Embed Size (px)
Citation preview
OT3OS1
05.12.2017.
Stabilnost i kauzalnost sistema
• Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije
mora obuhvatati jedinični krug
• Da bi sistem bio kauzalan oblast konvergencije
mora se nalaziti izvan kruga koji prolazi kroz pol
najudaljeniji od koordinantnog početka
Za kauzalni linerani vremenski invarijantni sistem
navedena dva uslova će biti zadovoljena ako i
samo ako svi polovi funkcije prenosa leže unutar
jediničnog kruga kompleksne z ravni
Specifikacije za amplitudsku
karakteristiku IIR1
aa
pp
M
M
0,
11,0
0 ωaπωp
11-δp
δs
M()
Specifikacije za amplitudsku
karakteristiku IIR2
0 ωaπωp
1
1/A
M()
21
1
A
a
p
10,
11
1,0
2
M
M
Specifikacije za karakteristiku
slabljenja IIR
aa
aa
aa
pp
,
0,0
0 ωaπωp
ap
aa
a()
Specifikacije za karakteristiku
pojačanja IIR
aa
pp
gg
gg
,
0,0
0 ωa πωp
gp
g()
ga
Projektovanje IIR filtara
Metode projektovanja IIR filtara
• Direktna sinteza u z ravni
• Transformacija funkcije prenosa
analognog prototip filtra
– Impulsno invarijantna transformacija
– Bilinearna transformacija
Direktna sinteza u z ravni -
primer notch IIR filtar
Projektovati “notch” IIR filtar koji zadovoljava:
1. Potiskuje se frekvencija 50 Hz
2. 3 dB propusni opseg je +/- 5 Hz u odnosu na
frekvenciju koja se potiskuje
3. Frekvencija odabiranja je 500 Hz
Primer – rešenje1
1. Postavimo nulu na 2*pi*50/500
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
Koeficijenti b (uz x)
1.0000 -0.8090 - 0.5878i
0 50 100 150 200 250-100
-50
0
50
100
Frequency (Hz)
Phase (
degre
es)
0 50 100 150 200 250-400
-200
0
200
Frequency (Hz)
Magnitude (
dB
)
Kompleksni koeficijenti filtra
Primer – rešenje2
2. Dodamo konjugovano kompleksnu nulu
Koeficijenti b (uz x)
1.0000 -1.6180 1.0000
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real PartIm
agin
ary
Part
0 50 100 150 200 250-50
0
50
100
150
Frequency (Hz)
Phase (
degre
es)
0 50 100 150 200 250-60
-40
-20
0
20
Frequency (Hz)
Magnitude (
dB
)
Primer – rešenje3
2. Dodamo konjugovano kompleksne polove
Koeficijenti a (uz y)
1.0000 -1.5164 0.8783
0 50 100 150 200 250-100
-50
0
50
100
Frequency (Hz)
Phase (
degre
es)
0 50 100 150 200 250-20
-10
0
10
Frequency (Hz)
Magnitude (
dB
)
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
Primer - rešenje - kod
close all
clear
fs=500;
bw=10;
w0=2*pi*50/500;
z0=exp(j*w0);
figure,zplane(z0);
b0=poly(z0)
figure,freqz(b0,1,fs,fs)
z1=exp(-j*w0);
z_uk=[z0;z1];
figure,zplane(z_uk);
b1=poly(z_uk)
figure,freqz(b1,1,fs,fs)
ro=1-(bw/fs)*pi
p_uk=ro*[exp(j*w0);exp(-j*w0)]
figure,zplane(z_uk,p_uk);
a1=poly(p_uk)
figure,freqz(b1,a1,fs,fs)
Primer – promenjena fs
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
Kontinualni sistemi
Kontinualni sistemi
t
y
d
d
2
2
d
d
t
y
byt
yax
t
y
d
d
d
d
2
2
Primena Laplasove
transformacije
bsassX
sY
sXsYbsas
sYbsYsasXsYs
byt
yax
t
y
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()()(
)()()()(
d
d
d
d
Funkcija prenosa
Polovi funkcije prenosa u s ravni
0)(lim0)polRe(
tyt
)(lim1,0 tybat
)sin()(1,0 ttyba
bass 2
1
Transformacije
• Laplasova
transformacija
impulsnog odziva
• Z transformacija
impulsnog odziva
tethsH sta d)()(
n
nznhzH )()(
Funkcije prenosa
• Racionalna funkcija
kompleksne
frekvencije s=δ+jΩ
• Racionalna funkcija
kompleksne
frekvencije z
)(
)()(
0
0
sD
sC
sd
sc
sHN
k
kk
M
k
kk
a
)(
)(
1
)(1
1
1
0
zP
zQ
zb
za
zHN
k
kk
M
k
kk
Polovi funkcije prenosa
• Leva polovina
kompleksne s ravni
• Unutar jediničnog
kruga kompleksne
z ravni
)(
)()(
sD
sCsHa
)(
)()(
1
1
zP
zQzH
Frekvencijski odziv
s = jΩ z = e jω
0 0
jH e )( jHa
Specifikacije
Analogni prototip filtri
Butterworth-ov filtar
Naaaa jHjHjHM
2
3dB
22
1
1
normalizovano sa 3dB
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f [Hz]
|Ha(
)|
N=1
N=2
N=3
N=4
N=5
N=6
Karakteristika
maksimalno ravna
za =0
Butterworth-ov filtar
normalizovano sa 3dB
0 a p
1
1/A
21
1
M()
22
22
1
1
1
1
1
1
1
AN
p
N
p
Naaaa jHjHjHM
2
3dB
22
1
1
Butterworth-ov filtar
N
p
aaaa jHjHjHM2
2
22
1
1
normalizovano sa p
p
a
N
p
a
A
N
A
log
1log
1
1
1
2
2
22
2
0 a p
1
1/A
21
1
M()
Butterworth-ov filtar
p
a
a
a
p
a
p
a
A
N
log
110
110log
log
1log
10
10
2
2
N>=3.8
N=4
Primer:
fp=1000 Hz
p=2fp
fa=4000 Hz
a=2fa
ap=1 dB
aa=40 dB
-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
N=4
N=5
N=10
N=11
Butterworth-ov filtar
12,...,1,0,
1,...,1,0,1
1
1
2
12
2dB3
121
2
dB3
2
2
dB3
2
2
Nkees
Nkes
ssHsH
sHsHjH
N
kjj
k
N
kj
N
N
aa
sj
a
Polovi H(s)
Butterworth-ov filtar
Naaaa jHjHjHM
2
3dB
22
1
1
N
s
N
s
N
p
N
p
AA 2 23dB2
2
3dB
3dB22
3dB
1
1
1
1
1
1
1
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
f [Hz]
M(
)
Butterworth-ov filtar
N
s
N
s
N
p
N
p
AA 2 23dB2
2
3dB
3dB22
3dB
1
1
1
1
1
1
1
1
-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Čebiševljev filtar
p
N
aaaa
T
jHjHjHM
22
22
1
1
0 5000 10000 150000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
/(2) [Hz]
|Ha(j
)|
fp=5000 Hz, 1/(1+2)=0.63096
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
Karakteristika equal
ripple u propusnom
opsegu
Čebiševljev filtar
p
N
aaaa
T
jHjHjHM
22
22
1
1
0 a p
1
1/A
21
1
M()
1,coshcosh
1,coscos1
1
xxN
xxNxTN
xxxT
xxT
xxTxT
NxTxxTxT NNN
34
12
,1
,...2,1,2
3
3
2
2
10
11
Čebiševljev filtar
1,coshcosh
1,coscos1
1
xxN
xxNxTN
xxxT
xxT
xxTxT
NxTxxTxT NNN
34
12
,1
,...2,1,2
3
3
2
2
10
11
0 5000 10000 15000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
f [Hz]
TN
(f)
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
0 1000 2000 3000 4000 5000
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f [Hz]
TN
(f)
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
Čebiševljev filtar
22
22
1
1
N
aaaaT
jHjHjHM
0 5000 10000 150000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f [Hz]
M2(f
)
fp=5000 Hz, 1/(1+2)=0.63096
N=0
N=1
N=2
N=3
N=4
p
N
aaaa
T
jHjHjHM
22
22
1
1
100012
1
10102
2
2
2
HTkN
HTkN
N
N
Čebiševljev filtar
2
22
1
1
1
AT
p
aN
Primer:
fp=1000 Hz
p=2fp
fa=4000 Hz
a=2fa
ap=1 dB
aa=40 dB
p
a
a
a
p
a
p
a
A
N
1
10
101
1
2
21
cosh
110
110cosh
cosh
1cosh
N>=2.7
N=3
-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Čebiševljev filtar
12,...,1,0],2
12sin
1sinh
1cosh
2
12cos
1sinh
1[sinh
1
1
p
NkN
Nk
Nj
N
Nk
Nsk
Polovi H(s)
Inverzan Čebiševljev filtar
aNpaN
aTT
M222
2
/1
1
normalizovano sa a
Talasanje u
nepropusnom
opsegu
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f [Hz]
|Ha(
)|
N=4
N=5
Inverzan Čebiševljev filtar
122
1
122
11
1
22
1
1
22
1
1
22
1
11
1
11
p
N
p
Ns
s
p
N
p
N
p
N
T
T
T
T
T
Inverzan Čebiševljev filtar
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
M2(
)
/(2)
M2C1
1-M2C1
M2C2
Inverzan Čebiševljev filtar
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
M(
)
/(2)
MC1
MC2
Inverzan Čebiševljev filtar
2
222
2
2
12
2
2
222
1
2
222
1
1
1
1
1p
aN
p
aN
p
aN
TT
T
aNpaN
aTT
M222
2
/1
1
Inverzan Čebiševljev filtar
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
x 104
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Cebisevljev 1
Reciprocni Cebisevljev 1
Cebisevljev 2
Eliptički filtar
11
122
2
N
aF
M
normalizovano sa a
Talasanje i u
propusnom i u
nepropusnom
opsegu
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f [Hz]
|Ha(
)|
N=4
N=5
Beselov filtar
sBs
B
sB
BsH
NN
i
i
i
!!
!
iNi
iNB
Ni
Ma()
(a)
0
1
0.5 1 1.5 2 2.5
Batervort
Besel
()
(b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Batervort
Besel1
2
3
4
5
Transformacije specifikacija
N
p
aaaa jHjHjHM2
2
22
1
1
NaM
22
2
1
1
NF prototip, Ωp=1
Transformacije specifikacija
1. Transformacija NF, VF, PO ili NO
specifikacija u
specifikacije NF prototipa
2. Projektovanje NF prototipa
3. Transformacija funkcije prenosa u
NF, VF, PO ili NO
Transformacija NF - NF
• Transformacija NF-NF prototip
– Normalizacija, granična frekvencija propusnog
opsega NF prototip filtra je 1, granična
frekvencija nepropusnog opsega prototip filtra
ΩsNF =Ωs/ Ωp
– Projektuje se NF prototip, H(s)
– denormalizacija
p
ss
Transformacije VF - NF prototip
• Transformacija VF-NF prototip
– normalizacija na gr. fr. VF
– s → 1/s – NF, ΩsNF =ΩpVF/ ΩsVF
– Projektuje se NF prototip
– s → 1/s – VF
– denormalizacija
Transformacije PO - NF prototip
12
2
0
2
pps
ss
B
B
p
ppp
p
p
pLP
p
ppp
p
p
pLP
1
211
1
2
0
2
1
2
122
2
2
0
2
2
pp
2/1
2
0
2
2/12/1
a
aaLP
Transformacije NPO - NF prototip
2
0
2
12
s
ss aa
210 aa
121
1
2
1
2
0
1
aaa
a
a
apLP
Analogno-digitalne
transformacije
• Funkcija prenosa digitalnog IIR filtra
najčešće se formira transformacijom
analognog prototip filtra.
• Primenom analogno-digitalnog
preslikavanja funkcija prenosa analognog
prototip filtra transformiše se u funkciju
prenosa traženog digitalnog filtra.
Transformacija s ravni u z ravan
• Idealna transformacija bi trebalo da ima
sledeće osobine
– Stabilan kauzalan analogni filtar transformiše
u stabilan kauzalan digitalni filtar.
– Zadržava neizmenjenu amplitudsku i faznu
karakteristiku analognog filtra.
Transformacija s ravni u z ravan
Da bi osobina 1. bila zadovoljena, transformacijamora preslikati levu polovinu s ravni u unutrašnjostjediničnog kruga u z ravni, a desnu polovinu sravni u oblast z ravni izvan jediničnog kruga.
Da bi osobina 2. bila zadovoljena j osa s ravnimorala bi se preslikati linearno na jedinični krug(z=ej) u z ravni. Na žalost, ni jedna transformacijane može zadovoljiti ovaj drugi uslov.
U praksi se koristi nekoliko transformacija kojedaju zadovoljavajuće rezultate u mnogimslučajevima.
Transformacija s ravni u z
ravan• Da bi osobina 1. bila zadovoljena,
transformacija mora:
– preslikati levu polovinu s ravni u unutrašnjost
jediničnog kruga u z ravni,
– preslikati desnu polovinu s ravni u oblast z
ravni izvan jediničnog kruga.
Transformacija s ravni u z
ravan• Da bi osobina 2. bila zadovoljena j osa s
ravni morala bi se preslikati linearno na
jedinični krug (z=ej) u z ravni.
• Na žalost, ni jedna transformacija ne može
zadovoljiti ovaj drugi uslov.
• U praksi se koristi nekoliko transformacija
koje daju zadovoljavajuće rezultate u
mnogim slučajevima.
