Oxy phần 1.pdf

8/17/2019 Oxy phần 1.pdf

1/42

CHUYÊN Đ LUYN THI ĐI HC MÔN TOÁN

www.facebook.com/tilado.toanhoc

TUYN TP HÌNH HC GII TÍCHTRONG MT PHNG HAY VÀ ĐCSC

(phiên bn 1)

Giáo viên : Nguyn Minh Tin

Hà Ni tháng 12 năm 2014

1


2/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n

www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG

Đ bài 01 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), đim B nm trênđưng thng (d1) : 2x + y + 1 = 0 và chân đưng cao h đnh B xung đưng thng AC nm trên

đưng thng (d2) : 2x + y − 8 = 0. Bit đim M (3; 0) là trung đim ca cnh BC. Tìm ta đ cácđnh B và C ca tam giác.

Li gii tham kho :

Gi đim B (a;−2a − 1) ∈ (d1)

Đim H (b; 8− 2b) ∈ (d2)

Ta có M là trung đim ca BC ⇒ C (6− a; 2a + 1)

Ta có H ∈ AC nên −−→AH và −−→HC cùng phương

−−→AH = (b− 1; 3− 2b) và −−→HC = (6− a− b; 2a + 2b− 7)−−→AH và

−−→HC cùng phương ⇒ b− 1

6− a− b = 3− 2b

2a + 2b− 7 ⇔ a = 11− 6b (1)

H là chân đưng cao h t B xung AC ⇒ AH ⊥BH ⇔ −−→AH.−−→BH = 0−−→BH = (b− a; 2a− 2b + 9) ⇒ −−→AH.−−→BH = 0 ⇔ (b− 1) (b− a) + (3− 2b) (2a− 2b + 9) = 0

⇔5b2

−5ab

−25ab + 7a + 27 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta đưc 5b2 − 5b (11− 6b)− 25b + 7 (11− 6a) + 27 = 0

⇔ 35b2 − 122b + 104 = 0 ⇔

b = 2

b = 52

35

Thay ngưc li ta có đim B và C cn tìm

Đ bài 02 : Trong h ta đ Oxy hình thang cân ABCD có din tích bng 45

2 , đáy ln CD nm

trên đưng thng (d) : x − 3y − 3 = 0. Bit hai đưng chéo AC và BD vuông góc vi nhau và ctnhau ti đim I (2; 3). Vit phương trình đưng thng BC bit đim C có hoành đ dương.

Li gii tham kho :ABCD là hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân ti I

Ta có C D = 2d (I ; CD) = 2.|2− 3.3− 3|√

10= 2

√ 10 ⇒ IC = √ 20

Ly C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC 2 = (3a + 1)2 + (a− 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6;1)

Phương trình BD đi qua đim I và nhn −→IC làm vtpt ⇒ BD : 2x− y − 1 = 0

D là giao đim ca BD và CD ⇒ D (0;−1)

Tng hp các bài toán đc sc 2


3/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đt I A = I B = x ⇒ S IAB = 12

x2; S IAD = x√

5 = S IBC ; S ICD = 10

⇒ S ABCD = 12

x2 + 2x√

5 + 10 = 45

2 ⇔

x =

√ 5 (tm)

x = −5√ 5 (loai)

⇒ DI IB

= 2 ⇒ −→DI = 2−→IB (∗)

Gi B (b; 2b− 1) ∈ BD t (∗) ⇒ B (3;5)

Phương trình đưng thng BC đi qua B và C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = 0.

Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 03 (k2pi Ln 15 - 2014) : Trong h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trìnhđưng thng AD là (d) : 3x

−4y−

7 = 0. Gi E là đim nm bên trong hình vuông ABCD sao cho

tam giác EBC cân có BE C = 150o. Vit phương trình đưng thng AB bit đim E (2;−4).

Li gii tham kho :

Tam giác BEC cân và có BE C = 150o ⇒ tam giác BEC cân ti E

Gi H là hình chiu ca E lên AD ⇒ H là trung đim ca AD và H E = d (E ; AD) = 3

Đt cnh hình vuông là AB = x

Tam giác BEC cân ti E có BEC = 150o ⇒ EB C = 15o. Gi I là trung đim ca BC ⇒ BI = x2

; EI =

x− 3Tam giác BIE vuông ti I có góc EB I = 15o ⇒ tan 15o = EI

BI =

2x− 6x



4/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


⇒ 2−√ 3 = 2x− 6x ⇔ x = 2√ 3

Phương trình đưng thng EH qua đim E và vuông góc vi AD ⇒ EH : 4x + 3y + 4 = 0

Đưng thng AB // EH ⇒ AB có dng (d) : 4x + 3y + α = 0Ta có d (E,AB) =

|α− 4|5

= BI =√

3 ⇔ α = 4± 5√ 3

Phương trình đưng thng AB là (d) : 4x + 3y + 4 ± 5√ 3 = 0


Đ bài 04 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC bit đưng cao k t A, trung tuyn kt B và phân giác k t C có phương trình ln lưt là (d1) : 3x− 4y + 27 = 0; (d2) : 4x + 5y − 3 =

0; (d3) : x + 2y − 5 = 0. Xác đnh tâm và bán kính đưng tròn ngoi tip tam giác ABC.

Li gii tham kho :

Ta có AH ⊥BC ⇒ BC có vtcp là −→u4 = (3;−4)

Gi −→u5 = (a; b) là vtcp ca đưng thng AC. Ta có CD là phân giác trong góc C

⇒ cos(−→u3,−→u4) = cos (−→u3,−→u5) −→u3 = (2;−1)

⇒ |2a− b|√ 5.√

a2 + b2=

10√ 5.√

25⇔ b = 0

b = −43

a

Vi b = −43

a ⇒ chn −→u5 = (3;−4) loi vì trùng vi −→u4

Vi b = 0 ⇒ −→u5 = (1; 0)

Đim A ∈ (d1) ⇒ A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈ (d3) ⇒ C (5− 2c; c) ⇒ −→AC = (6− 2c − 4a; c− 3a− 6)

Ta có −→u5 và −→AC cùng phương ⇒ c− 3a− 6 = 0 (1)

M là trung đim ca AC ⇒ M

4a + 4 − 2c2

; 3a + c + 6

2

. Trung đim M thuc (d2)



5/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


⇒ 4. 4a + 4 − 2c2

+ 5.3a + c + 6

2 − 3 = 0 ⇔ 31a− 3a + 40 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒ a = 1; c = 3 ⇒ A (−5;3); C (−1;3)

Phương trình đưng thng BC đi qua C và vuông góc vi AH ⇒ BC : 4x + 3y − 5 = 0B là giao đim ca BM và BC ⇒ B (2;−1)

Bài toán c bn : Bit ta đ 3 đnh tam giác tìm ta đ tâm và bán kính đưng tròn ngoi tip tam

giác. Tâm I −3;−13

8

và R =

5√

65

8 .

Đ bài 05 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A có phương trình đưng thngcha các cnh AB và BC ln lưt là (d1) : 7x− y + 17 = 0; (d2) : x− 3y− 9 = 0. Vit phương trình

đưng cao xut phát t đnh C ca tam giác ABC bit đim M (2;−1) nm trên đưng thng AC.

Li gii tham kho :

Đưng thng AB có vtpt là −→n1 = (7;−1), BC có vtpt là −→n2 = (1;−3)

Gi −→n3 = (a; b) là vtpt ca đưng thng AC

Tam giác ABC cân ti A ⇒ cos(−→n1,−→n2) = cos (−→n2,−→n3) ⇒ 10√ 50.√

10=

|a − 3b|√ 10.√

a2 + b2

⇔ a2 + 6ab− 7b2 = 0 ⇔ a = b

a = −7b

Vi a = −7b chn −→n3 = (7;−1) loi vì cùng phương vi −→n1

Vi a = b chn −→n3 = (1; 1) ⇒ đưng thng AC : x + y − 1 = 0

Ta đ C là giao đim ca BC và AC ⇒ C (3;−2)

Phương trình đưng cao xut phát t C là (d) : x + 7y + 11 = 0.

Đ bài 06 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đưng cao và đưngphân giác trong xut phát t đnh A ln lưt là (d1) : x − 2y = 0; (d2) : x − y + 1 = 0. Bit đimM (1; 0) nm trên cnh AB và din tích tam giác ABC bng

180

7 . Tìm ta đ các đnh ca tam

giác ABC.

Li gii tham kho :



6/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


A là giao đim ca (d1) và (d2) ⇒ ta đ đim A (−2;−1)Qua M k đưng thng ⊥(d2) ct (d2) ti I và AC ti NMN qua M và ⊥(d2) ⇒ (M N ) : x + y − 1 = 0I là giao đim ca MN và (d2) ⇒ I (0; 1)I là trung đim ca MN ⇒ N (−1;2)

Phương trình đưng thng (AB) : x − 3y − 1 = 0 và (AC ) : 3x− y + 5 = 0

Đim B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), đim C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5)

Ta có B C ⊥AH ⇔ −−→AH ⊥−−→BC ⇔ −−→AH.−−→BC = 0−−→AH = (2;1) ;

−−→BC = (b

−3a−

1; 3b + 5−

a)

⇒ 2 (b− 3a− 1) + (3b + 5 − a) = 0 ⇔ 5b− 7a + 3 = 0 (1)

Ta có S ABC = 1

2d (C,AB) .AB =

|8b + 14|√ 10

.

(3a + 3)2 + (a + 1)2 = 180

7 (2)

T (1) và (2) ⇒

a =

8

7

a = −227

thay ngưc li ta có các đim A, B, C.


Đ bài 07 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A có AC = 2AB, phương

trình đưng thng cha cnh AB có phương trình là (d) : 2x− y + 7 = 0, đim G

0; 1

3

là trng

tâm ca tam giác ABC. Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đnh B có hoành đ bé hơn

−2.

Li gii tham kho :

Gi M là trung đim ca AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân ti A ⇒ M BA = 45o



7/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Gi −→n1 là vtpt ca đưng thng (d) ⇒ −→n1 = (2;−1) và −→n2 = (a; b) là vtpt ca đưng thng BG⇒ cos(−→n1,−→n2) =

√ 2

2 ⇒ |2a− b|√

5.√

a2 + b2=

√ 2

2

⇔ 3a2 − 8ab− 3b2 = 0 ⇔ a = 3b

a = −13

b

Vi a = 3b chn −→n2 = (3;1) ⇒ đưng thng BG qua G có vtpt −→n2 ⇒ BG : 9x + y − 1 = 0

B là giao đim ca AB và BG ⇒

x = −43

y = 13

3

loi do hoành đ đim B nh hơn −2

Vi a = −b

3 chn −→n2 = (1;−3) ⇒ đưng thng BG qua G có vtpt −→n2 ⇒ BG : x − 3y + 1 = 0B là giao đim ca AB và BG ⇒ B (−4;−1) ( tha mãn )

M là trung đim ca AC ⇒ M (3a− 1; a) ∈ BG ta có −−→BG = 23

−−→BM ⇒ M (2; 1)

Phương trình đưng thng AC đi qua đim M và vuông góc vi AB ⇒ AC : x + 2y − 4 = 0

Ta đ đim A là giao đim AC và AB ⇒ A (−2;3) ⇒ C (6;−1)


Đ bài 08 ( k2pi Ln 14 - 2014) : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim

B

1

2; 1

. Đưng tròn ni tip tam giác ABC tip xúc vi các cnh BC, CA và AB ti D, E và F.

Bit đim D (3;1) và phương trình đưng thng EF có phương trình là (d) : y − 3 = 0. Tìm ta đđnh A bit đnh A có tung đ không âm.

Li gii tham kho :

Phương trình đưng thng BC đi qua đim B và D ⇒ BC : y − 1 = 0 ⇒ BC//EF

Do đó tam giác ABC cân ti A và D chính là trung đim ca BC.Phương trình đưng thng AD đi qua D và vuông góc vi BC ⇒ AD : x − 3 = 0



8/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đim E (a; 3) ∈ EF ta có B E = BD ⇒

a− 12

2

+ 22 = 25

4 ⇔

a− 1

2

2

= 9

4 ⇔

a = 2

a = −1

a = 2

⇒ phương trình AB đi qua đim B và E

⇒AB : 4x

−3y + 1 = 0

A là giao đim ca AB và AD ⇒ A

3; 13

3

a = −1 ⇒ phương trình AB đi qua đim B và E ⇒ AB : 4x + 3y − 5 = 0

A là giao đim ca AB và AD ⇒ A

3;−73

( loi)

Vy đim A

3; 13

3

Đ bài 09 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có AD = 2AB đim A (1;5),phương trình đưng chéo BD là 3x + 4y − 13 = 0. Tìm ta đ các đnh còn li ca hình ch nhtbit B có hoành đ âm.

Li gii tham kho :

Xét tam giác ABD vuông ti A có B D2 = AB2 + AD2 = 5AB2 ⇒ BD = AB√ 5

⇒ cos ABD = ABBD

= 1√

5

Phương trình đưng chéo BD có vtpt −→n1 = (3;4). Gi

−→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB

⇒ cos ABD = |3a + 4b|5.√

a2 + b2=

1√ 5⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = 0 ⇔

a = −

11

2 b

a = −12

b

Vi a = −112

b chn −→n = (11;−2) ⇒ đưng thng AB có phương trình 11x− 2y − 1 = 0

Ta đ đim B là giao đim ca AB và BD ⇒ B

3

5; 14

5

loi do B có hoành đ âm.

Vi a = −12

b chn −→n = (1;−2) ⇒ đưng thng AB có phương trình x − 2y + 9 = 0

Ta đ đim B là giao đim ca AB và BD ⇒ B (−1;4) ( tha mãn )



9/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình đưng thng AD đi qua đim A và vuông góc vi AB ⇒ AD : 2x + y − 7 = 0

Ta đ đim D là giao đim ca AD và BD ⇒ D (3; 1)

Trung đim I ca BD có ta đ I

1;

5

2⇒ C (1;0)

Vy B (−1;4); D (3;1); C (1;0)


Đ bài 10 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đưng chéo BDlà (d) : x − y = 0. Đưng thng AB đi qua đim P 1;√ 3, đưng thng CD đi qua đimQ−2;−2√ 3. Tìm ta đ các đnh ca hình thoi bit đ dài AB = AC và đim B có hoành đ

ln hơn 1.

Li gii tham kho :

Ta có AB = AC ⇒ tam giác AB C đu ⇒ ABC = 60o ⇒ ABD = 30o

Đưng thng B D có vtpt −→n1 = (1;−1). Gi s −→n = (a; b) là vtpt ca AB

⇒ cos(−→n1,−→n ) = |a− b|√ 2.√

a2 + b2=

√ 3

2 ⇔ a2 + 4ab + b2 = 0 ⇔ a = −2±√ 3 b

Vi a =−2−

√ 3

b chn −→n =−2−

√ 3; 1

đưng thng AB đi qua đim P và có vtpt −→n ⇒AB : 2 + √ 3x− y − 2 = 0Ta đ đim B là giao đim ca AB và B D ⇒ B

2

1 +√

3;

2

1 +√

3

loi do xB > 1

Vi a =−2 + √ 3 b chn −→n = −2 + √ 3; 1 đưng thng AB đi qua đim P và có vtpt −→n ⇒

AB :

2−√ 3x− y − 2 + 2√ 3 = 0Ta đ đim B là giao đim ca AB và B D ⇒ B (2;2) tha mãn

Ta có C D // AB và C D đi qua đim Q

⇒CD : 2−

√ 3x−

y + 4

−4√

3 = 0

Ta đ đim D là giao đim ca B D và C D ⇒ D (−4;−4) ⇒ ta đ tâm k ca hình thoi là trung đimca BD ⇒ K (−1;−1)



10/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình đưng chéo AC đi qua đim K và vuông góc vi B D ⇒ AC : x + y + 2 = 0

Ta đ đim A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (....)

Ta đ đim C là giao đim ca C D và AC ⇒

C (....)


Đ bài 11 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (5;2)phương trình đưng trung trccnh BC và trung tuyn xut phát t đnh C ln lưt là (d1) : 2x+y−5 = 0; (d2) : x+y−6 = 0.Tìmta đ các đnh B , C ca tam giác AB C .

Li gii tham kho :

Gi s đim B (a; b). Ta có trung đim ca AB là M

a + 52

; b + 22

∈ (d2)⇒ a + 5

2 +

b + 2

2 − 6 = 0 ⇔ a + b− 7 = 0 ⇔ b = 7− a ⇒ B (a; 7− a)

Ly đim C (c; 6− c) ∈ (d2)

(d1) là trung trc ca B C ⇒ trung đim ca B C là N

a + c

2 ;

13 − a− c2

∈ (d1)

⇒ a + c + 13− a− c2

− 5 = 0 ⇔ a + c + 3 = 0 (1)

(d1) là trung trc ca B C ⇒ BC ⊥(d1) ⇒ −−→BC ⊥−→ud1 ta có −→ud1 = (1;−2) ;−−→BC = (c− a; a− 1− c)

⇒ c− a− 2 (a− 1− c) = 0 ⇔ 3c− 3a + 2 = 0 (2)

T (1) và (2) ta có

c + a = −33c − 3a = −2

⇔

a = −76

c = −116

⇒ ta đ đim B và C


Đ bài 12 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (−1;−3), trc tâm H (1;−1) vàtâm đưng tròn ngoi tip tam giác I (2;−2). Xác đnh ta đ các đnh B , C ca tam giác AB C .

Li gii tham kho :Gi D là đim đi xng vi A qua I ⇒ AD là đưng kính đưng tròn tâm I và I là trung đim caAD ⇒ D (5;−1)

AD là đưng kính đưng tròn tâm I ⇒

CD

⊥AC , H là trc tâm

⇒BH

⊥AC

⇒CD//BH

Tương t ta có CH//BD ⇒ BHCD là hình bình hành ⇒ BC và DH ct nhau ti trung đim mi đưng



11/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


⇒ trung đim M ca DH là trung đim ca BC ta có M (3;−1)

Phương trình đưng thng BC đi qua đim M và vuông góc vi AH ⇒ BC : x + y − 2 = 0

Phương trình đưng tròn tâm I có bán kính IA = √ 10

⇒ (C ) : (x− 2)2 + (y + 2)2 = 10

Ta đ đim B và C là giao đim ca đưng thng BC và (C )


Đ bài 13 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có đưng cao BH : x + 2y−3 = 0, trungtuyn AM : 3x + 3y − 8 = 0. Cnh BC đi qua đim N (3;−2). Tìm ta đ các đnh B, C ca tamgiác ABC bit đnh C thuc đưng thng (d) : x

−y + 2 = 0.

Li gii tham kho :

Ly đim B (3− 2b; b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ (d)

Gi M là trung đim ca BC ⇒ M

3− 2b + c2

; b + c + 2

2

. Ta có M ∈ AM

⇒ 3. 3− 2b + c2

+ 3.b + c + 2

2 − 8 = 0 ⇔ 3b− 6c + 1 = 0 (1)

Cnh BC đi qua đim N (3;−2) ⇒ −−→BN và −−→N C cùng phươngTa có

−−→BN = (2b;−2− b) và −−→N C = (c− 3; c + 4)

⇒ c− 32b

= c + 4

−2− b ⇔ 3bc + 5b + 2c− 6 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒ b = ...; c = ... ⇒ ta đ đim B và C.


Đ bài 14 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thang cân ABCD vi C D = 2AB, phương trình

hai đưng chéo AC và BD ln lưt là (d1) : x + y− 4 = 0; (d2) : x− y− 2 = 0. Bit rng ta đ haiđim A và B đu dương và din tích hình thang bng 36. Tìm ta đ các đnh hình thang.



12/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Li gii tham kho :

Ta có (d1)⊥(d2) ⇒ hình thang cân ABCD có hai đưng chéo vuông góc và bng nhau.

⇒ S = 12

.AC.BD = 36 ⇒ AC 2 = 72 ⇒ AC = BD = 6√ 2

Ta có hai tam giác AI B và tam giác C ID đng dng ⇒ ABCD

= IAIC

= 12 ⇒ IA = 1

3AC = 2√ 2 = I B

I là giao đim ca hai đưng chéo ⇒ I (3; 1)

Ly đim A (a; 4− a) ∈ (d1) ⇒ IA2 = (a− 3)2 + (a− 3)2 = 8 ⇔ a = 1

a = 5⇒ A (1; 3) (tm)

A (5;−1) (loai)

Ly đim B (b; b− 2) ∈ (d2) ⇒ IB2 = (b− 3)2 + (b− 3)2 = 8 ⇔

b = 1

b = 5⇒

B (1;−1) (loai)B (5; 3) (tm)

Ly đim C (c; 4− c) ∈ (d1) ta có I C = 2IA ⇒ 2−→AI = −→IC ⇒ C (7;−3)

Ly đim D (d; d− 2) ∈ (d2) ta có I D = 2IB ⇒ 2−→BI = −→ID ⇒ D (−1;−3)


Đ bài 15 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có đim C thuc đưng thng(d) : x + 3y +7 = 0 và A (1; 5). Gi M là đim nm trên tia đi ca tia C B sao cho M C = 2BC , N

là hình chiu vuông góc ca B lên đưng thng M D. Xác đnh ta đ các đnh B và C bit rng

N −

5

2; 1

2

Li gii tham kho :Gi đim C (−3c− 7; c) ∈ (d). Gi I là tâm ca hình ch nht ABCD

⇒ I là trung đim ca AC ⇒ I −3c− 6

2 ;

c + 5

2

Xét tam giác DN B vuông ti N có I là trung đim ca BD ⇒ IN = I B = I D

I là tâm ca hình ch nht ⇒

IA = I B = I D⇒

IN = I A

⇒−3c− 6

2 − 1

2+

c + 5

2 − 5

2=

−3c− 62

+ 5

2

2+

c + 5

2 − 1

2

2⇔ c = −3 ⇒ C (2;−3)



13/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Gi s B (a; b) có AB⊥BC ⇒ −−→AB⊥−→AC có −−→AB = (a− 1; b− 5) ;−−→BC = (a− 2; b + 3)

⇒ (a− 1) (a− 2) + (b− 5) (b + 3) = 0 (1)

Ta có C M = 2BC ⇒ −−→CM = 2−−→BC ⇒ M (6 − 2a;−9− 2b)

M N ⊥BN ⇒ −−→M N ⊥−−→BN mà −−→BN =

a + 5

2; b− 1

2

;−−→M N =

17

2 − 2a;−19

2 − 2b

⇒

a + 5

2

17

2 − 2a

+

b− 1

2

−19

2 − 2b

= 0 (2)

T (1) và (2) ⇒ a = ....; b = .... ⇒ B (....)


Đ bài 16 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD, bit phân giác trong góc ABC đi qua trung đim M ca cnh AD, phương trình đưng thng BM là (d) : x − y + 2 = 0, đimD thuc đưng thng (d1) : x + y − 9 = 0, điêm E (−1;2) thuc đưng thng AB và đim B cóhoành đ âm. Tìm ta đ các đnh ca hình ch nht

Li gii tham kho :

Ta có B M là phân giác góc ABC ⇒ ABM = 45o ⇒ ∆ABM vuông cân ti A

Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB , có −→n1 = (1;−1) là vtpt ca BM

⇒ cos(−→n ,−→n1) = |a− b|√ 2.√

a2 + b2=√

2

2 ⇔ ab = 0 ⇔

a = 0

b = 0



14/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Vi a = 0 chn −→n = (0; 1) ⇒ phương trình đưng thng AB đi qua đim E và có vtpt −→n ⇒ AB :y − 2 = 0 ⇒ Ta đ B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (0;2) ( loi)

Vi b = 0 chn −→n = (1;0) ⇒ phương trình đưng thng AB đi qua đim E và có vtpt −→n ⇒ AB :x + 1 = 0 ⇒ Ta đ B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (−1;1) ( tha mãn)

Gi s đim A (−1; a) ∈ AB và D (d; 9− d) ∈ (d1)

Trung đim M ca AD có ta đ M

d− 12

; 9 − d + a

2

∈ (d)

⇒ d− 12 − 9 − d + a

2 + 2 = 0 ⇔ 2d− a− 6 = 0 (1)

Ta có AD⊥AB ⇒ −−→AD⊥−−→AB mà −−→AB = (0; 1) và −−→AD = (d + 1; 9− d− a)

⇒9

−d

−a = 0

⇔a + d = 9 (2)

T (1) và (2) ⇒

d = 5

a = 4⇒

A (−1;4)D (5;4)

Gi I là tâm hình ch nht ⇒ I

2; 5

2

. I là trung đim ca AC ⇒ C (5; 1)


Đ bài 17 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, bit B và C đi xng nhau

qua gc ta đ O. Đưng phân giác trong góc B có phương trình (d) : x + 2y − 5 = 0. Tìm ta đcác đnh ca tam giác AB C bit đưng thng AC đi qua đim K (6; 2).

Li gii tham kho :

Gi đim B (5− 2b; b) ∈ (d). B và C đi xng nhau qua gc ta đ O ⇒ C (2b− 5;−b)

Qua O k đưng thng vuông góc vi (d) ct (d) và AB ln lưt ti F và I .

Đưng thng OF đi qua O và vuông góc vi (d) ⇒ OF : 2x− y = 0

Ta đ F là giao đim ca (d) và OF ⇒ F (1; 2)

F là trung đim ca OI ⇒ I (2; 4)



15/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Tam giác AB C vuông ti A ⇒ AB⊥AC ⇒ −−→AB⊥−→AC có −−→AB = (3− 2b; b− 4) và −→AC = (2b− 11;−b− 2)

⇒ (3− 2b) (2b− 11) + (b− 4) (−b− 2) = 0 ⇔ −5b2 + 30b − 25 = 0 ⇔

b = 1

b = 5Vi b = 1 ⇒ B (3; 1) ⇒

C (−3;−1)

Phương trình đưng thng AB đi qua B và I ⇒ AB : 3x + y − 10 = 0

Phương trình đưng thng AC đi qua C và K ⇒ AC : x − 3y = 0

A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (3; 1) ( loi do trùng đim B )

Trưng hp b = 5 xét tương t


Đ bài 18 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thang ABCD có din tích bng 458

. Phương trình

hai cnh đáy AB : x− 3y + 1 = 0 và CD : 2x− 6y + 17 = 0. AD và BC ct nhau ti đim K (2;6).Hai đưng chéo ct nhau ti đim I

1;

7

3

. Xác đnh ta đ các đnh ca hình thang ABCD.

Li gii tham kho :

Khong cách gia AB và CD là d = 15√

40

Ta có din tích hình thang S = 1

2. (AB + CD) .d ⇒ AB + CD = 3

√ 10

2 (1)

ABCD là hình thang ⇒ ABCD

= d (I,AB)

d (I , C D) = 2 (2)

T (1) và (2) ⇒ AB = 2.CD = √ 10

Tam giác KAB có CD // AB và AB = 2CD ⇒ CD là đưng trung bình ca tam giác KABNi KI ct AB và CD ti M và N ⇒ M. N ln lưt là trung đim ca AB và CD



16/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình đưng thăng KI đi qua K và I ⇒ KI : 11x− 3y − 4 = 0

M là giao đim ca KI và AB ⇒ M

1

2; 1

2

Ta có AB = √ 10 và M là trung đim ca AB ⇒ A và B thuc đưng tròn tâm M bán kính R = √ 102

⇒ (C ) :

x− 12

2

+

y − 1

2

2

= 5

2

A, B là giao đim ca (C ) và đưng thng AB ⇒ A, B có ta đ là (2; 1) ; (−1;0)

Do đó C, D có ta đ là

2; 7

2

;

1

2; 3


Đ bài 19 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đưngtrung tuyn xut phát t đnh B là (d) : x + y − 2 = 0. Bit ABC = 120o và đim A (3;1). Tìmta đ các đnh còn li ca tam giác.

Li gii tham kho :

Đt AB = x ⇒ BC = 2x. Áp dng đnh lý Cosin vào tam giác AB C ta có

AC 2 = AB2 + BC 2 − 2.AB.BC. cos ABC = 7x2 ⇒ AC = x√ 7

Áp dng công thc tính đưng trung tuyn vào tam giác AB C ta đưc

BM 2

=

AB2 + BC 2

2 − AC 2

4 =

3x2

4

Trong tam giác AB M có AB = x, BM 2 = 3x2

4 ; AM =

x√

7

2 ⇒ AM 2 = AB2 + BM 2

⇒ ∆ABM vuông ti B ⇒ AB⊥BM

Phương trình đưng thng AB đi qua A và vuông góc vi B M ⇒ AB : x − y − 2 = 0

B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (2;0)

Li có AB = d (A,BM ) =√

2 = x

⇒BM =

√ 6

2

. Gi M (m; 2−

m)

∈BM

⇒ BM 2 = 2 (m− 2)2 = 32 ⇔ m = 2±

√ 3

2



17/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Thay vào ta đưc đim M , li có M là trung đim ca AC ⇒ ta đ đim C 2±√ 3; 4±√ 3Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 20 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A, phương trình cnh BC là(d) : 2x − y + 3 = 0. Đim I (−2;−1) là trung đim cnh BC, đim E (4;1) nm trên cnh AB.Tìm ta đ các đnh ca tam giác bit din tích tam giác AB C bng 90.

Li gii tham kho :

Tam giác AB C cân ti A ⇒ AI là va là đưng cao va là đưng phân giác góc A

Phương trình đưng phân giác AI đi qua A và vuông góc vi B C

⇒AI : x + 2y + 4 = 0

Qua E k đưng thng vuông góc vi AI ct AI và AC ti F và M .

Phương trình đưng thng E M đi qua E vuông góc vi AI ⇒ EM : 2x− y − 7 = 0

Ta đ đim F là giao đim ca E M và AI ⇒ F (2;−3). F là trung đim ca E M ⇒ M (0; 7)

Ly đim B (b; 2b + 3) ∈ BC ⇒ C (−4− b; 5− 2b)

Tam giác AB C cân ti A ⇒ ABC = ACB hay (BE,BC ) = (MC,BC )−−→BE = (b

−4; 2b

−2) ,

−−→M C = (4 + b; 2b

−2) ,

−−→BC = (1;2)

⇒ |b− 4 + 2b− 4|√ 5.√

5b2 − 16b + 20 = |5b|√ 5.√

5b2 + 20⇔ b = 1

b = 4

Vi b = 1 ⇒ B (1; 5)⇒ C (−5;−7) ⇒ BC = 6√ 5

S = 1

2.AI.BC = 90 ⇒ AI = 6√ 5. Ly đim A (−2a− 4; a) ∈ AI

⇒ AI 2 = (2a + 2)2 + (a + 1)2 = 90 ⇔

a = 5

a = −7⇒

A (−14;5)A (10;−7)

Vi b = 4 xét tương t.




18/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đ bài 21 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim A (−1;−3) , B (5;1).Đim M nm trên đon thng BC sao cho M C = 2M B. Tìm ta đ đim C bit rng M A =

AC = 5 và đưng thng B C có h s góc là mt s nguyên.

Li gii tham kho :

Gi s đim M (a; b) ta có M A = 5 ⇒ (a + 1)2 + (b + 3)2 = 25

a2 + 2a + b2 + 6b = 15 (1)

Gi D là trung đim ca C M ta có M A = AC = 5 ⇒ ∆CAM cân ti A ⇒ AD⊥CM

Theo gi thit M C = 2M B ⇒ M B = M D ⇒ M là trung đim ca B D ⇒ D (2a− 5; 2b− 1)−−→AD = (2a

−4; 2b + 2) ;

−→BI = (2a

−10;2a

−2)

AD⊥BI ⇒ −−→AD.−→BI = 0 ⇒ (2a− 4)(2a− 10) + (2b + 2) (2b− 2) = 0

⇒ a2 − 7a + b2 = −9 (2)

T (1) và (2) ⇒

a = 2; b = 1

a = 50

13; b = −23

13

Vi a = 50

13; b = −23

13 ⇒ M

50

13;−23

13

Phương trình đưng thng BC đi qua B và M ⇒ BC : 12x− 5y − 55 = 0 ( loi do phương trìnhBC có h s góc nguyên)

Vi a = 2; b = 1 ⇒ M (2; 1) phương trình B C đi qua M và B ⇒ BC : y = 1 ( tha mãn)

Ta đ đim D (−1;1) ⇒ C (−4;1)


Đ bài 22 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A, có trc tâm H (−3;2).

Gi D, E là chân đưng cao h t B và C . Đim A thuc đưng thng (d) : x − 3y − 3 = 0, đimF (−2;3) thuc đưng thng DE và H D = 2. Tìm ta đ đnh A.



19/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Li gii tham kho :

Ta có H D = 2 ⇒ (xD + 3)2

+ (yD − 2)2 = 4⇔ x2

D + y2

D + 6xD − 4yD + 9 = 0 (1)

Đim A ∈ (d) ⇒ A (3a + 3; a) ta có AD⊥DH ⇒ −−→AD.−−→HD = 0

(xD − 3a− 3) (xD + 3) + (yD − a) (yD − 2) = 0

x2D

+ y2D− 3axD − (a + 2) yD − 7a− 9 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒ (6 + 3a) xD + (a− 2) yD + 7a + 18 = 0

Tương t ta có (6 + 3a) xE + (a− 2) yE + 7a + 18 = 0Do đó phương trình đưng thng DE có dng (d1) : (6 + 3a) x + (a− 2) y + 7a + 18 = 0

Mà đim F ∈ (d1) ⇒ a = 0 ⇒ A (3; 0)

Đ bài 23 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có trng tâm G (1;1),đưng cao t đnh A có phương trình (d) : 2x − y + 1 = 0. Các đnh B và C thuc đưng thng(d1) : x + 2y− 1 = 0. Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit tam giác ABC có din tích bng6.

Li gii tham kho :

Đim A ∈ (d) ⇒ A (a; 2a + 1)



20/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Gi M là trung đim ca B C ⇒ G ∈ AM và AG = 2GM ⇒ −→AG = 2−−→GM

⇒ M

3− a2

; 1− a

mt khác M ∈ (d1)

⇒ 3− a2

+ 2 (1− a)− 1 = 0 ⇒ a = 1 ⇒ A (1;3) ⇒ M (1; 0)

Gi H là giao đim ca (d) và (d1) ⇒ H −1

5; 3

5

⇒ AH = 6√

5

S = 1

2.AH.BC = 6 ⇒ BC = 2√ 5 ⇒ M B = M C = √ 5

Đim B ∈ (d1) ⇒ B (1− 2b; b) ⇒ M B2 = 5b2 = 5 ⇔ b = ±1 b = 1 ⇒ B (−1;1) ⇒ C (3;−1)

b = −1 ⇒ B (3;−1) ⇒ C (−1;1)Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 24 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có din tích bng 6.Phương trình đưng thng cha đưng chéo B D là (d) : 2x + y − 11 = 0, đưng thng AB đi quađim M (4; 2), đưng thng B C đi qua đim N (8; 4). Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht

bit các đim B , D đu có hoành đ ln hơn 4.

Li gii tham kho :

Vì B ∈ (d) ⇒ B (b; 11− 2b). AB⊥BC ⇒ M B⊥N B ⇒ −−→M B.−−→N B = 0

⇒ (b− 4) (b− 8) + (9− 2b) (7− 2b) = 0 ⇒ 5b2 − 44b + 95 = 0 ⇔ b = 195

b = 5⇒ B (5; 1)

Phương trình đưng thng AB đi qua đim B và M ⇒ AB : x + y − 6 = 0

Phương trình đưng thng B C đi qua đim B và N ⇒ AC : x − y − 4 = 0

A ∈ AB ⇒ A (a; 6− a) và C ∈ BC ⇒ C (c; c− 4)

Gi I là tâm ca hình ch nht ⇒ I

a + c

2 ;

c − a + 22

∈ BD

⇒ a + c + c − a + 22 − 11 = 0 ⇔ 3c + a− 20 = 0 (1)

AB =√

2. |a− 5| và B C = √ 2. |c− 5| ⇒ S = 2 |a− 5| . |c− 5| = 6 (2)



21/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


T (1) và (2) ⇒

a = 2; c = 6

a = 8; c = 4⇒

A (2; 4) , C (6; 2)⇒ I (4; 3)⇒ D (3; 5) (loai)A (8;−2) , C (4; 0)⇒ I (6;−1) ⇒ D (7;−3) (tm)


Đ bài 25 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A ni tip đưngtròn (C ) : x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0. Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đim M (0; 1)là trung đim ca cnh AB và đim A có hoành đ dương.

Li gii tham kho :

Tam giác AB C ni tip đưng tròn tâm I (−1;2); R = 2. M là trung đim ca AB ⇒ IM ⊥AB

Phương trình đưng thng AB đi qua M và vuông góc vi I M ⇒ AB : x − y + 1 = 0Có đim A ∈ AB ⇒ A (a; a + 1) ⇒ IA = 2 ⇒ (a + 1)2 + (a− 1)2 = 4 ⇒ a = ±1 ⇒ A (1;2) ⇒ B (−1;0)

Phương trình đưng thng B C đi qua đim B và vuông góc vi AI ⇒ BC : x + 1 = 0

C là giao đim ca B C và (C ) ⇒ C (−1;4)


Đ bài 26 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có din tích bng 10,phương trình đưng thng cha cnh AD là (d) : 3x − y = 0. Ly đim M đi xng vi đim Dqua đim C và đưng thng BM có phương trình (d1) : 2x + y− 10 = 0. Xác đnh ta đ các đnhca hình ch nht bit đnh B có hoành đ dương.

Li gii tham kho :Gi N là giao đim ca B M và AD ⇒ N (2; 6)

Đim D ∈ AD ⇒ D (d; 3d) và B ∈ BM ⇒ B (b; 10− 2b) vi b > 0

A là trung đim ca N D ⇒ Ad + 2

2 ; 3d + 6

2



22/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


B là trung đim ca M N ⇒ M (2b− 2;14− 4b) mà C là trung đim ca M D ⇒ C

2b− 2 + d2

; 14 − 4b + 3d

2

AB⊥AD ⇒ −−→AB.−−→AD = 0 có −−→AB =

d + 2 − 2b2

; 3d + 4b− 14

2

⇒ d + 2 − 2b2

+ 3. 3d− 14 + 4b2

= 0 ⇔ b + d = 4 (1)

T (1) có AD2 = AN 2 = 10

4 . (d− 2)2 và AB2 = 10

4 (d− 2)2

⇒ S = 104

(d− 2)2 = 10⇒ d = 0 ⇒ b = 4 (tm)

d = 4 ⇒ b = 0 (loai)

Do đó B (4;2) , D (0;0) , C (3;−1) , A (1;3)


Đ bài 27 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A. Trên tia đi catia C A ly đim K sao cho AC = C K . K K E vuông góc vi BC ( E thuc đưng thng BC ) ct

đưng thng AB ti N (−1;3). Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit AEB = 45o, phươngtrình đưng thng B K là (d) : 3x + y − 15 = 0 và hoành đ đim B ln hơn 3.

Li gii tham kho :



23/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Tam giác N BK có BE và KA là hai đưng cao ⇒ C là trc tâm ⇒ NC ⊥ BK.

T giác BAEK ni tip ⇒ BEA = AKB = 45o ⇒ ∆ABK vuông cân ti A ⇒ ABK = 45o

Gi −→

n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB , có −→n1 = (3;1) là vtpt ca đưng thng B K

⇒ cos(−→n ,−→n1) = |3a + b|√ 10.√

a2 + b2=

1√ 2⇒ 4a2 + 6ab− 4b2 = 0 ⇒

b = 2a

a = −2b

Vi a = −2b ⇒ chn −→n = (−2;1) ⇒ AB : −2x + y − 5 = 0 ⇒ B (2;9) ( loi)

Vi b = 2a ⇒ chn −→n = (1;2) ⇒ AB : x + 2y − 5 = 0 ⇒ B (5;0) (tha mãn)

Phương trình đưng thng NM qua đim N và vuông góc vi BK ⇒ M N : x − 3y + 10 = 0

Có ∆ABK và ∆KCM vuông cân ⇒

KM = 1

√ 2.CK =

1

√ 2.1

2.AC =

1

2√ 2.

1

√ 2BK =

BK

4

M là giao đim ca M N và B K ⇒ M

7

2; 9

2

. Có BK = 4MK ⇒ K (3;6)

Phương trình đưng thng AC đi qua K và vuông góc vi AB ⇒ AC : 2x− y = 0

A là giao đim ca AC và AB ⇒ A (1;2)

C là trung đim ca AK ⇒ C (2; 4)


Đ bài 28 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A. Gi M là đimtrên cnh AC sao cho AB = 3AM. Đưng tròn tâm I (1;−1) đưng kính CM ct BM ti D. Xácđnh ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đưng thng BC đi qua đim N

4

3; 0

, phương trình

đưng thng CD : x − 3y − 6 = 0 và đim C có hoành đ dương.

Li gii tham kho :

Tam giác ABM vuông ti A có AB = 3AM ⇒ BM = √ 10AM ⇒ cos ABM = 3√ 10



24/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


T giác BADC ni tip ⇒ ABM = DCA ⇒ cos DCA = 3√ 10

. Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thngAC

⇒ cos DCA = |a−

3b|√ 10.√ a2 + b2 =

3√ 10 ⇒ 8a2 + 6ab = 0 ⇒

a = 0a = −3b

4

Vi a = −3b4 ⇒ chn −→n = (3;−4).Phương trình đưng thng AC đi qua đim I và có vtpt −→n

⇒ AC : 3x− 4y − 7 = 0 C là giao đim ca AC và CD ⇒ C −3

5;−11

5

( loi )

Vi a = 0 ⇒ chn −→n = (0; 1). Phương trình AC đi qua đim I và có vtpt −→n

⇒ AC : y + 1 = 0 ⇒ ta đ đim C là C (3;−1) ( tha mãn )

I là trung đim ca CM ⇒ M (−1;−1) ⇒ phương trình đưng tròn tâm I là (C ) : (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4

D là giao đim ca CD và (C ) ⇒ D−3

5;−11

5

. Phương trình đưng thng BM : 3x + y + 4 = 0

Phương trình đưng thng BC : 3x + 5y − 4 = 0. B là giao đim ca BM và BC ⇒ B (−2;2)

Phương trình đưng thng AB đi qua B và vuông góc vi AC ⇒ AB : x + 2 = 0

A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (−2;−1).


Đ bài 29 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình bình hành ABCD có D (−6;−6), đưngtrung trc (d1) ca đon thng CD có phương trình là (d1) : 2x + 3y + 17 = 0 và đưng phân giác

(d2) ca góc BAC có phương trình (d2) : 5x + y − 3 = 0. Tìm ta đ các đnh còn li ca hìnhbình hành ABCD.

Li gii tham kho :

Đưng thng CD đi qua đim D và vuông góc vi (d1) ⇒ CD : 3x− 2y + 6 = 0Gi M là giao đim ca CD và (d1) ⇒ M (−4;−3). M là trung đim ca CD ⇒ C (−2;0)



25/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Qua C k đưng thng vuông góc vi (d2) ct (d2) ti G và ct AB ti H ⇒ CH : x − 5y + 2 = 0

G là giao đim ca CH và (d2) ⇒ G

1

2; 1

2

. G là trung đim ca CD ⇒ H (3; 1)

Phương trình đưng thng AB đi qua H và song song vi CD ⇒ AB : 3x− 2y − 7 = 0A là giao đim ca AB và (d2) ⇒ A (1;−2).

Phương trình đưng thng BC đi qua đim C và song song vi AD ⇒ BC : 4x− 7y + 8 = 0

B là giao đim ca AB và BC ⇒ B (5; 4)


Đ bài 30 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có các cnh AB

và AD tip xúc vi đưng tròn (C ) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4. Đưng chéo AC ct (C ) ti đimM

−16

5 ;

23

5

và đim N thuc trc Oy. Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht ABCD bit

đim A có hoành đ âm và đim D có hoành đ dương, din tích tam giác AND bng 10

Li gii tham kho :

Đưng tròn (C ) ct trc Oy ti đim N (0; 3) ⇒ M N = 8√

5

5 và phương trình MN : x + 2y − 6 = 0

Gi s đưng tròn (C ) tip xúc vi AB, AD ti đim G và F ⇒ AGIF là hình vuông ⇒ AF = IF = 2.

AMN là cát tuyn ca (C ) và AF là tip tuyn ca (C ) ⇒ AM.AN = AF 2

= 4

Vì A ∈ M N ⇒ A (6− 2a; a) và −−→AM .−−→AN = 4 ( A nm ngoài M và N )

⇒−16

5 − 6 + 2a

(2a− 6) +

23

5 − a

(3− a) = 4 ⇔

a = 5

a = 13

5

⇒ A

4

5; 13

5

A (−4;5)

⇒ A (−4;5)

Gi s đim D (b; c). Gi d là khong cách t D đn AN ta có

S AND = 1

2.d.AN = 10 ⇒ d = 2√ 5 ⇒ |b + 2c− 6|√

5= 2

√ 5 ⇒ |b + 2c− 6| = 10 (1)

Ta có góc gia AD và AI bng 45o. −−→AD = (b + 4; c− 5), −→AI = (1;−1)



26/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


cos−−→

AD,−→AI

= |b + 4 − c + 5|

√ 2.

(b + 4)2 + (c− 5)2=

1√ 2⇒ c = 5

b = −4

Vi c = 5 thay vào (1) ⇒ b = 6

b = −14D có hoành đ dương ⇒ D (6;5)

Phương trình AD đi qua đim A và D ⇒ AD : y = 5. Phương trình CD đi qua D và vuông góc vi AD⇒ CD : x = 6

C là giao đim ca AC và CD ⇒ C (6;0). Gi I là tâm hình ch nht ⇒ I

1; 5

2

I là trung đim ca BD ⇒ B (−4;0)

Đ bài 31 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim M (2; 1) là trungđim ca AC . Đim H (0;−3) là chân đưng cao h t A, đim E (23;−2) thuc trung tuyn kt C . Tìm ta đ đnh B bit đnh A thuc đưng thng (d) : 2x + 3y− 5 = 0 và đim C có hoànhđ dương.

Li gii tham kho :

Vì A ∈ (d) ⇒ A (3a + 1; 1− 2a). M là trung đim ca AC ⇒ C (3− 3a; 1 + 2a)

H là chân đưng cao h t A ⇒

AH ⊥

CH ⇒

−−→AH

⊥−−→CH

⇒ (3a + 1) (3− 3a) + (4− 2a) (4 + 2a) = 0 ⇒ −13a2 + 6a + 19 = 0 ⇒

a = −1

a = 19

13

⇒

C (6;−1)

C

−18

13; 51

13

⇒ C (6;−1) ⇒ A (−2;3)Phương trình đưng trung tuyn k t C đi qua C và E ⇒ CE : x + 17y + 11 = 0

Phương trình đưng thng BC đi qua C và H ⇒ BC : x − 3y − 9 = 0Ly đim B ∈ BC ⇒ B (3b + 9; b)

Trung đim ca AB là đim N

3b + 7

2 ;

b + 3

2

N ∈ CE ⇒ 3b + 72

+ 11.3 + b

2 + 11 = 0 ⇒ b = −4 ⇒ B (−3;−4)




27/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đ bài 32 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đưngchéo AC là (d) : x + 7y− 31 = 0. Các đnh B, D ln lưt thuc các đưng thng (d1) : x + y− 8 =0; (d2) : x

−2y + 3 = 0. Tìm ta đ các đnh ca hình thoi bit hình thoi có din tích bng 75 và

đnh A có hoành đ âm.

Li gii tham kho :

B ∈ (d1) ⇒ B (b; 8− b) và D ∈ (d2) ⇒ D (2d− 3; d)

ABCD là hình thoi ⇒ trung đim ca BD ∈ AC. Gi I là trung đim ca AC ⇒ I

b + 2d− 32

; 8 − b + d

2

I ∈ AC ⇒ b + 2d− 32

+ 7.8− b + d

2 − 31 = 0 ⇒ 2b− 3d + 3 = 0 (1)

Mt khác BD ⊥ AC ⇒ 7 (2d− 3− b)− (d− 8 + b) = 0 ⇒ −8b + 13d− 13 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒

b = 0

d = 1⇒

B (0; 8)

D (−1;1) ⇒ BD = 5√

2

S = 1

2.AC.BD = 75 ⇒ AC = 15√ 2. Tam ca hình thoi là I

−1

2; 9

2

A ∈ AC ⇒ A (31− 7a; a). Có I A = AC 2

= 15√

2

2

⇒ IA2

= ... ⇒ ta đ đim A ⇒ ta đ đim CBài toán gii quyt xong.

Đ bài 33 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có A (1;1) và AB = 4.

Gi M là trung đim ca BC, K

9

5;−3

5

là hình chiu ca D lên AM. Tìm ta đ các đnh còn

li ca hình vuông bit đnh B có hoành đ nh hơn 2.

Li gii tham kho :

Phương trình đưng thng AM đi qua A và K ⇒ AM : 2x + y − 3 = 0



28/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Ta có AK = 4√

5

5 và AM = 2

√ 5 ⇒ AK

AM =

2

5

Ly đim M (m; 3− 2m). Ta có AK AM

= 2

5 ⇒ −−→AK = 2

5

−−→AM ⇒ M (3;−3)

Gi s đim B (a; b) vi a > 2. ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BM⇒ (a− 1) (a− 3) + (b− 1) (b + 3) = 0 ⇔ a2 − 4a + b2 + 2b = 0 (1)

AB = 4 ⇒ (a− 1)2 + (b− 1)2 = 16 ⇔ a2 − 2a + b2 − 2b = 14 (2)

T (1) và (2) ⇒ B (1;−3). M là trung đim ca BC ⇒ C (5;−3)

Phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : y = 1

Phương trình đưng thng CD đi qua C và vuông góc vi BC ⇒ CD : x = 5

D là giao đim ca CD và AD ⇒ D (5;1)Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 34 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có đưng chéo AC nmtrên đưng thng (d) : x + y − 1 = 0. Đim E (9;4) nm trên đưng thng cha cnh AB, đimF (−2;−5) nm trên đưng thng cha cnh AD, AC = 2√ 2. Xác đnh ta đ các đnh ca hìnhthoi bit đim C có hoành đ âm.

Li gii tham kho :

Qua E k đưng thng vuông góc vi đưng chéo AC ct AC ti M và ct AD ti N

Phương trình đưng thng EN đi qua E và vuông góc vi AC ⇒ EN : x − y − 5 = 0

AC ct EN ti đim M ⇒ M (3;−2). M là trung đim ca EN ⇒ N (−3;−8)

Phương trình đưng thng AD đi qua F và N ⇒ AD : 3x− y + 1 = 0

A là giao đim ca AC và AD ⇒ A (0;1)

Ly đim C (c; 1− c) ∈ AC ⇒ AC 2 = c2 + c2 = 8 ⇒ c = ±2 ⇒ C (−2;3)



29/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Gi I là tâm ca hình thoi ⇒ I là trung đim ca AC ⇒ I (−1;2)

Phương trình đưng chéo BD đi qua đim I và vuông góc vi AC ⇒ BD : x − y + 3 = 0

D là giao đim ca AD và BD ⇒

D (1;4). I là trung đim ca BD ⇒

B (−

3;0)


Đ bài 35 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim C (5;1), trung tuynAM, đim B thuc đưng thng (d) : x + y + 6 = 0. Đim N (0; 1) là trung đim ca AM, đim

D (−1;−7) không nm trên đưng thng AM và khác phía so vi đưng thng BC đng thikhong cách t A và D ti đưng thng BC bng nhau. Xác đnh ta đ đim A và B.

Li gii tham kho :

Gi s −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng BC ⇒ BC : ax + by − 5a− b = 0

Ta có d (A,BC ) = d (D,BC ) = 2d (N,BC ) ⇒ |−6a− 8b|√ a2 + b2

= 2 |5a|√

a2 + b2

⇒ 16a2 − 24ab− 16b2 = 0 ⇒

a = −12

b

a = 2b

Vi a = 2b ⇒ BC : 2x + y − 11 = 0 ( loi do N và D cùng phía vi BC)

Vi a = −12

b ⇒ BC : x − 2y − 3 = 0 ( tha mãn )

B là giao đim ca đưng thng BC và (d) ⇒ B (−3;−3)

M là trung đim ca BC ⇒ M (1;−1). N là trung đim ca AM ⇒ A (1;3)




30/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đ bài 36 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có A (−2;6), đnh B nmtrên đưng thng (d) : x − 2y + 6 = 0. Trên hai cnh BC và CD ly hai đim M và N sao cho BM= CN. Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông bit AM và BN ct nhau ti đim I 2

5; 14

5.

Li gii tham kho :

Ta có ∆ABM = ∆BC N ⇒ BM A = BN C ⇒ BM A + CBN = 90o ⇒ BN ⊥ AM

Phương trình đưng thng AI đi qua A và I ⇒ AI : 4x + 3y − 10 = 0

Phương trình đưng thng BN đi qua I và vuông góc vi AI ⇒ BI : 3x− 4y + 10 = 0

B là giao đim ca đưng thng (d) và BI ⇒ B (2; 4)

Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AB ⇒ BC : 2x− y = 0

M là giao đim ca BC và AI ⇒ M (1; 2)

Ta có AB = 2√

5, BM =√

5 ⇒ BM = 12

BC ⇒ M là trung đim ca BC

⇒ ta đ đim C (0;0)

Gi s H là tâm hình vuông ⇒ H là trung đim ca AC ⇒ H (−1;3)

H là trung đim ca BD ⇒ D (−4;2)


Đ bài 37 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD. Gi E là trung đim ca

cnh AD, đim H

11

5 ;−2

5

là hình chiu ca B lên CE và M

3

5;−6

5

là trung đim ca BH.

Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông ABCD bit đnh A có hoành đ âm.

Li gii tham kho :



31/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Gi G là trung đim ca BC ⇒ GM là đưng trung bình ca tam giác BCH ⇒ GM // CE

ABCD là hình vuông có E, G ln lưt là trung đim ca AD và BC ⇒ AG // CE

Qua G có hai đưng thng cùng song song vi CE do đó A, G, M thng hàng hay AM ⊥ BH

⇒ phương trình đưng thng AM : 2x + y = 0, phương trình đưng thng CE : 2x + y − 4 = 0

M là trung đim ca BH ⇒ B (−1;−2)

Hai tam giác ABM và CED đng dng ⇒ BM AM

= ED

CD =

1

2 ⇒ AM = 2BM

Có BM = 4√

5

5 . Tam giác ABM vuông ti M có AM = 2BM =

8√

5

5 ⇒ AB = 4

Ly đim A (a;−2a) ∈ AM ⇒ AB = (a + 1)2 + (2 − 2a)2 = 16 ⇔ 5a2 − 6a− 11 = 0 ⇔

a = −1

a = 11

5

⇒ A (−1;2) ⇒ phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : y = 2

E là giao đim ca AD và CE ⇒ E (1; 2), E là trung đim ca AD ⇒ D (3; 2)

Phương trình đưng thng BC đi qua B và song song vi AD ⇒ BC : y = −2

C là giao đim ca CE và BC ⇒ C (3;−2)


Đ bài 38 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đnh A (−3;4), đưng phângiác trong góc A có phương trình (d) : x + y − 1 = 0 và tâm đưng tròn ngoi tip là I (1; 7). Vitphương trình cnh BC, bit din tích tam giác ABC gp bn ln din tích tam giác IBC.

Li gii tham kho :Ta có IA = 5 ⇒ phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có dng (C ) : (x− 1)2 + (y − 7)2 = 25

Phương trình phân giác góc A ct đưng tròn ti đim th 2 là D ⇒ D (−2;3)



32/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


AD là phân giác trong góc A nên D là trung đim ca cung nh BC ⇒ ID ⊥ BC

Phương trình đưng thng BC nhn −−→AD làm vtpt ⇒ phương trình BC có dng : 3x + 4y + α = 0

Ta có din tích tam giác ABC gp 4 ln din tích tam giác IBC nên d (A,BC ) = 4d (I,BC )

⇔ |7 + α|5

= 4.31 + α

5 ⇔

α = −

114

3

α = −1315

Phương trình đưng thng BC là

9x + 12y − 114 = 015x + 20y

−131 = 0


Đ bài 39 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình bình hành ABCD có đim A (3;5). ĐimH (1; 3) là hình chiu ca B lên AC và đưng trung trc ca BC có phương trình (d) : x+4y−5 = 0.Tìm ta đ các đnh còn li ca hình bình hành.

Li gii tham kho :

Phương trình đưng thng AC đi qua A và H ⇒ AC : x − y + 2 = 0



33/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình đưng thng BH đi qua H và vuông góc vi AC ⇒ BH : x + y − 4 = 0

Ly đim B (b; 4− b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ AC

Đưng thng (d) là trung trc ca BC ⇒

BC ⊥

(d)

⇒ 4 (c− b)− (c + b− 2) = 0 ⇔ 3c− 5b + 2 = 0 (1)

Trung đim ca BC là đim M

b + c

2 ;

6 − b + c2

∈ AC

⇒ b + c2

+ 4.6− b + c

2 − 5 = 0 ⇔ 5c− 3b + 4 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒

b = −2c = −4 ⇒

B (−2;6)C (−4;−2)

Gi I là tâm ca hình bình hành ⇒ D (1;−3)Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 40 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CDbit B (3; 3) , C (5;−3). Giao đim I ca hai đưng cheo nm trên đưng thng (d) : 2x + y−3 = 0.Din tích tam giác ABC bng 12. Xác đnh ta đ các đnh còn li ca hình thang bit CI = 2BI,

đim I có hoành đ dương và đim A có hoành đ âm.

Li gii tham kho :

Ly đim I (m; 3− 2m) ∈ (d). Ta có IC = 2IB

⇒ (m− 5)2 + (6 − 2m)2 = 4 (m− 3)2 + 4(2m)2 ⇔

m = 1

m = −53

⇒ I (1; 1)

Phương trình đưng thng AC đi qua I và C ⇒

AC : x + y−

2 = 0.

S ABC = 1

2.d (B,AC ) .AC = 12 ⇒ AC = 6√ 2



34/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Ly đim A (a; 2− a) ∈ AC . Ta có AC = 6√ 2

⇒ (a− 5)2 + (5 − a)2 = 72 ⇒

a = 11

a =

−1⇒ A (−1;3)

Phương trình đưng thng CD đi qua C và song song vi AB ⇒ CD : y = −3

Phương trình đưng thng BD đi qua B và I ⇒ BD : x − y = 0

D là giao đim ca BD và CD ⇒ D (−3;−3)


Đ bài 41 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, có trng tâm

G5

3 ;−2, bán kính đưng tròn ngoi tip bng 5. B và C thuc đưng thng (d) : 4x+3y−9 = 0.Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác ABC.

Li gii tham kho :

Gi M là trung đim ca BC, ta có GM = 1

3AM =

1

3R =

5

3

⇒ M thuc đưng tròn tâm G bán kính 53

hay M ∈ (C ) :

x− 53

2+ (y + 2)2 = 25

9

Ta đ M là giao đim ca (C ) và (d) ⇒ M (3;−1)

Phương trình đưng thng AM đi qua G và M ⇒ AM : 3x− 4y − 13 = 0

G là trng tâm tam giác ABC ⇒ AM = 3GM ⇒ A (−1;−4)

Phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có tâm M và R = 5

⇒ (C 1) : (x− 3)2 + (y + 1)2 = 25

B và C là giao đim ca (d) và (C 1) ⇒ B (0;3) , C (6;−5) và ngưc li




35/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đ bài 42 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có đim M (3; 2) nmtrên đưng chéo BD. T M k các đưng thng ME và MF ln lưt vuông góc vi AB ti E (3;4)

và AD ti F (−

1;2). Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông ABCD.

Li gii tham kho :

Phương trình đưng thng AB đi qua E và vuông góc vi ME ⇒ AB : y = 4

Phương trình đưng thng AD đi qua F và vuông góc vi MF ⇒ AD : x = −1

A là giao đim ca AB và AD ⇒

A (−

1;4)

ABCD là hình vuông ⇒ ME = BE = 2 và AE = MF = 4

Ly đim B (b; 4) ∈ AB. Có AE = 2EB ⇒ −→AE = 2−−→EB ⇒ B (5;4)

Phương trình đưng thng BD đi qua M và B ⇒ BD : x − y − 1 = 0

D là giao đim ca AD và BD ⇒ D (−1;−2)

Gi I là tâm ca hình vuông ⇒ I là trung đim ca BD ⇒ I (2; 1)⇒ C (5;−2)


Đ bài 43 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A ( AB < AC) cóta đ đnh B (2;1). Đưng cao AH có phương trình x + 2y − 10 = 0. Trên cnh AC ly đim Dsao cho AB = CD. K DM vuông góc vi AH ti M. Đưng phân giác góc CBM ct AH ti N.

Tìm ta đ đim N.

Li gii tham kho :T D h DI vuông góc vi BC ( I thuc BC)

Ta có BAH = DCI ⇒ ∆ABH = ∆CDI ⇒ DI = BH

T giác DMHI là hình ch nht ⇒ DI = MH do đó BH = MH hay tam giác BHM vuông cân



36/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AH ⇒ BC : 2x− y − 3 = 0

Gi α là góc to bi BN và BH ta có cos 45o = 2 cos2 α− 1 ⇒ cos α = √

2 + 2

4

Phương trình đưng thng BN đi qua B và to vi BC mt góc α

Đn đây bài toán đơn gin là vit phương trình đưng thng to vi đưng thng cho trưc 1 góc cho

trưc ( cái này dành cho bn đc )


Đ bài 44 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A ngoi tip hìnhch nht MNPQ. Bit các đim M (−3;−1) và N (2;−1) thuc cnh BC, Q thuc cnh AB, Pthuc cnh AC, đưng thng AB có phương trình x−y + 5 = 0. Xác đnh ta đ các đnh ca tamgiác ABC.

Li gii tham kho :

Phương trình đưng thng BC đi qua M và N ⇒ BC : y = −1

MNPQ là hình ch nht ⇒ MN ⊥ MQ ⇒ phương trình MQ qua M và vuông góc BC ⇒ M Q : x = −3

Q là giao đim ca MQ và AB ⇒ Q (−3;2)

Phương trình PQ qua P và vuông góc vi MQ ⇒ P Q : y = 2

Phương trình NP qua N và vuông góc vi MN ⇒ N P : x = 2

P là giao đim ca PQ và NP ⇒ P (2; 2)

Phương trình đưng thng AC đi qua P và vuông góc vi AB ⇒ AC : x + y − 4 = 0



37/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


A là giao đim ca AB và AC ⇒ A−1

2; 9

2

C là giao đim ca BC và AC ⇒ C (5;−1)


Đ bài 45 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có I

3

2;

1

16

và E (1; 0) ln

lưt là tâm đưng tròn ngoi tip và ni tip tam giác. Đưng tròn (T ) tip xúc vi các cnh BC

và các cnh AB, AC kéo dài có tâm là F (2;−8). Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit A cótung đ âm.

Li gii tham kho :

Gi D, K là giao đim th hai ca AE, BE vi đưng tròn tâm I

S dng góc ni tip và góc có đnh bên trong đưng tròn ta có EBD = BE D ⇒ ∆EDB cân ti D

Ta có đưng tròn tâm F tip xúc vi BC và các cnh AB, AC kéo dài ⇒ AF là phân giác ca góc

BAC và BF là phân giác ngoài ca góc ABC

⇒ A, E, F thng hàng và BE ⊥ BF. Tam giác BEF vuông ti B có BD = DE ⇒ D là trung đim ca EF

D là trung đim ca EF ⇒ D

3

2;−4

. Phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC là

(C ) :

x− 3

2

2

+

y − 1

16

2

=

65

16

2

Phương trình đưng thng AF đi qua E và F ⇒ AF : 8x + y − 8 = 0

A là giao đim ca đưng tròn (C ) và AF ⇒ A (...)

Gi s đim B (a; b). Ta có B ∈ (C ) ⇒ 1 phương trình



38/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


BE ⊥ BF ⇒ 1 phương trình. T đó ta có đim B

Bài toán gii quyt xong. ( Bài này lưi tính hihi )

Đ bài 46 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim M (3;−1) là trungđim ca BC. Đưng thng AC đi qua đim F (1; 3). Đim E (−1;−3) thuc đưng cao xut phátt B. Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit đim D (4;−2) là đim đi xng vi đim A quatâm đưng tròn ngoi tip tam giác ABC.

Li gii tham kho :

D đi xng vi A qua tâm đưng tròn ngoi tip tam giác ⇒ AD là đưng kính ⇒ CD ⊥ AC

Gi s C (a; b). M là trung đim ca BC ⇒ B (6− a;−2− b)

Ta có CD ⊥ AC ⇒ −−→CF ⊥−−→CD

⇒ (4− a) (1− a) + (3− b) (−2− b) = 0 ⇔ a2 − 5a + b2 − b− 2 = 0 (1)

E thuc đưng cao h t B ⇒ BE ⊥ AC ⇒ −−→BE ⊥−−→CF

⇒ (1− a) (7− a) + (1− b) (3− b) = 0 ⇔ a2 − 8a + b2 − 4b + 10 = 0 (2)

T (1) và (2) ⇒ a = 5; b = −1

a = 4; b = −2⇒ C (5;−1) ⇒ B (1;−1)

Phương trình đưng thng AB đi qua B và vuông góc vi BD ⇒ AB : 3x− y − 4 = 0

Phương trình đưng thng AC đi qua C và F ⇒ AC : x + y − 4 = 0

A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (2;2)




39/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Đ bài 47 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có đnh A (−4;5) vàphương trình mt đưng chéo là (d) : 7x− y + 8 = 0. Vit phương trình cách cnh ca hình vuôngABCD.

Li gii tham kho :

Ta có A không nm trên (d) ⇒ (d) là phương trình đưng chéo BD

Phương trình đưng chéo AC đi qua A và vuông góc vi (d) ⇒ AC : x + 7y − 31 = 0

Tâm I ca hình vuông là giao đim ca AC và BD ⇒

I −1

2; 9

2

I là trung đim ca AC ⇒ C (3;4)

Ta có AC = 5√

2 ⇒ hình vuông ABCD ni tip đưng tròn tâm I bán kính R = 5√

2

2

⇒ (C ) :

x + 1

2

2+

y − 9

2

2=

25

2

B và D là giao đim ca (d) và (C ) ⇒ B và D có ta đ (−1;1);(0;8)

Đn đây bài toán quá đơn gin dành cho bn đc.

Đ bài 48 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có AB = 2AD. Gi M

là trung đim ca cnh CD. Đim G

2; 10

3

là trng tâm tam giác BCM. Tìm ta đ các đnh

ca hình ch nht bit phương trình đưng thng AM : x − 1 = 0.

Li gii tham kho :Hình ch nht ABCD có AB = 2AD và M là trung đim ca CD ⇒ AD = CM = DM = BC

⇒ ∆BC M vuông cân ti M ⇒ CG ⊥ BM ( G là trong tâm )D thy BM ⊥ AM ⇒ AM // CG ( cùng vuông góc vi BM)



40/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình CG đi qua G và song song vi AM ⇒ CG : x − 2 = 0

Gi H là trung đim ca BM. Ta có đ dài đon MH chính là khong cách gia AM và CG ⇒ MH = 1

⇒ BM = 2 ⇒ BC = CM = √ 2 ⇒ CN =√

2

2 ⇒ M N =

5

2 ⇒ M G = 2

3M N =

2√

5

3√

2

Ly đim M (1; m) ∈ AM ⇒ M G2 = (1− 2)2 +

m− 103

2=

10

9 ⇒

m = 3

m = 11

3

Vi m = 3 ⇒ M (1; 3). Phương trình MH đi qua M vuông góc vi AM ⇒ M H : x = 3 ⇒ H (2; 3)

H là trung đim ca MB ⇒ B (3;3)Ly đim C (2; c) ∈ CG ta có H G = 1

3CG ⇒ −−→HG = 1

3

−−→HC ⇒ C (2;4)

M là trung đim ca CD ⇒ D (0;2)

Phương trình AD đi qua đim D và vuông góc vi CD ⇒ AD : x + y − 2 = 0

A là giao đim ca AM và AD ⇒ A (1;1)

Vi m = 11

3 xét tương t. Bài toán gii quyt xong.

Đ bài 49 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có A (1; 2), đim Cnm trên đưng thng (d) : 2x − y − 5 = 0 và AB = 2AD. Gi M là đim nm trên cnh CDsao cho DM = 2CM. Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht bit phương trình cnh BM :

5x + y − 19 = 0.

Li gii tham kho :

Đt AD = BC = x ⇒ CD = AB = 2x ⇒ CM = 13

CD = 2x

3 ⇒ BM =

√ 13x

3

⇒ cos M BC = BC BM

= 3√

13⇒ sin M BC = 2√

13⇒ cos ABM = 2√

13



41/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Góc gia AB và BM chính là góc ABM . Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB

⇒ cos ABM = |5a + b|√ a2 + b2.

√ 26

= 2√

13⇒ 17a2 + 10ab− 7b2 = 0 ⇒

a = −b

a = 7

17b

Vi a = −b ⇒ −→n = (1;−1). Phương trình đưng thng AB đi qua A có vtpt −→n ⇒ AB : x − y + 1 = 0

B là giao đim ca AB và BM ⇒ B (3; 4)

Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AB ⇒ BC : x + y − 7 = 0

C là giao đim ca BC và (d)

⇒C (4;3)

Phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : x + y − 3 = 0

Phương trình đưng thng CD đi qua C và vuông góc vi BC ⇒ CD : x − y − 1 = 0

D là giao đim ca AD và CD ⇒ D (2;1)

Trưng hp còn li chúng ta làm tương t.


Đ bài 50 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC nhn. Đưng thng chađưng trung tuyn k t đnh A và đưng thng BC có phương trình ln lưt là (d1) : 3x + 5y−8 =0; (d2) : x − y − 4 = 0. Đưng thng qua A vuông góc vi BC ct đưng tròn ngoi tip tam giácABC ti đim th hai D (4;−2). Vit phương trình các cnh AB và AC bit hoành đ đim B lnhơn 3.

Li gii tham kho :

Trung đim M ca BC là giao đim ca (d1) và (d2) ⇒ M

7

2;−1

2

Phương trình đưng thng AD đi qua D và vuông góc vi BC ⇒ AD : x + y − 2 = 0

A là giao đim ca AD và AM ⇒ A (1;1). Gi s N là trung đim ca AD ⇒ N

5

2;−1

2



42/42

w w w

. t i l a d

o . e d u

. v n


Phương trình trung trc ca AD đi qua N và vuông góc vi AD ⇒

(d3) : x−

y−

3 = 0

Phương trình trung trc ca BC đi qua M và vuông góc vi BC ⇒ (d4) : x + y − 3 = 0

Gi I là tâm đưng tròn ngoi tip tam giác ABC ⇒ I là giao đim ca (d3) và (d4) ⇒ I (3; 0) ⇒ IA =√

5

Đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có tâm là I và bán kính R =√

5

⇒ (C ) : (x− 3)2 + y2 = 5

Ta đ B và C là giao đim ca (C ) và (d2) ⇒ B, C có ta đ (5;1);(2;−2)

Hoành đ B ln hơn 3 ⇒ B (5;1); C (2;−2)Bài toán gii quyt xong.

continue ...

Documents

Oxy phần 1.pdf