OTTAVIO SERRA

Leggi lineari in fisica

Cosenza 2012

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« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. »

(Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI)

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In piccolo tutte le curve (buone) sono diritte e tutte le superfici (buone) sono piatte!!!Che significa? Ne parleremo dopo.

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Allungamento di una molla

ΔP è la forza esterna che provoca l’allungamento (o la compressione), forza peso, muscolare, elettrica …, Δl l’allungamento, cioè la variazione di lunghezza l – l0.

Legge di Hooke dell’allungamento elastico.

.P k l

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Man mano che la molla si allunga, reagisce con una forza (elastica) di richiamo sempre più forte che alla fine equilibra ΔP: F = - ΔP. Se chiamo x l’allungamento della molla, avremo ΔP = k.x ed F = -kx.

Vediamo degli esempi.

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La prima molla si è allungata di più perché il peso che la stira è maggiore (Le due molle sono identiche).

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N.B. x è l’allungamentoΔl

Esempio numerico

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A occhio, quale grafico si riferisce alla prima molla?

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I grafici sono lineari (nei limiti degli errori di misura). Calcolare il valore medio della costante elastica (in N/cm) e lo scarto quadratico medio σ per ciascuna molla . Formule:

1 2 ... nk k kk

n

2 2 21 2( ) ( ) ... ( )nk k k k k k

n

(radice quadrata del valor medio dei quadrati degli scarti!!!). Però!!!

Perché non si può usare lo scarto medio?Perché almeno non si usa lo scarto assoluto medio?

Verificare che per la prima molla si ha 0,195 /k N cme σ =0,003 N/cm

I valori di k per la prima molla sono 0,192; 0,192; 0,195; 0,198; 0,198.

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“Nota tecnica: il valor medio degli scarti è sempre zero (provare!) e perciò non serve.Il valore assoluto è una funzione non buona” (è appuntita, “non derivabile” dicono i matematici) e perciò poco maneggevole; il quadrato è invece una funzione “buona” e maneggevole.

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Anche la dilatazione termica di un filo metallico è lineare, cioè l’allungamento è proporzionale alla (prima potenza della) variazione di temperatura (temperatura finale meno temperatura iniziale). E Newton aveva trovato che il calore irradiato da un corpo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente. Anche la corrente elettrica in un filo conduttore è proporzionale alla tensione applicata ai suoi estremi!Possibile che tutte le leggi relative al comportamento della materia siano lineari, leggi di

proporzionalità? Non può essere vero!

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Supponiamo di avere una molla d’acciaio lunga, a riposo, 20 cm e che la sua costante elastica sia k=10 N/cm (la molla si allunga di 1 cm se la forza applicata è circa un chilo). Se applichiamo 2 chili, la molla si allunga di 2 cm e con 5 chili l’allungamento è di circa 5 cm.

Ma con 1000 chili la molla si allungherà di 1000

cm, cioè di 10 metri? E’ pazzesco, la molla molto prima si deformerà permanentemente, perderà le sue caratteristiche elastiche, si snerverà e finirà con lo spezzarsi.

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Analogamente, un filo di ferro riscaldato si allunga in modo proporzionale all’aumento di temperatura, se tale aumento non è molto grande, perché altrimenti prima si rammollisce e poi fonde. Addio proporzionalità!E la corrente elettrica, al crescere della tensione applicata, aumenterà sempre più lentamente (la resistenza elettrica del filo aumenta con la temperatura), il filo si scalda sempre di più e finisce con lo spezzarsi nel punto dove raggiunge prima la temperatura di fusione. Ma allora, perché in piccolo, per piccole sollecitazioni, la risposta è lineare? Vediamo il grafico seguente.

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Il grafico in blu potrebbe rappresentare l’allungamento di una molla (in ordinata) in funzione del peso (in ascissa). In rosso la tangente.

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La curva nell’intorno del punto di ascissa 1 è ben approssimata dalla tangente. In piccolo tutte le curve (buone) sono diritte, ogni funzione (regolare) è approssimata, in un piccolo intervallo della variabile indipendente, da una funzione lineare (di primo grado). E siccome la retta è la più semplice delle curve, ecco spiegato perché i fisici prediligono le leggi lineari (di primo grado).

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Anche una superficie (Buona!) nell’intorno di un suo punto è approssimata dal piano tangente, tanto meglio quanto più piccolo è quell’intorno.Per questo motivo la superficie della Terra, per millenni, è stata considerata piatta.

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E le leggi del moto?Tutti conoscono la legge del moto (rettilineo) uniforme:

s=v.t

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Ma un grave cade con moto (rettilineo) uniforme? Per Aristotele, sì: “Un grave cade con velocità costante, tanto maggiore quanto maggiore è il peso”.Ci volle Galilei per capire che i gravi cadono con moto uniformemente accelerato. E’ Lui che introduce il concetto di accelerazione; nel caso dei gravi v=g.t e lo spazio di caduta è

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2s gt Il moto è “parabolico”.

L’accelerazione di gravità è g=9,8

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m

sE nel disegno a fianco quanto vale l’accelerazione?

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Ma come mai Aristotele, che era un grande genio, fece un un simile errore? Aristotele era un buon osservatore, ma era convinto che i fenomeni andassero studiati “al naturale”, senza disturbarli. Inoltre senza strumenti è molto difficile notare l’aumento di velocità al passare del tempo, specialmente in un intervallo di tempo “piccolo”. E’ la solita storia: in piccolo tutte le curve sono diritte.

Per esempio, nell’intervallo tra 1s e 2s l’andamento parabolico differisce ben poco dall’andamento lineare, per cui sembra che lo spazio percorso sia proporzionale al tempo, cioè che la velocità sia costante. E Galilei? Usa il piano inclinato per rallentare in modo noto l’accelerazione, e misura il tempo col metronomo (Era musicista e figlio di musicista). Con lui nasce il “metodo sperimentale”.

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La lineartà piace tanto che la imponiamo anche quando il fenomeno è chiaramente non lineare. Si vedano le due figure seguenti:

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2s gt 1

*2

s g u

2{ }u t

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Tutti sanno che una data massa di gas, a temperatura costante, esercita sulle pareti del recipiente una pressione inversamente proporzionale al volume, il graficoo è un ramo di iperbole, ma se usiamo la densità al posto del volume, il grafico è rettilineo e l’uomo lo legge meglio.

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In un gas (perfetto), a tempertura costante, la pressione è inversamente proporzionale al volume.

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Ma se esprimiamo la pressione in funzione della densità, che è inversamente proporzionale al volume, il grafico è rettilineo e la lettura è più agevole.

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Però la semplice legge p=k/V, oppure p=h*d, va bene solo per alte temperature e grande volume o per piccole variazioni di volume. Ecc0 come varia p con V a varie temperature (per il biossido di carbonio CO2)

La legge semplice va bene solo se il gas è caldo e rarefatto.