OR入門（２）

森本 晧夫

２００８年１２月１７日わかみず会

- ⅰ -

意志決定のレベル３つの基本モデル生産モデル制約条件と余裕変数目的関数の役割解の表現単体法の計算感度分析在庫モデルと輸送モデル月次の生産モデル通期の生産在庫モデル輸送モデルLogistic Network の構成係数の収集キーワードとその他の話題

生産方式の変遷生産計画の位置付け生産と配送の流れ生産計画スケジューリング平準化と目的追跡法配送スケジュール近似解を得る手法

- 1 -

戦略（strategy）

戦術（tactics）

作戦（operation）

生産

設備投資

ＭＲＰ

ＯＥＭ

ＡＰＳ

ＭＥＳ

２００８年 （株）ミルバクラフトC

配送

ルーティング

拠点配置

３PLVMR

意志決定のレベル

(decision support)

数理モデル

シミュレーション

ベンチマーク

組合せ 適化

アルゴリズム

ネットワーク計画

統計

経済時系列

理論・手法

ＪＩＴ

スケジューリング

クロスドッキング

配送計画

拠点配置

生産計画

ＶＳＰ

- 2 -

1212111 bxaxa

１．生産モデル or 活動分析モデル

利益または生産量を 大化（費用の 小化）するために、リソース（原材料、能力など）をどう配分すれば良いかを決定するモデル

材料1が あって、製品1を１個作るのに 使い、製品2を作るのに 使う。生産量をそれぞれ 、 とすると

11a 12a1x 2x

1b

tttt ysxs 1

２．在庫モデル期を跨ってリソースを配分するモデル

在庫を 、生産量を 、販売量を とする。期を表現するために添え字 を使う。s x y t

wywx

３．輸送（配送）モデル配送拠点でリソースを流入・流出させるモデル

配送拠点に流入する量を 、現有在庫を 、流出量を 、在庫する量を とする。xw yw

意思決定を支援する

３つの基本モデル（業務を解析する基本パターン）

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 3 -

問題

トラックと乗用車を生産している会社がある。

車体プレス、エンジン組立、トラック組立、乗用車組立の４つのラインを持っている。

車体プレスラインは、１作業当たりトラック７台分、または乗用車５台分の車体プレス（板金型押し）ができる。月間の作業量の限界は、５０００作業である。

エンジン組立ラインは、１作業当たりトラック用エンジン１台または乗用車用エンジン２台を組立てることができる。月間の作業量の限界は、１７０００作業である。

トラックのための作業と乗用社のための作業を切替える費用と手間は無視できる。

トラックと乗用車の組立ラインは、専用のラインである。１作業あたり１台を組立てることができ、夫々１５０００作業と２２０００作業が１ヶ月の作業量の限界である。

１台当たりの利益は、トラックは３万円、乗用車は２万円である。市場の制約はない。

利益を 大にする製品ミックスを求めよ。

Samueｌson のモデル

Ａ型のライン

前工程 ⇒ 後工程

車体プレス

エンジン組立

トラック組立

乗用車組立

生産モデル

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 4 -

)0,(2215

3421721

17575551

71

21

2

1

2121

2121

xxx

x

xxxx

xxxx

制約（ 式 ）

車体プレス部門

エンジン組立部門

トラック組立部門

乗用車組立部門

非負制約

21 23 xx総利益

目的（ 関数 ）

大化

２００８年 （株）ミルバクラフトC

2x

1x0

)0,(221534217575

21

2

1

21

21

xxx

xxxxx ･･･ ① 車体プレス

･･･ ② エンジン組立

･･･ ③ トラック組立

･･･ ④ 乗用車組立

･･･ 非負制約

制約条件と余裕変数

17575 121 sxx① ⇒

２００８年 （株）ミルバクラフトC

34

17

②

22④

①

35

25

15

③01 s

1031 s

1001 s

1751 s

211 s

34

35

22

25

1517

2x

1x0

①

②

③

④)0,(

221534217575

21

2

1

21

21

xxx

xxxxx ･･･ ① 車体プレス

･･･ ② エンジン組立

･･･ ③ トラック組立

･･･ ④ 乗用車組立

･･･ 非負制約

制約条件

目的関数 max23 21 xx

目的関数の役割

0z

44z 45z

53z 6.56z 61z

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 7 -

解の表現

余裕変数を導入して等式制約系を作る。

式が４個で変数は６個である。係数行列が正則であれば、この系の解集合は無限集合になる。そこで、解のパラメタ表現と制約上の目的関数の振る舞いについて考える。問題を行列表記する。

bAxcxz

0

),(),,(),,( NBNB cccxxxNBA

式の個数と同じだけ変数を選び、選ばれたものを 、残りを として全体を分割する。B N

bNxBxxcxcz

NB

NNBB

0 ･･･ ①

･･･ ②

②を について解く。Bx NB NxBbBx 11 ･･･ ③

この式は を定めると が決まる形になっている。独立変数と従属変数の関係である。 を基底変数、を非基底変数という。

Nx Bx BN

プライシングベクトル

シャドウプライス

③の を①の目的関数に代入する。Bx bBcxNBccz BNBN11 )(

d

２００８年 （株）ミルバクラフトC

②

x2

x1351715

4

20

22

25

34

O A

B

C

A’

DE

①③

④

２００７年 （株）ミルバクラフトC

2215

1721

551

71

023

24

13

212

211

21

xsxs

xxs

xxs

xxz

・・・ スラックを３５でスケール

・・・ スラックを２でスケール

基底 x1 x2s1 s2 s3 s4解

1

-2

5

17

15

22

1

1

1

-3

1/7 1/5

1 1/2

1

1

z

s1

s2

s3

s4

O

0

単体法の計算

４５

Z

５

１５１７

２２

O １５ １７ ３５

s1

x1

s2s3

s4

基底変数

４４

Z

５

１５１７

２２

O ３４

s1

x２

s2

s3

s4

基底変数

２２ ２５

基底 x1 x2s1 s2 s3 s4解

x1

z

s1

s2

s4

45

20/7

2

15

22

1

1

3

-1/7

-1

1

1

1

-2

1/5

1/2

1

A

x2

x1351715

4

20

22

25

34

O A

B

C

A’

DE

①

②

③

④

４

１５

４５

５３

１００/7 ２２

２２

O

s1

x1

Z

s2

s4

2

20/7

x2

基底変数

２００８年 （株）ミルバクラフトC

基底 x1 x2s1 s2 s3 s4解

z

s1

s4

x2

x1

53

72/35

4

15

18

1

4

-2/5

2

-2

-1

9/35

-2

1

2 1

1

1

B

基底 x1 x2s1 s2 s3 s4解

z

s3

s4

x2

x1

61

8

20

7

2

35/9

35/9

70/9

-35/9

-70/9

22/9

-14/9

-10/9

14/9

10/9

1

1

1

1

C

x2

x13517157

4

20

22

25

34

O A

B

C

A’

DE

①

②

③

④

2.06

7

４

15

61

53

8 15

18

O

s1x1

Z

s4

20

x2

基底変数

s39

x2

x13517157

4

20

22

25

34

O A

B

C

A’

DE

①

②

③

④

２００８年 （株）ミルバクラフトC

)0,(221534217575

21

2

1

21

21

xxx

xxxxx ･･･ ① 車体プレス

･･･ ② エンジン組立

･･･ ③ トラック組立

･･･ ④ 乗用車組立

･･･ 非負制約

制約条件

目的関数 max23 21 xx

２００７年 （株）ミルバクラフトC

34

35

22

25

1517

2x

1x0

①

②

③

④

感度分析

- 12 -

入荷 出荷

在庫（消費)

取崩（生産)

生産

当期在庫

出荷

前期在庫

在庫モデル

輸送モデルデポ（在庫または生産設備を持つ配送拠点)

当期の製販活動

在庫モデルと輸送モデル

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 13 -

問題

食用油を製造販売している会社がある。植物油２種、非植物油３種を精製し、ブレンドして製品とする。原料油は、先物市場で調達する。原料油は在庫できる。原料油別に 大１０００トン／月、費用は油種に関係なく￡５／トン・月である。

植物油非植物油別に２つのラインで精製する。精製能力は、植物油月２００トン、非植物油月２５０トンである。精製ロスと精製コストは無視できるものとする。精製された油は在庫できない。

食用油は硬度を３と６の間でブレンドする。硬度は原料油の硬度の加重平均で決まる。食用油の販売価格は、￡１５０／トンである。

Ｈ．Ｐ．Ｗｉｌｌｉａｍs のモデル

月次の生産モデル

0.60.52.40.21.68.80.3

250200

32121

32121

321

21

ooovvfooovv

ooovv

max)115110130120110(150 32121 ooovvf

制約式

目的関数

･･･ 植物油の精製

･･･ 非植物油の精製

･･･ 食用油の生産量

･･･ 食用油の硬度制約

月次の生産モデル

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 14 -

原料油の先物価格（￡／トン）１月 ２月 ３月 ４月 ５月 ６月

植物油１ 110 130 110 120 100 90植物油２ 120 130 140 110 120 100非植物油１ 130 110 130 120 150 140非植物油２ 110 90 100 120 110 80非植物油３ 115 115 95 125 105 135

max5150 t i iti

ti

ti

t sbpf

},,,,{,,,,, 3212132121 ooovviuooovv ti

通期の目的関数

tip

とする。t i月の油 に関して、購入量ti

ti

ti

ti uspb 、購入価格 、在庫量 、使用量

ifors

ifors

tforiforsubs

i

i

ti

ti

ti

ti

,500

,500

6,,1,,

6

0

1

在庫制約

･･･ 期初の在庫

･･･ 期末の在庫

月次の生産計画モデルを基に、先物市場価格と在庫制約を加えた通期の生産計画を考える。期間は６ヶ月であるから、変数も６期分に拡張する。

通期の生産在庫モデル

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 15 -

流れを定式化し、資源の配分を決める。 ⇒ ロジスティクネットワークの基本モデル

工場 拠点 顧客ija jkb

is jc kd

ijx ijytjq

kfordy

jforqyqx

jforcyx

iforsxtosub

ybxa

kj

jk

tj

i k

tjk

tj

tij

kjjk

iij

jiij

ji kjjkjkijij

,

,

,

,.

min

1

, ,

何が知りたい？

配送拠点の作業容量配送拠点のテリトリ工場と配送拠点の対応配送拠点の在庫規模

･･･

目標は？

輸送モデル

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 16 -

Logistic Network の構成

課題 ロジスティックネットワークモデル モデルが妥当であるか 顧客と製品の集約が精度に与える影響 物流センタの数 物流センタの場所と規模 工場と倉庫の割り当て 工場への設備投資の時期と規模

配送計画地域割当

拠点配置

線形計画モデル

整数計画モデル

適化モデルを利用したシミュレーションの実施

工場供給業者

倉庫 顧客

サービスレベル

inbound outbound

安全在庫 需要の変動

と のバランス

１．顧客の集約２．製品の集約３．輸送費の見積もり４．距離の見積もり５．倉庫の費用６．倉庫スペース７．候補地８．サービスレベル９．将来の需要

モデルの構造

係数の収集

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 17 -

１．顧客の集約customer zone と representative全輸送経費の見積もりの１％以下の誤差に納まるという研究がある。２．配送原単位への集約配送パターンや製品のタイプによる分類K社は、輸送量の原単位として梱をつかう。３．輸送費の見積もり米国は、Truck Load と Less than Truck Load（混載 ）で業者団体が異なる？日本は零細業者の取り込みや大手の３PLへの進出がある。４．距離の見積もり直線距離に対する係数米国大都市圏は１．３、大陸レベルで１．１４、日本は１．４である。５．倉庫の費用運営費(handling)、固定費(fixed)、保管費(storage)在庫回転率＝年間通過量／平均在庫レベル６．倉庫スペース時間出荷量が一定であれば、必要な保管スペースは平均在庫量の２倍である。保管以外に、通路、Picking 、仕分け、搬送車両用などを考慮して係数を決める。（年間通過量／在庫回転率）×２×係数＝必要スペース７．候補地社会的、経済的制約８．サービスレベル品切れ率９．将来の需要需要予測

係数の収集

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 18 -

直接配送 クロスドッキング（ウォルマート） 配送拠点の集中と分散 小売の在庫転送 push とpull ３PL continuous replenishment vendor managed replenishment

経済的な包装と輸送 顧客が組み立てる家具 売り場で積み重ねられる商品 バルク輸送と小売包装 同時・並行処理による輸送工程の短縮 遅延差別化delayed differentiation or postponement 工程再編成 共通化 モジュール化 標準化

共通化 差別化

Push Pull

Postponement boundarypush-pull boundary

キーワードとその他の話題

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 19 -

生産方式の変遷

taskの標準化と標準時間の導入 ⇒ 職長制と出来高払い成行き管理から科学的管理へ、作業レベルの改善生産性が50倍になったという報告もある。

F.W.Taylor(ism)

標準化 ⇒ 部品の互換性単純化 ⇒ 設計専門化 ⇒ 作業の細分化 ⇒ 習熟を迅速化熟練工を不要にする。ラインレベルの改善リードタイムを２１日から４日に改善、価格を１/３に圧縮

H.Ford(ism)

マーケティングの導入Ford(ism) + 製品のラインアップ（多品種生産）事業部制による独立採算

GMの改革

平準化生産（売れるサイクルで生産する） ⇒ 日割り平準化と１個流し生産カンバン方式は、需要の不確実さが無い。多能工の育成、U字型ライン ⇒ 組織の学習を駆動するメカニズムの提起

売れるものを作るトヨタ

日本の自動車産業をベンチマークすることで構築 ＋ SCやVCの概念を導入企業グループによる効率化やスピード化への対応

リーン生産方式

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 20 -

生産計画の位置付け

製品開発サイクル（企画→開発→設計→試作）

製造販売サイクル（製造→配送→販売）

生産計画とスケジューリング

製造設計

ＭＲＰやＪＩＴは、replenishment 計画である。

終製品の需要量の計画から需要の従属性に基づいて構成部品の補充活動の計画を立てる。MRPは、期レベル（月とか週）のJITであるから、期中の在庫は減らない。MRPは離散的な需要を許すが、JITは平準化（生産量が一定化）された生産に向いている。JIT（かんばん、あんどん、１個流し）は、単純な生産計画ではない。トータルな企業活動であろう。

開発技術

生産技術

製造技術

計画技術

戦略

戦術

作戦

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 21 -

物流 在庫 需要

組立熟成

組立充填

原材料仕掛品

中間製品部品

半製品製品

倉庫卸

販社小売

購入 調達 OEM

加工 輸送

生産 配送

生産と配送の流れ

需要による在庫減少に応じた補充生産

注文生産と平準化生産に従属する補充計画

フロー プッシュ

ストック プル

予測に基づく計画生産需要の従属性による補充計画

MRP

JITプル

従来型

配送

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 22 -

MRP

在庫状況着手済み正味所要量ロット編成先行計算（着手と完了）

期別総所要量

部品展開発注（定量/定期/都度)源泉明細（pegging)

期別所要量

B/M構成部品表

需要予測受注状況在庫状況安全在庫

需給計画

共通部品は

合算処理

ローリングスケジュール

独立需要品目従属需要品目

生産計画

２００８年 （株）ミルバクラフトC

MPS

- 23 -

需要オーダ 生産オーダ 製造オーダ

購買オーダ目標予測計画受注

（製造在庫）

（部品展開と在庫）

MPS MRP CRP OK 差立てNO

Closed Loop MRP

MPS（基準生産計画：Master Production Scheduling）標準リードタイムと必要生産量

MRP（資材所要量計画：Material Requirement Planning）部品表（Bill Of Material）による部品展開と正味所要量計算タイムバケット、ロットサイズ、タイムフェンス

CRP（能力所要量計算：Capacity Requirement Planning）必要作業時間の計算と山崩し

ATP（納期回答：Available To Promise）供給量（MPS）、計画需要量、確定需要量の差を活用する。

差立て製造オーダ・購買オーダと実績報告

１

２

３S&OP MRP-Ⅱ 資金・製造・要員・購買･･･

拡張拡張

販売・業務計画

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 24 -

APS（Advanced Planning ＆ Scheduling）

MRPやAPSが普及しない理由人間系の調整を入れるタイミングが難しい。需要予測、在庫量、BOM、工順などの精度を９５％以上にする必要がある。

BOMの進化歩留り、不良率、実行部品、代替部品

工順のモデル化作業と設備

リソース管理保護バッファロットサイジング購買のモデル化Full Pegging

資材・能力の山積み計算Assembly CoordinationConstraint Anchored OptimizationAdvanced SchedulingDue Date Quote

MES

ERP販売原価購買

作業スケジュール

MRPMRPⅡ

APS

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 25 -

スケジューリング

順序制約の無いもの ⇒ 配送スケジュール 順序制約のあるもの

単一ジョブ ⇒ PERT/CPM 複数ジョブ

フローショップ（flow shop） ジョブショップ （job shop）

Johnson法（フローショップに対応する）

２工程のフローショップで総所要時間を 小にする。

ij

j

i

t

jSniJ

2,1,1, ジョブ

ショップ

所要時間

21

)min(

jj

tij

アルゴリズム

以下を割当が完了するまで続ける。

１． を選ぶ。

２． であれば、前から

であれば、後ろから

並べる。

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 26 -

平準化と目的追跡法部品や原材料が出現する割合を一定になるように製品の製造順序を決める。部品や材料の単位時間当りの使用量を一定にする。

j jij

j

ij

pa

pP

aA

}{

}{ 製品 が必要とする部品 の量j i製品 の生産量j部品 の総必要量iijai

j

jp

Pa i

製品

部品

部品 の平準化目標値i

j j

jijji p

paq

製品を 個生産した時の累積目標値を 、累積使用量を とする。k ikq kix

min)( ik

ii xkq ①

を実績とし、 番目に投入する製品のうち①を実現するものを決める。1k k

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 27 -

配送スケジュール

saving 法 挿入法

w

i jk

i j

w

ijwjiwij cccs ijjkikijk ccc

小規模なものには挿入法、大規模なものにはセービング法が優位である。（１９９７年の評価）巡回セールスマン問題の近似解法の初期解としては、セービング方が優れている。

seed 顧客をばら撒いて、挿入する。運転手や車種を考慮してseed を作る。

の小さい順に組み入れていく。ijs

構成的な方法

（１９６４）

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 28 -

route first cluster second method

⇒ optimal partitioning method巡回路上で制約を満たすすべての連続した顧客群に分割し、その費用と連続性でネットワークを構成する。ネットワーク上の 短経路上の連続顧客群が 適な顧客

分割である。（１９９８）

⇒ space filling curve method空間充填曲線上の配送先順に制約を満たすように分割する。（１９８２）

Hilbert、Sierpinsky 曲線など

cluster first route second method配送領域を積載量で分割し、領域内で巡回路を計算する。

⇒ sectorial partitioning scheme、sweep method領域を扇形に分割する。（１９７４）

⇒ circular partitioning scheme扇形に分割したあと同心円に分割する。（１９８５）

近似解を得る手法

ルートを決めるステップとクラスタを決めるステップの組合せで構成する。ルートは、巡回セールスマン問題であり、クラスタは、配送先や制約を基準に工夫する。

２００８年 （株）ミルバクラフトC

- 29 -

ik

iq

ikxQ

：顧客

：車輌

：需要量

：積載量

：顧客を車輌に割当てる

：顧客を車輌に割当てる費用

ik

1,0

,

,1.

min,

ik

iiki

kik

kiikik

x

kforQxq

iforxtosub

x

顧客

車輌

⇒ generalized assignment method車輌をばら撒いて、割当問題を解き、顧客クラスタを決める。（１９８１）

QPに提案したが･･･

⇒ location based heuristicsseed 顧客とクラスタを同時に決定するモデルである。（１９９５）

jfory

jiforx

jforyQxq

iforxtosub

y

j

ij

ji

iji

jij

ji jjjij

,1,0

,,1,0

,

,1.

min,

顧客

顧客

ijijj

ijxjyiq

Q

：顧客

：顧客

：顧客が seed に入る費用

：顧客が seed になる費用

：seed のひとつに入る

：seed になる

：需要量

：積載量

２００８年 （株）ミルバクラフトC