Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazieinterpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach

wizji i grafiki komputerowejSeminarium Instytutu Informatyki, Wydział Automatyki, Elektroniki i

Informatyki. Politechnika Śląska

mgr inż. Piotr Szmielew

Katedra Zastosowań InformatykiWydział Zastosowań Informatyki i Matematyki

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

11 czerwca 2014

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 1 / 37

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Rodzaje interpolacji

3 Rodzaje metryk oceny jakości interpolacji

4 PublikacjeOpublikowanePrzyjęte do druku

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 2 / 37

Wprowadzenie

problem: jak najdokładniej interpolować funkcję γ : R→ Rn majączadane punkty {qi}mi=0 i węzły {ti}mi=0

stosowano różne metody - omówię je pokrótcewarunki wstępne: krzywa γ gładka, regularna (γ′(t) 6= ~0) zadanaparametrycznie γ : [0,T ]→ Rn

upraszczając pytanie: jak przeprowadzić przez zadane punkty krzywą?pytanie powiązane: co jeśli żądamy od tej krzywej pewnych warunków- np. gładkości?

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 4 / 37

Przykład

(a) (b) (c)

Rysunek : Przykład analizy meczu piłki nożnej: a) zdjęcie oryginalne, b) znałożonymi punktami i c) z nałożonym interpolantem

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 5 / 37

Interpolacja Lagrange’a

Omówię i pokażę przykłady najprostszej interpolację Lagrange’a - zeznanymi węzłami interpolacyjnymiPochodzi od Lagrange’a (1795 rok), opiera się na wielomianieinterpolacyjnym Lagrange’aPrzykład dla trzech punktów:q0

(t−t1)(t−t2)(t0−t1)(t0−t2) + q1

(t−t0)(t−t2)(t1−t0)(t1−t2) + q2

(t−t0)(t−t1)(t2−t1)(t2−t0)

q0, q1 i q2 to kolejne punkty interpolacyjne, natomiast t0, t1 i t2 toodpowiadające im kolejne węzły, tj. γ(ti ) = qi

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 7 / 37

Wielomian γpol3 = (t, t3)

Przykładowa interpolacja wielomianu γpol3 = z węzłami (−0.5, 0, 0.5)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 8 / 37

Interpolacja Lagrange’a

Wraz ze wzrostem liczby punktów, rośnie stopień wielomianu -odpowiada on liczbie węzłów −1Chcielibyśmy, żeby zwiększanie liczby węzłów polepszało jakośćinterpolacji... niestety nie zawsze tak jest

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 9 / 37

Przykład Rungego

Pokazany przez Carla Davida Tolmé Runge w 1901 rokuDotyczy zwiększania stopnia interpolacji przy równoodległych węzłachInterpolacja dotyczyć będzie funkcji γr (t) = (t, 1

1+25t2 ) (nazywanejfunkcją Rungego)W przedziale [−1, 1]

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 10 / 37

Przykład Rungego

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(b)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(c)

Rysunek : Przykład a) funkcji Rungego i jej interpolacji przy b) 3 węzłach, c) 5węzłach

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 11 / 37

Przykład Rungego

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-60

-50

-40

-30

-20

-10

(c)

Rysunek : Przykład a) funkcji Rungego i jej interpolacji przy b) 9 węzłach, c) 21węzłach

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 12 / 37

Dane zredukowane

poprzednie podejście ma jednak pewną wadę - wymaga znajomościwęzłóww momencie jednak gdy interpolacja nie odpowiada prawdziwemuruchowi w czasie bądź nie znamy czasów nie możemy użyć tegoschematutaką sytuację nazywamy danymi zredukowanymi - interpolacjąnieparametryczną

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 13 / 37

Dane zredukowane

formalnie nazywamy tak punkty interpolacyjne {qi}mi=0, pozbawioneodpowiadających im węzłów (czasów) {ti}mi=0

musimy w pewien sposób odgadnąć te węzły interpolacyjne

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 14 / 37

Zgadywanie węzłów interpolacji

Zgadywanie losoweZgadywanie na ślepot̂i = i , dla i=0,1,. . . nSkumulowana długość cięciwyt̂0 = 0t̂i+1 = t̂i + ‖qi+1 − qi‖, dla i=1,2,. . . nParametryzacja wykładnicza (uogólnienie obu powyższychprzypadków)t̂0 = 0t̂i+1 = t̂i + ‖qi+1 − qi‖λ, dla i=1,2,. . . n i λ ∈ [0, 1]

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 15 / 37

Zgadywanie węzłów interpolacji - przykład

(a) (b) (c)

Rysunek : Przykład interpolacji Lagrange’a a) b) paraboli, c) γpol3, odpowiednio zlosowo wygenerowanymi węzłami (a) i przy zgadywaniu na ślepo (b)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 16 / 37

Interpolacja Lagrange’a na bazie danych zredukowanych

Stosując odgadnięte węzły do wzoru Lagrange’a otrzymujemyinterpolację Lagrange’a na bazie danych zredukowanychJednakże dotyka jej ten sam problem, co interpolacji Lagrange’a zdanymi węzłami - czyli przykład Rungego

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 17 / 37

Interpolacja Lagrange’a kawałkami-sklejana na bazie danychzredukowanych

Metodą rozwiązania tego problemu jest podział punktów na segmenty- w tym wypadku po 3 punkty (lub więcej)Następnie do każdego takiego segmentu stosujemy osobno interpolacjęLagrange’aWynik... interpolant bez efektu Rungego

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 18 / 37

Funkcja Rungego - raz jeszcze

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a)

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(b)

Rysunek : Przykład a) funkcji Rungego i b) jej interpolacji Lagrange’akawałkami-sklejana na bazie danych zredukowanych przy 21 węzłach (danezredukowane przy λ = 1)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 19 / 37

Segmentacja rzepki w kolanie

(a) (b) (c)

Rysunek : Przykład interpolacji Lagrange’a kawałkami-sklejanej przy a) λ = 0 -obszar otoczony wynosi 5197 px, b) λ = 0.5 (5234 px), c) λ = 1 (5376 px).Oryginalny obszar wynosi 5237 px.

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 20 / 37

Interpolacja kwadratowa-czteropunktowa

Innym podejściem (aczkolwiek nadal opartym na funkcjikawałkami-sklejanej) jest interpolacja kwadratowo-czteropunktowaZapewnia ona taki sam - czwarty stopień zbieżności jak algorytmkawałkami-sklejany Lagrange’a kubiczny dla czwórek punktówJednak dopasowuje lepiej pochodne (prace nad artykułem dotyczącymtego trwają)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 21 / 37

Interpolacja kwadratowa-czteropunktowa

Opiera się nad prowadzeniu wektorów i rozwiązywaniu równańwektorowychJednakże działa tylko w R2

Wymaga również odpowiedniego rozkładu punktów i ścisłej wklęsłościlub wypukłości (|K (t)| > 0, gdzie K (t) = det(γ′(t),γ′′(t))

|γ′(t)‖3 oznaczakrzywiznę Gaussa)De facto krzywizna jest oddzielona od zera, ponieważ γ : [0,T ]→ R2

- dziedzina jest zwarta

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 22 / 37

p1

-0.2 -0.1 0.1 0.2

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

(a)

pΑ

-0.2 -0.1 0.1 0.2

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

(b)

p1

pΑ

-0.2 -0.1 0.1 0.2

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

(c)

Rysunek : Współlinowe (c)) wektory a) p1 i b) pα na krzywej γpol3

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 23 / 37

Poprawiony algorytm kwadratowo-czteropunktowy

Jednakże co zrobić gdy dane zawierają punkt przegięcia (czyli gdykrzywizna Gaussa K (t) = wynosi 0)?Proponowana jest następująca heurystyka: wyliczamy oryginalnyinterpolant i sprawdzamy jego krzywiznę, jeśli na określonymsegmencie |K (t)| < ε0 - używamy na tym segmencie interpolacjiLagrange’a dla czterech punktówε0 jest arbitralnie ustaloną wartościąAlgorytm kwadratowo-czteropunktowy ma tę przewagę nad Lagrangemkubicznym, że lepiej estymuje krzywiznę - praca pokazująca to jestobecnie w przygotowaniu

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 24 / 37

Poprawiony algorytm kwadratowo-czteropunktowy

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(a)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b)

Rysunek : Poprawiony algorytm kwadratowo-czteropunktowy zastosowany dowielomianu trzeciego stopnia γpol3(t) = (t, t3) przy a) 4 punktach, b) 7 punktach

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 25 / 37

Interpolacja Hermite’a na bazie danych zredukowanych

Oba poprzednie podejścia - o ile zwykle działają dobrze to mająpewien problemNa stykach interpolantów (na łączeniach dwóch segmentów) mogąwystąpić miejsca nieróżniczkowalności funkcjiTaki interpolant jest w klasie C 0

Czasem jednak nie jest to wystarczające

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 26 / 37

Interpolacja Hermite’a na bazie danych zredukowanych

Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie interpolacji Hermite’aInterpolant Hermite’a jest gładki - należy do klasy C 1

Wada polega na konieczności znajomości pochodnych, oprócz węzłówinterpolacyjnych

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 27 / 37

Rozwiązanie problemu

Rozwiązaniem problemu jest wpierw poprowadzenie nakładkowointerpolacji kawałkami-sklejanej Lagrange’a przez każde cztery węzlywęzły i wyliczenie pochodnych

-0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Mając dane takie dobre oszacowania pochodnych możemyprzeprowadzić interpolant Hermite’a

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 28 / 37

Otaczanie guza piersi

(a) (b)

x

x x x xx xxxx

x

x

x

xxx

xx

xxx

x

x

x

x

(c)

Rysunek : Przykład interpolacji Hermite’a otaczające niezłośliwy guz piersihamartoma mammae

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 29 / 37

Różnica trajektorii

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 31 / 37

Przygotowania do pracy doktorskiej

W ramach przygotowań do pracy doktorskiej pokazałem:ostrość oszacowania dla trajektorii interpolacji Lagrange’akawałkami-kwadratowej (numerycznie) dla parametryzacjiwykładniczej i λ ∈ [0, 1] - 1+ 2ε, gdzie ε jest pewną własnościąpróbkowania, lub 3 gdy λ = 1ostrość oszacowania dla długości interpolacji Lagrange’akawałkami-kwadratowej (numerycznie) dla parametryzacjiwykładniczej i λ ∈ [0, 1] - min{4, 4ε}ostrość oszacowania dla trajektorii interpolacjikwadratowo-czteropunktowej (numerycznie) - 4ostrość oszacowania dla trajektorii interpolacjikwadratowo-czteropunktowej (symbolicznie) - 4ostrość oszacowania dla trajektorii interpolacji Hermite’a(numerycznie) - 4

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 32 / 37

Przyszłe kierunki badań (rozwinięte w pracy doktorskiej)

Kolejne zastosowania w grafice i wizji komputerowejWprowadzenie kolejnej metryki - różnica oryginalnej krzywizny ikrzywizny interpolanta i zbadanie zachowania poszczególnychalgorytmówPokazanie ostrości oszacowania długości interpolacjikwadratowo-czteropunktowej (artykuł już jest w przygotowaniu)Analogiczne badania dla interpolanta w klasie C 2 (czyli spline’ówzupełnych)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 33 / 37

Opublikowane

Kozera, R., Noakes, L., Szmielew, P.: Length Estimation forExponential Parameterization and ε-Uniform Samplings. In: Huang F.,Sugimoto A. (eds.) PSIVT 2013 Workshops. LNCS, vol. 8334, pp.33–46. Springer-Verlag (2014)Kozera, R., Noakes, L., Szmielew, P.: Trajectory estimation forExponential Parameterization and Different Samplings. In: Saeed, K.,Chaki, R., Cortesi, A., Wierzchoń, S. (eds.) CISIM 2013. LNCS, vol.8104, pp. 430–441. Springer-Verlag (2013)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 35 / 37

Przyjęte do druku

Kozera, R., Noakes, L., Szmielew, P.: Sharpness in TrajectoryEstimation for Planar Four-points Piecewise-quadratic Interpolation.LNCS, Springer-Verlag - publikacja wrzesień 2014Kozera, R., Noakes, L., Szmielew, P.: Quartic Orders and Sharpness inTrajectory Estimation for Smooth Cumulative Chord Cubics. LNCS,Springer-Verlag - publikacja wrzesień 2014

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 36 / 37

Dziękuję za uwagę

(a) (b)

Źródła ilustracji:opracowanie własne (wykresy)źródło własne (obrazy CT i USG)wikimedia commons (mecz piłki nożnej)http://www.domowyprzedszkolak.pl (zagadka połącz punkty)

mgr inż. Piotr Szmielew Oszacowania trajektorii i długości krzywych na bazie interpolacji nieparametrycznej w wybranych problemach wizji i grafiki komputerowej11 czerwca 2014 37 / 37