ORAL #8

CALLATA CARDENAS ROGER FERNANDO CODIGO: 20142530D

1.- Sean las funciones F1 ( x )= x3√x2−1

F2 ( x )= x3√(x−2)2 Hallar Puntos Críticos,

Asíntotas y Bosquejar la Gráfica.

a) F1(x)

I.- F1 ( x )=x (x2−1)−1/3 Derivando e igualando a cero para hallar los Puntos Críticos.

dF1(x )dx

=(x2−1 )−13 +x (−1

3 )(x2−1 )−43 (2x )

¿ (x2−1 )−13 [1−2 x2

31

(x2−1 ) ]=(x2−1 )−13 [ x2−3

3 (x2−1) ]

dF1(x )dx

= x2−33 3√(x¿¿2−1)4 ¿

= 0

Los puntos críticos son: +√3 ,−√3

II.- Hallando las Asíntotas de la Función

-Verticales

limx→ 1+¿F 1( x )= lim

x→1+¿ x3√ x2−1

=¿ ∞¿

¿¿ ¿¿

lim

x→−1+¿F 1 (x )= limx→−1+¿ x

3√x2−1=¿∞ ¿

¿¿¿¿

limx→ 1−¿F1 ( x )= lim

x →1−¿ x3√ x 2−1

=¿−∞ ¿

¿ ¿¿¿

limx→−1−¿F 1( x )= lim

x→−1−¿ x3√x2−1

=¿−∞¿

¿¿ ¿¿

-Horizontales:

limx→∞

F1 ( x ) ¿ limx→∞

x3√x2−1

=¿∞¿ limx→−∞

F1 ( x )= limx→−∞

x3√ x2−1

=¿−∞¿

No hay asíntotas horizontales

-Oblicuas

limx→∞

F1 (x )

x = lim

x→∞

13√x2−1

=m=0 No hay asíntotas oblicuas

III.-Graficando F1(x)

Hallamos la segunda derivada de F1(x) para encontrar los puntos de inflexión.

d2F1(x )d x2 =1

3d ¿¿

¿2 x(x2−1)− 4/3+(x¿¿2−3)(−4/3)( x2−1 )

−73 (2 x)

3¿

¿ 13

(2 x ) (x2−1 )−43 ¿

¿ 2x3

(x2−1 )−43 [−(x2−9)

3(x2−1) ]d2F1(x )d x2 =

−2x (x2−9)

9 3√( x2−1)7

Para hallar los puntos de inflexión igualamos a 0

d2F1(x )d x2 =0

x (x2−9 )=0

Los puntos de inflexión son: -3, 0, 3

TABLA DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Intervalos ˙F 1(x ) ¨F1(x ) Crece o Decrece Concavidad⟨−∞ ,−3 ⟩ + + Creciente Positiva

⟨−3 ,−√3 ⟩ + - Creciente Negativa

⟨−√3 ,−1 ⟩ - - Decreciente Negativa⟨−1,0 ⟩ - + Decreciente Positiva

⟨ 0 ,1 ⟩ - - Decreciente Negativa⟨ 1 ,√3 ⟩ - + Decreciente Positiva

⟨√3 ,3 ⟩ + + Creciente Positiva⟨ 3 ,∞ ⟩ + - Creciente Negativa

b) F2(x)

I.- F2 ( x )=x (x−2)−2/3 Derivando e igualando a cero para hallar los Puntos Críticos.

dF2(x )dx =( x−2 )

−23 +x (−2

3 ) (x−2 )−53

¿ ( x−2 )−23 [1−2 x

31

(x−2) ]= 13√( x−2)2

3 x−6−2x3 (x−2)

dF2(x )dx

= x−63 3√(x−2)5 = 0

El punto crítico es: 6

II.- Hallando las Asíntotas de la Función

-Verticales

limx→ 2+¿F 2( x )= lim

x→2+¿ x3√( x−2)2

¿∞

¿¿¿¿

limx→2−¿F2 ( x )= lim

x →2−¿ x3√( x−2)2

=¿∞ ¿

¿¿ ¿¿

-Horizontales:

limx→∞

F2 ( x ) ¿ limx→∞

x3√(x−2)2

=¿∞¿ limx→−∞

F2 ( x )= limx→−∞

x3√(x−2)2

=¿−∞¿

No hay asíntotas horizontales

-Oblicuas

limx→∞

F2 (x )

x = lim

x→∞

13√(x−2)2

=m=0 No hay asíntotas oblicuas

III.-Graficando F2(x)

Hallamos la segunda derivada de F2(x) para encontrar los puntos de inflexión.

d2F2(x )d x2 =1

3d [(x−6)(x−2)−5 /3 ]

dx

¿1(x−2)−5/3+(x−6)(−5/3)( x−2 )−8/3

3

¿ 13

( x−2 )−5 /3 [1+(x−6)

3−5

(x−2) ]d2F2(x )d x2 =−2

3(x−2)−5 /3 (x−12)

(x−2)

d2F2(x )d x2 =−2

3(x−12)3√(x−2)8

Para hallar los puntos de inflexión igualamos a 0

d2F2(x )d x2 =0

( x−12 )=0

El punto de inflexión es: 12

Intervalos ˙F2(x ) ¨F2(x ) Crece o Decrece Concavidad

⟨−∞ ,2 ⟩ + + Creciente Positiva⟨ 2,6 ⟩ - + Decreciente Positiva

⟨ 6 ,12 ⟩ + + Creciente Positiva⟨12 ,∞ ⟩ + - Creciente Negativa

TABLA DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO