ORT Predavanja

1

UNIVERZITET U BEOGRADU

ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

OSNOVI RAUNARSKE TEHNIKE I

JOVAN OREVI

BEOGRAD, 2013

2

I. BULOVA ALGEBRA I.1 AKSIOME BULOVE ALGEBRE I.2 TEOREME BULOVE ALGEBRE I.3 BULOVA ALGEBRA NA SKUPU SA DVA ELEMENTA

3

I. BULOVA ALGEBRA I.1 AKSIOME BULOVE ALGEBRE

Neka su na skupu B = {a, b, c, ... } definisane unarna operacija " " i binarne operacije " + " i " "

koje se obino se nazivaju komplementiranje, sabiranje i mnoenje i to tako da za svako a B vredi a = b, gde je b B i za svako a,b B vredi a + b = c i a b = c, gde je c B.

Skup B sa operacijama " ", " + " i " " predstavlja Bulovu algebru ako operacije zadovoljavaju sledee aksiome postulate:

4


1. zakon asocijativnosti a) a + (b + c) = (a + b) + c b) a (b c) = (a b) c

2. zakon komutativnosti a) a + b = b + a b) a b = b a

3. neutralni elementi 0 i 1 a) a + 0 = 0 + a = a b) a 1 = 1 a = a

4. zakon komplementarnosti a) a + a = 1 b) a a = 0

5. zakon distributivnosti a) a (b + c) = (a b) + (a c) b) a + (b c) = (a + b) (a + c)

5


Iz aksioma Bulove algebre se vidi 1. da su sve aksiome date u obliku jednakosti Bulovih izraza i 2. da postoji simetrinost aksioma

6

I. BULOVA ALGEBRA I.1 AKSIOME BULOVE ALGEBRE 1. Bulovi izrazi

Bulovi izrazi se formiraju kombinacijom simbola koji u Bulovoj algebri oznaavaju elemente i operacije.

Usvojena je sledea konvencija o prioritetu operacija 1. najvii prioritet ima unarna operacija " ", 2. druga po prioritetu je binarna operacija " " i 3. najnii prioritet ima binarna operacija " + "

Zagrade se koriste za promenu redosleda operacija. Primer: a b + c i a (b + c)

Zagrade se ne moraju pisati kada je jasan redosled operacija. Primer: umesto )ba( + moe se pisati ba + , Znak operacije " " se moe izostaviti. Primer: umesto ba moe se pisati ab ,

7

I. BULOVA ALGEBRA I.1 AKSIOME BULOVE ALGEBRE 2. Simetrinost aksioma

Iz simetrinosti aksioma Bulove algebre proizlazi princip dualnosti.

U definiciji principa dualnosti javlja se pojam dualnog izraza.

Bulov izraz dQ je dualan izrazu Q i obrnuto izraz Q je dualan izrazu dd )Q( ukoliko je izraz dQ dobijen od izraza Q tako to je u njemu svaki simbol operacije " + " zamenjen simbolom operacije " " i obrnuto, svaki simbol konstante " 1 " zamenjen simbolom konstante " 0 " i obrnuto,

svaki simbol operacije " " zadran nepromenjen i svaki simbol elementa zadran nepromenjen.

Princip dualnosti, iji matematiki dokaz se ne daje, se definie na sledei nain: Ako je u Bulovoj algebri ,...)c,b,a(Q = ,...)c,b,a(R , gde su ,...)c,b,a(Q i

,...)c,b,a(R Bulovi izrazi, tada vredi i dualna jednakost ,...)c,b,a(Qd = ,...)c,b,a(R d , gde su dQ i dR dualni Bulovi izrazi za Q i R . Simboli a, b, c, ... i

x, y, z, ... oznaavaju proizvoljne elemente Bulove algebre.

Iz simetrinosti aksioma Bulove algebre proizlazi i mogunost dokazivanja razliitih relacija dualnom supstitucijom. Dokazivanje se vri na isti nain uz odgovarajuu zamenu nekih simbola za operacije i elemente.

8

I. BULOVA ALGEBRA I.2 TEOREME BULOVE ALGEBRE

U Bulovoj algebri vredi

1. 10 = i 01 =

2. aa =

3. a) 11a =+ b) 00a =

4. a) baba =+ b) baba +=

5. a) babaa +=+ b) ba)ba(a =+

6. a) aaa =+ b) aaa =

Ove teoreme se koriste ravnopravno sa aksiomama pri transformaciji Bulovih izraza.

Dokazi ovih teorema se daju u daljem tekstu.

9


Teorema 1. 10 = i 01 =

Kada se u aksiomi a) a + a = 1 b) a a = 0 zameni a = 0 dobija se a) 0 + 0 = 1 b) 0 0 = 0 Poto je 0 neutralni element za "+" to je jedino reenje za 0 koje zadovoljava obe relacije 10 = .

Kada se u aksiomi a) a + a = 1 b) a a = 0 zameni a = 1 dobija se a) 1 + 1 = 1 b) 1 1 = 0 Poto je 1 neutralni element za "" to je jedino reenje za 1 koje zadovoljava obe relacije 01 = .

10


Teorema 2. aa =

Kada se u aksiomi a) a + a = 1 b) a a = 0 umesto a stavi a dobija se a) a + a = 1 b) a a = 0 Kada se primeni komutativni zakon dobija se a) a + a = 1 b) a a = 0 Odavde sledi da je aa = .

11


Teorema 3. a) 11a =+ b) 00a =

a) a + 1 = (a + 1) 1 a + 1 = (a+1) (a + a ) a + 1 = a + 1 a a + 1 = a + a

a + 1 = 1 b) a 0 = a 0 + 0 a 0 = a 0 + a a a 0 = a (0 + a ) a 0 = a a a 0 = 0

12


Teorema 4. a) baba =+ b) baba += Teorema pod a) e se dokazati pomou relacije a + b + a b = 1 iz koje sledi da su a + b i a b komplementi

a + b + a b = (a + b + a ) (a + b + b ) a + b + a b = (b + 1) (a + 1) a + b + a b = 1 1 a + b + a b = 1

Teorema pod b) e se dokazati pomou relacije a b (a + b ) = 0 iz koje sledi da su a b i a + b komplementi

a b (a + b ) = a b a + a b b a b (a + b ) = b 0 + a 0 a b (a + b ) = 0 + 0 a b (a + b ) = 0

13


Teorema 5. a) babaa +=+ b) ba)ba(a =+

a) a + a b = (a + a ) (a + b) a + a b = 1 (a + b) a + a b = a + b

a) a (a + b) = a a + a b a (a + b) = 0 + a b a (a + b) = a b

14


Teorema 6. a) aaa =+ b) aaa =

a) a + a = (a + a) 1 a + a = (a + a) (a + a ) a + a = a + a a a + a = a + 0 a + a = a

b) a a = a a + 0 a a = a a + a a a a = a (a + a ) a a = a 1 a a = a

15

I. BULOVA ALGEBRA I.3 BULOVA ALGEBRA NA SKUPU SA DVA ELEMENTA

U Bulovoj algebri na skupu sa dva elementa moraju da budu elementi 0 i 1, jer predstavljaju neutralne elemente za operacije " + " i " ", respektivno.

Bulova algebra na skupu sa dva elementa se dobija tako to se na skupu {0, 1} definiu operacije " ", " + " i " " prema tablicama sa slike 1.

. 0 1

0 0 0

1 0 1

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

0 1

1 0

Slika 1 Operacije " ", " + " i " "

Skup {0, 1} sa operacijama " ", " + " i " " predstavlja Bulovu algebru ako operacije zadovoljavaju sledee aksiome-postulate

1. zakon asocijativnosti a) a + (b + c) = (a + b) + c b) a (b c) = (a b) c

2. zakon komutativnosti a) a + b = b + a b) a b = b a

3. neutralni elementi 0 i 1 a) a + 0 = 0 + a = a b) a 1 = 1 a = a

4. zakon komplementarnosti a) a + a = 1 b) a a = 0

5. zakon distributivnosti a) a (b + c) = (a b) + (a c) b) a + (b c) = (a + b) (a + c)

16


To se moe dokazati uvrtavanjem svih moguih kombinacija elemenata skupa {0, 1} u relacije koje predstavljaju aksiome Bulove algebre i izraunavanjem vrednosti saglasno datim tablicama za operacije " ", " + " i " ".

Postupak e se ilustrovati proverom jedne od relacija i to relacije a + (b + c) = (a + b) + c

za zakon asocijativnosti za operaciju " + ".

Proveru treba izvriti za 23 = 8 kombinacija vrednosti tih elemenata koristei tablicu za operaciju " + ".

17


1. Kombinacija: a = 0, b = 0, c = 0; a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0, 0 + 0 = 0 + 0, 0 = 0; 2. Kombinacija: a = 0, b = 0, c = 1; a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + (0 + 1) = (0 + 0) + 1, 0 + 1 = 0 + 1, 1 = 1; 3. Kombinacija: a = 0, b = 1, c = 0; a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + (1 + 0) = (0 + 1) + 0, 0 + 1 = 1 + 0, 1 = 1; 4. Kombinacija: a = 0, b = 1, c = 1; a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + (1 + 1) = (0 + 1) + 1, 0 + 1 = 1 + 0, 1 = 1; 5. Kombinacija: a = 1, b = 0, c = 0; a + (b + c) = (a + b) + c, 1 + (0 + 0) = (1 + 0) + 0, 1 + 0 = 1 + 0, 1 = 1; 6. Kombinacija: a = 1, b = 0, c = 1; a + (b + c) = (a + b) + c, 1 + (0 + 1) = (1 + 0) + 1, 1 + 1 = 1 + 1, 1 = 1; 7. Kombinacija: a = 1, b = 1, c = 0; a + (b + c) = (a + b) + c, 1 + (1 + 0) = (1 + 1) + 0, 1 + 1 = 1 + 0, 1 = 1; 8. Kombinacija: a = 1, b = 1, c = 1; a + (b + c) = (a + b) + c, 1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1, 1 + 1 = 1 + 1, 1 = 1;

18


Ovim je dokazano da zakon asocijativnosti vredi za operaciju " + " definisanu tablicom sa slike 1.

Na isti nain bi se moglo dokazati da i ostale realicije koje se pojavljuju u aksiomama Bulove algebre vrede za operacije " ", " + " i " " definisane tablicama sa slike 1.

Ovaj nain dokazivanja se naziva metoda iscrpljivanja svih moguih sluajeva ili perfektna indukcija.

Bulova algebra na skupu od dva elementa se esto naziva prekidaka algebra. Naziv dolazi od praktine primene Bulove algebre na skupu od dva elementa za predstavljanje prekidakih funkcija koje se koriste pri projektovanju prekidakih mrea.

Za operacije " ", " + " i " " se u prekidakoj algebri esto koriste i nazivi negacija, disjunkcija i konjukcija, respektivno.

1

II. PREKIDAKE FUNKCIJE II.1 OSNOVNI POJMOVI II.2 PREDSTAVLJANJE PREKIDAKIH FUNKCIJA BULOVIM

IZRAZIMA II.2.1 PROIZVODI I SUME II.2.2 DISJUNKTIVNE I KONJUKTIVNE NORMALNE FORME II.2.3 PREKIDAKE FUNKCIJE JEDNE I DVE PROMENLJIVE

II.3 PREDSTAVLJANJE NORMALNIH FORMI POMOU KUBOVA

2

II. PREKIDAKE FUNKCIJE II.1 OSNOVNI POJMOVI

Prekidakim ili logikim funkcijama se nazivaju preslikavanja { } { }1,01,0 n .

Elementi skupa { }n1,0 su ureene n-torke (x1, x2, ..., xn) u kojima x1, x2, ..., xn uzimaju vrednosti iz skupa { }1,0 . Pri tome ureene n-torke (x1, x2, ..., xn) se nazivaju vektori, a x1, x2, ..., xn se nazivaju koordinate.

Svaki vektor iz skupa { }n1,0 se moe jednostavnije predstavljati pomoi indeksa vektora do koga se u decimalnom sistemu dolazi na sledei nain: 1. vektor (x1, x2, ..., xn) se uproeno pie x1 x2 ... xn; 2. uproeno napisan vektor x1 x2 ... xn se interpretira kao binarni broj i; 3. binarni broj i pridruen vektoru (x1, x2, ..., xn) se naziva indeks vektora; 4. indeks vektora se u decimalnom sistemu izraunava po formuli

i = jnn

1jj 2x

=

,

gde je xj { }1,0 , a suma oznaava obino sabiranje.

Primeri odreivanja indeksa vektora: 1. za vektor (0, 0, 0, 1, 0), koji se pie i kao 00010, indeks je i = 2; 2. za vektor (0, 1, 1, 0, 0, 1), koji se pie i kao 011001, indeks je i = 25;

Broj vektora u skupu { }n1,0 je 2n.

Za oznaavanje prekidakih funkcija koriste se uobiajene oznake koje se koriste i za funkcije realne promenljive.

Primeri: f(x1, x2, ..., xn), g(x1, x2, ..., xn) itd.

3


Prekidake funkcije imaju konanu oblast definisanosti i mogu se predstavljati tablicama koje se nazivaju kombinacione tablice ili tablice istinitosti.

Tablica sa slike 1 predstavlja najjednostavniji oblik kombinacione tablice.

i x1 x2 ... xn f(i) 0 0 0 ... 0 f(0) 1 0 0 ... 1 f(1) . . . ... . .

. . . ... . .

. . . ... . .

2n-1 1 1 ... 1 f(2n-1) Slika 1 Kombinaciona tablica

Kombinaciona tablica sa slike 1 sadri tri kolone: 1. prva kolona sadre indekse vektora 2. druga kolona sadri vektore 3. trea kolona sadri vrednosti funkcije na odgovarajuim vektorima

Napomena: Prekidaka funkcija je potpuno odreena 1. prvom i treom kolonom ili 2. drugom i treom kolonom,

ali se veoma esto u kombinacionu tablicu stavlja i prva kolona sa indeksima vektora i druga kolona sa vektorima.

Prekidaka funkcija kod koje je vrednost definisana na svakom vektoru iz skupa { }n1,0 , naziva se potpuno definisana prekidaka funkcija.

Nepotpuno ili delimino definisana prekidaka funkcija je ona funkcija kojoj nisu definisane vrednosti na svim vektorima iz skupa { }n1,0 .

Da bi se u kombinacionoj tablici naznailo da vrednost prekidake funkcije na nekom vektoru nije definisana, simbol " b " se upisuje u odgovarajuu eliju kolone f(i).

4


Prekidaka funkcija se moe predstaviti i skupovima indeksa koji odgovaraju vektorima na kojima funkcija ima vrednost 1, na kojima funkcija ima vrednost 0 i na kojima vrednost funkcije nije definisana i koji se oznaavaju sa f(1), f(0) i f(b), respektivno.

Potpuno definisana prekidaka funkcija se zadaje skupovima f(1) i f(0), dok se nepotpuno definisana prekidaka funkcija zadaje skupovima f(1), f(0) i f(b).

Potpuno definisana prekidake funkcija se moe zadati i samo jednim od dva skupa f(1) i f(0), jer je f(1) f(0) = { }n1,0 , dok se nepotpuno definisana prekidaka funkcija moe zadati i samo sa dva od tri skupa f(1), f(0) i f(b) jer je f(1) f(0) f(b) = { }n1,0 .

5


Primer II.1.1. Prekidaku funkciju f(x1, x2, x3), koja je zadata skupovima indeksa f(1) = {0, 4, 7) i f(b) = {1, 5), predstaviti kombinacionom tablicom.

Reenje: Kombinaciona tablica date funkcije je data na slici 2.

i x1 x2 x3 f(i) 0 0 0 0 1 1 0 0 1 b 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 b 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1

Slika 2 Kombinaciona tablica za primer II.1.1.

6


Veliine koje dobijaju samo dve vrednosti nazivaju se binarnim veliinama. Zato se za prekidake funkcije kae da su to binarne funkcije koje zavise od binarnih promenljivih.

Prekidake funkcije se mogu uvrtavati umesto nezavisno promenljivih u druge prekidake funkcije. Takvo uvrtavanje se naziva superpozicija prekidakih funkcija.

Kombinacione tablice nisu pogodan nain predstavljanja prekidakih funkcija veeg broja promenljivih.

Zato se neki drugi naini predstavljanja prekidakih funkcija razmatraju u sledeim poglavljima.

7

II. PREKIDAKE FUNKCIJE II.2 PREDSTAVLJANJE PREKIDAKIH FUNKCIJA BULOVIM

IZRAZIMA II.2.1 PROIZVODI I SUME II.2.2 DISJUNKTIVNE I KONJUKTIVNE NORMALNE FORME II.2.3 PREKIDAKE FUNKCIJE JEDNE I DVE PROMENLJIVE

8


IZRAZIMA II.2.1 PROIZVODI I SUME

Svaki Bulov izraz predstavlja prekidaku funkciju ako se simboli elemenata posmatraju kao nezavisne promenljive koje dobijaju vrednosti iz skupa {0,1}.

Da bi se dokazalo da vredi i obrnuto i da se svaka prekidaka funkcija moe predstaviti nekim Bulovim izrazom, analiziraju se, najpre, osobine jednostavnih Bulovih izraza koji se nazivaju proizvodi i sume.

Oznaimo sa x~ i nazovimo slovom promenljivu x i njenu negaciju x , tako da je xx~ = ili xx~ = .

Posmatrajmo najpre izraze

k21 jjj x~

...x~x~ i k21 jjj x

~

...x~x~ +++

gde su j1, j2, ..., jk po parovima razliiti brojevi iz skupa {1, 2, ..., n}. 1. Izraz

k21 jjj x~

...x~x~ nazivaemo elementarnim proizvodom. 2. Izraz

k21 jjj x~

...x~x~ +++ nazivaemo elementarnom sumom. Promenljiva x se moe pojaviti u elementarnom proizvodu i elementarnoj sumi najvie jedanput i to bez negacije i sa negacijom.

Definicija ukljuuje i sluaj k = 1. Tada elementarni proizvod ili suma ima samo jedno slovo i to nezavisno promenljivu ili njenu negaciju.

Konstanta jedinica se smatra elementarnim proizvodom, a konstanta nula elementarnom sumom.

Primeri: 1. elementarni proizvod: 1, 1x , 2x , 21xx , 5321 xxxx 2. elementarna suma: 0, 1x , 3x , 31 xx + , 5421 xxxx +++

Broj r = n k naziva se rang elementarnog proizvoda ili elementarne sume. Rang pokazuje koliko se promenljivih iz posmatranog skupa ne pojavljuje u elementarnom prouzvodu ili elementarnoj sumi.

9



Elementarni proizvod i elementarna suma ranga 0 u koje ulaze sve promenljive i piu se

n21 jjj x~

...x~x~ i n21 jjj x

~

...x~x~ +++ , nazivaju se potpuni proizvod i potpuna suma.

Potpuni proizvod n21 jjj x

~

...x~x~ ima vrednost 1 samo na jednom vektoru iz skupa { }n1,0 . To je vektor (a1, a2, ..., an) u kojem je aj = 1 ako je xx~ = i aj = 0 ako je

xx~ = . Na svim ostalim vektorima n21 jjj x

~

...x~x~ ima vrednost 0. Primer: Potpuni proizvod 4321 xxxx ima vrednost 1 samo na vektoru (0, 1,

0, 1).

Potpuna suma n21 jjj x

~

...x~x~ +++ ima vrednost 0 samo na jednom vektoru iz skupa { }n1,0 . To je vektor (a1, a2, ..., an) u kojem je aj = 0 ako je xx~ = i aj = 1 ako je xx~ = . Na svim ostalim vektorima

n21 jjj x~

...x~x~ +++ ima vrednost 1. Primer: Potpuna suma 4321 xxxx +++ ima vrednost 0 samo na vektoru (1,

0, 1, 0).

Svakom vektoru iz skupa { }n1,0 odgovara samo jedan potpuni proizvod i samo jedna potpuna suma, pa je ukupan broj potpunih proizvoda 2n i ukupan broj potpunih suma 2n.

Potpuni proizvodi i potpune sume se mogu numerisati na isti nain kao i vektori iz skupa { }n1,0 za koje se formiraju.

Primer: Potpuni proizvod 4321 xxxx , formiran za vektor (0, 1, 0, 1) iji je indeks 5, se oznaava kao P5. Potpuna suma 4321 xxxx +++ , formirana za vektor (1, 0, 1, 0) iji je indeks 10, se oznaava kao S10.

10



Neka je p = k21 jjj x

~

...x~x~ jedan od elementarnih proizvoda u kojima se od n promenljivih pojavljuje k promenljivih, pa je njegov rang r = n k.

Neka se sa promenljivom xi, koja predstavlja jednu od promenljivih koja se ne pojavljuje u elementarnom proizvodu p, izvri sledea transformacija iiii xppx)xx(p1pp +=+== Ova transformacija se naziva razvijanje elementarnog proizvoda. Ako se razvijanje produi i realizuje i po promenljivoj xj, koja se, takoe, ne pojavljuje u elementarnom proizvodu p, dobija se: )xx()xppx(1)xppx(1pxppxp jjiiiiii ++=+==+= jijijijijjiiii xxpxxpxpxxpx)xx()xppx(xppxp +++=++=+= Ako se razvijanje elementarnog proizvoda p nastavi po svim promenljivima koje se ne pojavljuju u njemu, dobija se suma od 2r potpunih proizvoda, gde je r rang elementarnog proizvoda p. Ovih 2r potpunih proizvoda imaju k jednakih slova, i to

k21 jjj x~

...x~x~ , a razlikuju se u preostalih r = n k slova, koja predstavljaju 2r potpunih proizvoda formiranih od slova koja se ne pojavljuju u elementarnom proizvodu p.

11



Odavde se uoava sledee praktino pravilo za razvijanje elementarnog proizvoda od k promenljivih po svih r = n k promenljivih koje se u njemu ne pojavljuju:

1. najpre treba formirati 2r potpunih proizvoda od r = n k promenljivih koje se ne pojavljuju u elementarnom proizvodu p,

2. zatim treba svaki tako formirani potpuni proizvod pomnoiti elementarnim proizvodom p i

3. na kraju treba tako formiranih 2r potpunih proizvoda od n promenljivih sabrati.

Primer: Ako se elementarni proizvod 42xx u kome se javljaju samo dve promenljive posmatra kao funkcija etiri promenljive, onda se njegovo razvijanje po r = 4 2 promenljivih x1 i x3 koje se u njemu ne javljaju moe realizovati na sledei nain:

1. najpre se formira 2r = 22 = 4 potpuna proizvoda 31xx , 31xx , 31xx i 31xx , 2. zatim se svaki od njih mnoi sa 42xx i 3. na kraju se formirani potpuni proizvode etiri promenljive 4321 xxxx ,

4321 xxxx , 4321 xxxx i 4321 xxxx sabiraju , ime se dobija da je 42xx = 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx

Zakljuak: Elementarni proizvod ranga r ima vrednost 1 na 2r vektora iz skupa {0,1}n. Ti vektori pripadaju elementarnom proizvodu i imaju k = n r jednakih koordinata.

12



Neka je s = k21 jjj x

~

...x~x~ +++ jedna od elementarnih suma u kojoj se od n promenljivih pojavljuje k promenljivih, pa je njen rang r = n k.

Neka se sa promenljivom xi, koja predstavlja jednu od promenljivih koja se ne pojavljuje u elementarnoj sumi s, izvri sledea transformacija )xs)(xs(xxs0ss iiii ++=+=+= Ova transformacija se naziva razvijanje elementarne sume. Ako se razvijanje produi i realizuje i po promenljivoj xj, koja se, takoe, ne pojavljuje u elementarnoj sumi s, dobija se: =+++=+++= jjiiii xx)xs)(xs(0)xs)(xs(s

=++++++= )x)xs)(xs)((x)xs)(xs((s jiijii )xxs)(xxs)((xxs)(xxs((s jijijiji ++++++++= Ako se razvijanje elementarne sume s nastavi po svim promenljivima koje se ne pojavljuju u njoj, dobija se proizvod od 2r potpunih suma, gde je r rang elementarne sume s. Ovih 2r potpunih suma imaju k jednakih slova, i to

k21 jjj x~

...x~x~ +++ , a razlikuju se u preostalih r = n k slova, koja predstavljaju 2r potpunih suma formiranih od slova koja se ne pojavljuju u elementarnoj sumi s.

13



Odavde se uoava sledee praktino pravilo za razvijanje elementarne sume od k promenljivih po svih r = n k promenljivih koje se u njoj ne pojavljuju:

1. najpre treba formirati 2r potpunih suma od r = n k promenljivih koje se ne pojavljuju u elementarnoj sumi s,

2. zatim treba svaku tako formiranu potpunu sumu sabrati sa elementarnom sumom s i

3. na kraju treba tako formiranih 2r potpunih suma od n promenljivih pomnoiti.

Primer: Ako se elementarna suma 31 xx + , u kojoj se javljaju samo dve promenljive, posmatra kao funkcija etiri promenljive, onda se njeno razvijanje po r = 4 2 promenljivih x2 i x4 koje se u njoj ne javljaju moe realizovati na sledei nain:

1. najpre se formira 2r = 22 = 4 potpunih suma 42 xx + , 42 xx + , 42 xx + i 42 xx + ,

2. zatim se svaka od njih sabira sa 31 xx + i 3. na kraju se formirane potpune sume etiri promenljive 4321 xxxx +++ ,

4321 xxxx +++ , 4321 xxxx +++ i 4321 xxxx +++ mnoe , ime se dobija da je

31 xx + = )xxxx( 4321 +++ )xxxx( 4321 +++ )xxxx( 4321 +++ )xxxx( 4321 +++

Zakljuak: Elementarni suma ranga r ima vrednost 0 na 2r vektora iz skupa {0,1}n. Ti vektori pripadaju elementarnoj sumi i imaju k = n r jednakih koordinata.

14



Transformisanje sume od 2r potpunih proizvoda u elementarni proizvod ranga r je procedura inverzna razvijanju. Meutim, ne moe se svaka suma od 2r potpunih proizvoda transformisati u elementarni proizvod ranga r. Ovo transformisanje je mogue samo ukoliko 2r potpunih proizvoda ima k = n r zajednikih slova.

Isto vai i za transformisanje proizvoda od 2r potpunih suma u elementarnu sumu ranga r.

15


IZRAZIMA II.2.2 DISJUNKTIVNE I KONJUKTIVNE NORMALNE FORME

Suma elementarnih proizvoda p1 + p2 + ... + pm, gde je pi = k21 jjj x~...x~x~ , naziva se disjunktivna normalna forma (DNF).

Proizvod elementarnih suma s1s2 ... sm, gde je si = k21 jjj x~...x~x~ +++ , naziva se konjuktivna normalna forma (KNF).

DNF u kojoj su svi elementarni proizvode potpuni proizvodi, naziva se savrena DNF (SDNF).

KNF u kojoj su svi elementarne sume potpune sume, naziva se savrena KNF (SKNF).

SDNF i DNF predstavljaju Bulove izraze prekidakih funkcija. Svaki potpuni proizvod koji se pojavljuje u SDNF daje vrednost 1 na vektoru za koji je formiran. Koliko ima potpunih proizvoda u SDNF na toliko vektora prekidaka funkcija ima vrednost 1. Na svim ostalim vektorima prekidaka funkcija ima vrednost 0. Svaki elementarni proizvod koji se pojavljuje u DNF daje vrednost 1 na 2r vektora, pri emu je r rang datog elementarnog proizvoda. Na svim ostalim vektorima prekidaka funkcija ima vrednost 0.

SKNF i KNF predstavljaju Bulove izraze prekidakih funkcija. Svaka potpuna suma koja se pojavljuje u SKNF daje vrednost 0 na vektoru za koji je formirana. Koliko ima potpunih suma u SKNF na toliko vektora prekidaka funkcija ima vrednost 0. Na svim ostalim vektorima prekidaka funkcija ima vrednost 1. Svaka elementarna suma koja se pojavljuje u KNF daje vrednost 0 na 2r vektora, pri emu je r rang date elementarne suma. Na svim ostalim vektorima prekidaka funkcija ima vrednost 1.

Videemo da ukoliko je neka prekidaka funkcija data skupovima indeksa vektora na kojima prekidaka funkcija ima vrednost 1 i 0, data prekidaka funkcija moe da se predstavi u obliku SDNF i SKNF.

16



Teorema 2.2.1. Svaka prekidaka funkcija f(x1, x2, ..., xn), izuzev konstante nula, moe se na jedinstven nain napisati u obliku f(x1, x2, ..., xn) =

m21 iiiP...PP +++ ,

gde su 1i

P , 2i

P , ..., mi

P potpuni proizvodi koji odgovaraju vektorima na kojima funkcija ima vrednost 1, koji predstavlja SDNF.

Dokaz. U skupu {0,1}n uoimo proizvoljan vektor. 1. Ako je vrednosti funkcije na uoenom vektoru 1, onda se potpuni proizvod koji odgovara tom vektoru mora nalaziti na desnoj strani relacije. Iz osobina potpunog proizvoda i pravila Bulove algebre proizlazi da desna strana relacije ima u ovom sluaju vrednost 1.

2. Ako je vrednosti funkcije na uoenom vektoru 0, onda svi potpuni proizvodi na desnoj strani relacije imaju na tom vektoru vrednost 0. Zbog toga proizlazi da desna strana relacije ima u ovom sluaju vrednost 0.

3. Budui da je vektor proizvoljno izabran, zakljuujemo da je desna strana relacije jednaka levoj za sve vektore iz skupa {0,1}n. 4. Konstanta nula ima vrednost 0 na svim vektorima iz skupa{0,1}n, pa se ne moe napisati u obliku SDNF.

17



Teorema 2.2.2. Svaka prekidaka funkcija f(x1, x2, ..., xn), izuzev konstante jedinica, moe se na jedinstven nain napisati u obliku f(x1, x2, ..., xn) =

m21 iiiS...SS ,

gde su 1i

S , 2i

S , ..., mi

S potpune sume koje odgovaraju vektorima na kojima funkcija ima vrednost 0, koji predstavlja SKNF.

Dokaz. U skupu {0,1}n uoimo proizvoljan vektor. 1. Ako je vrednosti funkcije na uoenom vektoru 0, onda se potpuna suma koja odgovara tom vektoru mora nalaziti na desnoj strani relacije. Iz osobina potpunog proizvoda i pravila Bulove algebre proizlazi da desna strana relacije ima u ovom sluaju vrednost 0.

2. Ako je vrednosti funkcije na uoenom vektoru 1, onda sve potpune sume na desnoj strani relacije imaju na tom vektoru vrednost 1. Zbog toga proizlazi da desna strana relacije ima u ovom sluaju vrednost 1.

3. Budui da je vektor proizvoljno izabran, zakljuujemo da je desna strana relacije jednaka levoj za sve vektore iz skupa {0,1}n. 4. Konstanta jedinica ima vrednost 1 na svim vektorima iz skupa{0,1}n, pa se ne moe napisati u obliku SKNF.

18



Ovim se dolo do analitike forme predstavljanja prekidakih funkcija u obliku SDNF i SKNF.

Ako se za svaki vektor na kome prekidaka funkcija ima vrednost 1 napie potpuni proizvod, pa se zatim ti potpuni proizvodi poveu znacima disjunkcije, dobija se SDNF posmatrane funkcije.

Ako se za svaki vektor na kome prekidaka funkcija ima vrednost 0 napie potpuna suma, pa se zatim te potpune sume poveu znacima konjunkcije, dobija se SKNF posmatrane funkcije.

Primer 2.2.1. Prekidaku funkciju f(x1, x2, x3) zadatu skupom indeksa f(1) = {2, 4, 5, 7} napisati u obliku SDNF i SKNF.

Reenje: SDNF zadate funkcije se dobija na sledei nain: 1. Funkcija ima vrednost 1 na vektorima sa indeksima 2 = 010, 4 = 100, 5 = 101 i 7 = 111. 2. Potpuni proizvodi koji odgovaraju ovim vektorima su:

P2 = 321 xxx , P4 = 321 xxx , P5 = 321 xxx , P7 = 321 xxx , 3. SDNF zadate funkcije je:

f(x1, x2, x3) = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx

SKNF zadate funkcije se dobija na sledei nain: 1. Funkcija ima vrednost 0 na vektorima sa indeksima 0 = 000, 1 = 001, 3 = 011 i 6 = 110. 2. Potpune sume koje odgovaraju ovim vektorima su:

S0 = 321 xxx ++ , S1 = 321 xxx ++ , S3 = 321 xxx ++ , S6 = 321 xxx ++ , 3. SKNF zadate funkcije je:

f(x1, x2, x3) = ( 321 xxx ++ ) ( 321 xxx ++ ) ( 321 xxx ++ ) ( 321 xxx ++ )

19



Prekidaka funkcija se moe predstaviti i u obliku dve savrene normalne forme i to SDNF i SKNF. U optem sluaju se transformacijama moe doi od jedne do druge normalne forme, ali je ovaj put po pravilu veoma dug. Mnogo je jednostavnije na osnovu zadate savrene normalne forme odrediti skupove f(1) i f(0), pa napisati drugu savrenu normalnu formu na prethodno opisani nain.

Primer 2.2.2. Napisati SKNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3) = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx

Reenje: SKNF zadate funkcije se dobija na sledei nain: 1. Prekidaka funkcija je data u obliku SDNF, pa se utvruje da je f(1) = {0,

3, 4, 6} i f(0) = {1, 2, 5, 7} 2. Funkcija ima vrednost 0 na vektorima sa indeksima 1 = 001, 2 = 010, 5 = 101 i 7 = 111. 3. Potpune sume koje odgovaraju ovim vektorima su:

S1 = 321 xxx ++ , S2 = 321 xxx ++ , S5 = 321 xxx ++ , S7 = 321 xxx ++ , 4. SKNF zadate funkcije je:

f(x1, x2, x3) = )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++

20



DNF i KNF predstavljaju Bulove izraze nekih prekidakih funkcija. Poto se svaka prekidaka funkcija moe predstaviti u obliku SDNF i SKNF, pokazaemo kako se DNF transformie u SDNF i KNF u SKNF.

Transformisanje DNF u SDNF se zasniva na razvijanju svih elementarnih proizvoda u zadatoj DNF do potpunih proizvoda i eliminaciji suvinih lanova. Transformisanje KNF u SKNF se zasniva na razvijanju svih elementarnih suma u zadatoj DNF do potpunih suma i eliminaciji suvinih lanova.

Primer 2.2.3.a. DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3) = 1x + 32xx + 321 xxx

transformisati u SDNF. Reenje: Transformisanje DNF u SDNF f(x1, x2, x3) = 1x + 32xx + 321 xxx =

= 1x )xx( 22 + )xx( 33 + + 32xx )xx( 11 + + 321 xxx = = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx =

= 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx

Napomena: 1. Potpuni proizvod 321 xxx je sadran i u elementarnom proizvodu 1x i u

elementarnom proizvodu 32xx , pa se javlja dva puta. Jedan od dva potpuna proizvoda 321 xxx je suvian, pa se eliminie iz konanog izraza za SDNF.

2. Do SDNF se moglo doi i na drugi nain. Od elementarnog proizvoda 1x je trebalo formirati etiri potpuna proizvoda 321 xxx , 321 xxx , 321 xxx i 321 xxx , a od

32xx je trebalo formirati dva potpuna proizvoda 321 xxx i 321 xxx i njih zajedno sa potpunim proizvodom 321 xxx iz DNF povezati znakom disjunkcije.

21



Primer 2.2.3.b. KNF prekidake funkcije g(x1, x2, x3) = 2x )xx( 31 + )xxx( 321 ++

transformisati u SKNF, Reenje: Transformisanje KNF u SKNF g(x1, x2, x3) = 2x )xx( 31 + )xxx( 321 ++ =

= )xxxxx( 33112 ++ )xxxx( 2231 ++ )xxx( 321 ++ = = )xx)xx)(xx(( 331212 +++ ))xxx)(xxx(( 231231 ++++ )xxx( 321 ++ = = )x)xx)(xx)((x)xx)(xx(( 3121231212 ++++++

)xxx)(xxx( 321321 ++++ )xxx( 321 ++ = = )xxx)(xxx)(xxx)(xxx( 312312312312 ++++++++



)xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ Napomena: 1. Potpuna suma )xxx( 321 ++ je sadrana i u elementarnoj sumi 2x i u

elementarnoj sumi )xx( 31 + , pa se javlja dva puta. Jedna od dve potpune sume )xxx( 321 ++ je suvina, pa se eliminie iz konanog izraza za SKNF.

2. Do SKNF se moglo doi i na drugi nain. Od elementarne sume 2x je trebalo formirati etiri potpune sume )xxx( 321 ++ , )xxx( 321 ++ , )xxx( 321 ++ i )xxx( 321 ++ , a od elementarne sume )xx( 31 + je trebalo formirati dve potpune sume )xxx( 321 ++ i )xxx( 321 ++ i njih zajedno sa potpunom sumom

)xxx( 321 ++ iz KNF povezati znakom konjukcije.

22



Svaka prekidaka funkcija se moe predstaviti u obliku SDNF i SKNF. Meutim u optem sluaju SDNF se moe transformisati u DNF, a SKNF u KNF.

Do DNF se dolazi uproavanjem SDNF.

Primer 2.2.4. Nai neke jednostavnije DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3) = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx

Reenje: Saimanjem potpunih proizvoda 321 xxx i 321 xxx po x1 i potpunih proizvoda

321 xxx i 321 xxx po x2, dobija se: f(x1, x2, x3) = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx = = )xx(xx 1132 + + )xx(xx 2231 + = 32xx + 31xx

Meutim, ako se izvri saimanje 321 xxx i 321 xxx po x3, dobija se: f(x1, x2, x3) = 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx + 321 xxx =

= 321 xxx + )xx(xx 3321 + + 321 xxx = 321 xxx + 21xx + 321 xxx

Iz ovog primera se vidi da je potreban formalan postupak kojim se od SDNF dolazi do minimalne DNF.

23



Do KNF se dolazi uproavanjem SKNF.

Primer 2.2.5. Nai neke jednostavnije KNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3) = )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++

Reenje: Saimanjem potpunih suma )xxx( 321 ++ i )xxx( 321 ++ po x1 i potpunih suma )xxx( 321 ++ i )xxx( 321 ++ po x2, dobija se:

f(x1, x2, x3) = )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ = = )xxxx( 3211 ++ )xxxx( 2231 ++ = )xx( 32 + )xx( 31 +

Meutim, ako se izvri saimanje )xxx( 321 ++ i )xxx( 321 ++ po x3, dobija se: f(x1, x2, x3) = )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 321 ++ =

= )xxx( 321 ++ )xxxx( 3321 ++ )xxx( 321 ++ = = )xxx( 321 ++ )xx( 21 + )xxx( 321 ++

Iz ovog primera se da je potreban formalan postupak kojim se od SKNF dolazi do minimalne KNF.

24



Postoje Bulovi izrazi prekidakih funkcija koji nisu u obliku neke od normalnih formi. Takav izraz se moe uvek prevesti u neku normalnu formu korienjem raznih transformacionih relacija Bulove algebre.

Primer 2.2.6. Bulov izraz prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) = ))xxx(xxx)(xx( 42143321 +++

transformisati u neku DNF i neku KNF. Reenje: Transformacija u DNF.

f(x1, x2, x3, x4) = ))xxx(xxx)(xx( 42143321 +++ = = )xxxxxx)(xx( 42143321 ++ = ))xx(xxxx)(xx( 42143321 +++ = = )xxxxxxxxx)(xx( 41432143321 +++ = )xxxxxxxx)(xx( 4314321321 +++ = = ))1x(xxxx)(xx( 2431321 +++ = )xxxx)(xx( 431321 ++ = = )xxxxxxxxxxxx( 432132431131 +++ = )xxxxxxxx( 43213231 ++

Transformacija u KNF. f(x1, x2, x3, x4) = ))xxx(xxx)(xx( 42143321 +++ =

= ))xxx(x)(xxx)(xx( 421343321 ++++ = = )xxxx)(xx)(xx)(xx( 4213433321 ++++ = = ))xx(xx)(xx)(xx)(xx( 4213433321 +++++ = = ))xx(x)(xx)(xx)(xx( 423134321 +++++ = = )xxx)(xx)(xx)(xx( 432314321 +++++

25


IZRAZIMA II.2.3 PREKIDAKE FUNKCIJE JEDNE I DVE PROMENLJIVE

Operacije negacije, disjunkcije i konjukcije, kojima je definisana Bulova algebra na skupu sa dva elementa, predstavljaju prekidake funkcije jedne i dve promenljive. Negacija je prekidake funkcija jedne promenljive, a disjunkcija i konjukcija su prekidake funkcije dve promenljive.

Skup prekidakih funkcija pomou kojih se superpozicijom moe napisati bilo koja prekidaka funkcija, naziva se bazis. Mada se bazisi mogu obrazovati i od prekidakih funkcija sa vie promenljivih, praktian znaaj imaju samo bazisi koje obrazuju prekidake funkcije sa najvie dve promenljive. Stoga se dalje razmatraju prekidake funkcije jedne promenljive (slika 3) i dve promenljive (slika 4).

x 0 1 Naziv funkcije Oznaka Bulov izraz f0 0 0 Konstanta nula 0 f0 = 0 f1 0 1 Promenljiva x x f1 = x f2 1 0 Negacija x x f2 = x f3 1 1 Konstanta jedinica 1 f3 = 1

Slika 3 Prekidake funkcije jedne promenljive

26



x1 0 0 1 1 Naziv funkcije Oznaka Bulov izraz x2 0 1 0 1 f0 0 0 0 0 Konstanta nula 0 f0 = 0

f1

0 0 0 1 Konjukcija, Logiki proizvod I funkcija

x1x2

f1 = x1 x2

f2 0 0 1 0 Zabrana po x2 x1 x2 f2 = x1 2x f3 0 0 1 1 Promenljiva x1 x1 f3 = x1 f4 0 1 0 0 Zabrana po x1 x2 x1 f4 = 1x x2 f5 0 1 0 1 Promenljiva x2 x2 f5 = x2

f6 0 1 1 0 Suma po modulu 2 Logika nejednakost Ekskluzivno ILI

x1 x2 f6 = 1x x2+x1 2x

f7

0 1 1 1 Disjunkcija, Logika suma ILI funkcija

x1+ x2

f7 = x1 + x2

f8 1 0 0 0 Pierce-ova strelica NILI funkcija x1 x2 f0 = 21 xx +

f9 1 0 0 1 Logika jednakost Ekskluzivno NILI

x1 x2 f9 = 2121 xxxx +

f10 1 0 1 0 Negacija x2 2x f10 = 2x f11 1 0 1 1 Implikacija od x2 ka x1 x2 x1 f11 = x1 + 2x f12 1 1 0 0 Negacija x1 1x f12 = 1x f13 1 1 0 1 Implikacija od x1 ka x2 x1 x2 f13 = 1x + x2 f14 1 1 1 0

Sheffer-ova crtica NI funkcija x1 x2 f14 = 21xx

f15 1 1 1 1 Konstanta jedinica 1 f15 = 1

Slika 4 Prekidake funkcije dve promenljive

27



Prve dve kolone tablica predstavljaju kombinacione tablice prekidakih funkcija jedne i dve promenljive. U njima su dati ulazni vektori i vrednosti funkcija za svaki od tih vektora. U sluaju prekidake funkcije jedne promenljive ulazni signal je x. Zbog toga su ulazni vektori 0 i 1, a njihovi indeksi 0 i 1. U sluaju prekidake funkcije dve promenljive ulazni signali su x1 i x2. Zbog toga su ulazni vektori 00, 01, 10 i 11, a njihovi indeksi 0, 1, 2 i 3. Prekidakim funkcijama jedne promenljive f0 do f3 dodeljeni su indeksi 0 do 3 tako to se ureeni niz vrednosti funkcije za ulazne vektore sa indeksima 0 i 1 posmatra kao binarni broj. Prekidakim funkcijama dve promenljive f0 do f15 dodeljeni su indeksi 0 do 15 tako to se ureeni niz vrednosti funkcije za ulazne vektore sa indeksima 0 do 3 posmatra kao binarni broj.

U treoj, etvrtoj i petoj koloni su dati nazivi funkcija, oznake i Bulovi izrazi.

Prekidake funkcije u drugoj polovini obe tablice su komplementi prekidakih funkcija iz prve polovine tih tablica.

Od etiri prekidake funkcije jedne promenljive, dve zavise od te promenljive, a dve su konstante nula i jedinica.

Od 16 prekidakih funkcija dve promenljive, 10 zavise od obe promenljive, etiri zavise od jedne promenljive, a dve su konstante nula i jedinica.

28

II. PREKIDAKE FUNKCIJE II.3 PREDSTAVLJANJE NORMALNIH FORMI POMOU KUBOVA

Ureena n-torka a1a2 ... an naziva se kub. Elementi a1, a2, ..., an predstavljaju koordinate kuba. Koordinate kuba uzimaju vrednosti iz skupa {0, 1, X}. Simbol "X" oznaava koordinatu koja moe da dobije proizvoljnu vrednost iz skupa {0, 1}. Broj koordinata sa vrednou "X" naziva se rang kuba. Kub ranga r predstavlja skup od 2r vektora koji imaju k=nr jednakih koordinata. Za te vektore se kae da propadaju kubu.

Primer: Dat je kub 0X1X1. Kod ovog kuba broj koordinata je n = 5, a rang je r = 2. Stoga ovaj kub

predstavlja skup od 2r = 22 = 4 vektora koji imaju k = n-r = 5-2 = 3 zajednike koordinate, a razlikuju se u vrednostima r = 2 koordinate. To su vektori: 00101, 00111, 01101 i 01111.

Na osnovu definicije kuba mogue je uspostaviti korespondenciju izmeu kubova i elementarnih proizvoda i izmeu kubova i elementarnih suma.

29


Uspostavljanje korespondencije izmeu kubova i elementarnih proizvoda.

Elementarnom proizvodu p =

k21 jjj x~

...x~x~ ,

koji se posmatra kao funkcija n promenljivih, pridruuje se kub a1a2 ... an,

u kojem je aj = 0, ako se promenljiva xj pojavljuje u p sa negacijom, aj = 1, ako se promenljiva xj pojavljuje u p bez negacije i

aj = X, ako se promenljiva xj ne pojavljuje u p.

Primer: Elementarnim proizvodima 1x , x2, 31xx , 432 xxx i 4321 xxxx

koji se smatraju funkcijama etiri promenljive odgovaraju kubovi 0XXX, X1XX, 1X0X, X011 i 1001.

Rang kuba pridruenog elementarnom proizvodu je jednak rangu tog elementarnog proizvoda. Kub pridruen elementarnom proizvodu predstavlja skup vektora na kojima taj elementarni proizvod ima vrednost 1.

Potpunom proizvodu pridruuje se kub ranga 0. Kub ranga 0 pridruen potpunom proizvodu poklapa se sa vektorom na kojem taj potpuni proizvod ima vrednost 1.

30


Uspostavljanje korespondenciju izmeu kubova i elementarnih suma.

Elementarnoj sumi s =

k21 jjj x~

...x~x~ +++ ,,

koji se posmatra kao funkcija n promenljivih, pridruuje se kub a1a2 ... an,

u kojem je aj = 0, ako se promenljiva xj pojavljuje u s bez negacije, aj = 1, ako se promenljiva xj pojavljuje u s sa negacijom i

aj = X, ako se promenljiva xj ne pojavljuje u s.

Primer: Elementarnim sumama 1x , x3, 41 xx + , 431 xxx ++ i 4321 xxxx +++

koji se smatraju funkcijama etiri promenljive odgovaraju kubovi 1XXX, XX0X, 0XX1, 0X11 i 0101.

Rang kuba pridruenog elementarnoj sumi je jednak rangu te elementarne sume. Kub pridruen elementarnoj sumi predstavlja skup vektora na kojima ta elementarna suma ima vrednost 0.

Potpunoj sumi pridruuje se kub ranga 0. Kub ranga 0 pridruen potpunoj sumi poklapa se sa vektorom na kojem ta potpuna suma ima vrednost 0.

31


Na osnovu definisane korespondencije izmeu elementarnih proizvoda i kubova utvruje se predstavljanje DNF pomou kubova.

Primer: Zadati DNF f(x1, x2, x3) = 1x + 32xx + 321 xxx

se moe predstaviti kao f(1) = {0XX, X11, 100}

Na osnovu definisane korespondencije izmeu elementarnih suma i kubova utvruje se predstavljanje KNF pomou kubova.

Primer: Zadati KNF f(x1, x2, x3) = 2x )xx( 31 + )xxx( 321 ++

se moe predstaviti kao f(0) = {X0X, 0X1, 111}

1

III. MINIMIZACIJA PREKIDAKIH FUNKCIJA III.1 OSNOVNI POJMOVI III.2 ODREIVANJE MINIMALNIH DNF I KNF POMOU

KARNAUGH-OVIH KARTI

2

III. MINIMIZACIJA PREKIDAKIH FUNKCIJA III.1 OSNOVNI POJMOVI

Minimizacija se naziva odreivanje najprostijeg izmeu vie izraza kojima se u jednoj klasi izraza moe predstaviti prekidaka funkcija. To moe da bude, na primer, klasa DNF izraza, klasa KNF izraza itd.

Za poreenje izraza slui neka veliina koja u najprostijem izrazu ima minimalnu vrednost, kao, na primer, minimalan broj simbola promenljivih, simbola operacija itd.

Najvei znaaj ima minimizacija DNF i KNF izraza prekidakih funkcija.

Najpre se daje definicija odreenih pojmova koji se koriste praktino u svim metodama minimizacije DNF i KNF izraza prekidakih funkcija.

3


Neka su f(x1, x2, ..., xn) i g(x1, x2, ..., xn) dve prekidake funkcije.

Za funkciju g(x1, x2, ..., xn) se kae da predstavlja implikantu funkcije f(x1, x2, ..., xn) ako ima vrednost 0 na svim vektorima na kojima i funkcija f(x1, x2, ..., xn) ima vrednost 0. Za funkciju g(x1, x2, ..., xn) se kae da predstavlja implicentu funkcije f(x1, x2, ..., xn) ako ima vrednost 1 na svim vektorima na kojima i funkcija f(x1, x2, ..., xn) ima vrednost 1. Iz definicije implikante i implicente sledi da suma implikanti funkcije f(x1, x2, ..., xn) predstavlja implikantu funkcije f(x1, x2, ..., xn) i da proizvod implicenti funkcije f(x1, x2, ..., xn) predstavlja implicentu funkcije f(x1, x2, ..., xn).

Iz definicije DNF i KNF proizlazi da svaki elementarni proizvod koji ulazi u neku DNF prekidake funkcije mora da bude implikanta te funkcije i da svaka elementarna suma koja ulazi u neku KNF prekidake funkcije mora da bude implicenta te funkcije. Isto to vai i za potpune proizvode i SDNF i potpune sume i SKNF.

Primer: Prekidaka funkcija f(x1, x2, x3, x4) data je skupovima indeksa f(1) = {0, 1, 2, 3, 10, 11, 15} i f(0) = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14} SDNF prekidake funkcije je: f(x1, x2, x3, x4) = 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx +

+ 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx

Svaki od potpunih proizvoda 4321 xxxx , 4321 xxxx , 4321 xxxx , 4321 xxxx , 4321 xxxx , 4321 xxxx i 4321 xxxx ima vrednost 1 samo na po jednom od vektora sa indeksima

0, 1, 2, 3, 10, 11 i 15, respektivno, dok na svima ostalima ima vrednost 0. Svaki od potpunih proizvoda ima vrednost 0 na vektorima sa indeksima 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13 i 14 na kojima i funkcija f(x1, x2, x3, x4) ima vrednost 0.

4


Za elementarni proizvod h21 iii

x~...x~x~ se kae da je deo elementarnog proizvoda k21 jjj x

~

...x~x~ ako je {h21 iii

x~,...,x~,x~ } pravi podskup skupa {k21 jjj x

~

,...,x~,x~ }. Za elementarnu sumu

h21 iiix~...x~x~ +++ se kae da je deo elementarne sume

k21 jjj x~

...x~x~ +++ ako je {h21 iii

x~,...,x~,x~ } pravi podskup skupa {k21 jjj x

~

,...,x~,x~ }.

Za elementarni proizvod k21 jjj x

~

...x~x~ se kae da predstavlja prostu implikantu prekidake funkcije f(x1, x2, ..., xn) ako je implikanta prekidake funkcije f(x1, x2, ..., xn) i ako nijedan njegov deo nije implikanta funkcije f(x1, x2, ..., xn). Za elementarnu sumu

k21 jjj x~

...x~x~ +++ se kae da predstavlja prostu implicentu prekidake funkcije f(x1, x2, ..., xn) ako je implicenta prekidake funkcije f(x1, x2, ..., xn) i ako nijedan njegov deo nije implicenta funkcije f(x1, x2, ..., xn).

Svaki vektor na kojem prekidake funkcija ima vrednost 1 pripada bar jednoj prostoj implikanti i svaki vektor na kojem prekidake funkcija ima vrednost 0 propada bar jednoj prostoj implicenti.

Primer: U izrazu f(x1, x2, x3, x4) = 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx +

+ 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx

potpuni proizvod 4321 xxxx je implikanta ali ne prosta, jer elementarni proizvod 321 xxx , koji predstavlja deo potpunog proizvoda 4321 xxxx , je takoe implikanta.

Elementarni proizvod 321 xxx je implikanta ali ne prosta, jer elementarni proizvod 21xx , koji predstavlja deo elementarnog proizvoda 321 xxx , je takoe implikanta. Tek je elementarni proizvod 21xx prosta implikanta, jer nijedan njegov deo nije vie implikanta. Zato sada moe da se pie

f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx

5


Za elementarni proizvod i elementarnu sumu u DNF i KNF koristi se zajedniki naziv lan.

Za DNF ili KNF prekidake funkcije se kae da je nepreopiran ako se nijedan lan iz nje ne moe udaljiti ili zameniti nekim svojim delom a da tako dobijeni izraz i dalje predstavlja posmatranu prekidaku funkciju. U suprotnom DNF ili KNF je preopirna.

Nepreopirna DNF mora predstavljati sumu prostih implikanti i nepreopirna KNF mora predstavljati proizvod prostih implicenti.

Svaka minimalna DNF ili KNF je nepreopirna.

Primer: DNF f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx +

+ 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx

je preopirna jer se lanovi 4321 xxxx , 4321 xxxx i 4321 xxxx mogu ili zamenjivati svojim delovima sve dok u njima ne ostane samo 21xx ili se mogu i kompletno izbaciti tako da ostane samo

f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 4321 xxxx + 4321 xxxx + 4321 xxxx . I ovo je jo uvek preopirna DNF jer se umesto 4321 xxxx moe staviti 32xx tako da i

f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 32xx + 4321 xxxx + 4321 xxxx predstavlja DNF. I ovo je jo uvek preopirna DNF jer iz nje moe izbaciti 4321 xxxx tako da i

f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 32xx + 4321 xxxx predstavlja DNF. Tek je sada dobijena nepreopirna DNF.

6


Za prostu implikantu se kae da je bitna ili esencijalna ako joj pripada neki vektor na kojem prekidaka funkcija ima vrednosti 1 koji ne pripada nijednoj drugoj prostoj implikanti. Za prostu implicentu se kae da je bitna ili esencijalna ako joj pripada neki vektor na kojem prekidaka funkcija ima vrednosti koji ne pripada nijednoj drugoj prostoj implicenti.

Bitna prosta implikanta je lan svake nepreopirne DNF, pa saglasno tome i svake minimalne DNF. Bitna prosta implicenta je lan svake nepreopirne KNF, pa saglasno tome i svake minimalne KNF.

Primer: U DNF f(x1, x2, x3, x4) = 21xx + 32xx + 4321 xxxx

sve tri implikante su bitne. Implikanta 21xx je bitna jer jedino njoj pripadaju vektori 0 i 1. I implikanta 32xx je bitna jer jedino njoj pripadaju vektori 10 i 11. Pri tome vektori 2 i 3 pripadaju i jednoj i drugom implikanti. Na kraju je i implikanta 4321 xxxx bitna jer jedino njoj pripada vektor 15.

7


Koriste se dva kriterijuma za odreivanje minimalne DNF i KNF. U njima se lan koji se sastoji samo od jednog slova naziva degenerisani lan, dok se lan koji se sastoji od dva ili vie slova naziva nedegenerisan lan.

Prvi kriterijum: Za DNF odnosno KNF prekidake funkcije se kae da je minimalna ako ne postoji druga DNF odnosno KNF te funkcije sa manje nedegenerisanih lanova ili sa istim brojem nedegenerisanih lanova ali sa manje slova u tim lanovima.

Drugi kriterijum: Za DNF odnosno KNF prekidake funkcije se kae da je minimalna ako ne postoji druga DNF odnosno KNF te funkcije u kojoj je zbir slova u nedegenerisanim lanovima i broja lanova manji.

8


Najoptija podela metoda za minimizaciju DNF i KNF je na grafike i algoritamske.

U grafikim metodama odreivanje minimalnih DNF i KNF se zasniva na vizuelnoj analizi grafiki predstavljene prekidake funkcije.

U algoritamskim metodama odreivnje minimalnih DNF i KNF se zasniva na razliitim algoritmima za transformisanje analitiki ili tablino predstavljene prekidake funkcije.

Daje se grafika metoda minimizacije DNF i KNF zasnovana na predstavljanju prekidakih funkcija pomou tablica poznatim pod imenom Karnaugh-ove karte, dok se algoritamske metode ne daju jer se u ostatku ne koriste.

9

III. MINIMIZACIJA PREKIDAKIH FUNKCIJA III.2 ODREIVANJE MINIMALNIH DNF I KNF POMOU

KARNAUGHOVIH KARTI

Za predstavljanje prekidake funkcije od n promenljivih potrebna je Karnaugh-ova karta sa 2n elija, tako da svakom od 2n vektora iz skupa {0,1}n moe da se pridrui posebna elija.

Karnaugh-ova karta je tablica sa 2n/2 vrsta i 2n/2 kolona za parno n i 2(n-1)/2 vrsta i 2(n+1)/2 kolona ili obratno za neparno n.

Svakoj eliji u Karnaugh-ovoj karti je prodruen jedan vektor iz skupa {0,1}n i to tako da fiziki susednim elijama odgovaraju vektori koji se razlikuju samo po jednoj koordinati.

10


KARNAUGH-OVIH KARTI

Karnaugh-ove karte za n = 4

Za prekidaku funkciju od n = 4 promenljive u skupu {0,1}4 ima 16 vektora, pa tablica ima 16 elija (slika 1). Binarne oznake vrsta i kolona u tablici se za dve fiziki susedne elije razlikuju samo u jednoj poziciji oznake.

00 01 11 10

00

01

11

10

Slika 1 Karnaugh-ova karta za n = 4

Da bi se dobila Karnaugh-ova karta potrebno je uspostaviti korespondenciju izmeu koordinata vektora iz skupa {0,1}4 i pozicija binarnih oznaka vrsta i kolona u tablici. Kako se od 4 koordinate vektora moe izabrati 6 razliitih parova, to se korespondencija izmeu elija tablice i vektora iz skupa {0,1}4 moe uspostaviti na 6 razliitih naina. Pri tome nije uzeta u obzir mogunost da se koordinate vektora pridruene vrstama zamene sa koordinatama pridruenim kolonama.

Dva od vie moguih naina uspostavljanja korespondencije su prikazana na slikama 2 i 3, pri emu to ne utie na njihovo korienje u minimizaciji prekidakih funkcija. Na kartama su vektori oznaeni odgovarajuim indeksima.

0 2 10 8

1 3 11 9

5 7 15 13

4 6 14 12

00 01 11 10x1x3

00

01

11

10

x2x4

0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 2 Karnaugh-ova karta za n = 4 i oznakama kolona x1x2 i vrsta x3x4

Slika 3 Karnaugh-ova karta za n = 4 i oznakama kolona x1x3 i vrsta x2x4

11


KARNAUGH-OVIH KARTI

Binarne oznake vrsta i kolona u Karnaugh-ovoj karti nazivaju se koordinate elija.

Fiziki susedne elije u Karnaugh-ovoj karti se razlikuju samo po jednoj koordinati. Sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati nisu fiziki susedne. Metoda minimizacije korienjem Karnaugh-ovih karti zahteva da sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati budu fiziki susedne.

Ako se tablica savije u cilindar, tako da se poklope gornja i donja ivica, a zatim cilindar savije u torus, tako da mu se poklope osnove,

sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati postaju i fiziki susedne.

Prekidaka funkcija se zadaje pomou Karnaugh-ove karte tako to se u elije koje odgovaraju vektorima na kojima funkcija ima vrednost 1 upisuje jedinica, u elije koje odgovaraju vektorima na kojima funkcija ima vrednosti 0 upisuje nula i u elije koje odgovaraju vektorima na kojima vrednost funkcije nije definisana upisuje se simbol "b".

Primer 3.2.1. Prekidaka funkcija f(x1, x2, x3, x4) zadata skupovima indeksa f(1) = {4, 5, 6, 12, 13} i f(b) = {0, 7, 8, 15} predstavljena je Karnaugh-ovom kartom na slici 4.

b0

14

112

b8

01

15

113

09

03

b7

b15

011

02

16

014

010

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 4 Karnaugh-ova karta za primer 3.2.1.

12


KARNAUGH-OVIH KARTI

Pravilnom figurom ranga r naziva se skup od 2r elija Karnaugh-ove karte koje imaju k = n-r zajednikih koordinata, pri emu je r = 0, 1, ..., n. Pravilne figure su : za r = 0, pojedinane elije, za r = n, cela Karnaugh-ova karta, dok se za ostale vrednosti r ne moe u optem sluaju tako lako odrediti koje elije obrazuju pravilne figure.

Za n = 4, na torusu koji se dobija savijanjem Karnaugh-ove karte, pravilne figure su: za r = 1, svi pravougaonici sa po dve susedne elije, za r = 2, svi pravougaonici i kvadrati sa po etiri elije i za r = 3, svi pravougaonici sa po osam elija.

13


KARNAUGH-OVIH KARTI

Neka su k21 jjj a,...,a,a , gde su j1, j2, ..., jk {1, 2, ..., n}, zajednike koordinate

elija pravilne figure ranga r =n-k. Svih 2r vektora koji odgovaraju elijama ove pravilne figure pripadaju

elementarnom proizvodu n21 jjj x

~

...x~x~ u kojem je ii jj xx

~

= ako je 1aij = i

ii jj xx~

= ako je 0aij = i

elementarnoj sumi k21 jjj x

~

...x~x~ +++ u kojoj je ii jj xx

~

= ako je 0aij = i

ii jj xx~

= ako je 1aij = i

Za ovakav elementarni proizvod i ovakvu elementarnu sumu se kae da odgovaraju pravilnoj figuri.

14


KARNAUGH-OVIH KARTI

Iz prethodnog i osobina elementarnih proizvoda proizlazi sledei zakljuak: Ako su na Karnaugh-ovoj karti neke prekidake funkcije u sve elije neke pravilne figure upisane jedinice, onda elementarni proizvod koji toj figuri odgovara predstavlja implikantu funkcije.

Da bi se dobila neka DNF prekidake funkcije zadate Karnaugh-ovom kartom, potrebno je na toj karti

1. formirati pravilne figure koje pokrivaju samo jedinice i to tako da svaka jedinica bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, 2. formirati elementarne proizvode koji odgovaraju tako formiranim pravilnim figurama i 3. formirane elementarne proizvode povezati znakom disjunkcije.

Ako se pravilna figura koja pokriva samo jedinice ne moe ukljuiti u pravilnu figuru vieg ranga koja bi takoe pokrivala samo jedinice, onda elementarni proizvod koji odgovara takvoj pravilnoj figuri predstavlja prostu implikantu posmatrane funkcije.

Da bi se dobila minimalna DNF prekidake funkcije zadate Karnaugh-ovom kartom potrebno je da

1. se formiraju pravilne figure to je mogue vieg ranga, jer njima odgovaraju proste implikante,

2. se svaka jedinica ukljui u barem jednu takvu pravilnu figuru i 3. da broj tih pravilnih figura bude minimalan.

15


KARNAUGH-OVIH KARTI

Po analogiji za elementarne sume proizlazi sledei zakljuak: Ako su na Karnaugh-ovoj karti neke prekidake funkcije u sve elije neke pravilne figure upisane nule, onda elementarna suma koji toj figuri odgovara predstavlja implicentu funkcije.

Da bi se dobila neka KNF prekidake funkcije zadate Karnaugh-ovom kartom, potrebno je na toj karti

1. formirati pravilne figure koje pokrivaju samo nule i to tako da svaka nula bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, 2. formirati elementrarne sume koji odgovaraju tako formiranim pravilnim figurama i 3. formirane elementarne sume povezati znakom konjunkcije.

Ako se pravilna figura koja pokriva samo nule ne moe ukljuiti u pravilnu figuru vieg ranga koja bi takoe pokrivala samo nule, onda elementarna suma koji odgovara takvoj pravilnoj figuri predstavlja prostu implicentu posmatrane funkcije.

Da bi se dobila minimalna KNF prekidake funkcije zadate Karnaugh-ovom kartom potrebno je da

1. se formiraju pravilne figure to je mogue vieg ranga, jer njima odgovaraju proste implicente,

2. se svaka nula ukljui u barem jednu takvu pravilnu figuru i 3. da broj tih pravilnih figura bude minimalan.

16


KARNAUGH-OVIH KARTI

U vezi prethodno definisanog postupka odreivanja minimalne DNF i minimalne KNF treba uoiti sledee tri stvari:

1. Kriterimum za odreivanje da li je DNF ili KNF minimalna Prethodno definisani postupak daje minimalne DNF i KNF po prvom kriterijumu. Kod veine prekidakih funkcija sa malim brojem promenljivih DNF i KNF minimalne prema prvom kriterijumu su ujedno minimalne i prema drugom kriterijumu. Kako se Karnaugh-ove karte koriste za odreivanje minimalne DNF i KNF prekidakih funkcija sa malim brojem premenljivih, to e se dalje koristiti samo prvi kriterijum

2. Nepotpuno definisane prekidake funkcije elije Karnaugh-ove karte koje odgovaraju vektorima na kojima vrednost funkcije nije definisana, pa su njima upisani simboli "b", mogu se ukljuivati u pravilne figure kojima se pokrivaju jedinice ili nule. Time se moe:

1. smanjiti broj potpunih figura, 2. poveati rang nekih figura, a veoma esto 3. i jedno i drugo.

Time se iz familije prekidakih funkcija bira funkcija koja ima najpovoljniju DNF ili KNF.

3. Bitne proste implikante i implicente Ako se u Karnaugh-ovoj karti neka jedinica moe pokriti samo jednom pravilnom figurom kojoj odgovara prosta implikanta, onda je ta prosta implikanta bitna. S toga je pri odreivanju minimalne DNF potrebno najpre formirati pravilne figure kojima odgovaraju bitne proste implikante.

Ako se u Karnaugh-ovoj karti neka nula moe pokriti samo jednom pravilnom figurom kojoj odgovara prosta implicenta, onda je ta prosta implicenta bitna. S toga je pri odreivanju minimalne KNF potrebno najpre formirati pravilne figure kojima odgovaraju bitne proste implicente.

17


KARNAUGHOVIH KARTI

Primer 3.2.2. Nai bar jednu minimalnu DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) zadate skupovima indeksa f(1) = {1, 3, 7, 9, 13, 15} i f(b) = {6, 8, 12}.

Reenje: Minimalna DNF prekidake funkcije je f(x1, x2, x3, x4) = 421 xxx + 432 xxx + 31xx

00

04

b12

b8

11

05

113

19

13

17

115

011

02

b6

014

010

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 5 Minimalna DNF za primer 3.2.2.

18


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.3. Nai bar jednu minimalnu KNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) zadate skupovima indeksa f(0) = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 12} i f(b) = {10, 13, 15}.

Reenje: Postoje dve minimalne KNF prekidake funkcije i to f(x1, x2, x3, x4) = )xx( 32 + )xx( 32 + )xx( 43 + (slika 6.a) i f(x1, x2, x3, x4) = )xx( 32 + )xx( 32 + )xx( 42 + (slika 6.b) i

10

04

012

18

01

05

b13

09

03

17

b15

011

02

16

114

b10

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

10

04

012

18

01

05

b13

09

03

17

b15

011

02

16

114

b10

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 6.a Minimalna KNF za primer 3.2.3.

Slika 6.b Minimalna KNF za primer 3.2.3.

19


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.4. Nai bar jednu minimalnu DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) zadate skupovima indeksa f(1) = {0, 1, 3, 4, 11, 12, 14, 15}.

Reenje: Postoje dve minimalne DNF prekidake funkcije i to f(x1, x2, x3, x4) = 431 xxx + 421 xxx + 421 xxx + 431 xxx (slika 7.a) i f(x1, x2, x3, x4) = 321 xxx + 432 xxx + 432 xxx + 321 xxx (slika 7.b).

10

14

112

08

11

05

013

09

13

07

115

111

02

06

114

010

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

10

14

112

08

11

05

013

09

13

07

115

111

02

06

114

010

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 7.a Minimalna DNF za primer 3.2.4.

Slika 7.b Minimalna DNF za primer 3.2.4.

20


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.5. Nai bar jednu minimalnu KNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) zadate skupom indeksa f(0) = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15}.

Reenje: Mminimalna KNF prekidake funkcije je (slika 8) i f(x1, x2, x3, x4) = )xxx( 321 ++ )xxx( 432 ++ )xxx( 321 ++ )xxx( 432 ++

10

04

112

18

01

05

113

09

03

07

015

111

02

16

114

110

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4

Slika 8 Minimalna KNF za primer 3.2.5.

21


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.6. Nai bar jednu minimalnu DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4) zadate skupovima indeksa f(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14, 15}.

Reenje: Minimalna DNF prekidake funkcije (slika 9) je f(x1, x2, x3, x4) = 1x + 32xx + 42xx

10

14

012

18

11

15

013

09

13

17

115

011

12

16

114

110

00 01 11 10x1x2

00

01

11

10

x3x4


22


KARNAUGH-OVIH KARTI

Karnaugh-ove karte za n = 2 i n = 3

Za prekidaku funkciju od n = 2 promenljive u skupu {0,1}2 ima 4 vektora, pa tablica ima 4 elije (slika 10).

Za prekidaku funkciju od n = 3 promenljive u skupu {0,1}3 ima 8 vektora, pa tablica ima 8 elije (slika 11).

Binarne oznake vrsta i kolona u tablici se za dve fiziki susedne elije razlikuju samo u jednoj poziciji oznake.

00 01 11 10

0

1

0 1

0

1

Slika 10 Karnaugh-ova karta za n = 2 Slika 11 Karnaugh-ova karta za n = 3

Da bi se dobila Karnaugh-ova karta za n = 2 potrebno je uspostaviti korespondenciju izmeu koordinata vektora iz skupa {0,1}2 i pozicija binarnih oznaka vrsta i kolona u tablici. Korespondencija izmeu vektora iz skupa {0,1}2 i elija tablice moe se uspostaviti na dva naina.

Da bi se dobila Karnaugh-ova karta za n = 3 potrebno je uspostaviti korespondenciju izmeu koordinata vektora iz skupa {0,1}3 i pozicija binarnih oznaka vrsta i kolona u tablici. Korespondencija izmeu vektora iz skupa {0,1}3 i elija tablice moe se uspostaviti na tri naina.

23


KARNAUGH-OVIH KARTI

U tablici za n = 2 sve elije koje se razlikuju po jednoj koordinati su fiziki susedne.

U tablici za n = 3 to nije sluaj. Meutim, ako se tablica savije u cilindar, tako da se poklope leva i desna ivica,

sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati postaju i fiziki susedne.

U Karnaugh-ovoj karti za n = 2 pravilne figure su : za r = 0, pojedinane elije, za r = 2, cela Karnaugh-ova karta, dok su za r = 1, svi pravougaonici sa po dve susedne elije.

U Karnaugh-ovoj karti za n = 3 pravilne figure su : za r = 0, pojedinane elije, za r = 3, cela Karnaugh-ova karta, dok su za r = 1, svi pravougaonici sa po dve susedne elije, i

za r = 2, svi pravougaonici i kvadrati sa po etiri elije

Minimalne DNF i KNF prekidakih funkcija sa 2 i 3 promenljive, odreuju se pomou Karnaugh-ovih karti na isti nain kao i u sluaju prekidakih funkcija sa 4 promenljive.

24


KARNAUGH-OVIH KARTI


Za prekidaku funkciju od n = 5 promenljivih u skupu {0,1}5 ima 32 vektora, pa tablica ima 32 elije (slika 12).

000 001 011 010

00

01

11

10

110 111 101 100

Slika 12 Karnaugh-ova karta za n=5

U tablici se po jednoj koordinati razlikuju ne samo 1. fiziki susedne elije, ve i 2. elije koje pripadaju i-toj vrsti (i = 0, 1, 2 i 3) kolona oznaenih sa 000 i

100, zatim kolona oznaenih sa 001 i 101, i na kraju kolona oznaenih sa 011 i 111, a takoe i

3. elije koje propadaju i-toj koloni (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) vrsta oznaenih sa 00 i 10.

Poto se od tablice sa slike 12 ne moe formirati pogodna figura na kojoj bi bile fiziki susedne sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati, to je odreivanje minimalnih DNF i KNF prekidakih funkcija sa 5 promenljivih pomou Karnaugh-ove karte ovog oblika veoma teko.

25


KARNAUGH-OVIH KARTI

Karnaugh-ova karta prekidakih funkcija za n = 5 promenljivih se ee crta u obliku datom na slici 13.

Ova karta se crta kao dve karte prekidakih funkcija sa n = 4 promenljive, gde 1. sve elije leve tablice imaju koordinatu xj = 0, dok 2. sve elije desne tablice imaju koordinatu xj = 1, pri emu se 3. xj proizvoljno bira iz skupa promenljivih, dok 4. korespondencija izmeu preostale etiri koordinate vektora iz skupa {0,1}5

i elija leve i desne tablice mora biti ista. 00 01 11 10

00

01

11

10

00 01 11 10

00

01

11

10

xj=0 xj=1

Slika 13 Drugi oblik Karnaugh-ove karte za n=5

U Karnaugh-ovoj karti za n = 5 1. za r = 0, pravilne figure su pojedinane elije koje se mogu nalaziti samo u levoj ili samo u desnoj tablici, 2. za r = 5, pravilna figura pokriva obe tablice, dok se 3. za r = 1, 2, 3 i 4 pravilne figure mogu formirati na dva naina i to a) posebno u levoj i desnoj tablici i

b) kombinovanjem elija iz obe tablice, tako da pravilna figura ranga r-1 iz leve tablice i pravilna figura ranga r-1 istog poloaja u desnoj tablici obrazuju pravilnu figuru ranga r.

26


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.7. Nai bar jednu minimalnu DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4, x5) zadate skupovima indeksa f(1) = {1, 4, 7, 14, 17, 20, 21, 22, 23} i f(b) = {0, 3, 6, 19, 30}.

Reenje: Minimalna DNF prekidake funkcije je f(x1, x2, x3, x4, x5) = 532 xxx + 542 xxx + 532 xxx + 321 xxx + 543 xxx

016

120

028

024

117

121

029

025

b19

123

031

027

018

122

b30

026

00 01 11 10x2x3

00

01

11

10

x4x5

b0

14

012

08

11

05

013

09

b3

17

015

011

02

b6

114

010

00 01 11 10x2x3

00

01

11

10

x4x5

x1=0 x1=1


27


KARNAUGH-OVIH KARTI


Za prekidaku funkciju od n = 6 promenljivih u skupu {0,1}6 ima 64 vektora, pa tablica ima 64 elije (slika 15).

000 001 011 010 110 111 101 100

000

001

011

010

110

111

101

100

Slika 15 Karnaugh-ova karta za n=6

U tablici se po jednoj koordinati razlikuju ne samo 1. fiziki susedne elije, ve i 2. elije koje pripadaju i-toj vrsti (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) kolona oznaenih

sa 000 i 100, zatim kolona oznaenih sa 001 i 101, i na kraju kolona oznaenih sa 011 i 111, a takoe i

3. elije koje propadaju i-toj koloni (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) vrsta oznaenih sa 000 i 100, zatim kolona oznaenih sa 001 i 101, i na kraju kolona oznaenih sa 011 i 111.

Poto se od tablice sa slike 15 ne moe formirati pogodna figura na kojoj bi bile fiziki susedne sve elije koje se razlikuju samo po jednoj koordinati, to je odreivanje minimalnih DNF i KNF prekidakih funkcija sa 6 promenljivih pomou Karnaugh-ove karte ovog oblika veoma teko.

28


KARNAUGH-OVIH KARTI

Karnaugh-ova karta prekidakih funkcija za n = 6 promenljivih se ee crta u obliku datom na slici 16.

Ova karta se crta kao dve karte prekidake funkcije sa n = 5 promenljivih odnosno etiri karte prekidakih funkcija sa n = 4 promenljive.

U ovoj karti 1. sve elije levih tablica imaju koordinatu xj = 0 a desnih xj = 1, dok 2. sve elije gornjih tablica imaju koordinatu xk = 0 a donjih xk = 1, pri emu

se 3. xj i xk proizvoljno biraju iz skupa promenljivih, dok 4. korespondencija izmeu preostale etiri koordinate vektora iz skupa {0,1}6

i elija sve etiri tablice mora biti ista. 00 01 11 10

00

01

11

10

00 01 11 10

00

01

11

10

xj=0 xj=1xk=0 xk=0

00 01 11 10

00

01

11

10

00 01 11 10

00

01

11

10

xj=0 xj=1xk=1 xk=1

Slika 16 Drugi oblik Karnaugh-ove karte za n=6

29


KARNAUGH-OVIH KARTI

U Karnaugh-ovoj karti za n = 6 1. za r = 0, pravilne figure su pojedinane elije koje se mogu nalaziti samo u jednoj od etiri tablice, 2. za r = 6, pravilna figura pokriva sveetiri tablice, dok se 3. za r = 1, 2, 3, 4 i 5 pravilne figure mogu se formirati na tri naina i to a) posebno u svakoj od etiri tablice,

b) kombinovanjem elija iz dve leve, ili dve desne, ili dve gornje, ili dve donje tablice, tako da pravilne figure istog poloaja ranga r-1 iz dve tablice obrazuju pravilnu figuru ranga r. c) kombinovanjem elija iz sve etiri tablice, tako da

pravilna figura ranga r-1 iz gornje dve tablice i pravilna figura ranga r-1 istog poloaja u donje dve tablice ili

pravilna figura ranga r-1 iz leve dve tablice i pravilna figura ranga r-1 istog poloaja u desne dve tablice

obrazuju pravilnu figuru ranga r.

Napomena: Karnaugh-ove karte mogu da se koriste za prekidake funkcije do 6 promenljivih. U sluaju veeg broja promenljivih Karnaugh-ove karte su veoma nepregledne i ne mogu da se koriste.

30


KARNAUGH-OVIH KARTI

Primer 3.2.8. Nai bar jednu minimalnu DNF prekidake funkcije f(x1, x2, x3, x4, x5, x6) zadate skupovima indeksa f(1) = {0, 1, 3, 4, 5, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 30, 31, 32, 33, 36, 37, 43, 47, 48, 49, 52, 53, 58, 62}.

Reenje: Minimalna DNF prekidake funkcije je f(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = 53xx + 6532 xxxx + 5431 xxxx + 64321 xxxxx +

+ 65321 xxxxx

132

136

044

040

133

137

045

041

035

039

147

143

034

038

046

042

00 01 11 10x3x4

00

01

11

10

x5x6

10

14

012

08

11

15

013

09

13

07

115

111

02

06

114

010

00 01 11 10x3x4

00

01

11

10

x5x6

x1=0 x1=1x2=0 x2=0

148

152

060

056

149

153

061

057

051

055

063

059

050

054

162

158

00 01 11 10x3x4

00

01

11

10

x5x6

116

120

028

024

117

121

029

025

019

023

131

027

018

022

130

026

00 01 11 10x3x4

00

01

11

10

x5x6

x1=0 x1=1x2=1 x2=1


1

IV. FUNKCIJE I STRUKTURA PREKIDAKIH MREA IV.1 OSNOVNI POJMOVI IV.2 LOGIKI ELEMENTI IV.3 STRUKTURA KOMBINACIONIH MREA IV.4 MEMORIJSKI ELEMENTI IV.4.1 ASINHRONI FLIP-FLOPOVI IV.4.2 TAKTOVANI FLIP-FLOPOVI IV.5 STRUKTURA SEKVENCIJALNIH MREA

2

IV. FUNKCIJE I STRUKTURA PREKIDAKIH MREA IV.1 OSNOVNI POJMOVI

Prekidake mree su osnovne komponente raunara i drugih digitalnih sistema i ureaja.

Prekidaka mrea se moe predstaviti blokom sa n ulaza i m izlaza (slika 1). Na ulaze dolaze binarni signali x1, x2, ..., xn, a na izlazima se dobijaju binarni signali z1, z2, ..., zm. Vektori signala X = x1x2...xn i Z = z1z2...zm predstavljaju ulazne i izlazne vektore prekidake mree.

x2

x1

xn

z2

z1

zm

Slika 1 Ulazi i izlazi prekidake mree Binarni signal dobija dve vrednosti koje se oznaavaju sa 0 i 1.

3


U prekidakoj mrei se pojavlju dva tipa binarnih signala i to: 1. signali potencijalnog tipa i 2. signali impulsnog tipa.

Ako trajanje binarnog signala nije ogranieno ni za jednu vrednost, kae se da je signal potencijalnog tipa. Ako je trajanje binarnog signala ogranieno bar za jednu vrednost, kae se da je signal impulsnog tipa.

Binarni signali su dati na slici 2 i to: a) signal potencijalnog tipa, b) signal impulsnog tipa kod kojeg je trajanje ogranieno i fiksno za vrednost

1, c) signal impulsnog tipa kod kojeg je trajanje ogranieno i fiksno za vrednost

0 i d) periodian signal impulsnog tipa kod kojeg je trajanje ogranieno i fiksno

za obe vrednosti 0 i 1.

a)

b)

c)

d)

Slika 2 Signali potencijalnog (a) i impulsnog (b, c, d) tipa

4


Ako se u nekom trenutku ti promeni ulazni vektor X prekidake mree protei e odreeno vreme t dok se na izlazima ne pojavi odgovarajui vektor Z. Vreme t predstavlja kanjenje signala u prekidakoj mrei i zavisi od njenih tehnolokih i strukturnih karakteristika. Sledea promena ulaznog vektora X moe se izvriti u trenutku ti+1 ako je zadovoljen uslov ti+1 ti t.

U intervalu od ti do ti + t u prekidakoj mrei se odvija prelazni proces, tako da izlazni vektor Z nije definisan i ne moe se koristiti. U intervalu od ti + t do ti+1 na izlazima prekidake mree je prisutan odgovarajui vektor Z i moe se koristiti u bilo kojem trenutku tog intervala.

Pri razmatranju funkcija prekidakih mrea kanjenje t se zanemaruje pa se smatra da se sa promenom ulaznog vektora X istovremeno menja i izlazni vektor Z. Ipak, kanjenje t se uzima u obzir tako to se promene ulaznog vektora X dozvoljavaju samo u diskretnim vremenskim trenucima t1, t2, ..., ti, ti+1, ... Pritom je ti+1 ti t. Kae se da prekidake mree funkcioniu u diskretnom vremenu.

Vremenski interval izmeu dva uzastopna trenutka ti i ti+1 naziva se intervalom takta ili taktom prekidake mree. Veliina takta je odreena funkcijama izlaznih vektora prekidake mree, pri emu uvek mora zadovoljavati relaciju ti+1 ti t. Trenuci t1, t2, ..., ti, ti+1, ... nazivaju se trenucima takta.

5


Prema funkcijama koje realizuju prekidake mree se dele na 1. kombinacione prekidake mree i 2. sekvencijalne prekidake mree.

Izlazni vektor Z kombinacione mree jednoznano je odreen ulaznim vektorom X koji je u posmatranom trenutku prisutan na ulazima mree. Stoga je funkcija kombinacione mree definisana ako je zadata korespondencija izmeu ulaznih vektora X i izlaznih vektora Z. Ta korespondencija se moe zadati skupom prekidakih funkcija z1, z2, ..., zm koje zavise od nezavisno promenljivih x1, x2, ..., xn i data je relacijama:

z1 = f1(x1, x2, ..., xn), z2 = f2(x1, x2, ..., xn) ...

zm = fm(x1, x2, ..., xn) ili u vektorskom obliku Z = F (X).

Svaki ulazni vektor X kombinacione mree preslikava se u izlazni vektor Z tako da je zj = fj(x1, x2, ..., xn), j = 1, 2, ..., m.

Prekidake funkcije nazivaju se funkcijama izlaza kombinacione mree. Funkcije izlaza potpuno definiu funkciju, ili kako se esto kae, zakon funkcionisanja kombinacione mree.

6


Izlazni vektor Z sekvencijalne mree jednoznano je odreen parom vektora X i Q, gde je

X = x1x2...xn vektor prisutan u posmatranom trenutku na ulazima mree, a Q = Q1Q2...Qk je vektor binarnih signala koji je u posmatranom trenutku

prisutan na odgovarajuim unutranjim linijama mree. Vektor Q se naziva vektorom stanja ili stanjem sekvencijalne mree.

Izlazni vektor Z sekvencijalne mree se moe zadati skupom prekidakih funkcija z1, z2, ..., zm koje zavise od nezavisno promenljivih x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk i koje su date relacijama

z1 = f1(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk), z2 = f2(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ...

zm = fm(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ili u vektorskom obliku Z = F (X, Q).

Ove prekidake funkcije nazivaju se funkcijama izlaza sekvencijalne mree.

Potrebno je definisati od kojih signala i kako zavisi vektor stanja. Ta zavisnost je data relacijama

Q1 (t+1) = g1(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk), Q2 (t+1) = g2(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ...

Qk (t+1) = gk(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ili u vektorskom obliku Q (t+1) = G (X, Q). Sa t+1 je oznaen trenutak t+t kada je promena vektora stanja zapoeta u trenutku t u sekvencijalnoj mrei koja unosi kanjenje t zavrena. Trenuci t i t+1 se nazivaju sadanjim i sledeim trenutkom.

Ove prekidake funkcije nazivaju se funkcijama prelaza sekvencijalne mree.

Funkcije izlaza i prelaza potpuno definiu funkciju, ili kako se esto kae, zakon funkcionisanja sekvencijalne mree.

7


Izlazni vektor Z sekvencijalne mree u trenutku ti ne mora zavisiti od vektora X prisutnog na ulazima mree u tom trenutku, ali mora zavisiti od stanja Q u kojem se mrea nalazi.

Za sekvencijalnu mreu kod koje izlazni vektor Z u trenutku ti zavisi od stanja Q u kojem se mrea nalazi i od vektora X prisutnog na njenim ulazima u tom trenutku, kae se da Mealy-jevog tipa. S toga su funkcije izlaza sekvencijalne mree Mealy-jevog tipa date relacijama

z1 = f1(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk), z2 = f2(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ...

zm = fm(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ili u vektorskom obliku Z = F (X, Q).

Za sekvencijalnu mreu kod koje izlazni vektor Z u trenutku ti zavisi samo od stanja Q u kojem se mrea nalazi, a ne i od vektora X prisutnog na njenim ulazima u tom trenutku, kae se da Moor-ovog tipa. S toga su funkcije izlaza sekvencijalne mree Moor-ovog tipa date relacijama:

z1 = f1(Q1, Q2, ..., Qk), z2 = f2(Q1, Q2, ..., Qk) ...

zm = fm(Q1, Q2, ..., Qk) ili u vektorskom obliku Z = F (Q).

Funkcije prelaza sekvencijalne mree su u oba sluaja date relacijama Q1 (t+1) = g1(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk), Q2 (t+1) = g2(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ...

Qk (t+1) = gk(x1, x2, ..., xn, Q1, Q2, ..., Qk) ili u vektorskom obliku Q (t+1) = G (X, Q).

Svako preslikavanje ulaznih vektora u izlazni niz koje realizuje neka sekvencijalna mrea Mealy-jevog tipa moe se realizovati i sekvencijalnom mreom Moor-ovog tipa i obratno. U optem sluaju, sekvencijalna mrea Moor-ovog tipa ima vie stanja od funkcionalno ekvivalentne sekvencijalne mree Mealy-jevog tipa.

8


Kombinacione prekidake mree se realizuju kao kompozicija logikih elemenata.

Sekvencijalne prekidake mree se realizuju kao kompozicija logikih i memorijskih elemenata.

ema koja pokazuje kako su povezani logiki elementi u kombinacionoj prekidakoj mrei ili logiki i memorijski elementi u sekvencijalnoj prekidakoj mrei predstavlja strukturnu emu prekidake mree.

Odreivanje zakona funkcionisanja prekidake mree na osnovu strukturne eme je predmet analize prekidakih mrea.

Odreivanje strukturne eme prekidake mree na osnovu zakona funkcionisanja je predmet sinteze prekidakih mrea.

9

IV. FUNKCIJE I STRUKTURA PREKIDAKIH MREA IV.2 LOGIKI ELEMENTI

Logiki elementi realizuju neke jednostavne prekidake funkcije jedne i dve promenljive i imaju samo jedan izlaz.

Postoji vie logikih elemenata.

Logiki element se opisuje 1. zakonom funkcionisanja koji je dat prekidakom funkcijom koju realizuje, 2. grafikim simbolom kojim se oznaava u strukturnim emama i 3. nazivom koji predstavlja njegovo ime.

Logiki elementi su dati na slici 3 koja sadri: 1. zakonom funkcionisanja u prvoj koloni,

2. grafiki simbol u drugoj koloni i 3. naziv u treoj koloni.

10


ZAKON FUNKCIONISANJA GRAFIKI SIMBOL NAZIV

f = x fx

POJAAVA (BAFER)

f = x fx

NE (INVERTOR)

f = x1x2...xn ...x2 .... fx1

xn

I

f = x1+x2+...+xn ...

x2 fx1

xn

++++

ILI

f =n21 x...xx ..

.

x2 .... fx1

xn

NI

f =n21 x...xx +++ ..

.

x2 fx1

xn

++++

NILI

f = x1 x2 x1 fx2

xor

EKSILI

f = 21 xx x1 fx2

xor

EKSNILI

Slika 3 Osnovni logiki elementi

11


Napomena: Treba uoiti da su na slici 3 samo logiki elementi EKSILI i EKSNILI dati sa dva ulaza, dok su logiki elementi I, NI, ILI i NILI dati sa n ulaza.

Logiki elementi EKSILI i EKSNILI su dati sa dva ulaza jer je tada 21 xx = x1 x2 i EKSILI i EKSNILI realizuju komplementarne prekidake

funkcije.

Logiki elementi EKSILI i EKSNILI nisu dati sa n ulaza jer je 1.

n21 x...xx = x1 x2 ... xn ako je n parno, pa EKSILI i EKSNILI realizuju komplementarne prekidake funkcije, i 2. x1 x2 ... xn = x1 x2 ... xn ako je n neparno, pa EKSILI i EKSNILI realizuju istu prekidaku funkciju.

Objanjenje: Prekidake funkcija x1 x2 ... xn ima vrednost 1 na vektorima sa neparnim brojem jedinica, dok prekidake funkcija x1 x2 ... xn ima vrednost 1 na vektorima sa parnim brojem nula. Zbog toga 1. ako je n parno, onda vektori sa neparnim brojem jedinica imaju i neparan broj nula, pa vredi

n21 x...xx = x1 x2 ... xn 2. ako je n neparno, onda vektori sa neparnim brojem jedinica imaju paran

broj nula, pa vredi x1 x2 ... xn = x1 x2 ... xn.

Napomena: Za logike elemente NE, NI i NILI ponekad se koriste i alternativni grafiki simboli dati na slici 4.

fx

...

x2 .... fx1

xn

...

x2 fx1

xn

++++

Slika 4.a Alternativni grafiki simbol za NE

Slika 4.b Alternativni grafiki simbol za NI

Slika 4.c Alternativni grafiki simbol za NILI

12


Sa slike 3 se vidi da 1. POJAAVA i NE element realizuju obe prekidake funkcije koje zavise od jedne promenljive,

2. I, ILI, NI, NILI, EKSILI i EKSNILI realizuju est prekidakih funkcija koje zavise od dve promenljive , dok se

3. preostale etiri prekidake funkcije koje zavise od dve promenljive se danas retko realizuju posebnim logikim elementima.

13


POJAAVA i NE element se esto realizuju u verziji poznatoj pod nazivom logiki element sa tri stanja

Documents

ORT Predavanja