11

Ottavio Serra

La Caduta dei La Caduta dei gravigravi Filo conduttore della

meccanica da Galilei ad Einstein

Cosenza, 2009

22

Aristotele, 384 – 322 a.C.

33

Secondo Aristotele i corpi cadono tanto più velocemente quanto più sono pesanti.

E se sono come le piume, non cadono neanche verticalmente, ma oscillando.

44

Galilei, 1564 - 1642

55

Galilei ridicolizza questa opinione, osservando che in tal caso un mattone dovrebbe cadere più velocemente o più lentamente, a seconda che lo si pensi intero o formato da due mezzi mattoni.

66

77

0v v gt 2

0

1

2s v t gt

Galilei, dopo alcune incertezze iniziali, trova le formule corrette per il moto dei gravi in assenza d’aria:

88

Newton, 1642 - 1727

99

Fu però Newton che portò a compimento il lavoro di Galilei e creò la nuova meccanica e la teoria della gravitazione, forgiando anche la matematica, il calcolo infinitesimale, necessaria per esprimere le nuove leggi fisiche e derivarne tutte le conseguenze.

1010

Se la velocità è costante (moto uniforme), lo spazio percorso è velocità per intervallo di tempo = anche “area del rettangolo”. E se il moto non è uniforme…

1111

Idea: divido l’intervallo di tempo in tanti intervallini così piccoli che in essi il moto si possa ritenere uniforme; si ottengono tanti rettangolini e la somma delle loro aree approssima lo spazio percorso. Al limite i rettangolini riempiono esattamente la figura.

1212

L’area del trapezio dà lo spazio (lunghezza) percorso nel tempo t.

20

1

2s v t gt

1313

Se il moto non è uniformemente accelerato, l’area al di sotto del grafico non è un trapezio, però dà sempre lo spazio percorso, solo che il calcolo è più difficile.

1414

Naturalmente, ciò vale in assenza d’aria o se questa può essere trascurata, per esempio per la caduta di un sasso: MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.

La caduta dei gravi avviene con accelerazione costante.

1515

Una piuma o un pezzetto di carta sono talmente soggetti alle più deboli correnti d’aria, che il loro moto è praticamente imprevedibile.

Ma in assenza d’aria una piuma cade come un sasso. Come togliere l’aria per fare la prova?

1616

Mettere un pezzetto di carta su una moneta da due euro e far cadere la moneta di piatto: mentre cade, la moneta fa il vuoto davanti a sé e il pezzetto di carta cade come un sasso. Se non vi riesce, riprovate!

Togliamo l’aria senza pompa pneumatica:

1717

Perché in prossimità del suolo e in assenza di vento le gocce di pioggia cadono a velocità costante?

La resistenza del mezzo. La forza agente sulla goccia è F = mg – kv, essendo mg il suo peso e kv la resistenza dell’aria proporzionale alla velocità. Man mano che la goccia cade, la velocità aumenta e con essa la resistenza del mezzo, finchà F si annulla. Da quel momento v = mg/k. (velocità asintotica)

1818

Il coefficiente k dipende dalla viscosità η del mezzo (dell’aria) e dalla dimensione del grave. Per una goccia di pioggia (sferica) k è data dalla legge di Stokes:

6k rPerciò, a parità di viscosità η (a parità del mezzo) la velocità finale è tanto più piccola quanto più piccolo è il raggio r. (La velocità finale è proporzionale al quadrato di r). Perciò le

gocce piccole arrivano più lentamente delle gocce grosse. (Per il paracadute la cosa è diversa: occorre una grande dimensione (superficie) per avere piccola velocità finale. Come mai? Giustificare. Fare poi un esperimento con l’ombrello).

1919

Come è possibile verificare che le gocce di pioggia arrivano al suolo con velocità costante?

Si consideri un autobus in corsa con velocità v0

Nel riferimento (inerziale) esterno le gocce cadono verticalmente (se non c’è vento), ma l’autobus va loro incontro mentre cadono e queste rigano il vetro obliquamente dall’angolo superiore destro all’angolo inferiore sinistro dell’autobus. Vedi immagine seguente

2020

Riferimento Inerziale EsternoRiferimento Inerziale Esterno

Siccome il vetro è rigato rettilineamente, si conclude che la pioggia arriva con velocità costante.

2121

Riferimento inerziale INTERNORiferimento inerziale INTERNOOra sfrutteremo il principio di relatività di Ora sfrutteremo il principio di relatività di

Galilei.Galilei.L’autobus per i passeggeri è L’autobus per i passeggeri è FERMOFERMO e le cose e le cose

vanno come se le gocce di pioggia avessero, vanno come se le gocce di pioggia avessero, oltre che la loro velocità di caduta, anche oltre che la loro velocità di caduta, anche quella dell’autobus quella dell’autobus cambiata di segno.cambiata di segno.

Per il principio di Per il principio di relatività di Galileirelatività di Galilei, il vetro , il vetro dovrà essere rigato come nella prima dovrà essere rigato come nella prima descrizione.descrizione.

Vedi immagine seguente.Vedi immagine seguente.

2222

Che le gocce di pioggia arrivinoChe le gocce di pioggia arrivino con velocità costante si può con velocità costante si può notare osservando come rigano il finestrino di un autobus che notare osservando come rigano il finestrino di un autobus che

vada a velocità costante.vada a velocità costante.

Il finestrino dell’autobus viene rigato dalla pioggia parallelamente al vettore w. Siccome le rigature di pioggia sono rettilinee, si conclude che le gocce di pioggia arrivano con velocità costante.

Come righerebbero il vetro se arrivassero accelerate?

2323

Ma perché tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione?

Perché i satelliti di Giove girano intorno a Giove come se il Sole non ci fosse? Lo stesso dicasi della Luna intorno alla Terra.

Perché la forza di gravità è proporzionale alla massa?

E’ l’unica forza per cui ciò accade.

2424

Per capirlo dobbiamo aspettare Per capirlo dobbiamo aspettare Einstein (1879 – 1955)Einstein (1879 – 1955)

Einstein il 1916, anno della Relatività generale.

2525 Negli ultimi anni della sua vita

2626

Prima citiamo il principio di RELATIVITA’

Galileiano, come è riportato in una pagina memorabile del capolavoro ”Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e

copernicano”. Sintetizzo: se un corpo, sasso, mosca o altro, si muove sotto coverta in una nave che va a velocità costantevelocità costante in mare calmo, il suo moto è identico a quello che si avrebbe se la nave fosse ferma.

2727

Le equazioni della trasformazione di Galilei nel passaggio da un riferimento inerziale S (es. mare calmo o terra ferma) a un altro S’ (es. nave o treno in moto rettilineo uniforme) sono: x’=x - v.t, y’=y, z’=z. (Relatività galileiana).

Galilei sottintende una quarta equazione:

t’ = t (lo scorrere del tempo è assoluto, è lo stesso in tutti i sistemi di riferimento inerziali; ciò non sarà vero nella relatività einsteiniana).

2828

Il riferimento K’ si nuove con velocità v rispetto al riferimento K. (OO’ = vt).

2929

Da Newton ad Einstein

La forza di inerzia e la forza di gravità.

Se un carrello accelera verso destra in un riferimento inerziale, i corpi interni al carrello non sono soggetti ad alcuna forza; se erano fermi restano fermi. E’ il carrello che gli va addosso. E’ il caso della pallina poggiata sul pavimento. Per il pendolo, invece, esso tenta sì di restare fermo, ma è trascinato dal filo di sospensione fissato al soffitto, per cui è costretto ad accelerare verso destra e il filo si tende, come il guinzaglio di un cane riottoso.

3030

3131

La risultante tra la forza peso del pendolo e la tensione del filo dà la forza di trascinamento del pendolo, che, divisa per la sua massa, imprime al pendolo un’accelerazione verso destra pari all’accelerazione del carrello.

Ora vediamo come si presenta la situazione per un osservatore interno al carrello.

3232

Tutti i corpi appaiono soggetti ad una forza diretta verso sinistra proporzionale alla loro massa, per cui i corpi cadono verso sinistra con la stessa accelerazione.

3333

Il disegno si riferisce a un carrello immerso in un campo verticale di gravità, per cui il basso non è a rigore la parete verticale sinistra del carrello, ma il piano perpendicolare al filo di sospensione del pendolo, che si allinea con la risultante tra la forza peso del pendolo e la misteriosa forza agente sul pendolo e diretta verso sinistra.

3434

Componendo questa forza misteriosa con la tensione del filo e con la forza peso della pallina del pendolo, si ottiene forza totale zero e perciò la pallina del pendolo resta ferma nel riferimento del carrello. Invece la pallina rossa, essendo soggetta solo alla forza misteriosa diretta a sinistra e proporzionale alla massa, si muove verso sinistra con accelerazione a = -a0 . (Il suo peso è bilanciato dalla reazione vincolare del pavimento).

3535

Ma questa forza non è di gravità, non è elettrica o magnetica: fu detta FORZA APPARENTE. Però quando la pallina va a sbattere contro la parete sinistra del carrello si può deformare o rompere e, se è una persona, si può fare un bernoccolo che è reale, non apparente. Perciò è più appropriato chiamarla FORZA di INERZIA, perché si manifesta in un riferimento non inerziale, cioè accelerato rispetto al riferimento inerziale esterno.

3636

Anche un autobus in corsa lungo un tratto curvilineo è un riferimento non inerziale. La forza che costringe l’autobus a seguire la curva è l’attrito tra le ruote e la strada (forza centripeta) che, fintanto che l’autobus tiene la strada, uguaglia il prodotto tra la massa dell’oggetto e l’accelerazione centripeta:

2

. .c c

vF m a m

r

3737

Chi è dentro l’autobus risente però una forza apparente diretta verso la fiancata esterna, detta perciò forza centrifuga. Essa è il prodotto della massa dell’oggeto per l’accelerzaione centripeta cambiata di segno:

F = - Fc = m.(-ac).

Einstein interpreterà questo fenomeno in modo genialmente diverso.

3838

Prima però parliamo del famoso ascensore di Einstein, anche se ora lo lo sostituiamo con un’astronave.

3939

A sinistra abbiamo l’astronave ferma a Terra e la pallina cade verso il basso (il pavimento) con l’accelerazione di gravità g. A destra l’astronave è nello spazio interstellare, lontana da campi di gravità, e accelera verso l’alto con accelerazione a=-g sotto la spinta dei suoi motori. Dentro l’astronave la pallina è soggetta a una forza di inerzia che la spinge verso il basso con accelerazione g= -a. La forza di inerzia è indistinguibile dalla forza di gravità. La gravità è inerzia.

4040

Nessun esperimento interno all’astronave consente di distinguere tra le due descrizioni: gravità o inerzia? Einstein introduce a questo punto il famoso postulato, detto principio di equivalenza: “A tutti gli effetti un sistema di riferimento accelerato rispetto a un riferimento inerziale esterno è equivalente a un riferimento inerziale nel quale agisce un campo di gravità”.

4141

Anche la luce cade in un campo di gravità?

4242

L’astronave sta accelerando verso l’alto con accelerazione a, mentre un raggio di luce parte orizzontalmente dalla parete di sinistra e punta verso il centro C della parete di destra; però nell’intervallo di tempo che la luce impiega per arrivare a destra l’astronave si è spostata di un certo tratto, perciò la luce colpisce la parete non in C, ma in un punto più basso B. Per chi è dentro l’astronave le cose vanno come se questa fosse ferma ( o in moto rettilineo uniforme) rispetto a un riferimento inerziale esterno, ma immersa in un campo di gravità g = -a.

4343

Siccome un riferimento accelerato (non inerziale) rispetto a un riferimento inerziale senza gravità si comporta come un riferimento inerziale immerso in un campo di gravità, si conclude che la luce cade in un campo di gravità, come un qualsiasi corpo.

Si noti che nel riferimento inerziale, nel quale l’astronave si muove di moto accelerato, la luce va in linea retta a velocità costante c. (vedi fig. precedente a pag 41)

4444

Questo disegno mostra, aumentata in modo esagerato, la deflessione della luce di una stella che passa in prossimità del Sole.

4545

Va ricordato che Newton, immaginando la luce costituita di particelle, aveva trovato una deflessione di 0,87” (secondi d’arco), applicando la sua legge di gravitazione, secondo la quale α = 2GM/R. (Nessuna deflessione è prevista nella teoria ondulatoria: perché?).

Einstein con la relatività generale del 1916 trovò il doppio: α = 4GM/R. Nel caso del Sole α = 1,75’’ (secondi d’arco). Questo valore fu confermato, già nel 1919, dal grande astronomo inglese sir Arthur Eddington durante un’eclissi di Sole.

4646

E’ chiaro che più è forte il campo gravitazionale, maggiore è la deflessione, per esempio se il raggio di luce stellare sfiora una nana bianca o, ancora di più, una pulsar (stella di neutroni).

4747

Un’altra conseguenza della gravitazione di Einstein è l’avanzamentodel perielio dei pianeti, per cui l’orbita non è una ellisse come nella teoria di Newton (prima legge di Keplero), ma una curva aperta. Einstein spiega così il disavanzo di 42” d’arco per secolo del perielio di Mercurio.

Nelle tre diapositive seguenti presento due mie simulazioni con esponente 2 e 2,1 della legge di gravitazione e poi l’orbita effettivamente osservata in una pulsar binaria.

4848

4949

5050