Monika WASILEWSKA, Jacek MUCHA Kriging jako metoda ...warsztatygornicze.pl/wp-content/uploads/2005-31.pdf · M. WASILEWSKA, J. MUCHA – Prognozowanie wielkości błędów interpolacji

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie

____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

341

Mat. Symp. str. 341 – 354

Monika WASILEWSKA, Jacek MUCHA Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków

Kriging jako metoda interpolacji parametrów opisujących jakość węgla

kamiennego w pokładach GZW

Streszczenie

Przeanalizowano dokładność interpolacji zawartości siarki i popiołu w wybranych pokładach KWK Murcki przy zastosowaniu geostatystycznych procedur krigingu punktowego i blokowego. Stwierdzono małą lub wręcz skrajnie małą dokładność interpolacji punktowej parametrów z rzeczywistymi błędami średnimi: 35 – 110 % co stawia pod znakiem zapytania celowość ilustrowania rozmieszczenia tych parametrów za pomocą map izoliniowych. Procedura krigingu punktowego dostarcza ponadto na ogół zawyżone oszacowania błędów interpolacji. W odróżnieniu od krigingu punktowego procedura krigingu blokowego daje możliwe do zaakceptowania dokładności oszacowania wartości parametrów w dużych blokach (1x1 km dla rozpoznania wiertniczego i 300x300 m dla rozpoznania górniczego) z błędami średnimi interpolacji poniżej 25% w przypadku zawartości siarki i poniżej 35% w przypadku zawartości popiołu. Zdecydowanie niższe wartości błędów krigingu blokowego przemawiają za stosowaniem tej metody do charakterystyki rozmieszczenia wartości parametrów jakościowych węgla kamiennego jako właściwszej niż kriging punktowy. Metoda ta nie pozwala jednak na prognozę wartości parametrów w punktach pokładów i małych parcelach co ma pewne znaczenie przy projektowaniu eksploatacji.

1. Wprowadzenie

Geostatystyczna procedura krigingu (Journel i Huijbregts 1978) należy do częściej

stosowanych w ostatnich latach metod interpolacji parametrów geologicznych. Wzrastające

zainteresowanie interpolatorem, jaki oferuje geostatystyka wynika z wielu jego zalet, których

nie posiadają inne interpolatory. Należy do nich zaliczyć między innymi: oparcie procedury

interpolacyjnej na modelu zróżnicowania interpolowanych parametrów, uwzględnienie

wzajemnego położenia obserwacji względem siebie i względem punktu, w którym dokonuje

się interpolacji (prognozy) wartości parametrów, minimalizację błędu interpolacji, możliwość

oszacowania wartości parametrów w punktach oraz ich średnich wartości w parcelach o zało-

żonych rozmiarach jak również oceny wielkości błędów skojarzonych z dowolnym wariantem

interpolacji.

Wcześniejsze badania dokładności punktowego oszacowania zawartości siarki i popiołu

w pokładach węgla przy zastosowaniu różnych metod (minimalnej krzywizny, odwrotnej

odległości, krigingu punktowego, Shepard’a, radialnych funkcji bazowych) wykazały małą

a niekiedy wręcz skrajnie małą dokładność interpolacji bez względu na rodzaj zastosowanego

interpolatora (Mucha i Wasilewska 2005). W tym drugim przypadku nie ma żadnego

racjonalnego uzasadnienia dla sporządzania map izoliniowych ilustrujących rozmieszczenie

M. WASILEWSKA, J. MUCHA – Prognozowanie wielkości błędów interpolacji parametrów...

____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

342

wartości wymienionych parametrów w pokładach jako mało wiarygodnych. Wśród czynników

powodujących niezadowalającą dokładność interpolacji wymieniono miedzy innymi: dużą

zmienność, obszarowe zróżnicowanie i silnie zaznaczony losowy (chaotyczny) składnik

zmienności zawartości siarki i popiołu. Generalnie osiągnięcie zadowalającej dokładności

interpolacji (z przyjętym umownie średnim błędem nie przekraczającym 25%) możliwe jest dla

parametrów pokładów charakteryzujących się współczynnikiem zmienności do około 30%.

Wymóg ten w warunkach polskich złóż węgla kamiennego jest spełniony w całości jedynie

w odniesieniu do kaloryczności węgla, częściowo miąższości pokładów natomiast dość rzadko

w przypadku zawartości siarki i popiołu.

Wyniki analizy podstawowych interpolatorów (Mucha i Wasilewska 2005) wskazujące na

porównywalną, ale i bardzo małą dokładność interpolacji punktowej czynią kwestię wyboru

optymalnej metody sprawą drugorzędną. Dowodzą one zarazem konieczności poszukiwania

innych alternatywnych sposobów prezentacji rozmieszczenia wartości parametrów

gwarantujących uzyskanie możliwej do zaakceptowania w praktyce dokładności interpolacji

i zarazem wiarygodności map izoliniowych.

2. Cel i zakres pracy

Podstawowymi celami wykonanych badań były:

określenie wiarygodności interpolacji punktowej zawartości siarki i popiołu w wybranych

pokładach przy zastosowaniu metody krigingu punktowego,

analiza wpływu liczebności punktów obserwacji uwzględnianych w procedurze krigingu

punktowego oraz rozmiaru sieci interpolacyjnej na wielkość błędów interpolacji,

określenie stopnia zgodności prognozowanych przez kriging punktowy błędów interpolacji

ze stwierdzonymi (rzeczywistymi) błędami interpolacji,

ocena dokładności interpolacji przy zastosowaniu krigingu blokowego i porównanie jej

z dokładnością interpolacji przy zastosowaniu krigingu punktowego.

3. Materiał podstawowy badań

W badaniach wykorzystano informacje o zawartościach siarki całkowitej [St] i popiołu [Ar]

w stanie roboczym uzyskane na etapie rozpoznania pokładów 330, 334-2 i 349 złoża węgla

kamiennego Murcki otworami wiertniczymi (dane z opróbowania rdzeni otworów

wiertniczych – OW) i wyrobiskami górniczymi (dane z opróbowania wyrobisk górniczych –

WG). Rozmieszczenie punktów opróbowania pokładów przedstawia rys. 3.1. Średni rozstaw

otworów wynosił 1200-1500 m natomiast średni rozstaw próbek wzdłuż wyrobisk górniczych

150-400 m.

4. Metodyka badań

Zastosowanie jako metody interpolacyjnej geostatystycznej procedury krigingu winno być

poprzedzone obliczeniem semiwariogramu próbkowego, który odzwierciedla strukturę

zmienności badanego parametru złożowego. Semiwariogram próbkowy (h) jest funkcją

ujmującą zależność pomiędzy średnim zróżnicowaniem wartości parametrów (wyrażonym

średnim kwadratem różnic) a średnią odległością między punktami obserwacji h.


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

343

Rys. 3.1. Lokalizacja punktów opróbowania pokładów w otworach wiertniczych i wyrobiskach górniczych złoża węgla kamiennego Murcki.

Objaśnienia: 1 – punkty opróbowania złoża w wyrobiskach górniczych; 2 – punkty opróbowania złoża w otworach wiertniczych; 3 – fragment złoża rozpoznany wyrobiskami górniczymi

Fig. 3.1. Localization of the boreholes and sampling points in mine workings (Murcki Mine). Explanations: 1 – samples taken in mine workings; 2 – samples taken in boreholes; 3 – area of mining

exploration

2ihi

N

1ih

)zz(N2

1)h(

h

(4.1)

gdzie:

Nh – liczba par próbek odległych o „h”,

z i+h, zi – wartości parametrów w próbkach odległych o „h”.


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

344

W dalszym postępowaniu semiwariogramy przybliża się za pomocą odpowiednich funkcji

analitycznych ciągłych, które pełnią rolę geostatystycznych modeli zmienności.

Interpolację wartości parametrów w węzłach założonej sieci interpolacyjnej (punktach

interpolacji) wykonano w dwóch wariantach stosując procedurę krigingu punktowego i bloko-

wego. Interpolator krigingu ma postać średniej ważonej:

i

N

1i

iKK zwz

(4.2)

gdzie:

wiK - współczynnik wagowy przypisany „i”– tej obserwacji,

zi - wartość parametru w punkcie opróbowania „i”,

N – liczba punktów opróbowań wykorzystanych w interpolacji.

Współczynniki wagowe określa się z układu równań krigingu (Journel i Huijbregts 1978),

który uwzględnia wzajemną konfigurację punktów opróbowań biorących udział w interpolacji,

usytuowanie tych punktów względem węzła sieci interpolacyjnej oraz ustalony wcześniej

model zróżnicowania parametrów:

1

)A,S(

...

)A,S(

)A,S(

w

...

w

w

01...11

1)S,S(...)S,S()S,S(

...............

1)S,S(...)S,S()S,S(

1)S,S(...)S,S()S,S(

N

2

1

NK

K2

K1

NN2N1N

N22212

N12111

(4.3)

Oszacowania (prognozy) wielkości błędu interpolacji dla każdego węzła sieci interpolacji

osobno (błędu standardowego krigingu K) dokonuje się ze wzoru:

)A,A()A,S(w i

N

1i

iK2K

(4.4)

gdzie:

wiK – współczynnik wagowy przypisany „i” – tej obserwacji,

(Si,A) – wartość semiwariogramu między próbką (Si) i punktem (blokiem) interpolacji (A),

– mnożnik Lagrange’a,

(A,A) – wartość semiwariogramu w obrębie bloku A (dla punktu interpolacji ten element

wzoru jest równy zero).

Względny (relatywny) błąd standardowy krigingu KR otrzymuje się przez podzielenie

błędu bezwzględnego krigingu K przez oszacowaną wartość parametru

Kz i wymnożenie

wyrażenia przez 100%.

Wiarygodność map izoliniowych sporządzonych w oparciu o procedurę krigingu

punktowego oceniono za pomocą wartości rzeczywistych błędów interpolacji. W tym celu

w oparciu o dane z otworów wiertniczych (OW) dokonano prognozy wartości parametrów

w punktach zbioru testowego, który stanowił zbiór danych opróbowania pokładów w wyro-


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

345

biskach górniczych (WG). Tok postępowania weryfikacyjnego polegał na porównaniu

prognozowanych (wyinterpolowanych) wartości parametrów z wartościami stwierdzonymi

parametrów, które można traktować jako rzeczywiste przy założeniu, że błędy opróbowania

i oznaczeń rozpatrywanych składników są nieznaczące. Jako miary rzeczywistych błędów

interpolacji przyjęto średni błąd względny R i średni absolutny błąd względny AR określone

wzorami:

%100z

zz

N

1N

1i i

i*i

R

(4.5)

N

1i i

i*i

AR %100z

zz

N

1 (4.6)

gdzie:

N – liczba punktów interpolacji, *

iz – oszacowana wartość parametru w punkcie opróbowania „i”,

zi – rzeczywista wartość parametru w punkcie opróbowania „i”.

Dodatkowo dla punktów opróbowań wyrobisk górniczych porównano średnie błędy

interpolacji prognozowane metodą krigingu punktowego KR z rzeczywistymi średnimi

błędami interpolacji AR .

Dla ustalenia optymalnej liczby punktów obserwacji, które winny być uwzględniane przy

szacowaniu wartości parametru w punktach metodą krigingu, wykonano szacowanie wartości

parametru i błędu krigingu w węzłach założonej kwadratowej sieci interpolacyjnej dla różnych

wariantów liczby danych. Obliczenia powtórzono dla kilku różnych rozmiarów sieci.

Ostatnim etapem badań było porównanie dwóch metod interpolacji: krigingu punktowego

i blokowego. W tym celu dokonano interpolacji wartości parametrów jakościowych

w punktach założonej kwadratowej sieci interpolacyjnej oraz oszacowania ich wartości

średnich w blokach zbudowanych wokół tych punktów, o rozmiarach równych rozmiarom

oczka sieci. Następnie porównano średnie względne błędy krigingu dla całego analizowanego

obszaru badań. Wyniki interpolacji przedstawiono w formie map izoliniowych błędów

względnych krigingu punktowego i blokowego.

Badania przedstawione w artykule zrealizowano przy wykorzystaniu programu do analiz

geostatystycznych GeoEAS (Englund, Sparks 1991), natomiast do wizualizacji wyników badań

wykorzystano program komputerowy Surfer 8.0.

5. Wyniki badań

5.1. Geostatystyczne modele struktury zmienności parametrów

Analizę geostatystyczną zmienności zawartości siarki i popiołu w pokładach 330, 334/2

i 349 złoża Murcki wykonaną za pomocą semiwariogramów przeprowadzono oddzielnie dla

danych wiertniczych (OW) i górniczych (WG) (rys. 5.1). Dowiodła ona występowania w

obserwowanej zmienności parametrów składnika nielosowego, co wyraża się wzrostem

wartości semiwariogramu w pewnym zakresie odległości miedzy punktami opróbowań.

Składnik nielosowy zaznacza się jednak z różną siłą dla różnych zbiorów danych. Nielosowa


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

346

struktura zmienności zawartości siarki i popiołu uzasadnia celowość stosowania procedury

krigingu do szacowania wartości tych parametrów w punktach i blokach, a także prognozy

wielkości błędów tego oszacowania. Do aproksymacji semiwariogramów próbkowych

zastosowano model sferyczny i w jednym przypadku model liniowy (rys. 5.1). Zwraca uwagę

silne zróżnicowanie modeli zmienności zawartości popiołu dla danych z rozpoznania

wiertniczego i rozpoznania górniczego w pokładach 334/2 i 349, które może być tłumaczone

obszarowym zróżnicowaniem tego parametru.

Rys. 5.1. Wykresy semiwariogramów próbkowych i modeli teoretycznych zmienności parametrów złożowych dla pokładów 330, 334/2, 349 złoża Murcki (sposób zapisu modeli wg Deutsch, Journel

1992). Objaśnienia: 1 – semiwariogram dla danych rozpoznania wiertniczego; 2 – semiwariogram dla danych rozpoznania górniczego; 3 – model semiwariogramu dla danych rozpoznania górniczego; 4 –

model semiwariogramu dla danych rozpoznania wiertniczego Fig. 5.1. Semivariograms and geostatistical models of the parameter variability for the seams No. 330, 334/2 and 349, Murcki Mine. Explanations: 1 - semivariogram for the data of drilling exploration; 2 -

semivariogram for the data of mining exploration; 3 – geostatistical model for the data of mining exploration; 4 - geostatistical model for the data of drilling exploration

5.2. Dokładność interpolacji przy zastosowaniu krigingu punktowego

Stosowanie metody krigingu jako interpolatora wymaga oprócz znajomości

geostatystycznego modelu zmienności również doboru odpowiedniej ilości danych z otoczenia

każdego punktu interpolacji i właściwego rozmiaru sieci interpolacyjnej.

Rysunek 5.2.1 ilustruje wpływ rozmiaru sieci interpolacyjnej i liczby punktów obserwacji

uwzględnianych w procedurze krigingu punktowego na wielkość prognozowanego błędu

interpolacji (błędu względnego krigingu kR ). Symulację wielkości błędów oparto wyłącznie

na danych rozpoznania wiertniczego.


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

347

Rys. 5.2.1. Wpływ rozmiaru sieci interpolacyjnej i liczby punktów obserwacji na wielkość

prognozowanego błędu interpolacji KR metodą krigingu punktowego (KWK Murcki, pokład 330,

zawartość popiołu). Objaśnienia: d – długość boku kwadratowej sieci interpolacyjnej [m]; N – liczba

punktów obserwacji uwzględnianych w procedurze krigingu punktowego

Fig. 5.2.1. Point kriging error KR as a function of a interpolation grid size d and number of samples

taken into account in point kriging procedure N

Z zamieszczonego wykresu wynika, iż gwałtowne obniżenie wielkości prognozowanego

błędu interpolacji następuje przy zwiększaniu w procedurze interpolacji liczby obserwacji od 1

do 5 natomiast począwszy od 6 obserwacji stwierdza się stabilizację wartości prognozowanego

błędu krigingu. Uwzględnianie w procedurze krigingu punktowego nieco większej liczby

obserwacji – 8, można uznać za optymalne gdyż gwarantuje właściwe oszacowanie błędu

krigingu przy jednoczesnym ograniczeniu czasu obliczeń realizowanych przez komputer.

Znajduje to również potwierdzenie w przebiegu izolinii oszacowanych wartości parametru *

Kz dla czterech wariantów liczby punktów obserwacji (4, 8, 16 lub 24) (rys. 5.2.2). Wzrost

liczby punktów uwzględnianych w szacowaniu wartości parametru powoduje jedynie

wygładzenie izolinii, co nie pociąga za sobą wzrostu wiarygodności samej mapy izoliniowej.

Jedynie pomiędzy mapami dla 4 i 8 obserwacji dostrzega się pewne aczkolwiek niezbyt

znaczące różnice w przebiegu izolinii (rys. 5.2.2). Dalszy wzrost ilości obserwacji

wykorzystywanych do szacowania nie powoduje zauważalnych zmian w wyglądzie map. Do

podobnych spostrzeżeń prowadzi również porównanie map izoliniowych wielkości błędu

krigingu K (rys. 5.2.3). Zbliżony przebieg izolinii na mapach prognozy błędu interpolacji K

dla 8, 16 i 24 punktów obserwacji dowodzi, iż wzrost uwzględnianej w metodzie krigingu

ilości danych z 8 do 24 nie wpływa znacząco na zmianę uzyskiwanych rezultatów.


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

348

Rys. 5.2.2. Mapy izoliniowe rozmieszczenia zawartości popiołu w pokładzie 330 dla 4, 8, 16 i 24 punktów obserwacji uwzględnianych w procedurze krigingu punktowego

Fig. 5.2.2. Point kriging contour map of ash content for 4, 8, 16 and 24 samples taken into account in point kriging procedure

Również rozmiar sieci interpolacyjnej nie wpływa w zauważalny sposób na wielkość błędu

krigingu pod warunkiem, że jest on mniejszy od średniego rozstawu sieci punktów opróbowań.

Różnice między średnimi błędami krigingu dla różnych wariantów rozmiarów sieci

maksymalnie wynoszą około 2% (rys. 5.2.1). Nadmierne zagęszczanie sieci interpolacyjnej nie

prowadzi więc do podwyższenia wiarygodności map izoliniowych. Zaleca się jednak pewne

(przykładowo dwukrotne) zagęszczenie sieci interpolacyjnej w stosunku do średniego rozstawu

punktów opróbowania.


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

349

Rys.5.2.3. Mapy izoliniowe błędów interpolacji zawartości popiołu w pokładzie 330 dla 4, 8, 16 i 24 punktów obserwacji uwzględnianych w procedurze krigingu punktowego

Fig. 5.2.3. Contour map of kriging errors of ash content interpolation for 4, 8, 16 and 24 samples taken into account in point kriging procedure

Badanie dokładności interpolacji przeprowadzono poprzez porównanie oszacowanych na

podstawie rozpoznania wiertniczego wartości parametrów w punktach rozpoznania górniczego

z ich rzeczywistymi wartościami w tych punktach i obliczenie wielkości błędów R i AR dla

trzech wariantów liczby punktów obserwacji uwzględnianych w szacowaniu (4, 8 i 16).

Równocześnie dla każdego z wariantów wyznaczono wielkości prognozowanych błędów

interpolacji krigingu KR .


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

350

Rys. 5.2.4. Średnie błędy względne interpolacji: prognozowane metodą krigingu KR i rzeczywiste AR

dla trzech wariantów liczby obserwacji uwzględnianych w procedurze krigingu punktowego (N)

Fig. 5.2.4. Mean relative kriging errors KR and mean absolute relative errors AR for three variants of

number of samples taken into account in procedure of interpolation (N)

Z wykresów zamieszczonych na rys. 5.2.4 wynika, że rzeczywiste błędy interpolacji AR

są z dwoma wyjątkami niższe niż te prognozowane przez kriging punktowy KR , co oznacza

przeszacowanie wielkości błędu interpolacji przez procedurę krigingu. Wynosi ono od około

15 do 40% dla zawartości siarki i dochodzi do blisko 100% dla zawartości popiołu w pokładzie

Tabela 5.2.

Ocena dokładności interpolacji wykonanej metodą krigingu punktowego (w interpolacji uwzględniono 8 najbliższych punktów obserwacji)

Table 5.2. The assessment of interpolation accuracy made by point kriging method (8 nearest sampling points was

taken into account in interpolation)

Parametr Pokład KR

[%]

AR

[%] AR R

[%] )( *

ii zzr

Lq [%] Uq [%]

Zawartość

siarki St [%]

330 42,1 36,3 12,0 40,1 12,9 0,38

334/2 74,1 54,0 21,4 59,0 3,0 0,12

349 56,5 44,0 22,1 46,8 -12,3 0,06

Zawartość

popiołu Ar

[%]

330 24,7 46,1 16,3 42,9 29,6 0,26

334/2 97,8 58,4 13,1 94,8 36,3 0,13

349 50,5 109,6 45,4 183,0 102,4 0,23

Objaśnienia: KR - średni względny błąd krigingu; AR - średni rzeczywisty absolutny błąd względny;

R - średni rzeczywisty błąd względny; )zz(r i*i - współczynnik korelacji między rzeczywistą i

oszacowaną wartością parametru w punkcie obserwacji; Lq, Uq – kwartyle górny i dolny

Explanations: KR - mean relative kriging error; AR - mean true absolute error; R - mean true

relative error; )zz(r i*i - coefficient of linear correlation between predicted and real values; Lq, Uq –

upper and lower quartiles


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

351

334. Tylko w dwóch przypadkach wartość rzeczywistego błędu interpolacji jest zdecydowanie

większa od błędu prognozowanego przez kriging (zawartość popiołu, pokład 330 i 349).

Niespójność przewidywanych przez kriging błędów interpolacji KR i rzeczywistych

błędów interpolacji AR znajduje swe wyraziste potwierdzenie w tab. 5.2. Tylko w dwóch

z sześciu analizowanych przypadków wartość średniego błędu krigingu KR mieści się

w przedziale wartości wyznaczonym przez górny i dolny kwartyl rzeczywistego błędu

interpolacji [Lq;Uq] natomiast w pozostałych przypadkach przewyższa górny kwartyl.

Średnie wartości błędów interpolacji AR przyjmują z jednym wyjątkiem znacząco

wysokie wartości od 12 do ponad 100% co świadczy o występowaniu błędu systematycznego

w ocenie wartości parametrów. Wartości absolutnych błędów interpolacji AR w przypadku

zawartości siarki w pokładzie 330 i 349 oraz zawartości popiołu w pokładzie 330 przyjmują

wysokie ale jeszcze realistyczne wartości od 36 do 46%. W pozostałych przypadkach jakość

interpolacji jest jeszcze niższa. Pesymistycznego obrazu jakości interpolacji zawartości siarki

i popiołu dopełniają drastycznie niskie wartości współczynnika korelacji liniowej miedzy

wyinterpolowanymi i stwierdzonymi wartościami parametrów. Wydaje się, że główną

przyczyną wysoce niezadowalających wyników interpolacji jest zróżnicowanie poziomów

średnich wartości parametrów w pokładach rozpoznanych otworami wiertniczymi i w czę-

ściach tych pokładów rozpoznanych wyrobiskami górniczymi.

5.3. Dokładność interpolacji metodą krigingu blokowego

Niska wiarygodność map izoliniowych zawartości siarki i popiołu opartych na wynikach

interpolacji punktowej jest dostatecznym impulsem do podjęcia próby zastosowania procedury

krigingu blokowego jako specyficznej metody interpolacyjnej. Metodę tę zastosowano do

szacowania średnich wartości parametru w blokach obliczeniowych, których środek znajduje

się w węźle założonej sieci interpolacyjnej zaś rozmiar i kształt bloków pokrywa się z rozmia-

rem i kształtem sieci. Obliczenia wykonano oddzielnie dla obu typów rozpoznania wybranych

pokładów węgla przyjmując rozmiar sieci interpolacyjnej 1000x1000 m dla rozpoznania

wiertniczego i przeciętnie 300x300 m dla rozpoznania górniczego.

Szacowanie wartości parametru w punktach i blokach założonej sieci interpolacyjnej

każdorazowo odbywało się na podstawie danych z 8 najbliżej położonych punktów obserwacji

(rys. 5.3.2 A). Rozstaw sieci dobrano tak aby był zbliżony do średniej odległości między

punktami opróbowania obszaru.

Jak wynika z diagramu słupkowego błędów zamieszczonego na rys. 5.3.1 średnie błędy

interpolacji prognozowane przez kriging blokowy są o około 50 % niższe niż analogiczne

błędy krigingu punktowego. Przyjmują one wartości rzędu 15 – 30 % co oznacza w pełni

satysfakcjonującą dokładność estymacji rozpatrywanych parametrów jakościowych pokładów

węgla. Ilustrują to również przykłady map izoliniowych względnych błędów krigingu

wykreślone przy użyciu krigingu punktowego i blokowego (5.3.2 B i C). Zdecydowanie niższe

wartości błędów krigingu blokowego przemawiają za preferowaniem tej metody interpolacji

w odniesieniu do zawartości siarki i popiołu jako właściwszej niż kriging punktowy.

Alternatywnie można w takich przypadkach stosować mapy izoliniowe (rys. 5.3.2 C) lub mapy

bloków w obrębie których odnotowuje się średnią wartość parametru i błąd jej oceny (rys.

5.3.2 D). Należy jednak zaznaczyć, że w przypadku krigingu blokowego nie ma w praktyce


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

352

możliwości weryfikacji uzyskanych wyników jak również oceny wartości parametrów

w parcelach znacznie mniejszych od rozmiarów bloku interpolacyjnego.

Rys.5.3.1. Diagram średnich względnych błędów interpolacji KR parametrów jakościowych dla

krigingu punktowego i blokowego oraz rozpoznania górniczego (WG) i wiertniczego (OW) (P=0,68). Objaśnienia: Lq, Uq – kwartyle górny i dolny

Fig. 5.3.1. Diagram of mean relative kriging errors KR of quality parameters for point and block

kriging. Explanations: OW – samples from drill cores; WG – samples from mine workings;

Lq, Uq – upper and lower quartiles

6. Podsumowanie i wnioski

Przedstawione wyniki badań nad dokładnością interpolacji zawartości siarki i popiołu

w wybranych pokładach węgla kamiennego upoważniają do sformułowania następujących

spostrzeżeń i wniosków:

w procedurze interpolacyjnej z zastosowaniem krigingu punktowego wystarczające jest

wykorzystywanie danych z 8 najbliższych punktów opróbowań gdyż dalsze zwiększanie

ilości danych nie prowadzi do zauważalnego podwyższenia dokładności interpolacji,

znaczne zmniejszenie rozmiaru sieci interpolacyjnej poniżej średniego rozstawu punktów

opróbowań (otworów wiertniczych) nie ma widocznego wpływu na dokładność

interpolacji,

wiarygodność map izoliniowych konstruowanych w oparciu o wyniki krigingu punktowego

jest podobnie jak i w przypadku innych interpolatorów bardzo niska; rzeczywiste błędy

interpolacji przyjmują wartości z szerokiego przedziału od 35% do ponad 100%,


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

353

Rys.5.3.2. Porównanie błędów względnych prognozowanych przez kriging punktowy i blokowy dla zawartości siarki w pokładzie 330 KWK Murcki (P=0,95): A – szkic procedury krigingu; B – mapa

izoliniowa błędów krigingu punktowego; C – mapa izoliniowa błędów krigingu blokowego; D – mapa blokowa błędów względnych krigingu. Objaśnienia: 1 – blok obliczeniowy; 2 – węzeł sieci interpolacyjnej; 3 – punkt opróbowania; 4 – wartość względnego błędu krigingu dla bloku

obliczeniowego Fig. 5.3.2. Comparison of relative errors of interpolation of sulphur content predicted by point and block

kriging (seam No. 330, Murcki Mine); A – scheme of kriging procedure; B - contour map of point kriging errors; C - contour map of block kriging errors; D – block map of relative kriging errors.

Explanations: 1 – analytical block; 2 – grid node; 3 – sampling point; 4 – relative block kriging error

w większości analizowanych przypadków stwierdzono, iż kriging punktowy przeszacowuje

rzeczywistą wielkość błędu interpolacji,

prognozowane na podstawie krigingu blokowego błędy interpolacji są o około 50% niższe

od błędów krigingu punktowego ze średnimi wartościami poniżej 25% w przypadku


____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________

354

zawartości siarki i poniżej 35% w przypadku zawartości popiołu; z tego względu metoda

krigingu może być rekomendowana jako alternatywny sposób ilustrowania rozmieszczenia

rozpatrywanych parametrów.

W świetle danych literaturowych godne szerszego zainteresowania jako bardziej dokładne

wydają się nieliniowe interpolatory geostatystyczne do których należy między innymi kriging

wskaźnikowy (Glacken i Blackney 1998; Vann i Guibal 1998).

Literatura

[1] Deutsch C. V., Journel A. G. 1992: GSLIB – Geostatistical Software Library and User′s Guide. Oxford University Press, New York.

[2] Glacken I.M, Blackney P.C.J. 1998: A practitioners implementation of indicator kriging. The Geostatistical Association of Australasia “Beyond Ordinary Kriging”, Seminar October 30th,1998,-Perth, Western Australia.

[3] Englund E., Sparks A. 1991: Geostatistical Environmental Assessment Software, Version 1.2.1. EPA, Las Vegas, Nevada.

[4] Journel A. C., Huijbregts Ch. J. 1978: Mining Geostatistics. Academic Press, London. [5] Matheron G. 1963: Principles of Geostatistics. Econ Geol. [6] Mucha J., Wasilewska M. (2005): Dokładność interpolacji zawartości siarki i popiołu w wybranych

pokładach węgla kamiennego GZW. Gospodarka surowcami mineralnymi, T. 21, z.1. [7] Surfer 8.0 – User’s Guide, 2002. [8] Vann J., Guibal D. 1998: An Overview of Non-linear Estimation. The Geostatistical Association of

Australasia “Beyond Ordinary Kriging”, Seminar October 30th,1998,-Perth, Western Australia.

Interpolation of qualitative parameters in selected seams of bituminous

coal by means of kriging procedure (Upper Silesian Coal Basin)

The present study made for selected seams of the Murcki mine based on geostatistical analysis of parameter variability aimed at evaluating and comparing the magnitude of interpolation errors of sulphur and ash contents by means point and block kriging. The data sets originated from sampling of drill cores and mine workings. The authors have revealed a low accuracy of point interpolation of studied parameters with the high errors: 35 – 110%. Because of it presenting spatial distribution of ash and sulphur contents in the coal seams by means of contour maps is unreasonable. Moreover the interpolation errors predicted by point kriging are frequently incompatible with the true interpolation errors. In contrast the accuracy of block kriging estimation of mean parameter value (in blocks 1000x1000 m for drilling exploration and 300x300 m for mining exploration of seams) is fully acceptable with the estimation errors lesser than 25% for sulphur content and 35% for ash content.

Przekazano: 30 marca 2005 r.

Documents

Monika WASILEWSKA, Jacek MUCHA Kriging jako metoda ...warsztatygornicze.pl/wp-content/uploads/2005-31.pdf · M. WASILEWSKA, J. MUCHA – Prognozowanie wielkości błędów interpolacji