44

Шеста, седма и осма недеља наставе

3. САВИЈАЊЕ (ФЛЕКСИЈА)

Разматрајмо проблем дејства силе која делује управно на подужну осу неког конструктивног елемента (на пример, неког вратила) приказаног на слици 1.

Слика 1. Начин свођења реалне кострукције на модел за прорачун

Нападне величине могу се представити помоћу дијаграма попречних сила и момената савијања.

Слика 2. Конзола изложена дејству концентрисаних сила

У овом случају кажемо да се носач савија, а напрезање коме је тај носач изложен се назива напрезање на савијање. Посматрајмо сада, нападне величине у оба карактеристична пресека конзоле.

Поље AB : ( ) ( ) constaFz M ;0zT =⋅−== .

Поље BC : ( ) ( ) zFz M ;constFzT ⋅−=== .

Када у неком пољу делује само момент савијања M = const, као што је случај са

пољем AB конзоле, онда кажемо да је носач оптерећен на чисто савијање

45

(Сл.3-а). Када у неком пољу имамо истовремено дејство момената савијања и попречних сила, онда кажемо да је то савијање силама (Сл. 3-б).

Слика 3. Чисто савијање и савијање силама

НАПОНИ

Чисто савијање (око осе х) У произвољном попречном пресеку, у случају чистог савијања, од нападних величина делује само момент савијања:

0≠== constMMx , 0MMTN ;0T tyxy ===== (Сл.4).

Слика 4. Стање равнотеже у попречном пресеку носача

Уведимо претпоставку да је: А = const, и Ix = const.

1. 0TdAA

xzx ==∫τ , 4. ∫ =⋅A

xz MdAy σ ,

2. 0TdAA

yzy ==∫τ , 5. 0MdAxA

yz ==⋅− ∫ σ ,

3. 0NdAA

z ==∫σ , 6. ( ) 0MdAyxA

tzxzy ==⋅−⋅∫ ττ .

Уведимо и следеће претпоставке:

46

1. Претпоставка о напонима На попречни пресек делују само нормални напони у правцу осе носача,

0z ≠σ

0 ,0 zyzxy === ττσ .

2. Претпоставка о деформацијама (Бернулијева претпоставка).

0z ≠ε , 0zyzx == γγ .

Пошто се при савијању носача, спољашња ″влакна″ са једне стране издужују, а

са друге скраћују, логично је претпоставити да између мора постојати ″влакно″ које неће променити своју почетну дужину, већ само облик. Такво влакно се назива неутрално влакно, а одговарајућа површ која садржи сва таква влакна се назива неутрални слој. Траг неутралног слоја у равни савијања (у разматраном случају раван уz) се назива еластична линија, а траг неутралног слоја у равни попречног пресека (раван xy) је неутрална линија. Да би се увела трећа потребна претпоставка, продискутујмо следеће: На неком удаљењу y од неутралне линије, влакно дужине dz ће се под дејством момента савијања издужити за неко (dz). Дилатација управцу осе штапа може представити изразом

Слика 5. Део распона гредног носача изложен дејству момената савијања

( )ϕρ

ϕρϕρε

d

ddy

dz

dzz

−+=

∆=

yKy

z ⋅==ρ

ε ,

при чему се полупречник

кривине ρρρρ неутралне линије може изразити као реципрочна вредност кривине криве у некој тачки (1/K).

47

3. Веза напона и деформације

zz E εσ ⋅=

( ) ( )z,yyzKE zz σσ =⋅⋅= (1)

У случају чистог савијања сва влакна у правцу осе носача, на удаљењу y од неутралне линије, имају исту вредност нормалног напона. Дискусија једначина равнотеже

Пошто су: τzx = τzy = 0, може се рећи да су једначине равнотеже (1), (2) и (6) идентично задовољене.

• Анализирајмо једначину равнотеже (3):

( ) 0zNdAA

z ==∫σ , дакле, 0S0SKEdAyKEdAyKE xx

AA

=⇒=⋅⋅=⋅=⋅⋅ ∫∫ ,

односно оса х мора да буде тежишна оса.

• Из једначине (5):

0MdAxA

yz ==⋅− ∫ σ ⇒ 0I0IKEdAyxKEdAyKEx xyxy

AA

=⇒=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫∫ ,

односно, осе (х, у) морају бити главне тежишне осе.

Овакво савијање се назива савијање око главне тежишне осе инерције.

• Из једначине равнотеже (4):

∫ =⋅A

xz MdAy σ , ⇒ x

2

AA

MdAyKEdAyKEy =⋅=⋅⋅⋅ ∫∫ .

Решавањем једначине (1) добијамо израз за нормални напон:

yI

MyKE

x

xz ⋅=⋅⋅=σ . (2)

Односно,

x

xmax

x

xmax z

W

My

I

M=⋅=σ , где је

max

xx

y

IW = - отпорни момент савијања за осу x.

48

Нормални напон је линеарна функција по координати y попречног пресека:

Ако попречни пресек није симетричан у односу на осу x око које се савија, нормални напони у најудаљенијим влакнима од осе x имају различиту вредност.

Савијање силама (око осе х) Посматрајмо сада тај исти носач изложен дејству савијања силама.

( ) ,constzMM xx ≠= ( ) 0zTT yy ≠= , 0MMTN tyx ==== .

И овде уводимо следеће претпоставке: 1. Претпоставка о напонима

0, ,0 yz =≠ σσ

0 ,0 zyzx ≠≠ ττ .

2. Претпоставка о деформацијама У овом случају, претпоставка о попречним пресецима који остају равни и управни и на деформисану осу штапа више не важи, јер појава напона смицања изазвана дејством попречних сила, како у равнима управним на подужну осу носача, тако и у равнима у правцу осе носача (став о коњугованости напона смицања), изазива кривљење (витоперење) попречних пресека.

Слика 6. Витоперење попречних пресека изазвано дејством попречних сила

0z ≠ε , 0zx ≈γ , 0zy ≈γ .

3. Веза напона и деформација

zz E εσ ⋅=

zxzx G γτ ⋅= , али ....

zyzy G γτ ⋅= , али ....

49

Нормални напони при савијању силама

• Савијање око осе x

Сада је ( ) .constzMM xx ≠=

o Ако је constIx =

( ) ( )y

I

zMy,z

x

xzz ⋅== σσ , ( ) ( ) ( )

x

xmax

x

xmax z

W

zMy

I

zMz =⋅=σ ,

x

maxxmax

W

M=σ . (3)

o Ако је ( ) constzII xx ≠=

( ) ( )( )

yzI

zMy,z

x

xzz ⋅== σσ , ( ) ( )

( )( )( )zW

zMy

zI

zMz

x

xmax

x

xmax z =⋅=σ ,

( )( )

maxx

xmax

zW

zM

=σ

• Савијање око осе y

Сада би било: ( ) .constzMM yy ≠=

На исти начин могу се извести, по садржају, потпуно исте релације и у случају савијања у хоризонталној равни x y. На томе се нећемо задржавати.

Напон смицања

• При савијању око осе x Да бисмо одредили расподелу напона смицања по произвољном попречном пресеку, уочимо елемент савијене греде дужине dz, где је оса x главна оса око које се врши савијање, а оса y друга главна оса кроз коју пролази раван дејства оптерећења и која је истовремено и оса симетрије.

Слика 7. Одређивање вредности напона смицања за произвољну тачку

50

Напишимо једначину равнотеже за део штапа аа-бб у правцу осе штапа

( ) 0dzdAdAd :0Z yz

A

z

A

zzi

i =⋅−−+= ∫∫∑ ξτσσσ .

Одавде следи

( )( ) ∫∫ ⋅

⋅=⋅

=AxA

zzy dAyzI

1

dz

zdMdAd

dz

1

ξσ

ξτ , (4)

Величина x

A

SdAy =∫ представља статички момент дела површине попречног

пресека A изнад влакана на удаљењу y од неутралне равни. Израз за напон смицања у произвољној тачки попречног пресека:

( ) ( )( )

( )ξ

ττyS

zI

zTz,y x

x

y,zy,z ⋅== (5)

Ову формулу први је извео Д. И. Журавски 1855. г. и она носи његово име.

• Ако је Ix = const:

( ) ( ) ( )

max

x

xmax

yS

I

zTz

⋅=

ξτ ,

max

x

x

maxmax

S

I

T

⋅=

ξτ .

• Ако је Ix = Ix (z) ≠ const:

( )( )

( )( )

max

x

maxxmax

z

yS

zI

zT

⋅

=

ξτ .

РАСПОДЕЛА НАПОНА СМИЦАЊА ττττzy У ЗАВИСНОСТИ ОД ОБЛИКА

ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА

Слика 8.

Очигледно је да ће вредност напона смицања у тачкама најудаљенијим од неутралне равни , односно осе x, имати вредност нула, јер је у тим тачкама

( ),0A 0Sx == па ће дијаграм расподеле бити нека крива чије ће нуле бити баш

у тим тачкама.

51

Слика 9. Теоријска и стварна расподела напона смицања за I профил

• Провера чврстоће

за ( )zAA = , односно

( )( )

maxx

xmax

zW

zM

=σ ≤ σ d , (7-1)

( )( )

( )( )

max

x

maxxmax

z

yS

zI

zT

⋅

=

ξτ ≤ τ d

• Провера крутости Биће дефинисана када се буде завршила дискусија о деформацијама при савијању.

• Провера носивости (одређивање дозвољеног оптерећења)

( ) ( ) dxx zWzM σ⋅≤ - према дозвољеном напону (7-2)

• Димензионисање

( ) ( )d

xx

zMzW

σ≥ , - према дозвољеном напону, (7-3)

ДИМЕНЗИОНИСАЊЕ НОСАЧА

НА ОСНОВУ ДОЗВОЉЕНОГ НАПОНА НА САВИЈАЊЕ

d)z,y( σσ ≤ (8)

Одавде, на основу (7) и (8), добијамо ( )( )

( )( ) d

x

max

xyy zW

zMy

zI

zM)z,y(

max

σσ ≤=⋅==

(9)

где величину max

xx

y

)z(I)z(W = , која представља једну од геометријских

карактеристика попр. пресека, називамо отпорни момент савијања за осу x.

52

У случају да оса x око које се врши савијање није оса симетрије (Слика 10), морају бити задовољени услови:

( )( )

( )( ) dp1

x

de2

x

yzI

zM ;y

zI

zMσσ ≤⋅≤⋅ , (10)

где су: М > 0, y1 < 0; М > 0, y2 > 0; σde - дозвољени напон на истезање; σde - дозвољени напон на притисак.

Слика 10. Два могућа случаја расподеле нормалног напона по попречном пресеку

Од свих вредности нормалних напона, највећу вредност ћемо добити у попречном пресеку највећег нападног момента савијања

d

x

max

W

Mσ≤ (11)

Одавде се добија образац за димензионисање носача оптерећених на савијање

doz

maxx

MW

σ≥ . (12)

СТЕПЕН ИСКОРИШЋЕЊА ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА (прочитај)

Видимо да се највеће вредности нормалног напона појављују у тачкама најудаљенијим од неутралне равни.

Слика 12. Зоне доброг и слабог искоришћења материјала

Са друге стране у зони око неутралне равни нормални напони имају вредности блиске нули. То значи да попречни пресек можемо поделити на зону доброг и зону лошег искоришћења материјала.

53

У идеалном случају најбоље искоришћење материјала би се добило када би цео попречни пресек био равномерно распоређен на удаљењу y = ymax од осе x (Сл.13). Овакав идеалан случај није технички изводљив, па је на неки начин неопходно повезати овако постављен попречни пресек у једну целину. То се обично изводи спајањем појасева, постављених у најудаљенију зону од неутралне линије, помоћу ребра којим се ови појасеви повезују. Одавде логично следи да је овако дефинисан попречни пресек најближи идеалном случају и да има највећи реални степен искоришћења материјала у односу на идеални случај.

Слика 13. Случај идеално искоришћеног материјала

Означимо меру искоришћености I профила са 100%.Процентуалну меру искоришћења било ког попречног пресека у односу на I профил, уз услов једнакости површина попречног пресека, добијамо из односа

%100W

W%

xr

xr ⋅=η

Величину ηr називамо реални степен искоришћења попречног пресека носача изложеног савијању. Као меру искоришћења реалног попречног пресека, у односу на идеални случај, уводимо појам који називамо идеални степен искоришћења

%100W

W%

i

xi ⋅=η

........................................................................................................................................

ИДЕАЛНИ ОБЛИК НОСАЧА ИЗЛОЖЕНИХ САВИЈАЊУ (прочитај) ........................................................................................................................................

ОЈАЧАЊЕ НОСАЧА ОПТЕРЕЋЕНИХ НА САВИЈАЊЕ

ПОМОЋУ ЛАМЕЛА (прочитај)

54

ДЕФОРМАЦИЈЕ ПРИ САВИЈАЊУ Пресек неутралне равни и равни дејства оптерећења чини линију коју називамо еластична линија (Сл.14).

Слика 14. Еластична линија

Величина u = u(z) назива се угиб носача у пресеку z. Значи, угибом се дефинише померање тачака еластичне линије носача оптерећеног на савијање. Пођимо од израза за кривину еластичне линије носача оптерећеног на савијање

( )yE

z,y)z(K

⋅=

σ, односно , на основу израза за нормални напон при савијању

( ) ( ))z(B

zM

)z(IE

zM)z(K

x

x

x

x =⋅

= (14)

где је B = E ⋅ I [F L2] - крутост на савијање (флексиона крутост). Кривина се, као што је познато у математици, може изразити као

{ } 232)]z(u[1

)z(u)z(K

′+

′′= , односно водећи рачуна (14)

{ }( )

)z(f)z(IE

zM

)]z(u[1

)z(u

x

x

232=

⋅=

′+

′′. (15)

Израз (15) назива се тачна диференцијална једначина еластичне линије гредног носача.

Дејством оптерећења на гредни носач ће, као што је речено, доћи до померања тежишних тачака попречних пресека али и до њиховог обртања у равни uz (Сл.8.2).

Слика 15. Појам угиба и нагиба гредног носача

55

Тачка K тежишта попречног пресека прећи ће у положај K1. Вредност угиба

2KK у смеру осе u разликоваће се за неку веома малу величину у односу на

стварно померање 1KK . Водећи рачуна да су дозвољене величине угиба у техничкој пракси мале и да се крећу око 2 ‰ у односу на распон носача, може се, на сличан начин као при формирању плана померања у случају аксијално

напрегнутих штапова, усвојити u(z) ≈ KK2. Нагиб тангенте еластичне линије, који у ствари представља меру обртања

попречног пресека у равни uz, дефинише се углом ϕϕϕϕ. За мале вредности угла ϕ, што је у техничкој пракси случај, може се написати

)z(utg ′=≈ ϕϕ . (16)

Величина u’(z) назива се нагиб тангенте еластичне линије у пресеку z. У случају да се задржимо на претпоставци о дозвољеном угибу до 2 ‰ од распона носача, може се са довољном тачношћу усвојити

1)]z(u[1 2 ≈′+ (18)

где је величина u’(z) величина другог реда у односу на јединицу, што постављањем у тачну диференцијалну једначину (15) даје

( ))z(f

)z(IE

zM)z(u

x

x =⋅

±≈′′ (19)

Ово је, као што је познато, линеарна диференцијална једначина другог реда и назива се приближна диференцијална једначина еластичне линије гредног носача.

За случај оптерећења које изазива деформацију греде (Сл.15-а), биће испуњени услови:

0)z(Mx > и 0)z(u <′′ , (20)

док ће за случај оптерећења које изазива деформацију конзоле, како је показано (Сл.15-б), бити испуњени услови:

0)z(Mx < и 0)z(u >′′ (21)

То значи да ће приближна једначина еластичне линије у оба случаја бити облика

( ))z(f

)z(IE

zM)z(u

x

x =⋅

−=′′ . (22)

Метода за одређивање еластичне линије гредног носача, дефинисана на овај начин, назива се метода директне интеграције.

56

ГРАНИЧНИ УСЛОВИ ЗА ПРОСТУ ГРЕДУ И КОНЗОЛУ У случају просте греде (Сл.15-а), мора бити задовољен услов да су угиби греде на ослонцима једнаки нули. У случају конзоле (Сл.15-б), мора бити задовољен услов да су угиб и нагиб конзоле у уклештењу једнаки нули. Величине које се често појављују у прорачунима су нагиби на ослонцима. Они се обележавају посебним знаком :

Предзнак нагиба еластичне линије

Нагиб на левом и десном ослонцу (тачке А и B) обележавамо као

A0z)z(u α=′

=, Blz

)z(u β=′=

(27)

а договор око предзнака за нагиб је приказана на слици. ....................................................................................................................................

ПРОСТА ГРЕДА ОПТЕРЕЋЕНА КОНЦЕНТРИСАНОМ СИЛОМ

(КЛЕПШОВ ПОСТУПАК) (прочитај)

........................................................................................................................................

УПОТРЕБА ТАБЛИЧНИХ ПОДАТАКА ЗА ИЗРАЧУНАВАЊЕ ДЕФОРМАЦИЈА ПРИ САВИЈАЊУ

На основу свега претходно реченог, конкретније, на основу приближне диференцијалне једначине еластичне линије (22) у литератури (види Таблице из О.М.) постоје већ изведени обрасци - једначине за угибе и нагибе гредних носача, типа проста греда и конзола. Решавањем ових једначина – образаца, дошло се и до података о конкретним вредностима угиба и нагиба за интересантне попречне пресеке ових греда. Дакле, за израчунавање деформација греда при савијању већ постоје подаци, а наше је да научимо како се они користе.

57

Проста греда

Конзола

................................................................................................................................... Примери употребе табличних података за просту греду и конзолу у случају носача који се зове

Греда са препустом

• Греда са десним препустом

• Греда са левим препустом