrijednosti iz susjednih čvorova.

28

Slika 3.6. Mreža konačnih volumena zajedno s računskim čvorovima [4].

Metoda konačnih volumena može se primijeniti za svaku vrstu mreže, stoga je

prigodna za kompleksne geometrije. Mrežom su odreĎene samo granice kontrolnih volumena.

Ova metoda je vjerojatno najjednostavnija i najlakša za programiranje. Svaki aproksimirani

član ima fizikalno značenje što čini ovu metodu popularnu kod inženjera. Nedostatak metode

konačnih volumena u odnosu na metodu konačnih razlika je što je teško razviti

aproksimacijske sheme višeg od drugog reda. Teškoće nastaju iz razloga što pristup s

kontrolnim volumenima zahtijeva tri razine aproksimacija: interpolaciju, diferencijaciju i

integraciju, što će se objasniti detaljnije u nastavku.

Kod ove metode integral jednadžbe očuvanja osim što vrijedi za svaki element vrijedi i

za cjelokupnu domenu. Ako se sumiraju jednadžbe za sve CVe, s obzirom da se površinski

integrali po unutarnjim licima ponište, dobije se globalna jednadžba očuvanja. Za dobiti

algebarske jednadžbe potrebno je aproksimirati površinske i volumne integrale.

Kod pravilne ortogonalne mreže, ukupni tok kroz granicu CVa je suma integrala po

četiri (u 2D) ili šest (u 3D) CV lica:

(3.42)

gdje je f komponenta koja je normala na CV lice, a može biti vektor konvektivnog ili

difuznog toka. Kako bi se točno izračunao integral potrebno je točno poznavati f svugdje na

površini Sk. Taj podatak nije dostupan već je poznat samo podatak za središte kontrolnog

volumena. Zato je potrebno uvesti aproksimaciju, a ovo se radi kroz dva koraka:

- integral se aproksimira kroz vrijednosti varijable na jednoj ili više točaka na licu

razmatrane ćelije,

- vrijednosti na licu ćelije se aproksimiraju iz vrijednosti u središtu CVa.

29

Najjednostavnija aproksimacija integrala je po srednjoj točci lica, odnosno integral se

aproksimira kao umnožak površine S i vrijednosti f na srednjoj točki lica. S tim da je kao što

je već rečeno sama vrijednost f u toj točki aproksimacija. Dalje se može raditi trapezna

aproksimacija koja je jednaka umnošku površine i srednjoj vrijednosti iz dva rubna čvora (za

2D). Mogu se raditi i aproksimacije višeg reda po Simpsonovom pravilu uzimajući više

točaka.

Neki članovi u transportnoj jednadžbi zahtijevaju volumne integrale. Najjednostavnija

aproksimacija drugog reda je zamijeniti volumni integral s umnoškom srednje vrijednosti

integranda i volumena CVa:

(3.43)

gdje je qp vrijednost q u središtu CVa. Ovo je lako izračunati s obzirom da su sve

varijable dostupne u središtu CVa. Ova vrijednost je točna ako je q konstantan ili se mijenja

linearno unutar CVa. Aproksimacija višeg reda zahtijeva vrijednosti q na više mjesta unutar

volumena. Ovo zahtijeva interpolaciju iz vrijednosti u čvorovima.

Sama vrijednost u čvorovima se dobiva interpolacijom. Često korištena je Upwind

interpolacija (UDS – Upwind Interpolation Scheme) koja će biti prikazana na primjeru

aproksimiranja ešto se odnosi na čvor e koji je prikazan na slici.

Slika 3.7. Tipičan CV za 2D kartezijevu mrežu [4].

Ova metoda interpolacije koristi diferencijaciju u smjeru koji ovisi o smjeru strujanja.

UDS aproksimira vrijednost e kao:

(3.44)

30

UnaprjeĎenje ove sheme je aproksimiranje koristeći E i P. QUICK (Quadratic

Upwind Interpolation) koristi parabolu za interpolaciju vrijednosti. Za interpolirati parabolu

kroz točke potrebno je tri točke. Stoga se uzimaju dvije točke u čvorovima koji su u uz-

strujnom smjeru i jedna koja je u obratnom smjeru. Postoje i druge sheme koje za izračun

vrijednosti e interpoliraju polinome višeg reda. Još je za dobivanje algebarskih jednadžbi

potrebna aproksimacija gradijenta. Postoje i aproksimacije gradijenta višeg reda, a

najjednostavnija aproksimacija je:

(3.45)

S svim navedenim aproksimacijama, primjenom na integralnu jednadžbu za svaki CV

može se dobiti po jedna algebarska jednadžba. MeĎutim za CVe koji se nalaze uz granice

potrebno je poznavati rubne uvjete. Iz poznavanja rubnih uvjeta na rubove se postavljaju ili

fiksne vrijednosti varijabli, njihov gradijent ili neka druga funkcija kao što je rečeno u

poglavlju o rubnim uvjetima (poglavlje3.1.3.). Iz svega toga se dobiva skup jednadžbi s

jednakim brojem jednadžbi i nepoznanica, jer je broj nepoznanica jednak broju kontrolnih

volumena što je jednako i broju jednadžbi.

3.2.1. Greške diskretizacije

Diskretizacijom prostora dobije se skup algebarskih jednadžbi koji predstavlja

aprokcimaciju diferencijalnih (ili integralnih) jednadžbi. To je veliki skup linearnih

algebarskih jednadžbi koji se mora riješiti numerički. Taj sustav može biti zapisan u

matričnom obliku kao:

(3.46)

S obzirom da diskretizirane jednadžbe predstavljaju aproksimacije diferencijalnih

jednadžbi, rješenja takvih diskretiziranih jednadžbi ne predstavljaju točna rješenja. Ta greška

se koja se odnosi na razliku izmeĎu rješenja diskretiziranih jednadžbi i točnog rješenja naziva

se greška podjele (truncation error) h i definira se kao:

(3.47)

gdje je ℒ simbolički operator koji predstavlja diferencijalnu jednadžbi, Lh je simbolički

operator koji predstavlja sustav algebarskih jednadžbi dobiven diskretizacijom na mreži h.

31

Točno rješenje diskretiziranih jednadžbi na mreži h, h, zadovoljava sljedeću

jednadžbu:

(3.48)

To rješenje se razlikuje od točnog rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe za

greške diskretizacije 𝜖𝑕d odnosno:

(3.49)

Iz prethodne tri jednadžbe može se pokazati da za linearne probleme vrijedi:

(3.50)

Ova jednadžba govori da greška podjele djeluje kao izvor greške diskretizacije. Točna

analiza nije moguća za ne-linearne jednadžbe ali može se očekivati slično ponašanje. Podaci o

veličini i rasporedu greške podjele mogu pomoći da se postigne cilj jednolike raspodjele

diskretizacijske greške svugdje unutar proračunske domene. MeĎutim točno rješenje nije

poznato toga se ne može izračunati ni greška podjele. Može se dobiti samo aproksimacija

koristeći rješenje od druge (finije ili grublje) mreže. Procjene ove greške nisu uvijek točne ali

služe da bi se odredila područja u kojima se javlja velika greška i gdje je potrebna još finija

mreža.

3.3. Numerička mreža

Diskretni položaji na kojima se računaju varijable su definirani s numeričkom mrežom.

Ta mreža je ubiti diskretna reprezentacija geometrijske domene na kojoj se rješava problem.

Ona dijeli domenu na konačan broj pod-domena (elemenata ili kontrolnih volumena). Postoji

nekoliko vrsta numeričke mreže: strukturirana, blok-strukturirana, i nestrukturirana.

Strukturirana mreža se sastoji od familija mrežnih linija. Te linije su takve da članovi

jedne familije linija ne prelaze jedne preko drugih, dok prelaze preko svake linije koja je član

druge familije samo jednom. Ovo omogućava označavanje svakoj mrežnoj točci (točka gdje

se sijeku linije) ili kontrolnom volumenu da bude označena jedinstveno s dva broja u 2D ili tri

broj u 3D. Ovakva mreža je najjednostavnija mreže, s obzirom da je ona logični ekvivalent

kartezijeve mreže. Svaka mrežna točka ima četiri najbliža susjeda u dvije dimenzije i šest u tri

dimenzije. Oznaka svakog susjednog elementa se razlikuje od središnjeg za ±1 u odnosu na

središnji. Ako je oznaka jednog elementa i,j njegov susjedni će biti i±1,j ili i,j±1. Ovakva

povezanost susjednih elemenata omogućava jednostavno programiranje i matrica algebarskih

32

jednadžbi ima pravilnu strukturu. Nedostatak strukturirane mreže je što mogu biti

primijenjene samo za geometrijski jednostavne domene.

Slika 3.8. Primjer dvodimenzionalne strukturirane ne-ortogonalne mreže napravljene

sa svrhom simuliranja strujanja u segmentu izmeĎu paralelnih cijevi [4].

U blok-strukturiranoj mreži, postoje dvije ili više razina rješavane domene. Na gruboj

razini ovi blokovi su relativno veliki dijelovi domene, struktura im može biti nepravilna, i

mogu ali ne trebaju se preklapati. Na finoj razini je definirana strukturirana mreža. Blok-

strukturirana mreža s preklapajući elementima naziva se i kompozitnom mrežom. Ova mreža

je fleksibilnija od prethodne, a nedostatak je što je teško rješavanje granica blokova.

Slika 3.9. Blok-strukturirana mreža napravljena za simulaciju strujanja oko hidrokrila

ispod površine vode [4].

Nestrukturirana mreža se koristi kod kompleksnih geometrija. Ona je najfleksibilnija

vrsta mreže i može se prilagoditi svakoj geometriji. Najčešće se koriste mreže s trokutima ili

četverokutima u 2D, a u 3D se najčešće koriste tetrahedralni ili heksahedralni elementi (ili

volumeni). Ovakve mreže se generiraju automatski s postojećim algoritmima. Prednost

ovakve mreže je njena fleksibilnost a nedostatak je nepravilnost podatkovne strukture.

33

Položaj čvorova i spojevi sa susjedima moraju biti specificirani posebno za svaki čvor.

Rješavanje skupa algebarskih jednadžbi na ovakvoj mreži je sporije nego na pravilnoj mreži.

Slika 3.10. Primjer dvodimenzionalne nestrukturirane mreže [4].

Kod kompleksnih geometrija, komercijalni programi najčešće koriste ne-okomite

mreže koje prislanjaju na granice geometrije. Ove mreže mogu biti strukturirane, blok-

strukturirane ili nestrukturirane. Prednost ovih mreža je što se mogu adaptirati na svaku

geometriju. Ove mreže mogu se adaptirati na razne načina na primjer napraviti manji elementi

na mjestima gdje se javljaju nagle promjene. Ove mreže imaju i neke nedostatke, a glavni je

teško programiranje jednadžbi za prilagoĎavanje mreži što dovodi i do većih troškova

računanja.

Mnogi komercijalni programi imaju kodove za automatsko generiranje mreže čime se

smanjuje vrijeme koje korisnik mora provesti radeći na mreži. Ta automatski generirana

mreža se najčešće sastoji od tetrahedralnih elemenata. Takvi elementi su najčešći jer je

njihovo automatsko generiranje jednostavno. Generiranje mreže najčešće se provodi po

marching front proceduri. Ta metoda se sastoji od generiranja površinske mreže trokuta koja

se zatim nastavlja prema unutrašnjosti. Takvi tetrahedralni elementi nisu poželjni uz samu

stjenku. Ako se želi dobro razlučiti granični sloj bilo bi potrebno imati vrlo finu mrežu ovih

elemenata. Mrežom tankih prizama se omogućava dobro razlučivanje graničnog sloja bez

pretjerano finih elemenata uz stjenku. Samo generiranje mreže za kompleksne geometrije je

problem koji zahtjeva previše prostora i ne može mu se ovdje posvetiti mnogo prostora.

Izrada mreže uglavnom uzima daleko najveći dio vremena. S obzirom da točnost

rješenja ovisi jednako (ako ne i više) o kvaliteti mreže nego o kvaliteti korištenih

aproksimacija koje se koriste za diskretiziranje jednadžbi. Stoga je optimizacija mreže

vrijedna investicija vremena.

34

Na sljedećoj slici su prikazane konture elemenata uz stjenku lopatičnog kanala, a

vidljiv je sloj prizmatičnih elemenata uz stjenku lopatice. Iako su elementi s velikim omjerom

najveće i najmanje stranice (aspect ratio) nepoželjni, uz samu stjenku strujanje je približno

dvodimenzionalno zbog čega takvi elementi ne smetaju.

Slika 3.11. Mreža tetrahedralnih elemenata s prizmatičnim elementima uz stjenku za

segment lopatičnog kanala ventilatora.

3.4. Metode rješavanja sustava jednadžbi

Nakon što je prostor diskretiziran i dobiven skup algebarskih jednadžbi potrebno je

njihovo rješavanje. Jednadžbe mobu biti linearne ili nelinearne što ovisi o karakteru

parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. U većini slučajeva radi se o nelinearnim jednadžbama

koje se rješavaju iterativnim tehnikama. Iterativne tehnike uključuju prvo pogaĎanje rješenja,

zatim lineariziranje jednadžbi i unaprjeĎivanje rješenja. Stoga bez obzira jesu li jednadžbe

linearne ili nelinearne potrebne su metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Matrice dobivene iz parcijalnih diferencijalnih jednadžbi su uvijek rijetke odnosno

većina njihovih elemenata je jednako nuli. Neke metode koje se primjenjuju su primjenjive

samo na strukturiranoj mreži gdje većina ne-nula elemenata leže na nekoliko točno

definiranih dijagonala. Skup algebarskih jednadžbi se može zapisati kao:

(3.51)

35

Osnovna metoda za rješavanje ovakvog sustava linearnih jednadžbi je metoda

Gaussove eliminacije. Ona se bazira na sustavnom smanjivanju velikog sustava jednadžbi na

sve manje, a kreće se od same matrica A koja je oblika:

(3.52)

Cilj ove metode je od prethodne matrice napraviti trokutastu matricu s nulama ispod

dijagonale. Za to napraviti potrebno je krenuti od A21, zatim se prvi red matrice dijeli s A21 i

oduzima od drugog reda. Time je element A21 postao nula. Zatim se mogu eliminirati na isti

način elementi svih ostalih elemenata u prvom stupcu. Nakon toga prelazi se na sljedeći

stupac i postupak se nastavlja do n-1 stupca i time se dobije novatrokutasta matrica:

(3.53)

Tokom ovog postupka takoĎer je potrebno modificirati elemente Qi s desne strane

jednadžbe. Sada postoji sustav jednadžbi koji se lako rješava, počevši od zadnje jednadžbe

kojoj je rješenje:

(3.54)

Sljedeća jednadžba sadrži dvije nepoznanice od kojih je jedna poznata, stoga se i ona

lako riješi. Broj operacija potrebnih za rješavanje sustava n jednadžbi ovom metodom

zahtijeva n3/3 operacija što je računalno vrlo skup proces kod velikih sustava i rijetko se

koristi. Postoje i modifikacije ove metode na primjer LU dekompozicija koja rastavlja matricu

na dvije trokutaste. Ova metoda iako brža je još uvijek računalno preskupa. Kod obje metode,

greška koja se javlja kod diskretizacije je mnogo veća od točnosti računalne aritmetike. Stoga

nema potrebe rješavati jednadžbe s tolikom točnošću. Rješenje sustava linearnih jednadžbi je

dovoljno točno ako je greška malo manja od one koja se javlja zbog diskretizacije.

Zbog toga je poželjno koristiti iterativne metode kojima je znatno jeftinije rješavanje

jednadžbi a točnost rješenja je dovoljno velika. Osim toga kod nelinearnih problema iterativne

metode su nužne za rješavanje takvih problema. Kod iterativnih metoda kreće se od

pretpostavljenog rješenja i zatim se koriste jednadžbe za sistematsko popravljanje. Ako je

36

svaka iteracija jeftina i broj iteracija dovoljno mal, iterativni rješavač može biti računski

jeftiniji od direktnih metoda što je kod CFD problema najčešće slučaj.

Kada se razmotri matrični problem iz jednadžbe (3.51) koje je proizašao iz

aproksimacije problema na primjer metodom konačnih volumena. Nakon n iteracija postojat

će aproksimacija rješenja koja se označava s n. Ta aproksimacije ne zadovoljava jednadžbe

točno već postoji ostatak n:

(3.55)

Ako se uvrsti ova jednadžba u jednadžbu (3.51) dobije se odnos izmeĎu iteracija i

greške koji je definiran s:

(3.56)

gdje konvergirano rješenje a ostatak je:

(3.57)

Svrha procesa iteracije je odvesti ostatak do nule. U ovom procesu takoĎer postaje

nula. Iterativna shema za takav postupak može biti zapisana:

(3.58)

Očito svojstvo zahtijevano od iterativne metode je da konvergirani rezultat

zadovoljava jednadžbu (3.51). Stoga po definiciji, na konvergenciji n+1 = n

= mora biti:

(3.59)

Da bi iterativna metoda bila učinkovita, rješavanje sustava mora biti jeftino i metoda

mora brzo konvergirati. Jeftina iteracija zahtjeva jednostavno računanje Nni rješenja sustava

(3.58). Prvi zahtjev je lako ispuniti s obzirom da je matrica A rijetka matrica, N je takoĎer i

izračun Nnje jednostavan. Drugi zahtjev je da se iteracijska matrica M lako invertira, i stoga

bi ona trebala biti dijagonalna, tri-dijagonalna, trokutasta ili neka druga koja se lako invertira.

Za brzu konvergenciju M bi trebao biti dobra aproksimacija A što čini Nmalim brojevima.

Jedna od najjednostavnijih iteracijskih metoda je Jacobi metoda. Kod nje je matrica M

dijagonalna matrica čiji su elementi dijagonalni elementi matrice A. Na primjer za Laplaceovu

jednadžbu, kod diskretizacije s 5 točaka iteracijski postupak se izvodi po formuli:

(3.60)

37

Ovdje je za primjer uzeta pravilna strukturirana kartezijeva mreža gdje su elementi

označeni kao i ranije (Slika 3.7). Osim toga prvi element od kojeg se kreće s iteracijama je

donji lijevi (SW smjer).

Može se pokazati da za konvergenciju ovoj metodi treba više vremena da konvergira

nego izravnim metodama. Stoga se ona u ovom obliku ne koristi. Slična metoda ovoj je

Gauss-Seidel metoda. Kod nje je M matrica donji trokutasti dio matrice A. Metoda konvergira

duplo brže od Jacobi metode ali to je još uvijek presporo da bi bilo isplativo. Modifikacijom

ove metode dobiva se SOR (succesive over-relaxation) metod koja je često korištena u

rješavanju praktičkih problema. Ako svaka iteracija krene od istog donjeg lijevog ugla i kada

se koristi ista notacija, iteracijski formula glasi:

(3.61)

gdje je relaksacijski faktor, koji mora biti veći od 1 za ubrzanje postupka. Ukoliko je

relaksacijski faktor jednak jedan tada je metoda jednaka Gauss-Seidel metodi.

Većina problema u dinamici fluida zahtjeva rješenja vezanih sustava jednadžbi. To su

sustavi jednadžbi kod kojih se dominantna varijabla iz jedne jednadžbe javlja u nekoj drugoj

jednadžbi. Postoje dva pristupa rješavanju ovakvih problema. Prvi je da se sve jednadžbe

rješavaju istovremeno. Kod istovremenog rješavanja sve se jednadžbe smatraju dijelom

jedinstvenog sustava. Rješavanje ovakvog sustava je vrlo skupo posebno kada se radi o

nelinearnim problemima u tri dimenzije. Drugi pristup kod rješavanja vezanih jednadžbi je da

se svaka jednadžba rješava za svoju dominantnu varijablu dok se ostale smatraju

konstantama, a zatim se iterira kroz jednadžbe dok se ne doĎe do rješenja vezanog sustava

jednadžbi. Ovaj pristup se naziva sekvencijalnim. Osim ova dva pristupa može se koristiti i

miješani pristup gdje se neke rješavaju istovremeno, a druge s njima rješavaju iterativno.

Kod kompleksnih i nelinearnih vezanih jednadžbi, preferira se korištenje

sekvencijalnog pristupa. Dakle u svakoj jednadžbi se pretpostavlja jedna nepoznanica dok se

ostale privremeno uzimaju kao poznate. Ove jednadžbe se zatim rješavaju u krug,

ponavljajući ciklus dok sve jednadžbe nisu zadovoljene. Valja uzeti u obzir da neki članovi

(koeficijenti matrice A ili izvorski članovi Q) koji ovise o drugim varijablama se mijenjaju za

vrijeme rješavanja, meĎutim bilo bi neučinkovit računati ih nakon svake iteracije. Iteracije

koje se provode za svaku jednadžbu nazivaju se unutarnjim iteracijama. Da bi se dobilo

rješenje koje zadovoljava sve jednadžbe, potrebno je te članove računati nakon svakog ciklusa

38

i zatim ponavljati proces. Ovi ciklusi se nazivaju vanjskim iteracijama. Optimizacija ove

metode rješavanja zahtjeva pažljivi odabir broja unutarnjih iteracija po broju vanjskih

iteracija. Osim toga zahtjeva ograničavanje (pod-relaksacijska) promjene svake varijable, jer

promjena jedne varijable mijenja koeficijente u drugoj jednadžbi što može usporiti ili

spriječiti konvergenciju. S obzirom da je teško analizirati ove metode odabir pod-

relaksacijskih faktora je uglavnom empirijski.

Pod-relaksacijska tehnika je često korištena. Na n-toj vanjskoj iteraciji, algebarska

jednadžba za opću varijablu u točci P može biti zapisana:

(3.62)

gdje Q sadrži sve članove koji ne ovise eksplicitno o n, a koeficijenti Al i izvorski

članovi Q mogu sadržavati n-1. Ova jednadžba je linearna i sustav jednadžbi za cijelu

domenu se rješava iterativno. Ako se dopusti da se mijenja po prethodnoj jednadžbi, to bi

dovelo do nestabilnosti. Stoga se dopušta da se n mijenja samo za udio :

(3.63)

gdje je new rezultat dobiven rješavanjem jednadžbe (3.62), a pod-relaksacijski faktor

zadovoljava 0<<1. Iz ovoga se može dobiti modificirana jednadžba:

(3.64)

Gdje su AP* i QP

*modificirani elementi glavne dijagonale i izvorskih članova. Kada

vanjske iteracije konvergiraju članovi koji uključuju se ponište i slijedi rješenje prvotnog

problema. Ovaj način se pokazao učinkovitiji od eksplicitnog primjenjivanja jednadžbe

(3.63).

Za rješavanje nelinearnih jednadžbi postoje Newtonovske metode i globalne metode.

Prve su mnogo brže kada je procjena rješenja dostupna, ali globalne garantiraju da neće doći

do divergencije. Ovo pruža razmjenu izmeĎu brzine i sigurnosti. Često se koriste metode koje

su kombinacija ove dvije vrste. Uobičajeni pristup rješavanja vezanih nelinearnih jednadžbi je

sekvencijalno odvezivanje. S tim da su nelinearni članovi linearizirani koristeći Picardove

iteracije. Za konvektivne članove ovo znači da se maseni protok uzima kao poznat tako da se

ne-linearni konvektivni član jednadžbe za ui aproksimira s:

39

(3.65)

gdje indeks O označava da su vrijednosti u zagradama uzete iz prethodne vanjske

iteracije.

Kod rješavanje jednadžbi turbulencije, iz razloga što su vremenski intervali koji su

povezani s turbulencijom mnogo kraći od onih što su povezani s srednjim tokom, jednadžbe

koje modeliraju turbulenciju su kruće od jednadžbi za laminarno strujanje. Stoga postoji mala

poteškoća pri numeričkom rješavanju. Rješavanje se provodi na način da se prvo vrše vanjske

iteracije količine gibanja i tlaka, u kojima se vrijednost eddy-viskoznosti temelji na

parametrima turbulencije iz prethodnih iteracija. Nakon toga vrši se vanjska iteracije

turbulentne kinetičke energije i disipacije (za k- model). S obzirom da su te jednadžbe

nelinearne potrebno ih je prethodno linearizirati. Nakon što se provede iteracija jednadžbi

modela turbulencije ponavlja se postupak nove vanjske iteracije s novim vrijednostima eddy-

viskoznosti. Zbog krutosti jednadžbi turbulentnog modela, one se ne vezuju s drugim

jednadžbama već se rješavaju kako je prethodno opisano.

Kao kriterij konvergencije ovih iteracijskih metoda koristi se ostatak (residual).

Iteracije se zaustavljaju kada residual dosegne neki dio svoje prvotne vrijednosti. Najčešće je

kriterij konvergencije kada residual iznosi tri ili četiri reda veličine manju vrijednost od

prvotne. Kada ostatak doĎe do te vrijednosti greška rješenja je vjerojatno reda veličine 0.1%.

Sljedeća slika prikazuje u kakvom su odnosu residual i točna greška kod problema s poznatim

rješenjem. Razlika izmeĎu stvarne greške i residuala ovisi meĎu ostalim i o relaksacijskim

faktorima. Na sljedećoj slici lijevo je prikazana razlika u slučaju malih relaksacijskih faktora a

desno je isto s većim relaksacijskim faktorom.

Slika 3.12. Usporedba razlike izmeĎu stvarne greške i residuala.

40

4. OPTIMIRANJE

U matematici optimiranje znači odabiranje iz skupa elemenata, najboljeg elementa

prema nekom kriteriju. U najjednostavnijem slučaju problem optimiranja može biti

minimiziranje ili maksimiziranje realne funkcije s sistematskim odabiranjem ulaznih

vrijednosti. U strojarstvu i drugim inženjerskim djelatnostima pojam optimiranje predstavlja

upotrebu raznih optimizacijskih tehnika koje služe za ostvarivanje ciljeva dizajniranja.

U dizajnu, konstruiranju i održavanju bilo kojega inženjerskog sistema, inženjeri

moraju donositi mnoge odluke. Cilj pri tome može biti minimiziranje uloženog ili

maksimiziranje željene dobiti. Oba cilja moraju biti izražena kao funkcija pojedinih varijabli

optimiranja (varijable dizajna) preko kojih se dobiva bolje (ili najbolje) rješenje. Numerička

implementacija optimizacije je obično iterativni postupak kojim se svakim korakom mijenjaju

varijable dizajna i usvajaju se one kojima se dobiva najbolje zadovoljavanje cilja.

Kod klasičnog postupka optimiranja, nužni uvjet za optimalnost funkcije f(x) u slučaju

jedne varijable x je da prva derivacija funkcije iznosi nula, odnosno da je nagib krivulje

jednak nuli. Na slici Slika 4.1 se može intuitivno zaključiti da funkcija mijenja svoj trend

monotonog rasta (na maksimumu) ili trend monotonog pada (na minimumu). Dakle iz toga se

može zaključit da predznak druge derivacije na mjestu gdje je prva derivacija jednaka nuli

daje odgovor na pitanje da li je to mjesto minimum ili maksimum. Ako se je stopa promjene

nagiba manja od nule (d2/dx

2 < 0) znači da se točka nalazi na maksimumu a ako je stopa

promjene nagiba veća od nule (d2/dx

2 > 0), znači da je točka minimum funkcije.

Slika 4.1. Uvjet optimalnosti za funkciju s jednom varijablom [1].

Optimiranje se može definirati kao minimiziranje (ili maksimiziranje) funkcije f(x)

podložne ograničenjima 𝑔𝑖 𝒙 ≤ 0, 𝑖 = {1, … , 𝑚}, i 𝑕𝑖 𝒙 = 0, 𝑖 = 1, … , 𝑝 𝒙 ∈ Ω. Rješenje

minimizira (ili maksimizira) funkciju f(x) gdje je x n-dimenzionalni vektor odlučivanja

41

x = (x1,…,xn) iz domene Ω . Kod minimiziranja funkcije, vrijednost f*(x) > -∞ se naziva

globalnim minimumom ako i samo ako je:

(4.1)

Jedan način podjele algoritama optimiranja je na: ne-gradijentne, gradijentne i

stohastičke. Ne gradijentne metode koračaju u okolini trenutne točke i pomiču se samo na

osnovi funkcije cilja. Robusniji su od gradijentnih ali sporije konvergiraju. U ove algoritme

spadaju: Hooke-Jeeves, Neder-Mead, Powellov, itd.

Gradijentne metode se zatim dijele po tome da li koriste gradijente ili Hessove matrice

kod traženja optimuma. Gradijentne metode koje koriste gradijente traže rješenje iz neke

točke na osnovi nagiba funkcije. Metode koje koriste Hessove matrice na osnovi

zakrivljenosti funkcije traže optimum. U ove algoritme spadaju: Najbrži spust, Fletcher-

Reeves (Konjugirani gradijenti), Newtonov, kvazi-Newtonov (DFP- Davidon-Fletcher-Powell

i BFGS – Broyden- Fletcher-Goldfarb-Shanno). Ove metode brzo naĎu optimum, ali to često

može biti samo lokalni optimum.

Kod problema koji imaju više lokalnih optimuma, šumove, nesigurnosti ili druge

poteškoće prethodno nabrojane metode su slabo primjenjive. Tada je pogodno koristiti

stohastičke metode. U njih spadaju: Genetski algoritmi, simulirano žarenje, nasumično

traženje itd.

Optimizacijski algoritmi se mogu klasificirati i prema broju varijabli, broju ciljeva,

ograničenjima, karakteru modela (linearne ili nelinearne), tipu varijabli itd. U stvarnim

problemima najčešće je broj varijabli koji odreĎuju sustav veći od jedne, postoje ograničenja i

funkcije su nelinearne. Osim toga ponekad je broj ciljeva veći od jednoga, postoji veliki broj

lokalnih minimuma što nameće odbacivanje nekih metoda odnosno odabir drugih. U ovom

radu za optimiranje su korišteni genetski algoritmi koji su opisani u idućem poglavlju

4.1. Genetski algoritmi

Genetski algoritmi su algoritmi inspirirani biološkom evolucijom. Oni su tehnike koje

služe za stohastičko traženje i optimiranje, široko primjenjive u mnogim područjima. Posebnu

važnost genetskim algoritmima daje činjenica da su podjednako dobro primjenjivi kod

problema sa kontinuiranim, diskretnim i mješovitim varijablama. Zbog karaktera djelomično

slučajnog traženja, ove metode imaju prednost pred klasičnim metodama i u tome lakše izlaze

42

iz lokalnih ekstrema i tipično nalaze globalni ekstrem. Zbog toga se svrstavaju meĎu globalne

metode. U općem slučaju genetski algoritam sadrži pet osnovnih dijelova:

- genetski prikaz rješenja problema,

- način generiranja inicijalne populacije rješenja,

- funkciju vrednovanja rješenja,

- genetske operatore koji mijenjaju populaciju i

- vrijednosti za parametre genetskih algoritama [5].

Genetski algoritam održava populaciju jedinki P(t), za svaku generaciju t. Svaka

jedinka predstavlja potencijalno rješenje problema. Svaka jedinka je vrednovana da bi se

dobila mjera njene izvrsnosti. Neke jedinke se podliježu stohastičkim transformacijama

pomoću genetskih operacija i tako se dobivaju nove jedinke. Postoje dvije vrste

transformacija: mutacija i križanje. Mutacijom se stvara nova jedinka mijenjanjem jedne

jedinka, dok se križanjem stvaraju nove jedinke kombiniranjem dijelova različitih jedinki.

Nove jedinke se nazivaju potomci ili djeca C(t), i one se zatim takoĎer vrednuju da bi se

dobila mjera njihove izvrsnosti. Nova populacija se dobiva odabirući vrsnije jedinke iz

populacije roditelja i djece. Nakon nekoliko generacija algoritam konvergira prema boljim

jedinkama što može dati optimalno rješenje problema. Pseudo-kod opće strukture genetskog

algoritma je sljedeći:

Inicijalizacija populacije P(t);

Vrednovanje populacije P(t);

While (zadovoljavanje postavljenih uvjeta konvergencije) Do

Rekombinacija P(t) za dobivanje C(t);

Vrednovanje populacije C(t);

Odabiranje P(t+1) iz P(t) i C(t);

t=t+1

End Loop

Prvi problem kod korištenja genetskih algoritama je kodiranje rješenja. Jedinka

predstavlja kodirano rješenje nekog problema a zapisana je kao skupina brojeva (binarnih ili

realnih) koji su ekvivalent biološkom genotipu. Ovaj genotip definira jednu jedinku i kad se

dekodira predstavlja fenotip. Genotip se može sastojati od jednog ili više kromosoma. Svaki

kromosom predstavlja jednu varijablu optimiranja koja može biti kodirana kao binarni broj.

Takav kromosom se može dekodirati samo u konačno mnogo različitih brojeva, točnije 2n

43

različitih vrijednosti gdje je n broj bitova u kromosomu. Kod kodiranja kontinuiranih varijabli

potrebno je definirati interval u kojem se traži rješenje i minimalni razmak izmeĎu vrijednosti

iz čega se odreĎuje broj bitova. Ako se kodiraju diskretne varijable tada je potrebno izraditi

takav kromosom koji se može dekodirati u dovoljan broj vrijednosti od kojih svaki genotip

predstavlja jedan fenotip. Bitno je napomenuti da se genotip najčešće sastoji od više osnovnih

graĎevnih dijelova, kao što su to u slučaju vektora njegove komponente. Ti osnovni graĎevni

dijelovi se ponekad nazivaju alele (allele).

Inicijalizacija je kao što je prikazano u ranijem pseudo-kodu prvi korak u izvoĎenju

genetskog algoritma. Ona je najčešće jednostavna, početni kandidati za rješenje problema

odabiru se nasumično a ponekad se izvodi koristeći neku heuristiku. Njom se dobiva početna

populacija jedinki P(0). Od više načina na koje se može izvoditi od toga su u ovom radu

korištene nasumična i Sobol inicijalizacija. Nasumična inicijalizacija se temelji na generatoru

nasumičnih brojeva, a njime se za svaku varijablu optimiranja zasebno generira nasumični

broj unutar zadanih ograničenja varijable. Sobol je deterministički algoritam koji oponaša

ponašanje nasumičnog generiranja populacije. Cilj je jednoliko uzorkovanje unutar prostora

varijabli optimiranja. Ovom metodom se smanjuje efekt klasteriranja koji se javlja kod

nasumične inicijalizacije prikazan na sljedećoj slici. Iako se za Sobol algoritam inicijalizacije

kaže da je kvazi-nasumičan, on je potpuno deterministički.

Slika 4.2. Usporedba nasumične i Sobol inicijalizacije.

Evaluacijska funkcija je potrebna za odreĎivanje vrsnoće koje se još naziva i funkcija

prikladnosti (fitness function). Bez nije moguće ocijeniti kvalitetu pojedine jedinke, pa je ona

ključna za rad genetskog algoritma. OdreĎivanje vrsnoće je sljedeći potrebni korak.

OdreĎivanje vrsnoće se vrši tako što se za fenotip jedinke vrše potrebni proračuni iz kojih se

dobivaju izlazne vrijednosti koje služe za izračun funkcije cilja i provjeravanje zadovoljenja

44

ograničenja. Na sve jedinke koje ne zadovoljavaju postavljena rješenja dodaje se kazna. Sada

se na temelju funkcije cilja i kazne može dobiti vrsnoća svake jedinke Pi i njihov meĎusobni

odnos se može prikazati grafički kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Slika 4.3. Grafički prikaz jedinki različite vrsnoće.

Nakon vrednovanja populacije P(t) za dobivanje djece C(t) potrebno je nad prvom

populacijom vršiti genetske operatore u koje spadaju mutacija i križanje. Prvo se izvodi

operator križanja a zatim se na novonastale jedinke primjenjuje operator mutacije. Za

provoĎenje genetskog operatora križanja potrebne su dvije jedinke. Najčešća varijanta ovog

operatora je križanje s jednom točkom. Njime se kod oba odabrana roditelja odabire ista točka

križanja. Ta točka u slučaju binarnog kodiranja označava jedan bit. Tada se mogu stvoriti

dvije jedinke koje se nazivaju potomci. Prvi potomak sadrži genotip od prvog roditelja do

točke križanja, a nakon nje sadrži genotip drugoga kao što je prikazano na donjoj slici. Drugi

potomak se sastoji od obrnutog redoslijeda genotipa. Odabir roditelja najčešće je stohastički,

što znaci da jedinke s većom vrijednošću evaluacijske funkcije imaju veću vjerojatnost da

budu odabrane za roditelje. Ne smije se pri tome onemogućiti da jedinke s manjom vrsnoćom

budu odabrane. Razlog za ovo je težnja da se izbjegne pohlepnost pretraživanja kojom se lako

upadne u lokalni minimum.

Slika 4.4. Shematski prikaz genetskog operatora križanja [6].

U slučaju kodiranja s realnim brojevima točka križanja može biti bilo koji broj u

intervalu (0,1), gdje 0 predstavlja početak prvog kromosoma a 1 kraj zadnjeg kromosoma.

Svaki kromosom zauzima jednaki dio tog intervala. Tada se točka križanja nalazi u nekom

45

kromosomu s tim da može biti bliže početku ili kraju kromosoma. Na temelju mjesta točke

unutar kromosoma dobiva se težinski faktore. Sada će se izračunati aritmetička sredina

vrijednosti kromosoma x prvog potomka C1x i drugog potomka C2x iznositi:

(4.2)

Gdje su P1xi P2x realni brojevi koji su realni brojevi koji su vrijednosti kromosoma x u

kojem se nalazi točka križanja. Kod potomaka se jedino taj kromosom izmjeni dok ostali

ostaju isti. Smisao križanja je lokalno pretraživanje, s obzirom da ono ne uvodi nove alele

već ih samo kombinira na osnovu više prethodnih jedinki. Time se pretražuje prostor izmeĎu

jedinki odnosno provodi lokalno pretraživanje.

Mutacija se primjenjuje na novonastale jedinke nakon križanja i to s nekom

vjerojatnošću. Slično kao i kod križanja, alela koja se kod jedinke mijenja odabire se slučajno.

Mutacija u pretraživanje unosi raznolikost u populaciju jedinki, i obavlja ulogu globalnog

pretraživanja. U slučaju da su jedinke kodirane kao binarni broj mutacijom se mijenja

nasumično odabrana alela unutar kromosoma. Ako je odabrani alale broj 0 mijenja se u 1 i

obrnuto. Takva mutacija je shematski prikazana na sljedećoj slici gdje je mijenja nasumično

odabrano mjesto mutacije a ostatak jedinke ostaje isti. Ako su alele kodirane kao realni broj

tada se one mijenja nekim drugim načinom a u oba slučaja promjene su nasumične. Često

algoritmi optimiranja s povećanjem broja populacije t smanjuju učestalost i intenzitet

mutacija.

Slika 4.5. Shematski prikaz genetskog operatora mutacije [6].

S obzirom da populacija ima konstantan broj jedinki, potrebno je odabrati koje jedinke

će preživjeti u iduću generaciju Taj postupak se naziva selekcija. Ona je slična odabiru

roditelja, no ona se izvodi tek nakon što se generiraju potomci. Selekcija je operacija nad

cijelom populacijom P(t) i C(t), gdje se probabilističkim putem odabiru jedinke s većom

vrsnoćom odnosno eliminiraju one s manjom vrsnoćom. Cilj je prema funkciji prikladnosti

dati veću vjerojatnost prijelaza u iduću generaciju boljim jedinkama, a lošijim umanjiti

šanse. Primjer selekcije je selekcija prema univerzalnom stohastičkom uzorkovanju, koja je

jedan od čestih načina selekcije jedinki. Dok neke druge metode koriste ponavljajuće

46

nasumično uzorkovanje, ova metoda koristi samo jednu nasumičnu vrijednost za odabir svih

jedinki. Kod ove metode prvo je potrebno izraditi brojevni pravac duljine F koja je jednaka

zbroju vrsnoće svih jedinki, a zatim jedinke zauzmu duljinu jednaku svojoj vrsnoći. Nakon

toga odabire se položaj prve točke na nasumičnom mjestu u intervalu od 0 do F/N. Dalje se

sve točke odabiru od prve s jednakim razmakom F/N. Svakom točkom je odabrana po jedna

jedinka za iduću populaciju, kao što je prikazano na sljedećoj slici gdje su odabrane jedinke

prikazane sivom bojom.

Slika 4.6. Selekcija prema univerzalnom stohastičkom uzorkovanju.

Ovakvo uzorkovanje daje slabijim članovima populacije (sukladno njihovoj vrsnoći)

šansu da budu odabrani i ovim se umanjuje zasićenje iduće generacije jedinkama s velikom

vrsnoćom što je karakteristično za neke druge metode.

Prethodno opisani postupak se zatim ponavlja sve dok nije ispunjen uvjet

zaustavljanja. Ako problem ima poznatu vrijednost funkcije cilja za optimalna rješenja

problema, tad je moguće zaustaviti pretraživanje kad se pojavi jedinka koja je dovoljno blizu

toj vrijednosti. MeĎutim, zbog stohastičke prirode evolucijskih algoritama, nema garancije da

će ova razina biti dostignuta. Zato se češće dodaju kriteriji koji će sigurno biti ispunjeni.

Takvi kriteriji su odreĎeni broj generacijskih ciklusa, dovoljno mala promjena u najboljoj

vrijednosti funkcije cilja u zadnjih nekoliko generacija, ili pad raznolikosti populacije ispod

neke vrijednosti.

4.1.1. Više kriterijsko optimiranje

Problemi s više ciljeva se javljaju u većini inženjerskih područja i rješenje takvih

problema je izazov istraživačima već duže vremena. Korištenje evolucijskih algoritama za

rješavanje problema ove prirode je motivirano time što se oni temelje na populaciji. To

omogućava generaciju s više pareto optimalnih jedinki u svakom koraku. Osim toga kod

višekriterijskog optimiranja se često javljaju problemi kao što su vrlo veliki prostori

pretraživanja, nesigurnosti i šumovi. Ti problemi mogu onemogućiti korištenje tradicionalnih

tehnika rješavanja.

47

Višekriterijsko optimiranje se može definirati kao problem traženja vektora varijabli

odlučivanja koji zadovoljava ograničenja i optimizira vektor funkciju čiji elementi

predstavljaju funkcije cilja. Ove funkcije formiraju matematički opis kriterija izvrsnosti koji

su najčešće u suprotnosti jedan s drugim. Stoga termin optimizacije znači pronalaženje

rješenja koje daje takve vrijednosti svih funkcija cilja koje su prihvatljive donositelju odluka.

Varijable odlučivanja su numeričke veličine čije vrijednosti treba odrediti

optimiranjem. Ove veličine se označavaju kao xj, j = 1,2,…,n. Vektor x koji sadrži n varijabli

optimiranja se može zapisati kao:

(4.3)

Dok se funkcije cilja takoĎer mogu zapisati u vektor kojemu su članovi

f1(x), f2(x), …, fk(x), gdje je k broj funkcija cilja u rješavanom višekriterijskom optimiranju.

Iz razloga što postoji nekoliko funkcija cilja termin optimalnog rješenja se mijenja. To

je potrebno jer je cilj višekriterijskog optimiranja pronaći dobre kompromise umjesto jednog

rješenja kao kod optimiranja s jednom funkcijom cilja. Skup takvih kompromisnih rješenja se

naziva Pareto optimum. Formalno rečeno, rješenje 𝒙 ∈ Ω je Pareto optimalno ako i samo ako

ne postoji 𝒙′ ∈ Ωza koji v = {f1(x'), f2(x'), …, fk(x')}dominira u = {f1(x), f2(x), …, fk(x)}.

Jedan vektor dominira drugi u slučaju da bolje ispunjava sve funkcije cilja. Primjer problema

s dvije funkcije cilja gdje se s niskom cijenom postiže loša učinkovitost a s visokom cijenom

dobiva dobra učinkovitost je prikazan na slici ispod. Na grafu niska vrijednost učinkovitosti

predstavlja dobru učinkovitost.

Slika 4.7. Linija na grafu predstavlja Pareto frontu dvije funkcije cilja: učinkovitosti i

cijene [6].

48

4.1.2. MOGA algoritam

MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm) je tehnika optimiranja u kojoj rang

pojedine jedinke odgovara broju kromosoma u trenutnoj populaciji kojim je dominirana ta

jedinka. Na primjer jedinka xi u generaciji t je dominirana s pi(t)

jedinki u sadašnjoj generaciji

stoga jedinka dobiva rang po ovom pravilu: rang (xi,t) = 1 + pi(t)

. Sljedeća slika prikazuje

kako neka jedinka može biti dominirana.

Slika 4.8. Broj jedinki koji dominira nedominantne jedinke [6].

Sve ne-dominirane MOGA jedinke dobivaju rang 1, dok se dominirane kažnjavaju.

Pseudo kod za MOGA algoritam je prikazan u nastavku:

Inicijalizacija populacije

OdreĎivanje vrijednosti funkcija cilja

Dodjeljivanje ranga na temelju pareto dominancije

Izračun niche zbroja

Dodjeljivanje funkcije izvrsnosti

For i=1 to broj generacija

Selekcija prema univerzalnom stohastičnom uzorkovanju

Križanje s jednom točkom

Mutacija

OdreĎivanje vrijednosti funkcija cilja

Dodjeljivanje ranga na temelju pareto dominancije

Izračun niche zbroja

Dodjeljivanje funkcije izvrsnosti

Dodjeljivanje dijeljene funkcije izvrsnosti

End Loop

49

Neki dijelovi ovog algoritma su već objašnjeni ranije u poglavlju, tako da će dalje biti

objašnjeni samo oni koji nisu ranije spominjani. Tu spada izračun Niche zbroja, dodjeljivanje

funkcije izvrsnosti. Dodjeljivanje funkcije izvrsnosti se provodi na sljedeći način:

1. Sortiranje populacije prema rangu,

2. Dodjeljivanje izvrsnosti jedinkama interpolirajući od najbolje (rang 1) do najlošije

jedinke (rang n ≤ broj jedinki) prema nekoj funkciji. Najčešće je interpolacija

linearna ali nije nužno,

3. Usrednjavanje izvrsnosti jedinki koje imaju isti rang tako da budu uzorkovane

jednakim udjelom. Ovaj postupak drži globalnu izvrsnost konstantnu dok održava

prikladni pritisak definiran s upotrjebljenom funkcijom u prošlom koraku.

Kako bi algoritam kod optimiranja s više varijabli dobro radio potrebno je održavati

raznolikost jedinki na Pareto fronti. Postoje razne tehnike održavanja raznolikosti a jedna je

pomoću niche zbroja. Niche zbroj se traži za svaku jedinku cijele populacije. Niche zbroj

može biti jednostavno brojanje koliko jedinki u populaciji se nalazi unutar odreĎene

udaljenosti σshare za neku jedinku. Ta udaljenost se može mjeriti u prostoru genotipa kao i u

prostoru funkcija cilja. S obzirom da je broj varijabli optimiranja često veći od broja funkcija

cilja računalno manje zahtjevno promatrati udaljenosti u prostoru funkcija cilja.

Slika 4.9. Jedinka sa susjedstvom σshare unutar kojeg se traži niche zbroj [6].

Procjena napučenosti susjedstva mi može se umjesto jednostavnog niche zbroja

računati na sljedeći način:

(4.4)

50

Gdje je Sh(d) sharing funkcija koja ovisi o udaljenosti izmeĎu jedinki d(i,j). Udaljenost

izmeĎu jedinki i i j koju je jednostavno izračunati, dok se sharing funkcija može računati na

više načina. Najčešće se koristi takozvana triangulacijska funkcija koja se može zapisati kao:

(4.5)

Dijeljena funkcija izvrsnosti se dobije jednostavnim dijeljenjem funkcije izvrsnosti s

Niche zbrojem. Time se smanjuje izvrsnost svih jedinki koje u svom susjedstvu imaju veći

broj jedinki. Ovo sprječava koncentraciju jedinki na mjesto trenutne Pareto fronte te

omogućava raznolikost.

4.1.3. Memetički algoritmi

Postoje algoritmi koji su kombinacije genetskih algoritama i drugih algoritama traženja

lokalnih ekstrema za rješavanje problema optimizacije. Najčešći oblik ovakvih tehnika je

jednostavno uklapanje gradijentnih metoda u genetske algoritme. Gradijentna metoda se

primjenjuje na svaki potomak C(t) i time se dobiva nova jedinka koja doĎe do lokalnog

optimuma kao što je prikazano na sljedećoj slici. Postoje dva oblika ovakvih algoritama od

kojih se jedan bazira na Lamarkinovoj evoluciji a drugi na Bladwinovom efektu. Kod

Lamarkinove evolucije, gradijentnom metodom izmijenjena jedinka se zajedno s genotipom

koristi za sljedeće radnje genetskog algoritma. Kod evoluciji baziranoj na Baldwinovom

efektu jedinka dobivena gradijentnom metodom za uzima samo dobivenu vrsnoću dok

genotip ostaje isti.

Slika 4.10. Memetički algoritam [5].

51

4.2. Robusno optimiranje

Robusno optimiranje je područje optimiranja koje se bavi optimiranjem problema kod

kojih je potrebno u odreĎenoj mjeri imati robusnost u odnosu na pojedine nesigurnosti koje se

javljaju. Te nesigurnosti mogu biti predstavljene kao determinističke varijable u vrijednosti

parametara samog problema ili kao nesigurnost rezultata analize. Na sljedećoj slici se vide

dva lokalna maksimuma, od kojih je vrh označen sa slovom B robusniji.

Slika 4.11. Matematička funkcija s dva maksimuma od kojih je jedan robusniji od

drugoga [3].

U mnogim inženjerskim djelatnostima neki parametri dizajna mogu biti poznati samo

uz neku toleranciju koja se može opisati sa statističkom razdiobom. Osim toga dizajn

proizvoda samo za jedne uvjete korištenja ne može garantirati dobre performanse u drugim

uvjetima, već postoji rizik koji se preuzima uz odabrani dizajn, dok drugačiji dizajn može

imati manji rizik loših performansi.

Tradicionalne tehnike optimiranja imaju tendenciju „pre-optimizacije“, dajući rješenje

koje je dobro za točno odreĎene uvjete korištenja ali može imati loše karakteristike u drugim

uvjetima. Na takav način postaje kritično osigurati zahtjeve koji su odreĎeni samim dizajnom

proizvoda. Stoga dizajneri moraju uzeti u obzir robusnost rješenja. Za razliku od

determinističkih optimizacijskih problema, kod optimizacije robusnim dizajnom uzimaju se u

obzir probabilistička funkcija funkcije cilja. Poopćeni pristup takvim problemima je

korištenje probabilističkih ili stohastičkih modela umjesto determinističkih modela unutar

optimizacijske petlje. Deterministički model se zamjenjuje iterativnim stohastičkim modelom

unutar prostora nesigurnosti. Prostor nesigurnosti se često odreĎuje s srednjom vrijednošću i

standardnim odstupanjem izlaznih vrijednosti. O ovome je više rečeno u poglavlju o

implementaciji robusnog optimiranja (poglavlje 5.4).

52

5. INTEGRACIJA PROCESA I OPTIMIZACIJA DIZAJNA

Integracija procesa i optimizacija dizajna poznata je još i pod kraticom PIDO (Process

Integration and Design Optimization). Da bi se mogao provesti proces optimiranja potrebno je

meĎusobno povezati različite softverske alate odnosno potrebno je ostvariti komunikaciju

izmeĎu tih softverskih alata. Tako mogu različiti softveri raditi pojedine dijelove cjelokupnog

procesa optimiranja. Na primjer jedan program može biti zadužen samo za generiranje

geometrije iz parametara, dok drugi program radi analizu a treći program upravlja procesom

optimiranja. Za integraciju i voĎenje procesa optimiranja u ovom radu korišten je softver

ModeFRONTIER koji će biti opisan u ovom poglavlju.

Integracija procesa unutar ModeFRONTIER se sastoji od izrade takozvanog radnog

toka. Tako će integracija procesa u ovom poglavlju ukratko biti objašnjena kroz upotrebu

spomenutog softvera na primjeru izrade radnog toka i optimiranja nekog sustava. Model za

optimiranje korišten u ovom poglavlju je model ventilatora s radijalnim kolom kojem se može

mijenjati oblik lopatice. Detalji modela za sada nisu bitni i u ovom poglavlju neće se obraćati

posebna pozornost na sami model sustava jer su njihovi primjeri prikazani u idućim

poglavljima. Postupak integracije procesa često je isti i kod drugih problema optimiranja. A

razlike koje se mogu javiti mogu biti u broju varijabli, broju integriranih softvera, broju

ciljeva, metodama optimiranja i mnogim drugim područjima.

5.1. Uvod u ModeFRONTIER

ModeFRONTIER je okruženje za dizajn i višekriterijsko optimiranje, napravljeno sa

svrhom integracije CAD/CAE alata, analize metodom konačnih elemenata i računalne

dinamike fluida. Drugačije rečeno svrha program je multi-disciplinarno optimiranje dizajna

(MDO) i osim toga integracija procesa i optimiranje dizajna (PIDO). Ovaj softver vrši

optimiranje tako da modificira vrijednosti koje predstavljaju ulazne varijable, i analizirajući

izlazne vrijednosti koje mogu biti definirane kao ciljevi i/ili ograničenje problema.

Softver je razvijen u tvrtki ESTECO-u koji je stvoren 1999 sa svrhom prenošenja

znanja stečenog od njegovih osnivača za vrijeme radi na projektu optimizacije dizajna

FRONTIER, sponzoriranom od strane Europske Unije. Taj projekt je započet 1996 i zadržao

je svoj naziv sve dok se 2001 nije pretvorio u komercijalni proizvod nazvan

modeFRONTIER. Sa svojom verzijom 2.4 ovaj softver postaje meĎu prvima koji omogućava

pravo višekriterijsko optimiranje preko kriterija pareto-dominacije, i time postaje svjetski

poznatim meĎu MDO/PIDO alatima.

53

5.2. Integracija procesa

Optimizacijska petlja se pomoću ovog programa može grafički prikazati u obliku

radnog toka. Logika optimizacijske petlje može biti postavljena na grafički način tako da se

izgradi struktura radnog toka koristeći meĎusobno spojene čvorove. Omogućeno je

sastavljanje serijskih i paralelnih veza i korištenje raznih sklopki koje usmjeravaju tok.

Iz razloga jednostavnosti, lakšeg uočavanja bitnoga u ovom poglavlju neće se

spominjati detalji optimiranog sustava već će se razmatrati opći black-box problem. Problem

koji će se razmatrati ima 7 ulaznih varijabli i 3 izlazne, a od toga će dvije varijable biti ciljevi

a jedna ograničenje. Ulazne varijable će biti označene s u1,u2,u3,u4, u5, u6 i u7, dok će se

izlaznim veličinama dati oznake: i1,i2 i i3. Prve dvije varijable optimiranja će predstavljati

ciljeva c1 i c2, dok će treća predstavljati ograničenje o1. Na sljedećoj slici prikazan je radni

tok za opisani problem.

Proces integracije procesa ovisi o složenosti problema, potrebnom broju korištenih

aplikacija i meĎusobnom odnosu izmeĎu različitih aplikacija. Ovisno o tome koriste se

različite strukture radnoga toka, a radni tok može biti: jednostavni, serijski ili paralelni.

Slika 5.1. Jednostavni radni tok

Za neke probleme dovoljno je postaviti jednostavni radni tok. Takav tok je sastavljen

od jednoga proračunskog čvora koji na osnovu ulaznih podataka daje izlazne veličine.

Ovakav tok se koristi ukoliko se na temelju ulaznih varijabli može uz pomoć jedne aplikacije

ili jednog računskog koda mogu dobiti sve bitne izlazne veličine.

Serijski tok se koristi kada je potrebno više aplikacija povezati tako da je izlaz iz jedne

aplikacije ulaz u drugu. Na primjer jedan čvor može biti aplikacija koja će na temelju ulaznih

parametara dati geometriju na kojoj će u idućem čvoru biti vršena analiza.

54

Paralelni tok se koristi ukoliko se u više aplikacije vrše neovisne analize. Izlaz iz tih

više čvorova zatim može biti ponovno biti ulaz u novi jedan ili više čvorova. Ili može više

čvorova paralelno raditi različite analize na primjer jedan čvor može vršiti analizu iz koje se

gleda zadovoljavanje ograničenja a iz druge se dobije varijabla optimiranja.

Sada je potrebno potreban broj čvorova koji predstavljaju ulazne varijable i za svaki od

njih postaviti željene granice u kojima će se tražiti rješenje. Osim toga može se postaviti da

varijabla bude diskretna ili kontinuirana. Kod rješavanja s genetskim algoritmom nije bitno

koja je vrsta varijable, dok kod rješavanja problema gradijentnim metodama varijable moraju

biti kontinuirane. Tako je kod rješavanja genetskim algoritmom ponekad poželjno pretvoriti

kontinuirane varijable u diskretne jer se time ubrzava proces optimiranja. Na sljedećoj slici

prikazan je prozor u kojemu se za svaku ulaznu varijablu postavljaju gornja i donja granica,

kao i korak kod pretvaranja kontinuirane varijable u diskretnu. Osim toga kod robusnog

optimiranja ovdje se unosi distribucija po kojoj se svaka varijabla ponaša.

Slika 5.2. Prozor s ulaznim varijablama

Iduće je potrebno poznavati što su izlazne veličine iz proračunskog čvora. Svaka od

izlaznih veličina tako može biti ograničenje ili varijabla optimiranja. Na sljedećoj slici

prikazan je prozor gdje se odabire koje izlazne veličine će biti ciljevi i vrsta cilja. Vrsta cilja

može biti minimiziranje, maksimiziranje ili traženje neke vrijednosti.

Slika 5.3. Prozor s ciljevima

55

5.2.1. Data mining

Izlazne kao i ulazne datoteke iz nekih procesa sadrže veliku količinu podataka od kojih

su na proces optimiranja bitni samo neki. Data mining odnosno rudarenje podataka je

izvlačenje bitnih podataka iz tog velikog broja dostupnih podataka. Taj proces pronalaženja

podataka može biti vrlo složen jer se mjesto na kojem se podaci nalaze unutar datoteke može

biti promjenjivo. Stoga je potrebno razviti pametne algoritme koji se prilagoĎavaju takvim

promjenama i bez obzira na njih pronalaze bitne podatke.

Kod povezivanja nekih programa i ModeFRONTIER-a za provoĎenje tog složenog

procesa postoje integracijski čvorovi. Na sljedećoj slici je prikazan prozor integracijskog

čvora za povezivanja programskog paketa ANSYS. U taj prozor se unose kao ulazne varijable

podaci koji su u ANSYS Workbenchu povezani s ulaznim parametrima. Na isti način se

označi koji su izlazni parametri u Workbenchu bitni i mogu se koristiti kao izlazne veličine za

proces optimiranja. S integracijskim čvorovima proces rudarenja je potpuno automatiziran i

korisnik ne treba uopće razmišljati o njemu.

Slika 5.4. Integracijski čvor za ANSYS

Kod velikog broja programa dostupni su integracijski čvorovi što pojednostavljuje

integraciju procesa. Na sljedećoj slici prikazani su dostupni integracijski čvorovi. U ovom

radu korišteni su programi ANSYS i Excel, a za oba su dostupni integracijski čvorovi.

Slika 5.5. Čvorovi za integraciju vanjskih aplikacija

56

Malo složeniji način povezivanja je potreban ukoliko ModeFRONTIER nema već

gotovi integracijski čvor. Tada se u ulaznoj datoteci treba na točno odreĎenom mjestu označiti

ulaznu varijablu, a isto je potrebno i sa izlaznim datotekama. Ovaj program omogućava da se

na jednostavan način označi mjesto u datoteci koje predstavlja varijablu. To se radi pomoću

posebnog čvora koji u datoteku dodaje varijablu uvijek na točno odreĎeno mjesto, što je

prikazano na sljedećoj slici. Zatim se s idućim čvorom datoteka šalje u potrebnu aplikaciju

koja daje izlaznu datoteku u kojoj se opet na sličan način vrši data mining za dobivanje

izlaznih veličina.

Slika 5.6. Čvor za ulaznu datoteku

5.2.2. Dizajn eksperimenata (DoE)

Dizajn eksperimenate (DoE) je metodologija koja maksimizira znanje dobiveno iz

eksperimentalnih podataka. Metodologija pruža snažni alat za dizajn i analizu eksperimenata i

eliminira suvišne eksperimente čime se smanjuje potrebno vrijeme i resursi za izradu

eksperimenata. Stoga DoE pruža korisniku da pokuša izvući što je više moguće podataka iz

ograničenog skupa podataka. Koristi se u različite najčešće za:

uzorkovanje koje služi za analizu osjetljivosti, odnosno prepoznavanje najvažnijih

ulaznih varijabli kod problema

izradu skupa stohastičkih točaka za procjenu robusnosti i pouzdanosti

generiranje prikladnog skupa točaka za aproksimaciju s odzivnom površinom i

pružanje inicijalne populacije optimizacijskom algoritmu.

57

Ovisno o primjeni različite DoE metode mogu biti izabrane. U ovom radu najčešće se

ove metode koriste za generiranje inicijalne populacije optimizacijskom algoritmu, što je

potrebno genetskim algoritmima da bi se proveo postupak optimiranja. Na sljedećoj slici je

prikazan prozor u kojem se odabire metoda dizajne eksperimenata, a kod genetskih algoritama

preporučana metoda je Sobol. Nakon što se dobiju izlazne vrijednosti za skup eksperimenata

dobiven ovim postupkom može nastupiti proces optimiranja.

Slika 5.7. Prozor design ofexperiments

5.2.3. Algoritmi optimiranja

Kada su dobiveni podaci iz prethodne faze može nastupiti optimiranje voĎeno

optimizacijskim algoritmom. ModeFRONTIER pruža mogućnost korištenja velikog broja

različitih metoda optimiranja kao što su: genetski algoritmi, teorija igara, simulirano žarenje,

evolucijske strategije, gradijentne metode, simplex algoritam. Osim toga je omogućeno da

varijable problema budu kontinuirane, diskretne ili miješane. Na sljedećoj slici prikazan je

prozor u kojem se odabire algoritam optimiranja.

Slika 5.8. Prozor za odabir algoritma optimiranja

58

5.3. Obrada podataka

Ovaj set alata omogućava korisniku da istraži, filtrira i rangira set optimalnih rješenja

kod više-ciljnih problema, i omogućava pronalaženje Pareto fronte rješenja. TakoĎer se mogu

provoditi analize osjetljivosti, verificiranje robusnosti i izraĎivati izvješća na temelju tih

podataka.

Jedan od najvažnijih podataka je promjena vrijednosti funkcije cilja s brojem

provedenih iteracija. Na sljedećoj slici je prikazan prozor na kojemu se vidi kako se vrijednost

funkcije cilja c1 mijenja tokom iteracija.

Slika 5.9. Prozor za praćenje konvergencije rezultata

S obzirom da problem koji se razmatra na slici ima dvije funkcije cilja c1, i c2 moguće

je pratiti u drugom prozoru promjenu obe funkcije istovremeno. To je moguće na nekoliko

različitih načina a jedan od načina je uz pomoć takozvanog bubble 4D dijagrama. Na

sljedećoj slici prikazan je prozor u kojem je na jednoj osi funkcija c1, na drugoj osi funkcija

c2 a boja kružića označava broj iteracije. Osim toga može se promatrati i još jedna varijabla s

veličinom svakog kružića, a ovdje je za nje odabrano ograničenje.

Slika 5.10. Bubble 4D dijagram.

59

5.3.1. Plohe odziva

Različite metodologije odzivne plohe su dostupne za interpolaciju podataka i izvoĎenje

takozvanog virtualnog optimiranja što je posebno korisno kod problema optimiranja gdje

evaluacija svakog pojedinog problema zahtijeva relativno velika vremena. Kao metode

odzivne plohe ovdje su dostupne: jedno-vrijednosna dekompozicija, polinomne plohe,

Kriging, neuralne mreže, Gaussovi proces i korisnom definirane plohe. Ove plohe se koriste

često kod kombinacije s robusnim optimiranjem. S obzirom da se kod robusnog optimiranja

za svaku jedinku provodi veći broj simulacija, optimiranje traje toliko duže koliki je broj

simulacija po jedinki. Tako se s na primjer neuralnim mrežama može namjestit i da za samo

jedan udio jedinki vrši simulacija, dok se za ostatak dobivaju vrijednosti iz neuralne mreže.

MeĎutim za izradu neuralne mreže je potrebno prethodno pretražiti cijeli prostor nekom od

metoda pretraživanja. Zatim se vrši proces učenja neuralnih mreža koji ovisno o broju

varijabli, uzoraka i neurona može trajati od nekoliko sekunda do nekoliko sati i više. Nakon

tog postupka neuralna mreža može vršiti na osnovu ulaznih vrijednosti aproksimacije izlaznih

vrijednosti. Dok učenje neuralne mreže traje dugo, rezultati koji se dobivaju su gotovo

trenutačni.

Uz pomoć odzivnih ploha je takoĎer moguće vizualizirati kako se mijenja neka

funkcija cilja ili ograničenje kada se mijenjaju ulazne funkcije. Na sljedećoj slici prikazana je

promjena funkcije cilja c1 kada se mijenjaju ulazne varijable u1 i u2 dok su ostale varijable

zadržane istima. Tako se može lako vizualizirati mjesto gdje se nalazi maksimum ili

minimum i na primjer ocijeniti robusnost mjesta gdje se nalazi ekstrem.

Slika 5.11. Generiranje odzivne plohe pomoću neuralne mreže.

60

5.4. Robusno optimiranje

Kao što je već rečeno robusno optimiranje je optimiranje dizajna koje uzima u obzir

nesigurnosti i tolerancije. Skoro svaki problem robusnog optimiranja zahtijeva računalno

skupe evaluacije nesigurnosti odziva funkcije. Točnost procjene srednje vrijednosti i

standardnog odstupanja je ovdje od posebne važnosti. MeĎutim ova točnost ovisi o broju

uzoraka i očito broj zahtijevanih uzoraka za danu točnost ovisi o više faktora kao što su

nesigurnosti i broj varijabli.

Robusno optimiranje unutar modeFRONTIRER-a koristi se MORDO (Multi

ObjectiveRobust Design Optimisation“ pristupom. Ovim pristupom moguće je tražiti najbolji

robusni dizajn. Iz ovih razloga MORDO evaluira različite vrijednosti:

- srednju vrijednost funkcije,

- standardno odstupanje koje treba minimizirati ili u najmanju ruku pratiti odnosno

ograničiti,

- najmanju i najveću vrijednost funkcije.

Stoga je moguće da najbolje rješenje kada se računa samo srednja vrijednost razdiobi

varijabli nije jednaka kao i najbolje usrednjeno rješenje, odnosno srednja vrijednost unutar

distribucije varijabli [3].

Da bi se unutar modeFRONTIER izradio radni tok procesa robusnog optimiranja

potrebno je definirati stohastičke ulazni varijable. Da bi se to napravilo potrebno je u prozoru

s ulaznim varijablama uz donju i donju granicu dodati i odreĎenu razdiobu. Tako je na

primjeru na idućoj slici prikazan prozor s ulaznom varijablom u1, gdje je odabrana normalna

razdioba sa standardnim odstupanjem od 3.

Slika 5.12. Definiranje stohastičke ulazne varijable.

Sada je problem optimiranja postao takav da je potrebno povećati srednju vrijednost i

osim toga minimizirati standardno odstupanja ili ga bar ograničiti. Na sljedećoj slici je sustav

61

u kojem je uz izlaznu veličinu kojoj se traži minimalna vrijednost dodaje dodano ograničenje

standardnog odstupanja rješenja.

Slika 5.13. Radni tok kod jednostavnog robusnog optimiranja.

Kod običnog optimiranja za kao što je već rečeno za svaku jedinku je točno odreĎena

funkcija cilja, dok je kod robusnog izlaz funkcija cilja kao i njeno standardno odstupanje. Da

bi se dobile te dvije vrijednosti potrebno je ulazne varijable koje su zadane po statističkoj

razdiobi na neki način uklopiti proces optimiranja. To se radi na način da se za svaku jedinku

genetskog algoritma vrši više proračuna s nekoliko različitih ulaznih vrijednosti. I za tih

nekoliko proračuna se zatim računa srednja vrijednost i standardno odstupanje izlaznih

vrijednosti. Za to postići s razumnim brojem uzoraka potrebno je imati metodu koja će sa što

manje uzoraka osigurati dobru pokrivenost prostora u kojem se može nalaziti jedinka s

obzirom na nesigurnosti ulaznih varijabli. Metode uzorkovanja koje su dostupne su Latin

hypercube i Monte Carlo metoda.

62

6. OPTIMIRANJE LOPATICE VENTILATORA S RADIJALNIM

KOLOM

Kao prvi primjer u ovom radu provedeno je optimiranje lopatica centrifugalnog

krovnog ventilatora. S obzirom da već postoji stvarni ventilator s izmjerenim

karakteristikama, moguće je provjeriti ispravnost korištenog računalnog modela što je prvi

korak prije samog optimiranja. Nakon toga slijedi parametriziranje lopatice s spline plohom.

Izrada mreže podijeljene na tri domene: ulaznu cijev, rotirajući kanal, i vanjski prostor. Kada

je izraĎena mreža provodi se analiza strujanja s zadanim rubnim uvjetima. Podaci iz kojih se

dobivaju rubni uvjeti su zahtjevi naručitelja ventilatora, a to su potrebni protok i potrebna

razlika tlaka. Nakon provedene CFD analize iz rezultata se mogu dobiti bitni podaci koji će

služiti kao ciljevi optimiranja. Za ovaj slučaj cilj je što veća učinkovitost ventilatora odnosno

što manja snaga uz uvjet da je zadovoljen protok i zadana promjena tlaka. Na sljedećoj slici

prikazan je stvarni ventilator zajedno s privodnom cijevi i ovjesnom pločom.

Slika 6.1. Stvarni ventilator

6.1. Opis ventilatora

Da bi se bolje razumio zadatak optimiranja, prvo će biti opisan samo ventilator.

Općenito govoreći ventilator je ureĎaj kojemu je svrha stvoriti strujanje fluida, u ovom

slučaju zraka. Karakteristika ventilatora u odnosu na kompresore je da stvaraju veliki volumni

63

protok uz malu razliku tlaka. Mogu se podijeliti u aksijalne koji ubrzavaju zrak u smjeru osi,

i centrifugalne koji ubrzavaju zrak u radijalnom smjeru. Aksijalni se uglavnom koriste pri

manjim razlikama tlaka dok kada su potrebne veće razlike tlaka centrifugalni ventilatori su se

pokazali boljim rješenjem. Glavni dio ventilatora je rotirajuće kolo ventilatora koje sadrži

skup lopatica, a pogoni se u ovom slučaju elektromotorom. Rad centrifugalnog ventilatora je

osnovan na korištenju centrifugalne sile koju stvaraju rotirajuće lopatice. One tjeraju zrak u

svojoj blizini da rotira zajedno s njima, što predaje mehaničku energiju zraku. Zrak je zatim

pod utjecajem centrifugalne sile izbačen iz ventilatora s povećanom energijom. To povećanje

energije može biti u obliku povećanja dinamičkog ili statičkog tlaka zraka na izlazu. Na

donjoj slici prikazan je primjer kola kod centrifugalnog ventilatora.

Slika 6.2.Kolo centrifugalnog ventilator.

Ova vrsta ventilatora se najčešće nalazi u kućištu slično kao što je prikazano na donjoj

slici. Kod ovakvih ventilatora strujanje nema simetrije (periodičnosti) kao što bi imalo da

nema kućišta. Specifičnost krovnog ventilatora je to da na izlazu nije potrebno spomenuto

kućište, već je dovoljna jednostavna osno-simetrična kapa za zaštitu od vremenskih uvijeta.

To olakšava modeliranje jer se može iskoristiti periodičnost strujanja o čemu će više biti

rečeno kasnije. Još jedna specifičnost razmatranog ventilatora je smještaj elektromotora.

Stator elektromotora je pozicioniran unutar kola ventilatora, a rotor elektromotora je

pričvršćen na samo ventilatorsko kolo.

64

Slika 6.3. Primjer kućišta koje narušava periodičnost strujanja.

S obzirom da će se u ovom radu optimirati oblik lopatica sada će opisati njihovi

osnovni oblici. Lopatice se prema obliku mogu podijeliti na osnovu kuta pod kojim se nalaze

u odnosu na os, vodeći računa o smjeru rotacije. Najjednostavnije su ravne radijalne lopatice,

koje bi produžene prolazile kroz os ventilatora. Ove lopatice se koriste ukoliko u struji zraka

postoje mnoge nečistoće jer su manje osjetljive na nakupljanje. Osnovne karakteristike

ovakvih lopatica su velika buka, velike radne brzine, niski protok i visoki tlakovi. Često se

koriste kod usisavača i sustava pneumatskog transporta materijala.

Dalje lopatice mogu biti put naprijed i natrag zakrivljene kao što je prikazano na

donjoj slici. Prema naprijed zakrivljene lopatice su zakrivljene u smjeru rotacije

ventilatorskog kola. One su izrazito osjetljive na nečistoće. Karakteristike su im visoki protok

i niski tlakovi. Varijanta lopatice koja će se optimirati je put nazad zakrivljena lopatice. Ove

lopatice su zakrivljene u smjeru suprotnom od rotacije kola. Ovakvo zakrivljene lopatice daju

visoku učinkovitost.

Slika 6.4. Usporedba unatrag zakrivljenih lopatice (lijev) i naprijed zakrivljenih

lopatica (desno).

65

Najvažnije karakteristike ove vrste ventilatora su protok, učinkovitost i razlika tlaka.

Kod ventilatora se susreću dvije vrste tlaka: Razlika statičkog tlaka se označava s psf , i

totalnog tlaka koja se označava s ptf. Razlika totalnog tlaka ventilatora je razlika izmeĎu

totalnog tlaka na ulazu i totalnog tlaka na izlazu iz ventilatora:

ptf = pti - ptu (6.1)

gdje indeks i označava tlak na izlazu, a indeks u tlak na ulazu. Statički tlak predstavlja

razliku totalnog i dinamičkog tlaka ventilatora. Na isti način se računa i razlika totalnog tlaka

ptf. Da li će se koristiti psf ili ptf ovisi o tipu instalacije u kojoj je instaliran ventilator. Zbog

specifičnosti krovnog ventilatora, ne koristi se ni jedan od prethodne dvije.

Razlog je što dinamički tlak odnosno kinetička energija na izlazu iz ventilatora nema utjecaja

na sustav. Kinetička energija se gubi u okolinu i po konvenciji se zanemaruje za ovaj tip

instalacije. Stoga se umjesto razlike totalnog ili statičkog tlaka uvodi pojam dogovorne razlike

tlaka pf:

pf = psi - ptu (6.2)

Druga bitna karakteristika ventilatora je učinkovitost. Općenito, učinkovitost

proizvoda se definira kao omjer dobivenog korisnog rada koji obavi proizvod i uložene

snage. Rad koji obavlja ventilator je umnožak protoka i porasta tlaka. Dakle, učinkovitost se

računa kao omjer rada koji obavlja ventilator i snage koju troši elektromotor. U ovom radu će

biti zanemareni gubici elektromotora, prijenosa i volumetrijski gubici. Stoga je učinkovitost

omjer rada koji obavlja ventilator i snage, koja se računa kao umnožak momenta koji djeluje

na kolo i broja okretaja kola. Točne formule za izračun navedenih karakteristika ventilatora će

biti dane u poglavlju 6.5.

6.2. Parametrizacija geometrije

Iz razloga što postoji stvarni ventilator, za početak će se modelirati ventilator kojemu

će geometrija odgovarati stvarnom ventilatoru. S obzirom da kod ventilatora postoji

periodičnost izmeĎu lopatica potrebno je izraditi geometriju (proračunsku domenu) samo za

jedan isječak ventilatora. Broj tih isječaka je jednak broju lopatica koji je u ovom slučaju 14.

Osim toga treba napomenuti da isječak ne može biti jednostavni isječak iz kruga jer bi takav

prolazio kroz više lopatica. Jednostavni isječak od kruga se radi za dio najbliži simetrali koji

je osno-simetričan. Iz razloga što su lopatice pod nekim kutom u odnosu na simetralu isječak

dalje treba pratiti taj kut. Tako se rubovi isječka nalaze na točno polovici izmeĎu dvije

lopatice kao što je prikazano na sljedećoj slici. Može se napraviti i da rub isječka bude po

66

sredini lopatice, što je i isprobano i dobiveni su jednaki rezultati kod obe geometrije. Zato će

se dalje u radu koristiti geometrija s lopaticom po sredini proračunske domene. Dimenzije

proračunske domene kola moguse dobiti i primjenom 3D skeniranja kao što je prikazano na

sljedećoj slici. Kada su poznate dimenzije može se nastaviti s parametrizacijom.

Slika 6.5. Skenirano kolo ventilatora.

Proračunska geometrija se sastoji od tri domene. Prva domena je cijev koja je privod

ventilatoru. To je ravna cijev kružnog i konstantnog poprečnog presjeka. Nakon toga slijedi

rotirajuća domena koja predstavlja ventilator, čiji je dio prikazan na slici. Modelirana je samo

isječak 1/14 kruga iz razloga periodičnosti nema potrebe za modeliranjem cijelog modela, što

se pokazalo s provedenim simulacijama oba načina modeliranja i usporedbom dobivenih

rezultata. Treća domena je vanjski prostor koji predstavlja prostor na izlazu iz ventilatora što

je u stvarnim uvjetima najčešće izlaz u atmosferu.

Slika 6.6. Geometrija isječka ventilatora

67

Oblik kanala je kod ovog problema je fiksan i može se dobiti rotiranjem

dvodimenzionalnog presjeka. Unutar kanala se nalazi kućište motora koje je oduzeto iz

proračunskog prostora. Osim toga kod analize s periodičnim rubnim uvjetima, zbog

sprječavanja singulariteta u simetrali je potrebno oduzeti odreĎeni volumen. Taj volumen je

cilindar promjera 1 mm, a rubni uvjeti uz njega su stjenka uz dopušteno klizanje. Proračuni su

pokazali da oduzimanje tog volumena ne utječe na rezultate. Konačni oblik kanala se dobije

zatim presjekom volumena lopatičnog kanala i lopatice.

Dok je oblik kanala zadan, sama lopatica je parametrizirana kao loft ploha s 25

kontrolnih točaka. Te točke su rasporeĎene u 5 paralelno razmaknutih ravnina po 5 točaka u

svakoj, y-z ravnini. Tih 5 točaka služe kao kontrolne točke B-spline krivulje trećeg stupnja

Točkama je u tim ravninama osim toga zamrznuta z komponenta, što znači da se svaka točka

može pomicati samo u smjeru y osi. Nakon toga toj plohi je dana debljina odnosno lopatica je

modelirana kao lopatica konstantnog presjeka debljine 2 mm. Na sljedećoj slici je prikazana

parametrizacija zakrivljene lopatice.

Slika 6.7. Parametrizacija lopatice.

Osim toga omogućeno je skraćivanje lopatice na način da se oblikuje ulazni presjek

lopatice s novom B-spline krivuljom koja se je odreĎena na sličan način s 5 točaka. Time je

omogućena velika fleksibilnost i raznolikost oblika. Ta fleksibilnost dolazi po cijeni od

30varijabli optimiranja oblika lopatice. Ovo je opći slučaj parametrizacije dvostruko

zakrivljene lopatice s konstantnom debljinom. Kasnije je tokom rada smanjen broj varijabli

tako da se smanjio broj ravnina s pet na četiri ravnine. U slučaju parametrizacije lopatice s

68

jednostruko zakrivljenošću, odnosno 2D parametrizacije lopatice korištena je ista geometrija

uz malu preinaku. Sve točke svakoj ravnini se nalaze na jednakoj udaljenosti od z-x ravnine.

Kod korištene parametrizacije oblik proračunskog područja ovisi samo o kutu lopatice

i broju lopatica, a ne o obliku lopatice. Stoga je oblik koji može imati lopatica ograničen na

dimenzije proračunskog područja. Dimenzije i oblik privodne cijevi je zadan, a oblik

vanjskog prostora je odreĎen na temelju iskustva i njegov utjecaj na rezultate provjeren. Na

sljedećoj slici je prikazano proračunsko područje za slučaj kada se ventilator modelira skupa

sa okolnom prostorijom, bez ulaza i izlaza iz zadanog područja. Kod nekih prethodnih

varijanti geometrije zanemaren je utjecaj ovjesne ploče što je davalo loše rezultate. Isprobane

su još i varijante gdje je vanjski prostor modeliran kao rotirajuća domena što je takoĎer dalo

rezultate koji se nisu poklapali s eksperimentalnim. Varijanta koja se najbolje poklapa s

eksperimentalnim podacima je prikazana na sljedećoj slici u dva pogleda.

Slika 6.8. Varijanta geometrije koja je pokazala najbolje poklapanje s

ekeperimentalnim podacima.

69

6.3. Izrada mreže

Za optimiranje dovoljno je osim segmenta ventilatora modelirati dio privodne cijevi i

dio vanjskog prostora. Na sljedećoj slici prikazana je mreža konačnih volumena izraĎena za

takvu geometriju.

Slika 6.9. Prikaz mreže konačnih volumena

Mreža se sastoji od tri domene od kojih je jedna definirana pravilnom heksaedarskom

mrežom dok je druge dvije s pretežno tetraedarskom mrežom. Iskustvo je pokazalo da se

postižu dobri rezultati s postavljanjem tankog sloja prizmatičnih elemenata uz stjenku, tako je

ovdje postavljen sloj prizmatičnih elemenata uz lopaticu. Pogled na te elemente je prikazan na

sljedećoj slici.

Slika 6.10. Prikaz elemenata u presjeku okomitom na lopaticu,gdje se vide prizmatični

elementi uz lopaticu.

70

Kvaliteta samih elemenata se može pratiti na način da se gleda omjer najmanje na

najveće stranice svakog elementa (aspect ratio). Ti elementi se poslije mogu prikazati da se

vizualno kontrolira dali se nalaze na mjestu gdje mogu uzrokovati divergenciju rješenja.

Elementi s visokim omjerima stranica su dopušteni samo uz stjenku gdje je strujanje više

dvodimenzionalnog karaktera. Pregledom tih elemenata (Slika 6.11) može se vidjeti da se oni

nalaze uz stjenku što potvrĎuje kvalitetu mreže.

Slika 6.11. Prikaz elemenata „loše kvalitete“.

Dalje su na slici prikazane neke opće postavke koje su zadane ANSYS mesh

generatoru. U tim postavkama odreĎene su najmanja i najveća veličina elementa, maksimalno

dopušteni rast elemenata, veličina elemenata itd.

Slika 6.12. Opće postavke mreže

71

Unutar okružja ansys mesh moguće je postaviti da mreža bude „periodična“, odnosno

da su elementi na plohama periodičnosti jednakog oblika čime se može ubrzati rješavanje

unutar rješavača. Iduće je odabiranje metode, za cijev je odabrana MultiZone heksaedarska

metoda mreže dok je za ostatak odabrana metoda tetraedarska. Zatim je postavljeno pofinjenje

mreže na mjestima lopatice i napadnog brida i ostalog volumena kanala. Uz samu lopaticu za

početne simulacije odabrana je veličina elementa od 4 mm, uz napadni brid 2mm, dok je u

ostatku kanala odabrana veličina elemenata od 8 mm. Osim toga dimenzije elemenata se ne

mijenjaju stupnjevito već se glatko povećavaju odnosno smanjuju. Dalje je bilo potrebno

provjeriti utjecaj finoće mreže na rezultate. Na sljedećoj slici prikazan je dijagram u kojem je

ucrtana promjena rezultata s promjenom gustoće mreže. Slijedeći dijagram prikazuje kako se

mijenja učinkovitost s povećanjem broja konačnih volumena odnosno elemenata mreže. Na

dijagramu se vide kružići koji prikazuju simulacije provedene s različitim mrežama i puna

linija interpolirana izmeĎu dobivenih podataka.

Slika 6.13. Promjena učinkovitosti s promjenom mreže.

Na isti način kao i prethodni, ovaj dijagram prikazuje kako se mijenja dogovorna

razlika tlaka pri istim povećanjima mreže. Tlak konvergira na sličan način ali malo sporije

nego učinkovitost. Može se reći da je ustaljen s mrežom od preko 100 000 elemenata.

Slika 6.14. Promjena razlike tlaka s promjenom mreže.

72

6.4. Numerički model

Da bi se započelo rješavanja problema prvo je potrebno odabrati koje će se jednadžbe

odnosno modeli strujanja rješavati na zadanoj mreži kontrolnih volumena, i koji će biti rubni

uvjeti. Prvo je potrebno postaviti vrstu analize odnosno da li je analiza stacionarna ili

nestacionarna, odabire se stacionarna analiza. Iduće se odabire materijal koji, ovdje je odabran

zrak sa svojstvima na 25°C. Zatim se odabire model turbulencije. Ovdje je odabran k- model

sa scaleable zidnom funkcijom, akoeficijenti modela su ostavljeni standardnima.

Sada slijedi postavljanje rubnih uvjeta. Stjenka koja je odabrana na površinama koje

predstavljaju stjenke su glatke stjenke bez klizanja. Izuzetak je stjenka koja se nalazi uz

simetralu cijevi, koja je stjenka sa slobodnim klizanjem. Slobodno klizanje osigurava da se

rezultati približe realnosti jer na tom mjestu u stvarnoj cijevi nema stjenke. Na ulazu u cijev

koja je privod ventilatoru je zadan protok koji za ovaj slučaj iznosi 750 m3/h, podijeljen s

brojem segmenata. Taj protok je odabran da se može usporediti sa izmjerenim podacima na

stvarnom ventilatoru. Osim toga na ulazu su postavljeni i intenzitet turbulencije koji iznosi

5% i specifična duljina koja je jednaka promjeru cijevi a iznosi 235 mm. Na sljedećoj slici je

prikazan prozor gdje se unose spomenuti podaci.

Slika 6.15. Definiranje rubnih uvjeta na ulazu

Izlaz iz ventilatora, odnosno površina na kojoj istrujava fluid je otvor na kojem je

zadan statički tlak a iznosi 0 Pa.

Slika 6.16. Definiranje rubnih uvjeta na izlazu

73

Iz razloga što je modeliran samo jedan isječak cjelokupnog ventilatora, potrebno je na

površine koje omeĎuju isječak postaviti periodične rubne uvjete. Potrebno je odabrati sve

površine s jedne i druge strane periodične površine kao što je prikazano na sljedećoj slici. Još

je potrebno obilježiti s obzirom na koju os su periodične prethodno označene površine.

Slika 6.17. Prozor za unošenje uvjeta periodičnosti

Cijelo područje se sastoji od tri domene. Od toga je jedna domena rotirajuća dok su

druge dvije stacionarne. Rotirajuća domena je ona u kojoj se nalazi ventilator, stoga je

potrebno postaviti rotirajuće gibanje domene i broj okretaja koji iznosi 103 rad/s. Zatim je

potrebno na granice izmeĎu stacionarnih i rotirajuće domene postaviti frozen rotor sučelje.

Slika 6.18. Definiranje frozen rotor sučelja izmeĎu dvije domene

Nakon što je sve definirano slijedi postavljanje opcija rješavača. Zadaje se maksimalni

broj iteracija od 1000 i kriteriji konvergencije za koji je odabrano da residual mora biti manji

od 0.0001. Kod svih oblika lopatice konvergencija se dogodila prije maksimalnog broja

iteracija. Dalje se može postaviti vremenska skala rješavača, ovdje je odabrana 0.05 s. Nakon

ispitivanja više mogućnosti s odabranom vremenskom skalom rješenje se pokazalo da najbrže

konvergira. Zatim slijedi rješavanje i nakon toga izvući korisne podatke što je zadatak

sljedećeg poglavlja.

74

6.5. Pregled rezultata i provjera ispravnosti modela

Da bi dobili korisne podatke vrši se takozvani postupak post-procesiranja. Za ovaj

problem potrebni su podaci o razlikama tlakova, i momentu koji djeluje na lopaticu i kanal. Iz

tih podataka može se dobiti učinkovitost i snaga koji će dalje biti ciljevi optimiranja, dok će

razlika tlakova biti ograničenje. Osim toga se može provjeravati i lokalne značajke strujanja

kao što je prikazano na sljedećoj slici gdje se vide vektori brzine na izlazu iz kola.

Slika 6.19. Prikaz vektora brzine unutar ventilatora

Najvažniji podaci za optimiranje su dogovorna učinkovitost i dogovorna razlika tlaka.

Ujedno ovi podaci su dostupni i za stvarni ventilator. S tim podacima mogu se usporeĎivati

stvarnost i numerički model što je pokazatelj ispravnosti korištenog modela. Bez potvrĎivanja

numeričkog modela nema puno smisla započeti proces optimiranja. Dogovorna razlika tlaka

se za ovu vrstu ventilatora računa prema izrazu:

(6.3)

gdje je 𝑝 𝑠𝑡𝑎𝑡 ,𝑖 statički tlak na izlazu iz ventilatora usrednjen po masenom protoku, a 𝑝 𝑡𝑜𝑡,𝑢

totalni tlak na ulazu takoĎer usrednjen po masenom protoku. Veličina ∆𝑝𝑓 se naziva jednostavno tlak

ventilatora. Može se prijetiti da na izlazu nije uzet u obzir dinamički tlak, koji se zanemaruje po

dogovoru. Sada prema toj razlici tlaka,može se definirati i dogovorna učinkovitost:

(6.4)

gdje je 𝑉 volumenski protok, 𝜔 broj okretaja ventilatora, a 𝑀 moment koji djeluje na

ventilator. Dobivanje ovih podataka iz numeričkog rješenja je relativno jednostavno unutar

modula ANSYS CFD-Post. Pomoću gotovih funkcija mogu se računati sile, momenti,

75

integrali, usrednjene veličine itd. Tako na primjer za dogovornu učinkovitost je na sljedećoj

slici prikazan je prozor u kojem je unesena njena definicija. Vrijednost koja se dobije se zatim

koristi kao izlazni parametar u procesu optimiranja. Slično se radi i za druge bitne veličine

kao što je snaga, dogovorna razlika tlaka ili kontrola Yplus vrijednosti.

Slika 6.20. Definiranje dogovorne učinkovitosti.

Sada kada su poznate te vrijednosti treba ih usporediti s izmjerenima. U prethodnim

radovima mjerene su dogovorna razlika tlaka i učinkovitost pri različitim protocima. Mjerenja

su vršena pri konstantnom broju okretaja. Protok se mijenjao s povećanjem otpora strujanja

kroz cijev koja je miljenjem broja mrežica na ulazu u cijev. Rezultati su prikazani na donjem

dijagramu.

Slika 6.21. Izmjerene značajke ventilatora.

Isto je zatim napravljeno s numeričkim modelom. Za razliku od stvarnog modela u

numeričkom se nisu mijenjali otpori strujanja, već su se direktno zadavali volumenski protoci

na ulazu. Iz tih volumenskih protoka formira se neka razlika tlaka na ulazu i izlazu iz kola

76

koja se zatim dobiva kako je prethodno opisano. Sljedeći dijagram prikazuje karakteristične

krivulje dobivene numeričkom simulacijom stvarnog ventilatora. Sivom linijom je prikazana

krivulja izračunatog tlaka, a crnom linijom dogovorna učinkovitost.

Slika 6.22. Značajke ventilatora s ravnom lopaticom dobivene numeričkom

simulacijom.

Radi preciznije prezentacije dobivenih rezultata ispod je dodana tablica dobivenih

rezultata iz numeričke analize.

Tablica 6.1. Značajke dobivene numeričkom simulacijom.

Protok/m3 Tlak/Pa Učinkovitost/%

0 N/A 0.00

600 96.15 35.66

1000 82.45 42.69

1150 77.98 43.56

1300 66.87 41.70

1600 19.14 23.49

Potrebno je nadalje usporediti numeričku simulaciju i izmjerene podatke za navedene

značajke. Usporedba razlike tlaka Pfi učinkovitosti f izmeĎu numeričke simulacije i

izmjerenih podataka je prikazana na sljedećem dijagramu. Sivom linijom je prikazana krivulja

dobivena iz numeričkih simulacija, a crnom linijom iz eksperimentalnih podataka. Iako

postoje odstupanja očekivano je da će numerički model dati nešto povoljnije značajke od

eksperimentalnog kao što se i dogodilo.

Usporedbom učinkovitosti numeričke simulacije i izmjerenih podataka kao što je i

očekivano numerički podaci daju nešto višu učinkovitost od stvarne. Uzroka greške može biti

77

više od kojih je možda najznačajniji modeliranje turbulencije. Osim toga nisu modelirani

volumetrijski gubici koji mogu biti uzrok bolje učinkovitosti numeričkog modela.

Slika 6.23.Usporedba razlike tlaka Pf i učinkovitosti f eksperimentalnih podataka

(crna linija) i numeričke simulacije (siva linija).

Nadalje za razliku od numeričkog modela u stvarnosti postoje razne geometrijske

nesavršenosti koje takoĎer mogu smanjiti učinkovitost.Nakon što sve to rečeno može se

zaključiti da je numerički model dovoljno dobro opisuje stvarnost. Iako je usporedba izvršena

samo za ravnu lopaticu može se pretpostaviti da će i u drugim slučajevima simulacija

odgovarati stvarnosti. Kada je to zaključeno sada se sama simulacija može koristiti za

provjeru rezultata dobivenih mjerenjem. Na primjer kod mjerenja tlaka u privodnoj cijevi tlak

je mjeren u jednoj točci i pretpostavljen srednji po cijelom presjeku. Sada se simulacijom

može provjeriti da li je ta pretpostavka točna tako da se prikažu konture tlaka po presjecima.

Na mjernom presjeku razlika tlaka se pokazala vrlo malom što znači da je to mjerenje

pouzdano.

Slika 6.24. Konture statičkog tlaka na raznim presjecima.

78

6.6. Optimiranje

Za proces optimiranja korišten je ModeFRONTIER koje je povezan s ANSYS na

način da mijenja ulazne parametre u ANSYS i daje izlazne vrijednosti koje se računaju unutar

njega. Za optimiranje su korišteni genetski algoritmi varijanta MOGA-II, a generiranje

inicijalne populacije je prema SOBOL inicijalizaciji. Ulazne varijable su kao što je već

opisano koordinate točaka spline krivulja. Izlazne vrijednosti su snaga, residual i dogovorni

tlak i učinkovitost. Iako su samo zadnje dvije izlazne vrijednosti bitne prve dvije su dodane

zbog kontrole. Funkcija cilja je u ovom slučaju maksimalna učinkovitost pri protoku od 1000

m3/h. Ograničenje je razlika dogovornog tlaka koja mora biti veća od 80 Pa.

Slika 6.25. Radni tok za optimiranje lopatice.

Varijable su udaljenosti kontrolne točke spline krivulje od ravnine x-z kao što je

rečeno ranije (Slika 6.7). Ulazne varijable su označavane s oznakama li_j, gdje i predstavlja

ravninuu kojoj se nalazi točka, a j označava koja je po visini ta točka po redu (Slika 6.26).

Točka l5_3 je odabrana da bude konstanta i zato je nema u radnom toku kao ulaznu varijablu.

Slika 6.26. Varijable optimiranja

79

Izlazne vrijednosti iz ANSYS modula su već pretvorene u točan potreban oblik i nije

potrebna njihova dodatna obrada. Oznakom O_DP je izlazna vrijednost dogovornog tlaka

prema izrazu (6.3), oznakom O_učinkovitost prema izrazu (6.4). Izlaz O_snaga je veličina

snage izračunata unutar ANSYS modula i korištena je samo za kontrolu, ona ne sudjeluje u

procesu optimiranja.

Treba napomenuti da je jedna točka odabrana kao konstanta da bi se izbjegla identična

rješenja. Identična rješenja mogu javiti kada se dobije isti oblik lopatice koji je samo

pomaknut za odreĎeni kut. Iako to nije nužno time se značajno ubrzava konvergencija prema

rješenju. Zamrznuta točka je srednja na presjeku plohe koji je najbliži osi ventilatora. Ta točka

je odabrana jer s obzirom na oblik proračunske domene točke na tom presjeku imaju najmanje

slobode.

Ovisno o broju varijabli koji se uzeo koristila se drugačija veličina inicijalne

populacije. Za slučaj na slici korištena je SOBOL inicijalizacija s 200 jedinki.Kriterij

konvergencije je nepromjenjivost geometrije najbolje lopatice kroz nekoliko generacija.

Kriterij konvergencije nije direktno dodan u program već se konvergencija paušalno

procjenjivala. Kao kriterij zaustavljanja zadan je odreĎen broj generacija, u ovom slučaju 50

generacija. Za vrijeme optimiranja je konvergencija se mogla primijetiti i prije zaustavljanja

pa je proces prekinut nakon 22 generacije. Na sljedećoj slici je prikazan proces konvergencije

učinkovitosti prema rješenju s maksimalnom učinkovitošću.

Slika 6.27. Proces konvergencije učinkovitosti.

80

Osim prethodne varijante gdje je lopatici dopuštena dvostruka zakrivljenost,

optimirana je i lopatica u slučaju samo jednostruke zakrivljenosti. U slučaju jednostruke

zakrivljenosti broj varijabli je značajno manji. U tom slučaju za svaku ravninu sve točke se

nalaze na istoj udaljenosti odx-z ravnine čime se dobiva pravac u svakoj ravnini. Iz toga se

dobije ploha koja ima samo jednostruku zakrivljenost. Ova varijanta konvergira u značajno

bržem vremenu.U kasnijim varijantama optimiranja dodana je još i varijabla kojom se može

mijenjati dužina lopatice.

6.6.1. Robusno optimiranje

Kod robusnog optimiranja kao što je rečeno potrebno je imati neke ulazne varijable

koje imaju neku statističku razdiobu. U ovom slučaju je potrebno optimirati lopaticu s

obzirom na statistički promjenjiv protok. Sada će za svaku genetsku jedinku biti potrebno

napraviti nekoliko simulacija da se pokrije područje protoka u kojemu će raditi lopatica.

Ovdje je odabrano 10 jedinki koje su rasporeĎeno po Monte Carlo metodi. Za distribuciju

protoka uzeta je normalna distribucija. Srednja vrijednost protoka je 1000 m3/h s standardnim

odstupanjem od 150 m3/h.S obzirom na 10 simulacija po jedinki proces optimiranja 10 puta

sporiji u odnosu na prethodni. Tako je broj varijabli koji se koristio smanjen da bi se

optimiranje moglo provesti unutar razumnog vremena. Radni tok za ovakav proces je

prikazan ispod.

Slika 6.28. Radni tok robusnog optimiranja lopatice.

Ovdje je lopatica parametrizirana kao ploha s samo 4 varijable na način kao što je

ranije rečeno. Varijable su označene s L_i, gdje i govori u kojoj ravnini se nalazi varijabla.

Dodana je još i mogućnost mijenjanja duljine lopatice što kontrolira varijabla NB.

81

Kao izlazne vrijednosti sada se neće dobiti jedinstvena vrijednost već 10 različitih

vrijednosti. S obzirom da postoji više simulacija po jedinki modeFRONTIER pohranjuje sve

rezultate u tablici u kojoj unutar svake jedinke ima više rezultata kao što je prikazano na slici.

Slika 6.29. Tablica rezultata robusnog optimiranja.

Na temelju tih više rezultata može se izračunati srednja vrijednost i standardno

odstupanje svake izlazne veličine. Sljedeća slika prikazuje načine na koje se može pratit

proces optimiranja. Lijeva slika prikazuje rezultate učinkovitosti dobivene za svaku

simulaciju, dok desna srednju vrijednost rezultata za svaku jedinku. Osim srednje vrijednosti

može se pratiti i standardno odstupanje učinkovitosti.

Slika 6.30. Dio procesa robusnog optimiranja za svaku simulaciju (lijevo) i za svaku

jedinku (desno).

Ovdje je opisan način na koji je proveden proces optimiranja. U sljedećem poglavlju

pokazat će se rezultati i usporedbe različitih dobivenih lopatica. Optimizacija je vršena za tri

varijante.Prva je za jednu radnu točku s jednostrukom zakrivljenošću, druga isto za jedno

radnu točku ali s dvostrukom, a treća za širi raspon protoka s jednostrukom zakrivljenošću.

82

6.7. Rezultati optimiranja

U ovom poglavlju je opisano optimiranje izvedeno za tri različite varijante (Slika 6.31):

- Var.1: Optimiran je oblik lopatice za maksimalnu učinkovitost pri protoku 1000

m3/h. Uz to je dopuštena samo jednostruka zakrivljenost lopatice.

- Var.2: Optimiran je oblik lopatice za istu funkciju cilja i protok, ali ovaj put je

dopuštena dvostruka zakrivljenost lopatice.

- Var.3: Robusno je optimirana lopatica za normalnu distribuciju protoka s

srednjom vrijednošću od 1000 m3/h, uz standardno odstupanje od 150 m

3/h.

Slika 6.31. Usporedba kontura brzine strujanja za različite varijante optimiranja.

83

Za svaku varijantu posebno, prvo će biti opisana geometrija nove lopatice a zatim

usporedba značajki novog ventilatora s drugima. U svim usporedbama će biti korišteni samo

podaci iz numeričkih analiza odnosno neće se usporeĎivati s eksperimentalnim podacima. Na

sljedećoj slici je prikazana usporedba ravne lopatice s optimiranim varijantama. Na slici su

prikazane konture brzine gdje crna boja predstavlja brzinu jednaku nulu (odvajanje strujanja),

a svijetlo siva najveću brzinu. Uvijek je korišten presjek lopatice na istoj visini koja iznosi

otprilike ¾ visine lopatice. Dok se na ravnoj lopatici vidi izrazito odvajanje strujanja na

usisnom dijelu lopatice, a na optimiranim varijantama je ono smanjeno. Zanimljiv rezultat je

var.2 kod koje je odvajanje strujanja na usisnom dijelu potpuno nestalo ali se zato pojavilo na

tlačnom dijelu lopatice. Dalje u poglavlju će biti detaljnije opisani dobiveni rezultati i

usporedba izmeĎu varijanata

6.7.1. Optimiranje lopatice s jednostrukom zakrivljenošću

U ovoj varijanti je dopuštena samo jednostruka zakrivljenost lopatice i mijenjanje

dužine lopatice. Kao što je već rečeno optimirana je za jedan protok od 1000m3/h. Funkcija

cilja je maksimalna učinkovitost, a ograničenje je razlika tlaka od 80 Pa. Na sljedećoj slici je

prikazan dobiveni oblik kojim je dobivena najveća učinkovitost za zadani protok.

Slika 6.32. Optimirana s jednostrukom zakrivljenošću.

Iako je lopatica optimirana samo za jedan protok, mogu se promatrati njene značajke

naknadno pri više protoka. Sljedeći dijagram prikazuje krivulje učinkovitosti i dogovorne

razlike tlaka za optimiranu lopaticu s jednostrukom zakrivljenošću. Sivom linijom je

prikazana krivulja izmjerenog tlaka, a crnom linijom dogovorna učinkovitost.

84

Slika 6.33. Značajke optimiranog ventilatora: jednostruko zakrivljena lopatica,

optimizacija provedena samo za jedan vol. protok

Radi preciznijeg opis ispod je dodana tablica s dobivenim rezultatima.

Tablica 6.2. Značajke optimiranog ventilatora

Protok/m3 Tlak/Pa Učinkovitost/%

0 N/A 0.00

500 96.30 40.62

800 91.34 47.44

1000 80.12 51.03

1150 57.77 45.608

1250 37.84 35.83

1300 26.26 27.75

Potrebno je usporediti značajke ovog optimiranog ventilatora s ravnim ventilatorom da

se uvide promjene. Prvo se može usporediti učinkovitost pri protoku od 1000 m3/h. Dok je

učinkovitost kod ventilatora s ravnom lopaticom 42.7%, kod optimirane varijante ona iznosi

51.0% što je značajno poboljšanje u odnosu na staru. MeĎutim kao što se vidi na sljedećem

dijagramu pri većim protocima učinkovitost naglije opada kod optimirane varijante, što čini

ravnu lopaticu bolju pri većim protocima. Osim učinkovitosti može se usporediti postignutu i

razlika tlaka. Slično kao s učinkovitosti vidi se na donjem dijagramu da i razlika tlaka naglo

opada kod optimirane varijante, dok je za optimirani protok približno jednaka.

85

Slika 6.34. Usporedba razlike tlaka Pf i učinkovitosti f ventilatora s optimiranom

lopaticom (crna linija) i ravnom lopaticom (siva linija).

6.7.2. Optimiranje lopatice s dvostrukom zakrivljenošću

Kod ove varijante lopatici je dopuštena veća sloboda. Sada se za oblik lopatice

koristila B-spline ploha s 12 a zatim i 25 točaka. Kod obe varijante dobivena geometrija i

značajke su meĎusobno vrlo slični pa će se dalje prikazivati samo jedna varijanta i to ona s 12

točaka. Na sljedećoj slici su prikazani presjeci lopatice optimirane za najveću učinkovitost.

Presjeci na slici su presjeci s gornjim i donjim diskom. U prošloj varijanti gdje je jednostruka

zakrivljenost lopatice oba presjeka su jednaka, dok su u ovoj varijanti različita. Kao što se

vidi na slici presjek lopatice s donjim diskom je sličan kao kod prethodne varijante dok se

presjek s gornjim diskom značajno razlikuje.

Slika 6.35. Pogled na presjek lopatice s gornjim (gore) i donjim (dolje) diskom.

86

Presjek lopatice s gornjim diskom je poprimio neočekivani oblik s „udubinom“ i

infleksijom na jednom mjestu. Pri pogledu slike strujanja na istom mjestu se može vidjeti

odvajanje strujanja (Slika 6.31). MeĎutim uz to odvajanje strujanja istovremeno je nestalo

odvajanje strujanja na usisnom dijelu lopatice.

Intuitivni zaključaj na osnovu prethodnog rezultata je da korišteni numerički model

korišten pri optimiranju nije dovoljno dobar. Za daljnji rad bile bi potrebne dodatne provjere

korištenog modela, i ako se ne pronaĎe greška izraditi eksperimentalni model lopatice za

ispitivanje ispravnosti modela. Za sada će se pretpostaviti da je model ispravan i nastaviti s

usporedbom ove varijante i ostalih.

Radi bolje vizualizacije rješenje geometrijskog dobivenog optimiranjem dolje je

prikazano nekoliko pogleda na istu lopaticu.

Slika 6.36. Različiti pogledi na optimiranu lopaticu s dvostrukom zakrivljenošću.

Značajke ovog ventilatora prikazane su na sljedećem dijagramu. Sivom linijom je

prikazana krivulja izmjerenog tlaka, a crnom linijom dogovorna učinkovitost. Prvo se može

reći da učinkovitost pri protoku od 1000 m3/h iznosi 54.0% što je u odnosu na 42.7% kod

ravne lopatice poboljšanje učinkovitosti od 26.5% u odnosu na varijantu s ravnom lopaticom.

Slika 6.37. Značajke optimiranog ventilatora s dvostruko zakrivljenom lopaticom.

87

Radi preciznijeg prikaza rezultata dodana je još tablica s rezultatima.

Tablica 6.3. Značajke optimiranog ventilatora s dvostruko zakrivljenom lopaticom.

Protok/m3 Tlak/Pa Učinkovitost/%

0 N/A 0.00

600 96.83 43.48

800 92.63 50.78

1000 81.36 54.00

1150 55.52 46.58

1300 19.55 22.85

Dalje se značajke ovog ventilatora mogu usporediti s postojećim. Na idućim

dijagramima prikazane su značajke optimiranog ventilatora s dvostruko zakrivljenom

lopaticom crnom linijom i značajke ventilatora s ravnom lopaticom sivom linijom. Može za

vidjeti da značajke učinkovitosti i razlike tlaka za veće protoke još strmije opadaju nego kod

prethodne varijante.

Slika 6.38. Usporedba značajki optimiranog ventilatora s dvostruko zakrivljenom

lopaticom (crna linija) i ventilatora s ravnom lopaticom (siva linija).

6.7.3. Robusno optimiranje s jednostrukom zakrivljenošću lopatice

Kao što se moglo vidjeti kod prethodnih optimiranja ventilator imao visoku

učinkovitost u radnoj točci dok je pri većim protocima njegova učinkovitost naglo opadala.

Ukoliko ventilator radi pri različitim protocima može se vršiti robusno optimiranje kojim se

dobiva ventilator koji će biti optimalan s obzirom na statistički zadani protok. Tako je ovaj

ventilator optimiran za protok od 1000m3/h s standardnim odstupanjem od 150m

3/h. Rezultat

geometrije je prikazan na sljedećoj slici

88

Slika 6.39. Robusno optimirana lopatica.

Značajke ovako optimiranog ventilatora su prikazane u sljedećem dijagramu. Prvo što

se primjećuje prilikom pregleda rezultata je da je u odnosu na klasično optimiranu lopaticu pri

protoku od 1000 m3/h učinkovitost nešto manja i iznosi 50.6% u odnosu na 51.0%.

Slika 6.40.Značajka robusno optimiranog ventilatora.

Da bi se preciznije prikazali gornji podaci i lakše usporeĎivali s prethodnim

varijantama dodana je još tablica rezultata.

Tablica 6.4Značajke robusno optimiranog ventilatora.

Protok/m3 Tlak/Pa Učinkovitost/%

0 N/A 0.00

600 91.19 40.40

800 89.21 46.88

1000 83.54 50.60

1150 65.17 47.47

1300 38.15 35.45

89

Na sljedećem dijagramu se vidi usporedba robusno optimiranog ventilatora i

ventilatora s ravnom lopaticom. S obzorom da je ventilator optimiran za relativno usko

područje u okolini 1000 m3/h opet se karakteristika ponaša slično kao i kod lopatice

optimirane samo za jednu točku ali s manjom strminom što je i bio cilj robusnog optimiranja.

Osim toga i učinkovitost pri protoku od 1000 m3/h je nešto niža nego kod klasičnog

optimiranjaIako postoje značajne razlike u obliku, da bi više došlo robusno optimiranje do

izražaja bilo bi potrebno uzeti veće standardno odstupanje protoka čime bi se i učinkovitost

spustila u točci protoka 1000 m3/h ali uz to bipri drugim protocima bila stabilnija.

Slika 6.41.Usporedba robusno optimiranog ventilatora s ravnim ventilatorom.

Na sljedećoj slici je prikazana razlika u geometriji izmeĎu robusno optimirane i

klasično optimirane lopatice. Na slici je prikazana robusno optimirana lopatica i preko nje je

crnom linijom nacrtan oblik lopatice optimirane za jednu točku.

Slika 6.42. Usporedba lopatice optimirane za jednu radnu točku (crna linija) i robusno

optimirane lopatice.

90

Ovdje je pokazano kako se robusnim optimiranjem može projektirati lopatica ne za

jedan protok već za sve širi raspon protoka. Ovime se dobiva i drugačiji optimalni oblik

lopatice. Taj oblik će iako je manje optimalan za jednu radnu točku biti bolji u odnosu na

prethodni u radnim uvjetima gdje protok nije uvijek jednak već je podložan promjenama.

6.7.4. Optimiranje lopatice s promjenjivom debljinom stjenke

Neke varijante optimiranja su dale oblik kod kojeg se na tlačnoj strani javljalo

odvajanje strujanja, dok bi se istovremeno na usisnoj strani smanjilo odvajanje. S time s javila

sumnja u ispravnost modela jer odvajanje strujanja ne može biti povoljno za učinkovitost

ventilatora. U ovoj varijanti je optimirana lopatica kojoj je dopuštena jednostruka

zakrivljenost i promjena debljine. Naziv ove varijante će biti varijanta 4.

Kod prošle varijante parametrizacije geometrije u svakoj ravnini se nalazila B-spline

krivulja. Zatim je iz njih nekoliko dobivena ploha kojoj je dana debljina. Kod lopatice s

promjenjivom debljinom se umjesto B-spline krivulje u svakoj ravnini nalazi površina koja

predstavlja presjek lopatice na tom mjestu. Uz raniju B-spline krivulju dodana je još jedna

koja je jednakog oblika samo je odmaknuta za zadanu debljinu kao što je prikazano na

sljedećoj slici. Isto kao i ranije sada je stvoreno loft tijelo kroz tih nekoliko presjeka. Na

donjoj slici osim promjena u parametrizaciji prikazan oblik optimirane lopatice koji je na slici

poslije prikazan u presjeku.

Slika 6.43. Parametrizacija lopatice s promjenjivom debljinom

91

Optimiranje je vršeno za radnu točku od 1000 m3/h s istom funkcijom cilja i

ograničenjem kao i ranije. Očekivano je da će s omogućenom promjenom debljine nastati

lopatica kod koje se neće javiti odvajanje strujanja s ni jedne strane lopatice. Na donjoj slici je

prikazana optimizacijom dobivena lopatica s konturama brzine.

Slika 6.44. Konture brzine kod optimirane jednostruko zakrivljene lopatice s

promjenjivom debljinom (var. 5).

Kao što je očekivano kod ove varijante se nije javilo odvajanje strujanja s ni jedne

strane lopatice. Uz to je s ovom lopaticom dobivena i najveća učinkovitost. Ovim se dobila

malo veća sigurnost u prethodno dobivene rezultate. Radi usporedbe s prethodnim

varijantama dolje je prikazana tablica značajki za različite protoke.

Tablica 6.5. Značajke ventilatora s optimiranom jednostruko zakrivljenom lopaticom s

promjenjivom debljinom.

Protok/m3 Tlak/Pa Učinkovitost/%

0 N/A 0.00

500 102.25 44.89

800 100.63 54.41

1000 82.61 55.28

1200 45.08 41.91

1300 19.52 22.98

92

6.7.5. Pregled lokalnih značajki različitih varijanti ventilatora

Ovdje će se prikazati vektori strujanja na presjeku, strujnice unutar lopatičnog kanala, i

konture tlakova na različitim presjecima. U odnosu na prethodne usporedbe gdje su se gledale

uglavnom integralne značajke, ovdje je svrha usporedba lokalnih pojava, odnosno tlakova i

brzina na različitim mjestima. Sve slike vrijede za protok od 1000 m3/h. Sljedeće 4 slike

prikazuju usporedbu kontura tlaka na različitim mjestima.

Slika 6.45. Konture statičkog tlaka kod ravne lopatice.

Sljedeća slika prikazuje konture kod ventilatora s jednostruko zakrivljenom lopaticom

optimiranom za jednu točku.

Slika 6.46. Konture statičkog tlaka za var. 1.

Sljedeća slika prikazuje konture kod ventilatora s dvostruko zakrivljenom lopaticom

optimiranom za jednu točku.

93

Slika 6.47. Konture statičkog tlaka kod var.2.

Slijede konture tlaka za ventilator s robusno optimiranom lopaticom.

Slika 6.48. Konture statičkog tlaka kod var.3.

Sljedeća slika prikazuje konture tlaka ventilatora s lopaticom promjenjive debljine.

Slika 6.49. Konture statičkog tlaka kod var.4.

94

Sljedeća slika zbirno prikazuje strujnice unutar lopatičnog kanala kod svih varijanti.

Slika 6.50. Strujnice unutar lopatičnog kanala kod svih varijanti.

95

Sada će biti prikazani vektori relativne brzine u ravnini na ¾ visine lopatice. Prvo su

prikazani za ventilator s ravnom lopaticom, a zatim i za ostale varijante.

Slika 6.51. Vektori brzine kod ventilatora s ravnom lopaticom.

Slika 6.52. Vektori brzine kod varijante 1.

96

Slika 6.53. Vektori brzine kod varijante 2.

Slika 6.54. Vektori brzine kod varijante 3.

97

Slika 6.55. Vektori brzine kod varijante 4.

Na prethodnim slikama je prikazana slika strujanja i tlakovi na nekim karakterističnim

mjestima. Iz njih se mogu vizualno usporediti različite varijante.

98

7. OPTIMIRANJE TRUPA BRODA

Dosadašnje forme broda temelje se uglavnom na osnovu iskustva dobivenog

eksperimentima. U novija vremena pojavom sve bržih računala dobiva se mogućnost

provoĎenja numeričkih eksperimenata koji s dovoljnom točnošću mogu predvidjeti otpore

broda i time potrebnu snagu, odnosno potrošnju energenata. U ovim vremenima velikih

promjena cijene energenata pitanje je dali je moguće izmjenom ili dobivanjem novih formi

postići ušteda, ili su pak uobičajene forme već optimalne. Iako već postoje raznorazni pristupi

problemu, pojavom novih alata i metoda optimiranja otvara se mogućnost istraživanja novih

metoda.

Za proračun otpora broda numeričkim eksperimentima valja se za početak opredjeliti

na istisninske brodove, čime se pojednostavljuju modeli. Osim toga za dimenzioniranje

konstrukcijskih elemenata jednostavno je koristiti postojeće standarde. Ovdje je odabran

standard za jednotrupce s dužinom do 25 metara. Potrebno je napraviti računalne modele koji

će unutar navedenih granica za bilo koju formu i glavne izmjere biti u stanju izračunati otpor

broda, masu trupa i druge bitne podatke koji će omogućiti vrednovanje tog rješenja. Tada za

odreĎene zahtjeve (npr. Potrebna nosivost, površina palube, brzina, stabilitet itd.) se može

postaviti optimizacijski model.

Cilj je korištenjem računalnih programa Excel i Fluent napraviti modele i korištenjem

programa modeFRONTIER izraditi i ispitati različite metode optimiranja. Time se za

odreĎeni zadatak može dobiti kao rješenje optimalnu formu broda ili kada postoji više

funkcija cilja, dobiva se Pareto fronta rješenja. Dodatni cilj u ovom poglavlju je primjenom

3D skeniranja parametrizirati a zatim i optimirati oblik već postojeće brodice.

7.1. Otpor broda

Brod treba biti izraĎen na način da se giba kroz vodu s minimalnim utjecajem vanjskih

sila. Otpor broda se može definirati kao sila koja je potrebna da bi se brod teglio kroz vodu

konstantnom brzinom. Otpor broda se može podijeliti na otpor trenja i preostali otpor. S

obzirom da brod prolazi kroz viskozni fluid, stvara se granični sloj. Ovo uzrokuje otpor

uslijed smičnih naprezanja. Otpor trenja čini najveći udio u ukupnom otpori a ovisno o brzini

broda iznosi od 50-80% od ukupnog otpora. Ovaj dio otpora, prema definiciji se računa na

način da se kroz vodu tegli ploča koja ima površinu jednaku površini broda koja je u dodiru s

morem (oplakana površina).

99

Otpor trenja se računa po:

(7.1)

gdje je gustoća vode, V brzina broda, S oplakana površina a CF je koeficijent otpora.

Koeficjent otpora se može izračunati prema ITTC-1957 formuli:

(7.2)

Kada se od ukupnog otpora oduzme otpor trenja dobije se preostali otpor. Taj otpor

može se podijeliti na više izvora otpora, ali od tih otpora najveći dio čini otpor valova. Kako

se brod giba preko neporemećene površine vode, on stvara valove koji nastaju na pramcu i

krmi broda. Stvaranje ovih valova zahtjeva energiju, koja se dobiva iz otpora valova. Otpor

trenja se vrlo točno može izračunati prema prethodnoj formuli, dok za otpor valova ne postoje

jednostavni izrazi. Iako postoje metode kojima se može aproksimirati, te metode imaju veća

odstupanja od „stvarnosti“. Jedna od metoda za preliminarni proračun otpora koja će se

koristiti u ovom poglavlju je Holtrop metoda. Ona osim jednadžbe (7.2) koristi dodatne

jednadžbe za proračun drugih komponenata otpora. Jednadžbe se temelje na ispitivanja i

statističkim istraživanjima. Iako mogu biti dosta točne za konvencionalne forme broda, kod

nekonvencionalnih oblika ne mogu biti točne. MeĎutim predviĎanje otpora s numeričkim

simulacijama se pokazalo kao poprilično točnim ukoliko se dobro koristi. U ovom radu su

korištena oba načina procjene otpora trupa broda, o čemu će biti više rečeno u sljedećim

poglavljima.

7.2. Parametrizacija geometrije

Parametrizacija geometrije trupa ne razlikuje se mnogo od parametrizacije lopatice

ventilatora. Trup je parametriziran s spline plohom, koja je kao i ranije napravljena od

nekoliko presjeka B-spline krivulja. Na svakoj krivulji označene su koordinate nekoliko

kontrolnih točaka koje se zatim mogu odabrati kao varijable optimiranja. Trup broda je

pretpostavljen simetričan i stoga se modelira samo polovica trupa broda.

Nakon što se dobije polovica trupa broda nju je potrebno oduzeti od volumena okolnog

fluida. Za trup je pretpostavljeno da se nalazi u bazenu za ispitivanja, što znači da je volumen

okolnog fluida konačan. Na osnovi iskustva odreĎene su dimenzije bazena, koji mora biti

približno 4 puta širi od širine broda. Volumen ispred broda je približno jednak dužini broda

dok je volumen od zada tri puta dužina broda. Dubina i visina proračunskog prostora su

100

jednaki i iznose po približno jednu dužinu trupa broda. Na sljedećoj slici je prikazan trup

broda i volumen fluida od kojeg je Booleovom operacijom oduzet volumen broda.

Slika 7.1. Geometrija broda i geometrija proračunskog područja

Razlika u odnosu na prošlu parametrizaciju je što ploha koja opisuje trup može i ići u

negativan dio z-x ravnine (s obzirom na y os). Trup broda se tada sastoji samo od dijela plohe

koji je u pozitivnom dijelu. Ovakva parametrizacija omogućava veću fleksibilnost u koju

meĎu ostalim spada i mogućnost da se formira bulb-pramac. Na donjoj slici je prikazano tako

kako se s ovom parametrizacijom može formirati bulb-pramac. Osim trupa broda vidljiva je i

ploha od koje je trup nastao. Kao što se vidi, u dijelu ispred pramca još uvijek postoji ploha

ali ona se oduzme od geometrije uz pomoć Booleovih operacija.

Slika 7.2.Parametrizacija trupa.

101

7.2.1. 3D skeniranje trupa

Pod 3D skeniranjem se podrazumjeva prikupljanje prostornih podataka o

geometriji promatranog objekta putem ureĎaja koji se u širem smislu nazivaju 3D skeneri.

3D sken predstavlja vezu izmeĎu realnog objekta i CAD modela. 3D skenere se dijele u

dvije osnovne kategorije, kontaktni i bez kontaktni skeneri.

Skeneri sa strukturiranim svjetlom, koji se još nazivaju i White light skeneri (skeneri

bijelog svjetla), temelje se na principu projiciranja crta bijelog svjetla te očitavanja

dobivenih projekcija, najčešće digitalnim (CCD) kamerama. Obično se sustavi temelje

na dvjema CCD kamerama, koje pod istim kutom obzirom na projektor meĎu njima,

softverski razaznaju rub izmeĎu svjetla i tame projicirane linije, te se na osnovi poznatog kuta

gledanja, odreĎuje udaljenost.

U ovom radu je za skeniranje korišten sustav ATOS. Projekcijski sustav ATOS

(Advanced topometric sensor) pripada toj vrsti skenera. Sastoji se od konvergentne

konfiguracije dviju kamera te centralno postavljenog nekoherentnog projektora kodiranog

svjetla. Kamere su identične te je krutom izvedbom omogućeno da relativna orijentacija

kamera kao i parametri objektiva sustava ostaju fiksni tijekom svih procesa mjerenja.

Slika 7.3. 3D skeniranje brodice.

Samim skeniranjem i obradom skenirane površine, posao nije završen i tek iza

skeniranja predstoji mukotrpan rad pretvaranja skeniranog u CAD geometriju. Sam format

zapisa, STL format, predstavlja velik broj podataka (koordinate oblaka točaka) koje je

potrebno bitno smanjiti kako bi se skenirana geometrija koristila u drugim aplikacijama.

Formiraju se modeli sastavljeni od ravnih poligona (najčešće trokutnih) površina, te

modeli površina definirani putem NURBS prostornih površina, a koji se dalje pretvaraju u

102

CAD zapis tijela. Modeli sastavljeni od mreže trokutnih površina, sadrže još uvijek previše

podataka za manipuliranje.

Trup koji je skeniran izraĎen je od isključivo razmotljivih ploha. Očekivano je da će se

optimizacijom izmijeniti njegov oblik.

Slika 7.4. Skenirani trup

Sada je potrebno na neki način prenijeti ovaj oblak točaka u model kojim se može

izraditi mreža konačnih volumena za analizu. Kao što je već rečeno u drugom poglavlju,

potrebno je dobiti trodimenzionalno tijelo da bi se moglo nastaviti s analizom. To će biti

učinjeno na način da se očitaju koordinate točaka kroz koje će se zatim provlačiti spline

plohe. Zato je prvo potrebno centrirati trup u koordinatnom sustavu. To je učinjeno na način

da su se uzeli u obzir simetrija, položaj dna i položaj transoma.

Sada se po uzdužnim i poprečnim presjecima mogu očitati koordinate trupa. Na

sljedećoj slici je prikazan presjek trupa ne jednom od rebara na kojima su izvršena očitanja

koordinata trupa. Iz očitanja je zaključeno da skenirana brodica nije potpuno simetrična.

Stoga su za izradu CAD modela korišteni usrednjeni oblici rebara. IzmeĎu točaka zgibova

trup u je poprečnom presjeku ravan, a s obzirom na to dovoljno je usrednjavati položaj točaka

zgibova. Iako se može raditi i s asimetričnim trupom ovdje se neće raditi tim pristupom. Tim

pristupom osim što bi se komplicirao model strujanja, broj varijabli optimiranja bi bio

udvostručen što bi znatno produljilo vrijeme optimiranja.

Slika 7.5. Očitanje točaka na rebrima.

103

Nakon što su odreĎene točke zgibova u 5 karakterističnih presjeka potrebno je ići dalje

s izradom CAD modela odnosno izvršiti parametrizaciju trupa. Trup je parametriziran je s 5

rebra na svakome po 2 splinea i 2 zgiba. Dno brodice pretpostavljeno da je ravno i paralelno s

vodnom linijom, tako da se može mijenjati samo njegova visina i širina. Svaki spline je

parametriziran s po 3 kontrolne točke s tim da je jedna zajednička. Nekim točkama je

dopušteno gibanje u dva smjera dok je nekima samo u jednom smjeru, a sve skupa postoji 8

parametara po rebru. Time se dobiju 40 varijabli optimiranja za cijeli trup. Parametrizacija

jednog rebra je prikazana na donjoj slici. Broj kontrolnih točaka s donje slike je naknadno

smanjen u pola kao što je već rečeno.

Slika 7.6. Parametrizacija jednog rebra.

Na sljedećoj slici prikazan je CAD model trupa. Za sada su kao što se vidi izmeĎu

zgibova pravci. MeĎutim kao što je rečeno ti pravci su spline krivulje. Optimiranje koje će se

kasnije vršiti bit će za istisninski režim plovidbe. S obzirom na to pretpostavlja se da će trup

dobiti zaobljen oblik nakon procesa optimiranja.

Slika 7.7. CAD model izraĎen na osnovu skeniranog trupa.

104

Nakon što je napravljen CAD model potrebno je usporediti njega i skenirani model. To

se radi kao provjera geometrijske ispravnosti CAD modela. Za usporedbu je potrebno

pozicionirati CAD model na isto mjesto u koordinatnom sustavu gdje je pozicioniran i

skenirani model odnosno oblak točaka. Zatim se može promatrati za neku površinu udaljenost

točke od CAD modela. Na sljedeće dvije slike se vidi udaljenost točaka kod skeniranog

modela od CAD modela. S obzirom da je CAD model simetričan i napravljen kao srednja

izmjerena vrijednost s obe strane skeniranog trupa, oni se neće u potpunosti poklapati. Iako je

moguće napraviti i asimetrični CAD model, odstupanja skeniranog modela od simetričnosti

nisu velika s obzirom na razmatrani problem.

Slika 7.8. Usporedba odstupanja CAD modela od stvarnog modela.

105

7.3. Izrada mreže

Nakon što je testiran veći broj različitih vrsta mreža., za ovaj problem pokazalo se

dobro koristiti CutCell tip mreže. Prednosti ove mreže su brže rješavanje i brža konvergencija

rezultata. Na donjoj slici je prikazan ovaj tip mreže primijenjen na proračunski volumen za

simulaciju strujanja oko broda.

Slika 7.9. Presjek mreže konačnih volumena

Na nekim mjestima poželjno je povećati gustoću mreže zbog naglih promjena u

strujanju. U ovom slučaju ta mjesta su površina mora, i mjesto blizu stjenke broda. To se

može dodavanjem dodatnog tijela koje će obilježavati prostor gdje je potrebna povećana

gustoća. Na površini mora potrebna povećana gustoća mreže ali ne jednako na svakom dijelu.

Iz razloga što je more neporemećeno ispred broda nije potrebna velika gustoća mreža, dok je

iza broda gdje nastaju valovi poželjna veća gustoća mreže. Taj prostor je točno odreĎen

Kelvin-ovim rješenjem kuta valova koje ostavlja gibajuća točka, koji je jedna bez obzira koja

je brzina broda i iznosi 19.5°.

Kod svih idućih primjera korišten je isti tip mreže samo je mijenjana veličina

elemenata s obzirom na dimenzije trupa. Za trup dužine 5 m rezultate koji se poklapaju s

eksperimentalnim dala je veličinom elemenata uz stjenku od 0.01 m, i veličina elemenata uz

površinu mora od 0.04 m.

7.4. Numerički model

U odnosu na prethodni slučaj kod ovog strujanja javljaju se neke specifičnosti koje je

potrebno uzeti u obzir kod modeliranja strujanja. Dok se prije radilo s periodičkim rubnim

106

uvjetima u svrhu smanjenja domene, ovdje se može koristiti simetrija strujanja. Tako da se

proračunska domena sastoji samo od jedne polovice broda, odnosno okolnog mora. Druga

različitost je što je ovdje riječ o strujanju dva fluida oko trupa broda. Zbog toga će se umjesto

modula ANSYS CFX koristiti modul ANSYS Fluent koji je bolje prilagoĎen za rješavanje

ovakvih problema.

Kao i ranije prvo se zadaje da je potrebno stacionarno rješenja problema. Zatim je u

odnosu na prošli problem potrebno dodati gravitaciju. Najčešće korišteni model turbulencije

za ovu vrstu problema je k-a posebno su usporeĎeni i s drugim modelima. Najbolji se

pokazao model SST k-koji će biti korišten u nastavku rada.

Slika 7.10. Postavke modela turbulencije.

Za modeliranje višefaznih tokova odabran je VOF model. Odabrane postavke su

prikazane u slici ispod.

Slika 7.11. Postavke modela za višefazne tokove.

107

Sada se zadaju rubni uvjeti. S obzirom da se simulira gibanje broda kroz bazen

potrebno je na stjenke postaviti da se gibaju brzinom jednakoj brzini strujanja. Na ulazu se

zadaje brzina, i parametri turbulencije. Turbulencija je odreĎena s intenzitetom turbulencije

od 1% i specifičnom dužinom iznosa jednakog dužini broda. Na sljedećoj slici je prikazano

zadavanje rubnih uvjeta specifičnih za strujanje fluida sa slobodnom površinom. Zadaje se

visina slobodne površine i položaj dna.

Slika 7.12. Postavke rubnih uvjeta na ulazu.

Metode rješavanja postoje mnoge. U ovom slučaju odabrano je vezano rješavanje tlaka

i brzine s pseudo-tranzientnom metodom rješavanja.

Slika 7.13. Postavke metode rješavanja.

Vrijednosti pod-relaksacijskih faktora su ostavljene preporučanima osim za pod-

relaksacijske faktore turbulencije. Njihovim smanjenjem za 30% se postiže stabilnije

rješavanje i brža konvergencija. Inicijalizacija se vrši s „Open Channel Initialization Method“

čime je u cijeloj domeni odmah pretpostavljena ravna slobodna površina koja odvaja zrak i

vodu.

108

Kriterij konvergencije koji se pokazao dovoljnim za konvergenciju otpora i uzgona je

da residual padne ispod 0.001. Izvršeno je više simulacija (primjer Slika 7.14) kod kojih se

dogodila konvergencija otpora i uzgona s tim kriterijom konvegencije.

Slika 7.14. Konvergencija otpora i uzgona.

7.5. Rezultati i provjera ispravnosti modela

Bez obzira koji se proračun radi poželjno je imati neke podatke o sličnim problemima

za provjeru rješenja. Ovdje će se koristiti eksperimentalni podaci ispitivanja trupa DTMB

5512. S obzirom da je oblik trupa vrlo složen ukoliko se dobiju slični rezultati otpora u

numeričkoj simulaciji kao kod eksperimenta, može se pretpostaviti da je numerički model

dobar za optimiranje. Na sljedećoj slici je prikazan model trupa broda koji će biti korišten za

potvrĎivanje ispravnosti numeričkog modela.

Slika 7.15.Trup broda DTMB 5512[7].

Podaci koji su dostupni o ispitivanju su u obliku koeficijenta otpora broda u ovisnosti o

Froudeovom broju. Zato će se prvo definirati što znače te veličine. Koeficijent otpora broda se

računa na isti način kao drugi koeficijenti otpora u dinamici fluida:

(7.3)

gdje je Fx izmjerena sila na trup, g gravitacijsko ubrzanje; gustoća; T temperatura;

Uc brzina strujanja i S oplakana površina trupa. Froudeov broj je bezdimenzionalna veličina

109

koja se definira kao omjer brzine broda i brzine gravitacijskog vala. Njome se omogućuje

usporedba brodova različitih veličina. Freoudov broj je definiran s:

(7.4)

Sada se mogu prikazati rezultati ispitivanja trupa broda. Trup je ispitivan u bazenu za

ispitivanja na način da se teglio kroz bazen različitim brzinama i istovremeno je mjerena sila

na trup u uzdužnom smjeru. Osim toga poznate su dimenzije bazena i temperatura vode što

omogućava postavljanje ekvivalentne numeričke simulacije. Temperatura vode je bitna samo

iz razloga što viskoznost i gustoća ovise o temperaturi dok sama temperatura ne utječe na

otpor.

Slika 7.16. Rezultati eksperimentalnog ispitivanja otpora trupa broda [7].

Sada će se u nastavku dati usporedba izmeĎu eksperimentalnih podataka i podataka

dobivenih iz numeričke analize. Na sljedećem dijagramu prikazan je usporedba

eksperimentalnih podataka (crna linija) i podataka dobivenih analizom (siva linija). Za same

eksperimentalne podatke se ne može reći da su potpuno točni, tako da odstupanje koje se vidi

na dijagramu može potvrditi ispravnost korištenog računalnog modela strujanja.

Slika 7.17. Usporedba eksperimentalnih podataka (crna linija) i numeričkih rezultata

(siva linija).

110

S obzirom da numerička analiza pruža mnogo podataka možemo napraviti i vizualni

prikaz strujanja oko trupa broda. Sljedeća slika prikazuje polje brzina u ravnini simetrije. Kao

što je i očekivano brod ostavlja za sobom trag smanjene brzine.

Slika 7.18. Konture brzine strujanja u ravnini simetrije.

Mogu se još prikazati isti podaci za površinu vode odnosno slobodnu površinu.

Sljedeća slika prikazuje konture brzine u tlocrtu na mjestu slobodne površine.

Slika 7.19. Konture brzine na slobodnoj površini

7.6. Optimiranje

Kao i ranije optimiranje je izvedeno povezivanjem ANSYS programa s

ModeFRONTIER-om. Za optimiranje su korišteni genetski algoritmi varijanta MOGA-II, a

generiranje inicijalne populacije je prema SOBOL inicijalizaciji. Funkcija cilja je minimum

otpora za odabranu brzinu. Ograničenje je istisnina odnosno uzgon broda. Varijable su kao što

je rečeno koordinate kontrolnih točaka na pojedinim rebrima broda. Nakon optimiranja s

MOGA-II genetskim algoritmom za najbolju jedinku će se izvoditi optimiranje SQP

metodom. Na sljedećoj slici je prikazan radni tok za optimiranje SQP metodom, za jednu

jedinku.

111

Slika 7.20. Radni tok za optimiranje SQP metodom.

Kod višekriterijskog optimiranja osim otpora za funkciju cilja postavljen je i minimum

mase trupa. Masa trupa se računa odvojeno od otpora unutar Excel proračunskih tablica.

Proračun mase trupa izveden je prema standardu ISO 12215. Excel je serijski spojen s

ANSYS-om pomoću ModeFRONTIER-a kao što je prikazano na donjoj slici. Osim što se u

Excel proračunskim tablicama računa masa konstrukcije, izvodi se i preliminarna analiza

otpora broda prema Holtrop metodi. Iako ova metoda nije točna može se koristiti da se

približno predvidi otpor broda. Tako se za neke jedinke unaprijed može zaključiti da neće dati

dobar rezultat. Ovo se koristi da se bez dugotrajne CFD analize neke jedinke mogu preskočiti

na osnovu preliminarnog proračuna otpora.

Slika 7.21. Radni tok kod višekriterijskog optimiranja trupa broda.

112

S obzirom da postoje dvije funkcije cilja sada će se proces optimiranja pratiti na

drugačiji način. Na donjoj slici je prikazan dijagram na kojemu ja za svaku jedinku ucrtana

točka koja pokazuje cijenu trupa i potrebnu snagu. Sada se na slici može i označiti Pareto

fronta, koja je ovdje prikazana crnom linijom.

Slika 7.22. Prikaz procesa optimiranja kod višekriterijske optimizacije.

7.7. Rezultati optimiranja

U ovom poglavlju prikazani su rezultati nekoliko različitih provedenih procesa

optimizacije brodskog trupa. Prvo je provedeno probno optimiranje pramca da se provjeri

hoće li se pojaviti oblik bulb pramca. Zatim je lokalno optimirana geometrija već skeniranog

broda. Zadnje je izvedeno višekriterijsko optimiranje broda gdje je drugi kriterij minimum

mase trupa.

7.7.1. Probno optimiranje pramca

Kao jedna proba ispravnosti modela provedeno je optimiranje pramca nekog trupa.

Odabran je samo pramac da bi broj varijabli optimiranja bio dovoljno mali. Kao funkcija cilja

uzet je minimum otpora broda, a ograničenje je neka željena istisnina. Kod ovog slučaja

dopušteno je da se spline koji opisuje polu-rebro broda bude može prijeći u „negativni“ dio

odnosno može prijeći simetralu . U tom slučaju dio plohe koji je u negativnom dijelu se ne

razmatra, već je trup definiran kao dio plohe koja se nalazi u pozitivnom dijelu ravnine. Tom

parametrizacijom je omogućeno da nastane bulb pramac.

113

Slika 7.23. Radni tok kod kojeg su umjesto svih točaka trupa označene samo točke

pramca.

Svrha ovoga je bilo provjeriti dali će se pojaviti bulb pramac koji je očekivan za

minimum otpora. Na donjoj slici prikazan je trup prije i poslije postupka optimizacije. Kao što

je i očekivano s optimiranjem oblika pramca pojavio se oblik koji sliči na konvencionalni

oblik pramca.

Slika 7.24. Uzdužni prikaz forme broda prije i poslije optimiranja.

7.7.2. Optimiranje skenirane brodice

Brodica je optimirana koristeći MOGA-II i sobol inicijalizaciju s 200 jedinki. Jedinke

se u prostoru varijabli nalaze u uskom prostoru blizu postojećeg rješenja s približno 20%

dopuštenim odstupanjem od postojećeg rješenje. Nakon 10 generacija odabrana je najbolja

jedinka kojom se išlo u optimiranje s SQP metodom. Brodica je optimirana za brzinu od 1

114

m/s s ograničenjem da uzgon mora biti veći od 7500 N. S procesom optimiranja otpor je pao

s 20 N na 15 N.

Slika 7.25. Oblik optimirane brodice.

7.7.3. Višekriterijsko optimiranje brodice

U ovom poglavlju bit će opisano višekriterijsko optimiranje brodice gdje je osim

otpora optimirana i konstrukcija za minimalnu cijenu odnosno masu. TakoĎer je masa

konstrukcije uzeta u obzir za izračun otpora koji se mijenja ovisno o masi. Masa trupa utječe

na promjenu istisnine broda što utječe na gaz, i sami otpor. Masa konstrukcije se računala na

način da se prvo izračunaju potrebne dimenzije elemenata prema standardu ISO 12215. A

zatim iz dimenzija se lako izračuna i masa. Cijena trupa se računa kao konstanta pomnožena s

dobivenom masom. Cijeli proračun dimenzioniranja elemenata se vrši prema programu

programiranom u Excel-u. S obzirom da bi opis rada programa za izračun konstrukcije uzeo

puno mjesta neće se detaljnije spominjati.

Trup se optimira samo za jednu brzinu od 3 m/s. Dužina trupa ograničena je na 13 m, a

širina na 6 m. Dodatna ograničenja koja mora zadovoljiti dizajn su nosivost i površina palube.

Zadano je da nosivost mora biti veća od 5 tona, a površina palube veća od 15 m2.

Cijeli trup broda je parametriziran s 20 točaka koje su kontrolne točke spline plohe.

Koordinate točaka se prvo šalju u Excel za izračun mase trupa, istisnine i gaza. Zatim se

točke, koje opisuju istu plohu šalju u ANSYS za proračun otpora. Osim opisa ploha u ANSYS

se šalje i potreban gaz koji je izračunat u Excelu.

115

U optimizacijsku petlju dodan je čvor koji jedinke za koje se može unaprijed zaključiti

da neće zadovoljavati ne šalje na dugotrajniju analizu u ANSYS. To se može zaključiti za

jedinke koje imaju preveliku masu trupa i/ili preveliki otpor prema preliminarnoj analizi

otpora. Proračun u Excelu preliminarnu analizu otpora trupa broda prema Holtrop metodi.

Petlja tako preskače ANSYS analizu ukoliko je masa trupa veća od 900 kg, ili je snaga

potrebna za pogon po preliminarnoj analizi veća od 10kW ili nije zadovoljena potrebna

površina palube. U slučaju da je preskočena ANSYS analiza, za dizajn je rečeno da ne

zadovoljava ograničenja, a kao rezultat otpora uzet je ovaj iz preliminarne analize po Holtrop

metodi. Ovim postupkom se značajno ubrzava proračun, naročito u početnoj fazi optimiranja.

U početnoj fazi otprilike svako stota jedinka zadovoljava uvijete za ANSYS analizu dok u

kasnijim fazama otprilike svako deseta. Ovime je optimiranje koje bi trajalo mjesecima

skraćeno na nekoliko dana. Iako ovo izbacuje iz razmatranja neke jedinke, drugačiji pristup

zbog ograničenja u računalnoj snazi i vremenu, trenutno nije ni moguć.

Sada postoje dvije funkcije cilja, a koristi se kao i ranije MOGA-II genetski algoritam.

Ovdje je korištena nasumična inicijalizacija s 250 jedinki i broj generacija 100. Rezultati

optimiranja su sada Pareto fronta rješenja koja imaju različite vrijednosti otpora i cijene trupa.

Potrebna snaga za pogon na Pareto fronti varira od 1.1 do 1.5 kW, dok cijena trupa varira od

14.58 do 22.01 tisuće €. Prvo se reći može da je optimiranje dalo zanimljive rezultate. Kod

jednog modela je nastala „platforma“ na krmi koja je vrlo malo uronjena u vodu. Ta platforma

je nastala s obzirom da je kao ograničenje zadana potrebna površina palube. Zbog toga iako je

čudan oblik, on zadovoljava zadana ograničenja. Ovo pokazuje da prilikom postavljanja

ograničenja treba voditi računa ne samo o površini već o korisnosti te površine. Jer kao što se

vidi na slici, površina koja se nalazi na krmenom dijelu je vrlo uska, što ovisno o upotrebi

može biti neupotrebljiva površina. Možda je problem i u modelu konstrukcije koji ne uzima u

obzir ovakve oblike, odnosno ovakav oblik ne bi zadovoljio ograničenja čvrstoće.

Slika 7.26. Geometrija jedinke u početnim stadijima optimizacije.

116

Osim ovog oblika pojavili su se još neki zanimljivi rezultati. U jednoj varijanti

geometrije pojavio se kao i ranije oblik koji sliči na bulb pramac. Na sljedećoj slici je

prikazan dobiveni oblik. Ova jedinka je bila Pareto jedinka neko vrijeme, a kasnije je postala

dominirana s dalje prikazanim jedinkama. Ovdje je postignut kompromis izmeĎu cijene trupa

i otpora broda koji je više na strani niske cijene trupa. U proračun nije uzeta u obzir

tehnologija gradnje broda što bi svakako poskupilo izradu ove varijante u odnosu na varijante

bez bulb pramca. Ali bez obzira na to, kao što je već rečeno pojavile su se jedinke koje su

dominirale ovu.

Slika 7.27. Geometrija jedinke s oblikom pramca sličnom bulb pramcu.

Daljnjim optimiranjem oblik trupa se približio konvencionalnim oblicima ali još uvijek

ima uzvišenu krmu slično kao na varijanti s „platformom“ na krmi. Na sljedećoj slici je

prikazan dobiveni oblik u različitim pogledima. Ovaj oblik za pogon zahtijeva snagu od 1.42

kW a cijena trupa je 16.4 k€.

Slika 7.28. Geometrija Pareto jedinke cijene trupa 16.4 k€ i potrebne snage 1.42 kW.

117

Drugi primjer je na sljedećoj slici gdje je za pogon potrebna snagu od 1.16 kW a cijena

trupa je 22.0 k€. Kao što se vidi u pogledu od strane pramca objekta, trup je malo uži i duži

od prethodnog. Rebra su poprimila malo drugačiji oblik s oštrijim prijelazom izmeĎu dna i

boka broda. Prema ovome se s ovim oblikom trupa se može postići ušteda na otporu, ali ta

ušteda se dobiva po cijeni povećanja cijene izrade trupa.

Slika 7.29 Geometrija Pareto jedinke cijene trupa 22.0 k€ i potrebne snage 1.16 kW.

Ako bi se optimirao brod s drugačijim zahtjevima trup bi dobio drugačiji oblik. Na

primjer kada bi se uz sve ostalo isto ograničenje površine palube smanjilo vjerojatno bi za

rezultat bio konvencionalniji oblik trupa.

U ovom zadnjem poglavlju je pokazano kako se postupkom optimiranja za jedan

problem može dobiti više različitih rješenja što se najčešće i susreće kod praktičnih problema.

Ni jedno od tih rješenja nema prednost nad drugim prema svim kriterijima. Zatim ostaje na

donositelju odluka da odabere jedno od tih rješenja koje će biti kompromis izmeĎu više

meĎusobno suprotstavljenih zahtjeva.

118

8. ZAKLJUČAK

Korištenjem modernih računala i programskih paketa moguće je vršiti nekad

nezamislive procese optimiranja oblika. Nadalje točnost numeričkih se povećava i već je na

razini gdje daje rezultate s zadovoljavajućom točnošću. Vrijeme svake simulacije na malo

boljim osobnim računalima je dovoljno za provoĎenje složenih procesa u razumnim rokovima

od nekoliko dana do nekoliko mjeseci. Isti proces da se vrši s fizičkim eksperimentima osim

očite razlike u cijeni zahtjeva i mnogo više vremena kao i ljudi. Bez obzira što je rezultate

numeričke simulacije potrebno poduprijeti s eksperimentima, broj eksperimenata se svodi na

nekolicinu. To znači da korištenje ovih metoda može značajno pojeftiniti proces optimiranja

nekog proizvoda. Osim što korištenje računala ubrzava metodu, kao što se pokazalo kod

korištenja genetskih algoritama, ovim postupkom se mogu dobiti potpuno novi oblici koji bi

teško pali na pamet nekome ko se bavi rješavanjem problema.

Na primjeru optimiranja ventilatora s radijalnim kolom, kod usporedbe s

eksperimentalnim podacima pokazalo se visoko poklapanje eksperimenta i numeričke

simulacije. To je svakako ohrabrujuće za nastavak procesa optimiranja, u kojem su se dobili

novi oblici. Ovisno o tome za koju svrhu se optimirao oblik lopatice dobiveni su različiti

oblici. Iako su neki oblici očekivani, kao kod robusnog optimiranja, optimiranjem lopatice za

jednu radnu točku dobiven je neočekivani oblik optimalne lopatice. Pokazano je kako ovisno

o režimima rada u kojima se koristi ventilator potreban različiti oblik lopatice. Kod

optimiranja lopatice za jednu radnu točku postiglo se značajno poboljšanje efikasnosti koje

iznosi otprilike 20%. Za daljnji rad bilo bi potrebno provjeriti točnost numeričkih rezultata na

isti način kao što je izvršeno za ravnu lopaticu.

Sljedeći primjer je optimiranje trupa broda s obzirom na otpor, i dodatno na masu

trupa. Prvo se moglo pokazat da numerička simulacija i eksperiment u bazenu daju slične

rezultate. Ovdje su kao i kod prošlog problema optimiranja dobiveni različiti zanimljivi oblici.

Pokazalo se kako se mogu postojeće forme modificirati da se smanji otpor za neke režime

plovidbe. Kod višekriterijskog optimiranja dobiveni su razni zanimljivi oblici. Pokazalo se

kako za jedan problem postoji više rješenja ovisno o tome da li je želja imati trup s što nižom

cijenom izrada ili s što manjim otporom. Pokazalo se da bi se mogao još poboljšati način

modeliranja konstrukcije trupa broda, a dobivene oblike bi bilo zanimljivo eksperimentalno

ispitat da se provjeri točnost numeričkog modela otpora broda.

119

9. LITERATURA

[1] Saxena, A.; Sahay, B.: „Computer Aided Engineering Design“, 2005.

[2] Blagojevic, B.: “Matematicko modeliranje forme trupa broda“, s interneta,

http://marjan.fesb.hr/~bblag/publications/books/matematicko_modeliranje_forme_trup

a_broda.pdf

[3] “modeFRONTIER help“, http://www.esteco.com/.

[4] Ferziger, J; Peric, M.: „Computational Methods for Fluid Dynamics“, 2002.

[5] Gen, M.; Cheng, R.: “Genetic Algorithms & Engineering Optimisation“, 2000.

[6] Coello, C.A.; Lamont, G.B.; Van Veldhuizen, D.A.: “Evolutionary Algorithms for

Solving Multi-Objective Problems“, 2007.

[7] Longo, J.; Stern, F.: “Resistance, sinkage and trim, wave profile, and nominal wake

tests and uncertainty assessment for DTBM model“ , s interneta,

http://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CDIQF

jAA&url=http%3A%2F%2Fciteseerx.ist.psu.edu%2Fviewdoc%2Fdownload%3Fdoi%

3D10.1.1.90.1337%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf&ei=ExzAUcDXDonitQazt4DA

Dg&usg=AFQjCNE7PVkoKgFmGmBAYCrv7SQcukK6kw&bvm=bv.47883778,d.Y

ms&cad=rja, 14. travlja 2013.

120

10. POPIS OZNAKA I KRATICE

3D trodimenzionalno

CFD računalna dinamika fluida

CV kontrolni volumen

D tenzor deformacije

DNS direktna numerička simulacija

DOE dizajn eksperimenata

LES Large Eddy Simulation

NS Navier-Stokes

RANS Reynolds-usrednjeni Navier-Stoker

T tenzor naprezanja

VOF volumen fluida višefazna shema

pf dogovorni tlak ventilatora

f dogovorna efikasnost ventilatora

dinamička viskoznost

kinematička viskoznost

gustoća

121

11. SAŽETAK

Da bi se primjerilo optimiranje oblika primjenom računalne dinamike fluida potrebno

je znanje iz više različitih inženjerskih disciplina. Prvo je potrebno je poznavanje načina

trodimenzionalne parametrizacije oblika da bi se dobila parametrizacija koja dovoljno točno i

općenito opisuje neki oblik. Zatim je potrebno poznavati samo računalnu dinamiku fluida da

bi se ispravno postavio numerički model. Za sami proces optimiranja potrebno je imati i

optimizacijski algoritam. S obzirom na svoju robusnost genetski algoritmi su se pokazali

dobrim za rješavanje problema iz raznih područja. Sa svim ovim sada je potrebno te različite

procese spojiti u jedan jedinstveni proces. To se naziva integracijom procesa, koja sadrži

složeno rudarenje podataka. Korištenjem modernih programa integracija procesa je dosta

pojednostavljena i ne zahtijeva velike količine vremena kao nekada.

Sada se opisanim procesom može vršiti optimiranje različitih proizvoda. Jedan primjer

je optimirati lopaticu kod krovnog ventilatora. Pogodnost kod ovog primjera je periodičnost

strujanja što smanjuje obujam numeričkog modela. Točnost numeričkog modela se može

usporediti s eksperimentalnim podacima i pokazano je visoko poklapanje izmeĎu njih. To

daje nadu da je numerički model dobar i da se može primijeniti optimiranje oblika koje će dati

realne rezultate. Nakon što je provedeno optimiranje dobiveni su različiti oblici s obzirom na

to koja je vrsta parametrizacije geometrije korištena. Pokazalo se je da je moguće poboljšanje

efikasnosti lopatice za otprilike 20% za radnu točku. Ukoliko se ventilator koristi u različitim

režimima rada primjenom robusnog optimiranja dobiven je drugačiji oblik lopatice. Ovaj

oblik je dao ventilatoru dobru efikasnost na širem rasponu, ali manju maksimalnu efikasnost.

Drugi primjer gdje se može primijeniti proces optimiranja primjenom računalne

dinamike fluida je optimiranje trupa broda. Kod numeričkih simulacija, i ovdje se takoĎer

pokazala zadovoljavajuća točnost dobivenih rezultata. Primjenom 3D skeniranja može se

optimirati i već postojeći trup broda čime se dobije oblik koji je pogodan za neki režim

plovidbe. Osim samog otpora može se koristiti i proračun mase konstrukcije što dovodi do

višekriterijskog optimiranja. Višekriterijskim optimiranjem se može za rješenje problema

dobiti više rješenja. To omogućava rješenja s različitim vrijednostima cijene trupa broda i

pogonskih troškova. Sada postoji više optimalnih rješenja, a na donositelju odluka je da

odabere kompromisno rješenje.