Optimizacion en Ingenieria de Procesos 07 2012

Optimización en Ingeniería de Procesos Ing. Carlos A. M. Riascos

OPTIMIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS

El presente documento presenta una aproximación a la optimización en ingeniería química;

introduciendo el lector en algunas de las particularidades de los problemas de optimización:

La formulación del problema, que implica la identificación de un criterio cuantitativo que

permite la comparación objetiva entre las soluciones posibles, así como de las variables

independientes del problema y de las restricciones que las relacionan entre sí y con las

demás variables y parámetros del problema.

La clasificación de los problemas de optimización, que auxilia en la selección de la

técnica de solución adecuada para cada problema.

La ideas fundamentales para la solución de estos problemas, dependiendo del tipo de

problema que se este considerando.

La presentación de las diferentes ideas se soporta en ejemplos que buscan favorecer su

asimilación mediante la aplicación práctica.

1. EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Y SUS CARACTERÍSTICAS

Las técnicas de optimización pueden ser aplicadas en, prácticamente, cualquier sistema,

permitiendo determinar las condiciones o características que mejoran algún indicador de su

desempeño. En la ingeniería química dos casos son especialmente interesantes: la

optimización de condiciones de operación y el diseño óptimo de una unidad o proceso.

Dentro del curso de ingeniería de procesos nos interesa la optimización del diseño, sea de

una única unidad o preferiblemente de toda la planta de procesamiento. Este tipo de

optimización implica la determinación de las condiciones de operación y características del

diseño que optimizan algún criterio de análisis.

Las condiciones de operación (temperaturas, presiones, concentraciones, reflujos,

recirculaciones, etc.) se relacionan entre sí por los modelos de cada unidad1 y permiten

definir las variables de diseño (dimensiones de las unidades, número de platos,

características específicas del diseño, etc.) a través de las ecuaciones de diseño2. El criterio

de análisis generalmente involucra los aspectos económicos del proceso (costos de capital,

costos operaciones, precios de producto y materia prima, tasas de depreciación y retorno,

etc.). Luego, la optimización del diseño debe resolver el problema de minimizar o

maximizar el criterio económico, cumpliendo con las restricciones definidas por los

modelos de operación, las ecuaciones de diseño y las funciones de costo de cada unidad, y

respetando los límites para todas las variables.

En forma general, el problema de optimización del diseño se puede formular así:

min/ max ( , )

. ( , ) 0

( , ) 0

L U

f x d

s a h x d

g x d

x x x

(1)

donde : función objetivo (por ejemplo un criterio económico de análisis)

x: conjunto de variables de optimización (algunas de las de operación)

1 Ecuaciones de equilibrio de fases, cinética de las reacciones, etc.

2 Ecuaciones de dimensionamiento de las unidades.


d: conjunto de variables de dependiente (comúnmente las de diseño)

h: ecuaciones del modelo de operación y de dimensionamiento de cada unidad.

g: inecuaciones, como las restricciones para dimensionamiento de las unidades.

xL, x

U: límites mínimos y máximos para variables de optimización.

Ejercicio 1:

Defina el diseño óptimo de un tanque cilíndrico vertical con extremos planos, de radio interno r,

espesor de pared S, altura interna l y espesor de los extremos (fondo y tapa) h. Considerando que:

El costo es proporcional al volumen de material empleado, con un coeficiente Cm ( $/cm3).

El volumen interno debe ser por lo menos 21.2 m3,

Por normas (ASME) la relación espesor de los extremos/radio interno debe ser por lo menos 0.130

y la relación mínima de espesor de pared/radio interno es 1*10-3

La altura interna de la pared debe ser por lo menos 10 cm para permitir conexiones y

El radio exterior no puede ser mayor que 1.5 m por el espacio disponible

Formule el problema de optimización de la forma

0)(

0)(..

)(min

xg

xhas

xf

¿Cuántos grados de libertad tiene el problema?

¿Cuántos tendríamos si el volumen fuera fijo?

Es importante recordar que, la necesidad de analizar el problema de diseño desde el punto

de vista de la optimización se debe a que los efectos de una decisión pueden ser de

diferente índole3, por lo que, la toma de decisiones en el diseño de un proceso implica la

ponderación entre las ventajas y desventajas generadas por la elección de una alternativa o

condición. Dicha ponderación implica cuantificar en términos de costos todos los efectos de

las variables de proceso. Algunas de las criterios económicos que pueden ser empleados en

la optimización son la tasa de retorno (return of investment: ROI) y el periodo de

recuperación de la inversión (payback period: PBP); lógicamente, si se considera la tasa de

retorno como función objetivo, la optimización deberá buscar su maximización; pero si se

emplea el PBP el problema será de minimización.

Ejemplos de motivación: por qué es necesario aplicar técnicas de optimización en

ingeniería química

Comúnmente, los problemas de optimización en ingeniería química son problemas

complejos, a continuación se presentan formulaciones simplificadas para problemas típicos

de esta profesión.

Ejemplo 1: Definición del reflujo en una torre de destilación, adaptado de Treybal[2].

Cuando se consideran sistemas de destilación, la relación de reflujo es uno de los

parámetros más importantes para lograr una operación satisfactoria. Operar con la relación

de reflujo mínima implicaría un número infinito de etapas para lograr la separación; en

consecuencia, el costo fijo de la columna sería infinito, pero los costos operacionales (calor

3 Por ejemplo, la selección de un tipo de reactor o de sus condiciones de operación afecta la composición del

producto obtenido, lo que tiene incidencia sobre el diseño y operación de las unidades de separación aguas

abajo.


para el rehervidor, agua de enfriamiento para el condensador, potencia para la bomba de

reflujo) serían mínimos, pues los flujos internos también lo son4. Al aumentar R, el número

de platos decrece rápidamente, pero el diámetro de la columna crece debido al aumento en

las corrientes internas (las dimensiones de las unidades auxiliares como condensador,

rehervidor y bomba de reflujo también aumentan). En consecuencia, los costos fijos

disminuyen hasta un mínimo y crecen nuevamente hasta infinito en la condición de reflujo

total (como se muestra en la siguiente figura). Los costos de operación (generados por los

requerimientos de calor, enfriamiento y bombeo) aumentan casi directamente con la

relación de reflujo. Como consecuencia de de esto, existe un valor de R para el cual el costo

total, que es la suma de los costos operacionales y fijos, es mínimo, este se conoce como

relación de reflujo óptima. Cabe recordar que para muchos sistemas el reflujo óptimo esta

entre 1,2 - 1,5Rmin y se acostumbra definir el valor inicial para el diseño dentro de este

intervalo.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6R=Relación de Reflujo

N=

Nu

me

ro d

e e

tap

as te

ori

ca

s

Rm

Nm

Figura 1. Efectos de la relación de reflujo en los costos de una unidad de destilación

Ejemplo 2: Definición de la conversión en un sistema simplificado reactor + torre

Considere un proceso con una unidad de reacción y una de separación sin recirculación,

como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2. Proceso con una unidad de

reacción y una de separación sin

recirculación

A continuación, con base en

4 A pesar de esta ser una condición netamente teórica e imposible de implementar en la práctica, sirve como

condición límite para el análisis de las condiciones operacionales.

Costos de Operación

Rm Róptimo

Costos Fijos

Costo Total

Cost

o A

nual

izad

o

Relación de Reflujo

Reactor

Separador

Condensador

Rehervidor

Alimento FA

Producto B

Reactivo A

A + B


simplificaciones, se formularán relaciones para las variables involucradas en el sistema, lo

que permitirá predecir el comportamiento de las mismas.

El reactor se alimenta con reactivo puro (A) y en el ocurre una reacción simple (AB) de

1er orden, luego

dt

dCkCr A

AA

Si el reactor opera isotérmicamente (k = cte) A

A

C

dCkdt

La integración de la cinética para un RCTA genera: 0

lnA

A

C

Ck

Definiendo la conversión x = (CA0 – CA)/CA, tenemos: kex 1

donde: CA0, CA: concentración de A en la entrada y salida del reactor.

: tiempo de residencia en el reactor.

En la unidad de separación, si mantenemos constantes la condiciones operacionales, como

temperatura, presión y relación de reflujo, podemos proponer que el número de etapas (y

por consiguiente la altura de la torre) permanece constante, luego, para este ejemplo no es

necesario plantear las ecuaciones de equilibrio de fase, y el único cambio que se puede

observar en el diseño será el diámetro, que depende del flujo que se alimenta.

Considerando como parámetros fijos las condiciones de operación de la torre y del reactor,

y la conversión como la variable independiente del sistema; se deben analizar sus efectos

sobre el diseño, los costos de las unidades y de materia prima. De forma general, el costo

del reactor depende de su volumen, mientras que el de la unidad de separación (torre de

destilación) depende del flujo alimentado a ella pues este determina el diámetro. Las

ecuaciones planteadas hasta el momento corresponden al modelo del proceso, a

continuación se presentan las consideraciones para diseño y determinación de costos.

Para una meta de producción fija QB (mol/h) y considerando separación perfecta, la

cantidad de reactivo necesaria es: )(mol/hAB

A Fx

QF

El volumen que requiere el reactor5 es:

( )(lt) ( ) (h)

( )

gmolAmol

hRCTA A gltA

PMV F

Del modelo del proceso podemos obtener: )1ln( xk

Luego: )1ln(1

)1ln( 1 xx

CPM

xkx

QV

A

ABRCTA

Si el costo del reactor es proporcional al volumen, se tiene: )1ln(1

2 xx

CCRCTA

donde C1 y C2 son constantes de proporcionalidad.

5 Si no hay solvente, fluido de arrastre ni catalizador heterogéneo y considerando que el volumen útil es 100%

del volumen del reactor.


En la torre, el diámetro (DTD ) depende de los flujos internos, especialmente del de vapor, la

cálculos iniciales, el diámetro se estima considerando la velocidad del vapor para evitar la

inundación de la torre, manteniendo esta velocidad constante, la dependencia del diámetro

con el flujo molar de vapor (V) es: 5,0

3VCDTD

donde C3 depende de las condiciones de operación y las características del sistema, luego es

constante para el ejemplo planteado. Como V depende directamente del flujo de

alimentación (F2) que por la estequiometría de la reacción es igual a FA, tenemos:

5,05

5,0

4

5,0

24

1

xCFCFCD ATD

Como presentado en Douglas[1], el costo de la torre depende de su diámetro de la siguiente

forma: 1,066

6TD TDC C D

Luego, el costo en función de la conversión será: 7 0.553

1TDC C

x

Finalmente, el costo de la materia prima será: 8 9

1MP AC C F C

x

Los costos de capital deben ser analizados considerando la depreciación, las tasas de interés

etc. para tenerlos en la misma unidad de tiempo de los costos de materia prima ($/año,

$/mes). Pero la tendencia de estos costos con la conversión se mantiene, luego podemos

concluir que:

El costo del reactor aumenta con la conversión (costo de capital).

El costo de la torre diminuye con la conversión (costo de capital).

El costo de materia prima disminuye con la conversión (costo de operación).

En consecuencia, debe existir un valor para la conversión que genera los mínimos costos

totales. La determinación del valor óptimo requiere la cuantificación de cada uno de los

parámetros para los costos y el diseño, la evolución de cada uno de los costos con la

conversión debe tener la siguiente forma:

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Conversion (x )

VRCTA

FA

DTD

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Conversion (x )

CRCTA

CMP

CTD

CTotal

xoptimo

Figura 3. Efectos de la conversión en las dimensiones y costos para el proceso del Ejemplo 2


La formulación general del problema de optimización y el “significado” de cada elemento

del problema será:

min CT = CRCTA + CM.P +CT.D minimizar costo del proceso {x} cambiando la conversión s.a CRCTA - C2* VRCTA = 0 cumpliendo las restricciones

CMP – C8 FA = 0

CTD – C6 DTD = 0

0)1ln( A

BRTCA

PMxk

x

QV

0x

QF B

A

05,0

5 x

CDTD

0 < CRCTA, CMP, CTD , FA, VRCTA, DTD dentro de los límites

0 x 1

En este ejemplo es claro que a pesar de la relativa simplicidad del proceso (sólo 2 unidades

y sin recirculación) y de las consideraciones adicionales (condiciones de operación fijas en

la torre y en el reactor) que reducen el problema a una variable de optimización, la solución

no puede ser obtenida directamente.

Comportamientos semejantes se observan para la mayoría de las variables de decisión

durante el diseño de un proceso.

2. LA NECESIDAD DE OPTIMIZAR INTEGRADAMENTE EL PROCESO

Una idea errónea que se puede tener al momento de desarrollar la optimización de las

condiciones operacionales o del diseño de un proceso es considerar que: sí se resuelve

individualmente la optimización de cada unidad de proceso, en el orden del flujo de

materia, al finalizar este análisis se obtendrán las condiciones óptimas para todo el proceso.

El problema de dicha idea es que desconsidera el efecto que tienen los cambios en la

operación de cualquier unidad sobre las restantes, lo cual es aún más complejo en procesos

con recirculación.

Groep y colaboradores[6] modelaron la producción de la enzima alcohol deshidrogenasa

(ADH) por Saccharomyces cerevisiae en cultivos continuos y en lote alimentado. El

proceso es constituido por el biorreactor, una centrifuga para recolectar las células, un

homogenizador de alta presión para romperlas y liberar las proteínas, una centrifuga para

remover los restos celulares, y un sistema de precipitación y doble separación por

centrifugación para la purificación de la enzima. Mediante múltiples simulaciones los

autores estudiaron el efecto de la variación en la tasa de dilución (D, que controla la tasa

específica de crecimiento) y del número de pasos en el homogenizador (N) sobre la

productividad y el lucro obtenido en el proceso. Los resultados muestran que si se analiza el

biorreactor individualmente, la máxima producción de la enzima se logra con D = 0.135 h-1

,

mientras que analizando el proceso completo, la máxima producción se logra con D entre


0.145 y 0.135 h-1

dependiendo del número de pasos por el homogenizador (ver figura); la

mayor diferencia se presenta cuando se considera el lucro como criterio de optimización,

debido al efecto de los costos operacionales y de materia prima las condiciones óptimas de

operación son D = 0.105 h-1

y N = 3, mientras que las condiciones de mayor productividad

(D = 0.135 h-1

N = 7) generan perdidas.

Figura 4. Análisis del efecto de las condiciones operacionales sobre la productividad y rendimiento

de un proceso continuo para producción de la enzima ADH (tomado de Groep et al.[6]).

Las observaciones hechas por Groep y sus colaboradores se repiten en el análisis tanto de

procesos químicos como bioquímicos.

3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE BAJA COMPLEJIDAD

La selección del método adecuado para resolver un problema de optimización debe considerar las características del problema, en este sentido, los problemas se clasifican

según el tipo de variables y ecuaciones (restricciones y función objetivo) que los

conforman:

Tabla 1. Clasificación y características de los problemas de optimización.

Variables Ecuaciones Tipo de Problema

Sólo continuas Lineales Programación/optimización Lineal (LP)

Sólo continuas No-Lineales Optimización No Lineal (NLP)

Continuas y

discretas Lineales Optimización Mixta-Entera Lineal (MILP)

Continuas y

discretas No-Lineales

Optimización Mixta-Entera No-Lineal

(MINLP)

Continuas Diferenciales y

Algebraicas Optimización Dinámica (DO)

Continuas y

discretas

Diferenciales y

Algebraicas

Optimización Mixta-Entera Dinámica

(MIDO)


A continuación se presentarán, de forma muy resumida, los conceptos básicos y algunas

técnicas para la solución de problemas de optimización de baja complejidad, dentro de los

que consideramos los problemas de optimización lineal, y los problemas de optimización

no-lineal monovariable (con una variable de optimización) y multivariable sin recirculación

de información.

3.1 Problemas de Optimización Lineal

La solución de este tipo de problemas es relativamente fácil y existen varios métodos

desarrollados para este fin, entre ellos el método Simplex; debido la escasez de problemas

lineales de optimización en ingeniería química (vea los ejemplos de motivación), los

métodos para solución de este tipo de problemas no serán abordados con profundidad.

Dependiendo del número de variables, los LP pueden ser resueltos gráficamente.

Ejemplo 3: Solución gráfica de un problema de optimización lineal

Considere el siguiente problema:

yx :max

s.a. 32

1 xy

52

1 xy

0 100 5

xy

Figura 5. Representación gráfica

de un problema de optimización

lineal

Por las características de las

ecuaciones que constituyen el problema, las líneas de valor constante para la función

objetivo y los límites de la región de búsqueda son rectas, luego, la solución esta en uno de

los vértices; el método simplex aprovecha esta característica, analizando los vértices en una

secuencia que permite mejorar continuamente la solución, hasta encontrar el óptimo.

3.2 Problemas de Optimización No-Lineal

3.2.1 Generalidades sobre la solución de NLPs

La solución de estos problemas generalmente usa métodos basados en gradientes, los cuales

emplean derivadas parciales de la función objetivo con respecto a las variables de decisión,

a continuación analizaremos los conceptos básicos de estos métodos.

Recordemos la solución de una ecuación por Newton-Raphson; cuando se busca la raíz de

una función debemos encontrar 0)(/ xfx , comenzando en xi La derivada de f(x) en el

punto xk (f´(x

k)) es la pendiente de la tangente a la curva f(x) en x

k y el punto en el que

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 0 2 4 6 8 10 12x

yy = 1/2x +3

y = -1/2x +5

* =10

= 6

= 2 Región de Búsqueda


cruza el eje x será la siguiente aproximación para la solución (xk+1

), (ver figura). La fórmula

recursiva para determinar xk+1

es:

1 ( )

(́ )

kk k

k

f xx x

f x

Figura 6. Aproximación a la solución de una ecuación no

lineal por el método de Newton-Rapson

Para funciones con moderada no-linealidad, este método converge rapidamente, pero en los

casos de alta no-linealidad, dependiendo del punto inicial, la solución puede ser

inalcanzable.

En la búsqueda de la solución, la dirección está definida por el signo del término: ( )

(́ )

k

k

f x

f x

Si f (xk) > 0 y f´ (x

k) > 0 debemos retroceder ( 1k kx x ).

Si f (xk) < 0 y f´ (x

k) < 0 debemos retroceder ( 1k kx x ).

Si f (xk) < 0 y f´ (x

k) > 0 debemos avanzar ( 1k kx x ).

Si f (xk) > 0 y f´ (x

k) < 0 debemos avanzar ( 1k kx x ).

En un problema de optimización queremos encontrar x / f´(x) = 0, por analogía con el

método de Newton-Raphson, la fórmula recursiva para la búsqueda del óptimo en

problemas no-lineales monovariable sin restricciones, por el método de Newton es:

1 (́ )

´́ ( )

kk k

k

f xx x

f x

(2)

En forma general, los métodos basados en derivadas determinan el nuevo punto por:

1k k k kx x d (4)

donde dk : dirección de búsqueda.

k : tamaño del paso.

Para la optimización monovariable por el método de Newton, la dirección de búsqueda es

el signo del término del cociente de las derivadas, mientras que el tamaño de paso (k)

corresponde al valor absoluto del mismo.

Cuando se considera un problema en múltiples variables (x1, .. xi… xn), la solución debe ser

óptima para cada una de las variables, luego, estaremos buscando el conjunto de valores

que hace con que cada una de las derivadas parciales tome el valor de 0: ix

fx

i

0/ ,

para generalizar la formula recursiva a problemas multivariable, debemos recordar algunas

definiciones:

xk+1

xk

f(xk)

f(x)

f´(xk)


Gradiente de f(x)

T

1 2

: ( )n

f f ff x

x x x

Hessiano de )(:)( 2 xfxf =

nnnn

n

n

xx

h

xx

f

xx

f

xx

h

xx

f

xx

f

xx

h

xx

f

xx

f

1

2

2

1

2

2

1

22

2

12

21

1

21

2

11

2

La fórmula recursiva para la optimización multivariable será:

11 2 ( ) ( )

k k k kx x f x f x

vector vector matriz vector

(3)

Esta formula permitiría resolver problemas de optimización multivariable sin restricciones.

La mayor dificultad en el uso de esta formula radica en la determinación del gradiente y del

hessiano, por lo que muchos métodos emplean aproximaciones de los mismos o

simplificaciones de la fórmula.

Como el problema es multivariable, la dirección de búsqueda es un vector de dimensión n

(dk), cuyos componentes definen en cada una de las variables la dirección en la cual f

disminuye. Por su parte, el tamaño de paso (k ) debe ser tal que f (x

k + k

dk) < f (x

k), lo

que garantiza que al avanzar en las iteraciones nos acercamos a la solución óptima, por lo

que debe ser definido en cada iteración.

Tabla 2. Analogía entre la solución de ecuaciones y la optimización por método de Newton.

Solución de Ecuaciones

Newton-Raphson

Optimización

Monovariable Optimización Multivariable

Buscamos x / 0)( xf Buscamos x / 0)´( xf Buscamos x / 0)( xf

)´(

)(1

k

k

kkxf

xfxx

)``(

)`(1

k

k

kkxf

xfxx )()(

12

1 kkkk xfxfxx

k: Iteración.

Un método clásico para la solución de NLP´s es el de Steepest Descent, el cual usa

dk = - f (xk), por lo que la velocidad de convergencia es lineal, pero el método es más

robusto pues no requiere cálculos de 2 (segundas derivadas).

Como se mencionó anteriormente, muchos de los métodos empleados para optimización

estiman aproximaciones de las derivadas, pues el cálculo de estas es una de las principales

dificultades en el desempeño de los algoritmos de optimización. Otros métodos estiman

aproximaciones de las funciones; la programación lineal sucesiva (SLP) emplea

aproximaciones lineales, mientras la programación cuadrática sucesiva (SQP) emplea


funciones cuadráticas. A continuación se presentan los fundamentos de la programación

lineal sucesiva.

3.2.2 Programación lineal sucesiva (SLP)

Como en todo problema de optimización, es necesario definir una estimativa inicial (x0). En

cada iteración, el algoritmo genera una nueva estimativa, que debe estar más cercana a la

solución óptima. En este método, para generar la nueva estimativa, (xk+1) se hace una

aproximación lineal del problema en el punto actual y se resuelve el problema aproximado

por programación lineal. La aproximación lineal del problema implica generar una

aproximación de la función objetivo y de cada una de las restricciones.

Dada una función de una sola variable ( f(x) ), La aproximación lineal ( fL(x) ), en un punto

dado (xk), es la recta tangente en dicho punto, cuya función es:

( ) '( ) ( ) ( )L k k k kf x f x x x f x (5)

Análogamente, para una función multivariable, la aproximación lineal será:

( ) ( ) ( ) ( )k k k kLf x f x x x f x (6)

Ejemplo 4: Solución de un problema de optimización por SLP

Resolvamos el siguiente problema por programación lineal sucesiva.

min 2

2

2

1)( xxxf Iniciando con: )1,2(0x

s.a. 02)( 2

21 xxxh 21 2

5112 2

2

( ) 0

0 3

g x x x

x

x

Antes de las iteraciones: Estimación de los gradientes, para las aproximaciones

12)(21)(22)( 1221 xxgxxhxxxf

1ª Iteración: Las aproximaciones lineales de las funciones son:

1

1

1 2

1 2

2(2,1) 5 2*2 2*1

1

5 4( 2) 2( 1)

5 4 2

L

xf

x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

(2,1) 1 ( 2) 2( 1)

3 2

(2,1) 3 4( 2) ( 1)

4 4

L

L

h x x

x x

g x x

x x


Luego el problema linealizado será: min 21 245)1,2( xxfL

s.a. 023)1,2( 21 xxhL

044)1,2( 21 xxgL

30 2

25

121

x

x

La solución de este problema es ),( 98

911

1x , para la segunda iteración se debe

linealizar el problema en este punto y resolver el nuevo LP.

2ª Iteración: Las aproximaciones lineales de las funciones son: 11

918119 9

892

8119 91 2

185 22 16( , )

81 9 9185 22 16

( ) ( )81 9 9

L

xf

x

x x

1191811

9 98

92

8119 91 2

1 16( , ) 1

81 91 16

( ) ( )81 9

L

xh

x

x x

De igual manera, se determina la función aproximada gL ( 98

911 , ) y se resuelve el

problema lineal: min ),( 98

911

Lf

s.a. 0),( 98

911 Lh

0),( 98

911 Lg

30 2

25

121

x

x

A diferencia de la SLP, en SQP las aproximaciones del problema son cuadráticas. La

solución de estas aproximaciones es más compleja, pero debido a que ajustan mejor la

función original, la optimización requiere menos iteraciones. Adicionalmente, SLP necesita

mejores estimativas del punto inicial para lograr la convergencia y funciona mejor en

problemas con pocos términos no-lineales. Para profundizar en estas y otras metodologías

de optimización, y algunas aplicaciones en ingeniería química se recomienda el texto de

Edgar y colaboradores[3].

Algunos de los métodos desarrollados para la solución de problemas no-lineales de baja

complejidad son las técnicas de rastreo directo como el método de la sección áurea o

dorada, y la programación dinámica los cuales permiten resolver problemas relativamente

sencillos y con características especiales; para la solución de problemas complejos debe

emplearse la programación matemática o las herramientas de optimización incluidas en los

programas de simulación.


3.2.3 Método de la sección áurea[4].

Este método se basa en la reducción sucesiva del espacio de búsqueda comparando valores

de la función objetivo en puntos internos del intervalo de búsqueda (li, ri), debido a que no

es necesario la estimación de derivadas, este método permite la solución de problemas con

funciones continuas o discontinuas, siempre que no existan óptimos locales. La mayor

limitación de este método es que sólo permite la solución de problemas en una variable.

Los puntos internos para evaluación de la función objetivo se definen así:

( ) ( )i i i i i i i il b b a r a b a (7)

donde τ = 0.618 (de forma exacta, τ =(5-1)/2 Este valor de τ permite usar, en cada iteración, uno de los puntos evaluados en la iteración

anterior.

Figura 7. Representación gráfica del

método de la sección áurea.

El proceso de reducción del espacio de búsqueda implica, el siguiente análisis:

Se calcula f(li) y f(ri),

si f(li) es mejor que f(ri) se elimina el segmento ri – bi, y para la próxima iteración:

1 1 1 1y debe ser estimadoi i i i i i ia a b r r l l

si f(li) es mejor que f(ri) se elimina ai - li, y consecuentemente:

1 1 1 1y debe ser estimadoi i i i i i ia l b b l r r

El tamaño del intervalo de búsqueda, después de n iteraciones, será 0,618n-1

Ejemplo 5: Solución de un NLP monovariable por el método de la sección áurea

Encontrar el mínimo de f(x)=x2 - x en el intervalo (0,2).

Iteración 0 a0 = 0 b0 = 2

l0 = b0 – τ(b0 – a0) = 0.764

r0 = a0 + τ(b0 – a0) = 1.236

Evaluar la función en l0 y r0: 0

0

( ) 0.18( ) 0.292

f lf r

Como f(l0) < f(r0), se elimina el intervalo 1.236 – 2

Iteración 1 a1 = a0 = 0 b1 = 1.236

l1 = b1 – τ(b1 – a1) = 0.472

r1 = l0 = 0.764


1

( ) 0.249( ) 0.18

f lf r

Como f(l1) < f(r1), se elimina el intervalo 0.764 – 1.236

Iteración 2 a2 = 0 b2 = r1 = 0.764

l2 = b2 – τ(b2 – a2) = 0.292

0 0.382 1

a0 l0

0.618

r0 b0


r2 = l1 = 0.472


2

( ) 0.207( ) 0.249

f lf r

Como f(l2) > f(r2), se elimina el intervalo 0 – 0.292

Iteración 3 a3 = l2 = 0.292 b3 = b2 = 0.764

l3 = r2 = 0.472

r3 = a3 + τ(b3 – a3) = 0.584


3

( ) 0.249( ) 0.243

f lf r

Como f(l3) < f(r3), se elimina el intervalo 0.584 – 0.764

Iteración 4 a4 = a3 = 0.292 b4 = r3 = 0.584

l4 = b4 – τ(b4 – a4) = 0.403

r4 = l3 = 0.472


4

( ) 0.240( ) 0.249

f lf r

Como f(l4) > f(r4), se elimina el intervalo 0.292 – 0.403

Después de 4 iteraciones, podemos concluir que el óptimo está entre 0.403 y 0.584, el

mejor valor obtenido es x = r4 = 0.472, f(r4) =-0.249; la solución exacta del problema es x =

0.5, f(x) = 0.25.

Como expuesto anteriormente, este método permite la solución de problemas con funciones

no continuas, estas funciones son comunes en diseño de procesos pues la dimensión de

algunas unidades es discontinua y en consecuencia su costo también lo es.

Ejemplo 6: Función de costo discontinua Para un sistema de bombeo el costo (Ci) depende de un valor fijo (costo de capital: Ci

0) y de

una función del caudal necesario (Q), luego para dos bombas de diferente potencia

tenemos: 1

1

2

2

0

1 1

0

2 2

*

*

C C C Q

C C C Q

Si la bomba 1 es menor y puede ser usada desde Qmin hasta Q*, y la bomba 2 es mayor y

puede ser usada desde Qmin hasta Qmax >Q*.

Como el diseño implica la selección entre las bombas, la función de costo será la mostrada

por la línea roja en la siguiente figura:

Figura 8. Función de costo para un sistema de

bombeo con opción de bombas de diferente

potencia.

C1

Qmin Q* Qmax

C2


3.2.4 Programación Dinámica [4]

El método que se presenta a continuación no se relaciona con la optimización de problemas

dinámicos, que son aquellos constituidos por ecuaciones diferenciales (Tabla 1). Este

método permite optimizar sistemas grandes cuyo estudio sería demasiado complicado por

otros métodos, para eso, se descompone el problema en subsistemas más pequeños, y

fáciles de analizar y optimizar. La optimización de cada subsistema se hace de forma

independiente y con el método que se considere más indicado, de acuerdo con sus

características. Consecuentemente, un problema multivariable se transforma en varios

problemas con menor número de variables o hasta monovariables. La principal restricción

del método se debe a que el análisis de cada subsistema se hace de forma independiente,

luego no se aplica a sistemas con reciclo6 en el flujo de información.

La programación dinámica se basa en el principio de optimalidad de Bellman:

“Dado un sistema acíclico, éste se optimiza si cada componente o unidad se

optimiza a su vez para todo el conjunto de posibilidades de valores de las variables

que provienen de las etapas anteriores.”

Lo anterior indica que debe analizarse el proceso en el sentido inverso de los flujos de

materia e información, consideremos un proceso con N etapas:

Figura 9. Diagrama de flujo de información para un proceso sin recirculación

donde: Xi: Características de las corrientes generadas en la etapa i (Temperatura, Presión,

composición, etc.)

di: Variables de diseño y operación de la etapa i (Temperatura, Presión, tiempo de

residencia (), dimensiones (L, ), número de etapas de equilibrio (N), Reflujo,

etc.)

fi: Criterio de análisis de la etapa i, función objetivo considerando los términos

afectados por el desempeño de la etapa i.

También debemos definir el criterio acumulado:

N

in

ni fF

La optimización del proceso por programación dinámica implica las siguientes etapas:

1- Análisis de la última etapa (N), optimizando su criterio de análisis (fN) para todos los

posibles valores de entrada (XN-1); con esto se genera una solución óptima, que será el

diseño y las condiciones de operación para esta unidad, para cada entrada posible

6 De forma general, el diseño de toda unidad depende de las características de la corriente alimentada, y en

consecuencia de las condiciones de operación de las unidades anteriores. Cuando existe recirculación de

información, el diseño también depende de la operación en las unidades posteriores.

Xf 1 X1

f1(xf,, d1)

i Xi-1 Xi

fi(xi-1 , di)

XN-2 XN-1 XN

N-1 N

fN-1(xN-2 , dN-1)

fN (xN-1, dN)

dN-1 dN di d1


(condiciones de las corrientes de alimentación). Este análisis implica la solución del

subproblema:

1min ( , ){ }

N N N

N

f x dd

Los grados de libertad estarían asociados con las variables XN-1 y dN , pero como se debe

considerar todos los posibles valores de XN-1, estas dejan de ser variables para convertirse

en parámetros, y la dimensión (complejidad) del problema se reduce, el resultado de este

análisis son los valores óptimos para las variables de diseño y operación de la etapa N

(dN*(XN-1)) y el valor óptimo de la función objetivo para esta etapa (fN

*(XN-1)) todos

dependientes de los valores para las variables de entrada a la etapa N, el resultado puede ser

una tabla con la solución para cada valor posible de XN-1:

Tabla 3. Resultado del análisis de la etapa N por programación dinámica

Posibles valores para

XN-1

Resultados de las optimizaciones

dN* fN* XN*

------- ------- ------- ------

------- ------- ------- ------

------- ------- ------- ------

------- ------- ------- ------

Pero también puede ser obtenido como funciones matemáticas para los valores óptimos de

las variables, lo que evita resolver el problema múltiples veces.

2- Análisis del subsistema de las dos últimas etapas (N-1 + N), optimizando el criterio de

análisis acumulado para todos los posibles valores de entrada (XN-2), el análisis implica la

solución del subproblema:

1 2 1 1

1

min ( , , , ){ , }

N N N N N

N N

F x d x dd d

= 1 2 1 1

1

min ( ( , ) ( , ) ){ , }

N N N N N N

N N

f x d f x dd d

Pero como la optimización para la etapa N ya fue resuelta, el problema se reduce a:

1 2 1 1

1

min ( ( , ) ( ) ){ }

N N N N N

N

f x d f xd

El resultado son los valores óptimos para las variables de diseño y operación de la etapa N-

1 (dN-1*(XN-2)) y el respectivo valor para la función objetivo. Como el modelo de la etapa

N-1 permite estimar los valores de las variables de salida para esta etapa en función de las

variables de entrada, diseño y operación ( XN-1 (XN-2, dN-1) ) el resultado del análisis de esta

etapa será:

Tabla 4. Resultado del análisis de la etapa N-1 por programación dinámica

Posibles valores

XN-2

Resultados de las optimizaciones en N-1 Resultados de las optimizaciones en N

d*N-1 F

*N-1 X

*N-1 dN

* XN*

--- --- --- --- --- ---

--- --- --- --- --- ---

--- --- --- --- --- ---

3- Un análisis semejante se debe realizar para cada subsistema, hasta llegar al inicio del

proceso.


Ejemplo 7 (conceptual): Proceso sin recirculación de información (acíclico).

Figura 10. Proceso sin recirculación de

información.

Consideremos un proceso con una unidad de reacción y una de separación, donde el diseño

y operación cada unidad puede depender del desempeño de la otra. Para definir la

recuperación de los componentes en la unidad de separación se debe considerar la

conversión, de tal forma, que se obtenga la pureza necesaria.

La relación molar de los componentes a la salida del reactor es:

22

1

1

2

2 1)1(B

n

nA

nA

nA

B

A

La fracción de B en el producto de fondo es:

GAB

B

AB

B

AB

B

22

2

4 )1()1(

)1(

Luego: G

n

nAB

B

1)1()1(

)1(

donde n: conversión.

I : recuperación del componente I.

G: grado de pureza del producto (fracción molar de B).

En la ecuación anterior podemos observar que para obtener un producto con la pureza

establecida (G), la recuperación que se defina para los componentes A y B dependen una de

la otra y de la conversión en el reactor (n).

Como un caso específico, si podemos suponer B = 0, pues podemos diseñar la torre para minimizar la pérdida de producto, la ecuación anterior se transforma en:

G

n

nA

1

)1(1

1

Reactor

Separador

Condensador

Rehervidor

Alimento FA

Producto B

Reactivo A

A + B


Lo que define la dependencia entre A y n, para obtener el producto con la pureza

determinada.

Ejemplo 8 (conceptual): Proceso con recirculación de información (cíclico)

Considere el mismo proceso anterior pero con la posibilidad de recircular la corriente de

destilado de la torre de destilación.

Figura 11. Proceso con recirculación

de información.

En este caso el diseño de la torre depende del reactor (igual que en el ejemplo anterior) pero

el diseño del reactor también depende de la unidad de destilación, lo que caracteriza la

recirculación de información. Por lo anterior, este proceso no podría ser optimizado por

programación dinámica.

Ejemplo 9 (de aplicación): Optimización de un proceso por programación dinámica

Considere un proceso con una unidad de reacción, precedida de un precalentador para el

reactivo y una de separación en la que se genera una corriente rica en producto y otra en

reactivo, el proceso no tiene recirculación.

Figura 12. Diagrama de

proceso del ejemplo 9.

Información del proceso:

El precio del producto depende de la pureza, asi:

0.30 US$/mol de B 100% Pureza

0.28 US$/mol de A 90%

Reactor

Separador

Condensador

Rehervidor

Producto B

A + B

Reactivo A

Alimento FA

F0: A

25 °C

F1: A F2: A + B

F4: A + B

F3: B + A

A B


El área de transferencia en el intercambiador de calor se puede calcular por:

4

1( 25)

10A T F

2

[F] : mol/min

T: °C

A: ft

En el reactor, la conversión (η) y el tiempo de residencia (τ) se relacionan por:

1ln(1 )

k

R

ek

V

F PM

3

3

: min

:

: /

: /

RV m

g m

PM g mol

Entonces

ln(1 )R

FV

kPM

Experimentalmente se tiene: Tabla 5. Resultados experimentales para la reacción

T K(T) = kρ/PM k (min-1

)

25 40 2.4

50 60 3.6

100 100 6.0

En la torre, se pude aproximar ξB 100% para aumentar la cantidad de producto y los ingresos por este concepto, luego la cantidad de B en el producto (destilado) es FB,3 = η F2,

donde F2 = F0 , el diámetro depende del flujo alimentado y puede calcular por: Ф= 0.1*F2

Y el número de platos por: 2

, ,

1( - )*ln

(1- )B F B F

D

N X XX

Los costos de las unidades por unidad de tiempo (min) son (US$/min)

. . 25 0.8 0.47I C R R TDC A C V C N

Identificación del flujo de información: por los modelos antes formulados, para el análisis

del intercambiador es necesario conocer el flujo procesado (F0) y al fijar la temperatura de

salida (T1) se puede determinar el área necesaria, en el reactor es necesario conocer la

temperatura y el flujo de la corriente alimentada, mientras que en la torre se requiere la

composición y el flujo de su alimento, el diagrama de flujo de información será:

Figura 13. Flujo de

información para el

proceso del ejemplo 9.

F0

25 °C

F1 , T1 F2, XB,F

F4

F3, XB,D

A � B


Análisis integrado del problema de optimización: consiste en la maximización de la

rentabilidad, considerando todas las ecuaciones que modelan el proceso.

max Rentabilidad = Ingresos por venta – Costos

= Cantidad de producto x $ producto – CI.C. – CR – CTD

s.a. Cantidad de producto = η F0

$ producto = 0.1 + 0.2XD

2

2 0

2

, ,

-

. .

4

0.47

0.1

1( - )*ln

(1- )

0.8

- ln(1- )

1-

25

1( - 25)

10

TD

B F B F BF

D

R R

R

k

I C

C N

F

F F

N X X XX

C V

FV

Ke

C A

A T F

,0 1.0 0 1.0

0 1.0 0 1.0

0 1.0 0

B F

R

D

X

V

X N

Variables independientes de optimización: XD, τ / η, T1, F0

Para simplificar el problema consideremos F0 como un parámetro, si analizamos el modelo

del proceso, todos los términos de la función de rentabilidad son directamente

proporcionales con F0, por lo tanto el valor de esta variable no afecta la solución del

problema de optimización; consideremos F0 = 100 mol/min

Solución por programación dinámica

1° Subsistema que debemos analizar: torre de destilación

2

, ,

max 100 (0.1 0.2 ) 4.7

1s.a ( - )*ln

(1- )

TD D

B F B F

D

R X N

N X XX

Identificación de variables de optimización: XB,F es un parámetro pues es “información” de

la unidad anterior, entonces la única variable de optimización es XD.

Para resolver el problema podemos transformarlo en una optimización sin restricciones y

buscar la solución analítica

max RTD = 100η(0.1+0.2XD) - 4.7( η – η 2)ln(1/(1-XD))


2

*

2

*

*

1100 (0.2) 4.7( )

1

el valor de que hace 0 será

10 20 4.7( )

1

0.765 0.235

TD

D D

TDD D

D

D

D

R

X X

RX X

X

X

X

2° Subsistema: reactor + torre

max RR+TD = 100η(0.1+0.2XD) -0.8VR - 4.7( η – η 2)ln(1/(1-XD))

s.a 100ln(1 )

RVK

Identificación de variables de optimización: K es un parámetro pues depende de la

temperatura, que es “información” de la unidad anterior, XD tampoco es variable pues es de

la unidad analiza anteriormente, en este análisis se debe emplear XD*, VR es función de η,

entonces no es independiente, la única variable de optimización es η o alternativamente τ.

El problema se puede transformar en uno de optimización sin restricciones y la función

objetivo es derivable, pero no se puede obtener una función para el óptimo, η* = f(T1), una

alternativa para resolverlo es determinar numéricamente el valor de η que hace:

( ) 0R TDRf

La solución para todos los posibles valores de K (presentados en la tabla de resultados

experimentales) es:

Tabla 6. Resultados de la programación dinámica

T (°C) K η* VR

* XD

* N

* RR+TD

* A RIC+R+TO

*

25 40 0.947 7.335 0.987 0.218 21.26 0 21.26

50 60 0.965 5.575 0.992 0.163 23.55 0.25 17.31

100 100 0.979 3.861 0.995 0.109 25.66 0.75 6.92

Finalmente, tenemos que resolver el problema incluyendo el intercambiador de calor, no se

puede resolver analíticamente, pues solo hay valores puntuales de T, hacemos la estimación

para las tres posibilidades.

4. OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS COMPLEJOS

Como problemas complejos consideraremos los problemas no-lineales multivariable con

recirculación de información, los problemas con variables discretas (MILP y MINLP) y los

problemas con ecuaciones diferenciales (DO y MIDO). La solución de estos problemas

implica el uso de técnicas avanzadas de programación matemática, puesto que involucran

ecuaciones (restricciones y función objetivo) no-lineales y diferenciales, y adicionalmente,


pueden incluir variables discretas7. Algunas alternativas que pueden considerarse son:

1- Simular el proceso mediante alguno de los programas disponibles y emplear los solvers

de optimización que ellos poseen.

2- Formular y resolver el problema de optimización dentro de un lenguaje específico de

programación (GAMS, C+, Fortran, Matlab), esta es la opción menos indicada dentro de

nuestro curso, pues se requiere una experiencia mínima para programar en el lenguaje

escogido.

3- Simular el modelo en una hoja de cálculo y determinar los valores óptimos para las

variables mediante un análisis de sensibilidad.

Sin importar la alternativa que se escoja, el primer paso es identificar la función objetivo,

las variables de optimización y el efecto de las mismas sobre el proceso, esto requiere un

análisis previo a la optimización y que puede servir de soporte para la formulación del

problema, ya que la identificación de las variables independientes y de sus efectos (con

base en el conocimiento y análisis de las operaciones del proceso) permite:

Hacer correcciones en la selección y formulación de la función objetivo.

Identificar características del modelo del proceso (que genera restricciones del problema

de optimización).

Generar límites para las variables de optimización y para variables dependientes.

4.1 Análisis preliminar para la optimización del proceso

Como mencionado anteriormente, el objetivo de este análisis es generar información útil

para el desarrollo de la optimización, algunas ideas generales para la formulación del

problema de optimización y para el análisis preliminar son:

Como variables de optimización se sugiere emplear un subgrupo de las variables de

operación (x), ya que es más fácil identificar el efecto de estas variables sobre las de diseño

(d). Las variables de optimización están vinculadas a los grados de libertad del problema8 y

deben ser independientes entre si. Por ejemplo, no se debe considerar como variables de

optimización la fracción de dos componentes en una de las fases generadas por una unidad

de flash, ya que ellas no son independientes entre sí y están relacionadas a través de las

ecuaciones de equilibrio.

El éxito de una optimización depende en buena medida del punto inicial de análisis (valores

iniciales para todas las variables del problema) por esto, sin importar la metodología, se

sugiere tomar como punto inicial las condiciones de operación y el diseño actual

(determinados en las etapas anteriores del proyecto) ya que estos valores generan una

solución viable para el problema. Una solución viable para nuestro problema esta

caracterizada por un diseño y unas condiciones de operación que permiten generar el

producto con las características y en las cantidades deseadas, pero muy seguramente esta

solución no es la más rentable.

Ejemplo 10: Análisis preliminar para la optimización

Revise el análisis para la formulación del problema de optimización de ajuste de un modelo

cinético para la oxidación de ciclohexano (Jiménez y Rojas, 2009).

7 Variables que no toman valores continuos, por ejemplo el número de unidades que deben definirse para una

operación, la potencia de un motor (ya que tiene valores predeterminados: ¼, ½, 1… HP) , etc. 8 Un problema de optimización tiene grados de libertad positivos, lo que permite la existencia de varias

soluciones para el problema, la optimización es exactamente la definición de la mejor solución.


4.2 Optimización por análisis de sensibilidad

La optimización del diseño por análisis de sensibilidad es un trabajo bastante dispendioso

pero, dentro del curso de ingeniería de procesos, es la única alternativa si el proceso que se

esta considerando presenta recirculación de información y no puede ser simulado con las

herramientas disponibles.

Para este análisis, además de determinar las variables de optimización se debe identificar

las de incidencia que corresponden a las variables de cada unidad que tienen un efecto

sobre la operación y el diseño de otras unidades. Recordemos el proceso presentado en el

ejemplo 9, conformado por un intercambiador para calentar el alimento, un reactor donde la

conversión depende de la temperatura y del tiempo de residencia, y una torre de destilación

donde el número de etapas necesarias depende de la composición del alimento

(determinada por la conversión en el reactor) y de la pureza deseada para el producto.

Para este problema, las variables de incidencia son la temperatura de salida del

intercambiador y la conversión, y se consideró como variables de optimización la misma

temperatura, el tiempo de residencia en el reactor y la pureza del producto. Lo que nos

permite observar que una variable de incidencia puede o no ser variable de optimización.

Después de identificar las variables se procede al análisis, que requiere evaluar el efecto de

cada variable sobre la función objetivo, lo que implica en el desarrollo de múltiples

simulaciones donde entre una y otra se cambia únicamente el valor de una de las variables

de optimización, para determinar su valor óptimo. A continuación se presentan los pasos

sugeridos para la optimización por análisis de sensibilidad:

1- Determinar el modelo para todo el proceso, la función objetivo y las variables de

optimización e incidencia.

2- Definir el punto inicial para la optimización: determinar valores para las variables de

optimización (x) que generan una solución coherente para el problema y calcular el

valor para la función objetivo ().

3- Determinar la sensibilidad para cada variable (/xi): se hace una pequeña

modificación9 en una única variable, manteniendo las restantes en su valor inicial, y se

calcula la variación en la función objetivo. La sensibilidad se aproxima por: /xi. 4- Normalizar las sensibilidades, para esta normalización se debe considerar el rango de

variación de cada variable en proceso. Para temperatura, una variación significativa es 1

grado o más por lo que el factor de normalización será 1; para conversiones o

recuperaciones, variaciones significativas son del orden de 0.01 por lo que el factor de

normalización puede ser 10-2

; para la relación de reflujo en una torre de destilación,

variaciones significativas son del orden de 0.1 y el factor de normalización puede ser

10-1

.

5- Seleccionar una variable de optimización, se aconseja iniciar con las variables que

tienen mayor efecto sobre la función objetivo (mayor valor absoluto para la sensibilidad

normalizada).

6- Buscar el valor óptimo para la variable en cuestión, esto requiere múltiples

simulaciones cambiando únicamente el valor de esta variable.

9 La variación debe ser pequeña, para que el /xi que es lo que podemos calcular sea una buena

aproximación de /xi.


7- Seleccionar una nueva variable y volver al paso 6, sólo cuando todas las variables

hayan sido analizadas se debe continuar con el paso 8. Los valores obtenidos para las

variables constituyen una nueva solución, que es candidata a solución óptima.

8- Verificar la optimalidad de la solución encontrada, para esto se deben calcular las

sensibilidades (/xi) alrededor de la nueva solución. La solución es considerada óptima si todas las sensibilidades son próximas a cero.

9- Si del paso anterior se concluye que la solución encontrada aún no es óptima, debemos

reiniciar el análisis (volver al paso 5), partiendo de la solución encontrada y analizando

únicamente las variables en las que se observó que la función objetivo puede ser

mejorada (sensibilidad diferente de cero).

La solución del problema de optimización por análisis de sensibilidad usa principios

semejantes a los de los solvers de optimización: Estima aproximaciones de las derivadas

para definir la dirección de búsqueda y el tamaño del paso. Pero a diferencia de las solvers,

la búsqueda se hace en una variable de cada vez y no simultáneamente, y el tamaño del

paso se define no sólo por el valor estimado para la derivada, como también por el

conocimiento del proceso y analizando la evolución de la función objetivo entre una

iteración y la siguiente.

Ejemplo 10: Solución de un NLP complejo por análisis de sensibilidad

Vea el ejemplo de la sección 10.3 del Douglas [1].

4.3 Análisis de problemas con variables discretas

La solución de este tipo de problemas requiere metodologías y herramientas específicas y

bastante complejas; en esta sección nos limitaremos a analizar las estrategias de solución

con base en la representación en árbol. Para profundizar en los métodos de solución s MILP

y MINLP se recomienda el texto de Edgar y colaboradores[3].

Los algoritmos para problemas con variables enteras buscan identificar la solución óptima

sin explorar todas las posibles alternativas ya que el número de alternativas depende

exponencialmente del número de variables enteras; si cada decisión discreta considera dos

alternativas posibles, el número de configuraciones es:

2n n: número de decisiones (variables binarias)

La representación en árbol de los problemas con variables discretas no ayuda a entender las

estrategias empleadas por los solvers para resolver el problema sin explorar todas las

alternativas, donde cada alternativa se representa por una rama del árbol.

4.3.1 Representación de los problemas con variables discretas

Ejemplo 11 (tomado de Biegler y colaboradores[5]): Consideremos la optimización del diseño un proceso para producción de amoniaco, donde

se debe seleccionar entre varias alternativas para cada operación


Figura 12. Diagrama de bloques para un proceso de producción de amoniaco

Para cada una de las etapas del proceso tenemos dos posibilidades:

Para la reacción

* Reactor tubular

* Reactor multilecho

Separación de producto

2 etapas de condensación parcial

Absorción + destilación

Recuperación de Hidrógeno

Recuperación con membranas

No recuperar

Las operaciones de compresión y purga son obligatorias, pero si no se recupera el

hidrógeno, no es necesario recomprimir la corriente recirculada, ya que la caída de presión

sin la separación por membranas se considera despreciable. La representación en árbol de

este problema se observa en la siguiente figura.

Figura 13. Representación en árbol de las decisiones en el proceso de producción de amoniaco.

Compresor Reactor Separación

de producto

Recuperación

de H2

N2

H2

Purga

Reactor tubular

Rx. multilecho

Dos condensadores

parciales

Absorción +

Destilación

Absorción +

Destilación

Membrana de separación

No recuperar


No recuperar

No recuperar


No recuperar

Membrana de separación Dos condensadores

parciales


En la representación en árbol, el camino desde el nodo raíz hasta un nodo terminal, define

una configuración completa. No hay ciclos en la representación, pero se pueden repetir los

nodos (puntos de decisión).

Una forma de resolver el problema rigurosa pero no sistemáticamente es analizar

(optimizar) cada una de las configuraciones y seleccionar el mejor entre los óptimos de

cada configuración. En este caso tendríamos 8 análisis, lo que implica optimizar las ocho

configuraciones propuestas para el proceso.

Ejemplo 12: Representación en árbol de un problema de optimización

Genere la representación en árbol para el problema de una separación multicomponente (A,

B, C, D) donde queremos obtener los 4 componentes puros. Considere sólo el orden de

separación (no considere la técnica de separación)

Figura 14. Representación en árbol de las

decisiones en el secuenciamiento de un

tren de destilación.

4.3.2 Estrategias para la solución de los problemas en árbol

La numeración exhaustiva (solución de todas las configuraciones) sólo es práctica para

problemas de pequeña dimensión. La numeración implícita requiere evaluar un subconjunto

de nodos, por lo que es más apropiada para problemas mayores. Estos métodos se conocen

como de branch and bound (B&B), pues durante las iteraciones se abren las ramas del árbol

de decisión y se generan límites para la solución óptima; la ramificación del árbol permite

la evolución en la convergencia de los límites hacia la solución óptima y la eliminación de

ramas del árbol. Para presentar los métodos B&B se deben considerar las siguientes

definiciones: nodo inicial o raíz, nodo intermedio y nodo final o terminal.

- Costo individual: costo de cada operación (nodo) dependiendo de las decisiones anteriores

- Costo parcial: costo del proceso (camino) desde el nodo raíz hasta un nodo intermedio.

- Costo total: costo del proceso (camino) desde el nodo raíz hasta un nodo final.

Si el problema se formula como la minimización del costo del proceso y cada decisión

adiciona un costo positivo, se garantiza que el costo total de una configuración completa

sea siempre mayor que cualquiera de los costos parciales de los nodos intermedios que

anteceden el nodo final en cuestión. Esta característica es la que permite eliminar algunas

ramas del árbol de decisión sin tener que explorar completamente las alternativas que lo

conforman.

A

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

B

C D

B

C D

A

B

A

B C

A

B C

C

D

B

C

C

D

B

C

A

B


Ejemplo 13: Solución de un problema en árbol por numeración implícita

Ver notas de clase: definición de la secuencia óptima de destilación para una mezcla de

hidrocarburos usando el concepto de Flujo Marginal de Vapor

4.3.3 Formulación matemática de restricciones con variables enteras

Como se ha mencionado anteriormente, la formulación de un buen modelo es fundamental

para la solución del problema de optimización; esta idea también aplica para los elementos

discretos de un problema mixto entero.

Para presentar algunas ideas útiles en la formulación de las decisiones discretas como

variables binarias, consideremos un problema de optimización donde existe una variable

discreta z, que pude tomar múltiples valores; por ejemplo: el diámetro nominal de una

tubería (que puede tomar los valores de ½, ¾, 1, 1½) o el número de equipos necesarios

para desarrollar una tarea (1, 2, 3, 4). La primera opción para definir las variables binarias

del problema es:

Definir un conjunto de parámetros, o mejor un vector, con los posibles valores que toma la

variable ( p = [½, ¾, 1, 1½] para el caso de la tubería)

Definir un conjunto de variables yi con i = 1, 2, … N, siendo N el número de valores posibles

que la variable discreta puede tomar.

La idea básica para formular las restricciones es que cuando se desea analizar el k-ésimo

valor de la variable discreta (z), la respectiva variable binaria (yk) debe tomar el valor de 1;

de esta forma, en las restricciones las variable discreta y las binarias se relacionan por:

1

pN

i i

i

y z

Como z sólo puede tomar un valor, se debe adicionar una restricción que garantice que sólo

una de las variables binarias sea igual a 1:

1

1N

i

i

y

Otras estrategias para formular la decisión entre los valores posibles para una variable

discreta empleando variables binarias pueden ser encontradas en la literatura (Floudas,

1995, pág. 111). Cuando la decisión discreta no define el número de unidades o una

dimensión, sino una característica de la síntesis del procesos o sistema; por ejemplo: la

definición del tipo de reactor o de la técnica de separación, durante el diseño de un proceso;

las restricciones que se derivan del modelo del proceso dependen de esta decisión, lo que se

debe considerar en la formulación del problema de optimización. Para un problema de

diseño con dos alternativas, como el que se muestra en el esquema de la Figura 15, La

restricción generada del modelo de la etapa del proceso, considerando la decisión10

, puede

formularse como:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0h y h y h x x x

10

Estos problemas hacen parte del grupo que no puede ser resuelto mediante la transformación (relajación) de

la variable discreta en variable continua, pues los valores continuos de y1 y y2 no tiene ningún sentido físico.


Figura 15 Esquema de un problema de

diseño óptimo con alternativas en una de

las operaciones.

La formulación anterior, de la restricción h(x), es completamente coherente con el

problema, pero tiene la desventaja de adicionar no-linealidades al problema, debido al

producto entre variables binarias (yi) y funciones de las variables continuas (hi(x)); existen

varias estrategias para contornar esta dificultad, como las formulaciones big-M y convex

hull. Para la disyunción entre múltiples restricciones de desigualdad (gj(x) 0), la

formulación big-M seria:

( ) M(1 )j jg y j x

donde M es un parámetro suficientemente grande para que gj(x) M j,x; de esta forma, si

yj = 0 la restricción respectiva se cumple, sin importar los valores de las variables continuas

(x) por lo que no afecta la solución del problema de optimización, pero si yj = 1 la

restricción original, gj(x) 0, deberá ser cumplida.

4.4. Optimización de problemas modelados con ecuaciones diferenciales

Dentro de las aplicaciones de optimización para la ingeniería química, un grupo de

problemas de gran interés y no menor complejidad es el que considera sistemas de

ecuaciones diferenciales. Estos problemas se generan tanto en sistemas que no trabajan en

estado estacionario, como son los procesos por lote y lote alimentado, como en sistemas

continuos que operan en estado estacionario. En el primer caso, las ecuaciones diferenciales

que modelan el proceso definen la evolución del sistema (temperatura, presión,

composición) en el tiempo, mientras que en el segundo, definen el cambio de las

propiedades respecto a la posición; adicionalmente, el arranque de procesos que operan en

continuo (y por consiguiente en estado estacionario) también es un problema dinámico.

Por sus características, la optimización de problemas dinámicos requiere metodologías

específicas que permitan resolver los dos problemas involucrados (la integración del

sistema de ecuaciones diferenciales y la optimización de las condiciones operacionales).

Según la forma en que asocian estos dos problemas, los métodos pueden clasificarse en

estrategias secuenciales y simultaneas. Las estrategias secuenciales resuelven la integración

y la optimización de forma aislada, mientras que las simultáneas lo hacen acopladamente.

Para resolver simultáneamente la optimización e integración, se genera una aproximación

del sistema de ecuaciones diferenciales mediante un sistema de ecuaciones algebraicas, lo

que transforma el problema de optimización dinámica en un problema de optimización no-

lineal (NLP), recientemente, se han desarrollado múltiples estudios sobre estas

Alternativa 1

h1(x) = 0

Alternativa 2

h2(x) = 0

y1 = 1

y2 = 1


Integrador

Optimizador

INICIO Información para

estimar la función

objetivo Corrección de los valores de

las variables de optimización

FIN

metodologías (Seferlis y Hrymak, 1994; Li, Hoo y Wozny, 1998; Riascos y Pinto, 2002 y

2004)

Por su parte, el desarrollo, uso y estudio de las estrategias secuenciales es más tradicional

(Referencias). En grandes rasgos, la secuencia de análisis de estas estrategias se puede

resumir en los siguientes pasos:

1- Generar un punto inicial para la optimización: valores para cada una de las variables de

optimización.

2- Integrar el sistema de ecuaciones diferenciales para obtener el valor de las variables no

independientes del problema, incluyendo la función objetivo.

3- Proponer modificaciones en los valores de las variables de optimización, con base en la

información de sensibilidad11

.

Repetir los pasos 2 y 3 hasta lograr la convergencia (ver Figura 16).

Figura 16. Diagrama de flujo para la solución

de problemas DO mediante una estrategia

secuencial.

Ejemplo 14: Solución de un problema de optimización dinámica

Formulación del problema

Para ilustrar la solución de problemas de optimización por estrategias secuenciales se

tomara como caso de estudio el proceso de biosíntesis de penicilina a partir de glucosa,

empleando el modelo presentado en Cuthrell y Biegler (1989) y estudiado anteriormente

por Lim et al. (1986). El proceso se desarrolla en lote alimentado, en un reactor con

volumen (V) medido en litros, donde interactúan la biomasa (X), el producto (P) y el

sustrato limitante (S), cuyas concentraciones están en g/l. La variable de control es la rata

de alimentación de substrato (U) en g/h; la cual es proporcional al flujo de alimentación que

contiene el sustrato en concentración (SF) constante.

Este proceso fue modelado inicialmente por Bajpai y Reub (1981), quienes observaron

limitación e inhibición por sustrato, consumo de sustrato para mantenimiento celular y

degradación del producto por hidrólisis. Los autores modelaron las velocidades

específicas12

de crecimiento (μ), producción (ρ) y consumo (σ) así:

11

La sensibilidad cuantifica el efecto de las variables de optimización sobre la función objetivo. 12

El crecimiento, la producción y el consumo de sustrato dependen de la concentración de biomasa (X), pues

son procesos autocatalíticos. Por eso, en el modelamiento se emplean velocidades específicas dtdX

X1μ ,

dtdP

X1ρ y

dtdS

X1σ donde dX/dt, dP/dt e dS/dt son las variaciones de las concentraciones debidas al

metabolismo celular.


SXK

Sμμ

X

max

)K/SS(1K

Sρρ

inP

max

s

p/sx/s

mY

ρ

Y

μσ

Donde μmax e ρmax son las velocidades específicas máximas de crecimiento y producción

(velocidades específicas en condiciones óptimas); Kx e Kp son las constantes de saturación

para el crecimiento y la producción, que permiten estimar la desaceleración en estos

procesos debido a la disminución del sustrato; Kin es la constante de inhibición en la

producción por exceso de sustrato; Yx/s e Yp/s son los factores de conversión de substrato en

biomasa y de sustrato en producto (gramos de substrato empleados para producir un gramo

de biomasa y un gramo de producto, respectivamente) y ms es el consumo para

mantenimiento celular.

Cuthrell y Biegler (1989) implementaron dos modificaciones en el modelo de Lim et al.

(1986): la primera por inconsistencias en el término de mantenimiento (ecuación 3) que

modificaron de ms a SmK

Ssm

, y la segunda debida a un nuevo ajuste del parámetro ρmax

que pasó de 0,004 a 0,0055 (ecuación 2). El problema de optimización considerado en

Cuthrell y Biegler (1989) y Lim et al. (1986) fue la maximización de la cantidad de

producto al final del proceso (tiempo tf) con restricciones para los valores máximos de cada

una de las variables. Este problema es definido por:

Min Ф = -P(tf) V(tf) U (t ) , t

f

s.a UVS

XX)SX,μ()t(X

F

X(0) = 1,5 g/l

UVS

PPKX)Sρ()t(P

F

deg

P(0) = 0,0 g/l

V

U

S

S-1X

SK

Sm

Y

X)Sρ(

Y

X)SX,μ()t(S

Fm

s

p/sx/s

S(0) = 0,0 g/l

FS/U)t(V V(0) = 7,0 l

SXK

Sμ)SX,μ(

X

max

)K/SS(1K

Sρ)Sρ(

inP

max

0 ≤ X(t) ≤ XU 0 ≤ S(t) ≤ S

U

0 ≤ V(t) ≤ VU 0 ≤ U(t) ≤ U

U


tfL ≤ tf ≤ tf

U

Tabla 7. Parámetros del modelo para biosíntesis de penicilina.

Parámetro Significado Valor

XU Concentración máxima de biomasa (g/l) 40

SU Concentración máxima de sustrato (g/l) 100

VU Volumen máximo (l) 10

UU Rata máxima de alimentación (g S/h) 50

tfL Tiempo final mínimo (h) 72

tfU Tiempo final máximo (h) 200

μmax Velocidad específica máxima de crecimiento (h-1

) 0,11

ρmax Velocidad específica máxima de producción (g P/g X h) 0,0055

Kx Constante de saturación para el crecimiento celular (g S/g X) 0,006

Kp Constante de saturación para la producción (g S/l) 0,0001

Kin Constante de inhibición en la producción por el sustrato (g S/l) 0,1

Kdeg Constante de degradación del producto por hidrólisis (h-1

) 0,01

Km Constante de limitación por substrato en el mantenimiento celular (g

S/l)

0,0001

ms Coeficiente de consumo de sustrato para mantenimiento (g S/g X h) 0,029

Yx/s Factor de conversión de sustrato en biomasa (g X/g S) 0,47

Yp/s Factor de conversión de sustrato en producto (g P/g S) 1,2

SF Concentración de substrato en el flujo alimentado (g S/l) 500

Lim et al. (1986) presentan la solución analítica del problema, la cual considera un periodo

con flujo máximo hasta t=11.21 h, seguido por un periodo sin alimentación hasta t=28.79 h,

y finalmente un periodo con flujo aproximadamente constante hasta t=124.9 h (en este

momento se alcanza el volumen máximo del fermentador). Con esta operación se produce

86.9 g de penicilina. Los perfiles de estado y control aparecen en las figuras 16 y 17.

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120 140

tempo (h)

Ta

xa

de a

lime

nta

çã

o (

ml/h

)

Figura 16. Perfil de control en la solución analítica de Lim et al. (1986).


0

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60 80 100 120 140

tempo (h)

substr

ato

e b

iom

assa (

g)

0

20

40

60

80

100

120

pro

du

to (

g)

biomassa

substrato

produto

Figura 17. Perfiles de estado en la solución analítica de Lim et al. (1986).

Observando los perfiles de estado en la figura 17 se puede concluir que la operación

sugerida divide el proceso en dos grandes etapas, la primera de crecimiento celular (hasta

t=28.79 h), y la segunda de producción. Debido a que la producción es inhibida por el

sustrato, para iniciar la etapa de producción se requiere concentración de sustrato baja, que

se logra quitando la alimentación al final de la etapa de crecimiento. La alimentación

relativamente baja en la etapa de producción mantiene la concentración de sustrato

suficiente baja para favorecer la producción.

Es importante observar que, en procesos con limitación por el sustrato donde el crecimiento

celular puede ser modelado por la ecuación de Contoins, este se hace independiente de la

concentración de sustrato cuando S>>KxX y, consecuentemente, la velocidad específica de

crecimiento es muy cercana a la máxima (μ ≈ μmax). Debido a eso, para el modelo

considerado, cuando S ≥ 0,6 X la velocidad específica de crecimiento es μ ≥ 0,99 μmax. Esta

observación permite proponer que cualquier perfil de alimentación que genere crecimiento

de biomasa cercano al máximo en el inicio del proceso (hasta aproximadamente t=29 h) y

que después mantenga una concentración de sustrato que favorezca la producción debe

generar perfiles de estado muy próximos a los anteriores, y consecuentemente, un valor

satisfactorio para la función objetivo.

Solución del problema por una estrategia secuencial

La implementación de esta estrategia fue desarrollada en la plataforma de programación

Matlab®

5.2 (Grace, 1995), empleando las funciones constr para la optimización por SQP e

ode23 para la integración numérica por Runge-Kutta, para más información y la solución

por una estrategia simultánea consulte Riascos y Pinto (2004).

En las figuras 3 a 5 se presentan los perfiles de las variables de estado y control obtenidos

considerando 3, 5 y 20 divisiones para el tiempo de procesamiento, en la tabla 2 se

observan algunas estadísticas y los resultados finales de estas y otras corridas.


0 50 100 1500

10

20

30

40

Bio

ma

ssa

(g

/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

5

10

Pro

du

to (

g/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

10

20

30

Su

bstr

ato

(g/l)

Tempo (h)

1 2 30

10

20

30

40

50

taxa

de

alim

. (g

/h)

intervalo

Figura 18. Perfiles de estado y control de la optimización con 3 intervalos.

0 50 100 1500

10

20

30

40

Bio

ma

ssa (

g/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

5

10

Pro

du

to (

g/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

10

20

30

40

Sub

str

ato

(g/l)

Tempo (h)

1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

taxa d

e a

lim.

(g/h

)

intervalo Figura 19 Perfiles de estado y controle de la optimización con 5 intervalos.


0 50 100 1500

10

20

30

40

Bio

ma

ssa (

g/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

5

10

Pro

du

to (

g/l)

Tempo (h)

0 50 100 1500

10

20

30

Sub

str

ato

(g/l)

Tempo (h)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

10

20

30

40

50

taxa d

e a

lim.

(g/h

)

intervalo Figura 20 Perfiles de estado y controle de la optimización con 20 intervalos.

Tabla 8. Estadísticas y resultados para optimización secuencial.

Corrida No.

Intervalos

Estatísticas Resultados

N. iterações t. cálculo (m:s) Ф (g Penicil.) tf (h)

OS-1 3 37 0:29 87,02 124

OS-2 5 62 2:00 87,69 124

OS-3 10 177 5:00 86,99 124

OS-4 15 417 13:00 87,27 124

OS-5 20 736 29:10 87,45 124

En las figuras 18 a 20, se puede observar que los perfiles de las variables de estado são

muy semejantes entre una corrida y otra. El cambio más significativo se presenta en la

concentración de sustrato, donde la altura del pico varia entre 20 e 32 g/l, pero sin tendencia

clara. Los perfiles de controle (tasa de alimentación) también cambian de una corrida a

otra, pero en todos los casos se sugiere una tasa elevada en el inicio el proceso (al rededor

de 20 g/h), la cual se reduce para permanecer prácticamente constante en aproximadamente

10 g/h. La solución analítica (Lim et al., 1986) sugiere para el final del proceso una tasa de

alimentación cercana a 20 ml/h (ver figura 17).

En la tabla de las estadísticas y resultados, é evidente que os valores obtenidos para la

función objetivo son próximos entre si e al de la solución analítica (87,05 g de penicilina).

También se observa que el número de iteraciones aumenta exponencialmente con el

número de intervalos, así como el tiempo de cálculo, o cual es indicador de la carga


computacional. Cuando se emplean metodologías secuenciales, el aumento “explosivo” de

la carga computacional restringe el número de intervalos que se emplea en la discretización,

y debe ser especialmente crítico en problemas más complejos.

5. INFORME DE LA OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO

El informe de la optimización del diseño debe contener:

1- Definición del problema de optimización.

- Selección de la función objetivo.

- Identificación de los modelos de operación, diseño y costo.

- Selección de las variables de optimización e incidencia.

- Análisis del flujo de información en el proceso.

2- Caracterización del punto inicial para la optimización.

- Valores para las variables de operación y diseño.

- Valor para la función objetivo.

3- Resultado final de la optimización (los mismos elementos del numeral 2).

4- Análisis de los resultados.

- Identificación el efecto de cada variable sobre el diseño y desempeño del

proceso.

- Conclusiones.

Observación: todas las consideraciones, criterios de selección, valores asumidos, etc. deben

ser presentados y justificados.

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Optimizacion en Ingenieria de Procesos 07 2012