Os Postulados da Mecânica Quântica - UFPRfisica.ufpr.br/bettega/aula3_Postulados.pdfOs Postulados da Mecânica Quântica Márcio H. F. Bettega Departamento de Física Universidade

Os Postulados da Mecânica Quântica

Márcio H. F. Bettega

Departamento de Física

Universidade Federal do Paraná

[email protected]

Escola de Verão de Física de Curitiba - 2019

Introdução

Vamos apresentar nestas notas os postulados da mecânica quântica. Antes iremosfazer um paralelo entre as descrições de um sistema físico do ponto de vista damecânica clássica e da mecânica quântica. Como sistema físico iremos consideraruma partícula.

Introdução

Em mecânica clássica buscamos a solução da equação de movimento p(t) = F(t),ou seja, r(t) e p(t) para as condições iniciais r0 = r(t0) e p0 = p(t0). Conhecidosr(t) e p(t), sabemos o comportamento do sistema para cada instante de tempo t.

Ao invés de buscarmos a solução de p(t) = F(t), podemos utilizar os formalismosLagrangeano ou Hamiltoniano. No caso do formalismo Lagrangeano, precisamosconstruir a função Lagrangeana L(qi, qi) = T − V , que é função das coordenadasgeneralizadas qi e das velocidades generalizadas qi. A solução do problema éobtida através da solução das equações de Lagrange

d

dt

∂L∂qi− ∂L∂qi

= 0

que fornece {qi(t); qi(t)}, conhecidas as condições iniciais {qi(t0); qi(t0)}.{qi(t); qi(t)} definem o espaço de configurações do sistema.

Introdução

Outra maneira é utilizar o formalismo Hamiltoniano. Para isso definimos o momentoconjugado à coordenada qi, pi, como

pi =∂L∂qi

e a função Hamiltoniana como

H(pi, qi) =∑i

piqi − L = T + V

onde agora as velocidades generalizadas qi são escritas como função dosmomenta pi. A solução das equações de Hamilton

pi = −∂H∂qi

; qi =∂H∂pi

fornece {pi(t); qi(t)}, conhecidos {pi(t0); qi(t0)}. {pi(t); qi(t)} definem o espaçode fase do sistema. Iremos adotar o formalismo Hamiltoniano (vale a pena lembrarque as três abordagens discutidas acima levam à mesma solução).

Introdução

Em mecânica clássica sabemos que:i) {pi(t0), qi(t0)} definem o estado do sistema em t = t0.ii) Conhecido o estado do sistema {pi(t), qi(t)}, podemos prever com certeza oresultado de qualquer medida realizada sobre o sistema.iii) A evolução no tempo do estado do sistema é governada pelas equações deHamilton, dadas as condições iniciais {pi(t0); qi(t0)}.Em mecânica quântica queremos saber:i) Como o estado de um sistema quântico é descrito matematicamente em um dadoinstante de tempo?ii) Conhecido o estado do sistema, como podemos prever os resultados da medidadas diferentes observáveis físicas?iii) Se conhecemos o estado do sistema em t = t0, como podemos determiná-lopara t > t0?

As respostas às perguntas acima serão fornecidas pelos postulados da mecânicaquântica.


Postulado 1 – Descrição do Estado de um Sistema Físico

Em um instante de tempo t0, o estado de um sistema físico é definidoespecificando-se um ket |ψ(t0)〉 que pertence ao espaço de estado E do sistema.

Como E é um espaço vetorial, ele admite o princípio de superposição, ou seja, acombinação linear de vetores de estado é um vetor de estado.


Postulado 2 – Descrição das Quantidades Físicas

Toda quantidade física mensurável A é descrita por um operador A atuando em E ;este operador é um observável.

Equação de autovalores

Vale lembrar da equação de autovalores para o observável A (no caso discreto, queimplica na quantização dos resultados da medida):

A|uin〉 = an|uin〉; i = 1, . . . , gn

onde

〈uin|ui′n′〉 = δnn′δii′ ;

∑n

gn∑i=1

|uin〉〈uin| = 11


Postulado 3 – Medida das Quantidades Físicas

O único resultado possível em uma medida de uma quantidade física A é um dosautovalores do observável correspondente A.


Postulado 4 – Caso de um Espectro Discreto Não-Degenerado

Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade P(an) de obter o autovalor não-degenerado an do observávelcorrespondente A é P(an) = |〈un|ψ〉|2, onde |un〉 é o autovetor normalizado de Aassociado ao autovalor an.

A|un〉 = an|un〉

〈un|un′〉 = δnn′ ;∑n

|un〉〈un| = 11

|ψ〉 =∑n

|un〉〈un|ψ〉 =∑n

cn|un〉

P(an) = |cn|2 = |〈un|ψ〉|2


Postulado 4 – Caso de um Espectro Discreto

Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade P(an) de obter o autovalor an do observável correspondente A é∑gni=1 |〈u

in|ψ〉|2, onde gn é o grau de degenerescência de an e

{|uin〉, i = 1, 2, . . . , gn} é um conjunto ortonormal de autovetores que forma umabase no sub-espaço En associado ao autovalor an de A.

Equação de autovalores

A|uin〉 = an|uin〉; i = 1, . . . , gn ; 〈uin|ui′n′〉 = δnn′δii′ ;

∑n

gn∑i=1

|uin〉〈uin| = 11

Pn =

gn∑i=1

|uin〉〈uin|

|ψ〉 =∑n

Pn|ψ〉 =∑n

gn∑i=1

|uin〉〈uin|ψ〉 =∑n

gn∑i=1

cin|uin〉


P(an) deve ser independente da escolha da base em En. Vamos definir o ket |ψn〉como

|ψn〉 = Pn|ψ〉 =

gn∑i=1

|uin〉〈uin|ψ〉 =

gn∑i=1

cin|uin〉

tal que

〈ψn|ψn〉 =

gn∑i=1

|〈uin|ψ〉|2 =

gn∑i=1

|cin|2

Vemos assim que

P(an) = 〈ψn|ψn〉 = 〈ψ|P †nPn|ψ〉 = 〈ψ|P 2n |ψ〉 = 〈ψ|Pn|ψ〉; P †n = Pn, P

2n = Pn

ou seja, qualquer base (qualquer combinação linear dos gn autovetores |uin〉 em En)fornece a mesma probabilidade P(an).


Postulado 4 – Caso de um Espectro Contínuo Não-Degenerado

Quando a quantidade física A é medida em um sistema no estado normalizado |ψ〉,a probabilidade dP(α) de obter um resultado entre α e α+ dα édP(α) = |〈vα|ψ〉|2dα, onde |vα〉 é o autovetor de A associado ao autovalor α.


Normalização do ket de estado

Vamos voltar ao caso de um espectro discreto e discutir o problema danormalização do ket de estado |ψ〉. Vamos considerar que 〈ψ|ψ〉 = 1 e somar todasas probabilidades P(an)

∑n

P(an) =∑n

gn∑i=1

|cin|2 =∑n

gn∑i=1

|〈uin|ψ〉|2 =

=∑n

gn∑i=1

〈uin|ψ〉∗〈uin|ψ〉 =∑n

gn∑i=1

〈ψ|uin〉〈uin|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉 = 1

onde usamos a completeza da base {|uin〉}. No caso em que |ψ〉 não estivernormalizado temos

P(an) =1

〈ψ|ψ〉

gn∑i=1

|cin|2 =1

〈ψ|ψ〉

gn∑i=1

|〈uin|ψ〉|2

tal que∑n P(an) = 1.



Uma consequência desta discussão é o caso de dois vetores que diferem por umfator fase exp(iθ), |ψ′〉 = exp(iθ)|ψ〉. Neste caso temos

〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ| exp(−iθ) exp(iθ)|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉

e as probabilidades são as mesmas se calculadas com |ψ′〉 ou |ψ〉

P ′(an) =

gn∑i=1

|〈uin|ψ′〉|2 =

gn∑i=1

|〈uin| exp(iθ)|ψ〉|2 =

gn∑i=1

|〈uin|ψ〉|2 = P(an)

No caso em que |ψ′ ′〉 = α|ψ′〉 = α exp(iθ)|ψ〉, onde α é um número complexo,temos

P ′ ′(an) =1

〈ψ′ ′|ψ′ ′〉

gn∑i=1

|〈uin|ψ′ ′〉|2 =1

|α|2gn∑i=1

|α|2|〈uin|ψ〉|2 = P(an)



Concluímos portanto que dois vetores de estado proporcionais representam omesmo estado físico. Isso não vale para o caso no qual os vetores |ψ〉 e |ϕ〉 sãodados por

|ψ〉 = λ1|ψ1〉+ λ2|ψ2〉; |ϕ〉 = λ1 exp(iθ1)|ψ1〉+ λ2 exp(iθ2)|ψ2〉

onde exp(iθ1) e exp(iθ2) são fatores de fase relativos. Neste caso |ψ〉 e |ϕ〉 nãorepresentam o mesmo estado físico.

Concluímos assim que um fator de fase global não afeta as previsões físicas, masas fases relativas dos coeficientes de uma expansão são significativas.


Redução do Pacote de Ondas

Vamos considerar o problema da polarização de fótons. Consideramos um fótonpolarizado na direção ep = cos θex + sin θey que caminha na direção um polarizadorcom eixo na direção ex. Conhecemos o estado de polarização do fóton ep antes damedida, e podemos afirmar apenas que há uma probabilidade igual a cos2 θ dofóton passar pelo polarizador e igual a sin2 θ do fóton ser absorvido pelopolarizador. Após realizada a medida, sabemos com certeza qual é o estado depolarização do fóton (ex ou ey). O fato da medida ter sido realizada causou umamudança descontínua no estado de polarização do fóton, que passou de ep paraex, no caso do fóton ter atravessado o polarizador, ou ey, no caso do fóton ter sidoabsorvido pelo polarizador.


Redução do Pacote de Ondas

Vamos considerar esta discussão do ponto de vista de um ket de estado |ψ〉, querepresenta o estado de um sistema físico imediatamente antes de uma medida deA ser realizada. Antes da medida, o postulado 4 fornece as probabilidadesassociadas aos resultados possíveis, que são os autovalores de A (postulado 3).Depois que a medida foi realizada, sabemos o resultado obtido e o ket de estado dosistema deve carregar esta informação, sendo diferente de |ψ〉 (o ket imediatamenteantes da medida). Supondo que o autovalor an (não degenerado) é o resultado damedida, postulamos que |un〉, que é o autovetor de A associado à an, representa oestado do sistema imediatamente após a medida.


Postulado 5 – Redução do Pacote de Ondas

Se a medida da quantidade física A em um sistema físico no estado |ψ〉 fornece oresultado an, o estado do sistema imediatamente após a medida é a projeçãonormalizada de |ψ〉, Pn|ψ〉/

√〈ψ|Pn|ψ〉, no sub-espaço En associado a an.

Exemplo: caso não-degenerado

No caso de an não-degenerado discutido acima temos

Pn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉

=|un〉〈un|ψ〉√〈ψ|un〉〈un|ψ〉

=cn|un〉√|cn|2

= exp(iArg cn)|un〉

que difere de |un〉 por um fator de fase (global) e portanto representa o mesmoestado que |un〉.


Postulado 6 – Evolução Temporal de um Sistema Físico

A evolução temporal do vetor de estado |ψ(t)〉 é governada pela equação deSchrödinger

i~d|ψ(t)〉dt

= H(t)|ψ(t)〉

onde H(t) é o observável associado à energia total do sistema.

Regras de Quantização

Vamos considerar um sistema composto por uma partícula sem spin sujeita a umpotencial escalar. Fazemos a seguinte associação:

r(x, y, z)→ R(X,Y, Z)

p(px, py, pz)→ P(Px, Py, Pz)

onde R e P são os observáveis posição e momentum, cujas componentessatisfazem as relações canônicas de comutação dadas por

[Ri, Rj ] = [Pi, Pj ] = 0, [Ri, Pj ] = i~δijQualquer quantidade física A associada à partícula é expressa em termos de r e p,A(r,p, t). O observável correspondente é obtido substituindo r e p pelosoperadores correspondentes R e P em A: A(t) = A(R,P, t).

Regras de Quantização

No caso de haver termos do tipo r · p = p · r em A, não podemos fazer asubstituição direta, uma vez que R ·P 6= P ·R (note que estes termos não sãoHermitianos). Neste caso fazemos

r · p = p · r→ 1

2[R ·P + P ·R]

uma vez que

(R ·P)† = P ·R

Estabelecemos então a regra de quantizaçãoO observável A que descreve uma quantidade física A definida classicamente éobtido pela substituição, em uma expressão simetrizada de forma apropriada paraA, r e p pelos observáveis R e P respectivamente

Há exceções à regra, como o spin, que não é definido classicamente.

Regras de Quantização – Exemplos

O Hamiltoniano de uma partícula em um potencial escalar

Vamos considerar uma partícula com carga q e massa m, sem spin, em um campoelétrico associado a um potencial escalar U(r). A energia potencial éV (r) = qU(r), e a Hamiltoniana é

H(r,p) =p2

2m+ V (r)

onde p = mr = mv. Neste caso temos

H(t) = H = H(R,P) =P2

2m+ V (R)

e a equação de Schödinger fica

i~ ddt|ψ(t)〉 =

[P2

2m+ V (R)

]|ψ(t)〉

Regras de Quantização – Exemplos

O Hamiltoniano de uma partícula em um potencial vetor

Vamos considerar uma partícula com carga q e massa m, sem spin, em um campoeletromagnético associado aos potenciais escalar U(r, t) e vetorial A(r, t). Nestecaso

H(r,p, t) =1

2m[p− qA(r, t)]2 + qU(r, t)

onde p = mr + qA(r, t) = mv + qA(r, t). Neste caso temos

H(t) =1

2m[P− qA(R, t)]2 + qU(R, t)

e a equação de Schödinger fica (com V (R, t) = qU(R, t))

i~ ddt|ψ(t)〉 =

{1

2m[P− qA(R, t)]2 + V (R, t)

}|ψ(t)〉

Nota: p: momentum ou momentum conjugado à q; mv: momentum mecânico.Neste caso p→ P.

Valor esperado

Valor esperado do operador A no estado |ψ〉: 〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉Desvio quadrático médio: ∆A =

√〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2

Constantes de movimento:

d〈A〉dt

=1

i~〈[A,H]〉+ 〈∂A

∂t〉

Teorema de Ehrenfest:

d〈R〉dt

=1

m〈P〉; d〈P〉

dt= −〈∇V (R)〉

Força clássica: F = [−∇V (r)]〈R〉. Em geral: 〈∇V (R)〉 6= [∇V (r)]〈R〉

Evolução temporal do vetor de estado

Vamos assumir que H não depende explicitamente do tempo (os autoestados de Hsão os estados estacionários). Temos então que:

H|ϕn〉 = En|ϕn〉; |ψ(t0)〉 =∑n

|ϕn〉〈ϕn|ψ(t0)〉 =∑n

cn(t0)|ϕn〉

|ψ(t)〉 =∑n

|ϕn〉〈ϕn|ψ(t)〉 =∑n

cn(t)|ϕn〉 =∑n

cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]|ϕn〉

ou

cn(t) = cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]

Note que |ψ(t0)〉 e | ψ(t)〉 não são autovetores de H.

Operador evolução temporal (para o caso em que H não depende explicitamentedo tempo) U(t, t0) = exp[−iH(t− t0)/~]:

U(t, t0)|ψ(t0)〉 = exp[−iH(t− t0)/~]|ψ(t0)〉 = exp[−iH(t− t0)/~]∑n

cn(t0)|ϕn〉 =

∑n

cn(t0) exp[−iH(t− t0)/~]|ϕn〉 =∑n

cn(t0) exp[−iEn(t− t0)/~]|ϕn〉

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