FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

KATEDRA ZA TEHNIČKU TERMODINAMIKU

NEKOLIKO RIJEŠENIH ZADATAKA

za vježbe iz

Osnova termodinamike A Priredili: B. Halasz, S. Mudrinić ZAGREB, šk. g. 2008/2009.

151. Kroz dugačku vodoravnu čeličnu cijev promjera 50/60 mm struji voda temperature 100 °C brzinom 0,5 m/s. Cijev je okružena zrakom temperature 10 °C. Treba izračunati:

a) Koeficijent prijelaza topline na strani vode;

b) Koeficijent prijelaza topline na strani zraka uz pretpostavku da nema nametnutoga strujanja zraka;

b) Koeficijent prijelaza topline na strani zraka, ako on nastrujava okomito na cijev brzinom 1 m/s!

Za očitavanje fizikalnih svojstava zraka u slučajevima b) i c) pretpostaviti da je temperatura stijenke 100 °C! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Prikazati postupak računanja za različite geometrijske modele.) a) Zadana je brzina vode wu = 0,5 m/s

Prisilna konvekcija, strujanje kroz cijev - voda Topl. tablice, str.43

300085000102940,005,05,0

6uu >>=

⋅⋅

== −νdw

Re

Strujanje je turbulentno, pa vrijedi izraz:

( )174,110398,0

125,0

750uu

−+== − PrRe

RePrdNu

,

λα

( ) 6,26317494,18500074,11

850007494,10398,0125,0

750uu =

−⋅+⋅⋅

== −

,dNu

λα

)K W/(m358005,0

6791,06,263 2

uu =

⋅==

dNuλα

ϑm = 100 °C (zadana) ρ = 958,41 kg/m3 c = 4,2166 kJ/(kg K) λ = 0,6791 W/(m K) η = 281,75⋅10-6 N s/m2

6102940,0 −⋅==ρην m2/s

7494,1=Pr

Za kapljevine je α obično velik i kreće se od barem nekoliko stotina do (češće) nekoliko tisuća W/(m2 K)

b) Ako nema nametnutog strujanja zraka, konvekcija je slobodna (brzina postoji, izazvana je uzgonom, ali nam iznos nije poznat; obično je manja nego kod prisilne konvekcije) Slobodna konvekcija, vodoravna cijev - zrak

Topl. tablice, str.41

( )6

26

3

2s

3v

o

os 10234,11036,23

06,081,915,283

15,28315,373⋅=

⋅

⋅⋅

−=

−=

−νdg

TTT

Gr

Kako je očito (Gr⋅Pr) > 1000, vrijedi izraz:

55,127118,010234,141,041,0 4 64vbv, =⋅⋅=== PrGrd

Nuλ

α

ili (s 0,41⋅ 4 71,0 ≅ 0,38 samo za dvoatomne plinove!):

67,1210234,138,038,0 4 64vbv, =⋅=== Grd

Nuλ

α;

)K W/(m88,506,0

02810,055,12 2

vbv, =

⋅==

dNuλα

ϑs = 100 °C ρ = 0,9336 kg/m3 η = 21,809⋅10-6 N s/m2 ν = 23,36⋅10-6 m2/s

C 552

10100m °=

+=ϑ

ρ = 1,0619 kg/m3 cp = 1,0085 kJ/(kg K) λ = 0,02810 W/(m K) η = 19,834⋅10-6 N s/m2 ν = 18,68⋅10-6 m2/s Pr = 0,7118

c) Zadana je brzina strujanja zraka okomito na cijev, wv = 1 m/s – prisilna konvekcija

Prisilna konvekcija, strujanje okomito na vodoravnu cijev - zrak Topl. tablice, str.41

32121068,1806,01

6vv =

⋅⋅

== −νdw

Re ; 40 < Re < 4000

K = 0,689; KL = 0,615; m = 0,466

50,267118,03212689,0 31466,031vcv, =⋅=== //m PrReKd

Nuλ

α

ili (s K⋅ 3 71,0 ≅ KL opet samo za dvoatomne plinove!):

50,263212615,0 466,0L

vcv, =⋅=== mReKd

Nuλ

α - isto!

)K W/(m4,1206,0

02810,050,26 2

vcv, =

⋅==

dNuλα

C 552

10100m °=

+=ϑ

ρ = 1,0619 kg/m3 cp = 1,0085 kJ/(kg K) λ = 0,02810 W/(m K) η = 19,834⋅10-6 N s/m2 ν = 18,68⋅10-6 m2/s Pr = 0,7118

Iz primjera b) i c) već se vidi da koeficijent prijelaza topline kod plinova ima red veličine nekoliko W/(m2 K) do nekoliko desetaka, pa i (rjeđe) nekoliko stotina W/(m2 K).

152. Bočno staklo autobusa široko je 1,5 m i visoko 1 m, debljine 8 mm (λ = 0,8 W/(m K)). S unutarnje strane, odozdo prema gore, puše zrak temperature 40 °C brzinom 2 m/s. S vanjske strane je zrak temperature 0 °C.

Treba izračunati koeficijent prijelaza topline na unutarnjoj i vanjskoj površini stakla i toplinski tok kroz taj prozor, kao i temperaturu unutarnje površine stakla, za slučaj:

a) da autobus stoji i nema vjetra; b) da vjetra nema, ali da autobus vozi brzinom 80 km/h.

*** Rješenje: (Svrha zadatka: Osim računanja koeficijenta prijelaza topline, pokazati i kako se pretpostavlja i provjerava temperatura stijenke.) S obzirom na to da temperatura stijenke nije poznata (niti unutarnja niti vanjska), treba barem orijentacijski pretpostaviti njihov iznos (da bismo mogli iz tablica očitati potrebna toplinska svojstva zraka), a kasnije tu pretpostavku provjeriti. Za prvi korak ćemo pretpostaviti da su koeficijenti prijelaza topline na obje površine stakla jednaki i da iznose oko 10 W/(m2 K). Tada su toplinski otpori:

W/)K(m 1,01 2

u

≈α

,

W/)K(m 01,08,0

008,0 2

s

s ≈=λδ ,

W/)K(m 1,01 2

v

≈α

,

što znači da je otpor provođenju oko deset puta manji od ostala dva i za prvi korak ćemo ga zanemariti. Iz toga onda slijedi da je temperatura unutarnje i vanjske površine stakla:

C 202

0402

vuvs,us, °=

+=

+≈≈

ϑϑϑϑ

Unutarnja površina – zrak struji odozdo prema gore (u smjeru visine H = 1 m). Konvekcija je prisilna, jer je izazvana ventilatorom.

Prisilna konvekcija, strujanje duž ravne stijenke “duljine” H - zrak Topl. tablice, str.41

0001231026,1612

6u =

⋅⋅

== −νHwRe ;

Strujanje je laminarno, jer je Re < 500 000, pa vrijedi formula:

208

715,0123000664,0664,0 315,03121u

=

=⋅⋅=== //PrReH

Nuλ

α

)K W/(m48,51

0263,0208 2u =

⋅==

HNuλα

C 302

2040m °=

+=ϑ

ρ = 1,1492 kg/m3 cp = 1,0066 kJ/(kg K) λ = 0,0263 W/(m K) η = 18,68⋅10−6 N s/m2 ν = 16,26⋅10−6 m2/s Pr = 0,7150

?

ϑu = 40°C

αv = ?

ϑs, u = ?ϑs, v = ?

wu

αu = ?

ϑv

a) vanjska površina – kad autobus stoji i nema nametnutoga strujanja zraka, konvekcija je slobodna, a model je ravna uspravna stijenka

Slobodna konvekcija, ravna uspravna stijenka visine H: - zrak Topl. tablice, str.41

( )9

26

3

2s

3

o

os 10061,31032,15

181,915,273020

⋅=⋅

⋅−=

−=

−νHg

TTT

Gr

Kako je Pr = 0,7181, (Gr⋅Pr) > 108, vrijedi izraz za zrak:

0,1307181,010061,31,01,0 3 93av, =⋅⋅⋅=== PrGrH

Nuλ

α

)K W/(m23,31024817,0130 2

av, =⋅

==H

Nuλα

ϑs,v = 20 °C ν = 15,32⋅10−6 m2/s

C 102

020m °=

+=ϑ

λ = 0,024817 W/(m K) Pr = 0,7181

Iako se αu = 5,48 W/(m2 K) i αv,a = 3,23 W/(m2 K) međusobno razlikuju i znatno su manji od pretpostavljene vrijednosti 10 W/(m2 K), oni su ipak sličnog iznosa i pretpostavka da je temperatura stijenke ≈20 °C može opstati! (Promjena toplinskih svojstava s temperaturom nije tako velika da bi se pokazao utjecaj nekoliko stupnjeva razlike između pretpostavljene i izračunate vrijednosti!). Toplinski tok je (ravna stijenka!):

( ) ( ) W4,119

23,31

8,0008,0

48,51

04015,111

av,s

s

u

vua =

++

−⋅⋅=

++

−=

αλδ

α

ϑϑΦ

A;

C 47,2548,55,14,11940

u

auau,s, °=

⋅−=−=

αΦ

ϑϑA

;

C 67,248,05,1008,04,11947,25

s

saau,s,av,s, °=

⋅⋅

−=−=λδΦ

ϑϑA

. (vidi gornji komentar!)

b) vanjska površina – zrak stoji, a autobus se kreće brzinom w = 80 km/h = 22,2 m/s – prisilna konvekcija, strujanje duž ravne stijenke duljine 1,5 m.

Prisilna konvekcija, strujanje duž ravne stijenke duljine L: - zrak Topl. tablice, str.41

66

v 10314,210405,14

5,12,22⋅=

⋅⋅

== −νLw

Re

Strujanje je turbulentno, jer je Re > 500 000, vrijedi formula:

( ) 35907181,010314,20325,0

0325,0

318,06

318,0v

=⋅⋅⋅=

===

/

/PrReL

Nuλ

α

)K W/(m44,595,1024817,03590 2

bv, =⋅

==H

Nu λα .

C 102200

m °=+

=ϑ

ρ = 1,2304 kg/m3 cp = 1,0055 kJ/(kg K) λ = 0,024817 W/(m K) η = 17,724⋅10−6 N s/m2 ν = 14,405⋅10−6 m2/s Pr = 0,7181

Sad je αv,c više od deset puta veći od αu , pa gornja pretpostavka da je temperatura stijenke ≈20 °C više ne vrijedi, što se vidi iz izračunatih vrijednosti:

Toplinski tok je:

( ) ( ) W5,286

44,591

8,0008,0

48,51

04015,111

bv,s

s

u

vub =

++

−⋅⋅=

++

−=

αλδ

α

ϑϑΦ

A;

C 12,548,55,15,28640

u

bubu,s, °+=

⋅−=−=

αΦ

ϑϑA

;

C 21,38,05,1008,05,28612,5

s

sbbu,s,bv,s, °+=

⋅⋅

−=−=λδΦ

ϑϑA

.

(Osim toga, vidi se da autobus u vožnji treba jače grijati, nego kad stoji! ☺

153. Cijevni se snop sastoji od 6 redova cijevi u smjeru strujanja zraka, sa po 8 cijevi u svakom redu. Cijevi su čelične, promjera 32/38 mm. Na cijevi okomito nastrujava zrak temperature 300 °C brzinom 5 m/s. Kroz cijevi struji voda temperature 80 °C, poznatoga koeficijenta prijelaza topline αvode = 1700 W/(m2 K). Izračunajte toplinski tok koji se izmijeni po metru duljine cijevnog snopa! Za očitanje fizikalnih svojstava zraka pretpostaviti temperaturu vanjske površine cijevi ϑs = 100 °C! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati računanje koeficijenta prijelaza topline na površini cijevnog snopa.)

Prisilna konvekcija, nastrujavanje na snop cijevi - zrak Topl. tablice, str.41

380003779,0

7363,01027038,05vv ≅⋅⋅⋅

===λ

ρpcdwadw

Pe

75,0vv 075,0 Ped

Nu ⋅== ζλ

α

4,493800075,036,1 75,0vv =⋅⋅==λ

α dNu

)K W/(m1,49038,0

03779,04,49 2

vv =

⋅==

dNu λα

ϑm = 200 °C

ρ = 0,7363 kg/m3 cp = 1,027 kJ/(kg K) λ = 0,03779 W/(m K) ζ = 1,36 za 6 redova cijevi;

Toplinski tok po metru duljine cijevnog snopa (48 cijevi):

( ) ( ) W/m70059

1,49019,01

3238ln

581

1700016,01

803004821ln 11

2

v21

2

ču1

uv =

⋅+⋅+

⋅

−⋅⋅⋅=

++

−=

π

αλα

ϑϑπΦ

rrr

r

nL

.

Kontrola temperature vanjske površine cijevi:

C 9,875,4848019,02

597003002 vv

vvs, °=⋅⋅⋅⋅

−=−=παπ

ΦϑϑnrL .☺

161. Na ravnoj uspravnoj stijenci visine 1 m i temperature 118 °C kondenzira vodena para tlaka 2 bar. Treba izračunati srednju vrijednost koeficijenta prijelaza topline na toj stijenci, ako je para:

a) suhozasićena;

b) pregrijana, ϑp = 140 °C;

c) mokra, x = 0,9.

Koliko topline treba odvesti od stijenke rashladnom tvari s druge strane? *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati postupak računanja αm za kondenzaciju pare na stijenci, te da je on malo ovisan o stanju pare, sve dok je ∆h ≈ r. Upozoriti da se sva fizikalna svojstva odnose na kapljevinu (kondenzat), a ne na paru! Upozoriti na relativno veliku vrijednost αm , čiji se tipični red veličine kreće oko 10 000 W/(m2 K). Prema Nusseltovu modelu za "filmsku" kondenzaciju na ravnoj uspravnoj stijenci, srednja vrijednost koeficijenta prijelaza topline αm računa se s pomoću formule:

( ) ( )4

s

3

4

s

32

m '-4∆

34

'-4∆

34

Hhg

Hhg

ϑϑνλρ

ϑϑηλρα ==

u kojoj se sva fizikalna svojstva (ρ, λ, η) uzimaju za nastali kondenzat, a ne za paru! Treba paziti na mjerne jedinice: sve se uvrštavaju u osnovnim (koherentnim) jedinicama! a) Para je suhozasićena, ∆h = r = 2201,56 kJ/kg = 2201,56⋅103 J/kg:

Filmska kondenzacija na ravnoj uspravnoj stijenci - kondenzat (voda) Topl. tablice, str.43

( )

( ));K W/(m9860

111821,1201005,23241056,22016832,081,913,943

34

4∆

34

2

46

332

4

s

a32

am,

=

=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=−′

=

−

Hhg

ϑϑηλρ

α

;C 120C 10,1192

11821,1202

sm

°≅°=

=+

=+′

=ϑϑ

ϑ

ρ = 943,13 kg/m3 λ = 0,68319 W/(m K) η = 232,05⋅10−6 N s/m2

Gustoća toplinskog toka odvedenoga kroz stijenku:

( ) ( ) 2sam,a W/m7802111821,1209860 =−⋅=−′= ϑϑαq

b) Para je pregrijana, J/kg 1063,2243kJ/kg 63,224368,50431,2748∆ 3vkppb ⋅==−=−= hhh

(hpp iz h,s-dijagrama za vodenu paru ili tablica za vodu i pregrijanu vodenu paru, npr. Kraut, Ražnjević ili iz Toplinskih tablica FSB, str. 10, hvk iz Toplinskih tablica FSB, str. 6)

( ) ( ) )K W/(m9900111821,1201005,2324

1063,22436832,081,913,94334

4∆

34 24

6

332

4

s

b32

bm, =⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=−′

= −Hhg

ϑϑηλρ

α

Uočite da se je u odnosu na slučaj a) promijenila vrijednost ∆h, ali je razlika temperatura (120,21 - 118) ostala ista. Razlog je u tome što kilogram pregrijane pare koja kondenzira oslobađa više topline nego kilogram suhozasićene pare, ali obje kondenziraju na istoj temperaturi ako su pod istim tlakom (2 bar).

Gustoća toplinskog toka odvedenoga kroz stijenku malo je veća:

( ) ( ) 2sbm,b W/m8902111821,1209900 =−⋅=−′= ϑϑαq ,

ali je važno uočiti da se ona opet računa s razlikom temperatura (ϑ' - ϑs), a ne (ϑpp - ϑs)! c) Para je mokra, x = 0,9, J/kg 104,1981kJ/kg 4,198156,22019,0∆ 3

vkmpc ⋅==⋅==−= rxhhh

( ) ( ) )K W/(m9600111821,1201005,2324

104,19816832,081,913,94334

4∆

34 24

6

332

4

s

c32

cm, =⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

−′= −H

hgϑϑη

λρα

Ovdje se je smanjila vrijednost ∆h pa je i αm,c manji. Kilogram mokre pare pri kondenzaciji oslobađa manje topline nego kilogram suhozasićene pare.

Gustoća toplinskog toka odvedenoga kroz stijenku manja je:

( ) ( ) 2scm,c W/m2202111821,1209600 =−⋅=−′= ϑϑαq

Činjenica da je (vidi izvod!) koeficijent prijelaza topline αm povezan s razlikom temperatura (ϑ' - ϑs) i onda kad se radi o kondenzaciji pregrijane pare, znači da je ta razlika mjerodavna i za računanje toplinskog toka, a to opet znači da je tom temperaturom ϑ' određen toplinski tok i onda kad se u obzir uzimaju i ostali toplinski otpori (primjerice s koeficijentom prolaza topline k)! ☺

162. Oko vodoravne čelične cijevi promjera 40/50 mm mirujuća je pregrijana vodena para stanja 2 bar i 160 °C. Izračunajte toplinski tok koji ta para predaje stijenci cijevi (po metru njene duljine) za dva slučaja, i to:

a) temperatura vanjske površine cijevi je 130 °C;

b) temperatura vanjske površine cijevi je 118 °C.

Za koliko se (po metru cijevi) promijeni temperatura rashladne vode koja struji kroz cijev u količini 2,5 kg/s, u oba slučaja? *** Rješenje: (Svrha zadatka: Upozoriti da kondenzacije nema ako je temperatura stijenke iznad temperature zasićenja pare za tlak pod kojim se nalazi! U tom se slučaju para može na stijenci i hladiti (ako je ϑs < ϑpp) kao običan plin, bez kondenzacije. Naravno da je temperatura stijenke određena intenzitetom njena hlađenja s druge strane - niža se temperatura postiže jačim hlađenjem.) a) ϑs = 130 °C > ϑ' = 120,21 °C - kondenzacije nema, a kako para “miruje”, konvekcija je slobodna!

Slobodna konvekcija, vodoravna cijev - vodena para (2 bar) Topl. tablice, str. 45

( )5

26

3

2s

3v

s

os

10242,61014,12

05,081,909842,1

01595,109842,1

⋅=

=⋅

⋅−=

−=

−νρρρ dg

Gr

(Uočite da gustoća pare nije zamijenjena temperaturom, jer se para ne ponaša kao idealni plin! Prvi razlomak s gustoćama iznosi 0,075, a s temperaturama bi se dobilo 0,069!) Kako je očito (Gr⋅ Pr) > 1000, vrijedi izraz:

5,119927,010242,641,041,0 4 54va =⋅⋅=== PrGrd

Nuλ

α

)K W/(m71,605,002917,05,11 2

va =

⋅==

dNu λα

ϑs = 130 °C ρ = 1,09842 kg/m3 η = 13,34⋅10−6 N s/m2 ν = 12,14⋅10−6 m2/s

ϑs = 160 °C ρ = 1,01595 kg/m3

C 1452

130160m °=

+=ϑ

cp = 2,078 kJ/(kg K) λ = 0,02917 W/(m K) η = 13,935⋅10−6 N s/m2 Pr = 0,9927

Toplinski tok po metru duljine cijevi prilično je malen:

( ) ( ) W/m63,31130160π05,071,6π spvaa =−⋅⋅⋅=−= ϑϑα

Φd

L,

a određen je razlikom temperatura pare i stijenke kao za svaku “običnu” konvekciju.

Temperatura rashladne vode koja struji kroz cijev promijeni se (poveća) samo za:

K/m) (ili C/m 00302,0 W/K41875,2

W/m63,31/∆

w

aaw, °=

⋅==

cqL

m

Φϑ

b) ϑs = 118 °C < ϑ' = 120,21 °C - kondenzacija nastupa.

Prema Nusseltovu modelu za “filmsku” kondenzaciju na vodoravnoj cijevi, srednja vrijednost koeficijenta prijelaza topline αm računa se s pomoću formule:

( ) ( )4

vs

3

4

vs

32

m '-4∆

'-4∆

dhg

dhg

ϑϑνλρ

ϑϑηλρα ==

koja se razlikuje od modela ravne uspravne stijenke po tome što ne sadrži broj 4/3 ispred korijena, a umjesto visine H pojavljuje se vanjski promjer cijevi dv.

Para je pregrijana, J/kg 1098,2284kJ/kg 98,228468,50466,2789∆ 3vkpp ⋅==−=−= hhh .

Filmska kondenzacija na vodoravnoj cijevi (izvana) - kondenzat (voda)

Topl. tablice, str. 43

( )

( ))K W/(m78015

05,011821,1201005,23241098,228468319,081,913,943

4∆

2

46

332

4

vs

32

bm,

=

=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=−′

=

−

dhg

ϑϑηλρα

C 120C 1,119

211821,120

2s

m

°≅°=

=+

=+′

=ϑϑ

ϑ

ρ = 943,13 kg/m3 λ = 0,68319 W/(m K) η = 232,05⋅10−6 N s/m2

Toplinski tok po metru duljine cijevi sad je (zbog definicije α) određen razlikom temperatura (ϑ' - ϑs):

( ) ( ) W/m548011821,120π05,078015π svbm,b =−⋅⋅⋅=−′= ϑϑα

Φd

L.

i bitno je veći, pa se temperatura rashladne vode koja struji kroz cijev promijeni (poveća) za:

K/m) (ili C/m 523,0 W/K41875,2

W/m5480/∆w

bbw, °=

⋅==

cqL

m

Φϑ

Dakle, pokazuje se da (pregrijana) para ne mora nužno kondenzirati na stijenci! Kad je hlađenje stijenke slabo, može se dogoditi da stijenka bude hladnija od same pregrijane pare, ali iznad temperature zasićenja za zadani tlak. Tek kad je stijenka dovoljno intenzivno hladi, može doći do kondenzacije.☺

171. Dvije bliske usporedne stijenke imaju površinske temperature 100 °C i 20 °C. Toplija stijenka napravljena je od čelika koji je obojen lakom za grijalice, a hladnija je stijenka ožbukan zid.

a) Kolika je gustoća toplinskog toka koji zračenjem izmjenjuju ove dvije stijenke?

Ako se u zrakoprazan prostor između tih dviju stijenki umetne zastor (tanka aluminijska folija), kolika će biti gustoća toplinskog toka i temperatura staniola uz pretpostavku:

b) da zastor ne dodiruje niti jednu stijenku,

c) da je folija nalijepljena na čeličnu ploču,

d) da je folija nalijepljena na zid? *** Rješenje: (Svrha zadatka: Prikazati osnovne jednadžbe za izmjenu topline zračenjem, očitavanje podataka potrebnih za račun iz tablica, te utjecaj tih veličina (emisijskih faktora). Upozoriti da je za zračenje mjerodavan samo vrlo tanki površinski sloj!)

Konstanta zračenja crnog tijela: Cc = 5,67 W/[m2(100K)4]

Toplinske tablice, str. 56−58 1) lak za grijalice: εn = 0,925 (glatka površina) ε1 = 0,95 εn = 0,8788;

2) žbuka: εn = 0,93 (hrapava površina) ε1 = 0,98 εn = 0,9114;

3) alu-folija: εn = 0,036 (sjajna metalna površina) ε' = 1,2 εn = 0,0432

a) Usporedne stijenke – izmijenjeni je toplinski tok:

( ) ( )[ ] , W/m5511

9114,01

8788,01

9315,27315,367,5

100100111

244

42

41

21

ca

≅−+

−⋅=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

TTCq

εε

što je prilično velik iznos!

b) Usporedne stijenke s međuzastorom

( ) ( )[ ] . W/m63,141

0432,021

9114,01

8788,01

9315,27315,367,5

10010012111

2

3,4523,1

44

42

41

21

cb

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+

−⋅=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′+−+

=

≈4434421444 3444 21

TTCq

εεε

Izmijenjeni je toplinski tok drastično smanjen (za ~97 %)! Vidi se i zašto: dodatni član u nazivniku (≈45), koji pripada

zastoru, daleko je veći od prvotnog člana (1,23). Pritom treba uočiti da je taj dodatni član tako velik zato što se sastoji od dva velika člana 2/ε' = 1/ε' + 1/ε'. Uzme li se u obzir njihovo

T1

ε1

T2

ε2

Φa (qa )

T1

ε1

T2

ε2

Tb'ε' ε'

Φb Φb

qb qb

fizikalno značenje iz izvoda, prvi član opisuje lošu apsorpciju (dobru refleksiju) na zastoru onih zraka koje su stigle s ploče “1”, a drugi – lošu emisiju zraka s zastora na ploču “2”. Takav je zastor (sjajna metalna površina) loš apsorber i loš emiter zrâka, ali vrlo dobar reflektor.

Dakle, zamislimo li da je toplija stijenka zapravo stijenka neke posude koja sadrži topliji medij koji treba zadržati na toj povišenoj temperaturi (npr. dogrijavanjem), jedna folija ušteđuje oko 536 W toplinskog toka po m2

površine stijenke! Naravno, zanemarena je konvekcija, koja bi postotak uštede mogla smanjiti, jer bi toplija stijenka toplinski tok predavala i konvekcijom (u stvarnoj izvedbi međuprostor ne bi bio zrakoprazan).

Temperatura zastora (bez konvekcije!!) određena je izrazom:

( )

19114,01

0432,01

1

10432,01

8788,01

1

19114,01

0432,01

15,293

10432,01

8788,01

15,373

1111

1111

111111

44

21

2

42

1

41

4b

−++

−+

−++

−+=

−+′

+−′

+

−+′

+−′

+=′

εεεε

εεεε

TT

T ,

pa je C) 67 (K 11,340b °≅=′T . c) Usporedne stijenke – folija je nalijepljena na topliju ploču, pa je temperatura zastora jednaka temperaturi T1, a njegova svojstva (ε') određuju ponašanje stijenke “1”.

( ) ( )[ ] . W/m28,291

9114,01

0432,01

9315,27315,367,5

100100111

244

42

41

2

cc

=−+

−⋅=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+′

=TTC

q

εε

Izmijenjeni je toplinski tok i ovdje znatno manji od onog pod a), ali je uočljivo da je on dvostruko veći od qb ! Razlog tome

taj, što je smanjenje izmjene topline ovdje izazvano samo jednim od dva gore spomenuta obilježja sjajnih metalnih površina - slabom emisijom energije stijenke “1”.

d) Usporedne stijenke – folija je nalijepljena na zid, pa je temperatura zastora jednaka temperaturi T2 , a emisijski faktor zastora (ε') karakterizira stijenku “2”!

24

24

1

1

cd W/m23,29

100100111=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−′

+=

TTCq

εε

.

Izmijenjeni je toplinski tok sličan onom pod “c”, a također je dvaput veći od onog pod “b”, samo što je smanjenje izmjene topline ovdje izazvano slabom apsorpcijom (dobrom refleksijom) stijenke “2”.

(Za vježbu: Koliki bi bio izmijenjeni toplinski tok, kad bi po jedna folija bila nalijepljena na obje stijenke?) ☺

T1

ε'T2

ε2

Φc (qc)

T1

ε1

T2

ε'

Φd (qd )

172. Kugla promjera 100 mm, emisijskog faktora ε = 0,8 i stalne temperature 300 °C okružena je koncentrično smještenom većom kuglom stalne temperature 30 °C. Međuprostor je evakuiran. Emisijski faktor veće kugle je:

I) ε2 = 0; II) ε2 = 0,1. III) ε2 = 0,8; IV) ε2 = 1.

Koliki toplinski tok izmjenjuju ove dvije kugle, ako je promjer veće kugle:

a) d2 = 101 mm;

b) d2 = 200 mm;

c) d2 = 1000 mm;

d) d2 ⇒ ∞ ? *** Rješenje: (Svrha zadatka: Prikazati model obuhvaćenoga tijela te utjecaj pojedinih veličina na izmijenjeni toplinski tok.)

Formula za izmijenjeni toplinski tok glasi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=−

42

41

21

c121 100100

111TTCA

εω

ε

Φ

u kojoj je geometrijski faktor ω definiran kao udio onih zraka koje (krenuvši s površine tijela “2”) dođu do površine tijela “1”, u ukupnom zračenju koje napušta površinu tijela “2”. Dakle, ostatak zraka, (1-ω), kreće s jednog mjesta površine “2” i pada na drugo mjesto istog tijela “2”. No, za praktični se račun ω može računati kao omjer površina tijela “1” i “2”: ω = A1/A2. Za slučaj dviju kugala, može se pisati:

22

21

22

21

2

1

dd

dd

AA

===ππ

ω .

Izmijenjeni će toplinski tok, za zadane vrijednosti A1 , ε1 , T1 i T2 , biti to veći, što je manji drugi pribrojnik u nazivniku: ω (1/ε2 - 1), dakle, što je površina tijela “2” veća (ω manji) i što je ona po svojstvima bliža crnom tijelu (ε2 bliže jedinici).

Za podatke zadane u tekstu, račun daje rezultate:

d2 = 101 mm ω = 0,9803

d2 = 200 mm ω = 0,25

d2 = 1000 mm ω = 0,01

d2 → ∞ ω = 0

I ε2 = 0 Φ1-2 = 0 Φ1-2 = 0 Φ1-2 = 0 Φ1-2 = 0

II ε2 = 0,1 Φ1-2 = 20,88 Φ1-2 = 50,57 Φ1-2 = 132,10 Φ1-2 = 141,61

III ε2 = 0,8 Φ1-2 = 118,39 Φ1-2 = 134,86 Φ1-2 = 141,32 Φ1-2 = 141,61

IV ε2 = 1 Φ1-2 = 141,61 Φ1-2 = 141,61 Φ1-2 = 141,61 Φ1-2 = 141,61

Vidi se da je u slučaju I, kad je ε2 veći, toplinski tok uvijek veći i manje je izražen utjecaj ω. Kad je ω = 0, rezultat je neovisan o emisijskom faktoru većega tijela. ☺

Model obuhvaćenoga tijela primjenljiv je na sustav dvaju tijela, od kojih je manje (obu-hvaćeno) tijelo 1 na cijeloj svojoj površini ispupčeno ili barem ravno, i bar donekle centrično smješteno unutar većeg tijela, dok veće tijelo 2 (koje je po definiciji udub-ljeno) ne smije imati prevelike udubine, tj. s bilo kojeg mjesta njene površine mora se vidjeti cijeli obris (kontura) manjeg tijela.

181. Među dvjema paralelnim stijenkama - toplijom, temperature 300 °C (ε1 = 0,8), i hladnijom, temperature 50 °C (ε2 = 0,85) - smješten je zastor od tankog željeznog lima. Emisijski faktor one strane zastora koja je okrenuta toplijoj stijenci iznosi 0,2, a suprotne strane 0,7. Kroz obadva međuprostora struji zrak temperature 15 °C. Koeficijent konvektivnog prijelaza topline na svim je površinama jednak i ima iznos αk = 20 W/(m2 K).

a) Kolika je temperatura zastora? Koliko toplinskog toka (W/m2) odnosi zrak iz sustava? Kolika je svjetloća toplije stijenke?

b) Kolika bi bila temperatura zastora, kad bi međuprostor bio zrakoprazan? *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati da kod određivanja nepoznate temperature nekog člana sustava nije važno koje smjerove izmjene topline pretpostavljamo – i u slučaju da smo pogriješili, izračunata temperatura će biti ispravna) a) U ovom primjeru nepoznata je temperatura zastora. Sasvim sigurno, ona ne može biti niti viša od 300 °C niti niža od 15 °C, no ne može se unaprijed reći hoće li biti viša ili niža od 50 °C (temperatura stijenke “2”), a to određuje smjer izmjene topline zračenjem između zastora i stijenke “2”. Ako je zastor jako hlađen zrakom, ta će temperatura biti niža, a kad je konvekcija slabija, ona će biti viša.

No za račun to ne predstavlja problem - jednostavno treba pretpostaviti jednu od tih situacija, a rezultat će ili potvrditi ili opovrgnuti tu pretpostavku. Izračunata će temperatura biti ispravna! (Kao kad se npr. u mehanici pretpostavi smjer reakcije, a ako rezultat ispadne negativan, to znači da je smjer reakcije suprotan od pretpostavljenog, ali je njen iznos točan!). Pretpostavit ćemo, primjerice, da je T' > T2 . Uz tu pretpostavku toplinski tokovi imaju smjer kao na slici, pa se uvjet stacionarnosti Φdov = Φodv za zastor može pisati:

Φdov = Φ1z

Φodv = Φz2 + Φk' + Φk", gdje je Φk' = Φk" = αk A (T' - To).

Pri izražavanju pojedinih članova u gornjim jednadžbama u funkciji temperature treba samo paziti da svi članovi imaju tako poredane temperature da svaki od njih na svojoj strani jednadžbe bude pozitivan, uzimajući u obzir gornju pretpostavku! Tako se nakon dijeljenja svih članova s površinom A dobije jednadžba:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )32144344214434421!0

ok

!0

42

4

2

!0

441

1

'2'11

"1'

1'

11>>>

−+−−+

=−−+

TTTTTT α

εε

σ

εε

σ ,

a iz nje, nakon uvrštavanja zadanih brojeva i prebacivanja svih članova na jednu stranu, izraz:

( ) 068,07613'40'10613,4 48 =−⋅+⋅⋅ − TT

čije je rješenje: T ' = 315,49 K (= 42,34 °C), dakle T ' < T2 (to je suprotno od pretpostavke!).

T1

ε1

T2

ε2

T' = ?

ε' ε''

Φ1z

Φk1

Φ k'

αkαk

T0

Φz2

Φ k2Φ

k ''

αk αk

T0

1 2

Da smo unaprijed procijenili da će zastor (zbog male vrijednosti ε ' = 0,2) primati od stijenke “1” malo toplinskog toka, a biti dobro hlađen zrakom (αk je velik), mogli smo i očekivati nisku temperaturu zastora!

Dobivena temperatura T ' < T2 znači da toplinski tok Φz2 nije od zastora odveden stijenci “2”, nego obrnuto! Ispravljen (točan) smjer toplinskih tokova prikazan je na novoj slici.

Shodno tome, jednadžba Φdov = Φodv mijenja oblik:

Φdov = Φ1z + Φz2

Φodv = Φk' + Φk".

pri čemu opet svi članovi moraju biti pozitivni, jer je njihov smjer već uzet u obzir smještanjem svakog od njih na pravu stranu jednadžbe! Tako se dobije jednadžba:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )32144344214434421

!0

ok

!0

442

2

!0

441

1

'2'11

"1

'1

'11

>>>

−=−−+

+−−+

TTTTTT α

εε

σ

εε

σ ,

koja se očigledno može transformirati u oblik identičan prvoj jednadžbi, što znači i da je njeno rješenje identično gore dobivenom!

Zrak odnosi iz sustava sav konvekcijom primljeni toplinski tok

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 2o2oo1kk2kkk1o

W/m6,749315501534,4221530020

'2"'

=−+−⋅+−⋅=

=−+−+−=+++= TTTTTTαΦΦΦΦΦ

Svjetloća stijenke “1” je sva energija zračenja koja odlazi s te stijenke:

( ) ( ) 2

11

2111 W/m5854

2,08,02,08,035,1128,019,4894

''1

=⋅−+⋅−+

=−+−+

=εεεε

ε EEK ,

gdje su emitirane energije: 2484111 W/m9,489415,5731067,58,0 =⋅⋅⋅== −TE σε

2484222 W/m35,11249,3151067,52,0 =⋅⋅⋅== −TE σε .

b) Da nema konvektivnog hlađenja zastora, njegova bi temperatura bila:

( ) C)155,05(K 20,428

185,01

7,01

1

12,0

18,0

11

185,01

7,01

15,323

12,0

18,0

115,573

11"

11

1'

111

11"

11'

11

'4

44

4

21

2

42

1

41

b °==

−++

−+

−++

−+=

−++

−+

−++

−+=

εεεε

εεεε

TT

T

iz čega se vidi koliko je dobro zastor hlađen u slučaju “a” i da se doista nije moglo sa sigurnošću pretpostaviti hoće li temperatura zastora biti viša ili niža od 50 °C! ☺

T1

ε1

T2

ε2

T' = ?

ε' ε''

Φ1z

Φk1

Φ k'

αkαk

T0

Φ z2

Φ k2Φ

k ''

αk αk

T0

1 2

182. Električna grijalica ima oblik vodoravnog valjka (ε = 0,8) promjera 15 mm i duljine 50 cm. Grijalica se nalazi u velikoj prostoriji čiji zidovi imaju temperaturu 18 °C, a u dodiru je s mirujućim zrakom temperature 21 °C. a) Koliko se električne snage smije dovesti toj grijalici, da temperatura njene površine ne

prijeđe 400 °C? b) Ako bi se uz tako dimenzioniranu grijalicu (s gore izračunatom snagom, tj. toplinskim

tokom) postavio ventilator, tako da puše zrak okomito na grijalicu brzinom 1 m/s, kolika bi se ustalila temperatura površine grijalice?

Za izračunavanje koeficijenta konvektivnoga prijelaza topline pod b) može se pretpostaviti temperatura stijenke (površine grijalice) ϑs = 320 °C! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati postupak računanja u slučaju kad su sve temperature zadane i u slučaju kad temperatura jednog člana sustava nije poznata. Upozoriti na rastući udio toplinskog toka izmijenjenog zračenjem kod viših temperatura.). a) Temperatura (površine) grijalice je zadana: ϑs = 400 °C (= 673 K). Kako je grijalica najtopliji član sustava, ona očito predaje toplinski tok svim ostalim sudionicima - zidovima (zračenjem) i zraku (konvekcijom). "Mirujući zrak" u prostoriji sugerira slobodnu konvekciju.

Slobodna konvekcija, vodoravna cijev - zrak Topl. tablice, str.41

( )71510

10096,63

015,081,915,294

15,29415,673Gr 26

3

2s

3

o

os =⋅

⋅−=

−=

−νdg

TTT

87,37151038,0Gr38,0Nu 44ak, ====λ

α d

)K W/(m90,9015,0

03842,087,3Nu 2ak, =

⋅==

dλα

ϑs = 400 °C ν = 63,096⋅10-6 m2/s

C 2102

21400m °≅

+=ϑ

λ = 0,03842 W/(m K)

Površina grijalice: A = d π L = 0,015⋅π⋅0,5 = 0,02356 m2. Toplinski tok koji grijalica predaje zraku konvekcijom:

Φk,a = αk,a A (Ts - To) = 9,90⋅0,02356⋅(400 - 21) = 88,43 W (29,5 % od ukupnog)

Toplinski tok koji grijalica predaje zidovima zračenjem:

( ) ( )[ ] W77,2119115,27315,667,502356,08,0100100

444

z4

scazr, =−⋅⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

TTCAεΦ

ili 70,5 % od ukupno odanog toplinskog toka. Ukupni je toplinski tok:

Φuk = Φk,a + Φzr,a = 88,43 + 211,77 = 300 W.

b) Zadana brzina nastrujavanja zraka na grijalicu w = 1 m/s (prisilna konvekcija – ventilator!) sigurno je veća nego kod slobodne konvekcije. Ostane li toplinski tok doveden električnom strujom (“Jouleova toplina”) isti kao pod a), ustalit će se niža temperatura površine grijalice zbog povećanog koeficijenta α. Zadana pretpostavka ϑs ≅ 320 °C samo omogućava očitavanje toplinskih svojstava zraka iz tablice - s tim se podatkom ne smiju računati toplinski tokovi!

Prisilna konvekcija, strujanje okomito na cijev - zrak, T. tabl. str.41.

4781035,31

015,01Re 6 =⋅

⋅== −ν

dw ; 40 < Re < 4000

K = 0,689; KL = 0,615; m = 0,466

86,107028,0478689,0PrReNu 31466,031bk, =⋅=== //mKd

λα

)K W/(m0,26015,0

03587,086,10Nu 2bk, =

⋅==

dλα

C 1702

21320m °≅

+=ϑ

ρ = 0,7866 kg/m3 cp = 1,02225 kJ/(kg K) λ = 0,03587 W/(m K) ν = 31,35⋅10-6 m2/s Pr = 0,7028

Naravno da i u slučaju “b” vrijedi zakon održanja energije: Φuk = Φk,b + Φzr,b = 297 W, samo što pojedinačne vrijednosti Φk,b i Φzr,b nisu još poznate, zbog nepoznate temperature Ts,b.

( ) W300100100

4z

4bs,

cobs,bk,uk =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

TTCATTA εαΦ .

Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti u gornju jednadžbu dobije se jednadžba:

( ) 09239,48761208,01006877,1 bs,4

bs,9 =−⋅+⋅ − TT

koja se može riješiti samo numerički, i to bilo kojim od poznatih postupaka (npr. Newtonovom metodom, metodom sekante i sl.). Zamislimo da se ovdje radi o nekoj funkciji Y, čiju nul-točku tražimo:

( ) 09239,48761208,01006877,1 bs,4

bs,9 =−⋅+⋅= − TTY

Kako iz matematike znamo, funkcija četvrtog stupnja ima četiri korijena: ili četiri realna broja, ili četiri (dva para) konjugirano kompleksna korijena, ili dva realna i dva konjugirano kompleksna korijena. Kako su za temperaturu smisleni samo realni brojevi, konjugirano kompleksni korijeni otpadaju i moraju postojati barem dva realna korijena. No s fizikalnog stanovišta nemoguće su dvije (ili čak četiri?) temperature kao rješenje. To znači da je samo jedan broj moguć kao fizikalno rješenje, a drugi mora biti matematički ispravan korijen, ali fizikalno besmislen broj (dakle, negativna termodinamička temperatura). Najjednostavniji je postupak rješavanja puko uvrštavanje brojeva u gornju jednadžbu, počevši od nekog suvislog broja (ovdje je logično početi od 320°C!). Pritom predznak Y odmah pokazuje da li je uvršteni broj za Ts,b premalen (Y negativan) ili prevelik (Y pozitivan). Iterirati treba dok se ne dobije dovoljno točan rezultat (nema jednoznačnog odgovora što to znači, ali rijetko ima smisla iterirati dalje od desetinke stupnja, a gotovo nikada dalje od stotinke).

Usvojeno je: Ts,b = 588,2 K (= 315,2°C).

S tom temperaturom dobiju se, vraćanjem u polazne izraze za toplinski tok:

Φk,b = 180 W (60 %) i Φzr,b = 120 W (40 %)

što pokazuje da se je povećao udio konvekcije (zbog porasta koeficijenta konvektivnog prijelaza topline s povećanjem brzine strujanja zraka), a smanjio udio zračenja.

Funkcija četvrtoga stupnja Y, prikazana gore u analitičkom obliku, može se prikazati i u Y,Tsb-dijagramu. Iz toga se dijagrama vidi da doista postoje dva realna (matematička) rješenja, ali da je drugo fizikalno nemoguće, jer je Tsb < 0 K!

Ts,b Y

593 590 588 588,1 588,2

+7,202 +2,711 –0,2598 –0,1116 +0,0365

☺

-1000 -500 0 500 1000Ts,b

-800

-400

0

400

800

1200

Y

183. Stakleni termometar za mjerenje temperature zraka u prostoriji pokazuje 23 °C. Kolika je pogreška pri mjerenju (tj. razlika između stvarne temperature zraka i vrijednosti

koju termometar pokazuje), koja nastaje zbog izmjene topline zračenjem između termometra i zidova prostorije koji imaju temperaturu 19 °C? Kolika je stvarna temperatura zraka?

(Koeficijent konvektivnog prijelaza topline na površini termometra iznosi 5 W/(m2 K), a emisijski faktor stakla je ε = 0,94). *** Rješenje: (Svrha zadatka: Upozoriti da termometar okružen plinom (prozirnim za zrake), ako je izložen stijenkama čija je temperatura različita od temperature plina, pokazuje pogrešnu temperaturu!) Treba imati na umu da termometar pokazuje svoju temperaturu! Tek ako se pobrinemo da on bude u toplinskoj ravnoteži s “tijelom” čiju temperaturu želimo mjeriti, očitani će podatak na termometru biti ujedno i temperatura tog tijela! U opisanom je slučaju termometar (23 °C) očito topliji od zidova (19 °C), a budući da je plin proziran, termometar će predavati toplinski tok hladnijim zidovima. No, temperatura od 23 °C je zadana kao njegova stalna (stacionarna) temperatura, što po zakonu održanja energije znači da on mora odnekuda i nekako i primati baš onoliko toplinskog toka koliko ga predaje zračenjem. Kako drugog mogućeg izvora topline osim zraka ovdje očito nema, jedini je mogući zaključak da je zrak topliji od termometra i da baš on daje potreban toplinski tok konvekcijom.

Uvjet stacionarnosti (Φdov = Φodv) primijenjen na ovaj slučaj glasi:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==−=

44

100100zs

czrsokkTT

CATTA εΦαΦ

iz čega onda slijedi tražena razlika (To - Ts) = ∆ϑz kao pogreška termometra:

( ) Ck

zsc

z °=−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 33,45

92,296,267,594,0100100 44

44

α

ε

ϑ∆

TTC

,

što znači da je stvarna temperatura zraka 27,33°C. Takva se pogreška ne može smatrati zanemarivom!

U situacijama poput ove, uvijek će tijelo koje je prepušteno samo sebi poprimiti neku temperaturu između temperature plina i temperature okolnih stijenki, a ona će biti bliža temperaturi plina što je αk veći i što je ε manji.

Termometri koji su namijenjeni mjerenju temperature plina redovito zbog toga imaju “osjetnik” (kuglicu) zaštićenu od izmjene topline zračenjem, ali s tako izvedenom zaštitom (npr. nekim limom) da ne sprječava strujanje zraka uz kuglicu. Dakle, zaštita treba spriječiti izmjenu topline zračenjem s okolnim objektima, a da istodobno omogućava izmjenu topline konvekcijom sa plinom! ☺

T0 Φk

> 23°C

23°C

Ts

Tz

Φ zr

19°C

184. Vodoravna cijev vanjskog promjera 60 mm izolirana je s dva sloja izolacije, svaki debljine 20 mm. Unutarnji sloj izolacije ima koeficijent toplinske vodljivosti λ1 = 0,1 W/(m K), a vanjski sloj λ2 = 0,05 W/(m K). Izolacija je izvana obložena tankim aluminijskim limom (ε = 0,1). Kroz cijev struji voda temperature 120 °C, a toplinski otpori konvekcije s vode na cijev i provođenja topline kroz stijenku cijevi su zanemarivi. Cijev s izolacijom je okružena mirujućim zrakom temperature 20 °C i zidovima velike prostorije, temperature 17 °C. Izračunajte koliko se toplinskog toka izmjenjuje po metru duljine cijevi, temperaturu aluminijskog lima i temperaturu dodirne plohe dvaju slojeva izolacije! Naputak: za izračunavanje koeficijenta prijelaza topline na vanjskoj površini lima pretpostaviti temperaturu lima 30 °C!

*** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati postupak izračunavanja nepoznate temperature vanjske površine lima s pomoću “koeficijenta prijelaza topline zračenjem”.)

Koeficijent prijelaza topline konvekcijom računamo s (u tekstu zadanom) pretpostavljenom temperaturom Ts,4,p = 303,15 K.

Za slobodnu konvekciju idealnog plina na vanjskoj površini vodoravne cijevi:

3626

3

2s

34

o

ops,4, 1010475,3)10256,16(

14,081,915,2932030Gr >>⋅=

⋅⋅−

=−

= −νdg

TTT

;

( ) 3,167158,010475,341,0PrGr41,0Nu 4 644kv, =⋅⋅⋅=⋅==λ

α d;

K) W/(m02,314,002593,03,16Nu 2

4kv, ≅

⋅==

dλα .

I koeficijent prijelaza topline zračenjem računamo s temperaturom Ts,4,p = 303,15 K. Model je obuhvaćeno tijelo, ω ≅ 0 (Pazite na temperature u brojniku i u nazivniku!):

( ) ( ) K) W/(m770,0

203015,29015,3031067,51,0 2

448

vps,4,

4z

4ps,4,

zr =−

−⋅⋅⋅=

−

−=

−

TTTTσε

α ;

K) W/(m79,3770,002,3 2zrkv,ukv, =+=+= ααα ;

Zbog zanemarivosti toplinskih otpora konvekcije s vode na cijev i provođenja topline kroz stijenku cijevi, temperatura vanjske površine čelične cijevi jednaka je temperaturi vode u cijevi ( us,2 ϑϑ ≅ ), pa je toplinski tok određen samo trima toplinskim otporima:

( ) ( ) W/m25,40

79,307,01

5070ln

05,01

3050ln

1,01

20120π21ln1ln1

π2

774,3729,6108,5ukv,43

4

22

3

1

os,2uk =

⋅++

−=

++

−=

===434214342143421αλλ

ϑϑΦ

rrr

rrL

,

Pazite! U zadnji pribrojnik nazivnika ulazi ukupni koeficijent prijelaza topline αv,uk !

Prvi pribrojnik nazivnika povezan je s (ukupnim!) toplinski tokom koji prolazi kroz prvi sloj izolacije, drugi je pribrojnik povezan s (ukupnim!) toplinski tokom koji prolazi kroz drugi sloj izolacije, pa i treći pribrojnik mora iskazivati ukupni toplinski tok (konvekcijom i zračenjem!)

koji s lima odlazi u okoliš! Uvrštavanje samo konvektivnog dijela koeficijenta prijelaza topline u gornji izraz u suštini znači narušavanje prvoga glavnog stavka!

( ) ( ) ( )

W/m25,401

π2

ln1π2

ln1π2

ukv,4

vs,4

3

4

2

s,4s,3

2

3

1

s,3s,2 =−

=−

=−

=

α

ϑϑ

λ

ϑϑ

λ

ϑϑΦ

rrr

rrL

,

C 28,873050ln

1,0π225,40120ln

π2/

2

3

1s,2s,3 °=

⋅⋅−=−=

rrL

λΦϑϑ ,

Temperatura vanjske površine (ona je u prikazanom redoslijedu računanja zadnja nepoznata temperatura!) može se izračunati na dva načina – “iznutra”, preko provođenja kroz drugi sloj:

C 17,445070ln

05,0π225,4028,87ln

π2/

3

4

2s,3s,4 °=

⋅⋅−=−=

rrL

λΦϑϑ ,

ili “izvana”, preko ukupnih otpora (konvekcije i zračenja) na vanjskoj strani:

C 17,4479,307,0π2

25,4020π2

/

ukv,4vs,4 °=

⋅⋅⋅+=+=

αΦϑϑr

L .

Dijagram Iako je izračunata temperatura lima (~44 °C) dosta različita od pretpos-tavljene (30 °C), rezultati nisu jako daleko od točnih – ponovimo li cijeli račun s pretpostavljenom temperaturom aluminijskog lima 44 °C, dobit ćemo:

K) W/(m68,3 2kv, ≅α

i K) W/(m39,4 2ukv, ≅α

što je dosta različito od 3,76, ali su ostale vrijednosti znatno bolje:

W/m64,41/ ≅LΦ

i C 55,41s,4 °=ϑ .

Stvar je procjene treba li, kada i do koje točnosti, račun ponavljati (iterirati).

Time je zadatak gotov!

Na sljedećoj stranici prikazan je načelno ispravniji, ali i složeniji način traženja temperature Ts,4 :

ϑu = ϑs,1 =ϑs,2 = 90 °C

ϑv = 20 °C

r

ϑ

ϑs,3 = 87,32 °C

ϑs,4 = 44,27 °C

λ1

λ2

r1 r2 r3 r4

Načelno ispravniji, ali i složeniji način traženja temperature Ts,4 bio bi sljedeći:

- ukupni toplinski tok koji iznutra dolazi do lima možemo izraziti jednadžbom:

( ) ( ) ( )s,4

s,4

3

4

22

3

1

s,4s,2uk 15,39353078,0

5070ln

05,01

3050ln

1,01

15,393π2

ln1ln1π2

TT

rr

rr

TTL

−⋅=+

−⋅⋅=

+

−=

λλ

Φ;

- toplinski tok koji od lima odlazi konvekcijom na zrak izražen je jednadžbom:

( ) ( ) ( )15,29332637,115,29302,307,0π2π2 s,4s,4vs,4kv,4k −⋅=−⋅⋅⋅⋅=−= TTTTr

Lα

Φ ;

- toplinski tok koji od lima odlazi zračenjem na zidove izražen je jednadžbom:

( ) ( )

( );15,290104938,2

1067,507,0π21,0π2

44s,4

9

4z

4s,4

84z

4s,44

zr

−⋅⋅=

=−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−=

−

−

T

TTTTrL

σεΦ

Bilanca energije lima kaže da je iznutra dovedeni toplinski tok jednak prema van odvedenom:

LLLzrkuk ΦΦΦ

+=

iz čega slijedi:

( ) ( ) ( )44s,4

9s,4s,4 15,290104938,215,29332637,115,39353078,0 −⋅⋅+−⋅=−⋅ − TTT .

Sređivanjem se dobije jednadžba:

017642,61585715,1104938,2 s,44

s,49 =−⋅+⋅⋅ − TT ,

čije je rješenje

C) (44,44K 59,317s,4 °≅T !

Dakle, dobili smo približno isti rezultat kao i u postupku s ukupnim koeficijentom prijelaza topline! Rezultat bi i ovdje bio bolji da smo koeficijent konvektivnog prijelaza topline izračunali s boljom početnom pretpostavkom od zadanih 30 °C! Ipak, ovdje smo, načelno, izbjegli pogrešku računanja αzr s netočnom pretpostavljenom vrijednošću! To što se ovdje baš i ne vidi da je rezultat točniji, posljedica je toga što je kod niskih temperatura (~40 °C) zračenje ionako slabo, pa ne utječe bitno na rezultate.

☺

191. U pregrijaču pare parnog kotla pregrijava se 20 000 kg/h suhozasićene vodene pare tlaka 50 bar na temperaturu 480 °C. Potreban toplinski tok daju dimni plinovi svojim hlađenjem od 1050 °C na 600 °C.

Izmjenjivač topline je građen iz čeličnih cijevi promjera 32/38 mm. Poznat je koeficijent prijelaza topline unutar cijevi (na strani pare) αu = 200 W/(m2 K) i s vanjske strane cijevi (na strani dimnih plinova) αv = 100 W/(m2 K).

Treba izračunati potrebnu površinu izmjenjivača topline, iskoristivost topline i stupanj djelovanja izmjenjivača za:

a) istosmjernu, b) protusmjernu izvedbu.

Kolika je temperatura vanjske površine cijevi na onom kraju izmjenjivača, na kojem ulaze dimni plinovi? *** Rješenje: (Svrha: Pokazati postupak proračuna izmjenjivača, računanja toplinskog kapaciteta struja, razliku u učinku dvaju tipova izmjenjivača te određivanja površinskih temperatura cijevi.)

Izmijenjeni toplinski tok može se odmah izračunati iz zadanih podataka:

( ) ( ) kW 329723,279471,33873600

00020szpppp, =−⋅=−= hhqmΦ

Za daljnji račun treba prvo ustanoviti koja je struja “1”, a koja struja “2”: budući da su ovdje poznate sve temperature, to je lako, jer slabija struja “1” više mijenja svoju temperaturu. To su očito dimni plinovi koji se hlade za 450 °C, dok se vodena para zagrijava od temperature zasićenja (263,94 °C za 50 bar, Toplinske tablice, str.6) na 480 °C, dakle, samo za 216 °C. Tako su dimni plinovi struja “1”, a vodena para struja “2”. Isto tako, kad su poznate sve temperature, lako se izračunaju bezdimenzijske veličine:

48,06001050264480

C "1

'1

'2

"2

2

13 =

−−

=−−

==ϑϑϑϑ

πC

5725,026410506001050

'2

'1

"1

'1

1 =−−

=−−

=ϑϑϑϑ

π

što znači da će se treća bezdimenzijska veličina π2 = (k A0)/C1 očitati iz dijagrama za dotični tip izmjenjivača i u njoj će biti sadržana tražena veličina A0 . Da bi se ta tražena veličina mogla izdvojiti iz bezdimenzijskog sklopa, treba poznavati vrijednosti k i C1. Koeficijent prolaza topline određuje se iz poznatog izraza (odaberimo proizvoljno da bude sveden na vanjsku površinu cijevi):

)K W/(m52,62

1001

3238ln

58019,0

200016,0019,0

11ln

1 2

vu

v

č

v

uu

vv =

++⋅

=++

=

αλα rrr

rr

k ,

Želimo li računati s k svedenim na unutarnju površinu, on bi iznosio:

)K W/(m25,7452,623238 2

vu

vu =⋅== k

rr

k .

(Sam je izbor nevažan, jer ćemo kao rezultat dobiti onu površinu na koju je sveden k. Od ranije je poznato da je umnožak (k A) po definiciji konstantan, pa ćemo tako s manjom vrijednošću kv dobiti veću površinu A0,v, a s većim ku rezultat je manja površina A0,u. No, kako je A0,v = n dv π L, a A0,u = n du π L, na duljinu cijevi to očito neće imati utjecaja! (n je broj cijevi u snopu - u ovom primjeru nije zadan, pa je (n L) ukupna duljina svih cijevi u snopu).

Druga potrebna veličina, C1 , ne može se ovdje izračunati iz definicijskog izraza C1 = qm,1 cp,1 , jer za struju "1" (dimne plinove) nije poznat niti zasebni iznos protočne mase dimnih plinova qm,1, niti njihov specifični toplinski kapacitet cp,1. No, kako vrijedi Prvi glavni stavak ( ) ( )"'"'

p,m, CcqΦ 1111111 ϑϑϑϑ −=−= , toplinski se kapacitet dimnih plinova dobije iz izraza:

( ) ( ) W/K73276001050103297 3

"1

'1

1 =−⋅

=−

=ϑϑ

ΦC

a) istosmjerni izmjenjivač Iz dijagrama za istosmjerni izmjenjivač, za π3 = C1/C2 = 0,48 i π1 = 0,5725, očitana je vrijednost π2 = (k A0)/C1 = 1,27. S tim se brojem dobije i potrebna površina istosmjernog izmjenjivača A0,v :

2

v

1

1

0v0, m 8,148

52,62732727,1 =⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kC

CAk

A (ili A0,u = 125,3 m2)

"Iskoristivost topline" ε za sve je tipove izmjenjivača jednaka π1:

ε = π1 = 0,5725,

ali je "stupanj djelovanja izmjenjivača" η za istosmjerni tip drugačiji nego za ostale:

( ) %7,84847,05725,048,011 12

1i ==⋅+=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= πη

CC

a) protusmjerni izmjenjivač Iz dijagrama za protusmjerni izmjenjivač, za π3 = C1/C2 = 0,48 i π1 = 0,5725, očitana je vrijednost π2 = (k A0)/C1 = 1,02. S tim se brojem dobije i potrebna površina protusmjernog izmjenjivača A0,v :

2

v

1

1

0v0, m 5,119

52,62732702,1 =⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kC

CAk

A (ili A0,u = 100,7 m2)

"Iskoristivost topline" ε opet je jednaka π1:

ε = π1 = 0,5725,

ali je za protusmjerni tip i "stupanj djelovanja izmjenjivača" jednak π1:

%25,575725,01i === πη .

Fizikalni je smisao tih dvaju pokazatelja, ε i η , slijedeći: • "Iskoristivost topline" ε pokazuje koliko se toplinskog toka iskoristi od ukupno teoretski

raspoloživog (onog koji je određen protočnim masama dviju struja, njihovim ulaznim temperaturama i drugim glavnim stavkom!). Kako je za oba tipa zadan isti toplinski tok (3263 kW), a i svi su ostali podaci isti, oba tipa izmjenjivača iskorištavaju 57,3% teoretski raspoloživog toplinskog toka;

• "Stupanj djelovanja izmjenjivača" pokazuje koliko dotični izmjenjivač topline izmijeni u odnosu na ono što bi isti tip izmjenjivača mogao izmijeniti kad bi imao beskonačno veliku površinu. To što istosmjerni tip ima stupanj djelovanja veći (84,7 %) od protusmjernoga (57,3 %) ne znači da je on bolji (suprotno tome, lošiji je!) od protusmjernoga. To se vidi već i po tome što za isti učinak traži veću površinu (148,8 m2 prema 119,5 m2). Veći η ovdje znači samo to, da je istosmjerni tip za postavljeni zadatak (3297 kW) znatno bliže postizivoj granici koju taj tip izmjenjivača ne može premašiti! Naime, i s beskonačnom površinom istosmjerni bi izmjenjivač mogao paru pregrijati i dimne plinove ohladiti samo do zajedničke izlazne temperature ϑ":

C9,518148,0

264105048,0

12

1

'2

'1

2

1

21

'22

'11" °=

++⋅

=+

+=

++

=

CC

CC

CCCC

ϑϑϑϑ

ϑ

Kod protusmjernog su izmjenjivača te granice znatno više: dimni bi se plinovi kao "slabija" struja (teoretski) mogli ohladiti sve do 264°C, pregrijavajući pritom paru na 641,3°C.

Temperatura vanjske površine cijevi određena je, kao i ranije u poglavljima 3 i 4, odnosom pojedinih toplinskih otpora – većem otporu odgovara i veći pad temperature. Prema ideji prikazanoj u zadatku 47., diferencijalna jednadžba izmjenjivača kod kojega je, kao ovdje, slabija struja (“1”) s vanjske strane cijevi, može se pisati u obliku: ( ) ( ) vvs,1vv21v ddd AAk ϑϑαϑϑΦ −=−= gdje su temperature ϑ1 i ϑ2 lokalne temperature struja “1” i “2” na promatranom mjestu površine. Iz gornjeg izraza slijedi temperatura stijenke ϑs,v :

( )21v

v1vs, ϑϑ

αϑϑ −−=

k.

Kako se u obadva slučaja traži temperatura stijenke na onom kraju izmjenjivača na kojem ulaze dimni plinovi, temperatura ϑ1 uvijek će biti '

1ϑ , dok će se temperatura struje “2” (ϑ2) razlikovati ovisno o smjeru strujanja.

a) istosmjerni izmjenjivač – struja “2” ulazi tamo gdje ulazi i struja “1”, pa je '22 ϑϑ = :

( ) ( ) C6,5582641050100

52,621050'2

'1

v

v'1av,s, °=−⋅−=−−= ϑϑ

αϑϑ

k.

b) protusmjerni izmjenjivač – struja “2” izlazi tamo gdje ulazi struja “1”, pa je "22 ϑϑ = :

( ) ( ) C6,6934801050100

52,621050"2

'1

v

v'1bv,s, °=−⋅−=−−= ϑϑ

αϑϑ

k.

iz čega se jasno vidi da je kod protusmjernog izmjenjivača stijenka barem na nekim mjestima izložena znatno višim temperaturama, jer se tamo gdje je grijanje stijenke najjače, na ulaznom kraju dimnih plinova, ona slabije hladi već pregrijanom parom.

0 A0,v,i

ϑ1' = 1050oC

559oCϑ1

" = 600oC

ϑ2" = 480oC

ϑ1 (A)

ϑ 2(A)

ϑs,v(A)

ϑ2' = 264oC

A

C1

C2

ϑ

0 A0,v,p

ϑ1' = 1050oC

694oC

ϑ1" = 600oC

ϑ2" = 480oC

ϑ1 (A)

ϑ2(A)

ϑs,v (A)

ϑ2' = 264oC

A

C1

C2

ϑ

192. Izmjenjivač topline je napravljen kao snop od 20 čeličnih cijevi promjera 32/38 mm. S vanjske stane potpuno kondenzira 1300 kg/h pregrijane vodene pare stanja 2 bar i 140 °C, kojom se zagrijava voda od 25 °C na 95 °C.

a) Odredite potrebnu površinu izmjenjivača topline i duljinu cijevnog snopa, ako je koeficijent prijelaza topline na strani pare αp = 10 000 W/(m2 K))!

b) Kolika bi bila izlazna temperatura iste količine vode iz tako dimenzioniranog izmjenjivača, ako bi se tlak pare smanjio prigušenjem na 1,6 bar, a sve ostale veličine ostanu nepromijenjene! Koliki bi bio potrošak pare?

Raspored temperatura u jednom i drugom slučaju skicirati u istom ϑ,A-dijagramu! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati proračun kondenzatora, upozoriti na to da i kod kondenzacije pregrijane pare na rad izmjenjivača utjecaj ima samo temperatura zasićenja pare, a ne njena stvarna ulazna temperatura! Pokazati da jedan uređaj može raditi u različitim uvjetima, dajući različiti učinak. Pokazati da su u ovom slučaju obadva režima rada (koji se stvarno razlikuju), promatrano bezdimenzijski, zapravo identični!) a) Izmijenjeni toplinski tok određen je protočnom masom i promjenom entalpije pare:

( ) ( ) kW 810,2kJ/h 10917,268,50431,27481300 6vkppp,a =⋅=−⋅=−= hhqmΦ

a s njime je onda određena i protočna masa vode koja se zagrijava:

kg/h 9962kg/s 767,2701828,4

2,810∆ ww

aw, ==

⋅==

ϑΦ

cqm

Prisilna konvekcija, strujanje kroz cijev - voda Topl. tablice, str.44

m/s 175,0π032,02021,983

767,24π

422

u

w, =⋅⋅⋅

⋅===

dnq

Aq

w mm

ρρ

300080011104744,0032,0175,0Re 6

u >>=⋅

⋅== −ν

dw

( ) 98,641PrRe74,11

RePr0398,0Nu 125,0

750uu =

−+== −

,dλ

α

)K W/(m1329032,0

65440,098,64Nu 2

uu =

⋅==

dλα

C 602

wwsrw, °=

′′+′=

ϑϑϑ

ρ = 983,21 kg/m3 c = 4,1828 kJ/(kg K) λ = 0,65440 W/(m K) η = 466,4⋅10−6 N s/m2 ν = 0,4744⋅10−6 m2/s Pr = 2,9811

Koeficijent prolaza topline može se računati sveden na bilo koju površinu: ona na koju je sveden, ta se i dobije kao rezultat. Iako se vanjska i unutarnja površina cijevi razlikuju, duljina cijevi je ista! Odaberemo li ku sveden na unutarnju površinu, dobije se:

)K W/(m1131

00010019,0016,0

3238ln

58016,0

13291

1

ln 11 2

vv

u

u

v

č

u

u

u =

⋅++

=++

=

αλα rr

rrr

k ,

a na vanjsku površinu: kv = 950 W/(m2 K). Dalje ćemo računati s ku.

U svakom je izmjenjivaču, u kojem para kondenzira, svakako C1/C2 = 0, pa je voda slabija struja (“1”) s toplinskim kapacitetom

W/K575118,4182767,2ww,1 =⋅== cqC m&

S poznatim vrijednostima:

0C2

13 ==

Cπ i 7352,0

21,120259525

21

111 =

−−

=′−′′′−′

=ϑϑϑϑ

π

iz bilo kojeg dijagrama može se očitati treća veličina: π2 = (k A0)/C1 = 1,33. Ona se može za ovaj slučaj jednostavno i izračunati iz izraza:

( ) ( ) 33,1735,0-1ln-1ln 11

02 =−=−== ππ

CAk

(samo za C1/C2 = 0!).

Iz značajke π2 može se izračunati površina A0,u , ako znamo ku i C1:

2

u

1

1

ouo, m 60,13

11311157533,1 =⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kC

CAk

A&

&,

a iz nje i duljina cijevnog snopa m 76,6π032,020

60,13πu

uo, =⋅⋅

==dnA

L

b) I u ovom slučaju para kondenzira (C1/C2 = 0), a iste su i vrijednosti ku, A0,u i C1, dakle, i značajka π2 = 1,33 ostaje ista. To znači, da je i temperaturna funkcija π1 ista: π1 = 0,7352! Kako su u njoj sadržane tri temperature: 1ϑ′ , 1ϑ ′′ i 2ϑ′ , njihovi iznosi ne moraju biti isti kao pod “a”, ali moraju biti takvi da, uvršteni u jednadžbu za π1 daju 0,7352!

Iz jednadžbe 7352,0'b2

'1

"b1

'1

1 =−−

=ϑϑϑϑ

π

slijedi ( ) ( ) C 92,8930,113257352,025b2111b1 °=−⋅−=′−′−′=′′ ϑϑπϑϑ Izmijenjeni se je toplinski tok smanjio, jer su se, sa sniženjem temperature '

2ϑ smanjile i sve lokalne razlike temperatura:

( ) ( ) kW 4,751 W4007512592,891157511b1b ==−⋅=′−′′= ϑϑΦ C&

Potrošak pare je također manji:

( ) ( ) kg/h 1190 kg/s 3306,034,47531,2748

104,751 3

bvk,pp

bbp,, ==

−⋅

=−

=−

hhqm

Φ

Entalpija pare ostaje i nakon prigušiva-nja ista (osnovno obilježje prigušiva-nja!), ali se entalpija vrele kapljevine smanjila, jer joj se je i temperatura snizila sa 120,21°C na 113,30°C.

Iako je prigušenjem para (koja je već bila pregrijana) još više ušla u pregri-jano područje, i dalje je temperatura zasićenja ona koja određuje intenzitet izmjene topline, što se vidi iz značajke π1. To što je para pregrijana ima odraza samo na potrošak pare!

Kako je pokazano na početku dijela “b”, ta su dva režima rada, iako stvarno različiti, bezdimenzijski isti, jer su opi-sani trima jednakim bezdimenzijskim parametrima! ☺

0 AoA

ϑ

C251 °=′ ϑ

C120,212a °= ϑ

1bC&

C951a °=′′ ϑ

∞⇒2aC&

C113,302b °= ϑ∞⇒2bC&

C89,91b °=′′ ϑ

1aC&

ϑ 1a(A)

ϑ 1b(A)

201. Plinsko gorivo volumenskog sastava: 80 % metana, 15 % etana i 5 % propana potpuno izgara s 15 % pretička zraka.

a) Kolika bi se temperatura postigla u toplinski izoliranom ložištu, ako gorivo ulazi u ložište s 0 °C, a zrak za izgaranje s 250 °C? (Pretpostaviti 2000 °C!).

b) Ako stijenke ložišta nisu izolirane, nego se za vrijeme izgaranja toplinski tok odvodi iz ložišta, koliko topline treba odvesti da bi temperatura dimnih plinova na izlazu iz ložišta bila 1300 °C?

c) Dimni plinovi izlaze s temperaturom 200 °C u okoliš normalnog stanja. Koliki su gubici osjetne topline i koliki je protočni volumen dimnih plinova u dimnjaku, ako je protočna količina goriva 10 kmol/h?

Računati sa srednjim specifičnim (molarnim) toplinskim kapacitetima! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati osnovne stehiometrijske jednadžbe izgaranja i kako se s pomoću njih mogu izračunati sve potrebne veličine. Pokazati računanje temperature u ložištu, kako izoliranom, tako i neizoliranom.) Gorivo je plinska smjesa metana (CH4), etana (C2H6) i propana (C3H8). Za svaki od ta tri plina, stehiometrijska jednadžba izgaranja glasi (broj atoma na lijevoj i desnoj strani jednadžbe mora biti jednak):

- za metan: OH2COO2CH 2224 +→+

- za etan: OH3CO2O3HC 22221

62 +→+

- za propan: OH4CO3O5HC 22283 +→+ .

Kako je po definiciji 1 kmol = 6,023⋅1026 elementarnih čestica (onakvih, u kakvom se obliku tvar pojavljuje), gornje se jednadžbe mogu pomnožiti s Loschmidtovim (Avogadrovim) brojem (6,023⋅1026), tako da se, umjesto na pojedine čestice, odnose na kilomolove dotičnih sudionika:

- za metan: OH kmol 2CO kmol 1Okmol 2CH kmol 1 2224 +→+

- za etan: OHkmol 3COkmol 2O kmol3HC kmol 1 22221

62 +→+

- za propan: OHkmol 4COkmol 3Okmol 5HCkmol 1 22283 +→+ ,

a u tom obliku ove jednadžbe opisuju sve stehiometrijske odnose pri izgaranju. Primjerice, prva jednadžba za metan kaže da za izgaranje jednog kilomola metana trebaju dva kilomola kisika, da nastaje jedan kilomol ugljikovog dioksida i dva kilomola vodene pare.

U jednom kilomolu goriva sadržano je 0,8 kmol metana, 0,15 kmol etana i 0,05 kmol propana, pa je minimalna (stehiometrijska, teoretska) količina kisika za izgaranje jednoga kilomola goriva zbroj pojedinačnih potrebnih količina:

GOmin kmol/kmol 375,2505,05,315,028,02

=⋅+⋅+⋅=O .

Ako se kisik za izgaranje dovodi u zraku (koji ga sadrži 21% - molni), količinski treba oko pet puta više zraka (točnije: 1/0,21):

Gz

minmin /kmolkmol 31,11

21,0375,2

21,0===

OZ

.

Za svako izgaranje, želimo li da bude potpuno, treba dovesti više zraka od minimalne količine, i to λ - puta (λ je "faktor pretička zraka"):

Gzmin

minstv /kmolkmol 006,1321,0

375,215,121,0

=⋅=⋅=⋅=OZZ λλ .

Količine dimnih plinova koje nastaju izgaranjem odabrane jedinice goriva (1 kmol) također slijede iz stehiometrijskih jednadžbi:

- količina ugljikovog dioksida određena je količinom ugljika u gorivu:

[ ] GCO2CO kmol/kmol 25,1305,0215,018,0CO22

=⋅+⋅+⋅==n

gdje je 2COn novija, a [ ]2CO starija oznaka za količinu nastalog ugljikovog dioksida po

odabranoj jedinici goriva.

- količina vodene pare određena je količinom vodika u gorivu (i vlage, kad bi je u gorivu bilo):

[ ] GOH2OH kmol/kmol 25,2405,0315,028,0OH22

=⋅+⋅+⋅==n .

- količina slobodnoga kisika je zapravo višak dovedenoga kisika, tj. razlika između dovedenog kisika (Ostv = λ Omin) i onoga (Omin) koji se uopće može potrošiti, dakle, koji se ima s čime spojiti:

[ ] ( ) ( ) GOmin2O kmol/kmol 3563,0375,2115,11O22

=⋅−=−== On λ - pojavljuje se još i dušik, jer se dovodi sa zrakom (koji ga sadrži 79% - molnih):

[ ] GNstv2N kmol/kmol 2747,10006,1379,079,0N22

=⋅=⋅== Zn .

Svi oni zajedno čine "vlažne dimne plinove", tj. to su stvarni dimni plinovi koji nastaju izgaranjem:

GvdpNOOHCOvl kmol/kmol 131,142222=+++= nnnnn ,

a bez vodene pare to bi bili tzv. "suhi dimni plinovi", koji nisu stvarni. No, za potrebe mjerenja sastava dimnih plinova, uzorak bi se ohladio na okolišnu temperaturu, pri čemu bi vlaga kondenzirala (ili se uklonila apsorpcijom), tako da se mjerenjem obično dobije "sastav suhih dimnih plinova", primjerice Orsat-aparatom. Osim kad se u račun ulazi s mjerenim sastavom suhih dimnih plinova, ili se računa njihov sastav, u ostalim se situacijama redovito računa sa stvarnim, dakle, vlažnim dimnim plinovima! Temperatura izgaranja (ili temperatura dimnih plinova na izlazu iz ložišta), bez obzira na to je li izgaranje potpuno ili nije, te je li ložište izolirano ili nije, određena je energijskom bilancom (Prvim glavnim stavkom) i može se računati s pomoću jednadžbe:

[ ]∑−++

=izg

0,mi

odvzstvGdizg

∆ϑϑ

ipCnqhZhh

u kojoj je ∆hd (J/jed.G) donja ogrjevna vrijednost goriva po odabranoj jedinici goriva (onoj, s kojom se računa cijeli zadatak) i odnosi se na potpuno izgaranje. Ovdje se računa s donjom ogrjevnom vrijednošću, jer je temperatura u ložištu vrlo visoka, pa se dio energije troši za prevođenje vlage (bilo nastale izgaranjem vodika, bilo isparivanjem - ishlapljivanjem već postojeće vlage u gorivu), a ne dobije se natrag, jer hlađenja dimnih plinova nema. Član hG (J/jed.G) je entalpija goriva koju ono unosi u ložište, ako ulazi s temperaturom većom od 0 °C. Zrak, ako ulazi s temperaturom većom od 0 °C, unosi u ložište svoju entalpiju Zstv hz (J/jed.G). Zadnji član u brojniku ⏐qodv⏐ je toplina (J/jed.G) odvedena iz ložišta. Ona može biti jednaka nuli ako je ložište izolirano ("adijabatsko"), a ako je ložište neizolirano, uvijek je odvedena, zbog visoke temperature u ložištu.

Suma u nazivniku je toplinski kapacitet dimnih plinova, a pomnožena s temperaturom ϑizg postaje entalpija koju iznose dimni plinovi iz ložišta. Suma se sastoji od umnožaka količina pojedinih dimnih plinova (ni) (kmoli/jed.G) nastalih izgaranjem, s njihovim srednjim molnim toplinskim kapacitetom između temperatura 0°C i temperature izgaranja ϑizg : [ ] izg

0pϑC .

Gornja je jednadžba općenita, pa se pojedini članovi u gornjoj jednadžbi prilagođavaju promatranoj situaciji. Ogrjevna je vrijednost goriva njegovo svojstvo i odnosi se na potpuno izgaranje. Određuje se mjerenjem na uzorku, a u nedostatku pouzdanih mjerenih podataka kao i u ovakvim "školskim" primjerima može se koristiti i približna formula, koja za smjesu gorivih plinova glasi:

∑= id,id ∆∆ hyh ,

što, prevedeno u oznake ovog zadatka, daje:

kJ/kmol 200958MJ/kmol 2,958204405,09,142715,03,8028,0

∆∆∆∆8383626244 HCd,HCHCd,HCCHd,CHd

==⋅+⋅+⋅=

=++= hyhyhyh

(za pretvorbu mjernih jedinica iz normnoga kubnog metra u kilomol uzet je faktor 22,41 isti za sve plinove; može se računati i s "točnijom", zasebnom vrijednošću za svaki plin, navedenom u Toplinskim tablicama, str. 28., tamo gdje se nalaze i njihove ogrjevne vrijednosti) a) Temperatura koja se postiže pri potpunom izgaranju u izoliranom ložištu naziva se i

"teorijska temperatura izgaranja". Poteškoća pri njenom računanju je ta, da se mora računati iteracijom, jer traženi rezultat utječe na nazivnik kao ulazna veličina pri određivanju srednjeg molnog toplinskog kapaciteta. U ovom zadatku, da bi se izbjegla iteracija, sugerirana je vrijednost 2000 °C za računanje (tako se obično i na ispitu zadaje) koja je već dovoljno blizu točne vrijednosti, pa se od prvog pokušaja dobije točan rezultat. Inače, kod nasumičnog pogađanja konvergencija je prilično brza i vrijedi približno pravilo da se pogreška u svakom koraku smanji za oko 10 puta (8 - 12 puta) i to na suprotnu stranu. Primjerice, ako pri prvom pokušaju pogriješimo za +200°C, rezultat će ispasti za oko 20 °C manji od točnoga. Ako s tim novim rezultatom (pogreška –20 °C) ponovimo račun, sljedeća pogreška će biti oko +2 °C itd.

Potrebni podaci za sljedeće formule računaju se s pomoću tablice:

PLIN ni [ ]20000ip,C [ ]2000

0ip,i Cn [ ]13000ip,C [ ]1300

0ip,i Cn [ ]2000ip,C [ ]200

0ip,i Cn CO2 1,250 54,290 67,863 51,322 64,153 40,059 50,074 O2 0,3563 35,169 12,531 33,863 12,065 29,931 10,664 N2 10,2747 33,373 342,898 32,067 329,479 29,228 300,309

H2O 2,25 43,995 98,989 40,407 90,916 34,118 76,766

Σ= 14,131 522,280 496,612 437,813 Za zadane vrijednosti dobije se teorijska temperatura izgaranja:

[ ][ ] C 8,2017

28,52225041,29006,13200958∆

izg

z

0,mi

z0z,mstvd

teor °=⋅⋅+

=⋅+

=∑ ϑ

ϑ ϑϑ

ip

p

Cn

CZh

i to se može smatrati dovoljno točnim rezultatom, jer bi, prema gornjem približnom pravilu, rezultat sljedećega koraka iteracije bio oko 2015 °C!

b) Odvedena toplina iz hlađenog ložišta može se računati kao toplina koju oslobađaju dimni plinovi pri hlađenju od teoretske do stvarne temperature:

[ ] ( )stvteorvdpp,vdpodvteor

stvϑϑϑ

ϑ−= Cnq

ali je jednostavnije koristiti se već izračunatim podacima iz tablice:

[ ] [ ]∑∑ ⋅−⋅= stv0,miteor0,miodvstvteor ϑϑ ϑϑ

ipip CnCnq

Godv kJ/kmol 3004081300612,4968,201728,522 =⋅−⋅=q ,

što sa zadanom protočnom količinom goriva (10 kmol/h) daje odvedeni toplinski tok:

kW 1134kJ/h 104,083 30040810 6odvGN,odv =⋅=⋅=⋅= qqΦ .

(Pazi! Odvedena je toplina negativna, ali ovdje se računa njena apsolutna vrijednost!)

Isto tako mogla bi se koristiti i gornja formula za stvarnu temperaturu izgaranja:

[ ]

C 1300∆

13000,mi

odvzstvdstv °=

−+=

∑ ipCn

qhZhϑ ,

iz koje bi slijedilo:

[ ] [ ]∑⋅−⋅+= 13000,m

2500z,mstvdodv 1300250∆ ipip CnCZhq ,

Godv kJ/kmol 300408612,4961300250410,29006,13200958 =⋅−⋅⋅+=q .

Velika prednost ove potonje formule je ta, da se u njoj ne pojavljuje temperatura adijabatskog izgaranja. U ovom zadatku ta prednost nije izražena, jer je ta temperatura već poznata, ali bi je inače trebalo računati iteracijom! c) "Gubici osjetne topline" je naziv za onu toplinu koja bi se još dobila, kad bi se dimni

plinovi hladili od zadanih 200 °C sve do okolišne temperature

[ ] ( ) [ ] ( )

;kJ/kmol 56087200813,437

0200

G

2000i,miokizli,miosj

izl

ok

=⋅=

=−⋅=−⋅= ∑∑ pp CnCnq ϑϑϑϑ

kW 243,2 kJ/h 600875 5608710osjG,osj ==⋅=⋅= qqnΦ .

Protočna količina (pravih, tj. vlažnih) dimnih plinova je

h/kmol 31,141131,1410 vdpvdpG,vdp, =⋅=⋅= nqq nn ,

a njihov je protočni volumen (u dimnjaku) određen tlakom (u dimnjaku - približno jednak okolišnom tlaku), izlaznom temperaturom i jednadžbom stanja idealnih plinova:

h/m 548610013,1

15,473831431,141 35

izlmvdp,vdp, =

⋅⋅⋅

==p

TRqq n

V . ☺

202. Ložište kotla za centralno grijanje predviđeno je za (potpuno) izgaranje 50 kg/h ugljena masenog sastava: c = 0,56; h = 0,07; w = 0,20 i a = 0,17 s pretičkom zraka λ = 1,4 i to tako, da zrak i ugljen ulaze u ložište s 0 °C, a dimni plinovi izlaze iz ložišta u dimnjak s 300 °C.

a) Koliki je toplinski tok odveden iz ložišta (učin kotla) i koliko m3/h zraka (0 °C, 1 bar) treba dovoditi u ložište?

b) Ako bi se u ložište, umjesto rešetke za ugljen, ugradio plamenik za ulje za loženje (0 °C, c = 0,85; h = 0,15; λ = 1,1), koliko bi goriva (kg/h) i zraka (m3/h) trebalo dovoditi u ložište, pa da učin kotla ostane isti, a da i izlazna temperatura tih dimnih plinova bude također 300 °C? Računati sa srednjim specifičnim (molarnim) toplinskim kapacitetima! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati kako se računaju potrebne veličine za gorivo zadano masenim sastavom.)

Za goriva zadana masenim sastavom kao jedinica goriva odabire se 1 kg goriva, pa se i svi rezultati iskazuju po toj jedinici. Za sve stehiometrijske račune treba zadane masene podatke preračunati u količinske (molne) podatke.

Primjerice, maseni udio ugljika u gorivu, c (kgC /kgG), iskazuje masu ugljika u jedinici goriva. Njegovim dijeljenjem s molnom masom ugljika (MC = 12 kgC /kmolC) dobije se količina ugljika u jedinici (kilogramu) goriva: c/12 kmolC /kgG. S tom količinom ugljika onda je određena i potrebna količina kisika za izgaranje, i nastala količina ugljikovog dioksida u dimnim plinovima. Slično se postupa i s ostalim sudionicima goriva.

a) Izgaranje ugljena masenog sastava: c = 0,56; h = 0,07; w = 0,20 i a = 0,17:

Minimalna količina kisika i stvarno dovedena količina zraka za izgaranje:

{ {

GO

00

min kg/kmol 06417,0407,0

1256,0

32321

221

121

2=+=−⋅+⋅+⋅=

==

oshcO

Broj "1" uz član c/12 potječe iz stehiometrijske jednadžbe

22 CO kmol 1Okmol 1C kmol 1 →+

i govori koliko treba kisika za izgaranje jednoga kilomola ugljika, dakle, ima mjernu jedinicu "kilomola kisika po kilomolu ugljika", CO kmol/kmol

2. Dakle, 1 CO kmol/kmol

2, pomnožen

sa: c/12 kmolC /kgG daje količinu kisika potrebnog za izgaranje ugljika sadržanog u jedinici goriva.

Slično i "1/2" uz član h /2 slijedi iz stehiometrijske jednadžbe za izgaranje vodika:

OH kmol1OkmolH kmol1 2221

2 →+ ,

pa je i drugi član (h / 4) GO kg/kmol2

ona količina kisika koja je potrebna za izgaranje vodika sadržanog u jednom kilogramu goriva.

Ima li u gorivu sumpora, i za njegovo izgaranje treba dovesti kisik: s/32 GO kg/kmol2

.

Minimalna se količina kisika kojeg treba izvana dovesti umanjuje za onoliko, koliko ga već ima u samome gorivu: o/32 GO kg/kmol

2.

Stvarna se potrebna količina zraka opet računa po istoj formuli:

Gzmin

stv kg/kmol 42778,021,0

06417,04,10,21

=⋅==OZ λ .

Izgaranjem nastaju:

GCOCO kg/kmol 0,04667 1256,0

121

22==⋅=

cn ,

Broj "1" u ovoj jednadžbi također potječe iz stehiometrijske jednadžbe i on kaže da iz jednoga kilomola ugljika potpunim izgaranjem nastaje jedan kilomol ugljikovog dioksida.

Kao slobodan kisik ostaje ono što je u suvišku i dovedeno i što se uopće nema s čime spojiti:

( ) ( ) GOminO kg/kmol 02567,006417,014,1122

=⋅−=−= On λ ,

Dušika ima molnih 79 % u dovedenom zraku (u gorivu ga ovdje nema) i on bez promjena izlazi kao dušik (u stvarnosti pri visokim temperaturama došlo bi do djelomične disocijacije i spajanja s kisikom u dušične okside, ali to mi uvijek zanemarujemo):

GNstvN kg/kmol ,337940 0,427780,79 79,022

=⋅== Zn ,

Vodena para nastaje izgaranjem vodika, ali se u dimu nađe i sva ona vlaga koja je kao vlaga u gorivu i ušla u ložište:

GOHOH kg/kmol 0,046111820,0

207,0

182 22=+=+=

whn .

Ogrjevna vrijednost se za goriva zadana masenim sastavom (dakle, nepoznate kemijske strukture) pouzdano može odrediti samo mjerenjem. U nedostatku mjerenih vrijednosti, ili za ovakve školske primjere, možemo se poslužiti približnom formulom:

wsohch 2500500108

00011790033∆ d −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

Gd kJ/kg 6742620,0250007,000011756,090033∆ =⋅−⋅+⋅=h

Toplinski tok odveden iz ložišta može se izračunati na više načina (svi se zasnivaju na prvom glavnom stavku). Primjerice, mogli bismo izračunati teorijsku temperaturu izgaranja (kao da je ložište izolirano) i onda toplinski tok predan pri hlađenju od te temperature do izlazne temperature 300 °C. Ovaj način ima manu da se teorijska temperatura izgaranja mora tražiti iteracijom.

Drugi bi (i bolji) način bio da se poslužimo jednadžbom:

[ ]

C 300∆

3000,m

odvdstv °=

−=∑ ipi Cn

qhϑ ,

koja je pojednostavljena s ϑG = ϑz = 0 °C, a da za temperaturu izgaranja u neizoliranom ložištu uvrstimo zadanih 300 °C. Iz nje onda slijedi toplina odvedena iz ložišta:

[ ]∑⋅−= 3000,mdodv 300∆ ipi Cnhq .

PLIN ni [ ]3000,m ipC [ ]300

0,m ipi Cn

CO2 0,04667 41,755 1,949

O2 0,02567 30,400 0,7803

N2 0,33794 29,383 9,930

H2O 0,04611 34,575 1,594

Σ= 14,253

Drugi član na desnoj strani je entalpija izlaznih dimnih plinova, ali se, ako je tempera-tura okoliša u koji se oni izbacuju 0°C, može protumačiti i kao "gubitak osjetne topline"

[ ] ( ) [ ] ( )

,kJ/kg 4276300253,14

0300

G

3000,mokizl,mosj

izl

ok

=⋅=

=−⋅=−⋅= ∑∑ ipiipi CnCnq ϑϑϑϑ ,

pa se tražena toplina odvedena iz ložišta može pisati i ovako:

osjdodv ∆ qhq −=

i protumačiti na sljedeći način: u ložište kao energija ulazi samo ogrjevna vrijednost goriva (kemijska energija sadržana u gorivu), dok su (osjetne) entalpije i goriva i zraka jednake nuli (zbog ϑG = ϑz = 0 °C). Iz ložišta kao energija izlazi samo odvedena toplina qodv i entalpija dimnih plinova (gubitak osjetne topline). Da je izgaranje bilo nepotpuno, iz ložišta bi izlazio još i dio kemijske energije u iznosu neizgq , ali toga ovdje nema.

Uvrštavanjem brojeva dobije se odvedena toplina po kilogramu goriva:

Gosjdodv kJ/kg 39822427667426∆ =−=−= qhq ,

a onda i odvedeni toplinski tok (to je ustvari korisni učinak kotla):

kW 311 kJ/h 10120,13982250 6odvGm,odv =⋅=⋅=⋅= qqΦ .

Za izgaranje treba u ložište dovesti zrak u količini:

s/kmol 0,00594 h /kmol 39,2142778,050 zzstvG,z, ==⋅=⋅= Zqq mn ,

a ta protočna količina ima pri stanju 0 °C i 1 bar protočni volumen:

s/m 0,1349h/m 7,485101

15,273831439,21 335

z

zmz,z, ==

⋅⋅⋅

==p

TRqq n

V .

b) Izgaranje ulja za loženje masenog sastava c = 0,85; h = 0,15:

Proračun je u osnovi isti kao i pod "a":

{ {

GO

00

min kg/kmol 10833,0415,0

1285,0

3232412 2=+=−++=

==

oshcO

Gzmin

stv kg/kmol 56746,021,0

10833,01,10,21

=⋅==O

Z λ .

Količina nastalih dimnih plinova:

GCOCO kg/kmol 0,070833 1285,0

12 22===

cn ,

( ) ( ) GOminO kg/kmol 010833,010833,011,1122

=⋅−=−= On λ ,

GNstvN kg/kmol ,448290 0,567460,79 79,022

=⋅== Zn ,

{

GOH

!0

OH kg/kmol 0,075215,0

182 22==+=

=

whn ,

Donja ogrjevna vrijednost goriva

Gd kJ/kg 3654615,000011785,09003300011790033∆ =⋅+⋅=+= hch .

Gubitak osjetne topline je

[ ] ( ) G3000,miosj kJ/kg 5716300052,190300 =⋅=−⋅= ∑ ipCnq ,

PLIN ni [ ]3000,m ipC [ ]300

0,m ipi Cn

CO2 0,07083 41,755 2,9576

O2 0,01083 30,400 0,3293

N2 0,44829 29,383 13,1722

H2O 0,075 34,575 2,5931

Σ= 0,60496 19,052

a i odvedena se toplina (po kilogramu goriva) opet računa kao i prije:

Gosjdodv kJ/kg 64940571636546∆ =−=−= qhq .

Kako je odvedeni toplinski tok zadan, potrebna se protočna masa goriva dobije iz izraza:

kg/s 0,007654 kg/h 55,2764940

10120,1 6

odv

odvG, ==

⋅==

qqm

Φ.

a s njom je onda određena i protočna količina zraka za izgaranje:

s/kmol 0,004343 h /kmol 635,1556746,055,27 zzstvG,z, ==⋅=⋅= Zqq mn ,

a ta protočna količina ima pri stanju 0 °C i 1 bar protočni volumen:

s/m 0,09863h/m 1,355101

15,2738314635,15 335

z

zmz,z, ==

⋅⋅⋅

==p

TRqq n

V .

Iz rezultata se vidi da za isti učinak kotla treba manje ulja za loženje nego ugljena. To je i logično, jer ono ima veću ogrjevnu vrijednost od ugljena (zbog manje balasta - vlage i pepela). Treba uočiti da se ne iskoristi cijela ogrjevna vrijednost goriva, nego svakako manje. U ovom slučaju to je smanjenje samo zbog izlazne entalpije dimnih plinova, a kod nepotpunog izgaranja dodatno bi smanjenje bilo zbog gubitaka nepotpunog izgaranja. ☺

203. U plinsko-turbinsko postrojenje ulazi 200 000 kg/h zraka koji se u kompresoru tlači na viši tlak i na temperaturu 150 °C. Taj zrak ulazi u komoru za izgaranje, gdje se miješa s gorivom koje potom potpuno izgara. Maseni je sastav goriva: c = 0,87 i h = 0,13, a njegova je donja ogrjevna vrijednost ∆hd = 41 850 kJ/kg.

Koliko se (kg/h) goriva temperature 0 °C smije dovesti u komore za izgaranje, ako dimni plinovi na izlazu iz komora (ulaz u turbinu) ne smiju imati temperaturu višu od 1200 °C? (Pretpostaviti da su komore za izgaranje toplinski izolirane!).

Računati sa srednjim specifičnim (molarnim) toplinskim kapacitetima! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati da je temperatura u ložištu ovisna o faktoru pretička zraka λ - što je on viši, to je temperatura u ložištu niža, jer se ista količina topline raspoređuje na veću količinu dimnih plinova. Temperatura u ložištu može se regulirati promjenom veličine λ) U ovom slučaju je količina zraka zadana, a onda će se, s porastom količine goriva, λ smanjivati i temperatura izgaranja rasti. To, naravno, vrijedi samo tako dugo, dok je izgaranje potpuno. Traži se kod koje će vrijednosti λ ta temperatura biti baš 1200 °C. Visina temperature na izlazu iz komore za izgaranje važna je, jer s tom temperaturom dimni plinovi ulaze u turbinu i zbog izdržljivosti materijala lopatica turbine ona ne smije biti previsoka.

Minimalna količina kisika i zraka je:

GOmin kg/kmol 105,0413,0

1287,0

412 2=+=+=

hcO .

Gzmin

min kg/kmol 5,021,0

105,00,21

===O

Z ,

Količina ugljikovog dioksida i vodene pare određena je samo sadržajem ugljika i vodika u gorivu:

GCOCO kg/kmol 0,0725 1287,0

12 22===

cn ,

GOHOH kg/kmol 0,065213,0

2 22===

hn ,

dok su količine dušika i slobodnog kisika ovisne o veličini λ:

( ) GOminO kg/kmol )105,0105,0(122

−⋅=−= λλ On ,

GNminN kg/kmol ,3950 0,50,79 79,022

λλλ ⋅=⋅⋅== Zn ,

Temperatura izgaranja u izoliranom ložištu određena je jednadžbom:

[ ] [ ]

[ ][ ]

[ ] C 12001500∆∆

izgizg

zG

0,m

1500zp,mind

0,m

z0z,mstvG0G,d

teor °=⋅++

=⋅+⋅+

=∑∑ ϑϑ

ϑϑ λϑϑϑ

ipiipi

pp

Cn

CZh

Cn

CZch,

u kojoj se zbroj u nazivniku može riješiti tablično, iako neke stavke nisu obični brojevi, nego funkcije od λ:

PLIN ni [ ]12000,m ipC [ ]1200

0,m ipi Cn

CO2 0,0725 50,740 3,6787 O2 0,105⋅λ - 0,105 33,633 3,5315⋅λ - 3,5315 N2 0,395⋅λ 31,828 12,5721⋅λ

H2O 0,065 39,825 2,5886

Σ= 0,72335 16,1035⋅λ + 2,7358

tako da se dobije izraz:

[ ][ ] C 1200

7358,21035,16150226,295,085041150∆

izg

0,m

1500z,mmind

teor °=+⋅

⋅⋅⋅+=

⋅+=

∑ λλλ

ϑ ϑipi

p

Cn

CZh,

iz kojega se potreban (granični) faktor pretička zraka dobije eksplicitno:

25,22511,295,21911035,161200

7358,2120085041≅=

−⋅⋅−

=λ .

S tim se podatkom lako izračuna tražena (maksimalna) protočna masa goriva. Iz jednadžbe

h/kg 95,28 z

h/kmol

Gm,minzm,

zzN,

stv

⋅⋅⋅=4484476

321

q

Z

qZq λ

dobije se:

s/kg 1,705h/kg 613895,285,025,2

00020095,28 GG

min

zm,Gm, ==

⋅⋅=

⋅⋅=

Zq

qλ

.

Iz tablice se dobro vidi da su količine CO2 i H2O u dimnim plinovima određene samo sastavom goriva, dok su količine kisika i dušika ovisne o veličini λ . Osim banalnog i očiglednog fizikalnog razloga zašto temperatura izgaranja pada s porastom λ (istom toplinom ∆hd treba zagrijati sve veću količinu dimnih plinova), to se vidi i iz gornje jednadžbe

[ ][ ] 7358,21035,16

95,219185041150∆izg

0,m

1500z,mmind

teor +⋅⋅+

=⋅+

=∑ λ

λλϑ ϑ

ipi

p

Cn

CZh

u kojoj je drugi član u brojniku malen u usporedbi s prvim i s porastom λ brojnik malo raste. S druge strane, u nazivniku je član uz λ velik i nazivnik naglo raste s porastom λ, pa vrijednost cijelog razlomka pada! ☺

111. Struja zraka stanja 1 bar, 32 °C i x = 8 g/kg, protočne mase 2 kg/s, ulazi u prostoriju u kojoj se hladi na 22 °C i prima 20 kg/h vlage. S tim se postignutim stanjem zrak odsisava iz prostorije. Polovica se protočne mase zraka baca, a druga se polovica miješa sa zrakom (uzetim iz okoliša) stanja 0 °C i ϕ = 0,8, koji je prije ulaska u mješalište zagrijan na +8 °C. Nastala se mješavina ovlažuje vodom temperature 15 °C do konačnoga sadržaja vlage (8 g/kg) i zatim zagrijava prije ulaska u prostoriju. Kakvo je stanje (h, x, ϕ) zraka u prostoriji? Koliko se zraka baca u okoliš i uzima iz okoliša? Koliko toplinskog toka treba dovoditi za zagrijavanje svježe struje zraka i za zagrijavanje nastale mješavine te koliko se vode troši za ovlaživanje mješavine? Zadatak treba riješiti računski, bez uporabe h,x-dijagrama! Skica procesa u h,x-dijagramu! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati osnovne postupke računanja kako veličina stanja vlažnoga zraka, tako i procesa s vlažnim zrakom.) Zadani podaci: p = 1 bar ϑ1 = 32 °C x1 = 8 gw/kgsz qm,sz = 2 kg/s ϑ2 = 22 °C ∆qm,w = 20 kg/h z2 = z4 = 0,5 ϑ3 = 0 °C ϕ3 = 0,8 ϑ4 = +8 °C ϑw = 15 °C x6 = x1 = 8 g/kg Ovo je jedan od tipičnih mogućih procesa pripreme zraka za zimsku klimatizaciju neke prostorije. Da bi se održalo stalno stanje zraka u prostoriji (iz koje očigledno toplinski tok izlazi kroz zidove u okoliš niske temperature), zrak koji ulazi u prostoriju mora imati višu temperaturu nego masa zraka koja se nalazi u prostoriji, tako da on, miješajući se s tom masom zraka, njoj predaje toplinski tok, a ona opet, u dodiru s hladnijim zidovima, taj primljeni toplinski tok predaje dalje. U svim našim zadacima pretpostavlja se da je zadano stanje stacionarno, a inače, za ozbiljne proračune klimatizacije postoje već računalni programi koji uzimaju u obzir realnije (promjenljive) uvjete. Zbog gornjih razloga, zrak koji ulazi u prostoriju mora zimi imati višu temperaturu od one koja se uzima kao stalna u prostoriji. Kako zrak ulazi u prostoriju upuhivanjem kroz nekakve istrujne otvore (rešetke), domet mlaza je razmjerno malen, ulazeći zrak se dosta brzo pomiješa s masom zraka u prostoriji, pa smatramo da najveći dio zraka u prostoriji ima ujednačeno stanje (“stanje u prostoriji”).

0.00 0.01 0.02

x kgw/kg

sz

0

10

20

30

40

h k

J/kg

sz

0oC

10oC

22oC

32oC

22 oC

10 oC

0 oC (voda)

0 oC (led)

ϕ = 1

prava os x

3

2

1

4

z 4 = 0,5

z 2 = 0,5

5

6

? (u prostoriji)

wwww56

56 kJ/kg 81,62dd

===−−

= ϑchxxhh

xh

Većina klimatiziranih prostorija su one u kojima borave ljudi. Budući da čovjek odaje određenu količinu vlage disanjem i kroz kožu, tamo gdje je prisutan veći broj ljudi zrak će u prostoriji imati primjetno veći sadržaj vlage nego što ga je imao na ulazu u prostoriju. Ako zrak ulazi u prostoriju, po zakonu održanja mase, mora ista količina zraka i izaći (bilo da se odsisava ili sama izlazi kroz otvore – prozore). Mjesta gdje zrak izlazi udaljena su od ulaznih otvora, pa izlazi zrak sa “stanjem u prostoriji”, dakle s povećanim sadržajem vlage. Zato kažemo da “zrak odvodi vlagu iz prostorije”. Jednadžbe koje prikazuju bilanciranje energije i tvari u prostoriji prikazane su u kasnijim zadacima. Sâm proces pripreme zraka teče na sljedeći način: zbog uštede energije ne koristi se samo (hladan) svježi zrak, nego se dio (toploga) zraka iz prostorije vraća i miješa sa svježim zrakom. Često se taj svježi zrak prije miješanja malo zagrije, prvenstveno da bi se izbjeglo stvaranje zamagljene mješavine pri miješanju toplog i vlažnog zraka s jako hladnim zrakom. Ako je omjer miješanja tako odabran (npr. zbog higijenskih razloga) da sadržaj vlage u nastaloj mješavini nije onakav kakav bi trebao biti za ulaz u prostoriju, može se vlaga dodati u samom procesu tako da se u struju zraka raspršuje ili kapljevita voda ili vodena para. U ovom je primjeru odabrano da to bude kapljevita voda. Tako pripremljen zrak još uvijek ima nižu temperaturu od onog u prostoriji (a treba imati višu), pa ga treba još zagrijati u izmjenjivaču topline. Tek sada je zrak spreman za ubacivanje u prostoriju. U zadacima se rabi uvijek ista “šablona”: − za izračunavanje veličina stanja vlažnoga zraka postoji nekoliko razmjerno jednostavnih

analitičkih formula, kao npr.:

szwd

d kg/kg 622,0

ppp

x−⋅

= ,

( ) szdp,0szp, kJ/kg ϑϑ crxch ++= , a ako se dozvoljava očitavanje podataka iz Mollierovog h,x-dijagrama, te se veličine mogu i očitati. Čak ako se i traži računski postupak, preporuča se izračunate vrijednosti provjeriti s pomoću dijagrama (standardni h,x-dijagram je crtan za ukupni tlak 1 bar!);

− za pripremu zraka koristimo se sa svega nekoliko osnovnih procesa (zagrijavanje ili ohlađivanje zraka, miješanje, dodavanje kapljevite vode ili vodene pare) i za svaki od njih postoje također jednostavne analitičke veze između početnih i konačnih veličina stanja zraka (ili jednostavne konstrukcije u h,x-dijagramu);

− svaki se zadatak sastoji od slaganja “kockica” (procesa) prema opisu u tekstu. *** TREBA PAZITI! Iako stalno imamo posla s vlažnim zrakom, sve gornje jednadžbe (i za veličine stanja i za procese) izražene su po kilogramu suhoga zraka!

Točka “1” - zadano je: ϑ1 = 32 °C; x1 = 0,008 kgw/kgsz, pa se entalpija može izravno računati:

( ) ( ) sz1dp,011szp,1 kJ/kg 654,523293,12500008,032005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch

Točka “2” – stanje u prostoriji - zadano je: ϑ2 = 22 °C; (pg,2 = 0,02642 bara).

Zadano je i to da se u prostoriji, kroz koju prolazi 2 kg/s zraka, “oslobađa” 20 kg/h vlage, što znači da se sadržaj vlage u zraku poveća na:

szwszm,

wm,12 /kgkg 01078,0

2360020008,0

∆=

⋅+=+=

qq

xx .

Napomena: zadana protočna masa od 2 kg/s je protočna masa “suhoga” zraka i ona je ista na ulazu u prostoriju i na izlazu iz nje! Prava je protočna masa veća za iznos sadržane vlage, dakle, nije ista na ulazu u prostoriju i na izlazu iz nje! Prava je protočna masa (vlažnog zraka) na ulazu u prostoriju 2⋅(1+x1) = 2⋅(1+0,008) = 2,016 kg/s = 7257,6 kgvz/h, a na izlazu iz nje 2⋅(1+x2) = 2⋅(1+0,01078) = 2,0215 kg/s = 7277,6 kgvz/h i očigledno se razlikuju baš za masu vlage koja se oslobađa u prostoriji (20 kg/h)! Baš zato što se prava protočna masa zraka mijenja, a protočna masa suhoga zraka ne mijenja,

u svim se računima služimo protočnom masom suhoga zraka! Sadržaju vlage x2 odgovara parcijalni tlak pare u zraku

bar 01703,001078,0622,0

101078,0622,0 2

2d,2 =

+⋅

=+

=x

pxp ,

pa je relativna vlažnost zraka stanja “2”:

%46,646446,002642,001703,0

pg,2

d,22 ====

pϕ

i njegova entalpija:

( ) ( ) sz2dp,022szp,2 kJ/kg 512,492293,1250001078,022005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ;

Točka “3” - okolišno stanje – zadano je: ϑ3 = 0 °C; ϕ3 = 0,8;

pg,3 = 0,006108 bar; pd,3 = ϕ3⋅pg,3 = 0,8⋅0,006108 = 0,004886 bar;

szwd,3

d,33 kg/kg 003054,0

004886,01004886,0622,0622,0

=−

⋅=

−

⋅=

ppp

x ;

( ) ( ) sz3dp,033szp,3 kJ/kg 636,7093,12500003054,00005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ;

Točka “4” – zadano je: ϑ4 = +8 °C; za zagrijavanje vrijedi: x4 = x3 = 0,003054 kgw/kgsz, pa je:

( ) ( ) sz4dp,044szp,4 kJ/kg 723,15893,12500003054,08005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ;

Točka “5” – dobije se miješanjem stanja “2” i “4” u omjeru: z2 = z4 = 0,5:

szw44225 kg/kg 006916,0003054,05,001078,05,0 =⋅+⋅=+= xzxzx ;

sz44225 kg/kJ 617,32723,155,0512,495,0 =⋅+⋅=+= hzhzh ;

C05,1593,1006916,0005,1

2500006916,0617,32

dp,5szp,

0555 °=

⋅+⋅−

=+−

=cxcrxhϑ .

Kako je sadržaj vlage x5 = 0,006916 kgw/kgsz manji od traženog x1 = 0,008 kgw/kgsz , nastalu mješavinu treba ovlažiti do tog sadržaja vlage.

Točka “6” – zahtjev je: x6 = x1 = 0,008 kgw/kgsz i zadano je ovlaživanje vodom.

Entalpija vode za ovlaživanje određena je njenom zadanom temperaturom:

wwww kJ/kg 805,6215187,4 =⋅== ϑch .

Za ovlaživanje kapljevitom vodom vrijedi zakon:

w56

56 hxxhh

=−−

iz čega se dobije entalpija točke “6”:

( ) ( ) sz56w56 kJ/kg 686,32006916,0008,0805,62617,32 =−⋅+=−+= xxhhh .

Temperatura zraka stanja “6”:

C43,1293,1008,0005,1

2500008,0686,32

dp,6szp,

0666 °=

⋅+⋅−

=+−

=cxcrxh

ϑ

niža je od temperature zraka stanja “5”, jer toplinu za ishlapljivanje vode daje zrak! U okoliš se baca (i iz njega uzima): qm,s = qm,svježe = qm,bačeno = 1 kg/s (suhoga!) zraka. Izmijenjeni toplinski tokovi su:

- za zagrijavanje okolišnoga zraka od stanja “3” do “4”:

( ) ( ) kJ/h 29100kW 8,09 636,7723,15134sm,43 ==−⋅=−=− hhqΦ ;

- za zagrijavanje mješavine od stanja “6” do “1”:

( ) ( ) kJ/h 800143kW ,9439 686,32654,52261ukm,16 ==−⋅=−=− hhqΦ .

Za ovlaživanje zraka od stanja “5” do “6” potrebna je protočna masa vode:

( ) ( ) h/kg 08,7s/kg 00217,0006916,0008,02∆ ww56ukm,6-w,5m, ==−⋅=−= xxqq .

Shema prostorije i postrojenja za pripremu zraka:

☺

PROSTORIJA2 2

qm,uk

qm,bačeno = qm,s

2qm,o (optočno)

M4

qm,sΦ 3-4

3qm,s

(svježe)

M5

qm,uk

voda, hw∆ qm,w ,5-6

1qm,uk

1

Φ 6-1

q m,u

k =q m

,sz

qm,uk

vlaga, ∆ qm,w , hw

Φ odv

qm,uk

6

114. Za ljetnu klimatizaciju prostorije koristi se sljedeći postupak: iz prostorije se odsisava zrak stanja 24 °C i ϕ = 50 % i miješa se s jednakom protočnom masom vanjskog zraka stanja 33 °C i ϕ = 40 %. Nastala se mješavina hladi da bi se izdvojila suvišna vlaga, tako da nakon hlađenja i odvajanja izlučene vlage preostane potpuno zasićen zrak temperature 10 °C. Nakon toga se zrak zagrijava na 20 °C i s postignutim stanjem ubacuje (upuhuje) u prostoriju. Treba odrediti entalpiju i sadržaj vlage u istaknutim točkama procesa! Kolika je odvedena i dovedena toplina u procesu pripreme zraka, izražena po m3 zraka konačnoga stanja s kojim on ulazi u prostoriju? Zadatak riješiti računski, bez uporabe h,x-dijagrama! Skica procesa pripreme zraka u h,x-dijagramu! *** Rješenje: (Svrha zadatka: Pokazati jedan mogući proces pripreme zraka za ljetnu klimatizaciju. Pokazati kako se izmijenjena toplina izražena po kilogramu suhoga zraka može preračuati na m3 volumena vlažnoga zraka odabranog stanja - pogodno, npr. ako se želi daljnji račun provoditi s protočnim volumenima.) Zadani podaci:

ϑ1 = 24 °C

ϕ1 = 50 % = 0,5

z1 = z2 = 0,5

ϑ2 = 33 °C

ϕ2 = 40 % = 0,4

ϑ4 = +10 °C

ϑ5 = 20 °C

Točka “1”: ϑ1 = 24 °C; ϕ1 = 50 %; pg,1 = 0,02982 bar; pd,1 = ϕ1⋅pg,1 = 0,01491 bar.

szwd,1

d,11 kg/kg 009414,0

01491,0101491,0622,0622,0

=−

⋅=

−

⋅=

ppp

x ;

( ) ( ) sz1dp,011szp,1 kJ/kg 092,482493,12500009414,024005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ;

Točka “2”: ϑ2 = 33 °C; ϕ2 = 40 %; pg,2 = 0,05029 bar; pd,2 = ϕ2⋅pg,2 = 0,020116 bar.

szwd,2

d,22 kg/kg 01277,0

020116,01020116,0622,0622,0

=−⋅

=−

⋅=

ppp

x ;

( ) ( ) sz2dp,022szp,2 kJ/kg 901,653393,1250001277,033005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ;

0.00 0.01 0.02

x kgw/kg

sz

0

10

20

30

40

h k

J/kg

sz

0oC

10oC

20oC

33oC

20 oC

10 oC

0 oC (voda)

0 oC (led)

ϕ = 1

prava os x

3

2

1

4

24oC

4'

5

R315,42oC

15,42 oC

(u prostoriji)

Točka "3": dobije se miješanjem struja "1" i "2" u masenom omjeru: z1 : z2 = 1:1, dakle je:

z1 = z2 = 0,5; szw22113 kg/kg 01109,001277,05,0009414,05,0 =⋅+⋅=+= xzxzx ;

sz22113 kg/kJ 996,56901,655,0092,485,0 =⋅+⋅=+= hzhzh ;

C 51,2893,101109,0005,1

250001109,0996,56

dp,3szp,

0333 °=

⋅+⋅−

=+−

=cxcrxh

ϑ (ne traži se!);

Točka "4": zadano ϑ4 = 10 °C, szws44 kg/kg 007727,0== xx .

( ) ( ) sz4dp,044szp,4 kJ/kg 516,291093,12500007727,010005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch ; Točka " 4' ": szw3'4 kg/kg 01109,0== xx ; C 104'4 °==ϑϑ ;

Ta je točka u zamagljenu području, a poznate su i temperatura ϑ4' i sadržaja vlage x4' , pa se entalpija zamagljenoga zraka h4' može računati s pomoću formule:

( ) ( )

( ) ( ) ,kJ/kg 657,2910187,4007727,001109,01093,12500007727,010005,1 sz

516,29

'4ws,4'4

!

'4dp,0s,4'4szp,'4

4

=⋅⋅−+⋅+⋅+⋅=

=−+++=

4444444 34444444 21

4444 34444 21ϑϑϑ cxxcrxch

h

gdje je xs,4 = 0,007727 kgw/kgsz sadržaj vlage zasićenoga zraka temperature 10 °C. No, kako točke "4" i " 4' " leže na istoj vlažnoj izotermi ϑ4 = 10 °C, čiji je nagib:

w4ww4'4

4'4 kJ/kg 87,4110187,44

=⋅===−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ϑ

ϑ

chxxhh

xh ,

entalpija h4' može se računati i s pomoću formule: ( ) ( ) sz44'w4'4 kJ/kg 29,657007727,001109,087,41516,29 =−⋅+=−+= xxhhh . No, ako bolje zagledamo tu jednadžbu i usporedimo je s gornjom formulom za entalpiju zamagljenoga vlažnog zraka, vidjet ćemo da je to zapravo ista formula!

Točka "5": zadano ϑ5 = 20 °C; szw45 kg/kg 007727,0== xx .

( ) ( ) sz5dp,055szp,5 kJ/kg 715,392093,12500007727,020005,1 =⋅+⋅+⋅=++= ϑϑ crxch .

( ) ( ) kg/m 8520,0007727,0622,0101

15,2935,461622,05,461 355

55 =+⋅

⋅⋅=+= x

pT

v

Toplina odvedena pri hlađenju od "3" do "4" (svedena na 1 kg (suhoga zraka) mješavine): sz3443 kJ/kg 480,27996,56516,29 −=−=−=− hhq može se preračunati na m3 zraka stanja "5", dijeljenjem s v5 :

3

5

43*43 kJ/m 26,32

8520,0480,27

−=−

== −− v

qq

Toplina dovedena za zagrijavanje od "4" do "5": sz4554 kJ/kg 199,10516,29715,39 =−=−=− hhq preračunato na m3 stanja "5":

3

5

54*54 kJ/m 97,11

8520,0199,10

=== −− v

qq .

☺